Polinomio y ecuación característica centla

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1. Polinomio y ecuación característica . Materia : Matemáticas IV. Unidad : 6 profesor : ING. Víctor Manuel Mateo Morales INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CENTLA .

2. OBJETIVO COMPRENDER QUE ES UNA ECUACIÓN Y POLINOMIO CARACTERÍSTICOS PARA RESOLVER PROBLEMAS CON APLICACIONES EN LA INGENIERIA QUÍMICA

3. Teorema 1 . Sea A una matriz de n * n. Entonces  es un valor propio de A sí y sólo sí P(  ) = det (A -  I) = 0 ( 4) Definición . Ecuación y polinomio característicos. a b c d La ecuación (4) se llama la ecuación característica de A; p(  ) se llama el polinomio característico de A.  Como será evidente p(  ) es un polinomio de grado n en  . Por ejemplo, si A =

4. Entonces, A - I  = a b  = c d - 0    y p(  ) = det ( A - I  ) = ( a -  )(d -  ) – bc =  2 – (a + b)  + (ad – bc). a -  b c d - 

5. Según el teorema fundamental del álgebra, cualquier polinomio de grado n con coeficientes reales o complejos tiene exactamente n raíces (contando multiplicidades). Esto significa, por ejemplo, que el polinomio (  - I)5 tiene cinco raíces, todas iguales al número 1. Como cualquier eigenvalor de A es una raíz de la ecuación característica de A, se concluye que Contando multiplicidades, toda matriz de n * n tiene exactamente n eigenvalores

6. Teorema 2 . Sea  un valor propio de la matriz AQ de n * n y sea E  = { v : Av =  v}. Entonces E  es un subespacio de C n .   Demostración . Si A v =  v , entonces (A -  I) v = 0. Así E  es el espacio nulo de la matriz A -  I, que es un subespacio de C n . Definición . Espacio propio. Sea  un valor propio de A. El subespacio E  se llama espacio propio  de A correspondiente al valor propio  .   Observe que  E  ya que E  es un subespacio. Sin embargo, o no es un vector propio.

7.   Teorema 3. Si A y B son matrices semejantes de n * n, entonces A y B tienen el mismo polinomio característico y, por lo tanto, tiene los mismos valores propios.   Demostración . Como A y B son semejantes, B = C -1 AC y   Det (B -  I) = det (C -1 AC -  I) = det [C -1 AC – C -1 (  I)C] = det [C -1 (A -  I)C] = det (C -1 ) det(A -  I) det (C ) = det (C -1 ) det (C) det (A -  I) = det (C –1 C) det (A -  I) = det I det (A -  I) = det (A -  I)

8. Esto significa que A y B tiene la misma ecuación característica, y como los valores propios son raíces de la ecuación característica, tiene los mismos valores propios.

9. SUGERENCIAS DIDACTICAS Utilizar software de matemáticas ( Mathcad , Mathematica , Maple, Matlab ) y calculadoras graficadoras para facilitar la comprensión de conceptos, la resolución de problemas, la construcción de gráficas y la interpretación de resultados. • Desarrollar prácticas de tal manera que los estudiantes apliquen los conocimientos adquiridos y los relacionen con su carrera .