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Fibonacci, la sezione aurea

1. 09/23/2509/23/25 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 11
LA SEZIONE AUREALA SEZIONE AUREA
Un numero molto….Un numero molto….
ma molto…ma molto…
SPECIALESPECIALE

2. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 22
ФФ = 1,6180339887… = 1,6180339887…
1/1/ФФ = 0,6180339887… = 0,6180339887…
Qual è la probabilità che Qual è la probabilità che
l’ago (di lunghezza l’ago (di lunghezza
esattamente uguale alla esattamente uguale alla
distanza delle righe) distanza delle righe)
gettato a caso sul foglio, gettato a caso sul foglio,
si fermi in modo tale da si fermi in modo tale da
intersecare una delle intersecare una delle
righe?. righe?.
È 2 / È 2 / pp = 0,636… = 0,636…
Abbastanza…. vicino… Abbastanza…. vicino…
a 1/a 1/ФФ..

3. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 33
ФФ = 1,6180… = 1,6180…
1/1/ФФ = 0,6180… = 0,6180…
Meno noto di Pi Meno noto di Pi
greco è greco è ФФ, un , un
numero misterioso.numero misterioso.
La mirabile La mirabile
disposizione dei disposizione dei
petali di una rosa.petali di una rosa.
L’armoniosa spirale L’armoniosa spirale
di alcune conchiglie.di alcune conchiglie.
La distribuzione delle La distribuzione delle
galassie. galassie.
Hanno in comune Hanno in comune
qualche cosa….qualche cosa….

4. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 44
EUCLIDEEUCLIDE
Si può dire che una linea Si può dire che una linea
retta sia stata divisa retta sia stata divisa
secondo la proporzione secondo la proporzione
estrema e media quando estrema e media quando
l’intera linea AB sta alla l’intera linea AB sta alla
parte maggiore AC così parte maggiore AC così
come la maggiore AC sta come la maggiore AC sta
alla minore CB. Ossia:alla minore CB. Ossia:
La parte maggiore AC è La parte maggiore AC è
media proporzionale tra il media proporzionale tra il
tutto AB e la parte minore tutto AB e la parte minore
CB.CB.
A C BA C B
AB : AC = AC : CBAB : AC = AC : CB
Ossia:Ossia:
AB / AC = AC / CB = AB / AC = AC / CB = ФФ = =
1,618…1,618…
1 / 1 / ФФ = 0,618… = 0,618…

5. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 55
LA MELALA MELA
Se si taglia il frutto a metà, i Se si taglia il frutto a metà, i
semi sono disposti in modo semi sono disposti in modo
da formare una stella a 5 da formare una stella a 5
punte o pentagono stellato punte o pentagono stellato
o o pentagrammapentagramma..
In ognuno dei 5 triangoli In ognuno dei 5 triangoli
isosceli che formano le isosceli che formano le
punte del pentagramma il punte del pentagramma il
rapporto della lunghezza di rapporto della lunghezza di
uno dei lati con la base uno dei lati con la base
(implicita) è uguale alla (implicita) è uguale alla
sezione aurea: 1,618… sezione aurea: 1,618…
I petali di una rosa sono I petali di una rosa sono
disposti secondo una disposti secondo una
regola precisa; una regola precisa; una
regola basata sul regola basata sul
rapporto aureo.rapporto aureo.
Il tronco della passiflora Il tronco della passiflora
è rotondo: i rami sono a è rotondo: i rami sono a
pentagono.pentagono.
I fiori presentano un I fiori presentano un
pistillo a 3 diramazioni.pistillo a 3 diramazioni.
I petali sono 5, stami 5, I petali sono 5, stami 5,
blattee 3.blattee 3.

6. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 66
IL PENTAGONOIL PENTAGONO
In ogni figura piana regolare In ogni figura piana regolare
(angoli e lati uguali) la (angoli e lati uguali) la
somma in gradi di tutti gli somma in gradi di tutti gli
angoli interni è uguale a:angoli interni è uguale a:
180° * (n – 2), dove n è il 180° * (n – 2), dove n è il
numero di lati.numero di lati.
Per esempio in un Per esempio in un
pentagono n=5, la somma è pentagono n=5, la somma è
540°. Il triangolo interno è 540°. Il triangolo interno è
pure aureo, perché il lato pure aureo, perché il lato
diviso base dà diviso base dà ФФ..
Bisecando l’angolo in D si Bisecando l’angolo in D si
ottiene ancora un triangolo ottiene ancora un triangolo
aureo e il lato opposto è pure aureo e il lato opposto è pure
aureo: si può continuare….aureo: si può continuare….

7. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 77
IL RAPPORTO IL RAPPORTO
La media aurea non è affatto banale
Tutt’altra cosa che un comune irrazionaleTutt’altra cosa che un comune irrazionale
Capovolta, pensate un po’,Capovolta, pensate un po’,
Resta se stessa meno l’unità.Resta se stessa meno l’unità.
Se poi di uno la aumentateSe poi di uno la aumentate
Quel che otterrete, vi assicuro, è il quadrato.Quel che otterrete, vi assicuro, è il quadrato.
x 1x 1
x / 1 = (x + 1) / xx / 1 = (x + 1) / x
x x ²² = x + 1 = x + 1
x x ² ² – x -1 = 0– x -1 = 0
X1 = (1 + X1 = (1 +  5 ) / 2 = 1,618.. 5 ) / 2 = 1,618..
X2 = (1 - X2 = (1 -  5 ) / 2 = - 0,618. 5 ) / 2 = - 0,618.

1/1/ФФ = = ФФ - 1 - 1
ФФ²² = = ФФ + 1 + 1

8. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 88
RETTANGOLO AUREORETTANGOLO AUREO
Il lato maggiore e il lato minore Il lato maggiore e il lato minore
stanno tra loro in un rapporto pari a stanno tra loro in un rapporto pari a
ФФ = 1,618... Immaginiamo di = 1,618... Immaginiamo di
sottrarre da questo rettangolo un sottrarre da questo rettangolo un
quadrato di lato uguale al minore.quadrato di lato uguale al minore.
Il risultato sarà un rettangolo minore, Il risultato sarà un rettangolo minore,
a sua volta aureo, si può ripetere...a sua volta aureo, si può ripetere...
Le dimensioni sono pari ad un fattore Le dimensioni sono pari ad un fattore
= = ФФ..
Tracciando due diagonali che si Tracciando due diagonali che si
intersecano in ciascuna coppia di intersecano in ciascuna coppia di
rettangoli, genitore e figlio, si trova rettangoli, genitore e figlio, si trova
che tutte le diagonali passano per un che tutte le diagonali passano per un
punto: una serie geometrica di punto: una serie geometrica di
rettangoli che converge intorno a rettangoli che converge intorno a
quel punto, senza mai raggiungerlo. quel punto, senza mai raggiungerlo.

9. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 99
FIBONACCIFIBONACCI
Scrivete due numeri qualunque, Scrivete due numeri qualunque,
a piacere e scriveteli uno dopo a piacere e scriveteli uno dopo
l’altro.l’altro.
Ricavate un terzo numero Ricavate un terzo numero
semplicemente sommando i semplicemente sommando i
primi due; poi un quarto numero, primi due; poi un quarto numero,
sommando il secondo e il terzo.sommando il secondo e il terzo.
Un quinto numero, sommando il Un quinto numero, sommando il
terzo e il quarto e così via…fino terzo e il quarto e così via…fino
ad ottenere una serie di 20 ad ottenere una serie di 20
numeri.numeri.
Ora con una calcolatrice dividete Ora con una calcolatrice dividete
il 20° numero per il 19°.il 20° numero per il 19°.
Il risultato è famigliare? È Il risultato è famigliare? È
ancora ancora ФФ..
Serie di FibonacciSerie di Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
 21, 34, 55, 89,144,21, 34, 55, 89,144,
 233, 377, 610,233, 377, 610,
 987,… 987,…

10. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 1010
I CONIGLII CONIGLI
Un uomo mette una coppia Un uomo mette una coppia
di conigli in un recinto.di conigli in un recinto.
Quante coppie di conigli Quante coppie di conigli
possono essere prodotte possono essere prodotte
dalla coppia iniziale in un dalla coppia iniziale in un
anno supponendo che ogni anno supponendo che ogni
mese ogni coppia produca mese ogni coppia produca
una nuova coppia in grado una nuova coppia in grado
di riprodursi a sua volta dal di riprodursi a sua volta dal
secondo mese?secondo mese?
GG = coppia = coppia GGrande, rande, pp = =
coppia coppia ppiccolaiccola
MeseMese SituazioneSituazione TotaleTotale
StartStartGG 11
1°1°GpGp 22
2°2°GpGGpG 33
3°3°GpGGpGpGGp 55
4°4°GpGGpGpGGpGGpGpG 88
5°5°GpGGpGpGGpGGpGpGGpGpGGpGGp 1313
12°12°
È facile convincersi È facile convincersi
del risultato…..del risultato…..
377377

11. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 1111
IL FALCO PELLEGRINOIL FALCO PELLEGRINO
Si cala sulla preda con una Si cala sulla preda con una
discesa a 300 km/h con discesa a 300 km/h con
traiettoria a spirale traiettoria a spirale
logaritmica.logaritmica.
Potrebbe scendere diritto Potrebbe scendere diritto
con velocità maggiore, ma con velocità maggiore, ma
per vedere la preda, deve per vedere la preda, deve
girare la testa di 40°, ciò girare la testa di 40°, ciò
peggiorerebbe peggiorerebbe
l’aerodinamica.l’aerodinamica.
Lui scende massimizzando Lui scende massimizzando
la velocità.la velocità.
Ogni punto sulla spirale Ogni punto sulla spirale
gode della proprietà di avere gode della proprietà di avere
lo stesso angolo, rispetto al lo stesso angolo, rispetto al
polo.polo.
È una spirale che gode della È una spirale che gode della
proprietà d’essere proprietà d’essere
equiangolaequiangola
Il falco scende con lo stesso Il falco scende con lo stesso
angolo (costante) sulla angolo (costante) sulla
preda.preda.

12. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 1212
TERNE PITAGORICHETERNE PITAGORICHE
Una terna pitagorica Una terna pitagorica
sono tre numeri in cui la sono tre numeri in cui la
somma dei quadrati dei somma dei quadrati dei
primi due è pari al terzo primi due è pari al terzo
(pure al quadrato)(pure al quadrato)
Quella famosa è relativa Quella famosa è relativa
al Teorema di Fermat: al Teorema di Fermat:
33²² + 4 + 4²² = 5 = 5²² ossia: ossia:
9 + 16 = 259 + 16 = 25
Se ne possono trovare Se ne possono trovare
altre ponendo ad es.:altre ponendo ad es.:
nuovi numeri: 5, 6, 7nuovi numeri: 5, 6, 7
p > q p > q » p = 6, q = 5» p = 6, q = 5
p² - q² = 36 – 25 = p² - q² = 36 – 25 = 1111
2pq = 2*6*5 = 2pq = 2*6*5 = 6060
p² + q² = 121 + 3600 = p² + q² = 121 + 3600 =
37213721
1111² + ² + 6060² = ² = 6161²²
121 + 3600 = 3721121 + 3600 = 3721

13. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 1313
LA ROSALA ROSA
Togliendo uno ad uno i petali Togliendo uno ad uno i petali
si può notare che gli angoli si può notare che gli angoli
che definiscono le posizioni che definiscono le posizioni
dei petali (in frazione dei petali (in frazione
dell’angolo giro) sono la dell’angolo giro) sono la
parte decimale di semplici parte decimale di semplici
multipli di multipli di ФФ..
Il petalo 1° è a un Il petalo 1° è a un
0,618esimo (1*0,618esimo (1*ФФ) di giro dal ) di giro dal
petalo 0.petalo 0.
Il petalo 2° è a un Il petalo 2° è a un
0,236esimo (2*0,236esimo (2*ФФ) di giro dal ) di giro dal
petalo 1 e così via.petalo 1 e così via.
Perché la successione circolare Perché la successione circolare
delle foglie si basa sull’angolo aureo delle foglie si basa sull’angolo aureo
di 137,5°?di 137,5°?
Una scuola si concentra sulle Una scuola si concentra sulle
proprietà delle disposizioni: i proprietà delle disposizioni: i
germogli posti su una spirale germogli posti su una spirale
generatrice risultano più fitti e usano generatrice risultano più fitti e usano
lo spazio con più efficienza se lo spazio con più efficienza se
separati da angoli aurei. Se l’angolo separati da angoli aurei. Se l’angolo
fosse 120° le foglie si allineerebbero.fosse 120° le foglie si allineerebbero.
Si riduce al minimo lo spreco.Si riduce al minimo lo spreco.
ФФ è il più irrazionale degli irrazionali è il più irrazionale degli irrazionali
e converge più lentamente.e converge più lentamente.
L’altra scuola considera i fenomeni L’altra scuola considera i fenomeni
geometrici come altrettante geometrici come altrettante
manifestazioni di cause sottostanti di manifestazioni di cause sottostanti di
natura non geometrica.natura non geometrica.

14. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 1414
LA PASSIFLORALA PASSIFLORA
Le foglie Le foglie
seguono la seguono la
regola di regola di
Fibonacci: ha Fibonacci: ha
5 foglie. 5 foglie.

15. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 1515
LA PASSIFLORALA PASSIFLORA
Sx: Vista anteriore, corolla formata da 10 petali (360° / 10 = Sx: Vista anteriore, corolla formata da 10 petali (360° / 10 =
36°)…è un numero già visto! Ha 3 stimi, 5 stami.36°)…è un numero già visto! Ha 3 stimi, 5 stami.
Dx: Vista posteriore, la corolla dei 10 petali è composta da 5 Dx: Vista posteriore, la corolla dei 10 petali è composta da 5
petali bianchi e 5 ricoperti verdi, vicino al gambo altri 3 petali, petali bianchi e 5 ricoperti verdi, vicino al gambo altri 3 petali,
su uno strato interno, più piccoli. Quindi 3…5… 10 anteriori su uno strato interno, più piccoli. Quindi 3…5… 10 anteriori
che diventano 2 gruppi da 5…….36°…coincidenza…?che diventano 2 gruppi da 5…….36°…coincidenza…?

16. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 1616
LA PASSIFLORALA PASSIFLORA
Particolare del fiore Particolare del fiore
ingranditoingrandito
33
55

17. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 1717
SEMPRE 5SEMPRE 5

18. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 1818
SEMPRE 5SEMPRE 5

19. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 1919
OLEANDRO, …………..OLEANDRO, …………..
Hanno fiori a 5 petali, come altre piante anche se ciò non Hanno fiori a 5 petali, come altre piante anche se ciò non
sempre è una regola spesso diventa una ricorrenza.sempre è una regola spesso diventa una ricorrenza.

20. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 2020
FILOTASSIFILOTASSI
Le foglie sui rami e i rami lungo il tronco, Le foglie sui rami e i rami lungo il tronco,
nel regno vegetale, tendono ad occupare nel regno vegetale, tendono ad occupare
posizioni che rendono massima posizioni che rendono massima
l’esposizione al sole, alla pioggia e l’esposizione al sole, alla pioggia e
all’aria.all’aria.
Un fusto verticale produce foglie e rami Un fusto verticale produce foglie e rami
secondo schemi regolari.secondo schemi regolari.
È raro che queste formazioni seguano È raro che queste formazioni seguano
schemi rettilinei, perché in tal modo si schemi rettilinei, perché in tal modo si
priverebbero a vicenda della pioggia e priverebbero a vicenda della pioggia e
della luce.della luce.
La successione delle foglie e dei rami ha La successione delle foglie e dei rami ha
invece una componente rotatoria, che invece una componente rotatoria, che
con l’avanzamento verso l’alto traccia con l’avanzamento verso l’alto traccia
intorno al fusto un’elica immaginaria.intorno al fusto un’elica immaginaria.
Le squame delle pigne d’abete e Le squame delle pigne d’abete e
dell’ananas, sono disposte a spirale.dell’ananas, sono disposte a spirale.
I tigli hanno le foglie in genere su 2 I tigli hanno le foglie in genere su 2
parti opposte, corrispondenti a ½ parti opposte, corrispondenti a ½
giro intorno al fusto Q = ½giro intorno al fusto Q = ½
Il nocciolo, rovo, faggio Q =Il nocciolo, rovo, faggio Q =⅓⅓
Il melo, alcune quercie e l’albicocco Il melo, alcune quercie e l’albicocco
hanno foglie ogni 2/5 di giro Q = 2/5hanno foglie ogni 2/5 di giro Q = 2/5
Il pero e salice piangente Q = 3/8Il pero e salice piangente Q = 3/8
Su altre piante occorre fare 3 giri Su altre piante occorre fare 3 giri
per passare a 8 rami Q = 3/8per passare a 8 rami Q = 3/8
Queste frazioni sono rapporti di Queste frazioni sono rapporti di
termini alternati di: Fibonacci…termini alternati di: Fibonacci…
Non bisogna dimenticare, tuttavia, Non bisogna dimenticare, tuttavia,
che la crescita delle piante è legata che la crescita delle piante è legata
anche a fattori diversi dall’uso anche a fattori diversi dall’uso
ottimale dello spazio: queste regole ottimale dello spazio: queste regole
non valgono in ogni caso e non valgono in ogni caso e
circostanza, ma c’è: circostanza, ma c’è:
“ “un’affascinante e prevalente un’affascinante e prevalente
tendenza”.tendenza”.

21. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 2121
360° / 360° / ФФ = 222,5° = 222,5°
360° - 222,5° = 137,5° 360° - 222,5° = 137,5°
L’angolo maggiore risultante dalla divisione dell’angolo L’angolo maggiore risultante dalla divisione dell’angolo
giro secondo il rapporto aureo è 222,5°.giro secondo il rapporto aureo è 222,5°.
L’angolo minore diventa 360° - 222,5° = 137,5°: è un L’angolo minore diventa 360° - 222,5° = 137,5°: è un
angolo aureo.angolo aureo.
Collocando una fitta serie di punti separati da 137,5° Collocando una fitta serie di punti separati da 137,5°
lungo una spirale avvitata strettamente, l’occhio riceve lungo una spirale avvitata strettamente, l’occhio riceve
l’impressione di due famiglie di spirali, che si avvitano l’impressione di due famiglie di spirali, che si avvitano
l’una in senso orario e l’altra in senso antiorario.l’una in senso orario e l’altra in senso antiorario.
Simili spirali ci sono nel girasole.Simili spirali ci sono nel girasole.

22. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 2222
LA SPIRALE LOGARITMICALA SPIRALE LOGARITMICA
La spirale meravigliosa: una particolare curva La spirale meravigliosa: una particolare curva
avvolta su se stessaavvolta su se stessa
Ogni punto della spirale, rispetto al polo, ha la Ogni punto della spirale, rispetto al polo, ha la
caratteristica di crescere, come distanza dal caratteristica di crescere, come distanza dal
polo, deviando con angolo costante.polo, deviando con angolo costante.
Il falco scende da un grande Il falco scende da un grande “cerchio” “cerchio” che si che si
arrotola su se stesso con angolo costante e arrotola su se stesso con angolo costante e
quindi sempre più vicino al punto della “preda”.quindi sempre più vicino al punto della “preda”.
La conchiglia (certe, non tutte..!), le galassie….La conchiglia (certe, non tutte..!), le galassie….
Perché …c’è un perché …..??Perché …c’è un perché …..??

23. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 2323
Il motto: crescendo non Il motto: crescendo non
cambia forma…cambia forma…
Il motto descrive una fondamentale proprietà della Il motto descrive una fondamentale proprietà della
spirale logaritmica, che si ritrova solo in questa spirale logaritmica, che si ritrova solo in questa
particolare curva: particolare curva: crescendo, non cambia forma. crescendo, non cambia forma.
Questa proprietà è nota come: Questa proprietà è nota come: auto-somiglianza.auto-somiglianza.
È una proprietà richiesta da molti fenomeni di È una proprietà richiesta da molti fenomeni di
accrescimento naturale: accrescimento naturale: il nautiloil nautilo crescendo si crescendo si
costruisce camere sempre più spaziose, abbondando costruisce camere sempre più spaziose, abbondando
e sigillando quelle inutilizzabili perché troppo piccole. e sigillando quelle inutilizzabili perché troppo piccole.
Mentre la conchiglia si allunga, il raggio aumenta in Mentre la conchiglia si allunga, il raggio aumenta in
proporzione, cosicché la forma del guscio resta proporzione, cosicché la forma del guscio resta
immutata.immutata.
Le zanne degli elefanti, le corna dei montoni….sono Le zanne degli elefanti, le corna dei montoni….sono
spirali logaritmiche.spirali logaritmiche.

24. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 2424
CRESCENDO…CRESCENDO…
Crescendo, per accumulazione interna, la Crescendo, per accumulazione interna, la
spirale logaritmica diviene sempre più ampia e spirale logaritmica diviene sempre più ampia e
la distanza tra un giro e i successivi aumenta la distanza tra un giro e i successivi aumenta
man mano che ci si allontana dall’origine, detta man mano che ci si allontana dall’origine, detta
“polo”.“polo”.
In particolare, avanzando secondo angoli della In particolare, avanzando secondo angoli della
medesima ampiezza, la distanza dal polo medesima ampiezza, la distanza dal polo
aumenta con una proporzione costante: aumenta con una proporzione costante:
aumenta il raggio con deviazione equiangola.aumenta il raggio con deviazione equiangola.

25. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 2525
PIANTE GRASSEPIANTE GRASSE
Ci sono ..13 Ci sono ..13
spicchi…spicchi…

26. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 2626
LA NATURA …AMA…LA NATURA …AMA…
Le spirali logaritmiche: i girasoli, le conchiglie, i Le spirali logaritmiche: i girasoli, le conchiglie, i
vortici, gli uragani, le spirali galattiche…vortici, gli uragani, le spirali galattiche…
Questa armoniosa figura è stata scelta come Questa armoniosa figura è stata scelta come
ornamento favorito.ornamento favorito.
Pura coincidenza fortuita ?Pura coincidenza fortuita ?
Minuscoli fossili od organismi unicellulari noti Minuscoli fossili od organismi unicellulari noti
come “foraminiferi” rispettano la spirale come “foraminiferi” rispettano la spirale
logaritmica. logaritmica.

27. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 2727
Il RAPPORTO AUREOIl RAPPORTO AUREO
Il collegamento tra spirale logaritmica e rapporto aureo Il collegamento tra spirale logaritmica e rapporto aureo
è assai stretto.è assai stretto.
I rettangoli annidati che si ottengono sottraendo un I rettangoli annidati che si ottengono sottraendo un
quadrato ad un rettangolo aureo.quadrato ad un rettangolo aureo.
Se si congiungono i punti in cui questo vortice di Se si congiungono i punti in cui questo vortice di
quadrati divide i lati secondo il rapporto aureo, si quadrati divide i lati secondo il rapporto aureo, si
ottiene una spirale logaritmica che si sviluppa intorno ottiene una spirale logaritmica che si sviluppa intorno
al polo.al polo.
Anche da un triangolo aureo bisecando un angolo alla Anche da un triangolo aureo bisecando un angolo alla
base si ottiene un triangolo pure aureo più piccolo.base si ottiene un triangolo pure aureo più piccolo.
Continuando si ottiene un vortice…Continuando si ottiene un vortice…

28. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 2828
SIAMO FORTUNATI…!SIAMO FORTUNATI…!
La forza di gravità …è inversamente proporzionale La forza di gravità …è inversamente proporzionale
alla distanza in modo quadratico, tante formule alla distanza in modo quadratico, tante formule
dipendono dal quadrato…dipendono dal quadrato…
Se dipendesse dal cubo, l’orbita terrestre sarebbe non Se dipendesse dal cubo, l’orbita terrestre sarebbe non
un’elisse…ma una spirale logaritmicaun’elisse…ma una spirale logaritmica
Finiremo sul caldo Sole…o verso il gelido infinito….Finiremo sul caldo Sole…o verso il gelido infinito….
Non voglio convincerVi….ma vale la pena pensarci, Non voglio convincerVi….ma vale la pena pensarci,
guardando diversamente la natura intorno a noi..guardando diversamente la natura intorno a noi....

29. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 2929
SPIRALE LOGARITMICASPIRALE LOGARITMICA
Togliendo da un Togliendo da un
rettangolo aureo un rettangolo aureo un
quadrato si ottiene quadrato si ottiene
ancora un rettangolo ancora un rettangolo
aureo e così viaaureo e così via
Unendo i punti si Unendo i punti si
ottiene una spirale ottiene una spirale
logaritmicalogaritmica

30. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 3030
SPIRALE LOGARITMICASPIRALE LOGARITMICA
Un pentagono Un pentagono
contiene un triangolo contiene un triangolo
aureoaureo
Bisecando si ottiene Bisecando si ottiene
un triangolo aureo… un triangolo aureo…
e il lato opposto è e il lato opposto è
diviso in modo aureodiviso in modo aureo
Unendo i punti di Unendo i punti di
intersezione si intersezione si
ottiene una spirale ottiene una spirale
logaritmicalogaritmica

31. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 3131
NOTA………IL PENTAGONO..!NOTA………IL PENTAGONO..!

32. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 3232
CRESCENDO….ln(CRESCENDO….ln( )=a*r)=a*r
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
2
1.5
1
0.5
0
LOGARITMICA
2
0
r()
r

33. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 3333
DomaDomandende
I fiori dei zucchini, quante punte hanno? 5I fiori dei zucchini, quante punte hanno? 5

34. 09/23/2509/23/25
SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 3434
FINEFINE
Ci sarebbe dell’altro…..Ci sarebbe dell’altro…..
ma per concludere…..ma per concludere…..
è meglio finire…..è meglio finire…..
Claudio CicheriClaudio Cicheri