Permutaciones y combinaciones

Permutaciones y combinaciones

1. Permutaciones, combinaciones y diagrama de árbol Presentado por: Rosario Bustamante Rojas Propósito: Estudiar las permutaciones y combinaciones como técnicas de conteo.

2. ¿Qué diferencia hay? Normalmente usamos la palabra "combinación" indistintamente, sin pensar en si el  orden  de las cosas es importante. En otras palabras:      "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas" : no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.      "La combinación de la cerradura es 472" : ahora  sí  importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente  4−7−2 . Así que en matemáticas usamos un lenguaje más  preciso : Si el orden no importa, es una  combinación . Si el orden  sí  importa es una  permutación .   ¡Así que lo de arriba se podría llamar "cerradura de permutación"! Para ayudarte a recordar, piensa en " P ermutación...  P osición" En otras palabras: Una permutación es una combinación  ordenada .        PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

3. PERMUTACIONES Y COMBINACIONES Las permutaciones y combinaciones son técnicas de conteo ya que nos proporcionan información de todos las maneras posibles en que ocurre dicho evento determinado. permutaciones = ordenar elementos Combinaciones=agrupar elementos Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son : Aditivo = son pasos que deben ser llevadas a efectos uno tras otro. Multiplicativo=son formas o maneras de hacer una actividad.

4. PERMUTACIONES Permutaciones sin repetición de n elementos tomados todos a la vez. P n = n! Permutaciones circulares de n elementos. P c n=(n-1) Permutaciones sin repetición de n elementos tomados de r en r, donde r £ n Permutaciones con repetición de n elementos tomados de r en r PR a,b,c = n! a!,b!,c! Permutaciones de n elementos de los cuales p 1  son de un tipo, p 2  son de otro tipo, ¼ , p k  de otro tipo, donde p 1  + p 2  + ¼+p k  = n. n P p1+p2+p3….n = n! p1!p2!p3!

5. ¿Que son las permutaciones? Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. No se repiten los elementos El Orden si importa

6. ¿Que son las permutaciones? Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. No se repiten los elementos Orden si importa fórmula ejemplo: En una fila de un cine , hay 8 butacas ¿ De cuantas formas diferentes se pueden sentar en las butacas las 8 personas? Personas ………….a,b,c,d,e,f,g,h fórmula p 8 =8! butacas…………...1,2,3,4,5,6,7,8 P 8 =8x7x6x5x4x3x2x1 = 40320 formas diferentes PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN DE N ELEMENTOS TOMADOS TODOS A LA VEZ P n = n! P n = n!

7. FÒRMULA P c n =(n-1)! S on agrupaciones donde no hay primero un ultimo elemento, por hallarse todos en una línea cerrada . Son formas diferentes tomando todas las posiciones sobre la circunferencia relativa al primer punto (n-1). Ejemplo: de cuantas formas diferentes se pueden sentar cuatro personas en una mesa circular. Solución: n=4 P c n = (n-1)! P c n = (4-1)!= 3!= 3x2x1= 6 formas diferentes de sentar las 4 personas en la mesa circular PERMUTACIONES CIRCULARES DE N ELEMENTOS

8. La formula para contar el numero total de diferentes permutaciones es: n!= la n factorial representa el producto de n(n-1) (n-2) (n-3) hasta multiplicarlo por 1. (5!) = 5x4x3x2x1= 120 n= el total de objetos r= el total de objetos seleccionados ejemplo: tres piezas electrónicas se van a armar en una unidad conectable a un aparato de televisión. Las piezas se pueden armar en cualquier orden. ¿ De cuantas maneras se pueden armar las 3 partes. Datos: = 3! = 3! = 3x2x1 = 6 = 6 n=3 r=3 (3-3) ! 0!= 1 1 1 PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN DE N ELEMENTOS TOMADOS

9. son repeticiones de n elementos en los que uno de ellos se repite (a) veces , otro (b) veces, se repite hasta el ultimo k veces y luego hasta ( a+b+c…k = n). Este tipo de permutaciones son: PR a,b,c = n! a!,b!,c ! Ejemplo: En el palo de un barco se pueden izar 3 banderas rojas, 2 azules, y 4 verdes.¿ Cuantas señales distintas pueden indicarse con la colocacion de las 9 banderas ? PR a,b,c = n! PR 9 3,2,4 = 9! = 9x8x7x6x5x4x3x2x1 =362880 = 1260 a!,b!,c ! 3!2!4! 3! 2! 4! 288 PERMUTACIONES CON REPETICIÓN DE N ELEMENTOS TOMADOS DE R EN R

10. Ejemplo: 12 estudiantes van a ir a tabasco en 3 carros , 3 estudiantes en un carro, 4 estudiantes en el segundo carro y 5 estudiantes en el tercer carro. ¿De cuantas formas se pueden acomodar, si cualquiera puede conducir? 12 P 3,4,5 = 12! = 12X11X10X9X8X7X6X5X4X3X2X1= 479001600 =27720 3!4!5! (3X2X1) (4X3X2X1) (5X4X3X2X1) 6* 24* 120 PERMUTACIONES DE N ELEMENTOS DE LOS CUALES P 1  SON DE UN TIPO, P 2  SON DE OTRO TIPO, ¼ , P K  DE OTRO TIPO, DONDE P 1  + P 2  + ¼+P K  = N.

11. Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. COMBINACIONES Tipos de combinaciones: combinaciones normales, combinaciones con repetición y sin repetición

12. FÒRMULA n C r= n! (n-r)!r! n!= es el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n. nCr = numero de combinaciones posibles. (n-r)!= numero de elementos posibles. Ejemplo: ¿Cuantos son los posibles partidos para definir los títulos de campeón y subcampeón ( A,B,C,D)? AB CD AD BC BD CD= 6 4 C 2= 4! = 4! = 4X3X2X1 = 24 = 6 (4-2)!2! 2! 2! (2X1) (2X1) 4 COMBINACIONES NORMALES

13. Se llaman combinaciones con repetición de M elementos de A a todo subconjunto de M elementos de A en el que un elemento puede aparecer hasta M veces posible. No importa el orden Importa la naturaleza Se puede repetir elementos FÒRMULA EJEMPLO: ¿cuantas fichas tiene el juego de domino? Una ficha de domino es un rectángulo en el que hay 2 partes, en cada una de ellas hay una serie de puntos que indican la puntuación de esa parte . Estas puntuaciones van de blanca (0 puntos) a 6. tenemos de 0 a 6 puntos. C R 1,2 = ( 7+2-1 ) ( 8 ) = 8! = 8x7x6x5x4x3x2x1 = 40320 = 28 2 2 2! 6! (2x1) (6x5x4x3x2x1) 1440 COMBINACIONES CON REPETICION

14. Diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral , estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.

15. Ejemplo Si en una tienda tienes dos pantalones, dos camisas y dos zapatos de color azul y negro, calcule el numero de combinaciones posibles.

16. Bibliografía https://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-permutaciones.html https://www.academia.edu/16563466/Estadistica_II_permutaciones_y_combinaciones_y_diagrama_de_arbol http://www.itnuevolaredo.edu.mx/takeyas/Apuntes/Matematicas%20para%20Computacion/Apuntes/Permutaciones.pdf https://www.youtube.com/watch?v=fZ3Ts4suoKs https://tv.urjc.es/video/59edd01ad68b1485578b4569