Optimización de Sistemas y Funciones: Método de Lagrange

Optimización de Sistemas y Funciones: Método de Lagrange

1. Optimización de Sistemas y Funciones : Método de Lagrange Víctor Rincones C.I. 25.978.316 21/02/2017

2. Método de Lagrange El método de lagrange , también conocido como multiplicador de Lagrange es una estrategia para encontrar el máximo o mínimo local de una función sujeta a restricciones de igualidad . De tal forma que se considera un problema de optimización: Maximiza Sujeto a  

3. Donde y necesitan tener derivadas parciales continuas. Luego se introduce una nueva variable, lambda ( , denominada el multiplicador de Lagranguage y se estudia la función de Lagrange definida por:  

4. Usos del Método de Lagrange . El método de Lagrange es principalmente utilizado para encontrar los máximos o mínimos de una función de múltiples variables la cual está sometido a ciertas restricciones. Estas restricciones comúnmente vienen dadas por igualdades. Este método reduce el problema restringido a uno sin restricciones de manera que se pueda resolver solamente usando la función principal.

5. Aplicaciones del Método de Lagrange El método de Lagrange es ampliamente utilizado para solucionar problemas de valores extremos en ciencia, economía, e ingeniería. En casos donde la función objetiva y las restricciones tienen significados específicos, los multiplicadores de Lagrange comúnmente tienen un significado identificable. En económica, si estás maximizando las ganancias sujetas a un recurso limitado, es el valor marginal del recurso. El valor del multiplicador de Lagrange es el ritmo al cual el valor óptimo de la función objetivo cambia si las restricciones son cambiadas.  

6. Ejemplo del Método de Lagrange Se desea minimizar el costo de producción de TVs en dos fábricas. El costo viene dado por la función sujeto a una restricción de un 90 TVs que deben ser producidas .   Entonces tenemos que la restricción viene dada por:   Principalmente establecemos la función de Lagrange : Resultado    

7.       Luego, calculamos la derivada parcial para cada una de las variables: Igualamos a 0 y despejamos y      

8. Remplazamos y en . Igualamos a 0 y despejamos         Reemplazamos el valor de obtenido y para obtener sus valores. Se tiene que:      

9. Se reemplazan los valores de y en la función para así encontrar el valor mínimo de la función     Para comprobar que este es un mínimo, tomamos un valor para x o y superior al actual:       De tal manera que tenemos que el valor mínimo es 32400 que se encuentra en el intervalo (60,30)

10. Gracias por su Atención