nterpolacion-de-newton-por-diferencias-divididas

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1. Centro de Enseñanza Técnica Industrial Métodos Numéricos
Salvador Luna Hernández 9310212

Interpolación Polinomial de Newton en diferencias
divididas
Teoría
En este tema se da una posible respuesta a una situación bastante natural en el ámbito
científico. Investigamos un fenómeno que se está desarrollando ante nuestros ojos, queremos
estudiarlo, y junto con los modelos previos con que contemos, podemos tomar muestras
experimentales.
Tenemos una serie de datos a partir de mediciones sobre el mismo. [Naturalmente
hemos hecho una cantidad finita de mediciones.] Queremos extraer información de esos
datos.
En ocasiones se plantea el problema de que se conoce una tabla de valores de una
función desconocida o difícil de manejar, y nos interesaría sustituirla por otra más sencilla
(por ejemplo, un polinomio) que verifique la tabla de valores. Este es el problema de
interpolación polinomial.
Existe una gran variedad de formas alternativas para expresar una interpolación
polinomial. El polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas es entre otros
una de las formas más populares y útiles. Este método es muy algorítmico y resulta
sumamente cómodo en determinados casos, sobre todo cuando se quiere calcular un
polinomio interpolador de grado elevado.
Interpolación lineal
La forma más simple de interpolación se basa en unir dos puntos con una línea recta.
Dicha técnica se conoce como interpolación lineal.
Al usar triángulos semejantes:
??????
1
(??????)−??????(??????
0
)
??????−??????
0
=
??????(??????
1
)−??????(??????
0
)
??????
1
−??????
0

Ecuación 1.
Reordenando la ecuación se obtiene:
??????
1
(??????)=??????(??????
0
)+
??????(??????
1
)−??????
1
(??????
0
)
??????
1
−??????
0
(??????−??????
0
)
Ecuación 2.

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En la imagen de arriba se muestra la gráfica de la interpolación lineal. Las áreas en
verde indican los triángulos semejantes para obtener la fórmula de la interpolación lineal.

En general cuando menor sea el intervalo entre los datos, mejor será la aproximación.
Esto se debe al hecho de que, conforme el intervalo disminuye, una función continua estará
mejor aproximada por una línea recta.
Interpolación cuadrática
Una estrategia que mejora la aproximación es la introducir cierta curvatura en la línea
que conecta a los puntos. Si se dispone de tres datos, lo anterior se puede llevar a cabo con un
polinomio de segundo orden .Una manera conveniente para este caso es la siguiente:
f
2
(x)=b
0+b
1
(x-x
0
)+b
2
(x-x
0
)(x-x
1)
Ecuación 3.
Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los
coeficientes. Para bo, se usa la ecuación anterior con x=x0 y se obtiene.
b
0
=f(x
0
)
Ecuación 4.
Sustituyendo la ecuación 4 y 3 y evaluando en x=x1 se obtiene
b
1
=
f(x
1
)-f(x
0
)
x
1
-x
0

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Ecuación 5.
Y por último las ecuaciones 5 y 4 se sustituyen en la ecuación 3 y se evalúa está en
x=x2 y se obtiene:
b
2
=
f(x
2
)-f(x
1
)
x
2
-x
1
-
f(x
1
)-f(x
0
)
x
1
-x
0
x
2
-x
0

Ecuación 6.
Forma general de los Polinomios de Interpolación de Newton
El análisis anterior se puede generalizar en el ajuste de un polinomio de n-ésimo
orden a los n+1 puntos. El polinomio de n-ésimo orden es:
f
n
(x)=b
0
+b
1
(x-x
0
)+…+b
n
(x-x
0
)(x-x
1
)…(x-x
n-1
)
Ecuación 7
Como se hizo anteriormente con las interpolaciones lineales y cuadráticas, se usan los
puntos en la evaluación de los coeficientes b0, b1,..., bn.
Se requieren n + 1 puntos para obtener un polinomio de n-ésimo orden: x0, x1,..., xn.
Usando estos datos, con las ecuaciones siguientes se evalúan los coeficientes:
b
0
=f(x
0
)
b
1
=f(x
1,
x
0
)
b
2
=f(x
2
,x
1
,x
0
)
.
.
.
b
n
=f(x
n
,x
n-1
,…,x
0
)
En donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias divididas finitas, la
n-ésima diferencia dividida finita es:
f(x
n
,x
n-1
,…,x
0
)=
f(x
n
,x
n-1
,…,x
1
)-f(x
n-1
,x
n-2
,…,x
0
)
x
n
-x
0

Ecuación 8.

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Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes b0, b1…bn, los cuales se sustituyen en
la ecuación 7, para obtener el polinomio de interpolación:
f
n
(x)=f(x
0
)+f(x
1,
x
0
)(x-x
0
)+…+f(x
n
,x
n-1
,…,x
0
)(x-x
0
)(x-x
1
)…(x-x
n-1
)
Ecuación 9.
Al cual se le llama Polinomio de Interpolación con Diferencias Divididas de Newton.
Todas las diferencias pueden arreglarse en una tabla de diferencias divididas, en donde cada
diferencia se indica entre los elementos que la producen:
i Xi f(Xi) Primera Segunda Tercera
0 X0 f(X0) f(X1, X0) f(X2, X1, X0) f(X3, X2, X1, X0)
1 X1 f(X1) f(X2, X1) f(X3, X2, X1)
2 X2 f(X2) f(X3,X2)
3 X3 f(X3)

Tabla de diferencias divididas
Error al interpolar Polinomios de Newton:
La ecuación del Polinomio de Interpolación por Diferencias Divididas de Newton es similar a
la serie de expansión de Taylor. Se agregan términos en forma secuencial para capturar el
comportamiento de alto orden de la función a analizar.
Estos términos son diferencias divididas finitas y, así, representan aproximaciones de
derivadas de orden mayor.
Error de truncamiento:
??????
??????
=
??????
??????+1
??????
(??????+1)!
(??????
??????+1
−??????
??????
)
??????+1

Para una interpolación de n-ésimo orden, una relación análoga para el error es:
??????
??????=
??????
??????+1
??????
(??????+1)!
(??????−??????
0
)(??????−??????
1
)…(??????−??????
??????)
En donde ?????? es un punto cualquiera dentro del intervalo que contiene las incógnitas y los datos. Para
uso de esta fórmula la función en cuestión debe ser conocida y diferenciable. Y usualmente, este no es
el caso. Una formulación alternativa es el uso de la diferencia dividida para aproximar la
derivada (n+1)–ésima y que no requiere el conocimiento previo de la función.

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Una formulación alternativa es el uso de la diferencia dividida para aproximar la derivada
(n+1)–ésima y que no requiere el conocimiento previo de la función.
??????
??????
=??????[??????,??????
??????
,??????
??????−1
,…,??????
0
](??????−??????
0
)(??????−??????
1
)…(??????−??????
??????
)
Debido a que esta ecuación contiene el término f(x), no puede resolverse para el error. Si se
dispone de un dato adicional la ecuación puede usarse para estimar el error.
??????
??????
≈??????[??????,??????
??????
,??????
??????−1
,…,??????
0
](??????−??????
0
)(??????−??????
1
)…(??????−??????
??????
)

Algoritmo de interpolación de Newton:
 La ecuación obtenida de ajustar el polinomio puede desarrollarse en forma secuencial
para versiones de orden mayor con la adición de un solo término a la siguiente
ecuación de orden inferior. Al agregarse nuevos términos en forma secuencial se
puede determinar cuándo se alcanza un punto de disminución de regreso, es decir,
cuando la adición de términos de orden superior ya no mejora de manera significativa
la estimación, o en otras situaciones la aleja.
 Las diferencias divididas finitas que constituyen los coeficientes del polinomio se
pueden calcular de manera eficaz. Se usa diferencias del orden inferior para calcular
las de alto orden.
 El error estimado es simple de incorporar en un algoritmo de cómputo.
A continuación se muestra un algoritmo de interpolación de Newton escrito en pseudocódigo
Subroutine NewtInt (x,y, n, xi, yint, ea)
LOCAL fddn,n
DOFOR i=0, n
fddi,0=yi
END DO
DOFOR j=1, n
DOFOR i=0, n-j
fddi, ,j=( fddi+1, j - fddi,,j-1)/ (xi+j – xi)
END DO
END DO
Xterm=1
Yint0=fdd0,0
DOFOR order= 1, n
xterm=xterm* (xi- xorder-1)
yint2=yintorder-1 + fdd0, order * xterm
Eaorder-1=yint2-yintorder-1
yintorder=yint2
END order
END NewtInt