Prismas

1. - Irregular
- Regular

Paralelepípedo - Recto
- Oblicuo
















OBJETIVOS:
Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la
capacidad de:

 Deducir las características principales del prisma.

 Establecer las relaciones para el cálculo del área
y el volumen del prisma.






CONCEPTO :

Es aquel sólido formado por dos polígonos iguales y
paralelos llamados BASES y por paralelogramos
LATERALES. Es el sólido o poliedro limitado por la
superficie prismática cerrada y por dos planos paralelos y
secantes a dicha superficie los cuales son polígonos
congruentes.



CLASES:

Existen los siguientes tipos:

PRISMA OBLICUO : Es
el que tiene sus aristas
laterales oblicuas con
respecto a la base.




PRISMA RECTO :
Es el que tiene sus aristas
laterales perpendiculares a
las bases.




PRISMA REGULAR:
Es el que tiene como base a un
polígono regular.

Ejemplo: El prisma cuadrangular
regular




PRISMA CÓNCAVO :
Cuando la base es un
polígono cóncavo.






DE ACUERDO AL NÚMERO DE LADOS DE LA
BASE:
 Prisma Triangular si la base es un triángulo.
 Prisma Cuadrangular si la base es un cuadrilátero.
 Prisma Pentagonal si la base es un pentágono.
 Prisma Hexagonal si la base es un hexágono.
 Prisma Heptagonal si la base es un heptágono.
 Prisma Octogonal si la base es un octógono y así
sucesivamente



PARALELEPIPEDO

Es el prisma cuyas caras
son paralelogramos



CLASES:

RECTOEDRO :
Es el paralelepípedo formado por seis
rectángulos, sus dimensiones se denominan largo, ancho
y alto:













EXAEDRO REGULAR O CUBO :Es el paralelepípedo
formado por seis cuadrados iguales.
Arista: a
Diagonal de una cara: a2
Diagonal de cubo: a3






ROMBOEDRO: Es el paralelepípedo cuyas bases son
rombos


ÁREAS Y VOLUMEN DE UN PRISMA
PRISMA RECTO


Es aquel prisma cuyas
aristas laterales son
perpendiculares a las bases








 ÁREA LATERAL ( A
L ):

Es igual al perímetro de la base por la arista






Sólidos limitados por una superficie prismática o
piramidal y 2 planos paralelos secantes ó 1 plano
secante respectivamente
Prisma



B
B
A L = P b x a


Diagonal de la base
A
B C
D
A´
F´ E´
D´
B´
E F
P
aL
C´

2.  ÁREA TOTAL ( A
T ):

Es igual al área lateral más dos veces el área de la
base


 VOLUMEN ( V ):

El volumen es el producto del área de la base (S
b ) por
a altura.

PRISMA OBLICUO

Es aquel cuyas arista
laterales son oblicuas a las
bases






 ÁREA LATERAL ( A
L ) :


Es igual al perímetro de la sección recta por la arista


 ÁREA TOTAL ( A
T ):

Es igual al área lateral más dos veces el área de la base


 VOLUMEN ( V ) :

El volumen es el producto del área de la base (S
b ) por a
altura.


 VOLUMEN ( V ) :

El volumen también es el producto del área de su sección
recta (A
S.R.) por la arista lateral (a).


RECTOEDRO

Es el prisma cuyas bases son rectángulas










 DIAGONAL ( D ) :

Es el cuadrado de su diagonal es igual a la suma de
los cuadrados de sus 3 dimensiones.


 ÁREA LATERAL ( A
L ) :

El área lateral es el doble de la suma del producto de la
altura por el largo y por el ancho.



 ÁREA TOTAL ( A
T ):

El área total es el duplo de la suma de las combinaciones
binarias de sus 3 dimensiones.


 VOLUMEN ( V ) :

El volumen es el producto de sus 3 dimensiones: largo
(a), ancho (b) y alto (c).


EXAEDRO REGULAR




Es el sólido formado por seis
cuadrados iguales, tiene dos clases
de diagonales:







ÁREA LATERAL ( A
L ) :

El área lateral es igual a cuatro veces su arista al
cuadrado


ÁREA TOTAL ( A
T ):

El área total es igual a seis veces su arista al cuadrado.




VOLUMEN ( V ) :

El volumen es igual a su arista al cubo


TRONCO DE PRISMA

CONCEPTO :


Es el sólido que se obtiene al
cortar a un prisma con un plano
que no es paralelo a sus bases.
Por ejemplo el tronco ABCDEFGH.




TRONCO DE PRISMA RECTO


Es la porción de un prisma
recto limitado por una de sus
bases y un plano no paralelo a
dicha base





 ÁREA LATERAL ( A
L ):
El área lateral es la suma de las áreas de los trapecios
laterales.


 ÁREA TOTAL ( A
T ):


El área total es la suma del área lateral (A
L) y de las
áreas de las 2 bases (S
1 y S
2)

A T = A L + 2Sb
V = S b x h

A L = PS.R. x a
A T = A L + 2Sb
V = S b x h
V = A S.R. x a

D
2
= a
2
+ b
2
+ c
2

A L = 2 (ac + b c)
A T = 2 (ab + ac + bc)
V = a.b.c

A T = AL + S1 + S2


A L = 4a
2
A T = 6a
2

V = a
3

SR

3.  VOLUMEN ( V ) :

Solo si el tronco es
triangular, el volumen es
igual al área de la base por la
media aritmética de las 3
aristas laterales, perpendiculares a dicha base.


TRONCO DE PRISMA OBLICUO














 ÁREA LATERAL ( A
L ) :
El área lateral es la suma de las áreas de los trapecios
laterales.



 ÁREA TOTAL ( A
T ):


El área total es la suma del área lateral (S
L) y de las
áreas de las 2 bases (S
1 y S
2)


 VOLUMEN ( V ) :

EL volumen del tronco oblicuo triangular es igual al
producto del área de la sección recta por la media
aritmética de las 3 aristas laterales, "a", "b" y "c".




PROBLEMAS PROPUESTOS


1. Si a, b y c son las dimensiones de un paralelepípedo
rectangular, calcular el área total si:
I. a + b + c = 12 m
II. a
2
+ b
2
+ c
2
= 50 m
2
a) 94 m
2
b) 102 m
2
c) 64 m
2
d) 44 m
2
e) 78 m
2


2. Responder con (V) si es verdadero y con (F) si es
falso.
I. Todo prisma recto es regular.
II. Solo el prisma recto puede ser regular.
III. En un prisma regular, la base es un polígono
regular.
a) FVV b) FFV c) FVF
d) VFV e) FFF

3. Si las aristas de un cubo se aumenta respectivamente
en 2,4 y 6 el volumen del sólido obtenido excede en
568 m
3
, al volumen del cubo dado. Hallar la longitud
de la diagonal de este cubo.
a) 53 b) 23 c) 5
d) 3 e) 23

4. La altura de un prisma triangular es igual al diámetro
de la circunferencia circunscrita a su base. Determinar
el volumen del prisma si el producto de los 3 lados de
la base es 36.
a) 14 b) 22 c) 20
d) 18 e) 10

5. Las longitudes de las aristas de un paralelepípedo
rectangular son entre sí como 3,4 y 12
respectivamente. Su diagonal mide 6,5 m. Hallar su
área total.
a) 24 b) 32 c) 40
d) 48 e) 50

6. La diagonal de un rectoedro mide 10m. y su área total
es 261 m
2
. Calcular la suma de las longitudes de
todas sus aristas.
a) 70 b) 74 c) 76
d) 80 e) 82

7. En una piscina de 40m. de largo 12. de ancho y 3,5 m.
de alto se introducen 720000 lts. de agua. ¿A qué
distancia del borde llega el agua?
a) 1m b) 2m c) 0,5m
d) 3 m e) 4m

8. Si las aristas de un cubo se aumentan
respectivamente en 1; 3 y 5 m, el volumen del
paralelepípedo obtenido excede en 477 m
3
al
volumen del cubo dado. Hallar la longitud de la
diagonal de este cubo.
a) 73 m b) 83 m c) 63 m
d) 53 m e) 93 m

9. Calcular el volumen de un prisma triangular regular
cuya altura mide 63 , y el desarrollo de su
superficie lateral tiene por diagonal 12 .
a) 18
3
b) 16
3
c) 30
3
d) 32
3
e) 40
3


V = S1 3
cba

A T = AL + S1 + S2
V = S SR 3
cba

4. 10. La base de un prisma es un cuadrado de lado 4; y su
altura es igual al perímetro de la base. Hallar su
volumen.
a) 32 b) 156 c) 256
d) 64 e) 128

11. En un recipiente cubico que contiene 42 cm
3
de agua
se introduce un cubo macizo de tal manera que el
agua se eleva hasta enrazar el nivel del recipiente. Si
la arista del cubo macizo es igual a la mitad de la
arista del recipiente, hallar el volumen del recipiente.
a) 48 m
3
b)30 m
3
c) 44 m
3

d) 28 m
3
e) 32 m
3


12. Un paralelepípedo rectangular tiene un volumen de 60
m
3
, la suma de las longitudes de todas sus aristas es
de 48 m
2
y su área lateral es 70 m
2
. Hallar las
longitudes de sus dimensiones.
a) 5,4,3 b) 6,3,2 c) 7,2,1
d) 5,4,4 e) 6,3,3

13. Calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular,
el área de la superficie total es 180 m
2
. La diagonal de
la base mide 10m., la suma de las longitudes de las 3
dimensiones es 17m.
a) 120 m
3
b) 130 m
3
c) 144 m
3
d) 128 m
3
e) 132 m
3

14. Hallar el volumen de un paralelepípedo rectangular,
sabiendo que las longitudes de sus tres dimensiones
se hallan en prog. aritmética y que ellos suman 18m.
Su área total es 208m
2

a) 190 m
3
b)192 m
3
c)194 m
3
d)196 m
3
e)198 m
3


15. las diagonales de tres caras diferentes de un
paralelepípedo rectangular miden 61
, 74
y85 .calcular su volumen.

a) 214 b) 220 c) 210
d) 218 e) 120

16. ¿Cuál es el volumen de un prisma oblicuo si la sección
recta es un triángulo circunscrito a un círculo de 3m.
de radio y el área lateral del sólido es 28 m
2
.
a) 38 b) 42 c) 60
d) 52 e) 64



17. La base de un prisma oblicuo es un hexágono regular
de 5 m de lados, en la que las aristas laterales miden
10 m y forman 60
o
con la base. Determinar el volumen
del prisma.
a)560m
3
b) 561,5m
3
c)562,5m
3

d)564,5m
3
e)567,5 m
3



18. Calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular,
el área de la superficie totales 180 m
2
la diagonal de la
base mide 10 m y la suma de las longitudes de las tres
dimensiones es 17 m.
a)148 m
3
b)150 m
3
c) 144 m
3

d)124 m
3
e) 180 m
3


19. Hallar el volumen de un paralelepípedo rectangular
sabiendo que las longitudes de sus tres dimensiones
se hallan en progresión aritmética y que ellas suman
18m. su área total es 208m
2

a) 192 m
3
b) 190 m
3
c) 184 m
3
d) 194 m
3
e) 180 m
3


20. En un paralelepípedo rectángulo el área de la base es
60m
2
, la suma de las longitudes de todas las aristas es
96m y la suma de los cuadrados de las longitudes de
sus tres dimensiones es 200m
2
. Hallar la longitud de la
altura del sólido.
a) 8 m

b) 6 m

c) 7 m

d) 4 m

e) 10 m

21. Hallar el volumen de un paralelepípedo rectangular si
su diagonal mide 10u y forma un ángulo que mide 45º
con la base y un ángulo que mide 30º con una de la
cara lateral.
a)1252 u
3
b)1482 u
3
c)1362 u
3
d) 1253 u
3
e) 1483 u
3


22. El producto de las longitudes de todas las aristas
básicas de un prisma triangular es de 9m y la altura
del solido es el doble del diámetro de la circunferencia
circunscrita a la base. Calcular el volumen del sólido.
a) 4 m
3
b) 1 m
3
c) 3 m
3
d) 14 m
3
e) 5 m
3

23. Se tiene un prisma triangular ABC – DEF, si 2 (AB) =
BE, calcule m entre AE y BF.
a) 30º b) 80º c) 60º


d) 150º e) 100º