Pêndulo físico

Relatório de Laboratório de Física II com o experimento do Movimento Oscilatório de um Pêndulo Físico.

1. 1

Movimento Oscilatório de um Pêndulo Físico
Acadêmicos:
Erick Soares Fernandes Oliveira¹, Fernanda Barreto, Vanessa Peter².
Prof. Pedro Dorneles
Universidade Federal do Pampa
Travessa 45, n°1650 - Bairro Malafaia - Bagé - RS - CEP: 96413-170
Email: [email protected]¹, [email protected]².

Resumo: Esse experimento tem como objetivo estudar o Movimento Oscilatório de um
Pêndulo Físico para posterior constatação do comportamento dinâmico de um corpo
suspenso, bem como para a análise das medidas de grandezas físicas. Foram utilizados
dados obtidos pela vídeo análise e também pelo sensor Photogate, calculando à partir desses
a aceleração gravitacional local. A variação da Energia Mecânica total fo i analisada,
percebendo que ela não é constante e tende a zero. Assim, o movimento de um Pênd ulo
Físico comporta-se como uma oscilação amortecida.
Palavras chave: Movimento Harmônico, MHS, Pêndulo Físico, Aceleração da Gravidade.

Introdução
Seja um sistema em situação de equilibro
estável. Quando esse sistema é levemente
afastado dessa situação e liberado, passa a
executar um movimento periódico ou
oscilatório em torno da posição de equilíbrio,
chamado de Movimento Harmônico Simples
(MHS), se não existirem forças dissipativas.
Chama-se Pêndulo Físico, qualquer corpo
rígido suspenso por um ponto P, que realiza
um movimento oscilatório num plano
vertical, em torno de um eixo horizontal
passando por P.
Para pequenas oscilações um Pêndulo Físico
realiza um movimento periódico. A
expressão abaixo mostra que o Período da
Oscilação (T) está relacionado como
movimento de Inércia (I) do corpo em
relação ao eixo de rotação, à massa total
(M) e a distância (d) entre o ponto de
suspensão e o centro de massa (CM).




O Pêndulo Físico é usado para medidas
precisas da Aceleração da Gravidade (g).
A relação do período do pêndulo pode ser
usada também para determinar o momento
de Inércia de qualquer formato. As demais
grandezas devem ser conhecidas ou
medidas apropriadamente.
O momento de Inércia (I) em torno de um
eixo passando por P, paralelo ao eixo que
passa pelo cento de massa que, por sua vez,
é perpendicular à peça retangular, é dado
pelo Teorema do Eixo Paralelo, cuja equação
é:




Onde:
Icm – momento de Inércia em torno de um
eixo perpendicular ao plano do objeto e que
passa pelo seu Centro de Massa;
M – massa da placa usada;
x – distância entre o ponto de apoio e o
centro de massa.






Figura 1 – Pêndulo Físico

(1)
(2)

2. 2

Procedimento Experimental
Lista de Equipamentos
 Cano PVC com orifícios
 Suporte para laboratório com rebite
 Rebite
 Sensor Fotoelétrico
 Cronômetro digital
 Paquímetro
 Trena Milimetrada
 Câmera Digital
 Programa de Video Análise:
Logger Pró
 Programa de Análise de Dados:
Origin 6.0
 Calculadora Científica
 Notebook
Descrição do Procedimento
O equipamento utilizado nesse experimento
é um suporte com eixo horizontal, no qual é
pendurado um tubo de PVC, com 1 1 furos,
sendo o centro de massa o 11º furo e tendo
entre eles uma distancia de
aproximadamente 5,0 cm cada furo. A
distância do CM até o primeiro furo
analisado é de 5,0 cm
O tubo é levemente afastado de sua posição
de equilíbrio, formando um ângulo menor do
que 5º, liberamos o mesmo para osc ilar, o
pêndulo foi solto no mesmo instante em que
acionamos o cronômetro manual, enquanto
o sensor fotoelétrico captava os tempos em
10 oscilações, obtivemos o período de
oscilação, repetimos este procedimento para
cada orifício e então fizemos as médias dos
valores de Período encontrados para cada
orifício.
O procedimento experimental foi realizado
da seguinte forma:
1) Com o auxílio de uma trena milímetrada
mediu-se o comprimento total do cano
e a distância entre cada orifício e o
centro de massa.
2) Mediram-se os valores dos raios interno
e externo do cano.
3) Pendurou-se o pêndulo pelo furo mais
próximo ao centro de massa a oscilar
numa amplitude pequena.
4) Para cada furo, obteve-se um vídeo das
oscilações
5) Através dos vídeos, realizou-se a analise
dos dados com o auxílio do Software
Logger Pro.
6) Para a obtenção dos gráficos utilizou-se
o Software Origin.
Dados



Tabela 1 - Dados do Pêndulo Físico
A tabela 1 apresenta dos dados
experimentais obtidos a partir do Pêndulo
Físico; e assim foi realizado o cálculo do
Momento de Inércia para cada um dos
orifícios analisados, através da expressão:
















O momento de inércia mede a distribuição
da massa de um corpo em torno de um eixo
de rotação. Quanto maior for o momento de
inércia de um corpo, mais difícil será fazê-lo
girar.
Com o cálculo do Momento de Inércia
realizado (3), utilizamos a expressão abaixo
para calcular o valor experimental dos
Períodos




O Período é o intervalo de tempo decorrido
entre duas passagens consecutivas do
móvel pelo mesmo ponto da trajetória, com
as mesmas características , levando em
consideração o momento de Inércia de cada
orifício em relação à força g que é aplicada
na extensão deste orifício até o CM.
Simbolo MedidaUnidade
Raio Interno R1 0,0216 m
Raio Externo R2 0,0135 m
Comprimento da Haste L 1,01 m
Comprimento do CM até a extremidade CM 0,51 m
(3)
(4)

3. 3

Após o cálculo do período, foi necessário
encontrar uma expressão para que fosse
exercida sobre o Pêndulo Físico em cada
Período de oscilação.




Com a análise realizada, pode-se então
montar uma tabela comparativa dos
dados. (tabela 2).
Resultados e Discussões
Com a determinação da Aceleração da
Gravidade (g) através dos dados
experimentais, constatou-se que a partir
do valor teórico já conhecido que esta
medida é de 9,81 m/s² e que os desvios
padrão para as medidas foram:
 Vídeo Análise: 9,81 ± 0,38 m/s².
 Photogate: 9,81 ± 0,36 m/s².





Tabela 2 – Dados do Período e Aceleração da Gravidade
O gráfico 1, foi obtido dispondo-se dos dados
referentes ao Período obtido pela vídeo análise,
e as respectivas distâncias ao Centro de Massa.
Gráfico 1 – Período - Vídeo Análise– Logger Pro

A disposição dos pontos experimentais
neste gráfico já era esperada, pois em um
Pêndulo Físico quanto mais próximo o pivô
estiver do Centro de Massa, menor será o
período; em contrapartida após este ponto
o período torna aumentar. Portanto, a
disposição dos pontos tende a formar uma
parábola.
Do mesmo modo, elaborou -se o gráfico 2
para que fosse possível a visualização do
comportamento do Período nos orifícios
avaliados.
Gráfico 2 – Período – Photogate - Logger Pro

Obteve-se o gráfico 3, correlacionando os
valores dos Períodos obtidos na Vídeo
Análise e Photogate, com as respectivas
distâncias ao Centro de Massa.






Gráfico 3 – Comparativo de Períodos – Logger Pro

Percebe-se neste gráfico que os pontos
referentes à Vídeo Análise e Photogate
ficaram bem próximos. Porém, há uma
margem de erros, devido a fatores
experimentais.
Através do gráfico 3, pode -se observar
ainda que o menor valor do Período (T) se
dá quando o pivô está localizado na
metade da distância entre a extremidade e
o Centro de Massa. Essa distância
corresponde a 30,0 (cm) e os períodos são
1,5324 segundos de acordo com a Vídeo
(5) Centro de
Massa
(m)
Período Teórico
Período
Video Análise
Aceleração da
Gravidade (cm/s²)
Período
Photogate
Aceleração da
Gravidade (cm/s²)
0,05 2,6497 2,6564 8,785 2,669 9,185
0,10 1,9618 1,9570 9,872 1,972 8,748
0,15 1,6955 1,6996 9,784 1,7068 9,728
0,20 1,5901 1,5870 9,667 1,5957 9,704
0,25 1,5412 1,5418 9,965 1,5381 9,858
0,30 1,5335 1,5324 10,034 1,5267 9,890
0,35 1,5397 1,5453 9,974 1,5451 9,812
0,40 1,5663 1,5707 9,648 1,5623 9,914
0,45 1,5915 1,6039 9,731 1,599 9,871
0,50 1,6303 1,6425 9,822 1,6375 9,870
Médias 1,7301 1,73366 9,7282 1,73522 9,658
Video Análise Photogate

4. 4

Análise e 1,5267 com o Photogate.
Para confirmar este resultado vamos
derivar a expressão do Período em função
de x, que corresponde à distância.






1) Consideremos:





2) A derivada ficará






3) A partir daí, é extraído o valor de x




















































E igualando a equação a 0, temos





















4) Resolvendo a equação









Como x refere-se ao valor do Centro de
Massa, a expressão acima confirma que
o menor valor do Período diz respeito
ao Centro de Massa aproximadamente
em 29,18 cm (0,2918m), ou Período
igual à 1,5354 (segundos) de acordo
com a Video Análise e 1,5276
(segundos) de acordo com o Photogate,
respectivamente.





Gráfico 4 – Velocidade – Logger Pro
O gráfico 4 mostra a velocidade em função
do tempo quando o centro de massa é
igual a 15,0 cm. A partir desse gráfico é
possível fazer uma análise da Energia
Mecânica Total. Sabe-se que:







Energia Total = Cinética + Potencial.
A Energia Mecânica Total E é relacionada
com a amplitude A do movimento. Quando
o corpo atinge o ponto x=A (deslocamento
máximo a partir da posição de equilíbrio),
ele para momentaneamente e depois
retorna para o seu ponto de equilíbrio.
Então, quando x=A (ou x= -A), v=0. Para
este ponto não há Energia Cinética e a
Energia Total é inteiramente Potencial.




Nesses pontos a partícula para e muda de
sentido. Esses pontos são chamados de
Pontos de Inversão e podem ser
identificados no gráfico da velocidade em
(6)
(7)

5. 5

função do tempo (gráfico 3), quando a curva passa pela origem.
Uma oscilação amortecida é aquela na qual
ocorre uma diminuição da amplitude
provocada por uma força dissipativa. Um
pêndulo é um Oscilador Harmônico Simples
e comporta-se como uma Oscilação
Amortecida, porque há uma força de atrito
proporcional a velocidade do corpo que
oscila.
Nas oscilações amortecidas, a força do
amortecimento não é conservativa, a
energia mecânica do sistema não é
constante e diminui continuamente,
tendendo a zero depois de um tempo.
Conclusão
A partir da realização deste experimento
foi possível calcular o valor local da
aceleração da gravidade. Com a análise
dos dados experimentais e dos gráficos
construídos foi possível observar que há
uma variação do Período em relação ao
Centro de Massa. Quanto mais próximo o
pivô estiver da metade da distância entre a
extremidade e o centro de massa, menor
será o Período; ao passar esse ponto o
Período torna a aumentar.
Notou-se, também, que p desvio padrão
dos dados do Vídeo Análise foi maior se
comparado ao desvio dos dados do
Photogate, pois essa técnica é mais
suscetível a erros experimentais.
O gráfico da velocidade em função do
tempo foi analisado também, a partir dele
foi possível chegar à conclusão de que a
Energia Mecânica Total não é constante,
pois há forças dissipativas.
Concluímos assim, que o Movimento
Oscilatório de um Pêndulo aponta para a
realidade de um movimento amortecido.
Referências Bibliográficas
Young, Hung, D. , Física II:
Termodinâmica e Ondas/ Hung D. Young.,
Roger A Freedman; tradu ção e revisão
técnica: Adir Moysés Luiz; 10ª edição –
São Paulo; Person Addison Wesley, 2003.
Tipler, Paul Allan, Física para
cientistas e engenheiros, V.2: Eletricidade
e Magnetismo/ Paul A Tipler, Gene Mosca ;
Rio de Janeiro, LTC, 2006.
www.physik.uzh.ch/~matthias/espace-
assistant/anleitung-ev_e.pdf
Acessado em 17/05/2011 às 01:28h.