Principio de incertidumbre de Heisenberg

1. INTRODUCCIÓN A LA
MECÁNICA CUÁNTICA
Física IV- Astronomía-Geofísica- U.N.S.J.

2. Principio de complementariedad de
Bohr
Ó

3. En Física Clásica cualquier fenómeno de
transporte de energía puede explicarse
por el modelo ondulatorio o por el modelo
de partícula, pero no por ambos.
EL MODELO DE PARTÍCULA Y EL
MODELO ONDULATORIO SON
MUTUAMENTE CONTRADICTORIOS.

4. ¿Cómo aplicamos estos modelos a las situaciones de
naturaleza dual de la radiación electromagnética y las
partículas materiales?
Ó

5. (1928) Niels Bohr: PRINCIPIO DE
COMPLEMENTARIEDAD
LOS ASPECTOS DE ONDA Y
PARTÍCULA DE LA RADIACIÓN
ELECTROMAGNÉTICA SON
COMPLEMENTARIOS , ES DECIR,
CUALQUIER MEDICIÓN
EXPERIMENTAL QUE INVOLUCRE LA
RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
PUEDE SER COMPLETAMENTE
EXPLICADA POR UN MODELO O POR
EL OTRO.

6. ¿Cómo aplicamos esto a las
partículas materiales?

7. EN ALGUNOS EXPERIMENTOS LA
NATURALEZA ONDULATORIA SE
SUPRIME Y EN OTROS LA
NATURALEZA DE PARTÍCULA SE
SUPRIME, PERO LOS DOS
MODELOS SE COMPLEMENTAN.

8. ¿Cómo son las ondas que
asociamos a las partículas
materiales?
Longitud de onda: longitud de onda de de
Broglie.
Denominación: Ondas de materia
Pero:
¿Cuál es la naturaleza de estas ondas?

9. Descripción del paquete de onda
de partículas materiales
Movimiento de una onda típica a lo largo del eje
x:
Por analogía reemplazamos y(x,t) por: Y(x,t)
función de onda asociada con una partícula
material
)(),( tkxAsentxy w-=
Número de onda
Frecuencia angular
l
p2
=k
T
p
pnw
2
2==
)(),( tkxAsentx w-=Y

10. Dos dificultades para:
Y tiene continuidad en el espacio, mientras que una
partícula material siempre está localizada en el espacio.
La velocidad de fase (o velocidad de la perturbación):
)(),( tkxAsentx w-=Y
ln
lp
pnw
===
/2
2
k
v
fase
en atributos de onda
Usando E=hn y
p=h/l:
p
E
p
h
h
E
v
fase
==
en atributos de
partícula
Usando E=mc
2
y p=mv:
v
c
v
fase
2
=
Fotón: v
fase
=c
Partícula: (como v<<c) v
fase
>c

11. Para superar estas dificultades asumimos que la
función de onda Y(x,t) representa un grupo de ondas
de frecuencias y longitudes de onda diferentes.
å
D+=
=
-=Y
kkk
kk
iii
i
i
txksenkAtx )()(),( w
Dk depende del grado de localización de la partícula en el espacio.
El objetivo es combinar muchas ondas de diferentes
frecuencias y amplitudes para que la resultante tenga
un alto valor de amplitud cerca de la vecindad de la
partícula y cero en otras partes. Esto es necesario
porque la onda de materia debe estar espacialmente
asociada con la partícula cuyo movimiento controla.

12. (a) Formación de un
paquete de onda por
combinación de 7
ondas desde k=7 a
k=13. El promedio del
número de onda es
k
0
=10.
(b) En el tiempo t
1
, el
paquete de onda se
mueve una distancia
( k
ħ
0
/m)t
1.

13. Para localizar mejor la partícula
deberíamos aumentar el rango de Dk
y usar series de Fourier e integral de
Fourier.
Nos limitaremos a analizar un caso
simple.

14. Consideremos dos ondas de
amplitudes iguales y frecuencias
ligeramente distintas:
)(),(
1 tkxAsentx w-=Y
[ ]txkkAsentx )()(),(
2 wwD+-D+=Y
Sumándolas:
),(),(),(
21 txtxtx Y+Y=Y
[ ]txkkAsentkxAsentx )()()(),( www D+-D++-=Y
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æD
+-÷
ø
ö
ç
è
æD
+
ú
û
ù
ê
ë
é D
-
D
=Y tx
k
ksentx
k
Atx
2222
cos2),(
w
w
w

15. kkk @D+ )2/( www @D+ )2/(
Tomando
)(
22
cos2),( tkxsentx
k
Atx w
w
-÷
ø
ö
ç
è
æ D
-
D
=Y
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æD
+-÷
ø
ö
ç
è
æD
+
ú
û
ù
ê
ë
é D
-
D
=Y tx
k
ksentx
k
Atx
2222
cos2),(
w
w
w
)(),( tkxsenAtx
m w-=Y
Representa una onda de frecuencia original w pero amplitud
modulada

16. )(),( tkxsenAtx
m w-=Y
Dos ondas de frecuencias y longitudes de onda levemente diferentes que
viajan en la dirección x como se muestra en (a) producen máximos y
mínimos cuando se suman juntas como en (b).

17. Aunque las ondas individuales viajan con la fase velocidad
v
fase
, la modulación de amplitud
÷
ø
ö
ç
è
æ D
-
D
= tx
k
A
m
22
cos2
w
viaja con una velocidad de grupo v
g
dada
por:
kk
v
g
D
D
=
D
D
=
ww
2/
2/
o en el límite para Δk→ 0:
dk
d
v
g
w
=

18. Usando las relaciones E = hn =ħω, donde ħ=h/2π y p = h/λ = ħk, tenemos:
dp
dE
dk
d
v
g ==
w
Como: ²²
42
0 cpcmE +=
v
mc
mvc
E
pc
cpcm
pc
dp
dE
===
+
=
²
²²
²²
²
42
0
vv
g
=
La velocidad v
g
de grupo (o velocidad del paquete de onda)
es la misma que la de la partícula y por lo tanto el paquete
puede guiar el movimiento de la partícula y además
localizarla.
La velocidad v
fase
es la velocidad de la perturbación.

19. INTERPRETACIÓN
ESTADÍSTICA DE LA FUNCIÓN
DE ONDA
Nos interesa considerar en detalle la relación
existente entre la función de onda Y(x,t) y la
localización de la partícula.
Haremos una analogía con la amplitud del
campo eléctrico de la radiación
electromagnética.
Consideraremos un haz de radiación
electromagnética monocromática incidiendo
en ángulo recto sobre una pantalla.

20. I: intensidad de iluminación, definida como la energía por unidad de área
por unidad de tiempo.
cI ²
0Ee=
ε
0
: permitividad del vacío
E: magnitud del campo eléctrico
instantáneo sobre la pantalla
Otro punto de vista es tratar la radiación electromagnética como que
consiste en fotones:
N: flujo de fotones o el número de fotones incidentes por unidad de área
por unidad de tiempo
nNhI=
2
ENµ
El lado izquierdo de la ecuación representa el
modelo de partícula de la radiación
electromagnética, mientras el lado derecho
representa el modelo ondulatorio.
Para un gran flujo no hay dificultad en explicar la
iluminación de la pantalla con cualquier modelo.

21. Si la intensidad disminuye y sólo se reciben unos pocos fotones sobre la
pantalla tenemos que:
No es posible predecir la posición y el tiempo
exacto de arribo de cada fotón sobre la pantalla.
La distribución de los fotones sobre la pantalla es
completamente aleatoria, pero el número
promedio de fotones que arriban por unidad de
área y por unidad de tiempo es constante y
predecible.
Si se reemplaza la pantalla por una placa fotográfica y se expone un
tiempo largo a esta radiación débil, el resultado es la iluminación
uniforme de la placa.
N nos da la probabilidad de observar un fotón y no la posición exacta y el
tiempo de arribo del fotón a la pantalla.
E² a probabilidad de observar a un fotón en un
punto

22. Si extendemos estos conceptos a los paquetes de onda asociados con
partículas materiales, tenemos:
Max Born (1926)
La función de onda Y(x,y,z,t) es tal que: dvtzyx ²),,,(Y
es la probabilidad de observar una partícula en un volumen dv=dx dy dz en un
tiempo t.
dvtzyxtzyxdvtzyx ),,,(),,,(²),,,( yyy
*
=
Para un sistema estacionario (independiente del tiempo) la probabilidad de
observar una partícula es:
Y no tiene significado físico y
½Y½² sí lo tiene.
En una dimensión para un sistema estacionario (independiente del tiempo):
la probabilidad de observar una partícula entre x y x+dxdxx²)(yµ

23. Una onda
mecánica o
electromagnética
transporta
energía.
Y transporta
probabilidad.
Cuando decimos
que a cada fotón o
partícula material se
le asigna una
función de onda,
suponemos que se
asigna una
propiedad
estadística a cada
partícula individual.

24. Experimento de Young con ondas de
materia
Se ha variado la cantidad de electrones que golpea la placa.
No existen puntos en la región de mínimos de interferencia.
La probabilidad de que cualquier punto de la película resulte
afectado queda determinado por la teoría ondulatoria con
independencia de que la película se vea expuesta a electrones o
a fotones.
Los puntos son
más grandes que
el tamaño que
corresponde.

25. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE
DE HEISENBERG
Si ½Y½²Dx es la probabilidad de que la partícula esté en la región entre x y
x+Dx
Hay incertidumbre en la posición de la
partícula
Si el
paquete de
onda es
estrecho
Dx es
pequeño
La
incertidumbre
es menor
Necesitamos un
rango de
números de onda
Dk ancho
k
x
D
µD
1

26. Sin un conocimiento exacto del paquete de onda, aproximamos:
1»DDkx
khhp === )2/)(/2(/ plplCom
o:
/pkD=D »DDpx
Mediante cálculos más sofisticados se llega a: 2/»DDpx
Ya que éste es el límite más bajo de exactitud, en forma general
podemos escribir que:
2/³DDpx
PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE
HEISEMBERG

27. Partícula completamente localizada: Dx=0. La
cantidad de movimiento es completamente
desconocida.
La cantidad de movimiento se conoce en
forma precisa: Dp=0. Entonces Dx=¥. La
partícula no está localizada y se extiende por
todo el espacio.
2/³DDpx
Es imposible medir simultáneamente y con precisión
tanto la posición como la cantidad de movimiento de
una partícula.
Este límite de exactitud no es debido a cualquier dificultad técnica en el
experimento; sino que es inherente a la naturaleza dual –onda y partícula- tanto
de la radiación electromagnética como de las partículas materiales.

28. En tres dimensiones:
2/³DD
xpx
2/³DD
y
py
2/³DD
zpz

29. También está limitada la
determinación simultánea de:
El momento angular y el ángulo:
La energía y el tiempo:
2/³DD
q
qL
Θ: posición angular
L
θ
: momento angular
2/³DDtE
Desigualdad tiempo-
energía
(ya que el tiempo no es un
observable sino que es un
parámetro)Según Heisenberg, la medida de la energía de una partícula dentro de un
tiempo Δt debe ser incierta por una cantidad ΔE, el producto puede
derivarse usando la relación E = p²/2m que da ΔE=pΔp/m=vΔp, y t=x/v,
que da Δt=Δx/v.