Numeros reales

Trabajo Elaborado con miras hacia el conocimiento de números releas, y mayor compresión de los mismos, al desarrollo de formulas para la realizacion de la misma

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para La Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial de Lara "Andrés Eloy Blanco"








Números Reales








Elvis Montes
Cedula: 23.553.841
Contaduría Pública

2. Un conjunto o colección lo forman unos elementos de la misma naturaleza, es
decir, elementos diferenciados entre sí pero que poseen en común ciertas
propiedades o características, y que pueden tener entre ellos, o con los
elementos de otros conjuntos, ciertas relaciones.
Operaciones con conjuntos.
Unión o reunión de conjuntos.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro
conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que
se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los
conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con
todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa
para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos
diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los
conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la
operación de unión.
Ejemplo 1.


Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos
conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:


También se puede graficar del siguiente modo:

3. Ejemplo 2.


Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos
conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría
lo siguiente:


Ejemplo 3.


Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes
que juegan básquet}, la unión será F∪B={x/x estudiantes que juegan fútbol o
básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:


Ejemplo 4.


Dados los dos conjuntos A={3, 5, 6, 7} y B={5,6}, en donde B está incluido en
A, la unión será AUB={3,5,6,7}. Usando diagramas de Venn se tendría

4. Intersección de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos
comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la
de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A
y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B,
será excluido. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección
es el siguiente: ∩.
Ejemplo 1.


Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos
conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:


Ejemplo 2.


Dados dos conjuntos A={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x
estudiantes que juegan básquet}, la intersección será F∩B={x/x estudiantes
que juegan fútbol y básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:

5. Diferencia de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos
conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que
pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B,
la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los
elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta
operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el
siguiente: -.
Ejemplo 1.


Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos
conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:


Ejemplo 2.


Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos
conjuntos será B-A={6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:

6. Ejemplo 3.


Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes
que juegan básquet}, la diferencia de F con B, será F-B={x/x estudiantes que
sólo juegan fútbol}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:


Ejemplo 4.


Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes
que juegan básquet}, la diferencia de B con F, será B-F={x/x estudiantes que
sólo juegan básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:


Diferencia de simétrica de conjuntos.

7. Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos
conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no
sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la
diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los
conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia
simétrica es el siguiente: △.
Ejemplo 1.


Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de
estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:


Ejemplo 2.


Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes
que juegan básquet}, la diferencia simétrica será F △ B={x/x estudiantes que
sólo juegan fútbol y básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:


Complemento de un conjunto.
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos
del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir
dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el
conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del
conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al

8. conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con
un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el el
conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.
Ejemplo 1.


Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el
conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:


Ejemplo 2.


Dado el conjunto Universal U={x/x estudiantes de un colegio} y el conjunto
V={x/x estudiantes que juegan voley}, el conjunto V' estará formado por los
siguientes elementos V'={x/x estudiantes que no juegan voley}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente

Números Reales
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en
la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros,
racionales e irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito
y más infinito y podemos representarlo en la recta real.

9. Los números reales son todos los números que encontramos más
frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de manera
accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.
Los números reales se representan mediante la letra R ↓

Dominio de los números reales
Entonces, tal y como hemos dicho, los números reales son los números
comprendidos entre los extremos infinitos. Es decir, no incluiremos estos
infinitos en el conjunto.
Dominio de los números reales.
Números reales en la recta real
Esta recta recibe el nombre de recta real dado que podemos representar en
ella todos los números reales.
Línea real.
Clasificación de los números reales
Tal y como hemos visto, los números reales pueden clasificarse entre números
naturales, enteros, racionales e irracionales.
 Números naturales
Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de
pequeños. Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto que se
especifique lo contrario (cero neutral).
Expresión:

10.  Números enteros
Los números enteros son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y
todos los números negativos.
Expresión:

Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números enteros.

 Números racionales
Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los
números enteros y naturales. Entendemos las fracciones como cocientes de
números enteros.
Expresión:

11.  Números irracionales
Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni
de manera exacta ni de manera periódica.
Expresión:

Ejemplos de números reales
En el siguiente ejemplo sobre los números reales, comprueba que los
siguientes números corresponden a punto en la recta real.
 Números naturales: 1,2,3,4…
 Números enteros: …,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4…
 Números racionales: cualquier fracción de números enteros.
 Números irracionales:

Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden
existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de los
signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤,
así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores
distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta
índole, se emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores
desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas
que emplean:

12.  mayor que >
 Menor que <
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no
es igual.
Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:
 Menor que <
 Mayor que >
Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.
En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥
Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien,
amplias”.
La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos
miembros. El miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el
miembro de la derecha, al lado derecho del signo de igualdad. Veamos el
ejemplo siguiente:
3x + 3 < 9
La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad
de las expresiones.
Propiedades de la desigualdad matemática
 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la
desigualdad se mantiene.
 Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la
desigualdad se mantiene.
 Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la
desigualdad se mantiene.
 Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la
desigualdad se mantiene.

13. Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también
las siguientes propiedades:
 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número
negativo, la desigualdad cambia de sentido.
 Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la
desigualdad cambia de sentido.
Para terminar, hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación
son diferentes. Una inecuación se genera mediante una desigualdad, pero
podría no tener solución o ser incongruente. Sin embargo, una desigualdad
podría no ser una inecuación. Por ejemplo
3 < 5
Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una
inecuación puesto que no tiene incógnitas.
Valor Absoluto
El valor absoluto representa la distancia desde el origen o cero de una recta
numérica hasta un número o un punto. Geométricamente los valores absolutos
de |x| son números reales de x y es un valor geométrico sin tener en cuenta su
signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 5 es el valor
absoluto de +5 y de -5. Los valores absolutos están representados por dos
líneas verticales, tales como |x| (el cual se lee como módulo de x).
El valor absoluto se representa como |A| , donde A es el número cuyo
valor absoluto tiene que ser determinado.
DEFINICIÓN
El valor absoluto se define como:
 |x| = x si x ≥ 0
 |x| = -x si x < 0
DEFINICIONES EQUIVALENTES

14. Si a es un número real, su valor absoluto es un número real no negativo
definido de las dos siguientes maneras:
 |x| = √(x
2
)
 |x| es igual al máximo de { x, -x }
PROPIEDADES
PROPIEDADES FUNDAMENTALES
 |x| > 0 No negatividad
 |x| = 0 ↔ x = 0 Definición positiva
 |x∙y| = |x|∙|y| Propiedad multiplicativa
 |x + y| ≤ |x| + |y| Desigualdad triangular
OTRAS PROPIEDADES
 |-x| = |x| Simetría
 |a – b| = 0 ↔ a = b Identidad de indiscernibles
 |a – b| ≤ |a – c| + |c – b| Desigualdad triangular
 |a – b| ≥ |(|a| – |b|)| (equivalente a la propiedad aditiva)
 |x ÷ y|= |x| ÷ |y| si b ≠ 0 Preservación de la división (equivalente
a la propiedad multiplicativa)
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL
Para todos los números reales los valores absolutos “x” satisfacen las
siguientes condiciones:
 |x| = x ; si x ≥ 0
 |x| = -x ; si x < 0
En una recta numérica, las representaciones de los valores absolutos de un
número real es la distancia entre número y el cero u origen. Por ejemplo, |3| es
la distancia de tres unidades al cero.

15. Tanto 3 y -3 son las distancias de dos unidades desde el cero. |3| = |-3| = 3. En
matemática, la medición de cualquier distancia siempre es un valor no
negativo.
El valor absoluto de un número real x, es siempre positivo o cero, pero
nunca negativo.
DESIGUALDADES CON UN VALOR ABSOLUTO
Resolución usando propiedades del valor absoluto


Desigualdades con un solo valor absoluto y la variable sólo en el argumento del
valor absoluto


Ejemplos
| 3x+2 | >5
| 5x-4 | ≤ 7


Estas desigualdades o inecuaciones son resueltas de manera muy sencilla al
aplicar las siguientes propiedades del valor absoluto. Ellas las recordamos de
la interpretación geométrica del valor absoluto.

Proposición Para c>0 tenemos

1 |expresio´n|<c es equivalente a −c<expresio´n<c.

2 |expresio´n|>c es equivalente a expresio´n<−c o expresio´n>c

Se tiene una proposición similar para desigualdades con valor absoluto no
estrictas, ≤ y ≥ .

Así que para resolver una desigualdad con valor absoluto del lado izquierdo y
una constante positiva en el otro miembro, solo hay que identificar con alguna
de las dos formas, aplicar la equivalencia, resolver las desigualdades de la
equivalencia para pasar a determinar el conjunto solución de la desigualdad en
base a la condición de la equivalencia. Veamos algunos ejemplos.

16. Ejemplo Resolver la desigualdad | 5x-4 | ≤ 7. Hacer la gráfica del conjunto
solución.

* Despejar la expresión con valor absoluto en el miembro izquierdo e identificar
con alguna de las formas de la proposición.
Paso 1 El valor absoluto ya está despejado. Tiene la forma 1 de la proposición
* Aplicar la equivalencia
Paso 2 La desigualdad es equivalente a
−7≤5x−4≤7
* Encontrar el conjunto solución a través de la equivalencia
Paso 3 Se tiene una desigualdad doble, equivalente a dos desigualdades. Se
resuelven de manera simultánea. Lo que se hace a un miembro se les hace a
los otros dos miembros hasta aislar la x en el miembro del medio.
−7 ≤ 5x – 4 ≤ 7
-7+ 4 ≤ 5x-4+4 ≤7+4 sumar 4 a cada miembro
-3 ≤ 5x ≤ 11
-3/5 ≤ 5x/5 ≤11/5 dividir entre 5
-3/5 ≤ x≤ 11/5
*Establecer el conjunto solución por intervalos y representarlo gráficamente.
Paso 4 El conjunto solución es {x|−3/5≤x≤11/5}, es decir las x en el
intervalo [−3/5,11/5]. Su representación gráfica
es


Ejemplo Resolver la desigualdad | 2x+1 | >3. Hacer la gráfica del conjunto
solución.

* Despejar la expresión con valor absoluto en el miembro izquierdo e identificar
con alguna de las formas de la proposición.

17. Paso 1 El valor absoluto ya está despejado. Tiene la forma 2 de la
proposición: |expresión|>c, con c positivo.
* Aplicar la equivalencia
Paso 2 La desigualdad es equivalente a
2x+1<−3 o 2x+1>3

* Encontrar el conjunto solución a través de la equivalencia
2x+1<−3 o 2x+1>3 restar 1 a cada miembro
2x+1-1<-3-1 o 2x+1-1>3-1
2x<-4 o 2x>2 dividir entre 2
x<-2 o x>2
Establecer el conjunto solución por intervalos y representarlo gráficamente.
Paso 4 El conjunto solución es {x|x<−2ox>2}. Expresamos el conjunto en la
notación de intervalos usando el símbolo ∪.
(−∞,−2)∪(2,∞)
Su representación gráfica es