NÚMEROS Y EXPRESIONES DECIMALES.pptx

resumen

1. NÚMEROS Y EXPRESIONES DECIMALES

2. ¿Por qué y para qué? Los números decimales se han convertido en los últimos años en protagonistas de todos los cálculos -hasta el punto de que en la práctica desplazan completamente a las fracciones - debido a la disponibilidad creciente del uso de calculadoras y de ordenadores que hacen las operaciones con ellos (Centeno, 1988, p. 17 ). L as fracciones y los decimales son dos formas diferentes para representar las mismas ideas, o si se prefiere para describir y manipular el mismo tipo de situaciones . Uno de los fines principales de la enseñanza de las fracciones y decimales será que los estudiantes vean ambos sistemas notacionales como modos de representar los mismos conceptos, aunque ciertamente con ventajas distintas según las situaciones . El uso del sistema decimal es claramente ventajoso en dispositivos digitales, como calculadoras, ordenadores y mediciones electrónicas

3. ¿A qué objeto matemático llamaremos número decimal? Fracción Decimal Número decimal   EXPRESIÓN DECIMAL

4. SURGIMIENTO DELAS EXPRESIONES DECIMALES En 1585 el matemático belga Simón Stevin , en su libro La Disme , propuso, fraccionar la unidad en décimas, centésimas, milésimas, etc. para medir cantidades de magnitudes menores que la unidad. Con este sistema , el resultado de una medida vendría siempre expresado mediante un número entero y fracciones decimales. 7,35

5. ALGUNAS CONSIDERACIONES De esta manera para las fracciones decimales podemos usar un sistema de representación decimal posicional equivalente al definido para los números naturales. La parte situada a la izquierda de la coma es la ‘parte entera’ del número decimal y la situada a la derecha de la coma la ‘parte decimal ’. Los números naturales admiten un representante decimal cuya parte decimal es cero . Un número decimal admite un representante cuya notación decimal tiene un número finito de cifras .

6. ALGUNAS CONSIDERACIONES El interés de la representación decimal de las fracciones decimales se debe a la posibilidad que proporcionan de utilizar los algoritmos de cálculo definidos para los números naturales . Desde el momento en que la parte decimal de un número decimal se construye siguiendo las mismas reglas que se usan para la parte entera podemos trasladar los algoritmos de suma, resta, multiplicación y división entera al caso de los números decimales sin más que añadir algunas consideraciones acerca de la colocación de las comas . Esto permite abreviar los cálculos con fracciones decimales .

7. Distinción entre expresión decimal y número decimal Se llama número decimal a aquellos racionales que tienen una fracción representante con denominador potencia de 10 (fracciones decimales ). Todos los números decimales son racionales , pero no todos los racionales son decimales. Cualquier racional no decimal se puede expresar en notación decimal , aunque el número de cifras a la derecha de la coma es infinito, con cifras que se repiten .

8. ALGUNAS CONSIDERACIONES El número de cifras decimales es una característica de la expresión decimal (numerales ) no de los números, ya que un mismo número se puede representar mediante diferentes expresiones decimales: 34’1 = 34’10 = 34’100, ... = 34'0999 ... Los números decimales se pueden expresar también “en forma polinómica”, con potencias de base 10 (si se usa dicho número como base del sistema de numeración) usando exponentes positivos y negativos. Por ejemplo:

9. ALGUNAS CONSIDERACIONES La notación decimal para expresar los números racionales es importante ya que es más fácil trabajar con ella que con la notación de fracción . La notación decimal es también cómoda para encontrar un número racional comprendido entre otros dos dados . La mayor ventaja es en la realización de operaciones aritméticas , ya que se pueden usar algoritmos similares a los desarrollados para trabajar con números enteros.

10. Caracterización de los números decimales Si r es un racional representado por su fracción irreducible n/d , para que r sea un número decimal la descomposición d el denominador d en factores primos sólo debe tener potencias de 2 y/o de 5 .

11. TÉCNICA DE OBTENCIÓN DE EXPRESIONES DECIMALES Primera técnica Una primera técnica consiste en encontrar la fracción equivalente a la dada cuyo denominador sea una potencia de 10, escribir el numerador, contar en el numerador, empezando por la derecha, tantas cifras como ceros tiene el denominador y colocar la coma decimal. Segunda técnica Se basa en la relación entre fracción y división entera. Sabemos que en una fracción impropia la división del numerador por el denominador permite encontrar la parte entera de la fracción.

12. TÉCNICA DE OBTENCIÓN DE EXPRESIONES DECIMALES Segunda técnica La técnica pone de manifiesto una interpretación del número decimal como cociente exacto de dos números enteros: el numerador y el denominador de una fracción . A la técnica de dividir consistente en añadir ceros a los restos para seguir dividiendo se le llama ‘división decimal’.

13. Expresión decimal de números racionales no decimales. Expresiones decimales periódicas Con los números racionales no decimales nunca se obtiene resto cero , por lo que la división podría proseguir indefinidamente. Pero como los restos tienen que ser menores que el divisor , sólo existen un número finito de restos diferentes. Por tanto, en algún momento habrá de repetirse un resto . A partir de ahí, una parte de la división se repetirá . Esto produce un cociente en el que la parte situada a la derecha de la coma se compone de infinitas cifras algunas de las cuales se repiten indefinidamente . Al conjunto de cifras que se repiten se le llama ‘periodo’ y al cociente de la división ‘expresión periódica’.

14. Expresiones decimales periódicas puras y mixtas. Cuando la parte decimal de una expresión decimal periódica consiste únicamente en la repetición indefinida del periodo, la expresión decimal se llama ‘periódica pura ’. Si además existe una parte no periódica se dice que la expresión decimal es ‘ periódica mixta ’.

15. Fracción generatriz de los racionales representados por estas expresiones Llamamos fracción generatriz de una expresión decimal a la fracción que la genera, es decir, aquella fracción tal que dividido el numerador por el denominador, da lugar a la expresión dada . F racción generatriz de una expresión decimal finita Bastará tomar una fracción cuyo numerador es la expresión decimal del número sin la coma y cuyo denominador es la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal . F racción generatriz de un número cuya expresión decimal es periódica Se multiplica el número por potencias de diez elegidas de tal forma que al restar dos de esas expresiones la parte decimal desaparezca. De ahí se obtiene el valor del número como cociente de enteros

16. observaciones 1 . Los números decimales, como por ejemplo 3/4, que tienen una expresión decimal finita 0,75 , se pueden representar también con expresiones decimales periódicas: basta escribir una serie ilimitada de ceros después del 5, 0,7500000 ... También podemos comprobar que se pueden representar como 0, 74999 ... 2 . Incluso los números naturales se pueden expresar con una notación decimal con infinitas cifras decimales ; por ejemplo, 1=0,9999 ... 3 . En la práctica, no obstante, los números decimales se expresan de la forma más simple posible , es decir con un número finito de cifras decimales. 4 . En cambio todo número racional que no sea decimal, requiere un número ilimitado de cifras en su expresión decimal, que se repetirán en períodos (puros o mixtos).

17. observaciones Todo número racional tiene una representación decimal finita o periódica; todos los números cuya expresión decimal es finita o periódica son números racionales. 5 . Más adelante veremos que también se usan “expresiones decimales no periódicas” para los números irracionales (por ejemplo, π = 3,14159 ...) 6 . Una desventaja teórica de la expresión decimal es que no es única para los números decimales . Por ejemplo: 2,6 = 2,5999 ... Los cálculos con números decimales se operan de manera ventajosa si se usa las expresiones decimales finitas . 7 . La expresión decimal de los racionales no decimales sí es única, pero las notaciones periódicas para los racionales no decimales son incómodas para operar con ellas o incluso imposibles de realizar.