Pirâmides questões resolvidas do livro fundamentos de matemática elementar - vol. 10 - atualizado

Questões resolvidas do Livro: Fundamentos de Matemática Elementar (autor: Osvaldo Dolce)., volume 10, assunto: Pirâmides

1. QUESTÕES RESOLVIDAS
PIRÂMIDES

2. Celso Brasil 1


Pirâmides
Celso do Rozário Brasil

QUESTÕES RESOLVIDAS DO LIVRO: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR, VOLUME 10
(FME – Questão 384) Calcule a área lateral, a área total e o volume da pirâmide regular, cujas
medidas estão indicadas nas figuras abaixo:
(a)

(ii) No triângulo VOM, temos:
(AP)
2
=h
2
+(
5
2
)
2
→(
5
2
√3)
2
=h
2
+
25
4
→
25
4
.3=h
2
+
25
4
→
75
4
=h
2
+
25
4
→h
2
=
75
4
−
25
4
→
h
2
=
50
4
→h=√
25.2
4
→�=
�√�
�
��
(iii) Área lateral = 4 vezes a área do triângulo VCB:
S
L=4(
5.
5
2
√3
2
)→S
L=4(
25√3
4
)→�
�=��√� ��²
Área da base:
S
b=(Aresta da base)
2
→S
b=5
2
→�
�=����²
(iv) Área total:
S
T=S
b+S
L→S
T=25+25√3→�
�=��(�+√�)��²
(v) Volume:
V
pirâmide=
S
b.h
3
→V
pirâmide=
25.
5√2
2
3
→??????
������=
���√�
�
��³


(i) AP=Apótema da pirâmide
∆VMB: 5
2
=(AP)
2
+(
5
2
)
2
→25=(AP)
2
+(
25
4
)→
(AP)
2
=25−
25
4
→(AP)
2
=
100−25
4
→(AP)
2
=
75
4
→
AP=√
75
4
→AP= √
3.25
4
→��=
�
�
√�

3. Celso Brasil 2


(b)

Área da base = Área do hexágono de lado 4:
S
hexágono=
3a²√3
2
→S
hexágono=
3.4²√3
2
→S
hexágono=
3.16√3
2
→S
hexágono=
48√3
2
→�
���á����=��√� ��²
(iii) No triângulo VOM, temos:
(AP)
2
=(ab)
2
+h
2
→(AP)
2
=(4√6)
2
=12+h
2
→h
2
=96−12→h
2
=84→h=√2
2
.21→�=�√�� ��
(iv) Área lateral:
S
L=6 x Área do triângulo VBN→S
L=6(
4.4√6
2
)→S
L=6(8√6)→�
�=��√� ��²
(v) Área total:
S
T=S
b+S
L→S
T=24√3+48√6→S
T=24√3+48√3.√2→�
�=��√�(�+�√�) ��²

(v) Volume
V
pirâmide=
S
b.h
3
→V
pirâmide=
24√3.2√21
3
→V
pirâmide=
48√63
3
→V
pirâmide=16√9.7→
V
pirâmide=16.3√7→??????
���â����=��√� ��³

(FME – Questão 385) De um tetraedro regular de aresta “a”, calcule:
(a) A medida h da altura
(b) A área total (�
�);
(c) O volume.
Solução
(a) A medida h da altura:
(i) No triângulo VMN, temos:
(10)
2
=2
2
+(AP)
2
→100=4+(AP)
2
→(AP)
2
=100−4→(AP)
2
=96→
AP=√2
2
.2
2
.6→��=�√� ��





(ii) No triângulo da base OMB, “ab” é o apótema
da base, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
4
2
=(ab)
2
+2
2
→16=(ab)
2
+4→
(ab)
2
=16−4
(ab)
2
=12→ab=√4.3→ab=�√� ��

4. Celso Brasil 3



Base do Tetraedro

(ii) No Triângulo retângulo destacado AMD, temos:
a
2
=m
2
+(
a
2
)
2
→m
2
=a
2
−
a
2
4
→m
2
=
3a
2
4
→
m=√
3a
2
4
→�=�
√�
�
(�= ���� �� ������)
Note, agora o triângulo retângulo de base CD, devemos ter:


No triângulo ABO, temos:

a
2
=h
2
+(a
√3
3
)
2
→a
2
=h
2
+
3a
2
9
→

h
2
=a
2
−
3a
2
9
→h
2
=
9a
2
−3a
2
9
→h
2
=
6a
2
9


→h=√
6a
2
9
→�=
�√�
�


O apótema da base (OM) equivale a 1/3 da altura do
triângulo equilátero ACD, logo:
OM=
1
3
h→OM=
1
3
.
a√3
2
→��=
�√�
�

5. Celso Brasil 4


(i) Área da base (�
�):
Novamente, no triângulo BCD temos a base valendo “a” e a altura “h”, logo:
S
b=
a.h
2
→S
b=
a.(a
√3
2
)
2
→�
�=
�²√�
�

(ii) Área total (�
�) = A área total é quatro vezes a área da base (triângulo ACD) (ou face lateral):
S
T=4.S
b→S
T=4(
a
2
√3
4
)→�
�=�²√�
(c) Volume
O volume do tetraedro é dado por:
V=
1
3
.S
b,h →V=
1
3
a²√3
4
.
a√6
3
→V=
a³√18
36
→V=
a³3√2
36
→??????=
�³√�
��

(FME – Questão 386) Sabendo que a aresta de um tetraedro mede 3 cm, calcule a medida de sua altura,
sua área total e seu volume.
Solução
(i) Cálculo da altura:
h
tetraedro=
a√6
3
→h
tetraedro=
3√6
3
→�
���������=√� ��
(ii) Cálculo da área total:
S
T=�²√�→S
T=3
2
√3→S
T=9√3 cm²
(iii) Volume:
V
tetraedro=
a³√2
12
→V
tetraedro=
3³√2
12
→V
tetraedro=
3.3.3√2
3.4
→V
tetraedro=
9√2
4


(FME – Questão 387) Determine a medida da aresta de um tetraedro regular, sabendo que sua
superfície lateral mede �√� cm².
Solução
S
T=a²√3→a²√3=9√3→a²=√3→ �=� ��
(FME – Questão 388) Calcule a altura e o volume de um tetraedro regular de área total ��√� cm².
Solução
S
T=a²√3 →a²√3=12√3 →a²=12→a= √4.3→�=�√�
(i) Cálculo da altura:
h=
a√6
3
→h=
2√3.√6
3
→h=
2√18
3
→h=
2√2.9
3
→h=
6√2
3
→�=�√���

6. Celso Brasil 5


(ii) Volume:
V=
a³√2
12
→V=
(2√3)³√2
12
→V=
8√27.√2
12
→V=
8√3
2
.3.2
12
→V=
8.3√6
12
→??????=�√� ��³
(FME – Questão 389) Determine a medida da aresta de um tetraedro regular, sabendo que seu volume
mede ��√� m³.
Solução
V=
a³√2
12
→
a³√2
12
=18√2→a
3
=12.18→a=√2
2
.3.2.3²
3
→a=√2
3
.3.³
3
→�=� �
(FME – Questão 390) Calcule a área total de um tetraedro regular cujo volume mede ���√� m³.
Solução
V=
a³√2
12
→
a³√2
12
=144√2→a
3
=144.12→a=√12³
3
→�=�� �
S
T=a²√3→S
T=(12)²√3→�
�=���√� �²
(FME – Questão 391) Determine a medida da aresta de um tetraedro regular sabendo que aumentada
em 4 m, sua área aumenta em ��√� m².
Solução
S
T=a²√3→a²√3+40√3=(a+4)
2
√3→√3(a
2
+40)=(a
2
+4)
2
√3÷(√3)→
a
2
+40=a
2
+8a+16→8a+16=40→8a=40−16→8a=24→�=� �
(FME – Questão 392) Calcule a medida da altura de um tetraedro regular, sabendo que o perímetro
da base mede 9 cm.
Solução
(i) A base do tetraedro é um triângulo equilátero. Seu perímetro (P) é:
P=9→3a=9→a=
9
3
→�=� ��
(ii) Cálculo da altura:
h=
a√6
3
→h=
3√6
3
→�=√� ��

(FME – Questão 393) Calcule a aresta da base de uma pirâmide regular (quadrada), sabendo que o
apótema da pirâmide mede 6 cm e a aresta lateral 10 cm.

7. Celso Brasil 6




(FME – Questão 394) De uma pirâmide regular de base quadrada sabe-se que a área da base é 32 dm²
e que o apótema da pirâmide mede 6 dm. Calcule:
(a) a aresta da base (ab)
(b) o apótema da base (m)
(c) a altura da pirâmide
(d) a aresta lateral (a)
(e) a área lateral (SL)
(f) a área total (ST).
Solução


(a) Área da base = 32 dm, logo:

S
base=32→(ab)
2
=32→ab=√2
2
.2
2
.2→��=�√� ��

(b) o apótema da base (m)

O apótema da base = metade da aresta da base, logo: m = (4√2)/2
----> m = 2 √� dm

(c) a altura da pirâmide

Solução
No triângulo VMA destacado, temos:
(10)
2
=6
2
+(
�
2
)
2
→100=36+
�
2
4
→
�
2
4
=100−36→
�
2
4
=64→�
2
=64.4→�=√64.4→�=8.2→
�=�� ��

No triângulo VOM destacado, temos:
6
2
=(2√2)
2
+h
2
→36=8+h
2
→h
2
=36−8→h
2
=28→
h=√4.7→�=�√� ��

8. Celso Brasil 7

(d) a aresta lateral (a)



(e) a área lateral (SL)
A área lateral = 4 x a área do triângulo VBC:

(f) a área total (ST)
S
T=S
b+S
L→S
T=(4√2)
2
+48√2→S
T=32+48√2→�
�=��(�+�√�) ��²
(FME – Questão 395) A base de uma pirâmide de 6 cm de altura é um quadrado de 8 cm de
perímetro. Calcule o volume.
Solução
���í����� �� ���� (P)=8 cm→P=4a→4a=8→�=� ��
Á��� �� ���� (S
b)=a
2
→S
b=2
2
→�
�=� ��
�
??????����� (??????)=
S
b.h
�
→??????=
�.�
�
→??????=
��
�
→
??????=� ��³

(FME – Questão 396) Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide triangular regular cuja
aresta lateral mede 82 cm e cuja aresta da base mede 36 cm.
Solução
No triângulo VMC destacado, temos:
a
2
=6
2
+(2√2)
2
→a
2
=36+8→a
2
=44→a=√4.11→
�=�√�� ��
S
L=4(
4√2.6
2
)→S
L=
96√2
2
→�
�=��√� ��²

9. Celso Brasil 8


(i) No triângulo VMB destacado, temos:

(82)
2
=(AP)
2
+(18)
2
→6724=(AP)
2
+324→(AP)
2
=6724−324
→(AP)
2
=6400→AP= √6400→��=�� ��

(ii) Área lateral = 3 x área do triângulo VAB:

S
L=3.(
36.80)
2
)→S
L=3(36.40)→�
�=���� ��²


. Cálculo da área da base: A base é um triângulo equilátero de lado 36 cm
S
b=
a²√3
4
→S
b=
(36)²√3
4
→S
b=
1296√3
4
→�
�=���√� ��²
(iii) Área total (ST)
S
T=S
b+S
L→S
T=324√3+4320→�
�=���(�√�+��) ��²
(FME – Questão 397) Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide quadrangular regular,
sendo 7 m a medida do seu apótema e 8 m o perímetro da base.
Solução

(i) Perímetro da base (P)

P = 8 ----> 4ab = 8 ----> ab = 2 m

(ii) Apótema da base (OM) = ab/2 ----> OM = 2/2 ---->
OM = 1 m

(iii) Cálculo da altura.
No triângulo VOM, temos:
h
2
+(OM)
2
=7
2
→h
2
+1
2
=49→h
2
=49−1→
h=48→h=√2
2
.2
2
.3→�=�√� �


(��) Á��� �������
S
L=4 x Área do ∆VAB→S
L=4(
2.7
2
)→�
�=�� �²
(v) Área da base
S
b=(a
b)
2
→S
b=2
2
→�
�=��²
(vi) Área total:
S
T=S
b+S
L→S
T=4+28→�
�=�� �²

10. Celso Brasil 9

(FME – Questão 398) Determine a área lateral e a área total de uma pirâmide triangular regular de 7
cm de apótema, sendo 2 cm o raio do círculo circunscrito à base.
Solução


(FME – Questão 399) Calcule a medida da área lateral de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo
que a área da base mede 64 m² e que a altura da pirâmide é igual a uma das diagonais da base.
Solução

(i) Área da base:

S
b=64→(ab)
2
=64→ab=√64→
��=� �

(ii) Altura(h) = Diagonal da base (db)

h=db→h=ab√2→�=�√� �


(iii) Apótema da pirâmide
.Note que no ∆VOM,OM̅̅̅̅̅=4 m,logo: (AP)
2
=h
2
+(OM)
2
→(AP)
2
=(8√2)
2
+4
2
→
(AP)
2
=128+16→(AP)
2
=144→AP=√144→��=�� �
(iv) Área lateral
S
L=4 x Área do ∆VBC→S
L=4(
8.12
2
)→S
L=4.48→�
�=��� �²
(v) Área total
S
T=S
b+S
L→S
T=64+192→�
�=��� �²

11. Celso Brasil 10

(FME – Questão 402) Uma pirâmide tem por base um retângulo cujas somas das dimensões vale 34 cm
sendo uma delas 5/12 da outra. Determine as dimensões da base e a área total da pirâmide, sabendo que
a sua altura mede 5 cm e que a sua projeção sobre a base é o ponto de intersecção das diagonais da base.
Solução


(i) Observe pela figura que há dois valores distintos para os apótemas
da pirâmide. Há, portanto duas áreas de faces distintas. Sejam x e y as
dimensões da base. As diagonais cortam-se ao meio. Calculando cada
medida, temos:

x+y=34 (i)
y=
5
12
x (ii)
Substituindo (ii) em (i),temos:
x+
5
12
x=34→12x+5x=408→17x=408→
x=
408
17
→�=�� cm
y=
5
12
x→y=
5
12
.24→�=�� ��

(ii) Diagonal AC:
No triângulo ABC (destacado), temos:
d
2
=x
2
+y
2
→d
2
=(24)
2
+(10)
2
→d
2
=576+100→d
2
=676→d=√676→�=�� ��
(iii) Cálculo de g1:
(g
1)²=h²+(
x
2
)² →(g
1)²=5²+(24/2)²→(g
1)²=25+144→(g
1)²=169→�
�=�� ��
(iv) Cálculo de g2:
(g
2)
2
=h
2
+(
y
2
)
2
→(g
2)
2
=5
2
+(
10
2
)
2
→(g
2)
2
=25+25→(g
2)
2
=50→�
�=�√� ��
(v) Área lateral:
Área lateral=2 x Área do ∆VAB+2 x Área do ∆VBC
S
L=2(
x.g
2
2
)+2(
y.g
1
2
)→S
L=24.5√2+10.13→�
�=(���√�+���) ��
�

(vi) Área da base:
S
b=�.�→S
b=24.10→�
�=��� ��²
(vii) Área Total:
S
T=S
b+S
L→S
T=240+120√2+130→S
T=370+120√2→�
�=��(��+��√�) ��²

12. Celso Brasil 11

(FME – Questão 403) Uma pirâmide tem por base um retângulo cujas dimensões medem 10 cm e 24
cm, respectivamente. As arestas laterais são iguais à diagonal da base. Calcule a área total da
pirâmide.
(Resposta: �(�√���+��√���+���)��²

(FME – Questão 404) Calcule a área da base de uma pirâmide quadrangular regular cujas faces
laterais são triângulos equiláteros, sendo ��√� cm² a soma das áreas desses triângulos.
Solução

(FME – Questão 405) Calcule a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que
uma diagonal da base mede �√� cm e que o apótema da pirâmide mede 5 cm.
Solução

(i) Diagonal da base = �√�

a√2=3√2→�=� ��

(ii) Área lateral = 4 x área do ∆??????��

S
L=4(
3.5
2
)→S
L=2.15→�
�=�� ��²

(FME – Questão 406) Determine a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular, sendo 144 cm²
a área da base da pirâmide e 10 cm a medida da aresta lateral.

(i) A soma das áreas laterais = Área lateral = ��√� cm²

(ii) Note que “x” = “y” e que g é igual a altura do triângulo equilátero
VCB, logo:

g=
�√3
2
cm
�
??????=��√�→�(
??????.�
�
)→�(??????.
�√3
2
)=��√�→��=�� ��²

13. Celso Brasil 12

Solução

(i) Área da base = 144 cm²

a
2
=144→a=√144→�=�� ��

(ii) No triângulo VMC, temos:

(10)
2
=(
12
2
)
2
+g
2
→100=36+g
2
→g
2
=64→�=� ��

(iii) A área lateral = 4 x área do triângulo VBC:

S
L=4(
�.??????
2
)→S
L=2.12.8→�
�=�����²

(FME – Questão 407) Determine a área da base, a área lateral e a área total de uma pirâmide
triangular regular, sabendo que a altura e a aresta da base medem 10 cm cada uma.
Solução

(i) ��̅̅̅̅=
������ �� �� ������� �������� �� ���� �� ��,����:

��̅̅̅̅=
��√�
�
��

(ii) ��̅̅̅̅̅ equivale a 1/3 da altura do triângulo da base:

??????�̅̅̅̅̅=
1
3
AB̅̅̅̅ →??????�̅̅̅̅̅=
1
3
.
10√3
2
→??????�̅̅̅̅̅=
��√�
�






(iii) No ∆AMC, temos:
(AC̅̅̅̅)
2
=(AM̅̅̅̅̅)
2
+10
2
→(AC̅̅̅̅)
2
=(
10√3
6
)
2
+100→
(AC̅̅̅̅)
2
=
300
36
+100→(AC̅̅̅̅)
2
=
300+3600
36
→
(AC̅̅̅̅)
2
=
3900
36
→(AC̅̅̅̅)
2
=
39.100
36
→AC̅̅̅̅=√
39.100
36
→
AC̅̅̅̅=
10
6
√39 →��̅̅̅̅=
�√��
�
��
(iv) Área da base:
A área da base equivale à área de um triângulo equilátero de lado 10 cm, logo:

14. Celso Brasil 13


�
??????=
10²√3
4
→�
??????=
100√3
4
→�
�=��√� ��²
(v) Área lateral:
S
L=3 x área do ∆CDE
S
L=3(
10.
�√��
�
2
)→S
L=3(
50√39
6
)→S
L=
50√39
2
→�
�=��√�� ��
�

(vi) Área total:
S
T=S
b+S
L→S
T=25√3+25√39→�
�=��(√�+√��) ��²
(FME – Questão 408) Calcule a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que a
diagonal da base da pirâmide mede �√� cm e a aresta lateral é igual à diagonal da base.
Solução

(i) Diagonal do quadrado ABCD = AC̅̅̅̅=�√2→��̅̅̅̅=�√�

AC̅̅̅̅=8√2→a√2=8√2→�=�=� ��

(ii) No ∆??????��:

OC̅̅̅̅=
8√2
2
→OC̅̅̅̅=4√2 h
2
=(OC̅̅̅̅)
2
+m
2
→
h
2
=(4√2)
2
+8
2
→h
2
=32+64→�
�
=��

(iii) No ∆VOM, temos: OM = a/2 = 8/2 = 4 cm


(iv)Aplicando o Teorema de Pitágoras no ∆VOM, temos:

(VM)
2
=h
2
+(OM)
2
→(VM)
2
=96+4
2
→

(VM)
2
=96+16 →(VM)
2
=112→VM=√2
2
.2
2
.7→

??????�=�√� ��

(v) Área lateral:
S
L=4 x área do ∆VBC
S
L=4(
BC.VM
2
)→S
L=4(
8.4√7
2
)→S
L=2.32√3→�
�=��√� ��²

15. Celso Brasil 14

(FME – Questão 409) Sendo 192 m² a área total de uma pirâmide quadrangular e �√� m o raio do
círculo inscrito na base, calcule a altura da pirâmide.
Solução


(FME – Questão 410) Uma pirâmide regular hexagonal de 12 cm de altura tem aresta da base medindo
��√�
�
cm. Calcule: O apótema da base (m), o apótema da pirâmide (m’), a aresta lateral (a), a área da
base (B), a área lateral (SL), a área total (ST) e o volume (V).
Solução

(i) O apótema da base equivale à altura do ∆���, logo:

m=
10√3
3
.√3
2
→??????=
30
6
→�=� ��

(ii) No tirângulo VOM, destacado, temos:

(m’)² = (OM)² + 12² ----> (m’)² = 5² + 144 ---->

(m’)² = 25 + 144 ---->(m’)² = 169 ----> m’ = √169 →�
′
=
�� ��

(iii) No triângulo VMC, temos:

a² = (MC)² + (m’)² ----> a² = (
10√3
3
2
)
2
+169→

a
2
=(
10√3
6
)
2
+169→a
2
=(
5√3
3
)
2
+169→

�
2
=
25.3
9
+169 →a
2
=
25
3
+169→�
2
=
532
3

16. Celso Brasil 15



→�=√
532
3
→�=
√532
√3
→�=
√2
2
.133
√3
→�=
2√133
√3
.
√3
√3
→�=
�
�
√��� ��
(iv) Área da base = 6 x área do triângulo AOB:
S
b=
[



6(
10√3
3
.5)
2
]




→S
b=
(300√3)/3
2
→S
b=
100√3
2
→�
�=��√� ��²
(v) Área lateral = 6 x área de um triângulo VBC.
S
L=
6(
10√3
3
.13)
2
→S
L=10√3.13→�
�=���√� ��²
(v) Área total = Área da base + área lateral
S
T=S
b+S
L→S
T=50√3+130√3 →�
�=���√� ��²
(vi) Volume
V=
S
b.h
3
→V=
50√3 .12
3
→??????=���√� ��³
(FME – Questão 411) Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide regular hexagonal cujo
apótema mede 4 cm e a aresta da base mede 2 cm.
Solução

(i) No triângulo VMD, temos:

a
2
=4
2
+1
2
→a
2
=8+1→a
2
=9→�=� ��

(ii) No triângulo equilátero da base BOC, temos:

m=
2√3
2
→�=��=√� ��

(ii) No triângulo VOM, temos:

4
2
=(OM)
2
+h
2
→16=(√3)
2
+h
2
→16=3+h
2
→h
2
=13
→�=√�� ��

(iii) Área lateral = 6 x área do triângulo VCD:
S
L=6(
2.4
2
)→�
�=�� ��²
Área da base:

17. Celso Brasil 16

S
b=
3.2²√3
2
→�
�=�√� ��

(iv) Área total:
S
T=S
b+S
L→S
T=24+6√3→�
�=�(�+√�) ��²
(FME – Questão 412) Calcule a aresta lateral de uma pirâmide regular, sabendo que sua base é um
hexágono de 6 cm de lado, sendo 10 cm a altura da pirâmide.
Solução

(i) No triângulo equilátero AOB da base, temos:

m
′
=
6√3
2
→�
′
=��=�√� ��

(ii) No triângulo VON, temos:

m
2
=(ON)
2
+10
2
→m
2
=(3√3)
2
+100→m
2
=27+100→

�²=���

(ii) No triângulo VNC, temos:

a
2
=m
2
+(NC)
2
→a
2
=127+3
2
→a
2
=127+9→a
2
=136

→a=√2
2
.34→�=�√�� ��
(FME – Questão 413) A base de uma pirâmide é um hexágono inscrito em um círculo de 12 cm de
diâmetro. Calcule a altura da pirâmide, sabendo que a área da base é a décima parte da área lateral.
Solução

(i) Diâmetro = 12 cm, logo, raio (r) = 6 cm

(ii) Área da base = (Área lateral)/10



A área lateral é igual a 6 vezes a área de um triângulo de base 6 e altura m’:
A área da base é igual a 6 vezes a
área de um triângulo equilátero
BOC de lado 6:
�
??????=
3.6²√3
2

�
�=��√� ��²

18. Celso Brasil 17

S
L=6(
6.m
′
2
)→�
�=���′

Assim, temos que:
54√3=
18m
′
10
→540√3=18m
′
→�
′
=��√� ��
Para calcular a altura h da pirâmide podemos utilizar o Teorema de Pitágoras no triângulo VOM:
(m')² = m² + h²
sendo "m" a apótema da base que equivale à altura do triângulo equilátero BOC:
m=
6√3
2
→�=�√� ��
Assim:
(m')² = m² + h²
(30√3)
2
=(3√3)
2
+h
2
→2700=27+h
2
→h
2
=2673→h=√3
2
.3
2
.33→�=�√�� ��
(FME – Questão 414) Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide regular hexagonal, sendo 3
cm a sua altura e 10 cm a medida da aresta da base.
Solução

(i) No triângulo equilátero da base BOC, temos:

m=
10√3
2
→�=�√� ��

(ii) Área da base:

S
b=
3.10²√3
2
→�
�=���√� ��²

(iii) No triângulo VOM. Temos:

(??????�)
2
=(??????�)
2
+(????????????)
2
→(??????�)
2
=(5√3)
2
+3²→

(VM)
2
=75+9→(VM)
2
=84→VM=√84→VM=√2
2
.21→??????�=�√�� ��
(iv) Área lateral = 6 x área do triângulo VCD:
S
L=6(
10.2√21)
2
)→S
L=6(10√21)→�
�=��√�� ��²
(v) Área total:
S
T=�
??????+�
??????→S
T=150√3+60√21→�
�=��(�√�+�√��) ��²

19. Celso Brasil 18

(FME – Questão 415) Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide regular hexagonal cujo
apótema mede 20 cm, sendo 6 cm a medida do raio da base.
Solução

Devemos ter:

(i) Área lateral = 6 x área do triângulo VCD:

S
L=6(
6.20
2
)→S
L=6(60)→�
�=�����²

(ii) Área da base:

S
b=
3.6²√3
2
→S
b=3.18√3→�
�=��√�

(ii) Área total:
S
T=�
??????+�
??????→S
T=54√3+360→�
�=��(�√�+��) ��²
(FME – Questão 416) Uma pirâmide regular de base quadrada tem o lado da base medindo 8 cm e a
área lateral igual a 3/5 da área total. Calcule a altura e a área lateral dessa pirâmide.
Solução

(i) Área lateral = 4 x área do triângulo VBC:

S
L=4(
8.m
2
)→S
L=4(4m)→�
�=��.�

Área da base = 8² ----> Sb = 64

(ii) A área lateral igual a 3/5 da área total:

S
L=
3
5
S
T→16.m=
3
5
(S
b+S
L)→16.m=
3
5
(64+16.m)→


80m=192+48m→32m=192→m=
192
32
→�=� ��
(iii) No triângulo VBC, temos:
m
2
=h
2
+4
2
→6
2
=h
2
+16→h
2
=36−16→h
2
=20→h=√4.5→�=�√�
(iv) Sendo:
S
L=16.m→S
L=16.6→�
�=�� ��²

20. Celso Brasil 19

(FME – Questão 417) A aresta lateral de uma pirâmide quadrangular regular mede 15 cm e a aresta
da base 10 cm. Calcule o volume.
Solução

(i) No triângulo VMC, temos:

(15)
2
=a
2
+5
2
→225=a
2
+25→a
2
=225−25→

�
�
=���→a=√200→�=√2.100→�=��√� ��

(ii) No triângulo VOM, destacado, temos:

a
2
=5
2
+h
2
→200=25+h
2
→h
2
=200−25→

h
2
=175→h=√175→h=√5
2
.7→�=�√� ��

(iii) Área da base:
S
b=(10)
2
→�
�=�����²
(iv) Volume:
V=
S
b.h
3
→V=
100.5√7
3
→??????=
���√�
�
��³
(FME – Questão 418) Calcule o volume de uma pirâmide de 12 cm de altura, sendo a base um losango
cujas diagonais medem 6 cm e 10 cm.
Solução
(i) Cálculo da área da base:
S
b=
??????.�
2
→S
b=
10.6
2
→S
b=
60
2
→�
�=�� ��²
(i) Volume:
V=
S
b.h
3
→V=
30.12
3
→V=30.4→??????=��� ��³
(FME – Questão 419) Se a altura de uma pirâmide regular hexagonal tem medida igual à aresta da
base, calcule o seu volume, sendo “a” a aresta da base.
Solução

(i) Área da base = 6 x área do triângulo da base BOC, temos:

S
b=6(
�²√3
4
) →�
�=
��²√�
�


(ii) Volume

V=
S
b.h
3
→V=
3a²√3
2
.a
3
→V=
3a³√3
6
→??????=
�³√�
�

21. Celso Brasil 20


(FME – Questão 420) Determine a razão entre os volumes de uma pirâmide hexagonal regular cuja
aresta da base mede “a”, sendo “a” a medida de sua altura, e uma pirâmide cuja base é um triângulo
equilátero de lado “a” e altura “a”.

Solução
O volume de uma pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela altura.
Lembre-se que: a área de um triângulo equilátero é igual a: S=
L²√3
4
. Já a área de um hexágono é igual a 6
vezes a área de um triângulo equilátero.
Sendo assim, temos que o volume de uma pirâmide de base hexagonal cuja aresta da base mede “a”, sendo
“a” a medida de sua altura é igual a:
V
1=
6(
a²√3
4
.�)
3
→V
1=
2(�³√3)
4
→??????
�=
�³√�
�

O volume da pirâmide cuja base é um triângulo equilátero de lado “a” e altura “a” vale:
V
2=
(
�²√3
4
.�)
3
→??????
�=
�³√�
��

Portanto, a razão entre os volumes é igual a:
V
1
V
2
=
�³√3
2
�³√3
12
→
V
1
V
2
=
�³√3
2
.
12
�³√3
→
??????
�
??????
�
=�
(FME – Questão 421) Calcule a razão entre os volumes de duas pirâmides, P1 e P2, sabendo que os
vértices são aos mesmos e que a base de P2 é um quadrado obtido ligando-se os pontos médios da base
quadrada de P1.
Solução
A altura das duas pirâmides é a mesma, o que muda é a área de cada uma. Vamos supor que “L” seja o lado
do quadrado da base de P1, assim sendo:







Área da base da pirâmide P1 →��
�=�²
Conforme já dissemos, “h” é a altura das duas pirâmides, logo, o volume de P1 vale:

22. Celso Brasil 21

V
1=
��
1.ℎ
3
→??????
�=
�
�
.�
�

Agora, marcando os pontos médios do quadrado de P1, temos um novo quadrado que serve de base para a
pirâmide P2. O lado do quadrado de P2 (que chamamos de “x”) pode ser calculado através do Teorema de
Pitágoras aplicado no triângulo retângulo destacado na figura abaixo:


x
2
=(
L
2
)
2
+(
L
2
)
2
→x
2
=
L
2
4
+
L
2
4
→x
2
=
2L
2
4
→

x=√
2L
2
4
→�=
�
�
√�

Este é o lado do quadrado que é a base da pirâmide P2, logo, a área
de P2 vale:

Sb
2=x²→Sb
2=(
�
�
√�)
�
→Sb
2=
2L²
4
→��
�=
�
�
�

O volume de P2 vale:
V
2=
Sb
2.ℎ
3
→V
2=
L
2
2
.h
3
→??????
�=
�
�
.�
�

A questão pede a razão entre os volumes de P1 e P2:
V
1
??????
2
=
�
�
.�
�
�
�
.�
�
→
V
1
??????
2
=
�
�
.�
�
.
�
�
�
.�
→
V
1
??????
2
=
6
3
→
??????
�
??????
�
=�
(FME – Questão 422) A área da base de uma pirâmide regular hexagonal é igual a 216√3 m³.
Determine o volume da pirâmide, sabendo que sua altura mede 16 m.
Solução
V=
S
b.h
3
→V=
216√3.16
3
→V=72.16√3→??????=����√� �³
(FME – Questão 423) Determine o volume de uma pirâmide triangular regular, sendo 2 m a medida da
aresta da base e 3 m a medida de suas arestas laterais.
Solução

23. Celso Brasil 22


(i) No triângulo equilátero da base DEC o segmento BC vale 2/3 da sua
altura, logo:

BC=
2
3
h→BC=
2
3
.
2√3
2
→��=
�
�
√� ??????

(ii) Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos:

3
2
=(
2
3
√3)
2
+h
2
→9=
4
9
.3+h
2
→h
2
=9−
12
9
→h
2
=
81−12
9
→




h
2
=
69
9
→h=
√69
√9
→�=
√��
�
??????
(iii) A área da base da pirâmide equivale à área do triângulo equilátero CDE. logo:
S
b=
�²√3
4
→
2²√3
4
→�
�=√� �²
(iv) Volume
V=
S
b.h
3
→??????=
√3.
√��
�
3
→??????=
√207
9
→??????=
√3
2
.23
9
→??????=
3
9
√23→??????=
√��
�
�³
(FME – Questão 424) O volume de uma pirâmide triangular regular é ��√� cm³. Determine a medida
da aresta lateral, sabendo que a altura é igual ao semiperímetro da base.
Solução
(i) Como a base da pirâmide é um triângulo equilátero, temos como semiperímetro da base:
p=
3L
2
→ℎ=
3�
2
�?????? (??????)
(ii) Volume da pirâmide:
V=64√3→
L²√3
4
.h
3
=64→
L
2
.
3L
2
12
→
3L
3
24
=64→
L
3
8
=64→L
3
=512→L=√512
3
→�=� �� (��)
Substituindo (ii) em (i) temos:
h=
3L
2
→h=
3.8
2
→�=�� ��

24. Celso Brasil 23


(iii) No triângulo equilátero da base ABC o segmento OM
vale 1/3 da sua altura, logo:

OM=
1
3
h→OM=
1
3
.
L√3
2
→OM=
8
6
√3 →��=
�√�
�
�

(iv) Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo
retângulo VOM, temos:

a
2
=(OM)
2
+h
2
→a
2
=(
�√�
�
)
�
+(12)
2
→a
2
=
48
9
+144
→�
2
=
48+1296
9
→�
�
=
����
�




(v) No triângulo retângulo VMC, temos:
m
2
=a
2
+(
L
2
)
2
→m
2
=
1344
9
+(
8
2
)
2
→m
2
=
1344
9
+16→m
2
=
1344+144
9
→m
2
=
1488
9
→
→m=
√1488
√9
→m=
√2
2
.2
2
.93
3
→�=
�√��
�
��
(FME – Questão 425) Uma pirâmide triangular tem para base um triângulo de lados 13, 14 e 15; as
outras arestas medem 425/8. Calcule o volume.
Solução

(i) As arestas laterais sendo congruentes, a projeção ortogonal do
vértice sobre o plano da base é o circuncentro “o” (cenytro da
circunferência circunscrita) do triângulo ABC. A altura é VO.

(ii) Cálculo da área da base

No triângulo da base ABC de lados: 13, 14 e 15, temos:

. Semiperímetro (p) =
13+14+15
2
→p=
42
2
→�=��

. Cálculo da área da base:

S
b=√p(p−a)(p−b)(p−c)→

S
b=√21(21−13)(21−14)(21−15)→S
b=√21.8.7.6→

S
b=√7056→�
�=��
(iii) A área de um triângulo com lados: “a”, “b” e “c” inscrito em uma circunferência de raio R é dada
por:

25. Celso Brasil 24

�=
�.�.�
��
→84=
13.14.15
4R
→84=
2730
4R
→4R=
2730
84
→R=
2730
336
:
2
2
→R=
1365
168
:
3
3
→
R=
455
56
:
7
7
→�=
��
�

(iv) Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo VOA, temos:
(
425
8
)
2
=ℎ
2
+�
2
→
180625
64
=ℎ
2
+(
65
8
)
2
→
1800625
64
=ℎ
2
+
4225
64
→ℎ
2
=
180625
64
−
4225
64
→
ℎ
2
=
176400
64
→ℎ=
√176400
√64
→ℎ=
420
8
:
4
4
→�=
���
�

(v) Volume:
??????=
�
??????.ℎ
3
→??????=
84.
105
2
3
→??????=
84.105
6
→??????=
8820
6
→??????=����


(FME – Questão 426) Calcule o volume de uma pirâmide triangular regular, sabendo que o apótema
da base mede 4 cm e o apótema da pirâmide 5 cm.
Solução
Note no triângulo abaixo que:
Apótema da base (OM) = 4 cm e apótema da pirâmide (VM) = 5, logo:

(i) No triângulo retângulo VOM, temos:

5
2
=h
2
+4
2
→25=h
2
+16→h
2
=25−16→h
2
=9→

h=√9→�=� �� (Altura da pirâmide)

(ii) No triângulo equilátero da base ABC o segmento OM vale
1/3 de sua altura, logo:

4=
1
3
h→�=�� ��


. Sabemos que a altura do triângulo equilátero ABC vale:
h=
L√3
2
→12=
L√3
2
→L√3=24→L=
24
√3
.
√3
√3
→L=
24√3
3
→�=�√�
(iii) Área da base:

26. Celso Brasil 25

S
b=
L²√3
4
→ S
b=
(8√3)²√3
4
→S
b=
64.3√3
4
→�
�=��√� ��²
(iv) Volume:
V=
S
b.h
3
→V=
48√3.3
3
→??????=��√� �??????³
(FME – Questão 427) Uma pirâmide triangular regular tem as medidas da altura e da aresta da base
iguais a 6 cm. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume dessa pirâmide.
Solução

(i) A base da pirâmide é um triângulo equilátero ABC cujo lado
mede 6 cm, logo, sua área vale:

S
b=
L²√3
4
→S
b=
6²√3
4
→S
b=
36√3
4
→�
�=�√� �??????²

(ii) (ii) No triângulo equilátero da base ABC o segmento OM
(que é o apótema da base) vale 1/3 de sua altura, logo:

OM=
1
3
h→Om=
1
3
.
L√3
2
→OM=
1
3
.
6√3
2
→��=√� ��

(iii) Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo VOM, temos:
m
2
=(OM)
2
+6
2
→m
2
=(√3)
2
+36→m
2
=3+36→�=√�� ��

(iv) A área lateral é igual a 3 vezes a área da face lateral (VBC):
S
L=3(
6.√39
2
)→S
L=
18√39
2
→�
�=�√�� ��²
(v) Área total:
S
T=S
b+S
L→S
T=9√3+9√39→S
T=9√3+9√3.√13→�
�=�√�(�+√��) ��²
(vi) Volume:
V=
S
b.h
3
→V=
9√3.6
3
→??????=��√� ��³

(FME – Questão 428) Calcule a área total e o volume de um octaedro regular de aresta “a”.
Solução

27. Celso Brasil 26



(i) O triângulo equilátero ACE
de lado “a” é uma face lateral,
logo, área total do octaedro é
igual a 8 vezes o valor desta
face:

S
L=8(
�
2
√3
4
)→

�
�=��²√�

(ii) Volume
O octaedro regular é a reunião de duas pirâmides de base quadrada de lado “a” e de altura igual à metade da
diagonal do quadrado ADEF, logo:
Altura:
�=
�√�
�

Área da base:
A base do octaedro é o quadrado BCDE de lado “a”, logo:
�
�=�²
??????=2(
�
??????.ℎ)
3
)→??????=2(
�
2
.
�√2
2
3
)→??????=
�³√�
�

(FME – Questão 429) Calcule a área total e o volume de um octaedro regular de 2 cm de aresta.
Calcular
(i) A área total do octaedro e dada por:
S
T= 2.S
L→=2a
2
√3+ →S
T=2.2²√3→�
�=�√� ��²
(ii) Volume:
V=
a³√2
3
→V=
2³√2
3
→??????=
�√�
�
��³
(FME – Questão 430) Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que sua base
é circunscrita a um círculo de 6 cm de raio e que a aresta lateral mede 12 cm.
Solução

28. Celso Brasil 27


(i) Note que:

L = 2R ----> L = 2.6 -----> L = 12 cm

(ii) No triângulo retângulo AMD, temos:

(12)
2
=m
2
+(
L
2
)
2
→144=m
2
+6
2
→

m
2
=144−36→�
�
=���→m=√108→

m=√2
2
.3
2
.3→�=�√� ��

(iii) Note que o segmento OM = L/2 = 6 cm, logo, no triângulo retângulo AOM, temos:
m
2
=h
2
+(OM)
2
→108=h
2
+6
2
→h
2
=108−36→h
2
=72→h=√2.36→�=�√� ��
(iv) Cálculo da área da base:
S
b=L
2
→S
b=(12)
2
→�
�=��� ��²
(v) Cálculo do volume:
V=
S
b.h
3
→??????=
144.6√2
3
→??????=144.2√2→??????=���√� ��³
(FME – Questão 431) Uma pirâmide regular de base quadrada tem lado da base medindo 6 cm e a área
lateral igual a 5/8 da área total. Calcule a altura, a área lateral e o volume dessa pirâmide.
Solução

(i) No triângulo retângulo AOM, temos:

h
2
+3
2
=m
2
→h
2
=m
2
−9 (i)

(ii) A área lateral igual a 5/8 da área total:

S
L=
5
8
S
T→4(
6.m
2
)=
5
8
(36+4.
6.m
2
)→12.m=
5
8
(36+12.m)→

96.m=180+60.m→96.m−60.m=180→36.m=180→

�=� �� (��)

(iii) Substituindo (ii) em (i), temos:
h
2
=m
2
−9→h
2
=5
2
−9→h
2
=25−9→h
2
=16→h=√16→�=� ��
(iv) Cálculo da área lateral = 4 x área do triângulo ACD:
S
L=4(
6.5
2
)→�
�=�� ��²
(v) Volume:

29. Celso Brasil 28

V=
S
b.h
3
→V=
6
2
.4
3
→??????=�� ��³
(FME – Questão 432) Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular, sendo 24 cm o perímetro
da base e 30 cm a soma dos comprimentos de todas as arestas laterais.
Solução

(i) Como a base tem formato de hexágono regular e seu perímetro é de 24
cm, a medida do lado é:

P = 6L ----> 24 = 6.L -----> L = 24/6 -----> L= 4 cm

(ii) Área da base:

S
b=
3L²√3
2
→S
b=
3.4²√3
2
→S
b=3.8√3→�
�=��√� ��²

(iii) Como a soma dos comprimentos de todas as arestas laterais mede 30 cm, cada aresta lateral mede:
6a = 30 -----> a = 30/6 -----> a = 5 cm
(iv) O raio da base e o lado do hexágono têm a mesma medida. Logo:
L= r = 4 cm
(iv) Note que no triângulo retângulo VOC, VC= a = 5 cm, logo, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
h² + r² = (VC)² ----> h² + 4² = 5² -----> h² + 16 = 25 -----> h² = 25 – 16 -----> h² = 9 -----> h = √9 ---->
h = 3 cm
(v) Volume:
V=
S
b.h
3
→V=
24√3.3
3
→??????=��√� ��³
(FME – Questão 433) Calcule o volume de uma pirâmide regular hexagonal, sendo 6 cm a medida da
aresta da base e 10 cm a medida da aresta lateral.
Solução

(i) No triângulo retângulo VMD, pelo Teorema de Pitágoras, temos:

(10)
2
=3
2
+m
2
→100=9+m
2
→m
2
=100−9→�
�
=�� ��

(iii) Note que no triângulo equilátero OCD, o segmento OM é a altura dele.
Logo:

OM=
L√3
2
→OM=
6√3
2
→��=�√� ��

30. Celso Brasil 29

(iv) No triângulo retângulo VOM, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
m
2
=(OM)
2
+h
2
→91=(3√3)
2
+h
2
→91=27+h
2
→h
2
=91−27→h
2
=64→h=√64→
�=� ��
(v) Cálculo da área da base:
S
b=
3L
2
√3
2
→S
b=
3.6²√3
2
→S
b=
3.36√3
2
→�
�=��√� ��²
(vi) Volume:
V=
S
b.h
3
→V=
54√3.8
3
→??????=���√�
(FME – Questão 434) O volume de uma pirâmide regular hexagonal é ��√� ??????³, sendo 4 m o lado do
hexágono. Calcule a aresta lateral e a altura da pirâmide.
Solução

(i) Note que no triângulo equilátero OCD, o segmento OM é a altura
desse triângulo. Logo:

OM=
L√3
2
→OM=
4√3
2
→��=�√� �

(ii) Área da base:

S
b=
3L
2
√3
2
→S
b=
3.4²√3
2
→S
b=
3.4²√3
2
→�
�=��√� ??????²



(iii) Pelo eninciado da questão:
??????=60√3→V=
S
b.h
3
→60√3=
24√3.h
3
→180=24.ℎ→h=
180
24
:
12
12
→�=
��
�
�
(iv) No triângulo retângulo VOD, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
(VD)
2
=h
2
+(OD)
2
→(VD)
2
=(
15
2
)
2
+4
2
→(VD)
2
=
225
4
+16→(VD)
2
=
225+64
4
→
(VD)
2
=
289
4
→VD=√
289
4
→??????�=
��
�
�
(FME – Questão 435) A aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal mede 3 m. Calcule a
altura e o volume dessa pirâmide, sendo a superfície lateral 10 vezes a área da base.
Solução

31. Celso Brasil 30


(i) Área da base:

S
b=
3L²√3
2
→S
b=
3.3²√3
2
→�
�=
��√�
�
��

(ii) Note que no triângulo equilátero OCD, o segmento OM é a altura
desse triângulo. Logo:

OM=
L√3
2
→��=
�√�
�
�??????


(iii) A área lateral da pirâmide dada é igual a 6 vezes a área do triângulo VCD. Logo:
S
L=6(
3.m
2
)→�
�=�.�
(iv) Pelo enunciado da questão:
S
L=10.�
??????→9.??????=10.
27√3
2
→9.m=135√3→�=
���√�
�
→�=��√� ��
(v) No triângulo retângulo VOM, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
m
2
=h
2
+(OM)
2
→(15√3 )
2
=h
2
+(
3√3
2
)
2
→225.3=h
2
+
27
4
→675=h
2
+
27
4
→
h
2
=675−
27
4
→h
2
=
2700−27
4
→h
2
=
2673
4
→h=√
2673
4
→h=
√3
2
.3
2
.33
2
→�=
�
�
√�� �??????
????????????: �=
�
�
√�� →�=
�
�
√�.√�� ��
(vi) Volume:
V=
S
b.h
3
→V=
��√�
�
.
�
�
√�√��
3
→V=
243.3√11
12
→??????=
���.√��
�
��³
(FME – Questão 436) A base de uma pirâmide é um triângulo cujos lados medem 13 m, 14 m e 15 m.
As três arestas laterais são iguais, medindo cada uma 20 m. Calcule o volume da pirâmide.
Solução

32. Celso Brasil 31


(i) Cálculo da área da base:

a = 13 m; b = 14 m e c = 15 m

✓ Semiperímetro da base (p): p=
a+b+c
2
→p=
13+14+15
2
→
??????=
42
2
→�=��

(ii) Área da base:

S
b=√??????(??????−�)(??????−�)(??????−�)→

S
b=√21(21−13)(21−14)(21−15)→

S
b=√21.8.7.6→S
b=√7056→�
�=��


(iii) Como as arestas laterais são congruentes, então a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é
o circuncentro “O” (centro da circunferência circunscrita). Logo, a área do triângulo ABC é dada por:
S
b=
a.b.c
4R
→84=
13.14.15
4R
=84→13.14.15=336R →24R=13.15→R=
195
24
:
3
3
→
�=
��
�

(iv) No triângulo retângulo VOA, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
(20)
2
=ℎ
2
+(
65
8
)
2
→400=ℎ
2
+
4225
64
→ℎ
2
=400−
4225
64
→ℎ
2
=
25600−4225
64
→ℎ
2
=
21375
64
→
→ℎ=√
21375
64
→ℎ=
√3
2
.5
2
.95
8
→�=
��√��
�

Volume:
V=
S
b.h
3
→V=
84.
��√��
�
3
→V=
84.15√95
24
→V=
14.15√95
4
→V=
7.15√95
2
→??????=
���√��
�
�³
(FME – Questão 437) O volume de uma pirâmide é 27 m³, sua base é um trapézio de 3 m de altura,
seus lados paralelos têm por soma 17 m. Qual é a altura dessa pirâmide.
Solução

(i) A soma das bases vale 17, logo: (B+b) = 17

(ii) A área da base (trapézio) vale:

S
b=
(B+b).h
2
→S
b=
17.3
2
→�
�=
��
�
�²

33. Celso Brasil 32

(ii) Pelo enunciado da questão:
V=27 m
3
→
�
??????.ℎ
3
=27→
51
2
.ℎ
3
=27→
51
6
.ℎ=27→51ℎ=6.27→51ℎ=162→ℎ=
162
51
:
3
3
→
�=
��
��
??????
(FME – Questão 438) Determine o volume de uma pirâmide triangular cujas arestas laterais são de
medidas iguais, sabendo que o triângulo da base tem os lados medindo 6 m, 8 m e 10 m e que sua
maior face lateral é um triângulo equilátero.
Solução
(i) Cálculo da área da base:
a = 6 m; b = 8 m e c = 10 m
✓ Semiperímetro da base (p): p=
a+b+c
2
→p=
6+8+10
2
→
??????=
24
2
→�=�� �
S
b=√??????(??????−�)(??????−�)(??????−�)→
S
b=√12(12−6)(12−8)(12−10)→
S
b=√12.6.4.2→
S
b=√576→�
�=�� m²
(ii) Como as arestas laterais são iguais elas pertencem a uma reta perpendicular ao plano da base
equidistantes dos vértices da base. Sendo a base um triângulo retângulo pois 10
2
= 6
2
+ 8
2
, essa reta passa
pelo ponto médio da hipotenusa. Desta forma, a face triangular regular é perpendicular à base e em
consequência, a altura da pirâmide coincide com a altura dessa face. Portanto, a altura da pirâmide:

h=
L√3
2
→h=
10√3
2
→�=�√� �

Volume:
??????=
�
??????.ℎ
3
→??????=
24.5√3
3
→??????=��√� ??????³

34. Celso Brasil 33

(FME – Questão 439) A área lateral de uma pirâmide triangular regular é o quádruplo da área da
base. Calcule o volume, sabendo que a aresta da base mede 3 cm.
Solução


(i) De acordo com os dados da questão devemos ter:

�
�=��
� (�)

(ii) A área da base é igual à área do triângulo equilátero ABC de
lado 3 cm. Logo:

S
b=
L²√3
4
→S
b=
3
2
√3
4
→�
�=
�√�
�
�??????

(iii) A área lateral é igual a 3 vezes a área do triângulo VBC, assim sendo:
�
??????=3(
3.??????
2
)→�
�=�.
�
�
(��)
(iv) Substituindo (ii) em (i), temos:
S
L=4S
b→
9m
2
=4.
9√3
4
→�=�√� ��
(v) Note que no triângulo equilátero da base ABC, que o segmento OM (apótema) vale 1/3 da altura, logo:
??????�=
1
3
.
�√3
2
→??????�=
1
3
.
3√3
2
→��=
√�
�
��
(v) No triângulo retângulo VOM, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
m
2
=(OM)
2
+h
2
→(2√3)
2
=(
√3
2
)
2
+h
2
→12=
3
4
+h
2
→h
2
=12−
3
4
→h
2
=
48−3
4
→
h
2
=
45
4
→h=
√5.9
√4
→�=
�√�
�
�??????
(vi) Volume:
V=
S
b.h
3
→V=
�√�
�
.
�√�
�
3
→V=
27√15
24
→V=
27√15
24
:
3
3
→??????=
�√��
�
��³

35. Celso Brasil 34

(FME – Questão 440) Calcule a área lateral e total de uma pirâmide triangular regular, sabendo que
sua altura mede 12 cm e que o perímetro da base mede 12 cm.
Solução

(i) De acordo com o enunciado:

3L=12→L=
12
3
→�=� ��

(ii) A área da base vale:

S
b=
L²√3
4
→S
b=
4
2
√3
4
→�
�=�√� �??????

(iii) Note que no triângulo equilátero da base ABC, que o segmento OM (apótema) vale 1/3 da altura, logo:
??????�=
1
3
.
�√3
2
→??????�=
1
3
.
4√3
2
→��=
�√�
�
��
(iv) No triângulo retângulo VOM, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
m
2
=(OM)
2
+h
2
→??????
2
=(
2√3
3
)
2
+(12)
2
→m
2
=
12
9
+144→m
2
=
12+1296
9
→??????
2
=
1308
9
→
→??????=√
1308
9
→??????=
√2
2
.3.109
3
→�=
�√�√���
�
�??????
(v) A área lateral = 3 x área do triângulo VBC:
S
L=3(
4.
�√�√���
�
2
)→S
L=
24√�√���
6
→�
�=�√�√���→�
�=�√��� ��²
(vi) Área total:
S
T=S
b+S
L→S
T=4√3+ 4√3√109→�
�=�√�(�+√���) ��²

36. Celso Brasil 35

(FME – Questão 441) Determine a altura de uma pirâmide triangular regular, sabendo que a área
total é ��√� cm² e o raio do círculo inscrito na base mede 2 cm.
Solução

(i) Observe que no triângulo equilátero ABC,
da base, OM |(apótema) = r = 2 cm, logo:

??????�=
1
3
.
�√3
2
→2=
1
3
.
�√3
2
→12=�√3

L=
12
√3
.
√3
√3
→L=
12√3
3
→�=�√� ��


(ii) Área da base:
S
b=
L²√3
4
→S
b=
(4√3)²√3
4
→S
b=
48√3
4
→�
�=��√� ��²
(iii) De acordo com o enunciado:
S
T=36√3→S
b+S
L=36√3→12√3+S
L=36√3→S
L=36√3−12√3→�
�=��√� ��²
(iv) A área lateral = 3 x área do triângulo VBC, logo:
S
L=24√3→3(
4√3.m
2
)=24√3→6√3.m=24√3→6.m=24→m=
24
6
→�=� ��
(v) No triângulo retângulo VOM, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
h
2
+(OM)
2
=m
2
→h
2
+2
2
=4
2
→h
2
=16−4→h
2
=12→h=√12→�=�√� ��
(FME – Questão 442) Calcule a medida do diedro formado pelas faces laterais com a base de uma
pirâmide regular, sabendo que o apótema da pirâmide mede o dobro do apótema da base.
(Resposta: 60°)

37. Celso Brasil 36

(FME – Questão 443) Determine a medida da altura e da aresta lateral de uma pirâmide que tem por
base um triângulo equilátero de lado 16 cm, sabendo que as faces laterais formam com o plano da base
ângulos de 60°.
Solução

(i) O apótema da base “m” é dado por:

??????=
1
3
.
�√3
2
→??????=
1
3
.
16√3
2
→�=
�√�
�
��

(ii) Cálculo da altura h:

No triângulo VGM, temos:

tag 60°=
h
m
→√3=
h
8√3
3
→h=
8√3
3
.√3→�=� ��


(iii) No triângulo equilátero ABC, o segmento AG vale 2/3 de sua altura (h’), logo:
AG=
2
3
h
′
→AG=
2
3
.
L√3
2
→�??????=
��√�
�

(iv) No triângulo retângulo VGA, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
�
2
=ℎ
2
+(????????????)
2
→�
2
=8
2
+(
16√3
3
)
�
→�
�
=��+
���.�
�
→�
�
=��+
���
�
→�
�
=
���+���
�
→
→a
2
=
1344
9
→a=√
1344
9
→a=
√2
2
.2
2
.2
2
.21
3
→�=
�√��
�
�??????
(FME – Questão 444) Uma pirâmide tem por base um triângulo equilátero de lado “a”. As faces laterais
formam com o plano da base diedros de 60°. Calcule a altura, o comprimento das arestas e o volume da
pirâmide.
Solução




(i) O apótema da base (GM) = “m” é 1/3 da altura do triângulo ABC:

??????=
1
3
.
�√3
2
→�=
�√�
�
��

38. Celso Brasil 37


(ii) Cálculo da altura h:
No triângulo VGM, temos:
tag 60°=
h
m
→√3=
h
a√3
6
→h=
a√3
6
.√3→h=
3a
6
:
3
3
→�=
�
�

(iii) No triângulo equilátero ABC, o segmento AG vale 2/3 de sua altura (h’), logo:
AG=
2
3
h
′
→AG=
2
3
.
a√3
2
→�??????=
�√�
�

(iv) No triângulo retângulo VGA, chamamos de “L” a aresta lateral, logo, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
L
2
=h
2
+(AG)
2
→L
2
=(
a
2
)
2
+(
a√3
3
)
2
→L
2
=
a
2
4
+
3a²
9
→L
2
=
9a
2
+12a²
36
→L
2
=
21a²
36

→L=√
21a²
36
→�=
�√��
�

(v) Área da base = Área do triângulo equilátero ABC de lado “a”
�
�=
�
2
√�
�

(vi) Volume:
V=
S
b.h
3
→V=
a
2
√3
4
.
a
2
3
→??????=
�³√�
��