Τί είναι απεικόνιση και συνάρτηση.pptx

Αναστοχασμός: Τελικά η συνάρτηση είναι μια δύσκολη έννοια που απαιτεί κατάκτηση, ας είναι καθημερινή στα Μαθηματικά…

1. (*) Αϊνστάιν: «Ο ορισμός της παράνοιας είναι να κάνεις το ίδιο πράγμα ξανά και ξανά περιμένοντας διαφορετικά αποτελέσματα.» = Ένα πείραμα να το διεξαγάγεις με απολύτως ίδιες αρχικές συνθήκες και τιμές και να περιμένεις διαφορετικό αποτέλεσμα. = Να εισάγει την ίδια τιμή σε μια συνάρτηση και να περιμένεις διαφορετικό αποτέλεσμα . = Για το ίδιο αίτιο, περιμένω διαφορετικό αποτέλεσμα. (*) Ο Αϊνστάιν δεν το είπε ποτέ. Ούτε ο Βενιαμίν Φραγκλίνος , στον οποίο επίσης αποδίδεται η ρήση αυτή. Ωστόσο κατά καιρούς έχει χρησιμοποιηθεί από πολλούς πολιτικούς μιας και τους αρέσει. Γιάννης Πλατάρος

2. Τι είναι απεικόνιση και τι συνάρτηση; «Απεικόνιση» λέμε μια ειδικής μορφής αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων. Αν αυτή η αντιστοίχιση γίνεται μεταξύ δύο αριθμητικών συνόλων, χρησιμοποιούμε τον όρο «συνάρτηση» Δηλαδή, η συνάρτηση είναι και αυτή μια απεικόνιση. Γιάννης Πλατάρος

3. Τί είναι απεικόνιση; Ορισμός: «Απεικόνιση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β, ονομάζουμε κάθε αντιστοιχία που πληροί το παρακάτω: Κάθε στοιχείο του συνόλου Α, αντιστοιχίζεται, σε ένα μόνο στοιχείο του Β» Η «μετάφραση» του παραπάνω ορισμού μπορεί να γίνει και ως εξής: Σε όλα τα στοιχεία του Α, υπάρχει ένα μόνο αντίστοιχο στο Β. Γιάννης Πλατάρος

4. Αν ένας γνωρίζει τον ορισμό κατανοεί την έννοια; Απάντηση: Όλοι όσοι γνωρίζουν άπταιστα να απαγγέλουν έναν ορισμό, δεν σημαίνει ότι τον κατανοούν σε βάθος. Στην περίπτωση της συνάρτησης, (ουσιαστικά της έννοιας της απεικόνισης) έχουμε ένα φαινόμενο που συναντάμε συχνά σε έννοιες των μαθηματικών να μην γίνονται κατανοητές σε βάθος σε όλο τους το εύρος. Η συνάρτηση , επειδή έχει και «πολλαπλές αναπαραστάσεις» ( ενώ είναι η ίδια έννοια ) προκαλεί συγχύσεις αναγνώρισης. Πάντα όμως είναι η ίδια έννοια με τις διάφορες μορφές. Γιάννης Πλατάρος

5. Πώς μπορεί να εμπεδωθεί η έννοια; Η έννοια εμπεδώνεται με δύο κλάσεις παραδειγμάτων: Παραδείγματα που έχουμε απεικόνιση Παραδείγματα που ΔΕΝ έχουμε απεικόνιση («μη παραδείγματα») Παραδείγματα και μη παραδείγματα ΟΛΩΝ των αναπαραστάσεων της έννοιας της απεικόνισης. Σε όλα τα παραδείγματα, οι μαθητές καλούνται να αναγνωρίσουν τα δύο καίρια συστατικά σημεία του ορισμού: ΚΑΘΕ στοιχείο του Α, (= όλα από το Α) αντιστοιχίζεται σε ΈΝΑ ΜΟΝΟ στοιχείο του Β. Γιάννης Πλατάρος

6. Γιατί τόση φασαρία παρακαλώ για την Απεικόνιση; Ιστορικά και κυρίως επιστημονικά, μας ενδιαφέρει το μονότιμον της αντιστοιχίας . Δηλ. κάθε στοιχείο από το πρώτο σύνολο Α, να «πηγαίνει» σε ένα μόνο στοιχείο του συνόλου Β. Μας ενδιαφέρει αυτό το «μονότιμο» φυσιολογικά, όσο φυσιολογική είναι η αρχή, «Για μία αιτία έχω ένα αποτέλεσμα» Αυτή η αρχή είναι τόσο φυσιολογική, όσο και τα αντίστοιχα παραδείγματα απεικονίσεων: Σε ένα συγκεκριμένο τόπο, σε συγκεκριμένο του σημείο, σε συγκεκριμένη χρονική στιγμή, μετρώ μία μόνο θερμοκρασία, όχι δύο ή παραπάνω. Ένας συγκεκριμένος άνθρωπος, σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή του βίου του, έχει ένα και μόνο ένα ύψος . Ο ίδια άνθρωπος έχει μία και μόνον μία μάζα, και διαφορετικά βάρη ανάλογα με την απόστασή του από την Γη, αλλά άμα σταθεροποιήσουμε και την απόστασή του, τότε έχει ένα βάρος μόνο. Ένα σώμα, σε μια συγκεκριμένη θέση στην Γη, έχει ένα και μόνο ένα βάρος. Γιάννης Πλατάρος

7. Συνεχίζουμε τα παραδείγματα…. Κάθε άνθρωπος έχει μία και μόνο μία ομάδα αίματος. Κάθε άνθρωπος έχει μία και μόνο μία βιολογική μητέρα. (Υπάρχει πλέον και η «παρένθετη» και πρέπει να δίνεται διευκρίνηση για να τηρείται το «μονοσήμαντον» (= μοναδική σημασία τελικά!) Τι καλά που θα ήταν αν κάθε λέξη είχε μία και μόνο μία σημασία! Θα είχαμε ήδη ανακαλύψει την αυτόματη ΣΩΣΤΗ μηχανική μετάφραση από μία γλώσσα σε μια οποιαδήποτε άλλη. Τώρα γελάμε, διότι το μηχάνημα που δεν έχει ακόμη αρκετή τεχνητή ευφυΐα, αντί για «επίπεδο» μεταφράζει «αεροπλάνο» Γιάννης Πλατάρος

8. Συνεχίζουμε με παραδείγματα…. Κάθε μαθητής σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, (και εφ΄όσον όλοι κάθονται) κάθεται σε ένα μόνο θρανίο. Αντιστρόφως: Κάθε θρανίο δεν έχει πάνω του ένα μόνο μαθητή. (συνήθως κάθονται δύο) κι όχι μόνο αυτό, αλλά καμμιά φορά έχουμε και κενά θρανία. Θρανίο που δεν έχει μαθητή. Για δύο λόγους συνήθως η αντίστροφη αντιστοιχία ΔΕΝ είναι απεικόνιση (αν και αρκεί ο ένας) Για να είναι απεικόνιση, θα πρέπει κάθε μαθητής να κάθεται μόνος του σε ένα θρανίο και να μην υπάρχουν περισσευούμενα θρανία. Όσοι μαθητές, τόσα και τα θρανία και ο κάθε ένας σε ένα μόνο. Γιάννης Πλατάρος

9. Συνεχίζουμε με ΜΗ παραδείγματα: Μια ομάδα αίματος αντιστοιχίζεται σε έναν μόνον άνθρωπο; (λ.χ. Η ομάδα Α, αντιστοιχίζεται στο 38% των ανθρώπων της Ευρώπης Η 0 σε ένα άλλο 44% Ευρωπαίων) Όμως κάθε Ευρωπαίος έχει μία μόνον ομάδα αίματος. Κάθε άνθρωπος έχει μία μόνο βιολογική μάνα. Αν το πάμε αντίστροφα, κάθε μάνα έχει ένα τέκνο; Όχι. Κάθε μάνα μπορεί να έχει ένα ή περισσότερα τέκνα. Κάθε ηλεκτρόνιο σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή έχει μία μόνο θέση; Εδώ η αρχή της αβεβαιότητος στην Φυσική μας χάλασε την πίστη μας στην απεικόνιση…. Όπως και το χάος μας έχει χαλάσει κάποιες σχέσεις που πιστεύαμε ότι είναι απεικονίσεις (ένα συγκεκριμένο αίτιο δίνει ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα, αλλά πόσο συγκεκριμένα μπορούμε να μετρήσουμε ένα μέγεθος λ.χ. μήκος , όταν ξέρουμε ότι ανάμεσα στο 3,0001μ και στο 3,0000μ. Υπάρχουν άπειροι αριθμοί και μάλιστα υπεραριθμήσιμοι δηλαδή σαφώς ασύγκριτα περισσότεροι από τους Φυσικούς;) Και αν στα 3 ακριβώς μέτρα ισορροπεί ένα σώμα στον γκρεμό ή πέφτει στον γκρεμό πώς θα το προβλέψουμε με ποιόν υπολογισμό που θα προκύψει από ποιές μετρήσεις και με πώς ορισμένο το 1μ; ΜΑΣ ΧΑΛΑΣΕ ΤΟ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΟ! Χάος και αβεβαιότητα… Πάμε αλλού και μιλάμε μόνο με πιθανότητες…. Γιάννης Πλατάρος

10. Ένα απειροελάχιστο «κλικ» πιο μπροστά ανατρέπει την ισορροπία και το αποτέλεσμα του «πειράματος» είναι 100% διαφορετικό ποιοτικά. Η αιτιότητα κλονίζεται… Γιάννης Πλατάρος

11. α β γ δ 1 2 3 4 Α Β f: Α  Β Είναι απεικόνιση; ΕΊΝΑΙ! Γιάννης Πλατάρος

12. α β γ δ 1 2 3 4 Είναι απεικόνιση; ΕΊΝΑΙ! Γιάννης Πλατάρος

13. α β γ δ 1 2 3 4 Α Β f: Α  Β Είναι απεικόνιση; ΕΊΝΑΙ! Γιάννης Πλατάρος

14. α β γ δ 1 2 3 4 Α Β f: Α  Β Είναι απεικόνιση; ΔΕΝ ΕΊΝΑΙ ! Γιάννης Πλατάρος

15. Παναγιώτης Σπύρου καθ . Μαθηματικού ( ΕΚΠΑ) ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Για τον Bernoulli 1718: “ Η ποσότητα που συντίθεται με οποιοδήποτε τρόπο από μια μεταβλητή και σταθερές” Για τον Euler ο οποίος παρουσιάζει για πρώτη φορά την συνάρτηση με το σύμβολο f(x) δίνει το 1747 τον ορισμό: “ Μια αναλυτική έκφραση μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών συνδεδεμένων με τα σημεία της Άλγεβρας και άλλους αριθμούς ή αμετάβλητες ποσότητες”. Τα μειονεκτήματα εκείνων των ορισμών ήταν κυρίως ότι έβλεπαν συμμετρικά εξαρτημένη κι ανεξάρτητη μεταβλητή, όπως εμφανίζονται σε μια σχέση, ( π.χ εξίσωση κύκλου) και δεν μπορούσαν να αποχωρίσουν την χρονικότητα από την ιδέα της μεταβλητής, αναπόφευκτη κληρονομιά για μια έννοια που γεννήθηκε κατά την μελέτη της κίνησης. Ο Βασάκος κρίνει ότι δεν πρέπει να άρεσε στον Euler αυτός ο πρώτος ορισμός κι αποπειράται ένα δεύτερο το 1775 . “ Μια ποσότητα θα ονομαζόταν συνάρτηση μόνο όταν εξαρτιόταν από μια άλλη ποσότητα με ένα τέτοιο τρόπο ώστε, εάν η τελευταία ποσότητα αλλάζει η πρώτη να υφίσταται αλλαγή από μόνη της”. O Cauchy προσπαθεί να ξεπεράσει την χρονικότητα της μεταβλητής και δίνει τον ορισμό: “ Όταν μεταβλητές ποσότητες συνδέονται μεταξύ τους κατά τέτοιο τρόπο ώστε όταν δίνεται η τιμή της μιας από αυτές να μπορούμε να προσδιορίσουμε τις τιμές των άλλων, τότε συνήθως εννοούμε ότι αυτές οι μεταβλητές ποσότητας μπορούν να εκφρασθούν μέσω της μιας από αυτές, η οποία τότε παίρνει την ονομασία ‘ανεξάρτητη μεταβλητή’. Οι απομένουσες ποσότητες που εκφράζονται μέσω της ανεξάρτητης μεταβλητής είναι εκείνες που μπορούμε να ονομάσουμε ‘συναρτήσεις’ αυτής της μεταβλητής ”. Γιάννης Πλατάρος

16. ο Dirichlet 1837 θα καταλήξει σε μια πιο γενική διατύπωση: “Η μεταβλητή y είναι συνάρτηση της μεταβλητής x η οποία ορίζεται στο διάστημα a <x <b, αν σε κάθε τιμή της μεταβλητής x από αυτό το διάστημα αντιστοιχεί μια μόνη τιμή της μεταβλητής y, ανεξάρτητα από τη μορφή της αντιστοιχίας ” Ο Fraenkel εκφράζει χαρακτηριστικά το συγκεκριμένο ζήτημα ως εξής : “Η συνάρτηση Τ=φ( t) που χαρακτηρίζει το θερμογράφο είναι μονότιμη , για κάθε στιγμή t αντιστοιχεί μια κάποια θερμοκρασία. Αν, οποτεδήποτε , ρωτήσουμε σε ποια χρονική τιμή είχαμε μια συγκεκριμένη θερμοκρασία η απάντηση δίδεται από μια συνάρτηση - Η αντίστροφη της συνάρτησης Τ=φ( t) είναι εν γένει μη μονότιμη καθόσον διαφορετικές χρονικές στιγμές έχουν διαφορετική μπορεί να έχουν την αυτή θερμοκρασία. H ιδέα του μονότιμου αλλά μη αναπόφευκτα αντιστρεπτού είναι χρήσιμη στην ανάλυση ”. Γιάννης Πλατάρος

17. Όσο προχωρεί η προσπάθειες για Θεμελίωση κατά τον 19 ο αιώνα τόσο και προκύπτουν νέες ιδέες για τον ορισμό της συνάρτησης. Η πορεία απάλειψης της χρονικότητας της μεταβλητής και έτσι στον Dedekind συναντάμαι . “ Με την απεικόνιση ενός συστήματος S ένας κανόνας γίνεται αντιληπ t ός όταν με αυτόν σε κάθε στοιχείο s του S αντιστοιχίζεται ένα μοναδικό αντικείμενο το οποίο ονομάζεται εικόνα του s κα συμβολίζεται f(s ). Θα λέμε επίσης ότι το f(s) αντιστοιχεί στο στοιχείο s και ότι το f(s) δημιουργείται από την απεικόνιση f μέσω του στοιχείου s. Αυτό το s μετασχηματίζεται από την απεικόνιση f σε f(s)”. Θα ακολουθήσουν τα παραδείγματα συναρτήσεων του είδους της καμπύλης του Peano (συνεχής συνάρτησης του [0,1] που γεμίζει το τετράγωνο ή του Weierstrass που είναι συνεχής συνάρτηση αλλά πουθενά παρ α γωγίσιμη . Τέλος, ο σύγχρονος ορισμός της συνάρτησης διαμορφώνεται μετά τον Hausdorff (1914), ο οποίος δίνει τον ορισμό του διατεταγμένου ζεύγους. Κατά συνέπεια, μπορούμε να πούμε εν συντομία τα εξής: Η συνάρτηση ως τυπική μαθηματική έννοια αποτελεί μια νοητική κατασκευή που ολοκληρώθηκε σχετικώς πρόσφατα μέσα στη επιστήμη. Πρόκειται για μια σύνοψη και ενοποίηση πολλών εν πρώτοις διαφορετικών εμπειριών και νοητικών εργαλείων, που μαθηματικοί και επιστήμονες εν γένει χρησιμοποίησαν για να λύσουν προβλήματα και να συγκροτήσουν θεωρίες. Εφόσον αποτελεί το επιστέγασμα μιας μεγάλης πορείας πρόκειται για μια πολύ αφηρημένη έννοια που κρύβει της ιδέες που την γέννησαν και αυτό αποτελεί στοιχείο δυσκολίας για τους μαθητές . Γιάννης Πλατάρος

18. Αναστοχασμός : Τελικά η συνάρτηση είναι μια δύσκολη έννοια που απαιτεί κατάκτηση, ας είναι καθημερινή στα Μαθηματικά… Γιάννης Πλατάρος