âNgulos na circunferência

1. Prof.: Rodrigo Carvalho

2. Prof.: Rodrigo Carvalho
- CIRCUNFERÊNCIA
É o lugar geométrico de todos os pontos do plano cuja
distância a um ponto fixo(CENTRO) desse plano é igual
a uma constante positiva(RAIO).
.
O
P
.
l
r
OP = r
DEFINIÇÕES

3. Prof.: Rodrigo Carvalho
- CÍRCULO
É o lugar geométrico de todos os pontos do plano cuja
distância a um ponto fixo(CENTRO) desse plano é
menor ou igual a uma constante positiva(RAIO).
P
.
d
rO
OP = r

4. Prof.: Rodrigo Carvalho
.
O
.
P
OP : raio (r)
.
Q
QP : diâmetro (d)
r
r
d = 2r
T
S
ST : corda
V
SVT : arco
M
QMP : semi-circunferência
ELEMENTOS DE UMA
CIRCUNFERÊNCIA

5. Prof.: Rodrigo Carvalho
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E
CIRCUNFERÊNCIA
. . .
O OO
u
s
t
EXTERNA TANGENTE SECANTE
.
T
..
P Q

6. Prof.: Rodrigo Carvalho
PROPRIEDADE DA RETA
TANGENTE
Toda reta tangente a uma circunferência é
perpendicular ao seu raio no ponto de tangência.
.
O
t
T
.
r
.

7. Prof.: Rodrigo Carvalho
PROPRIEDADE DA RETA SECANTE
Se uma reta s é secante a uma circunferência de
centro O nos pontos P e Q, e sendo M o ponto
médio de PQ, então OM é perpendicular à reta s.
.
O
..
s
P Q
M...

8. Prof.: Rodrigo Carvalho
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS
CIRCUNFERÊNCIAS
.
O
.
C
INTERNAS
.
O
C.
EXTERNAS

9. Prof.: Rodrigo Carvalho
.
O
.
C
TANGENTES INTERNAMENTE
.
O
.
C
TANGENTES EXTERNAMENTE
.
O.
C SECANTES

10. Prof.: Rodrigo Carvalho

11. Prof.: Rodrigo Carvalho
Sugestão de exercícios:
CAPÍTULO 12
Questões: 401, 402, 406, 409, 412, 413 e 419.

12. Prof.: Rodrigo Carvalho

13. Prof.: Rodrigo Carvalho
ÂNGULO CENTRAL
É o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência.
O.
B
A
a
A medida do ângulo central é igual à medida do seu
arco correspondente.
AB=a

14. Prof.: Rodrigo Carvalho
ÂNGULO INSCRITO
É o ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência, e
os lados são secantes à mesma.
O.
A medida do ângulo inscrito é igual à metade da
medida do seu arco correspondente.
B
A
C
b
2
AB
=b

15. Prof.: Rodrigo Carvalho
CONSEQUÊNCIAS
I) A medida do ângulo inscrito é a metade da medida
do ângulo central de mesmo arco.
O.
ba
2
a
b=
B
A
C

16. Prof.: Rodrigo Carvalho
II) Ângulos inscritos de mesmo arco são congruentes.
.
b
g
q
qgb ==
B
A
P
O arco APB é
chamado de arco
capaz dos ângulos.
III) Todo triângulo inscrito numa semi-circunferência é
retângulo.
.
O
.
.
A mediana relativa à
hipotenusa mede a
metade da mesma.
r
r
r

17. Prof.: Rodrigo Carvalho
IV) Todo quadrilátero inscrito em uma circunferência
possui ângulos opostos suplementares.
A
B
C
D
BAD + DCB = 180º
ABC + CDA = 180º

18. Prof.: Rodrigo Carvalho
ÂNGULO DE SEGMENTO
É o ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência,
sendo um dos lados uma tangente e o outro uma
secante à mesma.
O.
t
s
A
B
a
2
AB
=a
A medida do ângulo de segmento é igual à metade da
medida do seu arco correspondente.

19. Prof.: Rodrigo Carvalho
ÂNGULO DE VÉRTICE INTERNO
É o ângulo que tem o vértice no interior da
circunferência, e os lados secantes à mesma.
.
O
A
C
B
D
.
P
x
A medida do ângulo de vértice interno é igual à
semi-soma das medidas dos seus arcos
correspondentes.
x = AB + CD
2

20. Prof.: Rodrigo Carvalho
ÂNGULO DE VÉRTICE EXTERNO
.
É o ângulo que tem o vértice no exterior da
circunferência, e os lados secantes à mesma.
O
A
C
B
D
x.
P
A medida do ângulo de vértice externo é igual à
semi-diferença das medidas dos seus arcos
correspondentes.
x = AB - CD
2

21. Prof.: Rodrigo Carvalho
Exercícios
01.

22. Prof.: Rodrigo Carvalho
02.

23. Prof.: Rodrigo Carvalho
03.

24. Prof.: Rodrigo Carvalho
04.

25. Prof.: Rodrigo Carvalho
Sugestão de exercícios:
CAPÍTULO 04
Questões: 141, 143, 144, 146, 150, 153, 155, 157, 161, 168 e
173.