Pertemuan 1 Himpunan. Himpunan adalah kumpulan objek

Himpunan adalah kumpulan objek

1. Rio Firmansyah , S.T., M.Pd . Modul Ke : 01 Fakultas : Teknik Program Studi : Teknik Sipil Kalkulus 1

2. HIMPUNAN

3. Definisi Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek . Himpunan ditentukan oleh anggota-anggotanya dan bukan oleh urutan tertentu dalam mendaftarkan anggotanya . Anggota-anggota yang membentuk himpunan adalah berbeda . Contoh : Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat-sifatnya , atau dengan mendaftar elemen-elemennya. Misalnya , himpunan bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 5, dapat dinyatakan sebagai {2, 3, 5}, atau { x | x bilangan prima  5}.

4. Himpunan Kosong dan Semesta Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yang disebut sebagai himpunan kosong , dan dinotasikan sebagai . Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika a merupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikan a  S .

5. Himpunan Berhingga dan Himpunan Kuasa Himpunan berhingga dan kardinalitas jika himpunan A memiliki n buah elemen yang berbeda , maka A adalah himpunan berhingga ( finite set ), dan n adalah kardinalitas dari A. Kardinalitas dari A dinotasikan dengan |A| atau n(A) Himpunan kuasa ( power set ) himpunan kuasa dari A adalah himpunan dari seluruh subset A dan dinotasikan dengan P(A). Kardinalitas dari P(A) dinotasikan dengan |P(A)| atau n(P(A)). |P(A)| atau n(P(A)) = 2 n(A)

6. Himpunan Bagian Sebuah himpunan B merupakan himpunan bagian ( subset) dari himpunan A dan dinotasikan ” B A ” atau ” A B ”, jika setiap elemen B merupakan elemen A .

7. Himpunan Saling Lepas Himpunan A dan B dikatakan lepas (dinotasikan A || B ) jika hanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama . Contoh : A = { x | x 2 − 8 x + 12 = 0} dan B = { x | x 2 − 4 = 0} tidak lepas , 2 P = { x | x 2 − 8 x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} lepas.

8. Gabungan Gabungan himpunan A dan B (dinotasikan A  B ) adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemen keduanya . Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis Contoh : Jika P = { a , b , c , d } dan Q = { c , d , e , f } maka P  Q = { a , b , c , d , e , f }

9. Irisan Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A  B ) adalah himpunan semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B . Secara notasi operasi irisan dapat ditulis A B

10. Selisih Selisih dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B Notasi : A - B = {x | x  A dan x  B } = A  B’ A B

11. Komplemen Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan A 1 atau A c ) adalah himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi bukan elemen A . Secara notasi operasi komplemen dapat ditulis A B

12. Produk Cartesian cartesian products dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B Notasi : A x B = { ( a,b ) | a  A, b  B } Contoh : A = {1,2,3} B = { a,b } A x B = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

13. Produk Cartesian Catatan : a. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga , maka n(A x B) = n(A).n(B) b. Pasangan berurutan ( a,b ) berbeda dengan ( b,a ) c. A x B  B x A

14. Penyajian Himpunan 1. Enumerasi menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal Contoh : A = {1,2,3,4} 2. Simbol-simbol baku antara lain: P = himpunan bilangan bulat positif ={1,2,3,…} N = himpunan bilangan natural/ alami = {0,1,2,…} Z = himpunan bilangan bulat = {…,-2,-1,0,1,2,…}

15. 3. Notasi pembentuk himpunan menuliskan syarat keanggotaan himpunan Contoh : A = {x | x  P, x < 5} ekivalen dengan {1,2,3,4} M = {x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah Logika Matematika }

16. 4. Diagram Venn Himpunan semesta , yang beranggotakan seluruh objek yang penting atau merupakan topik pembicaraan , direpresentasikan dengan bentuk kotak . Di dalam kotak tersebut terdapat lingkaran -lingkaran untuk merepresentasikan himpunan . Kadang tanda titik dipergunakan pula untuk menggambarkan elemen himpunan . Contoh : Diagram Venn yang menggambarkan himpunan V yaitu himpunan huruf vokal dalam bahasa Indonesia

17. Teorema Aljabar Himpunan Misal S himpunan semesta dan A,B, dan C adalah subhimpunan dari S maka berlaku sifat berikut : 1. Hukum asosiatif ( associative law ) (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C) ( A  B )  C = A  (B  C) 2. Hukum komutatif ( commutative law ) A  B = B  A, A  B = B  A, A  B = B  A 3. Hukum distributif ( distributive law ) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

18. 4. Hukum identitas ( identity law ) A   = A, A  S = A 5. Hukum komplemen ( complement law ) A  A’ = S, A  A’ =  6. Hukum idempoten ( idempotent law ) A  A = A, A  A = A 7. Hukum ikatan ( bound law ) A  S = S, A   = 

19. 8. Hukum penyerapan ( absorption law ) A  (A  B) = A, A  (A  B) = A 9. Hukum involusi ( involution law ) A’’ = A 10. Hukum 0/1(1/0 law)  ’ = S, S’ =  11. Hukum De Morgan untuk himpunan ( De Morgan’s laws for sets ) (A  B)’ = A’  B’, (A  B)’ = A’  B’