Probabilidad Condicional

Probabilidad Condicional

1. PROBABILIDADES
Probabilidad Condicional y
Teorema de Bayes
Docente: Juan Carlos Broncano Torres
FISE-UTP-Lima-Perú

2. ¿Se podrá determinar la probabilidad de
que un estudiante sea de sexo femenino,
sabiendo que tiene el cabello rubio?

3. PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sean A y B dos eventos en un espacio muestral Ω. La probabilidad condicional de A
dado B es el número P(A/B) que se define por: ()
( / )
()
P A B
P A B
PB


E espacio muestral
A
B
Ejemplo 1:
Se selecciono una muestra de 500 encuestados de la ciudad de Lima para estudiar el
comportamiento del consumidor. Los resultados fueron los siguientes:
Disfruta comprando
Ropa
Género
Total
Masculino ( M ) Femenino ( F )
Sí ( S ) 136 224 360
No (N) 104 36 140
Total 240 260 500
Si se elige al azar un encuestado
a) ¿Cuál es la probabilidad de que disfrute comprando ropa?
360
( ) 0.72 72%
500
PS  

4. b) Suponga que el encuestado elegido es mujer ¿Cuál es la probabilidad de que ella
disfrute de comprar ropa? ( ) 224
( / ) 0.86 86%
( ) 260
P S F
P S F
PF

   
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el encuestado disfrute comprando ropa dado
que es varón? ( ) ( ) 136
( / ) 0.567 56.7%
( ) ( ) 240
P M S n M S
P S M
P M n M

    
Propiedades

5. Ejemplo 2 :

¿Y la probabilidad de que una carta escogida al azar sea roja sabiendo que es un as?
??????(????????????????????????????????????)=
??????(????????????????????????∩????????????)
??????(????????????)

6. EVENTOS INDEPENDIENTES
PROPIEDAD

7. Sea A el evento de seleccionar la caja 1 y A
C
el evento de seleccionar la caja 2,
entonces P(A) = P(A
C
) = 1/2 ya que cualquiera de las dos cajas tiene la misma
probabilidad de ser extraída. Sea B el evento de seleccionar una esfera blanca, entonces
P(B/A) = 3/7 ya que en la caja 1 hay 3 esferas blancas en un total de 7 y
P(B/A
C
) = 8/12 porque en la caja 2 hay 8 esferas blancas en un total de 12.
Ejemplo 3 :
Consideremos dos cajas, la caja 1 contiene 3 esferitas blancas y 4 rojas y la caja 2
contiene 8 blancas y 4 rojas. Se selecciona una caja al azar y luego se extrae una esfera
al azar. Hallar la probabilidad de que la esfera sea blanca.
Solución

8. Ejemplo 4:

9. Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos
A
1
A
2
A
3 A
4
Son una colección de sucesos
A
1, A
2, A
3, A
4…
Tales que la unión de todos ellos forman el espacio
muestral, y sus intersecciones son disjuntas.


Divide y vencerás
A
1
A
2
A
3 A
4
B
Todo suceso B, puede ser descompuesto
en componentes de dicho sistema.
B = (B∩A
1) U (B∩A
2 ) U ( B∩A
3 ) U (B∩A
4)
Nos permite descomponer el problema B
en subproblemas más simples.

10. Probabilidad total
A
1
A
2
A
3 A
4
B
Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de
los componentes de un sistema exhaustivo y
excluyente de sucesos, entonces podemos
calcular la probabilidad de B.

P(B) = P(B∩A
1) + P(B∩A
2 ) + P( B∩A
3 ) + ( B∩A
4 ) =P(B|A
1) P(A
1) + P(B|A
2) P(A
2) + …

11. La ley de probabilidad total

Ejemplo 6:
En un aula el 70% de los alumnos son hombres. De ellos el 10% son fumadores, además
el 20% de las mujeres son fumadoras. ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?

15. Del ejemplo 06

16. Ejemplo 7:
En una urna hay 5 bolas: 3 azules y 2 verdes. Se saca una bola de la urna y sin mirarla, se
guarda. A continuación se vuelve a sacar otra bola que es verde.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera haya sido verde?
b) Y si la segunda hubiera sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea verde?
c) Y si la segunda hubiera sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea azul?

Nota:
Realiza un árbol de sucesos. Llama (A1 y A2), al suceso "sacar azul la primera bola y azul
la segunda" y análogamente los restantes: (A1 y V2), (V1 y A2), (V1 y V2).
Solución:

18. Pruebas Diagnósticas

19. La diabetes afecta al 20% de los individuos que acuden a una consulta. La presencia
de glucosuria se usa como indicador de diabetes. Su sensibilidad (la tasa de aciertos
sobre enfermos) es de 0,3 y la especificidad (tasa de aciertos sobre sanos) de 0,99.
Calcular los índices predictivos (P(Enfermo/Test +) y P(Sano | Test -).

Ejemplo 8:
Solución:

El índice predictivo positivo es la probabilidad de que, sabiendo que el test es positivo, el
paciente sea diabético.

20. El índice predictivo negativo es la probabilidad de que, sabiendo que el test es negativo, el
paciente sea sano.

Observaciones:


a)En el ejemplo anterior, al llegar un individuo a la
consulta tenemos una idea a priori sobre la
probabilidad de que tenga una enfermedad.
b)A continuación se le pasa una prueba
diagnóstica que nos aportará nueva
información: Presenta glucosuria o no.


c) En función del resultado tenemos una nueva
idea (a posteriori) sobre la probabilidad de
que esté enfermo.
– Nuestra opinión a priori ha sido modificada
por el resultado de un experimento