prezentacja na temat 5-Praca i energia.pdf

prezentacja na temat 5-Praca i energia.pdf

1. Wykład 5
Dr hab. inż. Jarosław Kanak
Instytut Elektroniki, paw. C-1, pok.321
[email protected]
http://layer.uci.agh.edu.pl/~kanak
12023-10-24 Elektronika, WIEiT
Praca i energia

2. Energia a praca
22023-10-24 Elektronika, WIEiT
Energiajest to wielkość skalarna,
charakteryzująca stan, w jakim znajduje się
jedno lub wiele ciał. Np. energia kinetyczna jest
związana ze stanem ruchu ciała.
Pracajest to energia przekazana ciału lub od
niego odebrana w wyniku działania na ciało siłą.
Gdy energia jest przekazana ciału, praca jest
dodatnia, a gdy energia jest ciału odebrana,
praca jest ujemna. Praca jest równa zmianie
energii.
Jednostką energii i pracy w układzie SI jest 1J.

3. Praca siły stałej
32023-10-24 Elektronika, WIEiT
??????
�=�°�=�∙�cos??????∙
Wskutek wykonanej nad ciałem pracy wzrasta jego prędkość od V
Ado
V
Bczyli rośnie energia kinetyczna
�=��Wektor przesunięcia:
�
�
�
�
�
�
� �

4. Praca siły stałej
42023-10-24 Elektronika, WIEiT
Pracę wykonuje składowa x-owa siły F2
2
ta
tvs
x
A

F
φ
F
xsamsFW
xxAB
 t
vv
a
AB
x

 t
vv
s
AB
2




 zatemkAkBABAB
ABAB
AB
EEmvmvW
t
vv
t
vv
mW





22
2
1
2
1
2
Praca wykonana przez siłę nad
cząstką swobodną jest równa
zmianie energii kinetycznej
cząstki2
2
1
mvE
k
alevmp m
p
E
k
2
2


5. Praca siły niejednostajnie zmiennej
52023-10-24 Elektronika, WIEiT
∆�
??????=�??????∆�??????F
x
??????�=�??????�
Gdy Δxjest bardzo małe i
zmierza do 0
�= ??????�= �??????�
∆�
??????
∆�
??????
�≈
??????=1
�
�
??????∆�
??????
∆�
??????
∆�
??????
F
x
??????�
??????��
1 �
2
�
1
�
2
�=lim
∆�→0

??????=1
∞
�
??????∆�
??????
�
1
�
2
∆�=??????�
Załóżmy, że siła Fzależy od położenia xczyli F(x)

6. Praca siły niejednostajnie zmiennej
62023-10-24 Elektronika, WIEiT
W ogólnym przypadku: �
��=
�
�
�°?????? �
�=
?????? �
??????�
?????? �=�??????�
�
��=
�
�
�°�??????�
Moc jest definiowana jako: ??????=
??????�
??????�
�
��=
??????
�
??????
�
????????????�??????= �°�

7. Przykład
72023-10-24 Elektronika, WIEiT
Elektrowóz rozwija moc P = 1800 kW i ciągnie po
poziomym torze skład wagonów o łącznej masie m =
2000 ton. Współczynnik tarcia kół o szyny wynosi μ=
0,005. Oblicz:
a) Maksymalnąszybkośćpociągu;
b) Przyspieszenie pociągu w chwili, gdy porusza się z
szybkością ??????
1= 4 m/s.
Rozwiązanie
a) Warunekosiągnięciamaksymalnejszybkości?
??????=�∙�
�
�??????�=
??????
�????????????
=18.3
�
�
b) IIzas. dyn. Newtona
??????=
??????
��
1
−????????????=0.17
�
�
2

8. Energia potencjalna
82023-10-24 Elektronika, WIEiT
praca wykonana nad ciałem może zmienić nie tylko
energię kinetyczną lecz również energię
potencjalną ciała
Podnosząc ciało na pewną wysokość zmieniamy jego
energię potencjalną
�
??????=�??????ℎ
Jakie są inne niż grawitacyjna, rodzaje energii
potencjalnej?

9. 92023-10-24 Elektronika, WIEiT
k
k
k
k2
1
2
1
2
2
x
x
x
x
x
kxdxkW 
 )(
1
xxkF 
Praca siły zależnej od położenia –siły
harmonicznejrkF

 


2
1
2
1
x
x
x
x
dxkxFdxdWW  
2
2
2
1
2
xx
k
W 
skoro2
2
kx
EEW
pp

Energia
potencjalna
sprężystości
W–praca wykonana przez siłę sprężystości
Energia potencjalna sprężystości

10. 102023-10-24 Elektronika, WIEiT
Energia potencjalna sprężystości
Kittel, Mechanika

11. 112023-10-24 Elektronika, WIEiT
Aby móc wprowadzić pojęcie energii potencjalnej, pole sił
musi mieć określoną własność, taką, że praca wykonana
w tym polu nie może zależeć od drogi, wzdłuż której
zachodzi przemieszczenie
Takie pola i siły nazywamy zachowawczymi
Energia potencjalna E
pjest to energia związana z
konfiguracją układu ciał, działających na siebie siłami.
Energia potencjalna

12. 122023-10-24 Elektronika, WIEiT
Aby móc wprowadzić pojęcie energii potencjalnej, pole sił
musi mieć określoną własność, taką, że praca wykonana
w tym polu nie może zależeć od drogi, wzdłuż której
zachodzi przemieszczenie
Takie pola i siły nazywamy zachowawczymi
Energia potencjalna E
pjest to energia związana z
konfiguracją układu ciał, działających na siebie siłami.
Energia potencjalna

13. 132023-10-24 Elektronika, WIEiT
Praca wykonana przezsiłę
zachowawcząnie zależy od
drogi lecz zależy jedynie od
położeń punktów A i B.
W
AB
droga1
=W
AB
droga2
= W
AB
droga3
Praca wykonana przezsiłę
zachowawcząnad cząstką
poruszającą się po drodze
zamkniętej jest równa zeru.
W
AA=W
AB+W
BA= 0
Droga 2
Droga 1
Droga 3

L
0dW
AA rF




A

B
Siła zachowawcza

14. 142023-10-24 Elektronika, WIEiT
Przykład 1
Dane jest pole wektorowe o składowych F
x= Ky; F
y= Kx; F
z= 0;
gdzie Kjest stałą. Sprawdzić czy to pole jest zachowawcze
obliczając pracę po konturze trójkątnym o bokach y = x; y = 0; x = x
0.
�
�
�
0
�(�
0,�
0)
�(0,0) �(�
0,0)
�=�� �+�� �+0 ??????
�=�
� �+�
� �+�
�
??????
�=�
� �+�
� �+�
�
??????=� �+� �+� ??????
wektor siły w układzie
kartezjańskim
wektor siły z zadania
�°?????? �=�
�??????�+�
�??????�+�
�??????�
?????? �=??????� �+??????� �+??????� ??????
�°?????? �=��??????�+��??????�+0??????�=��??????�+��??????�
�= �°?????? �=
�
�
�°?????? �+
�
�
�°?????? �+
�
�
�°?????? �=�
��+�
��+�
��
�
0

15. 152023-10-24 Elektronika, WIEiT
Przykład 1
�
�
�
0
�(�
0,�
0)
�(0,0) �(�
0,0)
�
0
�
��=
�
�
�°?????? �=
0
�0
��??????�+
0
�0
��??????�
�=��=�
�
��=�
0
�0
�??????�+�
0
�0
�??????�
�
��=�
�
2
2
0
�0
+�
�
2
2
0
�0
=�
�
0
2
2
+�
�
0
2
2
=��
0
2
�
��=
�
�
�°?????? �=
�0
�0
��??????�+
�0
0
��??????�=� ��
�0
�0
+� �
0�
�0
0
=−��
0�
0=−��
0
2
�
��=
�
�
�°?????? �=
�0
0
�0??????�+
0
0
��??????�=0
�=�
��+�
��+�
��=0

16. 162023-10-24 Elektronika, WIEiT
Przykład 2
Na cząstkę działa siła F= (3x
2
N)i+ (4y N)jgdzie x i y są wyrażone w
metrach. W wyniku działania siły cząstka przemieszcza się z punktu
A(2 m, 3 m) do punktu B(2 m, 0). Zakładamy, że cząstka w punktach A i
B spoczywa względem przyjętego układu odniesienia. Jaką pracę
wykonuje ta siła nad cząstką? Jaki jest skutek energetyczny wykonanej
pracy?
�= (�
�??????�+�
�??????�+�
�??????�)
�
�=3�
2
�
�=4�
�
�=0
�
��=
2
2
3�
2
??????�+
3
0
4�??????�
�
��=0+ 2�
2
3
0
=−18[J]

17. 172023-10-24 Elektronika, WIEiT
Zadanie
Pole sił dane jest wzorem: F= (y
2
-x
2
)i+ (3xy)j
Obliczyć całkę krzywoliniową od punktu (0,0) do punktu (x
0,y
0) wzdłuż
drogi składającej się dwóch prostych odcinków od (0,0) do (x
0,0) i
(x
0,0) do (x
0,y
0). Porównać z wynikiem otrzymanym przy przyjęciu
dwóch innych boków prostokąta jako drogi całkowania. Czy siła jest
zachowawcza?
�
�
�
0
(�
0,�
0)
(0,0) (�
0,0)
�
0

18. 182023-10-24 Elektronika, WIEiT
Istotne siły rzeczywiste
Siła ciężkości –siła grawitacji
Siła oddziaływania elektrostatycznego –
siła Coulomba
są siłami zachowawczymi
Przykładem siły niezachowawczej jest siła
tarcia

19. 192023-10-24 Elektronika, WIEiT
Praca w jednorodnym polu grawitacyjnym
h
α
W = F
1s = Q
Sh/ sinα
ale Q
S= Q sin αi Q = mg
czyli W = mgh
W = ΔEp zmiana energii
potencjalnej
g
F1F1
praca siły
zewnętrznej
Q
S
Q
F
2
Q

20. 202023-10-24 Elektronika, WIEiT
Jednorodne pole grawitacyjne
h
α
g
F1F1
Q
S
Q
F
2
Q
Jednorodne pole grawitacyjne jestzachowawcze
Praca siły zewnętrznej równoważącej siłę ciężkości nie zależy od
sposobu przemieszczania ciała lecz od położeń punktów
początkowegoi końcowego
W
AC= W
AB+ W
BC= ΔEp
A
B
C
0

21. 212023-10-10 Elektronika, WIEiT
Siła centralna –siła zachowawcza
Siła centralna jestsiłą zachowawcząrF ˆ)(rf

Siła centralna
Przykładysił centralnych:rF ˆ
r
Mm
G)r(
2

 rF ˆ
r
Qq
4π
1
)r(
2
0

 rF ˆkr)r(

siła grawitacji
siła Coulomba
siła sprężystości

22. 222023-10-10 Elektronika, WIEiT
Jak obliczać energię potencjalną?

r
A
pp d)A(E)(E rFr



siła oddziaływania (siła pola)
Wartość energii potencjalnej
w punkcie rjest określona z
dokładnością do stałej E
p(A),
którą można obrać umownie.
Sens fizyczny ma jedynie
różnica energii potencjalnej
pomiędzy dwoma punktami.)BA(W)A(E)B(E
pp

Różnica energii potencjalnej cząstki w punktach A i B jest
równa pracy wykonanej przez siłę przyłożoną do cząstki przy
jej przesunięciu od A do B
Umowa: A leży w
nieskończoności czyli E
p(∞)=0


r
p d)(E rFr




23. 232023-10-10 Elektronika, WIEiT
Siła zachowawcza a energia potencjalna
Siła zachowawczaEnergia potencjalna Układ:rF ˆ
r
Mm
G)r(
2

 gF

m mgx)x(E
p
 r
Mm
G)r(E
p

masa m –masa MrF ˆ
r
Qq
4π
1
)r(
2
0

 r
Qq
4π
1
)r(E
0
p

 rF ˆkr)r(
 2
p
kr
2
1
)r(E
masa m –sprężyna k
masa m -Ziemia
ładunek q –ładunek Q

24. 242023-10-10 Elektronika, WIEiT
Związek pomiędzy siłą a energią potencjalną
Przypadek jednowymiarowy Przypadek trójwymiarowy
Operator „nabla”:
�
??????�=−
∞
�
�
�??????��
?????? �=−
∞
??????
�°?????? �
�
�=−
??????�
??????
??????�
�=−
??????�
??????
??????�
�−
??????�
??????
??????�
�−
??????�
??????
??????�
??????
�=−??????�????????????�
??????=−��
??????
�=−
??????
??????�
�−
??????
??????�
�−
??????
??????�
??????

25. 252023-10-10 Elektronika, WIEiT
Przykład –siła sprężystości
Energia potencjalna układu masa-sprężyna dana jest wzorem:
�
??????�=
1
2
??????�
2
�=−??????�????????????�
??????
Sprawdzić, stosując wzór:
czy siła oddziaływania sprowadza się do postaci: �(�)=−?????? �
�=−
??????�
??????
??????�
�−
??????�
??????
??????�
�−
??????�
??????
??????�
??????�
??????�=
1
2
??????(�
2
+�
2
+�
2
)
??????
??????�
�
??????�,�,�=
??????
??????�
1
2
??????�
2
+�
2
+�
2
=??????�
??????
??????�
�
??????�,�,�=
??????
??????�
1
2
??????�
2
+�
2
+�
2
=??????�
??????
??????�
�
??????�,�,�=
??????
??????�
1
2
??????�
2
+�
2
+�
2
=??????�
??????�????????????�
??????=??????� �+??????� �+??????� ??????
�=−??????�????????????�
??????=−??????(� �+� �+� ??????)=−?????? �

26. 262023-10-10 Elektronika, WIEiT
Położenie równowagi
Warunek równowagi:
�=0
??????�
??????
??????�
=0

27. 272023-10-10 Elektronika, WIEiT
Położenie równowagi
Równowaga trwała, energia
potencjalna E
pwykazuje
minimum
Równowaga nietrwała, E
p
wykazuje maksimum
Równowaga obojętna, energia potencjalna E
pjest stała, niezależna
od położenia

28. 282023-10-10 Elektronika, WIEiT
Wielkości charakteryzujące pole grawitacyjne
Siła grawitacji
Natężenie pola
Energia potencjalna
Obliczmy pracę wykonaną przez siłę zewnętrzną przy przesunięciu
ciała z r∞ :
Aby nie zmieniać energii kinetycznej, ciało jest przesuwane przez siłę
zewnętrzną Fzskierowaną przeciwnie do siły grawitacji i co do wartości
F
z= F
g
M
m
�
�=−�
�∙�
�
2
�
�
�
�
�
�
??????=
�
�
�
=−�
�
�
2
�

29. 292023-10-10 Elektronika, WIEiT
Energia potencjalna w polu grawitacyjnym
zatem:
�
�=
??????
∞
�
�°?????? �=���
??????
∞
1
�
2
??????�= −
���
�
??????
∞
=−
���
∞
+
���
�
=
���
�
�
�=
���
�
=∆�
??????
∆�
??????=∆�
??????∞−∆�
????????????=�
�=0−∆�
????????????
�
?????? =
��
�
�(∞→??????)=�
�(??????→∞) �
????????????=−
���
�
skoro�
�=
∞
??????
�
�°?????? �=−�
?????? �
�=−
??????�
??????
??????�
Dla przypadku 3D można zapisać: �
�=−
??????�
??????
??????�
�+
??????�
??????
??????�
�+
??????�
??????
??????�
??????
�
�=−��
??????
�
�=−??????�????????????�
??????gdzie:�=
??????
??????�
�+
??????
??????�
�+
??????
??????�
??????

30. 302023-10-10 Elektronika, WIEiT
Potencjał grawitacyjny
� =
��
�
??????
�
�
�=−��
??????
�
??????=��
−��
??????=�
�−���=� ??????
−��= ?????? ??????=−??????�????????????��
�=−??????�????????????�
??????
Przykład.
Dane jest pole wektorowe o składowych F
x= Ky; F
y= Kx; F
z= 0; gdzie Kjest stałą.
Pole działa na masę m. Sprawdzono, że pole jest zachowawcze. zachowawcze. Czy
istnieje potencjał tego pola V(x,y)? Jeśli tak, to ile on wynosi?
natężenie i potencjałsiła i energia potencjalna

31. 312023-10-10 Elektronika, WIEiT
Potencjał grawitacyjny
Rozwiązanie:
�
�=−��
??????=���
�=�
� �+�
� �+�
�
?????? �=
??????
??????�
�+
??????
??????�
�+
??????
??????�
??????
�=�
� �+�
� �+�
�
??????=−�
??????�
??????�
�+
??????�
??????�
�+
??????�
??????�
??????
??????�
??????�
=−
�
�
�
;
??????�
??????�
=−
�
�
�
�=−
1
�

0
�
�
�??????�=−
1
�

0
�
��??????�=−
1
�
���
�=−
1
�

0
�
�
�??????�=−
1
�

0
�
��??????�=−
1
�
���
�=−
���
�

32. 322023-10-10 Elektronika, WIEiT
Zasada zachowania energii
W układzie izolowanym, w którym zmiany energii
pochodzą jedynie od sił zachowawczych energia
kinetyczna i potencjalna mogą się zmieniać, lecz ich suma
czyli energia mechaniczna E
mechnie może ulegać zmianie.
0 = ΔE
k+ ΔE
p0 = E
k2 -E
k1+ E
p2 -E
p1
E
k1+E
p1 = E
k2 + E
p2E
k+E
p = const0)EE(
dt
d
pk


33. 332023-10-10 Elektronika, WIEiT
ZZE –oscylator harmoniczny0)EE(
dt
d
pk
   0)(   0
dt
dx
x2
2
k
dt
dv
v2
2
m 0
równanie oscylatora
harmonicznego

34. 342023-10-10 Elektronika, WIEiT
ZZE –oscylator harmoniczny
E
k+ E
p= const
Zmiany energii w
układzie:
wahadło-Ziemia
�
??????1+�
??????1=�
??????2+�
??????2

35. 352023-10-10 Elektronika, WIEiT
Zadanie
Z jakiej najmniejszej wysokości h musi zjechać klocek
aby nie oderwał się od toru w najwyższym punkcie pętli
kołowej?

36. 362023-10-10 Elektronika, WIEiT
ZZE –pole grawitacyjne
Ciało wyrzucone z powierzchni planety będzie
poruszało się w jej polu grawitacyjnym. Z jaką
minimalną prędkością trzeba je wyrzucić aby
oddaliło się do nieskończoności?
M
m
�
�1
R
�
�2
V
∞
Zgodnie z ZZE
�
�1=�
�2
�
??????1+�
??????1=�
??????2+�
??????2
��
2
2
+−
���
??????
=
��
∞
2
2
+−
���
∞
��
2
2
+−
���
??????
=0+0
��
2
2
=
���
??????
�
2
=
2��
??????
�=
2��
??????
�
????????????=
2��
??????
Wzór na drugą prędkość
kosmiczną
Dla Ziemi:
�
????????????=11.19
??????�
�

37. 372023-10-10 Elektronika, WIEiT
Związek między pracą a energią mechaniczną
W = ΔE
k+ ΔE
p
Praca siły
zewnętrznej
Zmiana energii
kinetycznej
Zmiana energii
potencjalnej
Praca siły zewnętrznej wykonanej nad układem prowadzi do
zmiany energii mechanicznej W = ΔE
mech= ΔE
k+ ΔE
p

38. 382023-10-10 Elektronika, WIEiT
Podsumowanie
Istnieje ścisły związek pomiędzy pracą a energią
O energii potencjalnej układu można mówić tylko dla sił
zachowawczych
Zasada zachowania energii mechanicznej pozwala
rozwiązywać zagadnienia, które są trudne lub niemożliwe do
rozwiązania na gruncie zasad dynamiki
Całkowita energia jest wielkością stałą. Energia może być
przekształcana z jednej formy w inną, ale nie może być
wytwarzana ani niszczona
W = ΔE
mech+ ΔE
term+ΔE
wew

39. 392023-10-10 Elektronika, WIEiT
Przykład
Wahadło balistyczne
Pociskwystrzelonyz szybkością??????
0 wbija się w masywną tarczę
zawieszoną na linie o długości L.
Masa tarczy jest n–razy większa od masypocisku.
Lina z zawieszoną tarczą po trafieniuprzezpociskodchyla
sięo kątα.
Obliczyćpoczątkowąszybkośćpocisku.
�
0
�
�
�
ℎ
�∙�