Notación Sigma 1.pdf

Suma Finita de números reales

1. NOTACI´ONSIGMA

2. OBJETIVOGENERAL Emplear la notaci´on Sigma para escribir y calcular una suma.
1
Utilizar la notaci´on Sigma para abreviar una suma de n´umeros reales.
2
Aplicar las propiedades de la notaci´on sigma.
3
Utilizar las f´ormulas de la notaci´on Sigma para calcular una suma de t´erminos.

3. CONTENIDO
1
DEFINICI´ON DENOTACI´ONSIGMA
2
PROPIEDADES DE LA NOTACI´ONSIGMA
3
F´ORMULAS PARA SUMAS

4. DE FI N I C I´O N D ENOTAC I´O NSI G M A
Definici´on
La suma dent´erminosn ´umeros reales)
a1+a2+a3+···+an
se puede escribir de la forma
a1+a2+a3+···+an=
n
∑
i=1
ai
dondeairepresenta eli−´esimo t´ermino de la suma.

5. DE FI N I C I´O N D ENOTAC I´O NSI G M A
Donde
FIGURA1: ´on Sigma

6. DE FI N I C I´O N D ENOTAC I´O NSI G M A
Ejemplos 1
1
2
+2
2
+3
2
+4
2
+5
2
+6
2
=
6
∑
i=1
i
2
2
Γ
−1
3
˙
+
Γ
2
3
˙
+
Γ
−3
3
˙
+
Γ
4
3
˙
=
4
∑
i=1
(−1)
i
(i)
3
3
2
5
+
3
7
+
4
9
+
5
11
+
6
13
=
5
∑
i=1
ȷ
i+1
2i+3
ff

7. DE FI N I C I´O N D ENOTAC I´O NSI G M A
Nota
Aunque se pueden sumar una serie de t´erminos sin necesariamen-
te iniciar desde el primero. Es decir, la suma de
am+am+1+am+2+···+an
se representa de la forma
am+am+1+am+2+···+an=
n
∑
i=m
ai

8. DE FI N I C I´O N D ENOTAC I´O NSI G M A
Ejemplos 1
3
2
+4
2
+5
2
+6
2
+7
2
+8
2
=
8
∑
i=3
i
2
2
Γ
−5
3
˙
+
Γ
6
3
˙
+
Γ
−7
3
˙
+
Γ
8
3
˙
=
8
∑
i=5
(−1)
i
(i)
3
3
4
3
+
5
5
+
6
7
+
7
9
+
8
11
=
7
∑
i=3
ȷ
i+1
2i−3
ff

9. DE FI N I C I´O N D ENOTAC I´O NSI G M A
Ejercicios
Utilice la notaci´on Sigma para escribir cada una de las siguienes
sumas
11
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
2
1−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
1
5
3
√
3+
√
5+
√
7+
√
9
49
1+1
+
9
1+2
+
9
1+3
+···+
9
1+14
5
Γ
7
Γ
1
6
˙
+5
˙
+
Γ
7
Γ
2
6
˙
+5
˙
+···+
Γ
7
Γ
6
6
˙
+5
˙

10. DE FI N I C I´O N D ENOTAC I´O NSI G M A
Nota
En ocasiones es necesario utilizar diferentes valores iniciales de
´ındice para expresar una misma suma. Por ejemplo,
5+8+11+14
se puede notar as´ı:
1
5+8+11+14=
4
∑
i=1
(3i+2)
2
5+8+11+14=
5
∑
i=2
(3i−1)

11. PRO P I E DA D E S D E L ANOTAC I´O NSI G M A
Propiedades de la Notaci´on Sigma 1
n
∑
i=1
k·ai=k·
n
∑
i=1
ai
Por ejemplo,
3
∑
i=1
4
ȷ
1
i
2
+1
ff
=4
ȷ
1
2
ff
+4
ȷ
1
5
ff
+4
ȷ
1
10
ff
=4·
ȷ
1
2
+
1
5
+
1
10
ff
=4·
3
∑
i=1
ȷ
1
i
2
+1
ff

12. PRO P I E DA D E S D E L ANOTAC I´O NSI G M A
Propiedades de la Notaci´on Sigma 2
n
∑
i=1
ai±bi=
n
∑
i=1
ai±
n
∑
i=1
bi
Por ejemplo,
3
∑
i=1
ȷ
1
i
+sin(i)
ff
=
ȷ
1
1
+sin(1)
ffȷ
1
2
+sin(2)
ff
+
ȷ
1
3
+sin(3)
ff
=
ȷ
1
1
+
1
2
+
1
3
ff
+ (sin(1) +sin(2) +sin(3))
=
3
∑
i=1
ȷ
1
i
ff
+
3
∑
i=1
(sin(i))

13. PRO P I E DA D E S D E L ANOTAC I´O NSI G M A
Propiedades de la Notaci´on Sigma 3
n
∑
i=m
ai=
n
∑
i=1
ai−
m−1
∑
i=1
ai
Por ejemplo,
7
∑
i=4
Γ
i
2
˙
=4
2
+5
2
+6
2
+7
2
=
Γ
1
2
+2
2
+3
2
+4
2
+5
2
+6
2
+7
2
˙
−
Γ
1
2
+2
2
+3
2
˙
=
7
∑
i=1
i
2
−
3
∑
i=1
i
2

14. F´O R M U L A S PA R A S U M A S
F´ormulas para sumas 1
n
∑
i=1
(k) =k·n
Por ejemplo
5
∑
i=1
(3) =3·(5)
=15

15. F´O R M U L A S PA R A S U M A S
F´ormulas para sumas 2
n
∑
i=1
(i) =
n(n+1)
2
Por ejemplo
6
∑
i=1
(i) =1+2+3+4+5+6
=
6·(7)
2
=21

16. F´O R M U L A S PA R A S U M A S
F´ormulas para sumas 3
n
∑
i=1
(i
2
) =
n(n+1)(2n+1)
6
Por ejemplo
6
∑
i=1
(i
2
) =1
2
+2
2
+3
2
+4
2
+5
2
+6
2
=
6·(7)·(13)
6
=91

17. F´O R M U L A S PA R A S U M A S
F´ormulas para sumas 4
n
∑
i=1
(i
3
) =
n
2
(n+1)
2
4
Por ejemplo
6
∑
i=1
(i
3
) =1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+5
3
+6
3
=
6
2
·(7)
2
4
=441

18. F´O R M U L A S PA R A S U M A S
Ejercicios
Eval´ue cada una de las siguientes sumas usando las propiedades
y f´ormulas de la notaci´on sigma.
1
120
∑
i=1
(10)
2
10
∑
i=1
Γ
i
3
−5
˙
3
15
∑
i=1
(i)(3i+5)
4
15
∑
i=1
ȷ
i
2
125
ff
+

15
∑
i=1
i
!
2

19. F´O R M U L A S PA R A S U M A S
Ejemplo
Hallar
n
∑
i=1
ȷ
i+1
n
2
ff
paran=200.

20. F´O R M U L A S PA R A S U M A S
Soluci´on
Se usan las propiedades de la
notaci´on sigma
n
∑
i=1
ȷ
i+1
n
2
ff
=
1
n
2
n
∑
i=1
(i+1)
=
1
n
2

n
∑
i=1
i+
n
∑
i=1
1
!
−→
Se aplican las f´ormulas de
suma de la Notaci´on Sigma
=
1
n
2
ȷ
n(n+1)
2
+n
ff
=
1
n
2
ȷ
n
2
+3n
2
ff
=
n+3
2n

21. F´O R M U L A S PA R A S U M A S
Soluci´on
Se usan las propiedades de la
notaci´on sigma
n
∑
i=1
ȷ
i+1
n
2
ff
=
1
n
2
n
∑
i=1
(i+1)
=
1
n
2

n
∑
i=1
i+
n
∑
i=1
1
!
−→
Se aplican las f´ormulas de
suma de la Notaci´on Sigma
=
1
n
2
ȷ
n(n+1)
2
+n
ff
=
1
n
2
ȷ
n
2
+3n
2
ff
=
n+3
2n

22. F´O R M U L A S PA R A S U M A S
Soluci´on
Dado que
n
∑
i=1
ȷ
i+1
n
2
ff
=
n+3
2n
comon=200, se tiene
200
∑
i=1
ȷ
i+1
n
2
ff
=
200+3
2(200)
=
203
400
=0.5075

23. F´O R M U L A S PA R A S U M A S
Bibliograf´ıa
1
Stewart, J. (2012).C´alculo de una variable. Trascendentes tempranas(7.
a
ed., p. A34-A37). M´exico:
Cengage Learning.
2
Thomas, G. (2010).C´alculo 1. De una variable. (12.
a
ed., p. 256-258). M´exico: Pearson.
3
Larson, R. (2010).C´alculo 1. De una variable. (9.
a
ed., p. 259-260). M´exico: McGraw Hill.