Notación Sigma.pdf

Suma finita de números reales

1. NOTACI´ONSIGMA

2. OBJETIVOGENERAL Emplear la notaci´on Sigma para escribir y/o calcular una suma nita de n´umeros reales.OBJETIVOSESPEC´IFICOS
1
Escribir, usando la notaci´on sigma, un listado de t´erminos que se est´an sumando.
2
Aplicar las propiedades de la notaci´on Sigma para calcular una suma nita.
3
Utilizar las f´ormulas de la notaci´on Sigma para calcular una suma nita de n´umeros natu-
rales, sus cuadrados o cubos.

3. CONTENIDO
1
NOTACI´ONSIGMA
2
PROPIEDADES DE LA NOTACI´ONSIGMA

4. NOTAC I´O NSI G M A
Dado un listado ordenado denn´umero
reales (´o´erminos)
a1;a2;a3;;an
Una forma “abreviada” de escribir la
suma de esosnt´erminos
a1+a2+a3++an
es utilizando la notaci´on, la cual
se simboliza por la expresi´onå.
Es decir,
a1+a2+a3++an=
n
å
i=1
ai
Donde

5. NOTAC I´O NSI G M A
Aunque se pueden sumar una serie de t´erminos sin necesariamente iniciar desde el primero.
Es decir, la suma de
am+am+1+am+2++an
se representa de la forma
am+am+1+am+2++an=
n
å
i=m
ai

6. NOTAC I´O NSI G M A
EJEMPLO Usando la notaci´on sigma, podemos escribir de forma abreviada cada una de las siguiente sumas
n
å
i=m
f(i) =f(m) +f(m+1) +f(m+2) ++f(n1) +f(n)
5
å
i=1
i=1+2+3+4+5
6
å
i=1
i
2
=1
2
+2
2
+3
2
+4
2
+5
2
+6
2
4
å
i=1
(1)
i
(i)
3
= (1)
3
+2
3
+ (3)
3
+4
3
7
å
i=3

i+1
2i3

=
4
3
+
5
5
+
6
7
+
7
9
+
8
11

7. NOTAC I´O NSI G M A
EJERCICIO En cada una de las siguientes sumas, escriba el listado de t´erminos y posteriormente calcule el
valor num´erico que representa esta suma.
1
5
å
i=1
p
i
2
7
å
i=2
i
3 3
4
å
k=0

2k3
3k+1

4
7
å
i=1

i
2i+1

8. NOTAC I´O NSI G M A
EJERCICIO Utilice la notaci´on sigma para escribir cada una de las siguientes sumas
11
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
2
1
1
2
+
1
3

1
4
+
1
5
3
p
3+
p
5+
p
7+
p
9
49
1+1
+
9
1+2
+
9
1+3
++
9
1+14
5

7

1
6

+5

+

7

2
6

+5

++

7

6
6

+5

9. NOTAC I´O NSI G M A
En ocasiones es necesario utilizar diferentes valores iniciales de´ndice para
expresar una misma suma. Por ejemplo,
5+8+11+14
se puede notar as´:
1
4
å
i=1
(3i+2) =5+8+11+14
2
5
å
i=2
(3i1) =5+8+11+14
3
3
å
i=0
(3i+5) =5+8+11+14
4
2
å
i=1
(3i+8) =5+8+11+14

10. NOTAC I´O NSI G M A
En ocasiones es necesario utilizar diferentes valores iniciales de´ndice para
expresar una misma suma. Por ejemplo,
5+8+11+14
se puede notar as´:
1
4
å
i=1
(3i+2) =5+8+11+14
2
5
å
i=2
(3i1) =5+8+11+14
3
3
å
i=0
(3i+5) =5+8+11+14
4
2
å
i=1
(3i+8) =5+8+11+14

11. NOTAC I´O NSI G M A
En ocasiones es necesario utilizar diferentes valores iniciales de´ndice para
expresar una misma suma. Por ejemplo,
5+8+11+14
se puede notar as´:
1
4
å
i=1
(3i+2) =5+8+11+14
2
5
å
i=2
(3i1) =5+8+11+14
3
3
å
i=0
(3i+5) =5+8+11+14
4
2
å
i=1
(3i+8) =5+8+11+14

12. NOTAC I´O NSI G M A
En ocasiones es necesario utilizar diferentes valores iniciales de´ndice para
expresar una misma suma. Por ejemplo,
5+8+11+14
se puede notar as´:
1
4
å
i=1
(3i+2) =5+8+11+14
2
5
å
i=2
(3i1) =5+8+11+14
3
3
å
i=0
(3i+5) =5+8+11+14
4
2
å
i=1
(3i+8) =5+8+11+14

13. PRO P I E DA D E S D E L ANOTAC I´O NSI G M A
PROPIEDADES
1
n
å
i=1
kai=k
n
å
i=1
ai
2
n
å
i=1
(ai+bi) =
n
å
i=1
ai+
n
å
i=1
bi

14. PRO P I E DA D E S D E L ANOTAC I´O NSI G M A
PROPIEDADES
1
n
å
i=1
kai=k
n
å
i=1
ai
2
n
å
i=1
(ai+bi) =
n
å
i=1
ai+
n
å
i=1
bi

15. PRO P I E DA D E S D E L ANOTAC I´O NSI G M A
F´ORMULAS DE SUMA EMPLEANDO LA NOTACI ´ONSIGMA
1)
n
å
i=1
(1) =n
2)
n
å
i=1
c=cn
3)
n
å
i=1
i=
n(n+1)
2
4)
n
å
i=1
i
2
=
n(n+1)(2n+1)
6
5)
n
å
i=1
i
3
=
n
2
(n+1)
2
4

16. PRO P I E DA D E S D E L ANOTAC I´O NSI G M A
F´ORMULAS DE SUMA EMPLEANDO LA NOTACI ´ONSIGMA
EJEMPLO
Hallar
n
å
i=1

i+1
n
2

paran=200. Por tanto,
Usamos las propiedades de la notaci´on
sigma
n
å
i=1

i+1
n
2

=
1
n
2
n
å
i=1
(i+1)
=
1
n
2

n
å
i=1
i+
n
å
i=1
1
!
!
Aplicamos las f´ormulas de suma de la
Notaci´on Sigma
=
1
n
2

n(n+1)
2
+n

=
1
n
2

n
2
+3n
2

=
n+3
2n

17. PRO P I E DA D E S D E L ANOTAC I´O NSI G M A
F´ORMULAS DE SUMA EMPLEANDO LA NOTACI ´ONSIGMA
EJEMPLO
Hallar
n
å
i=1

i+1
n
2

paran=200. Por tanto,
Usamos las propiedades de la notaci´on
sigma
n
å
i=1

i+1
n
2

=
1
n
2
n
å
i=1
(i+1)
=
1
n
2

n
å
i=1
i+
n
å
i=1
1
!
!
Aplicamos las f´ormulas de suma de la
Notaci´on Sigma
=
1
n
2

n(n+1)
2
+n

=
1
n
2

n
2
+3n
2

=
n+3
2n

18. PRO P I E DA D E S D E L ANOTAC I´O NSI G M A
F´ORMULAS DE SUMA EMPLEANDO LA NOTACI ´ONSIGMA
EJEMPLO
Hallar
n
å
i=1

i+1
n
2

paran=200. Por tanto,
Usamos las propiedades de la notaci´on
sigma
n
å
i=1

i+1
n
2

=
1
n
2
n
å
i=1
(i+1)
=
1
n
2

n
å
i=1
i+
n
å
i=1
1
!
!
Aplicamos las f´ormulas de suma de la
Notaci´on Sigma
=
1
n
2

n(n+1)
2
+n

=
1
n
2

n
2
+3n
2

=
n+3
2n

19. PRO P I E DA D E S D E L ANOTAC I´O NSI G M A
F´ORMULAS DE SUMA EMPLEANDO LA NOTACI ´ONSIGMA
Dado que
n
å
i=1

i+1
n
2

=
n+3
2n
comon=200, se tiene
200
å
i=1

i+1
n
2

=
200+3
2(200)
=
203
400
=0:5075

20. PRO P I E DA D E S D E L ANOTAC I´O NSI G M A
EJERCICIO Eval´ue cada una de las siguientes sumas usando las propiedades y f´ormulas de la notaci´on
sigma.
1
12
å
i=1
(10)
2
24
å
i=1
(4i)
3
10
å
i=1

i
3
5

4
5
å
i=1
(i)(3i+5)
5
15
å
i=1

i
2
125

+

15
å
i=1
i
!
2
6
10
å
i=1

3i
2
+4

7

7
å
i=1
i
!
2

7
å
i=1

i
3
4

8
130
å
i=10

i
2

9
8
å
k=0
cos(2kp)
10
10
å
i=1
(2i+1)(3i2)

21. PRO P I E DA D E S D E L ANOTAC I´O NSI G M A
Bibliograf´a
1
Stewart, J. (2012).C´alculo de una variable. Trascendentes tempranas(7.
a
ed., p. A34-
A37). M´exico: Cengage Learning.
2
Thomas, G. (2010).C´alculo 1. De una variable. (12.
a
ed., p. 256-258). M´exico: Pearson.
3
Larson, R. (2010).C´alculo 1. De una variable. (9.
a
ed., p. 259-260). M´exico: McGraw
Hill.