Polinomios aula

aula de polinomios

1. POLINÔMIOS

2. MONÔMIO Dados um número complexo a e um número natural n , chama-se de monômio à expressão formada por um número e uma parte literal. a . x n a: coeficiente numérico x: incógnita(variável) n: expoente da incógnita(grau do monômio)

3. POLINÔMIOS São estruturas algébricas resultantes da adição e/ou subtração de monômios. P(x) = a n . x + a n-1 . x + a n-2 . x + ... + a 1 . x + a n n-1 n-2 1 Observações: I. Os polinômios são representados, geralmente, com seus termos em ordem decrescente de grau; II. a n , a n-1 , ... , a 1 e a são os coeficientes do polinômio, com a sendo o termo independente de P(x).

4. GRAU DE UM POLINÔMIO O grau de um polinômio é dado pelo maior grau de um monômio com coeficiente não nulo. Exemplos: a) P(x) = x + 3x - 7x + 6 3 2 4 Grau 3 (completo) b) Q(x) = x + 2x - 1 Grau 4 (incompleto) c) D(x) = x + 4 Grau 1 (completo) d) R(x) = -7 Grau 0 (completo)

5. VALOR NUMÉRICO É o resultado obtido quando substituímos a incógnita por uma constante qualquer e efetuamos os devidos cálculos. Observação : Indicamos o valor numérico do polinômio P(x) para x = a por P( a ). Exemplo : Sendo P(x) = x + 2x – 1, o seu valor numérico para x = 2 é: 3 P( 2 ) = ( 2 ) + 2.( 2 ) – 1 3 . . . P( 2 ) = 11 Denominaremos a como a raiz do polinômio, se o número complexo a for tal que P( a ) = 0.

6. 02. O gráfico da função p(x) = x + (a + 3).x - 5x + b contém os pontos (-1;0) e (2;0). Sendo assim, o valor de p(0) é: 3 2 1 - 6 - 1 6

7. POLINÔMIO IDENTICAMENTE NULO É o polinômio que possui todos os coeficientes iguais a zero. P(x) = 0 . x + 0 . x + 0 . x + ... + 0 . x + 0 n n-1 n-2 Exercício : Para que valor(es) de a o polinômio P(x) = (a – 1). x + (a + 1). x é identicamente nulo? 2 2

8. POLINÔMIOS IDÊNTICOS Dois polinômios de mesmo grau P(x) e Q(x) são idênticos quando possuem todos os coeficientes de mesmo grau iguais. P(x) = a n . x + a n-1 . x + a n-2 . x + ... + a 1 . x + a Q(x) = b n . x + b n-1 . x + b n-2 . x + ... + b 1 . x + b n n n-1 n-1 n-2 n-2 P(x) = Q(x) a 1 = b 1 a = b a n = b n a n-1 = b n-1 . . .

9. OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Consiste em efetuar os termos semelhantes, ou seja, adicionar e subtrair os termos de mesmo grau. Observação : Se P(x), Q(x) e (P+Q)(x) são polinômios não nulos, então o grau de (P+Q)(x) é menor ou igual ao maior dos graus entre P(X) e Q(x).

10. 2. MULTIPLICAÇÃO Consiste em aplicar normalmente a propriedade distributiva entre os termos dos polinômios em questão. Ex : Sendo P(x) = 3x + 1 e Q(x) = x - 2x + 3, determine P(x) . Q(x). 2 Observação : Se dois polinômios P(x) e Q(x) são não nulos, então o grau de (P.Q)(x) é igual à soma dos graus de P(X) e Q(x).

11. Exercício : 01. Sejam os polinômios f e g de graus 4 e 2, respectivamente. Se o polinômio f + g é não nulo, então seu grau sempre será: 8 6 4 um número par menor ou igual a 4

12. 3. DIVISÃO Sejam dois polinômios, P(x) como dividendo e D(x) como divisor, com D(x) = 0. Dividir P(x) por D(x) significa obter dois outros polinômios: Q(x) que é o quociente e R(x) que é o resto, tais que: P(x) R(x) D(x) Q(x) P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) Observação : Se dois polinômios P(x) e D(x) são não nulos, então o grau de (P/D)(x) é igual à diferença entre os graus de P(X) e D(x).

13. I. Método das chaves (algoritmo de Euclides) Esse método pode ser aplicado com divisores de qualquer grau . Trata-se do mesmo processo de divisão estudado no ensino infantil. Dividir o polinômio P(x) = x + 3x - 3x – 1 por D(x) = x – 1. 4 2 Exemplo : Observações : a) No método das chaves, é aconselhável que se complete os polinômios incompletos; b) A divisão termina quando o grau do resto for menor do que o grau do divisor.

14. II. Dispositivo prático de Briot-Ruffini Esse dispositivo só pode ser aplicado com divisores de 1º grau do tipo (x - a). Nesse dispositivo, é obrigatório completar os polinômios incompletos. Exemplo : Dividir o polinômio P(x) = 2x - x + 2 por D(x) = x – 2. 4 2

15. TEOREMA DO RESTO O resto da divisão de um polinômio P(x) por (x - a ) é igual a P( a ). P(x) r x - a Q(x) P(x) = (x – a ) . Q(x) + r P( a ) = ( a – a ) . Q( a ) + r P( a ) = 0 . Q( a ) + r P( a ) = r

16. Exercício : 01. Obter o resto da divisão de P(x) = 2x + x – 9 por x – 2. 3 02. Se os polinômios P(x) = 2x + 9x + 3bx – (b - 9) e Q(x) = x – bx + 7x - 3b, quando divididos por x – 1, fornecem restos iguais, então determine o valor de b. 3 2 3 2

17. TEOREMA DE D’ALEMBERT Um polinômio P(x) é divisível por (x - a ) se, e somente se, P( a ) = 0, ou seja, se a é raiz de P(x). P(x) x - a Q(x) P( a ) = 0 * Obs .: Se a é raiz de P(x), então P( a ) = 0. Exercício : Determine o valor de m para que o polinômio P(x) = x + 2x + mx – 6 seja divisível por x – 2. 2 3