Ponto crítico de uma função derivável

matemática

1. Ponto crítico de uma função derivável Professora : Adrianne Mendonça

2. Definição Ponto crítico de uma função derivável f é um ponto x=c do domínio de f no qual f '(c)=0. Exemplo:  f(x)=x², definida sobre [-1,2], possui x=0 como ponto crítico, pois f '(0)=0.

3. Explicando ... Pelo teorema, se x=c é um ponto de extremo local para f, a derivada de f se anula e passa uma reta tangente horizontal à curva y=f(x) no ponto (c, f(c)).

4. Explicando ... Existem funções com um ponto crítico em x=c, que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f, como a função f(x)=x³ definida sobre a reta, x=0 é ponto crítico mas este não é um ponto de extremo para f.

5. Explicando ... Se os pontos de extremos locais para f estiverem nas extremidades do domínio de f, as derivadas laterais de f poderão existir e ser não nulas. A função f(x)=1-x², definida sobre S=[-1,2] possui três extremos. x=-1 e x=2 são pontos de mínimo local e x=0 é um ponto de máximo local , mas f '(-1)=2 e f '(2)=-4 .

6. Critério da primeira derivada Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, possuindo um ponto crítico x=c no interior de S, isto é, f '(c)=0. Se a derivada de f é positiva à esquerda de x=c e é negativa à direita de x=c, então x=c é um ponto de máximo para f. Se a derivada de f é negativa à esquerda de x=c e é positiva à direita de x=c, então x=c é um ponto de mínimo para f.

7. Critério da primeira derivada Seja a função f(x)=1-x² definida sobre S=[-1,2]. f '(x)=-2x, assim o único ponto crítico ocorre em x=0. f '(x)>0 se x<0 e f '(x)<0 se x>0, assim, x=0 é um ponto de máximo local para f .

8. Critério da primeira derivada Seja a função f(x)=x² definida sobre S=[-1,2]. g '(x)=2x, assim o único ponto crítico ocorre em x=0. g '(x)>0 se x<0 e g '(x)<0 se x>0, assim, x=0 é um ponto de mínimo local para f.

9. Critério da primeira derivada Nem todo ponto crítico de uma função é ponto de extremo dessa função, como é o caso de f(x)=x³, definida sobre S=[-2,2]. f '(x)=3x². O ponto crítico é x=0. À esquerda e também à direita de x=0, a derivada é positiva, logo, x=0 não pode ser ponto de máximo local nem ponto de mínimo local para f .

10. Observação !!! O critério da 1a. derivada, pode ser escrito na forma: Se f é uma função derivável sobre um intervalo [ a,b ] e existe um ponto x=c no intervalo aberto ( a,b ) para o qual f '(c) é diferente de 0, então este ponto x=c não pode ser ponto de máximo nem de mínimo para f.