NUMEROS COMPLEJOS

NÚMEROS COMPLEJOS - MATEMATICA IV

1. MATEMÁTICA IV
NÚMEROS COMPLEJOS
Alumna:
THAYS YOSELIN HURTADO ESPINOZA
C.I.: V.-17.748.086
MAYO 2020

2. ESQUEMA GENERAL
1.Conceptodenúmeroscomplejosyoperacioneselementales.
2.Representarlosnúmeroscomplejos
3.Formacanónica.Gráfica.
4.Definicióndeinversa,móduloycomplejoconjugadas.
5.Desigualdadtriangular,formapolardeunnúmerocomplejo,teoremadeMoivre
Exponenciaciónyraícesdenúmeroscomplejos.
Contenido

3. INTRODUCCIÓN
Enlapresentaciónseestarátocandoelsiguientetema:númeroscomplejos.Estetema
apesardesercomplejo,abarcaointegralatrigonometría,algebraylageometría.Los
númeroscomplejossonutilizadosenvarioscamposdelasmatemática,física,enla
ingeniería,conmasímpetuenlaelectrónicaylastelecomunicaciones.
Losnúmeroscomplejossurgencuandosequiereresolverecuacionesalgebraicasenlas
quehaynecesidaddecalcularraícescuadradasdenúmerosnegativos,estosnúmerosse
puedensuma,resta,multiplicarydividir.Losnúmeroscomplejosreflejanaspectoscomo
transformacionesylosmovimientosdeplano.
Contenido

4. 1.Conceptodenúmeroscomplejosy
operacioneselementales.
Losnúmeroscomplejossonaquellosque
resultandelasumadeunnúmerorealyun
numeroimaginario;entendiéndosecomo
númeroreal,aquelquepuedeexpresarse
deformaentera(s,10,300,etc.)odecimal
(2,24;3,10;etc.),mientrasqueel
imaginarioesaquelnúmerocuyocuadrado
esnegativo.
Losnúmeroscomplejossonmuy
utilizadosenelálgebrayenelanálisis.hora
bien,estosnúmerosquenosocupan
formanunconjuntodecifrasqueresultante
sumasentreunnúmerorealyotro
imaginario.Entanto,unnúmerorealserá
aquelquepodráexpresarseatravésdeun
númeroentero,oensudefectodeuno
decimal.
Mientrastantoelnúmeroimaginario
seráaquelcuyocuadradoresultaser
negativo.
Contenido

5. 1.Conceptodenúmeroscomplejosyoperacioneselementales:EjemplosdeNúmeros
Complejos
SumadeNúmerosComplejos:(-3+3i)+(7-2i)
−3+3i+7–2i=−3+7+3i–2i
Reacomodalassumasparajuntarlostérminossemejantes.
Respuesta
−3+7=4y3i–2i=(3–2)i=i
Signosiguale(-,-y+,+)sesuman,signosdiferentesserestan
(+,-y-,+)
Respuesta:
(−3+3i)+(7–2i)=4+i
Combinalostérminossemejantes.
Contenido

6. 1.Conceptodenúmeroscomplejosyoperacioneselementales:EjemplosdeNúmeros
Complejos
RestadeNúmerosComplejos:(−3+3i)–(7–2i)
(−3+3i)–(7–2i)=−3+3i–7+2i
Asegúratededistribuirelsignoderestaatodoslostérminosdelsustraendo.
−3–7+3i+2i
Reacomodalassumasparajuntarlostérminossemejantes.
Respuesta:
−3–7=−10y3i+2i=(3+2)i=5i
(−3+3i)–(7–2i)=-10+5i
Combinalostérminossemejantes.
Contenido

7. 1.Conceptodenúmeroscomplejosyoperacioneselementales:EjemplosdeNúmeros
Complejos
MultiplicacióndeNúmerosComplejos:(3i)(2i)
(3i)(2i)=(3)(2)(i)(i)=6i
2
Multiplicaloscoeficientesdeiyluegomultiplicaipori.
Reemplazai
2
=–1.
6i
2
=6(−1)
6(−1)=−6
Respuesta
(3i)(2i)=−6
Contenido

8. 2.Representarlosnúmeroscomplejos.
RepresentaciónBinómica:
Laformabinómicadeunnúmerocomplejoeslaexpresióna+bi,asellamalapartereal
yblaparteimaginaria.
Silaparteimaginariaesnula,entonceselnúmeroesreal.Portanto,losnúmerosreales
estáncontenidosenlosnúmeroscomplejos.Sellamannúmerosimaginariospurosalos
quetienenparterealigualacero.
Laparterealdelnúmerocomplejoylaparteimaginaria,sepuedenexpresardevarias
maneras,comosemuestraacontinuación:
Contenido

9. 2.Representarlosnúmeroscomplejos.
RepresentaciónPolar:
Laformapolardeunnúmerocomplejoesotraformaderepresentarunnúmero
complejo.Laformaz=a+biesllamadalaformacoordenadarectangulardeunnúmero
complejo
Elejehorizontaleselejerealyelejeverticaleselejeimaginario.Encontramoslos
componentesrealesycomplejosentérminosderydondereslalongituddelvectoryθes
elángulohechoconelejereal.
Contenido

10. 2.Representarlosnúmeroscomplejos.
RepresentaciónExponencial:
TambiénconocidacomoEuleresampliamenteusadoenlaramadelCálculo,ytieneun
papelmuyimportanteenelcrecimientoexponencialyporlotantoenprocesosdela
naturalezaydelavidacotidiana.
Contenido

11. 2.Representarlosnúmeroscomplejos.
RepresentaciónTrigonométrica:
Laformatrigonométricadelcomplejoz=a+biz=a+bies:
Cuandotenemosuncomplejoescritoenformatrigonométrica,yalotenemoscasien
formabinómica.Faltacalcularelsenoyelcosenodelargumentoymultiplicarporel
módulo.
Contenido

12. 2.Representarlosnúmeroscomplejos:DiagramadeArgand
Elconceptodeplanocomplejopermiteinterpretargeométricamentelosnúmeros
complejos.Lasumadenúmeroscomplejossepuederelacionarconlasumaconvectores,
ylamultiplicacióndenúmeroscomplejospuedeexpresarsesimplementeusando
coordenadaspolares,dondelamagnituddelproductoeselproductodelasmagnitudesde
lostérminos,yelángulocontadodesdeelejerealdelproductoeslasumadelosángulos
delostérminospudiendoservistacomolatransformacióndelvectorquerotaycambiasu
tamañosimultáneamente.
Contenido

13. 2.Representarlosnúmeroscomplejos:DiagramadeArgand
LosdiagramasdeArgandseusanfrecuentementeparamostrarlasposicionesdelos
polosyloscerosdeunafunciónenelplanocomplejo.Elanálisiscomplejo,lateoríadelas
funcionescomplejas,esunadelasáreasmásricasdelamatemática,queencuentra
aplicaciónenmuchasotrasáreasdelamatemáticaasícomoenfísica,electrónicay
muchosotroscampos.
Multiplicarcualquiercomplejoporicorrespondeconunarotaciónde90ºendirección
contrariaalasagujasdelreloj.Asimismoelque(-1)·(-1)=+1puedeserentendido
geométricamentecomolacombinacióndedosrotacionesde180º(ialcuadrado=-1),
dandocomoresultadouncambiodesignoalcompletarunavuelta.
Contenido

14. 2.Representarlosnúmeroscomplejos:AlgunosEjemplos
Determinarlaparterealylaparteimaginariadelossiguientesnúmeroscomplejos:
Contenido

15. 2.Representarlosnúmeroscomplejos:AlgunosEjemplos
Representarlossiguientesnúmerosimaginarios:
Contenido
Representacióndelcomplejoz=1+2iz=1+2i:Representacióndelcomplejow=3−iw=3−i:

16. 3.Formacanónica.Gráfica.
Eladjetivocanónicoseusaconfrecuenciaenmatemáticaparaindicarquealgoes
natural,comodebesereindependientedeeleccionesarbitrarias,queesabsolutoyno
relativoaunobservador,queesintrínsecoynodependedeunsistemadereferenciaode
unsistemadecoordenadas,quepertenecealaestructurapropiadeloqueestudiamos.
Decirdealgoqueescanónicoesdecirquenoesarbitrario,quetodoscoincidimosen
ellosilomiramosconatención.Aunquesiempreseuseensentidoimpreciso,esun
conceptocentralenmatemáticas,cienciaqueaspiraadesentrañarconrigorloquese
entiendeporcanónicoyasacaralaluztodoloqueescanónico.
Contenido

17. 3.Formacanónica.Gráfica.
Enformacanónica(oformaexponencial),unnúmerocomplejoes
z = r · e
iφ
Explicación
Enlaformatrigonométricaunnúmerocomplejoserepresentacon
z = r (φ + i sin φ)
SustitucióndelafórmuladeEulere
iφ
=cosφ+isinφdeducen
z = r · e
iφ
Ejemplo1
Enformacanónicaelnúmerocomplejoz=1+isededucen
Contenido

18. 3.Formacanónica.Gráfica.
FORMACANONICA:(a,b),aeslaparterealyb
eslaparteimaginaria.
NUMEROREAL:(a,0).
IMAGINARIOPURO:(0,b).
Uncomplejoestacompuestoporunapartereal
yunaimaginaria.
NUMEROCOMPLEJO:(a,0)+(0,b).
-Todocomplejoestarepresentadoporunpunto
delplanodeArgand,oplanocartesiano.
-Todocomplejoseasociaaunvectorenelplano,
cuyascomponentessonayb.
-Todocomplejoquedadefinidoporsumoduloy
dirección.
-Elmodulocorrespondealamedidadelvector
expresadoenunidadesdelongituddelplano.
-Ladireccióndelcomplejocorrespondealángulo
queformaelvectorconelejepositivodelas
componentesreales.
Contenido

19. 3.Formacanónica.Gráfica.
Ejemplo
-Parordenado(-4,-5)sepuedeexpresarensu
formacanónicao
biónicacomoz=-4-5ientonces(-4,-5)=-4–5i
-Suformagraficaes:
Contenido

20. 3.Formacanónica.Gráfica:Aplicaciones
Solucionesdeecuacionespolinómicas:
Unaraízouncerodelpolinomiopes
uncomplejoztalquep(z)=0.Unresultado
importantedeestadefiniciónesque
todaslasecuacionespolinómicas
(algebraicas)degradotienenexactamente
nsolucionesenelcuerpodelosnúmeros
complejos,estoes,tieneexactamenten
complejoszquecumplenlaigualdad
p(z)=0,contadosconsusrespectivas
multiplicidades.
Contenido
Variablecomplejaoanálisiscomplejo
Alestudiodelasfuncionesdevariable
complejaseloconocecomoelAnálisis
complejo.Tieneunagrancantidaddeusos
comoherramientadematemáticasaplicadas
asícomoenotrasramasdelasmatemáticas.El
análisiscomplejoproveealgunasimportantes
herramientasparalademostraciónde
teoremasinclusoenteoríadenúmeros;
mientrasquelasfuncionesrealesdevariable
real,necesitandeunplanocartesianoparaser
representadas.

21. 4.Definicióndeinversa,móduloycomplejo
conjugadas.
Módulo
Sedefineelmódulodeunnúmerocomplejocomoel
módulodelvectorquelorepresenta,esdecir,siz=x+
iyentonceselmódulodeZes
Conjugado
Elconjugadodeunnúmerocomplejosedefinecomo
susimétricorespectodelejereal,esdecir,siz=x+iy
entonceselconjugadodeZes
Contenido

22. 4.Definicióndeinversa,móduloycomplejo
conjugadas.Propiedades
Elconjuntoℂdelosnúmeroscomplejossatisfacelas
leyesdelaaxiomáticaquedefineuncuerpo:
•Propiedadconmutativa:z+w=w+z;zw=wz.
•Propiedadasociativa:v+(w+z)=(v+w)+z;v(wz)=(vw)z
•Propiedaddistributiva:v(w+z)=vw+vz;(w+z)v=
wv+zv
Inversos:cadanúmerocomplejotienesuinversoaditivo
-ztalquez+(-z)=0ycadanúmerocomplejo,distintode
cero,tienesuinversomultiplicativoz-1,talquez·z-1=
1.9
Siidentificamoselnúmerorealaconelcomplejo(a,
0),elcuerpodelosnúmerosrealesRaparececomoun
subcuerpodeC.Másaún,Cformaunespaciovectorial
dedimensión2sobrelosreales.Loscomplejosno
puedenserordenadoscomo,porejemplo,losnúmeros
reales,porloqueCnopuedeserconvertidodeninguna
maneraenuncuerpoordenado.
Contenido

23. 5.Desigualdadtriangular,formapolardeunnúmero
complejo,teoremadeMoivre.Exponenciaciónyraíces
denúmeroscomplejos.
Ladesigualdadtriangularodesigualdadde
Minkowskiesunteoremadegeometríaeuclidianaque
establece:Esteresultadohasidogeneralizadoaotros
contextosmássofisticadoscomoespaciosvectoriales.
Entodotriángulolasumadelaslongitudesdedos
ladoscualquieraessiempremayoralalongituddellado
restante.
Estehechoesunaconsecuenciadeotroteoremade
lageometríaplanaclásicaqueafirmaqueladistancia
máscortaentredospuntoseslalínearecta.
Contenido

24. 5.Desigualdadtriangular,formapolarde
unnúmerocomplejo,teoremadeMoivre.
Exponenciaciónyraícesdenúmeros
complejos.
LafórmuladeDeMoivre,nombradaasí
porAbrahamMoivreafirmaquepara
cualquiernúmerocomplejo(yenparticular,
paracualquiernúmeroreal)xypara
cualquierenteronseverificaque:
Estafórmulaesimportanteporque
conectaalosnúmeroscomplejos(isignifica
unidadimaginaria)conlatrigonometría.La
expresión"cosx+isenx"avecesse
abreviacomocisx.
Contenido

25. 5.Desigualdadtriangular,formapolardeunnúmero
complejo,teoremadeMoivre.Exponenciaciónyraíces
denúmeroscomplejos.
RaícesdeunnúmerocomplejoParahallarlasraíces
deunnúmerocomplejose
aplicalafórmuladeMoivre,teniendoencuentaque
paraquedoscomplejoscoincidanhandetenerel
mismomóduloyladiferenciadesusargumentoshade
serunmúltiploenterode360º.SeaRaunnúmero
complejoyconsidéreseotrocomplejoR'a',talque
Ra = (R' a' ) n = ((R' )n )n a‘
Aunqueestopareceaportarunainfinidadde
soluciones,nótesequesiakselesumaunmúltiplode
n,aldividirelnuevoargumento,ésteaparece
incrementadoenunnúmeroenterodecircunferencias.
Portanto,bastacondaraklosvalores1,2,3,...,n-1,
loquedauntotalden-1raíces,quejuntoak=0da
untotaldenraíces.
Contenido

26. CONCLUSIÓN
LaintroduccióndelosnúmeroscomplejostienegranimportanciaenlaMatemática,ya
queteproporcionaherramientasdetrabajopararesolverecuacionesquenotenían
solucióneneldominiodelosnúmerosreales.Tambiéntepermiteresolverejercicios
utilizandolossímbolosyaestudiadosparalosconjuntosnuméricos.Comohaspodido
apreciar,laadiciónysustraccióndenúmeroscomplejosesmuysimilaracomolohacesen
eltrabajoconvariables,soloqueenlugardeunavariable,encuentraslaunidad
imaginaria.

27. BIBLIOGRAFÍA
MarioHernández(2011)ensayonúmeros complejos.Disponible:
https://es.scribd.com/doc/66197935/ensayo-de-los-Numeros-complejos
Juancanosmorales(2016)ensayonúmeroscomplejos.Disponible:
https://www.academia.edu/32257280/Ensayo_N%C3%BAmeros_Complejos
Yúnior castilloSilverio(2012) los números complejos.
Disponible:https://www.monografias.com/trabajos107/numeroscomplejostrigonometria/
numeros-complejos-trigonometria.shtml
Ricardo Fernández (2018) números complejos. Disponible:
https://html.rincondelvago.com/numeros-complejos_5.html
JuliánPérez(2012)Modulo.Disponibles:https://definicion.de/modulo/

28. Final
Final…
NÚMEROS COMPLEJOS