Principia matematica

Artículo del libro de Isaac Newton, de su libro 3. Principia matematica

1. RevúlaMexicanadeFúica42,No.6(1996)1051-1059
PhilosophiaeNaturalisPrincipiaMathematica:
consideracionesentornoasuestructuramatemática
J.E.MARQUlNA, R.RIDAURA,J.L.ÁLVAREZ,V.MARQUINA yR.GÓMEZ
FacultaddeCiencias,UniversidadNacionalAutónomadeMéxico
Apartadopostal70-646,04510México,D.F.,México
Recibidoel9defebrerode1996;aceptadoel7dejuniode1996
RESUMEN.Enestetrabajosehaceunanálisisdelasformulacionesmatemáticasutilizadaspor
NewtonensulibroPhilosophiaeNaturalisPrincipiaMathematiea.Apesardelaaparentemente
intencionadaomisióndelanálisisfluxional,poréldesarrollado,Newtonnopudoevitarsuutili-
zación,almenosensuaspectoconceptual,eneldesarrollodealgunasdesusdemostraciones.Así,
eldiscursomatemáticoendicholibroabarcadesdelageometríatradicionalhastalateoríade
ftuxiones(Cálculo),siendolapartepredominanteunaformulacióngeométricadelmovimiento,O
"geometríafluyente",lacualseencuentraamediocaminoentreambas.
ABSTRACT.\VeanalyzethemathematicalformulationsusedbyNewtoninhisPhilosophiaeNa-
turalisPrincipiaMathematica.Apparent!y,Newtonintentionallyomittedinallhisbooktheuse
oftheftuxionalanalysisthat/ledeveloped.However,hecouldnotavoiditsuse,atleastinits
conceptualframe,insorneofthedemonstrationsheprovided.Theresultisthathismathematical
discourseinthisbookdriftsfromtraditionalgeometrytoftuxionaltheory(Calculus),beingthe
centralpartageometrica1formulationofmovement,or"flowinggeometry" 1whichHesinbetween
thetwoformerapproaches.
PACS:01.40.-d
"YbienpuedegloriarselaGeometríadequedetanpocosprincipiospostu-
ladosdeotrositiologretangrandesresultados.Sefunde,pues,laGeometría
enlaprácticamecánicaynoesotracosaqueaquellapartedelaMecánica
universalqueproponeydemuestraconexactitudelartedemedir",1
IsaacNewton.
l.INTHODUCCIÓN
PhilosophiaeNaturalisPrincipiaMathematieaes,seguramente,ellibromásimportanteen
lahistoriadelafísica.Editadoen1687,corrióconunasuertepeculiar,yaqueaunquemuy
pocosestabancapacitadosparaentenderlocabalmente,fueaceptadocasiincondicional-
mentedemanerainmediataylepermitióasuautor,IsaacNewton(1642-1727),gozaren
vidadeunaextraordinariapopularidad,nosóloenlosámbitosacadémicos,sinoinclusoen
lospolíticos.Sinembargo,aunqueelmismoNewtonrealizódurantesulargavidadosnue-
vasedicionesdelosPrincipia(1713y1726),estaauténticajoyadelpensamientocientífico
envejeciódeunamanf'raextraordinariamenterápida,noenelsentidoconceptualsinoen
II.r\ewton,Principiosmatemáticosdelafilosofíanatural,AlianzaEditorial,Madrid(1987)98.
1051

2. 1052 J.E.MARQUINA ETAL.
elusodellibromismo.Lasgeneracionessiguientesaprendieronlafísicanewtonianatra-
. '
ducidaalosnuevosalgoritmosdelCálculo,ysolamenteenInglaterrasesiguieronleyendo
losPrincipia.Estehechopodráparecerextrañoatodosaquellosestudiantesyprofesores
defísicaque,comoesnaturalhoyendía,nuncahayantenidocontactodirectoconeste
libro,puesresultasorprendentequeelcreadordelCálculonolohayautilizado,demanera
prioritaria,enlaredaccióndesuobracumbre.AunqueNewtonaseguróenelAccountof
CommerciumEpistolicum(1715)2quelaprimeraversióndelosPrincipiaestabaescrita
enestilofluxional,queluegotranscribióaunarepresentacióngeométrica,hoyendíase
admitequetalversiónnoexistiónuncayquelaaseveracióndeNewtondebeubicarseen
lacontroversiaconLeibnitzporlapaternidaddelCálculo.
Pararesponderalapregunta¿quématemáticautilizóNewtonenlosPrincipiosMa-
temáticosdelaFilosofíaNaturol?,hayqueempezarporanalizarlaestructurageneralde
dicholibro.
2.ESTRUCTURA DELOSPrincipia
Laobraempiezaconunconjuntodedefinicionesenlasqueseestablecenconceptosta-
lescomomasa,cantidaddemovimiento,fuerzacentrípeta,etc.Acontinuación,enun
"Escolio"seexplicanlosconceptosdelugar,espacio,tiempoymovimientoabsolutos,
diferenciándolosdelosrelativos.Newtonseñalaladistinciónentreabsolutoyrelativo,
verdaderoyaparente,matemáticoycomún.Inmediatamenteyconsólounadiscusión
superficialdecadaunadeellas,aparecenlasleyesdemovimiento,enunciadasdema-
neraaxiomática.Finalmente,antesdeentraralLibroPrimero-ElMovimientodelos
Cuerpos-Newtonplanteaseiscorolariosenlosque,entreotrascosas,tratasobreel
caráctervectorialdelasfuerzas,lacantidaddemovimientoyelcentrocomúndegrave-
dad.
EnlosLibrosPrimeroySegundo-ElmovimientodelosCuerpos.(Enmediosresisten-
tes)-,Newtontratará"...todolorelativoalagravedad,levedad,elasticidad,resistencia
delosfluidosyfuerzasporelestilo,yaseandeatracciónoderepulsión...",3querepre-
sentanlosprincipiosmatemáticosenfilosofía,yaque"...todaladificultaddelafilosofía
parececonsistirenque,apartirdelosfenómenosdelmovimiento,investiguemoslasfuerzas
delanaturalezaydespuésdesdeestasfuerzasdemostremoselrestodelosfenómenos".4
Unavezsentadoslosprincipiosmatemáticos,enelLibroTercero-ElSistemadel
Mundo.(Entratamientomatemático)-Newtonplantealaexplicacióndelsistemadel
mundo,enelque"...apartirdelosfenómenoscelestes,pormediodeproposicionesde-
mostradasmatemáticamenteenloslibrosanteriores,sededucenlasfuerzasdelagravedad
porlasqueloscuerpostiendenhaciaelSolyacadaunodelosplanetas".5
2Cfr.LB.Cohen,!ntroductiontoNewton's"Principia",HarvardUnivcrsityPrcss,Cambridge,
Massachuselts(1978)79.CfrR.S.Westfall,NeveratRest,CambridgeUniversilyPress,USA,
(1986)728.
31.Newlon,op.cit.p.98.
41.Newlon,op.cit.p.98.
s1.Newlon,op.cit.p.98.

3. PIIILOSOPHIAE NATURALISPRINCIPIAMATIIEMATICA: CONSIDERACIONES ... 1053
LosPrincipiaterminanconunEscolioGeneralendonde,entreotrascosas,Newton
señalaque"TanelegantecombinacióndeSol,planetasycometassólopuedetenerorigen
enlainteligenciaypoderdeunenteinteiigenteypoderoso".6
3.LAMATEMÁTICA DELOSPrincipia
LamatemáticautilizadapredominantementeporNewtonenlosLibrosPrimeroySegundo
delosPrincipia,esunacomplejaestructuraconceptual,quepodríadenominarse"geo-
metríafluyente",quebasándoseenlageometríatradicional,introduceelementosquela
acercanaloquehoyendíaconocemoscomoCálculo.Sinembargo,estonoobstaparaque
enalgunasparteshayademostraciouesestrictamentegeométricasytambiénseencuentren
pinceladasdeteoríadefluxiones(nombredadoporNewtonalCálculo).
3.1.Geometríatradicional
Comoejemplodelautilizacióndelageometríatradicional,bastaverellemasiguiente:
LEMAXVII,SECCIÓl\'V,LIImOPRIMERO
SideunpuntocualesquieraPdeunaseccióncónicadadasetrazanlaslíneasrectas
PQ,PR,PS,PTsegúnángulosdadossobrelosladosprolongadosinfinitamenteAB,
CD,AC,DBdeuntrapecioABDCquesehallainscritoenladichaseccióncónicay
trazadaslalíneasunaacadauno;ocurriráqueelrectángulodelasrectastrazadassobre
losdosladosopuestosPQxPRestaráconrespectoalrectángulodelastrazadassobre
losotrosdosladosopuestosPSxPTenunarazóndada.
A
6I.Newton,op.cit.p.782.
~
¡
+0
~
i
¡
!
i
.l.K

4. 1054 J.E.MARQUINA ETAL.
.Y.2.TeoríadejJuxiones
EnlaSección1delLibroPrimero,Newtonplanteaunconjuntodelemasenlosquefácil-
mentepodemosapreciarelconceptodeintegraldefinida,comoseobservaenelLemaII:
LEMA11,SECCIÓN1,LIBROPRIMERO
SienunafiguraAacEcomprendidaentrelasrectasAa,AE,ylacurvaacEse
inscribenvariosparalelogramosAb,Be,Cd,etc.construidossobrebasesigualesAB,
BC,CD,etc.yconladosBb,Ce,DdparalelosaliadoAadelafigura;ysecompletan
losparalelogramosaKbl,bLcm,cMdn,etc.,sientoncessedisminuyelaanchurade
estosparalelogramosyseaumentainfinitamenteelnúmerodeellos:digoquelasrazones
últimasquesedanentrelafigurainscritaAKbLcMdD, lacircunscritaAalbmcndoE
ylacurvilíneaAabcdEsonrazonesdeigualdad.
a
K
A
~
:
L
DF
m
e D E
Alfinaldeestasección,enunEscolio,endondeNewtonsepermitíaasímismoespe-
cular,discuteloqueellectordebeentenderpor"cantidadesevanescentes"y"cantidades
nacientes",enelquepodemosvisualizarunconceptointuitivodelímite,queescentral
paratodoslosdesarrollosulteriores.EndichoEscolioseseüala:
ESCOLIO,SECCIÓN1,LlI3HOPlUMERO
...Portanto,enloquesigue,cuantasvecesconsiderecantidadescomosiconstarande
partículas,ocuantasvecestomepequeñascurvasporlíneasrectas,noquieroentender
nuncaquesetratadeindivisibles,sinodedivisiblesevanescentes,nitampocodesumas
oraZOlH'Sdepartesdeterminadas,sinodeloslímitesdelassumasydelasrazones...
Pudieraohjctarsequenohayproporciónültirnaalgunaentrecantidadesevanescentes,
yaqueantesdequedesaparezcan110sontíltimas,y,despuésdedesaparecidas,nopuede
darseninguna...hadeentenderseporrazón{¡¡timadecantidadesevanescenteslarazón
decantidades,noantesdequedesaparezcan,nidespuésdedesaparecidas,sinoaquéllacon
laquedesaparecen...ysemf'janteeslarazónde1límitedetodaslascantidadesnacientes

5. PHILOSOPHIAE NATURALISPRINCIPIAMATHEMATlCA: CONSIDERACIONES ... 1055
yevanescentes.Ydadoquetallímiteesciertoydefinido,elproblemadedeterminarloes
puramentegeométrico...Lasrazonesúltimasconlasquetalescantidadesdesaparecenen
realidadnosonrazonesdecantidadesúltimas,sinolímitesalosquetiendenaacercarse
siemprelasrazonesdecantidadescontinuamentedecrecientes,límitesalosquepueden
acercarsemásqueunadiferenciadada,peronuncatraspasarlo.nitampocoalcanzarlo
antesdequelascantidadesdisminuyanininfinitum...
Másadelante,enelLibroSegundo,aparececonabsolutaclaridadtantoelconceptode
derivadacomoelalgoritmoparaderivarsuma,producto,cocientedefunciones,asícomo
funcionespotencialesyfuncióndefunciones:
LEMAI1,SECCIÓNI1,LIBROSEGUNDO
Elmomentodeunageneradaesigualalosmomentosdecadaladogeneradormulti-
plicadosporlosÍndicesdelaspotenciasdedichosladosysuscoeficientescontinuamente.
Llamogeneradaacualquiercantidadqueseengendra,enaritméticapormultipli-
cación,divisiónyextracciónderaícesdeladosotérminoscualesquiera...Considero
aquíadichascantidadescomoindeterminadasyvariablesycomosicreciesenydecrecie-
senconunmovimientooflujocontinuo;yasusincrementosodecrementosmomentáneos
esaloquellamomomentos...elsentidodellemaesquesilosmomentosdeunascan-
tidadesA,B,e,etc.,queaumentanodisminuyenenflujocontinuo,olasvelocidades
delasmutacionesproporcionalesaaquéllossellamana,b,e,etc.,elmomentoomu-
tacióndelrectángulogeneradoADseríaaD+bA,elmomentodeláreageneradaADC
seríaaDC+bAC+cAD:ylosdelaspotenciasgeneradasA',A3,A',AI/',A3/',
AI/3,A'/3,A-I,A-'YA-I/'seránrespectivamente:2aA,3aA',4aA3, (1/2)aA-I/',
(3/2)aA1/',(1/3)aA-'/3,(2/3)aA-1/3,-aA-',-2aA-3,Y(-1/2)aA-3/';y,enge-
neral,queelmomentodeunapotenciacualquieraAn/msería(n/m)aA<n-m)/m.También
queelmomentodelacantidadgeneradaA'Dserá2aAD+bA',queelmomentodela
generadaA3D'C'será3aA'n'c'+4bA3n3c' +2cA3D'C,ydelageneradaA3ID'
odeA3n-' será3aA'D-'-2bA3D-3, etc.
3.3.Geometríafluyente
Estaformamatemática,amitaddecaminoentregeometríatradicionalycálculo,senutre
conlaproblemáticafísica,aceptandoqueelmovimientointervieneenlosrazonamientos
yadmitiendoloinfinitamentepequeño,comoseobservaenlossiguientesejemplos:
PROPOSICIÓN XXII.PRODLEMA XIV,SECCIÓNVII,LIDROPRIMERO
Supuestoquelafuerzacentrípetaseainversamenteproporcionalalcuadradodela
distanciadeloslugaresalcentro,determinarlosespaciosque,entiemposdados,recorre
uncuerpocayendoenlínearecta.
PROPOSICIÓN VI.TEOREMA V,SECCIÓNI1,LIDROPRIMERO
Sienunespaciosinresistenciauncuerpogiraenunaórbitaalrededordeuncentro
inmóvilydescribeenuntiempomuypequeñounarconacienteeneseinstanteeimagi-
namostrazadalasagitadelarcoqueasuvezdividaendoslacuerday,prolongada,pase
porelcentrodefuerzas:lafuerzacentrípetaenelpuntomediodelarcoserádirectamente
comolasagitaeinversamentecomoelcuadradodeltiempo.
Parailustrareldiscursomatemáticoncwtoniano,acontinuacióndiscutiremoslade-
mostracióndelaProposición1,TeoremaIdelaSeccióuIIdelLihroPrimero,lacual

6. 1056 J.E.MARQUINA ETAL.
esunmagníficoejemplodelespírituqueanimaaloquehemosdenominado"geometría
fluyente":
PROPOSICiÓN1.TEORE~IA1,SECCiÓN11,LIDROPRIMERO
Lasáreas,descritasporcuerposquegiransujetosauncentrodefuerzasinmóvilpor
radiosunidosadichocentro,estánenelmismoplanoinmóvilysonproporcionalesalos
tiempos.
e
/
/.~..•..
A
el
"
.~..,
.....
........
......'/
//
./
.....
/.:
.•.,: .
zf/"
:'./
.:./
,'.".
....•..•......~/
•......•
1/
!.'
.•.,"
~"~
,':
s
ParalademostraciónNewtonsuponealtiempopartidoenintervalosigualesyaun
cuerpoquesemuevedeAaDeuelprimeriutervalodetiempo.Sinoactuasealguna
fuerzasobree!cuerpo,llegaríaalpuntoc(comocousecuenciadelaprimeraley),detal
maneraquelastrayectoriasADyDcfueseniguales.
TrazandolossegmentosAS,DSycS,demuestraquelasáreasdeé>ASDyé>DScson
igualesportenerunladocomún(SD)yAD=DecouAD11De.
SicuandoelcuerpollegaaDactúasobreéluuafuerzacentrípetaiustantáneadirigida
haciaS,sutrayectoriasemodificará,digamosenladirecciónDd.
TrazandounaparalelaaDSatravésdee,sobrelalíneaDdencuentrae!puntoCyal
completarseelsegundointervalodetiempo(porelCorolarioIdelasLeyes,7)elcuerpo
seencontraráenC(verparalelogramoVDeC),euelmismoplanoquee!é>ASD.
TrazandoelsegmentoSCycomparandoelé>DSCyelé>DSe,demlwstraquesusáreas
soniguales,yaqueSDesparaleloaCe(porcoustrucción)y,porlotauto,eláreadel
é>DSCesigualalade!é>ASD.
Conargumentossimilares,siHIlafuerzacentrípetaactúasucesivamenteenelD~E,
etc,haciendoqueelcucrpoencadaintervalodctiempodescribalastra.Yl'ctori~CO,
DE,EF,etc,sedemuestraquetodasesastrayectoria."('stánenelmismoplanoyquelos
7COROLARIO PRIMERO:Uncu('rpor('correladiagonaldeunparalelogramohajodosfuerzas
conjuntasenelmismotiempo('11quelosdosladosbajolasdosaccionesporseparado.

7. PIIlLOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIAMATHEMATICA: CONSIDERACIONES ... 101)7
t.CSD,t.DSE,t.ESF,etc,tendránáreasiguales.Porlotanto,"...entiemposiguales
sedescribenáreasigualesenunplanoinmóvil".
HastaahoraNewtonhautilizadoparalademostración:1)Primeraysegundaley(Co-
rolarioPrimero),2)eltiempo,consideradoenintervalosigualesy3)geometríatradicional.
Apartirdeestepuntodelademostración,Newtonintroduceunconceptodelímite
al"...Aumentarelnúmerodetriángulosydisminuirsualturaadinfinitum",haciendo
tenderelintervalodetiempoaceroparaconcluirqueelperímetroABCDE...esuna
líneacurvaenlaquelafuerzacentrípeta,porlaqueuncuerpoescontinuamenteseparado
delatangentededichacurva,actúademaneracontinuayquelasáreasbarridasson
siempreproporcionalesalostiemposenqueestasáreassondescritas.
SiparalademostraciónanteriorNewtonhubierautilizadoelCálculo,éstapodríahaber
sidocomosigue:
Tomandoencuentaquelafuerzaescentral(ypuestoqueparalademostracióndeque
elcuerposemueveenunplauonoesnecesarioelcálculo)podemoselegirelsistemade
referenciatalqueelplanoxycontengaalafuerzayalavelocidad.Enestesistema
f=IFI(icosO+jsenO)
yelvectordeposiciónencoordenadascartesianasserá.
r=xi+yj.
(1)
(2)
Ahorabien,cuandolapartículasemuevedeAaBelarcoquerecorreelradiovector
AS=rbarreeláreadeltriánguloASB,queesiguala
1
t.A=_r2e:.O
2 '
(3)
endondet.oeseláuguloASn.Dividiendoeutret.tytomaudolarazónúltimadelas
cantidadesevanescentes(Escolio,Sección1,LibroPrimero),eláreabarridaporunidadde
tiemposerá
dA I2'
di=2rO. (4)
Porotrolado,derivandodosveceselvectordeposiciónconrespectoaltiempo.la
expresióuqueseobtieneparalaaceleraciónes
ii=(i'+r(2)(icosO+jsenO)+(21'0+1'0)(-isenO+jcosO),
y,porlasegundaley,
(5)
f=IFI(icosO+jsenO)=m[(i'+r02)(icosO+jsenO)+(UO+rO)(-isenO+jcosO)]. (6)
Estaigualdadimplicaqueelsegundotérmiuodelmiembroderechodebesercero;e~decir,
2fO+rO=O.
(7)

8. 1058 J.E.MARQUINA ETAL.
MultiplicandoporryutilizandoelLemaII,SecciónII,LibroII,seobtiene
(8)
yportanto,
(9)
ComparandoestaúltimaexpresiónconlaEc.(4),sesiguequeelradiovectorbarreáreas
igualesenigualesintervalosdetiempo,queesloquesequeríademostrar.Desdeluego,en
lenguajemodernoesteresultadoseríaunaconstantedemovimiento(multiplicadoporla
masanosdalaconservacióndelamagnituddelmomentoangular),peroNewtonnunca
habladeellasensudiscurso.
4.LAFILOSOFIA NATURAL
LosprincipiosmatemáticosdemostradosenlosLibrosPrimeroySegundo,lepermiten
aNewton:"...investigarlasmagnitudesdelasfuerzasylasrazonesquesesiguenen
cualesquieracondicionessupuestas...",8paradespués,aldescenderalaFilosofíaNatural
enelLibroTercero,"...compararestasrazonesconlosfenómenos,paraqueaparezca
cuálescondicionesdeesasfuerzascorrespondenacadaclasedecuerposatractivos".9
Enestesentido,utilizandoelresultadopreviamenteanalizado(ProposiciónI.Teorema1,
SecciónII,LibroPrimero)queaunadoalCorolario110yalaProposiciónXI,l1queson
decaráctergeneral,alllevarlasal"SistemadelMundo",lepermiteaNewtondemostrar
laprimeraysegundaleyesdeKepler,comosemuestraenlasiguienteProposición:
PROPOSICIN XIII.TEOREMA XIII,LIIlROTERCERO
LosplanetassemuevenenelipsesquetienenunfocoenelcentrodelSol,yconradios
trazadosadichocentrodescribenáreasproporcionalesalostiempos.
Yahemosconsideradoestosmovimientosmásarribapartiendodelosfenómenos.
Ahoraqueseconocenlosprincipiosdelmovimiento,deellosdeducimos"apriori"los
movimientoscelestes.PuestoquelospesosdelosplanetashaciaelSolsoninversamente
comoloscuadradosdelasdistanciasalcentrodelSol,sielSolreposaseylosdemás
planetasnoactuasenmutuamenteentreellos,susórbitasseríanelípticas,teniendoalSol
enelfococomún,ydescribiríanáreasproporcionalesalostiempos(porlasProposiciones
81.Newton,op.cit.p.360.
91.Newton,op.cit.p.360
10COROLARIO 1.PROPOSICIN XIII,SECCINIII,LII3ROPRIMERO:Sesiguedelastres
últimasproposicionesquesiunciertocuerpoPpartedelpuntoPconunavelocidadcualquiera
segúnladireccióndeciertalínearectaPRybajolaacciónsimultáneadeunafuerzacentrípeta
inversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciadeloslugaresalcentro,dichocuerpose
moveráenalgunadelasseccionescónicasquetengasufocoenelcentrodefuerzasyviceversa...
11PROPOSICIN XI.PROBLEMA VI,SECCINIII,LII3ROPRIMERO:Siuncuerpogira
enunaelipse,hallarlaleydelafuerzacentrípetatendentealfocodelaelipse.

9. PHILOSOPHlAE NATURALIS PRINCIPIAMATHEMATICA: CONSIDERACIONES ... 1059
IYXIYelCorolario1delaProposiciónXIIIdelLibroPrimero),perolasaccionesdelos
planetasentreellossonmínimas(desuertequepuedendespreciarse)yperturbanmenos
losmovimientosenelipsesdelosplanetasentornoalSol(porlaProposiciónLXVIdel
LibroPrimero)quesitalesmovimientosserealizasenentornoaunSolenreposo...
Enelejemploanterior,llamalaatenciónelmétododedemostraciónutilizadopor
NewtonalolargodetodoelLibroTercero,enelcualyanoesnecesarialaherramienta
matemática,dejandoalalógicaelpapelde,enel"SistemadelMundo",engarzarlas
demostracionesmatemáticasgeneralesrealizadasenlosdosprimeroslibros.
5.CONCLUSIONES
LosPrincipiadeNewtonsonconsiderados,porsusconceptualizaciones,comounlibro
fundamentalenlahistoriadelafísica,peroademás,representaunauténticoparteaguas
metodológicoenlahistoriadelaciencia.Elestiloabsolutamenterigurosoquevadelo
generalyabstractodelmundomatemáticoaloparticularyconcretodelmundofísico,le
permiteaNewtonconstruirunedificioconceptualenelquedetajoeliminaplanteamientos
enboga(comolosvórticescartesianos),demostrandolacertidumbredeotros(comolas
leyesdeKepler),integradosenunanuevacosmovisión.
Enestatarea,lamatemáticajuegaunpapelprimordial,nosólocomoherramientade
cálculo,sinocomounnuevolenguaje,absolutamenteimbricadoconeldesarrollomismo
delosnuevosconceptos.
AGRADECIMIENTOS
LosautoresdeseanagradecerlavaliosacolaboracióndeC.Muniveenlaelaboraciónde
estetrabajo.
REFERENCIAS
1.I.Newton,Principiosmatemáticosdelafilosofíanatural,AlianzaEditorial,Madrid(1987).
2.I.Newton,MathematicalPrincipiesofNaturalPhilosophyandhisSystemoftheWorld,trad.
deA.Molle(1729),revisadaporF.Cajori,UniversityofCaliforniaPress,USA(1934).
3.F.DeGandt,MathesisVI(J990)163.
4.LB.Cahen,lntroductiontoNewton's"Principia",HarvardUniversityPress,Cambridge,Mas-
sachusells(1978).
5.R.S.\Vestfall,NeveratRest,CambridgeUniversityPress,USA(1986).