Probabilidade

1. Introdução à
Bioestatística
Nutrição e Fisoterapia
Primeiro Semestre/2013

2. Probabilidade
•
Sua origem está relacionada a jogos de azar;
•
Exemplo:
•
Jogar um dado;
•
Retirar uma carta de um baralho;
•
Lançar uma moeda;
•
...

3. Probabilidade
•
Normalmente é impossível identificar com certeza o resultad o
de um evento futuro:
•
Qual lado da moeda vai sair,
•
A carta que vou puxar do baralho será de qual naipe,
•
Com quantos anos determinada pessoa vai morrer,
•
De qual sexo será o primeiro filho de determinado casal,
•
Determinada pessoa vai desenvolver diabetes,...
•
Usando a teoria da probabilidade, é possível quantificar a
chance de um evento futuro ocorrer com base em
informações obtidas de eventos passados.

4. Experimentos Aleatórios ou
Determinísticos
•
Experimento aleatório:
•
Experimentos que quando repetidos, nas mesmas condições,
produzem diferentes resultados:
•
Jogar um dado numa superfície plana;
•
Retirar uma carta de um baralho;
•
Lançar uma moeda.
•
Experimento determinístico:
•
Experimentos que quando repetidos, nas mesmas condições,
produzem resultados iguais:
•
Ao deixarmos uma pedra cair de determinada altura, o tempo de
queda será sempre igual; •
Ao nível do mar, a água entra em ebolição sempre que atinge 100ºC .

5. Espaço Amostral
•
O conjunto de resultados possíveis, relacionado a um
experimento, é denominado espaço amostral.
•
Exemplos:
•
Lançamento de um dado (Existem 6 resultados possíveis)
•
Espaço amostral: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
•
Retirar uma carta de um baralho (Existem 52 resultados possíve is
-são 13 cartas de cada naipe e 4 naipes).
•
Espaço amostral: Ás de Copas, Ás de Ouros, ..., Rei de Paus, Rei de
Espadas.
•
Lançar uma moeda (Existem 2 resultados possíveis).
•
Espaço amostral: Cara, Coroa.

6. Eventos
•
Um evento pode se referir a um único resultado, ou a u m
subconjunto de resultados, pertencente à um espaço
amostral;
•
Exemplo:
•
Lançamento de um dado:
•
Evento 1 = sair 5;
•
Evento 2 = sair um valor menor do que 3.
•
Retirar uma carta de um baralho:
•
Evento 1 = Sair um 3 de espadas;
•
Evento 2 = Sair uma carta de paus.
•
Lançar uma moeda:
•
Evento 1 = sair cara;
•
Evento 2 = sair coroa.

7. Exercício 1
•
Defina um espaço amostral para cada um dos seguintes
experimentos aleatórios:
•
Num hospital, conta-se o número de pacientes atendidos num
intervalo de uma hora;
•
Investigam-se famílias com três crianças, anotando-se a
configuração segundo o sexo;
•
Mede-se a duração de tubos de oxigênio, até que se esvazie m.

8. Como Estudar a Probabilidade de
um Evento
•
Definir o objetivo do estudo;
•
Definir o objeto do estudo, aquilo que deverá ser repet ido;
•
Descrever todos os resultados possíveis;
•
Repetir o experimento o maior número de vezes que pude r;
•
Relatar todos os resultados obtidos;
•
Estudar a regularidade com a qual cada resultado ocorreu .

9. Exemplo -Rh
•
Em 1977 um pesquisador chamado Garcia se interessou pelo
estudo da probabilidade dos indivíduos de São José do Rio
Preto apresentarem Rh –ou +, em seus tipos sanguineos .
•
Objeto de estudo: moradores de São José do Rio Preto ;
•
Resultados possíveis: Rh negativo ou Rh positivo;
•
Foram coletadas informação de 820 indivíduos:
Rh Frequência Absoluta Freq. Relativa Positivo 737 0,8988
Negativo 83 0,1012
Total 820 1

10. Definição Frequentista de
Probabilidade
•
Se um experimento é repetido Pvezes sob condições
essencialmente iguais e se o evento rocorre ovezes, então,
conforme Paumenta, a razão
P
r
⁄
se aproxima de um limite
fixado, denominado probabilidade de r:
•
a
r i
P
r
;
•
P l o l d, logo, a probabilidade de um evento ocorrer é
dada por um valor entre 0 e 1;
•
Se a
r i d, ré chamado de evento nulo ou impossível, e
pode ser representado por ∅;
•
Se a
r i s, ré chamado de evento certo, e pode ser
representado por , em que representa o espaço amostral.

11. Exemplo -Rh
•
Evento A = o indivíduo apresentar Rh –em seu tipo sangu íneo;
•
P
r o
Pr
Pob
o baibil;
•
Evento B = o indivíduo apresentar Rh + em seu tipo sang uíneo;
•
P
d o
ara
Pob
o baeEees
Rh Frequência Absoluta Positivo 737
Negativo 83
Total 820

12. Exemplo: Evento Nulo e Evento
Certo
•
Lançamento de um dado:
•
Evento 1 = sair um número menor ou igual a 6 – Evento Certo;
•
Evento 2 = sair um valor menor do que 1 – Evento Nulo.
•
Retirar uma carta de um baralho:
•
Evento 1 = Sair uma carta de paus, ou de ouros ou de espadas ou d e
copas – Evento Certo; •
Evento 2 = Sair um 14 de paus – Evento Nulo.
•
Lançar uma moeda:
•
Evento 1 = sair cara ou coroa – Evento Certo;
•
Evento 2 = sair o número 13 – Evento Nulo.

13. Operações entre Eventos –Teoria
dos Conjuntos
•
A reunião de dois eventos é denotada por: xAl;
•
A interseção entre dois eventos é dada por: xal;
•
O complementar do evento x, denotado por x
p
, é o evento
que ocorre quandoxnão ocorre;
•
xAl aó i
xaó A
laó;
•
xal Aó i
xAó a
lAó;
•
xAl
p
i x
p
al
p
;
•
xal
p
i x
p
Al
p
.

14. Operações entre Eventos –Teoria
dos Conjuntos
E x pE e p E
E
E
E
E E
p
E
p

15. Exercício 2
•
Sendo A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral
“traduza” para a linguagem da Teoria dos Conjuntos, as
seguintes situações:
•
Pelo menos um dos eventos ocorre;
•
O evento A ocorre, mas B não;
•
Nenhum deles ocorre;
•
Exatamente um dos eventos ocorre.

16. Algumas Propriedades
•
a
∪∪
o
i s;
•
a
∪0∪
o
i d;
•
a
r ista
∪
o
.
a
P
P
P
P
P
P
P
PP i ld e
P
P
P
P
P

17. Algumas Propriedades
•
a
rç ia
r va
ta
rA ;
=+
-
+ P PP
P
ooo
o

18. Eventos Mutuamente
Exclusivos
•
Eventos mutuamente exclusivos são aqueles que jamais
podem ocorrer ao mesmo tempo.
•
Exemplo:
•
Lançamento de um dado: Evento A = sair 2; Evento B = sair um
valor maior do que 4.
Po
P b o i E

19. Eventos Mutuamente
Exclusivos
•
a
rç ia
r va
.
=+ o
o
o
P
P
P

20. Exemplo -Rh
•
Os eventos A e B são mutuamente exclusivos, já que um
indivíduo não pode apresentar Rh –e Rh +, em seu tipo
sanguíneo, ao mesmo tempo;
•
a
r i
ba
bil
idnsdsx;
•
a
i
dad
bil
i dncíccE
•
a
rA id;
•
a
rç ia
r va
idnsdsxvdncícci s;
•
r
o
i ;
•

o
i r.

21. Exercício 3
•
Em uma universidade, 2000 estudantes do curso de medicin a,
em determinado ano, foram classificados de acordo com o
tipo de esporte que praticam. Futebol é praticado por 2 60
estudantes, natação por 185 estudantes e musculação por 210
estudantes, sendo que alguns estudantes praticam mais de
um desses esportes. Assim, tem -se 42 estudantes que
praticam natação e musculação, 12 futebol e musculação, 18
futebol e natação e 3 praticam as três modalidades. Se um
desses estudantes é sorteado ao acaso, qual é a prob abilidade
de:
•
Praticar somente musculação;
•
Praticar pelo menos um destes esportes;
•
Praticar pelo menos dois destes esportes;
•
Não praticar nenhum destes esportes.

22. Probabilidade Condicional
•
Muitas vezes existe o interesse em determinar a probabilid ade
de um evento , dado que já se conhece o resultado de um
outro evento A;
•
A probabilidade de ocorrer o evento , dado que ocorreu o
evento A
a
Rré dada pela seguinte expressão:
•
a
Rr i

∩


, desde que a
r hd.

23. Probabilidade Condicional
P
P
P
P
o
o
o
o

opP i
sço
sçP

opP i
sço bP
sçP

opP i
∅
sçP
i A

opP i
sçP
sçP
i l

24. Exercício 4
•
Em um estudo feito com 15 pessoas, foram coletadas
informações sobre o estilo de vida de cada um (sedentár io ou
não) e sobre o peso de cada um (obeso ou não). Foi
observado 5 pessoas obesas e 9 sedentárias; dentre a s 5
pessoas obesas, 4 foram classificadas como sedentárias.
•
Qual a probabilidade de:
•
Um indivíduo ser obeso e sedentário;
•
Um indivíduo ser obeso ou sedentário;
•
Um indivíduo ser obeso dado que ele é sedentário;
•
Um indivíduo ser sedentário dado que ele é obeso;

25. Regra Multiplicativa
•
Sai diretamente da probabilidade condicional:
•
a
rA ia
rR a
ia
Rr a
r.
•
Essa regra é de grande utilidade na verificação de
dependência entre os eventos envolvidos.

26. Eventos Independentes
•
Dois eventos são considerados independentes quando a
ocorrência de um não influencia na ocorrência ou não-
ocorrência do outro;
•
Logo, se dois eventos, re , são independentes tem-se:
•
a
rR ia
re a
Rr i a
;
•
Ou seja, a
rA i a
r Da
.
•
OBS: Os termos mutuamente exclusivos e independentes n ão
são sinonimos; basta lembrar que eventos mutuamente
exclusivos não possuem interseção.

27. Exercício 5
•
Considere as situações dadas abaixo. Identifique se os e ventos
são mutuamente exclusivos ou independentes.
•
Evento A: O primeiro filho de um casal ser menina; Evento B: O
segundo filho de um casal ser menina.
•
Evento A: Um indivíduo, de determinada população, ter o tipo
sanguíneo A; Evento B: Um indivíduo, de determinada população,
ter o tipo sanguíneo O.
•
Considere dois eventos, A e B, dado que P
r o bae, P
d o bap
e P
rçd o ba .

28. Partição do Espaço Amostral
•
Uma partição do espaço amostral é dada por um conjunt o de
eventos mutuamente exclusivos que quando unidos formam o
espaço amostral:
•
p i
⋃


∩
ç A
o
∪
o
o
o
∩
o
a
o
i
o
1
o

o

29. Exemplo –Debilidade Auditiva
•
O Levantamento Nacional de Entrevistas de Saúde de 1980 –
1981 fornece informações sobre as debilidades auditivas
devido a lesões registradas por indivíduos de 17 anos de idade
e mais velhos.
•
Os entrevistados foram divididos em 3 grupos:
•
A: Atualmente empregados, P
r o baAbAm;
•
B: Atualmente desempregados, P
d o bab pt;
•
C: Fora da força de trabalho, P
v o bam eb.
•
Os eventos A, B e C representam uma partição do
Espaço Amostral?

30. Teorema da Probabilidade
Total
•
Dado um evento ∪e uma partição do espaço amostra

0nãn
tem-se:
•
a
r i
∑
a
rA

∪
ç Ai
∑
a
rR
a


∪
ç A
o
∪
o
o
o
∩
o
a
o
i
o
1
o

o

P

31. Exemplo –Debilidade Auditiva
•
O levantamento Nacional de Entrevistas de Saúde de 1980 –
1981 nos fornece as seguintes informaçõessobre a ausê ncia
(evento q) e presença (evento ) de debilidade auditiva
devido a lesões:
•
P
n
|
r o babbpAc
•
P
n
|
d o babbmAc
•
P
n
|
v o babbApc
•
Qual a probabilidade de um indivíduo retirado aleatoriamente
da população apresentar debilidade auditiva?

32. Teorema de Bayes
•
Dado um evento ∪e uma partição do espaço amostra

0nãn
tem-se:
•
a

Rr i

∩


i


|
∑

|



o
∪
o
o
o
∩
o
a
o
i
o
1
o

o

P

33. Exemplo –Debilidade Auditiva
•
Uma informação que não foi dada, que pode ser de inter esse,
é a probabilidade de um indivíduo pertencer ao grupo de f ora
da força de trabalho dado que ele apresenta debilidade
auditiva
,
3
|
, por exemplo.
•
Calcule:
•
P
r
|
n;
•
P
d
|
n;
•
P
v
|
n.

34. Testes de Diagnóstico
•
O teorema de Bayes é muito útil quando se deseja realiza r um
teste de diagnóstico ou triagems;
•
Triagem consiste na aplicação de um teste em indivíduos
assintomáticos, visando classificá-los quanto a chance de
apresentarem ou desenvolverem determinada doença;
•
Aqueles indivíduos que apresentam resultados positivos na
triagem possuem uma probabilidade maior de apresentar
determinada doença, sendo assim eles são, usualmente,
direcionados a procedimentos de diagnóstico adicionais, ou a
tratamentos.

35. Terminologia
•
Suponha que temos o interesse em dois eventos mutuame nte
exclusivos e exaustivos:
•

v
= o indivíduo apresenta determinada doença;
•

n
= o indivíduo não apresenta determinada doença. (
v
o
)
•
Seja !
v
a representação de um resultado positivo em um teste
de triagem;
•
Estamos interessados na probabilidade do indivíduo
realmente apresentar a doença, dado que o resultado f oi
positivo:
•
a

v
|!
v
.

36. Terminologia
•
Prevalênciada doença
é a probabilidade de que um indivíduo,
escolhido ao acaso da população, apresente a doença em
questão;
•
Falso negativo:
ocorre quando o exame feito em uma mulher
com câncer fornece um resultado negativo;
•
Sensibilidade do teste:
probabilidade do teste dar positivo,
dado que o indivíduo está realmente doente;
•
Falso positivo:
ocorre quando o teste feito em um indivíduo
saudável fornece um resultado positivo;
•
Especificidadedo teste:
probabilidade do teste dar um
resultado negativo quando o indivíduo está saudável;
•
Acuidade do teste:
probabilidade do teste dar um resultado
negativo e o indivíduo estar saudável ou do teste dar po sitivo
e o indivíduo estar doente (probabilidade de acerto).

37. Câncer do Colo do Útero
•
Alta chance de remissão desde que detectado no início;
•
O Papanicolau é um procedimento de triagem altamente
aceito e utilizado;
•
Um teste de proficiência, conduzido em 1972, 1973 e 197 8,
avaliou a competência dos técnicos que analizavam o
Papanicolau para anormalidades.
•
Os técnicos de 306 laboratórios de citologia em 44 estado s
foram avaliados (EUA);

38. Câncer do Colo de Útero
•
16,25% dos testes realizados em mulheres com câncer
resultaram em
falsos negativos
;
•
(a
!
n

v
idnsNxC);
•
Os outros sddtsNnxCi c2ngCMdas mulheres que tinham
câncer no colo do útero apresentaram resultados positiv os
(a
!
v

v
idnc2gC,
sensibilidade do teste
);
•
18,64% dos testes realizados em mulheres com câncer
resultaram em
falsos positivos
;
•
a
!
v
|
n
i dnscN3418,64% das mulheres cujos testes
deram positivo não apresentavam a doença.
•
Os outros sddtscnN3i csn2NMdas mulheres que não
tinham câncer no colo do útero apresentaram resultados
negativos (a
!
n
|
n
istdnscN3 idncs2N,
especificidade
do teste
).

39. Aplicações do Teorema de
Bayes
•
Sabemos a probabilidade do teste ser positivo ou negativo
dado que a paciente tenha ou não câncer de colo de út ero;
•
Apesar de serem informações importantes, a informação de
maior interesse é saber a probabilidade de uma mulher
realmente ter câncer de colo de útero dado que o exam e deu
positivo.
•
Tenho:
•
P
í
1
x1
1
; P
í
2
x1
1
; P
í
1
x1
2
e P
í
2
x1
2
.
•
Quero:
•
P
1
1
xí
1
.

40. Aplicação do Teorema de Bayes
•
Teorema de Bayes:
•
a

v
|!
v
i

x

sc


c

i

x


c

mx


x


c

mx

ve
x
A

c

mx
A
;
•
Preciso dos valores de a

v
e a

n
;
•
a

v
é a probabilidade de que uma mulher sofra de câncer
do colo de útero, ou a
prevalência
da doença em determinada
época;
•
Posso calcular a

v
com base em dados coletados nas
últimas pesquisas na área.
•
Uma fonte registrou que a taxa desse câncer em mulher es
estudadas de 1983 a 1984 foi de 8,3 por 100.000.

41. Aplicação do Teorema de Bayes
•
Com base nessa base de dados coletada em 1983-1984, tenho
que a

v
i
bía
Alllll
idnddddc2;
•
Logo:
•
a

n
istdnddddc2 i dníííísg.
•
Inserindo todos os valores no teorma de Bayes tem -se:
•
a

v
|!
v
i
líllllba1líbad-
líllllba1líbad-vlíRRRRAd1líAbhD
idnddd2g2;

42. Aplicação do Teorema de Bayes
•
Ou seja, a chance de uma mulher estar doente, dado q ue o
Papanicolau foi positivo é de 0,0373%; em outras palavras
apenas 373 mulheres, em 100.000 que forneceram result ados
positivos, apresentam a doença.
•
Vale notar que 0,000373 é aproximadamente 4,5 vezes m aio
do que 0,000083, ou seja, um Papanicolau positivo indica uma
probabilidade 4,5 vezes maior de ter câncer de colo de ú tero
do que uma mulher tirada aleatóriamente da população.

43. Aplicação do Teorema de Bayes
1.000.000 de Mulheres
Câncer no Colo Uterino
83
Sem Câmcer no Colo Uterino
999.917
Teste +
70
Teste +
186.385
Teste –
13
Teste –
813.532
Teste +
186.455
Teste –
813.545
Prevalência
= 0,000083
Sensibilidade
= 0,8375
Especificidade
= 0,8136
Resultados observados no
teste