Persamaan dan Pertidaksamaan, Koordinat Kartesian.pdf
AlfatirtaMufti1
0 views
29 slides
Sep 08, 2025
Slide 1 of 29
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
About This Presentation
Kalkulus: Persamaan dan Pertidaksamaan, Koordinat Kartesian
Slide Content
Pertidaksamaan
dan
Koordinat Kartesian
Tim Kalkulus 1
Teknik ElektrodanKomputer
Fakultas Teknik
Universitas Syiah Kuala
SemesterGanjil 2021/2022
2
dan
Koordinat Kartesian
Tim Kalkulus 1
Teknik ElektrodanKomputer
Fakultas Teknik
Universitas Syiah Kuala
SemesterGanjil 2021/2022
2
Outline
1.Pertidaksamaan
❑Orde 1
❑Orde 2
❑Pecahan
❑NilaiMutlak
2.Koordinat Cartesian
❑Sistem Koordinat Rektangular
❑Sistem Koordinat Polar
1.Pertidaksamaan
❑Orde 1
❑Orde 2
❑Pecahan
❑NilaiMutlak
2.Koordinat Cartesian
❑Sistem Koordinat Rektangular
❑Sistem Koordinat Polar
Pertidaksamaan
•PenyelesaianPERTIDAKSAMAAN adalah
mencarisuatuhimpunanpenyelesaiandari
semuabilanganrillyangmembuat
pertidaksamaanmenjadibenar
•Himpunan penyelesaian(HP)dari
pertidaksamaanbiasanyaberisisatubilangan
atausuatuhimpunanbilanganberhinggaatau
seluruhintervalbilanganataugabungan
semuainterval
•PenyelesaianPERTIDAKSAMAAN adalah
mencarisuatuhimpunanpenyelesaiandari
semuabilanganrillyangmembuat
pertidaksamaanmenjadibenar
•Himpunan penyelesaian(HP)dari
pertidaksamaanbiasanyaberisisatubilangan
atausuatuhimpunanbilanganberhinggaatau
seluruhintervalbilanganataugabungan
semuainterval
INGAT tentang interval
Operasi penyelesaian pertidaksamaan
•Menambahkan angka yang sama pada kedua
sisi pertidaksamaan
•Mengalikan kedua sisi pertidaksamaan dengan
bilangan positif yang sama
•Mengalikan kedua sisi pertidaksamaan dengan
bilangan negatif yang sama dengan mengganti
arah pertidaksamaan
•Menambahkan angka yang sama pada kedua
sisi pertidaksamaan
•Mengalikan kedua sisi pertidaksamaan dengan
bilangan positif yang sama
•Mengalikan kedua sisi pertidaksamaan dengan
bilangan negatif yang sama dengan mengganti
arah pertidaksamaan
Contoh 1
Selesaikan pertidaksamaan dari: 2�−7<4�−2
Penyelesaian:
2�−7<4�−2
2�<4�+5(penambahan 7)
−2�<5 (penambahan -4x)
�>−5/2 (pengaliandengan -1/2)
Selesaikan pertidaksamaan dari: 2�−7<4�−2
Penyelesaian:
2�−7<4�−2
2�<4�+5(penambahan 7)
−2�<5 (penambahan -4x)
�>−5/2 (pengaliandengan -1/2)
Pertidaksamaan Orde 2
•Faktor linier dari bentuk �–�adalah positif
untuk �>�dan negatif untuk �<�
•Hasil kali (�−�)(�−�)dapat berubah dari
positif ke negatif, atau sebaliknya, hanya pada
nilai a atau b, disebut juga dengan split point
•Faktor linier dari bentuk �–�adalah positif
untuk �>�dan negatif untuk �<�
•Hasil kali (�−�)(�−�)dapat berubah dari
positif ke negatif, atau sebaliknya, hanya pada
nilai a atau b, disebut juga dengan split point
Contoh 2
Selesaikan pertidaksamaan kuadrat
�
2
−�<6
Penyelesaian:
Sebagaimana halnya persamaan kuadrat, semua term
yang tidak nol dipindahkan ke satu sisi dan difaktorkan
�
2
−�−6<0penambahandengan−6
�−3�+2<0(pemfaktoran)
Selesaikan pertidaksamaan kuadrat
�
2
−�<6
Penyelesaian:
Sebagaimana halnya persamaan kuadrat, semua term
yang tidak nol dipindahkan ke satu sisi dan difaktorkan
�
2
−�−6<0penambahandengan−6
�−3�+2<0(pemfaktoran)
Contoh 2(lanjutan)
▪-2 dan 3 adalah split point
▪Bilangan ini membagi garis bilangan rill dalam 3 (tiga)
interval (-∞, -2), (-2,3), dan (3, ∞)
▪Pada setiap interval (x-3)(x+2) memiliki satu tanda,
apakah selalu positif atau selalu negatif.
▪Untuk menentukan tanda ini digunakan titik uji
berupa sembarang bilangan dalam ketiga selang
interval, dalam hal ini dipakai -3, 0, dan 5
▪-2 dan 3 adalah split point
▪Bilangan ini membagi garis bilangan rill dalam 3 (tiga)
interval (-∞, -2), (-2,3), dan (3, ∞)
▪Pada setiap interval (x-3)(x+2) memiliki satu tanda,
apakah selalu positif atau selalu negatif.
▪Untuk menentukan tanda ini digunakan titik uji
berupa sembarang bilangan dalam ketiga selang
interval, dalam hal ini dipakai -3, 0, dan 5
Contoh 2(lanjutan)
Contoh 3
Selesaikan pertidaksamaan
�−1
�+2
≥0
Penyelesaian:
Bila kedua sisi dikalikan dengan �+2maka akan
muncul masalah karena �+2bisa jadi positif atau
negatif, sehingga tanda pertidaksamaan bisa dibalik
atau tidak.
Selesaikan pertidaksamaan
�−1
�+2
≥0
Penyelesaian:
Bila kedua sisi dikalikan dengan �+2maka akan
muncul masalah karena �+2bisa jadi positif atau
negatif, sehingga tanda pertidaksamaan bisa dibalik
atau tidak.
•Dengan memperhatikan (�−1)/(�+2)dapat
mengubah tanda hanya pada split point
pembilang dan penyebut, yaitu 1 dan -2
•digunakan titik uji -3, 0, dan 2
•Simbol u(undefined) menyatakan bahwa hasil
bagi tidak terdefinisi pada -2
•HP adalah (−∞,−2)∪[1,∞)
mengubah tanda hanya pada split point
pembilang dan penyebut, yaitu 1 dan -2
•digunakan titik uji -3, 0, dan 2
•Simbol u(undefined) menyatakan bahwa hasil
bagi tidak terdefinisi pada -2
•HP adalah (−∞,−2)∪[1,∞)
NilaiMutlak
•Nilai mutlak dari suatu bilangan rill xdinyatakan dengan
|x|, didefinisikan sebagai :
�=�jika�≥0
�=−�jika�≤0
•Misalnya |6|=6,|0|=0,dan |−5|=−(−5)=5
•Nilai mutlak bisa dimisalkan sebagai panjang jarak tanpa
arah. Misalnya |x| adalah jarak antara xdan titik asal.
Dengan cara yang sama, |x-a|adalah jarak antara x
dengan a.
•Nilai mutlak dari suatu bilangan rill xdinyatakan dengan
|x|, didefinisikan sebagai :
�=�jika�≥0
�=−�jika�≤0
•Misalnya |6|=6,|0|=0,dan |−5|=−(−5)=5
•Nilai mutlak bisa dimisalkan sebagai panjang jarak tanpa
arah. Misalnya |x| adalah jarak antara xdan titik asal.
Dengan cara yang sama, |x-a|adalah jarak antara x
dengan a.
Sifat-sifat NilaiMutlak
▪|��|=|�||�|
▪
�
�
=
�
�
▪�+�≤�+�(pertidaksamaan segitiga)
▪�−�≥�−�
▪|��|=|�||�|
▪
�
�
=
�
�
▪�+�≤�+�(pertidaksamaan segitiga)
▪�−�≥�−�
Pertidaksamaan denganNilaiMutlak
Secara umum, bila �>0
maka:
�<�↔−�<�<�
�>�↔�<−�atau�>�
Secara umum, bila �>0
maka:
�<�↔−�<�<�
�>�↔�<−�atau�>�
Contoh 4
•Bila |�|<3, maka jarak antara �dan titik asal harus
kurang dari 3. Dengan kata lain, �secara bersamaan
harus lebih kecil dari 3 dan lebih besar dari -3,
sehingga −3<�<3
•Bila |�|>3, maka jarak antara x dan titik asal minimal
harus 3. Jadi �>3atau �<−3
•Bila |�|<3, maka jarak antara �dan titik asal harus
kurang dari 3. Dengan kata lain, �secara bersamaan
harus lebih kecil dari 3 dan lebih besar dari -3,
sehingga −3<�<3
•Bila |�|>3, maka jarak antara x dan titik asal minimal
harus 3. Jadi �>3atau �<−3
Contoh 5
Selesaikan pertidaksamaan |3�−5|≥1
Penyelesaian:
3�−5≤−1atau 3�−5≥1
3�≤4atau 3�≥6
�≤
4
3
atau �≥2
Selesaikan pertidaksamaan |3�−5|≥1
Penyelesaian:
3�−5≤−1atau 3�−5≥1
3�≤4atau 3�≥6
�≤
4
3
atau �≥2
Kuadrat
•Setiap bilanganpositifmemilikiduaakarkuadrat
•Namununtuk�≥0, maka�disebutakarkuadrat
utamadaria, yang menunjukkanakarkuadrattidak
negatif,�
2
=|�|
•Dari sifat-sifatnilaimutlak|a||b|=|ab|, maka
|�|
2
=�
2
•Operasipengkuadratantidakmempertahankan
ketidaksamaan, misal: −3<2, tetapi|(−3)|
2
>|2|
2
•Namununtukbilangan-bilangantidaknegatif, maka
�<�֞�
2
<�
2
•Setiap bilanganpositifmemilikiduaakarkuadrat
•Namununtuk�≥0, maka�disebutakarkuadrat
utamadaria, yang menunjukkanakarkuadrattidak
negatif,�
2
=|�|
•Dari sifat-sifatnilaimutlak|a||b|=|ab|, maka
|�|
2
=�
2
•Operasipengkuadratantidakmempertahankan
ketidaksamaan, misal: −3<2, tetapi|(−3)|
2
>|2|
2
•Namununtukbilangan-bilangantidaknegatif, maka
�<�֞�
2
<�
2
Contoh6NilaiMutlak pers. Orde Dua
Selesaikan persamaan |�–2|2–|�–2|<2
Penyelesaian
Misalkan |�–2|=�
�
2
–�<2
�
2
–�–2<0
(�–2).(�+1)<0
Harga nol:�=2dan �=−1
Untuk �=−1, maka:
�–2=−1nosolution, tidakada�memenuhi
Selesaikan persamaan |�–2|2–|�–2|<2
Penyelesaian
Misalkan |�–2|=�
�
2
–�<2
�
2
–�–2<0
(�–2).(�+1)<0
Harga nol:�=2dan �=−1
Untuk �=−1, maka:
�–2=−1nosolution, tidakada�memenuhi
Contoh6 (lanjut..)
Untuk �=2, maka:
�–2=2memilikiduasolusi.
�–2=±2
�−2=2maka �=4
�−2=−2maka �=0
Garisbilangan
Untuk �=2, maka:
�–2=2memilikiduasolusi.
�–2=±2
�−2=2maka �=4
�−2=−2maka �=0
Garisbilangan
Koordinat Kartesian
•Salah satu cara untuk
mentransformasikan suatu
objek dalam pernyataan
yang sederhana pada suatu
bidang datar
•Dibuat dengan menarik dua
garis horizontal (sumbu �)
dan vertikal (sumbu �)
dengan titik perpotongan
sebagai nilai 0 (disebut juga
dengan titik asal sistem
koordinat)
•Area I, II, III, dan IV disebut
dengan quadran
•Salah satu cara untuk
mentransformasikan suatu
objek dalam pernyataan
yang sederhana pada suatu
bidang datar
•Dibuat dengan menarik dua
garis horizontal (sumbu �)
dan vertikal (sumbu �)
dengan titik perpotongan
sebagai nilai 0 (disebut juga
dengan titik asal sistem
koordinat)
•Area I, II, III, dan IV disebut
dengan quadran
Konversi koordinat
Sistem Koordinat Rektangular
•Setiap titik pada bidang datar dinyatakan
sebagai pasangan bilangan (�,�), �
menyatakan absis, dan �sebagai nilai ordinat.
•Titik (�,�) berada pada suatu jarak �dari titik
asal, dimana
�=�
2
+�
2
•Setiap titik pada bidang datar dinyatakan
sebagai pasangan bilangan (�,�), �
menyatakan absis, dan �sebagai nilai ordinat.
•Titik (�,�) berada pada suatu jarak �dari titik
asal, dimana
�=�
2
+�
2
TeoremaPytagoras
•Bila titik �berpindah dari �
1ke �
2, maka increment
dari �adalah
∆�=�
2−�
1
•Jarak antara dua titik (�
1,�
1) dan (�
2
,
�
2) adalah:
�=∆�
2
+∆�
2
=(�
2−�
1)
2
+(�
2−�
1)
2
•Bila titik �berpindah dari �
1ke �
2, maka increment
dari �adalah
∆�=�
2−�
1
•Jarak antara dua titik (�
1,�
1) dan (�
2
,
�
2) adalah:
�=∆�
2
+∆�
2
=(�
2−�
1)
2
+(�
2−�
1)
2
Sistem Koordinat Polar
•Titik pada koordinat polar dinyatakan dengan
(�,??????), dimana �adalah jarak keluar dari titik
asal dan ??????adalah sudut rotasi
??????=arctan
�
�
,�=����??????
�=�
2
+�
2
, �=��??????�??????
•Titik pada koordinat polar dinyatakan dengan
(�,??????), dimana �adalah jarak keluar dari titik
asal dan ??????adalah sudut rotasi
??????=arctan
�
�
,�=����??????
�=�
2
+�
2
, �=��??????�??????
Contoh 6
Hitung jarak antara titik:
�(−2,3)dan �(4,−1)
Penyelesaian:
��,�=(4−−2)
2
+(−1−3)
2
=7,21
Hitung jarak antara titik:
�(−2,3)dan �(4,−1)
Penyelesaian:
��,�=(4−−2)
2
+(−1−3)
2
=7,21
Contoh 7. Koordinat polar
Jika diketahui koordinat kartesiustitik (-4,4),
tentukan koordinat polarnya
Penyelesaian:
�,�⇒�,??????
Dari koordinatkartesius: �=−4,�=4,
diperolehnilai�:
�=�
2
+�
2
=(−4)
2
+4
2
=32=42
Jika diketahui koordinat kartesiustitik (-4,4),
tentukan koordinat polarnya
Penyelesaian:
�,�⇒�,??????
Dari koordinatkartesius: �=−4,�=4,
diperolehnilai�:
�=�
2
+�
2
=(−4)
2
+4
2
=32=42
Contoh 7.koordinat polar
Nilai??????diperoleh:
tan??????=
�
�
=
4
(−4)
=−1
??????=tan
−1
1=45°
Karenanilai�negatif (-4) dan �positif(4),
makasudut??????di kuadran II, sehingga:
??????=(180−45)°=135°
Jadi koordinat polarnya adalah(42, 135°)
Nilai??????diperoleh:
tan??????=
�
�
=
4
(−4)
=−1
??????=tan
−1
1=45°
Karenanilai�negatif (-4) dan �positif(4),
makasudut??????di kuadran II, sehingga:
??????=(180−45)°=135°
Jadi koordinat polarnya adalah(42, 135°)
Referensi
1.J. H. Heinbockel; Introduction to Calculus;
Volume I; 2012
2.Dale Varberg, Edwin Purcell, Steve Rigdon;
Calculus; Prentice Hall, 2006
1.J. H. Heinbockel; Introduction to Calculus;
Volume I; 2012
2.Dale Varberg, Edwin Purcell, Steve Rigdon;
Calculus; Prentice Hall, 2006
Tags
Categories
GeneralDownload
Download Slideshow Get the original presentation fileQuick Actions
Statistics
- Views 0
- Slides 29
- Age 100 days
Related Slideshows
22
Pray For The Peace Of Jerusalem and You Will Prosper
RodolfoMoralesMarcuc
41 views
26
Don_t_Waste_Your_Life_God.....powerpoint
chalobrido8
45 views
31
VILLASUR_FACTORS_TO_CONSIDER_IN_PLATING_SALAD_10-13.pdf
JaiJai148317
40 views
14
Fertility awareness methods for women in the society
Isaiah47
38 views
35
Chapter 5 Arithmetic Functions Computer Organisation and Architecture
RitikSharma297999
37 views
5
syakira bhasa inggris (1) (1).pptx.......
ourcommunity56
39 views