Práctica 6 Cinematica y Dinamica FI

1. PRÁCTICA 6
MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO RIGIDO

Fecha de realización: 29-octubre-2012
Fecha de entrega: 5-noviembre-2012
Laboratorio de Cinemática y Dinámica
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional Autónoma De México
o Fernando Sánchez
o Yahvé Ledezma
o Emma Carolina Alfaro

Realizado por:
o Aranzazu
o Karina
o Priscila
o Isabel

2. RESUMEN
Se realizaron una serie de ejercicios con
ayuda del material proporcionado por el
laboratorio como fue marco metálico con
accesorios, una barra de metal, una
fotocompuerta, un flexómetro, Con
dichos materiales se pudieron cuantificar
el numero de oscilaciones que produjo la
barra, así como las medidas de la barra
para poder calcular el momento de
inercia de la misma
Primero, se puso en movimiento la barra
contando asi 10 de oscilaciones que
debía de realizar la barra para poder
obtener el periodo promedio de la
oscilación, cabe resaltar que el material
proporcionado contaba medias
oscilaciones por lo que estas
consideraciones se tuvieron que tener en
cuenta a la hora de capturar los datos y
llevar acabo los cálculos.
Después de esta actividad, se llevo
acabo la medición de la barra midiendo
así su altura, su ancho y su largo.
OBJETIVOS
Calcular el momento de inercia de
una barra de metal, utilizando dos
métodos diferentes.
INTRODUCCION
Con el número de oscilaciones, y el promedio
del periodo de las antes descritas, así como
las medidas de la barra proporcionada por el
laboratorio, se pretende conocer el
momento de inercia por dos caminos o
métodos diferentes.
MARCO TEÓRICO
MOMENTO DE INERCIA
El momento de inercia es una medida
de la inercia rotacional de un cuerpo.
Cuando un cuerpo gira en torno a uno
de los ejes principales de inercia, la
inercia rotacional puede ser
representada como una magnitud
escalar llamada momento de inercia,
en el caso más general posible la
inercia rotacional debe representarse
por medio de un conjunto de
momentos de inercia y componentes
que forman el llamado tensor de
inercia. La descripción tensorial es
necesaria para el análisis de sistemas
complejos.
El momento de inercia refleja la
distribución de masa de un cuerpo o
de un sistema de partículas en
rotación, respecto a un eje de giro,
sólo depende de la geometría del
cuerpo y de la posición del eje de
giro; pero no depende de las fuerzas
que intervienen en el movimiento.
Es el valor escalar del momento
angular longitudinal de un sólido
rígido.
Ecuaciones del momento de inercia
El momento de inercia de un cuerpo
indica su resistencia a adquirir una
aceleración angular.
Dado un sistema de partículas y un
eje arbitrario, el momento de inercia
del mismo se define como la suma de
los productos de las masas de las
partículas por el cuadrado de la
distancia r de cada partícula a dicho

3. eje. Matemáticamente se expresa
como:
(1)
Para un cuerpo de masa continua
(Medio continuo), se generaliza
como:
(2)
El subíndice V de la integral indica
que se integra sobre todo el volumen
del cuerpo. Se resuelve a través de
una integral triple.
Este concepto desempeña en el
movimiento de rotación un papel
análogo al de masa inercial en el
caso del movimiento rectilíneo y
uniforme. La masa es la resistencia
que presenta un cuerpo a ser
acelerado en traslación y el Momento
de Inercia es la resistencia que
presenta un cuerpo a ser acelerado
en rotación. Así, por ejemplo, la
segunda ley de Newton: tiene
como equivalente para la rotación:
(3)
donde:
 es el momento aplicado al
cuerpo.
 es el momento de inercia del
cuerpo con respecto al eje de
rotación y
 es la aceleración
angular.
Siempre y cuando la distancia con
respecto al sistema de referencia
permanezca constante.
La energía cinética de un cuerpo
en movimiento con
velocidad v es , mientras que
la energía cinética de un cuerpo
en rotación con velocidad angular
ω es , donde es elmomento
de inercia con respecto al eje de
rotación.
La conservación de la cantidad de
movimiento o momento lineal tiene
por equivalente la conservación
del momento angular :

(4)
El vector momento angular, en
general, no tiene la misma dirección
que el vector velocidad angular .
Ambos vectores tienen la misma
dirección si el eje de giro es un eje
principal de inercia. Cuando un eje es
de simetría entonces es eje principal
de inercia y entonces un giro
alrededor de ese eje conduce a un
momento angular dirigido también a
lo largo de ese eje.
Teorema de Steiner o teorema de los
ejes paralelos
Establece que el momento de inercia
con respecto a cualquier eje paralelo
a un eje que pasa por el centro de
masa, es igual al momento de inercia
con respecto al eje que pasa por el
centro de masa más el producto de la
masa por el cuadrado de la distancia
entre los dos ejes:
(5)

donde: Ieje es el momento de
inercia respecto al eje que no
pasa por el centro de
masa; I
(CM)
eje es el momento de
inercia para un eje paralelo al

4. anterior que pasa por el centro de
masa; M (Masa Total)
y h (Distancia entre los dos ejes
paralelos considerados).
La demostración de este teorema
resulta inmediata si se considera la
descomposición de coordenadas
relativa al centro de
masas C inmediata:



(6)



(7)

(8)

donde el segundo término es nulo
puesto que la distancia vectorial
promedio de masa en torno al centro
de masa es nula, por la propia
definición de centro de masa.
El centro de gravedad y el centro de
masa pueden no ser coincidentes,
dado que el centro de masa sólo
depende de la geometría del cuerpo,
en cambio, el centro de gravedad
depende del campo gravitacional en
el que está inmerso dicho cuerpo.
Pasos para calcular el momento de
inercia de áreas compuestas
1. Dividir el área compuesta en
varias partes que sean simples
2. Determinar las áreas de las
partes, designarlas
por .
3. Determinar las coordenadas
del centro de masas de estas
partes con respecto a
los ejes X e Y. Y calcular el
cdm de toda la
figura formada por todas las
áreas parciales anteriores.
4. Calcular las distancias de los
cdm de cada área respecto al
cdm total de la figura.
5. Calcular los momentos de
inercia de las partes respecto
a sus ejes de centro de masas
(que serán paralelos a x e y).
Designar como: e ,
para el área i-ésima.
6. Calcular el momento de inercia
de cada parte respecto a los
ejes x e y aplicando el
teorema del eje paralelo, es
decir, el teorema de Steiner:y
(9)
(10)

7. Calcular los momentos de
inercia del área compuesta a
partir de los momentos
anteriores: e
(11)

(12)

5. DESARROLLO EXPERIMENTAL
EQUIPOS Y MATERIALES
NECESARIOS
Marco metálico con accesorios
Barra de metal
Interfaz Science Workshop
750 con accesorios
Flexómetro
Computadora
Vernier
Fotocompuerta








PROCEDIMIENTO

1.-Se verifico que todo el material se
encontrara en buen estado para
poder trabajar con él.
2.- Se instalo el arreglo para poder
contabilizar las oscilaciones, se
conecto el equipo a la computadora y
se verifico que la barra oscilara en la
línea de acción del sensor.
ANÁLISIS Y RESULTADOS

Primeramente se midio el tiempo con
ayuda del programa y el tiempo
promedio de oscilación fue de 1.3931
[s].
Con el análisis de nuestro sistema
mecánico:



an
at
mg
T

6. Con un sistema de referencia er , eθ









a=0.33 [cm]
b= 1.85 [cm]
c= 50 [cm]
m= 0.076 [kg]
Tabla 1. Tiempo de oscilaciones con
la interfaz:
Tiempo ( s )
1.3931
2.6064
3.8168
5.0243
6.2289
7.4311
8.6314
9.7992

θ
θ
C/2
eθ
er

7. Para el cálculo del momento de
inercia:
…(12)
Donde:
m: masa de la barra.
c: longitud de la barra.
g: 9.78 m/s^2
T: periodo de oscilación.
Para nuestro periodo de oscilación
dado por la interfaz el momento de
inercia es:
IG= -2.4663 x 10
-3
[kg m
2
]
Tambien probamos el periodo de
oscilación con la ayuda de un
cronometro de mano, los tiempos se
muestran en la siguiente tabla:
Tabla 2. Tiempo con cronometro.
Tiempo [s]
1.24
2.36
3.78
5.06
6.25
7.46
8.7
9.97
Con este nuevo periodo de oscilación
de 1.24 [s] se calcula el momento de
inercia:
IG= -2.9407 x 10
-3
[kg m
2
]
El momento de inercia teorico esta
dado por la siguiente expresión:
… (13)
IG= 1.5855x 10
-3
[kg m
2
]

Comparando cada valor obtenido con este ultimo valor teorico.
IG[kg m
2
] IG teorica [kg m
2
] Error [1] Error %
-2.94E-03 1.59E-03 8.55E-01 85.5
-2.47E-03 1.59E-03 5.56E-01 55.6
CONCLUSIONES
Al realizar esta práctica, observamos
el comportamiento de la barra de
metal a la hora de dejarla caer y ver
la oscilación que se provocaba.

Con los cálculos que procedieron,
nos dimos cuenta de que el tiempo
promedio de oscilación fue de 1.3931
[s], dato importante para saber el
momento de inercia con los datos
dados por la interfaz igual a -
2.4663x10
-3
, por otro lado, se hicieron
mediciones manuales con un
cronometro de donde salió un
promedio de oscilación de 1.24 [s] y
un momento de inercia de
-2.9407x10
-3
.
A la hora de comparar dichos valores
con el momento de inercia teórico se
dio un error grande, esto pudo ocurrir
debido a algún error cometido
durante la práctica.

8. Con dicha práctica podemos decir
que el momento de inercia refleja la
distribución de masa de un cuerpo o
de un sistema de partículas en
rotación, solo depende de la
geometría del cuerpo y la posición del
eje de giro y no de las fuerzas que
pueden intervenir en el movimiento.
APÉNDICE
Las ecuaciones de movimiento:
…(1)
…(2)
…(3)
Si θ es muy pequeño θ≈sin(θ)
…(4)

…(5)
…(6)
…(7)
…(8)
…(9)
…(10)
…(11)
…(12)
Donde:
m: masa de la barra.
c: longitud de la barra.
g: 9.78 m/s^2
T: periodo de oscilación.
Para el calculo de IG teórica se situó
en un solo eje con la formula:
… (13)

Referencias de consulta

Paul E. Tippens, FISICA,
CONCEPTOS Y
APLICACIONES, 3ra edición en
español, McGraw-hill.
BEER, Ferdinand. Mecanica
vectorial para ingenieros 8
a

edicion. McGrawHill. 2010. Pág.
1322-1332.