Presentación 1 MATEMATICAS II ccc(1).pptx

es

1. MATEMÁTICAS II ING. MERARI YAHAIRA SANTOS RODRÍGUEZ

2. SESIÓN 1

3. Función Es una relación que se establece entre dos conjuntos, a través de la cual a cada elemento del primer conjunto se le asigna un único elemento del segundo conjunto o ninguno.

4. Otro concepto También es conocida como aplicación o mapeo, es una regla entre dos conjunto A y B de manera que a cada elemento del conjunto A (conjunto original o de partida) le corresponde un único elemento del conjunto B (conjunto final o de llegada). Matemáticamente se expresa: Donde: a: Es un elemento cualquiera del conjunto inicial A. b: Es un elemento del conjunto final B, resultante d aplicar la función concreta f.

5. Imagen representativa El conjunto A está formado por personas y el conjunto B está formado por pesos. La función  f , representada por la máquina en el centro, es la encargada de asociar a cada persona su peso. Además, en la definición anterior llamábamos  a   a cada elemento del conjunto inicial y  b  a cada elemento del conjunto final. El valor de  b  se obtiene aplicando la regla  f   "peso de la persona" al elemento  a .

6. Ejemplo de funciones Una función que relaciones un conjunto A formado por personas, con un conjunto B formado por colores, a través de la regla "a cada persona su color de ojos"

7. No todas las relaciones son funciones En una función, a cada elemento de B pueden llegar varias flechas de A, pero de un elemento de A no pueden salir varias flechas. Así, dada una correspondencia que sea una función (ilustración izquierda), la correspondencia inversa (ilustración derecha) no tiene por qué serlo también.

8. Ejemplo práctico: Formas de movilizarse Caminar Volar Nadar Pájaro Perro Pez Serpiente

9. Ejemplo práctico: Formas de movilizarse Caminar Volar Nadar Pájaro Perro Pez Serpiente

10. Ejemplo práctico: Sumarle uno. X + 1 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 x F(x)

11. Ejemplo práctico: Sumarle uno. X + 1 -2 -1 1 2 -1 1 2 3 x F(x)

12. Representación de Funciones Hay cuatro posibles maneras de representar una función:

13. Notación funcional f(x) = Es la variable dependiente. f = Es el nombre de la función. x = Es la variable independiente. 3x + 2= Es la regla de transformación.  

14. Dominio y Rango Dominio: Es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida. Rango: Es el conjunto de todos los valores que toma f.

15. Tipos de funciones

16. Ejemplo   -2 -1 1 2 -2 -1 1 2

17. Ejemplo resuelto   -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 f(x) = I -2 I F(x) = 2  

18. Ejercicio 1. Función Lineal   x y -2 -8 -1 -5 -2 1 1 2 4 3 7 y= 3x - 2 y =3(-1)-2 y= -3 - 2 y = - 5 x y

19. Ejercicio 1. Función Lineal   x y -2 -8 -1 -5 -2 1 1 2 4 3 7 y= - 6 – 2 y= -8   y= - 3 – 2 y= -5   y= 0 – 2 y= -2   y= 3 – 2 y= 1   y= 6 – 2 y= 4   y= 9 – 2 y= 7  

20. Ejercicio 2. Función Cuadrática   x y -2 2 -1 -1 -2 1 -1 2 2 3 7        

21. Ejercicio 2. Función Cuadrática   x y -2 2 -1 -1 -2 1 -1 2 2 3 7 – 2   – 2   – 2   – 2   – 2   – 2  

22. Actividad          

23. SESIÓN 2

24. Sistema de Coordenadas Cartesianas Conocido también como Plano Cartesiano, Coordenadas Cartesianas. Son dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero. Su finalidad es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de Coordenadas.

25. Elementos del Plano Cartesiano

26. Ejes Coordenados Son las dos rectas perpendiculares que se interconectan en un punto del Plano. Estás rectas reciben el nombre de abscisa y ordenada. El eje de las abscisas esta ubicado de manera horizontal y se identifica con la letra “x”. El eje de las ordenadas está orientado verticalmente y representa con la letra “y”.

27. Origen o Punto 0 Se llama origen al punto en el que se intersectan los ejes “x” y “y”, punto al cual se le asigna el valor de 0.

28. Cuadrantes del Plano Cartesiano Se llaman cuadrantes a las cuatro áreas que se forman por la unión de las dos rectas perpendiculares. Los puntos del plano se describen dentro de estos cuadrantes: Los cuadrantes se enumeran tradicionalmente con los números romanos, I, II, III, IV. En el cuadrante I, la abscisa y la ordenada son positivas. En el cuadrante II, la abscisa es negativa y la ordenada positiva. En el cuadrante III, tanto la abscisa como la ordenada son negativas. En el cuadrante IV, la abscisa es positiva y el ordenada negativa.

29. Gráfica de una Función La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos ayuda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando. A partir de la gráfica de la función podemos encontrar el dominio, el contradominio , describir su comportamiento: dónde crece, dónde decrece, dónde se hace cero, dónde tiene un mínimo o un máximo, etc.

30. Para graficar una función de la manera más sencilla, basta sustituir valores de x en la función y calcular los valores correspondientes para y, ubicar estos puntos en el sistema de coordenadas cartesianas y unir los puntos por una curva suave. (3,0)

31. Ejercicio 1. Gráfica la función   x y -3 -2 -1 1 2 3

32. Ejemplo 1. Grafica la función   x y -3 -2 -1 1 2 3

33. Ejercicio 2. Función Lineal y = 5x - 4 x y -3 -2 -1 1 2 3

34. Ejemplo 2. Función Lineal y = 5x - 4 x y -2 -1 1 1 2 3

35. Ejercicio 3. Función Cuadrática x y -3 -2 -1 1 2  

36. Ejemplo 3. Función Cuadrática x y -2 -1 1 2 3  

37. EJERCICIO 4,5 y 6 Calcula los valores de “y”, tabula y grafica los siguientes ejercicios. . .                      

38. SESIÓN 3

39. Operaciones con Funciones Las operaciones suma, resta, multiplicación y división entre funciones son semejantes a las correspondientes efectuadas con los números.

40. Ejemplo 1   Encuentre ( f+g ) (x), (f-g)(x), ( fg )(x) y (f/g)(x) Suma: Resta: Multiplicación: División:           +4          

41. Ejemplo 1   Encuentre ( f+g ) (x), (f-g)(x), ( fg )(x) y (f/g)(x)     Suma: Resta: Multiplicación: División:    

42. Ejemplo 1 Encuentre ( f+g ) (x), (f-g)(x), ( fg )(x) y (f/g)(x) =(5x+3) + (2x-1 = =   =   Suma: Resta: Multiplicación: División:      

43. Ejercio 2 Encuentre ( f+g ) (x), (f-g)(x), ( fg )(x) y (f/g)(x) Suma: Resta: Multiplicación: División:                        

44. Ejemplo 2   Encuentre ( f+g ) (x), (f-g)(x), ( fg )(x) y (f/g)(x)     Suma: Resta: Multiplicación: División:    

45. Ejemplo 2   Encuentre ( f+g ) (x), (f-g)(x), ( fg )(x) y (f/g)(x) =(2x + 1) + ( =     Suma: Resta: Multiplicación: División:    

46. Ejemplo 3 Encuentre ( f+g ) (x), (f-g)(x), ( fg )(x) y (f/g)(x) Suma: Resta: Multiplicación: División:  

47. Ejemplo 3 Encuentre ( f+g ) (x), (f-g)(x), ( fg )(x) y (f/g)(x)     Suma: Resta: Multiplicación: División:      

48. Ejemplo 3 Encuentre ( f+g ) (x), (f-g)(x), ( fg )(x) y (f/g)(x) =( ) + ( = =     Suma: Resta: Multiplicación: División:      

49. Actividad Clase Grabada 3 De acuerdo a las siguiente funciones, realizar las operaciones de suma ( f+g )(x), resta (f-g)(x), multiplicación (f*g)(x) y división (f/g)(x).       1) 2)

50. SESIÓN 4

51. Límites Límites procede de la palabra latina  limes , que es el genitivo de  limitis   que puede traducirse como borde o frontera de algo. En matemáticas, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. Es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral).

52. Se dice que el límite de una función f(x) es L cuando x tiende a 0. El límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito. La notación habitual suele ser la siguiente: Y expresa que “el límite de la función f(x) cuando x tiende al punto x0.  

53. Límites Laterales El límite por la izquierda de una función y=f(x), cuando es el valor al que tiende la función para puntos muy próximos a Para expresar el límite por la izquierda se escribe: El límite por la derecha de una función y=f(x), cuando es el valor al que tiende la función para puntos muy próximos a Para expresar el límite por la derecha se escribe:  

54. Cálculo del Límite en un Punto Para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las “x”.  

55. Ejemplos      

56. Ejemplos     =    

57. Ejemplos resueltos       El límite no importa, si la función es una constante. El límites es la constante

58. Ejemplos   Potencia y Raíz. Multiplicación y División. Suma y Resta.

59. Ejercicios                    

60. Ejercicios           56       -2    

61. CLASE 5

62. Derivada La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

63. Función Derivada En rojo, la gráfica de la función  f(x)=x 2 . Los puntos azules representan el valor de la derivada de  f(x)  en cada abscisa considerada. Parece razonable pensar que la ubicación de esos puntos vendrá dada por la recta azul  ·y= 2x , con lo que  podemos decir que la función derivada de  f(x)  es  f'(x)=2·x .

64. Volviendo a la función de nuestro ejemplo  f(x)=x 2 , podemos calcular su función derivada aplicando la definición: Que es, justamente, el resultado que habíamos deducido a partir de la tabla anterior. A no ser que te lo pidan específicamente, no será necesario que apliques la definición cada vez que tengas que  calcular la derivada de una función , sino que harás uso de las   reglas de derivación .

65. Reglas de Derivación La derivada de una constante es cero. Ejemplo:   1. La derivada de una constante   Escribe aquí la ecuación.   La derivada de x =1 F(x)=x F´(x)=1

66. La derivada de es entonces:   2. La derivada de una potencia entera positiva            

67. Para derivar una constante por una función, es decir cf (x), su derivada es la constante por la derivada de la función, o cf ´(x), por ejemplo: 3. La derivada de una constante por una función              

68. La regla para la derivada de una sum es ( f+g )´= f´+g ´, es decir, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces: 4. La derivada de una suma                

69. Existen Reglas de Derivación, para las Funciones Trigonométricas. A continuación, se muestran. 5. La derivada de Funciones Trigonométricas

70. Ejemplos Seno:   2   f´(x) = cos x   3     Senx*Cosx    

71. Ejemplos Coseno:   2     2x        

72. Ejemplos Tangente:   2          

73. Tarea 5                    

74. CLASE 6

75. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR La derivada de orden superior se conoce como la segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x).

76. Es importante tener en cuenta:

77. de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los ordenes pese a que se puedan calcular con las formulas. Las notaciones usuales utilizadas con mayor frecuencia para derivadas de segundo orden son:

78. El orden de las derivadas, se pueden expresar de la siguiente manera:   f´´=Segunda derivada F´´´=Tercera derivada

79. F(x)= 5x F´(x)=5 F´´(x)=0

80. Ejercicios Calcula la Derivada de Segundo Orden                                

81. Ejemplos: En los siguientes ejercicios obtenga la primera y segunda derivada:              

82.   4. f(x) = Sen x          

83. Regla de la Cadena Es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones, es decir, Regla de la Cadena nos ayuda a derivar Funciones Compuestas. James Gregory. Matemático en formular la Regla de la Cadena.

84. Ejemplo            

85. Actividad Hallar la segunda derivada de la siguiente función:      

86. Tarea 6 a) Calcula la segunda derivada de las siguientes funciones:     b) Calcula la derivada de una función compuesta aplicando la Regla de la Cadena:    

87. SESIÓN 7

88. Función Implícita Función Implícita: Aquella función en la que la variable dependiente “y”, se halla mezclada con la variable independiente “x”, se puede expresar como: Función dada mediante una expresión en la que la variable dependiente “y” no aparece despegada. Dicho de otra manera, aquella función que se expresa mediante una igualdad en la forma: f( x,y ) = 0

89. Por ejemplo, la igualdad correspondiente a , es una función implícita. También,  

90. Diferencia entre función explícita y Función Implícita    

91. Igualdad de una función y la Derivada de una Función             Encontrar Encontrar  

92. Derivar con respecto a x Ejemplo 1) Ejemplo 2)  

93. Ejercicios en clase. Video Conferencia Derivar con respecto a x    

94. Derivación Implícita Es la derivada que se realiza directamente sobre una función implícita. En este tipo de funciones, como se indico anteriormente, la variable “y” se halla mezclada con la variable “x”, de la que depende, de forma que cada vez que derivemos la variable y tendremos que multiplicarla por el término dy /dx=y´. A nivel práctico puede decirse que la variable “y”, se derivará como si fuese una “x”, para a continuación multiplicarla por y´.

95. Ejemplo, se tiene cuya derivada será realizada como un producto, esto es:  

96. Encontrar y´ Encontrar     Ejemplo 1:   Ejemplo 2:  

97. Encontrar la Derivación Implícita,   Ejemplo 3:  

98. Tarea 7 a) Encontrar y´:       b) Realizar un Mapa Mental del Tema Derivadas Parciales:

99. SESIÓN 8

100. MÁXIMOS Y MINIMOS DE UNA SOLA VARIABLE Concepto básico En matemáticas, los  máximos  y  mínimos  de una función, conocidos colectivamente como  extremos de una función , son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto). básico:

101. De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.

102. Aplicación Encontrar las coordenadas de los puntos máximos y mínimos de una función, en donde existe una sola variable.

103. Pasos: Aplicar la primer derivada. Igualar a 0 y Resolver la función. Volver a derivar (sobre la primer derivada) (Obtener la segunda derivada) Sustituir en la segunda derivada (Paso 3), los valores obtenidos en (Paso 2). Obtener las Coordenadas “y”. (Se toma la función inicial, sustituir los valores obtenidos en paso 2). Positivo, es un mínimo Negativo, es un máximo

104. Encontrar las coordenadas de los puntos máximos y mínimos de una función de:                            

105. cc      

106.     2)               3)