Optimización_Logistica_Metodo_Simplex.pptx

Optimización Logística

1. Método Simplex Optimización en la Logística.

2. INTRODUCCIÓN El Método Símplex como herramienta de programación lineal fue desarrollado en la época de los años cuarenta por George Dantzing , un joven matemático. El método constituye una forma sistemática y de búsqueda intensiva a través de todas las posibles soluciones para obtener una solución óptima. Ello resulta de gran utilidad debido a su eficiencia. Además es fácil programarlo en una computadora. En contraste con el análisis gráfico, este método permite el uso de muchas variables. También permite la aplicación de cantidades de restricciones lineales con signos; mayores e igual, menores e igual y de igualdad. En comparación con el método gráfico, el método símplex tiene como punto de partida el origen siendo este la solución inicial al problema. El método prueba todos los puntos extremos gráficos aunque no necesariamente se detiene en todos los vértices. Por otro lado utiliza el concepto de álgebra de matrices en una serie de tablones

3. DEFINICIÓN El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables.

4. ¿QUE ES UNA MATRIZ IDENTIDAD? Una matriz puede definirse como una ordenación rectangular de elementos, (o listado finito de elementos), los cuales pueden ser números reales o complejos, dispuestos en forma de filas y de columnas. La matriz idéntica o identidad es una matriz cuadrada (que posee el mismo número tanto de columnas como de filas) de orden n que tiene todos los elementos diagonales iguales a uno (1) y todos los demás componentes iguales a cero (0), se denomina matriz idéntica o identidad de orden n, y se denota por:

5. VARIABLES DE HOLGURA Y EXCESO El Método Simplex trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones iniciales que se modelan mediante programación lineal no lo son, para ello hay que convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables denominadas de holgura y exceso relacionadas con el recurso al cual hace referencia la restricción y que en el tabulado final representa el " Slack or surplus" al que hacen referencia los famosos programas de resolución de investigación de operaciones, estas variables adquieren un gran valor en el análisis de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la creación de la matriz identidad base del Simplex. Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se suman si la restricción es de signo "<= " y se restan si la restricción es de signo ">=".

6. Por ejemplo:

7. MODELO DE PL EN FORMA DE ECUACIÓN El desarrollo de los cálculos con el método simplex se facilita si se imponen dos requerimientos a las restricciones de programación lineal. 1. Todas las restricciones son ecuaciones con lado derecho no negativo. 2. Todas las variables son no negativas1 Conversión de las desigualdades en ecuaciones con lado derecho no negativo. En un modelo de PL económico, el lado derecho representa la disponibilidad de un recurso, y el izquierdo el uso del recurso por todas las actividades del modelo (variables). La cantidad excedente del lado derecho respecto de izquierdo da entonces la cantidad no utilizada del recurso.

8. EL PROBLEMA DE MAXIMIXACIÓN SÍMPLEX FORMULACIÓN INICIAL Utilizando el siguiente ejemplo estableceremos la formulación inicial símplex y demostraremos la mecánica del método y su interpretación. El gerente de la Relojería la Torre desea conocer la ganancia máxima que se puede obtener de la producción y venta de dos clases de relojes económicos digitales de pulsera. La ganancia que se obtiene por la producción y venta de un reloj de hombre es de $4 y de $6 para un reloj de mujer. La empresa cuenta con 120 horas semanales para la producción de los relojes y 100 horas para la inspección y empaque de estos. La fabricación de un reloj de hombre requiere 2 horas de producción y 2 horas de inspección y empaque. Mientras que un reloj de mujer requiere 4 horas de producción y 3 horas de inspección y empaque.

9. La formulación del problema para esta situación es la siguiente: Maximizar Z = $4X1 + $6X2 Sujeto a: 2X1 + 4X2 ≤ 120 (horas de producción) 2X1 + 3X2 ≤ 100 (horas de inspección y empaque) (X1, X2 ≥ 0) Donde X1 = cantidad de relojes de hombre que se producen semanalmente. X2 = cantidad de relojes de mujer que se producen semanalmente. Ejemplo 1

10. Luego de formular el problema procedemos a trabajar primero con las restricciones y luego con la función objetivo. Comenzamos cambiando los signos de las restricciones de desigualdades a igualdades. El método símplex requiere la conversión de las restricciones con signos de desiguales a igualdades estrictas. Esto se debe a que el método usa álgebra de matrices en donde todas las relaciones matemáticas serán a base de ecuaciones lineales y que a su vez deben contener todas las variables. Llamaremos a este procedimiento como aumento de las restricciones y de la función objetivo. Ejemplo 1

11. AUMENTO DE LAS RESTRICCIONES Y DE LA FUNCIÓN OBJETIVO El aumento de las restricciones y de la función objetivo surge porque el método símplex comienza por definición en el origen es decir en el punto (0,0) y de este punto al valor de las restricciones existe una diferencia. Esta diferencia se conoce como holgura y por cada restricción que tenga el problema tendremos una o más variables las cuales el método tomará en consideración. Comencemos con la primera restricción: 2X1 + 4X2 ≤ 120 (horas de producción) Al analizar la restricción hallamos que el lado izquierdo es menor que el lado derecho. Para poder hacer el cambio de la desigualdad a igualdad tendremos que añadir una variable que absorba la diferencia entre ambos lados. En este caso la variable representa recursos no utilizados o recursos disponibles. Esta variable se conoce como variable de holgura o " Slack ". Ejemplo 1

12. La primera restricción se reformula asignándole una variable de holgura positiva conocida como S1, la que aparecerá de la siguiente forma: 2X1 + 4X2 + S1 = 120. La variable S1 se relaciona con la primera restricción. De manera parecida procedemos a reformular la segunda restricción: 2X1 + 3X2 ≤ 100 (horas de inspección y empaque). Encontramos que esta restricción también posee un signo de desigualdad que es menor o igual por lo tanto el lado izquierdo es menor que el derecho. Para poder llevar la ecuación a igualdad tendremos que también añadir una variable de holgura positiva que absorba la desigualdad. De tal manera la segunda restricción se reformula de la siguiente forma: 2X1 + 3X2 + S2 = 100 en donde S2 se relaciona con la segunda restricción. Tenemos que ambas restricciones se presentan de la siguiente forma: Ejemplo 1

13. 2X1 + 4X2 + S1 = 120 2X1 + 3X2 + S2 = 100 La variable de holgura S1 representa las horas de producción no utilizadas y la variable S2 representa las horas de inspección y empaque no utilizadas. Si por definición el método símplex comienza en el origen (0,0) donde X1 = 0 y X2 = 0, entonces esto significa que por ahora no hay producción de relojes de ninguna clase (X1 = relojes de hombre y X2 = relojes de mujer). El no tener producción significa que los recursos disponibles son 120 horas de producción y 100 horas de inspección y empaque. Esta situación la representamos de la siguiente forma para la primera restricción: 2X1 + 4 4X2 + S1 = 120 donde X1 = 0 y X2 = 0. Al sustituir los valores de X1 y X2 en la primera restricción tendremos el siguiente resultado: 2(0) + 4(0) + S1 = 120 por lo tanto S1 = 120 horas disponibles es decir tenemos 120 horas de producción disponibles porque no hay producción alguna.

14. Lo mismo sucederá con la segunda restricción: 2X1 + 3X2 + S2 = 100, al sustituir, X1 y X2 en la segunda restricción, se obtendrá el siguiente resultado: 2(0) + 3(0) + S2 = 100 por lo tanto S2 = 100. Esto representa 100 horas disponibles para inspección y empaque. ¿Por qué? Por que no hay producción. Por lo tanto cuando X1 = 0 y X2 = 0, S1 = 120 horas y S2 = 100 horas. Si hacemos una comparación gráfica, estaríamos en el origen, punto I, según lo demuestra la siguiente gráfica

15. Para aquellas variables simplex que no aparecen en una ecuación se le añaden coeficientes de 0. Veamos la nueva formulación: 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 120 2X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 = 100 Esto no afecta a las ecuaciones a las cuales se les agregan los coeficientes. Por ejemplo en la primera restricción S2 posee un coeficiente de 0 porque la variable S2 se refiere a la segunda restricción en donde en el punto (0,0) existe un sobrante de 100 horas. Estas horas se relacionan con la segunda restricción y no con la primera. De igual manera sucede con la segunda restricción. La variable S1 se relaciona con la primera restricción indicando que hay disponible 120 horas.

16. Estas variables de holgura no producen ganancia alguna porque se relacionan con los recursos por lo tanto serán añadidas a la función objetivo y sus coeficientes serán 0 porque estas no aportan a la ganancia. Al reformular la función objetivo junto con las restricciones tendremos que estas se expresan de la siguiente forma: Maximizar Z (ganancia) = $4X1 + $6X2 + $0S1 + $0S2 Sujeto a: 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 120 2X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 = 100 (X1, X2, S1, S2 ≥ 0)

17. COMO OBTENER UNA SOLUCIÓN INICIAL Las dos restricciones consideradas en la formulación del problema establecen dos ecuaciones y cuatro variables (X1, X2, S1, S2). El uso del álgebra para aquellos casos donde tenemos cuatro variables desconocidas y solo dos ecuaciones, conlleva igualar dos de las variables a 0 y luego resolvemos para las otras dos variables restantes. Es decir si X1 = X2 = 0 entonces S1 = 120 y S2 = 100. Esto se conoce como una posible solución o solución básica factible. El método símplex comienza con una solución inicial básica en donde todas las variables reales Xj son cero. Esta solución siempre produce una ganancia de 0 y valores de las variables de holgura iguales al valor de las constantes que aparecen al lado derecho. Si se fija en la gráfica anterior la solución inicial símplex será el punto de origen (0,0). Esta es una solución posible pero no es la mejor solución. Como se indicó anteriormente el método símplex solo considera soluciones que son factibles, es decir no toma en consideración aquellas combinaciones de variables reales que violentan las restricciones ya que el método siempre cumple con estas. El violentar una o más restricciones conlleva la no existencia de una solución y algunos mencionan esta situación como solución o soluciones no factibles.

18. CUADRO INICIAL Colocamos todos los coeficientes y constantes en un tablón. Esto simplifica el manejo de las ecuaciones y de la función objetivo. Veamos el siguiente modelo para un cuadro inicial. Cj = forma aumentada de los coeficientes de la función objetivo Ci = coeficientes de las variables básicas aij = forma aumentada de los coeficientes de las restricciones o tasa de sustitución bi = valores del lado derecho de las restricciones z = valor de la función objetivo Zj = reducción de ganancias, aumento en costos asociados con la introducción de una de sus valores en las columnas respectivas ∆ Zj = Cj - Zj = índice de mejoramiento o renglón de criterio símplex Ratio = límites introductorios

19. En suma, con estos parámetros del tablón símplex tenemos dos clases de variables a considerarse, variables básicas y variables no básicas. Por definición las variables básicas son aquellas que poseen un ∆ Zj = 0 y las variables no básicas poseen ∆ Zj desiguales a 0. Procedemos a llenar el cuadro inicial utilizando la función objetivo y las restricciones de forma aumentada. Maximizar Z (ganancia) = $4X1 + $6X2 + $0S1 + $0S2 Sujeto a: 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 120 2X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 = 100 (X1, X2, S1, S2 ≥ 0)

20. Comenzamos con la función objetivo. Luego seguimos con los coeficientes de las restricciones o tasa de sustitución y la constante o el valor derecho de las restricciones. Por ejemplo para la primera restricción el coeficiente que representa horas de consumo del recurso de producción para relojes de hombres (X1) es 2 horas y se ubica en la primera fila, primera columna. La posición en el tablón será a11 y así sucesivamente con los demás coeficientes. Para los relojes de mujer (X2) es 4 horas y estará ubicada en la posición a12 en el tablón. En relación al lado derecho de la primera restricción el valor de b1 es 120. Hacemos lo mismo para la segunda restricción. Veamos el siguiente cuadro.

21. En este cuadro inicial las variables básicas, que están en la solución, son las variables de holgura S1 y S2. Estas variables estarán ubicadas a lado izquierdo del tablón y sus ∆ Zj son cero. Esto sucede porque la solución inicial símplex es en el origen (0,0) por lo tanto si X1 = 0 y X2 = 0 entonces al no fabricar ningún tipo de relojes, los recursos disponibles serán S1= 120 horas de producción y S2 = 100 horas de inspección y empaque. Los coeficientes Ci de estas variables básicas son 0 porque no tienen efecto sobre la ganancia y estarán localizados en la parte izquierda dentro del tablón.

22. Busquemos ahora los valores para Zj . Si no se están fabricando relojes entonces los costos o la reducción en las ganancias tiene que ser cero así como el valor final de la función objetivo Z. Por ejemplo la producción de la variable de decisión real X1 (relojes de hombres) consume 2 horas de producción y 2 horas de inspección y empaque según lo indica sus coeficientes aij o tasa de sustitución. Como no hay producción, la variable básica para la primera restricción o primer recurso será S1 = 120 con un coeficiente C1 = 0, es decir 0 aportación a las ganancias. De igual forma sucede con la segunda restricción en donde C2 = 0.

23. Esta situación se refleja de la siguiente forma Zj = Σ Cijaij . C1 a11 C2 a21 Z1 = (0)(2) + (0)(2) = 0; este valor irá en la primera columna para el renglón Zj debajo de la columna X1. C1 a12 C2 a22 Z2 = (0)(4) + (0)(3) = 0; este valor irá en la segunda columna para el renglón Zj debajo de la columna X2. C1 a13 C2 a23 Z3 = (0)(1) + (0)(0) = 0; este valor irá en la tercera columna para el renglón Zj debajo de la columna S1. C1 a14 C2 a24 Z4 = (0)(0) + (0)(1) = 0; este valor irá en la cuarta columna para el renglón Zj debajo de la columna S2. El cálculo para hallar la ganancia (Z), con valor es 0 se realiza de forma parecida donde Z = Σ Cijbi . Z = (0)(120) + (0)(100) = 0 Trasladamos estos datos al tablón inicial.

24. El último paso para terminar el tablón será calcular los cambios en Zj , (∆ Zj ) para las columnas. Estos cambios se calculan restando los coeficientes de la función objetivo por el Zj correspondiente es decir ∆ Zj = CJ - Zj . ∆Z1 = C1 - Z1 = 4 – 0 = 4 ∆Z2 = C2 - Z2 = 6 – 0 = 6 ∆Z3 = C3 - Z3 = 0 – 0 = 0 ∆Z4 = C4 - Z4 = 0 – 0 = 0

25. Trasladamos estos datos al tablón inicial y tenemos nuestro primer tablón símplex . Analizamos el tablón y encontramos que este posee una matriz identidad. La matriz identidad es aquella que está compuesta por diagonales de 1 y cero. Para este ejemplo la matriz se encuentra debajo del las variables de holguras S1 y S2. Al obtener una solución final la matriz identidad se trasladará al lado derecho debajo de las variables reales X1 y X2 o se obtendrá algo parecido a una matriz identidad.

26. MEJORANDO EL CUADRO INICIAL Para mejorar la solución el método símplex seleccionará el mejor cambio en Zj , (∆ Zj ), es decir el más grande o más positivo. Este cambio nos indicará que variable deberá entrar en la próxima solución. Si tomamos en consideración la función objetivo: Maximizar Z = $4X1 + $6X2 + $0S1 + $0S2, lo más seguro que usted escogerá la variable X2 como aquella que conviene producir, porque esta nos da un rendimiento mayor que la variable X1, ya que la ganancia que provee X2 es de $6 en comparación con la ganancia de $4 que proporciona la variable X1. Aparentemente la compañía ganará más si vende relojes para las damas en vez de relojes para caballeros.

27. El método símplex hace un análisis parecido. Siempre selecciona el mejor coeficiente. Como se está maximizando, el método escogerá el valor que otorgue el mayor rendimiento, es decir el más positivo y el más negativo para casos de minimización. Utilizando la solución del cuadro inicial, seleccionamos el mejor cambio en Zj , entre ∆Z1 = 4 para la columna X1 y el ∆Z2= 6 para X2 y lo circulamos. Este mejor cambio nos indicará qué variable no básica en la columna se convertirá en variable básica. Es decir, qué variable se va a producir y que a su vez provea un mejor rendimiento o una nueva y mejor solución al problema. También el mejor cambio en Zj , ∆Z2= 6 en este caso, aumentará la ganancia actual de $0 por seis veces el numero de unidades entrantes, relojes de mujer. El método seleccionará la variable X2 porque esta posee el mejor cambio en Zj , circulamos la columna X2 y a esta columna se le conoce como la columna pivote.

28. El método ha seleccionado la producción de relojes de damas, (X2) pero queremos conocer cuántos relojes de mujer se van a manufacturar. Existen dos restricciones que limitan la producción de los relojes de damas (X2) estas son: 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 120 (horas de producción) y 2X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 = 100 (horas de inspección y empaque). Al analizar la primera restricción, 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 120 (horas de producción) encontramos que todas las horas de producción se utilizan para fabricar la variable X2 por lo tanto si la producción de una unidad de X2 toma 2 horas y se tienen en existencia 120 horas entonces se manufacturarán 30 relojes, (120 horas ÷ 4 horas por unidad = 30 relojes de damas). No obstante, para poder completar el proceso de producción, debemos inspeccionar y luego empaquetar los relojes donde la cantidad disponible de horas para el anterior proceso mencionado es de 100 horas.

29. El estudio de la segunda restricción, 2X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 = 100, demuestra que el proceso de inspección toma 3 horas donde solo se pueden inspeccionar 33.33 relojes de damas.2 Por lo tanto a pesar de que la segunda restricción indica que se puede inspeccionar y empaquetar más relojes (33.33) de los que se pueden producir (30), en realidad solo hay recursos para hacer 30 relojes. Si por error se decide manufacturar 33.33 relojes entonces habrá una deficiencia de 13.32 horas necesarias para completar la producción. Veamos el porqué de lo antes mencionado. La fabricación de 33.33 relojes requiere 4 horas por cada reloj del recurso horas de producción, para un total de 133.32 horas requeridas (4 horas x 33.33 relojes). El total de horas disponible para la producción de relojes son 120 por lo tanto faltarán 13.32 horas para poder hacer los 33.33 relojes (120 – 133.32). Esto significa que la producción se quedará corta por 3.33 relojes (-13.32 horas ÷ 4 horas de producción).

30. El proceso mecánico del método símplex toma en consideración lo antes mencionado mediante el cálculo de un Ratio o límite introductorio para cada renglón y luego selecciona el Ratio positivo más pequeño entre los renglones. Este Ratio indica la razón de entrada y salida para la nueva variable básica. Esto aplica para ambos casos, maximización y minimización. Es decir sabemos que la variable entrante, la nueva variable básica es X2 y ésta deberá ocupar su lugar al lado extremo izquierdo donde están ubicadas las variables de holguras S1 y S2. La búsqueda del mejor Ratio nos indicará cuál de las variables básicas, S1 y S2 saldrá para dar paso a la nueva variable entrante, variable básica X2 o lo que es lo mismo en cuál fila se ubicará la variable. Para lograr lo antes mencionado, el método calcula para cada renglón un Ratio, dividiendo el valor del lado derecho ( bi ) entre el coeficiente aij correspondiente y luego selecciona el positivo más pequeño. Para este caso se usarán los coeficientes aij correspondiente a la columna pivote (columna X2).

31. El ratio positivo más pequeño es 30 por lo tanto la variable S1 ubicada en el primer renglón saldrá y en su lugar la ocupará la variable X2. A este renglón saliente se le conoce como renglón pivote porque sale para dar paso a la entrada de la nueva variable básica provista por la columna pivote. Es decir sale la variable S1, entra la variable X2 y se producen 30 unidades. Se podrá seleccionar el cero como el valor positivo más pequeño de ser necesario, ante la ausencia de un ratio positivo. Véase tablón símplex en la siguiente página.

32. El propósito del Ratio es saber el número máximo de unidades que se pueden asignar a la variable que entra y así evitar que las variables básicas tengan valores negativos o se violenten las restricciones. La selección errónea de 33.33 como el mejor Ratio violenta la primera restricción causando un faltante de 13.32 horas (33.33 x 4 horas – 120 horas disponibles de producción) y como consecuencia de está decisión, la producción se quedará corta por 3.33 relojes (-13.32 horas ÷ 4 horas de producción). El Ratio seleccionado indica una producción de 30 relojes y la columna pivote indica que estos relojes serán de damas (X2). Si la aportación a las ganancias de la variable X2 son $6 por unidad entonces la ganancia total será de $180; ($6)(30 relojes). Para expresar esta relación de entrada y salida se hace el cálculo para nuevo renglón pivote y se trasladan los resultados al segundo tablón símplex . El cálculo del nuevo renglón se realiza dividiendo el renglón pivote entre el elemento de intersección de la columna y el renglón pivote.

33. Elemento Nuevo Renglón Pivote ÷ Intersección = Renglón Pivote (2, 4, 1, 0; 120) ÷ 4 = (½, 1, ¼, 0; 30) » Trasladar al segundo tablón. La justificación para que el renglón pivote se divida entre el elemento de intersección viene de las ecuaciones lineales. El ratio positivo más pequeño seleccionado de 30 se obtuvo de la primera ecuación y de la división del valor o la constante al lado derecho (b1) de 120 entre 4. Ahora bien, cualquier ajuste que se realice a un elemento de una ecuación afecta a todos los demás elementos de esa ecuación. Es decir lo que se le haga a un lado de la ecuación afecta toda la ecuación lineal. Por ejemplo la división entre 4 al valor del lado derecho de 120 para la restricción, 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 120, afecta toda la ecuación por lo tanto toda la ecuación lineal se divide entre 4. El resultado obtenido es igual al nuevo renglón pivote

34. Luego de producir las 30 unidades de X2 se requieren que en su totalidad se inspeccionen y se empaquen para la venta. La segunda restricción se relaciona con este proceso, 100 horas disponibles. La sustitución del valor de X2 en la ecuación lineal, 2X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 = 100, indica el uso de 90 horas que se consumen del total de 100 horas disponibles del segundo recurso, creando un sobrante de 10 horas. El resultado anterior se obtiene sustituyendo X1 = 0 y X2 = 30 en la segunda ecuación. 2(0) + 3(30) + 0S1 + 1S2 = 100 S2 = 100 – 90 = 10 (horas disponibles )

35. Este procedimiento se conoce como revisión de los renglones y es mandatario para todas las filas, excluyendo el nuevo renglón pivote. A continuación se resume el proceso de revisión de los renglones según el método símplex : Halle el elemento de intersección que se encuentra entre la columna pivote y el renglón a revisarse. (3 para nuestro ejemplo) Multiplique el nuevo renglón pivote por el negativo del elemento de intersección. (½, 1, ¼, 0; 30) x – (3) = (- 3 /2 , -3, -¾, 0; -90) Súmele algebraicamente al el renglón negativo el renglón que se está revisando y trasládelo al próximo tablón. (segundo tabla símplex ) S2: + (- 3 /2, -3, -¾, 0; -90) ( 2, 3, 0, 1; 100) ( ½, 0, -¾, 1; 10)

36. Al igual que para el tablón inicial habrá que buscar los valores Zj para la nueva tabla símplex . ( Zj = Σ Cijaij .), llevarlos al segundo tablón y luego buscar la ganancia de manera parecida donde Z = Σ Cijbi . C2 a11 C2 a21 Z1 = (6)(½) + (0)(½) = 3; este valor irá en la primera columna para el renglón Zj debajo de la columna X1. C2 a12 C2 a22 Z2 = (6)(1) + (0)(0) = 6; este valor irá en la segunda columna para el renglón Zj debajo de la columna X2. C2 a13 C2 a23 Z3 = (6)(¼) + (0)(-¾) = 3 /2; este valor irá en la tercera columna para el renglón Zj debajo de la columna S1. C1 a14 C2 a24 Z4 = (6)(0) + (0)(1) = 0; este valor irá en la cuarta columna para el renglón Zj debajo de la columna S2. Z = (6)(30) + (0)(10) = 180 Finalmente para completar el tablón habrá que buscar los ∆ Zj correspondientes donde ∆ Zj = CJ – Zj .

37. ∆Z1 = C1 - Z1 = 4 – 3 = 1 ∆Z2 = C2 - Z2 = 6 – 6 = 0 ∆Z3 = C3 - Z3 = 0 – 3 /2 = - 3 /2 ∆Z4 = C1 - Z4 = 0 – 0 = 0 INTERPRETACIÓN DE LA SEGUNDA TABLA SÍMPLEX El siguiente tablón símplex hace un resumen de todos los datos pertinentes a la empresa para ser interpretados.

38. La búsqueda de la solución actual se obtiene al interpretar los resultados del segundo cuadro. Se analizan las variables básicas y no básicas, se leen el valor de estas variables y finalmente se busca la ganancia. Las variables básicas son aquellas con ∆ Zj = 0 y con valores al lado derecho ( bi ) mayores e iguales a cero. La razón por la cual estos cambios son cero se debe a que estas variables hicieron su aportación máxima a la ganancia. La variable X2 posee con ∆Z2= 0 y su valor a la extrema derecha (b1) es 30. Mientras que la variable S2 también posee un ∆ Zj = 0 con un valor de 10. Note que para ambas variables existe un coeficiente de 1, ubicado en la intersección entre la columna y el renglón donde se encuentra la variable.

39. Las variables no básicas son aquellas con ∆ Zj ≠ 0 y con valores de cero. Su valor es cero porque no están o no aportan a la solución. Además estás variables tienen cambios positivos o negativos. Las variables no básicas para el segundo tablón son: X1 con ∆Z1 = 1 y S1 con ∆Z3 = - 3 /2 y los valores de estas dos son cero. La ganancia ( Zj ) será de $180. Se puede cotejar si la ganancia expresada en el tablón es la correcta utilizando la siguiente relación aritmética; Zi +1 = Zi + (mejor ∆ Zj )( mejor Ratio). ZII = ZI + (mejor ∆ZI)( mejor RatioI ). ZII = $0 + ($6)(30 ) = $180.

40. En conclusión la mezcla para la producción de los relojes se encuentra en el punto (0, 30) en donde la producción semanal será de 30 relojes de mujer y 0 relojes de hombre. Además se utilizó el total de horas de producción para hacer los relojes y existe un sobrante de 10 horas disponibles de inspección y empaque para una ganancia de $180. Al comparar la solución símplex con el análisis gráfico encontramos la solución en el punto II.

41. Producto Componentes Precio de Venta ($/Unidad) C1 C2 P1 1 2 4 P2 3 1 3 Disponible 15000 10000   Problema 01: Una compañía elabora dos productos P1 y P2 cada uno requiere de componentes C1 y C2 la disponibilidad de componentes y precio de venta se muestra en el siguiente cuadro: Se pide formular el problema y optimizar el ingreso de ventas Solución 01 : Xi = unidades del producto a producir (i = 1, 2) Función Objetivo: max Z = 4X 1 + 3X 2 Restricciones: X 1 + 3X 2 <= 15,000 2X 1 + X 2 <= 10,000 X 1 , X 2 >= 0 FORMULACION DE PROBLEMAS

42. Para el problema la función objetivo Z = 4X 1 + 3X 2 indica que X1 son la unidades del producto 1 cuyo precio de venta es 4 pesos, X2 son la unidades del producto 2 cuyo precio de venta es 3 pesos. Esta función llamada objetivo será óptima si consideramos las restricciones mencionadas, es decir las unidades del producto X1 más las unidades del producto X2 multiplicado por 3 debe ser menor que 15,000 unidades.  Este problema busca encontrar una ecuación matemática que optimice el ingreso de ventas, es decir que sea mas rentable eligiendo un número determinado de componentes para la elaboración de cada producto.  Así mismo no sólo consiste en encontrar la formula matemática sino que esta en función una serie de restricciones para que se logre la optimización.

43. Fabrica Costos de Transporte (S/. / Unidad) Producción (Unidad) C1 C2 A 5 10 300 B 12 3 400 Demanda (Unidad) 250 350   Problema 02: Las capacidades de producción del producto P de las fábricas A y B, los costos por unidad transportada a los centros de consumo C 1 y C 2 y las demandas de estos son como sigue:

44. Mes Costo de Producción ($/ unidades) Venta (Unidades) 1 100 300 2 150 350 3 200 400 Problema 03: La capacidad de producción de TEXTIL-México es de 900 unidades mensuales. Los costos unitarios de producción y el compromiso mensual de venta a EXPORT-México son como sigue: Se pide formular el problema:

45. Solución 03 : Xi = Producción en el mes i (i=1,2,3) Función Objetivo: min Z = 100X 1 + 150X 2 +200X 3 Restricciones: Mes 1: X 1 <= 900 X 1 >= 300 Mes 2: X 2 <= 900 X 1 + X 2 >= 650 Mes 3: X 3 <= 900 X 1 + X 2 + X 3 >= 1050  El objetivo de este problema es minimizar los costos en función de una serie de restricciones (capacidad de producción y compromiso de venta). La función objetivo esta en función al producto de lo costos unitarios y unidades a producir. En las restricciones se considera los compromisos de venta para cada mes.

46. Problema 04: (Mezcla) Una compañía destiladora tiene dos grados de güisqui en bruto (sin mezclar), I y II, de los cuales produce dos marcas diferentes. La marca regular contiene un 50% de cada uno de los grados I y II, mientras que la marca súper consta de dos terceras parte del grado I y una tercera parte del grado II. La compañía dispone de 3000 galones de grado I y 2000 galones del grado II para mezcla. Cada galón de la marca regular produce una utilidad de $5, mientras que cada galón del súper produce una utilidad de $6 ¿Cuántos galones de cada marca debería producir la compañía a fin de maximizar sus utilidades? MARCAS GRADO I GRADO II UTILIDAD REGULAR 50% 50% $ 5 SÚPER 75% 25% $ 6

47. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x 1 = la Cantidad de güisqui de la marca regular en galones x 2 = la Cantidad de güisqui de la marca súper en galones Max Z = 5x 1 + 6x 2 …….(1) Sujeto a: 1500x 1 + 1000x 2 < 3000 …….. (2) 2250x 1 + 500x 2 < 2000 ……….(3) lo que queda Planteado x 1 , x 2 > 0

48. Conclusión El método simplex permite localizar de manera eficiente la óptima solución entre los puntos extremos de un problema de programación lineal. La gran virtud del método simplex es su sencillez, método muy práctico, ya que solo trabaja con los coeficientes de la función objetivo y de las restricciones. Es muy importante en el área empresarial ya que lo utilizan para obtener solución a los problemas de las empresas en cuanto a inventario, ganancias y pérdidas.

49. GRACIAS