pertemuan 1 integral.pptXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

X

1. PERTEMUAN 13
ANTI TURUNAN, PENDAHULUAN LUAS
& NOTASI SIGMA

2. Fungsi F disebut anti-turunan f pada I apabila
F’(x) = f(x)untuk setiap x є I.

Sebagai contoh, F(x) = x
4
+ 1 adalah anti-turunan
f(x) = 4x
3
pada R.
Secara umum, keluarga fungsi F(x) = x
4
+ C
merupakan anti-turunan f(x) = 4x
3
pada R,
karena F’(x) = 4x3 = f(x) untuk setiap x є R.
Keluarga fungsi anti-turunan f(x) disebut integral tak
tentu dari f(x), dan dilambangkan dengan ∫ f(x) dx.
Jadi, sebagai contoh, ∫ 4x3 dx = x4 + C.

3. Secara grafik, keluarga fungsi anti-
turunan f(x) adalah keluarga fungsi
yang anggotanya merupakan
pergeseran ke atas atau ke bawah
dari anggota lainnya.
Semua anggota keluarga fungsi
tersebut mempunyai turunan yang
sama, yaitu f(x)

4. Persamaan Diferensial
Sederhana
Jika F’(x) = f(x), maka ∫ f(x) dx = F(x) +
dalambahasa diferensial: jika F’(x) = f(x),
maka dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx (*)
sehingga
∫ dF(x) = ∫ f(x) dx = F(x) + C.
Persamaan (*) merupakan contoh persamaan
diferensial yang (paling) sederhana.

5. NOTASI SIGMA
Penjumlahan deret n bilangan
a1 + a2 + … + an
dilambangkan dengan notasi sigma

6. TEOREMA KELINIERAN DAN
SIGMA KHUSUS
Teorema Kelinieran
Beberapa deret khusus (dengan
indeks i berjalan dari 1 sampai
dengan n), di antaranya:

7. Deret pertama merupakan deret aritmetika
n bilangandengan suku pertama 1 dan beda
1.
Untuk pembuktian rumus deret lihat Purcell

8. LUAS DAERAH DAN
JUMLAH RIEMANN

10. Jumlah Riemann

12. Perenungan
Selanjutnya dapat direnungkan
bahwa pendefinisian integral tentu
dalam mencari luas daerah adalah
sama dengan mencari limit jumlah
Riemannya

13. Latihan
Ambil beberapa fungsi sederhana yaitu
fungsi linier atau kuadrat, dengan batas-
batas yang ditentukan
Tentukan Luas Daerah dengan partisi dan
menggunakan limit Jumlah Riemann
Agak sedikit loncat..selesaikan fungsi dan
batas tertentu tadi dengan integral tentu
dan bandingkan dengan hasil limit jumlah
Riemann
Presentasikan setiap kelompok…Apa yang
dapat ditealaah

14. PERTEMUAN 14
INTEGRAL TAK TENTU DAN TENTU
(SUATU PENDAHULUAN)

15. Integral tak tentu
Mengintegralkan suatu fungsi turunan
f(x) berarti adalah mencari integral atau
turunan antinya, yaitu F(x)
Bentuk umum integral dari f(x) adalah :

 kxFdxxf )()(
Dimana k adalah sembarang konstanta yang nilainya
tidak tentu.
15

16. Integral tak tentu ©
Contoh
untuk fungsi asal : F(x) = x
2
+ 5
fungsi turunannya : f(x) = dF(x) / dx = 2x
Jika prosesnya dibalik, maka :
kxkxFdxxf 
2
)()(
16

17. Kaidah- kaidah Integrasi tak tentu
Kaidah 1. Formula Pangkat
k
n
x
dxx
n
n





1
1
Kaidah 2. Formula Logaritmis
kxdx
x

ln
1
17

18. Kaidah- kaidah Integrasi tak tentu ©
Kaidah 3. Formula Eksponensial
Kaidah 4. Formula Penjumlahan
f(x)u kedue
kedxe
uu
xx





 
kG(x)F(x)
dxxgdxxfdxxgxf

  

)()()()(
18

19. Kaidah-kaidah Integrasi tak tentu
©
Kaidah 5. Formula Perkalian

Kaidah 6. Formula Substitusi

 0 )( ndxxfndxn f(x)

 kuFduufdx
dx
du
uf )()()(
19

20. Integral Tertentu
Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang
nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas)
tertentu.
Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas
areal yang terletak di antara kurva y = f(x) dan sumbu
horizontal – x, dalam suatu rentangan wilayah yang
dibatasi oleh x = a dan x =b.
Bentuk umum :
 )()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a

20

21. Integral Tertentu ©
∆x
1
∆x
2
∆x
n
0 a x
1
x
2
x
i
x
i
b
x
n
x
y
y=f(x)
Nilai atau harga masing-
masing titik yang mebatasi
tiap sub-rentangan adalah :
X
0 = a
X
1
= a + ∆x
X
2
= a + 2 (∆x)
…………………
X
n = a + n (∆x) = b
x
0 21

22. Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu
Untuk a < b < c, berlaku :







a
b
b
a
a
b
a
b
a
dxxfdxxf
dxxf
aFbFxFdxxf
)()( .3
0)( .2
)()()()( .1
22

23. Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu
©

 





bc
a
b
c
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
dxxgdxxfdxxgxf
dxxfkdxxkf
)()()( .6
)()()()( .5
)()( .4
23

24. Latihan
Evaluasi integral dibawah ini


1
0
2
)(
y
y
dxdyyx

 dxxx)21(
3
dy dxx
xx
x




1
1 22
2
2
24