O projeto-logicista-de-gottlob-frege

Lógica

1. O PROJETO LOGICISTA DE GOTTLOB FREGE


Fernando Raul Neto
1


I
Em 1902 Frege estava com 54 anos de idade e podemos imaginar o
seu sentimento na época. Havia uma obra filosófico-matemática pronta, uma
trilogia pronta, pois o segundo volume da terceira obra que a completava, o
Grundgesetze der Arithmetik, estava no prelo, e nela Frege concluía a
demonstração de sua tese logicista de que a Aritmética era redutível à Lógica,
projeto que ele anunciara em 1879 em seu Begriffsschrift, a primeira obra de
sua trilogia. Foram necessários 23 anos para completar o projeto, durante os
quais Frege teve de explicá-lo, defendê-lo e refiná-lo. Frege não era um
acadêmico anônimo, tampouco famoso. Não era anônimo, a sua obra era lida
e comentada e Frege correspondia-se com grandes nomes da Filosofia e da
Matemática da época, nomes que incluem Husserl, Cantor, Hilbert e Peano.
Mas Frege não era famoso no sentido de ter as suas - hoje assim consideradas
- revolucionárias idéias, em Lógica e Filosofia plenamente aceitas e
reconhecidas. Podemos imaginar o sentimento de Frege na época: nele
estavam reunidas - podemos imaginar - a ambição pouco certa do filósofo e a
certeza pouco ambiciosa do matemático. Ele sabia do alcance de suas idéias,
sabia o quanto elas mudavam as concepções vigentes em Filosofia e em
Lógica e ele - podemos imaginar o seu sentimento - havia acabado de
demonstrar a verdade de suas idéias. A certeza do matemático - quod erat
demonstrandum! – autenticando a ambição do filósofo. Podemos imaginar o
sentimento de Frege na época: a obra que concluía o seu projeto de vida no
prelo e ele recebe de Russell em junho de 1902 uma carta na qual é apontada
uma contradição em seu sistema: o Axioma V de seu sistema era antinômico.
A questão problemática, hoje conhecida por Paradoxo de Russell, pode,
equivalentemente, ser assim refraseada. O conjunto de todos os conjuntos que
não pertencem a si próprios pertence ou não a si próprio? Esta pergunta se
deixa formular no sistema de Frege e é irrespondível. Se respondermos que
sim, isto é, que ele pertence a si próprio, caímos em contradição, porque
então, por força dedutiva, ele não pertenceria a si próprio; se respondermos
que não, isto é, que ele não pertence a si próprio, caímos novamente em
contradição, porque teríamos de, dedutivamente, concluir que ele pertence a
si próprio.

1
Professor do Depto. de Filosofia da Ufpe. End. eletrônico: [email protected]

2. Do sentimento de Frege na época podemos ter uma idéia melhor com
a leitura da longa Introdução ao Volume I do Grundgesetze. Em 1893, ano da
publicação deste primeiro volume, vemos Frege confiante em sua tese
logicista, não obstante seu explícito ressentimento por conta da pequena
recepção de suas idéias filosófico-matemáticas, que levavam, acredita Frege,
por um lado, os matemáticos a pensarem: metaphysica sunt, non leguntur!, e
pelo outro, os filósofos: mathematica sunt, non leguntur!; vemos Frege
confiante de que através da ausência de lacunas de suas demonstrações vir à
luz todos os axiomas, pressupostos e hipóteses que fundam seu sistema,
deixando assim claro e demonstrado ao leitor o caráter lógico da Aritmética.
Não obstante, Frege teve, dez anos depois, de acrescentar ao Volume II do
Grundgesetze, já no prelo, um posfácio no qual ele comenta a carta de
Russell e reconhece a contradição que o Axioma V introduz no seu sistema.
A leitura do posfácio nos dá a medida exata, não dos sentimentos de Frege,
mas da reação serena e forte de um cientista que vê seu projeto científico ruir.
A impressão de Russell a esse respeito vale a pena transcrever.
Quando penso em atos de integridade e graça, percebo não conhecer nada que
se compare com a dedicação de Frege a verdade. O trabalho de sua vida
inteira estava próximo de ser completado, muito de seu trabalho havia sido
ignorado em benefício de homens infinitamente menos capazes, seu segundo
volume estava para ser publicado, e descobrindo que a sua hipótese funda-
mental estava errada, ele respondeu com prazer intelectual, claramente
submergindo qualquer sentimento de desapontamento pessoal. Foi quase
sobre-humano e uma indicação viva do que os homens são capazes quando
dedicados ao trabalho criativo e ao conhecimento ao invés de aos esforços de
dominar e tornar-se conhecido.
2
II
O Axioma V do sistema lógico de Frege, como organizado no
Grundgesetze, afirma que (ε′.Fε = α′.Gα) ≡ ∀x (Fx = Gx), onde
ε′.Fε
representa o percurso de valores da função Fx, isto é, o conjunto de todos os
pares ordenados (x, Fx). O axioma afirma então que se os percursos de
valores de duas funções são iguais, então o valor de uma função para um
argumento qualquer é sempre o mesmo que o da outra função, e
reciprocamente. Assim dito, ele parece não ser problemático e estabelece, de
certa forma, um truísmo matemático. De fato, se pensarmos em funções de
uma variável, o axioma afirma apenas que os gráficos de duas funções F e G
são iguais se, e somente se, para cada argumento x os valores F(x) e G(x) são
iguais. Mesmo considerando F e G como funções de n variáveis a intuição
permanece. Mas algumas dificuldades surgirão. A primeira é se o seu
conteúdo é de fato indemonstrável e, dessa forma, tendo de ser declarado

2
Heijenoort 2000, p. 127. Carta de Russell a Heijenoort, 23 de novembro de 1962,
em resposta a solicitação de Heijenoort para publicar a sua carta de 1902 a Frege.

3. como axioma, e sendo axioma se é de natureza lógica. Em um artigo escrito
em 1891, Função e Conceito, Frege já notava esta dificuldade com o axioma
e escreve, no que pode ser entendido como a sua primeira formulação:
A possibilidade de entender a generalização de uma igualdade entre valores de
funções como uma igualdade, a saber, como uma igualdade entre percursos de
valores, não pode, creio eu, ser demonstrada, mas deve ser considerada como
uma lei fundamental da lógica. (Frege 1980, p. 40)
Notemos, porém, que esta dificuldade de forma alguma é danosa ao
sistema. No máximo Frege perderia a sua tese logicista, mas não teria o sis-
tema invadido por inconsistências. Problemático, no entanto, é que Frege
utiliza o Axioma V na sua definição lógica de número e necessita conceber
percursos de valores como objetos independentes, como mais adiante mos-
traremos. De forma que a leitura fregeana do axioma é que duas funções F e
G tem valores iguais se, e somente se, os objetos a ela associados, seus per-
cursos de valores, são os mesmos. Como veremos mais adiante, um número
singular qualquer é entendido por Frege como objeto, um objeto que é
extensão de um certo conceito; este, por sua vez, é entendido como um tipo
especial de função. Temos então a versão particular do Axioma V: dois
conceitos são os mesmos se, e somente se, suas extensões são as mesmas.
Sabemos que Frege de alguma forma não se sentia à vontade com o
seu axioma. A citação anterior já mostra isto. Mas é no prefácio do volume I
do Grundgesetze, nove anos portanto antes da carta de Russell, que Frege, de
forma premonitória destaca o ponto chave da crítica russelliana e revela de
forma saliente o seu desconforto.
Uma disputa pode surgir, até onde posso ver, apenas no que diz respeito a
minha Lei básica acerca de percurso de valores (V), a qual os lógicos ainda
não enunciaram explicitamente, embora seja o que as pessoas têm em mente
quando falam de percursos de valores. Eu sustento que ela é uma lei da lógica
pura. De todo modo este é o local no qual uma decisão pode ser tomada.
(Frege 1998, p. VII)
Queremos mostrar neste artigo como a estrutura conceitual traçada por
Frege para definir logicamente o número leva-o, e exige, a formulação do
Axioma V. Os pontos que podem ser identificados como causas das
dificuldades de Frege são: 1) a introdução e o entendimento de extensões de
conceitos como objetos; 2 a hipótese de que todo conceito é definido para
todos os objetos. Ao final da Introdução ao Grundlagen, a sua segunda obra,
Frege elege os três princípios que formam o arcabouço do seu projeto e o
guia principal para a leitura dessa sua obra:
- deve-se separar precisamente o psicológico do lógico, o subjetivo do
objetivo;
- deve-se perguntar pelo significado das palavras no contexto da proposição,
e não isoladamente;
- não se deve perder de vista a distinção entre conceito e objeto.

4. III
Frege escreveu apenas três livros: Begriffsschrift, eine der
arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens
3
(1879),
Die Grundlagen der Arithmetik – Eine logisch mathematische Untersuchung
über den Begriff der Zahl
4
(1884) e Grundgesetze der Arithmetik.
Begriffsschriftlich abgeleitet
5
(Vol. I 1893, Vol. II 1903). Além destas obras,
Frege escreveu nos anos 90 três artigos - Funktion und Begriff (1891), Über
Sinn und Bedeutung (1892) e Über Begriff und Gegenstand (1892)
6
-, nos
quais ele refina, modifica ou amplia conceitos desenvolvidos nos dois livros
anteriores. Mas a estratégia argumentativa básica de seu projeto é a mesma
nos seus três livros, embora apresentadas com ênfases distintas para atender a
objetivos distintos. Estas diferentes ênfases não foram determinadas por
Frege a priori. Estabelecida, no Begriffsschrift, a idéia geral do projeto e a
Lógica necessária para desenvolvê-lo, cumpria agora executá-lo, como ele
mesmo havia prometido. Seria o caso então de Frege já escrever o
Grundgesetze, que contém todo o desenvolvimento técnico, lógico-formal, de
seu projeto. Mas por conta da pequena receptividade alcançada pelo seu
primeiro livro, Frege não parte logo para o desenvolvimento de seu projeto
em Begriffsschrift.
7
O Begriffsschrift continha muitas novidades; havia sido
criado o Cálculo de predicados e apresentado o roteiro, digamos assim, de
como as demonstrações exigidas no projeto logicista poderiam ser
tecnicamente desenvolvidas. Mas nada havia sido corretamente entendido, e
Frege muda de estratégia e escreve o que é hoje considerada a sua obra
prima, o Fundamentos. Trata-se agora de defender filosoficamente o projeto
e retomar a fundamentação lógica do conceito de número, ampliando o que
havia sido exposto no Begriffsschrift, mas sem entrar ainda nos detalhes
técnicos que ficarão para os dois volumes de seu último livro, o
Grundgesetze. A recepção das idéias de Frege, grosso modo, pode ser assim
contada: um relativo descrédito pelos contemporâneos até 1902, data da carta
de Russell; respeito crescente dos contemporâneos via o apreço que Russell e

3
Ideografia, uma linguagem por fórmulas do pensamento puro modelada sobre a da
Aritmética. Não há tradução brasileira. Os termos Ideografia (Paulo Alcoforado) e
Conceitografia (Luiz Henrique) tem sido utilizados como tradução de
Begriffsschrift. A expressão Begriffsschrift, tomada ao pé da letra, significaria algo
como escrita conceitual ou notação conceitual.
4
Fundamentos da Aritmética–Uma investigação lógico-matemática sobre o conceito
de número. Publicada em Peirce-Frege, 1980. Tradução de Luiz H. L. dos Santos.
5
Leis Básicas da Aritmética. Deduzidas ideograficamente. Não há tradução
brasileira.
6
Função e Conceito, Sobre o Sentido e a Referência e Sobre o Conceito e o Objeto,
respectivamente. Todos em Frege 1978, traduzidos por Paulo Alcoforado.
7
Manteremos a expressão alemã Begriffsschrift, para nos referirmos a linguagem
criada por Frege.

5. Wittgenstein tinham pela obra de Frege; o renascimento de Frege a partir da
tradução de J. L. Austin do Fundamentos, publicada em 1950 em uma edição
bilíngüe. A literatura secundária hoje sobre Frege é volumosa, embora ainda
manuseável, e tem se debatido bastante sobre como interpretar devidamente a
sua Frege.
IV
Para melhor compreender o projeto fregeano precisamos olhar o
contexto matemático no qual Frege e seus contemporâneos se movimentavam. Havia uma esforço geral para fundamentar a Matemática,
não necessariamente no sentido de organização axiomático-dedutiva, mas no
sentido de provê-la com demonstrações mais rigorosas e definições mais
precisas, isto é, sem o apelo à intuição geométrica. A Geometria até então
oferecia uma base relativamente segura para a organização da Matemática; os
números, e as grandezas em geral, obtinham na Geometria um suporte
ontológico que driblava tanto dificuldades técnicas – a questão dos
irracionais, por exemplo – quanto respondia de forma razoável as questões
metafísicas acerca da natureza dos objetos matemáticos. No entanto, no início
do século XIX já estava claro que a Geometria havia encontrado seus limites
enquanto ambiente fundador da Matemática; os números negativos,
imaginários e os infinitesimais apresentavam sérias dificuldades de
entendimento no quadro substancial da Geometria; o que seria uma grandeza
negativa, por exemplo? A expressão aritmetização da Matemática reflete
exatamente o esforço de vários matemáticos no século XIX de trocar a
Geometria pela Aritmética como disciplina fundante, ou seja, eles
caminhavam para o consenso de que a partir dos inteiros não negativos era
possível gerar toda a Matemática. De um modo geral podemos classificar as
contribuições dos matemáticos na segunda metade do século XIX, no que diz
respeito à fundamentação da Matemática, em uma direção e dois sentidos
opostos (mas não excludentes): o primeiro seria tomar os naturais como
dados, avançar para os números reais e daí para o restante da Matemática; o
segundo seria não aceitar os naturais como dados, como evidentes, como não-
problemáticos e tentar trazê-los para uma base suposta mais segura. Este foi o
caminho de Frege; a base sólida por ele escolhida foi a Lógica.
Está implícito na estratégia de Frege a mesma idéia perseguida por
Peano na sua axiomatização da Aritmética.
8
Peano tem como conceitos não
definidos “número”, “1”, “sucessor” e “é igual a”. Os ”cinco axiomas de Peano” (Axiomas 1, 6, 7, 8 e 9) estabelecem que 1 é número (A1), que o sucessor de 1 é um número (A6), números diferentes tem sucessores
diferentes (A7) e 1 não é sucessor de nenhum número (A8); o axioma 9 é o
princípio da indução matemática. Com estes axiomas e os axiomas lógicos

8
Cf. Peano 1889.

6. (entre outros os axiomas 2, 3, 4, 5) Peano desenvolve a Aritmética. O que
diferencia Frege é que ele arregimenta toda a sua maquinaria conceitual e
envida todo seu esforço argumentativo para mostrar que ”número”, “0”, “1”,
“sucessor” e o princípio da indução matemática podem ser reduzidos a
conceitos e/ou axiomas estritamente lógicos. É um bom exercício de
especulação histórica imaginar o possível desenvolvimento da Matemática e
da Filosofia se o interesse de Frege ficasse restrito aos aspectos técnicos de
sua disciplina. O fato, todavia, é que Frege para atender tecnicamente as
demandas de sua concepção filosófica de Matemática – fortemente
antiformalista – vai despender todo seu esforço na solução das dificuldades
por ela geradas. Esforço que gerou, como subproduto, o material conceitual
que pautou toda a discussão subseqüente na Filosofia da linguagem.
V
Uma novidade que Frege introduz no Begriffsschrit é a utilização do
par argumento x função emprestado da Matemática. O objetivo de Frege é
substituir o tradicional par sujeito x predicado da Lógica clássica para
distinguir entre forma gramatical e forma lógica de uma proposição. As
proposições Em Plataea os gregos venceram os persas e Em Plataea os
persas foram vencidos pelos gregos diferem gramaticalmente, pois há uma
inversão entre os seus sujeitos e predicados. Mas, mesmo se uma leve diferença de sentido pode ser discernida entre as proposições, argumenta
Frege, a concordância lógica predomina, porque o que interessa em uma
dedução é o conteúdo conceitual (begrifflicher Inhalt), e daí ser irrelevante
logicamente a distinção produzida pelo par sujeito x predicado; pois as duas
proposições dizem a mesma coisa, e é isto o que importa em uma dedução.
Nesta época do Begriffsschrit Frege ainda não havia feito a sua famosa
distinção entre Sinn (Sentido) e Bedeutung (Referência), que ele introduz nos
anos 90 exatamente para captar de forma mais precisa essa idéia de conteúdo
conceitual. Mas vejamos como Frege operacionaliza essa idéia. Para ele, dada
uma proposição podemos decompô-la em duas partes: uma, a função, que
está, na linguagem dele, insaturada, necessitando de complementação; a
outra, o argumento, que satura ou completa a função. É uma idéia trazida da
Matemática: a expressão “2
2
+ 4 x 2” pode ser decomposta em “2”, que
representa o argumento, e “( )
2
+ 4 x ( )”, que representa a função. Da
mesma forma “A capital do império alemão” pode ser decomposta em “A
capital de ( )” e “império alemão”, a primeira como expressão de uma
função e a segunda, do argumento.
A troca sujeito x predicado por argumento x função não traria
vantagem alguma se fosse apenas uma troca de nomes; é preciso explorar as possibilidades oferecidas pelo conceito matemático de função. A função designada por “A capital de ( )” teria como argumentos, entre outros,
objetos designados por “Brasil” e “Alemanha”; os respectivos valores da

7. função seriam designados por “Brasília” e “Berlim”. Mas Frege vai além em
sua exploração do conceito matemático de função, ampliando-o para atender
aos seus objetivos lógico-lingüísticos. Uma equação como “x
2
= 1” ele vê
também como função, mas de um tipo especial, uma função cujos valores são valores de verdade: o Verdadeiro (V) e o Falso (F). Por exemplo, os valores desta função são V, V, F e F, para os argumentos -1, 1, 2 e 3,
respectivamente. Mas Frege avança na exploração das possibilidades trazidas
pelo conceito de função. Segundo ele, dizer que para um argumento
determinado, por exemplo –1, o valor da função “x
2
= 1” é o verdadeiro, pode
ser expresso como: “o número –1 tem a propriedade de que seu quadrado é
1” ou “-1 é uma raiz quadrada de 1”, ou “-1 cai sob o conceito de raiz
quadrada de 1”. Se o valor da função “x
2
= 1” para um argumento, por
exemplo, 2, é o falso, então pode-se dizer que: “2 não é raiz quadrada de 1” ou “2 não cai sob o conceito de raiz quadrada de 1”.
Esta aproximação do que se chama de conceito em Lógica com o que
se entende por função permite a Frege obter uma definição lógica do conceito de conceito: “um conceito é uma função cujo valor é sempre um valor de
verdade.” (Frege 1978, p. 45) Esta definição é um dos grandes achados de
Frege e, como veremos, é essencial para a definição de número. A expressão
“César conquistou as Gálias” pode ser desmembrada, segundo Frege, nas
expressões “César” e “( ) conquistou as Gálias”. O nome “César” tem como
referência um objeto que é a figura do general romano; a expressão funcional
“x conquistou as Gálias” tem como referência uma função do tipo especial
que Frege chama conceito. Podemos dizer que o argumento satura a função
ou que o objeto cai (ou não) sob o conceito. Como a proposição dada é
verdadeira, o objeto César cai de fato sob o conceito expresso por “conquistar
as Gálias”. Importante para o nosso propósito de mostrar como o Axioma V
introduz inconsistências no sistema fregeano é notar que para Frege dado um
conceito abre-se no mundo uma alternativa: a de um objeto qualquer cair ou
não sob o conceito. Por exemplo, o conceito de raiz quadrada de 1 designado
por “x
2
= 1”: o objeto designado por “Frege”, por exemplo, não cai sob o
conceito, assim como 3 ou 4; -1 e 1, ao contrário, caem sob o conceito. Ou
seja, para Frege um conceito é uma função sim, mas de tipo especial, uma função cujo domínio é o mundo.
VI
A estratégia de Frege para definir logicamente o número tem uma face
destrutiva e uma construtiva. A primeira é mostrar que qualquer tentativa não-lógica de capturar o conceito de número está fadada ao insucesso, e ele
utiliza três das quatro partes do Fundamentos, que ainda inclui a Introdução e
a Conclusão, para mostrar as insuficiências e/ou contradições das concepções
empíricas ou subjetivas de número. Leiamos o próprio resumo que Frege faz
dessas suas críticas:

8. O número não é, da mesma maneira que a cor, o peso e a dureza, abstraído das
coisas, não é, no mesmo sentido, uma propriedade das coisas. Resta a questão
de saber sobre o que algo é enunciado por meio de uma indicação numérica. O
número não é algo físico, mas tampouco algo subjetivo, uma representação. O
número não surge por anexação de uma coisa a outra. Nem a doação de um
nome após cada anexação faz alguma diferença. As expressões “pluralidade”,
“conjunto” e “multiplicidade” não são, por seu caráter indeterminado,
apropriadas a colaborar na definição de número. (FA, §45)
Frege inicia a parte construtiva de sua estratégia, a partir do §45 do
Fundamentos, com o reconhecimento de que toda indicação numérica contém
um enunciado sobre um conceito.
A fim de iluminar a questão, será conveniente examinar o número no contexto
de um juízo onde se evidencia sua espécie original de aplicação. Se
observando o mesmo fenômeno exterior posso dizer de modo igualmente
verdadeiro: “Isto é um grupo de árvores” e “isto são cinco árvores”, ou “aqui
há quatro companhias” e “aqui há 500 homens”, o que varia não é o objeto
singular nem o todo, o agregado, mas sim minha maneira de denominar. No
entanto, isto é apenas índice da substituição de um conceito por outro. (FA,
§46)
Para Frege, portanto, dizer ‘a carruagem do imperador é puxada por
quatro cavalos’, significa atribuir o número quatro ao conceito ‘cavalo que
puxa a carruagem do imperador’; caem quatro objetos sob o conceito ‘cavalo
que puxa a carruagem do imperador’. Este exame do número no contexto de
um juízo é particularmente feliz para o número 0, que sempre ofereceu
dificuldades para as explicações empíricas ou subjetivas. Se digo: ‘Vênus
tem 0 luas’, não há absolutamente nenhuma lua ou agregado de luas sobre o
que algo se pudesse enunciar; mas ao conceito ‘lua de Vênus’ atribui-se uma
propriedade, a saber, a de não subsumir nada. O caminho de Frege aqui, de
certo modo, é natural; se evito conceber o número empírica e subjetivamente,
me resta entendê-lo na linguagem. É no contexto de uso dos juízos numéricos
que devo procurar o significado do número. De modo que Frege, atendendo
ao segundo dos seus princípios, traz para o seio da proposição a questão do
significado do número. Isto é bom para Frege porque ele dispõe de todo o
aparato conceitual para a devida análise lógica da proposição: o número é
examinado no contexto de uma proposição – a proposição separa-se em
argumento x função – a função é do tipo especial cujos valores são valores de
verdade, logo um conceito – portanto a proposição será analisado como
objeto x conceito – o número é o objeto. E a proposição se deixa formular em
Begriffsschift, permitindo assim o uso da maquinaria lógica por ele criada.
Recordando o que dissemos acima quando comparamos Frege e
Peano, o específico de Frege em seu projeto de fundamentação lógica da
Aritmética reside na formulação lógica dos conceitos de “0”, “1”, “sucessor”
e do Princípio da indução matemática. Para o nosso propósito de explicitar a

9. dificuldade em torno do Axioma V é suficiente nos concentrarmos na
definição lógica de cada número singular, uma vez que as demais
formulações fregeanas estão, digamos, logicamente perfeitas. Com o
entendimento de que a indicação numérica contém um enunciado sobre um
conceito Frege arrisca para o número 0, por exemplo, uma primeira
formulação:
a um conceito convém o número 0 se vale universalmente, para qualquer a, a
proposição de que a não cai sob este conceito
(FA, §55)
Ao conceito “lua de Vênus”, por exemplo, convém o número 0 uma
vez que Vênus não tem luas. É claro que para definir o 0 poderíamos fazer
outras escolhas de conceitos, mas como se deseja uma definição lógica, não
podemos lançar mão de nada empírico e Vênus não possuir luas é um
conhecimento empírico. É preciso então escolher um conceito de modo
puramente lógico, e porque nada cai sob o conceito lógico “diferente de si
próprio” Frege define: 0 é o número que convém ao conceito ‘diferente de si
próprio’.
Definido o 0, é possível agora pensar uma forma de definir o 1
recorrendo ao 0, o 2 recorrendo ao 1, e assim por diante. Mas é preciso a certeza de que o que se vai definir, por exemplo, como 1 “segue na série dos números imediatamente após o 0”. Frege define então a relação que mantém
entre si dois membros vizinhos da série dos números naturais.
A proposição:
“há um conceito F e um objeto x que cai sob ele tais que o número que
convém a F é n e o número que convém ao conceito ‘cai sob F mas não igual a
x’ é m”
significa o mesmo que
“n segue na série natural dos números imediatamente após m”. (FA, §76)
Se tomarmos F como o conceito “estação do ano”, então n = 4; e se
tomarmos x = Verão, então ao conceito “cai sob o conceito ‘estação do ano’
mas não é igual a Verão” convém o número m = 3. Considerando agora o
conceito “igual a 0” sabe-se que sob ele cai o 0. Sob o conceito “igual a 0
mas não igual a 0” não cai nenhum objeto, de modo que 0 é o número que
convém a este conceito. Desta forma se 1 é o número que convém ao
conceito “igual a 0”, então pelo critério citado anteriormente sabemos que 1
segue na série natural imediatamente após 0. Temos assim cada número
singular definido por referência ao anterior:
0 é o número que convém ao conceito “diferente de si próprio”
1 é o número que convém ao conceito “igual a 0”
2 é o número que convém ao conceito “igual a 0 ou 1”
3 é o número que convém ao conceito “igual a 0, 1 ou 2”
etc

10. Se o leitor se deteve nas definições apresentadas ele pode agora estar
com a sensação normal de um leitor de Frege. A de que está resolvida a
definição lógica de cada número singular, pois a estratégia parece perfeita,
uma vez que os números 0 e 1 puderam ser definidos logicamente, bem como
a passagem de um número ao seguinte. Para Frege, no entanto, a sua
definição de número singular apresenta problemas. Ele argumenta que por
meio das definições apresentadas poderíamos dizer o que significa “ao
conceito F convém o número 1 + 1”, e em seguida, usando este resultado,
indicar o sentido da expressão “ao conceito F convém o número 1 + 1 + 1”, e
assim sucessivamente. Mas a questão que Frege levanta, conhecida como o
Problema Júlio César, é que o objeto número permanece desconhecido.
(...) por meio de nossas definições nunca poderemos decidir – para dar um
exemplo grosseiro – se a um conceito convém o número Júlio César, se este
famoso conquistador das Gálias é ou não um número. Além disto, não
podemos, com o auxílio de nossas tentativas de definição, demonstrar que a
deve ser igual a b se ao conceito F convém o número a e se ao mesmo
conceito convém o número b. (FA, §56)
A dificuldade levantada por Frege é uma conseqüência de sua
concepção de número como objeto e da sua posição filosófica antiformalista.
Pois ele poderia ter simplesmente hipostasiado o 0 e escrito algo como “seja
0 o número que convém a ...”. Mas para Frege não há definições criadoras em
Matemática, não se pode criar objetos matemáticos.
É apenas uma ilusão que tenhamos definido o 0 e o 1; na verdade,
estabelecemos apenas o sentido das locuções
‘o número 0 convém a’
‘o número 1 convém a’;
mas isto não nos autoriza a discernir o 0 e o 1 como objetos independentes e
possíveis de serem reconhecidos novamente. (FA, §56)

Quais são as alternativas de Frege? A cômoda solução dos formalistas
das definições implícitas é por ele rejeitada, e ainda temos o agravante trazido
pela sua tese maior – o próprio projeto logicista – do caráter analítico das
proposições aritméticas. É um agravante porque Frege foge da tradição
filosófica que iguala analítico e não-informativo, e daí ele ter de explicar que
o caráter lógico do número não elimina o seu potencial informativo. Como o
numeral, o signo para o número, deve possuir um referente que lhe garanta
uma significatividade, pois a Matemática não opera nem com signos vazios
nem, como já afirmamos, cria os objetos significantes de seus signos, então a
significatividade do número deve ser buscada na própria proposição numérica
na qual ele aparece. Este é o caminho seguido por Frege, iniciado no famoso

11. §62 do Fundamentos.
9
A singularidade da intervenção fregeana é a sutil
utilização do segundo dos seus princípios, o conhecido Princípio do contexto.
O subtítulo que ele antepõe aos §§62-69, nos quais ele desenvolve o
Problema Júlio César, “Para obter o conceito de número, deve-se estabelecer
o sentido de uma equação numérica”, revela a sutileza do jogo, discernir o
objeto número revelando as suas condições de significatividade, isto é,
tratando simultaneamente as questões ontológicas e epistemológicas em torno
do conceito de número. (Cf. Beaney 1997, p. 16) O que Frege deseja é
capturar o sentido da proposição “o número que convém ao conceito F é o
mesmo que convém ao conceito G”, isto é, obter um critério geral de
igualdade entre números. O critério de Frege é o mesmo de alguns de seus
contemporâneos e usual hoje em qualquer exposição de Teoria do conjuntos.
Definir a igualdade numérica através da correspondência biunívoca, ou seja,
card A = card B se, e somente se, existe uma aplicação biunívoca entre A e
B. Frege fala, usando um neologismo, de conceitos equinuméricos
(gleichzahlig). Assim o conceito F é equinumérico ao conceito G quando
houver uma correspondência biunívoca entre os objetos que caem sob um
conceito aos objetos que caem sob o outro. Frege ganha assim,
contextualmente, a sua caracterização de número:
“o número que convém ao conceito F é o mesmo que convém ao conceito G”
se, e somente se, “o conceito F é equinumérico ao conceito G”
Façamos uma pausa, a título de resumo. A questão é identificar o
objeto número que referencia um certo numeral e Frege vai buscar a resposta no contexto dos juízos numéricos e a citação anterior já nos coloca a meio
caminho da solução. Já temos um critério para decidir quando a = b, a = “o
número que convém ao conceito F” e b = “o número que convém ao conceito
G”. Basta entender, e agora entra a utilização técnica do Princípio do
contexto, que a formulação anterior significa o mesmo que “o conceito F é
equinumérico ao conceito G”. Mas a questão é que o conceito de número
permanece ainda sem estar devidamente estabelecido; o Problema Júlio
César continua em aberto, porque embora já saibamos quando escrever que
número de Fs = número de Gs, não sabemos ainda a que objeto corresponde à
expressão “o número que convém ao conceito F”. Frege utiliza então o que
por um bom período ficou conhecido por definição por abstração, “uma
espécie muito incomum de definição, a que os lógicos ainda não prestaram
suficiente atenção.” (FA, §63) Frege trata com algum detalhe o conceito de
direção de uma reta, que hoje seria tratado como classe de equivalência da
relação de paralelismo; mas Frege quer ganhar apenas uma analogia para

9
A literatura secundária não tem aqui economizado adjetivos; Beaney 1997 fala de
stroke of genius, Dummet 1981 escreve: Ҥ62 is arguably the most pregnant
philosophical paragraph ever written...” Para Dummet é nele que se localiza o
linguistic turn da filosofia contemporânea.

12. organizar a sua definição de número. Do mesmo modo que do conceito de
retas paralelas (reta a // reta b) obtém-se o conceito (de nível superior) de
direção de reta (dir a = dir b), Frege deseja saltar de uma igualdade entre
conceitos para uma igualdade entre extensões de conceitos. Em outras
palavras, os objetos que caem sob os conceitos F e G são os mesmos se, e
somente se, as suas extensões são as mesmas. Frege não se detém em
nenhuma elucidação e pressupõe “que se saiba o que seja extensão de um
conceito” (FA, Nota 95, p. 254), assumindo a noção de extensão de conceito
como uma noção lógica primitiva. Ela seria um tipo especial de objeto que é
associado ao conceito, de modo que conceitos que subsumem as mesmas
coisas teriam as mesmas extensões. Observemos que aqui se instrumentaliza
o Axioma V ao se estabelecer a equivalência lógica entre a igualdade de
conceitos e a igualdade das respectivas extensões. Extensão de conceito é o
objeto que Frege identificará com número. O que Frege faz equivale a uma
das alternativas que se encontra hoje nas organizações formais da Aritmética,
qual seja, a de definir o número cardinal n como o conjunto de todos os
conjuntos de n elementos. Sua definição reza:
o número que convém ao conceito F é a extensão do conceito “equinumérico
ao conceito F” (FA, §69)
Se F, por exemplo, é o conceito “lua da Terra”, Frege está dizendo
apenas que o 1 é a extensão do conceito “equinumérico ao conceito ‘lua da terra’”, e esta extensão inclui todos - mudemos de linguagem - os conjuntos
que possuem um elemento. Resumindo, a idéia de Frege é:
Partir da proposição
“ao conceito F convém o mesmo número que ao conceito G se, e
somente se, a extensão do conceito “equinumérico ao conceito F” é igual a
extensão do conceito ”equinumérico ao conceito G”.
Para ganhar a definição:
o número que convém ao conceito F é a extensão do conceito
“equinumérico ao conceito F”
Uma vez que já se sabe que:
“o conceito F é equinumérico ao conceito G”
significa o mesmo que
“o número que convém ao conceito F é o mesmo que convém ao
conceito G”
Quais as dificuldades trazidas pela introdução do Axioma V no
sistema de Frege? Deixando de lado o possível caráter não-lógico do axioma, o que provoca o paradoxo apontado por Russell é a conjugação de dois
fatores. A hipótese de que todo conceito é definido para todo objeto, como já
assinalamos acima, e a de que as extensões são elas próprias objetos. Com

13. essas hipóteses o paradoxo russelliano se deixa formular. De fato
10
, sendo
todo conceito definido para todo objeto, e com o Axioma V garantindo que
todo conceito tem uma extensão, e se essas extensões são elas próprias
objetos, então ele garante que a extensão do conceito ‘ser extensão de um
conceito sob o qual nada cai’ é um objeto. Vejamos mais de perto a
contradição
11
. Consideremos o conceito ‘estrela fixa’; cada objeto é, ou não
é, uma estrela fixa; os objetos que são estrelas fixas são membros de sua extensão, mas a própria extensão é um objeto e podemos indagar se ela é ou não uma estrela fixa; nada problemático aqui porque como sabemos que as
extensões de conceitos não são estrelas fixas, a extensão do conceito estrela
fixa não é membro de si próprio. O leitor, caso repita o mesmo argumento
com o conceito ‘não ser membro de si próprio’ verá surgir o Paradoxo de
Russell.
VII
[1] Beaney, Michael (Ed.): The Frege: Reader, London: Blackwell, 1997.
[2] Beaney, Michael: Frege: Making Sense, London: Duckworth, 1996.
[3] Carl, Wolfgang: Frege's Theory of Sense and Reference. Its Origin
and Scope. Cambridge University Press, 1994. Reimpressão 1995.
[4] Demopoulos, William, (Ed.): Frege's Philosophy of Mathematics.
Cambridge, MA: Harvard, 1995.
[5] Dummet, Michael: Frege and other Philosophers. Clarendon Press,
Oxford, 1991.
[6] Dummett, Michael: Frege: Philosophy of Mathematics, Cambridge,
MA: Harvard University Press, 1991.
[7] Dummett, Michael: The Interpretation of Frege's Philosophy,
Cambridge, MA: Harvard University Press, 1981.
[8] Frege, Gottlob: Begriffsschrift und andere Aufsätze. 5
a
reimpressão da
2
a
edição (1964). Com as observações de E. Husserl e H. Scholz.
Editado por Ignacio Angelelli. Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1998.
[9] Frege, Gottlob: Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch-
mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl. Impressão
fotomecânica da nova impressão da edição de 1884, M. & H. Marcus, Breslau, 1934. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt, e
Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1961.

10
Cf. Beaney 1997, p. 7.
11
Cf. Weiner 1999, p. 126.

14. [10] Frege, Gottlob: Grundgesetze der Arithmetik. Begriffsschriftlich
abgeleitet, I, II. Georg Olms Verlag, Hildesheim, Zürich, New York,
1998. Segunda impressão, em um único volume, das edições de 1893
(Vol. I) e 1903 (Vol. II), Jena, Verlag von Hermann Pohle.
[11] Frege, Gottlob: Kleine Schriften. Segunda edição, editada por Ignacio
Angelelli, com observações à primeira edição (1967). Georg Olms Verlag, Hildesheim-Zürich-New York, 1990.
[12] Frege, Gottlob: Lógica e Filosofia da Linguagem, com uma
introdução de Paulo Alcoforado Cultrix/Edusp, São Paulo, 1978.
[13] Frege, Gottlob: Nachgelassene Schriften. Introdução e observações de
Hans Hermes, Friedrich Kambartel e Friedrich Kaulbach, com a
colaboração de Gottfried Gabriel e Walburga Rödding. Felix Meiner
Verlag, Hamburg, 1969. Segunda edição ampliada, 1983.
[14] Frege, Gottlob: Os fundamentos da aritmética. Uma investigação
lógico-matemática sobre o conceito de número, tradução e introdução
de Luiz Henrique Lopes dos Santos in Peirce-Frege: Coleção Os
Pensadores, Abril Cultural, São Paulo, 1980.
[15] Frege, Gottlob: Sobre a justificação científica de uma conceitografia,
tradução e introdução de Luiz Henrique Lopes dos Santos in Peirce-
Frege: Coleção Os Pensadores, Abril Cultural, São Paulo, 1980.
[16] Heijenoort, Jean van (Ed.): From Frege to Gödel. A Source Book in
Mathematical Logic, 1879-1931. ToExcel, 1967. Reimpressão 2000
[17] Kenny, Anthony: Frege. An Introduction to the Founder of Modern
Analytic Philosophy. Blackwell Publishers, 2000. Penguin Books,
1995.
[18] Patzig, Günther: Sprache und Logik. Vandenhoeck & Ruprecht,
Göttingen, 1981.
[19] Peano, Giuseppe: The principles of arithmetics, presented by a new
method in Heijenoort 2000, pp. 83-97, 1889.
[20] Quine, Willard v. O.: Methods of logic. Henry Holt, New York, 1959,
2
a
edição revisada.
[21] Tait, William W. (Ed.): Early Analytic Philosophy – Frege, Russell,
Wittgenstein. Open Court, 1997.
[22] Weiner, Joan: Frege. Oxford University Press, 1999.