Probabilidad1con reemplazo y sin reemplazo.pdf

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1. ESTADISTICA II
II
Ing. PeggiMontoya

2. PR Probabilidad
La teoría de la probabilidad es una rama de la
matemática eminentemente útil para el hombre de
negocios. En su mayor parte la estadística se basa en
principios de probabilidad.
La estadística proporciona métodos para la toma
de decisiones frente a la incertidumbrebasándose
en la teoría de las probabilidades, que es un
instrumento indispensable para toda clase de
estudios que tenga asociado la incertidumbre

3. Definición de probabilidad
La Probabilidad se define como un numero que puede
tomar valores de 0 a 1. Con frecuencia la probabilidad
se expresa en porcentajes.
P(A)= 1; Se asigna a un fenómeno que con certeza ocurrirá
P(A) = 0 ; se asigna a un fenómeno que no ocurrirá.
P(A) = 0.5 ; se asigna a un fenómeno que tenga igual
probabilidad de ocurrir que de no ocurrir.
P(A) = 0 –0.5; se asigna a un fenómeno que tenga menos
probabilidades de ocurrir.
P(A) = 0.5 –1; se asigna a un fenómeno que tenga más
posibilidades de ocurrir.



4. Conceptos y definiciones
Experimento.-
Proceso
Tarea que conduce a un
Actividad resultado observable
Experimento Deteminístico.-
Si los resultados del experimento están completamente
determinados y pueden describirse por una fórmula
matemática ; o cuando el resultado de la observación es
determinado en forma precisa por las condiciones en que se
realiza el experimento. Ejemplo: Dejar caer un marcador.


5. Experimento no determinístico
Cuando el resultado de un experimento no pueden
predecirse con exactitud antes de realizarse el
experimento. Ejemplo :
Lanzar una moneda y observar la cara superior
Observar la suma de dos números naturales pares
Contar el número de piezas defectuosas producidas por
una máquina durante una hora
Elegir un representante de un grupo de 30 personas
Observar el tiempo de vida de una hornilla a resistencia

6. Espacio Muestral.-Se denomina así al conjunto de posibles
resultados de un experimento aleatorio Y se simboliza con la
letra S.
El espacio muestralpuede ser:
1. Espacio Muestralfinito.-Si está formado por un conjunto finito de
resultados. Ejemplo
Lanzar un dado S
1={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lanzar una Moneda S
2={C, S}
2. Espacio Muestralinfinito.-Se dice así cuando tiene un número no
numerable de elementos. Ejemplo :
Observar la vida útil de un artefacto S
3= El artefacto dura más de 2000 horas
Observar el espesor del papel S
4= El espesor se encuentra
entre 0 y ½ pulgada.




7. Ejemplos: para cada caso se pide identificar el espacio muestral:
1.-Supóngase que se analiza muestras de flujo nasal para detectar
la presencia del virus covid19.
 S = {Sí, No}
2.-Consideremos la selección de 2 componente y se clasifica
conforme cumplen o no los requerimientos. Sea A: Aceptable
y N: No aceptable
 S = {AA, AN, NA, NN}
3.-Se tienen tres artículos A,B y C. se selecciona solo dos artículos.
Determine el espacio muestralpara el caso de realizarse el
experimento sin remplazo y con remplazo.
Sin reemplazo: S = {AB, BA, AC, CA, BC, CB}
Con reemplazo S = {AA, AB, AC, BB, BC, BA, CB, CC, CA}



8. Evento
Se define evento a cualquier subconjunto del espacio muestraly lo
denotamos por las letras A, B, C, D... etc. Así si A es un evento
entonces A pertenece al S.
Los diferentes puntos muestralesson mutuamente excluyentes
en el sentido de que 2 eventos no pueden ocurrir simultáneamente
en una prueba. Un evento puede ser:
1.Evento elemental: un solo elemento del espacio muestral
2.Evento compuesto: dos o mas elementos del espacio muestral
3.Un espacio muestrales un evento
4.Un subconjunto que no tiene elementos es también un evento


9. Ejemplo: para cada caso determine el espacio muestraly los eventos
indicados
1-Sea el experimento lanzar un dado y observar el número que aparece
en la cara superior. El espacio muestralasociado a este experimento es:

 S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Para este experimento podemos definir los siguientes eventos:
A: Observar un número impar , entonces A = { 1, 3, 5 }
B: Observar un número menor que cuatro, entonces B = { 1, 2, 3 }
C: Observar un número múltiplo de dos, entonces C = { 2, 4, 6 }
D: Observar un número múltiplo de tres , entonces D = { 3, 6 }
E: Observar el número uno , entonces E = { 1 }
F: Observar el número doce , entonces F = { }
G: Observar un numero menor que 10 G={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

10. 2.-Se selecciona dos componentes y se clasifica conforme
cumple o no con las especificaciones.
S = {AA, AN. NA, NN}
E
1= Los 2 sean aceptados = {AA}
E
2= Por lo menos uno sea aceptado = {AA, AN, NA}
E
3= Los 2 sean rechazados = {NN}

3.-Cuatro estudiantes. Ana, Ines, Luz y Sara se presentan a un
concurso para obtener una beca, se becara a los estudiantes
que obtengan el primer y segundo lugar.
Se pide determinar:
a) el espacio muestral={ AI, AL,AS, IA,IL,IS, LA, LI,LS,SA,
SI,SL }


11. b) los eventos: E1: Ana obtiene el primer lugar, E2: Ana y
Sara ganan las becas, E3: luz gana el segundo lugar
Solucion
S=(AI, AL,AS, IA, IL, IS, LA, LI, LS, SA, SI, SL)
E1= (AI,AL,AS)
E2=(AS,SA)
E3=(AL,SL,IL)

12. Ejercicios propuestos
4. Se estudia el sexo de familias con 3 hijos. Se pide determinar
el espacio muestraly los eventos E1=solo hijos hombres,
E2=dos hijos hombres E3=Por lo menos dos hijos hombres
E4= como maximo2 hijas mujeres, E5=La primera y la ultima
mujer
S=(HHH, HHM, HMH, HMM, MHH, MHM, MMH, MMM)
E1= (HHH)
E2= (HHM, HMH, MHH)
E3=(HHH, HHM, HMH, MHH)
E4=(HHH, HHM, HMH, HMM, MHH,MHM, MMH)
E5=(MHM, MMM)

13. 5. Se analiza un conjunto de estudiantes y se los clasifica en
según rendimiento en la materia de estadística y su actividad. A
continuación se presenta el resumen de los resultados
obtenidos en 60 estudiantes.
REND: E, B, R
ACT: T , NT

14. E1(E) =35 P(E)=35/60
E2(T) =30 P(T)=30/60
E3(E y NT) =20 P(E y NT)=20/60
E4(B o R) =25 P(BoR)=25/60
E5(NT y B) =8 P(NT y B)=8/60
E6(T y B) =10 P(T oB)=10/60
E7( T o B)=38 P(To B)=38/60

15. Conceptos de probabilidad
1. Probabilidad clásica o A priori.-
Se basa en el supuesto sencillo de resultados
igualmente probables de un experimento al azar .
Sostiene que si un experimento puede producir n
resultados y dentro de estos el evento E puede
ocurrir n(E) veces. Entonces la probabilidad del
evento E se escribe así:
P(E) = n(E) / n


16. 2.-Probabilidad según el concepto de la
frecuencia relativa

Los teóricos de la frecuencia relativa indican que el único procedimiento
válido para determinar la probabilidad es por medio de experimentos
repetidos.
Si un experimento se realiza m veces en las mismas condiciones y hay
m(E) resultados a favor del evento E, entonces la probabilidad de ese
evento es:
P(E) = m(E) /m
Donde:
m = # veces en que se repite el experimento
m(E) = # de veces que ocurre el evento E en los m experimentos.


17. 3.-Probabilidad subjetiva
Considera la probabilidad como una medida de confianza
personal que se le asigna a la ocurrencia de un evento.
Diferentes individuos pueden asignar distintos grados de
confianza, incluso cuando se le ofrezca la misma evidencia.
Ejemplo:
Probabilidad de ganar una competencia atlética.
Probabilidad de que se encuentre una vacuna para el covid19

18. Probclásica o apriori
Exp= lanza un dado
Espacio muestralS=(1,2,3,4,5,6)
Eventos:
E1= num1= (1) P(1)=n(E1)/n=1/6
E2= par =(2,4,6) P(par)=n(par)/n=3/6
E3= mayor igual a 5=(5,6) P(E3)= n(E3)/n= 2/6
E4= menor que 3 = (1,2) P(E4)=2/6
E5= 18=() P(E5)= 0/6
E6= #3= (3) P(E6) = 1/6

19. Probsegún la frecuencia relativa
Exp=Lanzar un dado 10 veces
Espacio muestralS=(4,3,3,6,2,6,5,1,5,5)
Eventos:
E1= num1= (1) P(1)=m(E1)/m=1/10
E2= par=(4,6,2,6) P(par)=4/10
E3= mayor igual a 5= (6,6,5,5,5) P(E3)=5/10
E4= menor que 3 =( 2, 1) PE4)=2/10
E5= 18 =( ) P(18)= 0/10
E6= #3=(3,3) P(3) = 2/10

20. Reglas para calcular la probabilidad
1.-Regla de la adición P(A U B) = P(A o B)=?
1.1.Para eventos mutuamente excluyentes
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si A ∩ B no tiene elementos
AUB=A o B= #A + #B = 5 +3 = 8
BUC=B o C= #B +#C = 3 + 8 = 11
S=16
P(AU B) = P(A o B )= P(A)+P(B)= 5/16 +3/16 = 8/16
A= lapiceros=5 P(A)=5/16
C=8 B B= Boradores= 3 P(B)=3/16
C=8 Tajadores P(C)= 8/16
A
P(BUC) = P(BoC) = P(B) + P(C)= 3/16 + 8/16 = 11/16
P(AUC) = P(A) + P(C) = 5/16 + 8/16 = 13/16
5
3

21. 1.2. Para evento no excluyentes.
Dos eventos A Y B son no excluyentes o solapados si A∩B es
diferente del conjunto vacío
S=183
C=120 AUB = A + B -A∩B=30+40-7=63
23 P( AUB)=P(AoB)=P(A) +P(B)-P(A∩B)
A 7 33 B Donde:
A∩B≠ conjunto vacío=7
Ejemplo
A= # de estudiantes EstII B3 =30 P(A)=30/183
B= # de estudiantes EpisB3 =40 P(B)=40/183
A∩B= # de estudiante que llevan EstII B3 yEpisB3= 7 P(A∩B)=7/183
C= # estudiantes que no lleva estII ni Epis=120 P(C) = 120/183
P(AUB)= P(A) + P(B) -P(A∩B)= n(AUB)/n = 63/183
= 30/183 +40/183 -7/183 = 63/183

22. 2.-Regla de la multiplicación P(A∩B)=P(AyB)= ?
2.1. Para eventos independientes “Con remplazo”
 Uno o más eventos son independientes si no tienen relación alguna entre sí.
Dicho de otra forma, si la ocurrencia de A no afecta para nada la ocurrencia
de B y viceversa.
 Para calcular la probabilidad de que se de el evento A y el B son:
 P(AyB) = P(A∩ B) = P(AB)= P(A) * P(B)
 Si fueran 3 eventos independientes A, B y C.
 P(A y B y C) = P(A B C) = P(A) * P(B) * P(C)
Ejemplo
P(A)= 1er hijo H=1/2 P(B)= 2do hijo H=1/2 P(C)= 3er hijo H=1/2
P(ABC)=P(A)*P(B)*P(C)=1/2*1/2*1/2=1/8

23. 
2.2. Para eventosdependientesSin reemplazo
Si A y B son 2 sucesos, estosserándependientessila probabilidad
de ocurrenciade B dependede la ocurrenciade A o viceversa.
“Si el procedimiento de selección se hace sin reemplazo se trata de
sucesos dependientes”
Es decir:
P(B/A) ≠ P(B)
P(A/B) ≠P(A/C) ≠ P(A)
Si se desea calcular la probabilidad de A∩ B, sabiendo que A y B son
dos sucesos dependientes:
P(A∩ B)=P(B∩A)
P(A∩B) = P(A) * P(B/A) P(B) ≠ P(B/A)
P(B∩A) = P(B) * P(A/B) P(A )≠ P(A/B)



24. Probabilidad condicional
P(A/B) = Probabilidad de A condicionada a B =
Probabilidad de que ocurra A dado que ocurrioB
P(A )≠ P(A/B)
P(B/A)= Probabilidad de B condicionada a A=
Propabilifdadde que ocurra B dado que ocurrioA
P(B )≠ P(B/A)

25. Ejercicios
1.-Se tiene una caja con 4 marcadores negros, 3 marcadores rojos y 7 marcadores
azules
A) Se pide determinar la probabilidad de seleccionar un marcador que sea azul, que sea
rojo y que sea negro
B) Se seleccionan dos marcadores sin remplazo y se pide determinar la probabilidad
* que los dos sean rojos, sean azules, de que sean negros
** el primero sea rojo y el segundo azul, de que el primero sea rojo y el segundo
negro, de que el primero sea negro y el segundo azul
*** De seleccionar un rojo y azul, un rojo y un negro, un negro y un azul
c) Se seleccionan tres marcadores sin remplazo. Cual es la probabilidad de seleccionar:
* Rojo el primero , azul el segundo y negro el tercero
** Un rojo, azul y negro
*** De seleccionar tres rojos
Repetir estos cálculos para el caso de seleccionar Con remplazo

26. Solución
1.-Marcador cantidad
 negro 4
 rojo 3
 azul 7 6
A) P(A)= 7/14
 P(R)=3/14
 P(N)=4/14
B) se seleccionan 2 marcadores s/remplazo
* P(2A)=P(AyA) = P(A)*P(A/A)= 7/14 *6/13=0.2307
P(2R)=P(R yR)=P(R) *P(R/R)=3/14*2/13=0.0329
P(2N)=P(N)*P(N/N)= 4/14* 3/13=0.0659
** P(R1 y A2)=P(R1)*P(A2/R1)=3/14*7/13=0.1153
P(R1 yN2)=3/14*4/13=0.0659
P(N1 y A2)=4/14*7/13=0.1538

27. ***
P(RyA)=P(R1yA2)+P(A1yR2)=P(R1)*P(A2/R1)+P(A1)*P(R1/A2)=
 =3/14*7/13 + 7/14*3/13= 0.23
P(RyN)=P(R1yN2)+P(N1y R2)=P(R1)*P(N2/R1)+P(N1)*P(R2)=
 = 3/14*4/13 + 4/14*3/13=0.13
P(NyA)=P(N1yA2)+P(A1yN2)= P(N1)*P(A2/N1)+P(A1)*P(N2/A1)=
=4/14*7/13+7/14*4/13=0.02
C) P(R1yA2yN3)=P(R1)*P(A2/R1)*P(N3/R1A2)=3/14*7/13*4/12=0.038
P(RyAyN)=P(RAN)=P(R1yA2yN3)+P(R1yN2yA3)*P(N1yR2yA3)+
P(N1yA2yR3)+P(A1yN2yR3)+P(A1yR2yN3)=0.2307

28. Con remplazo
A) P(A)=7/14=0.5
 P(R) =3/14=0.2142
 P(N)=4/14
B) * P(AyA)=P(A)*P(A)=7/14*7/14= 0.25
 P(RyR)=P(R) *P( R)=3/14*3/14=0.0459
 P(NyN)=P(N)*P(N)=4/14*4/14=0.081
 ** P(R1yA2)=P(R)*P(A)=0.10714
 P(R1yN2)=P(R)*P(N)=0.061224
 P(N1yA2)=P(N)*P(A)=0.1428

29. *** P(RyA)=P(R1yA2)+P(A1yR2)=3/14*7/14+7/14*3/14=0.214
 P(RyN)=P(R1yN2)+P(N1yR2)=3/14*4/14+4/14+3/13=0.122
 P(NyA)=P(N1yA2)+P(A1yN2)=4/14*7/14+7/14*4/14=0.2857
c) P(R1yA2yN3)=P(RyAyN)=3/14*7/14*4/14=0.03061
P(RyAyN)=)=P(R1yA2yN3)+P(R1yN2yA3+P(N1yR2yA3)+
P(N1yA2yR3)+P(A1yN2yR3)+P(A1yR2yN3 )=
=3/14*7/14*4/14+ 3/14*4/14*7/14+4/14*3/14*7/14+
4/14*7/14*3/13+7/14*4/14*3/14+7/14*3/14*4/14=6 *
0.030612245=0.1836

30. 2.-a) Se lanza un dado y se pide la probabilidad de se sea:
numero par, un numero < que cuatro, el numero 12, un numero
menor igual a 3
b) Se lanza un dado tres veces y se pide determinar la probabilidad
de se que : los tres sean numero 6, de que los tres sean el numero
1. de que todos sean el mismo numero, de que salgan en el
siguiente orden; 1,3,5; 2,4,1; 6,1,3; 1,3,1. De que salgan el
1,3,y 5 en cualquier orden
S=(1,2,3,4,5,6) E1= par=(2,4,6) E2= <4= (1.2.3) E3=#12=0
a) P(par)=3/6 P(≤3)=3/6
 P(<4)=3/6 P(#6)=1/6
 P(12)=0/6 P(#1)=1/6


31. a)
P(3 veces 6)=P( 6 y 6 y 6)=P(6)*P(6)*P(6)=1/6*1/6*1/6=0.00463
P(3 veces 1)=P( 1 y 1 y 1)=P(1)*P(1)*P(1)=1/6*1/6*1/6=0.00463
P(todos iguales)=P(1y1y1)+P(2y2y2)+ P(3y3y3)+ P(4y4y4)+P(5y5y5)
 +P(6y6y6)=6*0.00463=0.027778
P(1y3y5 en este orden)=P(1)*P(3)*P(5)=1/6*1/6*1/6=0.00463
P(2y4y1 en este orden)=P(2)*P(4)*P(1)=1/6*1/6*1/6=0.00463
P(6y1y3 en este orden)=P(6)*P(1)*P(3)=1/6*1/6*1/6=0.00463
P(1y3y1 en este orden)=P(1)*P(3)*P(1)=1/6*1/6*1/6=0.00463
P(1y3y5 en cualquier orden)=P(1y3y5)+P(1y5y3)+P(3y1y5)+
P(3y5y15)*P(5y1y3)*P(5y3y1)= 6* 0.00463=0.02778

32. 3.-De todos los alumnos de Psicologiael 60% son mujeres y
el 10 de estas trabajan . De los hombres solo el 5 % trabaja
Se pide:
a) P(T y M), P(T y H)
B) P(T), P(NT)
C) P(T oM)
D) P(To H)
Solucion
a) P(T yM)=P(MyT)=P(M)*P(T/M)=0.6*0.1=0.06
b) P(T yH)=P(HyT)=P(H)*P(T/H)=0.4*0.05=0.02
C) P(T)=P(MyT)+P(HyT)=0.06+0.02=0.08
 P(NT)=1-P(T)=1-0.08=0.92
D) P(MoT)= P(M)+P(T)-P(MyT)=0.6+0.08-0.06=0.62
 P(HoT)= P(H)+P(T)-P(HyT)=0.4+0.08-0.02=0.46

33. 4.-Sean: P(A)= 0.3. P(B)=0.2 Y P(A∩B) =0.1
Se pide determinar
a) P(NA) e) P[N(A u B)]
b) P(AUB) g) P(A/B)
c) P(NA∩ B) h) P(B/A)
Solucion
P(NA)= 1-P(A)=1-0.3=0.7
P(AuB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.3+0.2-0.1=0.4
P(NA∩B)=P(B∩NA)=P(B)*P(NA/B)=P(B)*P(NA∩B)/P(B)=
=0.2*(0.1/0.2)=0.1
P(N(AuB))=1-P(AuB)=1-0.4=0.6
P(A/B)=P(AyB)/P(B)=0.1/0.2=0.5
P(B/A)=P(AyB)/P(A)=0.1/0.3=0.3333

34. Probabilidad total
Sean A
1, A
2, A
3, ....A
n, n eventos mutuamente excluyentes,
cuya unión es el espacio muestral“S” y donde cada uno de
estos eventos tienen probabilidades positiva y si B es un
evento arbitrario que ocurre asociado con cada uno de los
eventos mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad
total de que ocurra el evento arbitrario B será:
)
A
B
(P).A(P)B(P
)A/B(P).A(P....)A/B(P)A(P)A/B(P).A(P)A/B(P).A(P)B(P
)BA(P..............)BA(P)BA(P)BA(P)B(P
n
1i
I
I
nn232211
n321






35. S=A1 + A2 + A3 +…+ Ai+…+ An
B= (A1∩B) +(A2∩B) + (A3∩B) + …+(Ai∩B) + … (An∩B)
P(B)= P(A1∩B) +P(A2∩B) +P P(A3∩B) +....+P(Ai∩B) +.. .+P(An∩B)
P(B)= P(A1)*P(B/A1)+P(A2)*P(B/A2)+..+P(Ai)*P(B/Ai)+...+P(An)*P(B/An)

36. TEOREMA DE BAYES

Permite calcular la probabilidad de uno de los eventos
mutuamente excluyentes (Ai), dado que ocurrió el evento
arbitrario B
Esta probabilidad se calcula asi:
)(
)(
)(
)(
)(
)/(
)(..............)()()(
)(
)/(
1
321
BP
BAiP
BP
BAiP
BAiP
BAiP
BAPBAPBAPBAP
BAiP
BAiP
n
i
n










P(P(Ai/B) =
??????(&#3627408436;????????????&#3627408437;)
??????(&#3627408437;)

37. Ejercicios
1. Suponga que el 2% de las telas de algodón son defectuosos al
igual que el 3% de los rollos de Nylon. De los rollos utilizados por un
fabricante 70% son de algodón y 30% de Nylon ¿cuál es la
probabilidad de que al seleccionar al azar uno de los rollos este sea
defectuoso?.
P(D/A)=0.02 P(ND/A)=0.98
P(D/N)=0.03 P(ND/N)=0.97
P(A)=0.7
P(N)=0.3
A) P(D)=P(AyD)+P(NyD)=P(A)*P(D/A)+P(N)*P(D/N)=
 =0.7*0.02+0.3*0.03= 0.023

38. 2. La probabilidad de que falle un conector eléctrico que se
mantiene seco durante el periodo de garantía es 1%. Si el
conector se humedece, la probabilidad de falla durante el
periodo de garantía es 5%. Si el 90% de los contenedores se
mantienen secos y el 10% se humedece ¿qué porcentaje de
conectores fallara durante el periodo de garantía?, P(S/F) y
P(H/F)
P(F)=?
P(F/S)=0.01
P(F/H)=0.05
P(S)=0.9
P(H)=0.1
P(F)=P(SyF)+P(HyF)= 0.014
P(SyF)=P(S)*P(F/S)= 0.009
P(HyF)=P(H)*P(F/H)= 0.005
P(H/F)=P(HyF)/P(F)= 0.35714286
P(S/F)=P(SyF)/P(F)= 0.64285714

39. 3. Los clientes se encargan de evaluar los diseños de varios productos. En
el pasado el 95 % de los productos de mayor éxito en el mercado recibieron
buenas evaluaciones, el 60 % de los productos con éxito moderado
recibieron buenas evaluaciones y el 10 % de los productos de escaso éxito
recibieron buenas evaluaciones. Además, el 40 % de los productos han
tenido mayor éxito, el 35 % un éxito moderado y el 25 % escaso éxito.
a) ¿cuál es la probabilidad de que el producto obtenga buena evaluación?
b) Si un nuevo diseño obtiene buena evaluación ¿cuál es la probabilidad de
que se convierta en un producto de gran éxito?
c) Si un producto no obtiene buena evaluación ¿cuál es la probabilidad de
que se convierta en un producto de gran éxito?

40. 4. Cuando una computadora se bloquea, existe una probabilidad
de 75% que se deba a una sobrecarga y de 25% de que sea por
un problema de software. La probabilidad de que se origine en
una sobrecargao un problema de software es de 85%. ¿Cuál es
la probabilidad de que se deba a ambos problemas?, ¿Cuál es
la probabilidad de que haya un problema de software sin
sobrecarga?

5. Se ha observado que 80% de los accidentes en fundidoras se
deben a errores humanos, 40% a fallas de equipos. En 35%
participan ambos problemas. Se investiga un accidente en una
fundidora ¿Cuál es la probabilidad de que solo haya resultado de
errores humanos?


41. 6.-En cierto sector metropolitano los grupos de ingresos
bajos, medianos y altos constituyen el 20%, 55% y 25% de la
población respectivamente, se sabe además que el 80%
del grupo de bajos ingresos se oponen a un proyecto de
ley que cursa actualmente en el congreso. Los porcentajes
de los grupos medio y alto son respectivamente 30% y 10%.
Se selecciona al azar un individuo de esta población y se
encuentra que se oponen al proyecto de ley. ¿Cuál es la
probabilidad de que la persona pertenezca a un grupo de
bajos ingresos?, ¿Al grupo de ingresos medios? Y ¿ Al
grupo de ingresos Altos
?.

42. 7.-De un grupo de pacientes .40 tienen la enfermedad A, 30 la B y 70 la
C, se sabe además que a 7 de A, a 20 de B y a 35 de C; se le presento
dolor de cabeza. Si se selecciona a un paciente y se encuentra que tiene
dolor de cabeza. ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca al grupo de
enfermos de A?, de B? , de C?.

8.-Las muestras de vidrio de un laboratorio se colocan en empaques
pequeños y grandes . Suponga que el 2% y el 1% de las muestras
enviadas en empaques pequeños y grandes, respectivamente, se
rompen durante el trayecto a su destino. Considerando que el 60% de se
envían en empaques grandes, y el 40% en empaques pequeños, ¿cuál
es la proporción de muestras que se romperán durante el envío?


43. 9.-De un grupo de 40 pacientes internados en la “clínica
Niño Jesús”, 15 son pacientes del interior y 25 son pacientes
de la ciudad de Santa Cruz. Se eligen dos pacientes al azar,
sin reemplazo, del grupo de 40. Sean A: el evento donde el
primer paciente seleccionado es del interior, y B: el evento
donde el segundo paciente seleccionado es de la ciudad de
Santa Cruz.
¿Cuál es el valor de P(A)?
¿Cuál es el valor de P(B|A)?
¿Cuál es el valor de P()?
¿Cuál es el valor de P()?


44. Estatura
Peso
Alta Baja
Alta 12 16
Baja 88 34
10.-La siguiente tabla resume los resultados del estudio de
los niños del kinderen cuanto a su peso y su estatura .
•Si el peso de un niño es alto, ¿cuál es la probabilidad de que
la estatura también sea alta?
•Si la estatura de un niño es alta, ¿cuál es la probabilidad de
que el peso sea alto?
•Si la estatura de un niño es baja, ¿cuál es la probabilidad de
que el peso sea bajo?

45. 11.-La irregularidad del corte de productos de papel aumenta a
medida que las hojas de la cuchilla se desgastan. Solo el 1% de los
productos cortados con cuchillas nuevas tienen cortes irregulares, el
3% de los cortados con cuchillas de filo promedio exhiben
irregularidades y el 5% de los cortados con cuchillas desgastadas
presentan irregularidades. Si el 25% de las cuchillas utilizadas en el
proceso de corte son nuevas, el 60% tiene un filo promedio y el 15%
de las cuchillas están desgastadas, ¿cuál es la proporción de
productos que tendrán cortes irregulares?


46. 12.-El 30% de los estudiantes de un instituto practica el futbol, el 40%
practica el baloncesto y el 10% practica ambos. Se elige un estudiante al
azar . Calcular:
A) La probabilidad de que no juegue al futbol ni al baloncesto.
B) Si juega al futbol ¿cual es la probabilidasde que juegue el baloncesto?
C) Son independientes los eventos jugar al futbol y al baloncesto.

13.-Las probabilidades de aprobar lengua son del 80%, las de aprobar
matematicadel 75% y la de aprobar ingles del 70 %. Calcule:
A) la aprobabilidadde aprobar las tres materias..
B) La probabilidad de suspenfdersolo una .
C) Si se ha suspendido solo una, ¿cual es la probabilidad de que haya solo
solomatemáticas.
?

47. 14.-Un jugador de baloncesto suele acertar 75% de sus tiros
desde el punto de lanzamiento de personales. Si acierta el primer
tiro puede tirar de nuevo. Calcular la probabilidad de que :
A) Haga dos puntos
B) Haga un punto
C) No haga ningún punto

15.-La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la
probabilidad que una mujer viva 20 años es 1/3 . Se pide
calcular la probabilidad de que :
A) ambos vivan 20 años
B) De que el hombre viva 20 años y la mujer no
C) De que ambos mueran antes de los 20 años

48. 16.-En un instituto entran nuevos alumnos de otra
población, repartidos de la siguiente forma: 40% en 1º,
30% en 2º, 20% en 3º y el resto en 4º. Elporcentaje
de de alumnos nuevos aprobados de cada curso está en
el 70% en 1º, 60% en 2º, 40% en 3º y 30% en 4º.
Si elegimos un alumno nuevo, ¿cuál es la probabilidad de
que haya aprobado? ¿Y de que haya suspendido?

49. 17.-Enunaempresahay200empleados,100hombresy100
mujeres.Losfumadoresson40hombresy35mujeres.
Seseleccionaunempleadoysepidedeterminar:laprobabilidad
A)dequeseahombre,dequeseamujer,dequedadoquees
hombrefume.Dequedadoqueesmujerfume
B)dequeseamujeryfume,dequeseahombreyfume,deque
fume,dequenofume.
C)dequeseahombreynofume
D)Siseleccionamosunempleadoalazaryestefuma.¿Cuálesla
probabilidadqueseaMujer?,¿cuallaprobabilidadquesea
hombre?

50. 18.-En una clase de la Facultad de Económicas de 30
alumnos hay 18 alumnos que han aprobado estadística, 16
que han aprobado contabilidad y 6 que no han aprobado
ninguna de las dos asignaturas. Se elige al azar un alumno
de la clase y se pide calcular:
a) la probabilidad de que aprobara estadística y contabilidad.
b) Sabiendo que ha aprobado estadística, ¿Cuál es la
probabilidad de que haya aprobado contabilidad?
c) ¿Son independientes los sucesos aprobar estadística y
aprobar contabilidad?