ppt integrasi numerik,kel 9 Metode Numerik A.pptx

pp numerik

1. Metode Numerik KELOMPOK 9 Fani Lafanillah F (2618042) Diyan Ayu Sri Lestari ( 2618072) Siti Tunariyah ( 2618 105 ) Wiluyo ( 2618 113 )

2. Aturan Trapesium

3. Aturan Trapesium Aturan trapesium merupakan metode integrasi numerik yang didasarkan pada penjumlahan segmen-segmen berbentuk trapesium .

4. Aturan Trapesium Satu Pias (Segmen)  

5. Aturan Trapesium Banyak Pias ( Segmen )  

6. Langkah-Langkah Aturan Trapesium Mendefinisikan fungsi yang akan diintegrasikan. Menentukan batas bawah (a) dan batas atas (b). Menentukan pembagi (n). Menentukan lebar segmen (h). Menghitung integral secara analitis atau eksak. Menghitung Luas. Menghitung Kesalahan ( .  

7. Contoh Soal Gunakan aturan trapesium satu segmen dan empat segmen untuk menghitung dengan x =[0,1] Penyelesaian : SATU SEGMEN Fungsi yang diintegrasikan dengan x =[0,1], maka menjadi Batas bawah (a) = 0, batas atas (b) = 1 Karena satu pias ( segmen ) maka n = 1 = Secara Analitis atau eksak  

8. Contoh Soal

9. Gunakan aturan trapesium satu segmen dan empat segmen untuk menghitung dengan x =[0,1] Penyelesaian : Fungsi yang diintegrasikan dengan x =[0,1], maka menjadi Batas bawah (a) = 0, batas atas (b) = 1 Karena empat pias ( segmen ) maka n = 4 =   Contoh Soal

10. Contoh Soal

11. Penyelesaian: Menghitung Luas   Menghitung Kesalahan Jadi, hasil dari i menggunakan aturan trapesium empat pias ( segmen ) adalah dengan kesalahan .   Contoh Soal

12. Aturan Simpson

13. METODE SIMPSON 1/3

14. METODE SIMPSON 1/3 Pada Metode Simpson ini , fungsi f(x) didekati dengan fungsi polynomial orde dua ( fungsi kuadrat ), f 2 (x). I = = Fungsi polynomial orde dua secara umum dapat dituliskan sebagai berikut . f 2 (x) = a + a 1 + a 2 x 2   Fungsi kuadrat tersebut dapat ditentukan jika diketahui 3 titik data, dua diantaranya adalah [ a,f (a)] dan [ b,f (b)] , sedangkan satu titik lainnya [ c,f (c ) ].

15. Akan dicari nilai konstanta a ,a 1 , dan a 2 dengan memasukkan tiga titik data yang ada kedalam persamaan 6.22, sehinga diperoleh tiga persamaan berikut . f(a) = a + a 1 (- Δx ) + a 2 (- Δx ) 2 ( 6.22a ) f(c) = a + a 1 (0) + a 2 (0) 2 (6.22b) f() = a + a 1 ( Δx ) + a 2 ( Δx ) 2 (6.22c ) Untuk sistem persamaan linear dituliskan kembali dalam bentuk perkalian matriks , sebagai berikut . METODE SIMPSON 1/3 = ( 6.23)   Dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss, maka perkalian matriks tersebut dapat dituliskan dalam bentuk berikut . = ( 6.24)   Eliminasi elemen dilakukan dengan mengurangkan persamaan kedua dengan persamaan ketiga , sehingga diperoleh : =   (6.25)

16. METODE SIMPSON 1/3 Diperlihatkan pada persamaan di atas , matriks 3 × 3 berbentuk matriks segitiga atas . Selanjutnya dilakukan langkah back substitution, sebagai berikut . a = f (c) ( 6.26a) a 1 = = = ( 6.26b) a 2 = = ( 6.26c)   Substitusi konstanta a , a 1 , dan a 2 ke Persamaan 6.22, diperoleh : f 2 (x)=f(c)+ x+ x 2 (6.27)  

17. Selanjutnya untuk menghitung integral dari fungsi f 2 (x), Persamaan 6.27 dimasukkan ke Persamaan 6.21. I = =   I = dx   I =       ̶   I = 2 f(c) + I = (6.28)   Persamaan 6.28 merupakan persamaan Simpson 1/3 yang dipakai untuk menghitung luas dua pias dengan lebar pias Δ x .

18. Contoh soal simpson 1/3 Pada suatu saluran irigasi yang cukup lebar , terjadi aliran turbulen dan seragam dengan kedalaman aliran h = 2 m. Diketahui aliran turbulen yang terjadi masuk dalam kategori aliran turbulen hidraulis licin dengan kecepatan gesek sebesar 0,035 m/ dt. Dengan menggunakan persamaan semi empiris untuk aliran turbulen hidraulis licin , tentukan kecepatan aliran rerata pada saluran tersebut dengan menggunakan Metode Simpson 1/3. Penyelesaian : Integral fungsi f(u) yang digambarkan sebagai areal yang dibatasi oleh fungsi y=f(u) , garis , garis y = 0 dan garis y = h serta sumbu y, pada Gambar 6.15 ditunjukkan pada arsiran miring. Sedangkan penyelesaian dengan menggunakan Metode Simpson 1/3 digambarkan sebagai areal yang dibatasi fungsi y=f 2 (u), garis x = 0 dan y = h serta sumbu y, pada Gambar 6.15 ditunjukkan oleh arsiran horizontal.

19. Contoh soal simpson 1/3 Dengan memasukkan tiga titik pada fungsi , yaitu untuk y = 0, y = 1, dan y = 2 , diperoleh nilai fungsinya sebagai berikut . perlu disampaikan disini , karena fungsi diintegralkan merupakan fungsi logaritmik , maka dimasukkan nilai y = 0 akan diperoleh log(0) tidak terdefinisikan . Oleh karena itu pada titik tersebut diberi nilai sedikit lebih besar dari nol. Besarnya kecepatan aliran untuk tiga nilai y tersebut diberikan sebagai berikut . =5,75 log +5,5   u (0,0001 )=0,035. =0,302   u (1)=0,035. =1,107   u (2)=0,035. =1,168  

20. Contoh soal simpson 1/3 Dengan menggunakan Persamaan Simpson 1/3, Persamaan 6.25 diperoleh : I =   = =1,966   Kecepatan rerata diperoleh dengan membagi luas hasil hitungan dengan h = 2, sehingga : U= = =0,983   Hasil hitungan kecepatan rerata tersebut dibandingkan dengan hasil hitungan analisis yang mudah diuraikan pada subbab sebelumnya , sehingga diperoleh besarnya kesalahan yang terjadi . Kesalahan = ×100% = 9,0%  

21. METODE SIMPSON 3/8

22. Metode Simpson 3/8 Alternative yang dapat dilakukan adalah mendekati fungsi yang diintegralkan dengan fungsi polynomial orde tiga , f 3 (x). untuk mendapatkan fungsi pangkat tiga tersebut diperlukan 4 titik data yang berada pada fungsi . Metode ini dikenal sebagai Metode Smpson 3/8. I = ( 6.31)   Fungsi polynomial orde tiga secara umum dapat dituliskan sebagai berikut . f 3 (x) = a + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 (6.32) Pada persamaam 6.32, nilai-nilai a , a 1, a 2, dan a 3 merupakan konstanta yang harus dicari.fungsi pangkat tiga tersebut dapat ditentukan jika diketahui 4 titik data, dua diantaranya adalah [ a,f (a) ] dan [ b,f (b) ], sedangkan dua titik lainnya [ c,f (x) ] dan [ d,f (d) ], dimana x = c dan x = d berada dalam interval [ a,b ], sehingga pada interval [ a,b ] terbagi menjadi tiga pias yang lebarnya sama .

23. Metode Simpson 3/8 Pada persamaan tersebut akan dicari nilai konstanta a , a 1, a 2, dan a 3 dengan memasukkan empat titik data yang ada ke dalam Persamaan 6.32, sehingga diperoeh empat empat persamaan sebagai berikut . f(a)=a +a 1 (0) + a 2 (0) 2 + a 3 (0) 3 ( 6.33a) f(c)=a +a 1 ( Δ x ) + a 2 ( Δ x ) 2 + a 3 ( Δ x ) 3 ( 6.33b) f(d)=a +a 1 (2Δ x ) + a 2 (2Δ x ) 2 + a 3 (2Δ x ) 3 ( 6.33c) f(b)=a +a 1 (3Δ x ) + a 2 (3Δ x ) 2 + a 3 ( 3Δ x ) 3 (6.33d ) sistem persamaan linear yang tersusun di atas ditulis kembali dalam bentuk perkalian matriks [4 × 4] [4 × 1]=[4 × 1], sebagai berikut . = (6.34)   Pada Metode Eliminasi Gauss, matriks [4 × 4] di atas diubah menjadi matriks segitiga bawah . Untuk itu ada 3 elemen pada Persamaan 6.34 yang harus dieliminasi .

24. Metode Simpson 3/8 Eliminasi elemen pada kolom ke-4 ( baris ke-2 dan baris ke-3): S ehingga diperoleh : = ( 6.37)   Eliminasi elemen pada kolom ke-3 ( baris ke-2): Diperoleh sistem perkalian matriks sebagai berikut . = ( 6.39)  

25. Metode Simpson 3/8 Dari Persamaan ke-1 ( baris ke-1) dari persamaan 6.39, dapat diperoleh : a = f(a) ( 6.40) Nilai a tersebut disubstitusikan ke persamaan ke-2 ( baris ke-2) dari persamaan 6.39, diperoleh : a 1 = (6.41)   Nilai a dan a 1 pada persamaan 6.40 dan 6.41 disubstitusikan ke persamaan ke-3 ( baris ke-3) dari persamaan 6.39, diperoleh : a + Δ x a 1 + ( Δ x ) 2 a 2 + 0 =   f ( a ) + Δ x + ( Δ x ) 2 a 2 + 0 =   a 2 = ( 6.42)   Nilai a , a 1, dan a 2 pada persamaan 6.40 sampai 6.42 disubstitusikan ke persamaan ke-4 ( baris ke-4) dari persamaan 6.40, diperoleh : f ( a ) + (3 ) + 9 ( 2 + 27 ( 3 a 3 = f ( d ) a 3 = (6.43)  

26. Metode Simpson /8 Integrasi fungsi f ( x ) dengan Metode Simpson 3/8 seperti disajikan pada persamaan 6.31 dan 6.32, dituliskan kembali sebagai berikut . I = = =   I =   3 Δ x = (3Δ x ) a + ( Δ x ) 2 a 1 + 9( Δ x ) 3 a 2 + ( Δ x ) 4 a 3   Substitusikan nilai-nilai a , a 1, a 2, dan a 3 , ke persamaan di atas , diperoleh formulasi sebagai berikut : I = (3Δ x ) f ( a ) + ( Δ x ) 2 + 9( Δ x ) 3 + ( Δ x ) 4   I = Δ x f ( a ) + Δ x f ( c ) + Δ x f ( d ) + Δ x f ( b )   I = Δ x f ( a ) + Δ x f ( c ) + Δ x f ( d ) + Δ x f ( b )   I = Δ x ( 6.44)  

27. Selesaikan permasalahan hitungan kecepatan rerata yang diberikan sebelumnya dengan menggunakan Metode Impson 3/8 banyak pias ( atau kombinasi dengan metode yang lain). Data aliran sama seperti pada permasalahan contoh soal sebelumnya . Contoh Soal Penyelesaian : Misalnya dipakai n = 10 pias , maka lebar tiap pias sebesar Δ y = 2/10 = 0,2 m. Metode Simpson 3/8 dipakai untuk menghitung luas 3 pias ( dan kelipatan 3), sehingga kalau ada 10 pias , maka 9 pias diselesaikan dengan Metode Simpson 3/8, sedangkan 1 pias lainnya dapat dihitung dengan menggunakan Metode Trapesium . Atau dapat juga kombinasi antara Metode Simpson 1/3 dan Simpson 3/8, dimana 6 pias yang pertama dihitung dengan Metode Simpson 3/8 dan 4 pias yang lain dihitung menggunakan Metode Simpson 1/3. Skema berikut menjelaskan penggunaan Metode Simpson 3/8 yang dikombinasikan dengan Metode Trapesium . Nilai kecepatan sebagai fungsi y diberikan sebagai berikut .

28. i y u(y) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,0001 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1.6 1,8 2 0,302 0,966 1,027 1,062 1,087 1,107 1,123 1,136 1,148 1,158 1,168 Tabel 6.8 Hasil Hitungan Distribusi Kecepatan

29. Gambar 6.18 Gabungan dihitung dengan Metode Simpson 3/8 dan Trapesium

30. Untuk menghitung 3 pias pertama , kedua dan ketiga digunakan persamaan Metode Simpson 3/8, sedangkan pias terakhirr dihitung dengan Metode Trapesium . I 1 = 0,2 = 0,551 I 2 = 0,2 = 0,658 I 3 = 0,2 = 0,685 I 4 = = 0,233 U = = = 1,063   Kesalahan terhadap nilai eksak dihitung sebagai berikut : Kesalahan = × 100% = 3,0%  

31. Jumlah Pias Kecepatan Rerata Kesalahan 3 6 9 15 21 30 81 Eksak 1,010 1,049 1,061 1,070 1,073 1,076 1.079 1,096 7,8% 4,3% 3,2% 2,4% 2,1% 1,9% 1,6% 0,0% Untuk berbagai jumlah pias yang lain, hitungan dilakuakan dengan bantuan VBA, dan direkapitulasikan pada table berikut . Tabel 6.9 Hitungan Metode Simpson 3/8 dengan alternatif jumlah pias

32. Sekian dan Terimakasih