Ángulos diedros, triedros y poliedros

Ángulos Diedros

1. Ángulos Diedros, Triedros
y Poliedros
Romina de Oliveira

2. Ángulo Diedro Convexo
Dados cuatro puntos no
coplanaresA, B, C y D, se
llama ángulo diedro
convexo ABCD, de arista BC,
a la figura formada por los
puntos comunes a dos
semiplanos: el limitado por el
plano ABC que contiene al
punto D y el limitado por el
plano BCD que contiene al punto A.
Pes un punto interior, ya que pertenece al
diedro, aunque no a sus caras; mientras
que Qes un punto exterior, ya que no
pertenece al diedro.

3. Elementos
Observe la similitud entre los elementos de los
ángulos planos y los ángulos diedros:
˄
Ángulo: aob Diedro: εϕ
Vértice: o Arista: a
Lados: semirrectas oay ob Caras: semiplanos εy ϕ

4. Sección de un ángulo diedro
Se observa la sección plana o
intersección de un diedro αβ
con un plano que corta su
arista. Dicha sección es el
ángulo MNP cuyos lados
pertenecen a las caras y su
vértice a la arista.
Se llama sección de un diedro al
ángulo que determina en el
mismo un plano que corta a su
arista

5. Sección Normal
Una sección de un diedro se
llama normal cuando sus
lados son perpendiculares a la
arista
En este caso el ángulo MNP es
sección normal del diedro αβsi los
lados NM y NP son perpendiculares
a «a»
La sección normal de un diedro
se obtiene como la intersección de éste
con un plano perpendicular a la arista
CONSECUENCIA: todas las secciones
normales de un diedro son iguales

6. Amplitud de un Diedro
Se llama amplitud de un diedro a la amplitud de su
sección normal
Un diedro es congruente, mayor o menor que otro, si la
sección normal del primero es congruente, mayor o
menor que la del segundo, respectivamente

7. Diedros Consecutivos
Dos diedros son
consecutivos cuando
tienen solamente en
común la arista y una
cara.
Ej: αβy βγson
consecutivos

8. Diedros Complementarios y
Suplementarios
Diedros Complementarios Diedros Suplementarios
Dos diedros son complementarios Dos diedros son suplementarios
cuando su suma es igual a un diedro cuando su suma es igual a dos
recto. diedros rectos.
Ej: αβy γδson complementarios Ej: α´β´y γ´δ´son suplementarios
si αβ+ γδ= 1 d. R (un diedro recto) si α´β´+ γ´δ´= 2 d. R

9. Diedros Adyacentes y Opuestos por
la Arista
Diedros Adyacentes Opuestos por la Arista
Dos diedros son adyacentes cuando Dos diedros son opuestos por la arista
son consecutivos y sus cuando las caras de cada uno son los
caras no comunes son semiplanos semiplanosde las caras del otro.
opuestos.
Ej: αβy βγson adyacentes Ej: αβy α´β´son opuestos por la arista

10. Consecuencias
Si dos diedros son adyacentes,
sus secciones normales son
ángulos adyacentes
Los diedros adyacentes son
suplementarios
Los diedros opuestos por la
arista son congruentes

11. Clasificación
Diedro Recto: es igual a su adyacente Diedro Llano: tiene por
Ej: αβes recto porque αβ= α´β caras semiplanos
opuestosy sus puntos
interiores pertenecen
Diedro Agudo: es menor que un diedro a un semiespacio.
recto. Ej: γδes agudo porque γδ˂αβ
(αβ de la primer figura)
Diedro Cóncavo: es
Diedro Obtuso: es mayor que un aquel formado por los
diedro recto y menor que un llano. puntos de las caras de
Ej: εϕes obtuso porque εϕ>αβ un diedro convexo
ABC (αβ de la primer figura) ABCD y todos sus
puntosexteriores

12. Bisector de un Ángulo Diedro
Se llama bisector de un diedro al semiplano interior que lo
divide en
dos diedros congruentes
Ej: βes semiplano
bisector de α
1α
2
entonces α
1β= βα
2

13. EJERCICIO 1
Nombra dos ejemplos de:
a)Diedros agudos
b)Diedros rectos
c)Diedros obtusos
d)Diedros llanos
e)Diedros opuestos por el
vértice Datos: la figura es un ortoedro
f) Diedros adyacentes A>B (aristas)
g) Diedros complementarios α: cara anterior
no consecutivos γ: cara posterior
h) Diedros congruentes βy δ: caras laterales
π
1, π
2, ε
1, ε
2 semiplanos diagonales

14. Teorema de Thales
Si tres o más planos
paralelos son cortados
por dos o más
transversales, la razón
entre dos segmentos de la
primera es igual a la razón
entre los segmentos
correspondientes de las
restantes

15. Teorema de Thales
Si α// β// γy R, T y S son
secantes, entonces:
��´
�´�´´
=
��´
�´�´´
=
��´
�´�´´
��´
��´´
=
��´
��´´
=
��´
��´´
�´�´´
��´´
=
�´�´´
��´´
=
�´�´´
��´´

16. EJERCICIO 2
¿En qué casos puedes
asegurar que α//β//γ?
aa´=5cm
a´a´´=15cm
b´b´´=2cm
bb´=6cm
aa´´=12cm
a´a´´=8cm
bb´=6cm
b´b´´=12cm

17. EJERCICIO 3
Sea α//β//γ; R y S secantes
aa´= 2x+3cm
a´a´´= 4x-4cm
bb´= 2x-3cm
b´b´´= 2x
Halla el valor de:
a)X
b)aa´, a´a´´, bb´, b´b´´
c)Comprueba tus resultados

18. Ángulos Triedros
Dadas tres semirrectas no
coplanaresvr, vs y vtse llama
ángulo triedro a la
figura formada por los
puntos comunes a los
diedros convexos de aristas
vr, vs y vt.
Es decir, el ángulo triedro es la
interseciónde tres diedros
cuyas aristas concurren en un
punto

19. Notación
En símbolos se anota: trv.
vr, vs, vt
Abreviado: trv. rst
y se lee «triedro de vértice v
y aristas vr,vs y vt»

20. Elementos
Observe la similitud entre las definiciones y propiedades de
triángulos y triedros:
Triángulo: abc Triedro: trv. abc(v: vértice)
Vértices: a, b, c Aristas: va, vb, vc
Lados: ab, bc, ca Caras: avb, bvc, cva
Ángulos: abc, bca, cab Diedros: d. va, d. vb, d. vc

21. Propiedades
En todo triedro cada cara
es menor que la suma de
las otras dos y mayor que
su diferencia
La suma de las caras de un
triedro es menor que cuatro
rectos

22. EJERCICIO 4
Indica en qué casos los datos
pueden corresponder a las caras
de un triedro. En caso contrario
explica por qué:
a) b) c)
Áng. avb= 40° Áng. avb= 120°Áng. avb= 90°
Áng. bvc= 135°Áng. bvc= 130°Áng. bvc= 80°
Áng. cva= 25° Áng. cva= 90° Áng. cva= 190°

23. Congruencia de Triedros
Si los diedros y las caras
correspondientes de dos
diedros son congruentes,
entonces los triedros son
congruentes

24. Ángulos Poliedros
La definición de poliedro contiene a la de triedro como caso particular:
3semirrectas no coplanaresque 3 o más semirrectas no coplanares
tienen un mismo origen vdeterminan que tienen un mismo origen v
un ángulo triedro. determinan un ángulo poliedro.
Tr. v. abc áng. Poliedro v. abc… n
Vértice: v Vértice: v
Aristas: va, vb, vc Aristas: va, vb, … , vn
Caras: avb, bvc, cva Caras: avb, bvc, … , nva

25. Propiedades
Se generaliza para los ángulos poliedros las propiedades
enunciadas para los triedros:
En todo ángulo poliedro cada cara es menor que la suma
de las restantes
La suma de las caras de un ángulo poliedro es menor
que cuatro rectos

26. EJERCICIO 5
¿En qué casos los datos pueden corresponder a un poliedro
v. abcd?
a) b) c)
Áng. avb=25° Áng. avb=35° Áng. avb=90°
Áng. bvc=42° Áng. bvc=98° Áng. bvc=103°
Áng. cvd=108°Áng. cvd=103°Áng. cvd=45°
Áng. dva=41° Áng. dva=49° Áng. dva=120°

27. Secciones de un ángulo poliedro
Se llama sección plana
de un ángulo poliedro a
la intersección de un
plano y un ángulo
poliedro.
Si el plano corta a todas
las aristas del ángulo
poliedro y no pasa por el
vértice, la sección plana es
un polígono

28. Si un ángulo es
seccionado por dos
planos paralelos que
corten a sus aristas, se
obtienen dos
polígonos semejantes

29. EJERCICIO 6
Datos:
π//π´
ab=3cm bc=4cm
a´b´=4,5cm a´c´=9cm
a)Calclaacy b´c´
b)¿Qué puedes decir de
los triángulos vaby va´b´?
c) Calcula vc´siendo vc=8cm