Ý nghĩa và Ứng dụng đạo hàm-2021 - Copy.pdf

88888888

1. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 50

§6. Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

1. Moät soá kyù hieäu vaø thuaät ngöõ

Tiếng Anh Ký hiệu Tiếng việt Ghi chuù
Cost, Total cost C, TC Chi phí, toång chi phí
Chuùng ta thöôøng
duøng C ñeå kyù hieäu
toång chi phí
Demand D Cầu

Excess E Lượng dư

Future value F Giá trị tương lai

Goverment G Chi tiêu nhà nước

Invesment I Đầu tư

Interest i Tiền lãi

Capital K Vốn (tư bản)

Labour L Lao động, nhân công

Import M Nhập khẩu

Present value, principal P Giá trị hiện tại, v ốn gốc

Price p Đơn giá (giá cả) sản phẩm

Profit  hoaëc P Lôïi nhuaän

Quantity Q Löôïng, sản lượng

Quantity demand QD Lượng cầu

Quantity supplied QS Lượng cung

Revenue R Doanh thu

Rate of interest r Lãi xuất (năm)

Supply S Cung

Saving s Tiết kiệm

Tax T Thuế ( t: thueá suaát)

Total cost TC Tổng chi phí

Total revenue TR Tổng doanh thu

Utility U Hữu dụng, lợi ích
Export X Xuaát khaåu

Income Y Thu nhaäp


* Chuù yù
i) Hieän nay, chöa coù söï thoáng nhaát veà caùc kyù hieäu ñöôïc söû duïng.
ii) Trong kinh teá, kyõ thuaät, ñôøi soáng thì mieàn xaùc ñònh haøm soá laø taát caû caùc giaù trò cuûa
bieán ñeå haøm soá coù yù nghóa veà maët kinh teá, kyõ thuaät, ñôøi soáng.
2. Moät soá haøm soá trong kinh doanh, saûn xuaát, ñôøi soáng

2. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 51

STT Teân haøm soá Kyù hieäu YÙù nghóa


1


Haøm chi
phí
)(xC

Cho bieát toång chi phí saûn xuaát x ñôn vò saûn phaåm moät loaïi
haøng hoùa. Ñaây laø haøm soá taêng (ñoàng bieán).
Thoâng thöôøng: )(xC = Chi phí saûn xuaát + Chi phí coá ñònh
Chi phí saûn xuaát = (chi phí sx moãi saûn phaåm) (soá saûn phaåm)
)(C

Toång quaùt chuùng ta thöôøng duøng chöõ )(C ñeå kyù hieäu haøm chi phí
coøn bieán beân trong vaø yù nghóa tuøy vaøo moãi baøi toaùn cuï theå.

2
Haøm chi
phí trung
bình
)(xA

Cho bieát chi phí trung bình ñeå saûn xuaát moãi ñôn vò saûn
phaåm moät loaïi haøng hoùa öùng vôùi möùc saûn löôïng x .
x
xC
xA
)(
)(=

3

Haøm doanh
thu
)(xR

Cho bieát toång doanh thu khi baùn x ñôn vò saûn phaåm moät
loaïi haøng hoùa. Neáu giaù baùn moãi ñôn vò saûn phaåm laø p thì
haøm doanh thu laø =)(xR (giaù baùn) (soá saûn phaåm) xp=

4

Haøm lôïi
nhuaän
)(x

hoaëc )(xP

Cho bieát toång lôïi nhuaän khi baùn x ñôn vò saûn phaåm moät
loaïi haøng hoùa.
Lôïi nhuaän chöa tính thueá: )(x = )()( xCxR−
Toång lôïi nhuaän = Toång doanh thu – Toång chi phí

5
Haøm caàu
theo giaù
)(pD

Cho bieát soá ñôn vò saûn phaåm moät loaïi haøng hoùa maø ngöôøi
tieâu duøng (ngöôøi mua)seõ mua öùng vôùi möùc giaù p .

6
Haøm cung
theo giaù
)(pS

Cho bieát soá ñôn vò saûn phaåm moät loaïi haøng hoùa maø caùc
nhaø saûn xuaát (nhaø cung öùng-ngöôøi baùn) seõ baùn öùng vôùi möùc giaù p
.

Haøm giaù theo
löôïng saûn phaåm )(xp
Cho bieát giaù cuûa moät loaïi haøng hoùa (saûn phaåm) phuï thuoäc
soá saûn phaåm x cung öùng vaø laø haøm giaûm theo x .

7
Haøm giaù
theo thôøi
gian )(tp
Cho bieát giaù cuûa moät loaïi haøng hoùa (saûn phaåm) taïi thôøi
ñieåm t

8
Haøm daân soá
theo thôøi
gian
)(tP

Cho bieát daân soá cuûa moät coäng ñoàng daân cö naøo ñoù taïi thôøi
ñieåm t.
Cho bieát soá löôïng moät loaïi sinh vaät naøo ñoù (vi khuaån, vi ruùt,
coân truøng, caù, chim, thuù, …) trong moät quaàn theå (vuøng khoâng gian
maø caùc sinh vaät ñang soáng).

9

Haøm saûn
xuaát ),(LKQ

)(KQ

Cho bieát soá ñôn vò saûn phaåm saûn xuaát ñöôïc öùng vôùi möùc ñaàu tö
voán K . Ñôn vò tính cuûa K tuøy theo moãi tröôøng hôïp cuï theå.
)(LQ

Cho bieát soá ñôn vò saûn phaåm saûn xuaát ñöôïc öùng vôùi möùc
lao ñoäng L . Ñôn vò tính cuûa L tuøy theo moãi tröôøng hôïp
cuï theå - Thöôøng ñôn vò tính cuûa L laø giôø lao ñoäng.

3. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 52

Caùc taøi lieäu hieän nay chöa thoáng nhaát veà kyù hieäu. Trong caùc haøm 1, 2, 3, 4, coù theå thay x
bôûi q hay Q .
3. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm
Cho haøm soá )(xfy= xaùc ñònh treân khoaûng (a,b)  x0, vaø (C) laø ñoà thò cuûa haøm soá.
Neáu haøm soá )(xfy= coù ñaïo haøm taïi x0 vaø ñoà thò (C) coù tieáp tuyeán taïi M0(x0,f(x0)) thì
heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vôùi (C) taïi M0 laø k = )('
o
xf .
- Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi M0 laø: (t) : y - y0 = )('
o
xf (x - x0), vôùi y0 = f(x0)
- Phöông trình phaùp tuyeán vôùi (C) taïi M0 laø (p): y-y0= ()
( )
0
0
'
1
xx
xf
−
− ,vôùi )('
o
xf  0.
Heä quaû Cho hai ñöôøng cong (C):)(xfy=
(C’):)(xgy=
vaø ñöôøng thaúng (d): y = kx +b.
Ta coù:
. Heä fx)g(x)
fx)g'x)
(
'( (
=
=


 coù nghieäm  (C) vaø (C’) tieáp xuùc nhau.
. Heä 


=
+=
kxf
bkxxf
)('
)( coù nghieäm  (C) vaø (d) tieáp xuùc nhau.
Khi ñoù nghieäm cuûa heä laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm.
4. YÙ nghóa cơ hoïc cuûa ñaïo haøm
Xét chất điểm chuyển động thẳng và )(tss= là hàm vị trí chất điểm tho thời gian t và
giả sử các đạo hàm đều tồn tại. Khi đó
Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian ],[
21tt : 12
12 )()(
tt
tsts
−
−
Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t : t
tstts
ts
dt
ds
tv
t 
−+
===
→
)()(
lim)(')(
0
Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t : )('')(
2
2
ts
dt
sd
dt
dv
ta ===
Độ biến thiên gia tốc (gọi là độ giật-jerk) tại thời điểm t : )(''')(
3
3
ts
dt
sd
dt
da
tj ===
5. Độ biến thiên và Tốc độ biến thiên (Net change and Rates of change)
Cho haøm soá )(xfy= xaùc ñònh trong khoaûng ),(ba chöùa ñieåm x0. Khi biến số biến
thiên từ o
x đến xx
o
+ thì độ bieán thieân (tuyệt đối) cuûa bieán x là o
xxx−= vaø ñoä
bieán thieân hay lượng biến thiên (“tuyệt đối”) töông öùng cuûa y tại o
x ứng với x laø )()Δ(Δ
oo
xfxxfy −+=
.
Tyû sai phaân

4. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 53
x
xfxxf
x
y
oo

−+
=

 )()(

laø toác ñoä bieán thieân trung bình cuûa y trên đoạn ],[ xxx
oo
+ .
Tốc độ biến thiên tức thời của y theo x tại o
x :)('
)()(
limlim
00
o
oo
xx
xf
x
xfxxf
x
y
=

−+
=


→→
Tốc độ biến thiên tức thời của y theo x :=== )(')(' xfxy
dx
dy x
xfxxf
x 
−+
→
)()(
lim
0
Tốc độ biến thiên tương đối của y theo x :)()(
)('
)(
)('
xf
dx
df
xf
xf
xy
xy
y
dx
dy
===
Phần trăm tốc độ biến thiên tương đối của y theo x :(%)
)(
)('
100(%)
)(
)('
100
xf
xf
xy
xy
=
Ñoä bieán thieân töông ñoái cuûa bieán x taïi o
x laø: o
x
x
Ñoä bieán thieân töông ñoái cuûa haøm)(xfy= taïi o
y laø: o
y
y = )(
)(
o
o
xf
xf
Phaàn traêm ñoä bieán thieân töông ñoái cuûa bieán taïi o
x laø: o
x
x
100 (%)
Phaàn traêm ñoä bieán thieân töông ñoái cuûa haøm)(xfy= tại o
y :100o
y
y (%)=100)(
)(
o
o
xf
xf (%)
Tyû leä giöõa phaàn traêm ñoä bieán thieân töông ñoái cuûa haøm vaø phaàn traêm ñoä bieán thieân
töông ñoái cuûa bieán taïi o
x laø: o
o
o
x
x
xf
xf


100
)(
)(
100 = o
o
o
x
x
xf
xf


)(
)( = )(
)(
o
oo
xf
x
x
xf


Heä soá co giaõn cuûa haøm soá taïi o
x , kyù hieäu yx
E hoaëc E : E = )(
)('
o
o
o
xf
x
xf
Heä soá co giaõn cuûa haøm soá taïi x , kyù hieäu yx
E hoaëc E : E = )(
)('
xf
x
xf
Aùp duïng heä soá co giaõn ñeå öôùc tính phaàn traêm ñoä bieán thieân töông ñoái cuûa haøm khi
bieát phaàn traêm ñoä bieán thieân töông ñoái cuûa bieán taïi o
x : )(
)(
100
o
o
xf
xf  
)(
)('
o
o
o
xf
x
xf o
x
x
100
= E  o
x
x
100
Thoâng thöôøng, ta vieát nhö sau: Taïi o
x , khi bieán x bieán thieân (töông ñoái) o
x
x
100 (%) thì
haøm )(xf bieán thieân (töông ñoái) xaáp xæ laøo
x
x
E

100 (%).
Aùp duïng vi phaân (ñaïo haøm) tính gaàn ñuùng: Neáu haøm soá )(xf coù ñaïo haøm taïi o
x
thì

5. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 54
xxfxf
oo
 )(')(
hay )('
)(
o
o
xf
x
xf


 ; xxfxf  )(')( hay )('
)(
xf
x
xf



6. Giaù trò bieân vaø giaù trò caän bieân (bieân teá )
Rất nhiều trường hợp trong kinh tế, kỹ thuật, đời sống thì biến độc lập x biên thiên
từng đơn vị nên thường gặp trường hợp 1=x và từ đó có khái niệm giá trị biên và cận
biên hay biên tế. Cho haøm soá )(xf coù ñaïo haøm treân khoaûng (a,b)vaø),(]1,[ baxx
oo
+ .
i) Giaù trò bieân cuûa )(xf taïi o
x : )()1(
oo
xfxf −+
ii) Giaù trò caän bieân(bieân teá) cuûa )(xf taïi o
x :)('
)()(
lim
0
o
oo
h
xf
h
xfhxf
=
−+
→ = dx
df
iii) Söû duïng giaù trò caän bieân ñeå öôùc tính giaù trò bieân: )()1(
oo
xfxf −+ )('
o
xf
Ví duï 1
Haøm soá Giaù trò bieân Ñaïo haøm - Giaù trò caän bieân (bieân teá)
Haøm chi
phí )(xC
)()1(
oo
xCxC −+

Laø chi phí thöïc söï ñeå
saûn xuaát saûn phaåm thöù 1+
o
x
)('
o
xC

Laø chi phí bieân teá ôû möùc saûn xuaát o
x .
Laø chi phí öôùc tính (gaàn ñuùng) ñeå saûn xuaát
saûn phaåm thöù 1+
o
x
Haøm
doanh thu )(xR
)()1(
oo
xRxR −+

Laø doanh thu thöïc söï
khi baùn saûn phaåm thöù 1+
o
x
)('
o
xR

Laø doanh thu bieân teá ôû möùc baùn o
x .
Laø doanh thu öôùc tính (gaàn ñuùng) khi baùn
saûn phaåm thöù 1+
o
x
Haøm lôïi
nhuaän )(x
)()1(
oo
xx  −+

Laø lôïi nhuaän thöïc söï
khi baùn saûn phaåm thöù 1+
o
x
)('
o
x

Laø lôïi nhuaän bieân teá ôû möùc baùn o
x .
Laø lôïi nhuaän öôùc tính (gaàn ñuùng) khi baùn saûn
phaåm thöù 1+
o
x
Haøm saûn
xuaát )(LQ

(L: tính baèng giôø) )()1(
oo
LQLQ −+

Laø saûn löôïng thöïc söï
cuûa giôø saûn xuaát thöù 1+
o
L
)('
o
LQ

Laø saûn löôïng bieân teá ôû möùc o
L . Laø saûn löôïng
öôùc tính cuûa giôø saûn xuaát thöù 1+
o
L
Haøm giaù
theo thôøi
gian )(tp )()1(
oo
tptp −+

Laø löôïng thay ñoåi
(tuyeät ñoái) cuûa giaù trong
khoaûng thôøi gian töø ]1,[+
oo
tt
)('
o
tp

Laø toác ñoä thay ñoåi töùc thôøi cuûa giaù taïi thôøi ñieåm o
t
- Toác ñoä taêng (giaûm) giaù taïi thôøi ñieåm o
t .
Laø öôùc tính (gaàn ñuùng) löôïng thay ñoåi (tuyeät ñoái)
cuûa giaù trong khoaûng thôøi gian töø ]1,[+
oo
tt .
Haøm daân
soá theo
thôøi gian )(tP
)()1(
oo
tPtP −+

Laø löôïng thay ñoåi
(tuyeät ñoái) cuûa daân soá
trong khoaûng thôøi gian
töø ]1,[+
oo
tt )('
o
tP
=0
lim
→h h
tPhtP
oo
)()( −+
Laø toác ñoä thay ñoåi töùc thôøi cuûa daân soá taïi thôøi ñieåm o
t
-Toác ñoä taêng (giaûm) daân soá taïi thôøi ñieåm o
t . Laø öôùc
tính (gaàn ñuùng) löôïng thay ñoåi (tuyeät ñoái) cuûa daân soá
trong khoaûng thôøi gian töø ]1,[+
oo
tt .

6. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 55

Ví duï 2 (tính gaàn ñuùng)
Saûn löôïng haøng ngaøy cuûa moät nhaø maùy laø 3
2
600)( KKQ = (ñôn vò saûn phaåm) trong ñoù K laø
voán (ñôn vò tính laø $1000). Hieän taïi, nhaø maùy ñaàu tö $1,000,000. Aùp duïng vi phaân, öôùc tính
löôïng saûn phaåm taêng leân neáu nhaø maùy ñaàu tö theâm $700.
Giải
Ñaïo haøm: 3
400
)('
K
KQ = , 1000=
o
K , 7.0=K (vì ñôn vò tính laø $1000)
Öôùc tính löôïng saûn phaåm taêng leân khi nhaø maùy ñaàu tö theâm $700 laø Q 287.0
1000
400
)('
3
==KKQ
o
saûn phaåm
Ví duï3 (tính gaàn ñuùng)
Saûn löôïng haøng ngaøy cuûa moät xí nghieäp laø 3
2
600)( LLQ= (ñôn vò saûn phaåm) trong ñoù L
laø löïc löôïng lao ñoäng (ñôn vò tính laø giôø). Hieän taïi, xí nghieäp coù 1000 giôø lao ñoäng
moãi ngaøy. Aùp duïng vi phaân öôùc tính soá giôø lao ñoäng caàn taêng theâm ñeå saûn löôïng
taêng theâm 60 ñôn vò saûn phaåm.
Giải

Ñaïo haøm: 3
400
)('
L
LQ = , 1000=
o
L (giôø), 60=Q ( ñôn vò saûn phaåm)
Öôùc tính soá giôø lao ñoäng caàn taêng theâm ñeå saûn löôïng taêng theâm 60 ñôn vò saûn phaåm: Q LLLQ
o

3
1000
400
60)('
 5.1
40
60
=L giôø
Vaäy soá giôø lao ñoäng caàn taêng theâm khoaûng 1.5 giôø (moät giôø röôõi).
Ví duï 4 Bieát toång chi phí saûn xuaát x ñôn vò saûn phaåm laø 2005)(
3
++= xxxC
(USD)
a) Söû duïng chi phí bieân teá (chi phí caän bieân) öôùc tính chi phí saûn xuaát saûn phaåm thöù 5.
b) Tính chi phí trung bình ñeå saûn xuaát moãi saûn phaåm trong caùc saûn phaåm töø saûn
phaåm thöù 5 ñeán saûn phaåm thöù 9.
Giải
a) Chi phí bieân teá :53)('
2
+=xxC
Öôùc tính chi phí saûn xuaát saûn phaåm thöù 5: USDC 53543)4('
2
=+=
b) Chi phí trung bình ñeå saûn xuaát moãi saûn phaåm trong caùc saûn phaåm töø saûn phaåm thöù 5 ñeán
saûn phaåm thöù 9: =
−
=
−
−
5
284974
49
)4()9(CC 138 USD
Ví duï 5 Bieát toång chi phí saûn xuaát x ñôn vò saûn phaåm laø 5004)(
2
++= xxxC
(USD)
a) Söû duïng chi phí bieân teá (chi phí caän bieân) öôùc tính chi phí saûn xuaát saûn phaåm
thöù 11.

7. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 56

b) Tính chi phí trung bình ñeå saûn xuaát moãi saûn phaåm trong caùc saûn phaåm töø saûn
phaåm thöù 11 ñeán saûn phaåm thöù 15.
Giải

a) Chi phí bieân teá :42)(' +=xxC
Öôùc tính chi phí saûn xuaát saûn phaåm thöù 11: USDC 244102)10(' =+=
b) Chi phí trung bình ñeå saûn xuaát moãi saûn phaåm trong caùc saûn phaåm töø saûn phaåm
thöù 11 ñeán saûn phaåm thöù 15: =
−
−
1015
)10()15(CC 29 USD
Ví duï 6 Bieát toång chi phí saûn xuaát x ñôn vò saûn phaåm vaø giaù baùn laàn löôït laø
205)(
3
++= xxxC (USD) xxp 2180)( −= (USD/saûn phaåm)
a) Söû duïng chi phí bieân teá (chi phí caän bieân) öôùc tính chi phí saûn xuaát saûn phaåm
thöù 6. Tính chi phí thöïc söï khi saûn xuaát saûn phaåm thöù 6.
b) Laäp haøm doanh thu vaø söû duïng doanh thu bieân teá (doanh thu caän bieân) öôùc tính
doanh thu khi baùn saûn phaåm thöù 6.
Giải
a) Chi phí bieân teá :53)('
2
+=xxC
Öôùc tính chi phí saûn xuaát saûn phaåm thöù 6: USDC 80553)5('
2
=+=
Chi phí thöïc söï khi saûn xuaát saûn phaåm thöù 6: =−)5()6(CC 96
b) Haøm doanh thu: ==pxxR)( xx)2180(− = 2
2180xx−
Doanh thu bieân teá: )('xR = x4180−
Söû duïng doanh thu bieân teá (doanh thu caän bieân) öôùc tính doanh thu khi baùn saûn phaåm
thöù 6: )5('R = 54180− = 160 USD
Ví duï 7 Saûn löôïng haøng tuần cuûa moät xí nghieäp laø 3
2
660)( KKQ = (ñôn vò saûn phaåm)
trong ñoù K laø voán (ñôn vò tính laø $1,000). Hieän taïi, xí nghieäp ñaàu tö $1,000,000 moãi
tuần. Aùp duïng vi phaân öôùc tính soá voán caàn taêng theâm moãi tuần ñeå saûn löôïng taêng
theâm 110 ñôn vò saûn phaåm moãi tuần.
Giải
Ñaïo haøm: 3
440
)('
K
KQ = , 1000=
o
K (giôø), 110=Q ( ñôn vò saûn phaåm)
Öôùc tính soá voán caàn taêng theâm ñeå saûn löôïng taêng theâm 110 ñôn vò saûn phaåm: Q KKKQ
o

3
1000
440
110)('
 5,2
44
110
=K (ñôn vò $1,000)
Vaäy soá voán caàn taêng theâm khoaûng 5,2 (ñôn vò $1,000) 2500$=

Ví duï 8 Một công ty sản xuất và bán x đơn vị sản phẩm một loại hàng hóa thì tổng chi
phí laø

8. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 57
653
4
)(
2
++= x
x
xC
( 1000USD)
vaø doanh thu bieân teá laø )245(
5
1
)(' xxR −=
(1000USD/saûn phaåm)
a) Tính chí phí bieân teá vaø aùp duïng chi phí bieân teá ñeå öôùc tính chi phí khi saûn xuaát
saûn phaåm thöù 7.
b) Tính lôïi nhuaän bieân teá vaø aùp duïng lôïi nhuaän bieân teá ñeå öôùc tính lôïi nhuaän khi
saûn xuaát vaø baùn saûn phaåm thöù 7.
Giải
a) Chi phí biên tế: 3
2
)(' +=
x
xC
Áp dụng chi phí biên tế ước tính chi phí sản xuất sản phẩm thứ 7 là 63
2
6
)6(' =+=C
(đơn vị1000 USD) 6000= (USD)
b) Hàm lợi nhuận: )()()( xCxRx −=
Lợi nhuận biên tế: )(')(')(' xCxRx −= = )245(
5
1
x− )3
2
(+−
x 10
9
6
x
−=
Áp dụng lợi nhuận biên tế ước tính lợi nhuận khi sản xuất và bán sản phẩm thứ
7 là =)6(' 10
69
6

− = 6,0
(đơn vị1000 USD)600= (USD )

9. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 58

§7. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ




1. Ñònh nghóa Cho haøm soá )(xfy= xaùc ñònh treân (a,b).
- Haøm soá y = f(x) taêng (ñoàng bieán) treân (a, b)  




)x(f)x(fthì xx
maø )b,a(x,x
2121
21
- Haøm soá y = f(x) giaûm (nghòch bieán) treân (a, b)  




)x(f)x(fthìxx
maø )b,a(x,x
2121
21
Ví dụ 1
a) Haøm soá xyln= laø haøm soá taêng treân ),0(+ . Haøm soá )1(log= axy
a laø haøm soá taêng
treân ),0(+ .
b) Haøm soá )1(=aay
x laø haøm soá taêng treân ),(+− . Haøm soá )10(= aay
x laø haøm
soá giaûm treân ),(+− .
c) Goïi )(xC laø chi phí töông öùng khi saûn xuaát x ñôn vò saûn phaåm. Khi ñoù, )(xC laø haøm soá
ñoàng bieán.
d) Goïi )(xR laø doanh thu töông öùng khi baùn x ñôn vò saûn phaåm. Khi ñoù, )(xR laø haøm soá
ñoàng bieán.
2. Ñònh lyù Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm treân khoaûng (a,b).

10. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 59

- Haøm soá f(x) taêng treân (a, b) neáu vaø chæ neáu y’(x)  0 ,x (a,b)
( daáu “=“ chæ ñöôïc xaûy ra taïi höõu haïn ñieåm x0  (a, b) ).
- Haøm soá f(x) giaûm treân (a, b) neáu vaø chæ neáu y’(x)  0, x (a, b)
(daáu “=” chæ ñöôïc xaûy ra taïi höõu haïn ñieåm x0  (a, b) ).
- Neáu y’(x) = 0, x (a, b) thì f(x) laø haèng soá treân khoaûng (a, b).
Ví dụ 3 Xeùt tính ñôn ñieäu caùc haøm soá
a) Haøm soá xxy ln−= treân ),1(+ .
b) Haøm soá Q(t) = )1(
rt
o
eQ
−
+ (vôùi 0,0 == constrconstQ
o ), treân ),(+− .
c) Haøm soá )(tp t
e
003,0
1
18
−
+
= treân ),0(+ .
Giaûi
a) Ñaïo haøm 0
11
1' 
−
=−=
x
x
x
y ,),1(+x . Suy ra, haøm soá xxy ln−= taêng treân ),1(+
.
b) Ñaïo haøm 0)(' −=
−rt
o
rQtQ ,),(+−t . Suy ra, haøm soá Q(t) = )1(
rt
o
eQ
−
+ laø haøm
giaûm treân ),(+− .
c) Ñaïo haøm =)('tp 0
)1(
003,018
003,0
003,0

+

=
−
−
t
t
e
e , ),0(+t . Suy ra, haøm soá t
e
tp
003,0
1
18
)(
−
+
=
taêng treân ),0(+ .
3. Ñònh nghóa Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a, b)  x0.
a) Ñieåm x0 goïi laø ñieåm cöïc ñaïi cuûa haøm soá y = f(x) neáu :
f(x) < f(x0) , x laân caän x0 vaø x  x0
Khi ñoù f(x0) goïi laø giaù trò cöïc ñaïi cuûa haøm soá vaø ñieåm M(x0; f(x0)) goïi laø ñieåm cöïc ñaïi
cuûa ñoà thò haøm soá.
b) Ñieåm x0 goïi laø ñieåm cöïc tieåu cuûa haøm soá y = f(x) neáu:
f(x) > f(x0), x laân caän x0 vaø x  x0.
Khi ñoù f(x0) goïi laø giaù trò cöïc tieåu cuûa haøm soá vaø ñieåm M(x0; f(x0)) goïi laø ñieåm cöïc
tieåu cuûa ñoà thò haøm soá.
c) Ñieåm cöïc ñaïi vaø ñieåm cöïc tieåu goïi chung laø ñieåm cöïc trò.
4. Ñònh lyù ( Điều kiện cần của cực trị)
Neáu haøm soá y= f(x) đđạt cực trị tại xo thì: hoặc hàm số không có đạo hàm tại xo, hoặc
đạo hàm y’(x0) = 0.
* Hệ quả: (Fermat)
Neáu haøm soá f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 vaø ñaït cöïc trò taïi x0 thì ñaïo haøm f’(x0) = 0

11. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 60

5. Ñònh lyù ( Điều kiện đủ của cực trị sử dụng đạo hàm cấp 1)
Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm trong khoaûng (a, b)  x0 (coù theå haøm soá khoâng coù ñaïo
haøm taïi x0 nhöng phaûi lieân tuïc taïi x0).
- Neáu khi x ñi qua x0, ñaïo haøm y’(x) ñoåi daáu töø döông (+) sang aâm(-) thì haøm soá ñaït
cöïc ñaïi taïi x0.
- Neáu khi x ñi qua x0, ñaïo haøm y’(x) ñoåi daáu töø aâm (-) sang döông (+) thì haøm soá ñaït
cöïc tieåu taïi x0.
- Neáu khi x ñi qua x0, ñaïo haøm f
’
(x) khoâng ñoåi daáu thì haøm soá khoâng ñaït cöïc trò taïi x0.
6. Ñònh lyù ( Điều kiện đủ của cực trị sử dụng đạo hàm cấp 2)
Cho haøm soá )(xfy= coù ñaïo haøm lieân tuïc ñeán caáp 2 treân khoaûng ),(ba x0 vaø 0)('=
o
xy
.
- Neáu y’’(xo) > 0 thì f(x) ñaït cöïc tieåu taïi x0.
- Neáu y’’(x0) < 0 thì f(x) ñaït cöïc ñaïi taïi x0.

12. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 61

§8.TIỆM CẬN CUÛA ÑOÀ THÒ

1. Ñònh nghóa
Cho ñoà thò (C) coù nhaùnh voâ cöïc vaø ñöôøng thaúng (D). Goïi M laø ñieåm treân (C) vaø H laø hình
chieáu cuûa M treân ñöôøng thaúng D.

(D) goïi laø tieäm caän cuûa (C)  lim
OM→ MH = 0

2. Ñònh lyù Cho (C): y = f(x).
i) Neáu lim
xx→
 f(x) =  thì (D) : x = x0 laø tieäm caän ñöùng cuûa (C).
ii) Neáu lim
x→ f(x) = y0 thì (D) : y = y0 laø tieäm caän ngang cuûa (C).
iii) Neáu fxaxbx
x
x
() ()
lim()
=++
=





→

  

 thì (D) : y = ax + b laø tieäm caän xieân cuûa (C).
iv) Neáu  




=−
=
→
→
haïn) höõu( bax)x(flim
haïn)(höõu a
x
)x(f
lim
x
x 

 thì ñöôøng thaúng (D): y= ax+b laø tieäm caän xieân cuûa
(C).
* Chuù yù 1) f(x) = Px
Q(x
()
) , vôùi P(x) , Q(x) laø hai ña thöùc
- Neáu Q(x0) = 0 vaø P(x0)  0 thì (D) : x = x0 laø tieäm caän ñöùng cuûa ñoà thò (C) : y = f(x).
- Neáu Baäc (P(x))  Baäc (Q(x)) thì (C) : y = f(x) coù tieän caän ngang.
- Neáu Baäc (Q(x)) + 1 = Baäc (P(x)) thì (C) : y = f(x) coù tieäm caän xieân.
2) (C) : y = axbxc

++ (vôùi a > 0) coù tieäm caän xieân laø (D) : y = ax
b
a
+
 .

Ví dụ 4
a) Tìm tieäm caän ngang cuûa ñoà thò haøm soá : y = 











−1
2
2
1
x
ex .
b) Tìm tieäm caän ñoà thò haøm soá: 2
2
)1ln(
x
x
y
+
= .
Giaûi

13. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 62

a) y
x→
lim =











−
→
1lim
2
2
1
x
x
ex =t
e
t
t
1
lim
0
−
+
→ =1 ( Ñaët t = 2
1
x , x→   t → 0
+
). Suy ra, tieäm caän
ngang cuûa ñoà thò haøm soá laø ñöôøng thaúng y = 1.
b) Taäp xaùc ñònh haøm soá : D=R\0
❖ Tieäm caän ñöùng: =
→
y
x0
lim 1
)1ln(
lim
2
2
0
=
+
→ x
x
x . Suy ra, ñoà thò haøm soá khoâng coù tieäm caän
ñöùng.
❖ Tieäm caän ngang: =
→
y
x
lim =
+
→
2
2
)1ln(
lim
x
x
x 0
2
1
2
lim
2
=
+
→ x
x
x
x . Suy ra, ñoà thò haøm
soá tieäm caän ngang laø ñöôøng thaúng y = 0, vaø do ñoù ñoà thò haøm soá khoâng coù tieäm caän
xieân.

14. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 63

§9.TÍNH LOÀI LOÕM VAØ ÑIEÅM UOÁN CUÛA ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ


Concave down  lõm xuống  lồi
Concave up  lõm lên  lõm
Inflection point  Điểm uốn
1. Ñònh nghóa Cho ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) vôùi x  (a, b).
a) Ñoà thò (C) goïi laø ñoà thò loài neáu moïi tieáp tuyeán cuûa (C) ñeàu ôû phía treân ñoà thò (C).
b) Ñoà thò (C) goïi laø ñoà thò loõm neáu moïi tieáp tuyeán cuûa (C) ñeàu ôû phía döôùi ñoà thò (C).
c) Ñieåm phaân chia hai cung loài, loõm keà nhau goïi laø ñieåm uoán cuûa ñoà thò.

Lưu ý Đồ thị (C) lồi  Hàm số )(xf lõm.
Đồ thị (C) lõm  Hàm số )(xf lồi. (Convex function)

15. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 64

2. Ñònh lyù
Cho haøm soá y = f(x) coù ñoà thò (C) vaø f(x) coù ñaïo haøm caáp 2 treân (a, b)  x0.
a) Neáu y’’(x) < 0, x(a, b) thì (C): y = f(x) loài treân (a,b).
b) Neáu y’’(x) > 0, x(a, b) thì (C): y = f(x) loõm treân (a, b).
c) Neáu I(x0; f(x0)) laø ñieåm uoán cuûa (C) thì y’’(x0) = 0.
d) Neáu ñaïo haøm caáp hai f (x) ñoåi daáu khi x ñi qua x0 thì ñieåm I(x0;f(x0)) laø ñieåm uoán
cuûa (C).
Ví dụ 5 Tìm caùc khoaûng loài loõm ñieåm uoán ñoà thò haøm soá x
exy )1(−=
Giaûi
Taäp xaùc ñònh haøm soá : D=R\0
Ñaïo haøm caáp moät vaø caáp hai: xxx
xeexey =−+= )1(' , x
exy )1(''+= 10)1(0'' −==+= xexy
x
10)1(0'' −+ xexy
x
10)1(0'' −+ xexy
x

Suy ra: Ñoà thò haøm soá loài treân )1;(−− , ñoà thò haøm soá loõm treân );1(+− , ñoà thò haøm soá coù
ñieåm uoán laø )
2
,1(
e
I
−
− .

16. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 65


§10.ÖÙNG DUÏNG GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT



Local maximum  Relative maximum Cực đại (địa phương)
Local minimum  Relative minimum Cực tiểu (địa phương)
Global maximum  Absolute maximum GTLN = Cực đại toàn cục
Global minimum  Absolute minimum GTNN = Cực tiểu toàn cục
 Caùch tìm GTLN, GTNN haøm soá treân moät ñoaïn[a,b]
Böôùc 1 Tính f(a), f(b)
Böôùc 2 Tìm caùc ñieåm thuoäc khoaûng (a;b) maø haøm soá khoâng coù ñaïo haøm hoaëc ñaïo
haøm baèng 0. Tính giaù trò haøm soá taïi caùc ñieåm naøy.
Böôùc 3 So saùnh caùc giaù trò coù ñöôïc ôû böôùc 1 vaø böôùc 2 ta ñöôïc GTNN, GTLN.
 Caùch tìm GTLN, GTNN haøm soá treân moät khoaûng (a;b)(nöûa khoaûng (a;b],[a;b) )
Laäp baûng bieán thieân haøm soá treân khoaûng (a;b) (nöûa khoaûng (a;b], [a;b)) roài döïa vaøo
baûng bieán thieân suy ra GTLN, GTNN.

Ví duï 1 Moät coâng ty thuûy saûn öôùc tính ñöôïc sau t ngaøy thaû nuoâi 5000 con caù vaøo
trong moät ao nuoâi sinh thaùi thì caân naëng trung bình moãi con laø t
e
tW
05,0
151
6
)(
−
+
=
(kg/con)
vaø soá löôïng caù coøn soáng (sau t ngaøy) laø t
etP
01,0
5000)(
−
=
(con)
a) Tính )(limtW
t+→ vaø öôùc tính giaù trò cuûa )(tW sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn.
b) Saûn löôïng kyø voïng (expected yield) )(tE töø vieäc thu hoaïch soá caù treân sau t ngaøy
laø toång caân naëng cuûa toaøn boä soá caù coøn soáng. Xaùc ñònh t ñeå )(tE lôùn nhaát vaø tính
giaù trò lớn nhaát ñoù.

17. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 66

c) Nêu ý nghĩa đạo hàm )(' tE .
Giaûi
a) 6
0151
6
151
6
lim)(lim
05,0
=
+
=
+
=
−
+→+→
t
tt e
tW
Sau khoảng thời gian t đủ lớn: 6)(tW (kg) 3225,10582)60ln20( E
(kg) = max
E
Vậy năng xuất lớn nhất khi 82t và max
E 3225,10582 (kg)
c) )(' tE laø toác ñoä bieán thieân tức thời saûn löôïng kyø voïng(kg/ngaøy) thôøi ñieåm t.
)(' tE laø saûn löôïng kyø voïng bieân teá vaø )]()1([)(' tEtEtE −+ .
Ví duï2 Ngöôøi ta caàn xaây döïng moät ñöôøng oáng nöôùc töø nhaø maùy nöôùc N caïnh bôø
bieån qua ñieåm M ñeán ñaûo I caùch bôø bieån moät ñoaïn 3=IH km (ñöôøng bôø bieån NH xem nhö
ñöôøng thaúng; treân ñoaïn MI ñöôøng oáng ngaàm döôùi ñaùy bieån) nhö hình veõ.

I

Bieån 3 )(km
8-x )(km x )(km
N Bôø bieån M H Bôø bieån

Chieàu daøi caùc ñoaïn: kmIH3= , kmNH8= , xMH= km , kmxNM )8(−=
Chi phí xaây döïng moãi km ñöôøng oáng nöôùc treân ñaát lieàn doïc bôø bieån (ñoaïn NM
) laø USD000,100 .
b) Hàm sản lượng kỳ vọng: )(tE = t
t
e
e
tWtP
05,0
01,0
151
30000
)()(
−
−
+
=
Đạo hàm: )('tE = 205,0
01,005,005,001,0
)151(
05,015)151(01,0
30000
t
tttt
e
eeee
−
−−−−
+
++−

= 205,0
05,001,0
)151(
]01,004,015[
30000
t
tt
e
ee
−
−−
+
−
 )('tE
= 0 8868,8160ln20 =t 82 ngày
Baûng bieán thieân

t 0 81,8868 + )('tE
+ 0 - )(tE
max
E
1875 0

18. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 67

Chi phí xaây döïng moãi km ñöôøng oáng nöôùc ngaàm döôùi bieån (ñoaïn MI ) laø USD000,200
.
a) Tính theo x toång chi phí xaây döïng ñöôøng oáng nöôùc töø nhaø maùy nöôùc N qua ñieåm
M ñeán ñaûo I.
b) Xaùc ñònh vò trí ñieåm M treân ñoaïn NH sao cho toång chi phí xaây döïng ñöôøng oáng
nöôùc töø nhaø maùy nöôùc N qua ñieåm M ñeán ñaûo I thaáp nhaát.

Giaûi
Ñoä daøi ñoaïn MI : 9
2
+x
Toång chi phí xaây döïng ñöôøng oáng nöôùc töø nhaø maùy nöôùc N qua ñieåm M ñeán ñaûo I ( ) USDxx 000,10092)8(
2
++−

Ñaët 92)8()(
2
++−= xxxf , ]8;0[x 1490208)0(
2
=++−=f
, 732982)8(
2
=+=f
Ñaïo haøm: 9
2
1)('
2
+
+−=
x
x
xf
30
9
2
10)('
2
==
+
+−= x
x
x
xf (do )0x 33893238)3( +=++−=f
 338,732,14 +Min
= 338+ taïi 3=x km
Vaäy ñieåm M treân ñoaïn NH vaø caùch H moät ñoaïn 3=x km thì toång chi phí xaây
döïng ñöôøng oáng nöôùc töø nhaø maùy nöôùc N qua ñieåm M ñeán ñaûo I thaáp nhaát vaø chi
phí thaáp nhaát laø USD000,100)338( +

Ví duï 3 Ngöôøi ta caàn xaây döïng moät ñöôøng caùp taûi ñieän töø traïm ñieän P caïnh ñöôøng
cao toác qua ñieåm K ñeán khu moû M naèm beân trong khu röøng (ñöôøng cao toác xem nhö ñöôøng
thaúng – vaø khu röøng keà beân ñöôøng cao toác) caùch ñöôøng cao toác m1200 nhö hình veõ.

M

Khu röøng

P K A ñöôøng cao toác
Chieàu daøi caùc ñoaïn: mAM1200= , mPA2000=
Chi phí xaây döïng moãi m ñöôøng caùp doïc ñöôøng cao toác (ñoaïn PK ) laø: 20 USD/m
Chi phí xaây döïng moãi m ñöôøng caùp baêng qua röøng (ñoaïn KM ) laø: 25 USD/m

19. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 68

Xaùc ñònh vò trí ñieåm K treân ñoaïn PA sao cho toång chi phí xaây döïng ñöôøng caùp töø traïm
ñieän P qua ñieåm K ñeán khu moû M thaáp nhaát.
Giaûi
Ñaët xKA= (ñôn vò tính 100 m), 200x . Suy ra xPK −=20 , 12=AM
M

144
2
+x 12 (ñôn vò: 100 m)

P x−20 K x A ñöôøng cao toác
144
2
+=xKM

Toång chi phí: )(xC = 20 )20(x− +25144
2
+x (ñôn vò tính 100 USD ) 700)0(=C
, 14440025)20( +=C 09.583 USD
Ñaïo haøm: )('xC = 144
2520
2
+
+−
x
x )('xC
= 0  16=x (loaïi nghieäm16−=x , nhaän nghieäm 16=x ) 580)16(=C
,  580)20(),16(),0(min =CCC
Toång chi phí beù nhaát: 580(ñôn vò tính 100 USD ) = USD58000 öùng vôùi x = 16
Vaäy phaûi xaây döïng ñöôøng caùp theo ñöôøng gaáp khuùc qua ñieåm K caùch traïm ñieän P m400 ,
caùch ñieåm A m1600 vaø toång chi phí beù nhaát : USD58000

Ví duï 4 Cho bieát haøm caàu theo giaù (ñôn vò tính USD) cuûa moät loaïi saûn phaåm cho bôûi =)(pD
10 000 p
e
025,0− (saûn phaåm)
a) Neáu giaù taêng %2 töø möùc 15$=p thì löôïng caàu giaûm xaáp xæ bao nhieâu saûn phaåm?
b) Tìm haøm doanh thu )(pR coù ñöôïc töø vieäc baùn q saûn phaåm ôû möùc giaù p , vaø xaùc
ñònh giaù baùn ñeå doanh thu lôùn nhaát.

Giải

a) Ñaïo haøm: 250)(' −=pD p
e
025,0− , 250)15(' −=D 15025,0−
e
Töø möùc 15$=p giaù taêng %2 neân: 02,0
15
=
p 3,0=p
Ta coù : pDD  )15(' = 250− 15025,0−
e  3,0
Vaäy löôïng caàu giaûm xaáp xæ: 250 15025,0−
e  3,0 = 375,0
75
e  546696,51 52 saûn phaåm
b) Haøm doanh thu: )()( ppDpR= =10000 p p
e
025,0−
Ñaïo haøm: =)('pR 10000 p
e
025,0− )025,01( p−
0)('=pR  40=p

20. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 69

Baûng bieán thieân
p 0 40 + )('pR
+ 0 - )(pR

e
400000
0 0

Vaäy giaù baùn ñeå doanh thu lôùn nhaát laø 40$=p .
Ví duï 5
Người ta cần sản xuất một thùng chứa
có dạng hình trụ tròn có chiều cao h, bán
kính hai đáy r (như hình vẽ) và có thể tích
V = 220 3
dm (220 lít). Chi phí để sản xuất
mặt trên, mặt xung quanh, mặt đáy lần
lượt là $12/2
dm , $10/2
dm

, $9/2
dm . Hãy
xác định kích thước của thùng chứa
(xác định r và h) để tổng chi phí sản xuất
thùng bé nhất.



r

h
r



Giaûi
220 (3
dm )

= V = hr
2
 (3
dm )  2
220
r
h

= (dm )
Chi phí saûn xuaát maët ñaùy: $92
r
Chi phí saûn xuaát maët treân: $122
r
Chi phí saûn xuaát maët xung quanh: $10rh2 r
220
20$=
Toång chi phí: C = +
2
21r r
220
20 , );0(+r
Ñaïo haøm: −=rC42' 2
220
20
r
 0'=C  −r42 2
220
20
r

= 0  3
21
2200
.

=r 2187,3  7594,6=h +=
→
+
C
x0
lim
, +=
→+
C
x
lim
Baûng bieán thieân
r
0 3
21
2200
.
 + 'C
+ 0 - C
+ +








3
21
2200

C
Vaäy kích thöôùc thuøng chöùa ñeå toång chi phí saûn xuaát beù nhaát laø

21. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 70
3
21
2200
.

=r 2187,3
(dm ) vaø 7594,6=h (dm )
Ví duï 6
Người ta cần sản xuất một hồ chứa
có dạng hình hộp chữ nhật không có
mặt trên (hở nắp-như hình vẽ), có ñaùy laø
hình chữ nhật có chiều dài bằng 2
3
lần chiều rộng (do yêu cầu về mặt thẩm mỹ)
và có thể tích 15=V lít (1 lít =13
dm ).
Chi phí nguyên liệu để sản xuất mỗi 2
dm
mặt đáy và các mặt xung quanh
là $2. Xác định kích thước của hồ (xác
định chiều rộng, chiều dài, chiều cao) để chi
phí nguyên liệu sản xuất hồ bé nhất
và tinh chi phí bé nhất đó.




h

x
x
2
3
Giaûi
Ta có =hx
2
2
3 15=V 3
dm 2
10
x
h=
Diện tích toàn phần: x
xxhxhx
50
2
3
2
3
22
2
3
22
+=++
Chi phí nguyên liệu:=)(xC (x
x
50
2
3
2
+ )2 = x
x
100
3
2
+ (USD) với );0(+x
Đạo hàm: 2
100
6)('
x
xxC −= 554,2
3
50
0
100
60)('
3
2
==−= x
x
xxC
; 72,58)
3
50
(
3 C (USD) +=
→
+
C
x0
lim
, +=
→+
C
x
lim
Baûng bieán thieân

x
0 3
3
50 + 'C
- 0 + C
+ +
72,58
minC
Vaäy kích thöôùc (xấp xỉ) của hồ ñeå toång chi phí nguyên liệu beù nhaát laø:
Chiều rộng dm55,2 ; chiều dài dm825,3 ; chiều cao dm537,1
Chi phí bé nhất: 72,58
minC (USD)

22. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 71

Ví duï 7 Moät coâng ty thuûy saûn öôùc tính ñöôïc sau t ngaøy thaû nuoâi 1000 con caù vaøo
trong moät ao nuoâi sinh thaùi thì caân naëng trung bình moãi con laø t
e
tW
05,0
151
10
)(
−
+
=
(kg/con)
vaø soá löôïng caù coøn soáng (sau t ngaøy) laø t
etP
01,0
1000)(
−
=
(con)
a) Tính )(limtW
t+→ vaø öôùc tính giaù trò cuûa )(tW sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn.
b) Saûn löôïng kyø voïng (expected yield) )(tE töø vieäc thu hoaïch soá caù treân sau t
ngaøy laø toång caân naëng cuûa toaøn boä soá caù coøn soáng. Xaùc ñònh t ñeå )(tE lôùn nhaát
vaø tính giaù trò lớn nhaát ñoù.
Giaûi
a) 10
0151
10
151
10
lim)(lim
05,0
=
+
=
+
=
−
+→+→
t
tt e
tW
Sau khoảng thời gian t đủ lớn: 10)(tW (kg)
b) Hàm sản lượng kỳ vọng: )(tE = t
t
e
e
tWtP
05,0
01,0
151
10000
)()(
−
−
+
=
Đạo hàm: )('tE = 205,0
01,005,005,001,0
)151(
05,015)151(01,0
10000
t
tttt
e
eeee
−
−−−−
+
++−

= 205,0
05,001,0
)151(
]01,004,015[
10000
t
tt
e
ee
−
−−
+
−
 )('tE
= 0 8868,8160ln20 =t 82 ngày 44,3527)60ln20( E
(kg) = max
E
Baûng bieán thieân
t 0 81,8868 + )('tE
+ 0 - )(tE
max
E
625 0
Vậy năng xuất lớn nhất khi 82t và max
E 44,3527 (kg)

BAØI TAÄP

Baøi 1 Moät nhaø saûn xuaát öôùc tính neáu saûn xuaát x ñôn vò saûn phaåm thì toång chi phí laø )(xC
USD: =)(xC 33835024
23
++− xxx
a. Xaùc ñònh möùc saûn xuaát maø chi phí bieân teá )('xC beù nhaát.
b. Xaùc ñònh möùc saûn xuaát maø chi phí trung bình =)(xA x
xC)( beù nhaát.

Baøi 2

23. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 72

Một hình trụ tròn hở nắp có thể tích V = 96 cm
3
.
Chi phí để sản xuất mặt đáy, mặt xung quanh lần
lượt là $3/cm
2
, $2/cm
2
. Hãy xác định kích thước
hình trụ (xaùc ñònh baùn kính ñaùy r vaø chieàu cao h) để tổng chi
phí saûn xuaát bé nhất.


r


h

Baøi 3 Hai nhaø maùy A, B caùch nhau 15km vaø noái vôùi nhau bôûi moät con ñöôøng thaúng. Ngöôøi
ta caàn xaây moät ngoâi nhaø taïi ñieåm H caïnh ñöôøng noái hai nhaø maùy caùch A moät ñoaïn x km nhö
hình veõ.


Quy ñònh khoâng ñöôïc xaây nhaø beân trong baùn kính 1km tính töø moãi nhaø maùy.
OÂ nhieãm do nhaø maùy A gaây ra taïi H : x
75 (ppm –Parts per million)
OÂ nhieãm do nhaø maùy B gaây ra taïi H : x−15
75 (ppm)
OÂ nhieãm do caû hai nhaø maùy gaây ra taïi H : )(xP =x
75 +x−15
75 (ppm)
Xaùc ñònh vò trí ñieåm H sao cho khi xaây nhaø taïi H thì oâ nhieãm do caû hai nhaø maùy gaây
ra thaáp nhaát.
Baøi 4 Ngöôøi ta caàn xaây döïng moät ñöôøng caùp taûi ñieän töø nhaø maùy ñieän P qua ñieåm M
ñeán khu coâng nghieäp C naèm ôû hai beân bôø cuûa moät con soâng thaúng coù beà roäng 900m
nhö hình veõ.

Chieàu daøi ñoaïn mBC3000= ; xMA= , xPM −=3000 .
Chi phí xaây döïng moãi m ñöôøng caùp treân ñaát lieàn doïc bôø soâng laø: 40 USD/m
Chi phí xaây döïng moãi m ñöôøng caùp döôùi nöôùc baêng qua soâng laø: 50 USD/m
Xaùc ñònh vò trí ñieåm M treân ñoaïn PA sao cho chi phí xaây döïng ñöôøng caùp töø nhaø maùy
ñieän P qua ñieåm M ñeán khu coâng nghieäp C thaáp nhaát.
Baøi 5 Ngöôøi ta caàn xaây döïng moät ñöôøng oáng daãn daàu töø gieáng daàu O caùch bôø bieån km3
(ñoaïnkmOA3= vaø xem nhö ñöôøng bôø bieån thaúng) qua ñieåm M ñeán nhaø maùy loïc daàu N
naèm ôû bôø bieån caùch A moät ñoaïn kmAN8= nhö hình veõ.

24. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 73


Bieát chi phí xaây döïng moãi m ñöôøng oáng treân bieån ( ñoaïn OM ) gaáp 5.1 laàn chi phí
xaây döïng moãi m ñöôøng oáng treân ñaát lieàn ( ñoaïn MN ). Xaùc ñònh vò trí ñieåm M treân
ñoaïn AN sao cho chi phí xaây döïng ñöôøng oáng daãn daàu töø gieáng daàu O qua ñieåm M
ñeán nhaø maùy loïc daàu N thaáp nhaát.

Baøi 6 Một hộp nữ trang dạng hình hộp
chữ nhật ñaùy laø hình vuoâng có thể tích V =
96 cm
3
. Chi phí để sản xuất mặt đáy, các
mặt xung quanh, mặt trên lần lượt là
$1/cm
2
, $2/cm
2
, $5/cm
2
. Hãy xác định kích
thước hình hộp để tổng chi phí bé nhất.




h

x
x
Baøi 7 Một hình trụ tròn có thể tích V = 24
cm
3
. Chi phí để sản xuất mặt đáy, mặt
xung quanh, mặt trên lần lượt là $2/cm
2
,
$2.5/cm
2
, $5/cm
2
. Hãy xác định kích thước
hình trụ để tổng chi phí saûn xuaát bé nhất.



r


h



Baøi 8 Một hình trụ tròn có thể tích V = constV
O
= . Chi phí để sản xuất hai mặt
đáy, mặt xung quanh lần lượt là $3/cm
2
, $4/cm
2
. Hãy xác định kích thước
hình trụ để tổng chi phí saûn xuaát bé nhất.
………………………………………………………………………………………………………………………………………….

§11. KHAÛO SAÙT VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ
Caùc böôùc khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) haøm soá y = f(x)
➢ Böôùc 1: Tìm taäp xaùc ñònh haøm soá. Xeùt tính chaün, leû, tuaàn hoaøn cuûa haøm soá ñeå thu
heïp mieàn caàn khaûo saùt (neáu coù).
 Haøm soá chaün coù ñoà thò ñoái xöùng qua truïc tung.
 Haøm soá leû coù ñoà thò ñoái xöùng qua goác toïa ñoä.
 Neáu f(x) laø haøm tuaàn hoaøn ta chæ caàn khaûo saùt trong moät chu kyø, caùc chu kyø
coøn laïi suy ra töø chu kyø vöøa khaûo saùt.

25. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 74

➢ Böôùc 2 Tính ñaïo haøm caáp moät. Xeùt daáu ñaïo haøm caáp 1 vaø laäp baûng bieán thieân
ñeå tìm caùc khoaûng taêng, giaûm, cöïc trò cuûa haøm soá .
➢ Böôùc 3 Tính vaø xeùt daáu ñaïo haøm caáp 2 ñeå tìm caùc khoaûng loài, loõm, ñieåm uoán cuûa
ñoà thò haøm soá.
➢ Böôùc 4 Tìm tieäm caän cuûa ñoà thò haøm soá (neáu coù).
➢ Böôùc 5
 Xaùc ñònh moät soá ñieåm ñaëc bieät cuûa ñoà thò (ñieåm cöïc trò, ñieåm uoán, giao ñieåm
cuûa ñoà thò vôùi caùc truïc toïa ñoä,.....).
 Veõ caùc tieäm caän (neáu coù). Döïa vaøo baûng bieán thieân, caùc ñieåm ñaëc bieät, tieäm
caän ñeå veõ ñoà thò.
 Chuù yù Caùc haøm ña thöùc khoâng coù tieäm caän. Neáu vieäc tính vaø xeùt daáu ñaïo haøm caáp
hai quaù phöùc taïp thì coù theå boû qua böôùc 3
 Haøm soá chaün - Haøm soá leû
Cho haøm soá y = f(x) coù mieàn xaùc ñònh D laø taäp ñoái xöùng (töùc laø neáu xD thì (-x) D).
• f(x) goïi laø haøm chaün  f(-x) = f(x), x D.
• f(x) goïi laø haøm leû  f(-x) = -f(x), x D.
BAØI TAÄP
Baøi 1 Cho haøm soá : y = ux
vx
()
()
Chöùng minh raèng neáu y’(xo) = 0 vaø v’(xo)  0 thì y(xo) = ux
vx
'()
'()

 .
Baøi 2 Tìm caùc khoaûng ñôn ñieäu vaø cöïc trò haøm soá :
a) 2
5x 6yx= − + −
b) 3
( 1) ( 2)y x x= − +
c) y = x
2
.e
-x

d) 2
ln( 6x 7)yx= − + +
e) 2
ln x
y
x
−
=
Baøi 3 Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò caùc haøm soá:
1) y = x
2
+ 
x 2) y = ln x
x
+ 3) y = lnx
x 4) y = xlnx
Baøi 4
a) Tìm tieäm caän ñöùng vaø tieäm caän ngang cuûa ñoà thò haøm soá : y = x
xln
b) Tìm tieäm caän cuûa ñoà thò haøm soá : y = x





+
x
1
eln
Baøi 5 Tìm caùc khoaûng taêng, giaûm vaø cöïc trò cuûa haøm soá : y = 3
4
4
xx
e
−
Baøi 6 (voøng ñôøi thieát bò coâng nghieäp (Useful life of a machine) - baøi toaùn thay theá thieát bò)

26. TOÁN KINH TẾ 1 …….………………… …..………………………….……………… …………………… Trang 75

Moät thieát bò coâng nghieäp sau t naêm ñöa vaøo söû duïng taïo ra toång doanh thu )(tR öùng
vôùi toång chi phí baûo trì vaø khai thaùc )(tC , thì toång lôïi nhuaän laø )()()( tCtRtP −= (Trong
kinh teá, ngöôøi ta giaû ñònh raèng khi thôøi gian söû duïng thieát bò caøng daøi (thieát bò caøng cuõ) thì chi phí baûo trì vaø
khai thaùc taêng caøng nhanh nhöng doanh thu khoâng taêng nhanh töông öùng vôùi chi phí). Khoaûng thôøi gian Tt0
maø 0)('tP vaø 0=)('TP vaø0)('tP ø vôùi t > T, goïi laø voøng ñôøi (useful life)
cuûa thieát bò. Sau thôøi ñieåm T thì toång lôïi nhuaän )(tP seõ giaûm neân thieát bò caàn ñöôïc
thanh lyù ngay tröôùc hoaëc taïi thôøi ñieåm T. Khi ñoù toång lôïi nhuaän maø thieát bò naøy taïo
ra trong suoát voøng ñôøi cuûa noù , kyù hieäu NP (net profit), laø
NP = 
=−
T
dttPPTP
0
0 )(')()(
a) Döïa vaøo giaû thieát 0)('tP ø vôùi t > T, haõy giaûi thích vì sao sau thôøi ñieåm T thì
toång lôïi nhuaän )(tP giaûm vaø thieát bò caàn thanh lyù vaø thay theá bôûi thieát bò khaùc
ngay tröôùc hoaëc taïi thôøi ñieåm T.
b) Xaùc ñònh voøng ñôøi cuûa thieát bò vaø tính NP bieát 2
86135)(' ttR −= , 2
134791)(' ttC += )/ ( naêmUSDtínhvòñôn
.