Poligonos inscritos

1. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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Professor Antonio Carlos Carneiro barroso

4. TEOREMA DE TALES
a
b
c
e
d
f
f
c
e
b
d
a
==
TEOREMA DE TALES: Um feixe de retas paralelas determina
sobre duas retas transversais segmentos proporcionais

2. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
5.1. TRIÂNGULOS
TRIÂNGULO QUALQUER:
h
b
2
.hb
A=
TRIÂNGULO EQUILÁTERO:
4
3.
2
l
A=
l
l l
FÓRMULA DE HERON:
cb
)).().(.( cpbpappA ---=
a
*p = semi-perímetro

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5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
5.1. TRIÂNGULOS
DADO UM ÂNGULO:
senCbaA ...
2
1
=
cb
a
A
C B

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5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
5.1. TRIÂNGULOS
TRIÂNGULO QUALQUER INSCRITO NUMA CIRCUNFERÊNCIA:
R
cba
A
.4
..
=

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5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
5.1. TRIÂNGULOS
TRIÂNGULO QUALQUER CIRCUNSCRITO NUMA CIRCUNFERÊNCIA:
*p = semi-perímetro
rpA
r
cba
A
rcrbra
A
rcrbra
A
.
.
2
)(
2
...
2
.
2
.
2
.
=
++
=
++
=
++=

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5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
5.2. PARALELOGRAMOS
Retângulo
Quadrado
Paralelogramo
hbA.=
Losango
2
dD
A
.
=

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5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
h
bB
A .
)(
2
+
=
5.3. TRAPÉZIOS
Trapézio
h
OBSERVAÇÃO:
Em qualquer polígono regular, a área é dada por:
A = p.a
*p = semi-perímetro
a = apótema

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5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
5.3. TRAPÉZIOS
OBSERVAÇÕES:
Trapézio Escaleno Trapézio IsóscelesTrapézio Retângulo
a) Tipos de Trapézios

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5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
5.3. TRAPÉZIOS
OBSERVAÇÕES:
b) Base Média
c) Mediana de Euler
A B
CD
M N
EF
2
CDAB
EF
-
=

10. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
5.3. TRAPÉZIOS
OBSERVAÇÕES:
d) Diagramas
Quadriláteros
Trapézios
Paralelogramos
Losangos
Retângulos
Quadrados

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6. POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
6.1. Triângulo Eqüilátero
INSCRITOS

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6. POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
6.2. Quadrado
2
lS
2
l
a
2
2l.
r
=
=
=
INSCRITOS

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6. POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
6.3. Hexágono regular
4
3.R
.6S
2
3.R
a
2
=
=
INSCRITOS

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6. POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
CIRCUNSCRITOS
*p = semi-perímetro
rpA.=

15. o
DC 180
ˆˆ
=+
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6. POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
OBSERVAÇÕES:
a) Os ângulos opostos de um quadrilátero inscrito são
suplementares.

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6. POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
OBSERVAÇÕES:
b) Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a
soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois
lados.
a
b
c
d
a + c = b + d

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QUESTÕES
Questão 2:
Determine a medida y, na figura abaixo, sabendo que x + z = y
e que r//s//t//u.
a)8
b)9
c)10
d)12
e)14

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QUESTÕES
Solução:
y – 3 = 9
y = 12

19. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Questão 4:
(UFPI) A área do quadrado ABCD inscrito no triângulo
retângulo DEF abaixo é:
a) 42,25cm
2
b) 36cm
2
c) 46,24cm
2
d) 39,32cm
2
e) 49cm
2

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QUESTÕES
Solução:
6
150.25
.15150.10
15
10
10
=
=
-=
=
-
l
l
ll
ll
2
2
2
36
6
cmA
A
lA
=
=
=

21. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Questão 5:
A figura abaixo mostra uma circunferência de raio 6cm inscrita
em um trapézio retângulo. Calcule a área desse trapézio.
a) 110cm
2
b) 120cm
2
c) 130cm
2
d) 140cm
2
e) 150cm
2

22. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Solução:
r = 6cm
12cm
10cm
2
150
12.
2
)1015(
.
2
)(
cmA
A
h
bB
A
=
+
=
+
=

23. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Questão 8:
(UFBA/95) Num triângulo ABC, o lado AB mede 1 u.c., o lado
BC u.c. e o ângulo B mede 30º. Assim, pode-se afirmar:

0 0 O perímetro do triângulo mede 5 u.c.
1 1 O triângulo é obtusângulo.
2 2 O triângulo é isósceles.
3 3 A medida da área do triângulo é u.a.
4 4 A altura do triângulo, relativa ao lado AB, mede u.c.
3

24. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Solução:
A
B C
1
Ö3
30
o
x
11
331
2
3
.3.231
30cos.3.1.231
2
2
2
2
22
=\=
-+=
-+
-+=
xx
x
x
x
CossenosdosLei
o
1
0 0 O perímetro do triângulo mede 5 u.c.
1 1 O triângulo é obtusângulo.
2 2 O triângulo é isósceles.
3 3 A medida da área do triângulo é Ö3/4 u.a.
4 4 A altura do triângulo, relativa ao lado AB,
mede Ö2/2 u.c.
X
X
X
1/2
4
3
2
2
1
.3
2
.
=
=
=
A
A
hb
A
X
2
3
2
.1
4
3
2
.
=
=
=
h
h
hb
A
X

25. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Questão 9:
(COVEST/2005) Uma propriedade rural tem a forma do
triângulo ABC representado na figura. A região cultivada
corresponde apenas à porção sombreada. Sabendo-se que AD
= AB e AE = AC, que porcentagem da área da propriedade
rural é cultivada?
a) 50%
b) 60%
c) 66%
d) 75%
e) 1/2.(2/3 + 3/4).100%

26. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Solução:
x
y
3/4.x
2/3.y
qsenyxA
prop
...
2
1
.
=
q
qsenyxA
cult
..
3
2
..
4
3
.
2
1
.
=
qsenyxA
cult ...
4
1
.=
.. .%50
propcult AA=

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QUESTÕES
Questão 12:
(UPE 2003)
0 0 Se a medida da base de um triângulo aumenta 20% e a
medida da altura diminui 30%, a área do triângulo diminui em
16%.
1 1 Três segmentos de medidas 5cm, 6cm e 10cm determinam
um triângulo obtusângulo.
2 2 O apótema de um hexágono regular de lado l é l.Ö3
3 3 A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo, inscrito
em uma circunferência de raio 2 u.c., é 2.Ö3 u.c.
4 4 A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o
lado oposto em segmentos proporcionais.

28. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Solução:
0 0 Se a medida da base de um triângulo aumenta 20% e a
medida da altura diminui 30%, a área do triângulo diminui em
16%.
2
.
.84,0
2
.7,0..2,1
2
.
' hbhb
A
hb
A
==
=
X

29. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Solução:
1 1 Três segmentos de medidas 5cm, 6cm e 10cm determinam
um triângulo obtusângulo.
61100
3625100
6510
222
ñ
+ñ
+ñ
X

30. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Solução:
2 2 O apótema de um hexágono regular de lado l é l.Ö3 X
a
p
l
2
3.l
a
p
=

31. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Solução:
3 3 A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo, inscrito
em uma circunferência de raio 2 u.c., é 2.Ö3 u.c.
X
2 2

32. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Solução:
4 4 A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o
lado oposto em segmentos proporcionais.
X
A
B C
P
PC
AC
BP
AB
=
Teorema da Bissetriz Interna

33. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Questão 13:
(COVEST 2003) A razão entre a área do triângulo e a área do
círculo inscrito, ilustrados na figura abaixo, é:
p
p
p
p
p
1
)e
4
)d
18
)c
6
)b
12
)a

34. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Solução:
6
2
3.4
2
.
=
=
=
t
t
t
A
A
hb
A
1
.
2
)543(
6
.
=
++
=
=
r
r
rpA
t
p
p
p
=
=
=
c
c
c
A
A
rA
2
2
1.
.
p
6
=
c
t
A
A

35. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Questão 14:
(U.F.Uberlândia-MG/adaptada) Calcule a área de um triângulo
retângulo em que um dos catetos mede 5 cm e o raio da
circunferência inscrita mede 2cm.
a) 20cm
2
b) 25cm
2
c) 30cm
2
d) 40cm
2
e) 50cm
2

36. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Solução:
2 cm
3 cm
3 cm
2 cm
x
x
cmxx
xxxx
xx
1020.2
.4425.69
)2(5)3(
22
222
=\=
+++=++
++=+
2
30
2
5.12
2
.
cmA
A
hb
A
=
=
=

37. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Questão 15:
(UFAC) A figura representa um trapézio cujas bases AB e DC
medem 6dm e 10dm. Sendo M e N pontos médios dos lados
AD e BC, conclui-se que a medida do segmento PQ é:
a) 3dm
b) 2dm
c) 3,1dm
d) 2,8dm
e)
3,2dm

38. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Solução:
dmPQ
PQ
EulerdeMediana
2
2
)610(
=
-
=

39. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Questão 16:
Em um triângulo retângulo ABC a hipotenusa BC mede 15cm e
o cateto AB mede 9cm. Calcule a distância do baricentro G à
reta AC.
a) 1cm
b) 2cm
c) 3cm
d) 4cm
e) 5cm

40. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Solução:
15 cm
9 cm
12 cm
4,5 cm
cmd
d
3
5,4.
3
2
=
=

41. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Questão 18:
(UFMT) No hexágono regular ABCDEF inscrito na
circunferência de raio 4cm, a medida da diagonal FB é:
cm15)e
cm26)d
cm34)c
cm8,6)b
cm6)a

42. o
i xnS 180)2(-=
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QUESTÕES
Solução:
o
i
o
i
S
xS
720
180)26(
=
-=
120
o
4 cm
4 cm
2 cm
30
o
2.
Ö 3
2.
Ö 3
4.
Ö 3

43. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Questão 19:
Um quadrado ABCD e um triângulo eqüilátero EFG estão
inscritos na mesma circunferência de raio 6 cm de modo que
AB//EF, conforme a figura. Calcule a distância entre os lados
AB e EF.
)32.(3)e
)32.(2)d
)33.(3)c
)23.(2)b
)22.(3)a
-
-
-
-
-

44. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Solução:
cmap
ap
apr
q
q
q
6
2.2.6
2.
=
=
=

45. COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves
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QUESTÕES
Solução:
cmr 2.6=
t
ap cm2.3=
)22.(3
2.36
-=
-=
-=
d
d
apapd
tq