Operadores vectoriales

Fórmulas para Cálculo vectorial

1. OPERADORES VECTORIALES EN DIFERENTES SISTEMAS DE
COORDENADAS
Coordenadas cartesianas
dzdydxddzdydxd =++=τ ,ˆˆˆ zyxl
Gradiente: zyx ˆˆˆ
z
t
y
t
x
t
t
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ .Divergencia:
z
v
y
v
x
v
zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇v
Rotor:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
?
?
?
?
?
?
?
?
∂
∂
−
∂
∂
+?
?
?
?
?
?
∂
∂
−
∂
∂
+
?
?
?
?
?
?
?
?
∂
∂
−
∂
∂
=×∇
zyx
xyzxyz
vvv
zyxy
v
x
v
x
v
z
v
z
v
y
v
zyx
zyxv
ˆˆˆ
detˆˆˆ
Laplaciano:
2
2
2
2
2
2
2
z
t
y
t
x
t
t
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
Coordenadas esféricas
ϕθθτϕθθ dddrrddrrddrd sin,ˆsin
ˆˆ
2
=++= φθrl
Gradiente: φθr ˆ
sin
1
ˆ
1
ˆ
ϕθθ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
t
r
t
rr
t
t
Divergencia: () ()
ϕθ
θ
θθ
ϕ
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
v
r
v
r
vr
rr
r
sin
1
sin
sin
11
2
2
v
Rotor:
() () () φθrv ˆ
1
ˆ
sin
11
ˆsin
sin
1
?
?
?
?
?
?
∂
∂
−
∂
∂
+
?
?
?
?
?
?
∂
∂
−
∂
∂
+
?
?
?
?
?
?
∂
∂
−
∂
∂
=×∇
θϕθϕ
θ
θθ
θϕ
θ
ϕ
rr
v
rv
rr
rv
r
v
r
v
v
r
Laplaciano:
2
2
222
2
2
2
sin
1
sin
sin
11
ϕθθ
θ
θθ∂
∂
+?
?
?
?
?
?
∂
∂
∂
∂
+?
?
?
?
?
?
∂
∂
∂
∂
=∇
t
r
t
rr
t
r
rr
t
Coordenadas cilíndricas
dzddddzddd ϕρρτϕρρ= ++= zφρl ˆˆˆ
Gradiente: zφρ ˆˆ
1
ˆ
z
ttt
t
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
ϕρρ
Divergencia: ()
z
vv
v
z
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
ϕρ
ρ
ρρ
ϕ
ρ
11
v
Rotor: () zφρv ˆ
1
ˆˆ
1
?
?
?
?
?
?
∂
∂
−
∂
∂
+
?
?
?
?
?
?
∂
∂
−
∂
∂
+
?
?
?
?
?
?
∂
∂
−
∂
∂
=×∇
ϕ
ρ
ρρρϕρ
ρ
ϕ
ρϕ v
v
v
z
v
z
vv
zz
Laplaciano:
2
2
2
2
2
2 11
z
ttt
t
∂
∂
+
∂
∂
+
?
?
?
?
?
?
?
?
∂
∂
∂
∂
=∇
ϕρρ
ρ
ρρ

2. IDENTIDADES VECTORIALES
gf, son campos escalares, CBA,, son campos vectoriales
Productos triples
(1) ()()() BACACBCBA ×⋅=×⋅=×⋅
(2) ()()() BACCABCBA ⋅−⋅=××
Derivación de productos
(3) () ( ) ( ) fggffg ∇+∇=∇
(4) () ( ) ( )()() ABBAABBABA ∇⋅+∇⋅+×∇×+×∇×=⋅∇
(5) () ( ) () fff ∇⋅+⋅∇=⋅∇ AAA
(6) ()()() BAABBA ×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇
(7) () ( ) () fff ∇×−×∇=×∇ AAA
(8) ()()()()() ABBABAABBA ⋅∇−⋅∇+∇⋅−∇⋅=××∇
Segundas derivadas
(9) () 0=×∇⋅∇ A
(10) ()0=∇×∇ f
(11) ()() AAA
2
∇−⋅∇∇=×∇×∇
TEOREMAS FUNDAMENTALES
Teorema del gradiente: () () () abl
b
a
ffdf −=⋅∇∫
Teorema de la divergencia o de Gauss:() ∫∫
⋅=⋅∇ aAA ddτ
Teorema del rotor o de Stokes: () ∫∫
⋅=⋅×∇ lAaA dd