Par ordenado

par ordenado

1. Dos números escritos en un cierto orden. Usualmente están escritos entre paréntesis,
así: (4,5)
Pueden ser usados para mostrar la posición en un gráfico, donde el valor "x" (horizontal)
es primero, y el valor "y" (vertical) es el segundo.
Aquí el punto (12,5) está 12 unidades a lo largo, y 5 unidades arriba.

Cuando hablamos de par ordenado, nos estamos refiriendo a dos números, o figuras,
encerrados en un paréntesis.
Su representación general es: ( a , b )
Respecto a esto, podemos preguntarnos ¿cómo se obtiene un par ordenado?, ¿para qué sirve
un par ordenado?
Un par ordenado se puede obtener desarrollando una función o realizando la operación
llamada producto cartesiano.
Como consecuencia, un par ordenado sirve para representar un subconjunto del producto
cartesiano entre dos conjuntos, un punto en un plano cartesiano o bien una razón o una
función en el cual veremos en la siguente informacion en la cual Tenemos Tambien ejemplos,
definiciones, conceptos, la igualdad de los pares ordenados, el plano cartesiano, como se
construye, el producto cartesiano que conocimientos Basicos para enriquecer nuestros Tema
y ampliar nuestro
conocimiento.

3. n matemáticas, un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se
distingue un primer elemento y un segundo elemento. El par ordenado cuyo primer
elemento es a y cuyo segundo elemento es b se denota como (a, b).
Un par ordenado (a, b) no es el conjunto que contiene a a y b, {a, b}. Un conjunto está
definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos
es también parte de su definición. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son idénticos,
pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos.
Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o vectores 2-
dimensionales. La noción de una colección finita de objetos ordenada
puede generalizarse a más de dos objetos, dando lugar al concepto
de n-tupla.
El producto cartesiano de conjuntos, las relaciones binarias y
las funciones se definen en términos de pares ordenados.



a propiedad característica de igualdad entre pares ordenados es su única
propiedad relevante para su uso en matemáticas.
1
Sin embargo, en teoría de
conjuntos se construyen todos los objetos matemáticos a partir de conjuntos:
números, funciones, etc. En este contexto, se utiliza una definición de par ordenado
como un tipo particular de conjunto.
La definición conjuntista más habitual, debida a Kuratowski, es:

Mediante el axioma de intencionalidad y el axioma del par puede demostrarse que
este término define un conjunto, con la propiedad característica del par ordenado.
para todo x e y Para ver que esta definición de par ordenado es adecuada, hemos de
mostrar que
(a,b) = (c,d) si y solo si a = c y b = d.

para cualesquiera a, b, c, d. Sea pues (a,b) = (c,d). Entonces

{a} = {c} y {a,b} = {c,d} o {a} = {c,d} y {a,b} = {c}.
Si a = b, todo se reduce fácilmente a a = b = c = d considerado que dos conjuntos son
iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Si , entonces no puede ser {a} =
{c,d} y {a,b} = {c}, pues si {a,b} = {c} resulta a = b = c por definición de la igualdad de
conjuntos, lo que contradice , y por tanto ha de ser {a} = {c} y {a,b} = {c,d}, con lo que

4. claramente a = c, además de que b = d, pues suponer que b = c nos lleva de nuevo a
a = b cuando la hipótesis dice lo contrario.
a definición de par ordenado anterior se debe a Kuratowski, quien la
introdujo en 1921.


Ejercicio: Probar que es posible definir el par ordenado por

para todo x e y mostrando que en ese caso también se cumple

(a,b) = (c,d) si y solo si a = c y b = d.

para cualesquiera a, b, c y d. Esta definición de par ordenado la dio Weiner en
1914.

Ejercicio: Considérese la definición de pares ordenados de Kuratowski .
Probar que si y , entonces . Probar que, más generalmente, si y , entonces

1.6.2. La definición de par ordenado se puede generalizar inductivamente para
cualquier número n de componentes, mediante la ecuación
.
1.6.3. Sean x e y dos conjuntos. El producto cartesiano de x e y es el conjunto
definido por y .
Es decir, es el conjunto de todos los pares ordenados cuyo primer
componente es un elemento de x y segundo componente un elemento de y.
Dados cualesquiera dos conjuntos x, y, z, tenemos

( P-1 )

( P-2 )

( P-3 )

( P-4 ) si y solo si o

(P-5)y si y solo si

6. Tema: Igualdad de pares ordenados
¿Que es una igualdad? Equivalencia de dos ca ntidades o
expresiones.

¿Que es una igualdad de pares ordenados?
En matemática, un par ordenado es un par (a,b) de objetos a y b , talque si (c,d) es el otro
par ordenado,(a,b) y (c,d) serán iguales si y solo si a=c y b=d. Lo anterior
sirve para garantizar el orden de los componentes.
Igualdad de pares ordenados.
Dos pares ordenados son iguales, si y solo si son iguales sus respectivas componentes. Es
decir que (a,b) = (c=d) si y solo si a=c y b=d.
Ejemplo #1.

(2x+5; 8) = (7;y+10)

Explicación:
2x+5 es la primera componente del primer par ordenado (a)
8 es la segunda componente del primer par ordenado (b)
7 es la primer componente del segundo par ordenado (c)
y+10 es la segunda componente del segundo par ordenado (d)

Cuando tenemos dos pares ordenados, que son iguales se debe de cumplir que la primera
componente del primer par ordenado debe ser igual a la primera componente
del segundo par ordenado.


Lo mismo sucede con las segundas componentes ambas segundas componentes deben ser
iguales,asi tenemos que si (a,b) es igual a (c,d) se debe cumplir entonces que a es igual a c y b es
igual a d
Solución al ejemplo #1.
(2x+5; 8 ) = (7; y+10)
Establecemos dos ecuaciones

Primera ecuación
2x+5=7
2x=7-5
2x=2
x=2/2
x = 1

(2x+5;8)=(7:y+10)
[2(1)+5;8]=[7;-2+10]
(2x+5;8)=(7:y+10)
[2(1)+5;8]=[7;-2+10]

[2+5;8]=[7;8]

[7;8]=[7;8]
Por lo tanto diremos que para este ejemplo se cumple la igualdad de pares ordenados ya que ambas

7. primeras componentes es 7 tanto en el primer par ordenado como el segundo par ordenado; lo mismo
para las segundas componentes cuyo valor es 8.