NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS.pdf
halevirango
116 views
24 slides
Aug 02, 2023
Slide 1 of 24
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
About This Presentation
Trabajo investigativo sobre los números primos y los números compuestos.
Slide Content
NÚMEROS PRIMOS
Y
NÚMEROS COMPUESTOS
JHRO
Jehudá H. Rango Ochoa
Coro, octubre de 2019
Y
NÚMEROS COMPUESTOS
JHRO
Jehudá H. Rango Ochoa
Coro, octubre de 2019
Primera impresión en Venezuela por Jehudá Haleví Rango Ochoa (JHRO), octubre 2019
Hecho el Depósito de Ley
Nº de Depósito legal FA2019000036
Impreso en Coro (Estado Falcón) por JHRO.
Impreso en Venezuela – Printed in Venezuela
e-mail: [email protected]
Hecho el Depósito de Ley
Nº de Depósito legal FA2019000036
Impreso en Coro (Estado Falcón) por JHRO.
Impreso en Venezuela – Printed in Venezuela
e-mail: [email protected]
Dedicatoria
A Dios, el eterno firmamento.
A Dios, el eterno firmamento.
Agradecimientos
A mi padre Odontólogo Marcos A. Rango G.
A mi madre Ingeniera Industrial Blanca E. Ochoa de Rango.
A mi hermano Ingeniero Industrial Marco A. Rango O.
A mi tío Ingeniero Eléctrico Carlos A. Ochoa R.
A mi tío Odontólogo Jesús A. Ochoa R.
A mi tía Licenciada en Contaduría Pública Ruth A. Ochoa R.
A mi tía Arquitecta Melba S. Ochoa R.
A mi padre Odontólogo Marcos A. Rango G.
A mi madre Ingeniera Industrial Blanca E. Ochoa de Rango.
A mi hermano Ingeniero Industrial Marco A. Rango O.
A mi tío Ingeniero Eléctrico Carlos A. Ochoa R.
A mi tío Odontólogo Jesús A. Ochoa R.
A mi tía Licenciada en Contaduría Pública Ruth A. Ochoa R.
A mi tía Arquitecta Melba S. Ochoa R.
Acerca del autor
Jehudá H. Rango Ochoa
(Barcelona, España, 1982) es Ingeniero Civil egresado de la
Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda de Coro,
Estado Falcón, Venezuela. Fue asesor de Matemáticas en la
Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda en el año
2001, profesor de Matemáticas y Química en la Universidad Nacional
Experimental Francisco de Miranda en el año 2009 y profesor de
Matemáticas y Cartografía Social en el Programa Nacional para la
Formación de Grado en Construcción Civil y Gestión Social de la
Misión Sucre en el año 2012.
Jehudá H. Rango Ochoa
(Barcelona, España, 1982) es Ingeniero Civil egresado de la
Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda de Coro,
Estado Falcón, Venezuela. Fue asesor de Matemáticas en la
Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda en el año
2001, profesor de Matemáticas y Química en la Universidad Nacional
Experimental Francisco de Miranda en el año 2009 y profesor de
Matemáticas y Cartografía Social en el Programa Nacional para la
Formación de Grado en Construcción Civil y Gestión Social de la
Misión Sucre en el año 2012.
Índice
1 Número primo..........................................................................................................................7
1.1. Características del conjunto de los números primos................................................................7
1.1.1. Infinitud de los números primos…………………………………………………………. .....7
1.1.1.1. Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos...................8
1.1.2. Teorema de los números primos......................................................................................8
1.1.2.1. Expresión del teorema........................................................................................8
1.1.3. Diferencia entre dos números primos consecutivos........................................................9
2 Número compuesto...............................................................................................................17
2.1. Características de los números compuestos..........................................................................17
1 Número primo..........................................................................................................................7
1.1. Características del conjunto de los números primos................................................................7
1.1.1. Infinitud de los números primos…………………………………………………………. .....7
1.1.1.1. Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos...................8
1.1.2. Teorema de los números primos......................................................................................8
1.1.2.1. Expresión del teorema........................................................................................8
1.1.3. Diferencia entre dos números primos consecutivos........................................................9
2 Número compuesto...............................................................................................................17
2.1. Características de los números compuestos..........................................................................17
7
1
Número primo
En matemáticas, un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos
divisores distintos: él mismo y el 1.
1
El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, rama de las
matemáticas que trata las propiedades, básicamente aritméticas, de los números enteros.
El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tiene una representación
única como producto de factores primos, salvo el orden.
Se puede considerar que los números primos son los “constituyentes fundamentales” de los números
naturales.
1.1. Características del conjunto de los números primos
1.1.1. Infinitud de los números primos
Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año
300 a. C. en el libro IX de su obra Elementos. Una adaptación común de esta demostración original
sigue así: Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, p3,..., pn, y se
considera el producto de todos ellos más uno, q = p1 * p2 * p3 *…* pn + 1. Este número es obviamente
mayor que 1 y distinto de todos los primos pi de la lista. El número q puede ser primo o compuesto.
Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es
compuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p es alguno de los pi, se
deduce entonces que p divide a la diferencia q – p1 * p2 * p3 *…* pn = 1, pero ningún número primo
divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjunto original. La
consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos
que no pertenecen a él, y esto es independiente del conjunto finito que se tome.
Por tanto, el conjunto de los números primos es infinito.
Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con diversos métodos
procedentes de áreas de las matemáticas tales como el álgebra conmutativa y la topología. Algunas
de estas demostraciones se basan en el uso de sucesiones infinitas con la propiedad de que cada
uno de sus términos es coprimo con todos los demás, por lo que se crea una biyección entre los
términos de la sucesión y un subconjunto (infinito) del conjunto de los primos.
Una sucesión que cumple dicha propiedad es la sucesión de Euclides – Mullin, que deriva de la
demostración euclídea de la infinitud de los números primos, ya que cada uno de sus términos se
define como el factor primo más pequeño de uno más el producto de todos los términos anteriores.
La sucesión de Sylvester se define de forma similar, puesto que cada uno de sus términos es igual a
uno más el producto de todos los anteriores. Aunque los términos de esta última sucesión no son
1
Número primo
En matemáticas, un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos
divisores distintos: él mismo y el 1.
1
El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, rama de las
matemáticas que trata las propiedades, básicamente aritméticas, de los números enteros.
El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tiene una representación
única como producto de factores primos, salvo el orden.
Se puede considerar que los números primos son los “constituyentes fundamentales” de los números
naturales.
1.1. Características del conjunto de los números primos
1.1.1. Infinitud de los números primos
Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año
300 a. C. en el libro IX de su obra Elementos. Una adaptación común de esta demostración original
sigue así: Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, p3,..., pn, y se
considera el producto de todos ellos más uno, q = p1 * p2 * p3 *…* pn + 1. Este número es obviamente
mayor que 1 y distinto de todos los primos pi de la lista. El número q puede ser primo o compuesto.
Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es
compuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p es alguno de los pi, se
deduce entonces que p divide a la diferencia q – p1 * p2 * p3 *…* pn = 1, pero ningún número primo
divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjunto original. La
consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos
que no pertenecen a él, y esto es independiente del conjunto finito que se tome.
Por tanto, el conjunto de los números primos es infinito.
Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con diversos métodos
procedentes de áreas de las matemáticas tales como el álgebra conmutativa y la topología. Algunas
de estas demostraciones se basan en el uso de sucesiones infinitas con la propiedad de que cada
uno de sus términos es coprimo con todos los demás, por lo que se crea una biyección entre los
términos de la sucesión y un subconjunto (infinito) del conjunto de los primos.
Una sucesión que cumple dicha propiedad es la sucesión de Euclides – Mullin, que deriva de la
demostración euclídea de la infinitud de los números primos, ya que cada uno de sus términos se
define como el factor primo más pequeño de uno más el producto de todos los términos anteriores.
La sucesión de Sylvester se define de forma similar, puesto que cada uno de sus términos es igual a
uno más el producto de todos los anteriores. Aunque los términos de esta última sucesión no son
8
necesariamente todos primos, cada uno de ellos es coprimo con todos los demás, por lo que se
puede escoger cualquiera de sus factores primos, por ejemplo, el menor de ellos, y el conjunto
resultante será un conjunto infinito cuyos términos son todos primos.
1.1.1.1. Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos
Un resultado aún más fuerte, y que implica directamente la infinitud de los números primos, fue
descubierto por Euler en el siglo XVIII. Establece que la serie
es divergente. Uno
de los teoremas de Mertens concreta más, estableciendo que
∑
donde la expresión indica que ese término está acotado entre –C y C para n mayor que n0,
donde los valores de C y n0 no están especificados.
Otro resultado es el teorema de Dirichlet, que dice así:
En toda progresión aritmética an = a + n*q, donde los enteros positivos a, q ≥ 1 son primos entre sí,
existen infinitos términos que son primos.
El postulado de Bertrand enuncia así:
Si n es un número natural mayor que 3, entonces siempre existe un número primo p tal que
n < p < 2n – 2.
Una manera más débil pero elegante de formularlo es que, si n es un número natural mayor que 1,
entonces siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n. Esto supone que, en una progresión
geométrica de primer término entero mayor que 3 y razón igual a 2, entre cada término de la
progresión y el siguiente, se tiene al menos un número primo.
1.1.2. Teorema de los números primos
El teorema de los números primos es un enunciado que describe la distribución asintótica de los
números primos. Este teorema da una descripción general de cómo están distribuidos los números
primos en el conjunto de los números naturales. Esto formaliza la idea intuitiva de que los primos son
menos comunes cuanto más grandes son.
2
1.1.2.1. Expresión del teorema
Sea la función contador de números primos, que denota la cantidad de primos que no exceden
a . El teorema establece que:
, donde es el logaritmo natural de .
necesariamente todos primos, cada uno de ellos es coprimo con todos los demás, por lo que se
puede escoger cualquiera de sus factores primos, por ejemplo, el menor de ellos, y el conjunto
resultante será un conjunto infinito cuyos términos son todos primos.
1.1.1.1. Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos
Un resultado aún más fuerte, y que implica directamente la infinitud de los números primos, fue
descubierto por Euler en el siglo XVIII. Establece que la serie
es divergente. Uno
de los teoremas de Mertens concreta más, estableciendo que
∑
donde la expresión indica que ese término está acotado entre –C y C para n mayor que n0,
donde los valores de C y n0 no están especificados.
Otro resultado es el teorema de Dirichlet, que dice así:
En toda progresión aritmética an = a + n*q, donde los enteros positivos a, q ≥ 1 son primos entre sí,
existen infinitos términos que son primos.
El postulado de Bertrand enuncia así:
Si n es un número natural mayor que 3, entonces siempre existe un número primo p tal que
n < p < 2n – 2.
Una manera más débil pero elegante de formularlo es que, si n es un número natural mayor que 1,
entonces siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n. Esto supone que, en una progresión
geométrica de primer término entero mayor que 3 y razón igual a 2, entre cada término de la
progresión y el siguiente, se tiene al menos un número primo.
1.1.2. Teorema de los números primos
El teorema de los números primos es un enunciado que describe la distribución asintótica de los
números primos. Este teorema da una descripción general de cómo están distribuidos los números
primos en el conjunto de los números naturales. Esto formaliza la idea intuitiva de que los primos son
menos comunes cuanto más grandes son.
2
1.1.2.1. Expresión del teorema
Sea la función contador de números primos, que denota la cantidad de primos que no exceden
a . El teorema establece que:
, donde es el logaritmo natural de .
9
Esta expresión no implica que la diferencia de las dos partes de la misma para valores de muy
grandes sea cero; sólo implica que el cociente de éstas para valores de muy grandes es casi igual
a 1.
Una mejor aproximación que la anterior viene dada por la integral logarítmica desplazada:
, donde es la integral logarítmica desplazada de .
La siguiente t abla muestra los valores de las funciones
,
,
,
para = 10, 10
2, 10
3, 10
4, 10
5, 10
6, 10
7, 10
8, 10
9, 10
10.
10 4 0,4000 0,4342 4,3429
10
2 25 0,2500 0,2171 21,7147
10
3 168 0,1680 0,1447 144,7648
10
4 1.229 0,1229 0,1085 1.085,7362
10
5 9.592 0,0959 0,0868 8.685,8896
10
6 78.498 0,0784 0,0723 72.382,4136
10
7 664.579 0,0664 0,0620 620.420,6884
10
8 5.761.455 0,0576 0,0542 5.428.681,0237
10
9 50.847.534 0,0508 0,0482 48.254.942,4336
10
10 455.052.511 0,0455 0,0434 434.294.481,9032
1.1.3. Diferencia entre dos números primos consecutivos
Ligado a la distribución de los números primos se encuentra el estudio de la diferencia entre dos
números primos consecutivos. Esta diferencia, con la única salvedad de la que hay entre el 3 y el 2,
debe ser siempre igual o mayor que 2, ya que entre dos números primos consecutivos al menos hay
un número par y por tanto compuesto. Si dos números primos tienen por diferencia 2, se dice que
son gemelos, y con la salvedad del “triplete” formado por los números 3, 5 y 7, los números gemelos
se presentan siempre de dos en dos. Esto también es fácil de demostrar: entre tres números impares
consecutivos mayores que 3 siempre hay uno que es múltiplo de 3, y por tanto compuesto.
Por otra parte, la diferencia entre primos consecutivos puede ser tan grande como se quiera: dado un
número natural n, se denota por n su factorial, es decir, el producto de todos los números naturales
comprendidos entre 1 y n. Los números
(n + 1) + 2, (n + 1) + 3,…, (n + 1) + n + 1
son todos compuestos: si 2 ≤ i ≤ n + 1, entonces (n + 1) + i es divisible entre i, por tanto, es
compuesto.
Esta expresión no implica que la diferencia de las dos partes de la misma para valores de muy
grandes sea cero; sólo implica que el cociente de éstas para valores de muy grandes es casi igual
a 1.
Una mejor aproximación que la anterior viene dada por la integral logarítmica desplazada:
, donde es la integral logarítmica desplazada de .
La siguiente t abla muestra los valores de las funciones
,
,
,
para = 10, 10
2, 10
3, 10
4, 10
5, 10
6, 10
7, 10
8, 10
9, 10
10.
10 4 0,4000 0,4342 4,3429
10
2 25 0,2500 0,2171 21,7147
10
3 168 0,1680 0,1447 144,7648
10
4 1.229 0,1229 0,1085 1.085,7362
10
5 9.592 0,0959 0,0868 8.685,8896
10
6 78.498 0,0784 0,0723 72.382,4136
10
7 664.579 0,0664 0,0620 620.420,6884
10
8 5.761.455 0,0576 0,0542 5.428.681,0237
10
9 50.847.534 0,0508 0,0482 48.254.942,4336
10
10 455.052.511 0,0455 0,0434 434.294.481,9032
1.1.3. Diferencia entre dos números primos consecutivos
Ligado a la distribución de los números primos se encuentra el estudio de la diferencia entre dos
números primos consecutivos. Esta diferencia, con la única salvedad de la que hay entre el 3 y el 2,
debe ser siempre igual o mayor que 2, ya que entre dos números primos consecutivos al menos hay
un número par y por tanto compuesto. Si dos números primos tienen por diferencia 2, se dice que
son gemelos, y con la salvedad del “triplete” formado por los números 3, 5 y 7, los números gemelos
se presentan siempre de dos en dos. Esto también es fácil de demostrar: entre tres números impares
consecutivos mayores que 3 siempre hay uno que es múltiplo de 3, y por tanto compuesto.
Por otra parte, la diferencia entre primos consecutivos puede ser tan grande como se quiera: dado un
número natural n, se denota por n su factorial, es decir, el producto de todos los números naturales
comprendidos entre 1 y n. Los números
(n + 1) + 2, (n + 1) + 3,…, (n + 1) + n + 1
son todos compuestos: si 2 ≤ i ≤ n + 1, entonces (n + 1) + i es divisible entre i, por tanto, es
compuesto.
10
Vuelvo al problema de la determinación de todos los números primos menores o iguales que un valor
dado. He desarrollado un método que consiste en encontrar todos los números primos menores que
4 y posteriormente todos los números primos que pertenecen a los siguientes n intervalos:
[p1
2
, p2
2
], [p2
2
, p3
2
],…, [pn
2
, pn+1
2
] ,
donde p1, p2, p3,…, pn son los n primeros números primos.
Voy a aclarar este método, tomando como ejemplo la determinación de todos los números primos
menores que 121.
Consideremos la sucesión cuyo término general es -1 + n.
Esta sucesión contiene a todos los números primos menores que 4.
Los términos de esta sucesión que son menores que 4 son:
0, 1, 2, 3.
Consideremos ahora la sucesión cuyo término general es: 1 – n.
El término de esta sucesión que pertenece al intervalo (-2, 0) es -1.
Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números primos
comprendidos entre 4 y 9.
vn = -1 + (n -1)*2.
Los términos de esta sucesión que son menores que 9 son:
-1, 1, 3, 5, 7.
Los términos de la sucesión {-3*vn} que pertenecen al intervalo [-9, 3] son:
-9, -3, 3.
Sean A el conjunto de todos los términos de {-vn} que pertenecen al intervalo (-6, 1), B el conjunto de
todos los enteros que pertenecen al intervalo (-9, -3) y C el conjunto de todos los enteros que
pertenecen al intervalo (-3, 3).
Esto es:
A = {-5, -3, -1}
B = {-8, -7, -6, -5, -4}
Vuelvo al problema de la determinación de todos los números primos menores o iguales que un valor
dado. He desarrollado un método que consiste en encontrar todos los números primos menores que
4 y posteriormente todos los números primos que pertenecen a los siguientes n intervalos:
[p1
2
, p2
2
], [p2
2
, p3
2
],…, [pn
2
, pn+1
2
] ,
donde p1, p2, p3,…, pn son los n primeros números primos.
Voy a aclarar este método, tomando como ejemplo la determinación de todos los números primos
menores que 121.
Consideremos la sucesión cuyo término general es -1 + n.
Esta sucesión contiene a todos los números primos menores que 4.
Los términos de esta sucesión que son menores que 4 son:
0, 1, 2, 3.
Consideremos ahora la sucesión cuyo término general es: 1 – n.
El término de esta sucesión que pertenece al intervalo (-2, 0) es -1.
Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números primos
comprendidos entre 4 y 9.
vn = -1 + (n -1)*2.
Los términos de esta sucesión que son menores que 9 son:
-1, 1, 3, 5, 7.
Los términos de la sucesión {-3*vn} que pertenecen al intervalo [-9, 3] son:
-9, -3, 3.
Sean A el conjunto de todos los términos de {-vn} que pertenecen al intervalo (-6, 1), B el conjunto de
todos los enteros que pertenecen al intervalo (-9, -3) y C el conjunto de todos los enteros que
pertenecen al intervalo (-3, 3).
Esto es:
A = {-5, -3, -1}
B = {-8, -7, -6, -5, -4}
11
C = {-2, -1, 0, 1, 2}.
Entonces:
A ∩ B = {-5}
A ∩ C = {-1}.
Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números primos
comprendidos entre 9 y 25.
x2n-1 = -5 + (n-1)*6, x2n = -1 + (n-1)*6.
Los términos de esta sucesión que son menores que 25 son:
-5, -1, 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Los términos de la sucesión {-5*xn} que pertenecen al intervalo [-35, 5] son:
-35, -25, -5, 5.
Sean D el conjunto de todos los términos de {-xn} que pertenecen al intervalo (-30, 1), E el conjunto
de todos los enteros que pertenecen al intervalo (-35, -25), F el conjunto de todos los enteros que
pertenecen al intervalo (-25, -5) y H el conjunto de todos los enteros que pertenecen al intervalo
(-5, 5).
Esto es:
D = {-29, -25, -23, -19, -17, -13, -11, -7, -5, -1}
E = {-34, -33, -32, -31, -30, -29, -28, -27, -26}
F = {-24, -23, -22, -21, -20, -19, -17, -16, -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6}
H = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.
Entonces:
D ∩ E = {-29}
D ∩ F = {-23, -19, -17, -13, -11, -7}
D ∩ H = {-1}.
C = {-2, -1, 0, 1, 2}.
Entonces:
A ∩ B = {-5}
A ∩ C = {-1}.
Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números primos
comprendidos entre 9 y 25.
x2n-1 = -5 + (n-1)*6, x2n = -1 + (n-1)*6.
Los términos de esta sucesión que son menores que 25 son:
-5, -1, 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Los términos de la sucesión {-5*xn} que pertenecen al intervalo [-35, 5] son:
-35, -25, -5, 5.
Sean D el conjunto de todos los términos de {-xn} que pertenecen al intervalo (-30, 1), E el conjunto
de todos los enteros que pertenecen al intervalo (-35, -25), F el conjunto de todos los enteros que
pertenecen al intervalo (-25, -5) y H el conjunto de todos los enteros que pertenecen al intervalo
(-5, 5).
Esto es:
D = {-29, -25, -23, -19, -17, -13, -11, -7, -5, -1}
E = {-34, -33, -32, -31, -30, -29, -28, -27, -26}
F = {-24, -23, -22, -21, -20, -19, -17, -16, -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6}
H = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.
Entonces:
D ∩ E = {-29}
D ∩ F = {-23, -19, -17, -13, -11, -7}
D ∩ H = {-1}.
12
Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números primos
comprendidos entre 25 y 49.
y1+(n-1)*8 = -29 + (n-1)*30, y2+(n-1)*8 = -23 + (n-1)*30, y3+(n-1)*8 = -19 + (n-1)*30,
y4+(n-1)*8 = -17 + (n-1)*30, y5+(n-1)*8 = -13 + (n-1)*30, y6+(n-1)*8 = -11 + (n-1)*30,
y7+(n-1)*8 = -7 + (n-1)*30, y8+(n-1)*8 = -1 + (n-1)*30.
Los términos de esta sucesión que son menores que 49 son:
-29, -23, -19, -17, -13, -11, -7, -1, 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Los términos de la sucesión {-7*yn} que pertenecen al intervalo [-217, 7] son:
-217, -203, -161, -133, -119, -91, -77, -49, -7, 7.
Sean J el conjunto de todos los términos de {-yn} que pertenecen al intervalo (-210, 1), K el conjunto
de todos los enteros que pertenecen intervalo (-217, -203), L el conjunto de todos los enteros que
pertenecen al intervalo (-203, -161), M el conjunto de todos los enteros que pertenecen al intervalo
(-161, -133), O el conjunto de todos los enteros que pertenecen al intervalo (-133, -119), Q el
conjunto de todos los enteros que pertenecen al intervalo (-119, -91), R el conjunto de todos los
enteros que pertenecen al intervalo (-91, -77), S el conjunto de todos los enteros que pertenecen al
intervalo (-77, -49), T el conjunto de todos los enteros que pertenecen al intervalo (-49, -7) y U el
conjunto de todos los enteros que pertenecen al intervalo (-7, 7).
Esto es:
J==={-209, -203, -199, -197, -193, -191, -187, -181, -179, -173, -169, -167, -163, -161, -157, -151,
-149, -143, -139, -137, -133, -131, -127, -121, -119, -113, -109, -107, -103, -101, -97, -91, -89,
-83, -79, -77, -73, -71, -67, -61, -59, -53, -49, -47, -43, -41, -37, -31, -29, -23, -19, -17, -13, -11,
-7, -1}
K = {-216, -215, -214, -213, -212, -211, -210, -209, -208, -207, -206, -205, -204}
L = {-202, -201, -200, -199, -198, -197, -196, -195, -194, -193, -192, -191, -190, -189, -188, -187,
-186, -185, -184, -183, -182, -181, -180, -179, -178, -177, -176, -175, -174, -173, -172, -171,
-170, -169, -168, -167, -166, -165, -164, -163, -162}
M = {-160, -159, -158, -157, -156, -155, -154, -153, -152, -151, -150, -149, -148, -147, -146, -145,
-144, -143, -142, -141, -140, -139, -138, -137, -136, -135, -134}
O = {-132, -131, -130, -129, -128, -127, -126, -125, -124, -123, -122, -121, -120}
Q = {-118, -117, -116, -115, -114, -113, -112, -111, -110, -109, -108, -107, -106, -105, -104, -103,
-102, -101, -100, -99, -98, -97, -96, -95, -94, -93, -92}
R = {-90, -89, -88, -87, -86, -85, -84, -83, -82, -81, -80, -79, -78}
Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números primos
comprendidos entre 25 y 49.
y1+(n-1)*8 = -29 + (n-1)*30, y2+(n-1)*8 = -23 + (n-1)*30, y3+(n-1)*8 = -19 + (n-1)*30,
y4+(n-1)*8 = -17 + (n-1)*30, y5+(n-1)*8 = -13 + (n-1)*30, y6+(n-1)*8 = -11 + (n-1)*30,
y7+(n-1)*8 = -7 + (n-1)*30, y8+(n-1)*8 = -1 + (n-1)*30.
Los términos de esta sucesión que son menores que 49 son:
-29, -23, -19, -17, -13, -11, -7, -1, 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Los términos de la sucesión {-7*yn} que pertenecen al intervalo [-217, 7] son:
-217, -203, -161, -133, -119, -91, -77, -49, -7, 7.
Sean J el conjunto de todos los términos de {-yn} que pertenecen al intervalo (-210, 1), K el conjunto
de todos los enteros que pertenecen intervalo (-217, -203), L el conjunto de todos los enteros que
pertenecen al intervalo (-203, -161), M el conjunto de todos los enteros que pertenecen al intervalo
(-161, -133), O el conjunto de todos los enteros que pertenecen al intervalo (-133, -119), Q el
conjunto de todos los enteros que pertenecen al intervalo (-119, -91), R el conjunto de todos los
enteros que pertenecen al intervalo (-91, -77), S el conjunto de todos los enteros que pertenecen al
intervalo (-77, -49), T el conjunto de todos los enteros que pertenecen al intervalo (-49, -7) y U el
conjunto de todos los enteros que pertenecen al intervalo (-7, 7).
Esto es:
J==={-209, -203, -199, -197, -193, -191, -187, -181, -179, -173, -169, -167, -163, -161, -157, -151,
-149, -143, -139, -137, -133, -131, -127, -121, -119, -113, -109, -107, -103, -101, -97, -91, -89,
-83, -79, -77, -73, -71, -67, -61, -59, -53, -49, -47, -43, -41, -37, -31, -29, -23, -19, -17, -13, -11,
-7, -1}
K = {-216, -215, -214, -213, -212, -211, -210, -209, -208, -207, -206, -205, -204}
L = {-202, -201, -200, -199, -198, -197, -196, -195, -194, -193, -192, -191, -190, -189, -188, -187,
-186, -185, -184, -183, -182, -181, -180, -179, -178, -177, -176, -175, -174, -173, -172, -171,
-170, -169, -168, -167, -166, -165, -164, -163, -162}
M = {-160, -159, -158, -157, -156, -155, -154, -153, -152, -151, -150, -149, -148, -147, -146, -145,
-144, -143, -142, -141, -140, -139, -138, -137, -136, -135, -134}
O = {-132, -131, -130, -129, -128, -127, -126, -125, -124, -123, -122, -121, -120}
Q = {-118, -117, -116, -115, -114, -113, -112, -111, -110, -109, -108, -107, -106, -105, -104, -103,
-102, -101, -100, -99, -98, -97, -96, -95, -94, -93, -92}
R = {-90, -89, -88, -87, -86, -85, -84, -83, -82, -81, -80, -79, -78}
13
S== {-76, -75, -74, -73, -72, -71, -70, -69, -68, -67, -66, -65, -64, -63, -62, -61, -60, -59, -58, -57, -56,
-55, -54, -53, -52, -51, -50}
T =={-48, -47, -46, -45, -44, -43, -42, -41, -40, -39, -38, -37, -36, -35, -34, -33, -32, -31, -30, -29, -28,
-27, -26, -25, -24, -23, -22, -21, -20, -19, -18, -17, -16, -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8}
U = {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Entonces:
J ∩ K = {-209}
J ∩ L = {-199, -197, -193, -191, -187, -181, -179, -173, -169, -167, -163}
J ∩ M = {-157, -151, -149, -143, -139, -137}
J ∩ O = {-131, -127, -121}
J ∩ Q = {-113, -109, -107, -103, -101, -97}
J ∩ R = {-89, -83, -79}
J ∩ S = {-73, -71, -67, -61, -59, -53}
J ∩ T = {-47, -43, -41, -37, -31, -29, -23, -19, -17, -13, -11}
J ∩ U = {-1}.
S== {-76, -75, -74, -73, -72, -71, -70, -69, -68, -67, -66, -65, -64, -63, -62, -61, -60, -59, -58, -57, -56,
-55, -54, -53, -52, -51, -50}
T =={-48, -47, -46, -45, -44, -43, -42, -41, -40, -39, -38, -37, -36, -35, -34, -33, -32, -31, -30, -29, -28,
-27, -26, -25, -24, -23, -22, -21, -20, -19, -18, -17, -16, -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8}
U = {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Entonces:
J ∩ K = {-209}
J ∩ L = {-199, -197, -193, -191, -187, -181, -179, -173, -169, -167, -163}
J ∩ M = {-157, -151, -149, -143, -139, -137}
J ∩ O = {-131, -127, -121}
J ∩ Q = {-113, -109, -107, -103, -101, -97}
J ∩ R = {-89, -83, -79}
J ∩ S = {-73, -71, -67, -61, -59, -53}
J ∩ T = {-47, -43, -41, -37, -31, -29, -23, -19, -17, -13, -11}
J ∩ U = {-1}.
14
Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números primos
comprendidos entre 49 y 121.
z1+(n-1)*48 = -209 + (n – 1)*210, z2+(n-1)*48 = -199 + (n – 1)*210, z3+(n-1)*48 = -197 + (n – 1)*210,
z4+(n-1)*48 = -193 + (n – 1)*210, z5+(n-1)*48 = -191 + (n – 1)*210, z6+(n-1)*48 = -187 + (n – 1)*210,
z7+(n-1)*48 = -181 + (n – 1)*210, z8+(n-1)*48 = -179 + (n – 1)*210, z9+(n-1)*48 = -173 + (n – 1)*210,
z10+(n-1)*48 = -169 + (n – 1)*210, z11+(n-1)*48 = -167 + (n – 1)*210, z12+(n-1)*48 = -163 + (n – 1)*210,
z13+(n-1)*48 = -157 + (n – 1)*210, z14+(n-1)*48 = -151 + (n – 1)*210, z15+(n-1)*48 = -149 + (n – 1)*210,
z16+(n-1)*48 = -143 + (n – 1)*210, z17+(n-1)*48 = -139 + (n – 1)*210, z18+(n-1)*48 = -137 + (n – 1)*210,
z19+(n-1)*48 = -131 + (n – 1)*210, z20+(n-1)*48 = -127 + (n – 1)*210, z21+(n-1)*48 = -121 + (n – 1)*210,
z22+(n-1)*48 = -113 + (n – 1)*210, z23+(n-1)*48 = -109 + (n – 1)*210, z24+(n-1)*48 = -107 + (n – 1)*210,
z25+(n-1)*48 = -103 + (n – 1)*210, z26+(n-1)*48 = -101 + (n – 1)*210, z27+(n-1)*48 = -97 + (n – 1)*210,
z28+(n-1)*48 = -89 + (n – 1)*210, z29+(n-1)*48 = -83 + (n – 1)*210, z30+(n-1)*48 = -79 + (n – 1)*210,
z31+(n-1)*48 = -73 + (n – 1)*210, z32+(n-1)*48 = -71 + (n – 1)*210, z33+(n-1)*48 = -67 + (n – 1)*210,
z34+(n-1)*48 = -61 + (n – 1)*210, z35+(n-1)*48 = -59 + (n – 1)*210, z36+(n-1)*48 = -53 + (n – 1)*210,
z37+(n-1)*48 = -47 + (n – 1)*210, z38+(n-1)*48 = -43 + (n – 1)*210, z39+(n-1)*48 = -41 + (n – 1)*210,
z40+(n-1)*48 = -37 + (n – 1)*210, z41+(n-1)*48 = -31 + (n – 1)*210, z42+(n-1)*48 = -29 + (n – 1)*210,
z43+(n-1)*48 = -23 + (n – 1)*210, z44+(n-1)*48 = -19 + (n – 1)*210, z45+(n-1)*48 = -17 + (n – 1)*210,
z46+(n-1)*48 = -13 + (n – 1)*210, z47+(n-1)*48 = -11 + (n – 1)*210, z48+(n-1)*48 = -1 + (n – 1)*210.
Los términos de esta sucesión que son menores que 121 son:
-209, -199, -197, -193, -191, -187, -181, -179, -173, -169, -167, -163, -157, -151, -149, -143, -139,
-137, -131, -127, -121, -113, -109, -107, -103, -101, -97, -89, -83, -79, -73, -71, -67, -61, -59, -53, -47,
-43, -41, -37, -31, -29, -23, -19, -17, -13, -11, -1, 1, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113.
Los números primos menores que 121 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,
59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113.
Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números primos
comprendidos entre 49 y 121.
z1+(n-1)*48 = -209 + (n – 1)*210, z2+(n-1)*48 = -199 + (n – 1)*210, z3+(n-1)*48 = -197 + (n – 1)*210,
z4+(n-1)*48 = -193 + (n – 1)*210, z5+(n-1)*48 = -191 + (n – 1)*210, z6+(n-1)*48 = -187 + (n – 1)*210,
z7+(n-1)*48 = -181 + (n – 1)*210, z8+(n-1)*48 = -179 + (n – 1)*210, z9+(n-1)*48 = -173 + (n – 1)*210,
z10+(n-1)*48 = -169 + (n – 1)*210, z11+(n-1)*48 = -167 + (n – 1)*210, z12+(n-1)*48 = -163 + (n – 1)*210,
z13+(n-1)*48 = -157 + (n – 1)*210, z14+(n-1)*48 = -151 + (n – 1)*210, z15+(n-1)*48 = -149 + (n – 1)*210,
z16+(n-1)*48 = -143 + (n – 1)*210, z17+(n-1)*48 = -139 + (n – 1)*210, z18+(n-1)*48 = -137 + (n – 1)*210,
z19+(n-1)*48 = -131 + (n – 1)*210, z20+(n-1)*48 = -127 + (n – 1)*210, z21+(n-1)*48 = -121 + (n – 1)*210,
z22+(n-1)*48 = -113 + (n – 1)*210, z23+(n-1)*48 = -109 + (n – 1)*210, z24+(n-1)*48 = -107 + (n – 1)*210,
z25+(n-1)*48 = -103 + (n – 1)*210, z26+(n-1)*48 = -101 + (n – 1)*210, z27+(n-1)*48 = -97 + (n – 1)*210,
z28+(n-1)*48 = -89 + (n – 1)*210, z29+(n-1)*48 = -83 + (n – 1)*210, z30+(n-1)*48 = -79 + (n – 1)*210,
z31+(n-1)*48 = -73 + (n – 1)*210, z32+(n-1)*48 = -71 + (n – 1)*210, z33+(n-1)*48 = -67 + (n – 1)*210,
z34+(n-1)*48 = -61 + (n – 1)*210, z35+(n-1)*48 = -59 + (n – 1)*210, z36+(n-1)*48 = -53 + (n – 1)*210,
z37+(n-1)*48 = -47 + (n – 1)*210, z38+(n-1)*48 = -43 + (n – 1)*210, z39+(n-1)*48 = -41 + (n – 1)*210,
z40+(n-1)*48 = -37 + (n – 1)*210, z41+(n-1)*48 = -31 + (n – 1)*210, z42+(n-1)*48 = -29 + (n – 1)*210,
z43+(n-1)*48 = -23 + (n – 1)*210, z44+(n-1)*48 = -19 + (n – 1)*210, z45+(n-1)*48 = -17 + (n – 1)*210,
z46+(n-1)*48 = -13 + (n – 1)*210, z47+(n-1)*48 = -11 + (n – 1)*210, z48+(n-1)*48 = -1 + (n – 1)*210.
Los términos de esta sucesión que son menores que 121 son:
-209, -199, -197, -193, -191, -187, -181, -179, -173, -169, -167, -163, -157, -151, -149, -143, -139,
-137, -131, -127, -121, -113, -109, -107, -103, -101, -97, -89, -83, -79, -73, -71, -67, -61, -59, -53, -47,
-43, -41, -37, -31, -29, -23, -19, -17, -13, -11, -1, 1, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113.
Los números primos menores que 121 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,
59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113.
15
Fórmulas para algunas sumas especiales:
∑
∑
∑
∑
∑
Consideremos el producto de todos los números primos comprendidos entre 11 y √ :
Esto es:
11* 13 = 143.
Sean G el conjunto de todos los enteros positivos menores que 210 y coprimos con 210, e I el
conjunto de todos los enteros positivos impares que pertenecen al intervalo (121, 210) y son
coprimos con 143.
Esto es:
G ==={1, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103,
107, 109, 113, 121, 127, 131, 137, 139, 143, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181,
187, 191, 193, 197, 199, 209}
I= == {123, 125, 127, 129, 131, 133, 135, 137, 139, 141, 145, 147, 149, 151, 153, 155, 157, 159,
=161, 163, 167, 171, 173, 175, 177, 179, 181, 183, 185, 189, 191, 193, 197, 199, 201, 203,
=205, 207}.
Fórmulas para algunas sumas especiales:
∑
∑
∑
∑
∑
Consideremos el producto de todos los números primos comprendidos entre 11 y √ :
Esto es:
11* 13 = 143.
Sean G el conjunto de todos los enteros positivos menores que 210 y coprimos con 210, e I el
conjunto de todos los enteros positivos impares que pertenecen al intervalo (121, 210) y son
coprimos con 143.
Esto es:
G ==={1, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103,
107, 109, 113, 121, 127, 131, 137, 139, 143, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181,
187, 191, 193, 197, 199, 209}
I= == {123, 125, 127, 129, 131, 133, 135, 137, 139, 141, 145, 147, 149, 151, 153, 155, 157, 159,
=161, 163, 167, 171, 173, 175, 177, 179, 181, 183, 185, 189, 191, 193, 197, 199, 201, 203,
=205, 207}.
16
Entonces:
G ∩ I es el conjunto de todos los números primos comprendidos entre 121 y 210.
Esto es:
G ∩ I = {127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199}.
Entonces:
G ∩ I es el conjunto de todos los números primos comprendidos entre 121 y 210.
Esto es:
G ∩ I = {127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199}.
17
2
Número compuesto
Número compuesto es cualquier número natural no primo, a excepción del 1. Es decir, tiene uno o
más divisores distintos a 1 y a sí mismo.
3
2.1. Características de los números compuestos
Una característica es que cada uno puede escribirse como producto de dos naturales menores que
él. Cada número compuesto se puede expresar como multiplicación de dos (o más) números primos
específicos, cuyo proceso se conoce como factorización. El número compuesto más pequeño es el
4.
Como los números primos y compuestos están entremezclados unos con otros es lógico preguntarse
si existirán secuencias de números compuestos consecutivos de longitud arbitraria. La secuencia
32, 33, 34, 35, 36 es un ejemplo de longitud 5. La respuesta es que podemos conseguir una
secuencia de números compuestos tan larga como se desee. Si deseamos una secuencia de
longitud 20, basta tomar los números 21! + 2, 21! + 3, 21! + 4,…, 21! + 21.
Consideremos la sucesión cuyo término general es -1 + n.
Esta sucesión contiene a todos los números primos menores que 4.
Los términos de esta sucesión que son menores que 4 son:
0, 1, 2, 3.
Consideremos la sucesión cuyo término general es: – 2 + 2n.
Esta sucesión contiene a todos los números semiprimos que pertenecen al intervalo (3, 6].
Los cuatro primeros términos de esta sucesión son:
0, 2, 4, 6.
Consideremos ahora la sucesión cuyo término general es: 1 – n.
El término de esta sucesión que pertenece al intervalo (-2, 0) es -1.
2
Número compuesto
Número compuesto es cualquier número natural no primo, a excepción del 1. Es decir, tiene uno o
más divisores distintos a 1 y a sí mismo.
3
2.1. Características de los números compuestos
Una característica es que cada uno puede escribirse como producto de dos naturales menores que
él. Cada número compuesto se puede expresar como multiplicación de dos (o más) números primos
específicos, cuyo proceso se conoce como factorización. El número compuesto más pequeño es el
4.
Como los números primos y compuestos están entremezclados unos con otros es lógico preguntarse
si existirán secuencias de números compuestos consecutivos de longitud arbitraria. La secuencia
32, 33, 34, 35, 36 es un ejemplo de longitud 5. La respuesta es que podemos conseguir una
secuencia de números compuestos tan larga como se desee. Si deseamos una secuencia de
longitud 20, basta tomar los números 21! + 2, 21! + 3, 21! + 4,…, 21! + 21.
Consideremos la sucesión cuyo término general es -1 + n.
Esta sucesión contiene a todos los números primos menores que 4.
Los términos de esta sucesión que son menores que 4 son:
0, 1, 2, 3.
Consideremos la sucesión cuyo término general es: – 2 + 2n.
Esta sucesión contiene a todos los números semiprimos que pertenecen al intervalo (3, 6].
Los cuatro primeros términos de esta sucesión son:
0, 2, 4, 6.
Consideremos ahora la sucesión cuyo término general es: 1 – n.
El término de esta sucesión que pertenece al intervalo (-2, 0) es -1.
18
Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números primos
comprendidos entre 4 y 9.
vn = -1 + (n -1)*2.
Los términos de esta sucesión que son menores que 9 son:
-1, 1, 3, 5, 7.
Los términos de la sucesión {-2*vn} que pertenecen al intervalo (-12, 2) son:
-10, -6, -2.
Los términos de la sucesión {-3*vn} que pertenecen al intervalo (-12, 3) son:
-9, -3.
Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números semiprimos que
pertenecen al intervalo (6, 14].
x1+(n-1)*5 = -10 + (n - 1)*12, x2+(n-1)*5 = -9 + (n - 1)*12, x3+(n-1)*5 = -6 + (n - 1)*12,
x4+(n-1)*5 = -3 + (n - 1)*12, x5+(n-1)*5 = -2 + (n - 1)*12.
Los once primeros términos de esta sucesión son:
-10, -9, -6, -3, -2, 2, 3, 6, 9, 10, 14.
Los términos de la sucesión {-3*vn} que pertenecen al intervalo [-9, 3] son:
-9, -3, 3.
Sean A el conjunto de todos los términos de {-vn} que pertenecen al intervalo (-6, 1), B el conjunto de
todos los enteros que pertenecen al intervalo (-9, -3) y C el conjunto de todos los enteros que
pertenecen al intervalo (-3, 3).
Esto es:
A = {-5, -3, -1}
B = {-8, -7, -6, -5, -4}
C = {-2, -1, 0, 1, 2}.
Entonces:
A ∩ B = {-5}
A ∩ C = {-1}.
Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números primos
comprendidos entre 4 y 9.
vn = -1 + (n -1)*2.
Los términos de esta sucesión que son menores que 9 son:
-1, 1, 3, 5, 7.
Los términos de la sucesión {-2*vn} que pertenecen al intervalo (-12, 2) son:
-10, -6, -2.
Los términos de la sucesión {-3*vn} que pertenecen al intervalo (-12, 3) son:
-9, -3.
Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números semiprimos que
pertenecen al intervalo (6, 14].
x1+(n-1)*5 = -10 + (n - 1)*12, x2+(n-1)*5 = -9 + (n - 1)*12, x3+(n-1)*5 = -6 + (n - 1)*12,
x4+(n-1)*5 = -3 + (n - 1)*12, x5+(n-1)*5 = -2 + (n - 1)*12.
Los once primeros términos de esta sucesión son:
-10, -9, -6, -3, -2, 2, 3, 6, 9, 10, 14.
Los términos de la sucesión {-3*vn} que pertenecen al intervalo [-9, 3] son:
-9, -3, 3.
Sean A el conjunto de todos los términos de {-vn} que pertenecen al intervalo (-6, 1), B el conjunto de
todos los enteros que pertenecen al intervalo (-9, -3) y C el conjunto de todos los enteros que
pertenecen al intervalo (-3, 3).
Esto es:
A = {-5, -3, -1}
B = {-8, -7, -6, -5, -4}
C = {-2, -1, 0, 1, 2}.
Entonces:
A ∩ B = {-5}
A ∩ C = {-1}.
19
Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números primos
comprendidos entre 9 y 25.
y2n-1 = -5 + (n-1)*6, y2n = -1 + (n-1)*6.
Los términos de esta sucesión que son menores que 25 son:
-5, -1, 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Los términos de la sucesión {-2yn} que pertenecen al intervalo (-180, 2) son:
-178, -170, -166, -158, -154, -146, -142, -134, -130, -122, -118, -110, -106, -98, -94, -86, -82, -74, -70,
-62, -58, -50, -46, -38, -34, -26, -22, -14, -10, -2.
Los términos de la sucesión {-3yn} que pertenecen al intervalo (-180, 3) son:
-177, -165, -159, -147, -141, -129, -123, -111, -105, -93, -87, -75, -69, -57, -51, -39, -33, -21, -15, -3.
Los términos de la sucesión {-5yn} que pertenecen al intervalo (-180, 5) son:
-175, -155, -145, -125, -115, -95, -85, -65, -55, -35, -25, -5.
Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números primos
comprendidos entre 9 y 25.
y2n-1 = -5 + (n-1)*6, y2n = -1 + (n-1)*6.
Los términos de esta sucesión que son menores que 25 son:
-5, -1, 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Los términos de la sucesión {-2yn} que pertenecen al intervalo (-180, 2) son:
-178, -170, -166, -158, -154, -146, -142, -134, -130, -122, -118, -110, -106, -98, -94, -86, -82, -74, -70,
-62, -58, -50, -46, -38, -34, -26, -22, -14, -10, -2.
Los términos de la sucesión {-3yn} que pertenecen al intervalo (-180, 3) son:
-177, -165, -159, -147, -141, -129, -123, -111, -105, -93, -87, -75, -69, -57, -51, -39, -33, -21, -15, -3.
Los términos de la sucesión {-5yn} que pertenecen al intervalo (-180, 5) son:
-175, -155, -145, -125, -115, -95, -85, -65, -55, -35, -25, -5.
20
Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números semiprimos que
pertenecen al intervalo (14, 46].
z1+(n-1)*62 = -178 + (n-1)*180, z2+(n-1)*62 = -177 + (n-1)*180, z3+(n-1)*62 = -175 + (n-1)*180,
z4+(n-1)*62 = -170 + (n-1)*180, z5+(n-1)*62 = -166 + (n-1)*180, z6+(n-1)*62 = -165 + (n-1)*180,
z7+(n-1)*62 = -159 + (n-1)*180, z8+(n-1)*62 = -158 + (n-1)*180, z9+(n-1)*62 = -155 + (n-1)*180,
z10+(n-1)*62 = -154 + (n-1)*180, z11+(n-1)*62 = -147 + (n-1)*180, z12+(n-1)*62 = -146 + (n-1)*180,
z13+(n-1)*62 = -145 + (n-1)*180, z14+(n-1)*62 = -142 + (n-1)*180, z15+(n-1)*62 = -141 + (n-1)*180,
z16+(n-1)*62 = -134 + (n-1)*180, z17+(n-1)*62 = -130 + (n-1)*180, z18+(n-1)*62 = -129 + (n-1)*180,
z19+(n-1)*62 = -125 + (n-1)*180, z20+(n-1)*62 = -123 + (n-1)*180, z21+(n-1)*62 = -122 + (n-1)*180,
z22+(n-1)*62 = -118 + (n-1)*180, z23+(n-1)*62 = -115 + (n-1)*180, z24+(n-1)*62 = -111 + (n-1)*180,
z25+(n-1)*62 = -110 + (n-1)*180, z26+(n-1)*62 = -106 + (n-1)*180, z27+(n-1)*62 = -105 + (n-1)*180,
z28+(n-1)*62 = -98 + (n-1)*180, z29+(n-1)*62 = -95 + (n-1)*180, z30+(n-1)*62 = -94 + (n-1)*180,
z31+(n-1)*62 = -93 + (n-1)*180, z32+(n-1)*62 = -87 + (n-1)*180, z33+(n-1)*62 = -86 + (n-1)*180,
z34+(n-1)*62 = -85 + (n-1)*180, z35+(n-1)*62 = -82 + (n-1)*180, z36+(n-1)*62 = -75 + (n-1)*180,
z37+(n-1)*62 = -74 + (n-1)*180, z38+(n-1)*62 = -70 + (n-1)*180, z39+(n-1)*62 = -69 + (n-1)*180,
z40+(n-1)*62 = -65 + (n-1)*180, z41+(n-1)*62 = -62 + (n-1)*180, z42+(n-1)*62 = -58 + (n-1)*180,
z43+(n-1)*62 = -57 + (n-1)*180, z44+(n-1)*62 = -55 + (n-1)*180, z45+(n-1)*62 = -51 + (n-1)*180,
z46+(n-1)*62 = -50 + (n-1)*180, z47+(n-1)*62 = -46 + (n-1)*180, z48+(n-1)*62 = -39 + (n-1)*180,
z49+(n-1)*62 = -38 + (n-1)*180, z50+(n-1)*62 = -35 + (n-1)*180, z51+(n-1)*62 = -34 + (n-1)*180,
z52+(n-1)*62 = -33 + (n-1)*180, z53+(n-1)*62 = -26 + (n-1)*180, z54+(n-1)*62 = -25 + (n-1)*180,
z55+(n-1)*62 = -22 + (n-1)*180, z56+(n-1)*62 = -21 + (n-1)*180, z57+(n-1)*62 = -15 + (n-1)*180,
z58+(n-1)*62 = -14 + (n-1)*180, z59+(n-1)*62 = -10 + (n-1)*180, z60+(n-1)*62 = -5 + (n-1)*180,
z61+(n-1)*62 = -3 + (n-1)*180, z62+(n-1)*62 = -2 + (n-1)*180.
Los setenta y ocho primeros términos de esta sucesión son:
-178, -177, -175, -170, -166, -165, -159, -158, -155, -154, -147, -146, -145, -142, -141, -134, -130,
-129, -125, -123, -122, -118, -115, -111, -110, -106, -105, -98, -95, -94, -93, -87, -86, -85, -82, -75,
-74, -70, -69, -65, -62, -58, -57, -55, -51, -50, -46, -39, -38, -35, -34, -33, -26, -25, -22, -21, -15, -14,
-10, -5, -3, -2, 2, 3, 5, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46.
Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números semiprimos que
pertenecen al intervalo (14, 46].
z1+(n-1)*62 = -178 + (n-1)*180, z2+(n-1)*62 = -177 + (n-1)*180, z3+(n-1)*62 = -175 + (n-1)*180,
z4+(n-1)*62 = -170 + (n-1)*180, z5+(n-1)*62 = -166 + (n-1)*180, z6+(n-1)*62 = -165 + (n-1)*180,
z7+(n-1)*62 = -159 + (n-1)*180, z8+(n-1)*62 = -158 + (n-1)*180, z9+(n-1)*62 = -155 + (n-1)*180,
z10+(n-1)*62 = -154 + (n-1)*180, z11+(n-1)*62 = -147 + (n-1)*180, z12+(n-1)*62 = -146 + (n-1)*180,
z13+(n-1)*62 = -145 + (n-1)*180, z14+(n-1)*62 = -142 + (n-1)*180, z15+(n-1)*62 = -141 + (n-1)*180,
z16+(n-1)*62 = -134 + (n-1)*180, z17+(n-1)*62 = -130 + (n-1)*180, z18+(n-1)*62 = -129 + (n-1)*180,
z19+(n-1)*62 = -125 + (n-1)*180, z20+(n-1)*62 = -123 + (n-1)*180, z21+(n-1)*62 = -122 + (n-1)*180,
z22+(n-1)*62 = -118 + (n-1)*180, z23+(n-1)*62 = -115 + (n-1)*180, z24+(n-1)*62 = -111 + (n-1)*180,
z25+(n-1)*62 = -110 + (n-1)*180, z26+(n-1)*62 = -106 + (n-1)*180, z27+(n-1)*62 = -105 + (n-1)*180,
z28+(n-1)*62 = -98 + (n-1)*180, z29+(n-1)*62 = -95 + (n-1)*180, z30+(n-1)*62 = -94 + (n-1)*180,
z31+(n-1)*62 = -93 + (n-1)*180, z32+(n-1)*62 = -87 + (n-1)*180, z33+(n-1)*62 = -86 + (n-1)*180,
z34+(n-1)*62 = -85 + (n-1)*180, z35+(n-1)*62 = -82 + (n-1)*180, z36+(n-1)*62 = -75 + (n-1)*180,
z37+(n-1)*62 = -74 + (n-1)*180, z38+(n-1)*62 = -70 + (n-1)*180, z39+(n-1)*62 = -69 + (n-1)*180,
z40+(n-1)*62 = -65 + (n-1)*180, z41+(n-1)*62 = -62 + (n-1)*180, z42+(n-1)*62 = -58 + (n-1)*180,
z43+(n-1)*62 = -57 + (n-1)*180, z44+(n-1)*62 = -55 + (n-1)*180, z45+(n-1)*62 = -51 + (n-1)*180,
z46+(n-1)*62 = -50 + (n-1)*180, z47+(n-1)*62 = -46 + (n-1)*180, z48+(n-1)*62 = -39 + (n-1)*180,
z49+(n-1)*62 = -38 + (n-1)*180, z50+(n-1)*62 = -35 + (n-1)*180, z51+(n-1)*62 = -34 + (n-1)*180,
z52+(n-1)*62 = -33 + (n-1)*180, z53+(n-1)*62 = -26 + (n-1)*180, z54+(n-1)*62 = -25 + (n-1)*180,
z55+(n-1)*62 = -22 + (n-1)*180, z56+(n-1)*62 = -21 + (n-1)*180, z57+(n-1)*62 = -15 + (n-1)*180,
z58+(n-1)*62 = -14 + (n-1)*180, z59+(n-1)*62 = -10 + (n-1)*180, z60+(n-1)*62 = -5 + (n-1)*180,
z61+(n-1)*62 = -3 + (n-1)*180, z62+(n-1)*62 = -2 + (n-1)*180.
Los setenta y ocho primeros términos de esta sucesión son:
-178, -177, -175, -170, -166, -165, -159, -158, -155, -154, -147, -146, -145, -142, -141, -134, -130,
-129, -125, -123, -122, -118, -115, -111, -110, -106, -105, -98, -95, -94, -93, -87, -86, -85, -82, -75,
-74, -70, -69, -65, -62, -58, -57, -55, -51, -50, -46, -39, -38, -35, -34, -33, -26, -25, -22, -21, -15, -14,
-10, -5, -3, -2, 2, 3, 5, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46.
21
Los dieciséis primeros números semiprimos son:
4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46.
Los dieciséis primeros números semiprimos son:
4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46.
22
Algunas curiosidades
- 2
2
= 2 + 2.
- 3
2
= 3 + 3.
- 5
3
= 5 + 5.
- El último año primo fue el 2017.
- El próximo año primo será el 2027.
Algunas curiosidades
- 2
2
= 2 + 2.
- 3
2
= 3 + 3.
- 5
3
= 5 + 5.
- El último año primo fue el 2017.
- El próximo año primo será el 2027.
23
Conclusión
Se expuso un método muy importante en el estudio de los números primos ya que proporciona las
leyes que gobiernan su distribución.
Asimismo se expuso un método muy importante en el estudio de los números compuestos que toma
en cuenta las funciones y .
Conclusión
Se expuso un método muy importante en el estudio de los números primos ya que proporciona las
leyes que gobiernan su distribución.
Asimismo se expuso un método muy importante en el estudio de los números compuestos que toma
en cuenta las funciones y .
24
Referencias
1. Colaboradores de Wikipedia. Número primo. [en línea]. Wikipedia, La enciclopedia libre, 2019.
,,Consultado el 3 de septiembre de 2019. Disponible en: https://es.wikipedia.org/wiki/Número_primo
2. Colaboradores de Wikipedia. Teorema de los números primos. [en línea]. Wikipedia, La
enciclopedia libre, 2019. Consultado el 7 de octubre de 2019. Disponible en: = = = = = = = = = =
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_números_primos
3. Colaboradores de Wikipedia. Número compuesto. [en línea]. Wikipedia, La enciclopedia libre,
2019. Consultado el 3 de septiembre de 2019. Disponible en:
https://es.wikipedia.org/wiki/Número_compuesto
Referencias
1. Colaboradores de Wikipedia. Número primo. [en línea]. Wikipedia, La enciclopedia libre, 2019.
,,Consultado el 3 de septiembre de 2019. Disponible en: https://es.wikipedia.org/wiki/Número_primo
2. Colaboradores de Wikipedia. Teorema de los números primos. [en línea]. Wikipedia, La
enciclopedia libre, 2019. Consultado el 7 de octubre de 2019. Disponible en: = = = = = = = = = =
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_números_primos
3. Colaboradores de Wikipedia. Número compuesto. [en línea]. Wikipedia, La enciclopedia libre,
2019. Consultado el 3 de septiembre de 2019. Disponible en:
https://es.wikipedia.org/wiki/Número_compuesto
Tags
Categories
GeneralDownload
Download Slideshow Get the original presentation fileQuick Actions
Statistics
- Views 116
- Slides 24
- Age 879 days
Related Slideshows
22
Pray For The Peace Of Jerusalem and You Will Prosper
RodolfoMoralesMarcuc
46 views
26
Don_t_Waste_Your_Life_God.....powerpoint
chalobrido8
55 views
31
VILLASUR_FACTORS_TO_CONSIDER_IN_PLATING_SALAD_10-13.pdf
JaiJai148317
46 views
14
Fertility awareness methods for women in the society
Isaiah47
46 views
35
Chapter 5 Arithmetic Functions Computer Organisation and Architecture
RitikSharma297999
47 views
5
syakira bhasa inggris (1) (1).pptx.......
ourcommunity56
45 views