Operaciones con funciones y composicion de funciones.pdf

operaciones con funciones

1. Operaciones con funciones(f-g)(x) (f g)(x) (f/g)(x) (f + g)(x) (f o g)(x)
Suma
Resta
Multiplicación
División
Composición

2. Definiciones
❖Las funciones al igual que los números se
pueden sumar, restar, multiplicar y dividir.
A continuación las definiciones de cada
operación con las funciones.
Sean f y g dos funciones. Entonces:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f - g)(x) = f(x) - g(x)
(f • g)(x) = f(x) • g(x)

siempre que g(x)  0



f f(x)
(x) =
g g(x)
Suma
Resta
División
Multiplicación

3. Definiciones
❖El dominio de cada combinación
de funciones se define:
❖Dom
f+g= {x | x Dom
fDom
g}
❖Dom
f-g= {x | x Dom
fDom
g}
❖Dom
fg= {x | x Dom
fDom
g}
❖Dom
f/g= {x | x Dom
fDom
g}
Las definiciones implican que el dominio de una
combinación es el conjunto de valores que
pertenecen al dominio de f y también al
dominio de g.
Símbolo de
intersección

4. Ejemplo
Sea f(x) = x + 3 y g(x) = x
2
.
Halle:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + 3 + x
2
(f - g)(x) = f(x) - g(x) = x + 3 – x
2
(f • g)(x) = f(x) •g(x) = (x + 3)x
2
= x
3
+ 3x
2
El ejercicio provee dos
funciones.2
f f(x) x +3
(x) = =
g g(x) x

5. Ejemplo
Sea f(x) = 2x yg(x) = x-1
Halle:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x + x -1 =3x -1
(f - g)(x) = f(x) - g(x) = 2x –(x-1)= x + 1
(f • g)(x) = f(x) •g(x) = (2x)(x–1)=2x
2
–2x
El ejercicio provee dos
funciones.f f(x) 2x
(x) = =
g g(x) x-1

6. Otra operación de función
❖Existe otra operación que no existe en los
números. Esta nueva operación se llama
composición de funciones y su símbolo es
f o g ( se lee f compuesta con g)
❖Recuerde el concepto de función. Este
consiste de dos conjuntos y una regla de
correspondencia donde a cada elemento del
primer conjunto le corresponde un único
elemento en el segundo conjunto.

7. Operación composición
❖Suponga que tenemos dos funciones:2
f(x) = x
Dom f
Alcance f
3
91
G(x) =
x
Dom G Alcance G1
9
Observe que los
elementos del Alcance
de f se convierten en el
dominio de G

8. Definición de composición
❖Queremos hallar una función que lleve
directo desde el tres hasta un noveno.
Esta nueva función se llama
composición y se define como:
(g o f)(x) = g( f(x) )
Esto quiere decir que hay que evaluar a g
en f(x). Es decir, reemplazar la x en g(x)
por la función f(x).
Símbolo de
composición

9. Ejemplo2
f(x) = x 1
G(x) =
x
Sea y
Halle G o f
(G o f)(x) = G(f(x)) = G(x
2
) = 2
1
x

10. Ejemplo
❖Sea f(x) = 2x + 4 y G(x) = x
2
+ 1
❖Halle (G o f)(x)
❖(G o f)(x) = G(f(x))
= G(2x + 4)
= (2x+4)
2
+ 1
= (4x
2
+ 16x + 16) + 1
= 4x
2
+ 16x + 17
Trinomio!!! Cuadrado
del primero más el
primero por el segundo
y multiplicado por dos
y cuadrado del último.

11. Ejemplo
❖Queremos determinar si g o f es
equivalente a f o g. Utilizaremos las
dos funciones del ejemplo anterior.
Sea f(x) = 2x + 4 y G(x) = x
2
+ 1
(f o G)(x)= f(G(x))
=f(x
2
+ 1)
= 2(x
2
+ 1) + 4
=2x
2
+ 2 + 4
= 2x
2
+ 6
Observe que f o g NO
es lo mismo que g o f