Probabilidad (Schaum) – 1ra Edición – Seymour Lipschutz en PDF

PROBABILIDAD

Seymour Lipschutz

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VS

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Supervisora de edición: Leticia Medina Vigil
Supervisor de producción: Zeferino Garcia Garcia

PROBABILIDAD

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McGRAW-HILUINTERANERICANA DE MÉXICO, 8. A. de GV.
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Cedro No. 512, Col. Atlampa,

Delegación Cusuhtémoo.

C.P. 06450, México, D.F.

Miembro de la Cámara Nacional de a Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN: 970-10-2179-7

Traducido de la primera edicién en inglés de
SCHAUMS OUTLINE OF PROBABILITY.
Copyright © MCMLXVII, by McGraw-Hill, Inc, U.S. A

ISBN 0970379823

Ssotasiser TEL 97643218

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Imprimir en Noviembre de 1998 en
Diagrlicos Unión S.A de CV.
Cale Azucena Nom. 29

Col Hacienda dela Luz

‘Alizapan do Zaragoza

(GP. 54500 Edo. De México

Se icon 2000 ejemplares

Capitulo. À

TABLA DE MATERIAS

TEORIA DE CONJUNTOS

Introducción. Conjuntos, elementos. Operaciones son conjuntos. Conjuntos finitos y contables Con
junto producto. Clases de comjumos

Pi

Capitulo 2

TECNICAS DE CONTAR

Insoducción. Principio fundamental del conteo. Ni
nes con repetición Pruebas ordenadas, Coeficiente del binomio y teorema. Combinaciones. Part
ciones ordenadas. Diagramas de árbol

16

Capitalo 3

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD. Ass
Introducción. Espacio muestral y sucesos. Axiomas de probabilidad. Espacios finitos de probaii-
ed, Espacios equiprobable finitos. Espacios muestrales infinitos

38

Capitulo 4

PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA

Probatitdad condicional. Teorema de la multiplicación para probabilidad condicional, Procesos
Fstocticosfimos y diagramas de árbol. Particiones y corema de Bayes, Independencia. Prucbas
repetidas o independientes,

Capítulo 5

VARIABLES ALEATORIAS E
Introduceiön. Distibución y esperanza de una variable aleatoria fia. Varianza y desviación
estándar Distribución conjunta. Variables aleatorias independientes. Funciones de una variable
Sleatoria, Variables alenorias discretas en general. Variables alcaoris continuas. Función de dis
Kcibución acumulativa. Desigualdad de Tehebyche. Ley de los números grandes.

DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
pistribución binomial. Distribución normal. Aptosimación normal a a distribución binomial. Teo-
ema central dl limite. Distribución de Poisson. Distribución multinomial

74

105

Capítulo. 7

CADENAS DE MARKOV

Incoduccién, Vector probabilidad. matrices extocisticas. Matrices estocistias regulares. Puntos
os y matrices estocsticas regulares Cadenas de Markov. Probabilidades de transición de orden
superior Distribución estacionaria de cadenas regulares de Markov. Estados absorbente.

INDICE

126

152

Prólogo

La teoría de la probabilidad tuvo sus comienzos a principios del siglo XVII como resultado de
investigaciones sobre diversos juegos de azar. De entonces acá han contribuido a su perfeccionamiento
muchos matemáticos y cientificos célebres, pero a pesar de su larga y activa historia, sólo se axioma-
tiz6 durante las tercera y cuarta décadas de este siglo. Este desarrollo axiomático, llamado teoría mo-
derna de la probabilidad, precisó los conceptos de la probabilidad y los colocó sobre una firme base
matemática.

La importancia de la probabilidad ha crecido enormemente en los últimos años y hoy aparece.
junto con su disciplina gemela, la estadística, en casi todos los campos como la fisica, la química, la
biología, la medicina, la sicologia, la sociotogía, la ciencia política, la educación, la economía, los ne-
gocios, la investigación operativa y todos los ramos de la ingeniería

El presente libro se ha preparado para un curso de introducción a la probabilidad y sólo exige co-
mo conocimiento previo el álgebra de secundaria. Puede servir como texto para dicho curso, o como
suplemento para cualquier texto comparable, También puede servir como complemento para textos
y cursos de estadística. Además, como es completo en sí mismo, se presta fácilmente para estudiar
por cuenta propia.

Comienza con un capítulo sobre conjuntos y sus operaciones y continúa con uno sobre permuta-
iones y otras técnicas de contar. Vienen luego un capítulo de espacios probabilísticos y otro de proba-
bilidad condicional e independencia. El quinto, que es el principal, trata sobre variables aleatorias.
Allí definimos la esperanza, varianza y desviación estándar, y probamos la desigualdad de Tchebycheff
y la ley de los grandes números. Aunque no se requieren conocimientos de cálculo, se estudian las va-
tables aleatorias, tanto discretas como continuas. Seguimos con un capítulo aparte sobre las distribu-
ciones binomial, normal y de Poisson. Aquí se da el teorema central del límite en el contexto de la apro-
Simación normal a la distribución binomial. El séptimo y Último capítulo ofrece un desarrollo elemental
completo de las cadenas de Markov con aplicaciones,

Cada capítulo comienza con enunciados claros de las correspondientes definiciones, principios y
teoremas, con ilustraciones y otros materiales descriptivos. A esto siguen grupos ordenados de proble-
mas resueltos y propuestos. Los problemas resueltos sirven para ilustrar y ampliar la teoría, arro-
jan plena luz sobre aquellos sutiles puntos sin cuya explicación el estudiante se sentirá continuamente
Sobre terreno movedizo, y constituyen repetición de los principios básicos, que es cosa tan vital para
un aprendizaje efectivo. En los problemas resueltos se incluyen demostraciones de la mayor parte de
los teoremas. Los problemas propuestos sirven como un repaso completo del material de cada ca-
pitulo.

Deseo agradecer al Dr. Martin Silverstein sus valiosas recomendaciones y su revisión crítica del
manuscrito. También deseo expresar mi reconocimiento a Daniel Schaum y Nicola Monti por su ex-
celente cooperación.

Seymour LIPSCHUTZ

Capitulo 1

Teoria de conjuntos

INTRODUCCION

Este capitule trata algunas de las ideas y conceptos elementales de Ia teoría de conjuntos que son
necearios para una introducción moderna a a teoria dela probabilidad.

CONJUNTOS, ELEMENTOS

Se llama conjunto una lists 0 colección bien definida de objetos. los objetos comprendidos en un
conjunto son llamados sus elementos © miembros. Escribimos.

p € A sip es un elemento del conjunto A

Si cada elemento de A pertenece también a un conjunto B. esto es, si p € À implica p € B, entonces
se dice que A es subconjunto de B. 0 que estä contenido en B esto se denota por

ACB o BDA
Dos conjuntos son iguales si cada uno está contenido en el otro; esto es.
A=B siysólosi ACB y BCA
Las negaciones de p € A.A CB y A= B seescriben p 84,4 EB y A 7B respectivamente,

Especificamos un conjunto particular, © por a lista de sus elementos o estableciendo las propie-
dades que caracterizan dichos elementos. Por ejemplo,

A = (13,579)

significa que A es el conjunto formado por los números 1, 3, 5,73 9:y'

B = (e: zes un número primo, < 15)
significa que B es el conjunto de ios números primos menores que 15,

(À menos que se establezca otra cosa, lodos los conjuntos en una investigación se suponen sub
conjuntos de un conjunto fijo llamado conjunto universal denotado (en este capitulo) por U. También
Usamos el símbolo. @ para indicar el conjunto vacío © nulo, esto es el conjunto que no contiene ele
"mentos: este conjunto se considera como un subconjunto de cualquier otro conjunto. Así para cual
quier conjunto A, tenemos PCACU.

Ejemplo 1.1; Los conjuntos y ameiores pueden también escri como,
A = le: u número impar, 2<10) y 2 =(2,3,5,,11,19)
Nora que 9 € A peo 9 € By 1 Egli € A meras que DEA FENG EAN ES

2 TEORIA DE CONJUNTOS loan

Ejemplo 12: Usamos ls simbolos especials sigues
N = cojamo elos enteros posos: 12,3,
2. conjunto de sents: na,
conjunto del mes reales,
Asi tenemos NCZER,

empl 13: sobre a ine ral, deudos a conti, aparcen muy Gesoentemene en mate
As. Aula à son números els on ac
Intervalo aero dea à à = (m) = @racecd)
Internal cer deo a à ass)
eter de Lacs)
Inala ceradoabieo de a ab = (0,8) = (e: 0% 2 < 8)

Los interaosabet-erado y cerdo bit sn también amados intervals seras

Elempl 1.4: En estudis de pola

ajeno universal es for

do por adas ls pesonas dl mundo

Sa Cm Leiste 4x 0 impar). Entonces C= 0 se que Cs el conjunto vac

Apliquemos el siguiente teorema;
Teorema 1.1; Sean A. B y C unos conjuntos. Además: () À € 4: (i) si A CBy JCA entonces
A= Bry (ii) si AC By BCC entonces ACC.

Hacemos énfasis en que À C B no excluye la posibilidad de À = B. Sin embargo, si A C B pero
A 7 B. entonces decimos que A es un subconjunto propio de B. (Algunos autores usan el simbolo E.
para un subconjunto y C solamente para un subconjunto propio.)

OPERACIONES CON CONJUNTOS
Sean A y 8 conjuntos arbitrarios, La reunión de A y B expresada por A UB, es el conjunto de
elementos que pertenecen a 4 0 a B:

AUB = (2:2€A 0 2€B)
en
La intersección de À y 8, expresada por À AB, eel conjunto de elementos que ertenecen y B
ANB = (sizeA y zeB)

Si A MB= Q, esto es, si À y B no tienen elementos en común, entonces se dice que À y B son dis.
puntos

Se usa en el sentido de yo.

La diferencia de A y B 0 el complemento relativo de B con respecto a A, expresada por AN 8,
5 el conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a 8:

ANB = (4:164,26B)
Obsérvese que 4 N 8 y B son disyuntos, esto es, (ANB)NB = 9,

EI complemento absoluo o, simplemente, complemenio de A, expresado por A°, e el conjunto
de elementos que no pertenecen a À

A = (2: 2€U, 24)

9 sea que 4% es la diferencia entre el conjunto universal U y el conjunto A,

cart) TEORIA DE CONJUNTOS 3

imple 1.6: Los dramas siguientes, amados diagramas de Ven, Duran ls operaciones aero. Ai los
O cenas por simple super ana y dl Coni sarl, pu ad
peri ttl del recto,

‘AUB sombreado AE comedo

ANB sonado

Ejemplo 17: Sean A= (1.2.9.4)y B= (3.4.5.6) donde Un (1.2...) Enonos
AUB = (23480 ANB = (GO
ANB = 0,2) Ae = (6,67...)

Los conjuntos de las operaciones anteriores satisfacen las diferentes leyes o identidades que se
relacionan en a tabla inferior (tabla 1). Para el efecto, establecemos el:

Teorema 1.2: Conjumos que saisfacen ls leyes de la tabla 1

LEVES DEL ALGEBRA DE CONIUNTOS

Tas de empor

ta AUA =A th 404 =A
Le caes
ta, MUBUC = ALBO, 2 Unmnc = Anno
Los camas
u AUD = BUA th ANB = BOA
Los drains
ALIBNO = UBA ALO), db. An (BuO) = (Anmuland
Tapes een
m ANU = A
And = ©
Tips & umplemene
m. and = 9
m. up, 9

eye de De Morgan
de (AUBX = AB ‘ob Anne = acu Be

4 TEORIA DE CONJUNTOS fear

Observación: Cada una de las leyes anteriores provienen de una ley lógica análoga. Por ejemplo.
ANB = (a:2€A y 2€B) = (2:2€B y 264) = BNA
Aprovechamos aquí el hecho de que la nroposiión compuesta “p y 4”. escrito p 2, es lógicamente
equivalente a la proposición compuesta “y ÿ 7. esto ex 4 à y.
La relación entre contenencia o conjunto contenido en otro y las anteriores operaciones con con:

juntos lleva al
Teorema 1.3: Cada una de las condiciones siguientes es equivalente a A C B:

WM) ANB=A di) Becas (1) Bua =U

(i) AUB=B (x) An=9

CONJUNTOS FINITOS Y CONTABLES
Los conjuntos pueden ser finitos o infinito. Un conjunto ex finito si está vacio o si consta exacta:
‘mente de elementos en donde n es un entero positivo de otra manera es infinite,

Eng

Sea amandes as In semana oe
M Came mare, mil jens, ems, Abad, domingo)
Emonce Mes fie,

Sea P Unix 6 un idea Tier), Aunque pude ser ii or neo de rs de a Tera

Semple

Henle 1.10: Se Y conn de lo cits pars gone. co e. Y (2.4.6) Eon Fo cu

lomo 11: Seal nero unidad dels números rene, os P= (4:0 x = 1, Entonces sunno
no ito.

Un conjunto es contable si es finito o si sus elementos pueden ser ordenados en forma de sucesión
en cuyo caso se die que es contablemente infinito; de lo contrario el conjunto es no contable El son.
Junto del ejemplo 1.10 es contablemente infinito, mientras se puede comprobar que el conjunto del
ejemplo 1.11 es no contable.

CONJUNTO PRODUCTO
Sean 4 y 8 dos conjuntos. EI conjunto producto de À y B, expresado por A x B, está formado
por todas las parejas ordenadas (a, 6) donde a € Ay b € B:
AXE = (4,0): 0€4, DEB)
EI producto de un conjunto por sf mismo, A x A. se denota por A?

Ejemplo 1: El lore araria co el plano cutsano R= RR india aap

‘Agi cada poto represent una paria orden (a) de números resis, y nessa

2.81. Entonces

«a

Eng L13: Sean A= 11,2,30y
Axe

0,0), 0,8), 6,0), 6,8)

car ty TEORIA DE CONJUNTOS s

El concepto de conjunto producto se extiende a un número finito de conjuntos en forma natural.
El conjunto producto de los conjumos A1, At... Am, Ecrilo As X A: X ===X Am 68 el conjunto de
odas las muplas ordenadas (a+, at... an) donde a, E A4 para cada

CLASES DE CONJUNTOS

‚Con frecuencia los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos. Por ejemplo, en un conjunto
de líneas cada linea es un conjunto de puntos. Para aclarar stos casos, se acostumbra usar para dicho
conjunto la palabra clase 0 familia. Las palabras subelase y subfamilia tienen significados análogos
a subconjunto,

Ep 14: Los miembros dee else €12, 1.12.15, 61300 count 2.31 121 y1 5.61

Ejemplo LAS: Contre un conjunto A. EI conto patent de A. expresado por PA). sl ase de todos os
‘scans de 4 En parla. 4= Pl contes
PA) = (A, (68), (0,0), (0.0, (0), (0), (0,9)

En perl A sf y ene m lents, ones PA) er 2 lentos

Una partición de un conjunto X es una subdivisión de X entre subconjuntos no vacios que son dis-
yuntos y cuya reunión es X. 0 sea la clase de subconjuntos no vacios de X tales que cada a € X perte.
nece a un Único subconjunto. Los subconjuntos de una partición son llamados células

Ejemplo 1.16: Considrns hs siguentes clases de sutcojuntos de X= 11,2, 6.9
© 100.0
10,8, (24,6,8), (679)
(Gi ((1, 3,8), (24,6, 8) (7,99)
Forces, o es ans partición de X puesto que TE X pero mo enc nga cl, Además

(i) no sina putin de puesto que SX y 5 pres ambas 1, 3.31 y 15.91, Por ta
put. i) una patin de X pacto que ca lento de X peer: a usa cla exactamente

‘Cuando hablamos de clases de conjuntos con indices 1-44: à G1 0 simplemente | Ai, ignifica-
mos que hay un conjunto 44, asignado a cada elemento 1€ /. El conjunto I se denomina conjunto de
Indices y se dice que los conjuntos A, tienen por indice 1. Cuando el conjunto de índices es el conjunto
IN de los enteros positivos, la clase con indices (Ay Au...) se denomina sucesión de conjuntos. Por
la reunión de conjuntos de los Ay denotados por User Ar (0 simplemente U A), se entiende el con-
junto de elementos que pertenecen por lo menos a uno delos As: y por la intersección delos As, denotada
por Mes As (o simplemente Mu), se entiende el conjunto de elementos que pertenecen a cada A.

A= AA: y NRA ANAL
para la reunión e intersección, respectivamente, de una sucesión de conjuntos.

o

Una clase no vacía ef de subconjuntos de U se denomina un dlgebra (o-álgebra) de con-

juntos siz

6) el complemento de algún conjunto de ef pertenece a A: y

(9) la reunión de un número finito (contable) de conjuntos de of pertenece a of; esto cs,
si of es cerrada para complementos y reuniones finitas (contables),

Es sencillo mostra (problema 1.30) que un álgebra (a-álgebra) de conjuntos contiene U y D y es
también cerrado para interseciones finitas (contables)

6 TEORIA DE CONJUNTOS ear
Problemas resueltos

CONJUNTOS. ELEMENTOS, SUBCONJUNTOS.
LA. Sead = Ixil ¿Es A = 2

‘Asse conjnt queconien a2 como único mento, no. A = 12. Elnémer pence 40 ia
AL Esse va deren Bla neon lement py een deu ol cement | 9

1.2. ¿Cuáles de los conjuntos: Ir. tor at son iguales?

‘Son todos gules. El orden der elements no cambi el cout.

13. Determine silos conjuntos dados son vacios:
(X= ris 9 241, mr xix $8 = 8
(ohne nes mb pps 29 34 ae nn
(0 Imerprtemeneigo = * como “sit con” y así Y s tambén vacio. En cc, nos textos een

cleanin aco como ip = (eier).
mémo co ste x +8 = 8 osea que Z = 101, En comseevens, 7 20 cojen vacio pest que
Eon a sement O Estos, Z # 9.

siert Mi) Z

2,3,4,51 no es un subconjunto de B = Ixixes par

1.4. Pruebe que 4 =
Basta mentar gu pot o mens un cemento de 4 no pertenece a B, Pues bien 364 y. como Besel conjunto de
Ios mens pres. ER entes Ano «subconjunto de 2.

15. Sean Valdi, WetediX=la bel Y=labl y Z=labdi. Determinar si las
proposiciones son verdaderas o falsas
MYCX, (i) WZ, (i) ZIV, (1) VOX, (1) X=W, Ww) WY.
(Pen que cata elemento de Ys elemento de X Y C X es verde
(i, EZ pero a EM: eones WAZ es verte.
des ico ment de Y y ambien d perece a Z: entonces Z D cs vedadra
(i) Vance subonjun de X pesto que 4 EV pero 4 EX; eones VC X sala:

(9 bors € X pero à E Westone X = Wes asa
9) no x mbcajum de Y puesto que CE pro cy: entonces WC cs aa

1.6. Probar: Si A es un subconjunto del conjunto vacío, entonces À = D.

E conjnto vac es stconjuno de tod cnjnto; en paria. D € A. Peo por hipótesis, AP entoness
A=9.

Probar el teorema 1.1 (i: Si ACB y BCC, entonces À CC.

Tenemos que demostrar que cada elemento de À petnece ambién a €. Sex EA. Como ACB implica que
a en! po BEC. none TEC. Hemos demonrdo que À € À implica x EC, 0368 que ACC.

1.8. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son finitos?
(Los meses del año. (6) El conjunto Q de los números racionales.
(i) 11,2,3,.-.,99, 1001, (©) EI conjunto R de los números reales.
(ii) El número de personas que viven en la Tierra,

Los rs primeros conjuntos son fio; os dos limo son laos (Puede demostrarse que Q es nomerable 0

contable pero Rn no coma,

caen TEORIA DE CONJUNTOS a

19. Considerar los siguientes conjuntos de figuras en el plano Euclidiano:
A =1x:x esuncuudrilitero! C=Ix:x es un rombo!
B = 1 xx esunrectängulo | D=ix:x es un cuadrado!
Determinar cuáles conjuntos son subconjuntos propios de cualquiera de los tros.
Un cuadrado sun rcánglo pa er sus Anglo reis yes un rombo por nr sus lados igus,
porter lads es un curler. Entonces
Dc4, DEB y Dec

por comsigiee,D sun nubonjunt de os tos rs. Ai mie, pesto que hay ejemplos de rcinalos, ombos y
Calas qu no on uadadas, Des un conan propo de los ros tes.

En forma similar vemos que tanto B come sn ubconjents propio de 4. No hy ninguna ota elcid ene
dos cannon dados

1.10, Determinar cuáles de los conjuntos siguientes son iguales: 9, (0), (9).

Cada uno es diferen dl o. El conjunto 101 coniens un cemento, mero o. El conjunto $ no coniene
“tememos es el cojen vacio. El conan (P) también cs un cemento, el cojen alo

OPERACIONES CON CONJUNTOS

LAL, Sean U =11,2,...,8,91, 4 =11,2,3,41,8=12,4,6,81y C= 13, 4,5, 61. Hallar:
() As, ( ANC, (it) (AN, (iv) AUB, (+) BNC.
(D 4e cr els lement de U queno nn en 4: 0568 48 =15,6.7.8.01
(i) ANC cons delos cementos comunes a Ay Cosa A NC = 1341

(i) (AAC const dos elementos de U que no in en À A.C. Ahora por, À NC = 13.41 y dl mino mo-
ER

69 418 conta delos cementos de À © de 8 ( de ambos) 0504 AUB=11,2,3:4.6.81

(0) BNC consta delos elementos de qu no están en Cosa BN C= 12.8

112. Sea U=la.b.c.d.el A=lab.di y B=10,d.el. Hallar:
@) AUB (iii) B m AB (vil) AN (ix) (ADE)
(i) BOA (y BNA (m) AUB (will) BNA (x) (AUB

(i) Laresmiónde Ay com den dementnde Ay B(edeambon.oxea A UB =16,b. del

(6) Laith de y Beant de aqueos cementos qu pertenecen ambos y Biosen ANB = 18,41.

(Gi) E complemento de 8 conta de as ras de Upton de asique Be

(69, La terna BN A const eo leemos de Bueno prosas BA tel
(den icely Be lbdeh ego en Bt
m Acier

y Be a laet: ea AUBr = 1 a.0,6.41.

win y ia

ei y Be = Lael: ones
AcnBe = (o y BNA = (a)

Dew. aus

ba ones 10 BY wc
a hase’ on (AU BE = tel

8 TEORIA DE CONJUNTOS fear

1.13. En el diagrama de Venn dibujado, sombree: (1) Br; (1) (AUB), (Hi) (BAY, (iv) AB.

(8% consta de or clemetos que no pertence 48 sea que se sombre el te euro a como sig:

=

(i) Primero se ombres AU B lego el re cerro sea (4 U8)

Aus AUR

(i) Primer sesambres 8 NA

eB que no perenec a 4 lego (BNA en elec nor a BNA:

BNA EN

(69) Primeras sombre A, sen ca ner a4, om eon blico incinados à du (//) y Ie se om
ten B con razor blo acidos queda (NN eto 4 Y 8 cel ra ravada able

4e y De anne

Otero que (AUBI = 4€ N 8%, coma se esperaba pr ey de De Morgan

cart TEORIA DE CONJUNTOS 9

. Probar: BÑA = BAT. O sea, que el conjunto de la operación diferencia puede ser scrto en
términos de operaciones de intersección y complemento

BNA = (2:26B, 2€A) = (wire, 249 = Bnd

1.15. Probar: Para dos conjuntos cualesquiera À y 8, ANB CA € AUB.

Sa 154 NA porconspiene x € A y HER. En paca, 164, Entonces «EAN implica que 1€ À

An BEA. Née & sed, ems FA 0 xEB, O wa, EA UB, Preto que ACA UB. Ea oras par
inves, ANBCAC AUB.

1.16. Probar el teorema 1.3 (): ACB si y sólo si ANB = A.
Supongamos ACB. Sea x€4; entonces por pie xE8. O en que 1€ A y HER. lugo LEA UB.
En comen, ACA IB. Por oia parte sempre e cumple que 4 BCA (poklema 115) Luego À 08 = A.
"Ahorn sepontamos que ANB= A. Entonces en parce. ACANB. Como sempre se compe que

ANR CR. Eminces A CAN BCD y ad por dl tors V1. AC.

CONJUNTOS PRODUCTO.
1.17. Sean M = | Tomás, Marcos, Enrique y W = | Andrés, Beatriz. Hallar. Mx W.
Mx cont de odas ls parejas ordenadas (6) donde «EM y BEW. Por une.
Mx W = Toms, Andi) Cmts, Beti, (Mares, André).
(Marco, Beni), Enrique, Andes), (Enrique, Bari)

1.18. Sean A

Un método coveniete pra

1231, B=12,41 y C=13,4,51. Hallar Ax Bx C.
lar el producto À x 8% C es por meso de denominado "digrama de nto"

5 0
au 030
ee le)

a een
— 60
5 wu

2 0

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22.5)

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5 48)

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620
KEG]

DR ges
— 640
ws

Er Arto" se ons de uen adrecha. À XX C cast de todas Is ena ordenadas, das aa dreh

119, Sean A=la.bl, B=12,31 y C=13,4), Halla
() AX(BUO), i) (AX BIU(AXO), (ill) AX (BNO), (iv) (AXB)N(AXO).
Primero halamos BUC = 12,341. Luego

A X (BUC) = (0,2, (9), (0,0, 6,2), (69), 6,0)

10 TEORIA DE CONJUNTOS (car

Gi) Primero hallamos A x B y AXE:
AXB = (6,2) (6,8. (6,2 0,3)

AXC = (6,8) (6.0, 6,9, 6,0)

Leo aelamos area de e dos cots
(AxByUAXO,
(Oberames de 0) y i) que

16,2) (6,8, (4,2, 0..(0,0,6,0)

AXBUO) = (AxB)UAXO
(i) Primero clnamos PAC = 131, Lasgo
AXIBAC) = (0.9.0.9)
(69 Ahora AX 8 y A XC ya ero aletas. La intern de AX 2 y À X C cont de aqueos pareja
ordenados que prince ambos cortos
AXBNAXO = (09,68)
(Oherames de (a) y 69) que
AXIBNO) = AXBNARO,

. Probar: À x (BNC) = (AX B) N(AXC).
AX(BNO) = (an: €A, ye BAC)

(ea)! 264, ven EC)

Man: (ex) EAXB, (2. E AX)

axmaaxc

121. Scan $= 10,5), W=11,2,3,4,5,61 y V=13,5,7,91. Hallar (Sx W) NIS x V).

3 comme producto (Sx MS XP) se hala primero call $< W y SX. y ego clado a
rss dees counts. Por ota par sein el poema ane, (Sx HW) (Sx ¥) = 3% (WAV). Ahora
Ware a

ISXmaexn = sxwan

(0.9), (0,8), (8), 8,8)

122. Probar: Si se tiene AC B y C CD; entonces (4 x ©) C(B X D)

Se (x9) Un element eue de À X CS enonces «€ À y y EC. Por ph, AC 8 3 COD,
luego 28 y » ED, Por coiguene (x.y) perience à B x D. Hemos demostrado qe y) ©A XC pli
ge EBX DR ld x EIB x D)

CLASES DE CONJUNTOS
1.23. Consideremos la clase À = (12,31.14, 51, 161). ¿Cuáles proposiciones son incorrectas y
por qué? @ 14, 51 C A, (14,51 EA, GIGAS) CA.

Los miembros de À on ls cajnts 12,341, $y 161. Por tant, Ge cresta per i) sun popsición
incorrect. Po ra par. (i) tmbié na proposición cate act que el cnjnt que cosa dl ine Cen.
(old, Ses una sti de 4

1.24, Hallar el conjunto potencia P(S) del conjunto $= 11, 2, 31

E ono potencia PS) del nano Ses ce de todos os abonos de $: éso 11,2,31.11.21
SUR 3111124 !31 y el cojo va 9. Por tant

HS) = (8, (4,9). (2,8), (1,2), 0.00, 9
Ne que hy 27 = 8 subconjuntos es

can TEORIA DE CONJUNTOS u

128, Sea X = La, be, die, f el, y sex
0 Ar=(0,0,0), As= (0), As= (8,9);
(i) By =(a,0,0), Br= (ed), Bs= (refs

i (a,d,e,9), Cr= (e), C= (Al;

(2,b,0,d,0,4,9)

¿Cuáles de 1-41, An, 41,181, Bs, Ball Ci, Ci, Cali Di! son particiones de X?

() {Asan As! 0 es ea pain de X poco que / € pero foo penenceaninganodeos Ai Ai 0 A.

wi + tampoco putin de puesto que € X penenes a ambos BB

(i) LL Gi C1 es una pain de X puesto que ada un debs elementos de Y pertenece una dua eactament
Du, X= CU CS UC? Y los comunas on pares dietas disputas.

69) 141 ean paisa de Y

1.26. Hallar odas las particiones de X = la, 6,6. di

Notamos primero que cada putin de cote, 6 1,2, 3.64 conjuntos diferentes. Las particiones son las
stunt”
& (aba)

@ (00.0, (0, mel, 10), 000). (0, mei)
Had (ea) [lees bil, [led (6,0
© (a, tal. (Ca), Ke) (ee (Co), Well,
160), (o odd}, (0) Ce eh, [eh (0), (0.89)
(0 (a, (0. (a. 10)
Hay quince paricines rentes dex.

Sea N el conjunto de los enteros positivos y, para cada n € N, sea
Ay = les un múltiplo den! =10,2n, 3n,

Hallar: () Ay D Ay, (i) 44 n A (il) User Ay, donde P es el conjunto de los números

primos 2,3, 5, 7. 11

9 Aqueis números ge son milion conjutamente de 3 x $ 0 sea métis de 15 porno 450 Ay = A

(i) Les miis de 12y migán ovo mimeo peine a ambos 463 Ag: portait A4 4e = A
(6). Todo enero postin eee 1 ma depor lo mens ue número primo non,
VierA = (2,84, na

28, Probar: Sea |, : à € 1} una clase con indices de conjuntos y sea in € I. Entonces.
Mer Ai € Ay € Vier Ar

Sea 1€ ner entonces x Ay para cade 1 EJ. En parla, x Ey, Pot tata Mia Arc Ay
Aa es $ E Ag. Pleo que GEL YE Vier Ay Entonces Ay € User Ae

1.29. Probar (la ley de De Morgan): Par ces (ACTED, (WA = Mar.
QUAD = (2: #@ UA) = (ei 2 @ Ai par todo = (2: & € AF para todo D = AT

una clase con in

1.30, Sea of un älgebra (e-lgebra) de conjuntos de U. Demostrar que: () U y @ pertenecen a 4
y (i) off es cerrada para intersecciones finitas (contables),
Recordemos que 4 es era para complementos y eines ia contd)
© Puesto que of no es vacia, hay un conjunto A € of Entonces el complemento AE 04, yla mn U =
AUALE of. Tambien d complemento D = Ur @ 4.
(9 Sal una is ita (ona) de conunto que pertenecen à 24. Por la ey de De Morgan (roble 1.2
(OL AP = na = OAs Por consiguiente Ny peine à of, como se quería demon

2 TEORIA DE CONJUNTOS ¡aro

Problemas propuestos

CONJUNTOS, ELEMENTOS, SUBCOMUNTOS
AM. Beste en notación de conjuntos

a) Reson mbconivto de (4) Man beuno des
A (0 Emo ponencia À
KO) E conjunto ac, CDR peienece ot.

132. pair cen eplictament los mets decada ono:
D Also
(GB La x um etn del paadr ar“!
@ Calis ai
(Dine un wait
(0 Em Lx es un gto del nimero 29241

122 San Amt 891 BORA GEL CIO DIA Sy Ea.

‘oes conjntos son isles aX e dl guiente forma?
DAS E son eyes. (D XCD pao NEB GCA pro XEC (ACC peo XGA.

1.34 India scada props es verdadera 0 fas
VD aitu, O
AO ME RO

135. Sa A = 11,01. Inder is propos sn correctas o:
© (0) € À, (1 DEA, (ii) (0) CA, (i) 0€ A, () OCA.

9 El cojo de vas pals a je

AE conto de teas el leo mal.

Gi) El onjnt de meros mp de

(6) El conjnto defines que nen cn Ter

(©) El conjnto de meros que son occa de la cui 2874 2601011800 72910 = 0
{El conan de caos alter e eigen 0.0.

OPERACIONES CON CONIUNTOS

131 San D = (e,bedeh (abeto, B=(eus) y C= 00 fo) Hala
CS Goa in AN 9}
i) BOA) BUC) ANG (vi) (dae

138. Eos games de Vernis sombre () WAV, (4) VEU, (UD VWs, (0) VON We,

Q

© w

139. Probar (a) AUB = (AE Be; (0) AVE = AB. (Au las operaciones de cen y ren pueden
nie en rios de operacion, de tención y complemento)

a

Lat. Probar lee 13 (i) AEB sky los AU

8
LAL, Probar $14.9 B= D. mono 4 € 8%

142. Probar AIN Be = BNA.

car. TEORIA DE CONJUNTOS 5

142. Probar ACE implica ANA

Probar: ANBNO = (ANBINIANO)
(9 Dar un ejemplo ara mostrar que AU(EN.O) # (AUB)\ (AUC)

CONJUNTOS PRODUCTO
AS. Sea W = [Marcs, Enrique, Pablo! y sea Y = Enrique, Daal. Hallar
DA Gi Pre PV

qué. Sea A= 123k B= 113.51 y € = UN AL Comi el “éigrama de detal de À x 3% € y lego halt
Be BE € Wer poeme LIE)

17. Sea $= label T= lard y W = La di, Conse dngrama de ol” de Sx TW y luego bs
SKTXM.

1.48. Saponer qu los conjuntos. Y W y Z teen 3, y 5 elementos rspeiramene.Deermiar el número de elementos
A PX URE UD ZX x WH, ZN

149. Ses A = BO €. Determinar si ambas prorsicones son ciertas:
DARA WH (OX ON (M À X A = EX ON CX 8.

150, Probar Ax (BU 0) = Ux DU A x O,

CLASES DE CONJUNTOS

AS. Sea A = Lacie on mél den! = tn men, 1, donde n EN, eto osos. Malla
A) Ain Ari GH) Ag Ay GD) AU Aus (m An Aus (1) AsUA 1 donde 2 LEN; (0) Adi
dade 1.1 EN. i) Probar. Si JON esiafao, stones Mies Ai = À

1.52, Halla el nano potencia PUA) de A = 11,2,3.41 y elconjento potencia PIS) de 8 = (1, (2,9, 4)-

151. Sea W = 11,2,3.4,5,61, Determinar si eda props e uns parió de M.
© 180.0. EDEN
© 1. Ge) (0,2,8,45,0]

1.84. Hallar vos as prions de Y = 11,2,31

158. Sean [Ay Ay eee An] y [By Bas Ba] paricones de un cojen X, Demosrar que la on de conjuntos
D]

(Ain By 4=3, ums
también es una prin (armada partic raters) de

»

150. Probar Para caller cs cn indices (Av: FE)
(0) BU(DA) = ABLA), (0) BA (LA) = Us (BnA).

187. Probar ey de De Morgan (NA = Uc Af.

1.58 Demonrr que cad una de ls expresiones siguientes e un ptr de sb
(i) of = @,0); i) D=(0,4,45,U); (i) PO), e cmjuno poten de U

159. Samed y 8 Secas (letras) de sborjumos de U
(Olea) de abris de U

har que la imescción AND también e un Agra

14 TEORIA DE CONJUNTOS ¡caro

Respuestas a los problemas propuestos

RCT, (HEY, ( 0, (0 MES, (9264, NRE.

(tasted: Gi) C= D, (D D W) B= 02,0.

1 GA

13 (Cy E Gi) Dy EG) 4.8ÿ D 9
1.34 Todas las propicie son verdaderas excepto (1)
135. (9 increta, (i ists, Gi) cora, (9) sort, (9 incor

136 6) ifo, i io, Gi) iio. (9) io (0) Fo, Gi) nao

1m. 0 AUC=U (Ona
) BOA = (0.0.0) (aÑos

eed)
Cri

(ase =
O = >

Omer que HUW 2 Uy FOME Dc dim LE W

14s, (0 x 1 = Lancon Envie. (Maran David), (eng, Haig brig, David. (Pablo, Haig. (Pal,

Bat
(i) PW trigo. Mateo, (David Manso (ige, Enrique), (Dai Enrique He Pa, (Da,

Pato

i EXT = Hier) (Ence David, (Dai, argo, (Dai Das)

1. 3 eus

14 ano

2 39

<< 280

2.0088

sake

5 619
ee Kin

3 65D

da AA
s 5.3)
saa

Los lement de AS 8 À € son as term ordenadas a deca del aaa de rl anterio

capt TEORIA DE CONJUNTOS

var.

(40

Los elementos de $ M son la temas ordenadas a I drech dl diagrama de Stel
ak Cada ano ine elementos

149 Ambar son vetdaderas: À X À = NO O) BONO B

151. (Ate (Ase (i) Ay. Gv) Ayo (0) Aw (D Aue

152. Pi) = (B, (Ly (2,99), 0,0, (2,9), 8, (19, (2,20), (0,9)

153.6) 00, no Gi si o 5

154. (0,29) (00, 0,97 0), 0,9) 10, 0,3) y (001,00)

Capitulo 2

Técnicas de contar

"Conteo"
INTRODUCCION =
En ste capitulo desarrllcemos algunos métodos para determina sin emumeraiôn dr et
nimero de rsltados posible de un experimento arr à el número de onen del
Particlar. Tales nics son conocidas algunas veux co el nombre de ana ana

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE

Empezamos con el siguiente principio básico:

1. CONTEO

Pa

lo fundamental del conteo: Si un evento puede realizarse de my maneras diferentes, y sc
sontinuando el procediniento, un segundo evento puede realizarse de mı mueras
diferentes, y si, después de efectuados, un tercer evento. puede realizarse dens mar
eras diferentes, y así sucesivamente, entonces el número de mancras en que ox even.
tos pueden realizarse en el orden indicado ex el producto 2-2" nu +

emple 21: Sopogamos que una plc de automóvil consi de dx ares sits sui de stos de os
al el primero no cr, ¿Cuts las rents pueden gan
La primera tra pde colocarse de 26 maneras diferents (apes af de 26 ras. a
sstend ea de 25 maneras (pesto quel lt Baba de primera no pue eg o rn
lec). pra e pues dio hay nuev números 0 ca nueve mantas pt cda deln o de
nos 10 manera Por loto pcden esta

2622291010 = 585.000
placas den

NOTACION FACTORIAL

El producto de los enteros posiivos desde 1 hasta x inclusive, se emplea con mucha frecuencia
en matemáticas y aquí lo denotamos por el símbolo especial n! (quese lec “a factorial)

RES 1:2:3->>=(n-2)(n—1)n
Conviene también definir 0! = 1

Henne 22: 2 at aaa Ai = denses = 24,
1 = 9-24 = 12, 6! = 6-51 = 6-190 = 180
Ejemplo 23 T=s uno = He
PERMUTACIONES.

Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama una permutación de los
objets (tomados todos a la vez). Una ordenación de un número 7 de dichos objetos, rm, ca un
orden dado se llama una permutación r 0 una permutación de los n objetos tomados 7 a la vex
Flemplo 24: Conideemos el cojnto dels rs ered. Ence:
Me. de y ado son permutaciones de as eras amas todas al vz
(i) bad ad, ch y bea son permutaciones dea rs tomadas Da lv
(i) od cb de y bd son permutaciones de atras tomadas a la ve

16

TECNICAS DE CONTAR v

Fl número de permutaciones de n objetos tomados rata vez lo denotamos pur
Pin)
‘Antes de deducir la fórmula general P(x, 7), consideremos un caso especial:
Ejemplo 25: Ha mer de permtuienen dc bt br Rom teat er, oras

ultra Dar oan ras de res hrs rem” que pce formar con ls sb
ars mencionado

Represas ls quae de es ts por tes

Ena

Aa a primera let puede corn LE 6 frs fret en sepia, La sonda lease pude
ra formas erento: 3 dec de x. la lima kr se puede scope e mas eto.
‘ene cla uma ss serene cla omo SE

QUE

A pr pin fundamen el como huy 682 4 = 120 poste plas dete has in
Alan. Mo 19 pamaco de et tran Val mp Et ©

Ps) = 320

La deducción de la fórmula Pin. 7) sigue el procedimiento del ejemplo anterior. El primer
elemento de una permutación r de n objetos puede escogerse de n diferentes maneras; à continuación.
El segundo elemento de la permutación puede escogerse de n 1 maneras: y. sucesivamente el ter
Ger elemento puede escogerse de n 2 maneras, Continuando en esta forma, tenemos que el résimo
Gluimo) elemento de la permutación r puede escogerse den (7 Da 74 I maneras. AS

eo 2 rin a aD ren = thy
La sein parie cata bs me

_ nat

nn 1m =2)---(n=—7 +1)

coon

En el caso especial de r= n, tenemos

Pen) = an 2): 030201 = m!
Es decir, el

Cor

rio 22: Las permutaciones de objeos (tomados todos a la vez) son iguales an!

Ejemplo 26: ¿Cuimasprmuaciones de ements se forman cn obj.
Segón el corola anterior, ay
bc cab cb

223 = 6 permutaciones. Ets son abe, ch Due

PERMUTACIONES CON REPETICIONES

(Con frecuencia se desea saber el número de permutaciones de objetos, de los cuales algunos son
iguales, como se indica a continuación. Usamos la fórmula general

“Teorema 2.3: El número de permutaciones de m objetos de los cuales m son iguales, mu son ia:
les... meson iguales, es a
Da

1 TECNICAS DE CONTAR car 2

Indicamos la comprobación del teorema propuesto por medio del siguiente ejemplo particular
Supéngase que descamos formar todas las posibles palabras de $ letras usando las letras empleadas
en la palabra DADDY, Ahora se tienen 5! = 120 permutaciones de los objetos Ds, A, Ds, Da, Y
donde las tres D están marcadas. Observamos que las seis permutaciones siguientes

DIDID:AY, DsDsD:AY, DIDID:AY, DIDID:AY, DiD:DAY, DD: AY

forman la misma palabra sise quitan los subindices. Las 6 resultan del hecho que hay 3! = 3+2-1 = 6
maneras diferentes de colocarlas tres D en los tres primeros lugares de la permutaciön. Esto es cierto
para cada una delas otras posiciones posibles en donde las D aparezcan. Por consiguiente hay

5! 120 _
12 = 20

palabras diferentes de 5 letras, que pueden formarse tomando las letras de la palabra DADDY.

Ejemplo 27: {Quinta sale fermes, cada un de $ tundra colocadas e una ca veo, polen femarse
Gun un count de 4 banderas roja Sin marc 3 ans un mera y una aa estamos de oben
«el número de permutaciones de objet de os cals 4 son Iguales (us tundra jay 3 tambn
(as Hand Blancas) Seg el tora seer bay

area

tales iene

PRUEBAS ORDENADAS

Muchos problemas del análisis combinatorio y. en particular, de probabilidad se relacionan
con la escogencia de una bola tomada de una urna que contiene m bolas (o una carta de una baraja,
0 una persona de una población), Cuando escogemos una bola tras otra de una urna, r veces, dei
nimos esta escogencia como una prueba ordenada de tamaño r. Se consideran dos casos

(i) Pruebas con sustitución. En este caso cada bola escogida se regresa a la urna antes de tomar la
siguiente, Ahora puesto que hay n maneras diferentes para escoger cada bola, según el principio
fundamental del conteo hay

pruebas ordenadas diferentes de tamaño r con sastitución

Pruebas sin sustitución. Aquí la bola no se devuclve a la urna antes de escoger la siguiente. Ast
no hay repeticiones en la prueba ordenada. O sea que, una prueba ordenada de tamaño sin
sustitución es simplemente una permutación r de objetos de la urna. Por consiguiente hay

Par) = n(n (m2)

(M=r+1) =
pruebas ordenadas diferentes de tamaño y sin sustitución tomadas de un grupo de n objetos.

emo 28: ¿De cuántas marta se pueden escoger tes caras ct de un baa de 52 caras, (cor sust
‘vein, i sin seston? S ada cat se rprsa al age ats e coger la int, once cade
ata puede escoger de 52 maneras dent Entoncs hay

Bern. = u

pruchs ordenadas diferentes de tamaño 3 con ssi,

EVE HHENICAS DE CONTAR 1

Por ot paré o hay won, etones a primes carta pued caen 2 mats
ade maneras dicen y la tray cima cri de O mane ren

1-50 = 13240
rch ordenadas fete de tamaño 3 sin seston
COEFICIENTES DEL BINOMIO Y TEOREMA

O

Estos nimeros son tan

eto

otese que (” tiene exaetamente 7 factors tanto en el numerador como en el denominador.
ratte (+) o en el numeradk À denominad
Da Dre

r, TEE Gd HBB (r= Drea aH

Con esta fErmule y teniendo en cuenta que m (nr) = 7. se obtiene la siguiente relación im
portante:

tem 24 (42) = Gateau mins à a 32 mn (3)

AO)

Oméres que el segundo éxodo economia espacio y tiempo.

Ejemplo

La me area ent 29 ua (4) y ato due 0 , os eva de

Dodo TE

El teorema del binomio. que se demuestra por inducción matemática (problema 2.18), propor:
ciona la expresión gencral para el desarrollo de (a + 6)".

1

Teorema 2.5 (teorema del binomio]:

ero = E(pjeo

à
son nae (othe = ot + Barn + a + Fe + Eat +

= ah + Goth + 100858 + 10478 + Gabe + OF

rar

a a+ Gath + ISMAIL + Gad + D

20 TESIEAS DE CONTAR lew

En el desarrollo de (a + hy? se deben observe los propiedades siguiente:

© Hay #1 términos

(i) La suma de los eyponentes dea y de en vad tering ex

(iy Los exponentes de u deerecen uns unidad en cada término desde n hasta 0: los exponentes de h

mn

del lema 24)

(0) Las coeficintes de términos equidistantes de los extremos son iguales

1lacemos notar que los socio dels penis sust dea psn ser dns
en una formación pul de números Usada Wingate de Panel, como ie
ere à 1
etna eid va
a ds
eee paume met issu
CE dE dei
Wr a Bed + Bosa
a e e e BD 6 à

El triángulo de Pascal tiene las siguientes propiedades interesantes,

(a) El primero y último números de cuda la es I

(b) Cada uno de los otros números dela formación se obtienen sumando los dos números que aparecen

¿directamente encima de él. Por ejemplo: 10 = 4 + 6. 15 = $ + 10,20 + 10 + 10,
Se observa que la propiedad (9) anterior ex equivalent al siguiente teorema sobre coeficientes del
binomio

roma (13) = (4) -()

Ahora seam My Ma, ate Enteros no negativos tales que my me + 2e +

or ejemplo,

y 1 8 SEE
(232) = am > 20 (oo) = mm = m
Estos números son llamados coeficientes multinomiales en tención al siguiente teorema que generaliza

el teorema del binomio

Teorema 2.7: (ai bast

Jara. af
m)

ney "TECNICAS DE CONTAR 2

COMBINACIONES

Supongamos que tenemos una colección den objetos. Una combinación de estos n objetos tomados
ala vez. o una combinación 7. es un subconjunto de r elementos. En otras palabras, una combinación.
7s una selección de r 0 de n objetos donde el orden no se tiene en cuenta

Ejemplo 2.2: Las combinaciones de le las a,b tomadas 4 la vz son
aber labled), 4 o simplemente ae, abd ac bed
(Obs ques combinaciones sigues son isa:
abo, ach, bue, bea cab, cba.
(se, cada un representa el mismo cojumto a. .c1
El número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez lo denotaremos por
Cr)
‘Antes de dar la Fórmula general para Ci, ), consideremos un caso especial

Ejemplo 2.13: Daterminemos el número de combinaciones de as cuatro Ltrs ab. e. tomadas de res en te. Vemos
{he cada combinación ue contena res letras produce 31 = 6 permutaciones as

Combinaciones Parmacioncs
abe abe, ecb, bas, ben, ead, cba
ad ab, db, bad, ba, dad, dba
m cd, ade, cad, ela, dae, dea
bet ted, bd, hd, cd, be, deb

Luego el número de combinaciones multpicado por 3! equivale al número de permutaciones totals

cun run © au = Ah

Ahora PU 3)= 42822 2 24 y 31= 6; entones C(4,8) = 4 como se anos ants.

Puesto que cada combinación de n objetos tomados a la vez determina r! permutaciones de los
objetos, se deduce que
Pin,r) = riC(n,1)
Asi obtenemos
Pan

Teorema 2.8: a

O(n, 7) =

de aquí

Resume qu cane omis (2) necio

(6)

ale
Biden)

Cín,r)

varas 06.0 7 (6) siames

2 "TECNICAS DE CONTAR. CE

Ejemplo 214: ¿Cuántos comités de se pueden formar con personas? Cd omits sencament va comino

con = (9) = Et = «

comió deines pueden formarse

PARTICIONES ORDENADAS

Supongamos que una urna À contiene siete bolas numeradas de I a7. Calculemos el número de
maneras como podemos sacar, primero 2 bolas de la urna, después 3 bolas y finalmente 2. En otras
palabras, queremos calular el número de particiones ordenadas

(Au As, As)

del conjunto de 7 bolas en celulas Ay con 2 bolas, As con 3 y Az con 2 bolas. Estas células las
mamos particiones ordenadas desde que distingamos entre

(0,2) 8,45), 6.7) y (6,7, 6,45, (1,2)
cada una delas cuales produce a misma partición de À

Dese qe se amie con 7 rs na ma, ty (1) maneras de als 2 pers ts

ae me A ee
eich) (©) masa le on demie Ag ln dn ni cn
lara. see ay (2) mtr de nr lim cé As Enns ay

Aye 726,54 2.
OO) - FREE - zu
pariciones ordenadas ifrne de À ira en las clas Au can 2 bo, con 3 ols y As

Ahora obsérvese que

MO - zur

puesto que cada numerador después del primero se simpliica con el segundo término del denominador
del factor que le precede. En forma similar se comprucha (ver problema 2.28) el

Teorema 2:9: Sea À compuesto de elementos y sean una,» Enteros positivos con m+ a +

+ =n. Entonces existen
rd

particiones ordenadas diferents de À de la forma (Ay, Aa... 4) donde Ay consta
de my elementos, As consta de ma clementos, +... y A; Consta de M elementos,

Ejemplo IS: De cuántas maneras se pueden distri 9 juguetes er 4 ni
node oxox os ut”
‘Se desea alar el nämero de patine ordenadas de los 9 ops cre 4 las que constan
de 32.29 Jue respectivamente. Por dl crema ame. hy
Sy

sie menor ei 3 joa y ada

1560

aan TECNICAS DE CONTAR 2

DIAGRAMAS DE ARBOL

Un diagrama de árbol es el dibujo que se usa para enumerar todos los resultados posibles de una
serie de experimentos en donde cada experimento puede suceder en un número finito de maneras. La
construcción de diagramas de árbol se ilustra en los siguientes ciemplos.

Ejemplo 2.16: Hallar cl conjunto producto À x # x C en donde Am 11.21, Bla bel y Cid
Usamos el diagrams deol siguien:

<— te
Le ted
2 ane

Se Sane

3 Geo

ere

3 den

oa

2 ene

Ra iia
O e

4 aan

Vemos que again de bu e core de iquerda x dersha que el mero de amas
en cada puma & el nömer de redox posibles del sperimemo siguiente

Ejemplo 217: Marcos y Enrique ntervienen en un tones de ens La pi
0 que compite te ama el torne. El dagrama siguente

—

er persons que gane ds juegos seguidos
esta lo poles resultado del torne,

AA

Nótese que huy 10 punto fnale que corrponden 3 bs 10 restos pois dl torno:
MM, MEMM.MEMEM, MEME. MEE, EMM, EMENM, EMEME, EMER, EE

Bl recurid desd d ini del eb Lo puntos ale indica quién and cada juego enel toreo
individu

FACTORI

"TECNICAS DE CONTAR (car 2

Problemas resueltos

IAL
22. Caer 36,2981
22. car D, 2

o

23. Sim
o

oO

lier: 0) E ER.

2801 ali

mt nn Da) E
EE no o. simplemento,. Ey = AED!

We d+
AD! E a = nan 2

ES

oem, (EDI (ERE a = monte

PERMUTACIONES, PRUEBAS ORDENADAS
24. Si no se permiten repeticiones, () ¿cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los sis

ios 2,3, 5, 6, 7 y 9? (i) ¿uántos de Éstos son menores que 400? (li) ¿cuántos son pares? iv)

¿suántos son impares? (+) ¿cuántos son múltiplos de 5?

o cda ec ¡EE

cine número de das ques puede colar all

0

0)

ow

0)

aged e pede ent de 6 maneras; eo, la aj de meio pele are de S manera,
A hay 62544 = 190 née

ha cp
ire, la caja de la dera pued are de 4 maneras: [ 6 ] |

La aj dea queda pues enrs de ds maneras solamente, or 26 3, puesto que ca número deve ser menor
A In ej de nod pede ear de manera nal, l ca dela dera pot tas ed ma

mens [2] [5] [6]. ae 29594 = 40 namens.

quelo meron dto sr pares

La caja de a echa une ear de dos manr solamente, or 2 y 6
in mind puede lena de mueras:

la cla dl quedo pue Here de 8 man, lent ca
5] [4] [2]. Par conseicne hay 924-2 = 40 mers

La cja de la erch pete are de slo mans, po, 5, 75, pto q los números en se impares:
nee de liquid pete mare pr I tant de mapeas , vamente. ca del ited usd ena de

4 maneras: [6] [4] [4]. asthay 50404 = 80 números

car

26.

27.

28.

29.

¿De cuántas maneras se puede acomodar una reunión de 7 persons

a "TECNICAS DE CONTAR: 25

0 Laja de dera puede ens de 1 manes solamente, pot. poque os números deben mito de.
de uted puede Near por lo tan e maneras aimes a cja del maño pued eras de

maneras: [5] [4] [2]. 0 ses quetay 5-41 = 20 números

(iy en una fila de 7 sillas? Gi)
“alrededor de una mesa redonda?

©) Las sie personas pueden ibn en una la de 7

604-3920

TI manera,
i) Un prions puede sentarse en ql pot e la mesa redond, Las os sk pesonas pueden acai de
BBA See = St mine akededbr de la me

{exe e un elo de permutacdn circulo, En general jet usd database en un ile deta
a9. 32:1 = I) manera

) ¿De cuántas maneras 3 niños y 2 nihas pueden sentarse en una fila? (i) ¿De cuántas maneras
pueden sentarse ios ifs se sientan juntos y las niñas también? (ji) ¿De cuántas maneras pue-
¿en sentarse en fila si justamente las niñas se sientan juntas?

() Las ico personas pete snare eur fl de 54432221 = Bt = 120 manera

(D Hay 2 maneras para distin según el sexo: HHHMM o MH, En cd
"marcas, y las mies puden sentar de 2-1 = 2
‘Breed = 2 mers.

2 maneras As en el Kay

iy Hay 4 maneras para distros sein el sexo: MMMM, HMMHE, HMMM, HHHMM, Obsivese que
A ra enteonde a mere . 1 2 9 3 de nos ques sean al quin dels ña, En ada sg
o none de maneras ys ias de 2) mancrs. Asiento hay 491-2! = 4:6:2 = 48

¿Cuántas señales diferents, cada una de 6 banderas colgadas en una línea vertical, pueden for-
marse con 4 banderas rojas idénticas y 2 azules idénticas?

tote problem crsponde a perma cm rept Hay 78%; = 18 sas puto que ay band:
ras dels als an op y 2 ale.

¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con todas las letras de cada una de las palabras
{@ tema, (i) campana, (i) estadísticas

G4 = 24 puso quenay letras din

9 T= sin. puesto que tay 7 letras de as cues 3 son
sio BE, puesto que hay 12 letras de las cuales 3 sons. on 4 2 on Iy 2 son
ar L es 3 sans. 2508 4

(6) ¿De cuántas maneras 3 americanos, 4 franceses, 4 daneses y 2
ita de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? (
si se sientan en una mesa redonda,

(nos pueden sentarse en una.
Resolver el mismo problema

(0 Las evo nacinaidadspueen ordena cuna fl de 4 maneras, En cad uso ls amies pueden ses
nn deat maneras: los dans, de 4 maneras. y los 2 alas de 2 maneras
TL bay BAND 165.38 ordenacons.

i) Las 4 nconidades pede distal en un cl de 3 manrs (ver problems 144 abe peemuaions i
laca a american; poten snare de! manera los fines, de 4! maces Id dans
a a 2 lanos de 2 maneras O zen que, en oo, ay SOMA! = TZ rdeaciones

2 TECNICAS DE CONTAR (car. 2

2.10. Supöngase que una urna contiene $ bolas. Hallar el número de pruebas ordenadas de tamaño 3,
(con sustitución, di) sin sustitución

(Cada hola de a prac ordenada puede escoges de 8 mers, entonces hay 8

+8 = 88 2 612 prets

(i) La primera toa de a peut ordenada puede sr chops de 8 maneras a ise de 7 manera ya ima de 6
nan. Pr lots hay 82726 = 896 prchs un stan

2.11. Hallar n si () Pin. 2) = 72,

D PQ, 4) = 420. 2), (ii) 2P01,2) + 50 = PON, 2)

W me a= N= nm oa wn A 0 HH) = 0
Paco que mee ser postin, a ncn spa es = 9.
i) Pond) DAA DER: Ou

nn (a 2-3)
o mot

nor,
o mn

Aa y BORD = ama)
mix 0 BHP = An © me

anna
0 © mat

(iy Pd) = men 0)
2090) +50
Pact que n debe er oi, dics respeta en = 5.

COBNGENTE DEL SOMO y TEOREMA
zn cuotas 0 (8), an (2), 0 (2),

a le AE arate
o (m (1)

oo (2) = tune «as

ise _

4

sico 00 (5). © (7). ain (2)

o (tasa

do ci (2) (

ay mens à um (2) (

2.14. Desarrollar y simplificar: (22 + 94)

ee = ear + Fami +f

ta + Ec + an + ann
a tons Me an + iter + ve

can "TECNICAS DE CONTAR:

2.15, Desarrollar y simplificar: (2? 29)
man = ee + Semen) + Econ + LES em
+ Ea Sica + (me

= a8 12000 + 00? — 1009 + Hs — 102225 + 64

ane Eo

en Soe Que + (Qe (de
()+0+@+@+Q

Ft

we

(2) +0)

Ars érmio del posto que conte 0

GH} AC

2 TECNICAS DE CONTAR ¡cara

teomawense(.2,)(t) = (59) qu incio (nt

Obenamos que (a + a+ A) un pita de rad + 1 eb. En concu

term ce Eo

Lo mals queria demostrar

2.19. Calcular los coeficientes multinomiales siguientes:

(ss): © (urn) 69 (6,22, 5)
(2)

sem
s
0 (ee) = aati

Gi) tación, 39 3) tense pues +3 42.42 10

AN
DIET = 40

COMBINACIONES
2.20. ¿De cuántas maneras puede escogerse un comi
Brupo de 7 hombres y $ mujeres?

. compuesto de 3 hombres y 2 mujeres, de un

2
De home se un gr e) mc. y des mje cd cope de (6) man

Por. ene el comité te (7)(5) = 226-8, ner
coin me (0) = FE Eu

221. Una delegación de 4 estudiantes de un colegio se seleciona todos los años para asistir ala sam
bea anual dela Asociación de Estudiantes. () ¿De cuántas maneras puede escogerse la delega.
ción si hay 12 estudiantes elegibles? i) ¿De cuámas maneras si ds de los ctudiames lips
0 asisten al mismo tiempo? (i) ¿De cuántas maneras si dos delos estudiantes elegibles sen ox,
sados y sólo asistirán si van ambos?

ae pa có da 1 (1) = AL ta
Mt
Seinen ana mc sión pco ot (1)

240 maneras. Por a

sans
$ ann st ttn pa re (1) =

CR ea tated ma nes (2) = 6 m ram

car.

22.

223.

224

a TECNICAS DE CONTAR: »
Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. (i) ¿Cuántas maneras de eco:
ger tiene? Gi) ¿Cuántas maneras, si las 3 primeras preguntas son obligaoria? (i) ¿Cuántas s

tiene que contestar 4 de las 5 primeras preguntas?

ect vc Oe a

(me ns pein on ute gos de 7 rt (2)
6

ji) Si contesta todas las $ primeras preguntas, entonces puede escoger las otras 3 de las 5 ütiman de re
(0) = o y met on am tac ten (1) = (1) = Em o

Hallar el número de subconjuntos de un conjunto X que contiene elementos.

M na de nimes dsm eses eta pr (1) Porson e un

0-0-0--0):0

sabconjuntos de X, La suma ameior (problema 251) egal 2, os que hay 2 subcmjntonde X
Método 2.
vray ds poibiiddes para cad leen de Xo pete al uno 0 o perience; por comite ay

En »

anes de formar un abrite de X, es May 2% subconjuntos drets de

¿De cuántas maneras puede un profesor escoger uno o más estudiantes de ses legibles?

Modo 1.

Sen el roca anterior, ay 28 = 64 scene el conto dei siames Sn embargo, el conan
de pu que Le escogen uns 6 más edite, En essen hay 28 — 1 = 641 6
Método 2.

ueno quese escogen uno, o dor, e 0 eis une eones, el número de mana de escoger e

OOOO mm

PARTICIONES ORDENADAS Y DESORDENADAS

225.

{De cuántas maneras se pueden repartir 7 juguetes entre 3 ños sel menor recibe 3y cada uno de
los otros recibe 2?
Buscamos el número de parlions ordenadas de 7 ojeo en células de 3 2 2 actos respesvament, Pore

enrema 29, day pi = 210 de dichas particiones
ie

30 TECNICAS DE CONTAR ¡cara

226. En una clase hay 12 estudiantes ¿De cuántas maneras los 12 estudiantes pueden present
bas diferentes si a cada prueba le corresponden 4 estudiantes?

prue

Método 1.
Buscamos el número de
Por el tsrema 29, hay

ones ordenadas de 12 etudiants en cls que coman de 4 suas cada ua.
= 34.650 de tales partons

(2) m eet np iit (1) mu

A sine ir

227. ¿De cuántas maneras 12 estudiantes pueden repartirse en 3 equipos, Ay Ay Y Ay, de suerte que
ada equipo conste de 4 estudiantes.

la tre rue. Osea ue,

16:70 = 94.650 maneras para que los estudias pesenen las prc,

Método 1

Omerramos que cada pain | An, da. As decanos puede di
E

bre de 3! 6 mera lo mismo que
34.680 de tales paran ordenadas,

ra pain ordnnd. Pues que (vr problema amero) hay 7]
Fay 34650/6 = SS puniine oo ordenadas).

to dn tt an En (1) mee pr) meine

to eget tre dr i as ow wat ny (12).(2) = 20606 = 878, macs de

s/d

2.28, Probar el teorema 29: Sea A compuesto de m elementos y sean mis nas. «y enteros positivos
con mit mat «++ 4m = m. Entonces existen

Due
particiones ordenadas diferentes de À de la forma (At, Aa, ...,Ar) donde À contiene m elemen-
fos, Ar contiene na elementos... y A, contiene nr elementos,

Enya em In onen de: tay (mane de nr ay Ea sepia de o hy

In mementos que aban, ose a diferen AN,

y mr oie, (82) mans dsc

ee

erstes pcos ordenadas de. oral

‘Ay Simiarmente, pra |

1) mia de scans 4e ay

+) =

fi ont maman
BTR EEE ee
er eto sal EE peo ge cda memes ds prime € np on seg

tor de dominador que le preto y come (nm

=n

1. Entonces torre queda probado,

car 2} "TECNICAS DE CONTAR a

DIAGRAMAS DE ARBOL.
2.9, Construir el diagrama de árbol para el número de permutaciones de La, b, 1

tes
<<
y

A la desecha del grams se ordenan as ses permutaciones.

n

PEPrres

oe
à lo sumo, En cada juego gana o pierde un dólar. El ae
nn.

la apuesta puede suceder, Caca número del dagrama denn ln ee

Inco de dares ue el hombre iene en ee punto. Oseramos que A

lapin pte suceder de 1] maneras diferentes. Obstrese que dl Z

Suspender a apa antes de que ls no juegos se hayan ea: =

‘den solament es elos ca >
4 4

Problemas propuestos

ecrans
Dai or 091 QD 01 a

pare ce on Br

2 separar N, eo Lg m, om

PERMUTACIONES

2234 6) ¿Cuántas lacas ara automóvil oc hacerse cad placa cont de dos tas freies seguidas de dios ie:
ents (i) Resolver dl poblems i primer dig no par se ceo,

2135 De Aa B hay 6 camino y de na CA,
(i) {De cles maneras puede de 4 C pasando por 8
(i). De elas manera se puede hacer el viaje redondo de 4a C pasando por
(Gi) ¿De cuts maneras se pue ace el ij redondo de A Csin war el mismo camino més de una ve?

22 "TECNICAS DE CONTAR ¡cara

36. Halareinämero de manera en qu persons pueden onda un bog (pes dins) lu ets eb mana.

2.37. Mala el imer de maneras en que cios persons pueden senta en una
ls pesan inten en sentar un al lado de la?

239... Mao nômer de ptr de curo eta quee pun formar con seas ea palabra CRISTAL. (¿Cut
tae de lis contienen sl oncom i ¿Cut emperan termin pr somonane? 4) ¿Cuit pican por
socal) ¿Citas sont a lr 14) „Cuinan empresa por y ermitas por wos) ¿Cuántas empira
or T amen coins SE {Claas sane abs se

ehe ferent se puede format con hander colocadas en inc ea, se rots, ae y erde

241. Hala el número de permutaciones qué e puede fro sn das las es ad um de las palabras) ara,
in sateen pon Go impor

242. 6) Haar lime de maneta on ue dos y ihn eden set e ua alos hombres y a mujeres en
quedar amados, Hallar lime démarrent uo es dos een sempre
ona ha determina Gs) Hal el nero de maneras ys cta resents pro lados os mencionado

eier su sienta leur de uma sa na:

2144 Una ora comien I bla. Hallar el número de psc ora, (de aro on sición) de tamaño in

245, Hala mimero de mana como se pute color en un eine br grades, sanos y 3 paños de modo
te fos ros de ua tao et juntos

246, Comme ados los eros piven de 3 digo diene, (Oberramın gute mo pued srl primer dio
(¿Conos sn mayores que TH? (i) ¿Cuántos sn pare’ i ¿Cuántos on pare?) Cain on be por 5?

247. 6) Mala el número de permutaciones iret quese pueden formar con tobas las leas de a palabra CAMARA,
{iy Cuts de els pica y teria por A?) ¿Cuts enn 3 À juntas (9) ¿Cuántas empican cp Ay te
nan cn M?

COFFICIENTES DEL BINOMIO Y TEOREMA

sa cr 0 (0) 000) 00 (4), e (2), « (3). so (1)

20. cuota 0 (a) a): 60 (22,41,0)

250, Doro y impiear () Be+ AP, (i (ES (Hi) Qa-t20)%, Gy) (a,

este OQ RAGE er OS
O

253, Halle término dl desarro xt 49) qe cantine x.

254, Hallar término del dar (3 2} que contiene y.

car. TECNICAS DE CONTAR 3

INACIONES

2258. Una clase consta de 9 ios y 3 niñas () ¿De cultas maneras profs pute escoger un omit de 4 Li ¿Cuts
canes omar con un nba or o meno? (a) ¿Cuántos tendra na cuca

286. Una sera ter 1 mios de conan.) ¿De clots maneras puede invito $ de sa come?) ¿De cuts ma
eras sados Son osados y no asisten el uno sine o? i) ¿De cunts mars i os dels la an Be no ai

2157. Hay 10 pomos 4.8... es un plano, en ana misma nano ay te.) Cats ines forman los puto i) ¿Cu
Ua nw o paca por 48 i) ¿Canton Ugo derma o unos? Gr ¿Cuán angles de xs se fran
Co panto) ¿Cats triáalos contre e lado AB?

ESE. Un estime ine que rear 1 pegnts de 13 en un examen) ¿Cuts maneras de escoger en i) ¿Cuán
Ms don pines sn nara a) Caan, na de ls oz primers e oblate? (I) ¿Cuántas ene que
Comestareacamente ela primera?) ¿Cuts sien que cosa por lo menos els primer

25%. A un person sl parte na mano de “pOr” (cars) de un baraja carte ¿De culaas macs puede rei,
{aun cera i) en er i) una esr? {nan par de se?) un pr cualquier (ds curas gules?

24. Elladan 26 lets de ls cats so vocales
(0 ¿Cuántas plara de ra, consonants diferente y 2 vocals rentes se pan form?
{iy ¿Cuántas de sas comen ler 7
Gi) ¿Cobras contienen aby lnc?

69) ¿Catas empiezan por y one
(0) ¿Cuán empiezan or y trminan por
(vo ¿Cuts contienen as hrs ay 8?

(i) ¿Cuantas empieza por ay coniren
(i) ¿Cutntsempira por by comienen 47
6 ¿Catas empieran pr ay terminan pac 9
(Cut conte sta, by

PARTICIONES ORDENADAS Y DESORDENADAS
241. De done manero se pueden repair Dust pr Isa ete 3 is?

262. {De unas maneras pueden divide por gal estudiantes entes equipos?
4163. ¿De cuts maneras e ode vii 10 estudiantes en rs equipos. no de 4 cuates y ls oros de

2.64. Hay 1 olas e un una. ¿De cata maneras se pueden sacar holas dela ra, cuatro veses susramene, todas sn
sn?

168. De cultas maneras pede reparti un lb de 12 miembros en rs omis de , 4 y 3 miembros copstivament!
1266. ¿De cuts musas e pued rear estate en dos equipos que contengan um tante por o mens?

2167. ¿De cubetas maneras se pue rpar 14 hombres n 6 comités ns que os san de hombres y los tros de

DIAGRAMAS DE ARBOL

268. Construir el digrama de tl paa el nömero de permutaciones de Lab. cd

249. Haar conjunto producto 11, 2,31 12 41 12

41 consraendo el dingrama de rl ep.

3

am

an.

au

an

a.

at.

3. Enelsigvente diagrama A.

TECNICAS DE CONTAR.

Los equipos A y B juga en un one de baloncesto. El pime io qe an dos jos ssid an
ala e numero de manera como puede steel tro.

pos ama lomos

(car. 2

Un hombre Vene tempo para juar rl cnc veces. ana o pierde un dla en cda jo, El hombre mia co dos
lars y dejará de jor a1 quita ver erde todo su nero 3 gana tc ares (to es complete lao, Ma

ar el mero de manes como puede scr lupa.

Un hombre sá enel rige dl je xy and un paso unidad la quid

la desecha, Se eine depts de 5 pasos

avanza Do scort 2. Conti e agama de bo ar dre tds ls wayecaris pbs que deu

cita la. Se deine pra

veces Hall el mero de maneras como puede hae ers ants dear

Considerar el dgrama trado con er puntos A BC, RS, 7, X, Y, 2, Un hom
re emplea cn Xy se permite moves horizontal etme un pas cada ve
‘Sedatene cuando no puede seur comando sin paa por dl mimo pah mir de ua
vez Hala el número de maneras como poede hacer econo, primera reso
EX a R Por mata el oa de manera sd eses o aer)

Respuestas a los problemas propuestos

(30.380 Mi) 62800 (iD 29916800

(20 mas o wy ANTE

att Man-n

0 26-25-10-928 = 48000 (i) 26-25

am

MAR) 6 NED

W64= mG) 64g =m = 516 Gin

60

Ws Gy dates =a

asm ması=ı

wre Gi

«0

55-44 = 400
ME m) 296-54 = 200

(0) 465.
m rs:

4200

649-5 = 360

40 (vit) 428-504

at
143.200 dv) pita = 5040

El a
Han (ns

uy
Git) sra

denota as, y ls Ines de unió sn puentes, El hombre empir ey cana
ire cando no pue cominuarcminando un eer ue ace mimo pue dos

=480 (vil) 185-460

20

3

2 Werten qu Erro | qu u
zu atout a am more
ak) 10-10-10 = 100 10-10. 10-30 = nn
ti 20-8" CRE
nas. sis = mo
Be () agas o
{hy 85. ama en.) EA 28 min ln lu pao e i 21
Im ara Tn ety 62821 64 man prb 7 +
zu Herm mea qn estan on fae
ra O0 ma mm mi Due mu
20 0 mm Go a
Le. 0) tev tee
thy on se + in
{iy a's Gore + + 20 + ab 00
th) hat ete Bo 10000 à 1208 +
2st. Sm nah) Tot
251. Semi Darr! D o
uso (2) =, @ (3)-() 0. 0091) = 2e
rm 0 (2) = us 0 (el) = ne on (rel) = 90
ae KOA eat
10) _ à 10 »-
um 0 (9) (=m (2) m m ($) ws
ia Ve
no m A)
au) _ (m sya), (of), (OS
o(@)=G)-= "00:00:00
ww 2-(3) = 2-(2)
29. (410 = 40, (18648 = a, I 10:42 — 40 = 0. ates nm Beef)
AN
go ({)(2) 0 MO = roma
E E = ne
co (NE) mon a ao) = nme
en 4: (8) ca um

(i) 18240 (o mismo que eH)

36 TECNICAS DE CONTAR

20.

28.

20.

2. ss

20.
020
Er)
24
0,4
aaa)
aoe
229
cr)
@29
@un
Ban
eo

Los ich elementos del ou product ná tdo la derch del diagrama de bol
270. 16 maneras

AM. 20 maneras (como se en cl sigue diagrama):

CE

ar TECNICAS DE CONTAK El

AM. Sugerencia: El role came 1e mamo que el Ao dl problems atrio.

27. El grans de ol es spite:

“Tien once maneras de aces record Observar que det come m 8 Do E.

174. El diagrama de Al apropiado es el spin

.c- n

Hay 1 recorridos diferentes. (Observar qe solamente en 4 de als se abren fos os ner pants)

Probabilidad: Medida de la posibilidad de ocurrencia de. un
fenómeno o evento aleatorio (al azar). Mortemdtica ~
mente es un número entre Oy | (0 0% y 100%)

que mide. dicha posibilidad de acuerdo a la escalas

he va i i en 100%.
a,
0 fée Pa mas ARE HD Le
a a here un
Taposibl mentee oa en SERVI

Capitulo 3

Introducción a la probabilidad

INTRODUCCION
Probabilidad es el estudio de experimentos aleatorios o libres de determinación. Si un dado es

lanzado al aire, entonces hay certeza que caerá, pero no es cierto afirmar que aparecerá un 6. Sin

embargo, supongamos que repetimos el experimento de lanzar el dado; sea s el número de aciertos,

esto es, el número de veces en que un 6 aparece, y sea n el número de jugadas. Se sabe entonces que

empíricamente la relación f= s/n, llamada frecuencia relativa, tiende a estabilizarse a la I

‘ea que se aproxima a un limite. Esta estabilidad es la base de la teorfa de la probabilidad.

En tcoría de probabilidad, definimos un modelo matemático de los fenómenos anteriors asignan
do “probabilidades” (0: valores limites de las frecuencias relativas) a los “eventos” asociados con un
experimento. Naturalmente, la seguridad en nuetro modelo matemático. para un experimento dado
depende del acercamiento de las probabilidades asignadas con la frecuencia real relativa. Esto da origen
entonces a los problemas de veriicación y confiabilidad que constituyen el tema principal dela esta-
dística,

Históricamente, la teoría de la probabilidad comenzó con el estudio de los juegos de azar, tales
‘como la ruleta y las cartas. La probabilidad p de un evento A se definió como sigue: si À puede ocurrir
de s maneras entre un total de n igualmente posibles, entonces

p= Pia) = 2

Por ejemplo, a tirar un dado puede salir un número par de 3 maneras, de las 6 “igualmente posible;
© sea, p= 4 = 4. Esta definición clásica de probabilidad está viciada, esencialmente, puesto que

idea de “igualmente posible” es la misma que la de “con igual probabilidad” que no ha sido defi
nida. El tratamiento moderno de la teoría de la probabilidad es puramente axiomático. Esto significa
que las probabilidades de nuestros eventos pueden ser perfectamente arbitrarias, excepto que ellas
deben satisfacer ciertos axiomas que se enuncian posteriormente. La tcoría clásica corresponderá al
caso especial de los así llamados espacios equiprobables

ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS

El conjunto S de todos los resultados posibles de un experimento dado se llama el espacio
muestral. Un resultado particular, eto es, un elemento de S, se llama un punto muestral © muestra.
Un evento A es un conjunto de resultados 0, en otras palabras, un subconjunto del espacio muestral 5
El evento ba! que consta de una muestra simple a € $ se llama evento elemental. El conjunto vacío
9 y S de por si son eventos; el D algunas veces se denomina el evento imposible 0 imposibilidad), y
S el evento cierto o seguro,

Podemos combinar eventos para formar nuevos eventos, utilizando las diferentes operaciones con
conjuntos:

() À U eselevento que sucede si y sólo si À 0 B 0 ambos suceden;
(ii) ANB es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente;
(ii) 4%, (complemento de A), es el evento que sucede si y sólo si A no sucede

38

cara INTRODUCCION À LA PROBAI

DAD »

Dos eventos À y B son llamados mutuamente exclusivos si son disyuntos, esto es, si ANB =
2. En otras palabras, son mutuamente exclusivos si no pueden suceder simultáneamente.

Ejemplo 3.1 Experimento: Linse un dado y ode el námero que anerece e la cara supero. Etoo e
‘ipsa mucnral comite los se números posible:

sat

en]

Sea À evento des an amero pa, de sal impar y Ce al prime

Amann!

354 C= 12351
AUC = 12,345, 61 enel ete de que número ss paro primo;
BC = 13,51 sl evento de quee número ses impar pres

Cf = 11.461 sel evento de qe número o se mo.

COtsteese que Ay 8 sn, mutuamente nc: AB D en ores palabras, un número par
y an par no puede cuir simuiineamete

Bm 32:

0: Länese una monada 3 vecs y obese I ei de caras (1) y sells (1) que aparecen.
(lS et consti por ls ocho elementos

$ = (HHH, HET, HTM, HIT, THH, THT, TTH, TITI

Sea Ae evento en que ds más caras parce coscstivamene,y 8 aquel en qu odo ls rel
{doe som inner

A 2 DH, THRE y 8 = (RAH, TT

Emonces AM B=IHHHE « el veto mental en que aparecen cres solamente. E evento et
ue apre $ caras eel cont va D.

Ejemplo 33: Experimento: Lincee una moneda asa que aparesca una cara y lego cos el nimer de veces
que se lana la moneda E espacio muestral & sie experimento es S= 11.2.3... 1 Agu
tae also de queno aparezn nunca una cara y ala monedas ata an nümer init de
Tes. Este an Gempo de un espacio men que et conbiemene if.

Ejemplo 34: Experimento: Sea un lpi qe ce de pant, en uma caja
rectangular y obra el punto de fondo de la cja donde
«lp toa primero. Aqu est formado pr todos lo
unes de la paie del ondo, Reresenemos estos
uno por el rs rectangular tjad a derecha, San
y Bos exentos a quee ip eae en las especias
ru sta en aura. Ese es un ejemplo de une
Pac mural que no es fio ni sera comsblemente
Tain, soe, quee 0 contable

Si el espacio muestral S es infinito o contablemente infinito, entonces cada subconjunto de Ses
‘un evento. Por otra parte, si Ses no contable, como en el ejemplo 3.4, entonces por razones téc-
nicas (que cuen fuera del alcance de este texto), algunos subconjuntos de Sno pueden ser even
tos. Sin embargo, en todos los casos los eventos forman una #-élgebra € de subconjuntos de S.

« INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD.

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

Sea S un espacio muestral, sea € la clase de eventos y sea P una función de valores rales definida
en €. Entonces P se llama función de probabilidad, y P(A) es llamada la probabilidad del cuento A si
se cumplen los siguientes axiomas

[Pi] Para todo evento A, Oe P(A) =
CCE
[Ps] Si 4 y 8 son eventos mutuamente exclusivos, entonces
P(AUB) = P(A) + P(B)
[PA Si Aus... es una serie de eventos mutuamente exclusivos, entonces
PAUAU ==) = PAD + P(A) + «>>

Las siguientes observaciones conciernen a orden en que estén los axiomas (Ps) y (PA. Ante todo,
al utilizar PA] y La indución matemática podemos probar que para eventos mutuamente exclusivos

Ads, An

P(AUAsU UA.) = PÍA) + PAs) + ++ + PA) o

Hacemos énfasis en que [Pa] no proviene de [Ps] ni siquiera (*) se cumple para todo entero positivo
. Sin embargo, si el espacio muestral S es finito, entonces claramente el axioma [Pa] es superfluo

‘Ahora probamos un número de teoremas que se deducen directamente de nuestros axiomas.
Teorema 3.1: Si @ es el conjunto vacío, entonces. P(P) = 0.
Demostración: Sea A un conjunto; entonces A y @ son disyuntos y AU D = A. Por [Pa
P(A) = P(AUD) = P(A) + PO)
Restando P(A) de ambos lados obtenemas el resultado

Teorema 3.2: Si A® es el complemento de un evento A, entonces PA) =

na)
Demostración: El espacio muestral 5 se puede descomponer en los eventos À y 4 mutuamente
exclusivos, estos, 5 = À U 4°. Por (Pa y [Pa] se obtiene
1 = P(9) = PUAN = P(A) + PIAS)
del cul se desprende el resultado,

Teorema 33: Si À C 8, entonces P(A) = P(B).
Demostración: Si A CB, entonces B se puede descomponer en los
echa), BNA),
Asi PB) = PA) + PIBN A)
¿Con lo cual se comprueba el enunciado puesto que P(B\ A) > 0. az
"Teorema 3.4: Si À y Bson dos eventos entonces
PAN) = PA) -PANB)
Demostración: A se puede descomponer en los eventos mutuamente
exclusivos ANB y ANB; esto es, À = (AN B)U(ANB).
Por consiguiente, por (Ps), À
P(A) = PAN B) + P(AnB) Balin,

delo cual se obtiene el resultado.

ars INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD a

Teorema 3.5: Si À y # son dos eventos, entonces.
P(AUB) = P(A) + P(B)— PAB)

Demosiración: Obsérvese que AUB se puede descomponer en
los eventos ANB y E mutuamente exclusivos; esto es, AUB =
(ANB) UE. Entonces por [Ps] y el teorema 34,

P(AUB) = PAN B) + PCB)
= P(A) —PIANE) + PCB) à a
= P(A) +P(B) - PlAnB) ‘AUB ment
que es el resultado buscado.

Aplicando el teorema anterior por segunda vez (problema 3.23) obtenemos el
Corolatio 3.6: Para los eventos A. B y C.
P(AUBUG) = P(A) + P(8) + P(C) — PLANE) — P(ANC) — P(BNC) + P(ANBNC)

ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD

Sea S un espacio muestral finito; digamos, S= (04,0a, … a). Un espacio finito de probabi-
lidad se obtiene al asignar a cada punto @ € S un número real Py llamado probabilidad de ay, que
satisface las propiedades siguientes

(cada pues no negativo, > 0

(i) la suma delos pues uno, pa + Pa + ==> + Pa = 1
La probabilidad P (A) de un evento A, se defite entonces como la suma de las probabilidades de los
puntos A. Por conveniencia de símbolos escribimos Pa) en lugar de P((a)).

Ejemplo 33: Linn tet monedas y obrante el número de caras que resalte: noncs el espacio muera! e
52101250 Obreras un espacio de probidad por meda de las siguientes asinaions
PO = PO =H P0=4 and PO =4

sto que cada probabilidad es no negativa yl suma delas robbins. Sea À el erento e
ie apes una cara port menos ea Bel eeno en que apreen todas cara odo los

28) y B= (0,3)

Entonces, pr ein,
PUA) = PO) +PO)+PO) = ++ = E
y PE) = PO +P) = ate = 4
eng 34: Tees als A. By € imervice co uns carrera; A iene dbl posed de ena que By Be
que & Sui on la repens probablidades de pana, to =, PA) PAB) y PLC)?
sen PC =p: como B iene dbl probidad de par que, PU) 27: y peto que À

tinea doble de 8, PLA) = 2P (0) = 2027) = 4p. Alora como la suma delas probablidado, debe

pti 6 m o pat
En convent,
PU) = =$ PE) = 3
Prepon: {Cul I probado de que Bo ganen, sc, PUB, OD? Por dein
PUB,C) = PIB) + PO =4+4=4

PO =P =4

a INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD. (cars

ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES.

Frecuentemente, las características fisicas de un experimento sugieren que se asignen iguales
probabilidades a los diferentes resultados del espacio muestral. Un espacio finito S de probabilidad,
onde cada punto muestral tiene la misma probabilidad, se llamará espacio equiprobable 0 uniforme.
En particular, si $ contiene n puntos entonces la probabilidad de cada punto es 1/n. Además, si un

hi eos ratas e y; Ls En oes pme
= nimero de-clemenos dea Ej rer
PLA) = número de elementos de $ Ti n>0

nimero de maneras en queel evento À puede suceder.
3 PA) = mero de maneras en que el espacio muestral puede sucsder

Hacemos hincapié en que la fórmula anterior para P(A) puede utilizarse solamente con respecto a un
‘espacio equiprobable, y no puede usarse en general

La expresión "al azar” se usará solamente respecto a un espacio equiprobable; formalmente,
la proposición “escoger un punto al azar de un conjunto S” significa que S es un espacio equiprobs-
ble, esto es, que cada punto muestral de S tiene la misma probabilidad.

Ejemplo 37: Seleciónci en carta rar de una Baraja comente de 5 ra. Llameros
A — legate!
y B= (guts, e decir 3.0.0 KI
CCaesewos P(A), PAD) y MO D. Come tat de un ea euprobble

am arte 2 00! yg = comète 818

Pian = ime de pas que son urs

Pa)

Ejemplo 28: Sen 2 anos escogidos al zu de un rap de 12 de os cuele 4 son defectuoso. Sea
A 2 dos ates defctoios! y 8 = don actos o defectos

Hala PLA) y PU Ahora

$ pude suceder de (1) = 66 maneras, mero de ecs en que se pueden soga 2 arcos

aire 12

LA pued sealer de ($) = 6 maneras, o número de veces en que se puden escoger 2 an

1 pued sucede de (fy = 28 maneras. 0 número de veces en ques pueden escoger anclas
o dont etre 8 m defecto.

doy PH

Por consiguiente. PCA)

Pregunta: ¿Cube la probidad de que por lo menos un aro se defectuoso? Ahora
(C= un arco por lo menos defcuno |
Gel complemento de 8 eo =. C= 89 AW, pore teorems 32,

PQ) = PB) = 1- PB) =1=

aventaja con que un evento de probabihedp sce, e eine como ln relació pp. Asia
nd de gee pr To menos un aslo wa defectos JL 6 19518 que ee 19 à 4”

car ay INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD. 4

enol 29: (Polea clio del compis) Se deen hall probabil de que pesonas Lean fechas
de sampeah Para toser ee problema, tenemos e cien os aos Boos suo:
ed compa de en persona pede cer en un da cun ial probabilidad.

neo que bay n penas y 36 dis diferent, hay 25% mancas de que n perras pue.
pus ls pardon cumplen nfs sina nonce la primer person,
os ula dí de los Wo, sepa puc na e sulla de os 38 das ren,
Pact et ann. ee AN hay 066264236822 (BES m 41) manes pura que
nan echas den dump Por somiguet

op seat. men 8 264,268. né
D ns

erode comp qu qua a 323 pds cn labs, de 2 pas cn adelante ds

qu men os de as tenga mano dí de cumplesion i oan ean de eh

ESPACIOS MUESTRALES INFINITOS

‘Sea $ un espacio muestral infinito contable; es decir, S= (21,05, ..-). Como en el caso finito,
oblenamo un eapacio de probabilidad asignando à cada a, € S un número real a. amado su pro-
babilidad. tal que

Oro yO) mtmt = Emad

La probabilidad P(A) de un evento A es entonees la suma de las prubabilidades de sus puntos

jano 310: Comics edo mul 5 =1 1.2.3. «mt dl spent de na un mone hae
Cer um ec natn dona cl abe de ec e quese laca I monada, Un pci de
ibid ocre diente
= MM A O
Los únicos espacios muestrales no contables S que consideraremos aquí son aquellos de medida
geomätrica Tita MS) tales como longitud, äre 0 volumen, y en los cuales un punto se selecciona al
En La probabilidad de un evento A, esto es, aquella en que el punto seleccionado pertenece a 4
ts entonces la relación de m(4) a MiS), 0 sea

longitud de A área de A volumen de A
Dia) = Rennes °P = ads ° PIA) = volumen des”

Se dice que un espacio de probabil

lad tales uniforme.

mpl She Ich rel se seconan azar os putos ay Buen que a == yO 023.
so a cg. Halla la probada p para gue a distancia dent ay sen mayor que

El espacio muestral const de todas las pres ot
dedos to) y fora aa eon rectangle quese
inde en el drama ade. Pr or are cout,
ip de panos (a0) para lo cales d= a b> 3 con
Games puntas de S que can debajo dela inca
EE foam poro tano la soperice sombreada

a grama, E covert
PEPE
PP TA

Nota: Un espacio de probabilidad finito o iniito contable se dice que es disereio, y un espacio no
contable se dice que es no discreto.

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD CU

Problemas resueltos

ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS

31.

ce

‘Sean los eventos A y B. Hällese una expresión y represéntese el diagrama de Venn para el evento

en que: () A ocurre pero B no, esto es, sucede À solamente; (i) À 0 B suceden, pero no ambos,

esto es, sucede exactamente uno de los dos eventos

(©) Puesto que A per 0 sud, se sombee a spefi e A exterior a come cn a gra a) indicada. Ober
mos que Be (complemento e). sucede desde que B na scada: esoo, À y Beacon en tras palabras el ron

Sede À pero m Suede uno delos dos À © 8.
@ eo ap amb
e

(6) Pusto qu sede À 08, pro an ambos, se sombre la super de 4 y salvo su inersccón como ela figura
(o) air. Elevet es quralet a 4.5 8 n sucede; 834 0 cdo. Abo, como en ses (yA pero
mo Be vente ABS y B. pero no 4 es events BAS. Entonces l sento ado (ANBAU (BOA).

ama de Venn para el evento

Sean los eventos A. By C. Hallar una expresión y representar el dis

fen que, (1) suceden À y B pero no C, (i) sucede A solamente.

(Peso que Ay B prono Csceden, se sombre la intención de A y B qe ce fur dC como en a ier)
indcads luego, E vento es ANAC

Sucede À y B pero mo € Sucede solamente
(5 0

(69 Puesto que solamente suce, se sombre super de A que ca ura de By de C somo enla figura (1) a
terio Elevetoes AN BAG,

“Tengamos el caso de lanzar una moneda y un dado; sea el espacio muestral 5 que consta de doce
elementos
S/H, H2, H3, H4, HS, H6, TI, T2, T3, T4, TS, Tél
(9) Expresar explictamente los siguientes eventos: A = | aparecen caras y un número par |
B°= | aparece un número primo I, C= aparecen sellos y un número impar |.
(Gi), Expresar explícitamente el evento en que: (a) A 0 B suceden, (b) B y C suceden, (c) sucede
3 solamente,
(ily ¿Cuáles de los sucesos A. B y C son mutuamente exclusivos?

can INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD. 4

(0) Para obre A, escogemos agus cementos de $ que coman de un cara Hy un número par: À = H2,
He Hel
ara obtener Scogeos aqueos pnts de S que conta de un nero primo: B = | 2, HO, HS, 72, 13.151
Para otenetC.eseopemos aquellos pnts de S que constan de un sello Ty un número impar: € = À TI, T3, TS.
Gi) (@) 4 0 B= AY 8 = LH HA, HO, HB, M5, TT.
() By Cm BNC HIT TS!
(6) Escoger aqueos cementos de B que 0 caen en Anien €: BAENO = (HMS, 78).
(in. A y C son nuuamene ccoo peso que ANC = 9.

ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD.

34

35.

36.

Supongamos un espacio muestral 5 que consta de 4 elementos: S = (Br, a, 4,0). ¿Qué fun
«ción define un espacio de probabilidad 5?

Plas) = 4, Pe) =4, Pld) = à
| Pla) = 4, Plas) =-4, Plas) =

(i) Pla) = à, Plas) =, Pia)

(iv) Pla) =4, Plo) =4, Plas)= 4, Plas) =0.

(Con uma ds re de os pt metas mayr qe uns. kl, ante no
Son cn pee de pombe © E en

Come Pla) =f, neo satire fon o ein un ac de bain 5

Gi) Come cada valo seguia y nome de lc orme, 4 4 44 = lune ee wot

paso de probabiied 5.
(69 Los valores son no negativos y suman uno; por I ae función define un espacio de prota S.

Sea S= (a1 02,02, 44), y sea P una función de probabil
() Hallar Play) si Pla») = 4, Plas) = 4, Plas) = 4-
(8) Hallar Pa) y Pla) si Pla)=Pla)=4 y Pa
(ii) Hallar Pla) si P((as,43)) = 4, Pllona))=4 y Pla) = 4

© Sc Play) =p. Entonces pr gue Pc na finde raid I um de us badd oe anos
males debe wr un B+ rar à

0) Sa Pep =p, enoncer Pla =2p. Por lo une 29 Hp + Arg 10 pd Ai Pom by
Papá

(i) Ses Plas) =P. Pla) = Pla) FE) =

Pla) = Pas ad) - Pla)

Entonos ptt etd O P= de Seas

+. +
Het

Una moneda está cargada (aumentada de peso) de modo que la posibilidad de sali cara (H)
sea el doble que la de sello (1). Hallar PCT) y PCH).

Sa np
op At PO == Ey PD

«sablcemos I suma de rodados ial no: 9 + 29 = 1

4 INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD: ¡caros

3. Dos hombres, fv y fo. y tres mujeres. my, ms. m, intervienen en un torneo de ajedrez. Los del
mismo sexo tienen iguales probabilidades de ganar pero cada hombre tiene el doble de posibili
¿dades de ganar que una mujer. () Hallar la probabilidad de que una mujer gane el torneo. (i)
SIA. y m1 son casados, halla la probabilidad que uno de ellos gane el torneo.

Sa im) = po once, Por) = Am’) =p y Als) = PU) = 2p Luego dsgnemos por uno la suma de
las potabligaes delos caco pumas muera p + p+ p+ = 1 0p = À
Buscamos. 6) Ams ms 1) QD) ALA aloes or dei,
Pm Am) Ding + Pme RARA = À
Pa mn PO + Romy = FER À

38. Sea un dado cargado tal que la probabilidad de salir un número cuando se lanza el dado es pro-
porcional a dicho número (por ejemplo, 6 tiene el doble de probabilidad de salir que 3). Sea
Mt = Inimero pari, B = ¿número primo !, C = [número impar

()_Describir el espacio de probabilidad, sto e, hallar la probabilidad de cada punto muestra.
(i) Hallar PAD, PCB) y PCO).

(ii) Hallar ta probabilidad de que: (a) salga un número par 0 primo: (6) salga un número impar
primo; (c)suceda 4 pero no 8.

Su Pt) p mon PO) = dp. PO) = dp. PO = Sp. PO) Sp y PI) de: Com uma dels

+

PORNO deber uo. one p+ 2p 3p + Ap + Sn EG = Vo p= AA
Pe), P=}. Pü=ä. PO=H PO

PCA) = (226) = 4 PU = PURAS) PO = PLA,

An (3 Herde igor pre mes 4 UB 124,651, oque noe A
maum = 1~ Pa) = À
ay ree de esla mains ping mps BAC = 6,9. Mi PEN) = F186)
(o) hens aque pu o Bes AN = (6,6). Por hato PANDO = PLAS)

ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES
39. Determinar la probabilidad p de cada evento

(que salga un número par al lanzar un dado normal

(iD. que resulte un ey al sacar una eat

de una baraja corriente de 52 cartas;
(ii) que aparezca por lo menos un sello al lanzar tres monedas normales;

(iv) que aparezca una bola blanca al sacar una sola bola de una urna que contiene 4 blancas,
3 rojas y $ bolas azules

u et puede ocr dec maneras (2486) de Gaos igualmente posible: or copien

ay) Se someras ls monedan marcada entances hay $ ce aiment pois: HHH. HT. HTH. HTT,
PTE TEILTTE Solamente wines case mo Aworable para vent docade pu consent p= 4.

fy May 8 2 10512 holas le son Manes: por ano p

car.» INTRODUCCION A LA FROBABILIDAD a
10. Se sacan dos carts al azar de una baraja corriente de 52 carts. alll probabilidad p de que
© tas dos sean espadas, i) I una espada ya ota corazon
thay CD = 1808 mans encre

O Ho (2) = 8 mare dec Dep de Ios
à sine de mue ple ar Dems TE
See eee ee ©
(D Fu ue ay D ad} 1 coro, ly 11 = 1 mann de ut una paa yon be: ses

po Meni

3.11. Se escogen al azar tres lámparas entre 15 de as cuales 5 son defectuosas. Hallar la probabilidad
17 de que, () ninguna sea defectuosa, (i) una exactamente sea defectuosa, (i) una por lo me
nos sea defectuosa.

Hay (3) = 455 maneras de escoger mars ete 15.

120 marras de escoger lampe

(Peete que hy 15 — 5 ~ 10 impr po detecto, tons by (3
daa Ae y = BS

(a) Hay 5 Mamparas deeiuosas y (8) = 48. pares ernten de lamparas no dfeaumas
Bess = abe enc de escoges Spas de ls cuales una es deftuna. Entonces = 3

sapiens my

di ee e que por lo mens ana ses dfectuos es el eames del evento cn qu auna e efectos que
deserción, peohabiad $ Enonces p =

3.12. Se seleccionan al azar dos cartas entre 10 cartas numeradas de 1a 10. Hallar la probabilidad p de
Que la suma sea impar si, () las dos carta se sacan juntas, (H) se sacan una tras otra sin sus-
Htc, (i) las dos caras se sacan una después de la otra con sustitución

May (18) = 48 mareas de slccionas 2 de D carts. La sama impar sun neo e impar y eo par. ay
Sn are y 3 impar: entonces hy 5-5 = 25 maneras de escoge un número par y uno impar A.

6) Hay 1029 = 90 maneras de saca dos cas un primero que aor sn ul. Hay BB = 28 maneras
etage en amero pr y uno impar y 8+ = 2 mancrs de scan mero impa y lugo un par portant

«in, Hay 19:10 = 100 maneras de sacar ds cuts una después de lara on seus, Como en, hy 55 =
ances de saca un número par y Wego no imp, y 8+ = 25 maneras de sacar un nimere impar y lego,
ano pasee p = E

3.13. Seis parejas de casados se encuentran en un cuarto,
(9 Sise escogen 2 personas al azar, hal
sea hombre y otro muje.
(i) Si se escogen 4 personas al azar, hallar la probabilidad p de que, (a) se cscojan dos parejas
‘de casados, (6) ninguna pareja sean casados entre los 4, (c) haya exactamente una pareja
de casados entre ls 4
i) Silas 12 personas se reparten en sis pareja, halla la probabilidad p de que, a) cada pareja
scan casados, (6) cada pareja la forme un hombre y una mujer

yla probabilidad p de que, (a) scan esposos, (0) uno

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD car.»

© Hay CE = 66 mans ser 2 prions ds 12
do) Ha pra de aos: clone p= =
(0) Hay mers de scope un homey manera esco mujer por congo p= Sf =

w

4 mans dog 4 penon d 12
(ay HS D = AB mares de cng parade cs Palm à.
(0 Las prone vac de pr lee. Hay @) = 16 meters de

“maneras de escoger una persona de cada pareja, o sea que p = SERS

(6) Este evento es matvamente dspuno dels dos eventos anteriores (que tambien son mutsamente yi) y
por lo menos debe wander une demos dos Porlo amo p+ H+ mI 6 pail.
(i) May ar = E manera de cept Is 12 pronase 6 cala ordenadas on 2 pesonas en ada una.
mba
(63 Cada uno delos 6 hombre se puede coca c las de 6 maneras y cada una de ls 6 mujeres lo mismo.
Por comguene 9 = 285 = 28.

(a) Las paras pen ser olcadas en 6 alas ordenadas de 6! maneras. Osea p= iss

3.14. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres de los cuales la mitad de los hombres y la mitad de

las mujeres tenen los ojos castaños, Hallar la probabil
sea un hombre o tenga los ojos castaños

lad p de que una persona escogida al azar

Sen A = Va pena es un home 8 = a pros too esas: inane FA Uh
En P(A) = Bb, 2 ehe}, AME) =d => spre were 35,

p= BAUM) = PUA) +PIB)=PAOB) = 4+44=8

ESPACIOS UNIFORMES NO CONTABLES

3.15,

3.16.

En cl interior de un círculo se selecciona un punto al azar. Hallar
la probabilidad p de que el punto quede más cercano al centro que
a la circunferencia

Denotemos por Se conjunto de os puts eros al cua de ratio ry
enemas por A el conjant elos puntos interiores al culo contac de rao
7 ue ná formado pretament por aquellos puntos de 5 que sá mis e
ino asa centro que au ccunererc) Por consent,

a = Ses =

Considérese el plano cartesiano R!, y designese X como el subconjunto de puntos para los cuales
“ambas coordenadas son enteros. Se lanza una moneda de diámetro } al azar sobre el plano. Ha-
liar la probabilidad p de que la moneda cubra un punto de X.
Desoiemos Sel cojen de putos interiores del arado con extremos
(mad, (mnt D, (mtn), Gt ln + D € X
Denoiemos 4 el cojutode puntos de S de distancia als esquinas interiores à
(Orv quel rc de Ae pal al ra intros de eo de aco.) Ast una

moneda Cuyo co ue en eri un punto e X si sl isu cetro ca en
Un punto de À Seg esto

meo tt

mous _ OP
tees 1 ie

Nota: No se sde considera odos ot S de RP porque te en rei (M) mn
ft A sombre

p= PIA) 02

EC INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD. 9

3.17. Tres puntos a, b y e de una circunferencia se escogen al azur. Ha
llar 1a probabilidad p de que los puntos caigan sobre el mismo
semicireuo,

Sopongamos qe la amd de a cafe sea 2 Deotemos xao
ud dl aro ab en set dl movimiento e a aos de rl) y denotemos
o<z<me y O<y<oe o

Sc $ el conjunto delos puntos de R” para os ase se cumple cond
Sa datent de Spa col e cumple una den condiciones ine

Dance (Se y yea
Mauss (ase y asa

none 4 mt de agus puntos pra bi ae ne cumple que, Ay en

shen ae ae à

PROBLEMAS VARIOS
3.18, Scan A y B eventos con P(A) = 4, P(B)=4 y P(ANB)=4. Hallar () P(AUB),
Gi) P(A9 y P(B9, (ii) PlANBO, (iv) P(ATUBY, (+) PANES, (vi) PIBNA9.
0 PALB) = PUA) + PUB) PAND = 4444 = 8
IS Bh oy Pe
iy Usando ney de De Morgan, (AUB = ACB, tenemos
P(e BS = PUAUBY) = 1~PLAUB)
(9) Usindo ney deDe Morgan, (AN = ASUS, tenemos
POACUBS) = PUADEN) = 1 = ANS)

mora

1-20)

Eguialetemene,
PUB = PAD +PB9=PIAENBO = $444

© Pan = PAN = PA) PDB) = 4-4 = 4
(D PBNAD = PB) PNB = 4-4 = à

3.19. Sean A y Beventos con P(AUB) = 4, P(A) = 4 y P(ANB) = à. Hallar
() P(A), (i) PB), (ii) PAN).

© Pay = 1- Pay = 1-9 = à
6 Rempiazamos en. PLAUB) = PUA) + PUB) ~ PCAOB
iy PANBO = PU) PANE) = 4-4 = à

nee P= $+ PB PO ER

320. Hallar la probabilidad p de un evento sia ventaja de que ocurra es a: b, eso “aa
La venta de ue ner con rabbit pda ri (Lp) Por lat
sto e + fes 0 227

321. Hallar la probabilidad p de un evento sila ventaja de que suceda es "3 à 2°.

Podemos war ambi a frmula del problema anterior par obtener diccamente
ta rogues ps

50 INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD. [cara

3.22. Se lanza un dado 100 veces. La tabla siguiente detalla los seis números y la frecuencia con la cual
aparece cada número:

Numero calada laos

Frecuencia | 14 | 17 | 20 | 18 | 15 | 16

Hallar la frecuencia fdel evento en que, (i) aparezca un 3, (ii) aparezca un 5, (ii) aparezca un nü-
‘mero par, (iv) aparezca un número primo.

número de sucesos

La frecuencia rat J — ROMS en

) f= = 0, == 015 (iti)

3.23. Probar el corolario 3.6: Para los eventos A. By C,
P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) — PLANE) — P(ANC) - P(BNC) + P(ANBNC)
Sa D= BUG. Lugo AND = AN(BUC) = (AnBuland) y
PUAND) = PIANB) + Pläne) —PANBNANC) = PlAnB) + PANC) — PANBNC)
"ra PAUD) = P(A) + PD) — P(AND)
= PA) + PB) + P(O) = P(BnQ) = [PANB) + PIANO) — PANBNO)
PUA) + P(B) + PIC) — P(BNC) — PIANB) — PANO) + PANBNO)

324. (41, da, ...,0) y T= {by, Da, ...,be} espacios finitos de probabilidad. Sea el nü-
Pla) P(b) asignado a la pareja ordenada (a,b) del conjunto producto $x 7 —
{(3,t): 8 ES, ET}. Comprobar que el py define un espacio de probabilidad de S x 7. esto
es, que los Pi son no negativos y suman uno. (Este es el llamado espacio de probabilidad producto.
Hacemos énfasis que esta no es la única función de probabilidad que se puede definir del con-

junto producto $x 7.)

Puesto que Pla), PC) = 0, paracada y cad, py = Pla) PCL) © 0. Además,
Put Pat pa Pa À De to tee tt Pat Da to + pu
= PlODP) + == + Pla) PO) + === + PO) PO) += + Fle) PO)
= Play [Plby) + === + PO] + => + PGMPD + => + Pi]
= Papst + + + Pet
= Pla) + + + Plan)

an INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD: si

Problemas propuestos

“SPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS

oy B vein Hala expresión y wa llar de Vena pra et qu.) sd A m 2. 4
8 seen

36. San A By Coven Hal exc y wat el diagrama de Van para lt enge, ) werd came ne
Sean By Corey ne por lo mes dos de ox eventos GH ningune de os eventos sud, (1) sede A 0B
prono €

127. Se casa delanzar una moneda de centavo, una dez centros y un ado
(D Escbirel espacio mul acrid
i) Esper estamento los era oies À = ge aran dos cas y e numer ime, A [ate
ER € Ique aparezca cctamente una cra y un número pm
Gi) Capen ogame el ceso en que, () 4 y E suce, (8) suce solamente, () ste 80 €

ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD
328. iis oniones einen un espacio de probabilidad de 8
(0 Pay=4, Ple) =p, Pl CE
(0) Pla) = Pad = FOd=% (PE

6209
4 Pad = Pur =4
0, Pad = he PDT À

229 Sea Pana fens de probabilidad de 5
Wi) Po) = er) y Fe)
Plo) = arten.

fovayay). Halar Pla) 5, (0 Plo) =4 Y PY
Ti fi Pena) = Pla). QD PE) = 2F@) 3

20. 5 car ns moneda de manera qua poi e sal cara ss rer mnt de sal slo ar Py PO)

31. rc cies A By Cien nun pues denunció. 4 y een la misma robaba de amar y do
de de © Hala probabliad de que ine Do C:

os pare. Hala poe
AS

32 secarga un dad de maser qu ls números ars tinc el ob deposiiad de sai
Se 6 sara un mer ar (i) apura an nómer primo, ape

38. Hala prota de an exento I et de qu sents 6) 281.6) Sa I

334. E vas crra nti, avn de que un es 20 3 aventaja de que Bane 1 Hl roba
is vetaja de ue Ao nen la carr,

ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES

335 Une dae oth frmada or S stants de prio, 4 segundo, de prime 3 de limo alo Se ss e ct
om sea es In se Haar a prbabiad de que «eat sea, () de segundo, (de lino
So. i) de primo ode ti ao.

36. Sentir un car lana ro 5 cartas mumeradas 5, Haar la prob de quel nee de laa

Sant) ibe or 5,0 primo, Gi) temic en dos

331. De On ana de, 3 een jo ae Ss teen dos ifs zat ul a pra de q as
os aie i) ningun eng naa? Giana por Io menos tenga oo ae?

aa. Tc toa y veros cn en we na Site ronge os pens al at Bar proba de scr so

2 INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD [cap 3

329, Diez estudiames, A, B, _.. están en una case. Si se escoge un comité de 3, al azar, hallar la probabilidad de que, (i) À
estencasa al comité, (i) 8 pertenezca al comité, (i) À y B pertenezcan al comité, (1) À 0 pertenezca al comité.

340. Una clase consta de 6 miñas y 10 niños. Sis escoge al azar un comité de 3, halla la probablidad de, i seleccionar tres
5, (i) selecionar exactamente 2 idos, i) seleccionar por lo menos un niño, (v) seleccionar exactameate 2 nites

BAL. Selanaa un par de dados corrientes. Halle la probabilidad de que la suma delos dos números sea mayor que 4

342. De 120 estudiantes 60 estudian francés, 50 estudian español, y 20 estudian francés y español. Si se escoge un estudiante
A azar, hallar la probabilidad de que el studiat, (1) studie francé y español. (i) n Studio frances ntespañol

43. Tre niños y 3 niñas se sientan en a. Hallar la probabilidad de que, () ls tes niñas se sienen juntas, (i) lo niños y las
ias se sienten alternados,

ESPACIOS UNIFORMES NO CONTABLES

3:44, Se escoge al azar un punto interior a un triángulo equlitero de lado 3. Hallar la probabilidad de que su distancia a un
vértice sea mayor que 1

348. Se lanza al azar una moneda sobre el plano cartesiano R Hal
Kaya ecuación sea dela forma, (a) x= kb) x+y

la probabilidad de que la moneda no corte ninguna linea
LO x= Koy =k: (Aquí kesun entero)

346. Se escoge al azar un punto X sobre un segmento de recta AB con punto medio O. Halla la probabilidad de que los seg-
menos derecta AX, XB y AO puedan formar un tróngulo.

PROBLEMAS VARIOS
347. Sean lon events 4 y Boon P(AUB) =$, PAD) =4 y PAS = §. Hallar PUA), PB) y PANBS.

348 Sean los eventos A y Boon P(A) Hallar. P(A0B), PIASNBO,

PIAsUBS y P(BnA9.

4 Paus=} y PQ =

349, Se lanza un dado $0 veces. La tabla siguiente da los seis números y la frecuencia con que se reiten.

nameo | 1] 2[s]«] os]

Fresca | 7 | o [e [7] 9 [10

alla la frecuencia relativa del evento, () en que aparece un 4, (en que parece un número impar, i) en que aparc-
ce an número primo,

350. Probar: Para lo eventos Ay, Ap,
PAU ua) = BPA) = % Plana) + 3, Panama) = + = Pldın---ndn

(ote: Est resultado generaliza el teorema 3. y el corolario 36.)

cap INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD. s

Respuestas a los problemas propuestos

105. (9 AUS, (0) (AUB

326 () (ANBEOCIUIBAASNCIVICAA:ABO (ii) (AuBuc«
m ARBLACOUIBAO, ie) (AuB)nce
sa. 0 5 = (HIN, Hi, Hs, HHA, JUAS, HE, HTL, T2, MTS, HTA, HTS, ATE,
Tan, THE, TH, THs, Ts, THE, TI, 712, FIS, PTA, TTS, PTO)
(i) A= (HE, MIES, HO), B= (HN, 1112, THE, TO), C= (HT2, TH2, HTS, THO, HT, TH)
(sit (a) AB = (tH)
@) BN(AUO = (ma)
(0 Buc = (MMS, HT2, TH2, Tre, ITA, VIA MTS THE

Ak no, (ine, Ho) $

229 60 fe (De GA Y

330, POD = 3, PD,

Br}

an. 0404 004.04
29 04 We

aa p= hi la da
2 0403 008
EOS

aan 0 00, Gi
at

200 (fe WB CAD A OD
340. 0% 03 GHB, GW)
10.4

saz 04 04

10 0607
O)

a. Op G1 —AVE O4

, PB) =, PANE) = à

san PUAN) =f, PUASOB) ZE PUAUB) =4, PBNAI SE

se 07 GDH, 08

Capitulo 4

Probabilidad condicional
e independencia

PROBABILIDAD CONDICIONAL.
‘Sea Eun evento arbitrario de un espacio muestealS con P(£)> 0. La probabilidad de que un even-
to A suceda una vez que £ haya sucedido 0, en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado

E escrito PLA] E), se define como sigue
PANE)
Pale) = “a
Como se aprecia en cl diagrams de Venn expuesto, P(A1£)
en cierto sentido mide la probabilidad rlaiva de con e- |

lación al espacio reducido E.

En particular, siS es un espacio finito equiprobable y |A] denota el número de elementos de un
evento A, entonces

lAnzı ee P(AnE) _ |AnE)
Pl as =
PANE) = O, PE) = ig vai PAIE = Soon) eT

Esto es,
Teorema 4.1: Sea S un espacio finito equiprobable con eventos A y E. Entonces

número de elementos de À D E
PATE) = nümero de elementos de E

Jümero de maneras en que A y £ pueden sucede
número de maneras en que E puede suceder

PAIE = *

Ejemplo 41: Seal eso de sar un pr de ados ores, Sa sma 6 hal
a En rs pull
E = (mess) = (0,0) (4, (88) (4,2. (6,0)
, A = (on aparece polo menos nun dado)
talar PLD
Ara Ems de inc ements y dos els, y 4.2 pertenecen a 4:40) = 10.0,
@ 21. Emones ATED = à

Probable de que un delos

Por ta pane pt qv Acoma de mors mets
A = {(2,1), (2,2) (2,8) (2.0, @,9, 6) 1.2, (8,2), (4,2), (6.2), (6,2)
y osea de 36 mets, PU) = U
Ejemplo 42: Un ombre sta a un matrimonio que ends js. U delos hijos u io, entr nl sl. alar
la probabilidad peque lr se también sido) sabe qu oo hijo (ia) es menor) noe
ab nada el re hi.

El espacio muesrl pra l ex de los dos hijos es 5 = [48 Ob fom probable prs
cad muesca. (Aguila serie de ada punto corresponde la ei de sacimsnos

© Hp mun rasca dedos mn Ih
GE op esr eno nun de senos bo cose à

sa

car. a PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA. 55

TEOREMA DE LA MULTIPLICACION PARA PROBABILIDAD CONDICIONAL

Si multplicamos en cruz la ecuación anterior que define la probabilidad condicional y usamos el
hecho de que A NE = EN 4. obtenemos la siguiente fórmula dl
Teorema 4.2: PEO 4) = PIE) PAL ED

Este teorema puede extenderse por inducción matemática como sigue:
Corolario 4.3: Para los eventos As, As, ..., An

PLAIN AIN nA)
= PLA) P(As| A) P(Aa| AN Aa): PCA AN Aa nA)

‘Ahora aplicamos el teorema anterior que es llamado, apropi

licación

Ejemplo 43: Un ote de 1 ancl tire defectos. Se toma al aa rs arcos del ate uno rs to, Mallat
A prbabiad 0 q todos lore cn buen

lamente, el seorema de la multi

La probabilité que el primer an 0 es defecto «À puesto que 4 nte los 12 0 son
efectos Sl primero o es dee, clone la prota be ec piano are ose
Beaune e eto avc solamente 7 lr 1 strate o on ft, br ds pies a
"los no son delos enone la roll de que ef limo osea delestuow $ peto que
om ete lo 10 ue quedan no so loins A por ere de la molido

5

PROCESOS ESTOCASTICOS FINITOS Y DIAGRAMAS DE ARBOL
‘Una sucesión (finita) de experimentos en os cuales cada experimento tiene un número finito de re-
sultados con probabilidades dadas se llama un proceso estocástio (finito). Una manera conveniente de
describir tal proceso y calcular la probabilidad de un evento se obiene por el diagrama de árbol como
se ilustra enla figura siguiente; el teorema de la multiplicación de la sección anterior se usa para caleu-
lar la probabilidad de que el resultado representado por una trayectoria determinada del árbol suceda.
suceda.
Earle 44: Tomemos ls a js sete,
‘Caja Famine 10 paras dels cales 4 son defects
aja contiene 6 co 1 defensa.
Caja I comien Econ dfcuosas.
scopes al aa una já y lugo sacamos azar un par. ¿Cul e rbabiiadp gue la
Lampara ss dla"
"Aga ralzamos una serie de os experimentos:
A einge na de ats cis
G_esoge una para que sn 0 defeuna (D) o o eus (1)

+ D
ee ur
—

56 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA. ean à

pacte, produc delas proabiiddes de cada rma des peor o a, que la pobabidad de
Escoger cl y eo une para dc es $e = À

Ahora coma ay es tacos mutcamene xchiva que cenduen a una mata dsc,
asuma dels probables de ea ayer cla rota buscada

a
se E

Femplo 4: Selana ua moneda cargada de modo que PC) = À y PS = $. S sale ar, topes azar un
mere de 39; le seo, s age al aar un simo de 13. Hal la probable de ques
so en sème par

JE diagrama de ro! con ls robbildades especies es

(ses qua probabilidad de escoger un mme par de a 96s $ puesta quehay 4 pares ene
1049 nets, nta quel probabilidad de escoger un pu de aS $ queso que My 2 émet
pes els 8 Dos as trayectorias onducn non número par: CP y SP. Ast

» = vo

PARTICIONES Y TEOREMA DE BAYES
Supongamos que los cientos As, 4, de forman
una paricen de un espacio muestra 5 so 4, que los tee
tos Au son mutuamente exclusivos y su unión es 5. Ahora
sea B otro evento, Entonces
= S0B = (AUAU-+-UA)OB
(AB) U(AsNB)U ==> U (AaB)
donde las AL B son eventos mutuamente exclusivos. En pes

PB) = PAIN) + P(ANB) + ++: + PldunB)
Luego por el teorema dela multiplicación
P(B) = P(A) P(BI Ar) + P(ANP(B|AD + ==> + PAJP(BIA)
para cualquier, a probablidad condicional de A, dado se define por
rm = Aal
Fn esta ecuación usamos (1) para remplazar PUB) y usamos P(4 M6) = P(As) P(BÍAs) para rem-
plazar PALO 8), obteniendo asi el
Teorema de Bayes 44: Supóngase que 4,4... da es una partición de Sy que Bes cualquier even.
to, Entonces para cualquier i

Pana)
CS (Ai) PET As) + i) ER )

w

Por otra p

car.) PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA s

Ejemplo 46: Tre máquinas 4. BC produce espetvamene SOT, 30% y 20% del número oa e ancl e una
Fábrica. Le porcentajes de detects depoducció de sas máquinas on 34, 4% y 9% Si se le
Soma al aaron tala, halla probabil de que atc se efecto

Sen Xd evento de que

oy POR + ri BA
AnOrO us

= (0.50)00.03) + (0.30N0.04) + (0.20X0.05)- Ep.
= 0037 +
Ber)

Obsérvese qu también pademos considera ee problema como
fn proceso socio que tee cl drama de rl adjunto. N

acl es defectos, Ence sen (1) viso ar. om D

Ejemplo 47: Considiese a via dl ejemplo anterior. Sepóngas que sseciona uname al cr y rev ar
ous Hallar la pobabsidad de que laa fee producido por la mäguina 4 exo balla
man,

Porelteorema de Bays,

= cay Poe A)
PAID ECO
E ©3000) 15
= DOT FERVOR) ~

En tas altas, dividimos la probablidd de ataco paid po a probabliad dl espacio.
must ue sn, aquel poto que conducen un aio deltume

INDEPENDENCIA

‘Se dice que un evento B es independiente de un evento A si la probabilidad de que B suceda no
está influenciada porque A haya o no sucedido, En otras palabras, si la probabilidad de 8 iguala la
probabilidad condicional de B dado A: P(B) = P(B|4). Ahora sustituyendo P(B) por P(8|4) en
el teorema de la multiplicación P(A N 8) = PLA) P(B1A). obienemos

P(ANB) = P(A)P(B)

"Usamos la ecuación anterior como nuestra definición formal de independencia.
Di P(A) PUB} de oso modo son depen:

Ay B son eventos independientes si PLA N B)
dientes.

Ejemplo 48: Linse una mone oriente res Yee: bte el saco equipobable
'S = (HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTA, TTT)
Consideremos los eventos
A primeros lanzamientos son cras! = segundos lanzamientos son caras
(C= encens ana ds aros seis!

Ciaramente A y B son ces independents este echo e verifica en seguido. Por oca pr
(Gin eure dy Co By Cno e ob, Into en que À y € son itepndimes, pero que By Con
enanas Termos

PA) = PHEH, HAT, HTH, HTT) = 4 = À

Po) = meat, uns, rH, mm) = $= À
A 21

mo = Poor, mo = à = À

pan = em mur) = 3, Rane = Pam) =
ano) = mar, vun)

4

58 PROBABILIDAD CONDICIONAL & INDEPENDENCIA. ¡cara

Pra) Pip)

PAB), Y À Y B on independents

rare)

PLANO), Y aby Bide étions

PB) PIC)

A PBRC), y ah By C son depends

Frecuentemente, postularemos que dos eventos son independientes, o que será claro por la natura-
leza del experimento que dos eventos son independientes.

Ejemplo 49: La probabilidad de que A dé en bin es } y de Bes Si y Bd

rea probabilidad

Sabemos que PA) = à y PA) = $e y buscamos PA UM. Además a probidad de que
4.0.8 de el blanco no dende. de quee tro dé: ex es. el evento de que deep Mare e nd.
ent dl gent de que Basen Blanco. PUA N II = PA) AD AS

PAUB) = PU) + PiB) — PANE) = PA) + PE) — PA)PU)
Say ee Ten
rte

EJ

‘Tres eventos A, By € son independientes
() Pra) = P(A)P(B), Planc) = P(A)PC) y P(BNC) = PB) PC)
esto es, si os eventos son independientes dos a dos, y
)) PANBNC) = P(A)P(B) PC).

El próximo ejemplo muestra que la condición (i) no se desprende de la condición () en otras pa
labras, tres eventos pueden ser dos a dos independientes pero no independientes entre si

Ejemplo 410: Sea d caso de lanza ur par de moneds comentes: aquí $= EMI, HT TH, TT! es un espacio
<irobable, Comideremo oy exenos

A = ¡caras e a primers monda mn, ur)
= caras en I segunda neds can, TH)
© = Sears ev una moneda exctomente! = (HT, TH)

Entonces PU) i

10)

PAOB) = PAR)

PIANO) = PART), (BNO) = (TA),

As la condición () se satisface, o ea, los eventos son independientes ds a dos Sin embargo.
Ananc- Oya

PANBNC) = PO) = 0 + PAID PIC)
En tas paras la condición (i oe stacey por tant los res eventos no san independents,

PRUEBAS REPETIDAS O INDEPENDIENTES
Hemos discutido previamente espacios de probabilidad que estaban relacionados con un experi
un número finito de veees al como el lanzamiento de una moneda tres veces, Este con.
ión se formaliza como sigue

Sea $ un espacio finito de probabilidad. Por n pruchas repetidas o independientes. si-
nificamos el espacio de probabilidad T que consta de n-uplas o elementos de S con la
probabilidad de una n-upla definida como el producto de las probabilidades de sus com:
ponentes:

Plön 82, 2 80) = Pla) Pla) Pie)

ara PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA. 5

Ejemplo 41: Tes cbalos a. by € orenjntos, us pobildades de ganar son respcivament À. Ly 4 En
‘hes mir 8 fase cn Pa) = De) = À y = DS os caballos cen dm exes,
‘hones esputo musa ea dos pcs repo

T = (ea, ab, ae bo, Bb, Be, co, b, ce)

Por comveniccia enla notación esis Iga de a pareja ordena sc. La probabil
de cas pun de Tes

= à = to
Pi) = PP) yl rad
Pat) = rro lor] mand
ma = mar am dde Hot
pao = roro brah rod

ua probabiidd gue une a primera carrera y de que a gane segona es Pc) =

Desde otro punto de vista, un proceso de prue:

Sen i a oo ore
Obsérvese que cada ramal tiene los resultados +

a, b y €. y cada rama que conduce al resultado a 5
tiene probabilidad à, las que conducen a b tienen

we
probabiidnd 4 y cada una de las que conducen a c a
nen probatad & sus

Problemas resueltos

PROBABILIDAD CONDICIONAL EN ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES
41. Se lanza un par de dados corrientes Hallar la probabilidad p de que la suma de sus números sea
10 6 mayor si () aparece un 5 en el primer dado, i) aparece un 5 en uno de los dados por lo

© Siam un na pine ao mon sao melee
À = (6.,6D,69,6.0.69.060)
La mt 15 more detesta 926.9. Port = E à
(Sat porte ma ci, men ps mil ré en mt
2 = (ED 6.24468, 6,45 (6,9, (8), 0,0, 8&8) (48) (689
La om 00 nor ues des ns rende 69.50.44. 9. Poo tano = fr

© PROBABILIPAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA CU

42. Se lanzan tres monedas corrientes. Hallar la probabilidad p de que sean todas caras si, () a pri-
‘mera de las monedas es cara, (i) una de las monedas es cara,
FA saco muestral ice ocho elementos: — I HHH, HHT, HTH, FET, TH, THT-TTH,TTT
Sila primera moves scr, el epa muestral reducido cA = | HHH, HIT. HTH, MTF, Puso que us
monedas son todas carat en | deco = à
Siam das monada e cr, l paco muera eco e 8 = IHHH, MT, HTH, HTT, THH, TT, TT
Puesto que las monedas sn os cra an de Yesos =$,

43. Se lanza un par de dados corriente, Silos dos números que aparecen son diferentes, hallar la pro-
babilidad p de que, ( la suma sea.seis, Gi) aparezca un as, (i) la suma sea menor o igual a 4
Delas 36 maneras que se pct naar el par de dados, comiennnimeros regidos: 112,2. ..(6, 6). Av
cl espacio muestral edi contará de 36 € = 30 leemos
9 La suma 6 puede sueter de 4 manera: (1.24) 4 2) (5,1) (Noinhimos (3) puto que os números son

inne) Entonces p == à

6 Le mei ran d men (ID (YODO, 6 D Etc pe Bn
(La ana menor gu a4 ue md de man 0 1 (e321. (2 Ap me $

44. Se escogen al azar dos dios desde | hast 9. Sila sumas pat, hallar I probabilidad p de que
ambos números sean impar.
La suma es pars los números son impares os son pares. Hay 4 pare (2, 4,6, 8: por anto hay ($) = 6 maneras de
coge os números pares. Hay S impares (I, 3.3, 7,9) 28 que hay (2) = 10 maneras eng dos Il
pura A ma e og ss e ps O éme im
esa do ot re Sf

45. A un hombre se reparten 4 espadas de una baraja corriente de 52 cartas. Si se le dan tres cartas
más. hallar la probabilidad p de que por lo menos una de las cartas adicionales sea tambien es.
pada,

sto que recibi 4 espadas, quedan S2-—4 = 48 cortas delas cole 13
17296 maneras en ls que pued rs es caras mis. Puesto que hay 8—9 = 39 cars ques ten coat’ hy
(ED = 913 nes e que pued rect e arts que o son espadas Asa probabilidad q de queno rc opa

5 sq = ER por lo tato p= |g = BE

46. Se reparten 13 cartas de una baraja corriente de 52 cartas a cuatro personas que denominamos
Norte, Sur, Este y Oeste.
© SiS no tiene ases, hallar la probabilidad p de que su compañero N tenga exactamente dos ases.
(i) SIN y Sjuntos tienen nueve corazones, halla la probabilidad p de que E y O tengan cada uno
dos corazones

O a Pot cota paris ue NE O, Hoy (2) mans e que ri 13 en ear
i oy @) es e qe pt o e ls y (Hy a q pl es
Denen

en m

car. 4) PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA. sl

(Gb Hay 26 caras. incnende 4 crane, reparos etre E y O: May (8) maneras de que. or cemplo, E meta
M ars cames solamente anal ue 1 ara de E puesto que O debe tenet e eo) My (3)
pant que E pods rc 2earazones de os 4y (3) manera para quel mismo pueda ei oso
nes de 26-4 = Mnocoranones As

a 2. m
TR 7

TEOREMA DE LA MULTIPLICACION
47. Una clase tiene 12 nihos y 4 niñas. Si se escogen tres estudiantes de la ease al azar, eu esla pro-
bobilidad p de que sean todos mños?

La probabilidad de que prime esate condo sn un nid es 12/16 pro ue hay 2 ito eros 6 se
ames a iar e ando enncetapobebliad e quel segendo sa if. 1/15 puesto quay idos
cate a rips unt nou primers dos caidos son ios, clone la probabilidad de quel reo sa ios
sucias 10 thor et. 1 As poe ctra de a mica, aprobaba de qe tdo es

nu

ie mind. Hay (4) = G0 mana de net stones cue 16) (3) = 220 mans decor
Sais ene 2 pco tana » = 58 = He

Un ener método, Sos staan se escogen no pas de to cone ay, 16: 6-14 mans de cn
errs tony 3211-10 mamas de opt es bos pr consent = HEE © D.

48. À un jugador le reparten $ cartas una tras otra de una baraja corriente de 52 cartas, Cul es la
probabilidad p de que todas sean espadas?

La pobalidad que la primer car sea eps es 13/52. a segunda sa xpd s 12/51
sai 10/49 a hina 9/ 8 (ponerse dans qe as cartas nor fron eas) A

era 1/50.

ee e

49. Una urna contiene 7 bolas rojas y 3 bolas blancas. Se sacan 3 bolas dela una una tas ota, Ha-
lar la probabilidad p de que las dos primeras sean rojas y la tercera blanca.

La probated de que la primer oa ss ote 7/10 puesto que ay 7 ojos cts 10 ol. Sila primera bla
eet onli e que a segunda oa sa roja 6/9 pue que quedan rojas ete as bolas tan
ano on js clone la rbabldd de que a tercera sa blanca es 3/8 puesto que quen Banca.
‘Situs als resumes laura. Enoncs pr el coma de multiplicación.

4.10. Los estudiantes de una clase se escogen al azar, uno tras otro, para presentar un examen, Hallar la
Frobabilidad p de que niños y niñas queden aliernados si, () la clase costa de 4 niños y 3 niñas,

{Gi la clase consta de 3 os y 3 nia.
do Silos ion ls ios tran el primer estat caminado debe sr io La probabilidad de qu lego
preto que hay 3 nas ecos rate. Contando en ea forma, bemos que la proba

eo se io 6 3/5. que el curt en ia 2/4, que dl quinto se io es 2/1, que et cn
1/2. que limo e io es 1. AS

4.2.3.2.2
ea

a PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA. CU

(0) Hay dos casos muta exclusives: per etuine an nto, yl primer nana. Si primer cto
dans un ni, eione par el crema dela alpin la prob pde ge los hans sr armen

‘Sie primer estate un ia, eones por e torera de a msl la prota de que os

sudan se leen
2.221101

PROBLEMAS VARIOS SOBRE PROBABILIDAD CONDICIONAL
4.11, En cierta facultad, 25% de os estudiantes perdieron matemáticas, 15% perdieron química y 10%
perdieron las dos. Se selecciona un estudiante al azar.
(0 Si perdió química, ¿cul e la probabilidad de que perdió mat
i) Si perdió matemáticas, ¿cuál esla probabilidad de que perdió
i) ¿Cuál es la probabilidad de que perdió matemáticas o química?

fH = Lad br maten! y tds rn qn
FU =02 PO = 003 PUNO = an
in pad nn nt et pd ins
rurio = PEO =

Sosa

(6) La probaidad e quel sui perde química, dado que aya perdido matemáticas es
= PGnM _ 010 _ 2
HO SE, aa

” PO = UD + Po PUNO = 02 4415-010 = 0 = À
412, Sean ls vemos 4 y Boom PA) = à, PIB) = à y P(ANB) =4. Hal,

(9) P(A|B), (i) P(E|4), (ii) PAUB), (iv) P(AS|B9, (4) P(B° |A).

Pans) 43 poa à
ne

Li) nuls
Le
=

© ram

CET)

14) + PUB) - PANE)

PUBS) y PUAEOBO. PB) = 1 ~ PU)
LAB poro ano PLAN BS = PA UE)

mu Pasian = PARA 2 À E

ra = 1-4

be Peay = ERA

CET

4.13, Sean lo eventos y Bcon P(A) =, P(B) = 4 y P(AUB) =}. Hallar P(A|B) y P(B|A)
Primero slots. PLA) wand la lürmula PLAUB) = P(A) + PUB) — P(A NB):

Pan) o ran =}

y rome BEA od

cars PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA al

4.14, Hallar PC8/4) si () 4 esun subconjunto de 8. (i) +1 y Bon mutuas exclusivos.
(Sia. sobojumo de ems sempre qu sols, Fe ser or lomo MAA) Asta
AS on bein de Bata À À: eno
PO _ Dia |
PEM ra Ban

Oe

& a

Ui SL 43 8 san maisamene caian ao x avants, eones sempre pe suds, Bo pode ice: por lo
Bea malt 0 Alcrsadamene. Y son motion ec es ANR pr kun

vay = PADD AN
mera) = Pay = eal man

4.18, Tres miquinas 4, By C producen respecuvamente 60%, 30% y 10% del número total de artícu:
os de una fábrica. Los porcentaje de desperfectos de producción de estas máquinas son respecti-
vamente 27,3% y 4%. Seleccionado un articulo al azar resulto defectuoso. Hallar la probabili-
ad de que el artículo hubiera sido producido por la máquina €

Sa = Fans du! Buscamos PCM. probable de que un aci sc produce por la má
a dia. Pare! orema de Byes.
PLO) PUR

MEIN = PROTA > FOFKTO
0104008) 4

CORTA FU ~ 2

4.16, En cesta facultad, 4% de los hombres y 1% de las mujeres tienen más de 6 pies de estatura. Ade-
más, 60% de los estudiantes son mujeres. Ahora bien si se selecciona al azar un estudiante y es
"más alto que 6 pies, ul es la probabilidad que el estudiante sea mujer?
Sea 4 = estada de más de 6 psi. Buscamos FU); pobebiidad de que estate sea ua mujer
ndo que sein de más de 6 pi, Por el teorema de Bays,
E PAW) 040,001 a
POLA = ARPA] + PORT © Demon + 040005

4.17. Sea E un evento paa el cual P(E) > 0. Comprobar qu la función de probabilidad condicional
CLE) satisface los axiomas de un espacio de probabilidad; eto es
[Pa Para un evento A, 0< PALE) <1.
[Pa] Para leventocierto S, P(SIE) = L
[Pd Si A y E son mutuamente exclusivos entonces P(AUB|E) = P(A|E) + PIX).
[PA Si Au As, es una sucesión de eventos mutuamente exclusivos, entonces

P(ALUA2U ~~ |B) = PILLE) + P(A2|B) +

0 Tonos AOE CB:per u une PLANE) 2 PE Mi FAIM = PARED 2 y wo nano
os 0 PAIN = ya (i one

PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA. ¡cara

1. As a) sata

an. Esos ame Ben - E
wr EE ome 12) = PSOE = BB
Gi) S Ay 8 on comes manne oi, on mi un ANE Y BNE ARAU =
tank viene) a
ALIAS) = PACBVIBAB) = PANE) + END

y pr ents
pie) = CALDAS _ PANE) + Pena)
Fam mm FR
= Bao , Pun
= MOD: EOP = pale + mei)
0 sa que Is} te
(oy Siete A 4 = on motwmente xs ami oon 4,08, 4408, At
PAULINE) = PUALOE) VIASNB)O=>") = POB) + FAN à +
_ RA INR | PAIPA
SIA A FE
= Pin) PO |
= AE, 2a PAIE) + PASE +

Esto e, [Fa aie

PROCESOS ESTOCASTICOS FINITOS

4.18. Una caja contiene tres monedas; una moneda es corriente, una moneda tiene dos caras y una mo-
neda está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara sea. 4. Se selecciona una moneda
al azar y se lanza, Hallar la probabilidad p de que salga cara

Consumos el dagrama de rl como se muestra en aia) siguio. Obres quee tft ala mon
core a1 de dable caray I a moneda cerda, Añor la caras parce a ego eres de say

is por fo tao

4.19, Se nos dan tres urnas como sigue:
Una urna A contiene 3 bolas rojas y 5 blancas.
Una urna B contiene 2 bolas rojas y 1 blanca,
Una urna C contiene 2 bolas rojas y 3 blancas.
‘Se selecciona una urna al azar y se saca una bola de la urna. Sila bola es roja, ¿cuál es la proba-
bilidad de que proceda de la urna 4?
‘Se conte el diagrama de rl coma se muestra en a gra () air
Buscamos la probada de ques seccion A, dado que abla es roja; eto, PLATA). Con eli e hair

raphe dant ens FO 9 A
ts panna q sy tard m dr} = mom EUA = fete
1

Y entonces

que ay tres yesos que conducen à boa oa, PUR)

PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA 6s

car a
Plan) _ ss
PAIR) = Rn ig i
‘Aternadamente. pr el teorema de Baye.
es PA) PUA
PAIR) = PERRA + PURPURA) PORRO
+4 -#

rra Ta

as numeradas.

4.20, La caja A contiene nueve cartas numeradas de 1 9. yla caja B contiene cinco c
de 1a $, Se escoge una caja al azar y se saca una carta. Si el número es par, hallar la probabili-

“nd de que la carta proceda de la caja À.
ES diagrama de bol del poco se muera e la gua (o) get.
Buscas. PAE). probablial de quese seine A, dado que e mo 6 pr. La probada de ave
se coja la caja Ay un nn par foto es. PLANE) =}. Punto que hay dos trayectos que con“

Pans)

FAIR Sack

4
yt
y

a

421. Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 blancas. Se saca una bola de la urna y se remplaza por una

del otro color. Se saca de la urna una segunda bola

(6) Hallar la probabilidad p de que la segunda bola sea roja.

di) Si ambas bolas son del mismo color, ¿cuál e la probabilidad p de que las dos scan blancas?

Construimos el diagrams de rbl como se indica cala gra) amerir.
dt
A. La protoblidad de que ambas bris ur
y rocio, es B+ Sh =H. Porto

© Durs dl grama del coda bala vi: P

La roads de que ambas bolos fosa Basse e à
fant is clr, et sacd de pao mun
tam prob condo = BE

422. Se nos dan dos umas como sigue:
La urna À contiene 3 bolas rojas y 2 blancas.
La urna 8 contiene 2 bolas rojas y 5 blancas.

saca una bola y se coloca en la otra urna; luego se saca una bo-
que la dos bolas sacadas sean del mismo color.

Se selecciona al azar una urn
la de la segunda urna, Hallar la probabilidad p de.

Corsrimos el suene diagrama de to

6 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA. ¡cara

y

>

ao que hy cut ayo que concen dos Bolas de o or
ala m
2 37 0m

INDEPENDENCIA
423. Sea A = al evento de que una familia tenga niños de ambos sexos y sea B = al evento de que
SR familia tenga a lo sumo un niño. () Comprobar que À y B son eventos independientes si una

a eae Gd Comproba que Ay Eon cientos dependents sí una familia ie
des hijos
O, Tens tens seine 5 = (01, be, 7 bn bb aa, ob 00) Ne
A vai Pa) = = À
B = (tao, 060, 09%, 900) vu Pa bad
AnB = (0.010.000) yet mann =}
eto ee man BAS B= MO Ay 8 des
o Temor osea =. dx A
A= nio Fh ENE
"NOT A
ane ui a SE

Pues gue AA) MB) # PCA NB), Ay 8 vn deere

424. Probar si À y B son eventos independientes, entonces A® y BF son eventos independientes.
PUENBO = P(AVBY) = 1-PiAUB) = 1- PLA) PE) + PANE)
= 1- Pid) — PUB) + PAPE) = = PAN - PU) = PAD PIDO

425. La probabilidad de que un hombre vivirá 10 años más es à, y la probabilidad de que su esposa
NO afon mas es 4, Hallar la probabilidad de que. () ambos estén vivos dentro de 10 años.
{i al menos uno estará viv alos 10 os, (ii) ninguno estará vivo alos 10 años, Gi) solamente
la esposa estará viva alos 10 años.

‘ea A ~ al evento de ae hombre iva ao Des = a evento de ques ps vv ls 1 dos:
cu a by AB)
car PA OM), Pues ge y Esmintegentens. RAB) = FL = $4 = a

ara PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA. a

426.

427.

(i) Bocimes PUR, PAU = PA) + FD PUNE) = hr
(i) Bocımo, PUkSnB9. Adon RAD = 1 PLA) =1-4 = By PUB) ZA PB) = 3 $= fe Adonis
ect gre A) on nera, PACNBD) = PUAN PUB) = 1-3 = À.
‘temas uso que
(Aupy an, rang 14
6) Ram Pen Peso ue PAS) By Ay Run nece pla 436.
AE) = Pag PB) À

La caja À contiene $ articulos de los cuales 3 son defectuosos, yla caja @ contiene S artículos de

los cuales 2 son defectuosos. Se saca al azar un artículo de cada caja.

(@ ¿Cuál esla probabilidad p de que ambos artículos sean defectuosos?

Ci) ¿Cuál esla probabilidad p de que un artículo sea defectuoso y o%r0 no?

(ii) Siun artículo es defectuoso y otro no, ¿cuál es la probabilidad p de que el artículo defecto.
50 proceda dela caja A?

© 1a mobs
Fr

ge gone ao no des de 4 }

de Bs, Puente que los eones or indep

6) Mindo. La probsblid de escoger dos nietos deter es 328 = à. Det) la probabilidad de que.
use no detras s 3.Porlotano 9 1 Ib =,

Método 2. La prohablida pi de spe u auto decos de À y o no dt de B
La proa y per un nulo a decano de 4 y uo econo ees LE E, Por um
mati

(i) Consideramos los events =
amos MAIN) Por (D AEN) E

p= main = EON = à

els defers de A} $ Y = Fun art 6 defectuoso y aro no, Bus
Per) =, Por cosa

Las probabilidades de que tres hombres peguen en el blanco son, respectivamente, $, 4 y 4
Cada uno dispara una vez al blanco. () Hallar la probabilidad y de que cxuctamente uno de
ellos pegue en el blanco. (ji) Si solamente uno pega en el blanco, ¿cuál es la probabilidad de que
sea el primer hombre?

Corsderemes event À
y Cael tower hombre pera ex el Bano conce PUA
son indeendcntes. y. PAS) = E, PUB) = PICA) = À

B= (An B.C) U (ABNEY (A NBAC)

liner hombre pesca blanco
4 Pe)

| segundo hombre pga en banc
PY PO = 4 bos ws eos

En tes plas, solamente ro pego enel Bano, nonce fc 0 Snicament a primer hombre. AN BENG

0 ban el stud Hombre, AB CS o bicarente ete hambre. ACR BMG. Como los tes eae

tor on mutsamente ist, here (sand el problema 442)

D = PE) = PANBAG) + PASNBOC) + PASOBINC)

P(A) PUB) PICO + PIAD PUB) PIC) + PLAN PIB PC)
1.3.2,5.1.2,85 Denn
ecsteaateas mtntn m

6) Guam PAIE) la probabilidad de que el primer hombre pegue en an dao qu mente un hombre

Irc rs Abt A LORO = al Seno eb bss ie in oes ae

Por 6). PIADE) = PAOBINCO = à y PIE)

ane)
PANNE CO

e PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA. car, 4

PRUEBAS INDEPENDIENTES
4:28. Cierto tipo de proyectil da en el blanco con probabilidad 0,3. ¿Cuántos proyectiles deberán ser
disparados para que haya al menos un 80% de probabilidad de pegar en el blanco?
La probabilidad de que un proyectil fale au blanco e 0; por 1 tanto la probabilidad de quen proyectiles fallen
ei blanco es 0.7)% Así buscamos el menor para el que
V-OM>08 0 equivaletemente (07)9<02
Catelamos: (03)! = 027, 08 = 0.9, (03? = 0343, (0.7/4 = 0.2401, (DS 0.16807. As por Io menos 3 pro:
etes deben ser disp

429. Ciento equipo de balompié gana (W), con probabilidad 0,6; pierde (L), con probabilidad 0,3;
y empata (D). con probabilidad 0,1. El equipo juega tres encuentros durante el fin de semana.
{i Determinar los elementos del evento À en que el equipo gana por lo menos dos y no pierde;
Y haylar PCA). (i) Determinar los elementos del evento B en que el equipo gana, perde y em-
pata, y hallar P(B)

GA consta de odas las termas con al menos dos W Juegos ganados) y ningún Luego perdido), As
A = (WWW, WWI, WIW, TW)
Además PIA) = POWWW) + POWWT) + PCWTW) + PTW)
E00) + 0.610.6N0.1) + OHIO + OO
0.216 + 0036 + 00364 0036 ~ 0.324

60 Aquí B= 1 WLT, WIL, LWT, LTW, TWL, TLWL Puesto que cada elemento de 8 tiene probabilidad (0.6)
{0.3/0.1 = 0.018 (8) = 6048) = 0.108

4:30. Sea $ un espacio finito de probabilidad y sea T el espacio de probabilidad de m pruebas indepen-
dientes de 5. Comprobar que T está bien definido; esto es, mostrar, (1) la probabilidad de que
cada elemento de T es no-negativo, y (ii) la suma de las probabilidades es 1.

Si $ = lan sarl entonces T puede representarse por
T= tw,

aha

y fs
Puesto que Pla) = 0. tenemos

Fee) = Play Play) = 0

para un elemente Mpio ar: "a, de 7, lo cul pra

Probamos (i) por inducción en m. Esto es cierto obviamente para n = 1. Por lo tanto consideremos 2 > 1 y
Aceptamos que (i) ha sido probado para m — 1. Entonces

A =

3

por Ia Mitosis inductivo, lo cual prota (i) para

2 Pyro) 3, Ploy)

CAN]

car. 4) PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA. e

Problemas propuestos

PROBABILIDAD CONDICIONAL.

431. Se lama un dado. Sil número es impar, cul esla probabilidad de que sea pine?

432. Se aan tres monada oriente. Si aparece dos curas y un slo. determina la probuud de que area ns

433, Se lana un par de dados. Si los meros que esas son diferentes, hallar la probabilidad de que su suma ss ar

434 A vna persona se le rparten cres js de una baraja corriente de 5 cartas. ¿Cul sa proba
can dela mira pit, esto e, corazones dame

iad de que odas

435, A una prsoa se fe rpaten 3 cars, espadas, de una baraja comente de S cars. Si slds cut caras mis,
decrmiar la probabdad de que por lo menos do de as ara adicionales can también espadas

26. Senge al aar dos digitos diferentes nt lo ios 1 9.
© Sila suma es impar, ¿sil sl probabldad de que 2 ae uno dels números escogidos
AG) 2e uno dels dios seleccionados, cul esla pobablidd de que asuma sn impar

457. Cuatro personas amadas Norte, Sur, Este y Ost, reiben cada una, B ars de una baraja corset de 2 caras
(Sar tiene un as exactamente, cul ela potabilidad de que su compañero Norte era lo tos tes ass?
A) Sante y Sur nos tiren 10 orazones lea probablidd de que Este Oeste ean los tros 3 eorazones?

438, Una cle ten 10 ids y S niñas Se cogen tres estudias del sli al aa, uno tras io. Halla I probabilidad
de qe, lo dos primers scan nie yla ere nia, () el primero y el tercero sean ios y el segundo nda, i)
el primero y terco sean dl mismo sexo y el segundo del sexo opuesto.

439. Enel problems anterior sel prime y ter estais seleccionados son del mismo sexo y el segundo uudia es
dl sexo pui A a probable que el segundo sea ma?

140, En cea cidad, 40% de la población ten cabe castaños, 5% tee ojos castaños y 19% Lene cabellos y jos as
tados. Se ige una persona al az
© Shine cabos casas, sul e la probabil de que también toga js castas?
AG) Shine ojos caños, ¿cuál sl probabilidad de que no tenga cabellos cata?
(i) ¿Cu esla probable que no enga caballos ojos estates?

HAL. Sanos events 4 y B con P(A) = fs PUB) = Hy PLA UB) = 4 Hallar, OPIO, (PILA) a PLA NB.
m Palo.

ar. Sa S=labedefion Pa) ~ Ye Pb) = de PO) = HN) = BE PO = By PU) = Hy Sena marc.
5 = ledesi y C= ies Malar, (PLB (i) BIC). Ui) ACIAS). (m LALO)

A. En cra tata, 25% de os vents y 10% dels tenes so estudiantes de matelas Las mujeres consent
A de ls hombres. Si se seccional azar un Sudan y result ser de mamas, dena la probabil de

que dite sn una joven

m

PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA ears

PROCESOS ESTOCASTICOS HNITOS

um,

4.

us.

asi,

as.

Se ns dn dos unas como sie
Una ena À contas S bolas rj ans Bare.
La ova uma 0 comics holis coja y $ Banos
Se one un dado cren pars ve ce una bola de de lo cnrai a Pla e og de lar
in petit de ue, i) oe un Pla roja. a) se sj una bola acs, (i) se Sun una ha ar

Recto al probens amero. (Se eng una ola ra, cul sl proba de que prose de 1 1 Si
BE ana soa a riad de que apar un Sen 1 de!

{Una wma conter 5 tol jas y 3 Manes, Se lesions un ola al ar. s descarta y saca ds onl cn
ea or a ds mn ena epa ol. Halla la probahiidad de que. 0) senda bola ca ro
rs als sean dl mio aa

espe al proble atrio. St sands tla sj. cul aprobada de que a primera aa cn
BEE da ma so. el cls patada de que ambas ean lana

una ja contre es mone os de ls coria y un de dx caras. Se sions al rar una monada y lanza
ov vcs Sr pure amas vecs cr, ul er road de que a monada es a dedos eat?

Se no den 0 umas como sine
"una sra cone $ bolas cojas y 3 Bases
La va wins conten ola roja y 2 Blancas
Selnza un dado corren: aparece un o un 6 Se aca un hola de By ve pane ca ues
eo coma saca un bola de Ay e pone e B y luego aca una ola d

(¿Cuáles la probabil de que ambas bolas san soja
(Cul a probabil de que las dos Blas sn Bans?

Una caja A coninenueve cars numeradas de | 49, y tr caja B conne 5 arm mer de, Se sor
Pee ne a a ea car sila at nda un nämero pat se Sac ta carta de a mio asi Latta
mer impar ca un cai del ra al

(Cull esla mobabiiud de que ambas aras muestren números pres?

GG) Sí amas caras mueran números pats, ¿cul sl probabilidad de que procedan de A?

Gi) ¿Cul sl probidad de qe las dos cars tengan ers impares?

Un caja conten una moneda euren y una dedos cara. Se escoge una monada al aca y e lana. S aparece car,
Le lanza lora mosca; parece elos za La mis monet

© Halrla pobla de que sala cara en el segundo lanzamiento

(6) Stent cara en segundo lanzamiento, halla robabiidad de que también apar oe mero,

Una caja tin res neds, ds cientes y una dedo caras! Se seco ua meaty loc Sale
a moneda de ne sale alo cocos se escoge ota monda entr sd ue yacdan y se ana

0 Malaria probada de que sala cara dos vecs

(Scan a mima moneda dos vs hallar la potabilidad de que sa a mania dedos ars

(iD Holaa probabilidad de que ap slo dos ees.

Una urna À comen x olas tjas yy bolas aca, ora wma come: Blas rjs yy blancas
0 Sac ana una al aca y sesaca un bol, le la prbabiidd de que a bola sa ro?

(9 Stscsaca oa bol del uma 4 y se pon en la By ego se saca un ola del urn ¿cuáles a robaba de
‘ucla segunda ola sa oa?

cap. 4 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA n

454, Una caja conn 5 tubos de adi delos cuales 250n defetuons Se prcban los abs un ras oro has ques dec
buen ds defectuosos. ¿Cal sl pobabliad de que se suspends el rosso ea (D Segunda proba? (I) la ercer
poeta

SS. Respecto al problema ateo Sil poco se sspende e a ercer prueba, jul sa probable de que el primer
tubo no sea deietune!

INDEPENDENCIA
486, Probar Si Ay Bon independientes, entonces À y B® som indeendenes A® y Bon independientes

457. Sean loscrenos À y Bcon PUA) = E. PA UM) = fy PUB) = p. (i) Halle psi y Bon mutuamente excuses
(Gp Matar psi Ay Bon independents (i Hallar ps Aes sboonpant e

458. Un ema À canine S bolas ojs y 3 Manas. yuma ura B contin 2 ro y 6 bancas
A Sisesaca una toa decada una, ¿ul es la prota bliad de que las ds sean del mismo color?
Gi Sisesacan dos bolas decada vna, cil sa probabiidd de que todas as ur blas sean el mismo color?

ASS. Sen lo de tner tes monedas cutee, Sea À = todas caras todas sels, 8. ds caras por o menos y
dos cares cuando más De las preis (A. (A. O) y (B.C) ¿cales son inepenients y eles dependientes

60. La probabilidad de que À deca el Manco er ya probabilidad de que 8 dee .
(Si cata un pars dos vecs, ¿cul esla probabiida de que el blanco se aleanado un vz pr Io menos?

(Si cada uno dspara una vee yl blanco es alcanzado solamente ua ver, cle Is probsbildd de que A dee
«llana

Gi) SIA puede disparar solamente dos rece, ¿mts veces debe disparar para que haya por I menos un 90%
de protubidad de que el Banco sea alana?

461. Sean os eventos independicntes Ay Bean PIM) = Hy FAUB) = 3. Hals, O PC, id PALO, Ci) PEA).

462. Supingase que 4. B. C son eventos independents. Comprobar que cualquiera de las combinaciones
AS, BC; A,B,C, 0003 AG Be, Ci. AG Be, Ce
son también independientes. Además, comprobar que À y BU C son independientes y as sucivamene.

PRUEBAS INDEPENDIENTES.

463. Un tirador pena (A). a su Blanco con pot
(9 Descranar los elementos del evento 4 para que hombre pegue al blanco ds veces exactamente; y
{iy Malar a probubilud de que cl hombre pegue al blanco ana vez por lo menos.

idad 0.4: y además falls (M, co pobablidad 0,6 Dispara cuatro ves
sr PA).

464. Un <quipo pans (W), con probabilidad O: pede (L) con probabilidad 023: y empata CD. con probabilidad 02. El
aupa eye des tees. 0) Diermina el espacio muesca! Sy Ins probables de los eventos elementals. Hallar
Probabilidad de que el equipo gane una ver por lo menos

468. Consideremos un espacio de probubidad into contable $= {ana}. Sen
T= = (Ott) KES)
yee Pan 1) = Play Pla) Pl

Comprobar que Ttambién es un espacio de peobusdad into contabe; (Eso generaliza a dfivición (página $8)
de proces independientes para un espacio Info contable)

n PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA (cara

Respuestas a los problemas propuestos

aus aa GA GE 004
an 4 au OL GE DE GE
aa 0903 003, OE

4.

at

u Of WE

se 0%

ite

un. 03.

a

er,

u

Diagram de Sie! dl problema 450

aise

han ate

as. WE

Cap. 41 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA B

as gett

as.

454

ass.

as.

458,

45.

as.

481.

1.

M4 A

Diagrama de árbol del problema 4.54

al

04%

(or (iD A debemos init e cso en qu los tes tbs no defciosos aparecen primero. puesto que los
dimos ds tubos tienen que ser los defectuosos

+

Ode M4 4
6

LUE

Solamente À y 8 son independientes
(04 M4 (5

04 04 (04

GA = (HMMM, MEM, HMMH, MHHM, MHME, MMHE), P(A) = 03456
Gi) 109403708

() S = (WW, WL, WT, LW, LL, LT, TW, TL, TT)
wos

Capitulo 5

Variables aleatorias

INTRODUCCIÓN

Volvamos ahora sobre el concepto de función. Sean S y 7. conjuntos arbitrarios. Supóngase que
a cada. s € $ se asigna un elemento único de 7: la colección fde tales elementos se llama función (0
Aplicación) de S en T y se escribe f: ST. Escribimos /l) en lugar del elemento de 7 que /hace co
responder a s € 5 y lo llamamos la imagen de s por fo valor de fens. La imagen AA) de un sub-
Conjunto A de Sy la imagen inversa JMB) de un subconjunto B de T se definen por

fA) = (Mle): 64) y (= (8: 1) EB)
En otras palabras, / (4) está formado por las imagenes de los puntos de A, y /-48) está formado por
‘aquellos puntos cuyas imágenes pertenecen a B. En particular, el conjunto iS) de todas las imágenes
se llama el conjunto imagen (o: imagen o recorrido) def.

Supongamos ahora que S es el espacio muestral de algún experimento. Como anotamos previa-
mente. los resultados del experimento, es decir, los puntos muestrales de S, no necesitan ser números.
‘Sin embargo, frecuentemente descamos asignar un número determinado a cada resultado; esto puede
Ser la suma de los puntos de un par de dados, el número de ases de una mano de “bridge”, o el tiem-
Po (en horas) que gasta una lámpara en fundirse. Tal asignación se denomina variable aleatoria; més
precisamente,

Definición: Una variable aleatoria X de un espacio muestral S es una función de S en el conjunto R
de los números reales tal que la imagen inversa de cada intervalo de R es un evento (0
suceso) de S.

Hacemos énfasis en que si S es un espacio disereto en el cual cada subconjunto es un suceso, en-
tonces cada función de valores reales de S es una variable aleatoria. Por otra parte, se puede compro-
bar que si Ses no contable, entonces ciertas funciones de valores reales de S no son variables alcaorias.

Si X y Y son variables aleatorias del mismo espacio muestra S, entonces X + Y X +h, KX y
XY (onde k es un número real) son funciones de S definidas por

+0 = XV) (NO = EX
(EH malo) = Xl) +h an = XO)XE,

para todo + € 5. Se puede comprobar que estas variables también son aleatorias. (Esto es trivial en
el caso de que cada subconjunto de S sea un suceso.)

"Usamos la notación abreviada P(X = a) y P(a = X < 5) para la probabilidad de los sucesos
“x toma el valor a” y “X toma valores en el intervalo. | a, 5].” Esto es,

PA = 0) = Pi(e ES: X) = 0)
‘i Pla<X=b) = Pl(s ES: a=X(s)=b})
Significados análogos se dan a P(X< a), P(X =a, ¥=2), Pa=X=b, 6€ Y 2d), ete.

7

cars) VARIABLES ALEATORIAS 15

DISTRIBUCION Y ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA FINITA

Sea X una variable aleatoria de un espacio muestral $ con el conjunto imagen finito; a saber,
X(S) = lux. Xu). Convertimos X(S) en un espacio de probabilidad definiendo la probabii-
“nd de x como P(X = xs) quesseribimos J(x). Esta función /de X(S), 0 ea, definida como f(x) =
P(X = x), se lama la Junción de distribución o probabilidad de X y se expresa generalmente en forma
de tabla:

Hed | Heo sen

La distribución /satisface las condiciones
@ fey=o y (Pr =1

‘Ahora si X es una variable aleatoria con la distribución anterior, entonces la media 0 esperanza
(o: valor esperado) de X, denotada por EUX) 0 no simplemente Eo. y se define como

Sane

Esto es, E(X) es el promedio ponderado de los valores posbles de X, cada valor ponderado por su pro-
babilidad

EM = mile) + milla) + + afl)

Ejemplo 51: Selanca un par de dados cris. Obtremos el espacio
Fes ordenadas de nämerr nr y 6:

5 = (0,2, 160)

‘Sea X que hace corresponder a ada punto (2.1) de S el mixin de sus números, sen, X10 8) =
mova D Enonc Xe na variable aleatoria eyo conato agen s

X(S) = 0,2,3,4.5,9)
Calclamos a dich fe:
10) = PO=0 = PD) = &

quiro qe costa de 30 ar

nn = ix=2) = P((21,0,9,0,9) = &
19 = PR=3) = F((8,D, 6,2, 6.9, 8,2), 0,3) = à
10 = PA=0) = PLUG, (42), 6,9, (69, 6,4 8,2 00)

Similament,
16) = PRES = à

y 10) = POC

m

tdi se un ra be mc de
bec
MABBABE
tie mo
BO) = Belle) = ete eS s gs OFF OR

Avra sca Y que hac coreiponder a cade punto (6) de $ la soma de sus nimes en
rudy ae ER Hans Y es tin una variable letra de 5 co conjnto imagen

HE) = (23,4, 5,6, 7, 8,9, 10,11, 12)

VARIABLES ALEATORIAS. CE

À coninsacón In Guriocón £ de Y

Obinemos, por ejemplo, #6) = à del hecho de que (322) ©, 1) on aqueos puntos de 5
para lor ql sua de componente; par ato

a) = PO=4) = P((0,3,2,2,06,1)) = E
La meta Ge Y se cale omo sive:
EW) = Ina) 7-7
Los siguientes dioramas describe ricamente ls dsbuconesanesiores:

lla

te

[a] %

&

a =
$ i
:

a All,

(Oberes que ls leas vericals jade sore Is números del j horizontal son propoonles à
‘oe robaba o

+ Una moneda cargada al que AH) = 4 y POT) = fat laa es veo. Las probabilidades de

Jos puntos del espacio mural S > (HHH, HHT, HTH, HTT, TAM, THT, TIM, TIT son las

Pau == Pd
POD = 444 5 POH = AUS
A POTH = ddd = Be
PTT = = POTD ==

‘Seal variable que signs a end punto de Sel mayor número de caras css ue oct
as

zam = 0
zum = 2 xMrn = 4, X(THT) = 1, AT = 1
AMB) = 2, X(THH) = 2
X(HHE) = 5

BB conjunto imagen de Xe X(S) = 10, 12,31 Caelames la ish / de X:

10) = PATH = +
10) = PUBTH, HTT, THT, TT)
10) = PCT, Tan) = $+ 5
10) = PCL = à

ES

fever es
,

ars) VARIABLES ALEATORIAS n

Es informació se tabla nl ige form

Els
El
ME
ma
ao
elo

La media de e calcula como sins:

Bos

que coien 12 de os cuales son ce

Ba) = Bale) = ohren

Ejemplo 53: Se sclection al azar un mora de tes anus de uns
ern. Halal valor epeade E de os als con.

eben mer Ss) «0 a i
ae

(2) = mn artes nes

108 mueras con 1 ate defen

(2) oa = mu tn es

à
= à mes co and dees
(2) = mm a
dutta pba de sg 01.293 als dass rames WER. 108/20,
‘io PR AE smn ens Eels ais le
B = ore + 11S Pe Zee = 075

Nota: Implctamene bturimos el valor esperado dela variable alentoria X que asian a cada
musta el número dean defectuosos que conte

En un juego de diner, el valor esperado E del juego se considera como el juego del jugador. Se dios
que el juego favorable al jugador si E es positivo, y desfavorable i E es negativo. SÍ E = 0 el juege
os legal.

Ejemplo 54: Un jogador lanza un dado corset. SI sale un número primo gan dico número de drs peo sino
Sree Sacra prim entonces pedo cv caniad de dólares Los resultados posts de Je con
fs respectivas poblados Ju) sn com see:

JT Te ME
ne [alslelslele
Los números negaivos 1, —A y —6 corresponden a hecho de que Jugador pics o sale un má

mo primo, Elvalor esperado del juego
A de =
For tano, jugos desfvorable par el jugador puesto qe el alorespeado es negativo
"Nuestros primeros teoremas en relación con la noción de valor esperado para operaciones de var
risbles aleatorias son

Teorema 5.1: Sea X una variable alctoria y k un número real. Entonces (1) EUKX) = KECK), y
EX + 1 = EUX) +k
Teorema 52: Scan X y Y variables aleatorias del mismo espacio muestral S. Entonces FO + YN =

»

7 VARIABLES ALEATORIAS ¡car

‘Un simple argumento de inducción conduce al
Corolario 53: Sean Xi. Xs, ... Xa variables aleatoria de S Luego
BU, + +) = EQU) + + BOG)

VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR
La media de una variable aleatoria X mide, en cierto sentido, el valor “promedio” de X. El con-
cepto siguiente, el de a varianza de X, mide el “es

‘Sea X una variable aleatoria con lasiguiente distribución

feo | 169 alee)

Entonces la varianza de X, denotada por var(X), se define como
var = Ear) = EUX = m)

donde yes la media de X. La desviación estándar de X, denotada por ay. es la raz cuadrada (no-

negativa) de var} =

El teorema siguiente nos da una alternativa y algunas veces una fórmula más útil para calcular la
varianza de la variable aleatoria X.

Teorema 54: var(X) = Drift) = EU) — et

Prueba. Usando Z m2) = ny DIE) = 1, tenemos
Lemay = E (ei Aum +) He)

Zeile) — WY asl) + FZ Ke)

Dailey - B+ = Dalley e

lo cual prueba el teorema.

Ejemplo 85: Conidrie arabe alo X del jemplo $1 (que asigna e máximo de os nrmeros ques mues
tr en un par de dados) La tien de os

alilelslelsle
fe) a |e
y su meta es px = 447. Canamos la varianza y la desición endo de X. Primero eaculamos
un,
BO) = Zei) = mit Me gs dss.
var Q) = ERS 2197-1998 = 19 ya

ue e muera en un par de dados), La tin de Ye

cars) VARIABLES ALEATORIAS »

sslelofufuls

DBBBHBBHBHEEIEIEIE
y 28 meta my = 2, Calame I aie yla desición end de ¥ Primero calculamos
ws
BOD = Evian = meme + wey = = ma

y= VE = 2

var) = BOR) af = se =

Establecemos algunas propiedades dela varianza en el

a y K un número real. Entonces () var(X + 4) = var(X).
le

“Teorema 5.5: Seu X una variable ale
y (i) varkX) = KE var(X), Por lo tanto. exo

Nota 1. Hay una interpretacin fisica de la media y la varianza. Supöngase que para cada punto xı
sobre el je à ve coloca una unidad con masa f(x). Entonces la media es el centro de grave»
dad del sistema, y la varianza es el momento de inercia del sistema.

Muchas variables aleatorias dan origen a la misma distribución; de aquí que hablemos fre-
‘ventemente dela media, la varianza y la desviación estándar de una distribución en lugar de
la variable aleatoria fundamental

Nota 2.

Nota 3. Sea X una variable aleatoria con media uy desviación estindar « > 0. La variable aleato-
ría X* estandarizada que corresponde a X se define por
Ee

x=

Comprobamos que Z(X*) = 0 y var(X*) = 1 (problema 5.23)

DISTRIBUCION CONJUNTA
‘Sean X y Y variables alt
X(S) = (@ 2,

Formamos el conjunto producto
XIX Y(S) = (av), ins) + (60.4)

en un espacio de probabilidad definiendo la probabilidad de la pareja ordenada (xa, ya) como PX =
Esta función h de X(S) x ¥(S), csto es, definida por Aa 71)
iución conjunta o función de probabilidad conjunta de X y Y.

de un espacio muestral S con los respectivos conjuntos imagen
do) va)

ww

xi. Y = ys) queeseribimos Ax. 3)
= PUY = xi. Y = ya), se lama distri
y se da en forma de tabla por lo general

Y
” 2 Ya Suma
ES »
a Rend Wend a Mena Ten
= Mey) Me) u Nene) 10)
a LOI Me) LCA) Heo,
EN E 20) 2 own)

A VARIABLES ALEATORIAS. (cars

Las funconss fy g anteriores se deinen por
fey = Zen 7 an = Een
o sea, fas) ela suma de los elementos de a fla ¡ésimay #07) sl suma dels elements de
San cma; von Mamadas distribuciones marginales y on de hecho, ls distrbucioes (individu
Ray Y respntvamene (problema 5.12). La distribución conjunta h satisface las condiciones
A yy È een = 1

‘Ahora si X y Y son variables aleatorias con la distribución conjunta anterior (y las respectivas
medias mz Y ny), entonces la covarianza de X y Y denotada por sov(X, Y), se define por

cov EY) = Pla me) Meo) = EXC)
0 equivalentemente (ver problema 5.18) por
cov (EY) = ser) — mr = BUCY) = ram
La correlación de X y Y, denolada por plX. Y), se define por
un. = LD

La correlación p no es dimensionada y tiene las siguientes propiedades:
O ALD=AZ,I) (ii) pA) =1 AX 2) =1
@-1=,=1 Gr) Pax +, e¥ +4) = X.Y), si ao 0

Más adelante (ejemplo 5.7) mostramos qué parejas de variables aleatorias con distribuciones (indivi-
duales) idénticas pueden tener covarianzas y correlaciones diferentes, Así cov(X, Y) y. p(X. Y) son
medidas de la manera como X y Y están relacionadas entre sí

Ejemplo 56: Se lanza un pr de dados cores. Obtenemor el espacio euirobabl lo que et formado por 36
Paris ordenadas de nimero ent Ly €
5 = (00.08 (68)
‘Sean X y Y las variables ler de Sen el jempo 510
ima dels números de nd puto de $. La distribución con

designa el máximo número y Yas
eX Y echa siguiente

epee Jo] 9 Ti |: km!
stototelolole (ele
ojojojfojo olols
alalolololojo|je]&
3jajaJafo]o[olola
ofalalalalale [ols
ofolalalale la la] e
slels[slalafela

cars) VARIABLES ALEATORIAS a

A met anterior A, 5) = À veo del hecho de que (0.23 (2 non los úics pants de S cuyo
mero misimo cs) y cya sum s 5 or tan

Aus) = PX=3,Y=0 = Plan.) = à
Lost eens biene de maca ir
tala aan yon de Xy Y, Pier lonas BAY:

zum = Semen)
= rrgensies

rem

we
Poe a jemgo Sa mem 447 y m = Ty por el gmp SS, og = 14 Y or = 2 deat
or (KH) = EV) near = M2 = (AND = 29

„En. 29
An = E

emo $: Sean Xy Y. y XIV

= ug ‘Suma
Ela fo’) sena B «|»

Te ere ROM al Bs
Cl bet ol fs paa]
=, Sree

Obese que Xy X's y Y y Y een dtsbuions imc

“ils a] Jo
[DIESE sw la fa
Disrbación de X y X Disribucón de Y y Y

comprobamos que vik. Paco, 1) y de aquí AHH) PX, Y. Primero cllamos
EY) y BYE

BOY) = dede leo + rap + SO) = u

RY) = 12420 + 10109] + 2404 + 321000 = It

como mem =2 y wert
Pr mr

Y) = BOY) = per = 8

Nota: La noción de una distribución conjunta h se extiende a un número finito de variables aleatorias
“esto es, h es una función del conjunto producto X(S) x Y(S) X

Meuse) = Pa Y =0 Zu)
VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES
‘Se dice que un número finito de variable aleatorias X, Y, .... Z de un espacio muestral S son

independientes si
PiX=2,

Zan) = PX

1) PY =v) >>> P= 2)

m.

2 VARIABLES ALEATORIAS car s

para valores x. x En part

lar, X y Y son independientes si
y) = Pik = 2) PY = 0)

[Ahora si X y Y tienen las distribuciones fy g,respectivamente,y la distribución conjunta, entonces la
ecuación anterior se puede escribir como
Mau) = Nadal)

En otras palabras, X y Y son independientes si cada elemento Alxı, 1) es el producto de sus elementos
marginales

PiX= a, Y=

Ejemplo 58: Sean Xy Y variable sete

1 [ox | os [om | om
2 | ou [os [on | om

con ice coruna siguiente

sim [ox | 09 [00

‘Asis tribune de Xy Y son como sigue

AE fae a CN
ro [o [or em [oz [os | 030

y Y son variable aleatorias independientes puesto que coa clement dela distribución conjunta ue»
de bienes melipicado va cementos maria ie ©

re y) = P= 2) PU = 9)

pura ca à y cad à
Establezcemos algunas propiedades importantes de variable aleatorias que no se cumplen en ge-
neral, a saber,

Teorema 5.6: Sean X y Y variables aleatoria independientes. Entonces:
@ EY) = EDEN),
(i) varlX + Y) = var) + var(Y),
ii) cover. Y) = 0.
La parte (i) del teorema anterior gen

liza al muy importante

Teorema 5.7: Sean Xi, X:, ... Xq variables aleatorias independientes. Entonces
vari tn E ES)

FUNCIONES DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Sean X y Y variables aleatorias del mismo espacio muestral S: Entonces se dice que Y es una fun
«ción de X si Y puede representarse por alguna función «> de valor real de una variable real Y = @(A)
esto es, si YG) = 81 X(6)] para todo s ES: Por ejemplo, kX. X?, X + & ÿ (X + 4)? son todas
funciones de X con @(x) = kx, x#,x +k y (x + A) respectivamente, Tenemos el teorema Funda»
mental

ans VARIA ES ALEMORIAS 8

Teorema 5.8: Sean Y y Y variables aleatorias de un mismo espacio muestral S con Y = 91), En

rare

EU)
onde es la función de distribución de À

Similarmente. se dice que una variable aleatoria es una función de N'y Mai Z se puede represen=
tar por 7 + GUN, 19 donde es una función de valor rel de dos variable reales: esto es. Si

zu = N.)
para todo y € $. Conforme al teorema anterior. tenemos

Teorema

Sean X. Y y Z variables aleatorias del mismo espa
Entonces

lo muestral Son Z = AX, Y),
E) = Entries)
donde h esla distribución conjunta de À y Y

Hacemos notar que los dos teoremas anteriores se usaron implícitamente en la discusión y teore-
mas precedentes. También hacemos notar que la prucha del teorema 5.9 se da como un problema pro-
puesto.» que el teorema se generaliza para una función de n variables aleatorias en forma obvia

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS EN GENERAL

Ahora supóngase que N es una variable aleatoria de S con un conjunto imagen infinito contable;
sa. MD = 1 “Tales variables aleatorias junto con aquellas de conjuntos imagen finitos
(considerados atrás) son llamadas variables aleatorias discretas, Como en el caso finito, construimos
VS) en un espacio de probabilidad definiendo la probabilidad de xı como fix) = PIX = x) Y
llamamos fla dieribaciön de x

seo | fen | feo

FE valor esperado EUX) y la varianea var(X) se definen por

A)
varo = (a + (ee D + O)
cuando las series pertinentes convergen absolutamente, Se puede demostrar que var) existe iy sólo
Sn = EU y EU) existen ambos y que en ete caso la fórmula
var QD = EUR) =
es vida justamente como en el caso (mio. Cuando var(X) existe,
omo en el caso fito por
= VFR)

Las nociones de distribución conjunta, variables aleatorias independientes y funciones de variables
“aleatorias se extienden directamente al caso general. Se puede demostrar que si X y Y están definidas en
‘limismo espacio muestral y si var(X) y var(Y) existen entonces las series

desviación estándar a, se define

a VARIABLES ALEATORIAS: ¡caros

A A)
comergen absolutamente y la relación
RN = Pg Me) — ner = BAM — nr
se cumple justamente como en el caso finito.

Nota: Para evadir "ecnicismos estableceremos muchos teoremas en este capitulo únicamente para va:
bles alcatotas finita.

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS.
Supóngase que X es una variable aleatoria
cuyo conjunto imagen X(S) es un conjunto con-
tinuo de números tales como un intervalo, Reca
amos de la definición de variable aleatorias que
el conjunto ta=X<b| es un suceso de S y.
por consiguiente, la probabilidad Pla = X =)
está bien definida. Suponemos que existe una
función continua especial f R=» R tal que
Pla=X=b) es igual al area bajo la curva de
entre x = a y x= b (como se muestra a
‘erecha). En el lenguaje del cálculo. Po

X40) = ba del pare sobrada
Pa=x=ı) = {fee

En este caso se dice que X es una variable aleatoria continua. La función fse lama función de distribu-
ción o de probabilidad continua (o función de densidad) de X: que satisface las condiciones

O0 y Gi) fred =1
Esto eses no negativa y el área total bajo su curva es 1
Ei valor esperado EUX) se define por
BH) = [2e

‘evando existe. Las funciones de variables aleatorias se define justamente como en el caso discreto; y
puede demostrarse que si Y = MX). entonces

BY) = fera

cuando el miembro dela derecha cit. La variance vae(X) s define por
war) = E = Sd

¿sando conte. Justamente como en el caso discreto, se puede demostrar que var(X) existe si y sólo si
> EIA) y AU) eisten y. por

win = mn = Senne -

car.) VARIABLES ALEATORIAS 8s

La desviación estándar o se define por oy = VTATTAT cuando var (X) existe.

Ya habíamos hecho hincapié en que estableceríamos muchos resultados para variables aleatorias
fintas y los daríamos por supuestos en el caso general discreto y en el caso continuo.

+ Sen una vaiblealetoí conta con a sio

m= ft

Entonces
mex

1.5) = tea de la ein
sombre de agama

rad Gräfin de

en mi sn ira
an forn = five > [El]

zu = f anos = ire = [+

ur = FR

Un número finito de variables aleatorias continuas, a saber X, Y.
pendientes si para unos intervalos [a. a'), [b. 8’... Le).

PaéX <a, bé Y SV... 02220) = PSX a )POEY ÉD). Pl0=2=0)

se dice que son inde

COtsérvese que los intervalos desempeñan el mismo papel en el caso continuo que los puntos en el caso.
discret.

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULATIVA

‘Sea X una variable aleatoria (discreta o continua). La función de distribución acumulativa F de
X esla función F: RR definida por

Flo) = PX <a)

Si X es una variable aleatoria di
da por

eta de distribución entonces Fes la “unción escalonada” defini
F@ = 2,16)

parte, si X es una variable aleatoria continua de distribución /. entonces

Por ot

Fe) = fl 104

En ambos casus, Fes monótona creciente, esto es

F(a) = Fb) siempre que ab

yell

ite de F a la izquierda es O y a la derecha es I
0 y Im Fey =

86 LARMES ALEATORI NS wars

ılalala

pes
1 rt

One que Fans “Tocón am" com ween enn de ara 0

Ejemplo SA: Sea Y una sarao actora coins co la di
ie dorer .
pele es mm 1
A ——

¡Grifo de #

La funci de dsaiación seumulaiva Fy su
(rico se mueran a

o ue<o B
Pa) = fit mousse
bee ñ

Grit de F

Aqui nos valemos de hecho que pra 02292,

Fe) Se =e

DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF. LEY DE LOS GRANDES NUMEROS.
La idea intuitiva de probabilidad es la tan nombrada “ey de los promedios”, esto es. si un evento

A sucede con probabilidad p. entonces el “número promedio de sucesos de A” se acerca a p tanto ec

‘mo el número de pruebas independientes aumenta: Este concepto se precisa con la ley de los grandes

"números que se establece luego, La prueba de este teorema se vale de Ja bien conocida desigualdad

siguiente de Tchebycheff

Teorema 5.10; (Desigualdad de Tehebycheff): Sea X una variable a

viación estándar 2. Entonces para cada «> 0.

2
PX > 0 <

orin con promedio. y des

Prueba. Empezamos con la definición de varianza

e vo =F ea fai)

car si VARIABLES ALEATORIAS a7

En las series anteriores suprimimos todos los términos para los cuales |x, — | < «. Esto no aumen-
ta el valor de las series, puesto que todos sus términos son no negativos; esto es,

f= SP (aI)
donde el asterisco indica que la sumatoria se extiende solamente sobre aquellos 7 para los cuales

lxs —al >e. Así, esta nueva sumatoria no aumenta en valor si remplazamos cada |: — u] por

el) = ¿Er

Pero E* (2) es igual ala probabilidad que [X=] « por tanto,
@ > eP(X-u= 9
Dividiendo por ¢ conseguimos la desigualdad buscada.

Teorema 5.11: (Ley de los grandes números):Sea X +, X:,....una sucesión de variables aleatorias inde-
pendientes con la misma distribución con promedio « y varianza o?. Sea

Be = (Kit at + Kin
(llamada la muestra media). Entonces para un « > 0
lim P(S,

AS 9 = 0 0 eauralentemente lim PUSH] < 9 = 1

Prueba. Nótese primero que

mis) = E) + FE +B

Puesto que A Ka son independientes, dl teorema 5.7 se deduce que
var Qt 20-4 Xe) = var (i) + e+ + var (Lo) = mer
Por consiguiente por el teorema 5.(i),
var (5 = var EM) J var hie) = Gale = ES

Ast, por la desigualdad de Tehebychefl,
PAS él

El teorema resulta del hecho de que el límite a la derecha es O cuando n > =

Las notas siguientes son en su orden:
Nota 1. Probamos la desigualdad de Tchebycheff solamente para el caso discreto. El caso continuo
se deriva de una prueba análoga en que se usan integrales en lugar de sumatoria,

Nota 2. Pzobamos la ley de los números grandes solamente para el caso en que exista la varianza de
Xu, esto es, no diverge. Observamos que el teorema es verdadero siempre que EUX) existe.

Nota 3. La ley de los grandes números anteriores llamada también la ley débil de los grandes números
‘causa de un teorema similar, pero más firme, Namado la ley fuerte de los grandes números.

VARIABLES ALEATORIAS ¡caros

Problemas resueltos

VARIABLES ALEATORIAS Y VALOR ESPERADO

sa

52.

Hallar el valor esperado y, la varianza «* y la desviación estindar u de cada una de las siguien-

ies distribuciones

MORE ==
o w
se [+ [als se [a [ala li

a = =
me [el os [02] 03

© a= Bese = nee = 4
Bethe) = wpe wey tury = m

e Se = w= 10
men
Wr = Zu = niedrigere =

Bethe) = Wet WE HIGH AE = 95
= Sd = 925-1 = us
e. VB =

UD 4 = Tele) = 109 +30)+402+503) = 3
Zaire) = 0H) + 90 +1902) +240) = 3
A= 3-8 = us
«==

Se lanza un dado corriente. Designemos X como el doble del número que aparezca, y denotemos
Y como | 63 según que el número sea impar o par. Hallar la distribución, e valor esperado, la
varianza y la desviación estándar de, (i) X, (i) Y. (i) X + Y. Gu) XY.

espacio mesial eS = 1 1,2,3,4,,61,y cada mer aparece con probada 4.

(AU) = 2X0) = 4, KO) = 6 XE) =X0)= 10,X(0) = 12. AE = 12,4.6,8, 10,121 cua número,
Tene protablidad $. Asi ditrbucin de X es como Sigue

= [2 ]¢[e |] [ae
rola lalelelafa
consent
n= E Base)

SEF e ETOH ORT OG TINE = B= 7

zum = Zeile)
ree res ec + 10007 + Le =

4 = we @ = #4 = 7 - OF =
a = vw

cap.si VARIABLES ALEATORIAS A

& Ya=1,Y0)

Y =1,Y0 où 719)

as) y

Riem DR RAS
se pe

200

CHE +

zn = Zu = 14+ 84
= han = edt od = 6
won = BON - ==

(Gi) Usando (X + 190) = XU) + YO). obtenemos
+m = 241 = wine =641=7
Ging 443 =1 ne a wen

Por consiguiente, el conju imagen es (A +S) = 13.7, 1.151 y 2 y 1S den con probabiiad >
Jy eon probabiidad $, Et e la dtibución de X + Y e como pe

Eset

bells

Sc

ran = 3 rape] 8 = 8
zum = obra frame fem] = HE = 987
wae ED EAS T= UT
mr = VF = 38

Nose que, 500 + EY) 142 D = EUX + pe ar D + var ON = INT + T=
armen.

(Gr) Usado (EN = XO) YC), benemos
AN = 21 = 2 ne = 61 = 6 ano) = 10-1 = 10
ann = 4-3 = 12 (enw = 89 = 24 ano = 2-3 = 16

or tam, a dtsbciadeXY s cmo ie
- : ek [= [=]
ERBENEIEZEIENEN

san = regte tg rare = BH 16

Bar = ap +0 + 10084 + ed + TSG + IEE
= MH = 393

wae HY) = BOND =f = IP = Dé
on = VS = 16

sa

54

VARIABLES ALEATORIAS (cars

Una moneda cargada para que PH) = 3 y POD) = 4 5 lanza tres veces, Sea X la variable
aleatoria que denota la mayor hilera de caras (sucesiva) que aparezca. Hallar la distribución la
esperanza, la varianza y la desviación estándar de Y.
La aca tetra oe dis e el espacio mst)
S = (HMM, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TH, TTT)

As puntos de Steen ls pobakihudes respects siguientes:

Pam = ETS EH POM = Pet =
POT) = EEE PORT) = EEE à
POT) =P POTH) = EEE à
POT) SES & POTD = Ebb = ae
mayor itera de cares,
AOF) = 1, XGITH) = 1, XCTHT = 1, XUTTH)
QHD) = 2, XCTHH = 2; XD) 8
‘Ace cojumo imagen de es XS) = 10, 1.2.31 La proablidad JU) decada mero yde (5) e ine suman
bles poids des pois de Saya imagen xo
10) = PATO) = de

10) = PCLT) + PTE) + PITHM) + POT = YS
10) = PORT) + PTE) = 44
19 = POH

Por contents, la disiución de X es como sigue:

= Jaja

B
wo lalalele
=

b= BO =O tHE = zu
Em = Org HL THE 00H
= nr = HA = sa = 08

+ = V= 0

Se lanza una moneda corriente hasta que resulte una cara o cinco sellos. Halla el valor esperado.
E de los lanzamientos de la moneda.

Si ae cara enla primera vez sed un lanzamiento solamente, o es, luso. Si el primer esl y
unde cara acen dos antamints, to es el evento TH. Silos os primeros san sels y el tercero ara, sen te
Hunzamentos eso es el sce TH, Siesta TTTH sucede cuto lanzamientos ys resultan TTTTH o TTTTT su
olen ein anzamlenos. Eines

ra) = run
10 = rem = 4

10 = PORTH) = à

10 = POETTH) = à

16) = POTTTH) + POTTTD) = gy tay = dh

ES ge ep eset ek toy = H © 1

Porta

ca si VARIABLES ALEATORIAS 9

. Se dibujan dos circulos concéntricos de radios 1 y 3 palgadas

¡dentro de un blanco circular de 5 pulgadas de radio, Un hom-
bre recibe 10, $ 6 3 puntos según pegue en el blanco dentro
del cireulo menor. en el anillo intermedio o en el anillo ex
terior respectivamente. Supongamos que el hombre da en
el blanco con probabilidad 4 y, por tanto, vs lo mismo de
posible que pegue en un punto del blanco comoren otro. Ha-
llar el valor esperado E de los puntos que marca cada vez

pay te dE
mn ë
m =}

au B= 10.

ogro Props

5.6. Un jugador lanza dos monedas corrientes. Gana SI 6 $2 según que aparezcan 1 6 2 caras. Por
otra parte, pierde $5 sino aparece cara. Determinar el valor esperado £ del juego y si éste es far
vorable al jugador,

La robin de qe 2 cars sucedan ex 43 de 2 seo ex 4 y de cars $ As
& Eade ganar Si es Y. y de perder Ses 4. Por uno E 22] #144 80}
Io pera del juegos menos 23 y eres loma > derorabe al pater

obabiiäd de ganar 52
025 Esos va

5.7. Un jugador lanza dos monedas corrientes. Gana SS si aparecen 2 caras, S2 si aparece 1 cara y SI
si ninguna cara aparece. (1) Hallar la ganancia esperada. (ji) ¿Cuánto debe pagar para jugar si
el juego es legal?

© La robust de parar SSes 4. de ana 82 Y y de ana 5 fsportonlo 2 = BoE 4 803 4144
250 stos. ana eperuda 52.3.

Der

$0 ra jus, none luego ce ea

DISTRIBUCIONES CONJUNTAS, VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES

58. Supéngsse que X y Y tienen la siguiente distribución conjunta

SA sm
1 [or [o [oz | os
5 [os [or [or [os
se [os | 03 [os

6) Hallarla distribución de X y de Y.
) Hallar la cov (X, Y), esto esla covarianza de X y de Y.
) Hallar p(X, Y), esto es, la correlación de X y de Y.
iv) ¿Xy Y son variables aleatorias independientes?

92 VARIABLES ALEATORIAS caps

o et desecha es a ditiacin de X y la diribción marginal del fond sl dsb

a ]ı]s a 2:
te [os [os ou [oa [os [os
Debra de Y Disribación de Y

6h Primero clolamos ax ya
ax = End) = M09+009=2
m = Bye) = (3904) +003 +03) = 06
Luego computamos EIX Y):
BAY) = Dag Mew)
= (NO + MONO + (OO) IO + O) + EXO - 0

Enonces x (X. Y) = EN) — a = 00) = —12
i) Primer cames oy xt

Bom) = Zeile)
var
x= vied

(05) + 0,05) 5
BOM) a = 5 OR = 1

EV) = Ira) = 0109+ 0)03) +0903) =96
var) = BO) ~ pf = 96-06-02
Wm = 30

a ie Lol
Een u ge

GX Ynosonindependienes, puto que PU = Y = = 94 PX = DPA = 3) esto 5 elemento (13)
= 01 no sul a AD #3) = 004) = 02, producto de us elementos marginales

9. Scan y Y viable lors independientes con ls disbucions une
o „ [eles
Te [ea oa} [aan Jao [os [oa
Det de Dia & Y

Hallar la distribución conjunta À de X y Y.

Posto que Xy Y son independientes a disibucón canına A 6 pued obtener de las distribuciones marginales
Jy. Primere consryase la abla del Gsibució conjunta con las dstbucions marginales solamente ame sel.
cs en la tabla dela agir, y lugo muliplquense os cementos marginales pur obtener los oros clement eto
Senne Mz y) = fle) ol), como se muestra aa dern

A ET o aa | 0 tb | m
1 06 1 or | om | om |
2 oe 2 [om [om [or | os

sm [a [os Jo sm Jo [os [o

AP. sı VARIABLES ALEATORIAS. a

5.10. Una moneda corriente se lanza tres veces. Sea X que denota 0 6 1 según que aparezca una cara
‘oun sello en el primer lanzamiento, y sea Y que denota el número de caras que resulten. Deter-
minese, (i) la distribución de X y de Y, (i) la distribución conjunta h de X y Y, (i) cov (X, Y).

(HE pad muestral S const dels ocho puntos siguientes, ada uno con pobaiiad

S = (HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TI, TTT)

Tesemos X(HHH) = 0, X(HHT) = 0, X(HTH)
CH = 1, KAHN) =1, ATH)

0, XT = 0
4, XT) =1

y Fo) = 3
YD) = 2, VOTE) = 2, Y(THH) = 2
Yan =1, YARD) = 1, Y(MTD = 1
yarn =0

Asi tas discuciones de X y de Y on como sigue

aol: “lolilels
te | 4 |e ow ijajeja
Disiboción de Y Distribución de Y

(i) La dites Ade Xy Yes

1 fafafafe| a
sm Ja] a] ale

Obtenemos por ejemplo, el elemento MO, 2) = PU = 0, Y= 2) = PO ATA, HT) = 4

Gin m = Safe) = 04+14 = 4
m = Duo) = ORDER RES =
BUCY) = Sewjhepy) = 12144 + 1-2-4 + términos con factor o = 4
SCAN = BUY) = mer = EEE = HE

5.11, Sea X una variable aleatoria con la distribución siguiente y sea Y = X

a [= 1 [2

wel a fale le

Determinar, (i) 1a distribución g de Y. (ila distribución conjunta À de X y Y, (ii)lacov (X, Y) y
man

VARIABLES ALEATORIAS. ¡cars

D Puesto que Y = A, la variate leer Y puede tomar solamente los woes 4 1, Además, 9 = PO = 4)
Pto Ke = PDA A= De 444 - y ameno El — à Por ane
la dti y de Y es como spe

w fits

CAE

(Gy La disriación conjunta À de y Y vine luego. Nótese quest = 2, entoces Y= 4: y deal 20
Oy MC-24) =D) = à. Los tros elementos se obvenen de manera similar

N 2 Le | som
2 [olal a
= [alela
a PP lols
CES E
se [ala
O O
m= BO = Eu) pad
BOY) = Day key) = eii HEF OE = 0

or 0 ya un

= BOO) ~ my = 0-04

Nota: Este ejemplo musa que no ostante que Ys una unción de X ean posible quel ovarian ya correlación
de Xy Y sean 0, como enel aso en que Xy Y son indeendente corea 5), Ns an embur. aie
X 3 Y no son independienes en ete Sonn,

PRUEBAS DE TEOREMAS

Nota En todas las pruebas, X y Y son variables aleato

8 con distribución / y g respectivamente y
distribución conjunta h.

5.12, Demuésirese que f(a) = E Mev) y atu) = Z Mau), esto es, que las disribuciones

marginales son las distribuciones (individuales) de-X y Y.
Sa A=(X=2) y Bj AMD y By= Y y) AN By won die
ets y SE UB) Por an,
AL = ANS = AnkuB) = 1,4108)
onde ls A,B, son tambien issus. En consis,
Je) = PiX=a) = PA) = EMAnB) = PPA=0Y=0) = Mes)
La pret pra ys mar

=H) eo a sa A,

| Probar el teorema 5.8: Sean X y Y variables aleatorias del mismo espacio muestral S con
Y = @(X). Entonces EN) = 2 ae) fle) donde fes la distribución de A.

La prueba se d para no en que Y x drt y ita)

cars} VARIABLES ALEATORIAS 95

su.

sas.

5.16

su,

pin us tama ial nung o ls UE et
able le Se YX) 200 root 7 Sión q de Y CU Gols pr

ee

Br?

ee

169

lo cul proce rem

robar el teorema 5.1: Sea X una variable aleatoria y kun número real. Entonces
O LUX) = KEN) y (i) EX +R E) À k

Ga prct se da pra el so hereto pesca! upon que EG) ext)
Alan bX = EUX) donde 0) = hx Además or lr 58 (probes SD

Bux) = Piaf = FRasey = RFO

Gy Ai x + kr BU) donde) = +R Ades
Both = Patol =

ale) + BEN) - BOO + #

rotas el tcorema 52: Sean X y Y variables letorias del mismo espacio muestral. Entonces
EU Y) = £0) + EN,
Char ara eae cts pee supe ge EU) y CT) amos en)
LRQ ND donk ep) = 7, Ans pu eam 59.
seen = PR ta = PE +B PF Ne

Alicando el pobems 5.12, oenemor

Brey)

Zar + Bob) = 500 + FO)

rotar el coroläne 33: Sean Xi, Ki an Xn variables seatoras dE.S- ENONCE
Bk, + EX) A)
(Ua pues sede ar le drt gen ind que BRD BOE) oer ein)

e 2 D een SRE A SE
(on Parco n> à aplicamos lo a =2 para cent

+ ee + FX AX d+ BOD
+ BQ)

porta pois ndtv stos somsiene en BE) +

our dora sad ES Oster i) ix an ES
x Y Mex = Moe

seth y max = hon: Tambien Bafta) = ex » NOD Pe

Por coma SL px

96 VARIABLES ALEATORIAS. ¡caros

var +H = Let fe) — rex

Sete) + Balle) +E Me) = xt He

Bal Med + in + 18 — OE + Dhs +)

= Base) — = wm

, var (eX) = Elke) — de = EG) — En
IS - A) = Min

5.18. Mostrar que

cov KY) = Pl M2 0) = Fa, Me yt) — our
(a pres apra cs en que Xy Y son dca ais)
Puesto que
Buren) = Fue) =m JM) = Falten 7 Ein)

Fr mes

= Etes = mei + re) Med
= Zahn) = ox Shen) = mv Ja) + mr JM)
Dean) — wavy = mer + mer

= sos) = or

5.19. Probar el teorema 5.6: Sean X y Y variables aleatorias independiente, Entonces
9) EXT) = EMMEN), Gil) var X+Y¥) = var (X)+ var (M), (ii) cv (XP) = 0.
(a ruta se da pra el aso en que Xy Y on dieras as)

Puso que Xy Y son independents, Mey) = He) sl» A
FAN = James) = Zawyledoty)

Paleo Zum = FORO

, MAN = EAN nr = BONE) — nem =

Ce a de rote) tamis ai
mer = ntm Zellen) = Zelte. Bof 7)
Por tuo,
me + = Bet yey) — ther

= Jo Mea) + 2 ue) + Meur) = xt mt
= et +2 Fade) Proa) + Prot — ui = Br oh
= ete AP = = way + ey

car sl VARIABLES ALEATORIAS LA

5.20. Probar ct teorema 5.7: Sean Xi, XX Variables aleatorias independientes. Entonces
var (Mites xa) = var (A+ ee + var (a)

a pci se da para asen que Xy a so toas discretas Fita
‘Danes saca las problemas and al S12 yal rem 59 pur variables los. Eons

vu Qt = Ft + Ka

= Bet

Han = mages Mu)

ET LS
= 22 Im HF mn 2} Fa) Mar)

onde es la Siribació Conan de co Re Y Ange ur = aay 01: tmx, Corsi $3). Puesto
ue os son indepenlines ds a dos, Dry Mi > 29) = mx Para 873. Pot ato

waht = Brut Beet + 2 Er 03 Fous

¿emp Jun = Em

como se pe

PROBLEMAS VARIOS
521. Sea X una variable aleatoria continua con distribución
= Ath 02243
ie es

( Caleuar £. (D Hallar PAX =D)

(6) Enrico de e ja en seguid. Puesto que es una funció cominea de probabil ibn sobrada 4

mao pe ets pean onions y 4 a et
ETES EEE
ven
se
|
sl |
pese
ces à ra=x=2

a IT
e o MPI

22, Sea X una variable aleatoia continua caya disibución es constante en un intervalo, como 1 =
(@< 2.25), y Der cualquier ova pare
hoi asa=d
A

(Ge dice que dicha variable aleatoria está uniformemente distribuida en 1) () Determinar k-
A Hallar la media y de X. (ii) Determinar la función de disribución acumulativa F de X.

8 VARIABLES ALEATORIAS fears

(0) El grlico de aparece la derecha La ein À debe tne
en 1 portant

0

Gráfico de y

punto moto enre y. Vecamos eto matemáticamente sado el ciclo

Sisina sd

E
nam

»= 50

(iy Reslcamos que la fención de distribución acum
FU) = PR. Por tame FÜ origin el rea ba a
gro deal iequieda de x= 1. Pene que À et ne
Farmement dre el intra. Y
intuit qe el grlic de eb sr come se mues
‘Sader ect Fi O anida punto, Em dr
tts del pro by Fes lineal ent yb. Veamos eo: =
Iratemtkamente usando ie

(o) para x< a

ron fon = [vus

(6) pora a

(6) pars 25d, Fle) = PRE © PAB = FO)
Pur tano Fee)

523. Sea X una variable aleatoria con promedio y y desviación estándar o > 0; y sea X* la varia
ble aleatoria estandarizada que corresponde a X, esto es, X* = (X — m Je. Mostrar que E(X*)
O y var(X") = 1. (Por tanto ex. = 1)
Por otroremas 51 y 55.

za Lao = Len

o
vu (2) = man = dere ma

> var (4)

524. Sea X una variable aleatoria con distribución /. El résimo momento My de X se define por
Me = BK) = Ez 1)
Hallar los primeros cinco momentos de X si tiene la distribución siguiente:

a [lil

CARE

(Nótese que My es el promedio de X, y M se usa pura calcular la varianza y la desviación es-
ándar de X)

car. 4 VARIABLES ALEATORIAS Ey

My = Salley = Bye ESO = 0,
M = Zaire)
My = Zelfiey = gt = 8,

My = Behe) = ++ = ms
Baile) = mtr = 4

pe LEH OE = 45,

Mo

5.25. Sea h a distribución conjunta de las variables aleatorias X y Y. () Mostrar que la distribución Y
dela suma Z = X + Y puede obtenerse suponiendo las probabilidades a lo largo de las diagona-

los x+y = %, estoes,

a) LE, Mew) = 2 Mans)

i) Aplicar () para obtener la distribución fde la suma Z = X + Y donde X y Y tienen ta dis
tribucidn conjunta siguiente:

o 1/23 | sum

o | 00s [ans fox | o [oos [aos | ox

1 [oso [oos [ons foro | o [os | os

2 Jos [ox foo [oo fom foo | os

soma | out [oar [ox [ors [ous fous

© Losenmos (8p Y.

y 3 ecb =) son deyumos portano,

fie) = Pan) = „Z, PR Y
= 2 Meo) Ea
&
% 2
$ ofa 3
o [eos [nos [oro | © [ous [ows
1 fou Joss fon o [ons
2 [oo for [aor Joss [aos [oo
Sumando o largo deu aga en a ala nei, biremos
1-2 = 005 Re) = 005 +010 + ou 022
ED = 005 +010 = 018 10 - 06 = on
70) = 040 4 005 «m on A 00
Ja) o rv sum ME = 0

Aa tas plas a tribun de Z = X Y ex como sie

al] eels

Hea [oor fous Jon [oar lon [on [vox [oo |

VARIABLES ALEATORIAS tears

Problemas propuestos

VARIABLES ALEATORIAS

alar el promesio pla varianza 0% lo denon sind e decada diritoión:

a Ja[s[o = [elalr
w uw
CIRE DENE

EHEIRZENENE
a

se [os [on [ar [oa [or

Se Lane un par d das covets. Sea XI variable letra que denota cl menor de los ds timers que aparecan
alla Is tba, el promedio, a vance y la desición etna de

Una moneda corriente se lanza ato sees. Sea gue dota el neo de ears que salgan: Halar dun, el
romeo; la varias ya desviación sind de.

‘Una moneda corre se ana cuatro veces, Sa Y que denota aia más larga de ars que salgan. Hallar dh

ción el prom a varian y la desviación etidar de Y.
alar el prometio q, la varianza oy La dwviación estándar e de la diibución de dos puntos
a ele
te [> [a

onde 9 + ¢ =

Se selcionan al aza ds cats de un cj que cantine cinco cartas numeradas 11, 2,2 y 3. Sa X que dena I u
a y Y el mayor els dos nömeros sacados. Malla la Gris, romeo I vaine y la devon ender de
GX, i) Y, GH) + Y, Go) AY.

VALOR ESPERADO (ESPERANZA)

sm

sa

ES

san

Se lana una moneda core Rasta que una coa coats sos aprean. Halll número esperado de lneaminton
dela moneda

Una moneda cargada tal que AO) = à y PCT) = se lanza hasta que ua ara o cinco el. aprercan Halla
mer espera de larameno el moneda

{Una ej contiene 8 rts de os une 2 on defetoses. Un persona seccion 3 ats a caja. Hallar end
mer espera de ancl defectuosos qe ll sca,

Una sa comen 1 transistors de los cales 2 son defectuosos, Se secion un ransitr de la cja ys reba has
quese escoge uno no defectuoso, Hallar el número esperado de esque el tano: se cos.

Resolver el problema anterior paa el cio de que 3 de os 1 aus sen defectos

La probabilidad de quee equipo À gan un juegos 4. À juega con Ben un tras El primer evip qe gane 2 jugos
seguidos oun oa de3 gal torno, Hallar número era de jugos nel oro

Un jgado ana rs mone crime. Ga $ slo cara, $ sale 2 caras y SY sale solamente 1 ara
Por nr are pede SIS si sal 3 selon Hare valor e juego pta e jugador.

Un jugador Lane te monedas etre. Cana 5 salen caras. $1. cen ars y Si ate solamente cra Si
jeg seal cut deberia perder no en cara?

car sı VARIABLES ALEATORIAS 101

DISTRIBUCION CONIUNTA, VARIABLES ALEATORIAS INDE!

se

ss.

Un jgador ana res monedas eat, Gana 10 sl 3 cars, salen 2 caras. 5 al 1 caray $2 nse
aa. Sel juego seal eto debe pagar lugar para Ba

ENDIENTES
Cors la dsrivució conjnt de Xy uit

2] 7 | sum

|e

Falla, 6) EX) y £9. GX Y) GH exar y LK. Y)

Consitrs a distribución conjunta de Y y Y svi

4 | 5 | som

2 | o [oa | os

2 [oz [os [os [o [o

sima [03 [03 [or [oa

ala) EX) y AO) COM, Y) envoy y A Y)

Sopóngase que X y Y son variables also independents con ls tribune respectivas sient

aile » [els]

#2) [or os ow) [os [os [oz

aa 1 disrbució conuna de X y Y y comprobar que covX Y) = 0.

“Una moneda ciente ana curo vs, Se X qe denota âme de caras que sagan y se Y que dro ta ma
ar que salan (er problemas 3.28 7529). (0) Determinar la direcón conjunta de Ny Y Hl

Y) y UN.

‘se seeconandos caras al azar de un cj qu mine cinco aras numeradas I 1, 2,2 3. Sea que denota la a
Sa haar dels dan amer sacados ver problema 53) () Determiar a discoción comenta de Xy (0)
Malar cots 9) y AU Y)

PROBLEMAS VARIOS

su.

sa.

Sea una variable aleatorin coma con din

(6) Determinar y hace rico de a nn de discusión acum

a F4 x

be acti minus co ibn,

fe)

fie 0825
0 en canter ota pane

0 Catalar k Gi) Mallar PUZX#=9), PREX=H y PCD)

102

ses

550

sa.

sa.

VARIABLES ALEATORIAS

nec pri dela función de isbución acumulativa ela variable ori X con dit

a 2 fs

CIRE

(cars

Mostrar que ay = 0 y slo Xs ua funn conte, stos XY) = A para cada 5 € S, osimplemente X = k

Si ex #0, monarque XX)

y

Protarltcoera 59: Sean X.Y y Z variables alors de con Z = (X.Y). Entonces

BY) = Y Hew) Mes)
Ande hs la discibucióncojenta de Xy Y.

Respuestas a los problemas propuestos

w

2=10,0=32 (6)

BU) = 25, var m)

1)

he
a
pa
Fr
ee

MOE

wey |e | ae | te | te |

EG =

Lex

mmm

oy) | ae] te | ve] te] ve

EIN = 14, var ON = 09, oy = 095

= ap tbe, aya

w EIN =36, var (10 = 088,
me [or [os [os [oz

a

E) =28, u)

A, oy = 064

av) [on [os | 03

car.

sa.

ss.

san,

su

2 VARIABLES ALEATORIAS 103
AT
an 59, var (LEN 228, exer = 18
pen [as [oa [oa [02 [oz
s]s[el»s
N EXP) = 88, var (KY) = 176, oxy = 42
os | 08 | 02 | 02
158
aus
au
aus
aus
2

254 à favor dl jogo
so
su

© Fe)

, BON)

CET

LS: (6) og = 2, = 43, KR = 07

BO) =14 BOD = 1 MN

05 (il) ex = 049, oy = 84, AR,

-03

5 | 8 | sum

a [oa [oss [ou | or
2 [om [ois [on | os

Sum [os [os [o2

o

E The 1 2 (3 | 4 | sum
Tallo fe [x
ı Pe lale[e lex
nr
Tools [«[o[x
al

se [a [ve Le | [o

cor HY) = 085, AX, = 089

104 VARIABLES ALEATORIAS ICAP. 5

SAS. (i) (ii) cov (X,Y) = 052 p(X, ¥) = 09

1:2

x

2 or | 0

3 o los

4 o jor loz | 03

5 o | o foz | 02

Suma [or [os [04

54. (i) P@=X=5)=4, PB=X=1) = 4 P(X=6)=4

0 siz<o

(ii) Fa) = {de 04248
1 siz>8 re a
Gráfico de F
54. () k=2, Gi) PUSX=3)= 8, Pe=X<4)= E, PKA
548. i
|
14 ==
E soe bese Sh
A]
nn
ae ; 1 T T
3 > 3 y

Gráfico de F

Capitulo 6

Distribuciones binomial,
normal y de Poisson

DISTRIBUCION BINOMIAL

Consideramos pruebas repetidas e independientes de un experimento con dos resultados;
mos und de los resultados favorable (0 éxito) y el otro desfavorable (0 fracaso), Sea p la probabilidad
Trvorable, asi que q = 1 — p es la probabilidad desfavorable. Si estamos interesados en el número de
éxitos y no en el orden en que suceden, entonces aplicamos los teoremas siguientes.

lama-

‘Teorema 6.1: La probabilidad de k éxitos exactamente en n pruebas repetidas se denota y expresa por
bmp) = Great

‘Aqui (2) es el cocficiente binomial (ver página 19). Téngase en cuenta que la probabilidad desfavora-
ble es qn y, por consiguiente. la probabilidad de por lo menos un éxito es 1 —g%.

Ejemplo 61: Se lanza una moneda corriente 6 vee 0, 5 equivalente, sis moncdascrriens se lanzan una vez
amos cra un eo, Por cogen # = 69 P = 4 = à
© La probaiidad de que sundan dos cra etcamente (os, 4 = Ds
ep = OP
(La protabldad de consegir porto menos curo cars (ne, k= 4,566)
BD + GED + un = CGE A oar
SHtwte TH

‘Be y or tanto, la probabil:

(ii) La probabilidad de no caras (osea, 1odos fracas) eso = GY
dad de una cara poro menos es I = 1~ dy = He

un lanzamiento un éxito sí sale un $0 on 6. Entonces

Elemplo.62: Un dado corriente se lana 7 veces: amamos

Ao sonda EEE:
© 1a rabat de que un 5 6 6 ata 3 veces exactamente (sn. = 3)
Grp = DW = #

(La pcotabiidad de que un 5 6 6 mo saga ( sea, todos facasos) es 47 = () pr cons

Fete a probabliad de que un 50 un salga una ve por I menos es 1 — a? = Sth

105

106 DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON cars

Si consideramos n y p como constantes, entonces la función ant
ibuciôn de probabilidad discreta:

meer 1 2 A
en | ele a
Se la Nama distribución binomial puesto que para A — 0, 1,2, ....m corresponde a los términos suce
sivos del desarrollo binomial
(ater = + ae + ATA tt

Esta distribución se conoce también como distribución de Bernoulli, y las pruebas independientes con
‘dos resultados se llaman pruebas de Bernoulli.

Las propiedades de sta distribución son:

Teorema 6.

Media

Desviación esndar

Emo 63: Un ado corriente se ana 180 oc Elmer espera de scheres = np = 180 +4 = 30 Laden

vic cda «= yapg = VIBE = 6

DISTRIBUCION NORMAL
La distribución normal o curva normal (o: de Gauss) se define como sive:
fa) 5
donde» y # > 0 son constantes arbitrarias. Esa función es en realidad uno de los ejemplos más
importantes de una distribución de probabilidad continus. Los dos diagramas que siguen, muestran los
is de cuando a variay cuando « varia, En particular, alndrese que estas carvas en forma
de campanas son simétricas alrededor de x = y

Distribución moral parao (@ = N Discbación normal para fie in = 0)

car. 6) DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON 107

Dieb normal

Media #
Varianza E
Desviación exar | =

La distribución normal anterior con media a y varianza la designamos por
N)

Si hacemos la sustitución £= (2-1) en la formula de Nc) obtenemos la distribucion 0 curva
normal estándar

EL
9 = Lem
# = =
son media = y varianza of = 1. La gráfica de sta disibución apace eo, Obseramos que

sara a ea el dren bajo la curva es 68.2%; y para «2142 el ren bajo la curva es 95.4%.

Disribuién normal NO. D)

La tabla de la página 111 da el área bajo la curva no
de 1. La simetra de la curva alrededor de 1 = 0 nos per
problema 6.14).

‘Ahora sea X una variable aleatoria continua con distribución normal; con frecuencia decimos que
esa daria normalmente, Calculamos la probabilidad de que X caiga etre a yd, desinad por
PA EX 20), como sigue. Primero pasamos a y b a unidades estándar

(ney = ne

sal estindar entre 1 = 0 y valores positivos
ite obtener el área entre dos valores de (ver

respectivamente. Entonces,
Plex X<d) = Pl <X*<0)
= Area bajo la curva normal estándar entre a! y 6

‘Aqui X* es la variable aenora estandarizada (vr página 79) que corresponde a X y, por lato, X"
tiene distribución normal estándar. MO, 1).

108 DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON ware

APROXIMACION NORMAL A LA DISTRIBUCION BINOMIAL.
TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE

La distribución binomial PIk) = BE: np) se aproxima estrechamente a la distribución normal
proveyendo un m grande y nip ni q próximos a cero. Esta propiedad se indica en el diagrama siguiente
onde escogimos la distribución binomial correspondiente a n = 8 y P = 4 = à

rene CET
rw ||| | oe Le] S| |

isbn binomial om m = À 9

He

Comparación de ls disribcione binomial y normal

La propiedad anterior de la distribución normal se generaliza en el teorema central del limite que
viene en seguida. La prueba de este teorema cae fuera del alcance de este texto,

Toorema central del imite 64: Scan Xi, Xa, una sucsón de variables aleatorias indepen-
mes con la misma dstibucion ce media») Varianza ©
+ 2. et
A Vis
Entones para un intevalo (a=),
Pa<2a<b) = POSE)

donde $ es la distribución normal estándar.

Recordamos que amamos Sa = (Xs + X + +++ + Xq)/n la media muestral delas varia
bles aleatorias An... Ka, Asi Zy en el teorema anterior esla media muestral estandarizada. Ha
blando en términos generales, el teorema central del límite dice que en una sucesión de pruebas repe~
das la media muestral estandarizada se aproxima a la curva normal estándar según que el número de
pruebas aumente.

DISTRIBUCION DE POISSON
La distribución de Poison se deine como sive:
pika) = EP, k= 012...

onde À > 0 es una constame. Esta distribución infinita contable se presenta en muchos fenómenos
auras, tales como el número de lamadas telefónicas por miruto en un tblero de disribucón, el
‘nimero de eratas por página en un texto grande, y el número de partículas « emitidas por una su
Se muestran algunos diagramas de la distribución de Poisson para dr

ferentes valores de À

care DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON 109

Dissen de Poison para valores escogidos de À

Propiedades de la distribución de Poisson:

Teorema 65: Distribución de Poison

Desviación estar

À pesar de que la distribución de Poison tiene interés independiente, también nos proporciona
una ayrouimacion notable ala distribución binomial para un k pequeño, establecido que p sea pequeño

SA E mp (ver problema 6.27). Est se indica en la tabla siguiente
E 0 à 2 3 a 5
eau Joss | osm [ons | oosio | ao | 000
run ous [ose [ous [own [avis | conor
Comparación de las doubles binomial y de Poison
Garn 100, p= 1/100 y X= op =

DISTRIBUCION MULTINOMIAL
La distribución binomial se generaliza como sigue. Supóngase que el espacio muestral de un ex-

perimento se divide en, digamos, s sucesos mutuamente exclusivos An Ar, .... as con probabiidar
Jee especias pa, pas «à pa: (Por consiguiente pi + pis ++ pa = L) Eon:
‘Teorema 6.6: En n pruebas respectivas la probabilidad de que 41 suceda Kı veces, Az suceda La ver

des...» Y Ae suceda ke veces es igual

ar
onde eH

Los números anteriores forman la tan nombrada distribución multinomial puesto que son pres
samente Is 1erminos del desarrollo de (ps + po + +++ + Pad": Obsérvese que si s = 2, entono=t
Sptenemos la distribución binomial, discutida al principio del capítulo,

empl 64 Un dao crime se laca 8 es. La probada e obte Indo y os vecs cda un des

a) BP EEE = de — 0006

No DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON care
Table 6
ORDENADAS DE LA CURVA NORMAL ESTANDAR

Tabla de valores ${) de la distribución
normal estándar $ para 130 en intervalos N
de 001 so)

Ej mn De 5 D
00 [ose 03089 03089 0.3088 03986 | 0,3964 03982 0% user 03018
ox [osro 03085 0.3061 03956 03051 | 0.3045 oa oma 02 0.9018
02 Joss oo om 0385 03876 | 0.3857 03667 OT 038% 088%
03 [og 03602 own os ons | osm2 037% OS oamı2 02097
04 [03683 03688 0.3653 03687 03621 | 0.3605 03589 03612 03665 08508
os Joss 03508 0.3185 03467 osus | 0.5429 03410 os oa os
08 Joss 03912 om oo 0.9951 | 0.9250 oan Omer 08166 ost
07 [ose os os 03056 0.3034 | os 02980 02066 0248 022
os |ozs97 02874 02850 0.2827 0280 | 0.2760 0.2758 or 02709 02685
os [oi 02687 0288 02589 02565 | 02541 0256 0292 02408 0244
10 [om oz om oasır ozse | oz ose oi or ass
11 Joss 02165 ozısı 02107 020683 |o omas O2 0198 alas
12 [ois 01010 01605 0182 08D | 01825 01804 01781 OS 176
1a [one ox60 0108 oder 462s | 010m 01688 01661 0169 01618
14 fous oars O6 01485 omis | 013% 01874 Gi OM 01816
15 |ouss 1er 01261 ous ouno |o1200 ons ons os omer
16 [ouo 01002 01078 01057 01040 | 010% 01006 00880 oa 00957
12 [ooo 09825 00009 ao ours | oases ans 00818 0.0808
18 [oomo oorıs ors oous oo | oorzı 00707 00081 0.0060
19 [os one Oase 00620 0060 | 00506 00584 Dose 00561
20 | 00510 00529 oosi9 ass oases | ans 008 00150 o,0440
21 [oouo oo oo os omo: | ous 0087 vom 0853
22 | 00355 our oem oow2 owws | or como 00297 0.0380
23 [00288 ao ooo oo ous | ous vois (3.0235 0.0329
24 [oo 0029 oozis oo uns | oorws voi 008 0.0180

Oum cor: or oows ous | 00154 00151 00147 00148 00199

00136 00182 00129 00125 oo | cous oi ous Dome 0007

0.0104 0.0101 0.0089 0005 0.0088 | 0001 0.0085 00086 0.0084 0.0081

00079 00077 0.0075 0.0075 0.0071 | 00088 00067 00066 0.0068 0.061

00060 0006 00056 00055 0.0053 | 0.0051 0.0050 0.0048 0047 00046
30 [aos om ome oma ose | 0.0038 00037 0.0085 00035 0.0034
si [oons ome mes conso 0002 | cotes 0087 00% omas 0008
32 [ous cones ome 0008 mem | 00089 0002000019 00018 00018
33 [0.0017 00017 0.0016 oo oo | 0001 oma Oo O0 00013
34 [0.0012 00012 oo 0.0011 open | 00010 00010 0.0010 0000 os
as | 00009 0008 0.0008 0.0008 0.008 | 0.0007 or 00007 mer 00006
38 | 00008 00008 00006 09006 00005 | 0006 0.0005 00005 00005 0.0004,
37 [00004 00004 0004 0.0004 0004 | 0.0004 0005 as 00003 0.0008.
38 [00003 ones 0008 00003 os | 0002 oo? az «or 0.0002
39 [ooo 0002 0.0002 ao» oowz | mo» 0.0002 0000 000 0.0001
POETA 5 6 Eu 2

car a

DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON

m

AREAS BAJO LA CURVA NORMAL ESTANDAR

Tabla de áreas bajo la distribución nor-

mal estándar $ entre O y 120 en intervalos
de 001

MER 5 A
vo [con oo om own 00160 | 00199 0029 os cos 00
01 [0008 00438 00m 00517 oo | 005% 00616 097% 0074 001%
92 [oros oo o.0sr 00810 oo |o087 ons 0104 O0 otal
03 fou 04217 01286 0.1208 ossi |o1068 OS ME 018 0x7
da [0.1664 0.1691 01628 01654 01700 | 0173 om 01808 18a aaa
95 [01016 01960 0.1885 oo 02054 | 0.2008 ons or oo az
05 |02208 oz om 0267 0280 | nm 024 OMR 02518 02549
07 Jozso one oz 02518 0204 | oor Om ose os 026
98 [or 02910 uns 02067 9.2076 |odozs oÑ0st oa mais oa
09 [0.3150 ones ons os os | 0389 0315 O.640 005 03389
10 Joss ous ose ages 0.3508 | 0.3581 nasse os age oe
it lose 03605 0.3586 03708 om [oso var 0.8790 0380 dam
32 loss 03009 06888 0.3907 03925 [os 03062 masse 08987 04016
3 [0.002 0.4000 006 0.4062 0.409 | aus ote var oa
4 [ous 0.4207 ou 0.4236 out | 0.4968 0470 04806 04319
16 [04082 04945 0.4857 ous 0408 | mama oases oie o4 oa
16 [ous 0.4468 our ous 0.4495 | 0.4505 04815 04825 04535 ASKS
17 [0.4554 0.4564 0.4578 0.4582 0.4501 | 004599 04608 Minis 04625 01633
18 [0m 04649 0.486 usée 04071 | nes 04086 0.4603 04099 0.4700
Ys Joris orme ours arse ours | mama umo o4mé ot O4ToT
20 Jour om ous 0.4788 mama | 0.4708 0.4908 0.4808 0.4812 04817
21 [0.482 ans 0480 ode ous | ovtei2 Ou Oo OA 4657
22 [0.4801 0.4864 0.4898 0.4871 0.4875 | om oası OA O47 ode
28 [04803 0406 0.4998 0.4901 0.4904 | 0.4008 0,4009 oa mas 04916
24 [0.018 0.4020 0.4922 0.49% 04027 | 0.4029 0.4081 0.4032 ma Das
25 jose 04940 0.4861 0.4043 Das [04045 04048 oo 04061 0.4952
26 one 0.4955 0.4955 0.4987 0.4050 | 0.4960 oui 04062 oda 04004
a7 [0.005 unes 0.4067 0.4968 0,4069 | am oon 042 04978 oder
28 [ours Oum 0,4976 04977 oo | 0.4978 oa 0.4978 04660 cast
29 Joss 04882 0.4982 0.4983 DAB | oué 0.085 0,4985 0.4988 0486
30 Jouer 0.4987 0.4987 0.4088 0.4088 | cu Ode 0.4989 0.4990 0.4900
sa [0400 over 0.4801 04001 0.4992 | cz ou 0.4092 04093 0.4995.
32 fome os os o.4o04 ous |cu ou 0.4805 04095

33 Joss 0.005 0.4895 0.4000 01406 | case odems 0.4090 our
34 [04007 04097 0.4997 0.4997 0.4097 | Laer oder 04007 0.4097 Das
as [0.008 0.4998 0.4998 0.4988 0.4008 | 0,0008 0.4998 0.408 0.4998 0.4008
36 [0.4998 04998 0.4998 0.4999 0.4900 | 0.4009 0.4900 0.4999 mama out
37 Jose 04909 on 0.4009 0.4999 | (409 04909 0.1008 0400 odios
38 [0.4099 04999 0.4999 0.4998 0.4000 | ciao 040909 0.4099 Dam ous
39 [0.5000 05000 0.500 05000 0.8000 | 0.5000 0.5000 0.8000 0.5000 05000
AE 5 aa

112 DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL. Y DE POISSON cars

VALORES DE ex

A] 700 a 0 0 as 6 or 0

2 | 1000 0.905 om om mem | oor os as ous on

A NOR 5 7 8 » 10

e [0x6 ons oows 018s opera [omis 0000912 cos 0.000128 uno,
=

Problemas resueltos
DISTRIBUCION BINOMIAL
6.1. Hallar () 85,9), (1) 28: 6,9), (ii) 5(8:4,3).
Aquí B(k5m,p) = (par donde p+q = 1.

©. esp Du =
CCE te
ep = EHO) PO = de

62. Una moneda corriente se lanza tres veces. Hallar la probat
(i) dos caras,

Método 1. Se ohne el spa quiprbabl int de cho elementos:
S = (HAN, HHT, HTH, HIT, THE, THT, TIM, TTT)

(©) Tres caras (HHH aparecen una vez solamente ete las ocho puntos mucins: se. P= 4

ad P de que salgan, (i) tres caras

(©) oscars aparecen ves (HIT. HTHYTHA ose P= §
(6) Una cra pare vecs HTT, THT y Tí sea, P=
Naar. ere él (FFT ore soler na ern. P=
Beide 2 Unt treme 64 on à = 3 y pg md

D ai RER y P= ap GA = Lei =
(aqi k=2 y P= 48:89) OO
Gi Aq #1 y PP OGG? =
Ge) Agi k=0 y P = 80:89 = Bang = 114

63. El equipo 4 tiene 3 de probabilidad de ganar cuando juega. Si A juega 4 partidos, halla la
probabilidad de que A gane, (i) dos partidos, (i) un partido por lo menos. (ii) más de la mitad:
de los juegos.

Ai n=4,p

ay
© pe neo = 62:4.9) = ORG = E

caro DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON 113

64.

68.

66.

67.

la probablidad de que À per odos os cut prior. Entonces 1 gt
La probabiiad de ganar por lo menos un pario.

(i) Ama más tea mind des paros Agana 364 parton

PO veias) + PA ris) = (YMG) + CAD

Una familia tiene 6 hijos. Hallar la probabilidad P de que sean, () 3 niños y 3 niñas, Gi) menos
niños que niñas. Suponer que Ia probabilidad de que un hijo en articular sea niño es 4.

Porno rey png = à
Po niños =P GP ==
Gay menti que nis shy 0,1 62 niños. Por tato

P= POsitos) + Pido) + Amos) = DF + OA GI Y

or

¿Cuántos dados se deben lanzar para que la probabilidad de sacar un ses sea mayor?

ad de no conseguir un seis con m dados s ($. Por amo buscamos el menos para cual (Qu e

ie a

O se que ine que lanzar 4 dedos

La probabilidad de que un hombre pegue en el blanco es 4. (i) Si dispara 7 veces, ¿eu e la pro:
babilidad P de que dos veces por Io menos pegue al blanco? (i) ¿Cuántas veces tiene que dispa-
rar para que la probabilidad de pegar por lo menos una vez sea mayor que 4 ?

© Buscamos la suma de pebaiidudes ara Æ = 2, 3.4, 5,67. Es más simplen ste caso hallar la soma dels

probabilidades ara A = 0 y 1, osea, singin acen o | acto y ego retar eto de.
ower

Poiogin sis) = (YF = BE, PU ace

Emosces P = 1~ gi HE

9) La prob de no pegar enel Blanco cs 9, Por amo buscamos el menor n paa cual 93 esmmnor que 1 —
he donde g— 1 =p = À Eo Portanoclelamos ote sucias seq hs abone. 41 € Y

Wett WMA Wehch m ERE

En rames tene que diparar 4 veces

Probar el teorem 6.1: La probabilidad de 4 éxitos exactamente en n pruebas repetidas es
Dll) = Grr ars.

1 espacio muestral de as pcs reptidas consta de tds las mupls ordenadas cuyas omporetes son o.
(ts) Jess, E seno A de À Exts consta de toas ls muni da hale componerin 3081) ls tas
‘ot componentes on número de» aps en el eno 4 ex gl al numero de manera en que lt onde dí
Cease entre ba componen de un mapa: oa que ont de (2) panos metal. Put que a probabil
ad de cata punto de Aes pg, tem PLA) = (Ea

na DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON ear. 6

iön binomial. b(k: m. p). En-

= van.

9 Usando 60k: mm) = GDR ATH, obtenemos

so) = Seine = Street

soap 3 =

PA a

(eo conideramos el imino 4 = 0 puesto que su valor e xo, y Tatorizamos np en cada término). Hacemos
AX Y ena soma ateo. Cuando A recreos valores ams econ los les am A

am

SE) = Bar prete = m Men = mp

Br = eto sat = à

GG) Calme primero EUX:

Hacemos de nuevo 3 = K— 1 y obtenemos

(w=)
Hi

20 = Hero

A ny Steen Bern
ee on
a ae ae

E) = npinp+ a) = mt + nm

y vr 60 = BE) = = (an + ape (© mon

Asie teorema queda probate

69. Determinar el número esperado de niños de una familia con hijos, suponiendo la distribución del
sexo igualmente probable. ¿Cuál es la probabilidad de que el número esperado de niños suceda?

EL número espera de niños es E = np = 8 24 = 4 La probada de quel fami sena costo ios es

M8 = Daran = Han = E = on

6.10, La probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea defectuoso es 0.02. Un ex
mento de 10.000 arcos se envía a sus almacenes Hallar el número esperado E de artículos de
fectuosos yla desviación estándar w

E = np = (10.000)0.02) = 200.
+= Vane = VO SONO) = VISE = 14.

car 6 DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON ns

DISTRIBUCION NORMAL

6.11. La media y la desviación estándar de un examen son 74 y 12 respect
‘dos en unidades estándar de los estudiantes que recibieron notas, (

jene, Hallar los resulta
(i) 74, (i) 86, Gv) 92.

Pen

am 10

6.12, En relación con el problema precedente, hallar las notas que corresponden a resultados estándar
(0 —1, Gi) 0.5, (i) 1.25, Gv) LS.

oe
@ =

tte = ONDE = 2 Gi) =

nos +74 =

tn = 09029 +74

ote nun = 06

D il te

6.13. Sea ¢ la distribución normal estándar. Hallar $(0) para, () = 1,63, (i) r = 0,5, Gi
= 208.

Eau ubla 61. buscar hacia ajo en a columna primers Rasa Hear al demenn LG. Lugo continua aa dere
ha hasta I coloma 3. El elemento hallado es 0,1097. Por comune $. 6) = 0.057

Gor simeia, 8-28) = $60.78) = 0301
9 46-208) = el) = 00459

6.14. Sea X una variable aleatoria con distribución estándar $. Hallar:
@ PO<x=10) © FCImAX<
(i) PCon<x<0 (wi) PR 113
Gi) PCINSX<200 (ei) P(X]=05
(Y) POS =X <126

(OX 2142 es igual al ra bajo a cara norma es
{dat nt Oy 1.2, Osea qu enla aba 62, basa a
<a abajo en la primera column hat Hear à LA y lego
Scotia as dera ana columna 2. El dement es e
Dum, Por conigiente, PON EL) = 0422

Por sme,
rome x20
= PO x 407 = 0268 ee

mm 137x200)
Em unaxeo en

209
= 02187 4m 00025

5

16 DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON ap.

(9 mass ex 1.26)

= POSN=129 PO=X 2089
= 03962 0202 ~ 0.180

wm mane oi
= Post =n <1)
= PO =x 21m rex e059
= 04093 2084 = 0259

m \

DATE
= PERD POS KD,
= 03000-03708 = 01292

(a) PNT #03)
= mas 24205)
= M02 x 205)
= 20,1915) 0300

=)

6.15, Sea X una variable aleatoria son distribucibn normal estándar 4. Determinar el valor de si
(0 PO=X=1) = 0.4236, (i) PLX=1) = 0.7967, (ii) P= X =D) = 0.1000.

(En a taba 62, pi IN. elemente 0426 aparece
ata derch de a fit LA bajo la columna 3. Por tant
Dar

>

Li) Obsnese primero que debe er postive puesto que la
probabilidades mayor que $. Tenemos

PO=K=0) = KO 4
= 0796-05000 = 0.2967
‘Ask de a tb 62, tenemos = 0

4

i) PO2X 2 = Po=x=y- pusx=n
Oum ou > om

‘Ake abs 62, om 2 1.61 por merle
nie) simplemente 1

b

car. al DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON un

6.16. Supôngase que la temperatura T durante junio está distribuida normalmente con media 69" y
desviación estándar 6°. Hallar la probabilidad p de que la temperatura esté entre 70° y 80°

TO en unidadesstndor = (00 + 68/6 = 03

en unidades sándar— (80 68/6 = 200.

tones
po PTS P= 80) ~ POSA Te = 2)

= Mary er 203)
= 04772 ou 0309
‘Aqui 7 esla variable letra exandariads corcespon:
denen Tas 7 tee dibación normal ctndar $ Y

6.17. Supóngase que las estaturas H de $00 estudiantes están normalmente distribuidas con media
166 pulgadas y desviación estándar 5 pulgadas. Hallar el número N de estudiantes con estatura,
(i) entre 65 y 70 pulgadas, (i) mayor o iguala 6 pies (72 pulgadas).

(0) 65 puntas en eidades extntar = (65 — 60/5 = 020
70 pandas en uidaesestintar = (70 ~ 66/5 = 0,80
Partant,

PS2 HA T0) = DANA = 080)
= 0095 + 02861 = 036%

Entonce = 400.367) 294

(iy 72 poles en unidades etindar = (2 6/5 = 120
Porta,
N= Pa)
= 05000 0.3849 = 01151
00,1151) = 92,

‘Agel 17% esla variable aleatoria csandariada co
respondents a My. por tanto, M* Une decide m
Normal estindar 9

APROXIMACION NORMAL A LA DISTRIBUCION BINOMIAL

6.18. Una moneda corriente se lanza 12 veces. Determinar la probabilidad P de que el número de ca-
as que salgan esté entre 4 y 7 inclusive por medio de, () la distribución binomial (i) la aproxi-
mación normal a Ja distribución binomial

Ga dienméiome = By p= ef
Po cum = CGD
Ps and = (Dara?
Ae caras = (DIG
Chay wa

4

a de ak ae

PO ears)

Por tanto, Pp wem

ns DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON ear

wm

Probabilidad de ccuracia del númeo de caras

Aqui n= ap = 12-4=6 y o=Varg= VIFF = 113. Denmtemos X el número de aras que
sale, Bescamos A X =). Per suponemos que el dato es émmtinuo con in de poder aplicar la aproximación
oral tenemos que ali POS X 2 7.5, como s Inia ene diagrama ateo. Ahora

33 en enidadesestindar = OS — 9/73 = 14.
13 en unas estándar = (75 — 6/173 = 087

Encres pm PUSAN IS
= maids = x= 089)
= 0.068 +030 0230

6.19. Un dado corriente se lanza 180 veces. Hallar la probabilidad P de que el lado 6 salga, () entre
29 y 32 veces inclusive, i) entre 31 y 35 veces inclusive

Auf w= ap = 180-4 = 30 yo = Vang = VOTE
o bape

5. Denstamos X el número de wees que

0) Buscamos AA9= X = 32) 0, supuso el do comino.
PORS = 325) Mora

28.5 n unidades estndar = (243 — 30/8 = 03
32 enunitdes estindar = 023 —30/5 = 05

Por tano,
Pm POS 3X 2325) M03 EX" 208)
= POS ext 20) + er 205)

= 01179 + 0.1915 = 0.3054

( Buscamos PIE X 235) , supuesto el dato comimos, RODS X 355). Ahora
30 en unido estar = (0.5 — 30/8 = 01
38S enuidadesetndar = 105: — 30/5 = 14

Entonces
Pm MOOS A X 2389 = PONE eu)
= ex 1m P02 x" 201) I

= 0643 — a9 ~ 0,345

620. Hallar la probabilidad P de que entre 10.000 dígitos al az

el dígito 3 aparezca 950 veces a lo

Al m2 mp = 10000: y = 1000 y e = VAS = VIUDO TÍ, = 90. Llamenos Xd nine

0 deve que ego 3 ale. Bam PL 2350), Aka

car. 6) DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL ¥ DE POISSON 19

950 en unidas estar = (950 — 1000/20

Porno P= PI = PU 267)
mar en X* 20)
= 0000 04525 = 00075 +

DISTRIBUCION DE POISSON

621,

622

02

Hallar (et, (i) =.

Por a tabl 6.3, pga 112, y ley delos exponents:
9 01 = Me™) — Guen 027.
(8) 2 = (ENE = OOO) = 0089

porta cn de posos ttn) = AE al 1:6 id 92:07

(Usar a ala 63, pin 112. para obtener 2)
@ sen = tee

ana

=

(uy pan NE. BR un

‘Supingase que 300 erratas están distribuidas al azar a lo largo de un libro de 500 páginas. Hallar
ia probabilidad P de que una página dada contenga, (i) 2erratas exactamente, (i) 20 más erratas.

Consideremos número de era de una página como e número dees en una suenió de rt de Bra
Aaui n= 30 puesto que bay 300 cartas, yp = 1/50, proba de que apareca una cra e la página dad,
Peso que pe peque, usamos la proximcion de Poison la dirbuciónEnomial cos A = mp = 04,

Operas
Pt
wre = BORE à ete nos
Pu era) D 000.49 = a
once P= à ROG tera) = 1059 40325 = Az

Surôngase que el 2% de los articulos producidos en una fábrica son defectuosos. Hallar la pr
bahilidad P de que haya 3 artículos defectuosos en una muestra de 100 artículos

Se aplica la debución binomial pars m = 100 y P = 002 Sin embargo, puso que p es pequeño, vamos la
speonmacin ce Posson con À = ap = 2. AS
ges

P= 9:2) = Be

0135/6 = 0109

120 DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON ¡caro

625, Mostrar que la distribución de Poisson p(k: A) es una distribución de probabilidad o sea
Zr) = 1

Por read cocidos a nd a = yyay, Porto,

Er = 3%

6.26, Probar el teorema 6.5: Sea X una variable aleatoria con la distribución de Poisson p(k: A).
Por tanto. () EX) = A y Gi) var (X) = A. De aquí 0, = VX.

(©) Usando ph) = eM, atenemos

zn = Sewn =

(Gesprecamos el érmino Æ = 0 puesto que su valor es cer, yfacorizamos À en ca rig), Seas =
fs sema anei. Cuano k eco ls vale 14 coreo ars US AS

puesto que À pe) = 1 pore protien anterior

6 Primer alulanos AUX}

na Sera Dt

Hacemos de meros = k~ 1 y obtenemos

aa on ney

= Buena = Sons Sen = aa

a en
BD = 2041) = mer

; anciens

‘Asi el otema qula probado.

627. Mostrar que si p es pequeño y n es grande, la distribución binomial se
ción de Poisson; esto es, b(k:n, p) = p(k: A) donde À = np.

Tencmas 0: np) = (1 = (1 Am Tomando logs nat
Im) = mini)
EX desarollo de Taylor del ogrimo atra es

mara =

y. por tat, m(1-2) =

cap. 6) DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON 121

Por tant, im grande,

120; m9)

y aqu 60: p) = e

Aden, sip es may peque y, por consiguiente, y I tenemos

Eno es, imp) = À
Me y por inde 1

D). Ast wsando BO: mp) m 6-3 oenemos Bmp) = RETA, BG mp) =
= ME pasa,

PROBLEMAS VARIOS.

6:28. Las lámparas de colores producidas por una compañía son 50% rojas 30% azules y 20% verdes.
En una muestra de 5 lámparas, hallar la probabilidad P de que 2 sean rojas, | sea verde y 2 sean
azules

Por el corea 66 sobe iii main

6.29. Mostrar que la distribución normal

1) =

<n dibs de pots comimos = 2.

min ow ff tri

Essuficene mostrar que = 1. Tenemos

Ge
an bfle
di o pin el mid = a ya nb = el

630. Probar el teorema 6.3: Sea X una variable aleatoria con distribución normal

uni

KO = 7%

Entonces, () E(X) = u y Gi) var(X) = o Por tanto oy

If” zent tablecendo # = x — obtenemos.
0 a m0 ef, en

ve

DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON ¡caro

zn Ef pena s ima fe
Ve ?- Ve du vie

Lac anio o anne Jt

Be
Go Poe ete, BO = fe de, Tomando de nro 1 = le, nn:
& Bf, = pe ob

ren = meta

use reduce como

moe BUR = #7

Hacemos eta iegracón por pares. Sea a= 1 y dv te Entre v= TR y d= de A

nf tg flee eet

Enconccoccia, BOO) = Pelt et = tt ety
rn = BOR) = = +

Por tato el problema queda pobado

Problemas propuestos

DISTRIBUCION BINOMIAL,

eu

626,

1H; 5.) Th

De un Baraja crime de 52 crass sca y se vela rs vecs una art. Halle la probailidad de ue eu:
‘en 0 de corazones, i res rene, por lo menos ur craie

E promedio de un Year de bol es 0300, Si ates 4 veces ¿ul a prbabidad de que log.) os aio?
{ipa manos un e

{Ua caja cote 3 bolas roi y 2 Blanca. Se ac y remplaza una boo res vcs, Hala probabilidad desa
‘Gt bla ro, i) 2 olas toas, i) por lo menos una ola

equip A tiene 4 de probabil de ganar cundo juga. S ves 4 so, halla
(2 pardos a) or lo menos 1 pario, más de a mae de los pros

Se nca ys usuye una carta de una baraja corte. ¿Cuts veces se tine que repair a opuacón para qu, 6)
a pa na operon gu de sacar un corazon, (il probidad de car un cra sea mayor que 8?

cap. 6) DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON 13

637. La probsbildad de que un hombre pegue en blanco + 4 () S dara S vee, ¿cul sa probabilidad de que pee
e e laos dos veces par lo menos i) ¿Cuts vee debe disparas para qu a probabilidad depear en blanco
ns ez por lo menor sea mayor e 9082

638. El cepetamenie de arte te E Vias re al 5 Gt à UA lc O Ci mi
ede estar por Igual e su cata 0 en I lina. ¿Cuántos crits deben haber cal fi para que cad uno
fangs por lo mens un eric 0% de la voces?

629, 2% de Jos toils producidos por una fia son defectuosos En un despacho de 200 ton, alar el número
esperado de tomos decos y la desviación estada

(640, Un dad crete se lanza 1620 vse. Halla el número esperado de vecs que sale 6 I desición nina

641, Sa X una variable altra de una dich binomial con AUX) = 2yvar(X) =

4/2. alar a distribución de X

642. Considerar I itd ino

a PU = Uk, p- Mostar que

Pay _ Mm) la
q ZEND ke

(Gi) PW) > Pie-1) para k€ + Dp y PU € PU D) para k> (n+ Dp.

DISTRIBUCION NORMAL.
642. Sa $ la disritución normal estándar

© Halar #948) » ed
© Hala al que (a) 600 = 0100, () EIN = 0200, (9 0) = 04500

644 Sen X en variable letra con disribción normal estándar 9. Hallar
0) A081 =X = 119, 6) POS) <X 209, Gi) PA 07) 69 MALLA)

1645. Sea X una variable iria normalmente con meda 8 y desición etidar 4. Haar
@ P6=X=10), Gi) PA0<X<10), (ii) PRI, Go) PES).

1646. Sapóngase que los pesos de 2000 etoiats varones etn ibid normalmente con media 15 ra y desviación
Gsndor 20 leas. Hallr el número de saintes con pesos 6) rire igual a 1 ies, 3) ene 120 130
Mrs entre 190 y 17 as, (9) mayores gales a 20 bras,

647. Sopóngare que lor mers delos tomilsfaricados por una compañía tin distriidos normalmente con media
(028 pulgadas y desviación cdas 0.2 poladas. Se considera deectuss un trio wa diámetro es = 020 pala:
dus 02028. Hala el porcentaje de tonos defectuosos produces po a compañía

648. Supéngne que los puntajes de un examen cun disriuids normalmente con mela 76 y desviación estar 15. El
1 dels Cuit, lor mejore, eben cam 3 10%, os por pierden el curso y reiben ? Hal, (el
pentaj mínimo par paar un (4) y Gi) el puntaje minimo para pros (para no recibi P

APROXIMACION NORMAL A LA DISTRIBUCION BINOMIAL

4649, Una moned oriente se lane 10 ve Hallar La probidad de obtene ente 4 y 7 caras inclusive usando, la is
tabu inomil, 6) la aproximación normal ala ditibació binomial,

650. Una moneda oriente se Iza 40 veces, Hall la pobalidad de que el número de ars que resuena de 200
or 6) más de 0, más 25,

(51. Un dad arte se laa 720 veces. Halla a probabil de ques 6 sala, (etre 10 y 125 veses inte, 40

652, Er 625 gts lavar, alar rabat de que ii 7 alg, () entr 30 60 ess incase ene 0 y
D vec incas

124 DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON (care

653, Hala, De 4 De

St Enlaisrbució de Poison pl: A Hal, () 92: 1.5), A: D), Gi) 70:05)

1686. Supingase que 220 erratas sn disribids a azar otro de un be de 20 página. Hala probabil de que
vna página dada contengs, () niguna eats () | eet, (i) 2 erta, (1) 20 más rate

636. Supsngase que el 1%. delos anis producidos por una máquina so dfetoso, Hallar la probada de gue 3 ©
‘nds aos sea defectos en un muestra de 10.

(657. Sapónguse que el 25 dela población en promedio scan sudor. Halt I probabiiad queen 00 persons haya 3 ©
tres

(658. Supinasse qe en una población de $0000 hay un promedio amade 2 sia. Pata una población de 101000 hallar
la probabilidad de que nun año dado hay, (0,09) 1, 2.9) 2 0 más sia

DISTRIBUCION MULTINOMIAL

(59. Un dado s “ara para que el sala 0.3 veces, lad opuesto sala 0, ve, y cada uno de os demás números sal
ga US veces. Se lanza el dad € vee. alla la probe de que, () cad lado sala na ver) cda no de los
ados 6.5 y 6 sala dos veces,

(644, Una caja comiene 5 bolas je, 3 blancas ral, Se oma un muestra e 6 alas on susi, ca, ada bla e
vive anes de sacar la siguente. Hallar la probabilidad de que, ) 3 sean rojas, 2 Blancas y 1 al i) Zara Fos,
2 blancas y l'a, aparezca 2 de ada clr

Respuestas a los problemas propuestos

OF 05 03

on
432 OHO de DE
en (D 02646, 6) 0759
e ol ag
tos
e 03,005
on. OBL we
os
m.
m.
al 1 z a ‘ 5 @
wu
Me) | eee | warme | murs | sons | corras | vemo | 17

Distribué de Xcon m= 6 y.p= 1/3

CAP. 6) DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON 125

64, () CE) = 03867, 40) = 03821, HD = 03011
(iy (a) = wine. (1 = 2097. (c) no hay valor der.

644. 61 02910 + 0.3708 = 0.4618, (i) 0.4788 —02019 = 0,2769. (il) 0.8000 + 02673 = 0.7673, Gu) 20,087) =
0.978

64S, (D 0.4649, (i) 0.2684, Gi 0.0401, (iv) 02266

646. (6) 6.6) 131, i) 880, (9 24

647, 138

648, 6) 92. (0) 57

1 07734, (i) 0.7718,

650. 6) 0.2938, (iy 0.0108

6.51. 0) 0.6886, (i) 0.0011

682. 6) 0.3518. (i) 0.5131

633. (4) 0,202, Gi) 0,100

654, (6) 0.281, (i 00613, di) 0.0948

655. (1 0.333, di) 0366. Gi 0201. (i) 0,304

656. 0.080

es. 035

658, 6) 00183. fi 00732. Gi) 0.1464, (iv) 03909

69. 6) 0.0109. (i) 000103

640. 6) 0.03. Ki) 0.0810, (in) 00810

Capitulo 7

Cadenas de Markov

INTRODUCCION

Repasemos las definiciones y las propiedades elementales de vectores y matrices que son necesa»
rias para este capitulo

Por un vector u significamos simplemente una n-upla de números

u un)

Las ui se llaman componentes de u. Si todas las uy = 0, entonces u se llama el vector cero. Por un

mäliplo escalar ku de u (donde k es un número real), significamos el vector que se obtiene multiplican:
do las componentes de u por k

du = (ks, us, te)
‘Anotamos que dos vectores son iguales si y sólo si sus componentes correspondientes son iguales
Por una matriz À significamos una ordenación rectangular de números:

5 da en
(ama. Ana
Las m n-uplas horizontales
(an, aia, ...,an), (Gets a, ..., an),

se laman las filas de A, y las n m-uplas verticales

an an
an an
am) Noms am

sus columnas. Nótese que el elemento ay, llamado la posición ÿ. aparece en la ¿ésima fila y jésima
columma. Con frecuencia denotamos esta matriz simplemente por A = (ay)

‘Se dice que una matriz de m filas y n columnas es una matriz m por n, escrita matriz m Xn: si
m =n, entonces se llama matriz cuadrada de orden x (o matriz cuadrada n). También anotamos que
una matriz con una fila solamente puede considerarse como un vector, y viceversa.

‘Ahora supóngase que À y B son dos matrices tales que el número de columnas de A es igual al né
mero de filas de 8. es decir que A es una matriz m x p y B es una matriz p x n. Entonces el pro-
ducto de A y 8. escrito AB, esla matriz m x n cuyo elemento ij se obtiene multiplicando los elemen:
tos de la ¿sima fila de À por los elementos correspondientes de la j-ésima columna de B y luego
sumando:

16

car. CADENAS DE MARKOY m

au ba ER ote Bern
unse un) Ey
donde ds = aby + daby + ee ad = Sandy

Si el número de columnas de À no es igual al número de filas de B,es decir À es mx p y Bes q xn
donde p + q. entonces el producto AB no está definido

Hay casos particulares de multiplicación de matrices que son de interés especial. Si 4 es una ma-
Ari de orden n, entonces podemos formar todas las potencias de À

A=A4, At= Ad}, A= AAS,
“Además, si w es un vector de n componentes, entonces podemos formar el producto
ua

que nuevamente es un vector con n componentes. Llamamos 1 0 un vector fo (0. punto iio) de

es
sacar u ES
= tes) = hu
ao. (A = bes
unen tiie i oe ld de
or
on eee ant au
pu Dee Gore
ba
en
ba 8 a/\3 a, 3 +12 6+16, 15 22,
mee, dc

Bone 14: Come main a (3 À). Es ru = 0,0) sn pit à a

“a = an) memos = om = «

sir torema atrio, lector 2u = (4, —2) también es un punta i de 4

wg) = we-nner-2n = wm
VECTORES PROBABILISTICOS, MATRICES ESTOCASTICAS

Un vector u = (ui. ue) se llama vector de probabilidad si as componentes no son nega-
divas y su suma es I

128 CADENAS DE MARKOV car.7

Ejemplo 75: Comidéene lo etre siguientes:
“= v

Qh y *=4.40p
Entonces
A es
y nos un vector de probabilidad puesto qu la suma de sus compases es mayor que I
sun vector de probabilidad

Ejemplo 76: El vector no nulo y = @ 3,30, 1) noes un veto de probabilidad puesto quel suma de us compo
mets 24 3 + 5 4 0 + 1 = 11, Sin embargo, como las component devon o negativas, y
Ve un kilo clar nico y que sun verde pobabinad ande obtenie mulipicando ca
(a una dels componentes de y por el ehr de la sama de dichas components

ieh

Una matriz cuadrada P = (py) se denomina matriz estocástica si cada una de sus fas es un veo
tor de probabilidad, esto es, si cada elemento de P es no negativo y la suma de los elementos en cada
fila es 1

Ejemplo 7.7: Consens las matrices suene

CS
GH) Go dia

(D noes un matic tocsica puesto que el element de a segunda ay teria column e ne

(i) noes na maiz scie puesto quel suma de os elementos de la segunda lan s 1
(y es un mate oki puesto que cada ila sun vector de probada

Probaremos (ver problema 7.10) el

Teorema 7.2: Si A y B son matrices stocástica, zntonces el producto AB es una matriz estocästica.
“Además, en particular, todas las potencias A" son matrices estocistica.

MATRICES ESTOCASTICAS REGULARES

Ahora definimos una clase importante de matrices estocásticas cuyas propiedades deben ser inves-
tigadas posteriormente.

Definición: Se dice que una mat
PR son positivos.

‘estocistica P es regular si todos los elementos de una potencia

ss

#= ONG) = 69

pot en cada element,

ones I maiz ecke À = G pe.

er

En reunen, cada poten AR tend 1 y Oe I rimes fils por onvgune À no en el

en CADENAS DE MARKOV 129
PUNTOS FIJOS Y MATRICES ESTOCASTICAS REGULARES
Las propiedades fundamentales de las matrices estocásicas regulares se detallan en el teorema

siguiente cuya prueba cae fuera del alcance de este libro.

Teorema 7.3: Sea P una matriz estocástica regular. Entonces:

© P tiene un vector de probabilidad fijo único 1 y sus componentes son todas po
tivas;
(i) la sucesión P. P2, P?, .... de potencias de P se aproxima a la matriz 7 cuyas filas
son cada punto fio
(ii) si p es un vector de probabilidad, entonces la sucesión de veciores pP. pP?. pP?,
se aproxima al punto fijo 4.

ot: Ps aroma à sis que sii de P à nine a net coro
pata e 7p sean qu a 0 nn pn
Rare

tn mm meurs (3 2), ROO EA,

un dos componentes, que podemos denota por t= (| al. tl que 1P=

era) = min

Mundo el ad iqiedo dela ecuación de la matriz anterio, obtenemos

ee:

At | = (14) = (be) vector de probada jo nio de Por el corea 73, la
sucesión 2, ie. $¢aponina ala mare T cos fila son cada er

== Goa)
a ieee
eG) Er)
an) ur (5) (24)
2 (3)
d +0

Método 1. Buscamos un vector de probablidad contes components, que podemos representar por
A gue iP =

lo:

o 1
tuto o
tad

130 CADENAS DE MARKO (car?

Mundo el lado inguierdo de a ecuación de a maiz anterior y colocando ego componentes
corespondens iguales a cata lado, oienemos el sistema

4-4e-iv = = CENT
her © sya 0
ys lay sey a1
Bd vector de probablidd Go ünin de 7

Método 2. Primero buscamos un vector io =

Dee)
(uno o 1) = 6,
4 4 0
Sabems que tema tee una solución no ul: pr comigiente, podemos signa abirariamente
an valora una dels inipntas Estblecemos + = 2. Entonces pr la primera xuaión 4 = I y
pur a ler ecuación p= 2 As = 1.2.2) 65 un pnt Mo de Pr tano, maiplicos
{pr Y pars obtener el vector de probsbiidad To buscado CFE

7.2) de mar

+
mn. fé

CADENAS DE MARKOV

Consideremos ahora una sucesión de pruebas cuyos resultados, o sea, Xs, Xs, .... satisfacen
las dos propiedades siguientes:
Cada resultado pertenece a un conjunto finito de resultados ai, ar. … am! llamado espacio

de estados del sistema; sil resultado de la n-ésima prueba es a, entonces decimos que el sistema
está en estado a, en la ver no en el paso n-ésimo,

(ii) EI resultado de una prucba depende a lo sumo del resultado de la prueba inmediatamente prece-
dente y no de cualquier otro resultado previo; con cada par de estados (ay, ay) se establece la pro-
abilidad py de que a) suceda inmediatamente después de que suceda a,

A un proceso estocástico al, se llama cadena de Markov (Finita). Los números py, llamados proba-
Bilidades de transición. pueden ordenarse en una matriz
Pu pn Dim
p = [Pu pe Dem

amada matriz de transición

Ast. para cada estado a, corresponde la i-sima fla (Po,Pas..-,2m) de la matriz de transi-
ción 2; si el sistema está en estado a, entonces este vector fila representa las probabilidades de todos
los resultados posibles de la prueba siguiente y. por tanto, es un vector de probabilidad. En conse-

“Teorema 7.4: La matriz de transición P de una cadena de Markov es una matriz estocéstica.

cad din. Supóngase que nara toma
alia siguiente eta pub quema.

Ejemplo 7.12: Un hombre 0 maneja su ctr toma el ren paa a ab
‘liven dos da seis: pero mane para
ee de peo como qu tam trem

capaci de estas del sera es 1 (ven). (manga) Exe proces coco es um ca
dens de Markov puesto qe os eultade de un is dependen únicamente del que sued eda
rior La mane de wantin del cadena de Markov

fa

He)

can

Ejemplo 73:

Ejemplo 7.4:

Ejemplo 7.18:

CADENAS DE MARKOV BI

La primeca la dela matric corresponde al eco de que mune fora een dos das seguidos y por
tanto es seguro que manejará al da siguiente de sa el wen. La segunda iad a mur corresponde
a echo de que a la siguiente de manga, manejará o tomarte en on igual probabilidad.

Tres ios A 8 y Ce pasan un tla unos a ts. sempre ra la bola 8 y te sempre la psa a
Ci pero Cpa I ol tan posiblemente a B come ad. Denotemos Xy la ni persons a que se
pas a bol. El espacio de ead dl sitema es 1, B,C. Exa es ana cadera de Markov puesto
quel persona que lanza la bola no et incida por aqua que tra peviament la bola. La

‘has de anión ela cadena de Marko =
ABC

aforo

Blo 0 1

clk 4 9,

La primer fla de la mati corresponde al hecho de que 4 siempre pas I bola a B. La sun:
“ds fa corresponde al hecho e que siempre pasala bola a C La última a corresponde al eco de
ue Cla pasa ad oa Boon probabilidad igual (y nose la pasa al mismo).

Una escura const de 20 idos y 15 nds. Se seleciona un estudie tas to para un examen de
ojos. Dentamos por Xe el sex del smo estudiante que toma el examen. EI espacio de estados dl
prose coco «| m (hombro), mujer). Sn embargo, ste proceso no e na cadena de Mar-
ov puesto que, or cempl, la probabilidad de quel tere persona sea una niña no solamente de-
pende del ra de la segunda proba sna de ambas, la primera yla segunda pres

(Record al rar sujeto sale reltanes) Un hombre et en un punto ner obre e efx ete
origen Oy, por ejemplo, pena 5. Da un paro unidad aa dereca con probabilidad po a aqui
“a con probidad q = 1 —p, a menos que een el origen donde da psoas drehe al pnt |
‘sh esk enel punto done da el pas al iquera al puro 4. Desgnamos A suposición después
den pasos. Seats de una cadena de Markov con espacio de tados. (ap 4 6 6, 6,05) dnde
au sie que el hombre está en el punto. La mar de transición es

eo
& [9 1 0 0 0 0)
fa o» 0.0.0
= ajos 0 » 0 0
loo. ¢ 0 pO
alo 0 0 ¢ 0 p
as \o 0 0 0 1 0

‘Cad fl de a mi, excepto I primer y la tin, corsponde al hecho de que el hombres
muse del estado oy al estado ae con protblidadp retrocede al estado, ayy con probabilidad
= |p. La primera Ml coresponde al echo de que el hombre ene que moverse del estado as al
tado y Y la lia la e estado l sado a

PROBABILIDADES DE TRANSICION SUPERIOR
El elemento py en la matriz de transición P de una cadena de Markov es la probabilidad de que

el sistema camt
dad, denotada por pie

del estado a, al estado a, en un paso: as» aj, Averiguar: ¿Cuál es la probabi
‘de que el sistema cambie del estado a al estado ay en m pasos exactamente:

dames tone

132 CADENAS DE MARKOY CE

El siguiente teorema resuelve la pregunta; aquí los p{ se ordenan en la matriz pvllamada mauris de
transición den pasos:

Teorema 7.5: Seu P la matriz de transición de un proceso de cadena de Markov. Entonces la matriz
de transición den pasos es igual a la n-ésima potencia de P; esto es Pi = Pr.

‘Ahora supóngase que después de un tiempo arbitrario, la probabilidad de que el sistema esté en
estado au «s pu: denotamos estas probabilidades por el vector de probabilidad p = (pr pa … Pa)
{que se denomina distribución de probabilidad del sistema para tal tiempo. En particular, denotaremos
ES PO (AO BO)

la distribución de probabilidad inicial, o sea la distribución cuando el proceso comienza, y denotaremos
por

B= GP vay

la distribución de probabilidad de paso n-ésimo, o sea la distribución después de los primeros n pasos.
Aplicamos el siguiente teorema,

"Teorema 7.6: Sea Pla matriz de transición de un proceso de cadena de Markov. Si p = (pı) esla dis-
tribución de probabilidad del sistema para un tiempo arbitrario, entonces pP esla dis-
rribución de probabilidad del sistema un paso más tarde y pP" es la distribución de pro-
babilidad del sistema n pasos más tarde. En particular,

pi = POP, p®

, p= popa

=
ke)

Aa sel sado de tomar cl en par ira ebay del de manar pra ir a aba. Por jme

wi
FEW) te
m =
x =- (90) - Ga)
poe de ue em cae ee lo ee a
Pele ei peo Er ee
RE PP Meere
rua adopts a En aa mr p= (Bo) adc de pomo
‘andi Eaves

m= vom anti) -

+ la Bricht de roadie después de 4 ds, ose = Hy 70 =

Eole 7.17: Contre a cadens de Marto del ejemplo 713 caya mari deans es
ABC

aforo
P = 80 0:
c\k + 9)

can CADENAS DE MARKOV 133

‘Suplnane que C fu la primera peon con ol, et ep) (0,0, 1) ea die de
Probab ini. Exons

o10
29 = pop = omo 1) = 440
Eo)
jo ol
em = pr = Gyolo o 1] = 04p
4 0,
oo
oo = pr = Ole 01) = GED
aay

Por tanto, después de es pases Ia robbiiad de

A tenga la bla s $, ue tenga I bola
es Ey de que el doc Je PE = à nf

Shy 9 =;

Ejemplo 718 Coste e problem del psc cal del roblema 715. péage que el hombre comin ene
pato 2 halla ic de pobablnd despues de 3 pos y después de 4 pss, to e pi y

Fr
Alora p= 0,0,1,0,0,0) ela ibn de proba ini Entonces
PD = POP = 0,4,0,7,0,0)
PD = POP = (¢,0,276,0, 34,0)

pa = BOP = (0, + 299% 0, Ste 0,99)
BO = BOP = (rer

Así pus de 4 pasos el hombre et enel rien con probada + 290%.

DISTRIBUCION ESTACIONARIA DE CADENAS DE MARKOV REGULARES

Sopóngase que una cadena de Markov es regular, esto e, que su matiz de transición Pes regular
Por el teorema 7. la sucesión de las matrices de transición P* den pass se aproxima a la matri Tew.
yas ls son cada una el vector de probabilidad fj único 1 de P por consiguiente, la probabilidad p>
de que ay suceda paran suficientemente grande es independiente del estado original ay e aproxima a
la component 1, de En otras palabras,

Teorema 7.7: Considérese que la matriz de transición P de una cadena de Markov e regular. Enton-
ces, a la larga, la probabilidad de que un estado a, suceda es igual aproximadamente a
la componente 1, del vector de probabilidad fijo único 1 de P

‘Asi, vemos que el efecto del estado inicial o de la distribución de probabilidad inicial del proceso
desaparece a medida que el número de pasos del proceso aumentan. Además, cada sucesión de distri»
buciones de probabilidad se aproxima al vector de probabilidad fijo 1 de P, llamado la distribución es-
tacionaria de la cadena de Markov.

Emi 7.18: Canin el roces de cadena de Marko del el 712 aya mati eran «e
.a

36)

134

CADENAS DE MARKOV ear

‘Seyin ejemplo 7.10 el vector de probabilidad jo ico de la matiz anterior es fo): Por con

larga, el hombre tomará el ren de las ec. y mangé ou 3 dl emp.

Ejemplo 720: Considers el proceso de cadens de Markov dl ejemplo 7.13 saya mara de transición es

Por el ejemplo 7.1, el vector de prbabid Go nico de a mn
Targa lanza ola 20% els veces By CAD de las ve.

ABC

Afo 1 0
p= Bloc
co

anterior © Gp Bs D Asa la

ESTADOS ABSORBENTES

Un estado ay de una cadena de Markov se llama absorbente si el sistema permanece en el esta-
do as una vez que entra en él, Así. un estado a, es absorbentes y sólo si la fla ¿sima de la matriz de
transición P tiene un I en la diagonal principal y ceros en las demás partes. (La diagonal principal de

‘ma matriz cuadrada de orden n A = (ay) consta de los elementos ais, am,

am)

Ejemplo 721: Sopóngase que a siguen mai sa matiz de ansich de una cadena de Marko:

Eile 722:

emp

ES
a Bole à
fo Ho 0 0
Poa alt 0 + do
alo 1 6 0 0
as No 0 0 0 i
Los etados ap y au son caía un absorbency, puesto que cada una dela segunda y quinta fas

‘iene un Len la diagonal pricipal,

(Recor al azar con señales absorbentes) Consideremos problema del paco del ejemplo 7.15, ex
(0 que ahora suponemos que el hombre permanece en uno dels os eutemes cando lea all
Eto también es una cadena de Marko y la mari de transición exh da por

A
« jo 0 0 0 0
afe os 00e

PAU ONE ee
{oo ¢ 0 po
ale oo so,
“No 0 0 0 0 ii

A este proceso fo lamames un recordo al za con sales absorbentes. Ence cto, pf de
pola robaba que el hombre Tegel estado a ene pao amo sans Simarmene, pf
denota probailiad que Negu al estado 0 en ei paso mime © ants,

‘Un jupadortene x lars. Apuesta un dla cada vez y ana con probabilidad py pede con proba
dad q = 1 —p. Eljuego termina cando pierda todos dies, o sea, ena soars, und ga
me M x lares, sto e. tenga N late Este uo es etc al del erro a

precedente excepto qu aquí os obniculos abiobenes os 03 M

car.) CADENAS DE MARKOV 135

Ejemplo 724: Un home lanza van mone cee hasta cuand aan 3 caresses. E la prueba sims,
tomamos Xn = sel lime slo cute na pura (m sea da denota i merge
ras que emana con la pruta ndima. Esto un procesa de cadena de Marko cn un pac de

¿tados Laon a), donde e reeset la lad cars co logia La mr de racine
ou
al 400
aly ogo
aly 0 0 4
alo 0 0

Cada fi, excepto lima, corresponde al ech de que na
un sl 0 aumena unos sale cra. La última inca corresponds
tenes Cro sal. Notre quee, € an ao sorbate

de cars ve intr sale

‘Sea a, un estado absorbente de una cadena de Markov con matriz de transición P. Entonces, para
J x, la probabilidad de transición de paso n es pg? = 0 para cada n, En consecuencia, cada potencia
de P tene un elemento cero y. por tanto, P no es regular. Ast

“Teorema 7.8: Si una matriz estocástica P tiene un 1 en la diagonal principal, entonces P no es regul
(a menos que P sea una matriz 1 X 1)

Problemas resueltos

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

1 3-1
= [0 2 5). Hallrua.
4 16

I podi dl vet on componen ar la matiz 43% 3 dé micro un pco con 3 componentes: Pra
‘obtener I primera componente deu. mulipliamos los lement depor o elementos correspondiente ela prime:

ms —
mo 2 5 arten, = 0m)
| (eg

Para obtener a segunda component de ua, mullicamos Is elementos de pr los elementos corresponde de
segunda coloma de yee somamos

Par ober a tee componente de u: muliglcamos ls ements de u or los cementos correspondiente de la
Pop
(meme 2 le) = ansrcnseassss = ana
a. :

oo wa = ans

136 CADENAS DE MARKOV canal

aa = (2 94). Hallar. () 48.
ase amp) à (21) o

© es que Aes 2362 y B es 2% 3, el prod 48 e wa mars 2 X 2. Par obtener primera la de A.
‘lice lo elementos dela primera inde (1 3) de À par os mentos corespondenes decada uaa de as

comm (Sr
UT

fase

) BA.

RARE ee OR)

Para biene segunda fila de AB, muiplicamos lox lement de I egnda fl 2,1) de À por ls elementos
Garonne de da una de ls columnas de By lego sumamos:

(E)

(essen morena moreno) = (1 ae
z a= (ti)

m Nixes que Bos 2% 3 y A 22, Puesto ques “nm interiors” y 2 no son gules, to ee nero
de columns de 8 0 sul al número de fils eA y. por at, el producto BA 0 su defido

73. Sea À

a w= a = (| Go)

D faites rra Y >
areca area) © (es 1,

(G5)

(emo oa
Toreo es a

añ

CET

an 2
D + Henn, oe,

VECTORES PROBABILISTICOS Y MATRICES ESTOCASTICAS
7.4. ¿Cuáles vectores son vectores de probabilidad?
()u= (0-844), (D = (4,0449, (Hi) w = 40,049).
‘Un veto es un vector de robaba sus componentes no sn negativas y su suma s 1
(0) uo es un eco de probabiidad puso que tercera componente cs neat.
(i) vo eu vector de robe puesto quel suma dels componentes es mayor que
lin) we un va de probabilidad puso que las componentes no son nets y su sumas

7.5. Muluplicar cada vector por el escalar apropiado para formar un vector de probabilidad:
(1) (2,1,0,2,8), (i) (4,0,1,2,0,5), (ii) (8, 0,-2.1), (iv) (0,0, 0, 0,0).

(La suma de as componenteses 2 +1 #04 3 4 2 = portamo, mlipicamos el vector, o se, cada compo
obtener vector de probabiiad (4, Oss De

en

16.

71.

18.

19.

CADENAS DE MARKOV Er

(La sam das compas 4 + 04 1 22 04.5 = 13 por tio, muipkames vor e. cada
components ory para otr ver de prota (6h 6
(5) La mime component pr ec eat por a, ingle mpi veto ar e

«la pra formar un vector con components no nanas Por comen, gun mille aa dl air
Sun Vector de probabilidad

(6) Todo mio salar dl ver cer sel vector cr ya componentes uma O Por tanto, inn min de

Hallar un múltiplo de cada vector que sea un vector de probabilidad

() (4,4,0,2,8), (ii) (0,4, 1,8, 8).
Fs ada uso mans print cla eo or naar para qe as ace ein.

| Mutiicamos prince eo par 6 ara beer 4,0 2,5 Lago muliplkames or 1/0 +4 04
45) = epa oben (o JJ), que cu ei pst.

(©) Motipicanos primero ever par 0 para eg 02, 30, 18 25) Leg mulas pu 1/0 + 20 +
20 itr 25) = q a bte (0,8, BB) qu sen sur de pm

¿Cuáles de las matrices siguientes son matrices estocásticas?

ac)

© 4 no es una matiz estochsic puesto que no es una matriz ctra.
6h 8 noes une matiz toca pes

uma dels componentes dela sis las mayor que
(i) Cs una mati socia
CD noes una matriz socia puesto que met del primera

a segnda cota es neato

fax bs 0

Sea A= [as bs cs) una matriz estocistica y sea u = (ws, 40,4) un vector de probabi
as da €

idad. Demostrar que uA también es un vector de probabilidad.

O)

a ha
PA 2) = 6

ae
Puesto que 11.04 bs y cu son no negativos y pesto que os producto y amas de ners o negtno son 0

cas, las components eu so no negativas como se pea. As solamente necesitamos demostrar qu la sara de
ets des esl. Agel tam hato deque a+ ue nan ARO arth tery RADIO

caja go Ha aby + aba da de mes + ee + He
salas + ben) + wette) + ales De +0)
= witwitwel = a = 1

fobar: Si A = (ay) es una matriz estocástica de orden my u = (ui, ua... us) es un vector
de probabilidad, entonces uA también es un vector de probabilidad.

La prueba similar aa del problema precedente para cao = 3

138 CADENAS DE MARKOV car.

uA = Te) rohen

te
nn on nom + + men)

Puesto que osu yay an m nets Is componentes d u tambn son no negativas. Al solamente ect
ms demostrar au a sma eas componentes dese

pt ea + 22e Han Hana a + mans 00 a À tan tH ne
lan tat te) + alos ta A)
Molle = tate, nl

7.10, Probar el teorema 7.2: Si A y B son matrices estocástica, entonces el producto AB es una matriz
estocástica. Además, en particular, todas las potencias A" son matrices estocästicas
La Sl ééima sy de In mari prodsto AB se oline mulipicando I la ééima rede À por a mati B
44 = 4B. Puesto que cada y San vor de probablidad y 8 e una mati occ, par el problema precedent,
Si cambie venir de probidad. Po copine, 48 e un mat etic

TAX. Probar: Si p = (pr.pn Pas) es un vector de probabilidad, y Tes una matriz cuyas las son

cada una el mismo vector 1 = (01, 2, .-., tm). Entonces pT = 1
Visado elhecho de gue pu + a 49" pm = I tenemos
ee ae

PT = Gyre ne)

44

Gt tat + pat Dita Pala + Pate,

= (tre CRE RSS)
CE CPE

MATRICES ESTOCASTICAS REGULARES Y VECTORES PROBABILISTICOS FIJOS

7.12. Hallar el vector de probablidad Mio de la matriz estotstica regular A E > Hallar a
ud mati se apoxima 4° 44,

4 )
wat) = nn

dd

ee
ee
ee ee
=
en

al $) + teary =

o ee)

4 4

Beth mine

2)

can CADENAS DE MARKOV 139

Den)

(i) Usar el resultado de () para hallar el vector de probabilidad jo único de cada una de las
matrices siguientes:

SoS ian dt for 03
= C à) ae G Y) Fe (v5 0)
or = alt)? = 6-ataate- = Go = »

© Por), w= (3) es en rot Go de A, Muiticamos por par obtener el punto fo 0.2 de À queno tne
facons. Luego mulipicamos 6, 2 por 1/0 +2) = Ÿ para obtener vector de prbabiiad fio único pe-
io (QB
Por () u = (ed) sun punto fod 8. Muliplicamos pr 6 par obtener el pnt fio (4.3, ego mal
cames por 1/6 4 3) = para obtener lector de ruban Fo nico peo (},
Por (u = (8.0.3) es un punto fo de C. Por tanto (8,3) y el vector de probabiidad ($) tambien
som parts fos de C

7.14. Hallar el vector de probabilidad fijo único de la matriz estocásica regular

FRERE
P 104
o 10
Método 1. Bscamos un vector de probabilidad f= (u. 1 xp) al que IP =
aed)
feut-2-0(4 0 4] = tenir

Mutipiamos el ldo irquierdo dela ecuación ela mati anterior e igunlemos unas a tas las components corte
ondes para obtener el ítema de es cion

det
+1
de + ar

operas ds els caciones en xy y par roles y obtener x= fr y y $
ion dey yen aora ecc. Pue que 1 x y= A, velo de prob

dé

o Jets
set oy = 4

ado requerido e

Método 2. Buscamos un ver fou (1.2) de mari 7

aan
male oa) = vo
01 9)

ia el miembro de a ur de la sack dela mar anterior e igulamos vas a ors ls components
rondes pra bene el stem de res cuniones

yet iy e-y=0
fete=y 0 ja- ttle

eth e + 2-42

745.

7.16,

a.

CADENAS DE MARKOV car. 7

Sabemos quee sema tine un solución diferente de er por convie, podemos asignar abiraiamene an va
lora ara dels cogi, Hacemos y = 4 Entonces pr la primera cui x = 4 y pot I teers 2 = 3. Ad
= 4.3) & un punto Ajo de. Malipicamos por 1/44 4 + 3) = ar been 1 = dew

que un nestor de probabil tambien un punto ode?

Hallar el vector de probabilidad jo único dela matriz estocástica regular

0 1 0)
(+4)
o 4 4,

P

Y decir a qué matriz se aproxima P*.

Buscamospimero un vector 9 = (63,2) dla mare

po 1 0
ena 134) um
034

Mutipicamos el miembro del ieguenda del eatin de la maiz anterior e igulamos una à otis components
Ortepundenie purs obtener sistem de es chin

Ki a fines : {ev

wep =e yeaa yaa

Sabemos que el items ene una solución ere de eo
delas meöpntus Haces x 1. Entonces pr la primer
que w= 1.6.3) eur pons Node Puma que 14673
Babi fo ince de Puna,

podemos asignar attainment un valor a un
ión y = 6, yporla lima cación 2 = 3. AU
vector 8 fed ete vector de pre

a)

ee ay

Si €=(4,0,4,4,0) es un punto fijo de una matriz estocástica P, ¿por qué P no es regular?

SP es regalar. entonces, por el ios 7.3, ene un vector de probabidad jo única y las componentes del
‚eco so pstnas Como las components dl sector de probahlad jo dada no son todas postivs, Po puede ser

¿Cuáles de ls matrices estocáticas siguientes son regulares?

FR 444 on
oae(lwse(e unes (s ro me-(t 14
io 015

Haine en que una matiz etocáuic es reglar una pte de a maiz iene cementos postves únicas
10) A sepa puesto qua un ela disonal principle la segunda fla,

wre CH) =) = mr
ee

can CADENAS DE MARKOY 141

Gi) Co es regla puesto queen un na agonal cia.

jo. 0 re
wn=lis ña] y B= Ah
4 + 8 à à da

Come odo ox lement D? son pasivos. D rer

CADENAS DE MARKOV

7.18. Los hábitos de estudio de un estudiante son como sigue. Si estudia una noche, está 70% seguro
de no estudiar la noche siguiente, Por otra parte, si no estudia una noche, está 60% seguro de no
estudiar tampoco la noche siguiente. A la larga, ¿con qué frecuencia estudia?

Lon tados de sistema on (de tur) y (de o estudiar). La matiz de anión es

sr
CE)
pero si ae ce el ain rt 11

ayes pont fp de Pya = (iq) sel voto de probablidad buscado. As que la ra lx
Game ad À elas ves.

7.19. Un sicólogo hace los supuesto siguientes que conciernen al comportamiento de ratas sujetas a un
régimen especial de alimentación. Para una prueba particular, 80% de las ratas que cogieron par
Fa la derecha en el experimento previo hicieron lo mismo en esta prueba, y 60% de aquellas que
cogieron para la izquierda en el experimento previo, cogieron para la derecha en esta prueba, Si
50% van a la derecha en la primera prucba, ¿qué se podría predecir para, ( la segunda prueba?
(ip la tercera prueba? Gi) la milésima prueba?

Los estados de sistema 30 R (eet) L ques, La mari de anión e
RL

2 (os 02
A
La darian de praia pra apnea paca 7 = 04.09) Par lar adición d oe
al D et a pd ce mano pl mara de aia Pe

65.09(82 03) = ono»

Por conven, en la segunda procs se epee quee 70 de
Catala distin de robbaidd para Ira pic, m

7.03) (98 92) = 074, 026)
as

atu vayan aa dvecha y 30% al qeda. Para
inca ea sguda prueba par

A nl tercera pcb se pera ue el 7% dea rats se lejana derchn y 20 la quier.

upon qu la dstbución de pobubsidud para la miéima pruta ex ecaimete a distribue de ro
Sere dela cade de Marhon to es, vector de proabliad fp único ela marie de ann F
aa = 06.03) es un puto Bo de Py ast t= (AH) = 075.029 Porat, espa qu
ois pco il 79% elas aa i aa dret y 29% al gie,

142 CADENAS DE MARKOV (car.7

1 0
4 4

(D. Definir y hallar() 29, (1) B®, (ii) ni.

72 Data mad wasn P = (5) con ibn de pot ni pon =

(©) pg esta probabilidad de pasar del estado a lado a en pasos Esto puede obtener de la maiz d an
ión de 3 pasos P por tanto, clalamos primero 2

mG) eG)

Enon pi? lement dla senda la primera columna de Pt: iD =}.

(esta dit de probabilidad del sitema después de e pass. Puede obtenerse clelindosiesvamente

D, D y po 70

ee al J-es
wre (7) 0
wm = er (O) M

Sin embargo, como la mati de train de 3 pasos? y se cal en (D,

«también puede obtenerse como

m= rom = a(t el = dha

(59.9? a probabilidad de que e pros et enel estado a después de paso; est es, la segunda componente
Sir de probablad de 3 pas pi: pO = je

4.00.

CE:
721. Dada la matriz P = |} # 0} y la distribución de probabilidad inicial p@
0 1 9)
Hallar: () PP y PP, Gi) B® y BY, Gi) el vector al cual se aproxima p@P (+) la mat

a que se aproxima P*

(0) Caletamos primero la matiz de rans de 2 pasos

CET #40
m= auolsso) = (144
o 1 0/0 10 440

©, peso que ets números se ein los cementos de

Emos P= 9 y

6) Pas na 0, mms a mai amic e 2 ais Py a dita epi inal th
erde, O aay)

Puso que pes la acera componente de pt), 90

(0. Porelteoema 13. OP» se aponima al et de probabilidad ij nico de. Para ben 1. Ballams pr
‘mero un vector fu = (xy. 2)

car,

722.

723.

n CADENAS DE MARKY 143
oad =e
mali 40] = na. fitiwte=v
0 1 9, de = 2
Hallar na solución no ala del ameirsiema de euacones Hacemos x= hugo para trcera ecuación x = 2,

A e t= GR Eats
ca «Gb

(69. P®seaproximaa la mati Tay ils son cada ura el vector de probabilidad jp de or consiguiente
( 4 )

Popo [3 4 4
Wr

La región de ventas de un vendedor la componen tres ciudades, 4, £ y C. Nunca vende en la misma
ciudad en días seguidos. Si vende en la ciudad A, entonces al día siguiente vende enla ciudad B. Sin
embargo, si vende en una de las dos Bo C, entonces al día siguiente est en doble posiblidad tanto
para vender en A como en la otra ciudad, À la larga, ¿con qué frecuencia vende en cada ciudad?

La mati de ans dl problema s como sie
a

a fo
pose
e\ ro
buscamos veo de probidad jo aio dela mati Ham primero un et u = (9.2
pro Weise
afi od) = un oo Jets
+0 wee
Hacemos à = 1, Leggo or a tees cc y = 3 y por la primera cui x =. Asıu = (4, 3.0.
“También ju = (8,9. 3) un vector de pobalidad fo de P. Muhipicamos Ju or 1/8 + 9 +3) = a pars

bienes à vr de pobla jo piso 1 = (Be) > Os, 045 DIS) Par comi. al brea
nie 19% emo tat edd 4.49% da po cn By 19 dl emp en C:

one

Hay 2 bolas blancas en una urna À y 3 rojas en otra urna B. A cada paso del proceso se seleccio-
a una bola de cada urna y las dos bolas escogidas se intercambian. Sea el estado ae del sistema
el número / de bolas rojas de la urna A. () Hallar la matriz de transición P. (i) ¿Cuál esla pro-
babilidad de que haya 2 bolas rojas en la urna À después de 3 pasos? (ii) A la larga, ¿cuál es
la probabilidad de que haya 2 bolas rojas en la urna A?

(i) Hay tres sado, on sy as ess elos igramas siguientes
2m) jar| jim) iw) [2e] jew

18] lor 18

a 2 ak ie re

“ ES a

Se sistema sá enel estado a, entonos ten que excogerse una bola blanca de la uma À y una soja dela
ar Ba que el stoma ene que psa lado. En conscucia, la primer ia de la matiz de ann,
0.10

144

CADENAS DE MARKOV ¡carr

Sugngamos quel tema it neta Pade paar al tao a ya se oe ua boa ja
de la uma Ay na Mana del uma Ela probable de que seed so Jr} = À. Apo = dE
‘Scr puedo pasar dl ado a a sl lon una Bla Mara de tra Ay ua sj de ara
Brie road de que sone esto Def =}. Al Pa =f En cosida, aproba de que
stn pamanam e ado ave = À 44 = fA end a ela a eran
(HD. bere qu p tambien ve ace o dl hd de quel stem prmanen e od a

AE un ol Maca deta ura, cn pot 4+ = $> a Bla oj cata a con ob
hd pa SSL

Ahora supongamos que e ssema est e estado Tine qu cars una bola roja del ura A. Si se cs
una bla rja de la uma, co probabilidad 4. entonces el abra permanece en edo a. y 38 se cope ua
ova Blanc de la ura , con pobailiud 4 entonces a sta pasa a estado a. Nese que el sena munca
pue asar det etado a eto n Asia fi ter de la mari de rane e (, $ Y. Eto a,

“fois
DRE
“bi

(6) astems empier en do a, too, p= (0,0 As

PO = POP = (1,0, DD = POP = Gp, pO = POP =
En conscenc I probbidad de que haya 2 bolas js en laura À spuds de 3 pasos

(i) Buscamos el vector de probabil fo ico dela matiz de tramición Primero Bal un vector ou =
Gone

010 we
vai 3 i = lens) 0 E
044 wei

Hacemos, x = 1 Lupo po la primera ein y = 6 pote Vera such # = 3. Por tates = (16.3.
Malupiquemosu por 1/0 #6 +3) ~ yy para eno, el esto de prota To nico 1 = (08,03)
requerido. As a aga, E de ls ve abr 2 Bolos soja e la ua 4

Nees que ala aga La distribución de probable la misma ques ls cinco bol se nacarın en una
urna y se escogaran 2 a za ara ponerlas es laura À

724. Un jugador tiene $2. Apuesta SÍ cada vez y gana $1 con probabilidad 4. Deja de jugar si pierde

los 52 0 si gana $4. () ¿Cuál es la probabilidad de que pierda su dinero al final de, a lo sumo, 5
juegos? (i ¿Cuál es la probabilidad de que el juego dure más de 7 juegos?

Fo es un recorrido lar co sles absorbent en D y 6 (er cjemplo 722 y 7.23), La mati de tramición es

2... 0 ©

»
sesssss

om dic de pobabdad mica 0 (.0,1,0,0,0,0) eno qu empieza cn 2.

car.) CADENAS DE MARKOV 15

5 Bocanos pla poh de que siena estén cad a ets de pss Caleamon a dich
de road de quin ao 1
HU = POP = 0405000 mo = ar
zo = pOP = (4040400 PO = POP
POP = 4.4000
‘Asif la proba de qt tents dinero ests tone À
Go Callas PD: 7 = POP = (0 0 1.0.8). 1 = 90? = (Lo 0 8}
La probabilidad de que leg dar más 7 jogo, st de qu sema no een ado 260 24
despots de? pur o AAA E

8 fo 9b 09)
Wh de % 0 wD

725. Considérense lanzamientos repetidos de un dado corriente, Sea Xq el máximo de los números
¿que resulten en las n primeras pruebas.
(0) Hallar la matriz de transiciôn P de la cadena de Markov. ¿La matriz es regular?
(i) Hallarp°, la distribución de probabilidad después del primer lanzamiento,
(ii) Hallar p® y pi.
El spi de estados dela cadena de Markov es! 1,2,

6%. La mati de transición es

2
4
4
o
o
o

oo

tenemos. or ejemplo, a era fila de masz como sige. SupSagase que el sta ih e el estado 3.0
ase mimo de or ndmeros que rs ca as primers pruebas s 3. Enanes el siena permanece cn 6
tate 3 slum 128 à sere en apreta (a + 1} por ano Pr = 8. Por tr parte, el sotema ps al sado.

4,566 respecivamene, sun,
ne Puce pasar a estado 1. 2 posto que sl un 3 en un de as ruban de aquí Pas = Par
{Gwe fla dela mati de train e (0,0, Ja de de): Las tas fess bieen simdarmene,

La mati noes regular puso que el estado es aborbene, se, hay un ean diagonal pricipal 6

ceca psc (m 2 parano py = Pa = ae = $ Bema

(i) En a primer lnzamiet dl dado el ead dl te X, sel número que ak por tan,

[272277

wm er hi 7

7.26. Dos niños b y b: y dos niñas g yg: están lanzándose una bola el uno al otro. Cada niño pasa la
bola al otro niño con probabilidad 4 y a cada niña con probabilidad 4. Por otra parte, cada
ria lanza la bola a cada niño con probabilidad 4 y nunca a la otra niña. A la larga, con qué
frecuencia recibe cada uno la bola?

so una cadena de Marko co espacio de estados ba rg y mati de tación.

bo oe
ES
mis ob E
Pom al dh de OP
ali oo,

146, CADENAS DE MARKOV Ce

Buscamos un vector ou = a, de 3, P= (ys smh Hamas ls components correspon:
ets eu? hule au para bene stems

Wet = +
dette =
Jets

ety

hi entonces wann y y ZA am 2.11) y or
cada sido reci la ola Ÿ deat ve y

Bacon u sono dente d uo. Sn
tec a quid Ba eme eee DEAD mae
‘cada miña à de las veces. HE

7.27. Probar el teorema 7.6: Sea P = (py) la matriz de transición de la cadena de Markov. Si p =
(pp) es la distribución de probabilidad del sistema un paso más tarde, esto es, cada k + 1 vez:
entonces pP* es la distribución de probabilidad del sistema n pasos más tarde, esto es, en la
Ke + n vez. En particular, p= pP, p= pOP, ... y también p> = ps,

Suptngue que el espacio de sados es am! La protbida de qee sitema een sado ay enla
ver Ay lego e sado an la vz + 1 6 a product PIP Al pobablded de que lema se estado ay
ere

Da + Pa to tm = À non

i P= (ph pt = PP

Sia emburo. este vector peiamente es el ode del var p = (7) Palm

7.28, Probar el teorema 7.5: Sea P la matriz de transición de una cadena de Markov. Entonces la ma
triz de transición de paso n es igual ala potencia n-éstma de P: P = Ps,

¡Supongamos qu el sema een estado en la sima vz, Bscamos la pobabliad PEM de quee sistema
sé en estado ay en a A + sina vez. Ahora la dhtruiôn de probidad del sitema en a vd, puesto qu dl
sea est en estao a. sl eso =. 0, 1.0.0) que ene un | enla sina posición) esos en ia
‘quer ota pane Pa e problem preedet, la shi de probabihdd cn la À + enna ve o el predio
GP Pro as es la sina Ida dela mar Pr. Por anto. ESP esla componente páxina Gl Ha esa de la
nr Py Po) Po,

PROBLEMAS VARIOS.

7.9. Las probabilidades de transición de una cadena de Markov pueden representarse por un diagra-
ma, llamado diagrama de ransiciôn. donde una probabilidad positiva py es señalada por una
echa del estado a, al estado ay, Hallar la matriz de transición de cada uno de los diagramas de
transición siguientes:

ii Se,
as in

T
w Q

carn CADENAS DE MARKOV. 17

9 Onde primero quel saco de estado s

um,

taeda de 0,2 el compte nm del la Hsin, Enns la mari de Wann

ans

a food
pealiod
ali od

6h espacio de sados (ay e ag La mir de ransció es

a...
ajo aod
_afoicos

pile ak ie
a \o 0 1.9

7.30. Supóngase que la matriz de transición de una cadena de Markov es como sigue

TO
pu v(t doo
al ad
a te

¿La cadena de Markov es regular?

Nice que un ver que el stem pas sl ado 0 al estado oa, entres ane pude paar al estado ay o

sado nu ee ©. Sema permancs e el sb epn de sados ay on As en parllar ip = O, pra coda
‘yep tno. cada potest Pa come un cement cera Se conclue do Po rl
731. Supóngase que m puntos en un círculo se numeran 1. 2... m respectivamente en la di

«contraria a la de las aguja del reloj. Una partícula realiza un “paseo al azar” sobre el círculo;
Se mueve un paso en diceción contraria a la de ls agujas del reloj con probabilidad p o un paso
tn la dirección de las agujas con probabilidad q = 1 —p. Hallar la matriz de transición de esta
cadena de Markov.

FA espacio de estados 611.2... ml El arama del derch que se muestra lugo puede asar para oben

la mari de train del grama puesto la nuera
a ea mimi m

ie Ds pi y 4 emo er
e a O

eerie wees AO Ce a)
alicia 0 © ails erat

= \s o o D wna)

148 CADENAS DE MARKOV

Problemas propuestos

UETPLICACION DE maraices
145

a ua -(s z à)
EE

=
an matt rfi re

a HA SG = C32, OD = 1D,

Sach te

sal mo a(t

E 2 y A,

2

.
zu mal Di

VECTORES PROBABILISTICOS Y MATRICES ESTOCASTICAS
736. ¿Qué vectores son vere epobabidac?
Cda GORE rer

rat a hil scale cda ver qe ss vr de probable
000259 (0 CEO GH ih

re
Gad) BED RC)

sities ESTOASIASAEOULANES Y VECTORS DE rn

a

ES)

aa
740, G) Haare vector de probabited Go icon de P = |} 4 0).
19
O ¿A qu mais aproxima PR? Gi) A qué voor se promu Pe?

LIDAD.

10s

fo 4 41 ea
E
o 10) Y +4,

742 6) Hala el veto de probada fo único; de P =
(id LA qué mate prom PA?
(i) A qué vor ve proie (40,4, PP
(69 (A aut vector se aproxima (4,0,0, JP»?

fear?

car

14,

us.

1 CADENAS DE MARKOV 149

Dado ques = (40,4, 4) se un punto Mo de una mata ecisic PP 6 cela?

(8) Dado wer= BED ses un puro Go de ur mari cita PP regla
( gu Hé oo
oli) mie) on 6 )

4 0 4 ae 010

Mostar que (f +ce + deaf + M a. 0d + bl + Be) 6 un pnt jo ea mare

¿Qué maris estocásicas son regla

laa a
P A Er à
« finery)

CADENAS DE MARKOV

76

zur

0.

79.

72

Los hábitos de fumar de un hombre son ls sigintes: Suma cigarros on ilo na semanı los suspend a semana
siguente con potabded 02. Por ota part, foma cigarros sin io un semana ay una probabil de 07 que
amando de éstos la semara Siguen À llarg, ¿on qué fuel fumar ares con io?

La sure de un jua or sige una past: Sana un jugo, a potabilidad de ganar el guiente 606 Sin embargo,
pierde la probabilidad de perde el siguente 07. Además east gal prbabiad de que el jugador gan el primer
seem,

© ¿Cuál esla probabilidad de gue gane el segundo juego?

(i) {Cust es la prota’ de que gane ercer joes?

(i) Alar, om qué frecuencia ga

44
4 +
HO = CB) Haar © As GH) AD (UD PO (Ps (0 à ver Pa se apro Ta
mai Pe aria

Ho
Par ar cesa de Marko, mac dern B= [1 0 0) yladisitwetn de probated incl e
4 44

99 = (40h Halas () ED, (8) A, GH 90, Go) a.

"nombre cambia carr por uno nuevo cx ao Si ten un Buck, lo combi por un Plymouth. Si iene un moat,
la camba por un For, Sin embargo tee un Ford, es igualmente posible que lo combi or un For como par un
Buk o un Plymouth En 1955 como a primer caro queer un Fed

() Halar robbie de que teng un, () Ford 1957 1) Bick 1997.) Plymouth 195 (2) Ford 1958,

@ Ala largo, ¿co qué frecuencia ene Ford?

Hoy 2 blas blancas en ua ur À y 4 rojas entra ra BA cada paso dl proces se slsiona ann bla de cda uma,
y la dos bola cond s intercambio. Se Nye mero de hola rojs del ra À después den intereambios.) Hs
la a murio de wachen Pi Cul sl probabilidad de que haya 2 bolas rojas enla wna después de 3 pasos?
(GA alarga de probable que haya 2 ola ja sa urn 47

Resolver el pobema antro paa el caso de que haya 3 bolas blancas enla urna À y 3 bols reas en I ma

150 CADENAS DE MARKOV

can 7

TS). Se unm una moneda core hasta que aan 3 cata seguidas. Ss Na a onu dela ace de caras gt erm
run cn la pucha sma, (Ver ejemplo 720) ¿Cul esla pobabiiad de que haya A names de la monada por

To menos
784. Un jugador tiene 3 due, En cada ota, pede wn dla con probaiiad
A peo gana dos dlrs con probabilidad $. Deja de jgar pire us 34
Pre na por o mens dre
(0) Mallar la mai de tas de a cadens de Markov.
(6 Cu esta pobabliad de que haya por o menos 4 jugadas enel Juego”

755, El diagrama de la dec murs curo compartiments con puertas de
comunicación de uns con ours. Un ratón sá en un compartimiento y tere
la misma probabil de strarsar ada una dels pues del compari
vo. Hala mari de traición dela cadena de Manor.

PROBLEMAS VARIOS
7:6. Halal mata de transcin sorespondine a cada diagrama de taniión

5
“(rt
worst) mr
. dt +

.

“fo 4
alta
a \o 43

TSK Comidérese el vector eu = (0,1. 0.0) que iene un en I posición (sima y ceo las demás pres. Mos
tear que ees a fla ¿ima dela mare empre que el podeco cdf)

Respuestas de los problemas propuestos

732 (DEL LI, (6) 110,9), (m) (5, 11,10)

733,

mu a

135. Ar =

736: Solamente Gi

caen CADENAS DE MARKOV si

137. (D (aA8,0,219, 513, 318)
i) (8/8, 278, 0,118, 218,0, 4/18)
(iy (4/6, 24145, A, 0, 8/4, 8/48)

738 Solamente 6) y 6)
739 (5 (GA, SD, Gi) (10/19,9/19), GH) (6/13, 9/19, Ge 4, $)
740. (D = GAS BAS 128), QU € = (AS, 8/18,1/18)

Tu (D €= (8,618) GH) £ = (A6, 6/18, 4/10)
va, Me = GAL AM 14, a3), Gi) 60 €
1000)
Tas. 0 Non necesariamente BE,
148 0 Noi Em
Ta. Solamente id pou

14 des vce
10. () 912, Gi 81720, (8) IT dete vee

Ta. 78, 60 am, un (es 21700, q as, 08,00 D (95 04)
149. (9 48, (D 12, GW) (16,216,119, de) 716

10 (0 (0149, OAD, (0 TI, (Mio. (ER de ses

eras
a or=(¿45) wm as
0 + à,
Ze
um are[t tt?) aan mm
weed
mi ds
mien oe
HAS
A
a ee o pa
dd
ee
A
Serene Shae
fe à 0
Ps moi) al
4040 EE 4400
2. 0 4 Oo a
OH? VIN
+

Oro

14

Cadenas de Markov

Nota: Debido a la escasez del tema de Cadenas o procesos de Markov, se decidió
reforzarlo con el capitulo respectivo del libro: "Elementos de Probabilidad y esta-
distica" por Elmer B. Mode, de la Ed. Reverté.

Una cadena de demostraciones debe tener
su principio en alguna parte

Jeremy BeNTHAM
An Introduction 10 the Principles
of Morals and Legislation

19.1. MATRICES Y VECTORES

Muchas ramas de las matemáticas y muchos campos de la ciencia hacen uso
extensivo de vectores y matrices. Son extremadamente útiles; en particular, en el
estudio de los procesos de Markov. Empezaremos con un breve estudio de estos
conceptos,

Una matriz es un arreglo rectangular de m renglones y n columnas de né-
meros que se escribe asi:

eu ein
ea te EN

i oe (19.0)
are en

Un vector renglón es una matriz consistente en un renglón únicamente y un
vector columna es una matriz consistente en una columna únicamente. Ilustrare-
mos estas definiciones con los ejemplos siguientes.

310 CADENAS DE MARKOV

Vz,
E 2 a à =2 -1
@{ 0.1 (On Ce 4 Ca
the ee aa
1
2
(8) @,—1,3) (e) = © 63.0)
3

2) es una matriz 3 X 2, b) es una matriz cuadrada 3 X 3, c) es una
matriz 4 X 3, d) es un vector renglón que tiene tres componentes, e) es un
vector columna con cuatro componentes, y f) es una clase especial de vector
renglón llamado vector de probabilidad porque sus componentes son no negati-
vos y su suma es 1; b) también es llamada matriz estocástica, ya que cada
renglón es un vector de probabilidad,

Si dos matrices, A y B, son tales que el número de columnas en A es igual
al número de renglones en B, su producto A X B se define como la matriz
para la cual el elemento en el renglón de orden i y columna de orden j es la
suma de los productos obtenidos cuando cada elemento del renglón i de A se
multiplica por el elemento correspondiente de la columna j de B. Así, una matriz
A, m X r, multiplicada por una matriz B, r X n, produce una matriz m X n.

bi bis
Meas dm 42) (en
Entonces
abs + as + as Abe + Ann + al
AxB=
(e + abs + dobar abs + tubes + au)
3 x 23 por lo tanto,

Nótese que A es una matriz 2 X 3 y B es una mat
A X Bes una matriz 2 X 2.

Eiemrio 2. Sean

Entonces,

CADENAS DE MARKOV 311

Nótese que, en el ejemplo 2, el producto B X A no está definido. ¿Por qué?
Si A y B son matrices cuadradas, esto es, matrices para las cuales el número de
renglones es igual al número de columnas, A X B % B X A generalmente, pues
la multiplicación matricial no es conmutativa. Por ejemplo, sean

e

entonces

pues dos matrices son iguales si, y solo si, sus elementos correspondientes son
iguales.

Las matrices cuadradas pueden elevarse a la potencia enésima # = 2, 3,
mediante multiplicaciones sucesivas.

19.2. UN EJEMPLO

Supongamos que tenemos dos dados perfectos; uno de ellos que representa»
remos por I, tiene cuatro caras blancas y dos negras; el otro, que representare-
mos por IT, tiene una cara blanca y cinco negras. Seleccionamos al azar uno
de estos dados, lanzando una moneda no sesgada. Si obtenemos “cara”, lanza-
mos el dado I; si obtenemos “cruz”, lanzamos el dado II. Si, en el dado lan-
zado, aparece una cara blanca, lanzamos el I; si aparece una cara negra, lanza-
‘mos el II. Así, continuamos este proceso donde la elección del dado por lanzarse
depende del resultado previo. Esta serie de lanzamientos o pruebas ilustra un
tipo simple de cadena de Markov, o más precisamente, una serie de pruebas bi-
nomiales dependientes de Markov.

En lo que sigue, representaremos por P(Ws) y P(B:) las probabilidades
respectivas de los resultados blanco y negro (W y B) en la prueba de orden k.
También, P(W,| Wy.) será la probabilidad de que aparezca blanco (W) en
la prueba de orden k, dado que W ha aparecido en la prueba de orden (k — 1),
con significados similares para P(B:| Wi), POW; | Bia), y P(B| Be

312 CADENAS DE MARKOV

Entonces,

POY) = PHDPO | Wa) + P(B)P(H | Bs)
Syd les,
23 26 8
P(W,)P(B,| W) + PBDE(B. |B.)
el
da SS

PB)

P(W,) = POW)PWs| Wa) + POBIP(Y, | Bo)

3 eh
ewigen
P(W:)P(B; | W) + P(B,)P(Bs | Ba)

Este proceso puede continuarse indefinidamente. Observamos que, en cada
paso de la serie P(W) + P(B) = 1, i = 1, 2.... Los resultados posibles
y sus probabilidades correspondientes se pueden obtener también con la ayuda
de un diagrama de árbol. En la Fig. 19-1 se muestra uno de estos diagramas
para la eventualidad en que sea seleccionado el dado I para el primer lanza-
miento. Se puede construir un diagrama similar para la eventualidad alternativa

Fig. 191

(ejercicio 9). Por ejemplo, la probabilidad P(Bs| 1) de que aparezca la cara
negra en la tercera prueba, pues que fue seleccionado el dado I para la primera
prueba, se obtiene como la suma de los productos de tres probabilidades anota-
das en las ramas del árbol que terminan en Bs (no se incluye el */2).

SIRO
Rea) Bo, 27 34 108 12

Formalizaremos ahora las ideas contenidas en este ejemplo y obtendremos
algunos resultados generales

CADENAS DE_MARKOV 313
19.3. PRUEBAS BINOMIALES DEPENDIENTES PE MARKOV

En el estudio de la función binomial de probabilidad, estábamos interesados
en N pruebas independientes de un experimento con una probabilidad cons-
tante de éxitos. En lo que sigue, estamos interesados en una sucesión de pruebas
dependientes donde la probabilidad de éxito en una prueba dada depende del
resultado de la prueba precedente,

Consideremos que existen N pruebas en un experimento, cada una de las
cuales tiene únicamente dos resultados posibles, representados por S y F. Supon-
gamos que el resultado en cualquier prueba depende únicamente del resultado
de la prueba precedente. Existirán, entonces, cuatro probabilidades asociadas con
la prueba de orden (k + 1), k = 1, 2,..., esto es:

POralS), Pla l Ed, PalS) y PRualE).

Así, hemos definido una serie de pruebas binomiales dependientes de Markov.
Se acostumbra llamar estados a los resultados y, a las probabilidades de estos
resultados, probabilidades de transición. Llamaremos S al estado I, y F al es-
tado 2, Hablamos, entonces, de una cadena de Markov con dos estados. Nótese
que la probabilidad de un resultado dado en la prueba de orden (k + 1), es
condicional, dependiendo esto únicamente del resultado de la prueba de orden
k y no de cualquier otro resultado anterior. Si las cuatro probabilidades que
se han dado son independientes de k, entonces podemos escribi:

Pu=P(S|S), Pa=P(SIF), pa =P(E1S), Y Pa P(FIF).

Sea

= le =) ur
pu Pas
Debe ser evidente que
Pu+Pa= ) >
Put Pa = 1 en

puesto que cada renglón de P es un vector de probabilidad, P es una matriz
estocástica,

Es conveniente calcular p{ y pf las probabilidades correspondientes a los
estados 1 y 2, para la prueba de orden (n + 1), esto es, después de n pasos
Es importante hacer notar que un paso en el proceso de Markov significa una
transición de una prueba a la siguiente. Así, el paso enésimo implica n + 1
pruebas. En particular, la tercera prueba implica 2 pasos; de la primera prueba
a la segunda y de la segunda a la tercera. La primera prueba es el paso número
cero. Las ecuaciones,

E pa

PE = ph pie + PS as),

(19.4)

314 CADENAS DE MARKOV

son válidas, puesto que el primer miembro del lado derecho representa la: pro-
babilidad para el estado 1 en el enésimo paso, dado que haya ocurrido el estado
1 o el estado 2 en el paso previo y el segundo miembro del lado derecho es la
probabilidad para el estado 2 en el enésimo paso, dado que haya ocurrido el
estado 1 0 el estado 2 en el paso previo.

Podemos escribir la ecuación (19.4) como el producto:

a ae]

que se transforma en el vector renglér
JO (pu a Pa + BE ass)
En consecuencia,
u 196)
que és una fórmula de recursión para obtener pl”, partiendo de pl").
Puesto que

pi = pp
py = pop
ptm = pnp,
se sigue que
pasta pe = pop 19.7)

Esto significa que el producto del vector de probabilidad inicial p(” y la enésima
potencia de la matriz de probabilidades de transición, P, produce el vector ren-
glón pl de probabilidades de estar en cada uno de los dos estados después de
m pasos.

EjeurLo 1. Refirdmonos al ejemplo de la sección 19.2. Sea W el estado 1, y

Bel estado 2
1?
a
Según la ecuación (19.4)
D = Pra + Popa)
PP = pps: + PSP)
“Hemos demostrado previamente que

5
PUM) =P = 75

CADENAS DE MARKOV

y

Entonces,

3
a
5

315

Eremrio 2. Supóngase que calculamos las probabilidades de los estados 1 y
2 después de tres pruebas para el ejemplo de la sección 2. Entonces, según la

ecuación (19.7),

po por
a 3
<(h al, )

1
one

Se verá que estos resultados concuerdan con los obtenidos en la sección 3.

19.4. OTRO METODO

Las probabilidades para los estados 1 y 2 después de pasos son dadas por

la ecuación (19.4)

r= oP + al
A? = Hp + HV
Pero =
we
y
Pa 1 pue
Por lo tanto,

f= Ppa + [1 — pL pe)
= PM + Pas = D + (1 po)

Será conveniente establecer la siguiente notación:
Ri=1=Pu

Re=1= Pa

(93)

316 CADENAS DE MARKOV

Q=Pu+Pa—
de modo que la ecuación (19.8) puede escribirse como:

PY = pO + Re (19.98)
Esta es una fórmula de recursión que nos permite calcular pl”, partiendo de
po
Análogamente.
PIO + Ry (19.90)
Apliquémosla al ejemplo de la sección 2:
2 1 1 1
=? pm; por lo tanto, R=3, Riz, al
Pu=3 Pag; por lo tanto, 3 AS
Para el estado 1 en la segunda prueba,
PY = pO + Re
3
=
En la tercera prueba,
P= AOR
alien
43”

ete,

Puesto que, para toda p, 0 = p = 1, se sigue que |Q| = 1. Sin embargo,
supondremos que |Q| < 1 para eliminar los casos en los que px = p= = 0
o pu = pr = 1. Mediante la inducción matemética (ejercicio 17), se puede
demostrar que:

Bi (n° . (19.10)

Si intercambiamos los estados 1 y 2 en la ecuación (19.10), la ecuación resul-
tante es:

Ri
4 2ER 19.11)
¿jo o (9.1)

w= (a? > =

Así, las ecuaciones (19.10) y (19.11) nos permiten calcular las probabilidades
para los estados 1 y 2 después de n pasos sin depender de una fórmula de
recursión.

CADENAS DE MARKOV 317

PROBABILIDADES INICIALES DESCONOCIDAS

295.

Aunque la probabilidad para el estado 1 en la prueba inicial puede ser des-
conocida, podemos, sin embargo, calcular las probabilidades para el estado 1 0
para el estado 2 después de 1 pasos, dados los estados 1 o 2 en la primera
prueba, Estas probabilidades se representarán por ply), pi, pif, ay pl

Puesto que

foie
: ne | ane
— pe)

a

necesitamos obtener únicamente p(y pi). Por medio del mismo método emplea-
do para derivar la fórmula (19.98), encontramos (ejercicio 20) que:

Pi = PO + Re qi
Nuevamente, nos valemos de la inducción matemática (ejercicio 21) para de-
Yun
da R
= [np En los Re (9.14)
» a

Pero, ya que pl” = p „esta ecuación se transforma en

{m Rı
fp = A on 19.15)
Pi 120 0 (19.15)
Intercambiando 1 y 2, obtenemos
Pps (19.16)
De las ecuaciones (19.12) y (19.14), encontramos que:
ñ R
i = (1 0). (19.1
a! (49.17)
Anélogamente,
(19.18)
Eyempto 1. En el ejemplo de la sección 2, supongamos que la moneda consi-

derada es sesgada y que no conocemos la probabilidad de obtener “cara”. Se

sigue que p[® y pi? son desconocidas. Podemos, sin embargo, calcular las pro-

babilidades para los cuatro resultados condicionales posibles pi, pip, PAP, y

Pi con lus ecuaciones (19.15) a (19.18). Por ejemplo, la probabilidad para

blanco (estado 1) en el sexto lanzamiento del dado, ya que en el primer

lanzamiento apareció negro (estado 2), es dada por la ecuaciön (19.18). Re
a — 1 = Va. El número de pasos enn = 5.

0)

318 CADENAS DE MARK OV

Eyempto 2. El Problema de los Cuatro Mentirosos. Es conveniente hacer
referencia a la sección 5.6, donde se estableció y se resolvió este problema
con métodos elementales para el caso de tres mentirosos, Consideraremos ahora
la sucesión dada de proposiciones como un proceso de Markov, donde una
verdad se considerará como el estado 1 y una mentira como el estado 2; pero
no será una serie de pruebas binomiales dependientes de Markov, a menos
que supongamos que las afirmaciones de C, B y A son hechas conociendo
únicamente la declaración de la persona previa. El estado observado es 1 0 2,
dependiendo ello de si la afirmación correspondiente implica que D está di-
ciendo la verdad o está mintiendo.
Ya que las declaraciones son independientes,

1 2
=; Y p=5 donden =0,1,2,3

Recordando que un número par de mentiras resulta en una verdad, podemos
escribir pa = pa = Ya. Entonces, Ri = Rz = Y, Q = Ys y 1 —
Q= Ya

El estado inicial es el de D. Si A afirma que B niega que C declara que
D es un mentiroso, entonces para las alternativas “D dijo la verdad”, (T), y
“D mintió”, (L), tenemos, para las afirmaciones de A B C D, las combina
ciones respectivas TT LT y T T L L, en cada una de las cuales A implica
que D dijo la verdad. Buscamos, entonces, la probabilidad —Ilamémosla pi? —
de que D dijo la verdad bajo la condición de que A implicó que así había
sido. Los pasos 0, 1, 2, 3 en el proceso corresponden a las afirmaciones
de D, C, B y A, respectivamente.

La probabilidad de que D dijo la verdad y desque A implicó que así fue,
por el teorema de la multiplicación, fórmula (4.6), puede escribirse en estas
dos formas equivalentes:

Pee

de donde

Ahora

a
También, según la ecuación (1915),

2/3 19,23 _ 13

mal) ma

Según la ecuación (19:10).
1 AB 19,28 ai

fare Weazie aoe dl

= E sl ine

wo 2D _ 13
UT a

de donde

como se calculó previamente.

CADENAS DE MARKOV 319

19.6. EQUILIBRIO ESTADISTICO

Del hecho que |Q| < 1, se sigue que lim Q” = 0; por lo tanto, con las
120

ecuaciones (19.18), encontramos que

Jimi 19.19)
y con las ecuaciones (19.16) y (19.17),
Nim pia) = tim ai? 19.20)

Es evidente que un gran número de pruebas binomiales dependientes de
Markov conduce a un estado de equilibrio estadístico. Esto significa que p\" y
Pi” permanecen prácticamente constantes e independientes de los resultados ini-
ciales cuando n es grande. El tamaño de # dependerá del tamaño de O, y ésta,
a la vez, es una función de Pu y Pur Si el estado 1 tiende a ser seguido
por el estado 1 y el estado 2 por el estado 2, entonces se obtendrá el equilibrio
rápidamente. En particular, si Py = py para toda n, entonces Rı = Re y pit!
=p Pi?) =4, aproximadamente. Esto significa que ‚pfr)
aproximadamente, cuando n es grande. Decimos, entonces, que las pruebas bino-
miales constituyen un juego justo.

Ejemplo. Refirámonos al ejemplo 1 de la sección 19.5. Según la ecuación
(19.15), puesto que Ri = Ys, Re = Ye y Q = Yo,

aja

Según la ecuación (19.19),

16 _
TES

a i 1]
1811 (07 =
E)
Cada una de estas probabilidades es, aproximadamente, */», el valor dado por
la ecuación (19.19), sin importar el resultado de la primera prueba.

go
pa

19.7. UNA CADENA DE MARKOV MAS GENERAL

En las secciones precedentes, discutimos una secuencia de experimentos don-
de cada uno de ellos tenia únicamente dos estados. Consideraremos ahora el
caso donde cada experimento puede tener un número finito, r, de estados po-
sibles, que representaremos por {e1, ex... e}. Nuevamente, suponemos que la

320 CADENAS DE MARKOV

probabilidad de un resultado depende únicamente del resultado inmediato prece-
dente, Sea P(e;|e:) = py. Es conveniente representar las probabilidades de
transición mediante una matriz cuadrada. Una de estas matrices para un proceso

de Markov de 3 estados es:

Pu Pi Ps
Pa Pa Pa]: 921)
\ps Pas Pas

Cuando una transición es imposible, su probabilidad es O por definición. P es
una matriz estocästica,

EjempLo 1. Supongamos que tenemos tres dados: el primero tiene tres caras
Toja, dos Blancas y una azul; el segundo tiene dos caras rojas, tres blancas y
Ta azul: y el tercero tiene una cara roja, dos blancas y tres azules, Luego,
Jane amos un dado ordinario, Si aparece el 1.0 el 4, se lanza el primer dado
de colores: si aparece el 2 0 el 5, se lanza el segundo dado de colores; si
Gparece el 3 0 el 6, se lanza el tercer dado de colores. Si en el dado de
Bounce aparece el rojo, se lanza el primer dado; si aparece el blanco, se lanza
St segundo dado; si aparece el azul, se lanza el tercer dado, eto. Asi, tenemos
Gna cadena de Markov con tres estados: es = R, es = W, es = D.

a) 1
ie

oe
1
ee
+

Se puede verificar que la matriz de transi
eat

paint
RE

Esta cadena de Markov se puede
representar mediante un diagrama
de árbol como en la Fig. 192

Fig. 192

CADENAS DE MARKOV 321

Se presenta un tipo importante de problema cuando buscamos la probabili-
dad pi) de que un proceso que se supone empieza en el estado i se encuentre
en el estado j después de n pasos. Las probabilidades involucradas pueden
tribuirse en una matriz:

(pi? pie pis

Pope pe pa}. (19.22)
a wi
Para la condición establecida en el ejemplo precedente, preguntemos: “¿Cuál
es la probabilidad de que aparezca el rojo en un dado después de dos lanza-
mientos si en el lanzamiento anterior apareció el azul?” Las probabilidades de
la matriz (19.22) pueden obtenerse con un diagrama de árbol, Fig. 19-3.

Fig 193

La probabilidad deseada pff) se obtiene como la suma de las probabilidades
de todas las ramas del árbol empezando en es, y terminando en es; por lo tanto,

A
mb =

u + Pa + Pat

1 5

22 2 18
Análogamente, pueden obtenerse p{ y pi). Estas probabilidades constituyen el
tercer renglón de la matriz:

CO
Po PS
we 1 à

Para calcular los otros dos renglones de esta matriz, construimos diagramas de
árbol, partiendo de eı y e» (ejercicio 23). Nótese, por ejemplo, que las proba-
lados del tercer renglón suman 1 porque empezando en el estado es, debemos
llegar a alguno de los tres estados posibles después de dos pasos.

MODE-21

322 CADENAS DE MARKOV

EyemrLo 2. Supongamos que, en cierta región de los Estados Unidos, el 50%
de los votantes son republicanos, (e1); 40% son demócratas (e:); y 10% son
independientes (es). Supongamos que, en generaciones sucesivas, 70% de los
hijos de republicanos llegan a ser republicanos; 10% demócratas; y 20% in-
dependientes. Para los demócratas, 80% de sus hijos llegan a ser demócratas;
10%, republicanos; y 10% independientes. Para los independientes, 30% de
sus hijos llegan a ser republicanos; 30% demócratas; y 40% independientes.
¿Cuál es la probabilidad de que a) un demócrata tenga un nieto que llegue
& ser independiente? b) ¿un votante seleccionado al azar tenga un nieto que
llegue a ser independiente? Supöngase que todos los volantes tienen hijos que
llegarán a ser votantes

Mediante el diagrama de árbol de la Fig. 19-4, encontramos que
PB = 0002 + 0.08 + 0.04 = 0.14.

Análogamente, encontramos que
PR = 0.14 + 0.01 + 0.08 = 0.23

y
Ph) = 0.06 + 0.03 + 0.16 = 0.25.

Para (b).se sigue que

PP = (0.5 x 0.23) + (0.4 x 0.14) + (0.1 x 0.25) = 0.196,

19.8. ALGUNAS RELACIONES INTERESANTES

Es posible demostrar que la ecuación (19.6),

pi) = pnp,
y la ecuación (19.7),

pin = pape,
que se derivaron para una cadena de Markov de 2 estados, son vélidas también
para una cadena de r estados (ejercicio 24). Sin embargo, en este texto nos
hemos restringido al caso de 3 estados. Recordando que:

CADENAS DE MARKOY 32

Pa Pis Dis
P=(Pu Pa Pa

Pa Pa Pal
A in lar nd
pit pt
o 5) (19.23)
Pai! pis? pis
se puede demostrar que
PURE (19.24)

Asi, las probabilidades contenidas en P se pueden obtener mediante multipli-
caciones sucesivas, partiendo de la matriz P. Con excepción de los casos sim-
ples, estas multiplicaciones pueden ser tan laboriosas que debe buscarse el au-
ilio de una máquina computadora.

Un resultado interesante es el siguiente:

Si alguna potencia de una matriz estocástica no contiene probabilidades cero,
entonces

lim pr = 7, (19.25)

donde T es una matriz estocástica con renglones idénticos.

Demostremos este resultado para una cadena de Markoy de 2 estados. Según
las ecuaciones (19.16) y (19.17),

pe =

Nuevamente, puesto que |Q| < 1,
lim po =

por Jo tanto,
lim pi?

pss) = pi aproximadamente, cuando n es grande.

Anélogamente, podemos demostrar que

nd po Re
oy = Pa

aproximadamente, cuando n es grande.

ss

324 CADENAS DE MARKOV

ota
ps a |
Pe

dim P=
=o Ry

1—Q 1-0

Puesto que

si n tiende a infinito,

que constituye una matriz estocástica con renglones idénticos (ejercicio 25).
De acuerdo con la ecuación (19.24), se sigue el teorema sumarizado en la
ecuación (19.25).

Ejemplo. Sea

mf

0.56 0.44
BS
0.489 sal

Entonces,

ps (052 van
LS

a CZ 0.474
los26 0.474)"

Es obvio que la matriz límite T tendrá elementos aproximadamente iguales a
los de P',

El vector de probabilidad + definido por los renglones idénticos de T° se llama
punto fijo de la transformación P porque

72 (19.26)

La razón de esta terminología es la siguiente. Según la ecuación (19.6), al mul-
tiplicar el vector de probabilidad p=» por P, se trarsforma en el vector de
probabilidad pl”. Por lo tanto, el vector “fijo” 1 se transforma en sí mismo cuan-
do se multiplica por P.

CADENAS DE MARKOV 325

19.9. APLICACIONES

La teoría de las cadenas de Markov tiene una gran variedad de aplicaciones.
Se presentarán, a continuación, algunas de ellas.

Genética. Se sabe que las características de un animal son determinadas por
los genes transmitidos por sus padres. Una característica dada resulta de dos
genes heredados, uno de cada padre. En un tipo muy simple de herencia, cada
gene del par transmitido puede ser de cualquiera de dos tipos, que simboliza-
remos por D y d. De esta manera, surgen tres combinaciones posibles de genes
en un individuo: Los genotipos DD, Dd y dd. Si un individuo ha heredado
dos genes D, uno de cada padre, se dice que es dominante, DD; si ha here-
dado dos genes d, se dice que es recesivo, dd; si hereda un gene D de un
padre y un gene d del otro, se dice que es hibrido, Dd.

Si un individuo dominante se aparea con otro dominante, esta unión puede
producir únicamente dominantes (tabla A). Resulta una conclusión análoga en
el apareo de dos recesivos. Si se aparea un dominante con un híbrido, resultan
descendientes de dos genotipos, DD y Dd, cada uno con probabilidad */2 (ta-
bla B). Existe un resultado similar cuando se aparea un recesivo con un hi-
brido. En el apareo de dos híbridos, resulta un dominante con probabilidad */:,
un híbrido con probabilidad '/2, y un recesivo con probabilidad */+ (tabla C)

@ @) ©
DD x DD DD x Dd Dd x Dd
DD | Dd D à
>| oo po | D| pp ba D| DD Da
D| Do oo D| DD Da a| Da dd

Se puede estudiar la probabilidad de que aparezcan los tres tipos diferentes
en los descendientes de generaciones sucesivas en términos de una cadena de
Markov. Los estados son dominante (e1), híbrido (es) y recesivo (es). Supon-
gamos que cruzamos un dominante con un híbrido y luego cruzamos todas las
generaciones sucesivas con un híbrido. ¿Cuál es la probabilidad, p, de que un
individuo en la tercera generación sea recesivo? Nuevamente, emplearemos dia-
gramas de árbol para resolver este problema. Los dos siguientes (Fig. 19-5)
son para los eventos de que el individuo en la primera generación está en el
estado ex o en el estado ez (tabla B). De estos diagramas se sigue que la res-
puesta a muestra pregunta es

=

326 CADENAS DE MARKOV

Fig. 195

Supongamos ahora que empezamos no necesariamente con un dominante,
sino con un individuo de genotipo desconocido cruzado con un híbrido. Se puede
verificar que la matriz estocástica para este problema, es:

Ahora,
ead
tit
a4 4
que es una matriz que no contiene probabilidades cero. Según la ecuacién
(19.24), Pa = pr
Es posible demostrar, de acuerdo con la ecuación (19.25) que,

2347
+
tad

que significa que, después de un número de generaciones, los descendientes tie-
nen, aproximadamente, las probabilidades */s, */2 y °/1 de ser dominante, híbrido
y recesivo, respectivamente.

Es interesante hacer notar que, si la situación discutida en los párrafos ante-
riores se alterara de tal modo que el animal de genotipo desconocido se cruzara
con un dominante en lugar de un recesivo, y todos los descendientes sucesivos.
se cruzaran similarmente, no podríamos obtener un descendiente recesivo en

CADENAS DE MARKO 37

gún momento, ni aun en la primera generación. Es posible, por supuesto, ob-
tener un híbrido, pero la probabilidad de tenerlo n veces en sucesión es ('/2)”.
(Nótese que, para P, todas las probubilidades de la segunda columna son 1/2.)
Puesto que lim, (/)% = 0, eventualmente tendremos un dominante. Puesto que
será aparcado con un dominante, todos los animales sucesivos serán dominantes.
Infortunadamente, la relación de la ecuación (19.25) no es válida, puesto
que ninguna potencia de P está exenta de probabilidades cero. Se omiten las
demostraciones de estos hechos.

Camino al azar. EI fenómeno conocido como camino al azar se estudia en
muchas ramas de la Física. Discutiremos brevemente una de sus formas más
simples

Consideremos puntos igualmente espaciados sobre una linea recta, mumera
dos 1,2,... m. (Véase la Fig. 19.6.) Una partícula, inicialmente situada en el
punto i, 0 < i < m. se desplaza con probabilidad p, un paso de una unidad

er

Fig. 196

hacia n, y con probabilidad q un paso hacia 1; p + g =1. Siempre que la
partícula alcance la posición 1 o m, termina su movimiento. La sucesión de des-
plazamientos da origen a una cadena de Markoy finita con barreras absorbentes
1 y n. A cada posición se la llama “estado”, de modo que tenemos una cadena
de n estados.

La matriz estocástica para el caso n = 4 es
100
90»
040
o

Para facilitar la interpretación de esta matriz, consideremos el renglón 2. Con:
tiene las probabilidades pm = q, pe = 0, pu = py px = 0. Así, si la par
ticula se encuentra inicialmente en el punto 2, pm = 4, nos dice que se des-
plaza hacia 1, con probabilidad q; ps = 0, puesto que la partícula no puede
permanecer estacionaria en 2; debe desplazarse hacia adelante o hacia atrás;
ps = p significa que se desplaza de 2 a 3, con probabilidad p; pa = 0 sig-
nifica que la partícula no puede desplazarse dos pasos a la vez —de 2 a 4.

Entre las muchas preguntas interesantes que podemos plantearnos en relación
al camino al azar, se encuentran las siguientes:

328 CADENAS DE MARKOV

1) Si una partícula parte de la posición i, ¿cuál es la probabilidad de que,
después de un número dado de pasos, sea absorbida en 1? ¿En 1?

2) ¿Cuál es la trayectoria más probable de la partícula?

Consideremos el caso para n = 4con i = 3, p = % y q = ‘/ con
la ayuda de un diagrama de árbol (Fig. 19-7). Supongamos cinco pasos. Clara
mente, la probabilidad de que sea absorbida en 4, después de cinco pasos es:

yo — 108 3
pl = = 000346.

Resulta que Ja trayectoria más probable es la más corta, de 3 a 4, con pro-
babilidad 9/2. Podemos observar que, si el camino continúa indefinidamente,
existe una posibilidad de que la partícula oscile entre 2 y 3. Para 2n pasos, en
esta eventualidad la probabilidad es (*/a - °/5)", que tiene como límite 0 cuando
m aumenta sin límite. Obviamente, es muy poco probable que esta oscilación
continúe sin fin.

Fig 197

El camino al azar puede estudiarse bajo otras condiciones. En lugar de ab-
sorción en las fronteras, puede existir una reflexión hacia atrás a una posición
interior o a la frontera opuesta. La reflexión es una condición que se presenta
cuando las moléculas de un gas se encuentran confinadas en un recipiente ce-
rrado. Los varios casos para grandes valores de m pueden manejarse con téc-
nicas más complejas de las que podemos presentar en este breve capítulo y los
cálculos correspondientes requieren el uso de máquinas computadoras modernas.

Ruina del jugador. Existe una relación íntima entre un famoso juego de
azar y el problema del camino al azar. Supongamos que dos jugadores, A y B,
participan en un juego. A tiene i dólares y B, j dólares. En cada partida, A tiene
una probabilidad p de ganar, y q de perder un dólar. El juego continúa hasta
n partidas o hasta que uno de los jugadores pierde todo su dinero. ¿Cuál es la
probabilidad de que A quede arruinado, esto es, que pierda todos sus à dólares?
En un juego justo, p = q = V2.

En este problema, el número de dólares poseídos por A corresponde a la
posición i en el camino al azar. Un paso hacia n significa que A ganó una
partida; un paso hacia 1, significa que B ganó una partida, Llegar a la posición
1 significa la ruina de A; a la posición n. la ruina de B.

CADENAS DE MARKOV 329
EJERCICIOS

1. ¿Cuáles de los siguientes son vectores de probabilidad? ¿Por qué?
ae

© 4, 1.0)
© 23,5)
(14,49

2. ¿Cuáles de las siguientes son matrices estocásticas? ¿Por qué?

eb) of)

100 A,
oforo wl: +
+04 ase
Calcule los productos indicados en los ejercicios 3-7
Pa
3.@ 5 ee À

mG dG)

oo (eS) x

330 CADENAS DE MARKOV

8. Dade A =( ), cateo 45 y AN

y
34
9, Construya un diagrama de árbol para la eventualidad de que el dado IL sea

seleccionado para el primer lanzamiento en el ejemplo de la sección 19.2. Extienda
este diagrama a tres pruebas, como en la Fig. 19-1

10. Del diagrama del ejercicio anterior, donde el dado II fue seleccionado para
el primer lanzamiento, calcule la probabilidad: a) de que aparezca el color negro
en la segunda prueba; b) de que aparezca el color blanco en la tercera prueba;
€) de que aparezca el color negro en la tercera prueba,

11, Haciendo referencia a los resultados de los ejemplos 1 y 2 de la sección 19.3
y aplicando la fórmula (19.7), obtenga pá? y pf.

12. Imoginemos una serie de interruptores eléctricos en un mecanismo. Repre-
sentemos un interruptor abierto por | y un interruptor cerrado por 2. Para cualquier
instante al azar en que el mecanismo está en operación, supongamos pi =¿ y
PO =$ También, Pur Puh pPu~# y Pn=è para todos
los interruptores con excepción del primero. ¿Cuál es la probabilidad de que el
cuarto interruptor esté abierto?

13. Consideremos una serie de interruptores eléctricos donde la probabilidad es
; de que un interruptor esté abierto si el precedente lo está y 3/5 de que un
terrupior esté cerrado si el precedente está abierto. La probabilidad de que un in-
terruptor esté abierto es 3/s si el precedente está cerrado y la probabilidad de que
esté cerrado es %/s si el precedente está cerrado. Calcule la probabilidad a) de que el
tercer interruptor esté abierto, y b) de que el tercero esté abierto si el primero lo está,
Supéngase que la probabilidad de que el primer interruptor esté abierto es */.

14. Resuelva la parte (b) del ejercicio 13, mediante un diagrama de árbol

15. En el ejemplo de la sección 19.2, calcule it}, pit, ypf®). Verifique que

= A

donde el estado 1 es blanco y el estado 2 es negro.

16. Dada la ecuación p, = ap, à + 6, donde a y b son constantes yn = 1, 2,
Si una secuencia de números po, Pi, Par... satisface esta ecvacién, demuestre que

„siempre que az 1.

Use la inducción matemática.

17, Derive la fórmula (19.10) por inducción matemática, Observe que la ecua-
ción (19.9) es una ecuación de la forma Pr = ana +0. (Véase el ejercicio 16.)

CADENAS DE MARKOW 331
18, Demuestre que pf +p) = 1
19. Derive la fórmula (19.9b); pf? = pO + Ry.
20. Derive la fórmula (19.13): Pip =p VQ + Re

21. Derive la fórmula (19.14)

no [le +

22. En el pueblo de Graumark existen únicamente dos partidos políticos, los
hokes y los dokes. Se efectúa una elección anualmente para la alcaldía, el alcalde
permanece en funciones únicamente un año. La probabilidad de que un hoke suceda
a un hoke como alcalde es */s, y de que un doke suceda a un doke es 1/2. Si es
elegido un hoke para la alcaldía en 1965, ¿cuál es la probabilidad de que a) sea
elegido otro hoke en 1968? b) ¿sea elegido un doke en 19677

23. Para los datos del ejemplo 1 de la sección 19.7, verifique los valores dados
en,a) el primer renglón, y b) el segundo renglón de la matriz PO»

24. Demuestre que las ecu:
de r estados, r > 2.

iones (19.6) y (19.7) son válidas para una cadena

Rı

25. Demuestre que es una matriz estocástica,

een

3 07!

ee ern

los elementos de la matriz límite T. Redondee cada elemento al segundo lugar deci
mal. ©) ¿Cuál es el vector fijo?

27. Verifique, mediante un diagrama de árbol, los valores de ply p£dados al
final de la sección 19.7.

28. Con la Fig. 195, calcule la probabilidad de que un ar
generación sea, a) dominante; b) híbrido.

sal en la tercero

29. Construya un diagrama de árbol para dos generaciones cuando un híbrido
se cruza con un híbrido y luego estos descendientes se cruzan con un híbrido.
¿Cuál es la probabilidad de que un descendiente de la segunda gener
híbrido?

30. Con la Fig. 197, calcule la probabilidad de que la partícula alcance la po-
sición 2 después de a) tres pasos; b) cinco pasos; ©) 2m pasos,

31. Con la Fig. 19-7, extendida, si es necesario, calcule la probabilidad de que
la partícula sea absorbida después de a) tres pasos: b) seis pasos.

332 CADENAS DE MARKOV
32. A apuesta con B en un juego justo. Cada uno de ellos empieza con $3 y

juegan tres partidas. ¿Cuál es la probabilidad de que A a) quede arruinado? b)
Gane $1?

ALGUNAS RESPUESTAS

CAPITULO 19

1. (a) y b), porque los renglones suman 1

A à #
3. @) fe 25 © ie al

5. (a) 6,3); (0) 6545

IZ 4
7 | 20 2), 11, pol = AA: pe = BR.
14 5

13. (a) 0.624; (b) 0.626. 15. PY = §: pi) Ep -H.
29. 4. 31. (a) 4%; (b) 0.00922.

Aquí termina el refuerzo del tema "Cadenas de Markov" y
también es el fin de la obra,

Esperamos que sea de enorme provecho para todos aquellos
interesados en el apasionate a la vez que importante tema de
la Teoría de Probabilidad y sus muchisimas aplicaciones.

INDICE

Algebra de conjantos, § Enters, 2 Multiplicación escalar, 126
Análisis combintoro, 16 Enteros positivos, 2
Aplicación, 74 Espacio de etados, 130 N (enteros positivos), 2

Espacio de probablidad discreto, 43 Ma 0,107
an Espacio de probabilidad finito, 41 Notación factorial 16
Cadena (Markov) 130 Espacio de probabilidad producto, SO. Nomeres reales, 2
Cadena de Markov, 130 Espacio equiprobabl, 42
Células, 5 Espacio equiprobable fito, 42 Particiones, 5, 2, 56
Clases de conjunto, 5 Espacio muestral, 38 Pariciones ordenados, 22
Cocficientes dl binomio, 19 Espacio uniforme, 2, 43 Aint
Coefcientes multinomiaes, 20 Espacios muestrales infinitos, 43 Pk: 9), 108
Columna de una mati, 126 Esperanza, 75,83, 4 Permutaciones, 16
Combinaciones, 21 Estado absorbente, 134 Permutaciones con repeticiones, 17
Complemento de un conjeto, 2 Esemo, 38 Probabilidad, 3 40
Complemento relativo, 2 Evento certo, 38 Probabilidad condicional, 54
Componente de un vector, 126 Evento impostl, 38 Problema del cumpleaños, 43
Conjunto, 1 vemos aleatorios, 42 Proceso stocástco, 55
Conjunto nulo, 1 Eventos dependientes, 57 Proceso estocástico finite, $5
Conjunto potencia, 5 Eventos elementales, 38 roducio de probabilidad, 50
Conjumo producto, 4 Eventos independienes, 57 Promedio muestral 87
‘Conjunto unica, 1 Exentos mutuamente exclusivos, 9 Promedio ponderado, 75
Conjunto vacío, 1 Exito (dstribución binomial), 105 Pruebas con sustitución, 18
Conjuntos contables, 4 Pruebas independientes, 58, 68
Conjantos de índices, 5 Familia de conjuntos, 5 Pruebas repetias, $8
Conjuntos disyunos, 2 Favorable, 105 Punto muestral, 38
Conjuntos Amos, 4 Fla de una matriz, 126
Conjuntos infinitos, 4 Fracaso (distribución binomial), 105 R (números reales), 2
Conjuntos no contable, 4 Frecuencia relativa, 38 Recorido, 74
Comes, 16 Función, 74
Correlación, 90 Fonción de decida, 84 Subconjunto, 1
Corarianza, 10 Función de distribución acumwlaiva, 85 Sucesos, 39, 37

Función de probabilidad, 40,75
Desfavorable, 105 Función de probabilidad condicional, 63 Técnicas de coma, 16
Desiguaided de Tehebychel, 86 Función de probabilidad conjunta, 79. Teorema central del Imite, 108
Desviación estándar, 78,83, $5 Función de variables aletoias, 82 Teorema de Bayes, 56
Diagonal, 134 “Teorema de la-muiplicación, 5
Diagonal principal, 136 Imagen, 74 Teorema del binomio, 19, 27
Diagrama de árbol, 9, 23,55 Imagen inversa, 74 Tridngulo de Pascal, 20
Diagrama de transición, 146 Independencia, 37
Diagrama de Venn, 3 Indie, 1 Unidades estándar, 107
Diferencia de comantos, 2 Infinito contable, 4 Union de conjentos, 2
Distribución (de variable aleatoria), 75, 83 Interseciön de conjuntos, 25
Dtribacon binomial 105 Intervalo, 2 Valor esperado, 75
Distbación conjunta, 79 Variable aletoria continu, 84
Distribución de Bern Ley de lo grandes números, 86 Veriabie deatoris discreta, 83
Disriboción de Gauss, 106 Leyes de De Morgan, 3 Variable alemoria estandarizado, 79
Disribacón de Poisson, 108 Variable aleoria independiente, 81, 85
Disribación de probabilidad inicial, 132 Mati, 126 Variables aleatorias, 74
Desribución estacionaria, 133 Matriz cundrada, 126 Varianza, 78, 83, 84
Distribución marginal, 80 Matriz de transición. 130 Vector, 126
Disribación multiomial, 109 Matriz etocástica, 127 Vector de probabilidad, 127
Distribución normal, 106 Matriz estocástica regula, 128 Vector fijo, 12, 129

Disribución normal eständar, 107 Ventajas, 42

Elemento, 1 Muestras orcenadas, 18 Zíenteros, 2

Distribución binomial de Bernoulli
Al Lun p) =) py Az np
a) 2. resultados posible A

on ensayos independientes

) pra =I; p:óxito, q: fracaso
N A: no- de Exitos de D qn
Ejem: Un Se. vende 6 de cada 100

«ares que muestra.
ope venda 2 de

[3 t b 478
seed = (2) er

¿Cuál es la prob

A

Si lazo uty moneda 5 veses, {Ove prob.

be de qu resuHen:

4 dgotlas:

: F (45,4) = &
FIS águilas Wa) à

Distribución de Poisson :
Guando N (Feblacign ) es moy
grande ip mo Ran 2

PU de ag” de ps

X= cass fav
rabies

yen. I: 0% de productos son defec har:
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Homddos al azar, 2 sean defectvosos
r=Wo~ pa P= Pea
x=
Pe eet S + = 18.4%
Fim 2,5 k pb. de qed. individ

sota und reacción al inyedor de werd

= 1000, geterminue ia prob. de

qu en 2000 gentes *

0) Exactamente 3 tengan read

p= 000 AzRpe 2
ae 19%

EC
b) Mos de 2 tengan veucuion
PO) = ue a

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A) Areas bajo la curva normal
nn Koax:
=

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(2) rl EF dz
Fi O ot (2700 1.01 02133104] 05 | 08, 07 | 08 [008
+ T 7.0) 5000) 4960 82048801 4840) 4801|.4761|.4721 4681] 4047
o 000 ‚ana Los | D.: |. 4602| 4562! 4522 4483] 4445 | 4404| 4364 | 43254288 | 4247
i os | 0517 | 0557 |0.2| .4207| 4168 .4129| 4080} .4052 "4013| 3974| 3036 | 3807 | 3859
je u |0.3|.3821|.3783 .3745|.3707| 2889| 2632) .3594| 3557 .3520| 3483,
2 a ese 10.4| 3446 | 3409) 3972) 3396| 2300 |.3264 | 3228 |.3192| 3156) 3121
+ | onl [0.5].3085] 3050|.3075/.2981/ 2048|.2912] 2877) 2843| 2810| 2776)
I | 230 06|2743| 2709| 2676 2643] 2611/2678 | 2546| 2514| 2483| 2451|
a | 2704 0.7|.2420| 2389| .2358 .2327| 2208 .2288|.2236| 2206| .2177| 2148|
ae | 20er | Boos |9.8| 2119] 2000 2061 2023] .2008|.1977] 1949] 1922]. 1894) 18871
a $9 | 3315 | 3340 E [o.9l 1841]. 1814) 1708 .:762| 1725 1.1711 | 1685 | 1660], 1635) 1611)
10,7] 3531| 3554 | 3577 | 3599 3621| |1.01.1587].1562].18381.1818|.14821.14881.1446 1.1423] 14011 170
14 3749 | 3770 | 3790 | 3810 3830 | |4.4] 1357] 1395] 1914) 1292] .1271 .1261|.1230|.1210|.1190|-1170
12 de Le 1151 |.1131|.1172].1082| 1075) .1056| 1036 | 1020] 1003| 0985
13 o ote | 0968} 0951 | .0934 |.0918 0801 |.o88s| 0869 | 0853] .c626| 0823
ES en | .0808|.0793| 0778 .0784 074€ 0725) 0708} 0694) 0881
ED | eee ane | (0666 |.0855/ .0643/ 0630/0618 | 0606; ‚0582|.0571|.0558
| Pal | ‚0548 |.0837|.0528 .0518 | 0505 | nass 0475|.0466 | 0455
18 | | “acre | 4686 | o446 | 0436 | .0427|.0418 | .0408| 0401 ‘0384 | 0375|.0267
15 474 | 4750 .0359| 0352 | 0244] 0336 |.0229| 0322 0307 |.0201 | 0204
20 5733 AI | 4803 .0287|.0281 | .0274| .0268 | .0282| 0258) . .0244| 0238| 0233
21 4842 | 4846 ‚0228| .0222|.02171.02121.0207].0202] ‚0192| 0188 | 0183
22 ara | 4881 0179| 0174) 0170| 0168 :.0162|.0168 0150) "0146 | 0143
x 4893 | 4904 4906 | 4909 0139] 0136| 0132|.0128:.0125 .0122|.0119|.0116|.0113|.0110
4918 | 920 | 492) | 4929 | A931 0107|.0104| 0102| 0088 0086 0064 | 0091 | 0089] 0087 |.0084
4938 | 4940 | 4045 | 4946 | 4048 0082/0080 | 0078 .0075 ‚0073| 0071 0068 | 0068 | 0064
A953 | 4955 | ho ‘0062 0060] 0050 |.0087..2055 |.0054 .0052|.0051|.0049|.0048
le | | aa 0047 |,0045| .0044| 0043, .0041 | .0040 c038|.o0a7|.2036
Pe le aaa | 4064 2085 0035 | 0054 | .0033 | 0032) .0081 |.0030 |. 0028 | .0027 | .0026
altos 4986 | 49897 4959 12.8/.0026|.0025 | 0024 |.0023 | .0023| 0022 0021] .0020}.0019
| ee 123].0018].0018.00171.0017 .0016|.0016| 2015] 015] 0014] 0014
52 | 4903 | 4993 4994 | 4904 | 4904 3.0) 0013
33 4995 | 4095 4996 | 4906 | 4996 | |
34 4997 | 9997 2097 | 4997 | 4997 35| 00 233
= nn = 4.0) .000 031 7
| 4.51 .000 003 4
| 5) 000 000 zer|
| 49999970) mn

LL

+ La teoría de la probabilidad tuvo sus comienzos a princi-
los del siglo xv como resultado de investigaciones sobre
diversos juegos de azar, De entonces acá han contribuido a su
pertecoionamiento muchos matemáticos y científicos célebres;
pero a pesar de su larga y activa historia, sólo se axtomatizó
‘durante la tercera y cuarta décadas do este siglo.

+ La importancia de la probabilidad ha crecido enormemen-
te en los últimos años, y hoy aparece, junto con su disciplina
gemela, la estadística, en casi todos los campos, como la fis
ca, la química, la biología, la modicina, la psicología, la sociolo-
gía, la ciencia politica, la educación, la economia, los negocios,
la investigación operativa y todas las ramas de la Ingeniería,

+ Este libro comienza con un capitulo sobre conjuntos y sus.
operaciones y continúa con uno sobre permutaciones y otras
técnicas de contar. Viene luego un capítulo de espacios pro-
babilísicos y otros de probabilidad condicional e Independencia.
El capitulo quinto, que es el principal, trata sobre variables y
alealories. All definimos la esperenza, varianza, desviación
estándar, y probamos la dosigualdad de Tchebycheo y la ley de
los grandes números. Seguimos con un capítulo aparte sobre
las distribuciones binomial, normal y de Poisson. Aqui se da el
eorema central del límite en el contexto de la aproximación nor
mal a la distribución binomial. El séptimo y último capítulos
ofrecen un desarrollo olomontal completo de las cadenas de
Markov con aplicaciones.

ee

| McGraw-Hill Interamericana
Editores, S.A. de CV. El
ALU

A Subsidiary of The MeGraw Hill Companies

1198

Probabilidad (Schaum) – 1ra Edición – Seymour Lipschutz en PDF

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