Paralelepípedo e pirâmide

1. Geometria Espacial
(Paralelepípedo e Pirâmide)
Paralelepípedo: Definição, Tipos, Área da
Base (A
B), Área Lateral (A
L), Área Total (A
T) e
Volume (V).Pirâmide: Definição, Elementos,
Classificação, Planificação, Área da Base (A
B),
ÁreaLateral(A
L),ÁreaTotal(A
T)eVolume(V).
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2. Paralelepípedos–Definição
Paralelepípedoé um prisma composto por 6
facesasquaissãoparalelogramos.
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3. TiposdeParalelepípedos
Osparalelepípedospodemser:
ParalelepípedoOblíquo:

Paralelepípedo
Reto
:

Paralelepípedo
Reto
:
ParalelepípedoReto-retângulo:
(ou Paralelepípedo Retângulo, ou Ortoedro ou Bloco
Retangular)
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4. TiposdeParalelepípedos
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 01
Classifiqueosparalelepípedosoblíquooureto:
(A) (B)
(C) (D)
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5. TiposdeParalelepípedos
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 01
Classifiqueosparalelepípedosoblíquooureto:
(A)
Oblíquo
(B)
Reto
(C)
Reto
(D)
Oblíquo
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6. ÁreadaBase(A
B)
Como o paralelepípedo é composto por quadriláteros,
então a área da base será a área do quadrilátero (que
dependedocaso).
Retângulo
Quadrado
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Retângulo
Quadrado
A b h
= ×
2
A l
=

7. Área Lateral (A
L)
Para o exemplo a seguir a área lateral de um
paralelepípedoédadapor:
A
L= 2(ac + bc)
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8. Área Total (A
T)
Para o exemplo a seguir a área total de um
paralelepípedoédadapor:
A
T= 2(ab + ac + bc)
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9. Área Total (A
T)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 02
Deseja-se confeccionar um cubo utilizando para tanto
uma folha de zinco com 24 dm
2
. Qual será a medida da
arestadocuboemcentímetros?
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10. Área Total (A
T)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 02
Deseja-se confeccionar um cubo utilizando para tanto
uma folha de zinco com 24 dm
2
. Qual será a medida da
arestadocuboemcentímetros?
SOLUÇÃO SOLUÇÃO A
T=2(a
2
+a
2
+a
2
)=24dm
2
2(3a
2
)=24
6a
2
=24
a
2
=4
a=2dmx10a=20cm
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11. Volume
Assim como os prismas o volume do
PARALELEPÍPEDO é dado pelo produto da área da
base(A
B)pelaalturadoparalelepípedo(h).
V = A
Bx h
Noexemploacimaovolumeé:V=abc
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12. Volume
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 03
Qualovolume,emlitros,deumacaixad’águaquetema
forma de um paralelepípedo reto-retângulo e possui 1
metro de largura, 2 metros de comprimento e 1,5 metros
de
altura?
de
altura?
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13. Volume
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 03
Qualovolume,emlitros,deumacaixad’águaquetema
forma de um paralelepípedo reto-retângulo e possui 1
metro de largura, 2 metros de comprimento e 1,5 metros
de
altura?
de
altura?
SOLUÇÃO
a=1mx10=10dm V=10x20x15
b=2mx10=20dm V=3000dm
3
c=1,5mx10=25dm OU
V=abc=? V=3000L
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14. Pirâmide –Definição
Pirâmideé a reunião dos segmentos de reta com
extremidades em V (no vértice) e a outra nos pontos do
polígonocontidonoplano.
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15. Elementos do Pirâmide (Parte I)
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16. Elementos do Pirâmide (Parte II)
Altura:Éadistânciaentreovérticeeabase.
Aresta da Base: Os segmentos que unem os vértices
dopolígonodabase.
Aresta Lateral: Os segmentos que unem os vértices do
polígono
da
base
ao
vértice
da
pirâmide
.
polígono
da
base
ao
vértice
da
pirâmide
.
Base:Éaregiãopoligonalnaqualapirâmideseapoia.
Face: É a região triangular delimitada pelas aresta da
base,arestalateraleovérticedapirâmide.
Vértice:Éopontomaisdistantedabasedapirâmide.
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17. Elementos do Pirâmide (Parte II)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 04
Identifiqueoselementosdapirâmideaseguir:
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18. Elementos do Pirâmide (Parte II)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 04
Identifiqueoselementosdapirâmideaseguir:
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19. Classificação da Pirâmide (Parte I)
Apirâmidepodeserclassificadaquanto:
Polígonodabase:
Aprojeçãoortogonaldovértice:
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20. Classificação da Pirâmide (Parte II)
OBS.:
NaPirâmide Retaa projeção ortogonal (ou vertical) do
vértice sobre o plano da base coincide com o centro da
base, enquanto naPirâmide Oblíquaa projeção
ortogonal
(ou
vertical)
do
vértice
sobre
o
plano
da
base
ortogonal
(ou
vertical)
do
vértice
sobre
o
plano
da
base
NÃOcoincidecomocentrodabase.
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21. Classificação da Pirâmide (Parte II)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 05
Classifique as pirâmides abaixo quanto ao polígono da
baseequantoaprojeçãoortogonaldovértice.
(A)
(C)
(A)
(C)
(B) (D)
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22. Classificação da Pirâmide (Parte II)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 05
Classifique as pirâmides abaixo quanto ao polígono da
baseequantoaprojeçãoortogonaldovértice.
(A)
(C)
(A)
(C)
QuadrangularReta PentagonalOblíqua (B) (D) QuadrangularOblíqua HexagonalReta
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23. Planificações de Pirâmides
Até o presente momento mostramos as pirâmides,
apenas, em perspectiva. Agora iremos apresentar
algumasrepresentaçõesplanasdepirâmides.
AbaixotemosasplanificaçõesdePirâmidesdebase:
Triangular Quadrangular Pentagonal Hexagonal
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24. Planificações de Pirâmides
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 06
Classifiqueasplanificaçõesdaspirâmidesabaixoquanto
aoseupolígonodabase.
(A)
(C)
(A)
(C)
(B) (D)
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25. Planificações de Pirâmides
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 06
Classifiqueasplanificaçõesdaspirâmidesabaixoquanto
aoseupolígonodabase.
(A)
Triangular
(C)
Quadrangular
(A)
Triangular
(C)
Quadrangular
(B)
Hexagonal
(D)
Pentagonal
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26. Área da Base (A
B)
Nesse caso a área da base da pirâmide é a área do
polígonoquecompõesuabase.
Retângulo Quadrado Triângulo Hexágono
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A b h
= ×
2
A l
=
2
b h
A
×
=
2
3 3
2
l
A=

27. Área da Base (A
B)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 07
Calcule a área da base de uma pirâmide de base
quadradacujaarestadabasemede8cm.
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28. Área da Base (A
B)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 07
Calcule a área da base de uma pirâmide de base
quadradacujaarestadabasemede8cm.
SOLUÇÃO
l
=
8
cm
l
=
8
cm
A
B=l²=8²=64cm²
l=8cm
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29. ÁreaLateral–A
L(ParteI)
Para começo de história devemos saber encontrar a
apótema da pirâmide regular. Para só então
encontrarmosaárealateral.
Antesvejamosumexemplo:
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30. ÁreaLateral–A
L(ParteII)
Perceba que o apótema da pirâmide será a hipotenusa
do triângulo VMN e também será a altura do triângulo
quecompõeafaceBCV.
Notequenapirâmideregularasfacesãocongruente.
Portanto
a
área
lateral
(A
)
da
pirâmide
é
a
soma
das
Portanto
a
área
lateral
(A
L
)
da
pirâmide
é
a
soma
das
áreasdafacedapirâmidequeédadapor:
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1
4 4
2
L L
A A A la
∆
= ×
⇒
= ⋅
⇒
perímetro
1 2
4
2 2
L L
p
A l a A a
= ×⇒= ×
L
A p a
= ×

31. ÁreaLateral–A
L(ParteIII)
Onde:
A
L:árealateral;
A
:áreadeumface;
l:ladodopolígonodabase;
a
:
apótema
da
pirâmide
;
a
:
apótema
da
pirâmide
;
2p:perímetro;
p:semiperímetro.
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32. ÁreaLateral–A
L(ParteIV)
Generalizando a área lateral para uma pirâmide regular
de“n”ladostemos:
A
L= pa
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33. ÁreaLateral–A
L(ParteIV)
Uma pirâmide regular de base
quadrada tem área da base 36
cm² e altura 4 cm. Qual a área
lateraldapirâmidedada?
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 08
4 cm Prof. Ary de Oliveira

34. ÁreaLateral–A
L(ParteIV)
Uma pirâmide regular de base
quadrada tem área da base 36
cm² e altura 4 cm. Qual a área
lateraldapirâmidedada?
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 08
4 cm
SOLUÇÃO
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SOLUÇÃO Encontrando o lado do quadrado (l):
A = l² = 36 cm² l = 6 cm
Encontrando o apótema (a)
a² = h² + (l/2)² = 4² + 3² = 16 + 9
a² = 25 a= 5 cm
Encontrando a área lateral (A
L):
A
L= pa= 8x5 A
L= 40 cm²
h = 4 cm
l/2 = 3 cm

35. ÁreaTotal(A
T)
Aáreatotaldeumapirâmideregularédadapelamesma
equação da área total do prisma, ou seja, a soma da
áreadabase(A
B)comaárealateral(A
L).
Dessemodoobtemososeguinte:
A
T= A
B+ A
L
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36. ÁreaTotal(A
T)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 09
De posse das informações do exercício anterior. Calcule
aáreatotal.
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37. ÁreaTotal(A
T)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 09
De posse das informações do exercício anterior. Calcule
aáreatotal.
SOLUÇÃO
A
=
36
cm²
A
=
A
+
A
A
B
=
36
cm²
A
T
=
A
B
+
A
L
A
L=40cm² A
T=36+40
A
T=? A
T=76cm²
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38. Volume(V)
O volume da pirâmide é um terço do volume do prisma
que tem mesma base da pirâmide. Não é tão elementar
ver isso, mas esta observação ajuda consideravelmente
nocálculodovolumedapirâmide.
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1
3
B
V A h
= ×

39. Volume(V)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 10
Calcule o volume do sólido (octaedro) que é a união de
duas pirâmides regulares de bases quadradas conforme
afiguraaseguir:
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40. Volume(V)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 10
Calcule o volume do sólido (octaedro) que é a união de
duas pirâmides regulares de bases quadradas conforme
afiguraaseguir:
SOLUÇÃO SOLUÇÃO A
B=l²=4²=16cm²
h=6/2=3cm
Prof. Ary de Oliveira
1 2 16 3
2
3
B
V A h V
× ×
= × ×
⇒
=
3
3
32 cm
V=