Pré Cálculo - Paulo Boulos

Livro básico de pré caliculo, contendo os principais fundamentos necessários para a compreensão da disciplinas de cálculos nas engenharias elétrica, civil e mecânica!

1. Paulo Boulos

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MAKRON
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2. Paulo Boulos

MAKRON Books Ltda. Pearson Education do Brasil
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3. pré-Cálculo

Copyright © 1999/2001 MAKRON Books do Brasil Editora Ltda.

Todos os direitos para a lingua portuguesa reservados pela MAKRON Books do Brasil
Editora Lida. Nenhuma parte desta publicagäo poderá ser reproduzida, guardada pelo
sistema “reteval" ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, seja este
eletrónico, mecánico, de fotocépia, de gravagáo, ou outros, sem prévia autorizagáo, por
escrito, da Editora

EDITOR: MILTON MIRA DE ASSUMPÇAO FILHO

Gerente ce Procupdo
Sias Camargo
Produtora Editorial
Sandra Cristina Pedi

Capa: Marcelo da S. Frangozo

Editoragáo e tallos em ata resolugáo: JAG.

Dados de Calalogagao na Publicagáo
Bouios, Paulo
Pr6.CälcuojSao Paulo:
MAKRON Books, 1999.

ISBN: 85.348.1221-8

4. Mensagem do Autor
ao Leitor

Prezado leitor. Eis algumas perguntas e respostas que váo orienté-lo sobre este livro.
Por favor, leia.

Qual o objetivo deste livro?
O objetivo deste pequeno livro € passar para vocé informagdes básicas e relevantes so-
bre números reais, de uma forma tio amigável quanto possfvel. Estas informagdes Ihe
slo necessärias para enfrentar um curso inicial de Cálculo Diferencial e Integral

Será que eu preciso estudar isso?
Que tal um teste para verificar se há necessidade de vocé estudar a matéria que consta
do livro? Sugerimos que vocé tente resolver os exercícios suplementares, propostos no
final (veja o sumário de matérias), cujas respostas aparecem após o último. Depoi

30, vocé decide...

Como é estruturado este livro?

Além dos exercícios suplementares citados acima, o livro apresenta um Apéndice, que
mal, e quinze parágrafos. Em cada um deles, aparecem exemplos
ilustrando resultados, manipulagöes algébricas, etc, cada exemplo sendo em geral se-
guido de exereicios quase sempre parecidos (para náo desanimd-lo). Os exercícios apa-
recem na medida da necessidade, e todos apresentam resposta. As respostas náo ficam
no final do livro nao. Ficam no fim de cada parágrafo, destacadas em cinza. Um pard-
grafo merece destaque, o último, pela sua originalidade. Trata-se de um elenco de erros
comuns, que a experiéncia nos mostra, e que em futuras edigöes pode aumentar, Näo € 0
nosso desejo!

5. VI Pré-Cäleulo

O Símbolo X que aparece no texto indica uma resposta de um exemplo, ou o
término do mesmo.

Como devo proceder para aproveitar o livro (para aprender, bem
entendido!)?

Olhando a matemática como um jogo, vocé tem de ser um jogador ativo, e nunca um
mero espectador. Por melhor que seja o seu professor, por mais esforgo que o autor faga.
para ser didático, quem tem de aprender € vocé, eisto demanda trabalho individual, que
inclui:

+ Dedicaçäo diária fora da sala de aula, nem que seja de pouca duragäo, resol-
vendo exercícios e lendo a matéria dada e, se possível, se näo for sonhar de-
mais, a que será dada.

+ Atençäo em sala de aula, procurando absorver a0 máximo o ensinamento do
seu professor, Deixe o mínimo de dúvidas para depois.

Para terminar, desejo sinceramente que vocé goste do livro, da maneira como
foi escrito, e que vocé tire proveito dele, porque isto é parte principal do seu objetivo. Se
vocé tiver críticas a fazer, por favor, escreva-me, enviando sua carta para a Editora
MAKRON Books do Brasil.

Säo Paulo, 25 de novembro de 1998.

O Autor.

6. Ps EA NE |
MAKRON

Books

Mensagem do Autor
ao Professor

Prezado Professor

A realidade brasileira do ensino da Matemática está a exigir, mais do que nunca, uma
atengäo especial à parte básica. Assim como a maioria dos nosso colegas de profissio,
sentimos que um curso de Cálculo Diferencial e Integral fica grandemente prejudicado
pela falta de conhecimento básico por parte do aluno, e as dificuldades dessa disciplina,
que näo sio nada desprezfveis, juntam-se Aquelas decorrentes dessa falta de base, tor-
nando quase que impraticável o seu ensino.

Este livro nasceu diretamente dessa problemática, Tivemos uma grande difi-
culdade näo só em escolher os tópicos, mas principalmente em como abordé-los, uma
vez que, como o aluno vai receber tais conhecimentos extemporaneamente, náo pode
haver um longo dispéndio de tempo nessa parte básica, sob pena de prejufzo no cumpri-
mento do programa normal. Além disso, a experiéncia nos mostrou que náo se pode en-
«arar o assunto como uma simples revisäo. Tendo isso em vista, procuramos dar ao
texto certas características especiais, dada a especialidade da situagäo, entre as quais se
incluem as seguintes:

+ Os resultados säo dados na maioria das vezes em caráter de informagäo,
evitando aspectos formais, que seria um desatino pedagógico a essa altura.
Em raras vezes foi feita uma demonstraçäo, sempre no sentido de despertar
alguma curiosidade no leitor.

+ Uso de linguagem direta e simples, coloquial mesmo, para cativar a atengio
do aluno (as vezes tal linguagem pode parecer um tanto exagerada, porém
isso € intencional).

vor

7. VIT Pré-Céleulo

+ Exercícios em número moderado, na medida das necessidades do aluno,
tendo em vista que nem aluno nem professor terdo, em geral, muito tempo
para investir nesses assuntos, No final, uma série de exercícios suplementa-
res silo oferecidos, que pode servir como medida do aproveitamento do alu-
no. Ao aluno que deseja ter uma idéia de seus conhecimentos básico:
sugerimos que tente resolver logo de inicio tais exercícios suplementares

Para terminar, queremos pedir a valiosa cooperagäo do colega, no sentido de
apontar erros, sugerir modificagdes do material e do texto, etc., pelo que antecipada-
mente agradecemos. Desejo agradecer à Marta Paula Silva Santos, aplicada aluna da
professora Cristina B. Mekitarian de Mello, da Universidade Ibirapuera, pela indicagäo
de diversas incorregóes do texto. Como sempre, tivemos o apoio da professora Marcia
Aparecida de Mendonga Boulos, náo só no incentivo, como também na colaboragäo
efetiva na confecgäo deste livr.

Säo Paulo, 25 de novembro de 1998.

O Autor.

8. Ben E
MAKRON

Books

Sumario
Capitulo 1 O Conjunto dos Números Reais como Corpo. 1
en. i
$2- REGRAS BÁSICAS (AXIOMAS DE : CORPO) Ses £
8 A DAS REGRAS BÁSICAS 5
en ;
ae î
$4- POTÉNCIA COM EXPOENTE INTEIRO POSITIVO 9
§5- SUBTRACGAO...... sme ¿ARA AAA n
§6- DIVISAO eno 12
DT tint a
dee a
ee E
een E 5
a a
ere 2
§7- EXPRESSOES POLINOMIAIS 2
ee 2
Dee + id 3
= E

(E) Fatoragio

x

9. x PréCólelo

Capítulo 3 Conjunto dos Números Reais Como Corpo Ordenado .

Apéndice

Exercicios Suplementares. +++

$8- EXPRESSOES RACIONAIS
(A) Adiçäo e subtragdo . oococcoocccoccconoo
(8) Produto e quociente.

$9- AXIOMA DE ORDEM
$10- MODULO OU VALOR ABSOLUTO. ie...
§11- RADICIAÇAO.
(A Raben nen cx us gap con ee Bas 8 do ee de
(8) Propriedades
§12- POTENCIA COM EXPOENTE RACIONAL ....00.00000<0.
$13- EQUAGÁO QUADRATICA.
(A) Equaçües na forma incompleta
(8) A arte de completar quadrados
(ei de ua esco ui Eg de
segundo grav...
$14- EQUACOES QUE RECAEM EM EQUAÇOES
¡QUADRÁTICAS 1. vey se seg sn acre are
§15- ALGUNS ERROS A SEREM EVITADOS

© Conjunto dos Números Reais como Corpo Ordenado
Completo... 5

45
43
48

51
si
58
2
2
65
68
7
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7

si
84

89

97

10. won AO

O Conjunto dos Números
Reais como Corpo

$1- Introduçäo
$2- Regras básicas (axiomas de corpo)
§3- Conseqüéneias das regras básicas
(A) Cancelamento
(B) Anulamento
(C) Regras de sinal
$4- Poténcia com expoente inteiro positivo
$5- Subtraçäo
$6- Divisio
(A) Fragio
(8) Tgualdade de fraçdes
(©) Regra de sinais para fraçües
(D) Soma de fraçües
(E) Produto de fragdes
(E) Quociente de fragdes
(©) Poténcia com expoente inteiro

§1- INTRODUÇAO

Tudo o que vamos desenvolver neste livro está baseado nas propriedades dos números
reais. O mínimo que devemos fazer, por conseguinte, € passá-las em revista. Aconselha-
mos a vocé, caro leitor, que tenha presente sempre tais propriedades, muito bem sabi-

11. 2 Pré-Céleulo Cap!

das, mas muito mesmo! É como se vocé fosse jogar xadrez. Para mover o cavalo, só se
pode fazé-lo em L. O bispo só anda em diagonal etc. É claro, entäo, que ao jogar uma
partida de xadrez, vocé só pode mover as pegas de acordo com as regras desse jogo, Do
mesmo modo, se vocé vai trabalhar com números reais, deve fazé-lo de acordo com as
regras que regem sua manipulagäo. Existem algumas que sio básicas, das quais outras
sio dedutiveis. Nao é aqui a melhor ocasiño para trtar o assunto desse modo. Quando
acharmos que € interessante deduzir alguma, n6s o faremos, mas em geral elas serio
apenas enunciadas. É bom deixar claro que náo se pretende dar um tratamento nem
completo nem lógico. O objetivo é fornecer, da mancira mais fácil e direta, informagúes
sobre como lidar com a álgebra dos números reais. Dito isto, passemos ao trabalho.

Combinemos o seguinte:

+ Quando falarmos em par ordenado (x,y) de números reais, queremos dizer que es-
tamos pensando em números x e y na ordem seguinte: primeiro x, depois y. A igualdade
(sy) = (3) equivale As seguintes: x = x ey

+ Para afirmar que fatos sio equivalentes, usa-se a expressäo se e somente se. Por
exemplo, no caso acima, dizemos: (x,) = (xy’) se e somente se x = x’ € y
+ O conjunto dos números reais será indicado por R. O conjunto dos números naturais,
formado pelos números reais 0,1,2,3,4..., será indicado por N. Na simbologia usada
para conjuntos, escreve-se

O conjunto dos números inteiros é formado pelos números naturais acrescido
dos múmeros - 1, 2,- 3,=4, ... Indica-se tal conjunto por Z:

Z=(0,1,-1,2,-23,-3,4,-4,..)

Um número racional € um número real da forma p/q , onde p e q säo inteiros,
40. 0 conjunto dos números racionais € indicado por Q.

$2- REGRAS BÁSICAS (AXIOMAS DE CORPO)
_————.- ——_

Em R estáo definidas duas operagdes. A adiçäo, que a cada par ordenado (a,b) de nú
meros reais associa um único número real a + b, chamado soma de ae 5, e a multiplica»
ño, que a cada par ordenado (a,b) de números reais associa um único número real a.b,
chamado produto de a e b. Costuma-se, quando for conveniente, omitir o ponto, e esere-

12. Cap. 1 O conjunto dos números reais como corpo 3

ver ab em lugar de a.b. Na soma a + b, a e b säo referidos como parcelas, ao passo que
no produto ab, a e b säo referidos como fatores.

Só com a nogiio de operagäo pode-se concluir que vale a seguinte regra (a, be
so números reais):

{ Regra da Batanga. Sea = b,entéoa + ¢=b+ ce ae = be

Em palavras: em uma igualdade de números, sempre se pode somar ou
multiplicar uma mesma quantidade.

O nome da regra advém de interpretar a e b como pesos colocados um em cada
prato de uma balanga (de Roberval, aquela com dois pratos). os quais sendo iguai
mantém a balanga em equilíbrio. Este equilíbrio € mantido se acrescentarmos, em cada
prato, um mesmo peso c, ou seja, a + € = b + €.

As propriedades básicas das operagóes de adigäo e multiplicaçäo sdo dadas a

seguir.
(1) (Propriedade comutativa.) Quaisquer que sejam os números reais a € b,
tem-se
a+b=b+a ab = ba
Podemos entáo escrever 2 + 5 = 5 + 2, 34= 4.3.
(A) (Propriedade associativa.) Quaisquer que sejam os números reais a, be c,
tem-se:
(arb)+e=ar(bro abe) = (abre

Por causa disso, omitem-se os parénteses. Escreve-se, respectivamente, a+b
+ ce abe. Esta propriedade se generaliza para o caso de diversos números. Assim, a +b
+ e +d indica qualquer dos números que se obtém colocando parénteses, o mesmo su-
cedendo com abed.

Exemplo 2-1

(2+ 5) 3= 2 + (5 + 3), que se indica por2+5+3 <

(4.9).5 = 4.9.5), que se indica por 4.9.5. <

i (UI) (Elemento neutro.) Existem únicos números reais, indicados por 0 e 1,
com 0 + 1, tas que, para qualquer número real a , verificam

a+0=a al=a

13. 4 PreCälculo Cap.1

% IV) (Elemento oposto e elemento inverso.)
À + Dado um nimero real a, existe um único número real indicado por - a, cha
e mado oposto de a, tal que
a+(-0=0
+ Dado um número real a # 0, existe um único número real, inditado por 2,
4 também por a, chamado inverso de a, tal que
a ı 1
Exemplo 2-2
34(-3)-0 e
> <
EC nm sra) Qu ue ma bee ome
“ ab + 0) = ab + ac (b+ ca = ba + ca
Exemplo 23
18 +6)= @+03=23+63. <

Exercício 2-1 Complete, usando a propriedade especificada:

(comutativa),
(associatva).
(elemento neutro).

(a) 23 + 31 =... comutativa).
(associativa)
(elemento neutro).

(8) 3 +(-3)=.. (elemento oposto.) (elemento inverso).

6986 +5)=... (distributiva). 00 + 8H = … distributiva)

Respostas dos exercicios do § 2
21 (a)31+23. (b)45.37. (©) (6 +5) +3. (d) 23(54.5). (e) 4.
(07. (@) 0. &1 W83+85. (94484.

14. Cap. JO conjunto dos números reais como corpo 5

§3- CONSEQUENCIAS DAS REGRAS BÁSICAS

mn nn

(A) Cancelamento

Vamos supor que a + b = c. Se quisermos isolar a no primeiro membro, como devemos
proceder? Muito simples: pela regra da balanga, podemos somar — b a ambos os mem-
bros da igualdade, para obter a +b + (~b) = ¢ + (—b). Como b + (—b)=0, temos a =
+(~b). Portanto:

Podemos passar uma PARCELA de um membro para outro, desde que to-
memos seu oposto.

Exemplo 3-1 Se 4 + x = 10, entäo x = 10+(-4) <

Costuma-se indicar a + (~b) por a -b. Assim, 10 + (-4)

Exerefcio 3-1 Resolva a equagio em x; isto é, determine o valor de x, nos casos:

xt ded. (0) x+5=9. ()1+3=6. W8+x=4.

Suponhamos agora que ab = c, com b 0. Se quisermos isolar a, multiplica-
mos ambos os membros da igualdade por 1/b, o que é permitido pela regra da balanga.
Obtemos

e como b.(1/b) = 1 , 4.1 = a, o primeiro membro vale a, de modo que

Portanto:
Podemos passar um FATOR de um membro para outro, desde que tome-
‘mos seu inverso. Ñ
Costuma-se indicar ce... por ©.
ma-se indicar e, Por Ÿ.

Exemplo 3.2 Se 2x=

ento x

15. 6 Précäleuo Cap. 1

Podemos agora resolver a seguinte equagäo na incógnita x, 3x + 12 = 15. (sto
quer dizer que podemos determinar o valor de x.) De fato, passando 12 para o segundo
membro, obtemos 3x = 15 ~ 12, ou seja, 3x = 3, e daf, x = 3.(1/3) = 3/3 = 1

Exercício 3-2 Resolver as seguintes equagdes na incógnita x:

@ir+5=10. bare? ()6+2=1 (4) 10x+3= 4.

‘Vamo$ agora encarar o problema do cancelamento. No caso de soma: vamos
supor que a + b = a + c. Note que temos uma parcela comum em ambos os membros
que é a. “Passando” a do primeiro membro para o segundo, ele vira - a, e usando o fato
de que a + ( a) = 0, obtemos b = c. Assim, de a + b = a + c obtivemos b = c, ou seja,
pudemos cancelar a parcela comum a .

Da mesma forma, se ab = ac, supondo desta vez que a #0, podemos cancelar
o fator a comum a ambos os membros, para obter b = c (basta “passar” a do primeiro
para o segundo membro, quando ele vira 1/a, e combinar 1/a com a para obter 1). Regis-
tremos:

Cancelamento.
&@Sea+b=a+e, entäo b
() Se ab = acea#0, entäo b = c.

ATENCÁO. Para o cancelamento no produto, é importante a condigäo a # 0. De fato, 0
produto de qualquer número por 0 sendo O, podemos escrever 2.0 = 3.0, e da, se pudés-
semos cancelar, teríamos 2 = 3, um evidente absurdo. (Vocé sabia que dé para provar
que «.0 = 0 a partir das regras vistas? Eis uma demonstragäo, só para os curiosos:

a0+0=a0=4(0+0)=

Olhando para o primeiro e último membros, dä para cancelar a parcela a.0, de
onde resulta que 0 = 4.0. Lindo, näo?)

10+ 40

Exercício 3-3. Verdadeiro ou falso?

(a) Se2a + b+ 12= 2a + € + 12entiob
()Sea+brerd=c+s+d+aemio.
(© Se 1+ 45 + e+ 4r= € + Lentiods + 4r
(@) Se 2x +73 = + Ty entio 2x

16. Cap. 1 O conjunto dos números reais como corpo 7

ATENCÁO. Vocé nao pode misturar os dois cancelamentos. Em uma soma, em que
algumas parcelas säo produtos, náo se pode cancelar fatores comuns aos produtos.
Expliquemos através de um exemplo. Na igualdade

3r+3y+2=3a
náo se pode cancelar o 3 em ambos os membros. Ou seja, a relagdo anterior näo acar-
reta a seguinte: x + y + z = a. Agora, se fosse 3x + 3y + 32 = 3a, af colocaríamos 3 em
evidencia no primeiro membro, quer dizer, escreveríamos 3(x + y + 2) = 3a e af entäo
poderiamos legitimamente cancelar 3 em ambos os membros: Á(x + y + z) = 3a, ou

sa x+y+z= a

Enercicio 3-4 Verdadeiro ou falso?

(a) Para quaisquer a,b, ¢, z reais, se 3a + 22 + 1=3b + centäo a+ 2:+ 1 = b+ c.
(9) Para quaisquer a, B, c,d reais, se 3a + 3b + 1 = d+ 3c Lentioa + b=d+c.
(0) Para quaisquer a, be reais, se da + 4b + de = da +4 entiob + e=

(8) Para quaisquer a,b,c, x reais, se 3x + ab + ac = 3x + da entdo b + € = 4.
© Para quaisquer a, b,c, xteais, se 3x + ab + ac= 3x + da entäo entäo ou;
Exercicio 3-4 Que condiçäo sobre a,b, c, deve existir para que 3a + 2: + 1 = 3b + € seja equiva-
lente a a+ 2241 = D +07

obre

(8) Anulamento

Registraremos a seguir duas propriedades envolvendo o número 0, uma delas já citada
acima:

Regra do fator nulo. Qualquer que seja a real,
a0=0.a=0
Regra do produto nulo. Sendo a e b números reais, tem-se:
Se ab = 0 entäo ou a=0 ou b= 0.
(o ou aqui permite o caso. )

Exemplo 3-3

(a) Pela regra do fator nulo podemos escrever0.(3s + 676 - 1
Ca+b-00=0

17. 8 PréCálculo Cap!

(b) Pela regra do produto nulo, podemos resolver a equagäo (x~3)(x + 4) = 0. De fato, ou
x 32 0, caso em que x= 3, ou x + 4= 0, caso em que x=~4. Portanto, o conjunto das so-
Iugóes da equagäo dada € formado pelos números 3 e - 4. Tal conjunto é chamado de con-
junto-solugáo da equaçäo. Na simbología usada em Teoria dos Conjuntos, o conjunto
formado por 3 e—4 € indicado assim: {3, - 4}.

Generalizagäo:

Dab...0=0.
2) a.be.d=0 entäo ou a

ou b = 0, ou c = 0, ou d= 0.

Exerefcio 3-5. Escreva o conjunto-soluçäo das seguintes equagden

@u- Du + D=0. DATE (6+ Dé+3)=0
Mr AED (a 0=0. EG Dir ddr 1)=0.
@X-x=0. (Maria, str Ayer 1) = 2x +4)
(C) Regras de sinal
Valem as seguintes fórmulas:

Regras de sinal. Para quaisquer a e b reais teme:

(a)-(-a)=a

(b) (—a)b = — (ab) = al —b)

(©) (—a)(—b) = ab

Assim, temos = (3) = 3, (~4)6 =~ (4.6) = 4-6), (= D(-5)= 7.5

Exercício 3-6 Podemos, de acordo com a regraacima, efetuar a multipliagäo (- 4-2) =42= 8;
do mesmo modo, (~8)2 =~ (8.2) = - 16. Agora € sua vez, Efetue:

MENA. ON A

@-(-5) OED. MN.

18. Cap. 1 O conjunto dos números reais como corpo 9

Respostas dos exercicios do §3
31 (Wx=-2. (b)x=4. [DES (d)x=-4.
32 (915 x23. @xe-52. @x= 110.
33 @V Ov ov. &Y
34 @F (b) Y. (e) V. (WE IOMA
34 @a=h
35 (a){-1,1}. (0) (-5,2). (@){-1,-3}. (4) (-4/5,1).
004. (DI-4I4D. OUI. EII @ (-4.03).
36 MIS OIE OS
@-6 (0-10

POTÉNCIA COM EXPOENTE INTEIRO POSITIVO

nz m

‘Vamos definir agora o significado de a”, onde a € um número real.

Sendo a um número real, definimos:

aa. … a(n fatores), sen

Nesse contexto, a € referido como base e n como expoente.

Exemplo 4-1 Temos

222222516 <
<
<

Notemos que ada? = (a.a.a)(aa) = a.a.a.aa = d° = a***, Em geral, a gente
pode se convence facilmente que a” * " = aa’. Notemos que (a) = (a0)! =
(aladas) = 00.0.0.0.4 3. Em geral, vale (a")" = a". Uma experiéncia
análoga ilustra o seguinte: (ab) = a°b" e(a/by" = a’/b". Vamos registrar:

19. 10 PréCéleulo Cap. 1

Regras de potenciagäo. Sendo a um número real, m e 1 inteiros positivos,
tem-se:
san nana

er)

(Ya
+ aby ato

Exemplo 4-2
(a) P35 = 3933333332243, oa xt ax"?
os 1252 5.5.5.5 = 625.

Cr

AAA AAA À

Exercício 4-1 Efetue:

(aay. mare, wx. CLS
Gx. Mery, @xe) hy Qu)
DLR. DARÁN, Ma. INEA

MISC OCN DEE. ENE

Respostas dos exercicios do $4

41 (aa. (ar, (o (rn.
(e) 27%. (632. a (h) 16/81.
(4096. wet. 0-2 ml,

(a) = 1248, xy Oxy Wer

20. Cap. 1 O conjunto dos números reais como corpo u

§5- SUBTRAGÁO

É A diferenga de b e a, indicada por b — a, € definida por
b-a=b+(-a)
‘A seguinte regra nos diz como eliminar parénteses quando ele está antecedido
pelo sinal =
i Para quaisquer a e b reais, tem-se

-(a+b)

Exemplo 5-1
@-@+5)=-2-5.
()-(-3+ 1) =~ (-3)-7=3-7.
()~(-2-5)=-[-@+5)]=245.

AKA

Exercício $-1 Verdadeiro ou falso?

(a) Para todo real a, tem-se ~(~a+ 3)
(6) Para todo real a, tem-se- (-4 + a)
(€) Para todo real a e todo real c, tem-se (ac) = a + €.
(@) Para todo real m, tem-se ~(5 + m
(e) Para todo real a, tem-se — 6 — a
(9 Para todo reals, tem-se — (1-5)

5-m
(G+a).
Les.

A seguinte propriedade distributiva envolvendo uma diferenga é facilmente es-
tabelecida usando a propriedade distributiva anteriormente dada e a definigäo de dife-
renga (se voce se interessar, pode tentar prová-la, que € fácil).

13 Quaisquer que sejam a, be c reais, tem-se
abc)

bac (b-0)a = ba-ca

Exemplo 5-2
(9567) =53-57.
(0) 0-46=9.6-4.6.

AA

21. 12 PréCálculo Cap. 1

Exercício 5:2 Decida se cada igualdade € verdadeira ou falsa, no sentido de ser uma identida-
de, quer dizer, cada letra designa um número real qualquer.

4-2)

(Am 0 (a+ 6-0) = ac hr.

TE (M-ab— (Ab) =~ 4a + b.

Respostas dos exercicios do $5

51 (9 (b) V. OV. @V. OU OV.

52 @R. OV. OF @v Ov OV.

@F Ov OF

$6- DIVISAO
(a) Fragäo

b
O quociente de b por a, onde a #0, indicado por ~, ou por b/a, é definido por

b € referido como numerador, a como denominador. Nesse caso, bla
também é referido como fraçäo.

Exemplo 6-1

A À À A

22. Cap. 1 O conjunto dos números reais como corpo 13

Qualquer número real pode ser pensado como uma fragäo, pois

ATENCÁO. Por definigäo, para dividir a por b, pressupde-se b +0. Entäo, por esta
regra do jogo, € proibido dividir por 0.

É PROIBIDO DIVIDIR POR ZERO.

(8) Igualdade de fraçôes
Uma primeira preocupagio é saber quando temos igualdade entre fragöes. Ou seja,

bd

equivale a que condiçäo? A resposta €

Sendo b # 0, d#0, tem-se

se e somente se ad = be

A condiçäo acima € referida como multiplicagáo em cruz, pois sua indicagáo
na igualdade de fraçôes, com tragos unindo a e de bec, produz uma cruz.

Exemplo 6-2

4,2

55

6-1 Verdadeiro ou falso?

4 16 36 _144
4-18 38 =
nr 20 OF 42
a a
etna iat
an a atl

Como conseqiiéncia, temos

É LR 0.40)

23. 14 Pré-Célewlo Cap.

pois, multiplicando em cruz, obtemos a igualdade válida a(be) = b(ac) (= abc). Em pa-
lavras:

Uma fraçäo nao se altera se multiplicarmos numerador e denominador
por um mesmo número náo-nulo.

Podemos usar o resultado acima para simplificar uma fragäo, conforme se
exemplifica a seguir:

Exercicio 6-2 Simplifique
49 18 18 sa 18 8
oF oF Os oF oF oF

(C) Regra de sinais para fragóes

As regras de sinal facilmente nos fornecem as seguintes:
Regras de sinal para o quociente.
b

a aa
bb

©

Vejamos como obter uma delas:

onde na primeira igualdade usamos a definigäo de quociente, na segunda a regra de
sinais, e na terceira novamente a definiçäo de quociente.

24. Cap. 1 O conjunto dos números reais como corpo 15

Exemplo 6-4
2
5 <
w=
929 <
Exercico 63 Verdadeiro ou falso?
48 14 _42 dab _ Sab)
wi nt, (a ab = Sab)
8 5 10 q 5 15 e 2 4

(D) Soma de fragóes

Faradescobrir como somar frage com mesmo denominador, observemos que
tallar lo tt?

onde usamos, sucesivamente, a definigäo de divisdo, a propriedade distributiva, e no-
vamente a definigäo de divisäo. Portanto:
Para somar fraçües de mesmo denominador, basta somar os numeradores.

Exemplo 6-5
(1946 19+6_25
4 44 <
28 248 10
Vito nn 26 <

É curioso o fato de haver uma tendéncia de se achar que essa regra deve valer
mesmo quando os denominadores so diferentes, Pior ainda, para somar duasfragbes,
alguns acham que se deve somar os numeradores, somar os denominadores,e dividir
um pelo outro. Isto ndo vale:

3,5,3+5
3,5
ira

pois o primeiro membro vale 8, e o segundo vale 8/2 = 4.

Como fazer entäo para somar fraçôes de denominadores näo necessariamente
iguais? Muito simples. Basta escrever as fragöes com o mesmo denominador, o que se
consegue facilmente, e af aplicar a regra acima. Ilustremos:

25. 16 Pré-Célewlo Cap 1

Exemplo 6-6

37+45 _41
73 <
Em geral, procedendo da mesma forma, chega-se a

a ,c_ad+be
bd bd

(b#0,d#0)

‘A seguir destacaremos as propriedades vistas, acrescentando o caso de dife-
renga de ee

2 «=0)
©
a

G#0,4#0)

Nas fórmulas acima, se for usado + no primeiro membro, deve-se usar + no se-
gundo membro, e se for usado — no primeiro, deve-se usar — no segundo.

Exercício 6-4. Efetue:

4,6 2,8

ate 2
Dr 5 sr y
4,5 45
Os Mc
or. at
4 A

Para somar fragöes com denominadores diferentes, costuma-se, em vez de
usar diretamente a fórmula (b) acima destacada, transformar as fraçües em fragöes com
‘mesmo denominador, e em seguida aplicar a fórmula (a). Esta transformagäo pode ser
feita de infinitas maneiras, mas procede-se com maior economia possivel, conforme ex-
plicaremos a seguir, com um exemplo.

Exemplo 6-7. Para efetuar a soma

26. Cap. 1 O conjunto dos números reais como corpo 1

tentaremos multiplicar numerador e denominador de cada fraçäo por um mesmo núme-
10 (que varia em geral para cada fraçäo), a fim de nao alterá-la, com o objetivo de obter
um denominador comum. Para isso, consideramos os múltiplos dos denominadores:

múltiplos de 5: — 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45...
múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60...
múltiplos de 6: 6,12,18,24,30,36,42,.

Vemos que 30 é 0 menor múltiplo comum de 5, 10. 6, ou, como se diz, 30 €0
mínimo múltiplo comum (mme) desses números. Adotamos 30 como denominador
comum. Para saber qual número devemos multiplicar numerador e denominador da pri-
meira fraçäo, dividimos 30 pelo denominador 5, para obter 6. Escrevemos

eassim,

Em geral,

É Sendo dy, a... a, números inteiros positivos, o mínimo múltiplo comum
(mme) desses números € o menor múltiplo comum dos mesmos.

vel por a,b ea inteiros positivos, entäo o mme desses números € a. Verifique isto.
(©) Calcule o mme de 300 e 300 000 000 000.

Para achar o mme na prática, procede-se de outra maneira. Para ver isso, recor-
demos o seguinte:

É Um número inteiro positivo € chamado de primo se for diferente de 1, e se os
únicos divisores dele sAo 1 e ele próprio.

Os primeiros dez primos positivos säo 2,3,5,7,11,13,17, 19, 23 e 29.

27. 18 Pré-Célewlo Cap. 1

maior que 1 tem uma única decomposiçäo (a menos da ordem dos fatores) como

{ Teorema Fundamental da Aritmética. Qualquer número inteiro positivo
produto de números primos, chamada decomposiçäo prima do número.

Exemplo 6-8 As decomposigdes seguintes sáo decomposigdes primas;

(a) 18 = 2.3? <
(0) 35=5.7 ES
(©) 120=2%.3,5. <

Para achar a decomposigäo prima de um número inteiro positivo, divide-se o

‘mesmo por 2 (primeiro primo), quantas vezes for possfvel a divisäo exata, e o quociente
é dividido por 3(0 número primo seguinte) quantas vezes for possivel a divisäo exata, e
assim por diante, até se obter um quociente primo. Um dispositivo prático é mostrado a
seguir, em um exemplo.

Exemplo 6-9 Achar a decomposigio prima de 13 500.

Resolugäo. As suces
tas como segue:

ivas divisôes pelos primeiros primos referidas acima säo dispos-

13 500
6750 2
3375 3
1125

375
125
25
5

1

Portanto, a decomposiçäo prima procurada €

13 500 = 2.2.3.3.3.5.5.5 =27.3°.5* <

Vejamos agora como obter o mme de dois números, conhecidas suas decom-
posigóes primas, sempre com um exemplo, para que as coisas fiquem claras.

Exemplo 6-10 Obtenha o mme dos números 60 e 490.

28. Cap. 1 O conjunto dos números reais como corpo. 19

Resoluçäo. Com o processo acima, chega-se a

490 = 2.5.77

Entdo o mmc de 60 e 490 € o produto dos fatores primos comuns e náo co-
muns, afetados de seus maiores expoentes. No caso, este mme 6 2°3.5.7° = 2940. Um
ispositivo prático para determinar este mmc € o seguinte:

60,490 | 2
30,245 | 2
15,245 |3
5,245 | 5
1,49 17
1,7 [7
1,1
O mme de 60 e 490 € o produto dos fatores que aparecem à direita. Para ob-
té-los, vocé vai dividindo pelos primos ambos os números, sendo que quando um núme-

10 no for divisível pelo primo, ele € repetido. O processo termina quando aparece pela
primeira vez uma linha formada só pelo número 1.

Exemplo 6-11 Obter o mme dos números 5, 10 ¢ 6 (veja o Exemplo 6-7).

Resolugäo. Usando o dispositivo prático referido no exemplo anterior, vem:

| 5,10,6/2
| 55.3|3
| 55115
Fée re à |
O mme de 5, 10€ 6€ 2.3.5 = 30, que foi obtido anteriormente <
Brenden 66 Bleue
2,4 5 2 103
wirt a 2 eds
CH 15 ©; Ost o; 10

29. 20 Pré-Célewlo Cap.

(E) Produto de fragóes

Aprenderemos agora a multiplicar fragöes.
f Seb#0ed#0, entäo
(4

Em palavras:

Para multiplicar duas fragóes, multiplicam-se os numeradores e os deno-
minadores.

À À À À

Exercício 6-7 Efetue:

36 86 16
ws. ws SEA
Ga 977 0735

1 Led
CE DEJE

(F) Quociente de fragöes

Aprenderemos agora a dividir fraçôes.

30. Cap. 1 O conjunto dos números reais como corpo 2

Seb#0,d#0ec#0,entäo

Portanto,

Para dividir uma fragäo pela outra, deve-se multiplicar a primeira pela
fragño obtida da segunda permutando numerador e denominador,

Exemplo 6-13
0
<
5 8
9-5
10 x

Exercício 6-8. Efetue:

2
10 E 3
ot. 2 - o4
n 5 7

Para dividir a por b/c, escreve-se a = all, e procede-se como acima. Assim,

31. 2 PréCáleulo Cap!

Exercício 6-9 Proceda como acima, nos casos:

3 3 -13 a
oF o os ot ©

0

0)

Ju ta]

(G) Poténcia com expoente inteiro

Estenderemos agora a definiçäo de a” para m inteiro qualquer.
Seja a um número real näo-nulo. Definimos

pr

Exemplo 6-14
@ 321

1
z
3
js E a oF
Terme
oa Fs
a y

As duas últimas ilustragöes so casos particulares do seguinte resultado:
Sendo a # 0e b #0, en inteiro, tem-se
b

a by
GO

parada,
ak
Bra

32. Cap. 1 O conjunto dos números reais como corpo 23

As propriedades formais de potenciaçäo vistas se mantém :

Regras de potenciaçäo. Sendo a um número real näo-nulo, m e n inteiros,

tem-se
santana 2
yea
+ @y =a Der

Exemplo 6-15 Como aplicagäo, provaremos que — 1 elevado a um número inteiro par €
1,e elevado a um número inteiro fmpar €- 1.

Um número inteiro € par se for da forma 2k, e ímpar se for da forma 2k + 1,
‘onde k € um inteiro. Assim, os pares so 0, +2, +4, 46... e os impares sio +1, 43, #5...

Usaremos o fato de que (- 1)? = (- 1)(— 1) = 1 (Regras de Sinal(§2(C)). Temos
DA = 1 <
(= Dts (DD = ICE &,
‘Como consequéncia, temos:
Se ké um inteiro qualquer,
| Cata e

De fato, como—a = (- 1)a,temos (at = [(
Deixamos a outra fórmula para vocé provar,

Exercício 6-10. Efetue:

i 1 ‘ Le da
wg. CE od. eo

1 3 3,4 à
Um) oo LE) 06%
a EN En 1
II MGR

ET EN VEIA EOS.

33. 24 PréCálculo Cap-ı

Observagáo. Quando se dé uma definiçäo em geral tem-se algo em mente, Por exem-
plo, se a #0, definimos a° = 1. Ora, alguém pode perfeitamente perguntar por qué se de-
fine assim, e näo, digamos a? = 3. A resposta radical € assim por que é por definiçäo nao
tem cabimento. A ideia que se tem em mente € que as propriedades formais da potencia-
ño com expoentes inteiros positivos se mantenha. Com esse espírito, náo temos outra
alternativa senño definir a? como foi feito. De fato, temos d° = a ~'. Ora, para preservar
a propriedade a”-" = a”/a”, devemos ter entáo a'~! = ala = 1. Assim, devemos definir a?
(para a #0). De modo análogo, se n > 0 € inteiro, aa" deve serigual aa~"*" = a? = 1,
se quisermos preservar a propriedade a’** = aa. Portanto, devemos ter a”" a= 1,e
dai, a~" = Va, como foi definido.

Respostas dos exercicios do $6

61 (av. OE OV. vy. ON. OF
wv. av.

62 WM. OQ QM (9% wus,

63 @V. Ov. OF. @v.

64 (2. WIM. WE WO ES.
(135, (@-1110. 11156. WM. y,

Wa. (m-72.
6:5 (1) 300 000 000.000.

“so: br on.

Tor of or 0%
of oF. of 0-5
oF M Op x

“0% ot 6 ot

34. Cap. 1 O conjunto dos números reais como corpo 25

65
b) 8. =
(0) oF

n 5
of D

G

610 (IS 36 (OL ON CE
DW IS OISE Oise
BE. mE Wi. © @us.
(9) 1s’. (9 8h". (5-1 (= Ur. (u)- Va.

35. ds ap
MARRON
Books

Expressôes Algébricas

$7- Expressdes polinomiais
(A) Identidade e equaçäo
(8) Identidades envolvendo adigño e subtragio
(©) Identidades envolvendo produto
(D) Identidades envolvendo divisäo
(E) Fatoraçäo
$8- Expressöes racionais
(A) Adiçäo e subiragilo
(8) Produto e quociente

§7- EXPRESSOES POLINOMIAIS

(A) Identidade e equagáo

E muito importante que vocé entenda bem a diferenga entre equagáo e identidade, que
passamos a explicar.

Dada uma expressäo onde figura apenas uma letra, digamos x, à qual nos refe-
iremos como expressño em x, o conjunto dos números reais x para os quais se podem
cfetuar as operagóes indicadas na expressäo é chamado de dominio da expresso. Uma
expresso numérica será considerada uma expressäo em x de dominio R .

27

36. 28 Pré-Céleulo Cap?

Exemplo 7-1

(a) O dominio da expressäo

€ 0 conjunto dos x reais diferentes de 1 <
(©) O dominio da expressio 2x — 1 € 0 conjunto R dos números reais. <

Dada uma igualdade onde em cada membro se tem uma expresso em x, consi-
deremos o conjunto dos números reais x que sáo comuns aos dominios dessas expres-
söes, ou seja, o conjunto dos números reais x para os quais sño possiveis de serem
realizadas as operaçües indicadas por ambas expresses. Indiquemos tal conjunto por
D.

Exemplo 7-2
(a) No caso da igualdade 2x - 1 = x + 1, as operagóes indicadas por ambas expresses 2x 1
e x + 1 podem ser efetuadas para qualquer x real, logo D = R . O mesmo sucede com a
igualdade (x +3) = 2° + 6x +0.

(b) Na igualdade

x-1 2x

D € 0 conjunto dos números reais diferentes de 1 e de 1/2, pois tais números anulam res»
pectivamente os denominadores do primeiro e segundo membros. No caso da igualdade

1,1 2
y-3°x-3 7-3

D € o conjunto dos números reais diferentes de 3. <

i Se a igualdade se verifica para todo x de D, tem-se uma identidade (em D)

Caso contrário, tem-se uma equagäo. Neste último caso, resolver a equaçäo sig-

to-solugäo da equagäo (tal conjunto pode náo conter nenhum elemento, que é o

| nifica achar os x de D que a verificam, o conjunto deles sendo chamado de conjun-
caso de náo haver soluçäo da equaçäo).

Tais definigóes podem ser dadas no caso de expresses com mais de uma letra,
o que nio faremos para náo aborrecé-lo.

Para facilitar a exposiçäo, introduziremos a seguinte notacáo e nomenclatura
da teoria dos conjuntos:

37. Cap.2 Expressôes algébricas 2

( + AB indica o conjunto dos elementos de A que náo pertencem a B, chama-
do conjunto diferenga de A e B.
+ Um conjunto sem elementos € chamado de conjunto vazio.
Exemplo 7-3
(a) Para a igualdade 2x 1 = 4, tem-se D = R. Tirando o valor de x, chega-se ax= 5/2, logo

se trata de uma equaçäo, cujo conjunto-solugäo é (5/2).
(0) Para a igualdade (x + 3)? = x°+ 6x + 9, tem-se D = R. Como

(e+ 3) = (e+ Br + 3) = af + 3) + 3.04 3e nr +3 + Bar + 332 + 6x 49
trata-se de uma identidade (em R). <

(©) Para a igualdade 1/(x—1) = 1, tem-se que D = R - (1). Ela equivale a 1 =
ax = 2, Portanto, trata-se de uma equaçäo, cujo conjunto-solugáo € (2)
(@ Para a igualdade

x= Logo

tem-se D = R — (1), logo trata-se de uma identidade, pois vale para todo x de D. X

Objetivo e nomenclatura

+ No presente parágrafo, vamos estabelecer identidades, utilizando os conhecimentos
anteriormente adquiridos sobre números reais. As identidades podem envolver mais do
que uma letra, por exemplo, x(y +x) = xy + 2° (neste particular caso, ela vale para quais-
quer xe y reais).

+ O adjetivo polinomiais, que figura no título do parágrafo, pretende dizer que lidare-
mos apenas com expressöes tais como 7x? — 6x + 2e 4x" — 8x + 1, ditas polinomiais (evi-
taremos definir aqui a noçäo de polinómio, porque os matemáticos däo uma nogäo
precisa desse conceito, a qual näo cabe neste livro). Podemos dizer, sem compromiso,
que uma expressáo polinomial € soma de parcelas do tipo ax", a real e n natural (se n= 0
convenciona-se que ax" € a). No caso de duas letras x e y é a mesma coisa, o tipo sendo
ay", m natural.

+ Os números que multiplicam as poténcias nas expresses e os que figuram isolada-
mente so chamados de coeficientes. Assim, 7, ~ 6 e 2 säo coeficientes de 7x" ~ 6x + 2.€
4,-8 e 1 sio coeficientes de d'y —8x + 1

38. 30 Pré-Célewlo Cap.2

+ Cada parcela da expresso polinomial € referida como termo. Assim, 7x°, 6x e 2 sio
termos de 74? - 6x + 2. O termo no qual nao aparece x € chamado de termo constante.

+ Ostermos ax" e bx" sio chamados termos semelhantes, como por exemplo 4x ex.
No caso de duas letras x € y os termos ax’y” e br’y" sio chamados termos semelhantes
(por exemplo 312)? e 12x23"). A definiçäo para o caso de mais letras € óbvia.

+ A expressdo polinomial nula € a formada apenas pelo termo constante nulo, e € indi-
cada por 0.

(B) Identidades envolvendo adigáo e subtragáo

Exemplo 7-4 Quando temos soma ou diferenga de termos semelhantes, podemos usar
a propriedade distributiva. Assim, temos as identidades;

19x? — 34x3 = (19-34) = — 151 <
5x + 12x? = (5 + 12) = 17 <
Axty® - 6x5y = (4 — ESS = a %

O ideal é evitar a igualdade intermediária nos cálculos acima, ou seja, escrever
diretamente o último membro.

Exemplo 7-5 As identidades a seguir envolvem termos näo-semelhantes. O cuidado a
ser tomado € considerar os termos semelhantes, e efetuar as operagöes sobre eles.

(a) (61 + 2x? - 3x + 1) + (20-40 + 212) = BO 2x1. <
(b) Gxt — 2x? + x 1) + G4 =? + 5x 12) = dut 8-2 + 6x 13. <
(©) G3 328 + 2) — Ax +x — 4? + 2) = a8 — Ba + 2 — 4 x + 4 2
36-20 +
(1236-30 + Ty y + 3 + Op 4p +8 = 23 + a ir Ty + y dy #3
Aa + 16y = 5 + 3. <

(Detalhamos um pouco mais o último caso, colocando termos semelhantes lado a lado,
por se tratar de polinómio de duas variáveis, porém o melhor é fazer diretamente, sem
esse detalhamento.)

39. Cap.2 _Expressöes algébricas 31

Observagáo. A maneira de se pedir um procedimento como o do exemplo anterior €
dizer “simplifique a expressäo”. Assim, para simplificar a expresso 5x° — 3? + 3xy =
(2 + y? - 3), procedemos como segue:

Sty + 3x 0 +

Exereicio 7-1. Simplifique a expressäo, em cada caso:

(Gr) + (4-59 - (6 4x5) + (440, (0) 6(r~1 +x) - G+ x-2)-6
(94u+3lu—Qr+ 3u) 31] 6. 8 ~ (108 + 6) 02 + 0)

(C) Identidades envolvendo produto

Exemplo 7-6

(a) AGP — 12143) = 3.40 +3. - 120) + 37.3 = 128 368 + 9, <
(b) (da + b)9a — 7b + 2) = 4a(9a — 7b + 2) + b(9a - 7b +2)

4a.9a + 4a.(- 75) + 4a.2 + ba + b( 7b) + b2

= 360° - 28ab + 8a + 9ab- 7b? + 2b

364° - 19ab - 7b? + Ba + 2b. <

Vocé pode, se preferir, dispor os cálculos como uma multiplicagäo entre nü-
meros, como segue:

4012143 9a-1b+2
da + b
121361497 364 - 28ab + 8a
ab = Th + 2b
36a'~ 19ab~7b'+ 8a + 2b

Exemplo 7-7. Para efetuar (4x —8 — 5x°)(2— 3x + 4x°), usaremos a disposigäo prática
apresentada acima. Para melhores resultados, colocaremos os termos em ordem decres-
cente das poténcias de x, colocando 0 quando a poténcia näo aparece:

40. 32 PréCálculo Cap. 2

= 5x'4 Ov + 4x8
dx! — 3x42
= 20x" + Ox'+ 161-321

15x 0x = 12 x" + 24x
Ox'+ Ox + 81-16
= 20x'+ 154 + 6x" — 44x" + 32:16

Exercício 7.2 Efetue:

(a) (e+ DQx— 1) 4. (b) (2x39) dy. (©) Gx 4x + NY 6r+ 4)

DREI. OU. rer DD.
Alguns produtos säo considerados dignos de memorizagäo. Eis alguns deles:

Produtos notáveis. Temos as seguintes identidades:

war 2x + à
(xa) = 3x44 aa

Observagäo. Relembremos a nossa convençäo. Ao escrever os produtos notáveis aci-
ma, estamos subentendendo que se trata de identidades, ou seja, relagúes válidas para
todo x real e todo a real.

Exercício 7-3. Demonstre os produtos notáveis dados acima.

ATENÇAO. Tendo em vista os resultados acima, devemos notar que, em geral,
(rata
rara
(rater +a (>)
O que queremos dizer, por exemplo, com a frase “em geral, (x + a) #x + a?
E que (x + a)'=.x° + a? näo € uma identidade, ou seja, näo vale quaisquer que sejam xe a
reais. É claro que vale se a = 0.

Exercício 7-4 Verifique se sio identidades:
(0d

41. Cap.2_Expressdes algébricas 33

(© Qs D@x+ = 4¥ (@) 9x 25 = (8x 5)x + 5),

Grex ered 06-2
ars, +3 = x +3.

Mar Dax +36 +341 Mas Br
Dre dD'= x + 126 +48r+ 64 (ma 6 28
(43) =x +7. (0) (&-5)'=x-5.

@ Gr Gre. (q) Ar +5) = 16x" + 40 +25.

Exercí

7-5 Resolva a equagdo, em cada caso:

(reaver ed

Observacdo, Para aqueles que estäo curiosos para saber como se desenvolve (x + a)”,
vamos dar uma regra interessante. Por exemplo, para (x + a), a primeira parcela € A
segunda € 0 expoente 4 vezes 0 produto Ya (o expoente de x diminui de uma unidade, e
entra a na jogada):

(raiz dao

Agora, vocé deve multiplicar o coeficiente 4 pelo expoente 3 de x’, e dividir
pelo número de parcelas já escritas, que € 2: 4.3/2 = 6. Este é 0 novo coeficiente, que vai
multiplicar x°a°(o expoente de x diminui de 1,0 de a aumenta de 1), para obter a parcela
seguinte:

Ge + a) = à + Ava + Ge +

Para obter o coeficiente da parcela seguinte, multiplicamos o coeficiente 6
pelo expoente 2 de x°, e dividimos pelo número de parcelas já escritas: 6.2/3 = 4. Como
antes, o expoente de x diminui, e o de a aumenta. Assim,

+ 40a + 6x

ra Pax.

A próxima parcela vai ser a última, e € a‘. A regra se mantém, pois devemos
multiplicar 4, o coeficiente anterior pelo expoente 1 de x, e dividir pelo número de par-
celas já escritas, que é 4: 4.1/4 = 1. O expoente de x diminui de 1 (fica x°= 1) eo dea au-
menta de 1 (fica a‘):

(et a) = 2 + Aa + Ga + dal + at

Tente vocé agora:

Enerefcio 7-6 Desenvolva:
(Mara. yea.

42. 34 Pré-Cáleulo Cap.2

0 desenvolvimento da expressäo (x + a), para n >1 inteiro, conh
Binómio de Newton, se obtém com a mesma regra acima, e é o seguinte:
MD rg ID os à
n(n=1X{n-2)..2 a
FRE bn

(eta) =x" meta +

Costuma-se usar a seguinte notagáo:
Mel 221222 3212326 4I=1234=24

or

e ëm geral n! = 1.2.3.4... (lé-se ene fatorial). A fórmula acima fica
rar 20D MA args à

(ray nxt ata ee u

ses De

(D) Identidades envolvendo divisáo

O teorema que fala sobre a divisäo de intros positivos € o seguinte:

É Dados os inteiros positivos a e b, existe um único par ordenado (4,1) de núme-
105 inteiros tal que a = bg + r, comO< r < b.

de a por b. Neste contexto, a e b säo chamados dividendo e divisor, respectiva-

4e r sio chamados quociente e resto, respectivamente, da divisdo euclidiana
mente.

Exemplo 7-8. Se dividirmos 23 por 4 obteremos quociente 5, e resto 3, pois 23 =
=4.5+3.

Da igualdade anterior resulta

Em geral,

resto.
divisor

43. Cap.2 _ Expressôes algébricas 35

Para efetuar a divisäo praticamente, existe um algoritmo, chamado algoritmo
o, que ilustramos com o exemplo a seguir, no qual dividimos 1546 por 54:

1546 | 54
466 | 28
34 E 1546 = 54.28 + 34

Existe um teorema análogo que diz respeito A divisäo de uma expressáo poli-
nomial por outra. Para enunció-lo, introduzimos a seguinte nomenclatura:

+ aix + aptem-se a, # 0, ela é

É Se na expressäo polinomial a,x" + a, 17 +
dita ter grau n; n € chamado de grau da expressäo.

Exemplo 7-9 2% - 3x— 2 tem grau 3, x‘ — 1 tem grau 4. Uma expressäo polinomial
constante, isto é, formada apenas pelo termo constante, tem grau 0. x

Podemos, agora, formular o seguinte resultado:

B #0, entáo existe um único par (Q,R) de
= 000 grau

expressóes polinomiais tal que tem-se a identidade A = BQ + R, com
de R< grau de B.

f Se A e Bsio expressöes polinomiai

de A por B. Neste contexto, A e B sio chamados dividendo e divisor, respectiva-

i Qe R säo chamados quociente e resto, respectivamente, da divisäo euclidiana
mente.

Existe um algoritmo para efetuar a divisäo de duas expressöes polinomiais,
análogo ao da divisäo de números. O exemplo a seguir ilustra.

Exemplo 7-10. Para dividir 5x° + 4 - 3x por x —x + 1 podemos proceder de maneira
análoga à divisäo entre números vista acima. Podemos usar inclusive a mesma disposi-
ño prática do processo. Para isso, escreva o dividendo como soma de parcelas de potén-
cias decrescentes de x, colocando 0 quando a poténcia nño comparece : Sx? + Ox? 3x +
4. Faga o mesmo com o divisor (no caso ele já se encontra nessa forma): x — x+ 1. Ago-
ra, disponha as expresses como em uma divisäo de números.

Sx 00-3744 [ore

44. 36 Pré-Cáleulo Cap2

+ Divida 5x° (primeira parcela do dividendo) por x? (primeira parcela do divisor) para
obter 5x (primeira parcela do quociente):

5x + 0x 3x44

5x

+ Multiplique 5x pelo divisor, mudando o sinal, para obter 5x" + 5x°~ 5x, escreva isto
abaixo do dividendo para somar com ele:

Sx +0x'-3re4 [ore
5x

+ Abaixe o próximo termo do dividendo, a saber 4, obtendo 5° 8x + 4.

Sx'+0x'-3r44 [fort]
=5x'45x'—Sx |5x
SY 8x44

+ Repita o processo, com 5x? - 8x + 4 como dividendo. Entäo dividimos 5x° por x* para
obter 5, que vai ser a segunda parcela do quociente. Multiplicamos 5 pelo divisor, mu-
damos o sinal, para obter ~ 5x? + 5x - 5, que deverá ser escrito abaixo do novo dividen-
do, para somar com ele:

5x +06 -3x+4

+ Como a expressäo obtida -3x- 1 tem grau 1, menor que o grau 2 do divisor x + 1,
devemos parar aqui

45. Cap.2 Expressôes algébricas 37

Portanto, o quociente € 5x + 5 e oresto € 3x — 1 &
Observagäo. O processo de diviso acima nos permite esereverentio aidentidade em R

Se 3x44= (0 ar DS + 5) 301

ou entäo

Esta última igualdade só vale para os x reais que náo anulam os denominado-
res, ou seja, para todo x tal que x x + 1 #0. Aprenderemos mais tarde ($13(C)) como
achar tas x. No caso presente, verifica-se que nenhum x anula o denominador, de modo
que a última igualdade € uma identidade em R.

Daremos a seguir um outro exemplo, em que a divisäo é exata, isto é, o resto €
0. Desta vez, apresentaremos apenas o dispositivo prático, deixando para vocé a tarefa
de entendé-lo.

Exemplo 7-11. Divida8x'+ 16x21 - 2 por 2x? -3 +x

Resolucao.

= 6x'+ IL +16x~21
6x'+ 3x’ 9x

14x'+ 77-21

147x421

0

Portanto, o quociente € Ar! 3x + 7 € 0 resto € 0. <

Observaçäo. De acordo com o resultado acima, podemos escrever a identidade em R

Sr 20-24 16021 =

2 340 3r + 7)

46. 38 PréCáleulo Cap.2

ou, para todo x real tal que 217+ x-3#0

ext =

Conforme aprenderemos no §13(C), os valores de x a serem excluídos säo 1 e
—3/2. Assim, a igualdade anterior vale para todo x real diferente de 1 € - 3/2. Assim, po-
‘demos dizer que a igualdade anterior € uma identidade em R — {- 32.1)

Exercício7-7. Di
(a) 44 3x + 6 por x + 2. @)x-3x+ 2 porx- 1

@x = 3porr +3 GO x + + 244 15 por 2 6 +4.
(e) Ix + 30° + Tx + 9 ~ 15x por + 2x— (0) 64x" - 16x’ + 1 por 4x —4x + 1.

(isto 6, dí o quociente eo resto):

Observagäo. Pode-se dividir, por exemplo, 6 + y*~ 13x*y* + Py por x? - y*. Basta es-
colher uma letra, digamos x, colocar as expressöes como soma de parcelas de poténcias
decrescentes de x, e proceder como acima, Nós náo nos deteremos nesses casos.

O processo de divisäo exposto fica mais simples quando o divisor € da forma
x a. Nesse caso, usa-se um dispositivo prático, conhecido como dispositivo de
Briot-Ruffini, que apresentamos através de um exemplo. Para dividir x + 2x'- 3173
por x 3, dispomos o dividendo em soma de parcelas de poténcias decrescentes de x, e
dispomos as expressöes como na divisäo de números, só que agora só escrevemos os co-
eficientes (os múmeros que multiplicam as poténcias de x). No caso, o dividendo se es-
creve 26 + Or - 3x? + x 3, os coeficientes sendo 2, 0, — 3, 1 e - 3. Dispomos os
números como segue:

u

‘A seguir, baixamos o primeiro coeficiente, 2, isto é, escrevemos 2 abaixo do 2.
jltiplicamos esse número pelo número na chave da divisäo, isto €, por 3: 2.3 = 6,
O número obtido é somado ao segundo coeficiente do dividendo: 6 + 0= 6, e o resultado
€ escrito abaixo desse segundo coeficiente.

47. Cap.2 Expressdesalgébricas 39

235

do pelo 6. Multiplicamos 6 pelo

Agora, repetimos o procedimento, comegan
qual colocamos abaixo do proxi:

número da chave 3, e somamos com = 3, obtendo 15,0
mo coeficiente do dividendo, isto é, abaixo do 3:

09-0=16
2 0 s 1 -3| 3
2.6 15 7
aa

De novo: multiplicamos 15 por 3 e somamos com o coeficiente seguinte 1,
para obter 46, que colocamos abaixo desse coeficiente,
pS

2 0 = 1 | 3
2 6 15 46 7
—

Finalmente, a última etapa: multiplicamos 46 por 3 e somamos com - 3, obten-
do 135, que deve ser colocado abaixo do — 3. O número 135 € o resto. Veja como fica o

dispositivo:

2 0 1 8
2 6 15 45 13
E » © À À
quociente: 2 + 6% + 15x + 46 resto
(© quociente é obtido através dos números da segunda linha, exceto o último,
135, que é o resto, Deve-se comegar com uma poténcia a menos que a do dividendo.
Entáo o quociente €, conforme indicado acima, 2x° + 6x" + 15x + 46. Portanto,

Axt 3x4 x 3 = (A+ Gx? + 15x + 46) + 135

48. 40 Pré-Cäleulo Cap?

ou, sex #3,

El Sr ne or ae,

Exemplo 7-12. Usando o dispositivo de Briot-Ruffini, efetue a divisäo de x° + 32 por
x+ 2, e em seguida escreva x° + 32 como um produto.

Resoluçäo. Procedendo como ensinamos acima, resulta:

(Note que escrevemos x + 2= x (-2).)
‘Temos que o quociente € x* - 2x + 4x7 — Br + 16, e o resto € 0. <
Portanto, podemos escrever

432 = (r+ Mix + 4x? — Br + 16) <

Exercício7-8. Efetue a divisto (isto &, dé o quociente e o resto), usando o algoritmo de
Briot-Ruffini:

(a) Des 2-4 por x3, @x+x-2porx+ 2

(9 Dex 26 +9 por + 2 Dar 1-20 porx-2

(e) De 107 - 117 ~ 251-9 por 21-5. (055 + 215 5 + 17 por s +4.

Exercício 7-9. Usando o algoritmo de Briot-Ruffini, mostre que as seguintes divisöes so exa-

tas, isto 6, o resto € nulo. DE o quociente
(Xd porx-a (x -a'porx-a (Ox-a'porx-a.
(@)x-aporx-a. (e)x-a'porx-a. (1) x dl por x - a, n inteiro positivo.
(E) Fatoragáo

Fatorar uma expressäo significa escrevé-la como um produto. Veremos alguns casos
que nos interessam. As formulas que apareceräo nos diversos casos já foram considera-
das anteriormente (na exposigäo ou em exercícios),

49. Cap. 2 Expressäes algébricas a

Caso 1. x + 2ax +a’ =(x+a)

Exemplo 7-13

(a) Para fatorar 4 + 12x + 9, observemos que 41 e que 9 = 3. Além disso, fazen-
do aparecer fator 2 na segunda parcela, temos 12x = 2.6x= 2.213 e assim,

A 1204 9= (2x)? + 2.2x.3 + 3% = (2x + 3)
= (Ga) 1= 1%,e que 12a = 2.6a = 2.60.1,

(6) Para fatorar 36a? — 12a + 1, notemos que 3
logo,

36a - 124 +

(Gay -2.64.1 + 1? = (6a - 1)?

Exercício 7-10. Fatore:

IHRE WIE-40+25. (0) 4 + 281 49%.
Wie RR (x -x4 14.

Caso 2. x + (m + n)x + mn = (x + mx +n)
Exemplo 7-14. Para fatorar x + 8x + 12, devemos achar men tais que mn =12 € m + n= 8.

Tentemos achar m e n inteiros. Como 12 tem fatores 1 e 12, 2 € 6, 3 e 4, vemos que 2e 6
somam oito, logo tomamos m = 2 e n = 6. Entio,

x4 8x4 122 (+ DOCH 6)

Exercício 7-11 Fatore:
Ware. (Order d (e Meier

Observagáo. Veremos, no $13(C), como determinar a fatoragäo de ax? + bx + c, com
#0, sem ter que fazer adivinhagáo. Adiantamos, para o momento, que ocorre a fatora-
sio em R

att br+c=ae-x)a-m) (a%0)

se e somente se A20, onde À = b?~ due. Se A = 0, teremos x; -aso contrário x, €2
sio distintos. Portanto se A < O ndo se pode fatorar ax? + bx + € (com fatores reais).
Assim, 4x? + 6x + 9 nio pode ser fatorado, pois A - 108 <0.

50. 42 Pr&Cäleulo Cap?

Caso 3.x - a’ = (x-a)(x +a)

Exemplo 7-15. Para fatorar 4 — 9, escrevemos

48-92 (27 - 3 = (2x-3)2x+ 3)
Exercicio 7-12 Fatore
WR WI, ©36- @r-1.
(X 16. ( 6427-81. (g) 16-49. (yx -y.

jo, um pequeno truque faz recair na fatoragäo anterior. Por
=D + 1)= (x DG + D + D). Agora € sua vez:

56,

Exercício 7.13 Neste exer
exemplo, a y

Wr WI Or

Caso 4. X Sa = (x - a){x + ax + =’)
Exemplo 7-16 Para fatorar 8x — 27, escrevemos

8x9 — 27 = (2x)? 3° = (2x 3)(2x) + 2x3 + 3) = (2x3) + 6x + 9)

Exercicio 7.14 Fatore:
(War Ww-2. © 125-». Ml
(91-216, (0100071. (8) 1331-278. CSS

Exercício 7-15. Fatore 512$"

Caso 5. x’ + a’ = (x + a)(x’ — ax + a’)

Este caso pode ser deduzido do anterior, bastando notar que a’ = - (— a)”, de modo que
Pra ar (~a)?)= + ae — ax a.

Exemplo 7-17 Vamos fatorar 8x° + 27:

80 +27 = (2x)" + 3° = (2x MAP — 2x3 + 3) = (2x + NAP - 6x49) <

51. Cap. 2 Expressóesalgébricas 43

Esercício 7-16. Fatore:

WU +8. (0) 80 +27 ©125+x. Wr
(Or +216. DIE. (g) 1331 +278. Ge +».
Exereieio 7-17 Fatore:

@v+1 CHEN (a +512.

Observaçäo. Dada uma expressäo polinomial, se substitufmos x por um número, obte-
mos um número real, chamado valor da expressáo nesse número. Assim, se a expressäo €
3 -2x+ 1,0 seu valorem x= 1 63.1*- 2.1 + 1 = 2. Eo seu valor para x= 0 1, como
vocé pode ver. Um número no qual a expressäo se anula é chamado de raiz da expresso
polinomial. Assim, 1 € raiz de 2x° - 4x + 2, pois 2.1°- 4.1 + 2 = 0. Ou seja, 1 € raiz da
equaçäo 2x — 4x + 2 = 0. Se a gente conhece uma raiz de uma expressäo polinomial, hä
possibilidade de comegar a fatorar a expressäo. Nós vamos ver que se c é raiz de A, ento
adivisäo de A por x c € exata, isto é, tem resto 0. Entäo, dividimos A por x=c, usando,
por exemplo, Briot-Ruffini. Antes de justificar, vejamos como funciona em um exemplo.

Exemplo 7-18 Como 1 € raiz de x°- 7x + 6, pelo que adiantamos acima, tal expressäo
polinomial € divisível por x= 1. Usando o algoritmo de Briot-Ruffini, temos

1 6
j 6 0

Portanto, 1—7x+ 6 = (2 + x 6)&- 1) = (x + 3)&-2)(x- 1) onde usamos, na
última igualdade, o procedimento do caso 2. Isto se tomará fácil quando aprendermos a
resolver equagäo do segundo grau, no §13(C),

Exercício 7-18 Verifique que 2 € raiz de Y — 6X + 1Ix- 6 e em seguida fatore esta ex-
pressäo polinomial.

Para justificar a afırmagäo feita na observagäo anterior, vamos dividir a ex-
pressäo polinomial A por x - c. Temos, de acordo com resultado já enunciado na seçäo
anterior, que existem expressóes polinomiais Q e R tais que A = (x c)Q + R, sendo R=
Oou (grau de R) < (grau de (x c)) = 1. Entáo R € constante. Fazendo x= c, vemos que a
constante R € igual ao valor de A em c. Entäo, o valor de A em c € 0 (ou seja, c€ raiz de
A) se e somente se R = 0, ou seja, se e somente se A = (x — c)Q, conforme queríamos
demonstrar.

52. 4 Pré-Céleulo Cap?

La
Respostas dos exercicios do $7
71 (a) 92413. (0)2- 7x1. (©)-Qu-21v, (4) 10x? + 2x4.
72 Wr. E = 220 + Al - 46x + 20.

(@) 6x8 3x8 +2210 = 12n48 Orr (P= 1.
74 (Sim (Sim Sim. (Sim.

(e)Sim. (Sim (@Nä — (0)Nio.
GSim G)Sim (Sim (m) Sim,
(Nao. (0) Nio. (@ Sim.

15 @)x &x=0.
7.6. (aa + Sa + 10a + 10a? + Sra! + ai.
(D) a+ 6x5a + Isa + 20Pa) + 15a! + ra + af.

17 Gate. &x-2e0.
(Ox-le4r-6. (12 + 2x + 5 e 24-5.
© 3e +5 -7x+4e-8r+ 13. (D 16! + 168 + 122 +4r+ 100.
78 (a)3x+7e17. (Da-le0 Gx-dx+Be-7.
(Wa [phone]. (SF+T+5el6 Mir Arsch.
79 (rra Gérard Ortner
GO tartar + ax + Ga + at + + ae +atr+ ai
Ora TS
70 (@) x42) (9x5. (+n.
@a-ry, (©) Gr 1). DS
TAL Hard. AFA (ADA
(06-062
712 (0) SA, (0) Gr 34+ 3). © 6-06 + 9).
GG Dern, OH +4) (D 829/87 + 9.

(4-794 +79. 0) = +»)

53. Cap. 2 Expressoes algebricas 45

TAS (AMADA (D) (1-30 + 31 + 9)
© =D + 20 + 8 + 16).

TAK (2) Gx-HOL +644). MA Dar ++). @(5-005+ 541).
MAR Da (HL DIE + 102+ 1)
(2) (11 ~3s(121 + 335 + 95%). Ch) (x)? + ay +97).
(2-94 + 25 + °)(64 + 85° +59,

(a) Gx + DO - 6x44). (0) 2x4 Dar 6x4 9). OS +225 - 5x +
(Aa D). RR -6r+ 30. (Oz + 1100 102 + 1).
(11+ 39,021 335498, MENE
(90% Dot = + D). (b) (x4 + DGS = x4 + D.

(©) (x + Dir - 2x + Na Bx? + 64).

(x= D 2Mx 3).

§8- EXPRESSOES RACIONAIS

(A) Adigáo e subtragáo

E muito simples efetar o seguinte cálculo:
2 St _2-5x*

pois o denominador sendo o mesmo das duas fragdes, basta subtrair (no caso) os nume-
radores, conforme já aprendemos. E quando os denominadores säo desiguais? Também
sabemos como agir, pois como vimos($6(D)), temos

a,c_adtbe

bod ba

Assim, temos
2 Sx ARA)
aw +2xel (7 =DQ? +2x +1)

54. 46 Pré-Céleulo Cap.2

Quando se trata de soma de números racionais, vimos que este procedimento
no apresenta um resultado mais simples. O nosso procedimento foi de achar o mme
dos denominadores, para ser o denominador comum. Quando se trata de expressóes
como anteriores, o procedimento é análogo, havendo um paralelo muito forte entre ex-
pressdes desse tipo, ditas racionais, e números racionais.

Exemplo 8-1 Efetue

Resolugáo. Inicialmente, tentamos fatorar os denominadores:

daD 2+2x+ Leet 1?

Cada fator encontrado, por no poder ser mais fatorado, € chamado de irredu-
tível, e faz o papel de fator primo na decomposigäo de um número inteiro (um fator irre-
dutivel náo € necessariamente da forma x + a; por exemplo, x7 + 1 é irredutivel, pois no
pode ser fatorado em R, como aprendemos no parágrafo anterior). Vamos agora achar 0
mínimo múltiplo comum (mme) dex? - 1 ex? + 2x + 1. Continuando com a analogia, de-
‘vemos tomar os fatores irredutíveis comuns e náo comuns, afetados de seus maiores
expoentes, e multiplicá-los, para obter o mmc, Detalhemos isto.

+ Fatores irredutiveis näo-comuns dos denominadores x — 1 e x + 2x + 1 : s6 existe
um, que € x 1, o qual está afetado do expoente 1 (quer dizer, está elevado a 1). Portan-
to, devemos tomar x= 1 para construir o mme.

+ Fatores irredutíveis comuns dos denominadores x? - 1 e x? + 2x + 1: s6 existe um, que
€ x + 1. Ele aparece com expoente 1 como fator de x — 1, e com expoente 2 como fator
de x + 2x+ 1. Portanto, esse fator, afetado do maior expoente, € (x + 1)°. Portanto, deve-
‘mos tomar(x + 1)? para construir o mme.

+ Omme dos denominadores x*~ 1 e x + 2x + 1 € entäo (+— 1)(x + 1). Este será o de-
nominador comum.

Procedemos como no caso de números racionais. Examinemos cada parcela
separadamente:

_ Axt)
G=DG +) G-DG+#I

55. Cap. 2 Expressóes algébricas 47

O que fizemos foi multiplicar numerador e denominador por x + 1, justamente
6 fator necessário para fazer aparecer o mme no denominador. Vocé pode também pro-
ceder assim. Escreva o mme no denominador da última fraçäo. Dividindo esse mme
pelo denominador da fraçäo do meio, a saber, (x 1)(x + 1), obtém-se x + 1, o fator aci-
ma referido.

Repetimos o procedimento com a segunda parcela.
5x st Si)
Pal (eel DAA

Agora, com as duas parcelas reduzidas ao mesmo denominador, basta somar
os numeradores:

5 rel) SD
2 42x41 Gl)
ARS (RD) 2x #22 58 +5xt ”
G-DatD DAA

Observagáo. O cálculo acima foi feito separadamente para cada parcela, mas isto deve
ser evitado, para nao alongar desnecessariamente a resolugäo. Assim, escreveremos di-
retamente

w 9 Sx! ret) SI
a DGA GH) DGA DA
Ax+l-Sx'x-1)_2x+2- 52° 45x
Dar DAD

Exemplo 8-2 Efetue

x 26 x 2x

56. 48 Pré-Cáleulo Cap.2

+ Fatores irredutíveis comuns dos denominadores: só existe um, que € x. O maior expo-
ente que afeta x € 2, logo tomamos x” para formar o mme dos denominadores.

+ Fatores irredutiveis näo-comuns dos denominadores: só existe um, que € x — 2. O
maior expoente que afeta x - 2 € 1, logo tomamos x ~2 para formar o mme dos denomi-

nadores.
+ O mme dos denominadores é entäo x{x- 2).

Procedendo como no exemplo anterior, de maneira abreviada(esperamos que

vocé entenda as passagens), vem
E. ® 3 2d 1-2 x

3x

2

1 E à
(2 (1-2 (x-2

2x? dx tala 20

Exercício 8-1. Efetue:

en
eek, 0
ata a
x =,
D - o
a te
waxes ms

(B) Produto e quociente

Exemplo 8-2 Conforme estudamos no $ 6(E) e(F), temos:
2x-1 x _ Qr-l)x

O eel + een
25-1
a x+l_ xDD)
Fi Gen

+ = 5 5 +
FR 0-9 Fady Ra-2 Fa-9 a2

a

3x
YU»

1-2

57. Cap.2 _ Expressdes algébricas 49

Observagáo. A identidade em (a) é em R - (-1), e a identidade em (b) € em R - (0).
De agora em diante, deixaremos de indicar onde é válida uma identidade, pois estamos
interessados apenas em exercitar cálculos.

‘Vamos aproveitar a ocasiäo para nos exercitarmos mais em fatoragäo. Pedire-
mos entäo que seja efetuada uma operagäo do tipo acima, porém simplificando-a sem-
pre que possível. No exemplo anterior, näo se pode simplificar mais, mas nos seguintes,
isto é possível.

Exemplo 8-3

xt] EE | xr4
54 (HD? AA DAD

Kl +240 re,
x +1 (Dt) eel

Exercício 8-2 Efetue e simplifique:

0)

ma a

Respostas dos exercicios do $ 8

a +3x+l 6x a? 5x4
a aH aer © (= 2) 424-3)
1 E]
ao 0.
u a(x? +1) | aa de

215
Maa

8-7) wal ty’)?
x) Se

Mara): ©

58. i pie 3!
MARRON
Books

O Conjunto dos
Numeros Reais
como Corpo Ordenado

$9- Axioma de ordem
$10- Módulo ou valor absoluto
$11- Radiciagáo
(A) Raizn-ésima
(8) Propriedades
$12- Poténeia com com expoente racional

§13- Equagäo quadrática
(A) Equagées na forma incompleta
(8) _ A arte de completar quadrados
(©) Fatoragäo de uma expresso quadrática. Equaçäo do segundo grau
$14- Equagdes que recaem em equagdes quadráticas
§15- Alguns eros a serem evitados

$9- AXIOMA DE ORDEM

AAté agora vimos propriedades dos números reais que envolvem igualdade. Para exami-
nar propriedades que envolvem desigualdades, em que intervém as nogóes de maior e
‘menor, € interessante termos uma visäo geométrica dos números reais. Esta se obtém to-
‘mando uma reta, escolhendo um ponto O da mesma (origem), e uma unidade de medi-
da. A origem O representa o número 0, e 0 ponto à direita de O, distante uma unidade de

51

59. 32 PréCäkulo Cap. 3

O, representa o número 1, conforme se ilustra na Figura 9-1. Marcando pontos à direita
de O através de sucessivo uso da unidade de medida, obtemos pontos que representam
2, 3,4, etc. Tomando os simétricos dos pontos em relaçäo a O, teremos os representan-
tes dos números —1, -2, -3, 4, etc, Obtemos uma graduaçäo da reta, como se fosse um
termómetro. Uma reta, com uma graduaçäo desse tipo, € referida como eixo.

a e P

Figura 9-1

Suporemos todos os números reais representados sobre essa reta. Por exem-
plo, na referida figura, o ponto P representa 3/2, e o ponto Q representa ~3/2. Usaremos
a seguinte nomenclatura!

$ y Seonémer ral x € repretetu pelo pont € amado coordenada de.
1 Dix-se também que P tem coordenada x.

Exercício 9-1. Desenhe, em uma reta, os pontos A, B, C, D. E, que representam, respectivamen-
te, os números 5/2, -2, 3/5, -1/4, -5/2. Portanto, usando a nomenclatura introduzida, pede-se
que sejam desenhados os pontos A, B, C, D, E de coordenadas 5/2, -2, 3/5, -1/4, -S/2, respect
vamente.

Por essa representaçäo, estamos separando o conjunto R dos números reais
em trés conjuntos: o conjunto(0), o conjunto P dos números representados à direita de
0, chamados de números positivos, e o conjunto dos números representados à esquerda
de O, chamados de números negativos, cada um sendo o oposto de um número positivo.

A soma e o produto de números positivos € um número positivo. Por exemplo,
2+3=5,25=10.

Dados os números reais distintos a eb, se o representante A de a está à esquer-
da do representante B de b, dizemos que a € menor do que b, € indicamos a < b, ou,
equivalentemente, dizemos que b € maior do que a, e indicamos b > a (Figura 9-2).

ab monor do que br a<b
Dé mar do que a >a

Figura 9-2

60. Cap. 3__ O conjunto dos números reais como corpo ordenado s

De um outro ponto de vista, podemos dizer que b > a significa que b ~ a posi-
tivo. Em particular, se b € positivo, podemos indicar b > 0 (pois b — 0 = b é positivo).
Assim,

b> ase e somente se b- a > 0
Do mesmo modo, se b € negativo, podemos indicar b <0, e

b <a se e somente se b- a <0

Exemplo 9-1. Para decidir se um número € maior ou menor que outro, vocé pode racio-
cinar geometricamente ou estudar a sua diferença.

+ Do ponto de vista geométrico, podemos concluir que qualquer número negativo €
‘menor do que qualquer número positivo, pois o primeiro está à esquerda do segundo.

+ Se vocé quer decidir se -1,234 € maior ou menor do que 1,235 , basta fazer a dife-
renga:
1,234 (1,235
Daf resulta

1,234 + 1,235 = 0,001 > 0

1,234 >-1,235

+ Do mesmo modo, para decidir qual dos números 4,004 e -4,002 é o maior, calcula-
mos

-4,004 ~ (-4,002) = -4,004 + 4,002 = -0,002 <0
logo,
4,004 <-4,002

‘Vamos resumir o que foi dito:

O conjunto R dos números reais está separado em très conjuntos, (0), Pe -P,
onde os elementos de P, chamados de números reais positivos, verificam:

Se a e b estáo em P, entäo a + be ab também estäo em P.

O conjunto -P € formado pelos opostos dos números de P. Os elementos de -P
säo chamados de números reais negativos.

61. 54 PréCáleulo Cap 3

ca que b— a é positivo, Nesse caso, escreve-se também a < b (lé-se “a € menor do

Se a e b sio números reais quaisquer, b > a (lé-se “b € maior do que a") signifi-
que b”)

Exercício 9-2 Complete com o sinal > (maior do que) ou com o sinal < (menor do que):

(3.5. (0) 10 2. © 2-1
(QD 6. O2. 4: 0-20 ...-19.
@-10.... 0. (9-2 (32.0.

01.9.5. 13.13.

Decorre de propriedades anteriores que:

£ + O produto de um número positivo por um negativo é um número negativo.
+ O produto de um número negativo por um negativo € um número positivo.
Introduzimos a seguinte notagdo:

£ a2bsignificaa>boua=b.

a<bsignificaa<boua=b.

Assim, x2 0 significa que x > 0 ou x = 0. Esta notagäo causa por vezes estra

nheza ao aluno, quando usada, por exemplo, do seguinte modo: 2 > 0. Isto está correto,

pois o que está expresso € que o número 2 ou € maior do que 0, ou € igual a 0. Claro, a

ültima afirmagio náo ocorre, mas isto nño impede que se escreva 2 > 0.

É Convençäo. Se a < x e x < b, costuma-se combinar isso escrevendo a <x <b.
Significado análogo tém as expressdes a $15 b, a $x<b, a <x£b.

Quando aparece um dos símbolos <, >, < ou 2, fala-se em desigualdade, em
contraposigäo ao caso em que aparece =, quando se fala em igualdade. Assim como na
igualdade, fala-se em primeiro membro e segundo membro. Portanto, em a <b, a € 0
primeiro membro, e b é o segundo membro.

As desigualdades a $ be c $ d, ou quaisquer outras obtidas delas por substitui-
‘do de um dos símbolos < por <, säo ditas de mesmo sentido. A mesma nomenclatura €
usada para a2 be c2 d.

Portanto, as desigualdades x < 3 e y $4 säo de mesmo sentido, o mesmo ocor-
rendo com as desigualdades x > 2 € y 2 3.

As seguintes propriedades säo de fácil verificagáo:

62. Cap. 3 O conjunto dos números reais como corpo ordenado ss

des: a<b,
(b) Transiti

[ (a) Tricotomia, Sendo a e b números reais, ocorre uma única das possibilida-

As seguintes propriedades envolvem desigualdade e soma:

E (a) Em uma desigualdade, pode-se somar um mesmo número a ambos os mem-
bros,

(b) Desigualdades de mesmo sentido podem ser somadas membro a membro,
prevalecendo o sinal < ou > caso eles ocorram.

Exemplo 9-2
(a) De acordo com a propriedade (a), temos:

+ Sea+b<3entioa+b+y<3+y <
+ Se3+v2xentdo3 +v—z2x-2, <

(6) De acordo com a propriedade (b), temos:
Sea+b<4ea~2b <5, podemos somar membro a membro essas desigualda-
des para obter

a+b+a-2b<4+5 + 2a-b<9 <
Analogamente, podemos somar membro a membro as desigualdades
2723 e 2>1

para obter

x+y+2>34+1 x+y+2>4 <

Gragas A propriedade (a), podemos passar uma parcela de uma desigualdade
de um membro para o outro, desde que mudemos o sinal da parcela, isto €, tomemos o
posto dela. Por exemplo, se a + b <c, somando —b a ambos os membros, resulta a + b-
b<c=b, ou seja, a <c—b. Destaquemos:

$. Emma dsg, pods sar ma pra e um entre prom
tro, desde que tomemos seu oposto.

Examinaremos agora propriedades das desigualdades envolvendo produto,
Um exemplo nos ajudará a entender. Temos 7 < 12 . Escolhamos um número positivo,
digamos 2. Se multiplicarmos ambos os membros, obteremos 2.7 < 2.12, ou seja, 14 <
24, o que € verdade, Se tivéssemos escolhido um número negativo, por exemplo 2, te-

63. 56 Pré-Ciilewo Cap 3

ríamos 14 e -24, e como -14>-24, vemos que a desigualdade muda de sentido. Isto já
é um aviso de que näo podemos multiplicar uma desigualdade por um número qual-
quer e esperar que ela mantenha o sentido. Por exemplo, se x < y näo podemos escre-
ver ax < ay. Bis o resultado correto:

positivo, ela mantém o sentido. Se multiplicarmos por um número negativo, ela

Se multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por um número
muda o sentido.

Vejamos como se pode demonstrar a primeira parte. Nao é nosso costume fa-
zer isto, porém no caso isto vai ser esclarecedor. Vamos supor que a > b. Isto quer dizer
que a—b > 0. Entäo, se c > 0, temos que cía — b) > 0, pois o produto de números posit
vos é um número positivo. Entäo ca — cb > 0. Mas isto quer dizer que ca > cb. Ou seja,
provamos que se a > be c > 0, entáo ac > cb. É claro que se tivéssemos partido de a> b,
chegaríamos a ac > be.

Exercício 9-3. Verdadeiro ou falso? Quaisquer que sejam x,

(a) Sex > y emtáo 2x> 2: (by Se xy emtio 2x s ay
()Sex<yentiox+3<y+3. @)SexSyentio—r2—
(e) Sex <0entdo-21>0. (Se x> De y <Dentdo.xry <0.

A propriedade anterior nos permite resolver desigualdades tais como 2x <3,
quer dizer, achar quai

Exemplo 9-4
(a) Resolva a desigualdade 2x <3, sto 6, determine todos o tis que 2x < à.
©) Resolva a desigualdade -2x < 3.
Resolugáo.
(a)Multiplicamos, membro a membro, «desigualdade por 1/2 o inverso de 2), que é post
vo par ober

fares 2 sel

a2 2
(0) Para resolver-2r-<3, multiplicamos ambos os membros por —1/2 que sendo negativo,
invente o sentido da desiguldade:

64. Cap. 3 O conjunto dos números reais como corpo ordenado 57

ATENÇAO. Ao resolver uma desigualdade do tipo 5x2 3 + a (a é considerado dado),
acontece As vezes que ao se multiplica por 1/5, apenas o 3 € multiplicado:

Lsxzlsta à x23+a 5
gan à 225 (ERRADO)

Vocé descobriu por que está errado? É que quando se multiplica por 1/5 o se-
gundo membro, deve-se multiplicar todo o segundo membro, e näo s6 a primeira parce-
la3. Eis o procedimento correto:

Level era) ae
gore Gre) ın a

Exemplo 9-5 Resolver 2x + 168.

Resolugdo. Temos 2x > 8- 16, ou seja, 2x>-8,¢ dat > ~4 <

Exercício 9-4. Resolva as desigualdades (na incógnita x):

W1%-2>59 II (@)4—x220~5.
()191+52=3x (DI=x+2359. War<-arl. (Mar-2arza

Pela propriedade anterior podemos escrever que supondo c > 0, temos que se
a <bentäo ac < bc. Suponha agora que tenhamos ac < be, e que c > 0. Será que podemos
cancelar ¢ para concluir que a <b? Vejamos: a desigualdade ac < be € equivalente a ac —
be <0, ou seja, a (a— be <0. Como c > 0, entäo para que o produto seja negativo deve-
mos tera — b <0, ou seja, a < b. Com raciocínio semelhante pode-se provar que se ac <
bee c<0, o cancelamento de c inverte o sinal da desigualdade, Combinando isto com a
propriedade anterior, podemos afirmar q

{+ Suromac>0.Entoa<bseesomente ac be
+ Suponha c < 0. Entáo a <b se e somente se ac > be.

65. 58 PréCáleulo Cap. 3

Respostas dos exercicios do §9

91 Figura 93.
a Do © A
Arte
STE Dae alien eee ehr
Figura 9

92 (©), (h),(0):>. Os estantesitens: <

23 (9v OF Ov Ov ou OV.

94 @xr>1im. Œx214 (©)x<53. (dxs3. (Ox2-522. (x27,
(@Sea>Ox<1Pa; sea=0:qualquerx ésolugdo; sea <0: > Ra

(ty Sea>0:x<-1; sea=O:qualquerxé solugio; sea <0: x21

§10- MODULO OU VALOR ABSOLUTO

‘Vamos apresentar agora a nogáo de módulo de um número real, também chamado de va-
lor absoluto. A fim de motivar a definigäo, considere o número 3, e sua representaçäo P |
na reta (Figura 10-1), ou seja, P € o ponto de coordenada 3.

3 unidades
a o fa
+ |
IATA 0 1 2 3 4
3 unidades.
Figura 10-1

A distancia de PA origem O, na unidade de medida da graduaçäo da reta, €3.
Vamos indicar esta distancia por 13 Entäo, 31 = 3. Considere agora o ponto Q, que re-
presenta o número 3, ou seja, Q o ponto de coordenada -3. Sua distancia à origem O
também € 3. Indicamos esta distancia por I-31. Assim, 1-31 = 3. Em geral, se x € um nú-
mero real, distincia à origem O do ponto que o representa será indicada por xl
Assim, 171 =

66. Cap. 3 O conjunto dos números reais como corpo ordenado 59

Esses exemplos ilustram o seguinte: se a 2 0, entäo a distancia à origem O do
ponto que representa a € a. E se a € negativo, tal distáncia € —a. Esta última afirmagao
em geral nao € bem entendida, porque a gente acha que devido ao sinal -, o número —a &
negativo, Nao! Veja: se a = -7, entáo ~a = -(-7) = 7. Uma vez esclarecido este ponto,
vamos designar pelo símbolo lal a distancia à origem O do ponto que representa a (ou
seja, do ponto de coordenada a). Em suma:

f sa se a20 (0

La se a<0
€ lal recebe o nome de módulo ou valor absoluto de a.

Exercício 10-1 Calcule:
QUA OI. EOL HS. (120

As seguintes propriedades decorrem de (4):

+ lal20 e lal = 0 se e somente se a = 0
a lal
+ labl = lal Ib! IS
eseba0 ile
+ Fais lai
+ lol = at (+)

Exemplo 10-1 Se li =m, onde m2 0, isto quer dizer que o ponto de coordenada x dista
m da origem O, ou seja, ou x = m ou x = -m.

+ Assim, resolver a equagäo ld = 3 € muito fäcil: x = 3 ou x = -3. Escrevemos, abrevia-
“damente, x = +3. O conjunto-solugäo da equagäo dada € {-3.3).

+ Pata resolver a equagdo IAx-5l= 4, escrevemos 3x 5 = 4, portanto 3x = #4 + 5, e da
(44 + 59/3, ou seja, x = 3ou x = 1/3,

Exercício 10-2 Resolva a equagdo, em cada caso:

DL ()h=5=2. (Olr-4=6. (@)16~3xi= 10.
ls O-2E @Bxell=k-2. Ke Dlx 2120

67. 60 PréCáleulo Cap. 3

Exemplo 10-2 Para resolver a desigualdade Lxl <m, onde m € um número positivo, isto
para achar os valores de x tais que ll < m, vamos pensar do ponto de vista geométri-
co. Marquemos os pontos A e B de coordenadas ~m e m, respectivamente (Figura 10-2),
os quais sáo simétricos em relagáo A origem O, e imaginemos x como a coordenada de
um ponto P. Entäo Ix! < m quer dizer que P dista menos do que m de O, ou seja, P está
entre A e B. Isto quer dizer que -m <x < m.

+ Assim,resolve-se a desigualdade xl <4 imediatamente, pois ela equivale a~4<x <4.
+ Resolvamos agora a desigualdade 15x + 41 < 6. Ela equivale a—6 <5x + 4 <6. Subtrain-
do —4 em todos os membros, resulta —10 < 5x < 2 . Dividindo todos os membros por 5
vem, finalmente, -2 < x < 2/5. (Só para ter certeza de que vocé está entendendo o que
está fazendo, reforcemos que resolver a desigualdade 15x + 41 < 6 significa achar todos
os x que a verificam. Nós obtivemos a resposta: so aqueles que verificam 2 < x < 2/5.)

A oP 8
A
EA
Figura 102
Exercício 10-3 Resolva as desigualdades, em cada caso:
(il. (@)Mx-41<10, Br.

(SA <4, @k-2<2 DBx+41<2.

Exemplo 10-3 Queremos agora resolver uma desigualdade do tipo lx > m, m um né
‘mero positivo. Como no exemplo anterior, marquemos os pontos A e B de coordenadas
m em, respectivamente (Figura 10-3), os quais sio simétricos em relaçäo A origem O, e
imaginemos x como a coordenada de um ponto P. Entáo Lal > m quer dizer que P dista
mais do que m de O, ou seja, P está esquerda de A ou direita de B. Isto quer dizer que
x<-moux> m.

68. Cap. 3 O conjunto dos números reais como corpo ordenado. gl

A 1
Pa o 8
x m y m
—— 7; —
Figura 103

+ Assim, resolve-se a desigualdade Ix! > 5 imediatamente, pois ela equivale a x <-5 où
x5.
+ Resolvamos agora a desigualdade I3x + 412 6. Ela equivale a 3x + 45-6 ou 3x + 42
6. A primeira € equivalente a x < -10/3 e a segunda a x > 2/3. Portanto, a desigualdade
proposta tem como conjunto-solugáo o conjunto formado pelos x tais que x < 10/3 ou x
228.

Exercício 10-4 Resolva a desigualdade, em cada caso:
@Mr-4122 r+5>2 @-423. @ir-3l>-1.

Registremos os resultados obtidos acima:
Seja m > 0. Entäo:

«Ilm see somente se -m <x <m.
+ Ixl > m se e somente se x <-moux> m.

Estas propriedades podem ser demonstradas a partir da definiçäo de médulo.

Näo podemos deixar de mencionar a seguinte importante

Propriedade Triangular. Quaisquer que sejam os números reais a, be €,
tem-se

la+ bls lai + Wi

Observagáo. Sea=-4,b= 1, temos la + bl= 1-4 + 11= 1-31 3. Por outro lado, lal= 1-41

4. Ibl= ILI = 1, logo lal + [bl = 5. Como 3 < 5, vemos que nesse caso particular, temos
la + bl <lal + Ibl. Agora vocé deve estar se perguntando se existe um caso em que la + bl

lal + Ibl. Podemos descobrir quais so esses mimeros. De fato, como os números
envolvidos säo maiores ou iguais a zero, a Última igualdade € equivalente à seguinte:
la + BF = (lal + Ib), ou seja, la + DP = lal? + 2lallb + Ib”. Usando (4), temos (a + by
a + 2labl + D, ou seja, a? + 2ab + b? = a? + 2labl + b?, de onde resulta ab = labl. Por defi
nigäo de módulo, isto significa que ab 2 0. Assim,

69. 62 PréCáleulo Cap3

£ la + bi = lai + lbl se e somente se ab 2 0.

Exercício 10-5. Ve

ro ou also?
(0) la € sempre negativo,

(@) lal = a, para todo area.

(© lab <a, para quaisquer ab eas
(0) t= la = a, para todo a real

lab tal Il, para quaisque ab reais.

(a) al € sempre positivo.
(€) la pode ser nulo.

(€) lab = lable, para quaisquer a,b,c reais.
(2) la + bi = lal + D, para quaisquer a,b reais.
(1-2) + dl = 2 + lel, para todo € <0.

Respostas dos exercicios do $10

101 (912. DE (©)10. (ais. 25.
10-2 O conjunto-solugäo, em cada caso, €
MES. 067. OF15). (048,163)
(e) conjunto vazio. 00 Warm. wer.
103 (W-1<x<1 (0) 617. <x<2, (0) 419 <x <-219
&@-WS<r<1. @nioexitex (D-2£x<-23.
104 (xs 12oux232. (bx<-Toux>3
()xS=1/40ux25/4. (Oxreal qualquer.
105 GE WE CM (E OV.
OF. @E th) Y. @“. GE.

§11- RADICIACAO

(A) Raiz n-ésima

+ É dado o número real

Este problema poderia ter um cunho geométrico, se colocado nos
termos: determine o comprimento do lado de um quadrado cuja área vale

eo número par
seguintes duas condiçôes: a 2 0 e a? = 16? Voc® já adivinhou que
16. Indica-se 4 = +16, e se 18 “4 € a

iz quadrada de 16”.

quadrados. A resposta é: o lado do quadrado mede a = „16 =

. Qual € o número a que verifica as

4, pois 420 e 4

seguintes
16 metros

metros.

70. Cap. 3 O conjunto dos números reais como corpo ordenado 8

Voltando ao problema inicia, note que existem dois números cujos quadrados
valem 16. Eles säo 4 e ~4 (pois (-4) = 16). No entanto, apenas um deles, a saber 4,
merece o nome de raiz quadrada de 16, € justamente 4. Em geral, pode-se mostrar que se
> 0 € um número real, entáo existem exatamente dois números reais que elevados ao
Quadrado dio b. O positive € chamado de raiz quadrada de b, €indicado por Vb. (O ou-
to número é - Vb.) Portanto, (Vb)? = b. Assim, existem dois números cujos quadrados
valem 36, que sao 6 e ~6. O positivo, a saber, 6, € chamado de raiz quadrada de 36,
dicado por /36, ou seja, 6 =/36. Se b = 0 , existe um único número que elevado ao qua-
drado dä 0, que € o próprio 0. Por definigäo, V0 = 0.

Exercício 11-1 Determine a raiz quadrada dos seguintes números:

«4. œst ol wo. CE
Exercício 11:2. Verdadeiro ou falso?
(a) V9 = ©) 69) ()49=23.

(@) A raiz quadrada de um número positivo € sempre um número positivo.
(9 Se 6 20, existem dois números que elevados ao quadrado sio igusis a b.

ATENCÁO. Considere os seguintes problemas:
(1) Determine um número cujo quadrado € 25.
(2) Determine a raiz quadrada de 25.
Para resolver (1), chamamos um número x que resolve o problema ,e impomos

¡sto &, (x 5)(x + 5) = 0, logo ou x 5 = Oou x + 5=0, de modo
que ou x = 5 ou x = -5. O conjunto-solugáo € (-5,5).

Resolvamos agora (2). Pede-se para achar /25. Conforme aprendemos, /25
logo o conjunto-solugäo desse problema € (5).

Esperamos que fique claro que se trata de dois problemas distintos, com solu-
ges distintas. Poderíamos ter resolvido (1) assim: x° = 25, logo x = + 25 =+5.

Observagáo, Quando se pergunta quanto dé Vx”, a resposta quase sempre € x, ou seja,

escreve-se Vx" = x. Será que essa igualdad é verdadeira? Vamos experimentar. Se x

—6, ela diz que \(-6)° = -6, o que evidentemente está errado, pois 4-6)
Vamos mostrar que a fórmula correta €

71. 64 PréCáleulo Cap3

De fato, vx" € por definiçäo o único múmero positivo ou nulo que elevado ao
quadrado dá x2, Como já vimos (parágrafo anterior), ll? = € e ll 20, logo Vx"

Exercício 11.3 Verdadeiro ou falso?

=.

@ vx

(0) 49 podeser=7. (Oil = li para todo x real.
=xsex20 Man’:
Exercicio 11-4 Resolva a equaçäo na incógnita x, em cada caso:
&@Gx-1)225. War (©) Gx- 1) = (42).

= x para todo xreal. (©)

+ Podemos repetir o que vimos acima, tomando » = 4. Por exemplo, se b = 32, existem
exatamente dois números que elevados à quarta poténcia dio 32, Eles so 2e-2, pois 2*
= 16 (-2)'= 16. O positivo, a saber 2, é chamado raiz quarta de 32, e indicado por 4/32.
Assim, 4/32 = 2. Estamos agora preparados para receber a seguinte definiçäo:

Seja b 2 Oum número real e n > 1 um nteiro par. Chama-se raiz n-ésima de b
20 número a 2 0 tal que a” = b. Indica-se a = VB. b é chamado de radicando, | é0
radical, en 0 índice .

Quando n = 2, no se escreve 0 índice no radical, Pode se provar que nas con-
digdes acima, existo raiz n-ósima b, e que se b> 0, existem eratamente dois números,
a saber, Ube Vb, que elevados an do D. Se b= 0, existe apenas um número, o pröprio
0, que elevado an dá 0. Portanto, V0

Decorre da definigäo que

Exercício 11.5. Calcule:

(9 OI CAGE Wr.
+ Dado um número real b qualquer, e sendo n > 1 um inteiro fmpar, pode-se provar que

existe um único número a tal que a” = b.

E. Seate Pomaloenpel name ep to éme a que
a = bé chamado de raiz n-ésima de b. Indica-se a = Vb.

Decorre da definigäo que
€ dy =

b

72. Cap. 3 O conjunto dos números reais como corpo ordenado 6

Como ilustragäo, temos:

W=

pois 2 = 8.

vs pois (-2) = -8.

Exercício 11-6 Caleule:
(a) 927. OT. NAL. (Mía. (e) YO,

Exercício 11-7 Decomponha 729 em fatores primos, e extraia a raiz sexta de 729, isto é, calcu-
14/729.

Exereicio 11-8 Decomponha 13824 em fatores primos, e extraia a raiz cúbica desse número.

(B) Propriedades

‘Valem as seguintes propriedades, para n , p, m inteiros, n >1, m >

Vab = Vas
e (#0)
Gay =a"

Wa ="la

com a ressalva de que, sen é par, entäo a 2 0 e b > 0, e a # 0 se m <0.

Exemplo 11-1
(a) 35 +295 - V5 =(3+2-1W5 =445.

CRE
Oo =.

Exercício 11-9 Simplifique:

OS

73. 65 PréCálulo Cap. 3

ATENCÁO. Muitos gostariam de acrescentar As propriedades acima o seguinte:
a+b = Va +Vb. Mas isso € falso. Em geral,
Va+b eva tid

Veja:
N9+16 = 25 = Se V9 =3, V16 = 4. Claramente, /9+16 #9 +V16.
VT+YT=141=20V1+1=8/2, Claramente 2 # V2, ou seja, VT + VT # V1 +1.

Exemplo 11-2 Para facilitar cálculos, as vezes quer-se eliminar radicais que aparecem
no denominador de uma fraçäo. Esta operaçäo € conhecida como racionalizagäo,

+ Para racionalizar 1/VZ, multiplicamos numerador € denominador por V2:

a
Y
+ Para racionalizar 1/(/11+4/5), multiplicamos numerador e denominador por

Vil - V5, chamado de conjugado de Y11 +-/3. Lembrando que ab? = (a--b){a +),
vem

1 1 Vit-V5___vir-v5
Mas Vii+V5 VVS Wily 5
Ji-vs _ YM WS

mes 6

+ Queremos racionalizar 1/G/x — V2). Para obtermos um procedimento para isso, ree-

xaminemos ocaso acims, Usamos a relagio a = (a ba + ). Fazendo a= V1 eb
VS vem AID? 5 = 1 VS) + V5), ou se,

6 = M/S + V5)

de onde resulta,

1 TERA

vies 6

‘Tentando imitar o processo, partimos, para o caso proposto, da relagäo a? — 6°
(a — bla? + ab + 5%) ($7(D)) e fazemos a = Vx, b = V2. Como a’ = (Vx = x, D =
(2) = 2, resulta x= 2 = Wx V2) Waxy? + Vx V2 + (27) e dat

74. Cap. 3 O conjunto dos números reais como corpo ordenado 67

VAT +)
x-2

ou seja,
Ve ++ va
A 1-2

Exercício 11-10. Racionalize:

ons 3
5-43 NS

5 1
5
5-2 Ve Ya

E ®

Exercício 11-11 Diga qual dos dois múmeros € o maior, em cada caso:

F5 + V0
@ ar IS
Way 2 1-6
Para a próxima propriedade, € esencial supor a > 0:
| Suponhamos a > 0. Se q e n säo inteiros maiores que 1, tem-se

Em palavras, vocé pode dividir o indice do radicando e o expoente do radican-
do por um mesmo número inteiro.

Assim, 912° =4)2" = 2 (dividimos 12 e 6 por 6).

4/37 (dividimos 12 e 21por 3). Podemos simplificar mais, escrevendo
=1337 =38/27.

ATENGÄO. A hipótese a> 0 6 essencial, como jé dissemos. De fato,
4-2) =V-8 =-2. Multiplicando o indice do radical e o expoente do radicando por 2

temos 4(-2)° =V2° =2, Portanto, 2)" #9/(-2)°

LE
343°, para obter 9/3"

Obsersagáo. Sep >0,a propriedade acima vale para a = 0, como € imediato verificar,

Exercício 11-12 Simplifique:

(xa CES CLS a 2° (o) Vava.

75. 68 PréCáleulo Cap.3

— 5,
Respostas dos exercicios do §11

141 @T. 09. CIS wo. (©) No existe
12 (WR. wv. OF CM OF

13 @)V. OF. OV. OF OV OF
114 (902,3). (&) {2 +a, 2-4). (© (14,32),

115 GI on @3. (@) Este símbolo ndo foi definido.
116 (3. M3. (9-1 @2 00

17 729 = SNS =3.
11.8 13824 = 22.3 = (24)*; Vi3834 = 24.

us QE Di O8 (63 0

11-10 a AD. © E =
foes DA
(hy a

1.11 (9 O segundo, (0) primer,

uno. 02. om NBS ova

§12- POTENCIA COM EXPOENTE RACIONAL
Festes Be aa ee

Já vimos o significado de a” para n inteiro qualquer. Agora vamos estender a nogáo para
nacional qualquer. Sugestivamente, usaremos rem lugar de n, para designar um racio-
nal qualquer. Inicialmente, lembremos que r = p/g, onde p e q säo inteiros, q # 0. Pode-
mos sempre supor que q > 0. Por exemplo, se

2

podemos escrever r= (-3)/2. Vamos definir a como sendo Var, ou seja, a = Va".

76. Cap. 3 O conjunto dos números reais como corpo ordenado 6

Seja a > 0 um número real, e rum racional. Escrevendo r= p/q, pe q inteiros.

f
| q>0, definimos

Observagto. Temos um problema aqui, pois podemos escrever r de modos diferentes
como quociente de inteiros. Por exemplo, (~3)/2 = (-12)/8 = (-15)/10, etc. Entäo preci-
samos ter certeza de que independentemente da maneira que escrevermos o número ra-
cional, a resposta será sempre a mesma. Ora, para um racional qualquer r, pode-se
provar que ele se escreve de modo único na forma p/p, onde numerador e denominador
sio inteiros, a fragáo sendo irredutível, com q > 0. Fragäo irredutível quer dizer que nu-
merador e denominador näo apresentam fator comum. Se r = p/q como acima, entio
existe um inteiro positivo n tal que p = np, q = ngo. Entäo, sendo a >0, podemos escrever

a? = "ar = ar
Isto mostra que a definigäo € boa, ¡sto 6, independe da representagdo do núme-
ro racional. Note que supusemos a > 0 para poder usar a propriedade acima (último re-
sultado do parágrafo anterior).
Destacaremos o caso particular em que r= Un, n>, intiro:

Ihustremos: 2” A
As propriedades da potenciaçäo com expoentes inteiros se mantém para ex-
poentes fracionários:

Regras de potenciagäo. Sendo a um número real positivo, m en números ra-
cionais, tem-se

care gra

aya
+ (ay

77. 70 PréCáleuo Cap.3

Exemplo 12-1
AR a xd. a 11820 gy <
a a ae ae

A <

‘Voce pode deixar o resultado dos cálculos do modo acima. Se quiser, pode vol-
tar à representagio com radicais:
1 1

sits, pe LL <

©" = us 102 = <

(0 AR? = 7970 = um ja _ un aus 8 8 Sy 4
de,

CR TA <

Exercicio 12-1 Simplifique:
Wrath.
ata?)

Ay.

©

Exemplo 12-2 Podemos usar as propriedades vistas para efetuar cálculos com radicais:
(a) Para simplificar V2”, escrevemos 4/27 = 27°. Dividindo 7 por 3 obtemos quociente 2 €
resto 1:7 = 3.2 + 1, logo 7/3 = 2+ 1/3. Portanto,

YP a2 2 20 4 YT <
(6) Para simplificar /139968/3/2, escrevemos a decomposigäo prima de 139968 (confor-
me aprendemos no $6(D)) : 139968 = 2°.3”. Entäo

VE NE y gr pag

32

3232 om 32%

ES E WT <

78. Cap. 3 O conjunto dos números reais como corpo ordenado 7

Exercício 122 Simplifique
(a) VI024. (0) 15532.
CNE

Observaçäo. Uma observaçäo análoga à feita quando definimos poténcia com expoen-
te inteiro (§6(G)) cabe aqui. Vamos nos ater a um caso particular, que ilustra bem o que
acontece em geral. Se quisermos definir a?” desejando que seja preservada a proprieda-
de (a”)" = a, estabelecida para m e n inteiros, devemos ter

Dai, necessariamente, a’

Respostas dos exercicios do $12

121 (0. OL. Ora

22 (182 HZ (605.
(SL ON (g) Vab.ab*

§13- EQUACÁO QUADRATICA

ee —

(A) Equaçôes na forma incompleta

Considere o seguinte problema: determine um número cujo quadrado € igual a ele. Sen-
do x um tal número, o problema exige x’ = x. Temos entáo a equagäo x°— x = 0, na incóg-
nita x (incógnito significa desconhecido). Esta equagáo € um exemplo de equaçäo
quadrática.

E Uma equagäo na incógnita x é chamada de equaçäo quadrática se puder ser
colocada na forma ax? + bx + € = 0, onde a, b e c säo números reais, com a # 0.

Quando b = 0 ou c= 0, a equagáo se diz na forma incompleta,

79. 72 PréCálemo Caps

A equaçäo citada acima está na forma incompleta. Outro exemplo €
No exemplo a seguir veremos como tratar esse tipo de equagdo.

Axa

Exemplo 13-1

(a) Para resolver a equagño 2° = 0, colocamos x em evidéncia, quer dizer, fatoramos o
primeiro membro, com x sendo um dos fatores: x? x = x(x- 1). A equagäo dada fica entäo
x(x 1) = 0. Entäo, ou x oux O conjunto-solugáo é {0,1}.

(b) Para resolver a equaçäo 2x 0, tentamos inicialmente isolar x°. Para isso, pasamos
6 para 0 segundo membro: 2e = 6. Dat, = 6/2 = 3, logo x = 443. Assim. o conjun-
to-solugdo da eauagio 6 (- 3,3)

Observagáo. Uma equaçäo quadrática da forma ax? + bx = 0 sempre tem solugäo, pois
ela se escreve x(ax + b) = 0, logo ou x = 0 ow x = —b/a. Mas uma da forma ax + € = 0
pode ou nfo er solugäo. De fato, se 2x” + 6 = 0, entäo x = 6/2 = -3. Ora, x° 20, ao pas-
so que ~3 < 0, de modo que näo existe x real que verifica ° = -3. Logo, o conjun-
to-solugáo da equagäo nao tem elementos, caso em que € chamado de conjunto-vazio.

Exercício 13-1 Resolva a equagdo, em cada caso:

(@3e-12 Ga-20=0 Oel
@X-x=0 Dir

© @r+1
@x=-a De -2x

(B) A arte de completar quadrados

Dada a expressäo x° + 7x, vamos supor que por algum motivo seja necessário escrevé-la
na forma (x+ m)? + n, onde m en sio números a determinar. Muito simples: basta desen-
volver o quadrado na última expressäo e igualá-la à primeira, Entdo, queremos que

den

ou seja,

Igualando os coeficientes de x vem 7 = 2m, logo m = 7/2. O termo que indepen-
de de x do primeiro membro € 0, e o do segundo € m? + +n. Igualando, obte-
7/2) +n, logo n do m = 7/2 en = 49/4
na primeira expresso acima, vem

Sates (th

80. Cap. 3 O conjunto dos números reais como corpo ordenado 73

A técnica acima & conhecida pelo nome de completaçäo de quadrados. Para
que serve? Espere só mais um pouco. Antes, gostaríamos de abreviar o procedimento.
Para isso, abordemos o problema geral de completar quadrados sendo y=." + kx. Ao
vés de repetir o que foi feito, vamos dividir o coeficiente k de x por dois, para obter k/2,
esomar (4/2)? a ambos os membros:

k
o y)

de onde resulta

Portanto,

(4)

Exemplo 13-2
(a) Retomemos o exemplo inicial. Para completar quadrados em y = x + 7x, dividimos o
coeficiente 7 de x por 2, e eserevemos diretamente, usando (4):

yore

4 <

(b) Para completar quadrados em y = x2-8x, dividimos o coeficiente -8 de x por 2, obtendo
—4, e escrevemos diretamente, pelo que vimos acima:

Bx= (x= 4) (4)? = (1-4 9-16 <

fe
(© Para completar quadrados em y = ~3¥° + x, colocamos inicialmente -3 em evidéncia,

para podermos aplicar (4):

rare al

did
A

Exercício 13:2 Complete quadrados:

(mr CEE ()-4r— E.
Ox +x. (©) 48 16. ERES

81. 74 PröCdleulo Cap-3

(C) Fatoragäo de uma expressáo quadrática. Equagáo do
segundo grau

(0 dobro do quadrado de um número somado com seu triplo vale 27. Qual € o número?
Para resolver este problema, indiquemos por x um tal número, Entáo devemos ter, de
acordo com o enunciado, 2x" + 3x = 27. Para resolver esta equaçäo, isto é, para achar x
usaremos a técnica de completar quadrados. Para isso, dividimos ambos os membros
por 2, para que o coeficiente de

Como o coeficiente de xé 3/2, dividimos esse coeficiente por 2, para obter 3/4
A seguir somamos a ambos os membros (3/4)? :
dd Me
x 42x40) 27468

ae! a)

Daf resulta que

Usando o sinal +, vem x = 3, e usando o sinal =,
to-soluçäo da equagáo € (-9/2,3).

Este exemplo mostra como € útil a técnica de completar quadrados. Experi-
mente resolver o seguinte exercicio:

9/2. Portanto, o conjun-

Exercício 13-3 Um indivíduo tem um filho aos 20 anos de idade. Qual a idade do filho quando
6 produto de sua idade pela do pai valer 2247

Para evitar que se repita o procedimento acima em cada caso onde se tenha
‘uma equaçäo do tipo visto, podemos estudar a expressäo

x? + bx + ea #0)

chamada de expresso quadrática. A idéia é completar quadrados. Para isso, dividi-
mos ambos os membros por a:

,,b €
4x +°
ata

Usando a técnica de completar quadrados, somamos (b/2a)* a ambos os membros:

82. Cap. 3 O conjunto dos números reais como corpo ordenado 75

Daf, como (b/2a

emos:

E A
a 4a da’ da

A

4a

onde introduzimos o número A (letra grega, que se 16 delta), chamado discriminante,
dado por

A

(+)

Substituindo na expresso de y/a, vem

pipe,
20 4

Esta expressäo nos mostra que, se A <0, y ndo se anula para qualquer x. Lem-
brando que y = ax? + bx +c, isso mostra que a equaçäo ax? + bx + € = 0, coma #0, cha-
mada de equaçäo do segundo grau, náo tem solugäo (no conjunto dos números reais).
Depois destacaremos isso. Vamos prosseguir (nño desanime, por favor, que o mais dif-
cil passou!). Supondo, agora, que A > 0, podemos escrever A = (YA), e como da? =
a)”, resulta que Alda = (/A/2aJ, de modo que a expresso de ya fica

= & Yay,» a

a tee _
b-NA, -b+JA
e

Chamando de

En
2a

Gex), où seja,

a expressáo acima fica yla

83. 76 Pré-Cleulo Cap. 3

a)

Note o caso particular A = 0, em que x;

—b/2a. Neste caso, indica-se este
némero por Xo.

Em resumo:
Considere y = ax + bx + c, com a #0. Seja A= 5*4ac.

(a) Se A <0, y nunca se anula, ou seja, a equagäo ax? + bx + € = Ondo tem so-
lugao real.

(6) Se A>0, tem-se a fatoragäo

al)

onde

(v)
Portanto, y=0 para x = x e para x = x}, ou seja, x, €. sio as solugóes distintas

da equagäo ax + bx + € = 0.

(© Se A = Otemse a fatoragio
De ax
onde

xo= -bPa

Portanto xy € a única solugáo da equagäo ax? + bx + € = 0.
Observaçäo. Os nümeros x,, x2 € x Sio referidos como rafzes da equaçäo ax? + bx + ¢= 0,
(a 20), dita equagäo do segundo grau. Nesse contexto, x é referida como raiz dupla, ao

passo que x; e 13 S20 ditas rafzes simples; e no caso (a), diz-se que a equaçäo näo tem
raízes(reais).

Exemplo 13-3

(a) Fatorar y= 21° - 3x + 1, e dar as raízes da equagáo 2 — 3x + 1 = 0.
(6) Fatorar y = ~ 4x? + 4x~ 1, e dar asraízes da equagio dx + dx 1
(c) Quantas raízes tem a equagäo x? + x + 1= 0?

84. Cap. 3 O conjunto dos números reais como corpo ordenado 77

Resolugáo.

(a) Temos a=2,b=-3,0= 1. Entdo À = D? - 4a
raizes reais, dadas por (¥):

(3) -42.1=1>-0, logo temos duas

ET
2a

de onde resulta as raízes

(0) Temosa=-4,b=4,
uma única raiz dupla, a saber

Portanto,

ys 0 = CA

<

(e) Temos a = 1, = 1,¢= 1. Entio À = Pac

rafzes reais.

Exercício 13-4 Fatore:

(My=é-304 2 Oy=2-1lr+s.
(y= 2e—x- Yale Oy=x/6-x43.
(yde a ya rail

Observagäo. A férmula (¥) se aplica aos casos particulares em que b=0 ou c=0 vistos
na seçäo (A), de modo que se voce quiser, pode usd-la também nesses casos. Porém a
nossa experiéncia indica que nesses casos particulares é melhor fazer como ensinamos,
isto é, por fatoraçäo, porque a incidéncia de erros € menor.

85. 78 Pré-Cilewlo Cap. 3

Exercício 13-5 Um sitiante tem um pomar retangular de 20 metros por 10 metros. Ele deseja
aumenté-lo prolongando seus lados de uma mesma quantidade, de modo que a dea seja de 264
metros quadrados. Quais as novas dimensöes do pomar?

Dada a equagáo do segundo grau ax’ + bx + c = 0, a soma e o produto das raí-

zes podem ser achados sem calcular esas rues, De fao, usando (9) vem
“be mb VA _—b+VA-b-YA_ 20
2a 2a 2a 2a

(oy Way „WA
2a2a aa

Portanto:

Relagúes de Girard. Se x, e x; sio as rafzes da equago do segundo grau ax? +
bx + e= 0, entio

mn

Exemplo 13-4 Considere a equaçäo 2x + x-5

(a) Mostre que ela tem duas raízes reais pe q.
(b) Calcule p + q e pg sem calcular pe 4.

(©) Calcule p + q.

(4) Calcule p° + q”.

Resolugáo

(a) Como A = 1?- 4.2.(-5) = 41 > 0, a equagäo tem duas raízes reais. <
(b) Usando as relagóes acima temos que

pea

86. Cap. 3 O conjunto dos números reais como corpo ordenado 79

(©) Temos

(d) Temos

eo
a

Exercício 13-6 Repita o exemplo anterior para a equaçäo x ~ (V3 Dx -V3 = 0.

Exercício 13-7. Considere a equaçäo (na incógnita x) — Gmx + m
ro real.

, onde m #0 €um néme-

(a) Mostre que ela tem sempre duas rafres reais
(0) Calcule soma € o produto das raízes.
(© Calcule a soma dos quadrados das razes.
(4) Calcule a soma dos inversos dos quadrados das raízes (1/p" + 1/47).
(e) Calcule soma dos inversos dos cubos das raies

‘Vamos supor agora que x; € x, so números cuja soma S seja conhecida, bem
como o seu produto P. Entäo x, e x, sio raizes da equagäo x" — Sx+ P = 0. Isto € fácil de
provar. De fato, temos

xtmes

xmas P
Da primeira vem x, = $ — x, que substituído na segunda fornece (St = P,
dat resulta facilmente que x,’ Sx, + P = 0. Analogamente se chega a.x;?—Sxy + P = 0.
Combinando com o resultado anterior, podemos enunciar:
f Existem números reais x, € x, de soma $ e produto P se e somente se eles sio
rafzes da equagáo x Sx + P = 0.

Exemplo 13-5 Determine dois números de soma -5 e produto 6.

Resolugáo. Temos $=-5 e P = 6. Os números pedido:
+ 6= 0, ou seja, da equagäo x? + 5x + 6 = 0. Resolvendo-a, obtém-se -2 e -3. <

Exercício 13-8 Determine dois números de soma S e produto P, nos casos:

P=-6. (Ss

VPN.

@S=1l,P=30. (0)S=3/4,P=18. ()S=

87. 30 Pré-Cilewlo Cap. 3

Exemplo 13-6 Considere a equagäo x - (3 -1)x- v3 = 0, que já apareceu no pe-
néltimo exercício. Para determinar suas raízes, devemos calcular o discriminante A
bb dac = [-(V3 - P= 4.1. V3) = 3-2V3 + 1 + 413 =4 + 243. Como € positivo, t
mos duas rafzes reais. Para calculi-las, vamos extrair a raiz de A, ou seja, calcularemos
4/4 +205. As vezes, uma expressäo desse tipo pode ser simplificada. Veja como proce-
der. Escrevemos

(44243 =/A+VB
com A € B a determinar. Elevando ao quadrado, obtemos
4423 =(/AY +2 AB + (VB) =A + B+ 2VAB

Fagamos 4= A + Be 3 = AB. Portanto, A e B, se existirem, sáo rafzes da equa-
cio 2° 4x + 3 = 0. Resolvendo esta equagäo do segundo grau, tarefa que deixamos
para vocé executar, encontram-se as raízes 1 e 3. Podemos tomar A =1 e B= 3. Substuindo

na expressäo acima de V4 +24/3, vem
V442N3 = Vi +V3 =1403

Calculemos as rafzes da equagäo inicialmente dada, a saber,

(3-Dx-¥3 =0

Usando (Y), temos:
bia _V3-140+V3)
2a 2

Usando o sinal +, obtemos V3, e usando o sinal -, obtemos -1, que sáo as
zes procuradas. <

Exercício 13-9 Simplifique:

8.
Exercício 13-10 Determine dois números euja soma € v2 e cujo produto € -6 - 2V3.

ar. bris O ONE

88. Cap. 3 O conjunto dos números reais como corpo ordenado si

Eo nn — — —___—_—_
Respostas dos exercicios do $13

131 (a) 622). (V5. V5). (ELM): (8) Naw existe solugio.
(e) (0,1/2). (D (413 ,0). (8) (-1/4,0). (h) (0).

132 (a) (x4 1-1. (0) 11 (0) 4-(1+2P.

@) (x + 16) - 136. (4-2 41. (8) 9/4 - (x - 312)".

133 Sanos.

134 (= 0-2) Wy=%e- UDS ©2304 DEA.
(d) (x Dir + 1/2). (e) y= 16-14. (Dy = (x 4a ~ 1216.
(Mya 1 (my == 115/21 +
@y=4e-12)7-

13.5 22 metros 12 metros.

136 ŒNB-leS (4. (@N3-

13-7 (b)6mem. (6) 34m. (4) 34m? (©) 198/m*.

138 (9506. @ineus ©4302. one.

139 (W143. (by v2 +47. (2+. (93-42.

13-10 J2+/6 e -V6.

§14- EQUACÓES QUE RECAEM EM EQUACOES QUADRÁTICAS

ss mm A

Exemplo 14-1 Resolva a equagäo x'°—x*-2=0.

Resolugäo. A equagio nfo € uma equagäo quadrática (ou sea, no € uma equaçäo do
segundo grau). Porém escrevendo-a na forma (4) —x* -2=0, ela € uma equagdo do se-
rando grau n incógnita. Io ia mais claro se fizermos = =, aso em que a equa-

89. 82 PreCálculo Cap.3

portanto f= 2 ou £=-1. Como r= x, temos x8 = 2, logo x u x = 1. Devemos
descartar essa última igualdade, pois näo existe x real que a verifica. Assim, o conjun-
to-solugio da equaçäo dada € (2,42).

Exereicio 14-1 DE 0 conjunto-soluçäo da equaçäo, em cada caso,
@x-8-220. Wa-130+36=0. (ANNIE LO.

Vejamos agora um exemplo de equagdo em que a incógnita faz parte de um ra-
dicando. Uma tal equagáo € referida como equaçäo irracional.

Exemplo 14-2 Resolva a equaçäo J2x=1=8=x.

Resolugäo. Para resolver a equaçäo, elevamos ambos os membros ao quadrado para
nos livrarmos do radical: 2x1 = (8~), ou seja, 2x- 1 = 64~ 16x+ x. Simplificando,
obtemos a? 18x + 65 = 0. Resolvendo esta equaçäo, chega-se a que x = 5 ou x = 13. Va-
mos voltar à equagäo original, e substituir esses valores de x, só para verificar.

+ Parax=5:
1° membro = V2.5—1 = 9-3;
Portanto, 5 é soluçäo da equagäo dada.
+ Parax= 13:

12 membro =

Portanto, 13 náo é solugäo da equagdo dada
Conclusño: o conjunto-solugäo da equagáo dada € (3). <

ATENCÁO. É absolutamente necessário que vocé se convenga da necessidade de veri-
ficar os resultados, como fizemos acima. O fato se baseia no seguinte: se a gente sabe
que a = b ento certamente vale que a? = b?. Mas, será que vale a recíproca, isto 6, se
soubermos que a? = b, será que podemos concluir que a = b? Claro que náo: (-2)
€ daf ndo podemos concluir que -2=21 (Se a = à podemos concluir que a = +b.) Entäo
a = b ndo € equivalente a a = 6%. Ora, naresolugäo acima, partimos de uma igualdade, e
elevamos essa igualdade ao quadrado, portanto näo temos uma equago equivalente. E
por isso que devemos fazer a verificagäo. Se tivéssemos equaçôes equivalentes, näo ha-
veria necessidade disso

90. Cap. 3 O conjunto dos números reais como corpo ordenado. 8

Observagäo. Pode acontecer que as duas solugöes encontradas depois de se elevar 20
quadrado sirvam. Veja o exercício 14-2(c).

Exercício 14-2 Resolva a equagäo, em cada caso:

10-2. (b)2x+4=x-10. (4Vx=2=x4L (D2Vr+x=3

(a) 2x +4

Quando aparece mais do que uma raiz quadrada, em geral é necessário elevar
‘a0 quadrado duas vezes, conforme ilustra o exemplo a seguir.

Exemplo 14-3 Resolva a equaçäo V5x—1-/x+2

Resolugäo. Deixamos apenas um radical em cada membro, escrevendo

Sx=1=1+Vr+2
Agora elevamos ao quadrado ambos os membros:
Se-1=1+2ee2+x42 4x-4=2/x+2

Dividindo tudo por 2 vem 2x - 2 = /x+2. Elevando ao quadrado ambos os
‘membros, vem:

A -8x+4=x+2 ä 42 -9x+2=0

Resolvendo, resulta x= 1/4 e x= 2. Devemos voltar à equagäo dada e verificar
se os valores encontrados so solugóes.
portanto

Papa
Ego E E
DEN O E

+ Pare

1% membro = V52-1 - y2+2 = V9- V4 =3-2
portanto x = 2 € solugäo.
O conjunto-solugño da equagäo dada € (2). <

+ Parax= 14:

1
19 membro =
membro = 5.

=1/4 náo € soluçäo.

14122 membro

91. 84 PreCäleulo Cap. 3

Exercício 14.3 Resolva a equagiio, em cada caso:

Wird =34Vx-2. bir Vda =1. KO V342x Ned +i x =0.

Exercício 144 Resolva a equagiio

cebra)

Respostas dos exercícios do $14

141 (a) (142). 064223. (©) (1182.1).

14% (a) (6). (0) (16). () 3,11) oo).
143 @ 2.6). ION (6) no existe solugio.

144 m.

§15- ALGUNS ERROS A SEREM EVITADOS

Este parágrafo se destina a citar alguns erros, que säo destacados pelo fato de serem co-
muns. Preste atençäo para ndo cometé-los.

1. Confundir -I-xI com -(-x).

Temos -1-31 =

, e -(-3) = 3. Em geral, pode-se escrever -I-xl = ll e (-x) = x.

2. Confundir (-x} com -X.

Temos (-4)° = (-4)(-4) = 16 e~4"

92. Cap. 3 O conjunto dos números reais como corpo ordenado 85

3. Escrever -(a + b) como -a + b.

Por exemplo, temos que, em geral, (2x + 1) (3x +4) 4 2x + 1-3x+ 4, Para haver igual-
dade (para todo x) devemos escrever (2x + 1)- (3x + 4) = 2x + 1-3x-4.

4. Concluir que se x < a entäo cx < ca.

Devemos tomar cuidado. A conclusdo acima só vale se € > 0. Assim, se x <3, entdo dx <

4.3, ou seja, 4x < 12, Se c <0, devemos inverter o sinal de desigualdade, quer dizer, tro-
car <com >. Assim, se x <3 entáo ~2x > (-2)3, isto é, -2x>- 6.

5. Escrever (x + a) como x + a’, ou (x + a)’ como x’ +a’, etc.

Aqui só podemos dizer o óbvio. Use a fórmula correta. Assim, (x + a)? = x" + 2ax +

(+a = x + Ba + da + a etc.

6. Em uma fragáo, cancelar uma parcela do numerador com uma
do denominador.

Esta é a mais doída de todas as infragdes à regra do jogo. Equivale, no futebol, ao carri-
nho por trás. Veja:
As simplificagöes nos dois casos a seguir ESTÄO ERRADAS:

38+
2

=3+5

42x+l_ 42x41 241
rl xl xtl

Para cancelar algo do numerador com algo do denominador, eles devem apare-
cer como fatores, e no como parcelas. Por exemplo, se vocé deseja ardentemente can-
celar x do numerador na primeira fraçäo acima, transforme esse x em fator, colocando-o
em evidéncia:

93. 86 Pré-Caleulo Cap. 3

5 5
2343) 4345) 1043)
x ze

x El 1

procedimento válido para x # 0.

Observe que poderíamos ter obtido o último membro a partir do primeiro dire-
tamente, dividindo numerador e denominador por x, o que € válido, conforme vimos no
$6(B). Da mesma forma, se vocé quiser cancelar x° na outra fragäo acima citada, basta
dividir numerador e denominador por

(#0)

7. Escrever /x+a como sendo x +a, {x+a como sendo
ix + Ya, etc.

Arelagio Vx+a
ca soluço x = 0. Portanto,
tem-se

vx + Va para a > 0 € uma equagäo. Ao resolvé-la, vocé obterá a úni-
a
em geral, /x-+a #Vx + Va. Da mesma forma, em geral

(ra avr + Ya

8. Escrever coisas como “2 > x > 6", como equivalente a “x <2
oux>6".

Expliquemos através de um exemplo. A desigualdade Lx - 41 > 2, conforme aprendemos
no $ 10, se resolve assim : devemos ter x 4 < -20ux-4> 2, ou seja,x<20ux>6. Af
alguém resolve dar uma resposta curta, e escreve 2 > x > 6. Por que isto está errado? A
resposta € simples: 2 > x > 6 quer dizer, pela convençäo introduzida no $ 9, que 2>xe
que x > 6, a0 passo que nés temos 2 > x ou x > 6. Na verdade, para se ter x tal que a > x >
b, é preciso que seja a > b

94. Cap. 3 O conjunto dos números reais como corpo ordenado #7

9. Reduzir ao mesmo denominador e em seguida esquecer o de-
nominador.

Para calcular x

43125
we = À. esti do certo, $6 que tem gente que responde x = 5 (2,180 mesmo,
esquece-se o denominador. Bem, na verdade esse erro ocorre mais quando se está resol
vendo uma equagäo, como por exemplo a seguinte:
4
E

F Sole o mme de 3 e 2, que € 6, e dal escrevese x =

O mme de x - 1ex&xtx- 1). Entáo

2x +400 4 4 6x-4
G=Dx = Dx

O erro que estamos querendo evitar que vocé cometa & o de esquecer o deno-
minador (x - 1)x, e ficar com 6x 4 = 4 , o que levará à resposta x = 4/3, errada! Basta
substituir tal valor na equagáo dada para ver que ela náo € satisfeita. Mas náo € por af
que queremos que voc se convenga do erro. A igualdade 10/2 = 5 € verdadeira, mas se
vocé esquecer o denominador, estará escrevendo 10 = 5, um absurdo. Voltando a resolu-
ño da equagäo, temos: 6x ~ 4 = 4(x — 1)x, de onde resulta, após simplificagóes, a equa-
go 2x? - 5x + 2 = 0. Resolvendo-a, obtém-se x = 1/2 ou x = 2. O conjunto-solugäo da
equaçäo € (1/2.2). (Note que, de inicio, deveríamos ter observado que a equagäo só tem
sentido se x # 0 e x # 1, por causa dos denominadores).

O erro acima indicado talvez provenha de confusäo com casos como o seguin-
te, Se a equagío a resolver €

14
+
a

entäo ao reduzirmos o primeiro membro ao mesmo denominador (x 1)x, ele também €
denominador do segundo membro, logo pode ser cancelado (para x #0 ¢ x # 1);
2x+ dx 1)_ 14

dee dee 1)= 14
Gone xed oo)

‘o que nos dá a solugäo x = 3. Nosso conselho € que vocé sempre escreva o denominador,
e depois, se for o caso de se poder cancelar, efetue tal cancelamento. Assim, a possibili-
dade de erro é menor.

95. 88 PréCálculo Cap. 3

10. Confundir a + be com (a + bc.

Escrito dessa maneira, parece um erro pouco provável, pois (a + b)c = ac + be, clara-
mente diferente, em geral, de a + be. Porém o erro ocorre quando se tem uma expressäo
numérica. Por exemplo, para calcular

+7.9

x=842, 2479
E

tem gente que efetua primeiro a soma 8 + 2 = 10, para depois multiplicar pela fragäo,
que no caso vale 61/10, dando como resultado 61. Este resultado é incorreto. O cálculo

correto se faz assim:

79 q, 24637, 61_g, 61_8.5+61_ 101
x 2479 ge En gr zu
oi 244.2 dé 2+ 8 #10 E 5 5
O erro se deve a um equívoco de leitura da expressäo dada. Ela € lida assim:
(ce ean
244.2

Evidentemente esta é uma expressiio diferente da dada: chamando-a de y, temos
A419 ¡y 2479 35 2468 1g 6
244.2 244.2 2+ 8 10

=(8+2)

11. Confundir a° com (a).

Uma das propriedades de poteneiagäo com expoente racional nos diz que (a) = a", que
‘em geral € diferente de a” . Exemplifiquemos:
Temos 3" = 31, ao passo que (32)! = 3°-* = 3°, ou seja, 32 (39.

96. os Apéndice

Books

O Conjunto dos Números
Reais como Corpo
Ordenado Completo

Passamos em revista diversas propriedades dos números reais, com o objetivo de forn
cer algumas regras de trabalhar com eles. Agora temos um objetivo um pouco mais am-
bicioso. Queremos indicar a vocé o seguinte:

+ A gente pode partir de algumas propriedades básicas, as quais. uma vez admitidas,
permitem demonstrar as outras. Vamos fazer isto como quem conta uma história, pois
nao € aqui o lugar de se fazer as demonstraçües. As propriedades básicas admitidas sño
chamadas de axiomas (ou postulados) e as que se podem provar constituem os teore-
mas.

+ Contar a vocé que os números reais gozam de mais uma propriedade, que näo foi ci
tada ainda no texto, e que, juntamente com as demais, caracteriza, em um certo sentido,
os números reais. Trata-se do axioma da completude, do qual falaremos adiante.

Partimos da seguinte nogäo básica:

Uma operaçäo sobre um conjunto € uma correspondéncia que a cada par orde-
nado de elementos desse conjunto associa um único elemento do conjunto.

mm

Consideremos um conjunto K, munido de duas operagóes, uma chamada adi-
ño, que a cada par ordenado (a, b) associa a + b, outra chamada multiplicagäo,
que a (a, b) associa a.b (também indicado por ab), as quais verificam o seguinte:

5

(D (Propriedade comutativa) Quaisquer que sejam a e b de K, tem-se:

a+b=b+a ab = ba

(D (Propriedade asociativa) Quaisquer que sejam a, b e e de K, tem-se:

FERRY

&@+b+c=a+@+c (be) = (ab)e

$9

97. 99 Pré-Câleulo

(UD (Elemento newtro) Existem elementos de K, indicados por 0 e 1, com 0 # 1,
tais que, para qualquer a de K, verificam

a+0=a al=a
(UV) (Elemento oposto e elemento inverso)
+ Dado a de K, existe um elemento indicado por ~a, chamado oposto de a, tal
que
arca=0
+ Dado a # 0 de K, existe um elemento de
chamado inverso de a, tal que

indicado por 1, e também pora”,

(V) (Propriedade distributiva) Quaisquer que sejam a, b e ¢ de K, tem-se
ab + ©) = ab + ac (b+ 0a = ba + ca

K, munido dessas operagöes, é chamado de corpo. As afirmagóes (D-(V) sio
chamadas de axiomas (ou postulados) de corpo.

Exemplo Tomemos um conjunto qualquer com dois elementos, que indicaremos com Oe I
Vamos definir as operagGes de soma e multiplicagáo:

5 10-0
Fode-teverificar que k= (0,1
po, por sinal bem diferente de R.

Partindo desses axiomas, podem ser demonstrados vários resultados. Por
exemple:

}. com as operagdes acima definidas, € um cor

(a) se a+b = atc entio b
(b) se ab = ace a # 0 entio b= c.

[ Teorema. (Leis de Cancelamento.) Quaisquer que sejam ae b de K,
Teorema. (a) 0 e 1 säo únicos com as respectivas propriedades.
(b) Para cada elemento a de K, o oposto e o inverso (se a # 0) de a sio únicos.

Esclaregamos: (a) diz que se a+0" = a para todo a de X, entäo 0'=0;esea.l'=
= a para todo a de K entäo 1° = 1. Agora (b) ficou claro para vocé, esperamos.

98. Apéndice 9

‘Outros fatos que se podem demonstrar:

‘Teorema. (Regras de anulamento.)
(a) a.0 = 0, para todo a de K.
(b) Para quaisquer a e b de K, se ab = 0, entäo ou a = 0, ou b= 0.

‘Voce deve estar curioso para ver como se pode fazer essas demonstragöes. De
passagem, observemos que, para nós, provar € sinónimo de demonstrar.Vejamos um
exemplo, só para matar sua curiosidade.

Para demonstrar (b), observe que estamos supondo que ab = 0. Isto constitui o
que se chama de hipótese do teorema (claro, faz parte da hipótese que X € um corpo).
‘Vamos demonstrar que ou a = 0, ou b= 0. Esta parte constitui a tese do teorema. Desta-
quemos:

Hipôtese: K € um corpo, e a e b säo elementos de K ais que ab = 0
Tese: Ou a = D'ou b=0.
Passando à demonstraçäo, temos dois casos:
0. Nada há a demonstrar.
+ a#0. Podemos, pelo axioma (IV), considerar a, Multiplicando ambos os membros
por a! obtemos

aab)=a.0

ou seja,
('ab=0
onde usamos o axioma (I) e a parte (a) do presente teorema (suposta já demonstrada).
Usando ainda o axioma (IV), a última igualdade fica
1b=0
que pelo axioma (II) fornece b = 0
‘Outros teoremas podem ser demonstrados. Entre eles, o seguinte

(Regras de sinal.) Para quaisquer ae b de K, tem-se

=a(-b)

99. 92 PréCéleulo

Podemos definir, em um corpo, subtragäo e divisäo, da maneira seguinte (que
vocé já deve ter adivinhado)

€ a-b=a+Ch © fab (sendob#0)

Resultados vistos no $5 e no $6 valem em um corpo qualquer, ou seja, constu-
em-se em teoremas, mas nós náo vamos aqui enumeré-los.

Um corpo K & chamado de corpo ordenado se verifica o seguinte

| (VI) (Axioma de corpo ordenado.) Existe um subconjunto P de K, cada ele-
| mento do qual é chamado de positivo, tal que

(a) Se a e bestio em P, entáo a + be ab estáo em P.

(b) Se a está em K, ou a está em P, ou —a está em P, ou a = 0, e estas possibi
dades sáo mutuamente exclusivas.

Pode-se provar que (a) e (b) säo equivalentes a (a) e (b°), onde
(0) K fica separado em trés conjuntos, P, (0), e {P}, este último formado pe-

los elementos da forma -a, onde a percorre K.

Portanto, R é um corpo ordenado,

Em um corpo ordenado, define-se

+ a> bse a-b está em P. Nesse caso, escreve-se alternativamente b <a.

+ a2 bsea>boua=b. Nesse caso, escreve-se alternativamente b < a.

Decorre da definigäo que:
+ acstáem P se e somente se a > 0.
Assim,

+ a>bseesomentesea—b>0.

As seguintes propriedades podem ser demonstradas (as demonstragdes säo fá-
ceis, e só säo omitidas tendo em vista nossos objetivos):

100. Apéndice 93

‘Teorema. Em um corpo ordenado tem-se:
(a) (Tricotomia) Dados a e b do corpo ordenado, ocorre uma única das possibil
dades: a <b, a = b,ou a >b.
(b) (Transitividade) Se a < b e b < c entäo a <c.
(c) a <b se e somente se a + 6 <b +
(d) » Sec > 0 entdo a < b se e somente se ac < be.

+ See <0entäo a <b se e somente se ac > be.

Talvez valha a pena demonstrar, em caráter excepcional, o seguinte teorema,
para o qual a seguinte notagäo será usada, válida em um corpo qualquer:
d=aa

€ Teorema. Se K é um corpo ordenado, e a # 0 € um elemento de K, entäo a’ > 0.

Demonstraçäo. Como a # 0, ou a > 0 ou a <0, pelo axioma (VII)
+ Se a >0, temos que a.a > 0, pelo axioma (VI) (a), ou seja, a? > 0.
+ Se a <0, temos que -a > 0, pelo axioma (VIN(b), e dat,
Ca)t-a) > 0
pelo axioma (VI)(a). Mas, pelo teorema que dé as regras de sinal (mencionado anterior-

mente), temos (-a)(-4) = a.a = 4°, o que substituído na desigualdade anterior nos dá a?
>0.

O teorema a seguir, sendo uma consequéncia do teorema anterior, recebe 0
nome de corolário (que tem como sinónimo a palavra menos usada escélio).

É Corolärio, Em um corpo ordenado, tem-se 1 > 0.
Basta notar que 1 = 1.1 = 1? >0.
É Em um corpo, pode-se introduzir a seguinte notaçäo
2=14+1,3=2+1,4=3+1,5=4+ 1, e assim por diante.

Como curiosidade, provaremos que 5 = 3+2. De fato,

342

+(1+)=G+D)+1=4+1

(deixaremos para vocé justificar as igualdades).

Em um corpo, os elementos 1, 2, 3, … ndo sio necessariamente distintos (veja
o exemplo de corpo com dois elementos que demos anteriormente). No caso de um cor-
po ordenado tem-se 1 <2, pois 2 1 = 1 >0; e também 3>2 pois 3 -2= 1 >0. Vé-se en-
to (usando a transitividade) que

101. 94 Pré-Célewlo

0<1<2<3<4<

‘o que mostra que tais elementos do corpo ordenado sio todos distintos (pela tricotomia,
quaisquer dois elementos dessa cadeia de desigualdades náo podem ser iguais).

Tanto R quanto Q (o conjunto dos racionais) säo corpos ordenados. Entáo os
nümeros reais tém alguma propriedade que os racionais näo tém. Muito bem, esta pro-
priedade é a chamada propriedade da completude. Ela é mais difícil de ser enunciada,
mas já que chegamos até aqui, seria pena deixá-la de lado, mesmo que a compreensäo
nâo seja, digamos, total.

Vamos comegar com as nogöes de (elemento) máximo e de (elemento) mínimo
de um conjunto:

Em um corpo ordenado, o máximo de um conjunto näo-vazio A € o elemento
de A que é maior do que todos os restantes elementos de A. Indica-se por maxA. O
mínimo de A, indicado por mina, é o elemento de A que € menor que todos os res-
tantes elementos de A.

O máximo e o mínimo de A so referidos, respectivamente, como o maior ele-
mento de A e o menor elemento de A (eles podem ou náo existir).

Exemplo Sendo A o conjunto dos números reais a tais que 0 <a < 1, entäo A náo tem
mínimo, e tem máximo, a saber, 1: max = 1

Considere, agora, o conjunto A dos números reais tais que 0 < a < 1. Ele nio
tem máximo. O número | seria candidato a ser máximo, mas náo pertence a A, de modo
que nao pode ser chamado de tal. Este número, que “quase € máximo” recebe o nome de
supremo de A. Mas isto está muito longe de ser algo preciso. Para melhorar, vamos
olhar para os números que, em uma representagäo geométrica dos números reais, ficam
Adireita de A (Figura 16-1), ou seja, os números m tais que m2 a para todo a de A. Cada
m assim se diz uma limitaçäo superior de A. Ora, 1 pertence a esse conjunto de limita-
göes superiores de A, na verdade ele € o menor elemento desse conjunto. Agora pode-
mos definir o supremo de A como sendo a menor das limitagdes superiores de A.
$ Em um corpo ordenado, um conjunto A é dito limitado superiormente se
existe m do corpo tal que a m para todo a de A. Um tal m € chamado de limitaçäo
superior de A. Se o conjunto das limitagdes superiores de A tem um menor ele-
mento, ele é chamado de supremo de A, e indicado por supA.

Zn ——
A

Figura 16-1

102. Apéndice 95

A seguir alguns exemplos simples para vocé conferir se está entendendo.

Exemplo

A 60 conjunto dos a reais tas que - 2 £a <2. Entäo supA = 2. A näo tem máximo.

A € 0 conjunto dos a reais tais que -2 £ a $2. Entáo sup

A= (123). Entäo supA

A= (1,2.3,4, ..). Entäo A náo tem supremo.

Falando imprecisamente, o supremo de um conjunto é alguém que ganha de
todo mundo do conjunto, e € o menor que faz isso. E como se fosse um máximo do con-
junto. Já que estamos esculhambando, podemos parafrasear o ditado “quem nao tem
cäo caga com gato” dizendo “quem náo tem máximo caga com supremo”,

Estamos finalmente em condigöes de enunciar o axioma da completude:

f Um corpo ordenado € chamado completo se stifaz 0 seguinte:

naxA

(VII) (Axioma da completude) Todo conjunto näo-vazio limitado superior
‘mente tem supremo,

© corpo dos números reais satisfaz esse axioma. As propriedades dos números
reais podem ser resumidas na seguinte afirmagao:

[O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS É UM CORPO ORDENADO COMPLETO.

Admitido isso, todas as outras propriedades citadas podem ser demonstradas,
constituindo-se assim, em teoremas. Nós fizemos duas demonstraçües, a título de curio-
sidade.

Pode-se provar que Q é um corpo ordenado, porém náo é um corpo ordenado
completo.

Gostarfamos de ressaltar a importáncia de (VII) para os números reais, porém
dizer alguma coisa concatenada nos levaria totalmente fora de nossos objetivos. Apenas
como informagäo, diremos que gragas a esse axioma, pode-se provar que todo número
real positivo tem uma raiz quadrada. Nao € o caso de Q. Por exemplo, o número racio-
nal 2 ndo tem raiz quadrada em Q, isto &, náo existe r> 0 racional tal que r = 2. Dito de
outro modo, +2 € irracional (relembremos que umndmero real é irracional se ndo € ra-
cional)

103. 96 Pré-Célewlo

Observagáo. A nogäo de ínfimo de um conjunto € introduzida com a idéia de que
“quem náo tem mínimo caga com o fnfimo”, da seguinte maneira:

Em um corpo ordenado, um conjunto A € dito limitado inferiormente se exis-
tem do corpo tal que a 2 m para todo a de A. Um tal m é chamado de limitagäo in-
ferior de A. Se o conjunto das limitaçôes inferiores de A tem um maior elemento,
ele é chamado de ínfimo de A, e indicado por infA.

Pode-

LE rie Em um corp orendecompeo oda cnjneno-ai nid
inferiormente tem ínfimo.

provar o seguinte

104. Coy AR SS
MAKRON

Books

Exercicios Suplementares

Exerecio 1 Calcule:
1-1 ®-0l. @-CH. wlaklal.
@la-lal os wlsrsl. mal

Exereelo2 Verdadeio ou Falso?

o
0%,
CE

Exercício 3. Calcule

as
CE

o
oF

Exercicio4 Calcule
1,2,9 1

14242 mi-ll
CHE CESSE

Exercício S Calcule

(-2-E19+1-171 o

7

105. 98 Pré-Célewlo

1-0) El

86)
1+ [-2G-2)+ 1-0--2)).
Exercício 6 Resolva as equaçües

(a) 4x + 10 (3x4) + 4-2-1) = = + 4. (0) 371
(e) y dl he +101= 0. (@) Bx
(©) =12e— 1h @ be-2=te-6],
Exereicio 7 Resolva as desigualdades
(9-05. (b) 54 + 2)>— 10y.
(ete +612 1 @Br-101<2,
Exercício 8 Verdadeiro ou Falso?
(@2>x>5. W355. (9252.
@-7>-3 (0) SS ta ONE

Exercício 9 À formula F = 9C/S + 32 dé a relagdo entre a temperatura em graus Fahrenheit Fe
graus Celsius C.

(a) Se a temperatura em graus Fahrenheit variou de 69° F a 96° F, qual a corres-
pondente variagäo em graus Celsius?

(b) Se a temperatura em graus Celsius variou de 1° C a 99° C , qual a correspondente
variagao em graus Fahrenheit?

Exerefcio 10. Calcule

WES: sae OOF

OCD. we Meg 0 aor.
Exercício 11. Simpliique,fazendo aparecer somente expoentes positivos
ay Pyle acy
a ©
ES >

Exercício 12. Efetue
War Ha -x +4) {= 2)2x + 3XGx 4)

106. Exercícios suplementares 9

GR 5x +6 (3147. @er-F +2- aD.
(©) GR 2-5) 3-1) (D GE Au + DA + 2u + 5).
Exercício 13. Fatore:

War WER OS. (Ox + 14x +48.
2x6. E WR + (x +29,
Exercício 14 Fatore
CO
Exercício 15

Wer. (INES,

(a) Fatore a expressto xy" escrevendo-a como diferenga de cubos.
(b) Fatore a expressäo xf — 9, escrevendo-a como diferenga de quadrados.
(©) Dé uma fatoragao de x* + xy + y

Exercício 16 Resolva a equagño

-a 3 3d = 0 (a #0)

Exercício 17. Resolva as equaçües

Exercício 18 Resolva as equagóes

ig Pd oe
ts x+6 ren Me

Excrecio 19 Resolva as equagóes
@ 248-305 ONE GR De (Var and =e.

Exercício 20 Racionalize

rea

letermine a expressäo polinomial Q e 0

"número R, para que se tenha identidad em R:
(AE +25 (1-20 +R
WA ~ 126 + 2x-12= 2x- 12).04R.
Om 20 + 20x41 2 (t2).0 +R
(0-80 +10 + 57 = (+ 3).0 4 Ro

107. 100 Pré.Cäleulo

Exercício 22 Divida:
(a) x —Sx +4 por Ar - 6x
Ga + 36 + 2por 9x x.

Exercício 23 Efetue, simplificando:

ca Vea. OT ©"

Exercício 24 Divida, deixando aparecer somente expoentes positivos.

CTN EE Era

@

Respostas dos exercicios suplementares

hws (b)=10. (8. (as.
«0. 08 @2 m2
2 (Or WE (YE
1 8 >
a (aL CE (5, (a) Nao está definido
3
(1 OF
R z 4
az wr CE
5. (WB. (0) 80. OR GI.
(92 9
CAES 2.208). (0) 10.2)
(d) Nao existe x (e) {1.13} om.
1. (Wssm E (8B <x<4.
% WE Ov (ov WE
(Ok ov

19. (a) De 185/9 a 3209 (b) De 169/5 a 1051/5.

108. Exercicios suplementares 101

10.

u.

12,

13.

14,
15.

16.
ır.
18.
1.

21.

(a)25. (6)-25. (0-25. (a) 916
(6) 9/16. OL (a). (9-64.
(02. wt.

rs. D od CES
(e) x Day

(ajo = 112 + 11-12. (b) 6 = Ie = 1a + 24.
CE CPE EE

(e) 22 + 29-4 (OM 160 + IA Bu = Hu 15.
(a) (4x—3), DN (xy- Hay +.

(A) (x + ONx+ 8). (e) 2x + Na). Hy Ny + D + 2).

(VAR + 137.

(a)(2t— 148 + 2041). (b) (Qe RING Hl). le) (x + IN? 4x 47).
IN (+ yxy) + ay + Yor = +).
(o) xt + xy? Ne).

a? +3, —Va" +3)

(a) (1,2) 0). (0) (6).
(a) (4.6). (0) (88.4). (6) Nao existe x.
(a) (1, 4. (0) (9) (e) EL 1.

(a) 1445. (b)3+ V2. KONTO NEN.
(a) 2x? -2-3e-11. WE +100.

(0) 3x + 4 10x + 1939. (d) “= 3x + = 3x4 19.0 0.
(a) Quociente x +2, resto 7x +4. — (b) Quociente 2? + x~13, resto -22x + 119.
(a)2. (DE (o) tel.

are pee

109. PRE BÁLEULO

Cálculo Diferencial e Integral € o resultado da experiéncia do autor em cursos de Cálculo
ministrados em diversas escolas e de opiniöes valiosas de professores que utilizaram uma edigao
preliminar deste livro.

Tendo em vista as dificuldades inerentes ao Cálculo, o autor, através da linguagem e de
conselhos sobre erros freqlentes, utiliza a estratégia de tornar 0 livro 0 mais amigável possivel.
entre suas características, destacam-se:

‘= Abordagem peculiar das fungóes reais de variável real e temas como limite, continuidade,
derivada e integral, incluindo algumas funçôes clementares e aplicagdes à Fisica e à
Economia.

© Inversäo lógica na apresentagäo de alguns temas (por exemplo, derivada antes de limite), em
favor do aspecto didático.

= Exemplos e aplicagöes que tenham a ver com o día:

= Apresentagäo mais natural dos resultados teóricos, através de intuigáo geométrica ou Física,
ressaltando-se os resultados importantes.

= Exerefeios distribuídos ao longo do texto e exercícios suplementares após cada capitulo,

= Uso abundante de figuras, na linha da máxima de que uma figura vale por mil palavras.

Da experiéncia e aplicaçäo em sala de aula surgiu a idéia de um livreto
complementar, chamado Pré-Céleulo, para proporcionar uma atualizagáo dos
conhecimentos adquiridos no Segundo Grau.

Paulo Boulos Engenheiro (1964), professor-assistente/doutor (1968) e professor-adjunto (1988)
pela Escola Politécnica da USP; professor Ivre-docente pelo Instituto de Matematica o Estatistica
da USP (1979); professor titular da Escola Politécnica, na área de Mecánica dos Sólidos Defor-
mávels (1892); e,atuelmente, professor da Universidade Sao Judas e da Universidade birapuera.

5 (LL

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