primer parcial de algebra del cbc exactas e ingenieria

1. Primer Parcial – Álgebra – Exactas – CBC Pág. 1
Parciales resueltos para el CBC: http://soko.com.ar Si necesitas clases: 011-15-67625436
(1) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2
do
Cuat. 96 Tema 2
1. Hallar los valores de a, b, c y d para que el conjunto de soluciones de S sea un plano que pasa por el
punto (1, – 2, 1) si S:
ï
î
ï
í
ì
-=-++--
=+-
=++
8)4()8(
3
2 2
321
321
321
dxacxbx
dcxbxx
axxx

2. Sea S = {x Î R
2x2
/ x11 + x22 = x21 = 0} Hallar un subespacio T de R
2x2
tal que S + T = R
2x2
y
S Ç T = >
ú
û
ù
ê
ë
é
<
20
02

3. Si S: – x1 + x2 – x3 + 2 x4 = 0 y P = <(– 2, 1, 0, 1); (– 5, 2, 1, 1); (– 5, 2, 1, 1)>. Hallar, si es posible,
una base de S que contenga una base de P Expresar v = (2, 2, 2, 1) en la base hallada.
4. En R
3
sean P = (2, 1, 1) y P : x1 + x2 – x3 = 0. Encontrar A y B en P de modo que los vectores
v =
®
PA y w =
®
PB sean ortogonales.
(2) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2
do
Cuat. 96 Tema 3
1. Sea L la recta que pasa por (0,–1, 2) y (2,1,1). Hallar dos rectas alabeadas, ambas perpendiculares a
L y que además la corten. (Aclaración: dos rectas son alabeadas si no son paralelas, ni se cortan.)
2. Si
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
1
1
2
y
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
3
0
2
son soluciones de A . x =
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
1
1
4
y
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
1
2
1
es solución de A . x =
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
2
3
1
. Hallar tres solu-
ciones de A. x =
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
3
4
5
.
3. Sean B = {(1, 1, – 1), (0, 1, 2), (2, 1, 0)} y B’ = {(–1, 3, 2), (1, 4, 2)}. Hallar v para que exista algún
vector no nulo de R
3
cuyas coordenadas en la base B’ coincidan con sus coordenadas en la base B.
4. Sean en R
2x3
los subespacios S = {a Î R
2x3
/a11 + a22 = a12} y S’ = {a Î R
2x3
/a12 – a21 = a13 = 0}.
Hallar un subespacio P, tal que P Ì S’ y S Å P = R
2x3
.
(3) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2
do
Cuat. 96 Tema 4
1. Hallar los valores de a, b, c y d para el conjunto de soluciones de S, sea un plano que pasa por
(1,1,1) si:
ï
î
ï
í
ì
-=+--+
=-+
=+-
12)2()2(
3
6
:
321
321
321
dxcxnbx
dcxbxx
xaxx
S
2. Sea S = {x Î R
2x2
/ x11 + x12 + x21 = 0}. Hallar un subespacio P de R
2x2
y S È P = <
ú
û
ù
ê
ë
é-
00
22
>

2. Primer Parcial – Álgebra – Exactas – CBC Pág. 2
Parciales resueltos para el CBC: http://soko.com.ar Si necesitas clases: 011-15-67625436
3. Si S: x1 + x2 + x3 – 2x4 = 0 y P = <(–1, 0, – 1, 1), (2, – 3, 2, 1)> hallar si es posible, una base de S
que contenga una base de P
^
. Expresar v = (2, 1, –1, 1) en la base hallada.
4. En R
3
sean P = (1, – 1, 2) y P: 2x1 – x2 + x3 = 0. Encontrar A y B en P de modo que los vectores v
=
®
PAy u =
®
PBsean ortogonales.
(4) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2
do
Cuat. 96 Tema 1
1) Sean P: 2x + y = 1 y L : x = t (1, 1, 1) + (1, 0, 0). Hallar los puntos P y Q Î L, tales que, L Ç P sea
el punto medio del segmento PQ y la longitud del segmento PQ sea igual a 43
2) Si el sistema A. X = 0 (con A Î R
3x3
y X Î R
3x1
) admite a la recta L: x = t (1,–1,0) como solución.
Hallar tres soluciones no triviales del sistema A.B.X = 0 que no sean coloniales siendo B =
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
-
103
011
112

3) Sean
î
í
ì
=++
=+-
=
0
0
431
421
xkxx
xxx
S y L: X = a (4, – 2, 1, 4). Hallar todos los valores de k Î R para los
cuales L Ì S
^
.
4) Encontrar una base de R
4
, B = {v1, v2, v3, v4} que verifique {v1, v2, v3} sea una base de {x Î R
4
: x4 =
0} ; {v2, v3, v4} sea base de {x Î R
4
: x2 = 0} y [(1,– 2, 1, 2)]B = (1, 0, 0, 1).
(5) Álgebra (27) – Primer Parcial: 1
er
Cuat. 96 Tema 1
1. a) Determinar la ecuación del plano P cuyo punto más próximo al origen sea (-1, 2, 3) b) Determi-
nar la ecuación de un plano P’ que verifique: P Ç P’ y d(P’, 0) = d(P,0) donde 0 = (0,0,0)
2. Hallar los valores de a y b para que el conjunto de soluciones del sistema
ï
î
ï
í
ì
=-+
+-=-+
=-+
122
5
0
321
321
321
xxx
axbxbx
xxx

sea igual a
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
Î
3
3
1
.
100
03
011
: xaRx
3. Si S = >(1,1,0,0); (0,1,1,0); (–1,0,1,0)> y v = (1, 3, 2, 1), hallar v1, v2 tales que v1 ^ v2 ,
v = v1 + v2, y v1 Î S.
4. Si B = {v1, v2, v3} y B’ = { v1 – v2, v1 + v2 + v3, w} son bases de un espacio vectorial V sobre R y:
(w1)B’ = (1, 0, 0) (w2)B’ = (0, 1, 1) (w3)B’ = (1, 0, 3).
Hallar w si sabemos que (w1 – w2 + w3)B’ = (– 2, – 3, 2).

3. Primer Parcial – Álgebra – Exactas – CBC Pág. 3
Parciales resueltos para el CBC: http://soko.com.ar Si necesitas clases: 011-15-67625436
(6) Álgebra (27) – Primer Parcial: 1
er
Cuat. 97 Tema 4
1) Sean L: x = (1,2, –1) + l(1,1,1); P = (1,2,0) y Q = (0,1, –2). Encontrar todos los puntos A Î L tales
que el triángulo PAQ sea rectángulo en A.
2) Sean
ï
î
ï
í
ì
=-
-=++
=++
1
12
1 2
:
31
432
321
xx
xxx
xxx
S y w = <(0, 1, – 1, 0); (1, 0, 0, – 1)>. Decidir si el conjunto de
soluciones de S está contenido en W. Justificar.
3) Sea S = <(1, – 2, 0); (– 2, 4, k
2
– 1); (k, 2, 0)>. Determinar todos los valores de k para los cuales
existe un subespacio W tal que: dim. W = 1 y S Å W = R
3
. Para algunos de los valores de k hallados,
encontrar W.
4) Sean B = {v1, v2, v3} y B` = { v1 – v2, 2v1 + v2, v3} bases de un espacio vectorial V y v Î V un vec-
tor cuyas coordenadas en las base B con (1, 2, 4). Hallar las coordenadas de v en la base B’.
(7) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2
do
Cuat. 97 Tema 3
1. Las rectas L1: l(2, 0, 1) + (1, 2, 1) y L2: l(1, – 1, 2) + (1, – 2, a) están contenidas en un plano P.
Determinar el valor de a y hallar la ecuación del plano P.
2. Dadas A =
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
--
-
231
120
142
B =
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
a
-
701
10
323
2
C =
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
a
-
3
2
1
, encontrar a para que existan al menos
dos vectores x Î R
3 x 1
tales que A x = B x + C
3. Dados S = <(1, 0, 1, 2); (2, 1, – 1, 1)> y P = <(1, 0, – 1, 0); (0, 1, 2, 1); (0, 1, 0, 1) >
Encontrar una base de R
4
que contenga a una base de S
^
Ç P.
4. Hallar una base B = {v1, v2, v3} de R
3
tal que para todo v = (x, y, z) Î R
3
. Las coordenadas de v en la
base B son (x + y, x, y + 2z).
(8) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2
do
Cuat. 97 (Recuperatorio – Diferido) Tema 2
1. Hallar todos los puntos P de R
3
tales que dist.(P, P) = dist.(P, P’) siendo P = x1 + 4x2 – x3 = 9 y P’
= x1 + 4x2 – x3 = 11.
2. Hallar todos los puntos del plano P: 3x1 + x2 + x3 = 1 que son solución del sistema
ï
î
ï
í
ì
=+-
=+-
=+
42
3
2 2
32
321
31
xx
xxx
xx

3. Hallar, si existe, a Î R tal que B = {(2,–2,1,0); (1,–1,3,0)} sea base de (S Ç P) si
S: x1 + x2 – 3x3 = 0 y P: < (3, – 3, 2a, 0); (–1, 1, 2, 0); (1, – 2, 1, – 2a)>
4. Si W = {(a
ij) Î R
3x3
/ a
ij = 0 si i < j} y S = {(a
ij) Î R
3x3
/å
=
=+
2
1
230
j
ijaa }.
Buscar P en R
3x3
de modo que W + P = S.
(9) Álgebra (27) – Primer Parcial: 1
er
Cuat. 98 Tema 4

4. Primer Parcial – Álgebra – Exactas – CBC Pág. 4
Parciales resueltos para el CBC: http://soko.com.ar Si necesitas clases: 011-15-67625436
1. Sean las rectas L: l(–1, 1, 2) + (2, 1, 3) y L’: t(2, –1, 1) +(0, 2, 3). Encontrar la ecuación de un pla-
no P que contenga a L y que todos los puntos de L´ estén a igual distancia de P.
2. Determinar todos los valores de a y b para los cuales el sistema A. X = ÷
ø
ö
ç
è
æ
b
a
0
tiene infinitas solucio-
nes siendo A =
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
310
513
a
aaa

3. Hallar una base B de R
3
de manera que las coordenadas del vector (–1,3,2) en la base B sean
(4,–1,0), y las coordenadas del vector (– 2, – 3, 1) en la base B sean (–1, 1, 0).
4. Sean W = {x Î R
4
/ x1 – 2x2 + 2x4 = x3 + x4 = 0} y P = <(1,0,– 1,0); (2,1,1,–1); (2, 0, 1, – 3)>. Hallar
dos subespacios de R
4
, S1 y S2, tales que S1 Ì W; S1 Å S2 = P y S1 ¹ 0
(10) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2
do
Cuat. 98 Tema 1
1. Sea P el plano que pasa por los puntos A = (1, – 1, 2), B = (0, 1, 3) y C = (1, 1, 0). Determinar
todos los puntos de R
3
que están a una distancia de
11de P.
2. De todas las rectas de R
3
que pasan por el punto (2, 1, 0), ¿Cuáles pueden ser el conjunto de solu-
ción del sistema S, para algún valor de a y b?.
ï
î
ï
í
ì
=-
=-+
=+-
252
3
222
zy
bzyx
zayx
S
3. Sean en R
4
los subespacios S = {x Î R
4
/ x1 + x2 – x3 – x4 = 0} y P = <(1,1,1,0); (2,3,2,1); (0,2,1,2)>.
Hallar una base de R
4
que contenga simultáneamente a una base de S y una base de P.
4. Sean B = {v1, v2, v3} y B’ = {v1 + v2 – v3, 2v2 – v3, v1 + v3}, bases de V. Sea S el subespacio de to-
dos los vectores de V que tienen las mismas coordenadas en la base B y B’.
Decidir si S está contenido en <v1 – v2; v3>.
(11) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2
do
Cuat. 98 Tema 2
1. Sea P el plano que contiene a los puntos A = (0, 3, 0); B = (2, 0, -1); C = (2, 1, 0) , hallar todos los
xÎ P que estén a igual distancia de A, de B y de C.
2. Sea en R
2 x 2

ú
û
ù
ê
ë
é
ú
û
ù
ê
ë
é
=
10
13
;
00
12
S . Encontrar todas las matrices x de R
2 x 2
que verifiquen x . s = s .
x para toda matriz s de S.
3. Sean B = {(1,1,1,1);(1,1,1,0);(-1,1,0,0);(0,0,-1,1)} una base de R
4
y v el vector cuyas coordenadas
en la base B son (2,1,5,0). Encontrar un sistema de ecuaciones cuyas soluciones sean las cuatreñas
(x1, x2, x3, x4) ortogonales a v.
4. Si S1: 2x1 + x2 + a x3 – x4 = 0 y S2: x1 + x2 + x3 + b x4 = 0 , hallar a y b para que los vectores v =
(1, –1, 3, 0) y w = (2, 1, 0, 5) pertenezcan a S1 Ç S2. Para los valores de a y b determinados extender
(v, w) a una base de S1, a una base de S2 y a una base de S1 Ç S2. Justificar.

5. Primer Parcial Álgebra: CBC (U.B.A.)
Si necesitas clases puedes llamar al 011-15-67625436 o ir a soko.com.ar por los cursos online.
(1) Primer Parcial: 1999
1. Hallar, si es posible, las ecuaciones de los planos con normal N = (4, - 2, 4) que están a 5 del pun-
to P = (0, 1, -1)
2. Determinar los valores de k para los cuales el siguiente sistema tiene solución única:
ï
î
ï
í
ì
=-+++
=++++
=-+
0 )2()1(
0)1( )2(
0 2
321
321
321xxkxk
xkxkxk
xxx

3. Sea S = {x Î R
4
/ x1 + 2 x 2 – x3 = 0; x 1 + x2 – x3 + x4 = 0} y sea B = {(-1, 1, 1, 1);(-3, 1, -1,-1); ;(1,-
1,-3,-1);(-2, 1, 0, 1)}. Hallar, si es posible, un conjunto B´Ì B tal que B´ sea base de S. Justificar.
4. Sea B = {v
1, v2, v3} una base de R
3
. Si S = < v 1 + 2 v 2, v2 – v3, v1 + v2 + v3 >
a) Hallar una base del subespacio P Ì R
3
tal que S Å P = R
3
. b) Si v 1 = (1,-1, 1); v 2 = (-1, 1, 0) y v 3
= (1, 0, 0), dar las coordenadas de los elementos de la base hallada en a) en la base B y en la base ca-
nónica.
Rta: 1) 2x – y +2z = 12; 2) k Î R – {– 1, 0}; 3) B’= <(– 1, 1, 1, 1);(– 1, – 1, – 3, – 1);( – 2, 1, 0, 1)> ;
4) a) P = < v
1 – 2 v 2 , v2 + v3 , v3 – v1 – v2 >. b) ármenla.
(2) Primer Parcial: 1998
1) Sea S = {x Î R
4
/ 3x1 + x2 – x3 = 0 y x 4 = 0}. Hallar un subespacio P Ì R
4
tal que
(1, 0, – 1, 2) Î P y R
4
= S Å P.
2) Sea S Í R
3
; S = < (a, 1, a); (3ª, a, – a)>. Hallar la dimensión de S "a Î R. Justificar la respuesta.
3) Hallar todas las matrices A Î R
2 x 2
que verifican:
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
30
12
.AA.
30
12

4) Sean L, la recta de dirección (1,2,– 2) que pasa por el punto P = (a, b, c) y sea Q el punto
Q = (1,2,– 2) + (a, b, c). Si P es el plano perpendicular a L que pasa por P, probar que d(Q,P
) =
||(1,2,– 2)||.
Rta: 1) P = {x Î R
4
/ x1 + x2 + x3 = 0 y x 2 – 2x 3 = x4}; 2) Dim: 2; 3) A es canónica; 4) Q es un punto
de la recta L Þ d ||Q P|| = d ||P Q|| = || Q – P || = || (1, 2, – 2) + (a, b, c) – (a, b, c) || =
= ||(1, 2, – 2) ||.
(3) Primer Parcial: 1997 Tema 3
1. Sea P en el plano que pasa por los puntos A = (1,-1,0), B = (2,0, -1) y C = (3,-
2,1)
( )1,2,3-=C y sea b = {(1,-1,1);(1,1,0);(-1,0,0)}. Encontrar un punto P del plano P, cuyas coor-
denadas en la base b sean de la forma: (P)
b = (l + 1, l + 1, l - 1), con l Î R.
2. Si el determinante de la matriz
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
dc
ba
es igual a 6, calcular el determinante de la matriz
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
--
ba
dc
300
300
0011
0053

3. Sean S y T los subespacios de R
4
definidos por
ï
î
ï
í
ì
=++
=+-
î
í
ì
=++++-
=+-
02)3(
02 )9(
:T
0)2(2
0 2
:S
43
42
2
4321
321
xxa
xxa
xxaxx
xxx

Calcular la dimensión de S Ç T para todos los valores de a Î R.
4. En R
4
, sean S = <(1, -1,1,0);(1,-2,0,1)> y sea H = {x/x Î R, x 1 – x2 + x3 = 0}. Hallar, si es posi-
ble, una base de H que contenga a una base de
^
S.
Respuestas: 1) ()1,0,2=P ; 2) 126 ; 3) Dim S Ç T = 0 ; 4) <(1,1,0,1);(-1,0,1,1);(0,0,0,1)>

6. Primer Parcial – Álgebra – Ingeniería – CBC Pág. 1

Si necesitas clases de apoyo puedes llamar al 011-15-67625436
Primer Parcial de Álgebra 03/10/01
1) Sean L: X : l (1, 2, 1) + (1, – 1, 0) y P1: plano que contiene el eje “y” y al eje “z”; P2: plano que
contiene el eje “x” y al eje “z”. Hallar todos los B Î R tales que d(B P1) = d(B P2).
Estamos buscando un punto de la recta, llamado B, que se encuentre a igual distancia de ambos
planos. El plano P1, y – z = 0; mientras que P2, al tener coordenada y = 0, su ecuación es x – z = 0.
La recta posee ecuación (x, y, z) = l (1, 2, 1) + (1, – 1, 0)
Desarrollándola paramétricamente tenemos:
ï
î
ï
í
ì
l=
-l=
+l=
z
y
x
12
1

Aplicamos la ecuación para hallar la distancia entre un punto B a cada
uno de los planos

d(B, P1) =
2
1
)1(10
)(12
222
-l
=
-++
l--l
d(B, P2) =
2
1
)1(01
)(1
222
=
-++
l-+l

Las igualamos para hallar l:
î
í
ì
=lÞ-=-l
=lÞ=-l
Þ=
-l
011
211
2
1
2
1

Si l = 2, el punto es (3, 3, 2) (reemplazar en la recta).
Si l = 0, el punto es (1, – 1, 0)
2) Dada
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
--
-=
5111
3331
1211
A , sea T = { b Î R
3x1
/ el sistema de la matriz ampliada (A; b) es
compatible}. Hallar b1 y b2 Î T, no nulos, tales que b1 ^ b2.
b es un matriz de 3x1 así que podemos escribirlo como
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
z
y
x
b
()
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
--
-=
z
y
x
bA
5111
3331
1211
, Triangulemos para hallar el valor de x, y, z.
B
P1
P2

7. Primer Parcial – Álgebra – Ingeniería – CBC Pág. 2

Si necesitas clases de apoyo puedes llamar al 011-15-67625436
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+-
--¾¾¾¾ ®¾
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+
--¾¾¾¾ ®¾
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
--
-
=-
=+
=-
zyx
xy
x
xz
xy
x
z
y
x
210000
4120
1211
6120
4120
1211
5111
3331
1211
323
313
212
FFF
FFF
FFF

Para todo vector de T
T
: b = (x, y – x, 2x – y + z) (se elige la traspuesta por que es más fácil de
trabajar).
Buscamos dos vectores perpendiculares, o sea que su producto escalar sea cero.
b1 . b2 = (x1, y1 – x1, 2x1 – y1 + z1) . (x2, y2 – x2, 2x2 – y2 + z2) = 0
x1. x2 + (y1 – x1).( y2 – x2) + (2x1 – y1 + z1).( 2x2 – y2 + z2) = 0
x1x2 + y1y2 – y1x2 – x1y2 + x1x2 + 4x1x2 – 2x1y2 + 2x1z2 – 2x2y1 + y1y2 – y1z2 + 2x2 z1– y2 z1 + z1z2 = 0
6 x1x2 + 2 y1y2 + z1z2 – 3 y1x2 – 3 x1y2 + 2x1z2 – y1z2 + 2x2 z1– y2 z1 + z1z2 = 0
x1 (6x2 – 3y2 + 2z2) + y1 (– 3x2 + 2y2 – z2) + z1 (2x2 – y2 + z2) = 0
Para facilitar la operación suponemos que x1 = 1, y1 = 1, z1 = 1
b1 = (1, 1 – 1, 2.1 – 1 + 1) = (1, 0, 2)
Queda
6x2 – 3y2 + 2z2 – 3x2 + 2y2 – z2 + 2x2 – y2 + z2 = 0
5x2 – 2 y2 + 2 z2 = 0
Hay varios puntos que dan cero:
a) x2 = 0, y2 = 1, z2 = 1 ® b2 =
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
0
1
0
b) x2 = – 2, y2 = 0, z2 = 5 ® b2 =
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ-
1
2
2
. . .
Queda en ustedes verificar que son perpendiculares (en el parcial es la verificación lo que te asegura
que no te hayas equivocado).
3) Sean T = {A Î R
3x3
/ a11 + a22 + a33 = 0}; S Ì R
3x3
/ S = < I >, calcular dim. S + T.
Si B =
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
--
-
311
221
021
hallar: sÎ S y t Î T / B = s + t
Los elementos de T son matrices de 3x3 cuya diagonal principal debe dar cero, una base puede ser:

8. Primer Parcial – Álgebra – Ingeniería – CBC Pág. 3

Si necesitas clases de apoyo puedes llamar al 011-15-67625436
T =
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
001
000
000
,
000
000
100
,
000
001
000
,
000
100
000
,
000
000
010
,
010
000
000
100
000
001
,
100
010
000
,
S =
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
100
010
001

Para calcular la dimensión de S + T sumamos la cantidad de vectores, 1 de S y 8 de T, así que:
Dim. (S + T) = 9
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
l=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
--
-
--
hgf
edc
bahd
100
010
001
311
221
021
(recordar que la diagonal debe dar cero).
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
l
l
l
=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
--
-
--
hgf
edc
bahd
00
00
00
311
221
021

÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+l==-=-
=+l==-
==--l=
hgf
edc
bahd
311
221
021

÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ --
¾¾¾¾¾ ®¾
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ --
Þ
ï
î
ï
í
ì
=++l
=++l
=--l
1
1
1
100
120
111
3
2
1
101
011
111
30
20
1
ostriangulam
hd
hd
hd

h = 1
2d + 1 = 1 ® d = 0
l – 0 – 1 = 1 ® l = 2
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
--
-
-
+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
--
-
111
201
021
200
020
002
311
221
021
t s
4) Sea B = {v1, v2, v3, v4} base de un espacio vectorial V. Sean S = < v1+ v2 – 2v3 + 2v4; v2 – v3 + v4>
T = < v1+ v2 +2 v3; v1 + v4>, hallar el subespacio W Ì V, tal que W Å (S Ç T) = V.
Busquemos un vector que pertenezca a la intersección de S y T.

9. Primer Parcial – Álgebra – Ingeniería – CBC Pág. 4

Si necesitas clases de apoyo puedes llamar al 011-15-67625436
S Ç T =
( )
î
í
ì
+l++++g=
+-b++-+a=
)()2(
)(22
31321
4324321
vvvvvu
vvvvvvvu
r
r

a v1+ a v2 – 2 a v3 + 2 a v4+ b v2 – b v3 + b v4 = g v1+ g v2 +2 g v3 + l v1 + l v4
v1 (a - g - l) + v2 (a+ b – g ) + v3 (2a – b - 2 g)+ v4 (2 a + b - l) = 0
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
--
--
¾¾¾¾¾ ®¾
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
--
-
-
Þ
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=l-b+a
=g-b-a
=g-b+a
=l-g-a
00000
02400
01010
01101
00112
02012
01011
00101
02
022
0
0
dotriangulan

- 4 l - 2g = 0 ® g = - 2l
b = - l
a - l - g = 0 ® a - l + 2l = 0 ® a = - l
u
r
= l (v1 + v2 + 2v3) – 2 l (v1 + v3) = l ( - v1 + v2) intersección entre S y T.
Estamos buscando a W de manera que sumado a S Ç T da V. Los vectores deben ser linealmente
independientes.
W = {v2, v3, v4}






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10. Algebra – Exactas – Primer parcial – Cátedra Gutiérrez



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