Numeros complejos

números complejos matemática IV

1. Números complejos Bachiller: Cairo, Jesús C.I: 28 628 841 Ing. De Sistemas PROFESOR: ALEXANDER NORIEGA

2. introducción Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777, cuando le otorgó a v-1 el nombre de i (de “imaginario”).

3. Números complejos son una extensión de los números reales y forman un cuerpo algebraicamente cerrado.1​ El conjunto de los números complejos se designa con la notación “ c ”, siendo “ r ” el conjunto de los números reales (“r” está estrictamente contenido en “C”)

4. Números Complejos Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

5. Operaciones elementales suma Para sumar dos números complejos , se suma la parte real a la parte real y la parte imaginaria a la parte imaginaria. resta Para restar dos números complejos, se resta la parte real de la parte real y la parte imaginaria de la parte imaginaria. (2 + 7 i ) + (3 – 4 i ) = (2 + 3) + (7 + (–4)) i = 5 + 3 i (9 + 5 i ) – (4 + 7 i ) = (9 – 4) + (5 – 7) i           = 5 – 2 i

6. Operaciones elementales Multiplicación Para multiplicar dos números complejos, se aplica propiedad distributiva y se combina los términos semejantes . División Para dividir dos números complejos, se multiplica el numerador y el denominador por la conjugada complejo, se desarrolla y se simplifica. Luego, se escribe la respuesta final en la forma estándar. (3 + 2 i )(5 + 6 i ) = 15 + 18 i + 10 i + 12 i 2 = 15 + 28 i – 12 = 3 + 28 i

7. Representación de numero complejos Ahora que sabemos trabajar con los números complejos y las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división, vamos a introducirnos en la representación de dichos números en el plano complejo. Para los números reales, dibujábamos una recta y los íbamos colocando ordenadamente, es decir:

8. Para representar gráficamente un número complejo, debemos dibujarlos en el plano complejo. Éste está formado por un eje real y un eje imaginario. Sobre el eje real representaremos la parte real del número complejo, mientras que en el eje imaginario representaremos la parte imaginaria. Dichos ejes los dibujaremos perpendiculares y secantes en el cero, que tiene parte real e imaginaria nula. Representación de numero complejos

9. Forma canónica o binomial La forma binómica de un número complejo es la expresión a+bi , a se llama la parte real y b la parte imaginaria. Si la parte imaginaria es nula, entonces el número es real. Por tanto, los números reales están contenidos en los números complejos. Se llaman números imaginarios puros a los que tienen parte real igual a cero.

10. Definición de inverso cada número complejo tiene su inverso aditivo -z tal que z+(- z) = 0 y cada número complejo, distinto de cero, tiene su inverso multiplicativo z -1 , tal que z·z -1 = 1.

11. Módulo de un número complejo El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: SI EL COMPLEJO ESTÁ ESCRITO EN FORMA EXPONENCIAL Z = R E IΦ , ENTONCES |Z| = R. SE PUEDE EXPRESAR EN FORMA TRIGONOMÉTRICA COMO Z = R (COSΦ + SENΦ), DONDE COSΦ + SENΦ = E IΦ ES LA CONOCIDA FÓRMULA DE EULER.

12. CONJUGADA DE UN NÚMERO COMPLEJO Dos números complejos son conjugados si tienen el mismo módulo y opuestos sus argumentos.

13. Desigualdad triangular Este resultado ha sido generalizado a otros contextos más sofisticados como espacios vectoriales. Definido matemáticamente, cualquier triángulo cumple la siguiente propiedad:

14. Forma polar de un número complejo La forma polar de un número complejo es otra forma de representar un número complejo. La forma z = a + bi es llamada la forma coordenada rectangular de un número complejo. EL EJE HORIZONTAL ES EL EJE REAL Y EL EJE VERTICAL ES EL EJE IMAGINARIO. ENCONTRAMOS LOS COMPONENTES REALES Y COMPLEJOS EN TÉRMINOS DE R Y Θ DONDE R ES LA LONGITUD DEL VECTOR Y Θ ES EL ÁNGULO HECHO CON EL EJE REAL.

15. Teorema de Moivre La fórmula de De Moivre , nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que : (cos x + i sin x ) n = cos( nx ) + i sin( nx ) Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (“ i ” significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión " cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.

16. Raíces de un número complejo Sean n un número natural y z un complejo, siendo |z| y θ el módulo y el argumento de z, respectivamente. Las raíces n- ésimas de z (o raíces de orden n) son:

17. Raíces de un número complejo Observamos que hay n raíces y, si las elevamos a n, tenemos z :

18. Raíces de un número complejo Para pasar a la forma binómica , aplicamos la fórmula de Euler:

19. Conclusión Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilita el cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además, los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

20. Citas electrónicas Números Complejos (2020 ) Recuperado de https:// es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo#Representaci%C3%B3n_polar Sangaku S.L. (2020) Representación de números complejos en el plano. sangakoo.com . Recuperado de https:// www.sangakoo.com/es/temas/representacion-de-numeros-complejos-en-el-plano Operaciones con números complejos (2020 ) Recuperado de https:// www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/operations-with-complex-numbers Santiago G. (2004) Forma canónica de un número complejo . http:// recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/numeros_complejos_sgb/complejos1_sg.htm Números complejos iguales , conjugados , opuestos e inversos (2020) Recuperado de https:// www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/complejos/numeros-complejos-iguales-conjugados-opuestos-e-inversos.html#tema_numeros-complejos-conjugados Desigualdad triangular (2019 ) Recuperado de https:// es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_triangular Forma polar de un número complejo (2020) Recuperado de https:// www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/polar-form-of-a-complex-number Fórmula de De Moivre (2020) Recuperado de https:// es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_De_Moivre Raíces enésimas de números complejos (2020) Recuperado de https:// www.matesfacil.com/BAC/complejos/raices/raices-n-esimas-numeros-complejos-imaginarios-poligono-regular-argumento-modulo-ejemplos.html