Probabilidade e estatística

NeiltonPedro 4,484 views 161 slides Sep 20, 2016
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About This Presentation

Estatística

Size: 35.52 MB
Language: pt
Added: Sep 20, 2016
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Slide Content

,
ESTATISTICA ,
BASICA
WILTON O. BUSSAB
PEDRO A. MORETTIN

-.
MÉTODOS
QUANTITATIVOS
ESTATíSTICA
BÁSICA

À
Lígia e Célia
WILTON O. BUSSAB
PEDRO A. MORETIIN
MÉTODOS
QUANTITATIVOS
ESTATíSTICA
BÁSICA
4!' edição
DEDALUS -Acervo -IME
31000006184

Capa: Sylvio Ulhoa Cintra Fílho
Composição e Artes: AM P~oduções Gráficas Ltda.
Assessoria Editori al: Samuel Hazzan
Copyright © Wilton o. Bussab
Pedro A. Morettin
B'8&
4. ed.
87-0952
Dados de Catalogação na Publicação (Clr) Internacional
(Câmaca Brasileira do Uno, sr, Brasil)
Bussab, Wilton O., 1940-
Estatística bási ca I Wilton O. Bussab, Pedro A. Morettin.
4. ed. -São Paulo: Atual, 1987.
(Métodos quantitativos)
BibJiollrafia.
l. Econometria 2. Econ omia matemática 3. Estatís,· .
, ". 'E .. Iça ma
em Ica.. statlstJca matemática -Problemas, exercidos dc.
r. Moretlm, Pedro A., 1942· 11. Título. 111. Série.
fndlces paca catálogo sistemático:
1. Econometria 33O.D72
2. Estatística econômica: Matemática estatística
519.502433
3. Estatística matemática 519.5
4. Métodos quantitativos· Economia 330.D18
CDO-330.Ol8
·33O.Q72
-519.5
-519.502433
Copyright desta edição: -UNi"VE -~S7ÕAÓE·ÕÊ ·siD PAULO
ATUAL EDITORA LTDA., 1 991.
Rua José Antônio Coelho, 785
04011 -São Paulo -SP
Te!.: (011) 575-1544
Todos os direitos reservados.
LNLSEC
tnsi'I~:v :!~ M~I~,~ .,tI~~ '. E,I~ ,i~lie l
--_._,-.-.--
Data I' N;"';: ")lMG~
."'" .J ,.
~
./ ; Rtlg4~~ o;:
J..,~-:-51t
NOS PEDIDOS TELEGRÁFICOS BASTA CITAR; O CÓDIGO: ADTM0333L
,
Prefácio à Primeira Edição
Este é o volume de Estatística Básica da nossa série de Métodos Quan­
titativos. O objetivo do livro é introduzir os conceitos básicos de Esta­
tística, de
senvolvendo a linguagem necessária para o acompanhamento
de
disciplinas mais especializadas, constantes dos currículos de Econo­
mia e Administração, tais como Econometria, Estatística Econômica,
Estatística Aplicada à Administração, etc.
Para isso dividimos o livro em três partes: Parte I -Análise Explo­
ratória de Dados (Capítulos I a 3), onde apresentamos as técnicas de s­
critivas de análi se de dados brutos, enfatizando o conceito de distribuição
de freqüências, tanto no caso uni como no bidimensional; Parte 11 -
Probabilidades (Capítulos 4 a 7), onde introduzimos o conceito de pro­
babilidades, visando a criação de modelos teóricos para as distribuições
empíricas apresentadas na Parte I, bem como apresentamos os modelos
mais usuais dentro
da Estatística;
Parte In -Inferência Estatística (Ca­
pítulo 8 a 11), onde discutimos os princípios gerais de amostragem, esti­
mação e testes de hipóteses, procurando ressaltar as razões lógicas
subjacentes a estes conceitos.
O texto destina·se basicamente a um curso de dois semestres, e o
material dos sete primeiros capítulos
seria o programa do primeiro se­
mestre. O presente trabalho foi surgindo durante vários cursos le.cionados
pelos autores, tanto na EAESP-FGV como na FEA·USP, estes sob res­
ponsabilidade do IME-USP. Portanto, fomos beneficiados pelas suges­
tões, críticas e correções de colegas que lecionaram
as mesmas disciplinas.
A eles somos profundamente gratos .
•
Em particular, agradecemos à srta. Lourdes Vaz da Silva pelo per-
feito, paciente e dedicado trabalho de datilografar o manuscrito.
S. Paulo, maio de 1981.
Os autores.

Prefácio à Segunda Edição
Na segunda edição muitos erros foram corrigidos e alguns pará­
grafos foram reescritos. Queremos agradecer a vários colegas Que nos
beneficiaram com seus comentários e sugestões, especialmente aqueles
que têm utilizado o
livro no âmbito do
IME-USP.
S. Paulo, janeiro de 1984.
Os autores.
Prefácio à Terceira Edição
Nesta terceira edição, aceitando sugestões de professores e alunos,
alteramos a ordem dos exercícios, colocando exercícios de aplicaçõ es im~­
diatas logo após algumas seções teóricas. Mas ainda permanece, nos fI­
nais dos capítulos, a seção de Problemas e Complementos, contendo
exercícios gerais. Esperamos com isso facilitar aos estudantes a fixação
dos conceitos.
Aproveitamos a oportunidade para corrigir os erros das edições an­
teriores, bem como ree
screver algum as passagens que nos pareciam
obscuras.
Novamente, agradecemos a todos aqueles que nos honraram com
críticas e sugestões.
s. Paulo, agosto de 1985.
Os autores.

Sumário
PARTE I -ANALISE EXPLORATÓRIA DE DADOS
CAPITULO I -RESUMO DE DADOS
1.1 -Introdução ........ ............................................. '....... 1
1.2 -Tipos de Variáveis ..
........
o, ••• ,. '" .................... 0.......... 3
1.3 -Distribuição de Freqüências
..................................
o.... 5
IA -Representação Gráfica das Variáveis Quanútativas . ........ 8
1.5 -Ramo-e-folhas......................... ................................ 12
CAPITULO 2 -ALGUMAS MEDIDAS ASSbC1ADAS AVARIÁ VElS
QUANTITATIVAS
2.1 -Medidas de Posição ...... ........................ 0...... ........... 27
2.2 -Medidas de Dispersão ............... 0. o............. .............. 29
2.3 -Outra Estratégia de Análise ........ :.............................. 34
2.4 -Desenho ~EsQue 'mátioo- ....................... ..... .......... 37
CAPITULO 3 -ANÁLISE BlDIMENSIONAL
3.1 -Variáveis Multidimensionais 49
3.2 -(ndependência de Variáveis ... .... ... ..... .......... .......... .... 52
3.3 -Medida de Dependência entr~ .. D~~~·v~~jâ·~~i~·N~~i~~i~::: 55
3.4 -Diagramas de Dispersão . . .................... ............... ..... 60
3.5 -Coeficiente de Correlação ............ ........ . ..... ........... .... 62
PARTE 11 -PROBABILIDADES
CAPITULO 4 -PROBABILIDADES
4.1 -Introdução .. .... ..... ..... ................... ..... .... .... ....... ..... 74
4.2 -Algumas Propriedades
77
4.3 -Probabilidade
COndicio~~·I·~·i~d~;~dê~~i~··: ::::::::::::::::· 82
4.4 -Teorema de B<i:yes ................................................. : 88
•
CAPiTULO 5 -VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DlSCRET AS
5.1 -Introdução ..... ...... ........ ... .... ..... .... .............. ....... .... 97
5.2 -O Conceito de Variável Aleatória Discreta .... ................. 98
5.3 -Valor Esperado de uma Variável Aleatória ..................... 105
5.4 -Algumas Propriedades da Esperança Matemática ............ 107
5.5 -Função de Distribuição Acumulada .............................. 108
5.6 -Alguns Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias
Discretas
........................................................ I t
I
CAPiTULO 6 -VARIÁ VEIS ALEATÓRIAS CONTiNUAS
6.1 -Introdução ............................................................ 128
6.2 -Valor Esperado de uma Variável Aleatória Contínua 133
6.3 -Função de Distribuição Acumulada .............................. 136
6.4 -Alguns Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias
Contínuas
............................................................... 139
6.5 -Aproximação Nonnal à BinomiaL ............................... 148
CAPiTULO 7 -VARIÁVEIS ALEATÓRIAS MULTlDlMENSIONAIS
7.1-Distribuição Conjunta ... .................................. 157
7.2 -Distribuições Marginais e Condicionais ........................ 160
7.3 -Funções de Variáveis AletÓrias. ......... .......................... 163
7.4-Covariância de Duas Variáveis Aleatórias ..................... 168
. 7.5 -Variáveis Contínuas ............................................... 175
PARTE 111 -INFER~NCIA ESTATlsTICA
CAPíTULO 8 -INTRODUÇÃO Á INFERÊNCIA ESTATíSTICA
8.1 -Introdução ....................................... ···· ................. 181
8.2 -População e Amostra ... .......................................... 181
8.3 -Problemas de Inferência . ......................................... 184
8.4 - Como Selecionar uma Amostra ................................. 186
8.5 -Amostragem Casual Simples ............. ....................... 187
8.6 -Estatísticas e Parâmetros ........................... ·0··· .......... 188
8.7 -Distribuições Amostrais .. ........................................ 189
8.8 -Distribuição Amostrai da Média .. ............................ 194
8.9 -Distribuição Amostrai da Proporção ........ .................... 200
8.
10
-Outras Distribuições Amostrais ................................. 202

CAPITULO 9 -ESTIMAÇÃO
9.1 -Primeiras Idéias ...................................................... 209
9.2 -Propriedades de Estimadores ... .................................... 212
9.3 -
Estimadores de Mínimos Quadrados ........................... 217
9.4 -Estimadores de Máxima Verossimilhança
..................... 222
9.5 - Intervalos de Confiança .............. . ........................ 223 CAPITULO 10 -TESTES DE HIPOTESES
10. I -Introdução .. " ........................ "... ... . .............. 234
10.2 -Um Exemplo .......... ........ 0. ' ........... o',................. 234
10.3 -Procedimento Geral do Teste de Hipóteses . ............ ::::: 243
10.4-Passos para Construção de um Teste de Hipóteses .. ....... 244
10.5 -Testes sobre a Média de uma População com Variância
C h 'd '
M=a .......... lli
10.6 -Poder de um Teste.. . ... 247
10.7 -Teste para Proporçã~ ··:::::::::::: ::::: ::::::::::::: :::::::::: 252
10.8 -Nível Desc ritivo...... ................ . .................... 255
CAPíTULO 11 -OUTROS TOPICOS
: : '2
1
-Introdução ............................................................ 260
. -AJgumas
Distribuições Importantes ........................... 260 11.3 -Teste para a Média de uma N(I1; 0"2), 0"2 desconhecida ...... 269
11.4 -Teste para a Variân cia de uma N(I1; 0"2) •. .••.......•.••..... 272
11.5 -Comparação das Variân cias de Duas Populações normais 274'
11.6 -Comparação de Duas Médias de Populações normais ...... 277
11.7 -Teste de Independência .......................................... 286
[
1.8 -Teste sobre Coeficiente de Correlação ....... ............ 288
Respostas a Problemas Selecionados ................ . ....................
310
Bibliografia . ..................... . ............................. 321
PARTE I
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS
CAPíTULO 1
Resumo de dados
=
1.1. INTRODUÇÃO
Em alguma fase de seu trabalho, o pesquisador se vê às voltas com o
problema de analisar e entend
er uma massa de dados, relevante ao seu
particular objeto de estudos.
Se forem informaçõ es sobre uma amostra
ou população, ele necessitará resumir os dados para que estes sejam
informativos, ou para compará·los com outros
resultados, ou ainda para
julgar sua adequação a alguma teoria.
De
um modo bem geral, podemos dizer que a essência da Ciência
é a observação_e que seu objetivo básico é a inferência. Esta pode ser dedutiva
(na qual se argumenta das premissas às conclusões) ou indutiva (a.través
da qual se vai do específico ao geral).
A inJerência estalÍstica é uma das etapas da Estalistico. Esta é a parte
da metodologia da Ciência que tem por objetivos a coleta, redução , análise
e modelagem dos dados, a partir
do que, finalmente,
faz·se a inferência
para uma população, da qual os dados
(a amostra) foram obtidos.
Nesta primeira parte
do livro estaremos interessados na
red~ção ,
análise e interpretação dos dados sob consideração, adotando um enfoque
que chamaremos de
análise explorolória de dados. Neste en foq ue tentaremos
obter dos dados a maior quantidade possível de informação, que
indique'
possíveis modelos a serem utilizados numa fase posterior -a análise con·
firmat6ria de dados (ou inferência estatística), que será discutida na Parte
JIJ do livro.
Tradicionalmente, uma análise descritiva dos dados se limita a cal·
cular algumas medidas de posição e variabilidade, como a média e a va·
riância, por exemplo.
Contrária a es~a tendência, uma corrente mais moderna, liderada
por Tukey (1977), utiliza principalmente técnicas
visuais. em oposição
aos resumos numérico
s.

II
,1"
,
•
Fundamentalmente, quando se procede a uma análise de dados,
busca-se alguma forma de regularidade ou padrão ou ainda modelo, pre­
sente nas observações. Imagine que estamos estudando, por exemplo,
a relação entre rendimentos e gastos de consumo de um conjunto de
individuos. Podemos obter um gráfico como o da Figura l.1. O que se
espera. intuitivamente, é que os gastos de consumo de
um individuo
estejam diretamente
relacionados com seus rendimentos, de modo que
parece razoável supor uma
"relação linear" entre estas duas quantidades.
Os pontos da Figura 1.1 não caem todos, evidentemente, sobre uma reta;
e
sta seria o nosso padrão ou modelo. A diferença entre os dados e o modelo
constituem os
resídllOs.
Consumo
, /j/~_-I- ') ~"1d"0
/-., O,do MOd.lo
Rendimento
Fig. 1.1. Relação entre cOflSumo e rendimento
Podemos, então, escrever, de modo esquemático,
D DOS ~ MODELO + RESÍDUOS
pu
(1.1 )
Tukey (1977) chama M de parte suave dos dados, enquanto R é a
parte grosseira, o que é, sem dúvida, uma linguagem bastante adequada.
A
parte R é tão importante quanto M e a análise dos resíduos constitui
uma parte fundamental de lodo trabalho estatístico. Basicamente,
são os
resíduos que nos dizem se o modelo M
é adequado ou não para representar
os dados.
De modo coloquial, o que se deseja é que a
parte' grosseira nâo
contenha nenhuma "suavidade", caso contrário mais "suavização" é
necessária.
Uma análise exploratória de dados busca, essencialmente, esta­
belecer (1.1).
2
1.2. JIPOS DE VARIÁVEIS
Exemplo 1.1. Um pesquisador está interessado em fazer um levanta­
mento sobre alguns aspectos sócio-econômicos dos empregados
da seção
de orçamentos
da Companhia Milsa.
Usando informações obtidas na
seção de pessoal, ele el aborou a Tabela 1.1.
De um modo geral, para cada elemento investigado, tem-se associado
um resultado (ou mais de um resultado) corresponden do à realização
de uma certa variável (ou variáveis).
No exemplo em questão,
conside­
rando-se a variá vel estado civil, para cada empregado temos associada
a realização solteiro
ou casado. Observamos que o pesquisador colheu
informações sobre. seis variáveis: estado civil, educação,
número de filhos,
salário, idade e região de procedência.
Algumas variáveis
como sexo, educação, estado civil, etc. apre­
sentam como possíveis realizações uma qualidade (ou
atributo) do
in­
divíduo pesquisado, ao passo que outras como número de filhos, salário,
estatura, etc. apresentam como possíveis realizações números resultantes
de uma contagem ou mensuração. As variáveis
do primeiro tipo são
cha­
madas qualitativas e as do segundo tipo sào chamadas quantitativas.
Dentre as variáveis qualitativas, ainda podemos fazer uma distin­
ção entre dois tipos: variável qualitativa nominal, ~ra a qual não exis!e
nenhuma ordenação nas possíveis realizações, e variável qualitativa ordinal,
para a qual existe uma certa ordem nos possíveis resultados. A região de
procedência no exemplo
1.1 é um caso de variável nominal, ao passo
que educação é
um exemplo de variável ordinal, pois
1.° gmu, 2.° grau
e grau superior correspondem a uma ordenaçào baseada no número de
anos de escolaridade. A variável qualitativa classe social, com as possíveis
realizações (por exemplo, alta, média e baixa), é um
outTO exempl o de
variável qualitativa ordinal.
De modo análogo, as variáveis quantitativas podem sofrer uma
classificação dicotômica:
(a) variáveis
Quantitativas discretas, cujos pos­
síveis valor es formam um conjunto finito ou enumerável de números e
que
resultam
... freqüent~mente , de uma contagem, como por exemplo
núm 'e~o de filhos (O, 1,2, 'H); (b) variáveis_Quantitativas contínuas, cujos
I!Q.ssí'{e i~ .19.í.e.s fQIffiam um intervalo de números reais e que resuIiãiÍÍ,
normalmente, de uma mensuração, como por exemplo estãiuraoupesi)
de um indivíduo.
A Figura 1.2 esquematiza as classificações vistas acima.
3
L.~ ______________________ ~ __________ ~ ________________ ~ __________________ ~

4
N,'
1
2
3
4
,
6
7
8
9
lO
" 12
13
'4
" '6
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
TABELA 1.I -Informações sobre estado civil, grau de instru­
ção,
n.
O
de filhos, salário (expresso como fração
do salário minimo), idade (medida
em anos e
meses) e procedência de
36 funcionários da seção
de orçamentos da Companhia Milsa.
fllado Grau de N." de Salario Idade Região de
civil instrução filhos (X Sal. Min .) anos meses procedência
solteiro L" grau - 4,00 26 03 Interior
casado L" grau 1 4.56 31 lO Capital
casado L" grau 2 5,25 36 05 Capital
solteiro 2." grau - 5,73 20 lO Outro
solteiro L" grau - 6,26 40 07 Outro
casado I." grau O 6,66 28 00 Interior
solteiro lo" grau - 6,86 41 00 Interior
solteiro I." grau - 7,39 43 04 Capital
casado 2." grau ,
7,59 34 'O Capital
solteiro 2." grau - 7,44 23 06 Outro
casado 2." grau 2 8,12 33 06 Interior
soltçiro L" grau - 8,«> 27
"
Capital
solteiro 2." grau -
I"
8,74 31 05 Outro
casado l." grau 3 8,95 44 02 Outro
casado 2." grau O 9,13 30 05 Interior
soltêiro 2." grau - 9,35_ 38 08 Outro ,
casado 2." grau ,
9,77 31 07 Capital
casado I." grau 2 9,80 39 07 Outro
soltiiro superior - 10,53 25 08 Interior ,
solteiro 2." grau - 10.76 31 04 Int erior
casado 2." grau ,
11,66 30 09 Outro
soltcjro 2." grau - 11,59 34 02 Capital
solteiro I." grau - 12,00 4' 00 Outro
casado superior O 12,79 26 O, Outro
casado 2." grau 2 13,23 32 05 Interior
casado 2." grau 2 13,60 35 00 Outro
solteiro I." grau - [3,85 «> 07 Outro
casado 2." grau O 14,69 29 08 InterioX
casado 2." grau 5 14,71 40 06 Interior
casado 2." grau 2 15,99 35 'O Capital
sol~éiro superior - 16,22 31 05 Outro
casado 2." grau ,
16,61 36 04 Interior
casado superior 3 17,26 43 07 Capital
solte'iru superior - 18,75 33 07 Capital
casado 2." grau 2 19.40 48
"
Capital
casado· superior 3 23,30 42 02 Interior
Fonte: Dados hipotéticos
-==::::
Nominal
Qualitativa
<
O,di",'
Variável
Discreta
Quantitativa ~
Continua
Fig. 1.2. Classificação de uma variá\'eJ
Para cada tipo de variável existem tecnicas mai~ apropriadas para
resumir
as informações; daí a vantag em de usar uma tipologia de
iden·
tificação como a da Figura 1.2. Entretanto, iremos verificar que técnicas
usadas num caso podem ser adaptadas para outros.
1,3,
DISTRIBUiÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
Quando se estuda uma variável, o maior interesse do pesquisador
é conhecer a distribuição dessa variável através das possíveis realiza­
çõcs (valores) da mesma. Nesta seção iremos ver uma maneira de se dispor
um conjunto de valores, de modo a se ter uma boa idéia global sobre
estes valores, ou seja, de sua distribuição.
Exemplo 1.2. A Tabela 1.2 apresenta a dislribuição de freqüências
da variável grau de instrução, usando-se os dados da Tabela
1.1.
Observando·se os resultados da terceira coluna, vê-se que dos 36
empregados da Cia. Milsa, 12 têm o primeiro grau de educação, 18 o
segundo e 6 possuem título universitário.
TABELA
1.2 -Freqüências e porcentagens dos 36 empregados
da seção
de orçamentos da Companhia Milsa,
segundo o grau
de instrução.
Grau de
Contagem
Freqüência Proporção Porcentagem
instrução "; J; 100 'J;
1.° grau tt+t tt+t 11 12 0,3333 33,33
2.° grau +t++ +t++ +l+H III 18 0,5000 50,00
Superior +t++ I 6 0,1667 16,67
TOTAL 36 1,0000 100,00
Fonte : Tabela 1.1
5

Uma medida bastante útil na interpretação de tabelas de freqüências
é a proporção de cada realização
em relação ao total. Assim, 6/36 =
=0,1667= 16,67% dos empregados da Cia. Milsa (seção de orçamento)
têm
instrução superior. Na última coluna da Tabela
1.2 são apresentadas
as porcentagens para cada realização da variável grau de instrução. Usa­
remos a noração nj para indicar a freqüência de cada classe, ou categoria
da variável, e a notação
fi =
nJn para indicar a proporÇão (ou freqüência
relativa)
de cada classe, sendo n o número total de observações. As propor­
ções são muito úteis quando
se quer comparar resultados de duas pes­
quisas distintas.
Por exemplo, suponham os que se queira comparar a
variável grau de instrução para empregados da seção de orçamentos com
a m
esma variável para todos os empregados da Cia. Milsa. Digamos que
a empresa tenha
2.000 empregad os e que a distribuição por freqüências
seja a da Tabela
1.3.
TABELA 1.3
-Freqüências e porcentagens dos 2.000 emprega­
dos da Companhia Milsa,
segundo o grau de
instrução.
Grau de
Freqüência Porcentagem
instrução
1.° grau 650 32,50
2.° grau 1.020 51,00
Superior 330 16,50
TOTAL 2,000 100,00
Fonle: Dados hipotéticos
Não podemos comparar diretamente as colunas das freqüências
das Tabelas
1.2 e 1.3, pois os totais de empregados são diferentes nos dois
casos. Mas as colunas de porcentagens são comparáveis, pois reduzimos
as freqüências a
um mesmo total (no caso
100).
A construção de tabelas de freqüências para variáveis contínuas
necessita
de certo cuidado.
Por exemplo, a construção da tabela de fre­
qüências da variável salário não resumirá as 36 observações num grupo
menor, pois não existem observações semelhantes. A solução empregada
é agrupar os dados por faixas
de salário.
6
,
Exemplo J
3. A Tabela 1,4 dá a distribuição de fr~qüên~ias dos sa,lá­
, d s 36 empregados da seção de orçamentos da CJa, Milsa por faixa
nOS o
de salário,
Pro
cedendo-se dessa maneira, ao resumir os dados referentes a uma
.. I
con!"nu> perde-se alguma informação, Por exemplo, nào temos
vanBve , _
'd' 'a de como se distribuem os 8 salários da classe de 12 a 16, a nao ~er
, " ,'nvestiguemos os dados originais (fabela l.l), Sem perda de mUlta
que I '
',a-o podemos supor que todos os 8 salários daquela c asse sejam
precI, ., . ., ' 'fi
, ais ao ponto méd iO da refenda classe, Isto e, 14 (o leitor pode ven lcar
:~al o erro cometid o, comparando-os com os dados originais da Tabela
1.1). Voltaremos a este assunto no Capítulo 2.
TABELA IA -Freqüências e porcentagens dos 36 empregados
da
seção de orçamentos da Compan hia Milsa,
por
faixa de salário.
Classe de Freqüência Porcentagem
salários
no 100 • lo
4,00 I--8,00 10 27,78
8,00 ~1 2,00 12 33,33
12,00 ~ 16,00 8 22,22
I 6,00 ~ 20,00 5 13, 89
20,00 ~ 24,00 I 2,78
TOTAL 36 100,00
Fonte: Tabela 1.I
A escolha dos intervalos é arbitrária e a familiaridade do pesquisador
com os dados é que lhe irá indicar quantas e quais cla sses (ou intervalos)
d
evem ser usada s, Entretanto, deve-se observar que, com um pequeno
número de classes, perde-se infonnação, e com um número grande de
classes, o obje tivo de resumir os dados fica
prejudicad~, Normalmente,
s
ugere-se o uso de 5 a 15 classes com a mesma
amplitude.
7

•
PROBLEMAS
I. Para cada uma das variáveis abaixo, indique a esca la que usualmente é adotada para
resumir os dados em tabelas de freqüências:
(a) Salários de empregados de uma indústria.
(b) QI dos funcionários de uma seçãO'.
(c) Numero de respostas certas de alunos num teste com \O itens.
(i!) Idem para um teste com 100 itens.
(e) Porcentagem da receita de municlpids aplicada em educação.
(J) Opinião dO's empregados da PW Indústria c Comércio sobn: a realização ou nãO'
de cursos obrigatórios de treinamento. I
2. UsandO' O'S dados da Tabela l.1, construa a distribuiçãO' de freqüências das variáveis:
(a) estado civil j
(b) região de procedência;
(c) número de filhos;
(d) idade.
1.4. REPRESENTAÇÃO G.RÁFICA DAS VARIÁVEIS
QUANTITATIVAS
A representação gráfica da distribuição de freqüências de uma va­
riável tem a vantagem de, rápida e concisamente, informar sobre a varia­
bilidade da mesma. Existem várias maneiras
de se fazer a representação
gráfica e iremos
abordar aqui os casos mais simples para variáve is quan­
titativas. No Capítulo
2
voltaremos a tratar deste assunto, em conexão
com me;didas associadas
à distribuição de uma variável.
Exemplo J.4. Estamos interessados em estudar a distribuição do
número de filhos dos empregados casados da seção de orçamentos da
Cia. Milsa (Tabela
LI). A tabela de freqüências e porcentagens está na
Tabela
1.5.
Em seguida, usamos um gráfico para representar os pares (Xi'
nJ
Estes pontos estão representados na Figura 1.3 (a). O gráfico tambem
pode ser feito usando-se os pontos (Xj,JJ, mas a forma da distribuição
não sofrerá modi ficação alguma, devido à proporcionalidade existente entre
OS nj e os k A Figura 1.3 (b) é a representação gráfica dos pares (x"fi).
Para variáveis quantitativas continuas necessita-se de alguma adap­
tação, como no exemplo a seguir.
Exemplo J .5. Queremos representar graficamente a distribuição
da variável
S = salário dos empregados da seção de orçamentos da
8
7
6
5
4
•
•
•
Jt
•
•
•
2-
•
•
•
,;
•
•
• •
01
TABELA
1.5 -Freqüências e porcentagens dos empregados da
seção
de orçamentos da Companhia Milsa, se­
gundo o número de filhos.
N.0 de filhos
Freqüência Porcentagem
x, n, 100 'J,
O 4 20;::
1 5 25%
2 7 35%
J J 15%
5 1 5%
TOTAL 20 100%
Fonte: Tabela 1.1
Freqü -;;c i~ roporç.lio)
•
· •
•
• 0,30
• •
• •
•
•
0,20 •
• •
• • •
•
·
•
• • •
• • ·
• •
•
• • • •
• • • • •
• • • • ·
•
• • • •
0,10 .. • • •
• • • •
•
• • • •
• • • • • •
• •
• • • •
• • • • • • ·
•
•
·
• • • • • •
• • •
• • • • •
• • • •
·
• ·
•
•
• •
•
. • .
• • •
2 4 5 N." de 01
2 3 4 5 N:' de
filhos filhos
,.)
lO)
Fig. 1.3
9

Cia. Milsa. A Tabela 1.4 fornece a distribuição de (eqüência de S. Para uma
representação similar
à da Figura J .2, devemos usar o artifício de aproximar
a variável contínua por uma variável discreta, sem perder muita informação.
Isto pode ser feito supo
ndo·se que todos os salários em uma determinada
classe de salário são iguais
ao ponto médio dessa classe. Assim, os 10
salários situados na primeira classe (4,00 f-8,00) serào admitidos iguais
a 6,00, os 12 salários da segunda classe (8,001--12, 00) serào admitidos
igUais a 10,00 e assim por diante. Então, podemos reescrever a Tabela 1.4'
introduzindo os pontos médios das classes. Esses pontos estão na segunda
coluna
da Tabela 1.6.
Com a tabela assim construída podemos representar os pares
(Si' n/)
ou (5;, f;) como no caso anterior. A Figura 1.4 é a representação gráfica
dos
pontos (shfi)'
TABELA 1.6
-Distribuição de freqüência da variável S= sa·
Iário dos empregados da seção de orçamento da
Companhia Mílsa.
Classe de Ponto médio Freqüência Porcentagem
salários s, n, 100 ,1,
4,00 f--8,00 6,00 10 27,78
8,00 >--12,00 10,00 4{')
33,33
12,00 >--16,00 14,00 8 22,22
16,00 f--20,00 18,00 5 13,89
20,00 >--24,00 22,00 I 2,78
TOTAL - 36 100,00
Fonte; Tabela 1.4
o artificio usado acima para representar a variável contínua faz
com que se perca muito das informações nela contidas. Uma alternativa
a ser usada nestes casos é o grãfico conhecido como histograma.
Exemplo 1.6.
Usando ainda a variável S=salário dos empregados
da seção de orçamentos da Cia. Milsa, apresentamos na Figura 1.5 o
histograma de sua distribuição.
10
O.'"
0.25
0,20
0,15
0.10
0,05
•
•
· •
•
• •
·
:
: :
:
:.
-t------c~ .c-L---~~----~~----~.~----~~.~--~
6,00 10,00 14,00 la.oo 22,00 S(_
Densidade da
Frequência
0,080
0,060
0,040
0,020
.
,,%
4,00
Fig. 1.4
,,%
,,%
8,00 12.00 16,00
-
•
14%
,%
I
20.00 24,00 Salá
rios
Fig. 1.5. Histograma da variável S = salário dos empregados da seção de
orçamentos da Companhia MUsa
11
lL-__________ ~~ ______ -L ____ ~ ________ ~ ____ ~

o histograma é um gráfico por setores contíguos, onde a altura é
proporcional a f" e a base é constilUída por um segmento cujos extremos
representam os extremos da i-ésima classe. O único cuidado a tomar é
de que
a área total da figura seja igual a I, correspondendo
á soma total
das proporções.
Para facilitar o entendimento,
foi colocada acima de cada setor a
respectiva porcentagem
das observações. Assim, através da figura po-
I
demos dizer que 61% dos empregados têm salário inferior a 12,00 salá­
rios mínimos,
ou 17% possuem salário superior a 16,00 salários mínimos.
Do mesmo
modo que usamos um artificio para representar a variável
contínua como uma variável discreta, podemos usar um artificio
para
construir um histograma para variáveis discretas. A Figura 1.6 é um exem­
plo de como ficaria o histograma
da variável X = número de filhos dos
empregados da seção de orçamentos da
eia. Milsa, segundo os dados
da Tabela 1.5. Deixamos a cargo do leitor a interpretação das suposições
subjacentes admitidas para a construção
do gráfico, pois acreditamos
que ele seja suficientemente explicito (compare com a Figura
1.3).
Freqüências
35%
25%
20%
15%
5%
I I
O 1 2 3 4 5 N~ de filh .,
Fig_ 1.6. Histograma ajustado para a variável número de filhos dos 36 em­
pregados
da seção de orçamentos da Companhia Milsa
":5. RAMO-E-FOLHAS
Tanto o histograma como os gráficos das Figuras 1.3 e 1.4 dào uma
idéia da
forma da distribuição da variável sob consideração. Veremos,
12
no Capítulo 2, outras características da distribuição de uma variável,
como medidas de posição e de
dispersão. Mas a forma da distribuição
, tão importante quanto estas medidas. Por exemplo, saber que a renda
;e
r
capita ~ uma comunidade é tantos salários mínimos pode ser um
dado interessante, mas saber como esta renda se distribui é mais im­
portante.
Um procedimento alternativo para resumir um conjunto de valores,
com o objetivo de se
obter uma
idé\a da forma da sua distribuição, é o
ramo-e-folhas (T
ukey, 1977).
Uma vantagem do ramo-e-folhas sobre o
histograma
é que não perdemos informação sobre os dados em si.
Exemplo 1.7. Na Figura 1.7 construímos o ramo-e-folhas dos sa­
lários dos
36 empregados da eia. Milsa (Tabela 1.1). Não existe uma regra
fixa para construir o ramo-e-folhas, mas a idéia básica é dividir cada ob­
servação em duas partes: a primeira
(o ramo) é colocada à esquerda de
uma linha vertical, a segunda (a folha) é colocada à direita. Assim, para
os salários
4,00 e 4,56, o 4 é o ramo e 00 e 56 são as folhas.
4
5
6
7
8
9
10
II
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
()()
25
26
39
12
13
53
06
()()
.23
69
99
22
26
75
40
30
56
73
66
44
46
35
76
59
79
60
71
61
86
59
74
77
85
95 80
Fig. 1.7. Ramo-e-folhas dos salários de 36 empregados da Cia. Milsa, em
S.M. (Fome: Tabela 1. /)
13

,
Algumas infonnaçõcs que se obtêm deste ramo-e-folhas são:
(a) Há um destaque grande para o valor 23,30.
(b) Os demais valores estão razoavelmente concentrados entre 4,00 e 19,40.
(c) Um valor mais ou menos típico para este conjunto de dados poderia
ser, por exemplo, 10,00.
(ti) Há uma leve assimetria em direção aos valores grandes; a suposição
de que estes diidos possam ser considerados como uma amostra de uma
população com distribuição normal pode ser questionada.
A escolha do número
de linhas do ramo-e-folhas é equivalente
à
escolha do número de classes do histograma. Um nÚmero pequeno de
linhas (ou de classes) enfatiza a parte M da relação (1.1), enquanto um
número grande de linhas (ou de classes) enfatiza a parte R.
Exemplo Ui. Os dados abaixo referem-se à dureza de 30 peças de
alumínio (Hoaglin, Mosteller e Tukey, 1983, pág. 13).
53.0
53.4
95.4
53.5
72.3
70.2
82.5
51. 1
64.3
59.5
84.3
67.3
74.4
82.7
55.3
69.5
54.1
55.7
78.5 73.0
77.8
70.5
63.5
55.7
52.4
87.5
71.4
85.8
69.1 50.7
Na Figura 1.8 temos o ramo-e-folhas correspondente. Aqui, optamos
por truncar cada valor, omitindo os décimos, de modo que 69.1 e 69,5,
por exemplo, aparecem como 9
na linha que corresponde ao ramo 6.
5
O 1 2 3 3 3 4 5 5 5 9
6 3 4 7 9 9
7 O O 2 3 4 7 8
8 2 2 ,
5 7
9 5
Fig.
1.8. Ramo-e-folhas dos dados de
dureza de peças de alumínio
Este é um exemplo em que temos muitas folhas em cada ramo. Uma
maneira alternativa
é duplicar os ramos. Criamos os ramos
5* e 5-,6* e 6-
etc., onde colocamos folhas de O a 4 na linha· e folhas de 5 a 9 na linha-.
Obtemos o ramo-e.folhas da Figura 1.9.
1.
5' O 2 3 3 3 4
5' 5 5 5 9
6' 3 4
6' 7 9 9
7' O O 2 3 4
7' 7 8
8' 2 2 4
8' 5 7
9'
9' 5
Fig. 1.9. Ramo-e-follras do exemplo /.8, com ramos dil'idi dos
Para outros exemplos, ver problema 17.
PROBlEMAS
J Contou-se o número de erros de impressão da primeira página de um jornal durante
. 50 dias. obtendo-se os resultados abailo.
,
"
,
"
14 IJ
"
14 14 5
O 10 14
"
O
"
1 5 , ,
10 Ió 10
" "
,
"
O 1 12
1 10 14 5
"
1 ,
12
"
•
14 ,
14 ,
12 10 12 2J: 1 15
ta) Reprl!scnte os dados graficamente.
11>1 Faça um histograma e um ramo-e-rolhas.
... Usando os resultados do problema 2:
tal construa um histogn.ma para a variável idade: ._
(1)1 proponha uma representação grárica para a variável grau de mstruçao.
S. As talas medias geométricas de incremento anual (por 100 habitantes) dos 30 maiores
municípios do
Brasil
estão dadas abailo (ver Tabela do problema 181.
3,67 1.82 3.73 4.10 4.30
1.28 8.14 2.43 4.17 5.36
3.96 6,54 5 .114 7.35 3.63
2.93 2.82 11.45 5.28 5.41
7.77 4.65 1.118 2.12 4.26
2.78 5.54 0.90 5.09 4.07
(a) Construa . um histograma.
(/I) Construa um ramo-e-rolhas.
lfi

6. Você foi convidado para chefiar a Seção de Orçamtntos ou a Seção Têcnica da Milsa.
Após analisar o tipo dc serviço que cada seção executa, voce ficou indeciso e resolveu
transferir a decisão para o tipo de funcionário que voce iria encontrar em cada seção.
Assim a Seção Pessoal fornea:u os dados da Tabela 1.1 para os funcionarios da Seção
de Orçamentos, ao passo que para a Seção Têcnica os dados vieram agrupados segundo
as tabelas abaixo:
Freqüência dos 50 empregapos da Seção Técnica da Milsa, segundo:
Baseado nesses dados, qual seria a sua decisão? Justifique.
PROBLEPo!AS E COMPLEME N TOS
7. A PW Indústria e Comércio, desejando melhorar o nivel de seus funcionários em car­
gos de chefia, montou um curso experimental e indicou 25 runcionários para a pri·
meira turma. Os dados referentes à seção a que pertencem, notas e graus obtidos no
curso estão na tabela a seguir. Como havia dúvidas quanto à adoção de um imico critêrio
de avaliação. cada instrutor adotou seu própr io sistema de aferição_ Usando os dados
daquela tabela. responda as questões:
'6
(a) Após observar atentamente cada variável. e com o intuito de resumi-Ias, como
ê que voce identificaria (qualitativa ordinal ou nominal e quantitativa discreta
ou contínua) cada uma das 9 variáveis listadas?
(b) Compare e indique as diferenças existentes entre as distribuições das variáveis
Dir
eito.
Política e Estatistica.
(e) Construa o histograma para as notas da varjãvel Redação.
(d) Construa a distribuição de frequências da variável Metodologia. e faça um gráfico
para indicar essa distribuição.
(e) Sorteando ao acaso um dos 25 funcionários, qual a probab ilidade de que ele tenna
obtido grau A em Metodologia?
fi) Se em vez de um, sorteássemos dois, a probabilidade de que ambos tivessem tido
A em Metodologia ê maior ou menor do que a resposta dada em (e)'!
(g) Como ê o aproveitamento dos funcionários na disciplina Estatística. segundo a
seção a que eles pertencem?
.,
1<u~u«uu~u~~u~~<uuu~~<u«
•
:;:
'7

18
8. Inten.alos de Classes Desiguais ~ É muito comum o uso de classes com tamanhos desi.
guais no agrupamento dos dados
em tabelas de frequências. Nestes casos deve-se tomar
alguns cuidados especiais quanto à
análise e construção do histograma.
A tabela abaixo fornece a distribuição de 250 empresas classificadas segundo o nu­
mero de empregados. Uma análise superficial pode levar á conclusão de que a con.
centração
vem aumentando
até atingir um máximo na classe 40 I--60, voltando a
diminuir depois. mas não tão acentuadamente. Porém, um estudo mais detalhado
revela que a amplitude
da classe 40
I--60 e o dobro da amplitude das classes anter iores.
Assim, espera-se que mais elementos caiam nessa classe, meSmo que a concentraçào
seja levemente inferior. Então.
um primeiro cuidado
é construir a coluna que indica
as amplitudes di de cada classe. Estes valores estão representados na terceira coluna
da tabela.
Distribuição de 250 empresas segundo o numero de empregados
NUIIIl.'r(I de FreqühJcia Ampli1!4de Densidade Proporçâo Den.!ipatie
empregados ",
6, n ;/tJ.
J J, fr/tJ.J
Of-10 5 10 0,50 0.02 0,0020
10 f-20 20 10 2,00 0,08 0,0080
20 I-30 35 10 3.50 0.14 0.0140
30 I-40 40 10 4,00 0,[6 0.0[60
40 i---60 50 20 2,50 0,20 0,0100
60 I--80 30 20 1.50 0,12 0,0060
80 I--100 20 20 1,00 0,08 0,_
100 1--140 20 40 0,50 0,08 0,0020
140 I-180 15 40 0.38 0.06 0,0015
1801-260 15 80 0,19 0.06 0.0008
TOTAL
250
- - 1.00 -
Um segundo passo é a construção da coluna das densidades de freqüências em cada
classe. que e obtida dividindo as freqüências 11; pelas amplitudes tJ.
i
•
Ou
seja. a medida
que indica qual a concentração por unidade da. variável. Assim, observando-se os
m,imcros da quarta coluna, vê-se que a classe de maior concentração passa a ser a
30 I--40, enquanto que a ultima e a de menor concentração. Para compreender a dis­
tribuição. estes dados são muito ma is informativos do que as freqüências absolutas
simplesmentc.
De modo
anMogo .. pode.se conStruir a densidade da proporção (ou porcentagem)
por unidade da variável (verifique a construção atravês da 5," e 6." colunas). A inter­
pretação para fdtJ., é muito semelhante àquela dada para ndtJ.
I
,
Para
a construção do histograma, basta lembrar que a área total deve ser igual a 1
(ou
100%). o que sugere usar no eixo das ordenadas os valores
def;/tJ.
i
.
O
histograma
para estes dados estâ na Figura 1.10.
O"".õded<l
".
0,0160 ...
0.0140
0.0120
,,,
0,0100 r---..
';0,080
'"
"J
O
'06O I--..
,)0,040 I--
0)0,020
n
"
2030 40
" " ""
"
"
''''
Fig. I. \O
""
260 N~ de
empreg.oo.
51. Dispomos de uma relação de 200 aluguéis de imóveis urbanos e uma relação de 100
aluguéis rurais.
(o) Construa os histogramas das duas distribuições.
(b) Com base nos histogramas discuta e compare as duas distribuições.
C/asses de oluguéiJ ZOlla Zona
(codificados) urbana rural
2f-3 10 30
3f-5 40 50
5f-7 80 15
71--10 50 5
101--15 20 O
TOTAL 200 100
, Histograma A lisado - Na Tabela 1.4 tem-se a distribuição de freqÜências dos salârios
de 36 funcionârios, agrupados em classes de amplitude 4. Na Figura 1 .5 tem-se o res­
pectivo histograma. Rcagrupando-se os dados em classes de amplitude 2. obter-se-ia
a.seguinte tabela de freqÜências e o correspondente histograma.
19

20
C/anO' de FreqU(;nl';{/
.!Olâr;(Js
",
4.00 I-6,00 4
6,00 I-8.00 6
8.00 1-10,00 8
10,001-12,00 4
12.00 t-14,00 I
14,001-16.00 ]
16,00 I-18,00 3
18.001-20.00 2
20,00 I-22,00 O
22.00 I-~4.00
TOTAL 36
6, -
~
r--
C-f-
r-
n
4 6 8 10 12 14 16 18 20. 22 24 Salários
Fig. LI J. (a)
SI:: houvesse um numero suficientemente grande de observações. poder-se-ia ir dimi­
nuindo os intervalos de cfasse, e o histograma iria ficando cada vez menos irregular,
até atingir
um caso limite com uma curva bem mais suave.
Por exemplo, o comporta­
~ento da distribuição dos salários poderia ter a representação da Figura 1.II(b).
Esse histograma alisado ti muito útil para ilustrar rapidamente qual o tipo de COmpor-_
lamento que se espera para a distribuição de uma dada variavel. No capitulo r eferente
a variáveis aleatórias continua
s,
voltar-se-á a estudar esse histograma sob um ponto
de vista ma
is matemático.
A interpretação desse
gráfico é a mesma do histograma. Assim. nas regiões onde
a curva ê mais alta, significa uma maior densidade de observaçõcs. No c)templo acima.
conforme se aumenta o salário, observa-se que a densidade de freqüência vai diminuindo.
'"
-,
'!/ÓI ",
'!',..~
" '"
Salários
Fig. \.lI. (b)
11. Esboce o histograma alisado para cada uma das situaçõcs descritas abaixo:
(a) Distribuição dos salários registrados em çarteira de trabalho de moradores da ddade
de São Paulo.
(h) Distribuição das idades de alunos de uma Façuldade de Economia e Administração.
(e) Distribuição das idades dos alunos de uma classe da Faculdade do item anterior.
Compare
as duas distribuições. (J) Distribuição do número de óbitos segundo a faixa etária
(e) Distribuição do número de divórcios (desquites) segundo o número de anos de
casado.
(f) Distribuição do número formado pelos dois últimos algarismos do primeiro prê­
mio da Loteria Federal. durante os la últimos anos.
12. Faça no mesmo gráfico um esboço das três distribuições descritas abaixo:
(a) Distribuição das alturas dos brasileiros adultos.
(b) Distribuição das alturas dos suecos adultos.
(c.) Distribuição das alturas dos japoneses adultos.
13. Freqüências Acumuladas -Uma outra medida muito usada para descreve ~ dados quan·
titativos é a freqüênCia acumulada, que indica quantos elementos, ou Que porcentagem
deles, estão abaixo
de um ceno valor. Na tabela a seguir. a terceira e a Quinta colunas indk;am respectivamente a rreqúência absoluta acumulada e a proporção (porcentagem)
acumulada. Assim, observando a tabela podemos arinnar que 27,78% dos indi\líduos
ganham até 8,00 salários mínimos: 61.11% ganham até 12,00 salários mínimos; 83.33%
ganham até 16.00 salàrios minimos; 9722% ganham até 20,00 salários mínimos e 100"10
dos runeionários ganham até 24.00 salários.
21

I~
Classe de FreqUência
Frequênc;a
Porcentagem
Porcentagem
acumulada acumulada
salários
"
N,
100 'f!
100 .F
I
4,00 I-8,00 10 10 27,78 27,78
8,001-12,00 12 22 33,33 61,11
12,001-16,00 8 30 22,22 83,33
16,00 I-2Q,OO 5 35 13,89 97;12
20,00 I-24,00 36 2,78 100,00
TOTAL 36 [00,00
A Figura 1.12 é a ilustração gráfica da porcentagem acumulada.
100 ----- -------------::~~--
80
60
40
20
4 8 12 16 20 24 Salérios
Fig. 1.12
Este gráfico pode ser usado para fornecer informações adicionais. Por elemplo, para
saber qual o salário s. tal que 50% dos funcionários ganham menos. do que 5, basta
procurar o ponto (5,50) na curva. Observando as linhas pontilhadas no gráfico, veri­
ficamos que a solução é um pouco mais do que la salários mimmos.
14. Usando os dados da Tabela 1.[:
(a) Construa a distribuição de frequências para a variável idade.
(h) Faça o gráfico da porcentagem acumulada.
(c) Usando o gráfico anterior ache os valores de s correspondentes aos pontos (s, 25%),
(s,5O%) e (s, 75~";).
15. Fr«jiiêncill$ Acwnuladll$ (contin uação) -Para um tratamento estalÍstico mais rigoroso
das variáveis quantitativas, cosluma-se usar uma definição mais precisa para a dis­
tribuição das freqüências acumuladas. Em capitulos posteriores serã vista a sua utilização.
22
-
fIaiçio. Dadas 11 observações de ~ma variável quan~itativa, e um n~mer.o :c real
De I uer. indicar-se-á por N{.>::) o numero de observaçoes menores ou IguaiS a x, e
:rn~-se de Junrão disfribuição acumulada fj,d,a.) a função
F,(:c) = N(x) •
,
Extmplo 1.9. Para a variável S= salário dos ]6 funcionários listados na Tabela 1.1,
ê fIIci! verificar que:
0, se s<4,OO
1
]6' se 4,00 ~.{ < 4,56
2
]6' se 4,56,,;; s < 5,25
I, se s~2],30
frtqUtncia acumulada
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
•
"
• .,. 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Salários
Fig. l.l J
Àqueles não familiarizados com a representação gráfica de funções, recomenda-se a
leitura do volume 1 desta serie.
23

Exemplo I. /O. Esta definição também vale para variaveis quantitativas discretas. Assifll,
para a variável número de filhos resumida na Tabela 1.5, tem-se a seguinte f.d.a.:
0,00,
"
x <O
0,20,
"
O...;;;x< I
FlO(X) =
0,45,
"
l~x<2
0,80,
"
2~x<3
0,95,
"
3...;;;x<5
1,00,
"
x~5
cujo gnifico é o da Figura 1. 14.
1,00
•
•
,
0,80 •
,
0,60 . ~
•
o
0,40
0,20+-_
I
o 2 3 4 5 ,
F;g, 1.14.
16. Construir a f.d.a. para a variâvel idade referente aos dados da Tabela 1.1.
7. amo--e·folhas (continuação) - Os dados abaixo referem-se 11. produção, em toneladas,
24
e dado produto, para 20 companhias quimicas (numeradas de I a 20).
(1,50), (2,280), (3,560). (4,170), (5.180),
(6,500), (7,250), (8,200), (9,1050), (10,240),
(J 1,180), (12,1000), (13.1100), ( 14,120), (15,4200),
(16,51 (0), (17,480 ), (18.90), (19.870), (20,360).
,
Vemos que os valores eSlendem-se de 50 a 5.100 e, usando uma represe ntação seme­
lhante 11. da Figura 1.7. teriamos um grande numero de linhas. A Figura 1. 15 (a) mostra
uma outra forma
de
ramo-e-folhas, com ramos divididos. A divisão ocorre no ramo,
cada vez que se muda por um fator de la.
Uma economia de 4 linhas poderia ser obtida. representando_se os valores 50 e 90 da
Figura 1.15 (a) num ramo denominado O. Obtemos a Figura 1.15 (b).
Fig. 1.15,
Ramo-e-folhas das produções de 20 companhias químicas, em
toneladas.
MWJicipio P opulaçiio
I São Paulo (SP) 849,3 C
2 Rio de laneiro (RJ) 509,3
J Belo Horizonte IMO) ~1J-178 il ~
4 Salvador (SA) 150,6\}-'i)..
5 Fortaleza (CE) 130,8
6 Recife (PE) 120,4
7 Brasilia (DF) 117,7
8 Porto Alegre (RS) ..JliD
9 Nova Iguaçu (RJ) 109,4
10 Curitiba ( PR) 102,5
11 Belém (PA)
93.4 ' I T
12 Goiânia (GO) 71.7 ~ ~L-'-
lJ Campinas (SP) 66,4
14 Manaus (AM) 63.4
15 São Gonçalo (RJ) 61,4 t
25

Município
lO Duque de Caxias (RJ)
17 Santo Andrê (SP)
18 Guarul hos (SP)
19 Osasco (SP)
20 São Luis ( MA)
21 São Bernardo do Campo (SP)
22 Natal (RN)
2l Santos (SP)
24 Niterói (RJ)
25 Maceió (AL)
26 São João de Meriti (RJ)
27 Teresina (PI)
28 Campos (RJ)
29 Jaboatão (PE)
lO João Pessoa (PB)
Fonte: Sinopse Estalistica do Brasil. 1981. FIBGE
26
População
57,5
55.2
53,2
47.3
44,9
42,5
41,7
41,6
40,1
40,0
39,8
37,8
34,9 33,1
33,0
-
-
CAPíTULO 2
Algumas medidas associadas
a variáveis quantitativas
2.1.
MEDIDAS DE POSiÇÃO
Vimos que a redução dos dados através de ramo-e-folhas e tabelas
de freqüências fornece muito mais informações sobre o comportamento
de uma variável do que a própria série original de dados. Contudo, muitas
vezes, queremos resumir ainda mais esses dados, apresentando um ou
alguns valores que sejam "representativos" da série toda. Quando usamos
um SÓ valor, obtemos uma redução drástica dos dados. Usualmente
CIllprega-se uma das seguintes medidas de posição central: média arit­
mética. mediana ou moda.
A moda, Mo, é definida como ealiza -o mais freqüente do con-
junto
de
valoreLobsea adQs. Por exemplo, considere a variável número
de filhos por funcionário casado, resumida na Tabela 1.5, do Capítulo I.
Vemos que Mo é 2, correspondente à realização com a maior freqüência, 7.
Em alguns casos, pode haver mais de uma moda, ou seja, a distribuição
dos valores pode ser bimodal, trimodal, etc.
A mediana, Md, é a realização que ocupa a posição<.Çentra da série
de observações quando estas estão ar erractas segundo suas grandezas
(
crescente
ou decrescenTemente) :-Assim-;""se as cinco observações de uma
variável forem 3,4, '!J 8 e 8, a mediana é o valor 7, correspondendo à ter·
ctira observação. Quando o numero de observações é par, usa- se como
mediana a média aritmética das duas observações centrais. Assim, se as
observações
de uma variável são 3, 4. 7, 8, 8 e 9, a mediana é
Md= 7+8=75
2 ' '
Finalmente, a média aritmética, Me, conceito familiar ao leitor, é a
soma das observações dividida pelo numero delas. Assim, a média arit-
mética de 3, 4, 7. 8 e 8 é Me=3+4+7+8+8=30=6
5 5·
27

Exemplo 2.1. Usa ndo os dados da Tabela 1.5, já encontramos que a
moda da variável número de filhos é Mo = 2. Para a mediana, COns.
tatamos que Md= 2, média aritmética entre a décima e a déci ma primeira
observações.
Finalmente a média aritmética será
M = 4 x
0+5 x I + 7 x 2 + 3 x 3 + 5 x I = 33 = I 65
e 20 20 "
Neste exemplo, as três medidas têm valores bem próximos e qual.
quer uma delas pode ser usa
da como
"representativa" da série toda.
A média aritmética é, talvez, a medida mais usada. Contudo, ela conduz
a erros de interpretação. Em
muitas situações a mediana é um valor
mais adequado. Voharemos a este assunto logo mais e pr
oporemos
Um
conjunto de medidas que julgamos serem mais adequadas para repre.
sentar um conjunto de dados.
A média aritmética pode ser expressa através do uso do símbolo
de somatório. Se
Xl' ... , Xi são os k valores distintos da variável X, po.
demos escrever
M (X) = Xl + ... + Xi = ~ ~ .
e k k .L ~.
,. ,
(2. I)
Agora, se temos n observações da variável X, das quais fi] sào iguais
a Xl' nz iguais a Xz. etc., 11. iguais a Xk> então a média aritmética de X
será dada por
Me(X) = nJX] + IIZX2 + ... + !lkX~
n
1 '
= -L fljXj.
fi i'" 1
(2.2)
n
Se !; = --1. representa a freqüência relati va da observação X;, então
n
(2.2) também pode ser escrita
,
Me(X) ~ L /;x;. (2.3)
;"'1
De ora em diante denominaremos a média aritmética simplesmente
de média e, às vezes, será denotada por x, ou sCJa,
,
Me(X) ~ 'i ~ L /;X;. (2.4)
;=1
Exemplo 2.2. A determinação das medidas dc tendência cent rál para
uma variável quantitativa contínua, através de sua distribuição de fre·
28
. exige alguns cuidados especiais. Con sideremos a Tabela 1.6.
qüSn
a8s
, . d d d 1
'á discutimos antenonnente, com os a os agrupa os em c asses,
CoPIO J . formação sobre cada observação individual, e uma boa apro·
perde-se
10 1 h
. -o é supor que todos os dados dentro de uma c ~sse ten a.m seus
lllJl3Ç3 . uais ao ponto médio desta classe. Este procedIm ento delxa·nos
vaJore:S:;a situação do caso discreto, onde as medidas são calculadas
na ~ ,se os pares (x" n;) ou (x; ,JJ, como em (2.2) e (2.3).
usan AO moda. mediana e média para os dados da Tabela 1.6 são:
Mo = 10,00
Md ~ 10,00
10 x 6,00+ 12 x 10,00+ 8 x 14,00+ 5 x 18,00+ 1 x 22,00 ~ 11,22.
Me ~ 36
Existem várias técnicas para a detenninaçào das medidas apresen·
das especialmente para a média, mas não é nossa intenção apresen·
:.las' aqui. Com o advento das modernas máquinas eletrônicas de cal·
cu1ar e dos computl:ldores, tais técnicas perdem a sua função, já que o
. tcresse no cálculo das medidas em geral está dentro do contexto de
::na análise estatística mais ampla.
2,2, MEDIDAS DE DISPERSÃO
A sumarização de um conjunto de dados, através de uma única
medida representativa de posição central, esconde toda a informação
sobre a variabilidade do conjunto de valores. Por exemplo, suponhamos
que cinco grupos de alunos submetem·se a um teste, obtendo as seguintes
ootas:
grupo A: 3,4
,5,6,7
grupo
B:
I, 3, 5, 7, 9
grupo C: 5, 5, 5, 5, 5
grupo D: 3, 5, 5, 7
grupo
E: 3,5; 5; 6,5
(variável
(variável
(variável
(variável (variável
X)
Y)
Z)
W)
V)
Vemos que Me(X)
~ Me(Y)~ Me(Z)~ Me(W) ~ Me(V) ~ 5,0. A iden,
tificação de cada uma dessas séries pela sua média (5 em todos os casos)
nada informa sobre as diferentes variabilidades das mesmas. Então,
notamos a conveniência de se cri
ar uma medida que sumarize a
varia~
bilidade de uma série de valores que nos permita, por exemplo, com­
parar conjuntos diferentes de valores, como os dados acima, segundo
algum critério estabelecido.
29

o critério freqüentemente usado para tal fim é aquele que mede
a concentração dos dados em
tomo de sua média, e duas medidas são
as mais usadas: desvio médio e variância.
O princípio básico é analisar
os desvios das observações em relação
à média das observações.
Para o
grupo A acima, os desvios XI -X são: - 2, -I, O, I, 2. É fácil ver (pro.
blema
li) que, para qualquer conjunto de dados, a soma dos desvios
é
,
igual a zero. Nestas condições, a soma L (XI -x) não é uma boa me-
i= 1
dida de dispersão para o conjunto A. Duas opções são: (a) considerar o
total dos desvios em valor abso luto;' (b) considerar o total dos quadra.
dos dos desvios. Assim, para o grupo
A teríamos, respectivamente:
, L I x, -x I ~ 2 + I + O + I + 2 ~ 6,
'''I
,
L (x, -x)' ~ 4 + I + O + I + 4 ~ 10.
j~1
O uso destes totais pode causar dificuldades quando comparamos
conjuntos de dados com números diferentes de observações. Por exemplo,
para o grupo D acima teríamos:
,
L I w, -IV I ~ 2 + O + O + 2 ~ 4,
;=1
•
L (w, -IV)' ~ 4 + O + O + 4 ~ 8.
i"'l
Deste modo, exprimimos as medidas como médias, isto é, o desvio
medio e a variância são definidos por
"
DM(X) ~ L I x, -x I/n,
;=1
"
Var(X) ~ L (x, -x)'ln,
,-,
respectivamente. Para o grupo A temos:
DM(X) ~ 6/5 ~ 1,2,
Var(X) ~ 10/5 ~ 2,0.
Para o grupo .o vemos que
30
DM(W) ~ 4/4 ~ 1,0,
Var(W) ~ 8/4 ~ 2,0.
(2.5)
(2.6)
Então, podemos dizer que, segundo o desvio médio, o grupo D é
. homogêneo que A. enquanto que ambos têm a mesma homogenei.
Jll8IS . _ .
de segundo a v~n~ncJa.. "
da Sendo a variancla uma medida que expres sa um deSVIO quadra­
. mé dio, pode causar alguns problemas de interpretação. Para evitar
"co d' d- 'do'd . dd . costuma-se usar o esvlO pa rao, que e ellfll o como a raiZ qua ra a
,sto'"tiva da variância. Temos, então, uma medida de variabilidade ex·
~I na mesma unidade dos valores do conjunto de dados. Para o gru-
pressa . d -.
A
o deSVIO pa rao e
po,
DP(X) ~ JVar(X) -fi ~ 1,41.
Exemplo 2.3. Vamos calcular as medidas de dispersão acima para
variá
vel X = número de filhos, resumida na Tabela 1.5. Como vimos :0 exemplo 2.1, Me(X) = x = 1,65. Os desvios s ão Xi -x: -1,65;
-0.65; 0,35; 1,35; 3, 35.
Como 4 observações têm o desvio -1 ,65; 5 observações o de svio
-0
,65 etc.,
segue- se que
4x (I
,65)+5 x
(0,65)+ 7 x (0,35)+3 x (I ,35)+ I x (3,35) _ 098
DM(X) ~ 20 - , .
Também,
X)
_
4x (- 1,65)' +5 x
(-0,65)' + 7 x (+0,35)'+3 x (+ 1,35)'
Var( - 20 +
I x (3,35)' ~ I 528
+ 20 '
Conseqüentemente, o desvio padrão de X é
DP(X) ~ JD28 ~ 1,24.
Podemos, agora, definir formalmente as medi das de dispersão dis­
cutidas acima. Suponha que ob servemos n
1 vezes o val or XI' "1 vezes
o valor X2 etc., TIl vezes o valor X~ da variável X. Então,
• •
DM(X) ~ L nol x; -x Iln ~ I foi x; -x I, (2.7)
;=1 ;"1
• •
Var(X) ~ L n;(x, -x)'ln ~ L f,(x, -.')', (2.8)
;=1 ;"'1
DP(X) ~ JVar(X). (2.9)
3'

o cálculo das medidas de dispersão no caso de variáveis contínuas
pode ser feito
de modo análogo àquele usado para encontrar a média
no exemplo
2.2.
Ou seja, considerando- se o ponto médio de cada classe
como a realização comum a todos os elementos daquela classe, recaímos
na situação de uma variável discreta.
Exemplo 2.4. Vamos usar novamente a variável
S= salário dos em­
pregados da seção de orçamentos da Cia. Milsa. A mêdia encontrada no
exemplo 2.2 ê s = 11,22. Com os dados da Tabela 1.6 e usando (2.8) en­
contramos
•
Var(S) ~ L n,(s; -5)'/n ~ [10(6,00 -11,22)' + 12(10,00 -11,22)' +
i"l
+8(14,00- 11,22)'+5(18,00-11,22)'+ 1(22,00 - 11 ,22)'l/J6~ 19,40
e
DP(S) ~ ji9,4O ~ 4,40,
É fácil ver que DM(S) = 3,72.
No Capítulo 9 a variãncia de uma amostra será encontrada usando-se
n -I no denominador em (2.8), em vez de n. A justificativa será dada na­
quele capítulo, mas para grandes amostras pouca diferença fará o u so
de ,,-1 ou n.
PROBLE MAS
1. Quer se estudar o numero de erros de impressão de um livro. Para isso escolheu-se
uma amostra de 50 páginas. encontrando-se o seguinte número de erros por página:
(a) Qual o número médio de erros por pá-
gina?
(b) E o número mediano?
(c) Qual é o desvio padrão?
(dJ Faça u ma representação grãfica para a
distribuição.
(e) Se o
livro teM SOO págir'las, qual o numero
total de erros esperado no livro?
ErrQ5
o
I
1
]
4
Freqiiencia
" lO
]
1
2. As luas de juros recebidas por lO ações durante um certo periodo foram (medidas
em porcentageM) 2,59; 2,64; 2.60; 2, 62; 2,57: 2,55; 2,61; 2,50; 2.63; 2.64. Calcule a
média. a mediana e o desvio padrão.
32
ra racilitar um projeto de ampliação da rede de esgotos de uma certa região de .uma
). ~ s autoridades tomaram uma amostra de tamanho 50 dos 270 quanelrõcs
çidadc, a . . d
~ • reoião e foram encontrados os segUintes numeros e casas por quar-
que com}"'"'·" c·,
teirão:
2 2
] 10 13 14 15 15 16 16
18 18 29. li 22 22 23 24 15 25
26 27 29 29 30 ,
32 36
ti
44 45
45 46 48 52 58
"
61 61 65
66 66
68 75 78 80 89 9Q 91 97
) Use 5 interYalos e construa um histograma.
~:) Oetennine uma Medida de tendên cia central e uma medida de dispersão .
( )
Dê uma situação pratica onde você acha que a mediana é uma medida mais apto-
~ a ~~ .
priada do que a mcula. . . . .. .
(b) Esboce um histograma. onde a médIa e a mec!tana comcrdem. Buste alguma classe
de histogramas onde ISSO sempre acontece?
(c) Esboce os bistogramas de três variáveis (X, Ye Z) com a meSMa média aritmetica.
mas com as variãncias ordenadas eM ordem crescente.
S. Suponha que a variável de interesse tenha a distribuição como na figura abaixo.
Você acha que a média e uma boa medida de posição? E a Mediana? Justifique.
" Numa pesquisa realizada com 100 famiJias levantaram-se as seguintes infonnaçõcs:
Número de filhos
o
234.') mais que 5
Freqüência de famílias 17 20 28 19 7 4 5
(a) Qual a mediana do número de filhos?
(6) E a moda'?
(c) Que problemas você enfrentaria para cakular a média? Faça alguma suposição
e encontre-a.
33

2,3, OUTRA ESTRATÉGIA DE ANÁLISE
Tanto a média como o desvio padrão podem nào ser medidas ade_
quadas para representar um conjunto de valores. pois:
(a) São afetados, de forma exagerada, por valores extremos.
(b) Apenas com estes dois vaiares nào temos idéia da assimelria
da distribuição dos valores.
Para contornar estes fatos, as segu intes cinco medidas sào sugerid as
(ver T ukey, 1977):
(i) a mediana, Mel;
(ii) os ex/remos: o menor e o maior valor do cOAjunto de dados;
(iii) os quarris oujunlas, J: cada quartil faz o mes mo que a media na
para as duas metades demarcadas pela mediana. Ou seja, a mediana é
um valor que deixa metade dos dados abaixo c metade acima dele. O
primeiro quartil ou junta é um valor que deixa um quarto dos valores
abaixo e três quartos acima dele. O terceiro quartil ou junta é um valor
que deixa
três quartos dos dados abaixo e um quarto acima dele.
O se­
gundo quartil é a mediana (para maiores detalh es de cálculo dos quartis,
veja problema
14). Os valores extremos serào representados por E.
Exemplo 2.5. Retomemos os dados do exemplo 1.3. Temos (veja o
ramo-e-folhas da Figura
J. 7).
As juntas
são;
Md ~ 9,80 + 10,53 ~ 10,17
2
7,44; 7,59 ~ 7,5 e 13,85; 14,69 _
14,27
Os valores extremos são 4.00 (menor valor) e 23,30 (maior valor).
Obtemos, então, o c hamado esquema dos cil/CO números, que está
representado abaixo, onde também está incorporado o número de pon­
tos, que no caso é 36.
34
Mil
J 7,52
E 4,00
36
10,17
14,27
23,30
E
s cinco medidas sâo chamadas de
estatÍSticas de ordem (estas
sta
~ d·d ' d . d
-as únicas' há outras) e sao me I as reslstenfes e poSição e
pjosa
o
"-'
a distribUlçao.
uITI Dizemos que uma medida de posição ou dispersão é resistente quan­
fi pouco afetada por mudanças de uma pequena porção dos dados.
~o m~iana é uma medida resis teme, ao passo que a média não o é. Para
ilustrar este fato, suponha que tome mos os dados
5 7 8 10 12 15,
d quais obtemos Me=9 ,5 e Md=9,0 Suponha, agora, que modifi-M _
emos o valor J 5, que passa a ser 150. Obtemos, emao, Me = 32, en-qu _
quanto a mediana nao se altera Observe que a média aumentou mais
de duas vezes.
O desvio padrão também não é uma medida resistente. Para o exem­
lo acima, no primeiro caso obtemos DP= 3,62 e após a mudança de
rS para J 50 obtemos DP = 57,86, ou seja, mais de quin ze vezes a anterior.
Uma medida de
dispersão alterna tiva que pode ser utilizada é o
in/erl'ala inrerquarlil, que é a di ferença entre o terêeiro e o primeiro quartis,
denotado
dJ• Então,
dJ = l] -li,
onde JI, J2 e l) denotam o primeiro, o segundo (mediana) e o terceiro
quarlis, respcctivamen tt:.
Na figura abaixo represe ntamos de forma line ar as cinco medidas
referentes ao exemplo 2.5, acrescentando d
J
e as distâncias entre pares
destas medidas.
',00 7,52 10,17 14.27 23,30 , , , , ,
3.52 2,65 4.10 9,03
6,17 13,13
6,75
Aqui temos, então,
li = 7,52
II = Md = 10,17
lJ = 14,27
dJ = J J -li = 6.75
35

Chamemos de Ei c Es os valores mini mo e máximo, respectivamente.
À diferença J! -Ei = 10.17 -4,00 = 6.! 7, chamamos di.l'persão infe­
rior, e à diferença E.-J
2=23.30- [0,17= 13,[3 chamamos dispersão
superior.
A comparação destas distâncias nos fornece informação sobre a
forma da distribuição. De fato, vejamos como seriam estas distâncias
para uma distribuição simétrica como na figura abaixo (a chamada
dis_
tribuição normal).
E;
E,
Esperamos, intuitivamente, que:
(o) a dispersão inferior seja aproximadamente igual à dispersão su-
penar;
(b)
J2- Jl~JJ-J2;
(c) J1-Er':!:!E .-J];
(d) as distâncias entre mediana e juntas sejam menores que as dis­
tâncias entre extremos e juntas.
As distâncias para o exemplo acima mostram claramente o caráter
não nonnal dos dados.
PROBLEMAS
7. Obtenha o esquema dos cim:o números para os dados do problema 3. Calcule o in·
tervalo interqu artil e as dispersões inferior e superior. Baseado nestas medidas. ve­
rifique se a fonna da distribuição dos dados é normal.
8. Refaça o problema anterior, utilizando desta vez os dados do problema 5 do Capítalo L
36
2.
4
. DESENHO ESQUEMÁTICO
A infonnação contida no esquema dos cinco números pode ser tra­
duzida graficamente num desenho esquemático, ilustrado na Figura 2.1.
Primeiramen te, definamos aqueles valores que estão muito aquém
de} 1 ou muito além de J3 como sendo observações discrepantes (ou olltliers).
Especificamente, conSideraremos dados que sejam menores que J I -; d
J
oU maiores que J] + ~ dJ como sendo discrepantes do restante dos dados.
Para construir o desenho esquemático, consideraremos
um retângulo
onde
estãO representadas as juntas e a mediana. A partir do retângulo,
para cima e para baixo, seguem linhas até o ponto mais remoto que nào
seja wna observação discrepante. Obteremos, então, uma figura que re·
presenta o conjunto dos dados, com exceção dos OIaJiers. Estes serão
representados individualmente por x .
•
•
Fig. 2.1. Desenho esquemático
? desenho esquemático dá uma idéia da posição, dispersão, assi­
metna, caudas e dados discrepantes. A posição central dos valores é
dada pela mediana e a dispersão, por d
J
.
As posições relativas de
J
I
,
J2 e J] dão uma noção da assimetria da distribuição. Os comprimentos
das caudas sào dados pelas linhas que vão do retângulo aos valores mais
arastados que não sejam
outliers e pelos próprios outliers.
37

Exemplo 2.6. Consideremos os dados referentes às populações dos
15 maiores municipios do Bras il, segundo o Censo de 1980 (ver pro.
blçma 18, do Capítulo I). O esquema dos cinco números esta represen.
tado abaixo.
e
Temos que,
Md
J 82,6
E 61,4
15
112,5
140,7
849,3
D, ~ 140,7 -82,6 ~ 58,1,
3 3
J, -7:d, ~ 82,6 -7: (58,1) ~ -4,6
3 3
J, + 7: d, ~ 140,7 + 7: (58,1) ~ 227,9.
Então, as cidades com popu lações acima de 2.279.000 habitantes são
consideradas outliers, ou seja, Rio de Jan eiro e São Paulo. O desenho
esquematico correspo
ndente está na Figura 2.2.
900
)( São Paulo
500 )( Aio de Janeiro
180
50
Silo Gonçalo
Fig. 2.2. Desenho esquemáti co para os /5 maiore.~ municípios do Brasil
em /980
No desenho esquemático para os 15 maiores municípios do Brasil,
vemos que os dados
têm uma distribuição assimétrica à esquerda, com
13 valores concentrados entre
50 e 200 e dois outliers. bastante afastados
do corpo principal dos dados: 509,3 e 849.3.
3.
como pontos
ra
definirmos as observações discrepantes é a seguinte: consi·
limites pa . . d.
curva normal com media zero e, portanto, com me lana zero.
dere uma
É fácil verificar (ver Capítulo 6 e Tabela 3) que J
I = -0,6745, J
1
= O,
3
JJ=0,6745 e portanto dJ= 1,349. Segue-se que J
I
-
2
d
J= -2,698 e
J
3
+ ; d
J
= 2,698. A área en tre estes dois pontos e mbaixo da curva é
O 993, ou seja, 99,3% da distribuição está entre estes dois valores. Isto
.' para dados com uma distribuição normal, os
outliers constituirão
cer­
~ de 0,7% da distribuição.
PROBLEMAS
,. Construa o desenho esquemátiço para os dados do exemplo 1.3. Capitulo I. O que
você pode concluir a respeito da distribuição?
UI. Reraça a questão anter ior com os dados do problema 3 deste capitulo.
PROBLEMAS E COMPLEMENTOS
11. Mostre que:
(a) I (XI -x) = O
,. ,
• •
(e) I n, (X, -.fjl = I nixf _ nj2
I-I i_I
• •
(li) I Ji(Xi -x): = I Jixf -Xl
,., ,.,
39

U. Usando os resultados da questão anterior calcule as variâncias dos problemas
deste capitulo, 1"
~ s dados abaixo representam as vendas
~ vendedores de gêneros allmenticios:
semanais, em classes de salários mínimos,

Vendas semanais
30 I--35
35
1--40 40 1--45
451--50
50
I--
55
551--60
60 I--65
65 I--70
(a) Faça o histograma das observações,
(b) Calcule a média da amostra, X.
(c) Calcu[e o desvio padrão da amostra, s.
N." de vendedores
1
10
18
50
70
30
18
1
(ti) Qua[ a porcentagem das observações compreendidas entre x ~ 2s e x + 2s?
(e) Calcule a mediana.
14. QUllnlis. Usando·se o histograma, podemos derivar um procedimento alternativo
para encontrar a mediana de uma variável. Pela sua definição vemos que ela deve cor­
responder ao valof da abscissa que divide a área do histogr.~ma em duas partes iguais
(50"1.. para cada lad o), Então, usando argumentos geométricos, podemos encontrar
um ponto, satisFazendo essa propriedade. Vejamos através de um exemplo.
40
Exemplo 2.7. Vamos repetir abaixo a Figura 1.5, que é o histograma da variável
S
=
salário dos empregados da eia. Milsa.
2."
""
14"
o 4,00 8,00 Md 2,00 18,00 20,00 24,00
Devemos localizar o ponto das abscissas que divide o histograma ao meio, A
do primeiro retângulo corresponde a
28% do total, os dois primeiros a 61%;
por­
área a mediana Md é algum número situado entre 8,00 e 12,00. Ou melhor, a me­
tanto.
Id d"I··d"1
. .,á corresponder ao va ar M no segun o retangu o, cuJa area o retangu o
dlana I • '
de base 8,OO .... Md e mesma altura que o retangulo de base 8,OOHI2,OO seja 22% (28%
d rimeiro retângulo mais 22% do segundo perfazendo os 50"10)· Consulte a figu.
: ~ra melhor compreensão. Atra vés da proporcionalidade entre a area e a base do
retângulo, lemos:
l
ogo
12,00 ~ 8,00
33%. •
Md -8,00
22%
Md ~ 800 = 2~~ .400
. 33%'
Md = 8,00 + 2,67 = 10,67
que t uma expressão mais precisa para a mediana do que a mediana bruta encontrada
anteriormente.
Do mesmo modo que definimos a mediana como o valor que tem metade das
observações menores do que ela, podem!?s definir outTa medida de ordem tal, que
uma certa proporção P das observações seja menor do que ela. Por exemplo, se
p= 1(4. temos o primeiro quarlil, onde um quarto das observações são menores do
qUC ele. Ou quando p é. escolhido como uma proporção de denominador 10, dando
origem às medidas de ordem chamadas decis. De um modo geral, dada uma propor·
ção
p(O
<p < I), chamamos de quantil de orde.m p ao número x(p),"tal que 100p% das
observações sejam menores do que el e.
Abaixo indicamos alguns quantis e seus nomes particulares,
Quantil x(P)
x{0,25)
x(O,50)
x(0,75)
x(O,40)
x(0,95)
Nome
1," Quartil = 25." Perccntil
Mediana ~ 5," Decil ~ 50." Percelltil
3." Quarti[ ~ 75." Percentil
4
,"
Decil
95." Percentil
o cálculo dos quantis pode ser feito de modo analogo ao cálculo da mediana.
através de argumentos geométricos no histograma, Vejamos a determinação de alguns
quantis, usando
os dados do último exemplo.
Exemplo
2.8 (continuação). Através do histograma da ligura acima, calcular:
(a) x(0,25)
Resposta: Verificamos que x(0,25) deve estar na primeira classe, pois a proporção
no primeiro retângulo e 0,28. Logo
41

~
x(0,25) -4,00 _ 8,00 -4,00
25% - 28%
então
"
x(0,25) "'" 4,00 + 284,00 = 7,51
(b) x(0,95)
Resposta: Analisando a soma acumulada das proporções, verificamos que este
quantil deve pertencer ã quarta classe, e que nesse retângulo devemos achar a pane
correspondente a 12%, pois a soma acumulada até a classe ant erior é 83%, Cal_
tando 12% para atingirmos os 95%. Portanto
x(0,95) -16,00 = ~20",OO";-;-~16",OO,,,
12% 14%
logo
12
x(0,95) = 16,00 + 14 x 4 = 19,43
(e) x{0,75)
Resposta: De modo análogo concluímos que o terceiro quantil deve pertencer ao
intervalo 12,00 I---16,00, portanto
x(O,75) -12,00
14%
16,00 -12,00
22%
x(O,75) = 14,55.
O intervalo interquantil do úl!imo exemplo e x(O,75) -.1'(0,25) = 14,55 -7,57 '=' 6,98.
Ou seja 50:'1,; dos salários "centrais" estão numa faixa de amplitude 6,98 salá.rios m{_
nimos.
I~~ Usando os dados do problema 13, calcule:
(a) mediana (h) I.~ decil
(e) intervalo interqualtil
16. O número de desquites na cidade, de acordo com a duração do casamento, está repre-
sentado na tabela abaixo: .,
1.0 ().,<'f' '...,
J
(a) Qual a duração média dos casa-
mentos? E a mediana? Anos de casamenlo N.O de desquites
(6) Encontre a variància e o desvio
padrão da duração dos casa-01-6 2.800
mentos 61- 12 1.400
(o) Construa o histograma da dis- 121-18 600
tribuição.
181-2' IlO
(ti) Encontre o 1.0 e o 9.° decil. 2"-32 lO
(e) Qual o intervalo interquartil?
42 "::>
rtamento de Pessoal de uma certa firma fez um levantame nto dos salários
17. ~ro funcionãrios do setor administrativo, obtendo os seguintes resultados:
EsboCe: o hIstograma co rrespondente
(:) Calcule a média, a vanânCla e o desvIO padrão
( ) Calcule o L" quartIl e a ~. _________ --, _____ _
(e) Se for conce<hdo um aumento de 100"10
(ri) ra todos os [20 funclOnânos, have-
Faixa salarial
(X saláriQ mínimo)
~ E '~ .?
rã alteração na media? na vanancla.
Justifique sua resposta.
,,_ for concedido um abono de 2 sa-
(t);,... . od f
!ários mimmos para t os os 120 un-
cionários. haverâ alteração
na
média '!
E na variância'! E na mediana'! Jus­
tifique sua resposta.
01-2
, 21-4
41-6
61- 10
;
FreqUincia
relativa
0,25
0,40
0,20
0,15
ri"
o que acon[ea: com a mediana, a média e o desvio padrão de uma série de dados
. quando:
(a) cada observação é mult ipli~da por 2;
(b) soma-se 10 a ~~a obse~açao; _
--r(c) subtrai-se: a médIa geral x. de cada ~~servaça o; .
~ (d) de cada observação subtraI-se x e dIVIde-se pelo deSVIO padrão DP(x).
-;;: Na companhia A, a média dos salários é 10.000 unidades e o 3.° quartil é 5.000.
)M Se: você se apresentasse como candid.at~ a e~ firma e se o. seu ~Iãrio fosse es­
colhido ao acaso entre todos os posslvels salános, o que sena maiS provávcl: ga­
nhar mais ou menos que 5.000 unidades?
(ó) Suponha que na companhia B a média dos salários é 1.000 unidades e a variância
é praticamente zero, e lá o seu salário tambem seria escolhido ao acaso. Em qual
companhia você se apresentaria para procurar emprego?
a. Estamos interessados em estudar a idade dos 12.325 funcionários da Cia. Distribuidora
de Leite Teco, e isso será Feito através de uma amostra. Para determinar que tamanbo
deverá ter essa amoslra, foi colhida uma amostra-piloto. As idades observadas foram:
42. 35, 27, 21, 55. 18, 27, 30, 21, 24.
(a) Detennine as medidas descritivas dos dados que você conhece.
(h) Qual dessas medidas você acredita que será a mais i mportante para julgar o ta­
manbo final da amostra? Por quê?
lI. Estudando-se o consumo diário de leite, verificou-se que, em certa região, iO% das
familias consomem até I litro, só'<'1o das famílias consomem entre I e 2 litros, 20% con­
somem entre 2 e 3 litros e o ~estante consome entre 3 e 5 litros. Para a variável em es­
tudo:
(a) Escreva as informações acima na forma de uma tabela de freqüência s.
(h) Construa o hislogram'a.
(e) Calcule a média e a mediana.
(d) Calcule a variàneia e o desvio padrão.
(1') Qual o valor do 1.0 quartil'!
43

/ri.y. distribuição de
\~ Is.uma ronna de
freqüências do salário anual dos moradores do bairro A que lêlll
rendimento é apresentada na tabela abaixo:
Faixa salarial
(x lO salários mínimos)
r o f-2
? 2r-4
4 f-6
6 f-8
8 I--lO
10 t--12
121--14
TOTAL
Ix! = 150.300
r.x~ = 4.906.500
• (o) Construa um histograma da distribuição.
Freqüência
10.000
1900
2.000
1.IJ)O
-800
700
2.000
20.500
(b) Qual a média\e desvio padrão da variável salário?
(c) O bairro B apresenta, para a mesma variâvel. uma média de 7,2 e um desvio padr.1o
de 15,1. Em qual dos bairros a população e mais homogênea quanto ã renda'!
(ri) Construa a f.d.a., e determine qual a faixa salarial dos 10% mais ricos da população
do bairro.
~;(e)\ Qual a "riqueza tolal" dos moradores do bairro?
23. Um órgão do governo do estado está intcressado em determinar padrões sobre o in­
vestimento em edução. por habitante, realizado pelas prefeituras. De um levanta­
mento em la <:idades, foram obtidos os valores (codificados) da tabela abaixo:
44
Cidade A B C D E F G H J
Investimento 20 16 14 8 19 15 14 16 19
"
Nesse caso, será considerado c omo investimento básico a médio final das observações,
calculada da seguinte maneira:
J.
Obter uma mêdia inicial.
2. Eliminar do conjunto aquelas observações que forem superiores à media inicial
mais duas vezes o desvio padrão. ou inferiores à média inicial menos duas vezes o
desvio
padrão.
3. Calcular a
media final com o novo conjunto de observações.
Qual o investimento básico que você daria como resposta?
Observaçâo: O procedimento do item 2 tem a finalidade de eliminar do conjunto a
cidade cujo investimento é muito di ferente dos dcmais.
h
·
.o,rama abaixo,
calcular a média, a variância, a moda, a
)oi Dado o tS
mediana e o 1,°
qUlrtiJ.
2
b
25%
- 20%
t--
4 6
30%
.-
6 10 12
~ Em uma granja
J era a seguinte:
foi observada a distribuição dos frangos com relação ao peso, que
Peso (gramas)
960>-980
9801---1.000
1.000
t--1.020
1.020
I---1.040
=-1.040 I---1.060
1.060
I---1.080
(a)
Qual a média da distribuição?
(b) Qual a variância da distribuição?
(e) Construa o histograma.
"
60
160
280
260
160
80
(li) Queremos dividir os frangos em quatro categorias, com relação ao peso, de modo
que:
-'"
20"10 mais leves sejam da categoria D;
-.. 30% seguintes sejam da categoria C;
-M 30",.{ seguintes sejam da categoria B;
-o, 20"10 seguintes (ou seja, os 20"10 mais pesados) sejam da categoria A.
Quais os limites de peso entre as categorias A,
B. C e
D1
(e) O granjeiro decide separar deste lote os animais com peso inferior a dois desvios
padrões abaixo
da média para
receberem ração reforçada, e também separar os
animais com peso superior a um c meio desvio padrão acima da média para usa-los
como reprodutores.
Qual a porcentagem de animais que serão separados em cada caso?
tl6. A idade média dos candidatos a um determinado curso de aperfeiçoamento sempre
, joi baixa, da ordem de 22 anos. Como esse curso foi planejado para atender a todas as
V ~des. decidiu-se fazer uma campanha de divulgação. Para se verificar se a campanha
foi ou não eficiente, fez-se um levantamento da idadc dos candidatos ã última pro­
moção, e os resultados estão na tabela abaixo.
45

lda<k Freqüência Porcentagem
18 I-----20 18 36
20 I---22 12 24
22 f-26 10 20
26)--30 8 16
30 1--36 2 4
TOTAL 50 100
(a) Baseando-se nesses resultados, você diria que a campanha produziu algum efeito
(isto é, aumentou a idade media)?
(b) Um outro pesquisador decidiu usar a seguinte regra: se a diferença j -22 rOS!ie
maior que o valor 2 DP(X)/fi. então a campanha surtiu efeito. Qual a COnclu.
são dele, baseado nos dados?
(c) Faça o histograma da distribuição.
1
', ara se estudar o desempenho de duas companhias corretoras de ações, seleCIonou-tI:
e cada uma delas amostras aleatónas das ações negooadas Para cada ação seleciO­
nada, computou-se a porcentagem de lucro apresentada durante um periodo fixado
X de tempo. Os dados estão a seguIr
Correlora A Corre/oro B
45 60 54 57 55
" 62 55 70 50
" " 38 48 64
"
55
" 55
"
55 61
" " 54
"
48 57 57 50
65 55 60 55
"
54
"
51
"
Que tipo de informação revelam esse5 dados? (Sugestã o: use a análise proposta nas
seções 2.3 e 2.4.)
28. Para veriticar a homogeneidade das duas populações do problema anterior, um esta.
tístico suger iu que se usasse o quociente F = Var (X/A) , mas não disse qual a de­
Var (X/H)
cisão a tomar baseado nesse valor. Que regra de decisão você adotaria para dizer se
são homogêneas ou não?
29. Faça um desenho esquemático para os dados da corretora A e um para os dados di
corretora B. Compare os dois conjuntos de dados através destes desenhos.
30. !lara decidir se o desempenho das duas corretoras do exercicio 27 são iguais ou nio,
adotou-se o seguinte teste: sejam
46
x .. ~ xa Sl = 11 .. Var(Xj A) + lia Var{XjB)
f""S:)I+I'· 11 .. + na ~ 2
• 11.. lia
c.sO III < 2 os desempenhos são semelhantes, caso contrário são diferentes.
Qual seria a sua conclusão?
(a)
I"h", vo;;t acha desse procedimento?
(bl ~-
Os dados abaixo referem-se ao número de moradores X por domicílio, num bairro A,
;:Jt!. e que estão dispostos numa tabela de dupla entrada.
COLUNA
LINHA
2 I
] 4 5 6 7 8 9 10
I
6 I 6 I ] ] 9 5 9 6
2 8 7 9 10 5 5 2 2 5 I
] ] 5 8 6 4 2 I 7 \O ]
4 8 7 8 6 9 I 9 10 4 2
5
4 2 5 ] 4 8
10 6 5 8
(0') Calcule para os 50 domicílios a média geral Me(X), a variância total Var(X), e a
mediana geral Md(X). Faça o histograma.
(b) Suponha agora que cada coluna corresponde a uma amostra de domicílios, sor­
teada
nesse bairro.
Para cada coluna (I) calcule: a média da amostra (Xi), a variincia
da amostra (5t) e a mediana da amostra (m,).
(e) Qual a amostra que produz a melhor estimativa de Me(X)? E para Var(X)? E para
Md(X)?
(li) No conjunto de amostras, qual é mais indicado para estimar Me(X): o estimador
x ou m? E para Md(X)? Justifique a resposta.
(t') Você espera que Var(X) seja maior ou menor do que Var(x)? Por quê?
fi) E com relação a Me(X) e Me(i)?
fi) Calcule Me(x) e Var(x) e verifique suas respostas (e) e (j),
(h) Para cada amostra i, construa o seguinte intenalo xr ± 2 DP);!.
",li,
(i) Considere agora cada linha como sendo uma amostra. O que você acha que acon­
tecerá com
os estimadores? fi) Como ficará a pergunta (li)?
lZ,: Usando os dados da' variável qualitativa região de procedência da Tabela I I, trans­
rorIJle.a na variável quantitativa X, definida do seguinte modo:
X:o fi, se a região de procedência for capital;
lo, se a região de procedência for interior ou out ra.
47

(a) Calcule Me(X) e Var(X).
(b) Qual a interpretação de Me(X)?
(c) Construa um histograma.
33. No problema
1.5.1 temos
os resultados de 25 funcionarios em vários exames a que se
submeteram. Sabe-se agora que os criterios adotados em cada exame não são compa.
ráveis, por isso deçidiu-se usar o "desempenho relativo" em cada exame. Essa medida
será obtida do seguinte modo:
(i) Para cada exame será calculada a média Me(X) e o desvio padrão DP(X).
(ii) A nota X de cada aluno será padronizada do seguinte modo:
z~
(a) Interprete o significado de Z.
X -Me(X)
DP(X)
(b) Calcule as notas padronizadas dos funcionarios para o exame de Estatistica.
(c) Com os resultados obtidos em (b), calcule Me(Z) e DP(Z).
(i) Se alguma das notas padronizadas for acima de 2DP(Z) ou inferior à -2DP(Z),
esse funcionário deve ser cons iderado como um caso anormal. Existe algum nessa
situação?
(e) O funcionário I obteve 9,0 em Direito, em Estatistica e em Política. Em que dis­
ciplina o seu desempenho relativo foi melhor?
34"'\F~tudando-se a distribuição das idades dos funci~nários de duas repartições publi_
.. ~s, obtiveram-se algumas medidas resumidoras que estão no quadro abaixo. Esboce
o histograma das duas distribuições, indicando no mesmo as medidas descritas no qua.
I dro. Comente sobre as principais diferenças entre os dois histogramas.
Repartição Millimo I.· Quartil Mediana Média 3." Quarrif Máximo Df
A
B
18
18
27
23
33
32
33
,3
39
42
48
48
,
10
35. Decidiu-se investigar a distribuição salarial dos profissionais com nivel universitário
em duas regiões, A e B. As informações pertinentes foram obtidas e encontram_se
no quadro abaixo. expressas em salários mínimos. Esboce a distribuição (histograma
alisado) dos salários
de cada região, indicando no gráfico as medidas apresentadas
no quadro. Faça
também uma descrição rápida das principais diferenças observadas
nos gráficos.
Região Média DP Mediana
A 20,00 4,00 20,32
B 20,00 6.00 18,00
Moda
20,15
17,00
J,
17,32
16,00
J,
22,68
24,00
8.00
14.00
E,
32.00'
42,00
36. Construa o desenho esquemático para os dados do problema 5, do Capítulo I. Obte­
nha conclusões a respeito da distribuição, a partir deste desenho.
48
CAPíTULO 3
-
Análise bidimensional
-
3.1. VARIÁVEIS MULTIDIMENSIDNAIS
Ate agora, vimos como organizar e resumir informações pertinentes
uma única variável, mas freqüentemente estamos interessados em analisar
a comportamento conjunto de duas ou mais variáveis. Aqui também a
~tribuiçã O conjunta das freqüências será um poderoso instrumento para
ajudar a com~r eensão dos dad,?s. Iremos ~os deter basi~,me?t~ ~m va.riáveis
bidimensionals, mas a exlensao para mats de duas vanavelS e ImedIata.
Exemplo 3.1. Suponhamos que queremos analisar o comportamento
oonjunto das variáveis grau de instrução (X) e região de procedência (Y),
contidas na Tabela 1.1. A distribuição por freqüência é representada por
uma tabela d edupla entrada e, no nosso problema, a distribuição procurada
está na Tabela 3.1.
TABELA 3.1
~
I."
Capital
Interior
. OUlra
TOTAL
Fome' Tabela 1.1
Distribuição conjunta das freqüências das va­
riáveis grau de instrução (X) e região de proce·
dência (Y).
Grau 2." Grau Superior TOTAL
4 5 2 11
3 7 2 12
5 6 2 13
12 18
6 36
49

Cada elemento do corpo da tabela dá a freqüência observada das
realizações simultâneas de X e Y. Assim, observamos 4 individuos da
capital com instrução do primeiro grau, 5 da capital com o segundo
grau, etc.
A linha dos totais fornece a distribuição da variável X (grau de ins­
trução), ao passo que a collma dos totais fornece a distribuição da Va_
riável Y (região de procedência). As distribuições assim obtidas sào cha.
madas tecnicamente de disrribuições marginais, enquanto que a Tabe la
3.1 constitui a distribuição conjwlfa de X e Y.
Em vez de trabalhannos com as freqüências absolutas, podemos COns­
truir tabelas com as freqüências relativas (proporções), corno foi feito
no caso unidimensional. Mas aqui existem 3 possibilidades de expressarmos
a proporção de cada casela: em relação ao total geral,
em relação ao total
de cada linha e
em relação ao total de cada coluna. De acordo
COm o
objetivo de cada pesquisa, uma delas será a mais conveniente a ser usada.
A Tabela 3.2 apresenta a distribuição conjunta das freqüências re-.
lativas, expressas corno proporções do total geral. Assim podemos afirmar
que
11% dos empregados vêm da capital e têm instrução de primeiro grau.
Os totais nas margens fornecem as distribuições unidimensionais de cada
uma das variáveis. Assim,
31% dos indivíduos vêm da capital, 33% do
interior e 36% de outras regiões.
Observe que, devido ao problema de
aproximação das divisões, a distribuição das proporções introduz algumas
diferenças não existentes. Compare, por exemplo, as colunas de educação
superior nas Tabelas
3.1 e 3.2.
TABELA 3.2 -Distribuição conjunta das proporções (em
por­
centagem) em relação ao tota! geral das variáveis
X e Y definidas no text.o.
X
J." Grau 2." Grall Superior TOTAL
Capital 11% 14% 6% 31%
Interior 8% 19% 6% 33%
Outra 14% 17% 5% 36%
TOTAL 33% 50% 17% 100%
Fonte: Tabela 3.1
50
T
bela 3.3 apresenta a distribuição das proporções em relação
A a "pod d" d
1 das colunas. AsSIm, emos Izcr que, entre os emprega OS
ao t~ta trução até primeiro grau, 33% vêm da capital, ao passo que entre
com tnS egados com segundo grau, 28% vêm da capital. Este tipo de dis·
~ ~:o serve para comparar a distribuição da procedência dos indi­
tnbtU confonne o grau de instrução.
vidU~ modo análogo, podemos construir a distribuição das propor­
çõeS em relação ao total das linhas. Aconselhamos o leitor a construir
essa tabela.
TABELA
x
y
Capital
Interior
Oulra
TOTAL
Fonte: Tabela 3.1
~MAS
3.3 -Distribuição conjunta das proporções (em por­
centagem) em relação aos totais de cada coluna
das variáveis
X e
Y definidas no texto.
1.° Grau
33%
25%
42%
lOO'/,
2." Grau
28%
39%
33%
lOO'/,
Superior
33%
33%
34%
lOO'/,
TOTAL
31%
33%
36%
lOO'/,
I. UlIUldo os dados da Tabela 1.1. CapílUlo I:
la) Construa a distribuição de freqüência conjunta para as variaveis grau de instrução
e região de procedência.
(h) Qual a porcentagem dos funcionários que lêm o segundo grau?
(r) Qual a porcentagem daqueles que têm o segundo grau e são do inlcrior?
la) Dentre os funcionários do interior, quanto por cento tem o segundo grau?
1. No problema anterior, sorteando um funcionario ao acaso entre os 36:
(D) Qual será provavelmente o seu grau de instrução?
(h) E sua região de procedência?
«() Qual a probabilidade do sorteado ter nivel superior?
(d) Sabendo que o sorteado e do interior, qual a probabilidade dele possuir nível su­
perior?
(e) Sabendo que o escolbido e da capital. qual a probabilidade dele possuir nível su­
perior?
51

3. Numa pesquisa sobre rotatividade de mão-de-obra, para uma amostra de.40 peSSOal
Foram observadas duas variàveis: numero de empregos nos ultimos dois anos (X) t
salârio mais recente, em numero de salârios mínimos (Y). Os resultados Foram:
Indivíduo X Y lndÍ\'Í(/uo X Y
1 1 6 21 2 4
2 3 2
"
3 2
3 2 4 23 4 1
4 3 1 24 1 5
5
2 4 25 2 4
6 2 1 26 3 2
7 3 3 27 4 1
8 1 5 28 1 5
9 2 2 29 4 4
10 3 2
3<l 3 3
11 2 5 li 2 2
12 3 2 12 1 1
13 1 6 33 4 1
14 2 6 34 2 6
15 3 2 35 4 2
16 4 2 36 3 1
17 1 5 37 1 4
18 2 5 J8 3 2
19 2 1 39 2 3
20 2 1 40 2 5
(o) Usando a mediana, classifique os individuos em dois níveis, alto e baixo, para cada
uma das variáveis, e construa a distribuição de Freqüências conjunta das duas clas­
siFicações.
(b) Qual a porcentagem das pessoas com baixa rotatividade e ganhando pouco?
(c) Qual a porcentagem das pessoas que ganham pouco'!
(cf) Entre as pessoas com baixa rotatividade, qual a porcentagem das que ganham
pouco'!
(e) A inFormação adicional dada em (cf) mudou muito a porcentagem observada em (e)1
O que isso significa?
3.2. INDEPENDÊNCIA DE VARIÁVEIS
Um dos principais objetivos de uma distribuição conjunta e des­
crever a associabilidade existente entre as variáveis, isto é, queremos
conhecer o grau de dependência entre elas, de
modo que possamos prever
melhor o resultado de uma delas
quando conhecemos a rea lização da outra,
Por exemplo, se queremos estimar qual a renda média de uma família
moradora da cidade de São Paulo, a informação adicional sobre a classe
52
. ue ela perlence permite~nos estimar com maior precisão essa
"-ai a q d d d"·· d·· .
-' pois sabemos a epen encla eXIstente entre as uas vanavels:
renda'f: miliar e classe social. Ou, ainda, suponhamos que uma pessoa seja
rendada ao acasO da população da cidade de São Paulo, e devemos adi~
sorlei a .
. , ual o sexo dessa pessoa. Como sabemos ser aproxImadamente a
\'Inh~e qda população de cada sexo, não temos preferência em sugerir
me~ ucr um dos dois. Mas se a mesma pergunta fosse feita, e nos fosse
Q~ que a pessoa sorteada trabalha na indústria siderurgica, seriamos
dito q . , d I·· be
. linados a sugerir que a pessoa e ° sexo mascu 100, POiS sa mos que
tn
c
'
d
d
-Se·'-
á
redominâncla esse sexo nesse ramo e ocupaçao. a In lormaçao
h P di· · .
adicional dissesse
qu.e.a pessoa
~ortea a eClOna ?o.prtmelro, grau. a nossa
estão seria modIficada, pOIS a grande malona dos professores do
sug d' .. I d
inteiro gr,jU são o sexo lemlntno. sso tu o porque sabemos ser grande
: grau de dependência entre as variáv~is s~x~ e ramo de ativi,dade.
Vejamos, agora, como podemos tdentlflcar a dependênCia ou não
entre variáveis, alravés da distribuição conjunta.
E:t::emplo 3.2. Queremos verificar se existe ou não dependência enlre
o sexo e a carreira escolhida por 200 alunos de Economia e Administração.
Esses dados estão agrupados na Tabela 3.4.
TABELA 3.4 -Distribuição conjunta de alunos segundo o sexo
(X) e o curso escolhido (Y).
~
Masculino Feminino TOTAL
Econom ia 85 35 120
Administração 55 25 80
TOTAL 140 60 200
Fonte: Dados hipotêlicos
Inicialmcnle, verificamos que fica muito difícil tirar alguma con­
clusio, devido à diferença entre os totais marginais. Assim, devemos
construir as proporções segundo as linhas ou as colunas para podermos
I'azer as comparações. Fixemos os totais das colunas; a distribuição está
na Tabela 3.5.
53

y
TABELA 3.5 -Distribuição conjunta das proporções (cm por­
centagem) dc alunos, segundo sexo (X) e Curso
esco
lhido (Y) .
.
X
Masculino Feminino TOTAL
Economia 61% 58% 60%
Administração 39% 42% 40%
TOTAL 100% 100% 100%
Fonte: Tabela 3.4
A partir desta tabela podemos observar que, independentemente do
sexo, 60% das pessoas preferem Economia e 40%, Administração. (Observ~
na coluna de total.) Não havendo deRendência entre as variáveis, eSpera_
ríamos estas mesmas proporções para cada sexo. Observando a tabela
vemos que as proporções
do sexo masculino (61% e 39%) e do
feminin~
(58% e 42%) sào próximas das marginais (60% e 40%). Estes re,ult,.do, I
parecem indicar nào haver dependência entre as duas variáveis. Con_
cluímos, então, que nesse caso as variáveis sexo e curso parecem ser in~­
pendentes.
Vamos supor agora um problema semelhante, mas envolvendo alunos
de Física e Ciências Sociais, cuja distribuição conjunta
está na Tabela 3.6.
Inicialmente co nvém observar que, para economizar espaço,
resu­
mimos as duas tabelas numa única, indicando as proporções em rel,.ção,
aos totais das colunas entre parênteses. Comparando agora a distribuição
das proporções pelos cursos, independente
do sexo (coluna de com
as distribuições diferenciadas
po~ sexo (coluna de masculino e felnillino),.
observamos uma disparidade bem acentuada nas proporções. Assim,
parece haver uma maior concentração de homens
no curso de Física e de
mulheres no curso de Ciências Sociais.
Portanto, neste caso, as variáve,i, I
sexo e curso escolhido parecem ser dependentes.
Quando existe dependência entre variáveis, sempre é interessante
quantificar essa dependência, e isso será objeto da próxima seção. E antes
de passarmos a discutir este aspecto, convém observar
que teríamos obtido
as mesmas conclusões
do exemplo 3.2 se tivéssemos calculado as
propor­
ções, mantendo Constantes os totais das linhas.
54
TAIIELA
3.6 -Distribuição conjunta das freqüências e propor­
ções (em porcentagem), segundo o sexo
(X) e o
curso escolhido
(Y).
~
Masculino Feminino TOTAl,.
Fistc:a . .
100 (li%) 20 (33%) 120 (60%)
Ciências SOCIais
40 (29%) 40 (67"1.) 80 (4O%)
TOTAL 140 (100%) 60 (100%) 200 (100'1.)
Fonlt: Dados hipotéticos
]IIIOIILEMAS
oi. usando os dados do problema I. responda:
(p) Qual a distribuição das proporções do grau de educação segundo cada urna das
regiões de procedência?
(6) Baseado no resultado anterior c: no prOblema 2, você diria que existe dependência
entre a região de procedência e o nível de educação do funcionado?
5. Usando o problema 3. verifique se há relações entre as variáveis rotatividade e salár io.
" Após o lançamento de um novo modelo de automóvel. observou-se que 25% dos carros
apresentavam defeitos na suspensão, t5% no sistema détrico c 10% na suspensão e
DO sislema elétrico ao mesmo tempo.
(li) Quat a distribuição conjunta das variáveis?
(6) Qual a proporção de carros que apresentam defeitos?
(e) Entre os carros que apresentam defeitos na suspensão, qual a proporção que apre­
IJeIlta defeito no sistema elétrico?
(d) Entre os carros que não apresentam defeitos na suspensão, qual a proporção que
apresenta defeitos no sistema elétrico?
(r) Você aeba que exiSle relação entre as variáveis?
3.3, MEDIDA DE DEPENDÊNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS
NOMINAIS
De um modo geral, a quantificação do grau de dependência entre duas
variáveis é reita pelos chamados coeficientes de associação ou correlação.
55

!
Estas sào medidas que descrevem num único número a dependência entre
as duas variáveis. Para maior facilidade de compreensão, esses coeficientes
usualmente variam de zero até um (ou, às vezes, de -I até 1), e a proximi.
dade
do zero indica total independência.
,-
Existem muitas medidas que quantificam a dependência entre va.
riáveis nominais, mas iremos apresentar apenas uma delas. É o chamado
coeficiente de contingência, devido a K. Pearson.
Exemplo 3.3. Queremos verificar se a criação de detenninado tipo
de cooperativa está associada com algum fator regional. Para isso, cole_
taram-se os dados da Tabela 3.7.
TABELA 3.7 -Cooperativas autorizadas a funcionar por tipo
e estado,
junho de 1974.
TIPO DE
COOPERATIVA
ESTADO f--------,---,--_-,--__ -j
Consumidor Produtor
TOTAL
Escola Outros
São Paulo 214(33%) 237(37%) 78(12%) 119(18%) 648 (I 00";';)
Paraná 51 (17%) 102(34%) 126(42%) 22 (7%) 301(100%)' ......
RioG.Sul 111(18%) 304(51%) 139(23%) 48 (8%) 602(100%)
TOTAL 376 (24:~) 643 (42%) 343(22%) 189(12%) 1.551 (100%)
Fonte: Sinopse Estatistica do Brasil _ IBGE _ 1977
A análise da Tabela 3.7 mostra a existência de uma certa dependência
entre as variáveis. Caso houvesse independência, esperaríamos que
em
cada estado tivéssemos 24% de cooperativas de consumidores, 42% de
produtores,
22% de escolas e 12% de outros. Então, o número esperado
de cooperativas de consumidores
no Estado de São
Paulo seria 648 x 0,24 =
=
156 e no
Paraná 301 x 0,24 = 72 (Ver Tabela 3.8).
Comparando as duas tabelas, podemos veri ficar as discrepâncias
existentes entre os valores observados (Tabela 3.7) e os esperados (Tabela
3.8), caso as variáveis fossem independentes.
Na Tabela 3.9, resumimos os
desvios: observados menos esperados. Observando essa
tabela podemos
tirar algumas conclusões:
i) A soma total dos resíduos é nula. Pode-se verificar facilmente
somando-se cada linha.
56
TABELA
3.8
_ Valores esperados na Tabela 3.7. ,ass.umindo a
independência entre as duas vanavelS. I
-
TIPO DE COOPERATIVA
Outros
TOTAL
ESTADÜ Consumidor Produtor Escola
156(24%) 272(42%) 142(22%) 78(12%) 648(100';')
São Paulo
66(22%) 36(12%) 301 (100";')
Paraná
72(24%) 127(42%)
132(22%) 72(12%) 602(100%)
Rio
G. Sul
144(24%) 254(42%)
TOTAL
376(24%) 643(42%) 343(22%) 189(12%) 1.551 (100%)
Fonte: Tabela 3.7
TABELA 3.9 -Desvios entre observa~os e esperados.
TIPO DE COOPERATIVA
ESTADOS
Consumidor Produtor Escola OutroS
58 (21 ,56) -35(4,50) 64(28,84) 41 (21,55)
São Paulo
-21 ( 6,12) -25 (4,92) 60(54,54) -14( 5,44)
Paraná
50 (9,84) 7 ( 0,37) -24( 8,00)
Rio G. Sul 33( 7,56)
ffonte Tabelas 3.7 e 3.8
. I ue apresenta o maior desvio
ii) A casela Escola-São Paulo e aque a q I . amos 142
d
. d
d-ncia ( 64) Nesta case a esperav
da suposição e
10 epen e. -.' desvio alto (60) só que
I E 1 Parana também tem um . ,
casos. A case a ~co a- r (66) Portanto, se fôssemos considerar os
o valor esperado e bem ~eno . be aior Uma maneira de observar
desvios relativos, este último
sena m
fi .. d'd .
isso é construindo para cada casela a segumte me I a.
(o,-e,)' (3.1)
e,
onde: Oi é o valor observado (Tabela 3.7);
ei é o valor esperado (Tabela 3.8).
57

Assim, para a casela Escola-São Paulo obtemos:
(-64)' ~ 2884
142 ..
e para a casela Escola-Paraná,
(60)'
~
54 54
66 ,.
o que é uma indicação de que o desvio devido a esta última casela é "maior"
do que aquele da pri.meirót. Na Tabela 3.9 indicamos entre parênteses
estes valores para todas as case las.
Uma medida do afastamento global pode ser dada pela soma dos
valores. Chama- se essa medida de X
2
(qui-quadrado), e no nosso exemPlo
teríamos
x' ~ 21,56 + 6, 12 + ... + 8,00 ~ 173.24.
No caso geral, a expressão
de
l! é dada por
onde a somatória
é estendida a todas as caselas.
Quanto maior
for o valor de
X
2
, maior será o grau de associ ação
existente entre as duas variáveis. Mas fica muito dificil, baseando.se
em X
2
, julgar se a associação é alta ou não. Por isso, K. Pearson, famoso
estatístico do.começo do século, propôs o chamado coeficiente de con­
tingência C, definido por
C-~
-"';x2+n'
onde n é o número de observações. Teoricamente, esse coeficiente é um
número entre zero e um, sendo nulo uando as variáveis não são associaQ.as
e, portanto, X2 = O. Enlretanto, mesmo quando existe uma associação
perfeita, C pode não ser igual a 1. Uma alteração possível é considerar O
coeficiente
C· ~ C/[(I-1)/1]"',
onde I = mínimo entre o número de colunas e o número de linhas da tabela.
Voltando ao exemplo 3.3, obtemos:
58
,
c ~ [173,24/(173,24+ 1551)]'" ~ 0,32
C. ~ 0,32/(2/3)'" ~ 0,40,
. d do grau de associação entre as duas variáveis.
si indica ores
qdC ° fi lar no uso do X
2
no Capítulo 1 t.
tarell\0s a a
fIIIOIILEMAS
os dados do problema I , calcule o valor de Xl e o coeficie n~e de con~ingência c. ...
'I. Usando ã de acordo com as conclusões obtidas antenormente.
fSIC$ valores est o
d ~? de C para os dados do problema 37 E para o problema 61
.. Qual o valor e e
C" de Seguros analisou li freqüência com que 2.000 segurados (1.000 h
t. ~ooo~~ulh ercS) usaram o hospital. Os resultados foram:
Homl!ns Mulhl!fl!s
IOO"l.·j' 150
re>
Usaram o hospital
850;'
<'
Não usaram o hospital 9OO
r)lr
Calcule a proporção de homens entre os indivíduos que usaram o hospita. 1.
=~ Calcule a proporção de homens entre os individuos que não usaram o hospital.
(c) O uso do hospital independe do :elt~ do segura .~o?
td) Encontre uma medida da dependenc I3 entre V3navelS.
ta. A c:ompanhia X de dedetização aFirma que o proçesso por ela utiliza ~o .garante um
mIo mais prolongado do que aquele obtido por seus concorrentes mais diretos. U~a
amostra de vários ambientes dedetizados foi colhida e anotou-se a duraçà.o do efeito
• dedctização. Os resultados estão na tabela abaixo. Você acha que eXiste alguma
eridincia a favor ou contra a afirmação feita pela companhia X?
Duração do efl!ilo de dednizaçdo
Companhia
MaiJ de 8 ml!ses
Mtnos de 4 ml!ses De 4 a 8 ml!SI!S
X 64 120 16
Y 104 175 21
Z 27 48 5
59

3.4. DIAGRAMAS DE DISPERSÃO
.. Quando as variáveis envolvidas são al}lbas do tipo quantitativo
pode-se usar o mesmo tipo de análise apresentada nas seções anterior~
e exemplificadas com variáveis nominais. De modo análogo, a distri.
buição conjunta pode ser resumida em tabelas de dupla entrada, e através
das distribuições marginais é possível estudar a dependência ou não das
variáveis. Algumas vezes, para evitar um grande número de entradas, agru.
pamos os dados marginais em intervalos de classe, de modo semelhante ao
resumo feito no caso unidimensional. Mas além desse critério de análise
as variáveis quantitativas sào passíveis de procedimentos analíticos ma~
refinados.
Um procedimento bastante útil para se verificar a associação entre
variáveis quantitativas é o Kl.41ico de diW~ , que nada mais é do qUe a
representação Jõspares de valores num sistema cartesiano. Vejamos li
ilustração através de alguns exemplos.
Exemplo 3.4. Na Tabela 3.10 apresentamos os dados correspon­
dentes ao número de anos (X) e o número de clientes (Y) de 5 agentes de
uma companhia de seguros.
Na Figura 3:1 estão r epresentados os pares (X, Y) observados na
Tabela 3.4. Atraves da observação da disposição dos pon'os, concluímos
que parece haver uma dependência entre as variáveis, porque no conjunto
"à medida que aumenta o tempo de serviço, aumenta o número de clientes".
TABELA 3.10 -Número de anos de serviço por número de
clientes de 5 agentes de uma companhia de
seguros.
Agente
A
B
C
D
E
TOTAL
Anos de serviço (X)
2
4
5
6
8
25
Número de clientes (Y)
48
56
64 60
72
300
Fonte: Dados hipotéticos
60
y
•
70
•
(j.MWfi
60 •
•
•
I ..
. t ,; ~
50
•
2 4 6 8 10 X
Fig. 3.1. Diagrama da dispersão dos dados da Tabela 3./0
Exemplo 3.5. Consi~erem~s agora as duas situações abaixo e os
respectivoS gráficos de dIspersa0.
(a) Numa pe~q .Ulsa f:i~ com 10. familias com renda bruta mensal
entre tO e 60 sala noS mlnlmOS, medIram-se:
y: a % da renda bruta anual gasta com assistência medica;
X: renda bruta qlensal (expressa em número de salários minimos).
Observando o gráfico de disper são, vemos que existe uma depen-
dencia "inversa", isto e, aumentando a renda bruta, diminui a % da mesma
psta em assistência médica.
Antes de
passannos ao exemplo seguinte, convem observar que a
disposição dos
dados da Tabela 3.11 numa tabela de dupla entrada não
TABELA 3.11
y Famüitl X Y
8.0
A 12 7,2
7.5
•
•
7.0 •
6.5 •
••
B 16 7,4
C 18 7,0
D 20 6,5
E 28 6,6
6.0 • •
5.5 • •
F 30 6,7
G 40 6,0
10 20 30 40 50 60
X
H 48 5,6
I 50 6,0
J 54 5,5
Fig. 3.2
61

,
ir~a melhorar a compreensão dos dados, visto que, devido ao pequeno
numero de observações, teriamos easeJas cheias apenas na diagonal.
(b) 8 indivíduos foram submetidos a um teste sob re conhecimento
de lingua estrangeira e, em
seguida,
mediu~se o tempo gasto por cada
um para aprender a operar uma determinada máquina. Assim,
X: resultado obtido no teste (máximo, 100 pontos);
Y: tempo, em minuto, necessário para aprender a operar satisfatoria­
menle a máquina. .
TABELA 3.12
Indivíduo X Y
A 45 343
B 52 368
C 61 355
O 70 334
E 74 337
F 76 381
G 80 345
H 90 375
40 50 60 70 80 90 100 X
Fig. 3.3
. Do diagrama de dispersão, concluímos que parece não haver nenhum
t1pO de d_epe~dência entre as duas variáveis, pois conhecer o resultado
do teste na~ ajuda a prever o tempo gasto para aprender a operar a máquina.
, .A partir d~,s e~emplos.ap~esentados, verificamos que a representação
graflca das v~navels quantItatIvas ajuda muito a compreender o compor­
ta~en~~ conjunto das duas variáveis quanto à existência ou nào de as­
soclabdldade.
3.5.
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
.. Obse~vada uma associação entre as variáveis quantitativas, é muito
util ~u~ntlficar .e~sa associabilidadc. Existem muitos tipos de associação
.po~sl~els, e a~ul . Iremos ap~e~entar o ti~ de relação mais simples, que é
a linear. Isto e, Iremos defnllr uma medIda que julga o quanto a nuvem
62
de pontos do gráfic~ d~ dispersão a~rox .ir~la-se d~ uma reta. Como no
o de variáveis qualitativas, essa medida Ira assumir valores entre -] e 1.
cas . I ·ddd· .
Inicialmente, vejamos a gumas propne a es o Sistema canesmno
de representaçãO. ~dmitamo s um gráfico de dispersà~ como o d~ Figur~
3.4{a) onde, atraves de uma transformação convemente, a ongem fOI
olocada no centro da nuvem de dispersão. Aqueles dados possuem uma
c cria associação linear direta (ou positiva). Observando-os, notamos que
~ c:rande maioria dos pontos estào situados no primeiro e terceiro qua·
dr;ntes. Nestes quadrantes as coordenada.s têm o mesmo sinal. e por­
tanto o produto será sempre positivo. Assim,
se para c ada ponto fizer­moS o produto de suas coordenadas e somarmos esses produtos, ° re­
sultado será
um número positivo, pois existem mais produtos positivos
que negativos.
. '.
•• • •
• • •• ...
" . ...
•
,,'
•
• •
.' . •
• •
•
• • '.
•
'b,
Fig. 3.4
.. • • .. ..
.. • • .. ..
,,'
Para a dispersão da Figura 3.4{b), observamos uma certa depen­
dência linear inversa (ou negativa) c, procedendo como anteriormente,
a soma dos produtos das coordenadas será negativa.
Para a Figura 3.4{c), a soma dos produtos das coordenadas deverá
ser próxima de zero, pois cada resultado positivo tem um resultado ne­
gativo simétrico, anulando-se na soma. E, observando-se a nuvem de
pontos, parece não haver associação linear entre as duas variâveis.
Baseando-nos nessas propriedades
é que iremos definir o coeficiente
de correlação (linear) que irá medir quanto dos dados aproxima-se de
uma reta. Antes de passarmos à definição do coeficiente de correlação
através do exemplo abaixo, cabe a seguinte observação: a soma dos
pro­
dutos das coordenadas depende, e muito, do número de elementos. Numa
situação de associação positiva, a soma
dos produtos das coordenadas
63

,,-...... -,,-
I .
•
tendc_<Laumentar de acordQ_com Q número de-pontos, e ficaria di ficil
- ,
comparar essa medida para dois conjuntos com números diferent es de
pontos. Isto é atenuado usando-
se
"'a média da soma dos produtos das
coordenadas",
Exemplo 3.6. Voltemos aos dados da Tabe la
3.10, exemplo 3.4,
onde tínhamos os dados referentes ao número de anos de emprego (X)
e o número de clientes (Y) de 5 agentes. O primeiro problema que devemos
resolver é a mudança da origem do sistema para o centro da nuvem de
dis
persão.
O ponto mais conveniente é aquele formado pe las duas médias
(x, y). As novas coordenadas obtidas estão representadas na quarta e
quinta colunas da Tabela 3.1
3.
TABELA 3.13
-Cálculo do coeficiente de correlação.
Agente
Anos Clientes x-x y-y
x-x y-y --~ ,
DP(Y) = l,
Z ..• z,
x Y DP(X) •
A 2 48 -3 -12 -1,5 -1,5 2,25
8 4 56 -I -4 -0,5 -0 ,5 0,25
C 5 64 O 4 O 0,5 O
O 6 60 I O 0,5 O O
E 8 72 3 12 1,5 1,5 2,25
TOTAL 25 300 O O O O 4,75
x=5 DP(X) ~ 2 Y ~ 60 DP(Y) ~ 8
Observando esses valores centrados, verificamos que ainda existe
um problema quanto
à escala usada. A variável
Y tem variabilidade muito
maior
do que
X, e o produto ficará muito mais afetado pelos resultados
de
Y do que de X.
Para corrigir isso, podemos reduzir as duas variá veis
a uma m esma escala; isso é obtido dividindo- se os desvios pelos respec­
tivos de svios padrões (ver problema 2.5.27). Estes novos valores estão
na Tabela 3.13, colunas
6 e 7. Observe as mudanças (escalas dos eixos)
de variáveis realizadas, acompanhando as Figuras
3.1 e 3.5(a) e (b).
Finalmente, na coluna 8, indicamos os produtos das coordenadas
reduzidas e a soma dos m
esmos 4, 75 que, como esperávamos, é positiva.
Para completar a definição da medida descrita acima, basta calcular a
média dos produtos das coordenadas redu
zidas, isto é:
64
•
correlação (X, Y) ~ 4,;5 ~ 0,95 ~ 95%.
10 P
ara este exemplo o grau de associabili dade linear está
porta
n ,
.,
quantificado em 95%.
y -v
,.,
12 o ,
B
2
o
4
I
Ix -iI ..
-2 -, ,
2 , -, -2 -10 ,
2 3
-,
0-4 -,
o
-B
-2
o -12 -,
,.1 Ibl
Fig. 3,5
Da discussão feita até aqui, podemos definir o coeficiente de cor­
relação do seguinte modo:
Defmiçio. Dados n pares de valores (x I> YI), (Xz• yz) ... (x". y,,), cha­
ma-se de eoeficiente de correlação entre as duas variáveis X e Y a
I • (Xi-X) (YI-li)
Corr(X, Y) ~ -; i~' DP(X) DP(Y)'
ou seja, a média dos produtos dos valores reduzidos (padronizado s) da
variável.
Iremos provar no Capítulo 7 que o coeficiente de correlação é um
número compreendido entre -I e I, isto é,
-I ~ Corr(X, Y) ~ I.
A definição acima é pouco operacional; assim, costuma- se usar as
seguintes fórmulas equivalent
es de cálculo:
I :E(Xj-x)(yj-Y) !:xiYj-nxy
Corr(X, Y) ~ -; DP(X). DP(Y) ~ Jr;:.xl-nx')(l:yl
65
~~=~~J~ ________________________ ~J ____________ ~ ______________ ~

II
I J 1
I:
II
II
I
L"
'I
•
PROBLEMAS
11. Para cada par de variáveis abaixo. esboce o diagrama de dispersão. Diga se você espera
uma dependência linear, e nos casos afinnativos avalie o coeficiente de correlação.
(a) Peso e altura dos alunos do primeiro ano de um curso de Administração.
(b) Peso e altura dos funcionarias de um escritório. '
(c) Quantidade de trigo produzida e quantidade de água recebida por canteiros nUma
estação experimental.
(ti) Notas de Cákulo e Estatística de uma classe onde as duas disciplinas são lecionadas.
(e) Acuide visual e idade de um grupo de pessoas.
(j) Renda familiar e porcentagem da mesma gasta em alimentação.
(g) Número de peças montadas e resultado de um teste de inglês por operário.
12. Abaixo estão os dados referentes ã porcentagem da população economicamente ativa
empregada no setor primário e o respectivo índice
de analfabetismo para algumas
regiões metropolitanas brasileiras,
Regiões Selor indict' de
Metropolitanas Primaria Analfabetismo
São Paulo 2,0 17.5
Rio de Janeiro 2,5 18,5
Belem 2,' 19,.5
Belo Horizonte ],] 22,2
Salvador 4,1 26,5
Porto Alegre 4,] 16,6
Recife 7,0 36,6
Fortaleza 13,0 38,4
Fonte: Indicadores Sociais para Âreas Urbanas -IBGE -1977
(o) Faça o diagrama de dispersão.
(b) Você acha que elliste uma dependência linear entre as duas variáveis?
(c) Calcule o coeficiente de correlação.
(á) Existe alguma região com comportamento direrente das demais? Se existe, elimine
o valor correspondente e recalcule o coeficiente de correlação.
13. Usando os dados do problema 3:
(a) Construa a tabela de freqüências conjuntas para as variáveis X (número de em­
pregos nos dois últimos anos) e Y (salário mais receme).
(b) Como poderia ser feito o grMico de dispersão destes dados?
\,. (c) Calcule o coeficiente de correlação. Baseado nesse número você diria que elliste
~ dependência enlre as duas variáveis?
0uer se verificar a relação entre o tempo de reação e o número de alternativas apre­
sentadas a indivíduos acostumados a tomadas de decisão. Planejou·se um ellperimento
66
e se pedia ao participante para classificar objetos segundo um critério previa·
-~ .. d··d·d 1 .
d
'scutido
Participaram do ellpenmento 15 ellccutlvoS IVI I os a eatonamenle
mente I • . . . .
po'
de 5 E se pediu a cada grupo para claSSificar 2, 3 e 4 objetos, respectivamente.
em gru . .
Os dadoS estão abaixo.
N," de Objetos 2 ]
Tempo de Reação 2.3,4,4,5
(a) Faça
(bl Qual
o gráfico de dispersão das duas variáveis.
o coeficiente de correlação entre elas?
\] PROBLEMAS E COMPLEMENTOS
~NO estudo de uma certa comunidade verificou·se qu e:
Y' I _ A proporção de mdlviduos solteiros é de 0,4.
4
4,5,5,6,7"
11 _ A proporção de individuos que recebem até 10 salários minimos é de 0,2.
m _ A proporção de indivlduos que recebem até 20 salários mínimos é de 0,7.
IV _ A proporção de indivíduos casados entre os que recebem mais de 20 salários
mínimos é de 0,7.
V _ A proporção de individuos que recebem até 10 salários mínimos entre os solteiros
é de 0,3.
(a) Construa a distribuição conjunta das variáveis estado civil e faiu salarial e as
respectivas distribuiçõcs marginais.
(b) Você diria que e)[iste relação entre as duas variáveis consideradas?
,r-
16.) Uma amostra de 200 habitantes de uma cidade foi colhi~a para ~nalisar a atitude fren·
J te a um c<:rto projeto govcrnamental. O resul!ado fOI o seguinte:
LOCAL DE RESIDf:NCIA
OPINIÃO
TOTAL
Urbano Suburbano Rural
A favor ]0 35 35
Contra 60 25 15
TOTAL 91l 60 50
(u) Calcule as proporções em relação ao total das colunas.
(b) Você diria que a opiniãO independe do local de residência?
(t) Encontre uma medida de dependência entre as variações.
100
100
200
67

1:J ~ m ba" "' .. 1><" .bai,o. 'OC; oo"d"i,i, q", ° lipo do 'Ii,idado "Ú ~'"io"'d,
l~ lo fato das embarcações serem de propriedade estatal ou particular? Encontre llIna
~ ~edida de dependência entre as variáveis.
Marinha Mercante Brasileira,
por propriedade e tipo de atividade, [974
PROPRIE-
ATIVIDADE
TOTAL
DADE
Cos/eira Fluvial InternaciQnal ,
Estatal 5 14' 51 197
Particular 92 231 48 3JI
TOTAL 9J 3J2 99 568
Fontes: Sinopse Estatistica do Brasil -IBGE _ 1975
(18. ma pesquisa sobre a participação em atividades esportivas de adultos moradores
as proximidades de centros esportivos construidos pelo Estado mostrou os resultados
tabela abaixo. Baseado nesses resultados voei diria que a participação em atividades
esportivas depende
da cidade?
PARTI-
CIDADE
CIPAM
São Paulo Campinas R. Prelo Santos
Sim 50 65 '05 120
Não 150 185 195 180
19. Uma pesquisa para verificar a tendência dos alunos a prosseguir os estudos, segundo a
classe social do respondente, mostrou o seguinte Quadro:
68
CLASSE SOCIAL
PRETENDE
TOTAL
CONTINUAR?
Alia Média Baixa
Sim 200 220 380 800
Não 200 280 720 1.200
lU) Você diria que a distribuição de respostas afirmativas é igual a de respostas ne­
gativas?
(b) Existe dependência entre os dois fatores? Dê uma medida Quantificadora da de.
pendência.
(e)
Se dos 400 alunos da classe alta 160 escolhessem continuar e 240 não, vace mudaria
sua conclusão? Justifique.
o ra Tabelas de Duplas Eotradas -De um modo geral, podemo ~ represen!ar
lO-NoC~b"'O oooJ'unta de duas variáveis X I' com i ~ 1,2 ... K, e rJ' com} "" I, 2 ... L,
a distrl ULça
L~ do seguinte quadro:
alrav","
~I
I
2
K
0"
°n
TOTAL n'
l
2 j L TOTAL
n,.
n,.
n;.
o. , o.
Onde:
n;J = n.· de elementos pertencc!1les ao
nivel da variável r.
i-ésimo nível da variável X e j-ésimo
nl' = ± nIJ=n.· de elementos do i-ésimo nível da variável X.
1-,
~ • do -I-mentos do J'-ésimo nível da variável r.
n'J=L.,nlJ=n . ......
'o,
n.= total de elemenlos.
De modo análogo, podemos definir as freqüências relativas (proporções) do seguinte
modo:
n" ni' f !!..:.i.
fij=....J<.., f;. = - e 'J=
n.. n .. n ..
Uma outra freqüência que pode ser construída é aquela para a qual se mantém
uma linha. Para a i-ésima linha fixa, vamos definir:
!;Ii "" .!!J.L (leia-se freqüência de j, dado 1),
0,.
fixa
Que é a proporção dentre os indivíduos do i-ésimo nivel de X que possuem a j-ésima
característica de r. Analogamente definimos
fil1 =
69

I
, I
II
L
;
!
Vimos que, paTa duas variáveis independentes, é preciso que a distribuição de
uma linha (coluna) seja bem semelhante à da linha (coluna) marginal. Em símbolos:
iJl/=f'j
para todo; e j. Esta expressào permite-nos derivar uma outra para encontrar os valores
esperados e/i na suposição de independência. pois para ejj a igualdade acima deve ser
verdadeira. Assim:
~=!!..:1
n/_ n.
logo, •'",," iC
X
,--,,",,-,.
eu =
" ..
Então. para calcular os valores esperados da tabela (i.j), basta multiplicar o lotai da
linha i pelo total da coluna j e dividir pelo total geral n.
21. Refaça os cálculos do problema 18. usando as rónnulas derivadas em 20.
22. Prove que
!Ífi: Numa amostra de 5 operários de uma dada empresa, foram observadas duas variáveis:
rendo X os anos de experiência num dado cargo e Yo tempo. em minutos, gasto na exe.
eução de uma certa tarefa relacionada com esse cargo.
/
As observações estão' apresentadas "'
tabela abaixo:
X I 2 • •
5 Ex = 16 l;x
l
= 62
Ey = 22 Eyl = 130
Y 7 8 J 2 2 Ex.y=53
(a) Usando um critério estatístico, você díria que a variãvel X pode ser usada para
explicar a variação de Y?
(b) Você pode justificar a resposta dada no item (a)?
( ;4. 't'uitas vezes, a determinação da capacidade de produção instalada para certo tipo de
~ 'ndústria em certas regiões é um processo difícil e custoso. Como alternaliva, pode-se
"""-eslimar a capacidade de produção através da escolha de uma outra variável de medida
mais
fácil e que esteja linearmenle relaci onada com ela.
70
Suponha que foram observados os valores para as variáveis: capacidade de produção
instalada, potência instalada e área construída. Com base num critério estatístico, qual
das variáveis você escolheria para estimar a capacidade de produção instalada"
x capo prod. insl. (ton.) •
5 4 5 8 9 10
"
12 12
Y potência insl. (l.OOO kW) I I 2 J J 5 5 6 6 6
Z área construída (100 m) 6 7 10 10
"
9 12 10
" " LX = 80: Ey=38: l.:z=IOO: EX2=736: Eyl = 182: EZl = 1.048;
Ex.y= 361; Ex.z = 848; Ey.z = 41!.
".
usando os dados da Tabela 1.1, Capitulo I:
) Construa a tabela de distribuição de freqüências conjunta pal1l as variáveis salário
(a e idade, mas divida cada uma delas num certo numero de intervalos de classe.
b) Como é que poderia ser calculado o coeficiente de correlação baseado nessa tabela?
( ) Você poderia "escrever" a fónnula da correlação para dados agrupados?
«
Lançam-se. simultaneamente, uma moeda de um cruzado e uma de um q~arto de dólar.
l6. Em cada tentativa anotou-se o resultado obtido. cujos dados estão resumIdos na tabela.
TABELA -N .O de caras e coroas em 100 lançamenlos de uma moeda de "m
cruzado e de uma de um quarto de dólar.
::s;;::
Cara Coroa TOTAL
1/4 DO/ar
Cara 24 22 46
Coroa 28 26 54
TOTAL
"
48 100
Fonte: Experimento conduzido pelos autores
(a) Estes dados sugerem que os resultados da moeda de um cruzado e as de um quarto
de dólar estão associados?
(b) Atribua para ocorrência de cara o valor O, e para a ocorrência de coroa o valor 1.
Chamando de X, o resultado do cruzado e de Xl o resultado do quano de dólar.
calcule a correlação entre
X,
e Xl' Esta medida está de acordo com a resposta que
\:] você deu anterionncnte?
~ma amostra de 10 casais e se us respectivos s.alários anuais (em u.m.) foi colhida num
~,Jc rto bairro conforme vemos na tabela abaixo.
Casal n.~ I 2 J •
5 6 7 8 9 10
Homem (X) 10 10 10 15 15 15 15 20 20' 20
Salário
Mulher (V) 5 10 10 5 10 10 15 10 10 15
-
" " " Sabe-se que: L
Xi = 150 L
Xt = 2.400 L
X,f, = 1.550
'o, 'o, ;_1
'" "
L
Y
i = 100 L f: = 1.100
'o, ,-,
lo) Encontre o salário anual médio dos homens e o desvio padrão do salá rio anual
dos homens.
71

(b) Encontre o salário anua! médio das mulheres e o desvio padrão do salãrio anual
das mulheres.
(e) Construa o diagrama de dispersão.
(cf) Encontre a correlação entre o salário anual dos homens e o das mulheres.
(e) Qual o salário médio familiar? E a variância?
(f) Se o homem ê descontado em 8% e a mulher em 6%, qual o salário liquido anual
médio familiar? E a variância?
~ o departamento de vendas de certa companh ia foi fonnado há um ano com a admissão
Ue 15 vendedores.
Nessa época, foram observados para cada um dos vendedores os valores de 3 variáveis:
72
T ~ resultado em um teste apropriado para vendedores;
E -anos de experiência
em vendas;
G -conceito
do
gereme de vendas quanto ao currículo do candidato.
O diretor da companhia resolveu agora ampliar o quadro de vendedores e pede sua
co~a~ra.ção para responder algumas perguntas. Para isso, ele lhe da infonnaçôes
adiCionaiS sobre duas variáveis:
V -volume médio mensal de vendas em u.m.;
Z -zona da capital para a qual o vendedor foi designado.
O quadro de resultados é o seguinte:
Vendedor
I
2
3
4
,
6
7
8
9
10
" 12
13
14
"
Dados:
T: teste
8
9
7
8
6
8
,
,
6
7
4
7
3
,
3
l:T = 91
l:E = 40
LV = 453
"
experiência
G, conceito
V: vendas
do gerente
,
2
2
I
4
4
3
3 I
3
4
2
3
I
2
l:T
l
= 601
l:El = 128
rv
2
= 15.509
Bom
Bom
M"
M.u
Bom
Bom
Bom
Bom
M"
M.u
Bom
M.u
M"
M"
Bom
54
50
48
J2
30
30
29
27
24
24
24
23
21
21 16
nv = 2.959
l:EV = 1.260
Z:zono
Norte
Sul
Sul
Oeste
Sul
Oeste
Norte
Norte
Oeste
Oeste
Sul
Norte-
Sul
Oeste
Norte
Mais especificamente, o diretor lhe pede que responda aos sete itens seguintes:
(o) Faça o histograma da variável V em classes de 10.000,00 u.m., tcndo por limite
in fcrior da 1.' classe o valor 15.000.00 u.m.
(b) Encontre a média e a variância da variável V. Suponha que um vendedor seja con­
siderado excepcional se seu volume de vendas é dois desvios I»\drões superior a
média geral. Quantos vendedores excepcionais existem na amostra?
(c) O diretor de vendas anunciou que transferirá para outra praça ~od~s os vende­
dores cujo volume de vendas seja inferior ao 1.° quar:il da distnbUlção. Qual o
volume mínimo de vendas que
um vendedor deve realizar para não ser transferido?
(a') Os vendedores argumentam ao diretor que este
critério não é justo, pois há zonas
de venda privilegiadas. A quem você daria razão?
(e) Qual das trés variáveis observadas na admissão do pessoal é mais importante para
julgar um futuro candidato ao emprego?
(/) Qual o volume de vendas esperado para um candidato com 6 anos de experiência,
quando
de sua admissão? (g) Qual o grau de associabilidade entre o conceito do gerente e a zona a que o ven·
dedor foi designado? Você tem explicação para esse resultado?
%9. A seção de assistência técnica da Cia. Milsa tem 5 funcionários: A, B, C, O e E, cujos
tempos
de serviço na Cia. são, respectivamente,
I, 3, 5, 5 e 7 anos.
(a) Faça um gráfico representando a distribuição de freqüência dos tempos de serviço X.
(bJ Calcule a média Me(X), a variãncia Yar(X) e a mediana Md(X).
Duas novas finnas, a Verde e a Azul, solicitaram o serviço de assistência técnica da
Milsa. Um mesmo funcionário pode ser designado para atender a ambos os pedidos,
ou dois funcionários podem faze·lo. Assim, o par (A, B) significa que o funcionário A
atenderá a finna Verde e o funcionário B, a finna Azul.
(c) Escreva os 25 possíveis pares de funcionarios para atender a ambos os pedidos.
(a') Para cada par, calcule o tempo méd io de serviço i, faça a d istribuição de freqüên-
cia e uma representação gráfica. Compare com o .resultado de (a).
(e) Calcule para os 25 valores de i os parãmetros Me(i), Var(i) e Md(i). Compare
com os resultados obtidos
em (b). Que tipo de conclusão
você poderia tirar?
(j) Para cada
par obtido
em (c), calcule a variância do par e indique:-a por S2. Faça a
representação gráfica da distribuição dos valores de S2.
/g) Calcule Me(sl) e Var(sl).
(h) Indicando por X, a variável que expressa o tempo de serviço do funcionário que
irá atender ã firma Verde e Xl o que irá atender a finna Azul, faça a distribuição
conjunta
da variável bidimensional
(X" X
2
).
(i) As duas variáveis X, e Xl são independentes?
U) O que você pode falar sobre as distribuições "marginais" de X, e X
2
?
(I) Suponha agora que três finnas solicitem o serviço de assistência técnica. Quantas
triplas podem ser formadas?
(m) Sem calcular todas as possibilidades, como
você acba que ficar ia o histograma
de i? E Me(i)? E Varri)?
(n) E sobre a variável S2?
(o) A variável tridimensional (X" Xl, XlJ teria alguma propriedade especial para as
suas distribuições "marginais"?
30. Refaça o problema anterior, admitindo agora que um mesmo fun,cionário não pode
atender a duas finnas.
73

,
•
PARTE 11
PROBABILIDADES
CAPíTULO 4
Probabilidades
-
4.1. INTRODUÇÃO
No capitulo anterior, vimos que a distribuição de freqüências das
observações de um fenômeno casual é recurso poderoso para se entend er
a variabilidade do mesmo. Entretanto, com suposições adequadas e sem
observar diretamente o fenômeno,
podemos criar um modelo teórico
que reproduza muito bem a distribuição das freqüências quando o
fe.
nômeno é observado diretamente. Tais modelos são os chamados mo.
delos de probabilidades .
Exemplo
4.1. Queremos est udar as proporções de ocorrência das
face:) de um dado. Um procedimento seria lançar o dado um certo nu.
mero fi de vezes e co ntar o numero n; de vezes que ocorre a face
t, i = 1,2, ... 6. As proporções nJn determinam a distribuição de fre.
qüências do fenômeno. Lançando um número n'(n' -+ n) de vezes o dado,
teríamos uma outra distribuição de freqüências, mas com um padrão
que esperamos ser muito próximo ao anterior.
Outra maneira de construir a distribuição de freqüências é através
de suposições teóricas. Primeiro observamos que só podem ocorrer 6
faces; a segunda consideração é admitirmos que o
dado
e perfeitamente
equilibrado. Assim, cada face deve
ocorrer o mesmo número de vezes,
e
portanto a proporção de ocorrência' de cada face deve ser 1/ 6. Nestas
condições, com as suposições feitas, teríamos o seguinte
modelo teórico
de freqüências
para as faces dos dados:
74
FACE
Freqüência
Teórica
2 3 4 5 6
TOTAL
I I I
6 6 6 6 6 6
Exemplo 4.2. De um grupo de duas mulheres (M) e três homens (H),
pessoa será sorteada para presidir a reunião. Queremos estudar
uma '. d I'" ..
robabilidades de que o presIdente seja o sexo mascu mo ou lemmmo.
~:Servamos que (a) só existem duas possibilidades: ou a pessoa sorteada é
d seXO masculino (H) ou do sexo feminino (M); (b) supondo que o 50f­
~ seja honesto e que cada pessoa tenha igual chance de ser sorteada,
leiO . . 'd . t
teremos o segumte modelo de probablil ades para o expenmen o:
SEXO
Freqüência
Teórica
M H
TOTAL
2 3
5 5
Dos exemplos acima, verificamos que todo experimento ou fenô­
menO que envolva um elemento casual terá seu modelo probabilístico
especificado
no momento que estabelecemos:
(i) um espaço amostrai,
11, que consiste, no caso dis~re~o , na enum.eração
(finita ou infinita) de
todos os resultados posslvels do expenmento
em questão:
11 = [lU! , lUZ, ... }. Os elementos lU são os pontos amostrais;
(H) uma probabilidade, P(ro), para cada ponto amostraI, de tal sort~ que
seja possível encontrar a probabilidade PiA) de qualquer subconjunto
A de 11, isto é, a probabilidade do que chamaremos um evenlO.
Exemplo 4.3. Lançamos uma moeda duas vezes. Se C indica cara
e
R indica coroa, então, um espaço amostraI será
11 = {w
I
,
Wl, W), w
41,
onde WI = (C, e), Wz = (C, R), w
J == (R, C), W4 = (R, R). É razoável supor
que cada ponto (j) tem probabilidade 1/4, se a moeda é perfeitamente
simétrica e homogênea.
Se A é o evento que consiste na obtenção de faces iguais nos dois
lançamentos,
então,
P(A)
~
De um modo geral, se A é um evento, então,
P(A) ~ LP(W}, (4.1 )
onde a soma é estendida a todos os Wj E A. •
Vale aqui uma observação sobre espaços amostrais. Para um mesmo
experimento podemos ter vários espaços amostrais, dependendo do
75

objetivo do problema que se quer estudar. Por exemplo, suponha que
lancemos uma moeda 5 vezes.
Se estamos interessados apenas na
se­
qüência de caras e coroas obtida, um espaço amostraI é n
l
:=:
=[(x1"",xs):Xj=0 ou xi=l, i=I, ... ,5}. Mas se estamos interes_
sados no número de caras obtidas, então, um espaço amostrai mais COn-
veniente e 0:
2 = iO. 1,2,3,4, 5}. •
Exemplo 4.4. Uma fábrica produz um deJerminado artigo. Da li­
nha de produção, sào retirados três artigos e cada um é classificado como
bom
(B) ou defeituoso (D). Um espaço amostrai do experimento é
n ~ : BBB, BBD, BDB, DBB, DDB, DBD, BDD, DDD).
Se A é o evento que consiste em obter dois artigos defeituosos, então
A = {DDB, DBD, BDD ~.
Exemplo 4.5. Considere o experimento que consiste em retirar uma
lâmpada de
um lote e medir seu tempo de vida antes de se queimar.
Um
espaço amostrai conveniente é
n= :t:/~O J,
isto é, o conjunto de lodos os números reais não-negativos. Se A indica
o evento "0 tempo de vida da lâmpada é inferior a 20 horas", então
A = : I : O ~ ( < 20). Este é um exemplo de um espaço amostrai continuo,
contrastado com os anteriores, que são discreto.~.
PROBLEMAS
I. Uma urna contém duas bolas brancas (R) c três bolas vermelhas (V). Retira-se uma
bola ao acaso da urna.
Se for branca,
lança·se uma moeda; se for vermelha. da é de­
volvida â urna e retira·se outra bola. Dê um espaço amostrai para o experimento.
2. Lance um dado até que a face 5 apareça pela primeira vez. Enumere os possíveis re­
sultados deste experimento.
3. Três jogadores A. B e C disputam um !arneio de tênis. Inicialmente. A joga com B
e o vencedor joga com C, e assim por diante. O torneio termina quando um jogador
ganha duas
vezes em seguida ou quando
são disputadas, ao todo. quatro partidas.
Quais ~o os resultados possíveis do torneio?
4. Duas moedas ~o lançadas. Dê dois possiveis espaços amostrais para este experimento.
Represente
um deles como o produto cartesiano de dois outros espaços
amostr.!.is.
(Ver. desta mesma coleção, Cálculo -Funções de uma Varitil'e/, Capítulo I, para o
conceito de produto cartesiano.)
76
;.urna moeda e um dado são lançad~s. Dê um espaço amostrai do experimento e depois
'-./"cpresente-o como produto carteSiano dos dois espaços amostrais, Correspondente
.".r---. aos experimentos considerados individualmente.
ii~fína um espaço amostraI para cada um dos seguintes experimentos aleatórios:
(9) Lançamento de dois dados; anota-se a configuração obtida.
;{
(b) Numa linha de produção conta-se o número de peças defeituosas num intervalo
de uma hora.
(e) Investigam-se famílias COm 4 crianças, anotando-se a configuração segundo o sellOo.
(a') Numa entrevista telefônIca com 250 assinantes, pergunta-se se o proprietãrio tem
ou não maquina
de secar roupa.
(e)
Mede-se a duração de lâmpadas. deixando-as acesas até que queimem.
IJJ Um fichário com 10 nomes contém 3 nomes de mulheres. Seleciona-se ficha após
ficha, até o último nome de mulher ser selecionado. e anota-se o número de fichas
selecionadas.
(g) Lança-se uma moeda até aparecer cara e anota-se o número de lançamentos.
(hl, Um relógio mecânico. pode parar a qualquer momento por falha téCnica. Mede-se
o ângulo
(em graus) que o ponteiro dos segundos forma com o
eixo imaginario
orientado do centro ao número 12.
(I) Mesmo enunciado anterior, mas supondo que o relógio seja eletrico. onde o pon­
teiro dos segundos move-se continuamente.
W De um grupo de 5 pessoas IA, R, C. D, Ej sorteiam_se duas, uma após outra, com
reposição, e anota-se a configuração formada.
(f) Mesmo enunciado que j. sem reposição.
(m) Mesmo enunciado que j, mas os dois selecionados simultaneamente.
(n) De cada família entrevistada numa pesquisa, anotam-se a classe social a que per.
tence (A. B. C. D) e o estado civil do chefe da familia.
4.2. ALGUMAS PROPRIEDADES
Sendo o modelo probabilístico um modelo teórico para as freqüên­
cias relativas, das propriedades destas podemos verificar algumas das
propriedades das probabilidades que daremos a seguir.
Assim, como toda freqüência relativa
é um numero ent re
O e I
temos que
,
O ~ P(A) ~ I
(4.2)
f'ilra qualquer evento A. Para efeito de completividade, será útil consl­
derannos o espaço lodo n e o conjunto \'aZÍo cP como evefllos. O primeiro
é denominado evento certo e o segundo, el'el/lo impossÍt'el, e temos:
p(n)~ I,
P(~) ~ o. (4.3)
77

Exemplo 4.6. Suponha que o seguinte quadro represente uma POs­
sível divisão dos alunos matriculados em dado Instituto de Matemá_
tica, num dado ano.
TABELA 4.1
~
Homens (H)
CURSO
Mulheres (F) TOTAIS
Matemática Pura ......... (M) 70 40 110
Matemática Aplicada ...... (A) I
15 15
30 I
Estatística .................. (E) 10 20 30
Computação .............. (C) 20 10 30
TOTAIS ........................... 115 85 200
Vamos indicar por M o evento que ocorre quando, escolhendo-se
ao acaso um aluno
do Instituto, ele for um estudante de Matemática Pura. A, E, C, H e Ptêm significados análogos. Desta maneira, vemos
30 115
que P(E)~2oo' ao passo que P(H)~2oo'
Dado os eventos A e H, podemos considerar dois novos eventos:
-A u H, chamado a
reuniào de A e H, que ocorre quando pelo
menos
um dos eventos ocorre;
-A n H, chamado a intersecção de A e H, que ocorre quando A e H
ocorrem simultaneamente.
. 15 . 1 Ih'd , .
E fácil ver que P(A n H) = 200' poIS o a uno esco I o era que
ser,
ao mesmo tempo, matriculado no curso de Matemática Aplicada
e homem.
30 115
Vemos que P(A) = 200 e P(R) = 200; suponha que nosso cálculo
para P(A u H) fosse
30 115 145
PiA u H) ~ PiA) + P(H) ~ 200 + 200 ~ 200'
78
Se assim o fizéssemos, estaríamos contando duas vezes os alunos
que são homens e que estão matriculados no curso de Matemática Apli­
cada, como está destacado na Tabela 4.1. Portanto, a resposta correta é
PiA u H) ~ PiA) + P(H) -PiA n H) ~
~ 2: + I;~ -2~ ~ ;~.
No entanto, considerando-se os eventos A e C, vemos que
30 30 60
PiA) ~ 200' P(C) ~ 200 e PiA u C) ~ 200 ~ PiA) + P( C). Neste caso, os
eventos A e C são disjuntos ou mutuamente exclusivos, pois se A ocorre,
então C não ocorre e vice-versa. AqUI, n = e P(A n C) = o.
Portanto, se M e N sào dois eventos quaisquer, teremos a chamada
regra da adiçào de probabilidades:
P(M u N) ~ P(M) + P(N) -P(M n N),
(4.4)
que se reduz a
, P(M u N) ~ P(M) + P(N),
(4.5)
se M e N são eventos mutuamente exclusivos.
Suponha agora que estejamos somente interessados em saber se
um estudante escolhido ao acaso está matriculado como aluno de Ma­
temática Pura, Aplicada, Estatística ou Computação, não interessando
saber
se é homem ou mulher. Um espaço amostrai é
Q = M u A u E u C.
Os eventos A e B = M u E u C são chamados complementares e são
tais que A u B = Q e A n B = f/J. Vemos que P(A) = 2:' enquanto
P(B)_IIO 30 30_170 ..
-20() + 200 + 200 -200' Isto e,
PiA) + P(B) ~ I.
(4.6)
Em geral, vamos indicar por A' o complementar de um evento A,
e teremos, então,
P(A1 ~ 1 -PiA).
(4.7)
As operações de reunião, intersecção e complementação entre even­
los possuem propriedades análogas àquelas válidas para operações entre
conjuntos. (Ver Cálculo -Flmções de uma Variável. Capítulo 1.)
7.

Por exemplo:
(i) (A n Bl' = A' u B'
(A v B)' = Ar n B
r
Oi) A nA' = ~
A v AO = Q
(iii) A n ~ = ~
AnQ=A
Au~=A
AvO=Q
(iv) ~' = O
O' = ~
Vejamos um exemplo de aplicação das propriedades das proba.
bilidades.
Exemplo 4.7. Consideremos um experimento e os eventos A e B as·
saciados, tais que P(A) = t, P(B) = + e P(A n B) = +. Então, temos:
(a) PIA') = ~ PIA) =
1
2
=
1 .
2'
1 2
~3=3
PIB') = 1 ~ PIB) = 1
(b) PIA u B) = PIA) + PIB) ~ PIA n B) =
1 1 1 7
=-+-~- = -.
2 J 4 12
(e) P(A' n B') = P[(A u BJ'] = 1 ~ PIA u BI = 1
7 5
12 12
J
(di PIA' u B') = P[(A n BJ'] = 1 ~ PIA n B) = 1 =
4 4 .
(e) Calculemos P(A' n B), ou seja, a probabilidade que ocorra B e não
80
ocorra A. Podemos escrever: .
I
B = IA n B) u IA' n B),
ou seja, B pode ocorrer com A ou (exclusivo) com Ar. Logo.
pIB) = PIA n B) + PIA' n BI,
do que decorre
I t Ir
PIA'
n
B) = P(B) ~ PIA n B) = 3 ~ 4 = 12'
Se n = jWj', ... , illn} é finito e A é um evento com m pontos amos­
trais (m ~ 1l), então,
P(A) = 111,
n
se todos os pontos têm a mesma probabilidade +. Nestas condições
não
é necessário exp licitar completamente
Q e A, bastando calcular
m e /l. Para tanto, são usado~ os métodos clássicos de contagem da aná·
lise combinatória. Um princípio fundamental de contagem nos diz que,
se uma tarefa pode ser executada em duas etapas, a primeira podendo
ser realizada de p maneiras e a segunda de q maneiras, então, a tarefa
completa pode ser executada de
p.q maneiras.
Exemplo 4.8.
Suponha que em um lote com 20 peças existam 5 de­
feituosas. Escolhemos 4 peças do lote ao acaso, ou seja, uma amosfra
de 4 elementos, de modo que a ordem dos elementos seja irrelevante.
Desta maneira, o número de amostras com 4 elementos que po­
demoS extrair do lote é e40). Suponha que queiramos calcular a pro­
babilidade de se escolher 2 defeituosas na amostra. Pelo visto acima,
n =' e4o) é o número de pontos do espaço amostraI. Seja o evento A: 2
defeituosas na amostra. Como haverá 2 defeituosas e 2 não-defeituosas
na amostra de 4 elementos, temos que m = (~)(,l) , pois podemos escolher
2 defeituosas e 2 não-defeituosas simultaneamente, de m C'l) maneiras,
usando o principio enunciado acima. Logo,
P(A) = ill I'i) = 10 x 105 = 1.050 ~ O 217.
. 1':) 4.845 4.845 '
PROBLEMAS
7. No problema 4. liste os evenlos:
(a) pelo menos uma cara:
(h) duas caras;
(e) o complementar do evenlo em (b).
~xprcssc em termos de Operações entre eventos.
(a) A ocorre mas B nâo ocorre:
(b) exatamente um dos cvento~ A c B ocorre:
(e) nenhum dos dois eventos A c B Ocorre.
8'

9. No espaço amostrai do problema 3. atribua a C'dda ponto contendo k IClras 11 pro.
babilidade 1/21 (assim. AA tem probabilidade 1/4),
(a) Mostre que 11 soma dlls probabilidades dos pontos do espaço amoslral ê um.
(b) Calcule a probabilidade de que A vença (um jogador vence quando ~wnha duas
partidas seguida
s), Em seguida.
calcule a probabilidade de que B \cnçll
(e) Qual a probabilidade de que não haja decisão'!
10. No problema 2. suponha que j indique o ap;lr~c:imento de face j e Q indique que apa.
receu outra face qualquer diferente de 5. Atribua probabilidilde 15/(d (1/6) <l cadll
ponto com k letras iguais a Q seguidas de 5.
(a) Mostre que a soma das probabilidades dos pontos amostrais ê igual a um (aqui.
você deve usar o resultado que dá a soma dos termos de uma sequencia geornc.
triea infinita).
ih) Calcule a probabilidade de que a face 5 apareça. após três lançamentos do dado.
11. Dentre 6 numeros positi\'os c 8 negativos. 2 numeros são escolhidos ao acaso Iscm
reposição) e multiplicados. Qual a probabilidade de que ° produto seja positivo'!
v onsidere o lançamento de dois dados. Considere os eventos A = som~ dos núme­
ros obtidos igual a 9. e B = número no primeiro dado maior ou igual a 4. Enumere
os elementos de
A e 8.
Obtenha A u B, A n 8 e A<.
;;)Obtenha as probabilidades dos eventos que aparecem nos problemas 7 e 12.
14. ue suposiçqes deveriam ser feitas para que os resultados dos experimentos abai..:o
~ possam scr considerados eqüiprováveis'!
(a) Lançamento de um dado.
(b) Opinião de moradores de uma cidade sobre um projeto governamental.
(t) Preço de uma ação no fim da próxima scmana.
4.3. PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA
Voltemos ao quadro do exemplo 4.6. Dado que um estudante, eg-'
colhido ao acaso, esteja matriculado no curso de Estatística, a proba-
'bilidade de ele ser mulher é de 20 = ~
30 3
Isto porque do total de 30 aluo
nos que estudam Estatística, 20 sào mulheres. Escrevemos
P(mulher I Estatística) = ~.
82
Para dois eventos quaisquer A e B, sendo P(B) > O, definimos a
'-nbilidade condicional de A, dado B, P(A I B), como sendo
pro
lfll
P(A IB)~
P(A n B)
P(B)
(4.8)
Para o exemplo mencionado, se B e A indicam, respectivamente,
oS eventos "aluno matriculado em Estatística" e "aluno é mulher", então
p(A n B) ~ 20/200, P(B) ~ 30/200 e, portanto,
P(A I B) ~ 20/200 ~ .3.
30/200 3 '
contO havíamos obtido.
Da relação (4.8) obtemos a chamada
regra do
prodwo de probabilidades,
PiA n B) ~ P(B) • P(A I B). (4.9)
Exemplo 4.9, Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três ver­
me
lhas (V). Suponha que sorteemos duas boias ao acaso, sem repbsição. Isto significa que escolhemos a primeira bola, verificamos a sua cor e
não â devolvemos à urna; misturamos as bolas restantes e retiramos a
segunda bola. O diagrama em árvore ilustra as possibilidades. Em cada
"galho" da árvore estão indicadas as probab ilidades de ocorrência, sendo
q
ue para segundas bolas
lemos probabilidades condicionais. A proba­
bilidade do resultado ~onjun to é, então, dada por (4.9) (ver tabela a seguir).
B
ResuILados Probabilidades
114
88
2 I 2
B x-=-
5 4 20
2/'
2 3 6 3/4
BV x -
v 5 4 20
3 2 6
B VB x -=-
2/4 5 4 20
315
3 2 6
v VV -x -=-
5 4 20
2/4 TOTAL
v
83

Exemplo 4./0. Imagine agora que as duas extrações são feitas da
urna, mas a primeira bola é reposta na urna antes da extração da segunda
bola. Nestas condições, as extrações são independentes, no sentido de
que o resultado de cada extração nào tem innuência no resultado da
outra. Obtemos a situação a seguir.
•
2/'
Resultados Probabilidades
BB
2 2 4
• -x-=-
5 5 25
2/'
3/'
BV
2 3 6
v
-x-=-
5 5 25
VB
3 2 6
•
-x-=_
2/' 5 5 25
3/' .
3 3 9
v
VV -x-=-
5 5 25
3/, TOTAL
v
Observe que aqui
P (branca na 2.
a
I branca na 1.-) = ; = P (branca na 2.
a
),
ou seja,
se o evento A é independente de
R, entào P(A I B) = P(A). Usando (4.9),
se A é independente de B temos
P(A n D) ~ P(A) • P(D) (4.10)
É fácil ver que, se A é independente de 8, então B é independente
de A. A fórmula (4.10) pode ser tomada como definição de independência,
ou seja, A e B sào independentes se, e somente se, (4.10) for valida.
Exemplo 4.1 I. Considere ainda a mesma urna dos exemplos ante­
riores, mas vamos fazer três extrações sem reposição. Obt~mos o esquema
a seguir.
84
2/'
114 B
-----'----V
B ~ l';:3 __ ~8V
~3í4-- v-=-====:-_
2/3
•
3/5
<
/4 .-=--=== =:
2/3
v
~8
2/4 v-=----=_-;-;:;~ __
113 V
Resultados Probabilidades
2 I 2 6
BBV ~x-x
I~20 ~60
5 4
2 3 I 6
BVB -x-x-=-
5 4 3 60
2 3
2 12
BVV -x-x-=-
5 4 3 60
32 1 6
VBB -x-x-=-
5 4 3 60
3 2 2
12
VBV -x-x -=-
5 4 3 60
3 2 2 12
VVB -x-x-=-
5 4 3 60
3 2 I 6
VVV -x-x-=-
5 4 3 60
TOTAL 60/60 ~ I
Observe que P(B I B) ~ ~. ao passo que P( V I B n B) ~ I; dai
4
21
I
PIB n D n JI) ~ P(D) • P(D I D) • P( V I D n D) ~ 5 x 4" x I ~ Tõ
De modo geral. dados 3 eventos M. N e R. temos que
P(M n N n R) ~ P(M) • P(N IM)· P(R I M n N) (4. I I)
8'

/
I : ~
Exemplo 4.12. A Teoria da Confiabilidade estuda sistemas e seus
componentes, como,
por exemplo, sistemas mecânicos ou eletrônicos
(um automóvel ou um computador) e sistemas biológicos (como o
COr.
po humano). O objetivo da teoria é estudar relações entre o funciona.
namento dos componentes e
do sistema. A Figura
4.1 ilustra um sistema
composto de dois componentes, ligados em
série.
1 2
------"0 O l
Fig. 4./
O sistema funciona se os componentes I e 2 funcionam simulta_
neamente.
Se um dos componentes não funciona, o sistema também
não funciona. Supondo que
QS componentes funcionem independente_
mente, e se
Pi é a probabilidade do componente i (i= 1,2) funcionar,
então a probabilidade
do sistema funcionar é
P1P2'
Chamando:
E: o sistema funciona
Ai: o componente i funciona, j = 1,2
então,
P(E) ~ P(A, " A,) ~ P(A,)P(A,) ~ Pú',.
Cadap;é chamada a confiabilidade do componente i e P(E) = h(Pt ,P2)=
=P1fJ2 é chamada a confiabilidade do sistema.
!
I
Se os componentes I e 2 estiverem ligados em paralelo, como na ,
Figura 4.2,
então o sistema funciona se pelo menos um dos dois
com­
p<mentes funciona. Ou seja,
P(E) ~ P(A, u A,) ~ P(A,) + P(A,) -P(A, " A,) ~
=Pt + P2 -P1P2
e a confiabilidade do sistema é
h(Pt ,P2) =Pt + P2 -P1P2'
1
I ~
I
2
Fig. 4.2
86
ora o conceito de independência para três eventos. Di­
VeJ'amos ag
ventos
A B e
C são independentes se, e somente se,
zen'los que os e ,
P(A " S) ~ P(A) • P(S)
P(A " C) ~ P(A) • P(C)
P(Sn C) ~ P(S) • P(C)
P(A " S " C) ~ P(A) • P(S) • P(C)
Esta definição
eventos.
pode ser estendida
para um número finito qualquer de
PROBLEMAS
~ ·d Te uma urna contendo 3 bolas pretas e 5 bolas vermelha s. Retire duas bolas
15. ,Lonsl e . _
....... da urna, sem reposlÇ30.
h ltado' po~síveis e as rcs .... ctivas probabilidades.
(a) Obten a os rcsu ~ ~ .. -._
(b) Mesmo problema, para extrações com reposlçao.
blema anterior calcule as probabilidades dos eventos:
1'-o pro ,
(a) bola preta na primeira e segunda extrações;
(b) bola preta na segunda extração;
(c) bola vermelha na primeira extração.
obabilidade de que A resolva um problema é de 2/] e a probabilidade. ~e que B
17. ~va é de 3/4. Se ambos tentarem independentemente, qual a probablhdade do
problema ser resolvido?
ís);m dado é viciado, de tal Forma que a probabilidade de sair um certo pon~o é pro­
V porcional ao seu valor (por exemplo, o ponto 6 é ] vezes mais provável de sair do que
o ponto 2). Calcular:
(a) a probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que sai.u é imp~r. .
(b) a probabilidade de tirar um número par, sabendo-se que saiU um numero maIor
que ].
19. As probabitidades de que dois eventos independentes ocorram são p e q, respectiva­
mente. Qual a probabilidade:
(a) de que nenhum destes eventos ocorra?
~ (b) de que pelo menos um destes eventos ocorra?
10. Na Figura 4.] temos um sistema com
trés componentes funcionando indepen­
dentemente, com oonfiabilidades p I , pz
C P3' Obtenha a confiabilidade do sis­
tema.
2
--n-r--0--r­
l' L.(j-
'3 Fig. 4.3
87

21. Na tabela ao lado, os numeros que apa­
reçcm sào probabilidades relacionadas
com a ocorrência de A, B, A í"I B. etc.
Assim. PIA)"" 0,10. enquanto que
PIA n B) = 0.04.
Verifique se A e B sào independentes.
A
A'
B B '
0.04 0.06 0.10
0,08 0.82 0.90
0.12 0.88
1.00
r6--6-
i
22. Supondo que todos os componentes do
sistema da Figura 4.4 tenham a mesma
confiabilidade
p c funcionem
indepen­
dentemente. obtenha a confiabi!idade do
sistema.
f----,
3 4
Fig. 4.4
4.4. TEOREMA DE BAYES
Uma das relações mais importantes envolvendo probabilidades con.
dicionais é dada pelo teorema de Bayes, que expressa uma probabilidade
condicional
em termos de outras probabilidades condicionais e margi.
nais. Vamos introduzi-lo através de
um exemplo.
Exemplo 4.13. Temos 5 urnas exatamente iguais. cada uma com
6 bolas. Duas desses urnas (tipo
C
1) têm 3 bolas brancas. duas outras
(tipo
C 2) têm 2 bolas brancas. e a última urna (tipo
C)) tem 6 bolas brancas.
Escolhemos uma urna ao acaso e dela retiramos uma bola. Qual a pro.
babilidade da urna escolhida ser do tipo C). sabendo·se que a bola sor.
teada é branca?
Na Figura
4.5 estão esquematizados o espaço amostraI e os even.
tos
de interesse.
c
O
R
88
C,
I
I
URNA
2 3
Fig. 4.5
C,
I
,
4
c,
5
o
O
O
,
emas encontrar P(C) 1 B),
Quer
2
P(C,) ~ 5
2
P(C,) ~ 5
1
P(C')~5
sabendo que
1
P(BI C,) ~ 2
1
P(BI C,) ~ 3
P(BI e,) ~ 1
Da definição de probabilidade condicional, lemos
p(e, n B) ~ p(e,) • P(B I e,)
P(B) P(B)
p(e,1 B) ~ (4.12)
Precisamos agora encontrar o valor de P(B), já que o numerador é co·
nbecido. Como C l ' C 2 e C 3 são eventos mutuamente exclusivos, e reu­
nidos formam o espaço amostrai completo, podemos .deco mpor ? even·
to B. na reunião de três outros, mutuamente exclUSIVOS. ou seJa:
B ~ (e, n B) u (e, n B) u (C, n B). (4.1 J)
e então
P(B) ~ P(C, n B) + p(e, n Bl + P(C, n B) ~
~ P(C,) .P(BI C,) + P(C,).P(BIC,)+P(C,l .P(BIC,l~
~2.~+ 2.~+~ .1~ S
5 2 5 J 5 15
Substituindo este resultado em (4.13) obtemos:
I
-·1
5
PI C, I B) ~ --=CSC;-
15
J
8
Podemos agora generalizar os resultados acima do seguinte modo:
seja lC
I
, C
z
, ... , C
R
] uma partição do espaço amostrai n, isto é,
C1f'I Cj=cP, i4=-j, e C
L
U C
2
U ... U c~=n; c consideremos A um even­
to qualquer. Também são conhecidos P(Cil e PiA I Cj) para i = 1.2 •..• fl.
Então, lemos o seguinte resultado, ilustrado pela Figura 4 .6.
89

Teorema de Bayes -A probabilidade de ocorrência de um dos eventos
C;, dado que ocorreu o evento A, é dado por:
P(C d A) ~ -:.p,-,(""C,,-,)_' ,--P(",A,-,I-"C,,-,)~, , i ~ I, , .. , n. (414)
I P(C
j
) , P(A I C
j
)
J" ,
c,
c,
c,
c.
Fig. 4.6
Exemplo 4.14. Para selecionar seus funcionários, uma empresa ofe­
rece aos candidatos um curso de treinamento durante uma semana. Ao
final, eles são submetidos a uma prova e 25% sào classificados como
bons (B), 50% como médios (M) e os restantes 25% como fracos (I),
Como medida de economia, o departamento de seleção pretende subs­
tituir o treinamento por um teste contendo perguntas envolvendo conheci­
mentos gerais e específicos. Mas, para isso, gostaria de conhecer qual
a probabilidade de que um indivíduo aprovado no teste fosse considerado
fraco, caso
fizesse o curso, Assim, nesse ano antes do inicio do curso, os
candidatos foram submetidos ao teste e, de acordo com os
re~ ultados,
receberam o conceito aprovado (A) ou reprovado (R). Ao final do curso,
obtiveram as seguintes probabilidades c ondicionais:
P(A
I B) ~ 0,80 P(A I M) ~ 0,50 P(A I FJ ~ 0,20.
Queremos encontrar P(FI A), e pelo teorema de Bayes esta é dada por
P(F I A) _ P(A I FJ ' P(FJ ~
-P(A I E) , P(E) + P(A I MJ ' P(MJ + P(A I FJ ' P(FJ
(0,20) , (0,25) ~ O lO.
(0,50) , (0,50) + (0,20) , (0,25) , (0,80) , (0,25) +
Então, apenas 10% dos aprovados é que seriam classificados como fra­
cos durante o curso. De modo análogo, podemos encontrar:
90
PIEI A) ~ 0,40 e P(M I A) ~ 0,50,
se
riam subsídios valiosos para ajudar a decisão de substituir o trei­
que
namenlO pelo teste.
PROBLEMAS
I.':l Uma companhia produz circuitos integrados em tres fábricas. I, 11 c 111. A fâbrica J
l:)' produz 40'}. dos circuitos. enquanto a 11 c a 111 produzem 30:70 cada uma. As proba­
bilidades de que um circuito integrado produzido por estas fábricas não funcione são
0.01, 0.04 e 0,03. respectivamente. Escolhido um circuito da produção conjunta das
tres fâbricas. qual a probabilidade de o mesmo nilo funcionar?
~onsidcrc a situação do problema anterior, mas suponha agora que um circuito e
~escolhidO ao acaso e seja defeituoso. Detenninar qual a probabilidade de ele tcr sido
fabricado por I.
J;"u. urna I contêm duas bolas pretas e três brancas, ao passo que a urna 11 contêm três
V~la5 pretas e três brancas. Escolhemos uma urna ao acaso e dela extraimos uma bola.
que tem cor branca. Se a bola ê recolocada na urna. qual e a probabilidade de se re­
llrar novamente uma bola branca da mesma urna?
PROBlEMAS E COMPLEMENTOS
.. Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa
ou um prato a base de carne. 20"10 dos fregueses do sexo masculino preferem salada:
3{r,IQ das mulheres escolhem carne; 75% dos fregueses são homens. Considere os se­
gumtes eventos:
H: freguês é homem
M: freguês é mulher
Calcular:
A; freguês prefere salada
B: freguês prefere carne.
(ui Plli). PIA I H). P(B IM):
(e) P(M I A).
(b) PIA ri fI). PIA u fi): (d P(MIA).
n, Uma companhia de seguros analisou a freqüência com que 2.000 segurados (1.000
homens e 1,000 mulheres) usaram o hospital. Os resultados são apresentados na tabela:
Usaram o hospital
Não usaram o hospital
HOnlms
100
900
Mulheres
ISO
850
(11) Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada use o hospital'!
(b) O uso do hospital independe do sexo do segurado'!
9'

•
28. As probabilidades de 3 motoristas serem capazes de guiar ate em casa com segurança,
depois
de beber, são de 1/3, 1/4
e 1/5, respectivamente. Se decidirem guiar ate em casa
depois de beber numa festa, qual a probabilidade de lodos os
3 motoristas
sofreren:
acidentes? Qual a probabilidade de, ao menos, um dos motoristas guiar ate em casa
a salvo?
29. Duas lâmpadas queimadas foram acidentalmente misturadas com 6 lâmpadas boas.
Se vamos testando as lâmpadas, uma por uma, ate encontrar as 2 defeituosas, qual ~
a probabilidade de que a ultima defeituosa seja encontrada no quarto leste?
30. Suponhamos que 10.000 bilhetes se jam vendidos em uma loteria e 5.000 em Outra
loteria, cada uma tendo apenas um ganhador. Um homem tem 100 bilhetes de cada.
Qual a probabilidade de que:
(a) ele ganhe exatamente um prêmio?
(b) ele ganhe alguma coisa?
31. Uma companhia de seguros vendeu apólices a 5 Pessoas, todas da mesma idade e com
boa saúde.
De acordo com as
tábuas atuariais, a probabilidade de que uma pessoa
daquela idade esteja viva daqui a 30 anos e de 2/3. Calcular a probabilidade de que
daqui a 30 anos:
(a) exatamente 2 pessoas estejam vivas;
fb) todas as pessoas estejam vivas;
(c) pelo menos 3 pessoas este jam vivas.
(Indique as suposições necessárias para a aplicação do modelo probabilistico.)
32. Num teste com 2 marcas que lhe são apresentadas em ordem aleatôria, um experi­
mentador de vinhos faz três identificações corretas em três tentativas.
(a) Qual a probabilidade disso ocorrer, se na realidade ele não possui habilidade al­
guma para distinguir?
(b) E se a probabilidade de distinguir corretamente' e de 90";'; em cada tentativa?
33. Um grupo de 12 homens e 8 mulheres concorrem a 3 prêmios atraves de um sorteio,
sem reposição de seus nomes. Qual a probabilidade de:
(a) nenhum homem ser sorteado?
(b) um prêmio ser ganho por home m?
(c) dois home ns serem premiados?
34. Um empreiteiro apresentou orçamentos separados paf1l a execUção da parte elétrica
c da parte de encanamento de
um cdificio. Ele acha que a probabilidade de ganhar a
concorrência
da parte elétrica ê de [/2. Caso ele ganhe a parte elétrica, a chanc.e de
ganhar a parte de encanamento e de 3/4; caso contrário, essa probabilidade ê de 1/3-
Qual a probabilidade de ele:
(a) ganhar 05 dois contratos;
(h) ganhar apenas um;
(c) não ganhar nada, " Pf ~
92
média, 5% dos produtos vendidos por uma loja são devolvidos. Qual a probabili-
36. !:de de que nas 4 próximas unidades vendidas deste produto, duas delas ·sejam devol-
vidaS?
ês alarmes estão dispostos de tal maneira que qualquer um deles funcionará inde­
)6. Tr dentemente quando qualquer coisa indesejável ocorrer. Se cada alarm~ tem pro­
::~i1idade 0,9 de trabalhar eficie ntemente, qual é a probabilidade de se ouvir o alarme
quando necessário?
Em uma fabrica de parafusos, as maquinas A, B e C produzem ?5, 35 e 40 por cento
Yf. do total produzido, respectivament e. Da produção de cada máquma 5, 4 e 2 por cent~,
pectivamente, são parafusos deFeituoso s. Escolhe-se ao acaso um parafuso e verl­
~:'.se que ê defeituoso. Qual a probabili dade de qu~ o parafuso venha da máquina A?
Da 81 Da C?
3IL Um fabricante afirma que apena~ 5~ d~ todas as válvulas que produz tem uma du­
ração inFerior a 20 horas. Uma mdustna compra semanalmente um grande lote de
válvulas desse
Fabricante, mas sob a seguinte condição: ela aceita o lo te se, em
10 vál­
vulas escolhidas ao acaso, no máximo uma tiver duração inFerior a 20 horas; caso
contrario o lote todo é rejeitado.
(a) Se o fabricante de fato tem razão, qual a probabilidade de um lote ser rejeitado?
(h) Suponha agora que o fabricante este ja mentindo, isto e, na verdade a ~~oporção
de válvulas com duração inferi or a 20 horas e de 10";';. Qual a probabilidade de
um lote ser aceito, segundo o critêrio acima?
39. Para se estudar o comportamento do mercado automobilístico, as marcas foram di­
vididas em 3 categorias: marca F. marca W, e as demais reunidas como marca X. Um
estudo sobre o hábito de mudança de marca mostrou o seguinte quadro de proba­
bilidade:
Probabilidade de mudança para
W F X
Pos
suidor
W O,SÓ 0,25 0,25
.de carro F 0,15 0,70 0,15
da marca X 0,30 0,30 0,40
o primeiro carro que um indivíduo compra, ele o faz segundo as seguintes probabili­
dades: marca W com 50";';. marca F com 30"10 e marca X com 20"10,
(a) Qual a probabilidade de um individuo comprar o lerceiro carro da marca W?
(h) Se o terceiro carro e da marca W, qual a probabilidade de o primeiro tambem ter
ter sido
W?
93

40, A empresa M & 8tem 15.!l00 empregados. clas~ificados de acordo com a Ulbda abai:<o.
~
HIJml'IIJ (Ml /I'fl/{/wrl'-" If) TOTAL
/c/mil'
< 25 anos (A) 2.000 800 HOO
25 -4(} anos (8) 4.500 2.500 7.000
> 40 anos (e) 1.!l00 4.200 6.000
TOTAL 8.300 7.500 15,800
Se um empregado é selecionado ao acaso. calcular a probabilidadc dc ser ele:
(a) um empregado com 40 anos de idade ou menos:
(bl um empregado com 40 anos de idade ou menos. e mulher:
(c) um empregado com mais de 40 anos de idade e que seja homem:
(d) uma mulher, dado que é um empregado com menos de 25 anos.
41. Considere o problema 40 e suponha quc escolhamos dois empregados ao acaso. ('0ln
reposição, Qual a probabilidade de que:
(a) ambos sejam do sexo masculino:
{b) o primeiro tenha menos de 25 anos, e o segundo seja do sexo masculino e COm
menos de 25 anos:
te) nenhum tenha menos de 25 anos.
42. Resolva o problema 41. supondo que a amostragem é reita Jl'm reposição.
43. Numa empresa existem operarlOS de determinada categoria, que tém idades iguais
a a, h e c anos (existem pelo menos 3 COm a mesma idade ). Escolhe-se 3 ao acaso para
que façam determinado curso, Se indicannos por .'( a idade do primeiro. J' a do seg un.
do e z a do terceiro. o lermo (x, y. z) indica cada possí vel resultado. Enu~ere.
(a) o espaço amostrai;
(b) os eventos.
A= :(x.}'.z)lx=y=z:.
8 = :(x.y,z) I x = y:,
44. Os colégios A. B e C tém as seguintes porcentagens de rapazes. respectivamente: 40"".
200/0, 10"/0, Um destes colégios ê seledonado ao acaso e 8 alunos são escolhidos. rom
reposição, Se obtemos RRRMMMMM (R para fapaz e M para moçal qual é a pro­
babilidade de ter sido selecionado o colégio C!
45. Um inspetor da seçào de controle de qualidade de uma firma examina os artigos de
um lote que tem m peças de 1.' qualidade e n peças de 2.' qualidade. Uma verifica ção
dos b primeiros artigos selecionados. ao acaso, do lote mostrou que todas são de 2,'
qualidade (b<n-I). Qual a probabilidade de que entre os 2 próximos artigos sele·
cionados, ao acaso. dos restantes. pelo menos um seja de 2.' qualidade'!
94
46. Prove que sc A e 8 são independentes. tambem o serão A' e BC, A e 8' c A' c B.
47. Obtenha uma rórmula para PIA u 8 u C).
48,. Na Figura 4.7 temos um sistema eha­
mado pOlllr. Nas mesmas condições do
problema 22, obtenha a conliabilidade
do sistema.
4
Fig, 4.7
.t9. Considere o quadrado com vértices (0,0).
(1,0), (0.1) e (1.1). Suponha que a pro·
babilidade de uma regiào A (evento) seja
a área desta região (Figura 4.8).
(o) Represente graficamente o evento
A = conjunto dos pontos cuja distân·
cia à origem seja menor ou igual a um.
(h) Calcule PIA).
(e) Calcule a probabilidade do evento
B=:<x,)'):x~b: ouy~ b.ondeh
é um número tal que O<b< I.
10,1)
A
10,01
(li) Calcule P(B'), onde 8 foi dcfinido
em (e). Fig. 4.8
so. Considere íl como o quadrado da Figura 4 .8. Considere os eventos:
A = : (x, y): 1/3 .,.; x ~ 2/3. O ~ J' ~ fJ2:
8 = :Ix,)'): 1/2 ~ x ~ I, lJ4~ )' ~J J4: .
Calcular PIA), P(81. PIA u B). PIA'). P(SC) e PIA' n BC).
2
5
11,11
(1,0)
51. Considere. agora, a situação do problema 49. mas suponha que o quadrado nào te·
nha área unitária. Como voce definiria a probabilidade de um evento A'!
52. Suponha uma fJfIpuluçã() de N elementos UI' 0I' " .• aI>' Qualquer arranjo ordenado
Ui,. Oi •• ·· • ai. de n símbolos é chamado de uma amOSlro ordenada de lamal1ho 11, cx­
traída da população, Considcre o símbolo (N). como significado N(N -I) , .. (N -11 + I I,
Suponha
11
< N. Mostre que exístem N" amostras com repo sição (um mesmo elemento
pode ser retirado mais de uma vez) e (N), amostras sem reposição (um elemento. quando
escolhido, é removido da população. não havendo, pois. repetiçâo
na amostra),
Sl Uma amostra ordenada de tamanho n. extrdída de uma população com N elementos.
di:~-sc casual (ou o/ealaria) se todas as possíveis amostras tém a mesma probabilidade
de serem escolhidas; esta probabilidade será I, N" se a amostra ror com reposição e
I/iN). se for sem reposição. Uma amostra casual de tamanho n. com reposição. é ex­
traída de \lma população com N elementos. Encontre a probabilidade de não haver
repetição na amostra.
95

54. Considere (N) '" (N). = N! . Observe a situação do problema 52, na quaJ
n n1 n!(N-n)!
não levamos em con.sideraçõo a Qrfkm do conjunto alo' ai" ... , aio' Mostre que cxi!-
tem (~) amostras sem reposição.
!IIS. (a) Se-A, B e C são independentes, prove que A e B n C são independentes.
(h) Nàs mesmas condições, prove que A u B e C são independentes.
~. Se !(A) = 1/3, P(B') = 1/4, A c B podem ser disjuntos (ou muluamenle exclusivOs)?
(Sugestão:
P(A)
= P(A n B) + P(A n B') e A n B' c: B'.)
57. Um sistema i: composto de três COmponentes 1,2 e 3, com confiabilidade 0,9, 0,8 e 0,7,
respectivamente. O componente 1 é indispensável ao funcionamenlo do sistema; se
2 ou 3 não funcionam, o sistema funciona, mas com um rendimento inferior. A falba
simultli.nea de 2 e 3 implica o não funcionamento do sistema. Supondo que os COm.
~menles funcionem independentemente, calcular a confiabilidade do sistema.
(
96
CAPíTULO 5
-
Variáveis aleatórias discretas
-
S.l.INTRODUÇÃO
No capítulo anterior introduzimos alguns modelos probabilísticos,
através de espaços amostrais bem simples. Isto facilitou bastante a com·
preensão do conceitó de probabilidade e a obtenção de algumas proprie­
dades. Mas para atender a situações práticas mais gerais, necessitamos
ampliar estes conceitos para que tenhamos modelos probabilísticos que
representem todos os tipos de variáveis definidas no C;apítulo 1. Assim,
muito do que foi apresentado naquele capítulo para tratamento descri­
tivo das variáveis terá o seu correspondente no modelo teórico.
Para as variáveis qualitativas, o modelo construído no capítulo
precedente se adapta muito bem. Dada a sua simplicidade, trataremos aqui de variáveis quantitativas discretas. Já os modelos para variá~eis
contínuas necessitarão de um artifício matemático, baseado numa ge­
neralização do conceito de histograma definido na seção 1.4, e esse será
o objetivo
do próximo capítulo. A extensão dos modelos para variáveis
com mais de uma dimensão será tratada no Capítulo 7. Por outro lado, quando estudamos a descrição de dados, vimos
que os recursos disponíveis para análise das variáveis quantitativas são
muito mais ricos do que para variáveis qualitativas. Isto sugere o uso
de anifícios para transformar estas últimas variáveis naquelas do pri­
meiro tipo. Por exemplo, considere o caso de um questionário, em que
uma pessoa é indagada a respeito de luma certa proposição, e as respostas
possíveis são SIM oU NÃO. Podemos associar uma variável que toma
dois valores, 1 ou O por exemplo, correspondentes ás respostas SIM ou
NÃO, respectivamente. Teremos ocasião de estudar este tipo de variável
detalhadamente.
O conhecimento de modelos probabilísticos para variáveis quanti­
tativas é muito importante, e grande parte do restante deste livro será
97

!
dedicada à construção e afirmações sobre estes modelos (ou sobre seus:
parâmetros). Estas variáveis numéricas, às quais iremos associar modelos
probabilísticos, serào chamadas de I'ariaveis aleatórias (v.a.).
5.2. O CONCEITO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
Exemplo 5./. Um empresáno pretende estabelecer uma firma para
montagem de
um produto co mposto de uma esfera e um cilindro. As
partes são adquiridas em fábricas diferentes, e a montagem consisti ra
em juntar as duas partes e pintá-las.
O produto acabado deve ter o com.
primento (definido pelo cilindro) e a espessura (definida pela esfera)
dentro de certos limites. e isso
só poderá ser verificado após a montagem. Para estudar a viabilidade do seu empreendimento, o empresário quer
t
er uma idéia da distribuição dos lucros por peça montada.
Sabe-se que cada co
mponente pode ser classifica do como
BOM,
LONGO ou CURTO, conforme sua medida esteja dentro da especifica_
ção. seja ela maior ou menor que a especificada. Além disso, foram obtidos
dos fabricant
es o preço de cada componente (5 unidades de dinheiro)
e as probabilidades de produção de cada componente com as
caracte­
rísticas BOM, LONGO e CURTO. E-stes valores estào na Tabela 5.1.
TABELA 5.1 -Distribuição da produção das fábricas A e B.
de acordo com as medidas das peças produzidas.
Produto
Fabrica A Fábrica
Cilindro Esfera
Dentro das especificações .. BOM
.
(B) 0,80 0,70
Maior que as especi ficações LONGO (L) 0,10 0,20
Menor que as especificações ...... CURTO (C) 0,10 0,10
Fonte: Retirada das cspeciricaç õts técnicas das fábricas A e B
B
Se o produto final apresentar algum componente com a caracterís­
tica C, ele será irrecuperável, e o conjunto será vendido como sucata ao
preço de 5
unidades. Cada componente longo pode ser recuperado a
um custo adicional de 5 unidades. Se o preço de venda de cada
unidatle é
de
25 unidades, como seria a distribuição das freqüências da variável X:
lucro por conjunto montado?
98
A construção desta distribuição de freqüências vai depend er de certas sições que faremos sobre o comportamento do sistema con siderado.
~upo vista dessas suposições, estaremos trabalhando com um modelo
:re(JJid a~e, e ~ ~istribuiçã~ q~e ~b~e remos ser~ _um.a distribuição teóri~,
. to maIs proxlma da dlstnbwçao de freqlienclas real quanto maIs
lao I'd d ' . -
fi
"s " rca I a e lorem as SUpOSIÇOes.
lei '
Primeiramente. vejamos a construção do espaço amostrai para a
onlagem dos conjuntos segundo as características de cada componente
: suas respectivas probabilidades. Desde que os component es vêm de
fabricas diferentes. vamos supor que a classificação dos cilindros segundo
uas cJract eristicas e a classificação da esfera segundo suas c aracterísticas
~jam eventos independentes; assim, obtemos a configuração da Figura 5.1.
CILINDRO
0.80
0,10
0,10
B
C
L
ESFERA
0,70
0,20
Fig. 5.1
8 0,56
L 0.16
C 0.08
B 0.07
L 0.02
C 0,01
B 0.07
L 0.02
C 0,01
Uma representação do espaço amostrai em questão está apresenta­
da na Tabela 5.2 e foi obtida da Figura 5.1.
99

TABELA 5.2 -Distribuição de probabilidade das possíveis
composições das montagens.
Montagem Probabilidade Lu cro por
mr)f//agem (X)
BB 0,56 15
BL 0,16 10
BC 0,08 -5'
LB 0,07 10
LL 0,02 5
LC 0,01 -5
CB 0,07 -5
CL 0,02 -5
CC 0,01 -5
Fonte: Figura 5.1 e informações no texto
A última coluna da Tabela 5.2 foi construída com base nas informa_
ções sobre preços. Por exemplo, obtendo uma montage m LB, isto e, ci­
lindro longo e esfera boa, do preço de venda de 25 unidades devemos
descontar: 10 unidades dos custos dos componentes e 5 unidades para
re'cuperar o cilindro longo. Portanto, o lucro X desse conjunto será 10
unidades. (Verifique os lucros das demais montagens.)
Assim, com os dados da Tabela 5.2, vemos que
X pode assumir um
dos seguintes valores:
15 se ocorrer o evento A
1 =
10 se ocorrer o evento A
2
=
5 se ocorrer o evento AJ =
-5 se ocorrer o evento A4 =
Cada um desses eventos tem uma
probabilidade associada,
ou seja,
P(A,) ~ 0,56; P(A,) ~ 0,23,
P(A,) ~ 0,02; P(A,) ~ 0,19,
o que nos permite escrever a "função
(x, p(x» da Tabela 5.3, que é um mo­
delo teórico para a distribuição da
variável X, que o empresário poderá
usar para julgar a viabilidade eco~
100
:BB);
:BL, LD];
lLL);
:Be, LC, CB, CL, CC).
TABELA 5.3
x p(x)
! 15 0,56
lo 10 0,23
t-5 0,02
.'J -5 0,19
TOTAL 1,00
~
. do projeto que ele pretende realizar. Aqui, x é o valor de X, e
nôm
1ca
bl
)
, a probabilidade
de X tomar o valor x. Voltaremos a esse pro ema
p(x e .
mais adiante. .
A função (x, p(x)) é chamada de função de probabilidade da vanável
lea1ória X.
a Esquematicamente teríamos a situação da Figura 5. 2.
-5 5 10 15
Fig. 5 .2
É evidente que, ao mesmo espaço amostrai da Tabela 5.2, podemos
associar outras variáveis aleatórias, como veremos no caso seguinte.
Exemplo 5.2. Se considerarmos Y como sendo a variável custo de
recuperação de cada conjunto produzido, v.erificaremos que Y irá as­
sumir os valores
O, se ocorrer o evento B 1 = : BB, BC, LC, CB, C L, CC);
5, se ocorrer o evento B
2
= : BL, LB };
10, se ocorrer o evento BJ = : LL).
A função de probabilidade da variável aleatória Y está represen­
tada na Tabela 5.4.
TABELA 5.4
y p(y)
O 0,75
5 0,23
10 0,02
TOTAL 1,00
101

Esquematicamente, temos a representação da Figura 5.3.
V
B,
I B" I
B, ~

o 5 '0
Fig. 5.3
.
Então, uma variável aleatória X do tipo discreto estará bem caracte.
rizada se indicannos
os possíveis valores x \.
Xl, ... , x. que ela pode assumir
e
as respectivas probabilidades p(x
I), P(X2) •... , P(Xk)' ou seja, se conhe.
ce
nnos a sua função de probabilidade (x,p(x)). Também usaremos a
n
otação p(x)
~ P(X ~ x).
Em algumas situações, a determinação da função de probabilidade
é bem mais simples. Isso pode ser verificado pelos dois exemplos seguintes.
Exemplo 5.3. Voltemos à situação do exemplo 4.4, em que considera.
mos duas extrações, sem reposição, de uma urna contendo 2 bolas brancas e
3 bolas vermelhas. Vamos definir a variável X = número de bolas verme.
lhas obtidas nas duas extraçõe
s. Obtemos o seguinte esquema. (Figura
5.4 e
Tabela 5.5).
B
1/4
TABELA 5.5
B
Resultados Probabilidades X 215
3/4
V
BB 1/10 O
B BV 3/10
3/5
214
VB 3/10 I
v
VV 3/10 2
214
Fonte: Figura 5.4 V
Fig. 5.4
Vemos, pois, que a cada resultado
do
experiwcnto está associado
um valor da variável aleatória X; estes valores sào 0, I e 2.
Temos que X=O, com probabilidade 1110, pois X=O se, e somente
se, ocorre o resultado
BB;
X = I com probabilidade ~ + ~ = ~,
10 10 10
'02
. X=:. 1 se, e somente se, ocorrem os resultados BV ou VB, que são
pOIS uamente exclusivos; finalmente, X = 2 com probabilidade 3/10, pois·
,"ut 2 se e somente se, ocorre o resultado VV. Resumidamente,
X=:. ,
I
prO) ~ P(X ~ O) ~ P(BB) ~ lõ'
6
p(l) ~ P(X ~ I) ~ P(BV oU VB) ~ 10'
3
p(2) ~ P(X ~ 2) ~ P(VV) ~ lõ'
No quadro ao lado, esquemati­
zamos a distribuição de probabilida­
des da variável aleatória X.
x,
p(x,)
O
1/10
I 2
6/10 3/10
Exemplo 5.4. Retomemos o exemplo 4.3, em que consideramos o
lançamento
de uma moeda duas vezes. Definamos a variável aleatória
y
=' número de "caras" obtidas nos dois lançamentos.
'/2
c
TABELA 5.6
'/2
C Resultados Probabilidades
1/2
R
CC
C
CR
RC
1/2
'/2
RR
R
R
Fonle: Figura
5,5-
1/2
Fig. 5.5
Temos, e ntão:
I
prO) ~ P(Y ~ O) ~ P(RR) ~ 4'
1/4
1/4
1/4
1/4
I I I
p(l) ~ P(Y ~ I) ~ P(CR ou RC) ~ 4 + 4 ~ 2'
I
p(2) ~ P(Y ~ 2) ~ P(CC) ~ 4'
Y
2
I
O
'03

,
I
I
A distribuição
dicada abaixo.
de probabilidades da variável aleatória Y esta
Yi
°
2
p(J',) 1/4 1/2 1/4
In_
Dos exemplos estudados, vimos que a cada ponto do espaço amos_
trai a variável em consideração associa um valor numérico, o que COr_
responde em Matemática ao conceito de função, mais precisamente, a
uma função definida no espaço amostraI n e assumindo valores reais.
Definição. Uma função X, definida sobre o espaço amostrai Q e
assumindo valo
res num conjunto enumerável de pontos do conjunto
real, é dita uma variável aleatória discreta.
Esquemati camente, teríamos a situação da Figura 5.6.
00, 00, 00, 00. 00, 00,
o
o
o,
o o
o,
o
x
I I I I o
" " " '.
Fig. 5.6
Vimo
s, também, como associar a cada valor Xi da variável aleatória
X a sua probabilidade de ocorrência. Ela é dada pela probabilidade do
evento
A de
n, cujos elementos corr espondem ao valor Xi (veja Figu­
ras
5.2 e 5.3). Matematicamente, podemos escrever
onde
tal que
e
104
P(X ~ x;) ~ P(A),
X(W;) = Xi se W; E A
X(w;) =F Xi se Wi E A'.
Definição. Chama-se de função de probabilidade (f. p.) da variá~vel alea­
.' discreta X, que assume os valores XI' X2. "', Xn, a funçao p(Xj),
lona cada valor de Xi associa sua probabilidade de oco rrência, isto ê,
que a
PIIOBLEMAS
Considere uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 5 pretas. Retire 3 bolas. sem re-7
I. posição. e defina a v.a. X igual ao numero de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.
Z. Repita o problema anterior. mas considerando extrações com reposição.
3. Suponha que uma moeda perfeita é. lança~a até que cara apareça ~Ia .pri~eira vez.
Seja X o número de lançamentos ate que Isto aconteça. Obtenha a dlstnbUlção de X.
(Observe que. neste problema, pelo menos teoricamente. X pode assumir um nume·
ro infinito de valores.)
... Uma moeda perfeita ê lançada 4 vezes. Seja Yo número de caras obtidas. Obtenha·
a distribuição de Y.
5. Repita o problema anterior. considerando agora que a moeda é viciada, sendo a pro­
babilidade de cara dada por p, O < P < I, P =F 1/2.
<i Generalize o problema S. para n lançamentos da moeda.
5.3. VALOR ESPERADO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA.
Exemplo 5.5. Uma pergunta que logo ocorreria ao empresário do
exemplo 5.1 é qual o lucro médio por conjunto montado que ele espera
conseguir. Da Tabela
5.3, observamos que 56% das montagens devem
produzir
um lucro de
15 unidades, 23% um lucro de 10 unidades, e a ssim
por diante. Logo, o lucro esperado por montagem será dado por:
. .
lucro mCd;o ~ (0,56)(15) + (0,23) (10) + (0,02)(5) + (0,19) (-5) ~ 9,85.
Isto ê, caso sejam verdadeiras as suposições feitas para determinar a
distribuição
da v.a., o empresário espera ter um lucro de 9,85 unidades
por conjunto montado.
Da notação introduzida, obtemos a seguinte
expressão para a
media
da v.a. discreta X:
'Ep,x, ~ 'Ep(x,)x,.
105

Esta expressão é muito semelhante àquela para a média introduzida no
Capítulo I, onde
Média (X)
~ 'f./;x,.
A distinção que fazemos entre p;, a probabilidade da v.a. X assumir
o valor
Xi'
ef" a freqüência relativa do resultado Xi. é que a primeira COr.
responde a yalores obtidos de um modelo teór'co p.l.e.smw:.Osto e a se­
gunda corresponde a freqüências o servadas da variável. Desde que
Pi e j; têm a mesma interpretação, todas as medidas e gráficos discuti.
dos no segundo capítu
lo, 'baseados na distribuição
j;, possuem um cor.
respondente na distribuição Pio Vamos definir os dois mais importantes:
Definição.
Dada a variável aleatória discreta X, assumindo os va.
lares
Xl'
"', X~, chamamos valor médio ou esperança matemática de X
ao valor .
"
E(X) ~ I x,p,. (5.1)
Chamamos variância de X ao valor
"
Va,(X) ~ I Ix, -E(X)J'p" (5.2)
e de desvio padrão de X a
DP(X) ~ JVa,(X).
Exemplo 5.6. Deixamos a cargo do leitor verificar que, no caso do
problema do empresário, teremos:
-t 106
(i) Va,(X) ~ 57,23;
(ii) DP(X) ~ 7,57;
(iii) gráfico de (x,p(x»: Figura 5.7.
Fig, 5,7
plx)
0,60
0,50
0.40
0,30
• 0.20
0,10
5 5
•
•
'0
15 x
5,4. ALGUM~S PROPRIEDADES DA ESPERANÇA
MATEMATICA
Exemplo 5.7. Suponhamos que todos os preços determinados pelo empresário estivessem errados. Na realidade, todos os valores deveriam
ser duplicados, isto é, custos e preços de venda. Isto corresponde à. trans­
formação Z = 2X. A fp· fl.z) da v.a. Z será a mesma da v.a. X, pOiS cada
valor
de X irá corresponder a um único valor de
Z. Na Tabela 5.7, temos
a distribuição
da v.a.
Z.
TABELA 5.7 -Distribuição da variável aleatória Z = 2X.
x z = 2x p(z) ~ p(x) z • p(z)
15 30 0.56 16,80
10 20 0,23 4,60
5 10 0,02 0,20
-5 -10 0,19 -1,90
TOTAL - 1,00 19,70
.
Fonte: Tabela 5.3
A esperança da v.a. Z será
, "
E(Z) ~ 'f.zJ1(z,) ~ 'f.(2x,) p(x,) ~ 19,70.
Suponhamos agora que queremos a distribuição da v.a. W=~.
Baseado na Tabela 5.3, obtemos a Tabela 5.8.
TABELA 5.8 -"Distribuição da variável aleatória W= XZ.
w p(w) w • p(w)
225 0,56 126,00
100 0,23 23,00
25 0,21 5,25
TOTAL 1,00 154,25
Fonte: Tabela 5.3
107

,
I :
Observe que o evento W=25 ocorre quando X=5 ou x= -5;
portanto P(W = 25) = P(X = 5 ou X = -5). A esperança de W é
E(w) ~ LW ,p(H ',)~ (225) (0,56)+ (100) (0.23) + (25) (0,21) ~
~ (225) (0,56)+ (100) (0,23)+ :(25) (0,02)+ (25) (0,19): ~
~ LX!p(X,) ~ 154,25.
Das esperanças de Z e W, transformados de X, é fácil verificar que
as m
esmas sempre podem ser escritas através da fp. de
X. <J
Definição. Dada a v.a. discreta X e a respectiva função de proba­
bilidade p(x), chamamos de esperança matemática da função h(X) ao
valor
E[h(X]]
~ Lh(x,)p(x;).
Propriedades: (veja problema 42)
(i) Se h(X) = aX + h, entào
E(aX + b) ~ aE(X] + b
(ii) Var(X] ~ E(X') -E'(X] ~
~ LX! p(x,) -[LX,p(X,)I'.
(5.5) é a fónnula operacional para cálculo da variância.
(5.3)
(5.4)
(5.5)
Exemplo 5.8. Usando os resultados dos exemplos 5.5 e 5.7, obtemos
Var(X] ~ 154,25 -(9,85)' ~ 57,23.
Observação: Também usaremos os seguintes símbo los para indicar
a esperança e variância de uma variável aleatória X:
e
E(X] ~ p(X],
Var(X] ~ .'(X],
ou, simplesmente, JJ e a
2
, respectivamente, se nào houver perigo de con.
rusào.
5,5. FUNÇÃO DE DISTRIBUiÇÃO ACUMULADA
Do mesmo modo que fizemos no primeiro capítulo, aqui também
usaremos a seguinte definição.
108
Definição. Dada a variável aleatória X, chamaremos de função de
'b . a·o acumulada ([d.a.) ou simplesmente, função de distribuição
dislrl II/Ç _ '
if-d.) F(x) a funçao
F(x) ~ P(X. " x).
Observe que o domínio de F ê todo o conjunto rcal.
Exemplo 5.9. Voltando ao problema do empresário e usa ndo a fp·
de X definida na Tabela 5.3, jl fd.a. de X sera dada por
°
se x < -5
0,19. se -5 ~ x < 5
F(x) ~ 0,21, se 5~x< 10
0,44, se 10 ~ x < 15
1.00, se 15 ~ x
cujo grafico sera um~ ~ função em escada, ilustrado na Figura 5.8.
-5
F(x)
1,0
o .•
0.6
0,4
5
Fig. 5.8
I
,
,
,
,
.. ,---1
10 15
,
Observar que P(X = x;) é igual ao salto que a função F(x) da em Xi; por
exemplo, P(X ~ 10) ~ 0,23 ~ F(lO) -F(IO-). De modo geral, P(X ~ Xi) ~
~ F(Xi) -F(Xi -).'
• F(x-) = lim F(y) (ver Ctilculo-FUllçôes de uma Variável. Capítulo 5).
y-~-
109

PROBLEMAS
7. No problema I, obtenha a distribuição das v.a. 3X e X
2
,
8. Considere o lançamento de três moedas. Se ocorre o evento cec, dizemos que ternCll
uma sl'quencia. ao passo que se ocorre o evento CRC temos Irês seqüências. Defina
a v.a. X = numero de caras obtidas c Y = numero de seqüencia s, isto para cada resul.
tado possível. Assim. X(CRR) = 1 e Y(CRR) = 2. Obtenha as distribuições de X e y
Calcule E(X). E(y). Var{.\') e VarO,). '
9. Suponha que a v.a. V tem a distribuição seguinte:
pouplldo. P or exemplo, se ele proccssu a peça em 4 minutos, recebe li quantia adicional
de 1.00 lI.m.
Ib) Encontre:t distribuição. a media e a variância da v.a. G: quantia em u.m. ganha
por peça.
16. Sabe-se que a lI.a. X assume os valores I. 2 e 3 e que sua [d.a. F{x) é tal que
F(I) -F(I-) = 1(3.
1"(2) -F(2-):=o l/tí,
1'(3) -F{3-) = 1/2.
Obter a distribuição de X, a ld.a. F(x) e os graficos respectivos.
, o 17. Obter a 1d.1l· F(I) da ~.a. T do problema IS.
p 11 1 -q
Obtenha E(V) e Var{V).
10. Seja X com distribuição dada ao lado: cal­
cule E{X). Considere a v.a. (X -al
l
• e cal­
cule E(X -a)l para li = O. 1/4. 1/2. 3/4. 1.
Obtenha o grAfito de E{X-a)z=gial. Para
qual ~alor de a. g(a) é mínimo'!
,
p(x)
O t 2
t/2 ti' ti'
(""j'"D Um vended or de equipamento pesado pode visitar. num dia, um ou d-;;is clientes, com
~' probabilidade de 1/3 ou 2/3. respectivamente. De cada contato, pode resultar a ~enda
de um equipamento por 50.000 (com probabilidade l/lO) ou nenhuma venda (Com
probabilidade 9/ 10). Indicando por Yo valor total de vendas diárias deste vendedor,
escreva a função de probabilidade de Y e calcule o valor total esperado de vendas diárias.
12. Calcule a média e a variância da v.a. Y derinida no problcma 4.
I . Obter a Id.ll. para a v.a. V do problema 9. Faça seu gráfico.
14. Calcule a ld.a. da v.a. Y do problema 8 e faç'd seu gráfico.
15. O tempo T, em minutos, necessârio para um operario processar certa peça. e uma
v.a. com li seguinte distribuição de probabilidade:
110
T 23456 7
p 0,1 0,1 0,3 0.2 0.2 0,1
(a) Calcule o tempo médio de processamento.
Para cada peça processada, o operaria ganha um fixo de 2,00 u.m. (unidade monetaria).
mas se ele processa a peça em menos de 6 minutos. ganhll 0.50 u.m. por tllda minuto
5.6. ALGUNS MODELOS PROBABILíSTICOS PARA
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Algumas variâveis aleatórias adaplam-se muito bem a uma sene
de
problemas práticos e aparecem com bastante freqüência.
Portanto,
um estudo pormenorizado das mesmas facilita bastante a construção
das correspondentes funções de probabilidade s, bem como a determina.
ção dos seus principais parâmetros. Também exislem tabelas construídas
que fornecem as f.p. para esses modelos em função de seus parâmetros.
A
ssim, para um dado problema. tentamos
verificar se ele satisfaz às Con­
dições dos modelos conhecidos, pois isso facilitaria muito o nosso tra·
balhQ. Nesta seção, iremos estudar alguns desses modelos. procurando
enfatizar as condições
em que el es aparecem, sua função de
probabili·
dade, parâmetros, e como encontrar probabilidade s.
5.6.1. Distribuição Uniforme Discreta
Este é o caso mais simpl es de v.a. discreta, onde cada possível valor
ocorre com a mesma probabilidade. .
Definição. A variâvel aleatória discreta
X, assumindo os valores
.'(L, Xl, "', Xk, tem dislribuiçtJo Ullifarme se, e só se,
I
P(X ~ x;) ~ p(x;) ~ p ~ k.
para todo i= 1,2, ... ,k.
(5.6)
111

Daqui é fácil verificar que
1 •
E(X) ~ ~ L x"
k ;=1
Va,(X) ~ H~xi -(~:;)'},
e que a função de distribuição acumulada será
!
F(x) ~ L ~ _ a(x)
(x,'Sx) k -k '
onde n(x) é o número de Xi:S;; x. (Figura 5.9).
p(x)
1/k • • • •
'k
a) Funçlo de probabilidade'
F(x)
1,0
r­
..... -----?9
i
21k ri
, ,
,
1/k t---i
,
,
'k
b) Funçilo de distribuição
Fig. 5.9
Exemplo 5.10. Seja X = número de pontos marcados na face supe­
rior de um dado; obtemos:
x 2 3 4 5 6 TOlal
p(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 /6 1,0
E(X) ~ + (1 + 2 + .' .. + 6) ~ 2~ ~ 3,5
Va,(X) ~ +{(l + 4 + ... + 36) -(22'} ~ 3i ~ 17,5.
112
6
2 Distribuição
de
Bernoulli --L.
6 ...
Muitos experimentos sào tais que os resultados possíveis apresentam
OU n
ão uma determinada característica.
I) Uma moeda é lançada: o resultado ou é "cara", ou não é;
b Um dado é lançado: ou ocorre face 5, ou não (ocorrendo, então,
uma das faces I, 2, 3, 4 ou 6);
(3) Uma peça é escolhida, ao acaso, de um lote contendo 500 peças:
esta peça é defeituosa ou não;
(4) Uma pessoa. escolhida, ao acaso, dentre 1.000 pessoas, é ou não do
sexo mascuhno;
(5)
Uma pessoa é escolhida, ao acaso, entre os moradores de uma cidade,
e pergunta-se se ela diz SIM ou NÃO a um projeto governamental.
Em todos esses casos, estamos interessados na ocorrência de um
sucesso (ocorrência de cara, face 5, peça defeituosa, etc.) ou fracasso
(ocorrência de coroa, face diferente de 5, peça boa, etc.). Esta termino­
logia será usada freqüentemente.
Para cada experimento acima, podemos definir uma variável X
que assume apenas dois valores: o valor I, se ocorre sucesso, e o valor
O, se ocorre fracasso. Indicaremos por p a probabilidade de sucesso, isto
é p (sucesso) ~P(S)~p , O<p< 1. ,
Definição. A variável aleatória X, que assume apenas os valores O
e I com a função de probabilidade,
x o Total
p(x) 1 -p P
é chamada variável aleatória de Bernoulli.
Então,
•
E(X) ~ p
Va,(X) ~ p -p' ~ p(l -p)
{
O, se x < O·
F(x) = I -p, se O:s;; x <
I, se x ~ l.
113

ri
11.
, '.
: I~ _
F(x)
F{x)
,
,
,
,
p •
,
,
,
,
1 -p 1 -p
/
O ,
O ,
la) (b)
Fig. 5.10
Exemplo 5.11. Vamos s upor o caso do experimento (2), onde lan_
çamos o dado e verificamos ou não a ocofFência de face 5. Supondo
o dado perfeito, teremos:
Logo,
e
x
°
I .
p(x) 5/6 1/6
Elx) ~.!.. -
6
TOlal
I 5 5
Va'lX) ~ 6' -6' ~ 36'
Observação: Experimentos que resultam numa variável aleatória de
Bernoulli sào chamados ensaios de Bernoulli.
5.6.3. Distribuição Binomial
Imagine agora que repetimos um ensaio de Bernoulli n vezes, ou, I­
como se diz também, obtemos uma amostra de tamanho n de uma dis­
tribuição de Bernoulli. Suponha ainda que as repetições sejam indepen­
dentes, isto é, o resultado de Um ensaio não tem influência nenhuma
no resultado de qualquer
outro ensaio.
Uma· amostra particular será cons­
tituída de uma seqüência de sucessos e fracassos, ou, se quisennos, de
11.
s e zeros. Por exemplo, repetindo um ensaio de Bernoulli 5 vezes (fi = 5),
un particular resultado pode ser FSSFS ou a quintupla ordenada (O, I,
ua;, I). Usando a notação de 5.6.2, onde P(S) = p, a probabilidade de
I, • ,
UJTla tal amostra sera:
(l_p)_p_p_(I_p)_p~pJ_II_p)'.
O número de sucessos nesta amostra é igual a 3, sendo 2 o número
de fracassos.
Consideremos agora as seguintes situações, obtidas de (1) -(5) da
seção 5.6.2.
(I') Uma moeda é lançad;_ tr.§s ve~s; qual é a probabilidade de se obter
duas caras? ;" , )i '" •
(2') Um dado é l~n~do c~nco vezes; qual é a probabilidade de se obter
faCC 5 no maxlmo tres vezes?
(3') Dez peças são extraidas, ao acaso, com reposição, de um lote con­
tendo 500 peças; qual a probabilidade de que todas sejam defeituo­
sas, sabendo-se que 10% das peças do lote são defeituosas?
(4') Qual a probabilidade de que, dentre cinco pessoas escolhidas ao acaso
entre 1.000 pessoas, duas sejam do sexo masculino?
(5') Sabe-se que 90"1u das pessoas de uma cidade são favoráveis a um
projeto governamental. Escolhendo-se 100 pessoas ao acaso entre
os moradores, qual a probabilidade de que pelo
menos
80 sejam
favoráveis ao projeto?
Observe que, nos casos (4') e (5'), o fato de estannos extraindo in­
divíduos dê um conjunto muito grande implica que podemos supor que
as extrações sejam praticamente independentes.
Exemplo 5./2. Consideremos a situação (1'), supondo-se que a moe­
da é "honesta", isto é, P (sucesso) = P (cara) = 1/2. Indiquemos suces­
so (cara) por S e fracasso (coroa) por F. Então, estamos interessados
na probabilidade do evento
l' lp· l
A ~ {SSF, ' SFS, FSS), .i 1.
ou, em tennos da notação anterior, na probabilida~ de A = {(l, I, O),
(1,0, I), (O, I, In. É claro que P(A)~ PISSf) + P(SFS) + PIFSS), e de·
vida à independência dos ensaios
I I I I
P(SSf)
~
-x -x -~ -~ P(SFS) ~ P(FSS)'
2 2 28'
115
I
I
•

portanto,
3
P(A) ~ 8'
Se P(S)~p , O<p< I, e se P(F)~q~ I-p, enlão
P(SSF) ~ p p q ~ p' • q ~ P(SFS) ~ P(FSS),
de modo que
P(A) ~ 3p'q.
I
Uma característica importante dos experimentos considerados é qUe
estamos in~eressados apenas no número lotaI de sucessos e não na ordem
em que eles ocorreram. Podemos construir a Tabela 5.9 para n = 3 lan.
çamentosda moeda com P(S) = p,P(F) = q = I -p,a partir da Figura 5.11.
_________ p3
, S
, S
•
F _________ p2q
S , S
_________ p2q
• ,
F
•
F _________ pq2
_________ p2q
, S
, S •
•
F _________ pq2
F
S
_________ pq2
,
•
F
• F _________ q3
Fig. 5.11
11.
TABELA 5 .9 -Probabilidades binomiais para n = 3 e P(S) = p.
Número de Sucessos Probabilidades
o q'
2
3 p'
Fonte: Figura 5. 11
I
p~-
2
I
8
3
8
3
8
I
8
Vamos designar por X o número total de sucessos em n ensaios de
Bemoulli.
Os possíveis valores de
X são O, 1,2, ... , n e os pares (x, p(x»,
onde p(x) = P(X = x), constituem a ch amada distribuição binomial.
Para o exemplo (I ') acima, n = 3 e p = 1/2, obtemos a distribuição
dada pela primeira e terceira colunas da Tabela 5.9 e o gráfico da Fi­
gura 5.12.
3/8 • •
2/8
1/8 •
o 2 3
,
Fig. 5.12

Obtenhamos agora P(X = k), ou seja, em uma seqüência de n en.
saias de Bernoulli, a probabilidade de obter k sucessos (e portanto n -k
fracassos); k=O I, ... ,n, com P(X)=p, P(F)=q= I-p. Uma' pani.
cular seqüência é
sss ... S FF ... F, I
k n -k
e a probabilidade de tal seqüêncIa é
pk • (I _ py-k = l . q~-k,
(5.1)
devido à independência dos ensaios. Mas qualquer seqüência com k su­
cessos e n -k fracassos terá a mesma probabilidade (5.7). Portanto, resta
saber quantas seqüências
com k sucessos e n -k fracassos podemos
for_
mar. É fácil ver que existem
(
n) n!
k ~ k! (n -k)!
tais seqüências, de modo que
P(X ~ k) ~ (~)p' . q'-', (5.8)
k = O, I, 2, ... , n. As probabilidades (5.8) também são indicadas por
b(k: n, p), e quando X tem distribuição binomial com os parâmetros n
e p escrevemos X: b(n,p).
Exemplo
5./3. Vamos considerar agora a situação (3') acima. Aqui
temos
n =
10 ensaios de Bernoulli, cada um com P(S) = P (peça defei­
tuosa) = p = 0,1. Se X indica o número de peças defeituosas na amostra,
queremos calcul
ar a P(X = 10) = b (10: 10,
l~)-Por (5.8),
(
10)(1)"(9)' (I)" I P(X ~ 10) ~ 10 10 Tõ ~ Tõ ~ 10'"
Teorema 5.1. A esperança e variância de uma variável aleatór ia
X: b(n, p) são dadas, respectivamente, por
118
E(X) ~ np,
Var(X) = npq.
(5.9)
(5.10)
Prova. Veja problema 39 e seções 7.3 e 7.4.
Para o exemplo
5.13,
E(X)~ 10 x I~~ I,
Va,(X) ~ 10 x ~ x ~ ~ ~.
10 10 10
As probabilidades binomiais b(k : n, p) são dadas por tabelas para
valores difert;ntes de
n e p. A Tábua I do Apêndice A fornece estas
pro­
babilidades para valores de n=2, ... , 19 e p=0,05; 0,10; 0 ,20; 0,25;
0,.10; 0,40; 0,50; 0,60; 0,70; 0,80; 0,90; 0,95.
Exemplo 5.14. Usando (5.8) e a Tábua I obtemos
b(17: 20; 0,9) ~ G~) (0,9)" (0,1)' ~ 0,19.
No Capítulo 6, veremos uma maneira de aproximar as probabili­
dades binomiais para n grande.,
Para finalizar, vamos formalizar alguns conceitos desenvolvid os
nesta seção.
Definição. Chama-se de experimento binomial ao experimento
(i) que consiste em n ensaios de Bemoulti;
(ii) cujos ensaios são independentes e
(iii) a probabilidade de sucesso em cada ensaio é sempre igual a p.
Definição. A variável aleatória X, correspondente ao número de
sucessos num experimento binomial, tem distribuição binomial b{n, p),
cuja função de probabilidade é
b(k: n,p) ~ P(X ~ k I n,p) ~ (;)p·q·-·,
k=O, 1, ... , n.
5.6.4. Distribuição Hipergeométrica
Esta distribuição é adequada quando consideramos extraqõcs casuais
leitas, sem reposição, de uma população dividida segundo dois atributos.
Para ilustrar, considere uma população de N objetos, r dos quais têm
119

o atributo A, e N -r têm o'atributo B. Um grupo de n elementos é es.
colhido ao acaso,
sem reposição. Estamos interessados em calcular a
probabilidade de que este grupo contenha
k elementos com o
atribu_
to A. Pode-se mostrar que esta probabilidade é dada por
onde O:s:; k:s:; min (r, n).
I
(5.11)
Os pares (k, P.) constituem a distribuição hipergeométrica de proba.
bilidades. Se definirmos a v.a. X igual ao número de elementos na amos.
tra que têm o atributo
A. então
P(X = k) = P •.
Exemplo 5.15. Em problemas de controle de qualidade, lot es COm
N elementos sào examinados. O número de elementos com defeito (atri­
buto A), r, é desconhecido. Colhemos uma amostra de n elementos, e
determinamos k. Somente para ilustrar, suponha que, num lote
de N =
100
peças, r = 10 sejam defeituosas. Escolhendo-se n = 5 peças sem reposição,
a probabilidade de não se obter peças defeituosas ~
Po = '" 0,584,
enquanto que a probabi.lidade de se obter pelo menos uma defeituosa é
PI + P2 + ... + Ps = I -Po;:;: 0,426.
Pode ser demonstrado que a v.a. X definida ac ima tem esperança
e variância dadas por
E(X)
~ np,
N -n
Var(X)
~ np (I -p) ,
N-I
(5.12)
(5.13)
respectivamente, onde p = ~ é a probabilidade de se obter uma peça
defeituosa em uma única extração. Se N é grande quando comparado
com
n, então, extrações com ou sem reposição serão praticamente
equi­
valentes, de modo que as probabilidades dadas por (5.11) serão apro-
120
'madamente iguais as dadas pela fórmula (5.8), isto é. Pk;: b(k: 11, p).
Xl esmO modo, os resultados (5.12) e (5.13) serào aproximadamente
Do In d d' 'b' -b' . I
. . aoS valores correspondentes a lstn Ulçao Inomla.
IguaiS
5.6.5. Distribuição de Poisson
.;.
A Tábua I fornece valores de b(k : n, p) para n = 1,2, ... , 19. Para n
grande e P pequeno, podemos aproximar as probabilidades b{k: n,p) por
k~O, 1,2,3, ....
e- ~P . (np)k
k!
(5.14)
As probabiltdades (5.14), juntamente com os valores k = O, I, 2, .. ,
constituem a chamada
distribuição de
Poisson, tabelada na Tabua 11 do
Apêndice A, para alguns valores de o: = np. A aproximação
b(k' n p) '" e-o, , (np)'
. , k!
(5.15)
é boa se n é bastante grande e p pequeno, e de tal sorte que np:s:; 7.
Exemplo 5.16. Consideremos aproximar b(2: 1.000, 0,0001), usando
(5.15). Temos que np ~ (1.000) (0,0001) ~ 0,1. logo,
e-o.! . (0,1)2
b(k,n,p)'" 2! ~ O,OO~.
Observemos que as probabilidades (5.14) existem para qualquer k
inteiro não negativo. Contudo, observando a Tábua 11, vemos que estas
probabilidades deca
em à medida que k cresce e, normalmente, sào
des­
prezíveis para k maior do que 5 ou 6.
A distribuição de Poisson é largamente empregada quando se de­
seja contar o número de eventos de um certo tipo, que ocorrem em um
intervalo de tempo, ou superficie, ou volume. Dado o fato exposto acima,
esta distribuição é chamada distribuição de eventos raros, tais como:
(a) número de chamadas telefônicas recebidas por um PBX durante um
intervalo pequeno de tempo;
(b) número de falhas de um computador em um dia de operação;
(c) número de relatórios de acidentes enviados a uma companhia de se­
guros em uma 'semana.
121

De modo geral, dizemos que a v.a. X tem uma distribuição de POisSOn
com parâmetro À > O se
P(X~ k) ~ e-~:.l· k ~ 0,1,2, .... (5.16)
É fáciJ ver que E(X):= Var(X) =). (ver problema 44); logo, J r9Pre_
senta o número médio de tais eventos ocorrendo no intervalo consIderado.
Exemplo 5.17. Um PBX recebe uma média de 5 chamadas por mi­
nuto. Supondo que as chamadas que chegam constituam uma distribui_
ção de Poisson, obter a probabilidade de que o PBX nào receba chama_
das durante um intervalo de um minuto.
Segue-se que
). = 5 chamadas por minuto e
5° -e-
j
P(X ~ O) ~ O! ~ e-' ~ 0,0067.
Por outro lado, se queremos a probabilidade de se obter no máximo
2 chamadas
em 4 minutos,
temos). = 20 chamadas em 4 minutos, logo,
P(X<;2) ~ P(X~O) + P(X~ I) + P(X~2) ~
= e-ZO + 20 _e-zo + 200 _e-zo = e-z0(l + 20+ 2(0) =
= 221 ·e-20.::.: O.
PROBLEMAS
18. Para os exercícios de I a 5 abaixo, considere o enunciado:
Das variàveis abaixo descritas. assinale quais são binomiais, e para estas dê 05 res­
pectivos campos de definição e função de probabilidadc. Quando julgar que a variá­
vel não é binomial, aponte as razões de sua conclusão.
I. De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, com reposição, cinco
bolas. X ê o número de bolas brancas nas 5 extrações.
2. Refaça o problcma anterior, mas desta vez as n extrações sào sem Tfposiçiio,
3. De 5 urnas com bolas pretas e brancas, vamos extrair de cada uma delas uma bola.
Suponha que X c o número de bolas brancas obtidas no final.
4. Vamos realizar uma pesquisa em 10 cidades brasileiras, escolhendo ao acaso um
habitante de cada uma delas, e classificando-o em pró ou contra um certo projeto
federal. Suponha que X é o número de individuos "contra o projeto" no final da
pesquisa.
122
Em uma indústria existem 100 máquinas que fabricam determinada ptÇã. Cada
5. peça c classificada como sendo boa ou defeituosa. Escolhemos ao acaso um ins­
tante de tempo, e verificamos uma peça de cada uma das maquinas. Suponha que
X seja o número de peças defeituosas.
19. Se X: b(n, p). sabendo-se que E(Xl = 12 e !Jl = 3, determinar:
(r) E(Z) e Var(Z), onde Z=(X-12)jj'f
(j) P(Y~ 14/16), onde Y=X/n
(a) n
Ih) P
(e) P(X < 12)
(i/) P{X;;" 14)
(g) P( Y;;.. 12/16), onde Y::= Xjn
21-Numa central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição
de poisson, com a mêdia de 8 chamadas por minuto. Determinar qual a probabili.
dade de que num minuto
se tenha:
(a)
!O ou mais chamadas:
(h) menos d~ que.9 chamadas; .
(e) entre 7 (mcluslVe) e 9 (exclustve)j
:11, Em um cerlO tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de 1
por 2.000 pés. Qual a prObabilidade de que um rolo com 2.000 pês de fita magnética
lenha:
(a) nenhum corte'!
(b) no máximo dois cortes'!
(e) pelo menos dois
cortes'!
Z1 Suponha que a proba ~i1ida de de que um item produzido por uma máquina seja de­
feituoso é de 0.2. Se 10 itens produzidos por esta maquina são selecionados ao acaso,
qual é a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado'! Use
a binomial e a
distribuição de
Poisson, e compare os resultados.
13. Examinaram-se 2.000 ninhadas de 5 porcos cada uma, segun do o número de machos.
Os dados estão representados na tabela abaixo.
(a) Calcule a proporção média de f.!Pchos.
Ih) Calcule, parã C'ãda valor de X, o' número
de ninhadas que você deve esperar se
X:b(5,p), onde p é a proporção média
de machos calculada em (a).
N." de Mach(Js
O ,
'.
2 "
3
,
4 •
5
TOTAL
N." de Ninhadas
20
360
700
680
200
40
2.000
l4. Se X tem distribuição binomial com parâmetros n = 5 e p = 1{2, faça os gráficos da
distribuiçâo de X e da [d.a. F(x). .
123

25. Considere. agora, /I = 5 e p = 1/4. Obtenha o gráfico da distribuiçào de X. Qual a di.
ferença entre este gráfico e o correspondente do problema 24'10 que oc4sionou a di.
ferença '!
26. Refaça o problema 24, com 11 = 6 e p = 1/2.
I
PROBLEMAS E COMPLEMENTOS
27. Um florista faz estoque de uma flor de curta duração que lhe custa 0,50 u.m. (unidade
monetária) e que ele vende a 1,50 u.m. no prim eiro dia em que a flor está na loja. T orla
flor que n ão é vendida nesse primeiro dia nào serve mais e éjogada fora. Seja X a variável
aleatória que denota o numero de flores que os fregueses compram em um dia casual"
mente escolhido. O florista descobriu que a função de probabilidade de X é dada pela
tabela abaixo.
28.
N.
Quantas flores deveria o florista ter em es­
toque a fim de maximizar a média (valor
esperado) do seu lucro?
x
p(x)
O 2 J
0:1 0,4 0 ,3 0,2
As cinco primeiras repetições de um experimento custam 10,00 u.m. cada. Todas as
repetições subseqüentes custam 5,00 u.m. cada. Suponha que o experimen to seja re­
petido até que o primeiro sucesso ocorra. Se a probabilidade de sucesso de uma re­
petição ê igual a 0,9, e se as repetições são independentes, qual ê o custo esperado da
operação?
Na manufatura de certo artigo, ê sabido que I entre 10 dos artigO'S ê defeituoso. Qual
a probabilidade
de que uma amostra casual de tamanho 4 contenha:
(a) nenhum defeituoso?
"
(b) entamente um defeituoso?
(e) exatamente dois defeituosos?
(a) não mais do que dois defeituosos?
30.
Um fabricante de peças de automóveis garante que uma caixa de suas peças conterá.
no
máximo, 2 defeituosas. Se a caixa contém 18 peças, e a experiência tem demons­
trado que esse processo de Fabricação produz 5% das peças defeituosas. qual a pnr
babilidade de que uma caixa satisfaça a garantia '!
31, Certo curso de treinamento aumenta a produtividade de uma certa população de fun­
cionários em 80~ .. dos casos. Se 10 funcionários quaisquer participam deste curso.
encontre a probabilidade
de:
(a) enlamenle 7 funcionários aumentarem a produtividade:
(b) não mais do que 8 funcionários aumentarem a produtividade:
k) pelo menos 3 funcionários nào aumentarem a produt ividade.
'24
r
I
I
I
"-I baixo X significa numero de filhos homens em familias com 12 filhos.
J1 Na ta""a a , ..'" d .
. calcule para cada valor da variavel o numero de famlhas que voce evena eSperar
se X: b(12; 0,5).
X N.O Obserl"ado d, Familias
O 6
I 29
2 160
J 521
4 1.198
5 1.921
6 2.360
7 2.033
,
1.398
9 799
10 ",
11 60
12 7
TOTAL 10.690
Você acha que o modelo binomial e razoável para explicar o fenômeno?
33. O numero de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segund~ .uma
distribuição de Poisson. com À = 2. As atuais instalaçõe.s podem anle~der,.no maXlmo,
a 3 petroleiros por dia. Se mais de 3 aportarem num dIa, o excesso e enVIado a outro
porto.
(a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros
p~~a outro porto'!
(b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permItIr atender a todos
os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias?
(e) Qual o número mêdio de petroleiros que chegam por dia?
te-I = 0,135]
34. Houve uma denuncia por parte dos operários
de uma indústria de que, toda a vez que ocor­
ria um acidente em uma seção da indústria,
ocorriam outrO'S em outras seções .mais ou
menos no mesmo horário.
Em outras
pala­
vras, os acidentes não estavam ocorrendo ao
acaso. Para verificar esta hipótese, foi Feita
uma contagem do número de acidentes por
hora durante um certo número de dias (24
horas por dia). Os resultados da pesquisa es­
tão ao lado.
N.O de Acidentes
por Hora
O
2
]
4
5
6
7
,
N.0 de Horas
200
152
60
JO
13
9
7
5
4
125

(a) Calcule o número médio de acidentes por hora nesta amostra.
(b) Se o número de acidentes por hora seguisse uma distribuição de Poisson, ç~m média
igual à que você calculou, qual seria o número esperado de dias (:Om O. 1,2, .. etc.
addentes?
(e) Os dados revelam que a suspeita dos operários e verdadeira?
35. Determinado tipo de parafuso e vendido em caixas com 1.000 peças. É uma caraç.
teristica da fabricação produzir 10% defeituosos. Norma lmente, cada caixa é vendida
por 13,50 u.m. Um comprador faz a seguinte proposta: de cada caixa, ele es<:olhe urna
amostra de 20 peças; se a caixa tiver ° defeituoso, ele paga 20 .00 u.m.; I ou 2 defeituoso~
ele paga 10.00 u.m.; ] ou mais defeituosos, ele paga 8.00 u.m. Qual alternativa e a mai~
vantajosa para o fabricante'! (Justificar estatisticamente.)
36. Uma certa região norestal foi dividida em 109 quadrados para estudar a distribuição
de Primula Simenses Se/l'agem. A priori. supomos que este tipo distribua-se aleatoria.
mente na região. O quadro abaixo indica o número de quadrados com X Primu/a Si.
nenses: o número médio de plantas por quadrado foi de 2.2.
(a) Se as plantas realmente se distribuem ale·
atoriamente na região. qual a probabili.
dade de encontrarmos
pelo menos 2
Pri­
mula.~·!
[b) Dê as freqüências esperadas para os va­
Iares de X=O, X=l e X=2.
(e) Apenas comparando os resultados de (b)
com as freqiiências observadas. qual a
condusão a que você chegaria '!
(d) Quais as causas que você daria para a
condusão"!
XPllmla.i
p/
Qu(1(lrado
O 1
2
3
4
S
6
7
8
acima de 8
N.a
de Quadrados
com X Planlas
26
21
2)
14
11
4
S
4
1
O
]7. Uma fábrica produz válvulas. das quais 20% são defeituosas. As válvulas são vendidas
em caixas com la peças. Se a caixa nào tiver nenhuma defeituosa. seu preço de venda
é 10,00 u.m.; tendo uma. o preço ê: 8.00 u.m.; duas ou tres, o preço e 6.00 u.m.; mais
do que tres, o preço é 2,00 u.m. Qual o preço médio de uma caixa '!
]8. Um industrial fabrica peças, das quais 1/5 são defeituosas. Dois compradores. A e 8,
c
lassificaram as partidas adquiridas em categorias I e 11, pagando
1,20 u.m. e 0,80 u.m.
respectivamente do seguinte modo:
Comprad or A: retira uma amostra de 5 peças; se encontrar mais que uma defeituosa,
classifica como 11.
Comprador B: retira amostra de la peças; se encontrar mais que 2 defeituosas, clas­
sifica como 11.
Em média. qual çomprad or oferece maior lucro '!
'26
Se X:b(n,p), prove que f(X)=np e Var(X)=npq.
11· ,Sugestão: calcule f(X) e Var(X) para n= 1, 2, ... ,etç.1
Aceitação de um lole- Suponha que um comprad or queira decidir se vai aceitar ou
... não um lote de itens. Para isso. ele retira uma mostra de tamanho n do lote, e conta
numero x de defeituosos. Se x ~a, o lote e aceito, e se x > a, o lote e rejeitado; o nu­
~ro a e fixado pelo comprador. Suponha que n = 19 e a = 2. Use a Tábua J a fim
de encontrar a probabilidade de aceitar o lote. ou seja, P(X ~2) para as seguint es pro­
porções de defeituosos no lote:
(a) p "" 0,10 (b) P = 0,20 (e) p = 0,05
.1. Prove que. quando n .... 00 e p .... O, mas de tal sorte que np = À., temos
e-~ . ).~
-p).--.... -k-'- (difici1!).
ISugestão: Use os fatos:
" n -). (1 ')" ., P =~ , -p = --o -- .... e
" " "
quando n .... 00.1
4 Suponha que X é uma v.a. discreta, com f.p.
(a) P(X ser par) (b) P(X ~ 3)
p(x)=r ~ . x=1.2.] ..... Calcule:
(e) P(X > 10)
O. Prove (5.4) e (55).
..... Prove que E(X) = Var(X) = À., se a P(X = k) e dada por (5.16).
45. Prove a relação (5.1 I).
... Num teste tipo certo-errado, com 50 questões, qual é a probabilidade de que um alu­
nO acerte 80";'; das questões, supondo que ele as responde ao acaso?
~ , Repita o problema 46, considerando cinco alternativas para cada questão.
<li. Em um experimento binomial com 3 provas, a probabilidade de exatamente 2 suces­
sos é 12 vezes a probabilidade de 3 sucessos. Encontre p.
49. No sistema abaixo. cada componente tem probabilidade p de funcionar. Supondo
independência de funcionamento dos componentes. qual a probabilidade de:
(a) o sistema funcionar '!
(h) o sistema não funcionar?
-----@----®--. _. -----G-
(r) exatamente dois componentes Funcionarem '!
(ti) pelo menos cinco componentes funcionarem"!
50. Prove que
(n -k)p
b(k + 1: fI,p) = (k + 1)(1 p) ·b(k; n,p).
'27

CAPíTULC9 6
Variáveis aleatórias contínuas
-
6.1. INTRODUÇÃO
Vejamos agora co mo criar modelos probabilísticos teóricos para
variáveis aleatórias contínuas. Para isso, vamos recorrer novamente ao
auxíl ia de exemplo s.
Exemplo 6./. O ponteiro dos segundos de um relógio mecânico pode
parar a qualquer instante por defeito técnico, e vamos indicar por X o
ângulo que este ponteiro forma com o eixo imaginário, pass ando pelo
centro do relógio e peto número XII, conforme mostra a Figura 6.1.
O'
XII
X
270
0
-
IX 111 _ 90
0
VI
lao·
Fig. 6.1
Medindo este ângulo X em graus, e lembrando:
(i) que o ponteiro de ve dar 60 "saltos" (ele,dá um salto em cada segundo)
para completar uma volla;
(ii) que acreditamos que o ponteiro tenha probabilidade igual de parar
em qualquer ponto: então, a variável X tem distribuição uniforme
discreta (conforme seção 5. 6. I .), cuja função de probabilidade é:
12.
f

x O" 6" 12" 18"
p(x) 1/60 1/60 l/fIJ 1/60
.
e cuja representação gráfica e a Figura 6.2.
1160
T
6"
• ,
,
'"
T •
,.'
Fig. 6.2
348' 354"
1/60 1/60
• ,
,
354
0
x(em graus)
Transferindo o m esmo problema pa ra um relógio elétrico. onde o
pont
eiro dos segundos
move·se tonfinuamenle, necessitamos um outro
modelo para representar a variá vel aleatória X. Primei ro observamos
que o c,?J1junto dos possíveis valor es de X não é mais um conjunto enu·
merável de valores, pois X pode assumir qualquer valor do intervalo
[O,360[= :xEIR IO~x<360:. Em segundo lugar, como no caso do
relógio me€ânico, continuamos acreditando que nào exista uma região
de preferência para o ponteiro parar. Como existem inrinitos pontos
nos quais o ponteiro pode parar. cada um com ig ual probabilidade, se
fôssemos usar o mesmo mét odo usado para a variável aleatória discreta
uniforme, cada ponto teria probabilidade de ocorrer
igual a zero. Assim,
não tem muito sentido falar na probabilidade de o âng
ulo X ser igual a
um certo val or, pois esta probabilidade sempre será igual a zero.
Entre­
tanto, podemos determinar a probabil"idade de o ângulo X estar com­
preendido entre dois v alores quaisquer. Por exemplo, usando a Figura
6.1 como referência. a probabilidade de o ponteiro parar no inte rvalo
compreendido en
tre os números
XII e 111 é de 1/4, pois esse intervalo
corresponde a 1/4
do intervalo
total. Então, podemos escrever (X me­
dido em .graus)
PIO" ,;; X ,;; 90") ~ 1/4,
129

Do mesmo modo, a probabilidade de o pont eiro parar entre os nú_
meros IV e V é igual a 1/12. Isto é,
P(I2a" " X " 150") ~ 1/12.
Por menor que seja o intervalo, semprt; poderemos achar a probabili_
dade de o ponteiro parar num ponto qualquer desse intervalo.·E é fácil
verificar que neste caso, dados dois númerosaeb, tais que 00 ~ a ~ b < 36{)<1,
a probabilidade de X E [a, b[ é
b-a
P(a" X < b)~-- .
360"
Através da divisão do intervalo [O'>, 360"[ em pequenos subinterval os,
podemos construir um histograma para as probabilidades da variável
aleatória
X (como fizemos para variável contínua no Capítulo
I). Ou
ainda, como naquele capítulo, fazendo esses subintervalos tenderem a
zero, podemos construir o histograma a lisado da variável aleatória X,
apresenlado na Figura 6.3.
f(x)
x(em
Fig. 6.3
O histograma alisado da Figura 6.3 corresponde à seguinte função
{
o,
sex<O"
f(x) ~ 1/360, se 0"" x < 360"
O , se x ~ 360°.
Como vimos na construção de histogramas, a área corresponde nte
ao intervalo
[a, b[ (hachurada na Figura 6.3) deve indicar a
probabili­
dade de a variável estar enlre a e b. Matematicamente, isso é expresso
através da integração da função entre
a e b; então,
f
' . f'
1 b-a
P(a " X < b) ~ I(x) dx ~ 360" dx ~ 360"'
" "
'30
pois a integral de uma função entre dois pontos determina a área sob
a curva compreendida entre esses dois pontos.
A função f(x) é chamada função densidade de probabilidade (fd.p.).
podemos co nstruir modelos teóricos para variáveis aleatórias con­
tínuas, escolhendo adequadamente as funções densidade de probabili­
dade. Teoricamente, qualquer função f( • ), que seja não-negativa e cuja
área lotaI sob a curva seja igual à unidade, caracterizará uma variável
aleatór
ia continua.
Exemplo 6.2. Se f(x) =
2x, para O ~ x < I, e zero fora desse intervalo,
vemos que f(x) ~ O, qualquer que se ja x, e a área sob o gráfico de fi. .)
é unitária (verifique na Figura 6.4). LJgo, a função f pode re presentar a
função densidade de uma variá vel aleatória contínua x.
f(xl
2
o 1/2
Fig. 6.4
Aqui, a P(O ~ X < 1/2) é igual à área do triângulo de base 1/2 e altura I,
hachurado na Figura 6.4; logo, a probabi lidade em questão é
Observamos, então, que a probabilidade desta v.a. assumir um valor
pertencente ao intervalo [O,Ij2[ é menor do que a probabilidade da va­
riável assumir um valor pertencente ao intervalo [1/2,1[.
. A comparação das funções densidade dos dóis últimos ex emplos
ajuda a entender qual o si~n ificado das m esmas. No primeiro exemplo,
consideremos dois interva
los /] = [a,
b[ e /2 = [c, d[, contidos no in­
tervalo [0,360[, e com mesma amplitude (h -a = d -c); então,
P(X E I,) ~ P(X E I,).
'3'
•

•
,

o mesmo não acontece no segundo exemplo: dados dois intervalos de
mesma amplitude, aquele mais próximo de 1 irá apresentar maior pro~
babilidade. Assim, a probabilidade da v.a. X assumir um valor perten_
cente a um intervalo de amplitude fix"a varia de acordo com a posição
do intervalo; existem regiões com maior "chance" de ocorrer, e o que
. determina este fato e a função densidade de probabilidade. Portanto, a
f.d.p. é
um indicador da
concentração,ije "massa" (probabilidade) nos
possíveis valores de X. Convém ressaltar ainda que f(x) não representa
a probabilidade de ocorrência de algum evento. A área sob a curva entre
dois pontos e que irá fornecer a probabilidad e. .
PROBLEMAS
1. Dada a função
_12 .e-.l..o,x~0
j{x) - < °
O , x .
r
,
(a) Mostre que esta é uma f.d.p.
(b) Calcule a probabilidade de que x> 10.
2. Uma v.a. X tem distribuição triangular no intervalo [O, li se a sua r.d.p. é dada por
{
o. .«0
fi
C):, O";;x,,;;lf2
x) = ql _ x), 1/2,,;; x";; I
O. x> 1
(a) Que valor deve ter a constante C, de modo que j{x) seja uma f.d.p. '1
(b) Faça o gráfico de fix).
(c) Determine P(X,,;; 1/2), P(X> 1/2) e P(I/4 ";; X ~ 3/4).
l Suponha que estamos atirando dardos em um alvo circular de raio de lOem, e seja X
a distância do ponto atingido pelo dardo ao centro do alvo. A f.d. p. de X é
j{) 5kx .~e O";;x,,;;:1O
x 0= lO nos demais valores
(ú) Qual a probabilidade de acertar a mosca, se ela é um circulo de I cm de raio"!
(b) Mostre que a probabilidade de acertar qualquer circulo concentrico é proporcion al
a sua área.
4. Considere a v.a.
X do problema 2 e faça
Y = X + 5.
132
(a) Calcule p(y,,;;: ~). (Encontre os valores de X tal que Y,,;;: ~).
(b) Faça o gráfico de f(yJ.
(e) Agora,
se
Y = a, raça o gráfico de j{y).
6.2. VALO~ ESPERADO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA
CONTINUA
Do discutido ate aqui, vimos que qualquer função f( • ) não negativa,
e
tal que
f
+O
_Q[) f(x)dx= I,
define uma variável aleatória contínua X. Isto é, cria um modelo teó­
ricO para as freqüências relat ivas de uma variável quantitativa contínua.
A área compreendida entre dois valores,
a e b, da abscissa x e da curva fl.x), dá a probabilidade (proporção teór ica esperada) da variável pertencer
ao intervalo limitado pelos dois ponto s. Através do con ceito de integral,
isto pode ser escrito
P(a " X < b) ~ r 1(x) dx. (6.1)
Vejamos agora como pode ser definido o conceito de esperan ça
para uma variável aleatória contínua. Para isso, usaremos um artificio
semelhante àquele usado na seção 2.1 para calcular a média das variá·
veis quantitativas, com os dados agrupados em intervalos de classe .
Lá substituímos todos os valores do inte.rvalo por um único valor apro­
ximado (o ponto médio do intervalo), e agimos como se a variável fosse
do tipo discreto. Aqui iremos repetir esse artifício.
Consideremos a v.a.
X com
fun­
ção densidade f(x) e dois ponto s, a
e b, bem próximos, isto é, h = b -a
é pequeno, c consideremos Xo o ponto
médio do intervalo [a, b}. Observan­
do a Figura 6.5 é fácil verificar que
P(a " X < b) '" h ·1(x,), (6.2)
o que significa aproximar a área da
figura hachurada pelo retângulo de
base 11 e alturaf(xo). É fácil verificar
que a aproximação melhora com h
tendendo a zero,
flxl
Fig. 6.5
133

Dividamos agora o intervalo [A, B], onde j{x) > O, e~ n partes de ampli.
tudes iguais a h = B ~ A (Figura 6.6), e consideremos os pontos médios
n
das classes, Xl' X2, .•. , Xn'
f!x)
"
,
Fig. 6.6
Consideremos a variável discreta Y
n assumindo os valores XI,X2' ••• ,X
n
,
com as probabilidades
p, ~ P(Y. ~ x;) '" 1(x,) oh.
Oesta maneira, e de acordo com (5.1), obtemos
• •
E(Y.) ~ L X"" '" L xj(x,) h,
;"1 1"'1
que será uma aproximação do valor esperado E(X). Para determinar
E(X) com mais precisão, podemos aumentar o número de intervalos,
diminuindo a amplitude
h dos mesmos. No limite, quando h tende a
zero. teríamos o valor de
E(X). Assim, definamos:
•
E(X) ~ Iim E(Y.) ~ Iim L X"". (6.3)
n"'", n"'<Xl ;"1
Mas da definição de integral (veja Cálculo -Funções de uma Variável,
Capitulo 8), temos que se o limite (6.3) existe, ele define a integral de
xJ(x) entre A e B, isto é,
E(X) ~ r x1(x)dx. (6.4)
134
Exemplo 6.3. Continuando com o exemplo 6.2, observamos que,
. . I 2i-1
d
.v,·dindo o mtervalo [0,1] em n submtervalos, teremos h = -, Xj=--
, n ~
2i -I .
1(
,)=-,1= I, ... ,n. Portanto,
e , n
n2i-12i-11 )"
flr.) ~L 2il
o
-n-oI! ~ ~, L (2i-I)' ~
,-1 ;"'1
~ ~, {n(2n+I;(~ -I)}~+(2 + ~)(2 _+).
onde usamos o conhecido resultado que dá a soma dos quadrados dos
n primeiros números ímpares. Logo,
E(X) ~ lim -2 + - 2 --~-. . I ( 1)( I) 2
n-'" 6 n n 3
o mesmo resultado é obtido diretamente através da relação (6.3).
r' r' [2'12 E(X) ~ J, x o 1(x) dx ~ J, x o 2x dx ~ ~ ~ 3·
Exemplo 6.4. No caso do relógio elétrico do exemp lo 6.1, obtemos
r'60 I [I x'1
60
E(X) ~ J, x o 360 o dx ~ 360 2" ~ 180",
'1UC seria o resultado esperado devido à distribuição uniforme das fre­
qüências teóricas.
Do fato de a função
f(x) ser sempre não-negativa. verificamos
facil­
mente que a esperança pode ser escrita como
E(X) ~ r: xj(x)dx. (6.5)
A extensão do conceito de variância para v.a. contínuas é feita do
mesmo modo, e o equivalente à expressão (5.2) passa a ser
f
+~
Var(X) ~ E[(X - E(X))'J ~ _~ (x -E(X))' o j(x) dx. (6.6)
135

Exemplo 6.5. Para os dois exemplos vistos anteriormente, teremos:
no caso do relógio,
Var(X) =
(x-180) ·-dx=-~---+
f
360 2 I I [X3
360x
2
360 360 3 2
o .
= 10.800;
e para o exemplo 6.2,
Var(X) = f} -i)' ·2xdx = 2 [X
4
' -4;' + 2;']: = 18
Dada a v.a. quantitativa X: seja ela do tipo discreto ou contínuo ,
temos elementos para determinar sua média (esperança) E(X) e variância
Var(X). Como foi discutido no Capítulo I, a variância inttpduz uma
pequena dificuldade quanto à unidade em que é medida, e daí termos
introduzido o conceito de desvio padrão. Para as variáveis aleatorias
também definiremos '
DP(X) = J Var(X).
Deixamos a cargo do leitor a verificação de que, de (6.6), segue
Var(X) = E(X') -E'(X).
(6.7)
(6.8)
Como frisamos no Capítulo 5, freqüentemente usaremos outros sím­
bolos para indicar os parâmetros discutidos. Assim,
E(X) = ~(X)
Var(X) = .'(X)
DP(X) = .(X),
ou simplesmente J1., a
2
e a, respectivamente, se não houver perigo de
confusão.
6.3. FUNÇÃO DE DISTRIBUiÇÃO ACUMULADA
Se X é uma v.a. contínua com função densidade de probabilidade
J(x). podemos definir a sua função de distribuição acumulada F(x) do
mesmo modo como
foi feito no Capitulo 5:
F(x) =
P(X .; x). (6.9)
136
De (6.1), segue-se que
F(x) = f. f(I)dI,
para todo x real.
Exemplo 6.6. Retomemos o exemplo 6.2:
f(x) = {2X. O ~ x < I
O,x<O ou x~ 1
Então,
{
IÕ. O· dI = 0, x < °
F(x):::: f ti 2tdt = x
2
, O ~ X < I
fó 2ldl + fiO· di = I, x ~ I.
portanto,
{
O, x < °
F(x) = x
2
, O ~ x <
I, x ~ I
o gráfico de F(x) está
na Figura 6.7.
o
Fig. 6.7
(6.10)
,
De (6.9). vemos que O ~ F(x) ~ I para todo x; além disso, F(x) é não
decrescente, e possui as seguintes duas propriedades:
(i) lim F(x) = 0,
(ii) lim F(x) = I.
x-+ + 00
No exemplo 6.6. temos, efet ivamente, F(x) = O, para x < O e F(x) = I,
para x ~ I.
Paia v.a. contínuas, F'(x):::: f(x) para todos os valores de x onde
F(x) é derivável.
{
O, x < °
Exemplo 6.7. Suponha que F(x) = -x
. . 1- e , x ~ O,
seja a f.d.a. da variável aleatória X continua. Então,
f(x) = {O, x < °
e-x. x ~ O (Figura 6.8)
137

F(xl f(xl
1 -------------
o , o ,
,.,
'OI
Fig. 6.8

Assim, sendo X uma v.a. contínua e F(x) sua f.d.a. para dois pontos
a e b quaisquer, teremos
PIa < X ,; b) ~ F(b) -F(a). (6.11)
Da relação entre a probabilidade e a área sob a curva, a inclusão ou não
dos ex.tremos
a e b em (6.11) não afetará os resultados. Assim, iremos
admitir
P(a<X,;b) ~ P(a';X';b) ~ P(a,;X<b) ~ P(a<X<b).
PROBLEMAS
5. Calcule a esperança, a variância e a f.d.a. da v.a. X do problema 2.
6. Determine a esperança e a variância da v.a. cuja f.d.p. é
{
sen x, O ~ x ~ 11/2
/(x) ;;
O ,caso contrário.
7. Calcule a média da v.a. X do problema 4.
8. A v.a. continua X tem f.d.p.
{
3x
2
,
-I,.,;x ~O
f{x) =
O ,caso contrário.
I (
(
(a) Se b for um número que satisfaça a -I < b < 0, calcule P(X> b I X < bf2).
(b) Calcule E(X) e Var(X).
9. Uma certa liga é formada, combinando a mistura fundida de dois metais. A liga resul­
tante contém uma certa porcentagem de chumbo X. que pode ser considerada uma
v.a. com f.d.p.:
138
f
] -
/(x) = 510 'ox{IOO-x), 0" x ~ 100.
Suponha que L. o lucro liquido obtido na venda desta liga (por unidade de peso), é
a seguinte função da porcentagem de cumbo: L = C
1 + C zx. Calcule a E(L) = lucro
esperado por unidade.
lO. A demanda diária de arroz em um supermercado, em centenas de quilos. é uma v.a.
X com f.d.p.
,
O"x<1 -x ~
]
/(x) =
-x
-+1
"
l~x~3
] .
O
"
x <O
""
x> 3.
(a) Qual a probabilidade, em um dia escolhido ao acaso, de se vender mais do que
150kg?
(b) Em 30 dias, quanto o gerente do supennercado espera vender?
(c) Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada à disposição do públ ico diaria­
mente para que não falte arroz em 95% dos dias?
11_ Suponha que X tenha a f.d.p. f(x) do problema 8. Calcule E(}') e Var(Y), onde
Y=2X-3/5.
11. Se X tem f.d.p. f(x), calcule a densidade de Y = XZ.ISugestão: encontre primeiramente
a f.d.a F~{y) de Ye depois !r{Y) = F~{y). Também, P(X
1
~x) = Fx(,Ji) -f"x( -fi),
onde Fx(x) é a f.d.a. de X.]
6.4. ALGUNS MODELOS PROBABILíSTICOS PARA
VARIAvEIS ALEATÓRIAS CONTíNUAS
De um modo geral, podemos dizer que as v.a. cujos valores resultam
de algum processo de mensuração são v.a. contínuas. Alguns exemplos
de v.a. contínuas são:
(a) o peso ou a altura de pessoas de uma cidade;
(b) a demanda diária de arroz em um supennercado, em quilos;
(e) o tempo de vida de uma lâmpada;
(eI) o diâmetro de rolamentos de esferas;
(e) erros de medidas em geral, resultantes de experimentos em labora­
tórios.
Dada uma v.a.
X contínua, interessa saber qual a f.d.p. de X. Alguns
modelos são freqüentemente usados para representar a
f.d.p. de v.a. con-
139

tínuas. Aqueles mais utilizados sào descritos a seguir, e para uniformizar
o estudo desses modelos, iremos
em cada caso analisar:
(a) definição;

(b) gráfico da f.d.p.;
(c) momentos: E{X) e Var(X);
(d) função distribuição acumulada (Ld.a.) (tabela e determinação de
probabilidades).
6.4.1.
O Modelo Uniforme
É uma generalização do modelo estudado no exemplo 6.1, e é o modelo
mais simples de v.a. contínua.
(a) Definição - A v.a. X tem distribuiçào uniforme com
par~metros o:
e p (o: < {J) reais, se a sua f.d.p. é dada por:
fi)
[
_pl ,se • .;;x.;;p 1
x= -Cf: ' ".
O ,nos demais pontos.
(b) Gráfico - A Figura 6.9 representa a função (6.12).
f(x)
lIlP-a)
•
o
Fig. 6.9
(c) Momentos -Podemos mostrar (ver problema 26) que
e
140
E(X)~ '+P
2
Var(X) ~ (fJ -.)' .
12
(6.12)
(6.1 J)
(6.14)
(á) fd.a. - A f.d.a. da v.a. uniforme é fácil de ser encontrada (veja pro­
blema 26).
{
O
,sex<.
•
x-o
F(x) ~ P(X';;x) ~ t~f(X)dx ~ p_.' se." x < p
I ,se x ~ (3,
cujo grãfico está na Figura 6.10.
F/x)
,. ------------:;>r----
•
o
Fig. 6.10
Assim, para dois números quaisquer c e 'd, teremos
P(c < x " â) ~ F(â) -F(c),
que é obtida facilmente de (6.15).
,
(6.15)
Exemplo 6.8. Um caso particular bastante interessante é aquele em
que r1.= -1/2 e p= 1/2. Indicando por U essa v.a., teremos
[
I,
f(u) ~
O,
I I
se -- :<u:<-
2..... "" 2
nos demais pontos.
Aqui,
E(U)
~ O,
e
o u < -~
, 2
F(u) ~
I I I
u +"2' -"2 ~u<2
I
I, u > 2.
141

Por exemplo,
~(+++)-(-+++)~+
Se quiséssemos facilitar o nosso trabalho, poderíamos tabelar os
valores da Ld.a. para esta variá vel U. Devido à simetria da área em re­
lação a x.= 0, poderíamos construir uma tabela indicando a função G{u),
lal que I
G(u) ~ prO " u " u)
para alguns v alores de u. (Veja problema 27.)
Dada uma v.a. unifonne X, com parâmetros rx e fi, podemos, a partir
dela, definir uma ou
tra variáyel
U, do seguinte mod o:
X-P+~
U~ 2
p-a
(6.16)
Quando X = fi, U = 1/2, e quando X = IX, U = -1/2; e não é difícil
ver que a forma
da Ld.p. desta nova variável
U será a mesma da variável
X, desde que estejamos fazendo uma transformação linear. Então, dada
uma v.a. uniforme qualquer, através
da transformação (6.16) obtemos
uma v.a. uniforme
"reduzida", com parâmetros 1/2 e -1/ 2. Assim, para
dois números quaisquer c e d, teremos
[
C -p+a d-p+a]
p[c < X" d] ~ P 2 < U" P : ~
p -a
_ Fu (c -Pf"-) ,
fi-a
onde Fu é a Ld.a. da v.a. U.
6.4.2. O Modelo Normal
(a) Definição - Dizemos que a v.a. X tem distribuição normal com parâ­
metros p.e 11
2
, -co <p. < + co e O <u
2
< +co, se a sua Ld.p. é dada por
142
f(x) = I e- (.~-!,)212,,\ _ 00 < x < + 00. (6.17)
ufo
b) Gráfico -A Figura 6.11 ilustra uma part icular curva normal, deter­
( minada
por valores particulares de
p. e a
2
.
fjx)
•
o ,
Fig. 6.1 I
(c) Momentos -Pode-se demonstrar que (ver problema 29):
(i) E(X) ~ ~;
(ii) Var(X) ~ u'; I
(iii) f(x) -+ O quando x -+ ± C();
(6.18)
(6.19)
(iv) J1-a e p. + a são pontos de inflexão de fl~); . ,
(v) x = J1 é ponto de máximo deflx), e o valor maxlmo e 1/(1'$;
(vi) j{x) é simétrica ao redor de x = p., isto é,
j(p+x) ~j(~-x) , (6.20)
para todo -00 < x < + ro.
Se X tem distribuição nonnal, com media J1 e variância u
2
, escreveremos:
X: N(!', u').
fiz) I
-1 +1
Fig. 6.12
,
Quando J1 = O ·e (1'2 = 1, temos
uma normal
padrão ou reduzida, e
es­
crevemos N(O, I).
Se X: N(p, (1'2), então a v.a. Z
definida por
(6.21)
terá uma distribuição N(O, I).
143

É fácil demonstrar que Z tem média O e variância 1. A normalidade
de Z já não é imediata e nào será provada aqui. A Figura 6.12 ilustra a
N(O, I).
Suponha, então, que X : N(I-l, 0-
2
) e queiramos dctcnninar 1
P(a < X < b) = l
b
I e-(X-I'I'/2<1' dX. (6.22)
• j2ii
(Ver Figura 6.13.)
flx)
o
Fig. 6.13
A integral (6.22) não pode ser calculada exatamente, e a probabili.
dade indicada só IX>de ser obtida aproximadamente, por métodos nú.
méricos. No entanto, para
cada valor de
J1 e cada valor de (]'. teríamos que
obter P(a < X < b) para diversos valores de a e b. Esta tarefa é facilitada
através
do uso de (6.21), de sorte que somente é necessário construir
uma tabela para a distribuição normal padrão
N(O, I).
Vejamos, então, como obter proba­
bilidades a partir da Tábua m. do"
Apêndice A. Esta tábua dá as proba·
bilidades sob uma curva normal pa·
drão que nada mais são do que as
correspondentes áreas sob a curva.
A Figura
6.14 ilustra a probabilidade
fornecida pela tabela, a saber,.
P(O ~ Z ~ zJ,
sendoZ: N(O, 1). Assim.sez<= 1.73.
segue·se que
PIO " Z " 1,73) = 0.4582.
144
f(Z)
z
Fig. 6.14
•

Observe que (Figura 6.15):
I) P( -1,73 "Z "O) = prO "Z " 1,73) = 0,4582,
devido a slmetna da curva.
2) P(Z ~ 1,73) = 0,5 - P(O" Z " 1,73) = 0,5 -0, 4582 = 0,0418,
pois P(Z ~ O) = 0,5 = P(Z" O).
3) P(Z< -1,73) = P(Z> 1,73) = 0,0418 .
4) p(0,47 "Z " 1,73) = PIO "Z " 1,73) -P(O" Z ,,0,47) =
= 0,4582 -0,1808 = 0,2774.
A.
-1,73 o 1,73 z
Ibl
,.,
'oi
Fig. 6.15
Suponha agora que X seja uma v.a. N(p,0"2) com J.L = ~ e (}2 = 16,
e queiramos calcular P(2 ~ X ~ 5). Utilizando (6.21), temos
(
2-P X-p 5- P) (2-3 5-3)
P(2~X~5) =P -.-,,-u-,,-.-=P -4-~Z~ -4-=
Portanto, a probabilidade de que X esteja entre 2 e 5 é igual à pro· ;
babilidade de que Z esteja entre -0,25 e 0,5 (Figura 6.16). Utilizando a----.
Tábua m, vemos que
P(-0,25 "Z" 0,5) = 0,0987 + 0,1915 = 0,2902, ou seja,
P(2 " X " 5) = 0,2902 ..
145

,
Fig. 6.16
Exemplo 6.9. Os depósitos efetuados no Banco da Ribeira durante
o mês de
janeiro último são distribuídos normalmente, com
média de
10.000,00 u.m. e desvio padrão de 1.500,00 u.m .. Um depósito é selecionado
ao acaso,
dos depósitos referentes ao mês em questão. Encontrar a
prO:
babilidade de que o depósito seja:
(a) 10.000,00 u.m. ou menos;
(h) pelo menos 10.000,00 u.m.;
(c) um' valor entre 12.000,00 u.m. e 15.000,00 u.m.;
(li) maior que 20.000,00 u.m.
Temos que Il = 10.000, (J = 1.500; seja X = depósito,
()
P(X<: 10(00) ~ P (X-IO.ooO 10.000- 10.(00) ~
a ~. 1.500 < 1.500
~ P(Z "O) ~ 0,5.
(b) P(X" I 0.(00) ~ P(Z" O) ~ 0,5.
(c) P(i 2.000< X < 15.(00) ~ p(12.000-10.000 "Z" 15.000-10.(00) ~
1.500 1.500
(
4 10)
~ P 3"Z "3 ~ P(i,3J "ZO,JJ) ~
~ 0,49957 -0,40824 ~ 0,091 JJ.
146
(

6.4.3. O Modelo Exponencial
(a) Definição -Dizemos que a v.a. X tem distribuição exponencial com
parâmetro fi> O se sua f.d.p. é
[
I
~," O
fix)~ pe ,x."
O
,x < O.
(b) Gráfico -O gráfico de f(x) é ilustrado na Figura 6.17.
f(x)
o
Fig. 6.17
(c) Momentos - É fácil ver que (ver problema (38»:
a) E(X) '~ p.
b) Va,(X) ~ p'.
,
(6.23)
(6.24)
(6.25)
Exemplo
6.10. O tempo de vida (em horas) de um transistor ê uma
v.a. T com f.d.p.
[
_I
_e-r/500 t>-O
fil) ~ 500 ' ~
O ,I < O.
Segue-se que a vida média do transistor é E(7) = 500 horas, e a pro­
babilidade de que seu tempo de vida seja maior do que a média é
P(T ~ 500) = f~ J(/)d/ = 5~ f<XI e-
r
/
50o
dI =
500 500
= ~(-500 . e-
r
/5o
']_ ~ _1_.500 ·e-soo/soo
= e-I-= 03678
500 500 500 ' .
147

6,5, APROXIMAÇÃO NORMAL À BINOMIAL
t
Suponha que a v.a. Y tenha uma distribuição binomial com parâ,
melros fl = 10 e p = + e queiramos calcular P(Y~ 7). Vemos ~ue (Fi_
gura 6.18) P(Y = 7) é igual à área do retângulo de base unitária Ie altura
igual a P( Y = 7), similarmente para P(Y = 8), etc. Logo, P( Y ~ 7) é igual
à soma das ár.eas dos retângulos hachurados na Figura 6.18. A idéia é
aproximar tal área pela área sob a curva nonnal, à direita de 6,5. Qual
curva normal? Aquela de média
I
!1=np= IOx-=5
2
e variância
, I I
• = np(1 -p) = 10 x 2 x 2 = 2,S (Ver Figura 6.19).
o , 2 3 4 5 6 7 8 9 lO 5 6 7 8 9 10
Fig. 6.18 Fig. 6.19
Chamando X tal variável com distribuição normal,
(
X-~ 6,S-I')
P(Y;' 7) '" P(X;. 6,S) = P -.- ;. • =
•
(
X
-S 6S-S)
= P "';. '", = P(Z;. 0,94) = 0,1736,
" 2,5 " 2,5
onde Z é N(O, I).
Utilizando a Tábua I, vemos que a probabilidade verdadeira é 0,172.
Vamos calcular agora P(3< Y.;;6)=P(Y=4)+P(Y=5)+P(Y=6).
Vemos, através da Figura 6.20, que a aproximação a ser feita deve ser
'48
(
•

o
Fig. 6.20
P(3 < Y .;; 6) '" P(3,5 .;; X .;; 6,5) =
=
p(3,5 -5
"Z ,,6,5 -5) =
I 58 ~ -I 58 , ,
= P( -0,94.;; Z .;; 0,94) = 0,6528,
ao passo que a probabilidade verda­
deira é 0,656.
A justificativa formal de tal aproximação é
dada pelo chamado
Teorema Limite Central, que será visto no Capítulo
8.
PROBlEMAS
11 A temperatura T de destilação do petróleo é crucial na determinação da qualidade
final do produto. Suponha que T seja considerada uma .... a. com distribuição uniforme
no intervalo de 150 a 300. Suponha que o custo para produzir uma galão de petróleo
seja C I u.m .. Se o óleo é destilado a uma temperatura inferior a 200", o produto obtido
é vendido a C z u.m.; se a temperatura for superior a 200", o produto é ... endido a C
l
U.fi ..
(o) Fazer o gráfico da função densidade de probabilidade de T.
(b) Qual o lucro médio esperado por galão?
J<I. Se X: N(IO, 4) calcular:
(a) P(8 < X < IQ),
(b) P(9 '" X '" [2),
(c) P(X > 10),
(á) P(X< 8 ou X> 11).
15. Na distribuição X: N(IOO, 100), encontre:
(a) P(X < I I 5).
(b) P(X~ 80),
(c) P(] X ~ 100 I ..;,;; 10),
(á) o ... alor a. tal que P(IOO ~ a..;,;; X ~ 100 + a) = 0.95.
li. Na distribuição X : N(p, a
1
), encontre:
(a) P(X:6;:J.I.+2a),
(b) P(j X~ J.l.1 ~a),
(c) o número a, tal que P(p ~ ao :6;: X ~J.I. + Da) = 0,99.
(á) O número a, tal que P(X> a) = 0,90.
11. As alturas de 10.000 alunos de um cOlégio têm distribuição aproximadamente normal.
com média 170cm e des ... io padrão 5em. .
(a) Qual o número esperado de alunos com ahura superior a 1,65 em?
(b) Qual o inter ... alo simétrico em tomo da média, que conterã 75% das alturas dos
alunos?
'49

18. As vendas de um determinado produto têm distribuição aproximadamente normal
com
média
500 e desvio padrào 50. Se a empresa decide fabricar 600 unidades no m~
em estudo. qual ê a probabilidade de que não possa ate nder a todos os pedidos desse
mês, por estar com a produção esgotada? 1
,
19. Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos, DI e Dl. tenharh dis_
tribuições N(42, 36) e N(45, 9), respectivamente. Se o aparel,ho é para ser usado Por
período de 45 horas, qual aparelho deve ser preFerido? E se fOf por um período de 49
horas?
10. O diâmetro X de rolamentos de esfera fabricados por certa fábrica tem distribuição
N(0,6140; (0,0025)2). O lucro T de cada esfera depende de seu diâmetro, e
T""O, IO se a esfera é boa (0,6100<X<0,6180);
T= 0,05 se a esfera é recuperável (0,6080 < X < 0,6100) ou (0,6180 < X < 1),62001:
T= -0,10 se a esfera é defeituosa (X<O,6080 ou X> 0,62).
Calcular:
(a) as probabilidades de as esferas serem boas, recuperáveis e defeituosa s.
Ib) Em
21. Suponha que um mecanismo eletrônico tenha um tempo de vida X (em unidades de
1.000 boras) que é considerado uma v.a. continua com [d.p.
f(x) = e-x. x > O.
Suponha que o custo de fabricação de um item seja 2,00 u.m. e o preço de venda seja
5,00 u.m. O fabricante garante tOlal devolução se x ~O,9. Qual o lucro esperado por
item?
22. Seja Y com distribuiçào binomial de parâmetros n = 10 e p = 0,4, determinar a apro­
ximação nonnal para:
(a) P(3< Y<8),
(b) P(Y~ 7).
(c) P{Y < 5).
23. De um lote de produtos manufaturados, extraimos 100 itens ao acaso; se 10% dos
itens do lote são defeituosos, calcular a probabilidade de 12 itens serem defeit uosos.
Use a aproximação normal.
24. A confiabilidade de um mecanismo eletrônico é a probabilidade de que ele funcione
sob as condições para as quais foi planejado. Uma amostra de 1.000 destes itens é es­
colhida ao acaso. e os itens são testados. obtendo-se 30 defeituosos. Calcular a pro­
babilidade de se obter pelo menos 30 itens defeituosos, supondo que a confiabili dada
do item é 0,95.
'50
Bl.EMAS E COMPLEMENTOS
PfIO d-tenninada localidade a distribuição de renda em u.m. é uma variável aleat6ria
lS-Em umll ... '
X com f.d.p.
, ,
_ x + -, O ~ x ~ 2
10 10
1I.x) ~ -3 9 2 ",6
40''(+20' <x
O .x<00ux>6.
Q ai a renda média nesta localidade? .
~:~ ~lhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de sua renda ser supenor a
3.000,00 u.m.?
te) Qual a mediana da variável?
li-Se X tem distribuição unirorme com
a+b
parâmetros a e b, mostre que:
'
•
(a) E(X) = -,-.
(b _ a)l
(b) Var(X) =~.
{
O. «a
x-a b
{c) F{x) = ~,para a ~ x ~
I ,x ~ b.
17. Completar a tabela abaixo. que corresponde a alguns valores da
G(u) = P{O .:;;; U ~ u).
função
, ,
definida na seção 6.4,1, onde U ~ \Ilriável uniforme com parâmetros -2"e 2"'
Distribuição Unifonn~ Reduzida
Probabilidades
p, tais que p
= P(O ~ U ~ u)
Primeira de­
cimal de 11
0,0
O,,
O,,
0,3
O,,
O,,
Segunda dedmal de u 0123456789
Primeira de­
cimal de u
0,0
O,,
O,,
0,3
O,,
O,,
'5'
"

28.
Dada a v,a. uniforme X com parâmetros 5 e 10, calcule as probabilidades aba~o. usanóo
a tabela do problema anterior. '"
(a) P(X < 7),
(b) P(S < X < 9),
(c) P{X> 8,5),
(ti) PUX-7,SJ>2).
29. Se X: N(p., 11
2
), calcular E(X) e
/
Var(X) (dificiJ!)
JO.
As notas de Estatística Econômica dos alunos de uma determinada universidade ~
Iribuem-se de acordo com uma distribuição normal, com média 6,4 e desvio padrão
0,8. O professor atribui graus A, B e C da seguinte forma: I
No/a Grau
x
< 5 C
5",;x<7,5 B
7,5~ x.o;;; IO A
Em uma classe de 80 alunos, qual o numero esperado de alunos com grau A?'B? Cf
31. O peso bruto de latas de conserva é uma v.a. normal, com média 1.000 g e desvio pa_
drão 20 g. As latas têm peso médio de [00 g e desvio padrão de 10 g, tambêm com dis.
tribuição normal de peso.
(a) Qual a probabilidade de uma lata conter menos de 850 g de peso liquido?
(b) Qual a probabilidade de uma lata c onter mais de 920 g de peso liquido?
( p32. A distribuição dos pesos de coelhos criados numa granja pode muito bem ser repre­
sentada por uma distribuiÇão normal, com média de 5 kg e desvio padrão de 0,8 kg.
Um abatedouro comprará 5.000 coelhos e pretende classificá-los de acordo com o
peso, do seguinte modo: 20"10 dos le ves como pequenos, os 55% seguintes como médios,
os 15% seguintes como grandes e os 10"';'; mais pesados como extras.
Quais os limites de peso para cada classificação?
33. Urna enchedpra automática de pirrafas de reFrigerantes está regulada para que o vo-
1ume médio de liquido em cada garrafa seja de l.000crn
l e o desvio padrão de IOcml.
Pode
-se
admitir que a distribuição da variável seja normal.
34.
(a) Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de liquido e menor que 990cm3?
Ib) Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de liquido não se desvia da média
em mais que 2 desvios padrões?
(c) O que acontecerá com a porcentagem do item (b) se a máquina for regulada de
forma que a media seja 1.200cm
l
e o desvio padrão 20cmJ,1
o diâmetro de certo tipo de anel industrial é uma v.a., com distribuição norma! de
média O,lOcm e desvio padrão 0,02cm. Se o diâmetro de um anel diferir da média
mais de 0,03cm, ele e vendido por 5,00 u.m., caso contrario, e vendido por 10,00 u,m.
Qual o preço médio de venda de cada anel?
,
,
•
.152
I
od televisores e garante a restituição da quantia paga se qua.lquer
.... Uma empresa pr uZ
I
d,',,·,o """'ve no prazo de 6 meses. Ela produz teleVisores
- . .presenlar a gum " ... -. 00 200000
televisor d . B de luxo com um lucro respectivo de 1.000. u.m. e, ,
do,
;poAcomume
Ollpo. ' "w d, lOOOOO u.m. e 8.000,00 u.m.
h . t"t -o e com um preJul .,
11 m. caso não aja res I Ulça , .... , ...... orreneia de algum defe ito grave
. . .
-o Suponha que o tempo pa...
...,.. .
se houver restltUlÇ3 . '. ,I ,I"'o'ria com distribuição normal, respectlva-
bos os casos uma vanav "" 2 .
S!!ja. em am . . • 12 meses e variâncias 4 meses: e 9 meses . Se IIvesse que
ment~, CO::;!':t:g:
e
:
;arketing ~ara
a empresa, você incentivaria as vendas dos
planejar u . ')
lhos do tipo A ou do llpo B. ,pa"
~~""'rança e a variância das v.a, X, Y e Z:
36. Ache a ""'r-I ..
X uniforme em~. 3), Y = 3X + 4, Z;= r. l
(,) 'dpf(x)-e-' x>O Y=X,Z=3/(X+l).
(b) X tem .. ' - , , "
h
ue X seja uniformemente distribllida em [-a, lal·
-n. Supon a q
Determine a variância
" x.
·h·" "ponencial com parâmetro JJ. mostre que: li. Se X tem distn UI o
(,) '(X) " p. 1.
Ih) Var(X) = JJl.
. t a amostra de firmas de um determinado ramo de
". Os ~dos dabalxo repr. ese, n ;:'a~m observadas duas variltveis: fatllrame nto e número
atiVidade e uma regi o.
de empregados.
Faturamenfo N." de Empresas N." de Empregados N." de Empresas
O I-20 J5
10 J8 OI--
20 I--50 75
50
"
10 I--
501-100 45
100 30
30
50 I--
100 I-200 200 26 100 I--
200 I-400 J5
400 24 2001--
400 t-800 8
4001--800 20
800 I-1.600 16 >800 2
1.6001-3.200 14
210
3.200 I-6.400 6 TOTAL
>6.400
4
TOTAL 210
) Calcular a media e a variância para cada variável. _ esti-
~:) Su ndo normalidade para cada uma destas variaveis com os parametros
ma':,s pela amostra. calcule as freqüências esperadas para cada classe.
. h d 'ddf()-lparaO<x<leigual
• Suponhamos que a variável aleatóna X ten a cnsl a e. x - . . I [O 11) F,-
• d' 'b '''~o Uniforme no mterva o " " a zero no complementar. (Isto é. X tem Istn UI.,....
çamos Y=X
2
•
153

"
(a) Determinar Fy(y) = P( Y "y), y real.
(h) Determinar a função de densidade de Y
(c) Calcular f(.Yl). utilizando a f.d.p. de X.'
(a') Calcular E(r), utilizando a f,d.p. de Y. e comparar com (c).
41. Dada a v.a.
x-"
Z~--'-" ,
u,
determ.inar a média e a variãncia de Z, sabendo-se que a [d.p. de X é
í")
42. ~~t~ibuiçiO Gama -Uma extensão da distribuição exponencial é dada
'-..-hulçao gama com parâmetros tI:, fi,!I > O e fi> O. Sua f.d.p. é dada por
[
I
._1 _~II
f(x)= f(tI:)p-x e ,x~O
O, x < O.
Aqui, r(tI:) é a Função gama dada por
r(tI:) = f'" e- ~x·- I dx, ti: > O.
,
Vemos que (6.26) reduz-se a (6.23), com ti: = I.
(a) Prove que se ti: inteiro positivo, r(a)'.(a-I)!
(h) Prove que r(tI: + 1) = a· r(a).
,
,
pela dÜlri.
(6,26)
(e) Prove ~ue a média e a variância de uma v.a. X com distribuição gama (6.26) -
respeçtlvamente. tI:{J e fil. sao.
A Figura 6.21 ilustra a f.d.p. (6.26) com ti: = 3 e fi = I.
ffx)
o ,
Fig. 6.21
{ 43. D stribuiç~o de Pardo -Est,a ê uma distribuição freqüentemcnte usada em Economia,
~ em conexao com problemas de distribuição de renda.
Dizemos que a v.a. X tem distribuição ck Pareto com parâmetros a> O e b >0
se sua [d.p. ê dada por .
154
\-
[
(
b)'" ~._ .x~b
N)"'-
b x
O ' x < b.
(6.27)
Em (6.27), b pode representar algum ní­
vel minimo de renda; x é o nível de renda, e
j{:() • 6x dI!. a proporção de individuos com
renda entre .'1: e x + 6x. Observe que (6.27)
pOde ser e~ita na forma
{
a
·b" 'X-·-I,
x ~ h
j(x) = (6.28)
O , x < b.
o gráfico de (6.27) está na Figura 6 .22.
(a) Prove que f" Jtx)dx = I.
-.
f(x)
, ,b
I
b) Mostre que, para a> I. f(X)= -- e para a> 2,
,-I
b
,
Fig. 6.22
uh'
Var(X) = .
(IX-ll(IX- 2)
44. Dlstribuiçio Lognormal -Outra distribuição usada em Economia ê a distribuição
L
lognormal. A v.a. X, com valores positivos, tem uma distribuição lognormal com pa­
râmetros I' e (Jl, _ 00 < I' < + 00, (Jl > O, se Y = (nX tem distribuição normal com
média 11 e variância (J2. A r.d.p. de X tem a forma
,
[
I -'" ('=-'-)'
----'-=e ", x>O
x -(J • .,fiii
f(x) ""
O , x ..;;;0.
O gráfico de f{x) está na Figura 6.23.
.' ,.-
(6.29)
(a) Prove que f(X) = e 2
(b) Se E{X) = m, prove que Var{X) = ml(e~' -1).
f(x)
,
Fig. 6.23
45. Suponha que X tenha densidade dada por (6.23). Prove que
P(X> I+X) = P(X> I)
P(X> x)

para todo /, x ~ O. Esta propriedade nos diz que a distribuição exponencial não tem
memória. Por exemplo, se X ê a vida de um componente, a propriedade diz que, se o
componente durou ate o instante x, a probabilidade de ele não falhar após o intervalo
I +xea mesma de após o instante /. Neste sentido, X"esquece" a sua idade, e a eventual
falha do componente não resulta de uma deterioração gradual e sim de alguma falha
repentina.
155

"
'I
I , 46. Se X for uma v.a. contínua. com Ld.p.Jlx), e se Y = g(X) for uma função de X. então
será uma v.a. com l I'
•
E{Y) = f'" g(x)f(x)dx.
-.
Suponha que X tenha densidade
Obtenha E( Y). onde Y = I X [.
A (47. Se X é unifonne no intervalo [O, 11, obter a esperança da v.a. Y = 0,5 • X
2
,
... cDist~bub~Ç, .idO de We ibull -Uma distribuição que tem muitas aplicações em Teoria da
Ofll1a II ade (ver exemplo 4.12) é a distribuição de Weibull. Sua f.d.p. é dada por
156
1
!1x,-le-'X, x ~·o
f(x) =
O . x < 0,
onde (1 é uma constante positiva. A v.a. X pode representar. por exemplo. a vida de u
componente. In
(Q) Se P = I, qual a f.d.p. resultante'!
tb) Obter E(X) para fi = 2.
-
-
CAPíTULO 7
Variáveis aleatórias
multidimensionais
7.1. DISTRIBUiÇÃO CONJUNTA
Na maioria das vezes, ao descrever os resultados de um experimen­
t
o, atribuímos a um mesmo ponto amostrai os valores de duas ou mais
variáveis aleatórias. Iremos nos concentrar no estudo de um par de
va·
riáveis aleatórias, indicando que os conceitos apresentados estendem·se
facilmente ao conjunto formado de um número f inito de va riáveis alea·
t6rias. Também o desenvolvimento será feito para variáveis discretas,
e noS limitaremos a indicar brevemen te como a extensão para variá·
veis cont ínuas pode ser feita.
Exemplo 7.L. Suponha que estamos interessados em estudar a com·
posição dc familias com 3 c rianças, quanto ao sexo. Definamos:
x = número de meninos
y ~ {I. se o primeiro filho é
O, se o primeiro filho e
homem
mulher
Z = número de vezes que houve a· variação do sexo entre um nas­
cimento e outro, dentro de uma mesma família.
Com estas informações, e supondo que as possíveis composições
tenham a mesma probabilidade. oblemos a TatX:la 7. \, onde. por exem·
pio, o evento HMH indica que o primeiro filho e homem, o segundo
é mulher e o terceiro é homem.
157

TABELA 7.1 Nesta tabela, p(x, y) = P(X = x, Y = y) denota a probabilidade do ,
E\'entos Probabilidade X Y Z
evento (X=x e Y=y) = (X=x}n (Y=y). A Tabela 7.2 é denomi-
nada distribuição co njunta de X e Y.
HHH 1/8
, A partir da Tabela 7.1, podemos formar também as distribuições
,
3 I O
I ,
conjuntas de X e Z, e Ye Z, bem como a distribuição conjunta de X, Y
HHM 1/8 2 I I
HMH 1/8 2 I 2
.
e Z. que está na Tabela 7.3.
MHH 1/8 2 O I
--.
HMM 1/8 I I I TABELA 7.3
MHM 1/8 I O 2
MMH 1/8 I O I
MMM 1/8 O O O
(x, y, z) p(x, y, z)
. Para cada uma das variáveis X, Ye Z, temos as respectivas dist .
(O, O, O) 1/8
bUIÇÕes de probabilidades: n·
(I, O, I) 1/8
(1,0,2) 1/8 ,
(I, I, I) 1/8
x O I 2 3
"
Y O I
(2. O. I) 1/8
,.
p(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 p(y) 1/2 1/2
(2, I. I) 1/8
1
(2, 1. 21 1/8
(3, I, O) 1/8
z O I 2
p (z) 1/4 1/2 1/4
Aqui, p(x, y, z) = P(X = x, Y = y. Z = z). Vamos nos fixar nas dis-
1ribuições bidimensionais, isto é, de duas variáveis. Neste caso, uma
.
maneira mais cômoda de representar a distribuiçào conjunta é através
de tabelas de duas entra das. Na Tabela 7.4, temos a distribuição con-
A Tabela 7.2 a
presenta as probabilidades associadas aos pares de valores das variáveis aleatórias X e Y.
junta de X e Y.
TABELA 7.2
- TABELA 7.4 .
(x. y) p(x. y)
~
(0,0) 1/8
Q I 2 3 p(y)
(1,0) 2/8 •
•
(1,1 ) 1/8 O .. 1/8 2/8 1/8 O 1/2
(2,0) 1/8 I O 1/8 2/8 1/8 1/2
(2,1 ) 2/8
(3,1) 1/8
-
p(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 I
158 159
, t
......

"
-
7,2, DISTRIBUiÇÕES MARGINAIS E CONDICIONAIS
Da Tabela 7.4, podemos obter facilmente as distribuições de X e }t,
A primeira e a última colunas da tabela dão a distribuição de Y, ~, p(y) ~
== P(Y = y», enquanto a primeira e última linhas da tabelfl dão a dis.
tribuição de X, (x, p(x) = P(X = x». Estas distribuições sào chá.Qladas
distribuições marginais.
Observamos, por exemplo, que
2 I I 3
P(X~ I) ~ P(X ~ I, Y ~ O) + P(X ~ I, y~ I) ~ 8 + 8 ~ 8
Quando estudamos os aspectos descritivos das distribuições Com
mais de uma variável, vimos que, às vezes, é conveniente calcular prQ.
porções em relação a uma linha ou coluna, e não em relação ao total.
Isto é equivalente aqui
ao conceito de
distri~uição ctmdicional. Por
exemplo, qual seria a distribuição do número de meninbs, sabendo.se
que o primeiro filho é do sexo masculino? Ou seja, queremos conhecer
P(X = x I Y = I). Da definição de probabilidade condicional, obtemos
P(X ~ xl y ~ I) ~ P(X ~ x, Y ~ I) ~ p(x 1 y ~ I) (7,1)
• P(Y ~ I) ,
para x = O, 1,2, 3. Pela Tabela 7.4, obtemos, por exemplo,
(21 Y ~ I) ~ P(X ~ 21 Y ~ I) ~ P(X ~ 2, y ~ I) ~ 2/8 ;" -'-o
p P(Y -I) 1/2 2
Do mesmo modo, obtemos as demais probabilidades, e a distribui­
çào condicional de X, dado que Y = I, está na Tabela 7.5.
TABELA 7,5
x O 2 3
p(x 1 Y ~ I)
O 1/4 1/2 '/4
Observe que 'Ep(x 1 y ~ 1)~p(O 1 Y~ 1)+ , .. +p(31 Y~ I)~ I.
Do mesmo modo, podemos obter a distribuição condicional de Y,
dado que X = 2, que está na Tabela 7. 6.
'.0
j
TABELA 7.6
Y
O
p(y 1 X ~ 2) 1/3 2/3
. dsvaXeYas-
P demos generalizar o que foi dito aCima. para ua ..
o respectivamente.
'ndovaloresXj,XI' ... eYj'Y2' ... ,
sumi (x»O
f
' ,-SeJ" x um valor de X, tal que P(X = Xi) = P i .
De lD)ÇIIO. I
A probabilidade
P(X -x" Y ~ y,l
P(X _ x,)
(7.2)
é denominada 'probabilidade condicional de Y = (yyj., :(:0= ~í :: .;~))
C o observamos para Xi lixado, os pares J' J.
r. om distribuição' condicional de Y. dado que X = Xi' poiS
deLmem a
• • P(Y~y"X~x,) ~ P(X~x,) ~ I.
"P(Y~YjIX~x,)~ L P(X-x.) P(X-x,)
L. la 1 ,
jO' I
. . t das variá·
I 72 Considere agora a distribUIção conJun a
Exemp o .. D T bel 7 I obtemos
' Ye Z delinidas no exemplo 7. 1. a a a .. vels ,
,
TABELA 7.7
~
O 2 TOTAL
O 1/8 2/8 1/8 1/2
1/8 2/8 1/8 1/2
TOTAL 1/4 2/4 1/4
Para esta }abela, observamos que
P(Z~z, Y~Y) ~ P(Z ~ z)
P(Z ~ z I Y ~ y) ~ P( Y _ y)
,.,
I
I
,
'I
-

" ,
para quaisquer z = O, I, 2 e y = O, 1. O que significa dizer que
P(Z ~ z, Y ~ y) ~ P(Z ~ z) • P(Y ~ y),
isto é, a probabilidade de cada casela é igual ao produto das respectivas
probabilidad
es marginais.
Por exemplo,
Também
é verdade que
P(Y ~ Y I Z ~ z) ~ P(Y ~ y)
para todos os valores de y e z. Dizemos que Y e Z sào independentes.
Definição. As v. a. X e r, assumindo os valores x I , x2, ... e YI.
Y2 •... , respectivamente, são independentes se, e somente se, para, todo
par
de valores (Xj,
y) de X e Y tem-se
P(X ~ X;, Y ~ .Yi) ~ P(X ~ x;) • P(Y ~ Yj)' (7.3)
Basta que (7.3) não se verifique para um par (Xii y}) para que X e Y
nào sejam independentes. Neste caso, diremos que X e Y sào dependentes.
De modo análo go, essa definição pode ser estendida para mais de
duas v.a.
Definição. As variáveis aleatórias Xi' assumindo os valores Xii,
Xil' ... , X
,
'
nl
' para i = 1,2, ... , ri, são independentes se, e somente se, para
toda n-upla (x t ;1' X2;" •. " XnlJ tem-se
P(Xt = xt;"X2 = XliI' "',Xn = Xn;J =
= P(X
t = Xli,) P(X2 = Xl;) ... P(Xn = Xn;J =
"
~ n P(X. ~ x.;.). (7.4)
.~ ,
PROBLEMAS
I. Lançam-se, simultaneamente, uma moeda e um dado.
(a) Determinar o espaço amostrai correspondente a esse experimento ..
(b) Determinar !l tabela da distribuição conjunta, conside ra!)do X o número de caras
no lançamento da moeda e Y o número correspondente à face do dado.
(e) Verificar se X e Y são independent es.
(á) Calcular:
L P(X = I)
4. P(X= 2, Y"" J)
2. P(X ~ I)
5. P(X;;. 0, Y ~4)
1 P(X< I)
6. P(X=O, Y;;'I)
162
''" A tabela abaixo da a distribuição co njunta de X e Y.
,
(Dl Determinar as distribuições marginais de X e Y.
(h) Obte~ as esperanças e~ v~riâncias de X e Y.
'te). Verifique se X e Y sao tndependentes.
(d'l Calcule P(X = 1 I Y = O), P(Y = ~ If. = J).
.... (4.. Calcule P(X .,. 2) e P(X = 2, Y .,. I),
x
2 3
y
O
I
2
0.1
O;
O
0.1
O
0,1
0.1
0
.3
0,1
l. Considere a distribuição conjunta de X e Y, parcialmente conh ecida, dada na tabela
a seguir.
(o) Completar a tabela. supondo X e Y independentes.
Ib) Calcule E(X), E(}'), Vor(X) e Var(Y).
(c) Obtenha as distribuições condicionais de X, dado que Y=O, e de Y, dado que X= 1.
~
.
-I O I P(Y = y)
-I 1/12
,
O 1/3
I 1/. . /, 1/' I"
P(X = x) j( I
7.3. FUNÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Retomemos a Tabela 7.4, que dá a distribuição conjunta das variáveis
X e Y. A partir desta, podemos considerar, por exemplo, a v.a. X + Y
ou a v.a. XY. A soma X + Y é definida naturalment e: a cada resultado
do experimento, ela associa a soma dos valores de X e Y, isto é,
(X + Y) (w) ~ X(w) + Y(w). (7,5)
Do mesmo modo,
(XY)(w) ~ X(w) • Y(w), (7.6)
163
/

'I'
Podemos. então. construir a Tabela 7.8.
TABELA 7.8
(x" Yj) X+ Y XY p(x;, Y,)
(0,0) O O I/S
(O, I) I O O
(I, O) I O 2/8
(I, I) 2 I 1/8
(2, O) 2 O 1/8
(2, I) 3 2 2/8
(3, O) 3 O O
, (3, I) 4 3 1/8
A partir desta tabela, obtemos as distribuições de X + Ye XY, ilus­
tradas nas Tabelas 7.9 e 7.10.
TABELA 7.9 TABELA 7.10
x+y O 2 3 4 I xy O 2 J
p(" + Y) 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8 p(xY) 4/8 1/8 2/8 1/8
No Capítulo 5, vimos como calcular a esperança de uma v.a. Para
as v.a. X e Y da Tabela 7.4, temos:
E(X) = O x + + I
I
E(Y) = O x 2 + I
Da Tabela 7. 9, obtemos
3 3 I 12
x-+2x-+3x-=-=15
8 8 8 8 '
I
x - = 05
2 ' .
E(X + Y) = O x -'-+ I x 2 + 2 x 2 + 3 x 2 + 4 x -'--~ = 2
8 8 8 8 8-8'
Notamos que E(X + Y) = E(X) + E( Y). Poderia ser uma simples coin­
cidência, mas esta relação é de fato verdadeira.
164
Teorema 7.1. Se X é uma v.a. com valores SI' .\:2 ..... x~ e proba­
bilidades p(x d, P(X2), ... , p(xn), e Y é uma v.a. com valores YI ,Y2, ... , }' ...
, probabilidades p(y,), p(y,), .. ~' p(y.) e se p(x" Y,) = P(X = x" Y = Y,),
,
'_12 ... ,n, J= I, ...• m. cntao,
-, '
E(X + Y) = E(X) + E(Y).
(7.7)
Prova. Observando a Tabela 7.8, podemos escrever:
• •
E(X + Y) = L L (x, + Y,) p(x" Yj) =
I" L j~ I
n '" n '"
= L L x,p(X"Yj) + L L Yj/J(X"Yj)'
(7.8)
/ .. ] J"'" ;K' j""
•
Agora, para um i fixo, I p(X;'Yj}=p(x;}, e para umj fixo,
j-,
•
~ p(Xi,Yj}=P(Yj}; logo, podemos escrever
;.<
~ ~ '" /I '"
E(X) = L x,p(x,) = L x, L p(x" Yj) = L L x,p(x" Yj) e
i=' ;"1 j'" / .. j:
'" '" /I " '"
E(Y) = L Yjp(Yj) = L Yj L p(x" Y} = L L Yjp(x" Yj)'
j=' j=1 i= ;= j'"
. Comparando estas duas últimas relações com (7.8), obtemos a relação
(7.7).
Do que foi visto acima, podemos concluir que, se X e Y são duas
v.a. nas condiç~s do Teorema 7.1, e se g(X, Y) é uma função de X e y,
então,
• •
/[g(X, Y)] = L L g(x" Yj)p(x" yJ
I'" 1 i"" 1
(7.9)
Exemplo 7.3. Da Tabela 7.8, obtemos
I 2 I I 2
E[XY) = O x 8 + O x O + O x 8 + I x 8 + O x 8 + 2 x 8 + O x O +
I 8
+3x
8
=8=1,0.
É claro que o mesmo valor pode ser obtido da Tabela 7.10, isto é,
se Z = XY e p(z) = p(xy), então,
165

".
4
E(Z) ~ E(XY) ~ O x -+
8
Observamos que, neste caso,
I 8
x-:=-=
8 8
E(Z) ~ 1,00 + E(X)· E( Y) ~ (1,5) (0,5),
1,0.
ou ,seja, de um modo geral, a esperança de um produto não é o produto
das esperanças. No entanto, existem situações em que essa propriedad
se verifica. O teorema seguinte apresenta uma dessas situações. e
Teorema 7.2. Se X e Y são v.a. inde~ndentes, então,
E(XY) ~ E(X)E(Y). (710)
Prova. Nas condições do Teorema 7.\, usando (7.9) e (7.3),
" m ~ m
E(XY) ~ L L X'Yjp(x" Yj) ~ L L X'YjP(X,) p(Yj),
i=1 jal i"'l lal
logo,
• m
E(XY) ~ L x,p(x,) L Yjp(Yj) ~ E(X)E(Y).
ja) j~ 1
A reciproca do Teorema 7.2 não ê verdadeira, ou seja, (7.10) pode
ser válida e X e Y serem dependentes. Veja o exemplo 7.6.
Observações: 1) Os Teoremas 7.1 e 7.2 sào válidos para X e Yassu­
mindo valores em conjuntos enumeráveis infinitos.
2) Se temos um número finito de v.a. XI' X2, ... , X
ft
, então, (7.7)
toma a fonna
E(X, + ... + X.) ~ E(X,) + E(X,) + ... + E(X.). (7.11)
3) Se Xl' 0'0' X
n sào v.a. independentes (ver 7.4), então,
E(X, • X, •...• X.) ~ E(X,) E(X,) ... E(X.). (7.12)
Exemplo 7.4. Nas seções 5.6.2 e 5.6.3, definimos v.a. de Bernoulli
e v.a. binomial. Seja X o número de sucessos em n provas de Bernoulli.
Definamos:
x. = {I, se no i-ésimo ensaio ocorreu
, 0, se no i~ésimo ensaio ocorreu
i=I,2, ... ,n. Então, segue-se que
166
sucesso
fracasso,
e XI' ,,_, X~ são independentes. Se p = P (sucesso), então,
E(X,)~ I xp+Ox (I-p)~p, i~ I, ... ,"
e, por (7.11),
E(X) ~ E(X,) + ... + E(X.) ~ p + p + ... + P ~ Mp,
(7.1l)
o que demonstra a relação (5.9). A relação (5.10) será demonstrada na
seção seguinte.
PROBLEMAS
4. No problema 2 obtenha as distribuições de X + Ye de XY. Calcule E(X + Y). E(XY),
Var(X + Y), Var(XY).
5. (o) No problema 3, calcule E(X + Y) e Var(X + Y).
(b) Se Z="oX+bY, calcule (J e b de modo que E(Z)=IO e Var(Z) = 600.
6. Dois tetraedros com as faces numeradas de I 11. 4 (dados com 4 faces) são lançados, e
os números das faces voltadas para baixo
são observados. Sejam as variáveis aleatórias: X: maior dos números observados;
Y: menor dos numeros observados;
Z""X+Y. I
(a) Construa a tabela de probabilidade conjunta de X e Y.
(b) Detenn;ne E(X), E(Y), E(Z), Var(X), Var(Y) e Var(Z).
7. Numa urna tem-se 5 tiras de papel, numeradas 1,3,5,5 e 7. Uma tira de papel é sor­
teada e recolocada na urna; então uma segunda tira ê sorteada. Sejam X, e Xz , res­
pectivamente, o primeiro e o segundo números sorteados.
(a) Determine a distribuição conjunta de X, e Xl'
(b) Ache as distribuições marginais de X, e Xl' Elas sào independentes?
(c) Encontre a esperança e a variância de X,. Xl e X = X, ; Xl.
(cIj Como seriam as respostas anteriores se a L" tira de papel nào fosse devolvida antes
da segunda ser sorteada?
•
8. Numa urna tem-se 5 bolas numeradas com os seguintes numeros: -1.0,0,0, 1. Reti­
ram-se 3 bolas. simultaneamen te. X indica a so ma dos numeros extraídos e Yo maior
número da trinca. Calcular:
(a)
Função de probabilidade de (X, Y).
(b) E(X) e Var(X).
(e) Var(X + Y).
167

"
"
/
9. Dada a distribuição conjunta pela tabela abaixo, detenninar a média e a variância dr:
(a) X + Y. X
(6) X· Y. 2 3
Y
5/21 1/27 3/27
2 4/27 3/27 4/21
3 2/27 3/27 2/21
10. Suponha que X e Y tenham a seguinte tabela de distribuição conjunta:
y
I
2
3
X
0.1
0.1
0.1
2 3
0,1
0,2
0,1
0.0
0,3
0,0
I
(a) Determinar a função de probabilidade de X + Y c, a partir dai, calc~lar E(X + Y).
Oe outra maneira, pode-se obter a mesma resposta'!
(6) Determinar a função de probabilidade de XY c, em seguida. calcular E(XY).
(e) Mostrar que, embora E(XY) = E(.\') • E(Y) ocorra, X e Y não são independentes.
7.4. COVARIÂNCIA DE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Vamos introduzir agora uma medida da relação linear entre duas v.a.
Definição. Se X e Y são duas v.a., a covariállcia de X e Y é defini·
da por
Cov(X, r) ~ E[(X -E(X)) (Y -E(r))[, (7.14)
ou seja, o valor médio do produto dos desvios de X e Y em relação às
suas respectivas médias.
Suponha que X assuma os valores Xl"'" X~ , e Y os valores
. YI, _ ., y"" e que P(X = Xi> Y = Yi) = p(X;, Y;). Então, (7.14) pode ser escrita
• •
Cov(X, r) ~ L L [x; -E(X)[ Lv) -E( r)[ • p(x;, y)). (7.15)
A fónnula (7.14) pode ser escrita de uma fonna mais simples. De
fato,
'68
Cov(X, r) ~ E[XY -XE(r) -YE(X) + E(X) E(r)] ~
~ E(Xr) -E(X) E(r) -E(r) E(X) + E(X) E(r),
OU seja,
Cov(X, r) ~ E(Xr) -E(X) E(r). (7.16)
Exemplo 7.5. Para as v.a. X e Y do exemplo 7.1 (ver Tabela 7.4),
obtemoS
E(X) ~ 1,5, E(r) ~ 0,5, E(Xr) ~ 1,00,
de modo que
Cov(X, r) ~ 1,00 -(1,5) (0,5) ~ 0,25.
Definição. Quando Cov(X, Y) = 0, dizemos que X e y são não~cor~
relacionadas.
t
Exemplo 7.6. Consideremos a distribuição conjun~ X e Y dada
pela Tabela 7.11.
TABELA 7.11
x
O I 2
I 3/20 3/20 2/20
2 1/20 1/2~ 2/20
3 4/20 1/20' 3/20
p(x) 8/20 5/20 7/20
Temos que
E(X) ~ O x 8/20 + I x 5/20 + 2 x 7/20 ~ 0,95
E(r) ~ I x 8/20 + 2 x 4/20 + 3 x 8/20 ~ 2,00
p(y)
8/20
4/20
8/20
1
,00
E(Xr) ~ O
x 3/20 + I x 3/20 + 2 x 2/20 + O x 1/20 + 2 x 1/20 +
+
4 x
272Õ + O x 4/20 + 3 x 1/20 + 6 x 3/20 ~
~ 38/20 ~ 1,90,
logo,
Cov(X, r) ~ 1,90 -(0,95) (2,00) ~ O.
169

",
Exemplo 7.7. Retomemos o exemplo 7.2, onde vimos que Y e Z sào
independentes. Então temos:
1
E(Z)
~ ° x "4 + 1
1 1 1 1
x-+2x-=-+-=
242 2
1
E(Y) ~ ° x 2 +
1 1
x2=2"'
Da Tabela 7.7, obtemos:
logo,
E(YZ) ~
2 1 1
x-+2x-=-
8 8 2 '
1
Cov(Y, Z) ~ 2 -1
1 x
2= o.
De modo geral, quando X e Y sào independentes, (7.10) é válida'
199o, por (7.16), temos que Cov(X, Y) ~ O. '
Vamos destacar este fato atrav és da
Proposição 7. 1. Se X e Y sào duas variâveis aleatórias independen_
dentes, então, Cov(X, Y) = O.
De outro modo, se X e Y sào independentes, isto implica X e Y não­
correlacionadas.
A
recíproca não é verdadeira, isto é.
Cov(X, Y) = O não implica
X e Y independentes. De fato, para as v.a. X e Y do exemplo 7.6,
Cov(X, Y) = O; mas, como podemos verificar, X e Y não são independentes.
Podemos agora demonstrar o
Teorema 7.3. Para as duas v. a. X e Y, temos:
(a) Var(X + Y) ~ Vor(X) + Vor(Y) + 2Cav(X, Y);
(b) se X e Y são independentes, então,
Vor(X + Y) ~ Vor(X) + Vo'(Y).
Prova:
(a) Vor(X + Y) ~ E[(X + Y) -E(X + Y))' ~
170
~ E)X -E(X) + Y -E(Y))' ~
~
E[X
-E(X))' + E[Y -E(Y))' +
+ 2 E[(X -E(X)) (Y -E(Y))),
e da definição de covariância, obtemos (7.17).
(7.17)
(7.18)
(b) A relação (7.18) segue imediatamente da Proposição 7.1.
As relações (7.17) e (7.18) podem ser genera lizadas para mais de
d
V a Em particular, se X I' X
2
, ... , X
n são v.a. independentes, então,
uas ..
VarrI, + ... + 1'.) ~ Var(X,) + ... + Vo,(I.). (7.19)
Continuemos o exemplo 7.4. Temos que
Vor(X,) ~ p(! -p),
logo,
Vor(X) ~ Vor(X,) + ... + Vor(X.) ~ np(! -p), (7.20)
que demonstra a relação (5.10).
o Vamos introduzir agora uma medida que não depende das unida­
des de medida de X e Y.
Definição. O coeficiente de correlação de X e Y é definido por
p(X, Y) ~ CO"(X, Y) .
o(X) • o(Y)
(7.21)
Exemplo 7.8. (a) Para X e Y do exempl o 7.6,' Cov(X, y)=O, logo,
p(X, Y)=O. (b) Para X e Y do exemplo 7.5, temos:
"
Verifique que
logo,
Cov(X, Y) ~ 0,25.
Vor(X) ~ 0,75
Vor(Y) ~ 0,25,
p(X, Y) ~
0,25 ~ 058.
J(0,25) (0,75) ,
o seguinte resultado será demonstrado no problema 40.
Teorema 7.4. -1 ~p(X , Y) ~ I.
Observações: 1) Quando p(X, Y) = ± 1, existe uma correlação per­
feitaent
reXe
Y, isto é, Y = aX + b;sep(X, Y) = I ,a > O,esep(X, Y) = -I,
a < O. O grau de associação linear entre X c Y varia à medida que p(X, Y)
varia entre -1 e +1.
2) As seguintes propriedades podem ser provadas facilme nte (ver
problema 26);
para a e b constantes,
171

li'
II
"
p(X + a, Y + b) ~ p(X, Y).
ab
p(aX,bY) ~ ~p(X , Y),
(7.22)
Exemplo 7.9. Ainda usando o enunciado do exemplo 7.1, vamos
definir a v.a.
W como sendo o número de meninas. A distribuição
COn.
junta de X e Westá na Tabela 7.12.
TABELA 7. 12
/
~
O 2 3 p(w)
O O O O 1/8 1/8
I O O 3/8 O 3/8
2 O 3/8 O O 3/8
3 1/8 O O O 1/8
p(x) 1/8 3/8 3/8 1/8
É fácil verilicar que
E(X) ~ E(W) ~ 1,5,
Va,(X) ~ Va,(W) ~ 0,75,
E(XW) ~ 1,5,
logo.
Cov(X, W) ~ 1,5 -(1,5)' ~ -0,75,
e
(XW)~ -0,75 __
p, 0,75 - I.
Este é um resultado esperado, desde que nós saibamos que a relação
entre X e W é X=3-W.
Para se analisar a possível correlação entre X e Y, é convenien te
usar os chamados diagramas de dispersão, que consistem no gráfico dos
pares de valores de X e Y.
Exemplo 7.10. Na Figura 7.1 temos os diagramas de dispersão pa ra
as v.a. X e Y, e X e Z, do exemplo 7.1.
172
r
,
t
I
z
y
2
2 • •
•
" • " "
,
o
2 3 X
x 2 3 o
,., ''I
Fig. 7.1
Na Figura 7. 1 (a), por exemplÇl, vemos que os~ponto s (1,0) e (2,1)
têm probabilidades ~ , ao passo que os demais têm probabilidades t·
!
I
I
Exemplo 7.11. O diagrama de dispersão das v.a. Ye Z do exemplo I
7.2 çstá ilustrado na Figura 7 .2. Lembre mos que, neste caso, Ye Z são
independentes.
y
.,
•
,
O 2 z
Fig. 7.2
Exemplo 7.12. Na Figura 7.3 temos o diagrama de dispersão das
variáveis X e W
do exemplo 7.9. Observe que, neste caso, existe uma
relação linear perfeita entre as duas variáveis.
w
3
2
.,
.,
O 2 3 x
Fig. 7.3
173
i
I
:

PROBLEMAS
11. Para as v.a. X e Y do problema 2 c os resultados do pro blema 4. calcule lm'(X. Y)
e p(X, Y).
~ 12. Considere a situação do problema 8 do capítulo S.
(a) Obtenha as distribuições de X + Y e I X -Y I.
(b) Calcule E(XY). E(Xln e E(X + Y).
(c) Verifique se X e Y são independentes.
(á) Verifique se E(XY) = E(X) • E(r). O que você pode concluir?
(e) Verifique se E(X/Y} = E(X)/E(Y).
IJ) Calcule Var(X + Y). E verdade que Var(X + 11 = Var(X) + Var( 1')'1

13. Sejam X e Y com a distribuição conjunta da labe1a abaixo. Mostre que CO\·(X. Y) = O
mas X e Y não sào independentes.
y
-I O
X
-I O 1/4 O
O 1/4 O 1/4
O 1/4 O
I 14. Lançam-se dois dados perfeitos. X indica o número obtido no primeiro dado. e Yo
maior ou o número comum nos dois dados:
(a) Escreva atravês de um quadro de dupla entrada a função de probabilidade p(:c. 1').
(h) As duas variáveis são independentes? Por quê?
(e) Calcule as esperanças e variãncias de X e Y.
(dj Calcule a covariãneia entre X e Y.
(e) Ache f(X + Y).
(f) Ache Var(X + Y).
15. Uma moeda perfeita é lançada] vezes. Sejam
X: número de caras nos dois primeiros resultados;
Y: numero de caras no ultimo resultado;
S: numero total de caras.
(a) Atravês da distribuição conjunta de (X. Y), verifique se X e Y sào independentes.
Qual a oovariãncia entre elas?
(b) Para cada variâvel X, Y e S, ache a esperança e a variância.
(c) Existe alguma relação entre os parâmetros encontrados em (b)? Por quê '!
16. Depois de um treinamento, 6 operarios submeteram-se a um teste, e mais tarde me­
diu-se a produtividade de cada um deles. A partir dos resultados apresentados na la­
bela abaixo. calcule o coeficiente de correlação.
174
r.
r
Operaria Teste ProdulMdade
9 22
2 J7 l4
3 20 29
4 lO J3
,
20 42
6 23 32
17. o exemplo seguinte ilustra que p=O não implica independência. Suponha que (X, Y)
tenha a distribuição conjunta dada pela tabela abaixo.
y
-I
O
x
-I
1/8
1/'
1/8
O
1/8
O
1/8
(a) Mostre que E(XY) = E(X) -f(}'). donde p =0.
(b) Mostre por que X e Y não são independentes.

7.5. VARIÁVEIS CONTíNUAS
1/'
1/8
1/8
Como frisamos no início deste capítulo, vamos nos concentrar no
estudo de v.a. discretas. A exemplo
do que foi visto no Capítulo 6,
po­
demos considerar também mais de uma v.a. contínua. Vamos nos fixar
no caso
de duas variáveis X e
Y. Neste caso, a distribuição conjunta das
duas variáveis é caracterizada por uma função
J(x, y), chamada
fimçâo
densidade conjunta de X e Y, satisfazendo:
(a) fl.x, y) ?l: 0, para todo par (x, y);
Ih) r~ f. flx, y)dxdy ~ I;
Ie) Pia " X " b, c " Y " d) ~ [ [ flx, y)dydx.
(7.23)
(7.24)
(7.25)
175

Exemplo 7./3. Suponha queflx,y)=4xy, para O~x~l e O~Y~1
Então, (7.23) está sa tisfeita, e """ .
f f 4xydxdy ~ 4 f xdx f ydy ~ 4· [x:1 [Y;1 ~ I,
,
o que mostra que (7.24) também está satisfeita.
Calculemos
p( X
~ +, y ~ +)-
A Figura 7.4 mostra o domínio da va­
riação de X e Ye a região para a qual
I
X~-e
~ 2
Logo, por (7.25),
p(x,,+ ,y,,+)~
=p(O~X~+;O~Y~+)=
~ f I' f I' 4xydxdy ~
~ 4 [;'IT:r ~ 16
Fig. 7.4
,
Para v.a. contínuas, podemos também ralar em distribuições mar·
ginais e condicionai s. Ver Problemas e Complemento s.
PROBLEMAS E COMPLEMENTOS
18. Um "sinal'· consiste em uma série de vibrações de magnitude X, tendo os valores
I. o. -I, cada um com probabilidade 1/3. Um "ruído·' consiste em uma série de vi·
brações de magn itude Y. tendo os valores 2, O e -2 com probabilidades 1/6.2/3 e 1/6,
respectivamente. Se ruidos e sinais são combinados, a soma consiste em vibrações
de magnitude Z = X + Y. Construir a função de probabilidade para Z e calcular s ua
média e variância. admitindo a independência de ruido c sinal.
176
(
~
.,. Numa comuni dade em que apenas 10 casais trabalham. fez-se um levantamento no
qual foram obtidos os seguintes valores para os rendimentos anuais:
Casal Rendimtnlo do Homem (H) Rem/imenlo lia Mulher (Y)
I 10 5
2 10 10
3 5 5
4 10 5
5 1"5 5
6 10 10
7 5 10
8 15 10
9 10 10
10 5 10
Um casal é escolhido, ao acaso. entrc os 10. Seja X o rendimento do homem e Yo ren·
dimento da mulher:
(a) Construa a distribuição de probabilidade conjunta de X e Y.
(h) Determine as distribuições marginais de X e Y.
(e) X e Y são variàveis independentes'! Justifique a resposta.
(a') Calcule E(X). E(}"), Var(X), Var{Y) e Cm-(X. Y).
(e) Considere a variável Z igual à soma dos vencimentos do homem e da mulher.
Calcule E(Z) e Var(Z).
(j) Supondo que todos os casais tenham a renda de um ano d isponível. e que se vâ
oferecer ao casal esco lhido a possib ilidade de comprar LIma easa pelo preço de
apenas 20 u.m .. qual a probabilidade de o casal escolhido poder efetuar a compra '!
10. Suponha que realiumos um experimento. e os resultados possiveis são 11",. "'l. "'3.
11"4 e II"s' Definimos as v.a. X e Y. cujos valores em cada ponto 11" sào dados na tabe·
la abaixo.
Resll//ado X Y
'-, 3 I
'-, 2 2
'-, 2 O
11"01 I O
lI"s 3 2
Obtenha as distribuições de probabilidade de X. Y. X + Y. X -Y -1 e X -Y, su­
pondo que os 5 resultados tcnham a mesma probabilidade. Faça um diagrama de dis­
persão para as variáveis X e Y. Idem põlra X e X + Y.
177

,
21. Numa sala estão 5 crianças, cujas idades são: 3,3,4.5,5. Escolhem-se 3 crianças
acaso para foonar uma trinca. X indica a idade da mais nova da turma, e Y a ida:
da mais velha.
(a) Escrever a f.p. conjunta de X e Y.
(b) Cakular E(X) e Var(X).
(c) Calcular Cov(X, Y).
(ri) Calcular Var(X + Y).
22. A distribuição de notas de um cerlO tipo de teste e norma! com IJ.H = 70 e o H == la pa~
os homens e IJ.M = 65 e 11M = 8 para as mulheres. Se esse teste é proposto numa classe
em que o número de home ns é Igual ao dobro do numero de mulheres, qual a po ,.
centagern de pessoas que deverá obter nota maior que 80'1
23, Se E(X)=IJ. e Var(X)=u
1
, escreva em função de IJ. e 0
2
as seguintes expresSôes:
(a) E(,Y'l) (h) E[X(X -I»)
24. Em um estudo sobre rotatividade de mão-de-obra, foram definidas para uma \:crta
população as v.a. X = numero de empregos QUC um funcionário teve no último ano
e Y = salário. Tabulados os dados, foi obtida a seguinte distribuição conjunta:
X
2 J 4 Dados:
y
E{X) = 2.5
DP(X) = 1,0
800 O O 0,10 0, 10 E(r) = 2.120
1.200 0.05 0,05 0,10 0,10
DP(Y)
= 1.505,2
2.000 0 ,05 0,20 0 ,05 O
'.000 0,10 0,05 0 ,05 O
(a) Calcular P(X = 2) e P(X = 2 [ Y= 1200). X e Y são independentes?
(b) Obter p e interpretar este coeficiente em termos das variaveis em estudo.
25. Uma urna contém 3 bolas numeradas O, 1,2. Duas bolas são retiradas ao acaso e su­
cessivamente. X = mimero da L' bola retirada e Y = numero da 2.' bola retirada.
Calcule:
(a)
E(Xy) (b) Cov{X, r) (e) Var(X + Y),
nos casos em que as bolas são retiradas
i) com reposição;
ii}
sem reposição.
26. Prove a relação (7.22) do texto.
27, Distribuiçiies Marginais; V.a. Conlin Ull!J. Na seção 7.5, vimo~ que uma v.a. bidimen­
sional (X, Y) é caracterizada por uma f.d.p.-f(x. y), satisfazendo às condições
(7.23) ~ (7.25). As [d.p. marginais de X e Y são dadas por
g(x) "" f" Jl.x, y)dy
-•.
f7.26)
178
(
,
h(y) = f'" ilx, y)dx,
-.
respectivamente.
Determine g(x) e h(y) para a f.d.p. ilx.y) do exemplo 7.13.
28-As v.a. X e Y têm distribuição conjunta dada por:
f(x,y) = {+.t(X-y), O <.t < 2, ~x <y<.t
O , nos demais pontos.
(a) Faça um gráfico do domínio de variação de x e y.
(b) Prove que I~", I ~",Jl.t, y)dxdy = I.
(c) Encontre os f.d.p. marginais de X e Y.
ZfJ. Suponha que as v. a. X e Y tenham f.d.p. con junta
{
e~~+rl. x> O. y> O
flx.y) =
O . nos demais pontos.
(a) Encontre as f.d.p. marginais de X e Y.
(b) Calcule prO < X < I, I < Y < 2).
(7.27)
30. Se Pxr é o coeficiente de correlaç-Jo entre as v.a. X e Y. e se temos que Z = AX + B
e W=CY+D, onde A>O, W>O, mostre que:
Pxr = p~w ·
31. Uma urna contem n bolas numeradas de I ate /I. Duas bolas são retiradas sucessiva­
mente, sem reposição. Determine a distribuição da diferença entre os dois nútneros
obscrvados.
31. Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias com Var{X) = I, Var( r) ='2 e p(X Y) = 1/2.
Determine Var(X ~ 2Y).
3J. Sejam X e Y v.a. com E(X)= E(r) = O e Var(X) = Var(Y) =: I. Prove que p(Z, U) = O,
onde Z=X+ Y e U=:X-Y.
34. Distribuições Condicionais: V.a. Continuas ~ Sejam X e Y v.a. continuas com f.d.p.
conjunta
f(x, y) e
g(x) e h(y), dados por (7.26) e (7.27).
A [d-p. cO/ldicional de X, dada que Y = y, é definida por
f(x [y) = f(x, y), h(y) > O. (7.28)
1J(y)
(a) Prove que I~,J (x [ y)dx = I para y fixo.
(b) Calcule f{x [y) e Iú' I xl para a f.d.p. fix, y) do eJlemp!o 7.13.
(c) Idem para f(x, y) do problema 28.
179

35. Variheis AIeJ.tória~ ~ontínua s Independen~es -As v.a. )( e Y. com f.d.p. Conjunta
f(x. y) e f.d.p. marginaIS g(x) e h(y), respectIvamente, são independen ~ se, e SOmente se,
j{x, y) = g{x) . hl» ('1.29)
para lodo par (x. y).
(a) Prove (7.10) para X e Y contínuas.
(b) Se X: N(pl.un e Y: N(pI' ui), e X e Y sào independentes, encontre a es~ra (
e a variância da v.a. aX + b Y, a e b constantes. nça
(c) Um fato importante é o segui:lte: se XI .... , X. são v.a. normais e independem
então, X, + ... + X. é uma v.a. normal. Qual a média e a variãncia de X, + ". +~'
se cada Xi é N{prouf), i= I •.... n? •
36. As v.a. X e Y do problema 28 sào independentes?
37. Mostre que X e Y do problema 29 são independentes.
38. Se X I , ... , X. são v.a. independentes. cada Xi com média }).. e variãncia /T1, i = I
, , .... ,/I
calcule E(X) e Var(X). onde ' . ,
X = X, + ... + X,.
"
39. Calcule E(:f) e Var(l') para o problema 38, se todas as v.a. Xi têm a mesma m&lia IA
e a mesma variãncia UI.
40. Vamos considerar as variáveis X e Y, com os respectivos parâmetros
180
logo,
A runção
E(X) =
}).!
E(Y) = pl
CM(X, n = U11'
f(1) = E!(X-}).I) + I(Y-}).lW =
Var(X) = u;
Varj n '" ui
= E[(X_}).,)l + 2/(X-}).!l (Y-}).1)+t
1 (Y_P1)lj
=
= CT~ + 2tCT 11 + 11ui
ê sempre positiva ou nula, quaisquer que sejam os parâmetros O"i, uf e u 12' Sendo
um trinômio do segundo grau, a função acima deve ter o discriminante negativo ou
nulo, isto é:
ou seja,
que implica
(
~) l ..;;;1.
alO"I
pl ..;;; I.
AJlTE 111 ,
rNFER~NCIA ESTATISTICA
CAPíTULO 8
-
Introducão à Inferência
•
Estatística
-
8,1, INTRODUÇÃO
Na Parte l, vimos como resumir descritivamente um conjunto de dados.
Na Parte 11, vimos como construir modelos probabilísticos para des~
crever alguns fenômenos. Nesta parte, iremos ver como reunir os dois
tópicos para estudar um ramo muito importante da Estatística conhecido
como Inferência Estatística, ou seja, como fazer afirmações sobre caracte~
risticas de uma população, baseando~se em resultados de uma amostra.
O uso de informações da amostra para concluir sobre o todo faz parte
da alividade diária da maioria das pessoas. Basta observar como uma
..çozinheira verifica se o prato que ela está preparando tem ou não a quan~
tidade adequada de sal. Ou ainda, quando uma dona~de·casa, após ex~
perimentar um pedaço de laranja numa banca de feira, decide se as compra
ou
não. Essas são decisões baseadas em procedimentos amostrais.
Nosso objetivo nos capítulos seguintes é procurar a conceituação
fonnal desses princípios intuitivos do
dia*a~dia para que possam ser
utilizados cientificamente
em situações mais complexas.
8,2, POPULAÇÃO E AMOSTRA
Nos capítulos anteriores, tomamos conhecimento de alguns modelos
probabilísticos que procuram medir a variabilidade de fenômenos ca~
suais de acordo com suas ocorrências: as distribuições de probabilidades
de variáveis aleatórias (qualitativas ou quantitativas). Na prática, rara~
mente o pesquisador sabe qual distribuição representa a sua variável.
Por exemplo, parece razoáv el supor que a distribuição das alturas
dos brasileiros adultos possa ser representada por um modelo normal.
181

Mas esta afirmação não é suficiente para determinar qual a distribuição
normal correspondente; precisaríamos conhecer os parâmetros (média
e variância) desta normal para que ela ficasse muito bem caracterizada.
O propósito do pesquisador seria, então, descobrir os parâmetros da dis.
tribuição para sua posterior utilização. "
Se pudéssemos medir as alturas de todos os brasileiros adultos
teriam
os meios de obter a sua distribuição exata e, daí, produzir os
Cor~
respondentes parâmetros.
Contudo, raramente se consegue obter a distribuição exata de alg uma
variável, ou porque isto é muito dispendioso, ou muito demorado ou às
vezes porque consiste num processo destrutivo. Por exemplo, se estivés.
semos observando a durabilidade de lâmpadas e testássemos todas
até
queimarem, não restaria nenhuma para ser vendida. Assim, a
solUção é
selecionar parte dos elementos (amostra), analisá·la e inferir propriedades .
para o todo (população). Este é o objetivo da Inferência Estatística.
Assim, dois conceitos básicos são necessários para o desenvolvi­
mento da Inferência Estatística: população c amostra.
Definição. População é o conjunto de indivíduos (ou objetos), tendo
pelo menos uma variável comum observáve
l.
Definição. Amostra é qualquer subconjunto da população.
Vejamos outros exemplos para caracterizar essas definições:
Exemplo
8.1. Consideremos uma pesquisa para estudar os salários
dos 500 funcionários da Companhia Milsa. Seleciona·se uma amostra
de
36 individuos, e
anotam·se os seus salários. A variável a ser observada
é o salário. A população é formada pelos 500 funcionários da companhia.
A
amostra é constituída pelos 36 indivíduos selecionados. Na realidade,
estamos interessados nos salários; portanto, para sermos mais precisos,
devemos considerar
como população os
500 salários correspondentes
aos 500 funcionários. Conseqüentemente, a amostra será formada peJos
36 salários dos indivíduos selecionados. Podemos estudar a distribuição
dos sal.
árias na amostra, e esperamos que a mesma reflita a distribuição
de todos
os salários, desde que a amostra tenha sido colhida com cuidado.
Exemplo 8.2. Queremos es
tudar a proporção de indivíduos na cidade
A que são favoráveis a um
ce~to projeto governamental. Uma amostra
de 200 pessoas é sorteada, e a opinião de cada uma é registrada. Então.
a variável
de interesse é a resposta: a favor ou contra o projeto. A
população
182
.' em todos os moradores da cidade, e a amostra é formada pelas
"'
ns
lste
. r" C't I 3
pessoas selecionadas. Podemos, COJTlO Já 101 Visto no apl u o ,
200 . da morador da cidade o valor um, se sua resposta for favorãveJ
.~~llCla r a ca . 'd"d' d"
...-" " zero se for contra. Assim nossa população sera re UZl a ais·
o proJeto, e. ' , ,
a. . -o da variável assumindo o valor O ou 1. E a amostra sera uma
tnbUlça ., .
seqüência de 200 numeros zeros ou uns.
Exemplo 8.3. Queremos investigar a duração de vida de ~m no.vo
.
de lâmpada, pois acreditamos que ela tenha uma
du~açao _ mal~ r
tiPO ue as fabricadas atualmente. Cem lâmpadas do novo tl~ sao del~
do q as até queimarem. A duração em ho ras de c ada lampada e
xadas aces d I" d A
" d Aqui a variável é a duração em horas de ca a ampa a.
r<glstra a. r . d ham
I -o é formada por todas as lâmpadas labflca as ou que ven
popu ;çab 'cadas por esta fábrica A amostra é formada pelas 100 lâmpadas
aserla
fi ' I -
" d s
Notem que neste caso não podemos observar a popu açao, seleÇlonaa. , '. ~ . 1-
. distribuição da duração de Vida das lampadas na popu açao,
ou seja, a I' dA' alguns
" responderia a queimar
todas as ampa as.
SSlm, em .
poiS cor . . d a
ão podemos observar a população toda, POiS ISSO corres pon en
ca50
d
s"rncar todos os elementos da população. Esse proble ma geralmente
a aOl I . d' 'b"' d
é contornado, atribuindo-se um modelo teórico para a Istn U1Ç30, a
variável. Incidentalmente, neste caso, ? modelo geralmente ~d~tado e o
mod I xponencial isto é o conheCimento do problema flSICO sugere
eo e " _ -d
a ~oçàO do modelo exponencial para a duraçao das lampa as.
E / 8 4 Em alguns casos fazemos suposições mais precisas
xempo .. . '
sobre a população (variável). Digamos que X represente o peso re~J d.e
pacotes de café, enchidos automaticamente. Sabe-se que
X tem
d~~tfl.
bui
• armai Sorteamos 100 pacotes e medimos seus pesos. A vana vel
~on . . , . d
de interesse é X, peso de cada pacote. A população .sera o conJ~nt~ e
todos os pacotes enchidos
ou que virão a ser enchidos pela maquma, e que obedece a um modelo normal. E, finalme~te , a amostra será formada
pelas 100 medidas obtidas dos pacotes selecionados.
Exemplo 8.5. Para investigar a "honestidade" de uma moeda, nós
a lançamos 50 vezes e contamos o número de caras observadas. A po­
pulação, como no ~so do exemplo 8.2, pode ser considerada. ~mo a
distribuição da variável
X. assumindo o valor I
~m probabilidade p
se ocorrer cara e assumindo o valor O com probabilidade I·p se ocorrer
COroa, A amos~ra será uma seqüência de 50 números zeros ou uns.
183

1
8.3. PROBLEMAS DE INFERÊNCIA
Como dissemos, o objetivo da Inferência Estatística é produi
f, d " a Irmaçõcs sobre uma da a característica da população, na qual estamo
interessados, a partir de informações colhidas de uma parte dessa POPula~
ção (amostra). Esta caracteristica pode ser representada por uma variáv~1 f
aleatória. Se tivéssemos informação completa sobre a função de pro_
babilidade, no caso discreto, ou sobre a função densidade de probabili.
dade, no caso contínuo, da variável em questão, não teriamos necessidade
de colher uma amostra.
Toda afirmação desejada seria obtida através
da distribuição da variável, usando-se as propriedades estudadas anterior.
mente. Mas isso raramente acontece.
Ou não temos qualquer informação a
respeito da variável, ou ela é apenas parcial. Podemos admitir, como no
exemplo das alturas dos brasileiros adultos, que ela siga uma distribuição
nonnal, mas desconhecemos os parâmetros que a caracterizam (média'
e variância). Em
outros casos, podemos ter uma idéia da média e da
variân_
cia, mas desconhecemos a fonna da curva. Ou ainda, o que é muito freqüen_
te, não possuímos informações nem sobre os parâmetros, nem sobre a forma
da curva. Então, o uso de uma amostra nos ajudaria a fonnar uma opiniào
sobre o comportamento
da variável (população).
Vejamos alguns exemplos simpl
es que nos darão uma idéia do
tijXl
de problemas que a Inferência Estatística pode nos ajudar a resolver.
Exemplo 8.5 (continuação). Voltemos ao. exemplo da moeda. In­
dicando por X o número de caras obtidas depois de lançar a moeda 50
vezes, sabemos que, se tomados alguns cuidados quando do lançamento,
X segue uma distribuição binomial, isto é, X: b(50,p). Esse modelo é
válido, admitindo
ou não a
"honesti dade" da moeda. Ou, em termos mais
precisos, sendo ou não I' = 1/2. Lançada a moeda, vamos supor que tenham
ocorrido
36 caras. Esse resultado evidencia alguma coisa sobre a
"ho­
nestidade" da moeda? Para torparmos uma decisão, podemos partir
do princípio de que a moeda não favorece nem cara e nem coroa, isto
é, I' = 1/2. Com este parâmetro, no modelo binomial podemos encontrar
qual a probabilidade de se obter
36 caras ou mais, e este número nos
ajudaria a tomar uma decisão. Suponhamos que tenhamos sido levados
L
a. rejeitar a
"honestidade" da moeda; qual a melhor estimativa para p,
baseando-se no resultado observado?
Descrevemos ai os dois problemas básiC9S da Inferência Estatística:
o primeiro é chamado teste de hipótese e o segundo, estimação. Nos capí­
tulos seguintes, estes problemas serào abordados com mais detalhes.
184
. Exemplo 8.4 (continuação). Às vezes, o modelo teórico associado
ao problema não é tão evidente como o visto no exemplo anterior. No
caso da máquina de encher pacotes de café automaticamente, digamos
q
ue ela esteja regulada para enchê-los segundo uma normal com média 500 gramas e desvio padrão de 10 gramas, isto é, X : N(5oo, 100). Sa­
bemos também que. às vezes, a máquina se desregula e, quando isso
acontece, o único parâmetro qu~ se altera é a média (500 g), pcnnane­
cendo a variância a mesma. Para manter a produção sob controle, iremos
colher uma amostra de 100 pacotes e pesá-los. Como essa amostra nos
ajudará a
tomar uma decisão? Parece
razoável, neste caso, usarmos a
média x da amostra como a infonnação pertinente para wna ~ecisão.
Mesmo que a máquina esteja regulada, dificilmente x será igual a 5OOg,
uma vez que os pacotes têm uma certa variabilidade no peso. Mas se
_~ não se afastar muito de 5OOg, não existirào razões para suspeitannos da
qualidade
da sua produção. Só iremos pedir uma revisão se
i-5oo, em
valor absoluto, for '"muito grande ". O problema que se apresenta agora
é o de decidir o que é próximo ou longe de 500 g. Se o mesmo procedi­
mento de colher a amostra de 100 pacotes fosse repetido um número
m
uito grande de vezes, sob a condição da máquina estar regulada,
leríamos idéia do comportamento de
x, e saberíamos dizer se aquele
v
alor observado é ou não evento raro de ocorrer.
Caso o seja, é mais
fácil suspeitar da regulagem da máquina do que do acaso. Vemos, então,
a i~rtância neste caso de se conhecer as propriedades da distribuição
de x.
Repetir um mesmo experimento r:nuitas vezes, sob as mesmas condi­
ções, nem sempre ê possível, mas, em determinadas condições, é possível
determinar teoricamente o comportamento de algumas medidas feitas
na amostra, por exemplo, a média. Mas isso depende em grande parte
do
plano adotado para selecionar a amostra. Assim, em problemas
en­
volvendo amostras, antes de tomannos uma decisào, teríamos que res­
ponder a três perguntas:
(i) Como escolher a amostra?
(ii) Que informação pertinente (estatística) será retirada da amostra?
(iii) Como se comporta a estatística quando o mesmo procedimento
de escolher a amostra ê usado numa população conhecida?
Nas seções e capítulos subseqüentes, tentaremos responder a essas
perguntas e mostraremos como usar os resultados.
185
I

8.4. COMO SELECIONAR UMA AMOSTRA
As observações colhidas numa amostra sào tanlo mais informativas
sobre a população quanto mais conhecemos esta mesma população.
Por exemplo, a análise da quanüdade de glóbulos brancos obtida 'f
.
algumas gotas de sangue das pontas do dedo de um paciente dará Unta
idéia geral da quantidade de glóbulos no corpo todo, pois sabe-se que a
distribuição dos glóbulos brancos é mais ou menos homogênea, e de
qualquer lugar que se tivesse retirado a amostra ela seria "representativa".
Mas nem sempre a escolha de uma amostra representativa é imediata.
Por exemplo, voltando ao exemplo 8.2, onde queríamos obter uma amos_
tra de habitantes para saber sobre um projeto governamental, se escolher.
mos intencionalmente
uma amostra de
200 indivíduos moradores de uma
certa região que será beneficiada pelo projeto, saberemos de antemão que o
resultado conterá um "viés de seleção", Isto é, na amostra, a propOrção
de pessoas favoráveis ao projeto deve ser maior do que no todo.
A maneira
de se obter a amostra é tào importante, e existem tantos
modos de fazê-lo, que estes procedimentos constituem uma especialidade
dentro da Estatística, conhecida como Amostragem. Mas esses vários
procedimentos
podem ser agrupados em dois grandes grupos: os chamados
planos probabilísticos e planos não-probabilísticos.
O primeiro grupo reúne
todas. aquelas técnicas que usam mecanismos aleatórios de seleção dos
elementos
da amostra, atribuindo a cada um deles uma probabilidade,
conhecida
a priori, de pertencer à amostra. No segundo grupo estào os
demais procedimentos, tais como: amostras intencionais, onde os
ele­
mentos são selecionados com auxílio de especialistas, c amostras de
voluntários, como ocorre em alguns testes sobre novos remédios.
Ambos os procedimentos tem suas vantagens e desvantagens, A grande
vantagem das
amostras probabilísticas é medir a precisão da amoslra
obtida, baseando-se no resultado
contido na própria amostra. Tais medidas
já são bem mais dificeis para os procedimentos do se gundo grupo.
Neste livro, iremos nos
concentrar no caso mais simples de
amos­
tragem probabilística: Amostragem Casual Simples.
PROBLEMAS
I. Dê sua opinião sobre os tipos de problemas que surgiriam nos seguintes planos amos­
trais:
186
(a) Para investigar a proporção dos operários de uma fábrica favoráveis à mudança
do inicio das atividades das 7:00 h para as 7:30 h, decidiu-se entrevistar os 30 pri­
meiros operários que chegassem na fábrica na quarta-feira.
M
e
smO
procedimento, só que o objetivo é estimar a altura média dos operários.
~ . . ,. ,. 'd I .
Para estimar a porcentagem méd13 da receita mUnlClpa investi a em azer. enVLa-
(e) ram.se questionários a todas as prefeituras, e a amoslra foi formada pelas prefeituras
que enviaram respostas.
d
Para verificar o efeito de brinde nas vendas de sabão em pó. tomaram-se 4 super­
t ) mercados da zona sul e 4 da zona norte de uma cidade. Nas 4 lojas da ~na sul,
o produto era vendido com brinde, enquanto que nas outras 4 era \lendldo sem
brinde. No fim de um mês, compararam·se as vendas da zona sul com as da zona
norte.
2. Refazer problema 7 do Ca~itulo 7.
8.5. AMOSTRAGEM CASUAL SIMPLES
A maneira mais fácil de selecionarmos uma amostra é atribuir a
da elemento da população a mesma probabilidade de seleção, e repor
~ elemento sorteado na população antes do próximo sorteio. Podemos
b
ter uma
amostra nestas condições, escrevendo cada elemento da
po-
o d -
I ç
ão num cartão misturando-os numa urna e sortean o tantos cartoes
pu a , . . . '.
uantos desejarmos na amostra. Este procedImento torna-se IOvlavel
~uando a população é muito gr?nde. Neste caso, usa-se. um processo
"alternativo, onde os elementos sao numerados e em segUIda sorteados
através de
uma tabela de números aleatórios. (Veja sua utilização em
Problemas e Complementos.)
Vejamos com maiores detalhes o significado mais preciso
de amostra.
Exemplo 8.6 -Voltemos ao problema 2, em que colhíamos todas
as possíveis amostras de tamanho 2, com reposição, da população
~ 1.3,5,5, 7}. Definida a variável X = valor assumido pelo elemento na
população, temos
que a distribuição de X é dada por
x J 5 7
1/5 1/5 2/5 1/5
Indicando por XL o número selecionado na primeira extração e por X2
o nÚmero extraído na segunda extração, vimos que era possível escrever
a distribuição conjunta
do par (X I' X 2)' Vimos ainda que as distribuições
marginais de
X L e de X 2 eram independentes e iguais à distribuição de X.
181

1
Assim, as 25 possivcis amostras de tamanho 2 que podemos extrair dessa
população correspondem a observar uma particular realização da
variável aleatória (Xl' X
2
), Xl eX 2 independentes, e tais que P(X 1 == x):::::
= P(X
2
= x)= P(X=x) para todo x. Veja a Tabela 8.1. Esta é a caract e_
rização de amostra casual simples que iremos usar neste livro.
Dtfinição. Uma amostra casual simples de tamanho 11 de uma Va_
riável aleatória X com uma dada distribuição é O conjunto de n variáveis
aleatórias independentes XI. X2 •.. " X". cada uma com a mesma dis_
tribuição de X. Ou seja., a amostra será a n-upla ordenada (XI' X 2' "', X~),
onde Xi indica a observação do i-ésimo elemento sorteado.
PROBLEMAS
3. A dislribuição do número de filhos, por família, de uma zona rural ~slâ no quadro
abaixo.
N." de Filhos Porcentagem
O
10
1 20
2
J()
J 25
4
"
TOTAL 100
(o) Sugira um procedimento para sortear uma observação ao acaso dessa população.
(b) Dê, na forma de uma tabela de entrada dupla, as possíveis amostras de duas famí·
lias que podem ser formadas e as respe<:tivas probabilidades de ocorrência.
(r) Se fosse colhida uma amostra de tamanho 4. qual a probabilidade de se obscmlr
a quádrupla ordenada (2,3,3. 1)1
8.6. ESTATíSTICAS E PARÂMETROS
Obtida uma amostra, muitas vezes desejamos usá·la para produzir
alguma característica
da amostra.
Por exemplo, se queremos calcular
a média da
amostra
(Xl, X2 •... , XII)' esta será dada por
X=~ {X, +X,+ ... +X.).
n
É facil verificar que X é também uma variável aleatória. Podemos
também estar inte ressados em qualquer outra característica da amostra,
que sempre será uma função do vetor aleatório (XI' X
2
, .... X~).
188
Definição. Uma estolística é uma característica da amostra, ou seja,
ma estatística T é uma função de X L' X2, .. '. X~ . T = flXI> X 2, ,. " X,,).
li As estatísticas mais comuns são:
-I -<-X (:d' d X=-L. I: m la a amostra,
fi i= I
S2 = _1_ t (Xi -X)2: variância da amostra,
n~ I i"'
X(I) = min{X .. X
2
•
"', X~): o menor valor da amostra,
X (~I = max(X
1
, X
2, ... , X~) : o maior valor da amostra,
W=X(~)~X(II: amplitude total da amostra,
Xli) = i-ésima maior observação da amostra.
,,' = ~ i (X,-X)'
11 i. I
Para facilitar a linguagem usada em Inferência Estatística" iremos
diferenciar as características da amostra e da população.
Definição, Um parâmetro é uma medida usada para descrever uma
característica da população.
Assim, se estamos colhendo amostras de uma população identi­
ficàda pela v.a. X, então. seriam parâmetros a média E{X) ou, ainda.
s
ua variância Var(X). Os símbolos mãis comuns sào dados na tabela a seguir.
Estatística População
Média X ~
Variância S' .'
N.O de elementos n N
Proporção p p
8.7. DISTRIBUiÇÕES AMOSTRAIS
Vimos na seção 8.3 que o problema da Inferência Estatística é fazer
uma afinnação sobre parâmetros da população através da amostra.
Digamos que nossa afirmação deva ser feita sobre um parâmetro O da
'89

população (média, variância ou qualquer outra medida). Decidimos que
usaremos uma amostra casual simples, com reposição, de n elementos
sorteados dessa população. Também decidimos que a nossa decisão
serâ baseada
na estatística
T, que serâ uma função da amostra
(Xl. Xz, ... ,X,,), ou seja, T=j{X"X
2
,
••• ,X,,). Colhida uma amost ra
teremos observado um particular valor de T. digamos to, e baseados ness~
valor é que faremos a afirmação sobre 0, o parâmetro populacional.
A validade da nossa resposta seria melhor compreendida
se soubés.
semos o que acontece com a estatística
T, quando retiramos todas as
amostras de uma população con
hecida segundo o plano amostrai adotado.
Isto
é, qual a distribuição de Tquando (Xl. X2
•.... XII) assume todos os
valores possíveis. Esta distribuição é chamada de dislribuição amo.flral
da eSlurÍSlica T e desempenha papel fundament al na teoria de Inferência
Estatística. Esquematicamente. teriam os o procedimento representado
na
Figura 8.1, onde temos:
(i) Uma população X, com um certo parâmetro
O de interesse.
(i i) Todas as amostras retiradas da população. de acordo com um
certo procedimento.
(iii) Para cada amostra. calculamos o valor r da estatística T.
(i v) Os valores de ! formam uma nova população. cuja distribuição
recebe o nome de distribuição amostrai
de T.
POPULAÇÃO AMOSTRAS
x
,
------------Q
k •
'"
,
,
,
,
,
,
,
,
I ,
Ihl
Fig. 8.1 Distribuição amostraI da eslatí stica T
Vejamos alguns exemplos simples para aclamr um pouco melhor
o conceito
de distribuição
amostraI.
'90
f
. Exemplo 8.7. Voltemos ao exemplo 8.6. onde selecionamos todas
mostras de tamanho 2, com reposição, da população lIJ.5.5.7}. A
~~s~ribuiçà O conjunta da variâvel bidimensional (Xl' X2 ) é dada na
Tabela 8.1.
TABELA 8.1
_ Distribuição das probabilidades das po ssíveis
amostras de tamanho 2 que podem
ser
seleciona­
da' com repo,ição da população 11 ,3,5,5,7 J.
~
TOTAL
I 3 5 7
X, ~
I 1/25 1(25 2(25 1(25 1(5
3 1(25 1/25 2(25 1(25 1(5
5 2/25 2( 25 4(25 2( 25 2(5
7 1(25 1(25 2/25 1( 25 1(5
TOTAL 1(5 1(5 2 (5 1(5
I
.
Vejamos qual a distribuição amostrai da estatísl ica
x= X1+X2
2
Esta distribuição é obtida através da Tabela 8.1. Por exemplo. quando
a
amostra selecionada é o par (1,1
l, corresponderâ li média 1; então.
temos P(X= 1)= 1/25. Obteremos média igual a 3 quando oçorrer o
evento A=j(I,5), (3,3). (5.1);. logo.
__ 2 I 251
P(X ~ 3) ~ P(A) ~ 25 + 25 + 25 ~ 25 ~ '5.
Procedendo de modo análogo. obtemos a distribuição amostraI da
estatística
X (Tabela 8.2 e Figura 8.2).
TABELA 8.2 -Dislribuição amostrai da estatística
X.
x 2 3 4 5 6
7 TOTAL
P(X ~ x) 1(25 2(25 5(25 6(25 6(25 4(25 1(25 1.00
'9'

•
r­
,
,
,
r---'" ,
,
,
2
r---r---~
, ,
,
,
r ___ ...J
, '
, '
, '
,
-~ ,
,
,
,
,
,
,
3 4 5
,
,
,
~-
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
-,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
f----.,
, ,
, ,
, ,
6 7 •
Fig. 8.2 Dislribuição de X (linha cheia) e de X (linha tracejada)

Com um procedimento análogo, podemos determinar a distribuição
amostrai da amplitude
total
W, dada na Tabela 8.3.
TABELA 8.3 -
Distribuição amostrai de
W.
w o 2 4 6 TOTAL
7/25 10/25 6/25 2/25 1,00
__ ----L-__
Ou, ainda, da variãncia S2 (Tabela 8.4).
TABELA 8.4 -D istribuição amostrai de S2
s' o 2 8 18 TOTAL
P(S'=s') 7/25 10/25 6/25 2/25 1,00

ExemplQ 8.5 (continuação). No caso de lançarmos a moeda 50 vezes,
u
sando como estatística o número de caras obtidas, a derivação da dis­
tribuição amostrai, que já foi vista, segue o modelo binomial
b(50,p),
192
fi
ualquer que seja p ~ probabilidade de ocorrência de cara num lança­
~enIO , O <p < I. Se estamos interessados em julgar a "honestidade"
da moeda, queremos verificar se p = 0,5. Nestas condições a
p(X;,361 ,,= 50 e p = 0,5) ':' 0,001 3 = 1,3°/00_ _ _
Assim, caso a moeda seja honesta, em 50 lançamentos a probabili­
dade de obter 36 ou mais caras é da ordem de I ~r I 000. Serâ que fomos
tão infelizes em nossos lançamentos, ou é o parâmetro p = 0,5 que nào
está correto? Neste caso, parece existirem evidências contra p = 0.5.
Comparando os dois últimos exemplos, vemos que nos interessa
determinar propriedades das distribuições amostrais que possam
ser
aplicadas
em casos gerais (como no caso do binomial) e não em casos muito
particulares (como no exemplo 8.7). Iremos agora
estudar as distribuições
amostrais de algumas estatísticas, para que, nos próximos capítulos,
possamos mostrar como usá-Ias para inferir resultados para a população.
PIIOBlEMAS
... Usando os dados da Tabe la 8.1, construa a distribuição amostraI da estatística aI.
5. No problema 3. se X indica O número dé rilhos na população, Xl o numero de filhos
observados na primeira extração e X 1 na segunda:
(a) Calcule E(X) e Var(X).
(b) Calcule E(Xr) e Var{X,), para i= I. 2.
(e) Construa a distribuição amostraI de X _ Xl; X
2
•
(a')
Calcule E(X) e Var(X).
(e) Faça num mesmo desenho o histogra ma de X e de X.
, I '
(j) Construa as distribuições amostrais de SI = ~)X j -xi e õ
1
= -L (Xj -X)I.
, 2 ,
11) Baseado no resultado de (j) qual dos dois eslimadores você usaria para estimar
Var(X)? Por quê?
(11) Calcule P( I X -I" I > 1).
6. Ainda com os dados do problema 3, e para amostras de tamanho 3:
(a) Determine a distribuição amostraI de X, e faça o histograma.
(b) Calcule E(X) e Var(X ).
(e) Calcule P( I X -I" I> I).
(ti) Se as amostras rossem de tamanho 4, a P(j X -I" I> I) seria maior ou menor do
que a probabilidade encontrada em (t)? Por quê?
193
•
I
•
)
!

•
8.8. DISTRIBUiÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA
Vamos estudar agora a distribuição amostraI da estatística X~ a
média
da amostra. Consideremos uma populaç ão identificada pela
variável
X, cujos parâmetros média populacional
!.1 = E(X) e variância
populacional (12 = Var(X) são supostamente conh ecidos. Vamos retirar
todas as possíveis amoslras casuais simples de tamanho n dessa popula.
ção, e para cada uma calcular a média X. Em seguida, construamos a
distribuição amostrai e estudemos suas propriedades. Ilustr emo~ 'com os
dados do exemplo 8 .7.
Exemplo 8.8. A população fi ,3,5,5,7} tem média Jl = 4,2 e (T2 = 4,16
- . ,
e a distribuição amostrai de X para n = 2 está na Tabela 8.2. Baseando-nos
naqueles
dados, podemos verificar que:
De
modo análogo, encontramos
Var(X) = 2,08. (Verifique este número.)
Será
que foi coincidência o fato de a média das médias amostrais tcr
coincidido com a média p opulacional? E a variância de
X ser igual à
Var(X) dividida por 2? Não, vamos mos trar que isso sempre acontece.
Teorema 8. 1. Seja X uma v. a. com méd ia J1 e vanància (J2, e seja
(XI' X
2
, .•. , X
n
) uma amostra casual simple s. Então, se
temos
X=X1+X2+···+Xn
11
E(X) ~" e
Prova. Pelas propriedad es vistas no Capitulo 7, temos:
- 1 .
E(X) ~ -:E(X,) + E(X,) + ... + E(X.): ~
n
'94
,
De modo análogo, e pelo fato de as variáveis serem independentes, vem
Já detenninamos a média e a variància da distribuição de X. Para
derivar as demais propriedades de X, bastaria a~or~ de~er~i~1ar q~a l a fonna
(modelo probabilístico)
da
curv~ referent.e a dlstnbUlçao ( hl,st.ograma)
de X. A derivação dessa propnedade. eXl~e recu'rsos matem~t.lcoS que
tão fora
dos objetivos deste livro.
Assim...!. Iremos mostrar emplflcamenle
~ que aconcete com a distribuição de X.
Exemplo 8.8 (continuação). Na ~pulação p ,3,5,5,7], construi mos
os histogramas das distribuições de X para fi = 1, 2 e 3.
(i) Distribuição de X para fi = I; a distribuição coincide com a
distribuição de X.
Var (XJ = 4.16
[,
- -
3 E(X) 5 7
'95
f

1
(i i) Distribuição de X para ti = 2, baseado na Tabela 8.2.
I
2 3
. ,
4
E(XJ
5
Var (X) '" 2,0
I
.
6 7
(iii) Distribuição de X para n = 3, baseado na Tabela 8.5.
,--
c-
f-
,--
-
B
c-
Var (XJ '"
-
1
)<"
~ I. ---,
-
E(X)

Observe que, conforme n vai aumentando, o histograma vai ficando
mais serrilhado e tende a concentrar-se cada vez mais em torno de E(X).
Os casos extremos passam a ter pouca probabilidade de ocorrência.
Quando
n for suficientemente grande, o histograma alisado aproxima-se
da distribuição normal. Esta convergência é melhor
verificada,
aitdli­
sando-se os resultados da Figura 8.3, que mostra o comportamento do
histograma de X para várias pópulações e diversos valores do tamanho
da amostra n.
196
"
,-
"
,-
o
~
•
M o
N
N
" < <
<
<
'" '" '" '"
o • • • -.
<
<
<
<
,-
Fig. 8.3 Histogramas correspondentes à distribuiçào amostrai de algumas
populações
197

TABELA 8.5 -Distribuição amostraI de algumas estatís ticas
obtidas de amostra de
tamanho
11=3, retiradas
da população 11,3,5,5,7) (}J.=4,2; (J2=4,16 e
Md~ 5).
Tipo de Freqüência
Soma
Soma de Média Mediana Variância
Amoslra
(prob x
125) Quadrados i md .I' li'
111 I 3 3 1,00 I O O
113 3 5 11 1,67 I 4/3 8/9
115 6 7 27 2,33 I 16/3 .3219
117 3 9 51 3,00 I 12 8
133 3 7 19 2,33 3 4/3 8/9
135 12 9 35 3,00 3 4
8/3
137 6 11 59 3,67 3 28/3 56/9
155 12 11 51 3,67 5 16/3 32/9
157 12 13 75 4,33 5 28/3 56/9
177 3 15 99 5,00 7 12 8
333 I 9 27 3,00 3 O O
335 6 11 43 3,67 3 4/3 8/9
337 3 13 67 4,33 3 16/3 32/9
355 12 13 59 4,33 5 4/3 8/9
357 12 15 83 5,00 5 4 8/3
377 3 17 107 5,67 7 16/3 32/9
555 8 15 75 5,00 5 O O
557 12 17 99 5,67 5 4/3 8/9
577 6 19 123 6,33 7 4/3 81'
777 I 21 147 7,00 7 O O
TOTAL 125
Os exemplos vistos sugerem-nos que, quando o tamanho da amostra
a~m~n~ , independend~ da distribuição da população original, a dis­
tnbUlçao amostraI de X aproxima-se cada vez mais de uma distribuição
normal. Este I"esultado, fundamental na teoria de Inferência Estatística
é conhecido
como Teorema Limite Central.
-'"
Teol"ema 8,2, Para amostras casuais simples (Xl' X
3
,
•..
, X
n
),
re­
tiradas de uma população com média J1. e variância 0"2, a distribuição
198
ostral da média X = (X 1 + X 2 + ... + X")/n aproxima-se de uma dis­
a~buiÇãO normal com média 11 e variância (12/n, quando" tende ao infinito.
In . . d'
Este teorema deve ser aceito sem demonstração, poiS como lssemos
esta exige recursos que est
ão fora do objetivo deste livro:
O 2mp?rtante
é sabermOS como usar esse resultado. Vejamos uma aphcaçao SImples.
Exemplo 8.9. Voltemos ao exemplo 8.4, onde a máquina enchia
cotes clljos pesos seguiam uma N(5oo, 100). Colhendo uma amostra
~: 100 pacotes e pesando-os, sabemos pelo Teorema Limite Central que
X terá distribuição normal, com média 500 e variância 100/100= I (g)2.
Assim, se a máquina estiver regulada, a probabilidade de encontrar­
moS a média de 100 pacotes diferindo de 500 com menos de 2 gramas
será
P(I X -500 I < 2)~ P(498 < X d02) ~ P(-2 <Z < 2) "95%.
Ou seja, dificilmente 100 pacotes terão uma media fora do intervalo
}498, 502[. Caso 100 pacotes apresentem uma média fora ~esse intervalo.
podemos considerar como sendo um evento raro, e sera razoável des­
confiar que a máquina esteja desregulada.
Outra maneira de apresentar o Teorema Limite Central é atraves do
Corolário 8.1. Se (Xl' X
2
,
•..• X~)
é amostra casual simples da po­
pulação X com media 11 e variância (J2, e X = (Xl + X2 + ... + Xn)/II,
então,
Z~X-~ _ N(O, I).
"1.fiI
Basta notar que se usou a transformação usual de reduzir a distribuição
de X a uma distribuição nonnal padrão.
Seja
e a variável aleatória
sue mede a diferença entre a estatística X
e o parâmetro 11, isto é, e = X.-11; então, temos o
COl"Olário 8.2. A distribuição de e aproxima-se de uma distribuição
normal com média O e variãncia (J2/n, isto é, e : N(O, (J2/n). (Por quê?)
O Teorema Limite Central afinna que X aproxima-se de uma normal
quando fi -tende para íilHnito. É fácil perceber (veja Figura &:"3rque a
rapidez dessa convergência depende
da distribuição da população da
qual a amostra é retirada. Se a população original é próxima da normal,
sua convergência é rápida;
já, se a distribuição da população tem a forma
de um V, essa convergência
e mais demorada. Como regra prática, aceita-se
que para amostras com mais de 30 elementos a aproximação já pode
ser considerada muito boa.
199

PROBLEMAS
7. Uma variável alcatôria X tem distribuição normal. com média 100 e desvio padr.1o 10.
(a) Qual a P(90 < X < I lO)?
...., 8.
(b) Se X é a media de uma amostra de 16 elementos retirados dessa população, cal.
cule P(90 < X < 110).
(e) Desenhe, num úniço gráfico, as distribuições de X e X.
(d) Que tamanho deveria tcr a amostra para que P(90 < X < 110) = 95%?
A máquina de empacotar um detenninado produto o faz segundo uma distribuição
nonnal, com média
ti e desvio padrão lOgo
(a) Em quanto deve ser regulado o peso media!J para que apenas 10"10 dÇls paCOtes
tenham menos do que 500 g?
(b) Com a máquina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4 pa_
COles escolhidos ao aca so seja inferior a 2kg?
...À 9. No exemplo anterior, e após a máquina estar regulada, programou-se uma carta de
controle de qualidade.
De hora em hora,
será retirada uma amostra de 4 pacotes, e
estes serão pesado s. Se a média da amostra for inferior a 495 g ou superior a 520 g,
pára-se a produção para reajustar a máquina. isto é, reajustar o peso médio.
(a) Qual a probabilidade de ser feita uma parada desnecessária?
(h) Se o peso médio da máquina desreguJou-se para 500g, qual a probabilidade de
continuar-se a
produção fora dos padrões desejados?
10. A capacidade máxima de um elevador é de 500kg. Se a distribuição X dos pesos dos
usuários é suposta N(70, [00):
(a) Qual a probabilidade de 7 passageiros ultrapassarem esse limite?
(h) E seis passageiros?
8.9. DISTRI8UIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO
Vamos considerar uma população em que a proporção de elementos
portadores de uma
certa característica é p. Assim, a população pode
ser considerada como a variável X, tal que
x~ {I,
0,
se o indivíduo é portad or da característica,
se o indivíduo não é portador da característica;
logo,
" ~ E(X) ~ p e a' ~ Var(X) ~ p(1 -p).
Retirada uma amostra casual simple s, com reposição, dessa população,
e
se indicarmos por
S~ o total de indivíduos portadores da característica
200
I
I
li
na amostra, já vimos que
S. : b(l/, p).
Definindo como p a proporção de indivíduos portadores da caracte­
rística na amostra, isto é,
temOs que
~ S.
p~-- ,
1/
. a distribuição amostrai de p é obtida da distribuição de S~.
ou seja,
Vimos
na seção 6 .5 que a distribuição binomial
.po~e . se~ apr~xi­
d pela distribuição normal; vamos mostrar que a JustIfIcativa diSSO
~~á ano Teorema Limite Central. Inicialmente, observe que
Sn = XI + X2 + .. + Xn,
onde cada X
j
tem distribuição de Bernoulli com média J1 = p e variâncla
a2 = p(1 -p), e sào duas a duas independentes. Podemos escrever que
Sn = nX,
mas pelo Teorema Limite Central, X terá distribuição aproximadamente
" . p(1 - p) .
normal, com média p e vanancla .
1/
Logo, a transfonnada S~ terá a distribuição
S. : N(np, np(1 -p)),
que foi a aproximação adotada na seção 6.5.
Observe que X, na expressão acima, é a própria ~ari~ve~ ~ ; assim,
para
n suficientemente grande, podemos considerar a
dlstnbUlçao amos­
trai de p do seguinte modo:
íi: N(P,P(J ;P)}
20'

PROBLEMAS
11. Sabe-se que 20% das peças de um lote são defeituosas. Sorteiam-se 8 peças. Com re_
posição. e calcula-se a proporção íi de peças defeituosas na amostra.
(a) Construa a distribuição exata de íi (use a tabua da distribuição bino~ial). (
(b) Construa a aprollimação normal à binomial.
Cc) Você acha que a segunda distribuição é uma boa aproximaçào da primeinl?
(d) Já sabemos que. para dado p fixo, a aproximação melhora à medida que 11 aUmenta
Agora. se 11 é filiO, para qual valor de p a aproximação é melhor? .
12. Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um mãximo
de 10"10 de itens defeituosos na produção. A cada 15 minutos sorteia-se uma amostra
de 20 peças. c, havendo mais de 15% de defeituosos. pára-sc a produção para verifica_
ções. Qual a probabilidade de uma par.tda desnecessaria?
13. Supondo que a produção do exemplo anterior esteja sob çontrole, isto 1:, P = 10%, e
que os itens sejam vendidos em çaixas com 100, qual a probabilidade de que uma çaixa;
(a) Tenha mais do que 10% de dereituosos?
(b) Tenha nenhum dcreituoso?
Se um çJiente ençontrar mais do que 18 dereituosos ele reçebe uma caixa grátis. Qual
a proporçào esperada de çJientes bonifiçados?
B.10. OUTRAS DISTRIBUiçÕeS AMOSTRAIS
Do me smo modo que estudamos a distribuição amostraI de X, po.
demos estudar a distribuição amostraI de qualquer estatística T=
=f(X],X2, ... ,Xn)· Mas, quanto mais complexa for essa relação f, mais
difícil será a derivação matemática das propriedades dessa estatística.
Vejamos algumas i lustrações de distribuições empíricas de algum as
estatísticas.
Exemplo 8.10. Na Tabela 8.5, apresentamos a distribuição de d uas
outras esta
tísticas: a variância da am ostra
•
S' ~ L (Xc -%)'/(11-I)
;"1
e a mediana amostrai md. De lá, obtemos as seguintes distribuições amos.
trais (Tabelas 8.6 e 8.7):
202
TABELA
Probo
40
125
30
125
20
fi
10
fi
"
o 1,33
TABELA
8.6 -Distribuição amostrai da variância 52, para
amostras de tamanho
3, retiradas da
população
{1.l,5,5,7}.
0,00 1,33 4.00 5,33 9,ll 12,00
11/125 42/125 24/125 24/125 18/125 6/125
E(S'l ~ 4,16. Var(S') ~ 11,28.
I
4,00 5,33 9,33 12,00
8.7 -Distribuição amostrai da mediana da amostra
md para amos tras de tamanho 3, retiradas da
população {I ,3,5,5,7}.
md 3 5 7
Probo 13/125 ll/125 68/125 Il/125
E(m(~ ~ 4,30, Va,(mel) ~ 2,54.
203

PrOb.
" 1"2"5
3
,
5 7
A de'rivação das propriedades gerais das distribuições dessas esta.
tísticas nào ê muito fácil, e os modelos de probabilidade resultantes COr.
respondem a distribuições mais complexas, Por exemplo, pode-se de­
monstrar que a distribuição de S2 segue uma distribuição chamada qui­
quadrado (Xl) quando a população parente tem distribuição normal.
Já a distribuição da mediana
md de amostras de uma população simétrica X, com média 11 e variância (T2, segue aproximadamente uma distribuição
2
nonnal com média E(md) = 11 e Var(md)= ~ .~ . Observe que as Con-
" 2
clusões não são tão gerais como o Teorema Limite Centra l; elas exigem
mais suposições. No Capítulo
11, voltaremos
a discutir algumas dis­
tribuições amostrais e suas aplicações,
PROBLEMAS
14. Usando os dados da Tabela 8,5:
(a) Construa a distribuição amostrai de [j2 e compare com a distribuição amostra'"
de S2 (Tabela 8,6). Vote notou alguma propriedade de S2 que é "melhor" do que ij2?
(b) Seja U a media do~ elementos distintos da amostra. Por exemplo, se a amostra
observada é (1,1,3), então u = (I + 3)/2 = 2, Construa a distribuição amostrai de U.
(e) Compare as distribuições amostnl.is de U e X.
204
(
, adro abaixo tem-se a distribuiçào dos salários da Secretaria A,
15. No qu
C/asse til' Salários
4,51-75
7,51-10.5
10,51-13.5
13.51-16.5
16.51-19,5
Freqüi-l1cia RelU/ira
0,10
0.20
0.40
0,20
0,10
(a) Calcule a média, a variância e a media~a . dos salários. na pop~lação. ,
(h) Construa a distribuição amostrai ~a media e da mediana para amostras de ta-
manho
3. retiradas dessa populaçao.
.• .
lel Mostre que a media X e a mediana md ~a amostra são esllOJadorcs nao vlesados
d Mediana Md da população. no sentido que E(X') = E(md) = Md.
(cf) Qaual dos dois. eSlimadorcs não viesados você usaria para estimar Mil neste caso'!
Por quê'! . . __
(f) Baseado na distribuição amOStrai da media, encontre a dlstflbulçao amostml da
estatistica
(j) Quais os valores de
E(Z) e Var(Z)'! .'
(g) Construa a distribuição amostrai da estatlsllC'd
e faça o histograma.
I · -2
S2=_ L (Xf-X).
n -1 ;_1
(h) Calcule E(S2) e Var(Sl). .. ., . '. •
(i) Baseando-se nas distribuições amostrais antcnores, determlOe a dlstnbulção amos
traI da estatística
1= X;#.;n,
e construa o seu histograma.
UI Eliminando incongruências que possam surgir, calcule E(I) e Var(I).
(/) Qual a PU II < 2) e PU 1I < 4.30)'?
I~. Tente esboçar como ficariam os histogramas alisados das estatísticas abaixo. para
amostras de tamanho grande.
(a)
S2 (Sugestão: faça o histograma da distribuição da Tabela 8.6.)
(b) Z = X -# ,fi (Veja o Teorema Limite Central.)
•
(e) I = X -# (.jii), definida no exercício anterior. (Sugestão: compare com a expressão
S
e o resultado obtido em (b».
205
I
,

PROBLEMAS E COMPLEMENTOS
17. Uma variável X tem distribuição normal, com média 10 c desvio padrão 4. Aos par_
ticipantes de um jogo, Í! permitido observar uma amostra de qualquer tamanho e calcular
a média amostraI. Ganha um prêmio aquele cuja média amostraI for maior que 12.
(a) Se um participante escolher uma amostra de tamanho 16, Qual a Probabilidad
de ele ganhar um prêmio? e
(b) Escolha um tamanho de amostra diferente de
16 para p;l.rticipar do jogo. Qual a
probabilidade de você ganhar um prêmio? .
(c) Baseado nos resultados acima, qual o melhor tamanho de amostra para panicipar
do jogo?
~ Se uma amostra com 36 observações é tomada de uma população. qual deve ser o \a­
manha de uma outra amostra para que o erTO padrào desta amostra seja 2(3 do erro
padrão da média da primeira amostra?
19, Definimos a variável e = X - ~ como sendo o erro amostra! da média. Suponha que
a variância dos salários de uma certa região seja 400 unidades ao quadrado.
(a) Detennine E(e) e Varie).
(b) Que proporção das amostras de tamanho 25 terno erro amostrai absoluto maiOr
do que 2 unidades?
(c) E que proporção das amostras de tamanho IOt)?
(d) Neste último caso, qual o valor de d, tal que PU e I > ti) = 1%1
(e) Qual deve ser o tamanho da amostra para que 95% dos 'erros amostrais absolutos
sejam inferiores a uma unidade
'!
20. A distribuição dos comprimentos dos elos de corrente
de bicicleta é nonnal, com
"< média 2cm e variância igual a O,O[cm
l
.
Para
que uma corrente se ajuste à biciclela,
deve ter comprimento total igual entre
58 e
61 em.
(a) Qual a probabilidade de uma corrente com )0 elos não se ajustar ã bicicleta?
(b) E uma corrente com 29 elos?
Cada seção usada para constT1,lção de um oleoduto tem um comprimento médio de
5m e desvio padrão de 20cm. O comprimento total do oleoduto será de 8km.
(a) Se a firma construtora do oleoduto encomendar 1.600 seções, qual a probabili­
dade de terem que comprar mais do que uma seção adicional (isto i:, das 1.600
seções somarem 7.995 m ou menos)?
(b) Qual a probabilidade do uso exato de [.599 seções, isto é, a soma das 1.599.seções
estar entre 8.000 e 8.005 m?
,
22. Um professor dá um teste rapido. constante de 18 questões do tipo certo-errado. Para
testar a hipótese de o estudante estar adivinhando a resposta, ele adota a seguinte regra
de decisão: "Se 12 ou mais estão corretas, ele não está adivinhando". Qual a proba­
bilidade de rejeição da hipótese, quando verdadeira?
206
(
-
r, U distribuidor de sementes determina, atravês de testes, que 5% das sementes não
lJ..J ;minam. Ele vende pacotes de 200 sementes com garantia de 90";'; de germinação.
~ual a probabilidade de um pacote não satisfazer a garantia?
U
ma empresa fabrica cilindros com 50 mm de diàmetro. O desvio padrão dos diâmetros
" d 4 '" d ~ cd'do" . dos cilindros é 2.5 mm. Os diâmetros de uma amostra e CI tO ros sao.m I >
cada hora. A média da amostra é usada para decidir se o processo de ~a.bncação ~~a
operando satisfatoriamente: ~plica-se a seguinte regr~ de d~cisàO : se o d13melro méd IO
da amostra de 4 cilindros e Igual a 53.7 mm ou maIS, ou Igual a 46,3 mm ou menos,
deve-se parar o processo. Se o diâmetro médio estiver entre 46,3 e 53,7mm, o processo
deve continuar.
(a) Qual a probabilidade de se parar o processo se a média do processo ~ continuar
com 5Omm1
(b) Qual a probabilidade do processo continuar se a média do processo se deslocar para
j.I "" 53,7?
~ x ..... riência indica que 60% dos passageiros de võos interestaduais preferem refeições
15.· e,.._ . f' P d - ha se
"1-,"quanto os restantes 40"10 preferem refeIções nas. ara ca a VOO, ac m-
que" ".." o . • .~
disponíveis 72 refeições quentes e 48 fnas. Se 100 passageIros tomam o aVIa0, pergun-
ta-se:
(a) Qual o número máximo de passageiros que podem
receber refeições quemes?
Neste caso, quantos receberão rereiçõcs frias'!
(b) Qual o número máximo de passageiros que podem receber r~feiç~ ~frias? Nest~
caso qual o número mínimo de passageiros que podem pedir refelçoes quen~es.
(c) Quais os números mínimos e mhimos de refeições quentes. que podem ser pedIdas
de modo que todos recebem a refeição de sua preferênCia?
(d) Qual a probabilidade de que cada passageiro receba a refeição de sua preferência?
2'-Tabela de Números Alutórios -Para sortear amostras ca~u ,ais simples,. costuma-se
usar tabelas de números aleat6rios, que
são coleções de dlgltos constrUIdos
aleato­
riamente e que simulam o processo de sorteio. Na Tábua VIII, apresentamos um peque­
no conjunto de números aleatórios. Podem ser usados do seguinte modo: se quere­
mos selecionar dez nomes de uma lista de 90 pessoas, devemos começar numerando-os
de OI. 02, ... ,90. Em seguida, escolhemos uma coluna, digamos a primeira, e tomamos
0$ 10 primeiros números; no caso serão: . :>
61,..9( 50, 5[, 25, 63, 12, )8, 22, 07,.61.
Observe que o 94 foi eliminado, pois não existe eSfe número ~a população. e o 61 deverá
aparecer repetido. Para maiores explicações e tabelas maiores, consultar as Tábuas
de Es/a/islico e Maltmálica, J.S.c. Pereira e W.O. Bussab, HARPER & ROW 00
BRASIL, 1985.
n. Como voei usaria a tabela de números aleatórios para sortear uma amostra nas se­
guintes situações?
(a) 5 alunos da sua classe.
(b) 10 alunos da sua escola.
(c) 15 domicílios do seu bairro.
(d) :ro ações movimentadas na Bolsa.
207
/

(e) S números de uma população numerada de I a IIS. Existe algum modo de "aPfessa ..
o_~ ,
(j) S números de uma população de IIS nomes, cujos numeros vão de 612 até 726
(g) S numeros de uma população de IIS nomes, cuja numeração não é seqüencial, m~
está compreendida entre os números 300 e S99.
,
28. Distribuiçio Amostrai da DifereltÇa de DtIas Médias -Consideremos duas populações
X com parãmetros JlL e O"~ e Y com paràmetros #012 e O"~. Sorteiam-se duas amost~
independentes: a da primeira popula~o de_tamanho 11 e a da segunda de tama nho
m. Calculam-se as mêdias amostrais X e Y.
(a) Qual a distribuição amostrai de X? E de Y1
(b) Derina D = X -Y. O que você entende por distribuição amostrai de D1
(c) Cakule E(D) e Va;(D).
(ti) Como você acha que será a distribuição de D1 Por que?
~ . A distribuição dos salários (em salários mini mos) de operários do sexo masculino de
uma grande fábrica é N(S,4; 1,69), e a de operários do sexo feminino é N(S,4; 2,25).
Sorteiam- se duas amostras, uma com 16 homens e outra com 16 mulheres. Se D éll
diferença e ntre o salário médio dos homens e das mulhe res:
(a) Calcule PU DI> O,S).
(b) Qual o valor de d tal que P(I DI > a') = O,OS?
(c) Que tamanho comum deveriam ter ambas as amostras para que P(I DI> 0,4)=
=0,OS1
30. Numa escola 11, os alunos submetidos a um leste obtiveram mMia 70 e um desvio
padrão 10. Em outra escola B, os alunos submetidos ao mesmo t este obtiveram mMia
6S e desvio padrão 15. Se colhermos na escola li uma amostra de 36 alunos e na B,
uma de 49 alunos, qual a probabilidade de que a diferença entre as médias seja su­
perior a S unidades?
31. Distribuiçio Amostnl da Diferença de Doas Propo.-Ç'ÕeS -Usando os resultados do pro­
blema 28, qual seria a distribuição de '11 -P2' a diferença entre proporções de amos­
tras independentes retiradas de populações com parâmetros PL e P2?
32. Amostras sem Reposição de Populações Finitas -Suponha uma população com N ele­
mentos. Vimos que se extrairmos uma amostra de tamanho n, com repoJiçdo, e cal-
_ _ _ ~2
curarmos a média amostrai X, então, E{X) = Jl e Var(X) = -, onde #oi e 0"1 são a
"
média e a variância da população, respectivament e. No entanto, se a amostragem for
feita sem repasiçào, então. E{X):o: J.I continua a valer, mas
- N-n
Var{X) = ~2 .
n(N-I)
('I
,
Considere lima população com N = 4 e com valor es O, 2, 3, 3. Retire amostras de ta·
h 2 ' • d' 'h" 'm-t-l do X-_'1 +X" man o n = ,sem repWlçao, e construa a lstn UlçaO U~ ... _
2
Obtenha E(X) e Var(X), e verifique que esta é dada pela rónnula (e) acima.
208
(
CAPíTULO 9
~------- -----------
Estimacão
I
-
9.1, PRIMEIRAS IDÉIAS
Vimos que a Infe rência Estatística tem por objetivo fazer gener~liza­
ções sobre uma população co~ base em dados de u~a . amostra_ Salienta­
moS que dois pr oblemas báSICOS neste processo sao.
(o) estimação de parâm etros;
(b) teste de hipóteses sobre parâmetros.
Lembremos que porámetIoS são funções de valores populacionais,
enquanto que estat ÍSticas são funções de valores amostrais.
O problema do teste de hipóteses sobre parâmetros ~e u~a po .p~~a­
ção será tnltado no Capítulo 10. Neste cap í~ul o, iremos discutir as l~etaS
básicas sobre estimação. Para ilustrar, conSideremos o exemplo segumte.
Exemplo 9.1. Uma amostra de n= SOO pessoas de uma cidade. é
escolhida, e a cada pessoa da amostra é feita uma pergunta a respet:o
de um problema municipal, para o qual fo.i apresentada u';la s? luçao
pela Prefeitura. A resposta à pergunta pod~ra ser S~M (favoravel a sol~­
ção) ou NÃO (contrária à solução). Deseja- se estimar a proporção de
pessoas na cidade favorá veis à solução apresentada.
Se 300 pessoas responderem SIM à pergunta, então, a resposta na­
tural seria 300{500 ou 60%. Nossa resposta é baseada na suposição de
que a amostra é uma perfeita reprodução da população. Sabemo s, tam­
bém, que outra amostra levaria a uma outra est jm~t .iva . Co?h~cer as
propriedades desses "estimadores" é um dos proposltos mal ~ Impor·
tantes da Inferênc ia Estatística. Vejamos como isto pode ser feito neste
caso particular.
209
,

I
I
Definamos as v.a. X
1,X
2
, ... ,X
n
, onde
x.=f,se
a i-ésima pessoa na amostra responde SI M,
, 0, se a i-ésima pessoa na amostra responde NÃO.
e seja p = P(sucesso), considerando que aqui "sucesso" significa respoSta
SIM à questão formulada.
•
Logo, se Sn = L Xi> S~ tem distribuição binomial com parâmetros
1=1
n e p, e o problema consiste em esti mar p. É claro que Sn representa o
número de pessoas na amostra que responderam SIM; portanto, Um
possível estimador de p é,L .....
Ir"'
" .
/' L X
..... S~ /"'1' número de SIM
\p~-~ ~
n n número de indivíduos'
(9.1)
Então, se Sn = k, isto é, observamos o val or k da v.a. Sn, obtemos
p =!!.. como uma estimatÍl'a de p. Observe que p, dado por (9.1), é Uma
n
v.a., ao passo que k/n é um número, ou seja, um valor da v.a. No exemplo
acima,
uma estimativa é
0,6 ou 60%.
O eslimadbr p, definido acima, teve sua distribuição amostrai estu­
dada na seção 8.9. De lá podemos concluir que p tem distribuição apro_
ximadamente nonnal, Com parâmetros:
Erp) ~ p,
Va,rp) ~ p(1 -p)/n.
(9.2)
(9.3)
Estes resultados nos ajudam a avaliar as qualidades desse estimador.
Por exemplo, o resultado (9.2) indica que o estimador p, em média, "acer­
ta" p. Dizemos que p é um estimador não-viesado (não-viciado) de p. Ou,
ainda, o resultado (9.3) indica que para amostras "grandes" a\liferença
entre íi e p tende a ser pequena, pois para n -+ 00, Var@)-+O. Neste caso,
dizemos que íi é um estimador cOflsÍJlente de p. Observe que essas pro­
priedades são válidas para o estimador no conjunto de todas as amostras;
pode acontecer que,
para uma dada amostra,
íi esteja bem distante de p.
Em algumas situações, podemos ter mais de um estimador para
um mesmo parâmetro, e desejamos saber qual dos dois é "melhor". o-.
julgamento pode ser feito, analisando as propriedades desses estimado­
res. No exemplo abaixo, procuraremos mostrar como as propriedades
de um
estimador podem ajudar-nos a analisá-lo.
210
(
. Exemplo 9.2. Desejamos comprar um rifle e, .após algumas seleçõe~,
nos 4 alternativas que chamaremos de nfles A, B, C e D. F01-
taram- .. r:
res ·t'do fazer um teste com cada rifle. Esse teste conSIstiU em LIxar
nosperOll
1
. \5' R
'fi num cavalete mirar o centro do alvo e dIsparar tiros. epe-
n e, ~'I d
o. o procedimento para cada rifle e os resultados estao I ustra os
\lU-se
na Figura 9.1. . .. P
Para analisar qual a melhor arma, podemos fix~~ cntenos; or
pio segundo o critério de "em média acertar o alvo , escolhenamos
excm , . d' ." (
rtn
s A e C Segundo o critério de "nào ser mUIto Isperslvo va-
asa a . A C' la
.. cia pequena), a escolha recairia nas annas C e D. arma .e aque
- . &a_ ue reúne as duas propriedades e, segu~do este~ cntenos, se -
q rma
Mas se outro critério fosse
IOtroduZldo (por exemplo, pre-
lhora . , - ~ d
)
talvez não fosse a
arma mais interessante. As vezes. a soluça0 eve
~ , 'dd
ser um compromisso entre todas as pr.opne a . es. . .
Este exemplo também nos permite mtroduzl~ ~s conceitos de acura­
. recisão. Chamaremos de precisão à prOXImIdade de cada obser-
claep . . 'dd d d be
vação de sua própria média. Acurácia ffi:de.a proXlffil a e e ca a o s r-
"ação ao valor-alvo que se procura atmglr.
(A)
(C)
• •
J{js .
'8.
x x
~----:x
,------:-. --------,
(B)
(D) L-____ ---'
F· 9.1. Resultados de /5 liros dados por 4 rifles Ig.
211

Desse modo, podemos descrever cada arma da seguinte maneira:
Arma A:
Arma B:
Arma C:
Anna D:
Não-viesada, baixa precisão e pouco acurada.
Viesada, baixa precisão e pouco acurada.
Não-viesada, boa precisão e muito acurada.
Viesada, alta precisão e pouco acurada.
Do exposto acima, notamos a importância
de se definir
proprieda_
des desejáveis para estirnadores. Trataremos deste assunto na próxima
seção. Outro problema que aparece em estimação é detenninar Um es_
timador. Nem sempre temos uma s ugestão para um estimador, como
no caso da proporção no exemplo 9.1. Aqui, também, precisamos de
métodos para encontrar estimadores; nas seções 9.3 e 9.4 tratacemos de
dois destes métodos: mínimos quadrados e máxima verossimilhança, res_
pectivamente.
9.2. PROPRIEDADES DE ESTIMA DORES
Inicialmente vejamos a questão da estimação de um modo mais
geral. Consideremos uma amostra (X I , X 2, "', X
n
) de uma v.a. que des­
creve uma característica de interesse de uma população. Seja O um pa_
râmetro que desejamos estimar, como por exemp lo a média Jl = E(X)
ou a variância (J2 = Var(X).
Definição. Um estimador do parâmetro (J é qualquer função das
observações XI> X
2
, ... , Xn.
Notemos que, segundo esta definição, um estimador é o que cha­
mamos antes de estatística.
O problema da estimação é, então, detennimu. uma função T =
= g(X I , X 2, ... , Xn) que seja "próxima" de 0, segundo algum critério.
O primeiro critério que iremos abordar é o de não-viesado.
Definição. O estimador T é dito um estimador não-l'iesado de (J se
E(7) ~ a, (9.4)
para todo a. ~
Note que a esperança de T é calculada sobre a distribuição amC?,stral
de T, como foi apresentado no Capítulo 8.
Exemplo 9.3. De apresentações anteriores, vimos que p é um es­
timador não-viesado de p e que X é um estimador não-viesado de Il. Estes
212
(
. stimadores nada mais são do que a própria definição do parâmetro,
~e .. ' t'
s aplicada à amostra. Com esse mesmo raClOClOlO, vemos que o es 1-
:dor para a variância de uma população finita com N elementos,
a' ~ ~ t (X, - ~)', (9.5)
N,
seria
ii' ~ ~t(X , -X)',
n ,
(9.6)
onde n é o tamanho da amostra. Mostremos que o estimador (9.6) é vie­
sado. Escrevamos
" "
I (X,-X)'~ I (X,-~+~-X)'~
1"1 i=1
~ t (X, - ~)' + 2
" "
I (X,-~) Ú'-X) + I Ú'-X)'.
,. ,
iz 1 1= I
"
Como 11-.'f é uma constante e L (Xi -11) = n(X -1-l), vem que
i=1
" "
I (X,-X)'~ I (X,-~ )' -n(X-~)'.
1"'1 1=1
Portanto,
E(ii') ~ -I E(X, - ~)' -n E(X - ~)' ~ 1 {" - }
~ n i= I
= ~ {n(12 _ n (J2} = ~(12, (9.7)
n n n
, ,
,-, (X)-a
ja que E(X,- ~)'~ Var(X ,)~ a e E(X-~) ~ Vor ~n '
Segue-se que â
2
é viesado, para (12. Ê fácil ver como obter um esti­
mador nào-viesado para 0'2, a partir de (9.7): basta considerar ~: I â
2
,
pois de (9.7) segue-se que E(n: ](
2
)=(12.
213

Logo, se
S' ~ _1_ t (X, -X)',
fI-l;"1
(9.8)
então E(S2) = (12 e S2 é um estimador não.viesado para (12.
Esta" é a razão de se usar fi -I, em vez de n, como denominador da
variância da amostra. No Capítulo 2, usamos sempre 11 como denomina.
dor porque nào havia preocupação em saber se estávamos trabalhando
com população ou amostra. Daqui por diante, sempre será feita a distinção.
Vimos que o estimador p é tal que Var@)----oO, quando fi ----o 00; cha.
mamo·lo de consislente devido a este fato e a (9.4).
O conceito de consistência é um pouco mais difi cil de se definir
Vejamos
um exemplo para ilustrar. Considere a média
X calculada par~
diversos tamanhos de amostras; obtemos, na realidade, uma seqüência
de estimadores [XII' fi = 1,2, ... }. A medida que fi cresce, a distribuiçào
de XII torna-se mais concentrada ao redor de 11. Veja a Figura 8.3 do Ca­
pítulo 8.
Dizemos que :X"J-é uma seqüência consistente de estimadores de il.
Formalmente, uma seqüência ·1 T,,] de estimadores de um parâmetro
O é consistel/le se, para todo l: > O,
P{I Til -0I >c: ....... 0, tI----o 00. (9.9)
Não é muito dificil ver que esta condição está satisfeita para lX~:.
Ao invés de utilizarmos (9.9) para verificar se uma seqüência de estio
madores é consistente, podemos usar o seguinte falo: : T,,: é uma seqüên­
cia consistente de eSlimadores de O se
(ii) lim Va,(T.) ~ O.
(9.10)
.-.
Se Til é não-viesado, a primeira condição estará. obviamente, satisfeita.
Usando este resultado, vemos que íf c XII são estimadores consistentes
de
p e
Jl, respectivamente. nos exemplos 9.1 e 9.3.
Exemplo 9.4. Vimos que 52, dado por (9.8), é mlo-viesado para.n~.
É posslvel demonstrar, no caso que Xl' ... , XII são observações de uma
,
NÚl, UI), que
(S
') 2a'
VaI" =--.
fi-I
(9.11 )
21'
• ,
I
lim Var(S2) = O e S2 é consistente para (12. Segundo o exposto
Logo, ~_ .., ,
l]'é Ihor escrever S.'. acima, ta vez osse me
Exemplo
9.5. Vimos que
E(âl) = (12(1 -1/11). de modo que
liJ11 E(-q2) = q2. Também, de (9.7) e (9.11), temos
.-~ I (n -I) ,(n - I)' ~
Var(Õ"2)= 112 Var«tI-I)S 2)= -n-Var(S)= -n- ti _ I' (?12)
ue mostra que Var(Ô"2) -4 O quando n ----o 00, logo,
o q ,
&2 = â; também é
consistente para (1 .
De (9.12), também obtemos que
(
n -I)' 2a' 2a'
Var(â2) = -n- . -,,---1 < -,,---1 ~
Va,(S'). (9.13)
d
.A· .... 1 scria um
Portanto, usando-se somente o critério e vananCla, (1
"melhor" estimador de (12. . . .._
Vejamos agora um critério que nos penntte Julgar entre dOIS esll
madores para um mesmo parâmetro.
Definição. Se Te T' são dois estimadores não-viesados de um mes­
mo parâmetro O, e ainda
Va,(7) < Va,(T'),
então, T é dito mais eftcienle do que T.
(9.14)
E I 9 6 C
onsideremos uma população normal X, com parã-
xempo.. I-P
metros 11 e 0-
2
• Queremos estimar a mediana desta popu aç~o. or ser
uma distribuição simétrica, sabemos que 11 = Md(X). De.fintn~o como
X a média e como md a mediana da amostra, qual dos dOIS estlmadores
é o ·'melhor" para a mediana populacional?
Pelo que vimos no capílUlo anterior,
x+, a:)
Pode-se demonstrar que a distribuiçào da mediana
uma distribuição próxima á
mtl: N (Md(x), ; . ~;}
(9.15)
amostrai tem
(9.16)
215

I
I
Assim, vemos que os dois estimadores são não-viesados
eficiente, pois '
mas X é mais
Var(md)
Var(>.)
"
=-> 1.
2
AS,si,m, para estimar-se a mediana desta populaça"o, e' p , 'I ' relenve usar a
media da amostra como estimador.
Para precisar o conceito
de estimador acurado discutido na
"
I
. . '. ' seçao
an erlor, vamos introduzir o conceito de erro quadrático méd'
Ch
~
amemos de
e = T-O
o erro amostrai ,que cometemos ao estimar o parâmetro () da distribuição
da v.a. X atraves do estimado r T = g(X I , X 2, .•• , XJ, baseado na amo
tra (X
I
,X
2
,
••. ,X~). 5-
Definição. Chama-se de erro quadrático médio (EQM) o valor
EQM(T) ~ E(e') ~ E(T -O)',
Desta última relação temos
EQM(TJ ~ E(T -O)' ~ E(T -E(T) + E(T) -O)' ~
(9,17)
~ E(T -E(T)' + 2E[(T -E(T) (E(T) -O») + E(E(T) -O)' ~
~ E(T -E(T)' + E(E(T) -O)',
já que E(7) -O é constante e E(T -E(7)) -O. Assim, podemos escrever
EQM(T) ~ Var(T) + Vies'(T); (9,18)
onde Viés = E(T) -O indica a diferença entre a média do estimador e
o parâmetro que
se quer estimar. A Figura 9.2 ilustra estas medidas,
usando o caso das armas discutido no exemplo 9.2.
Fig. 9.2.
Representação gráfica da relação EQM(T) = Var(T) +
Viés1(n.
216
(
.
Assim,
para os conceitos discutidos na seção anterior, um estima­
reciso tem variância pequena, mas pode ter EQM grande. Por outro
dor P . d d ' -" d t '" c'a q 'o
d
Um estima or acura o e nao-vlesa o e em vanan 1 pe uena,
la 0,
que implica EQM pequeno (ver 9.18).
PROBLEMAS
Obtenha a distribuição de p quando p = 0.2 e n = 5. Depois calcule E(jr) e Var(p).
t.
l. Encontre um limite superior para Var@)quandon=IO. 25. 100 e 400. Faça o gráfico
em cada caso.
J. Suponha um ex~rimcn to c~nsisti ndo de n provas de Bernoulli. Seja X o numero de
sucessos. e considere os estlmadores:
X
{
I
~, primei ra prova resulta sucesso.
(b) -~ ,
(o) PI = -;; Pl 0, caso contrário.
Determine a esperança e a variância de cada estimador. Por que 'FI-não é um "bom"
estimador?
4. Verifique se Pl c Pl do problema 3 são consistentes.
S. Têm-s<: duas fórmulas distintas para estimar um parâmetro populacional O. Para aju?
dar a escolher o melhor. simulou-se uma situação onde 0= 100. Desta popula. Çao
retiraram-se 1.000 amostras de \O unidades cada uma, e aplicaram-se ambas as fór­
mulas ãs \O unidades de cada amostra. Desse modo obtêm-se 1.000 valores para a
primeira fórmula I L e outros 1.000 valores para a segunda fórmula /,. cujos estudos
descrit
ivos estão resumidos
abaixo. Qual das duas fórmulas você acha mais conve­
niente para estimar O. Por quê?
Fórmula f
11 = 102
Var(tl) = 5
Mediana = 100
Moda = 98
Fórmula 2
I
l = 100
Vadl:) = 10
Mediana = 100
Moda = 100
9,3, ESTIMADORE,S DE MíNIMOS QUADRADOS
Neste capítulo e em capítulos anteriore s, temos usado certos esti­
madores de parâmetros populacionais, comO a média e a variância, sim­
plesmente tentando imitar na amostra o que acontece na população.
F
oi assim que construímos
X e S2.
217

,
Todavia, seria .interessante q ue tivéssemos procedimentos ou .
todos para _obt~r estlmadores. Felizmente, alguns destes métodos exis me.
e, nesta seç~o , Iremos a.pre~entar um deles: o método de minimos tem
dos, que fOI um dos primeiros a serem utilizados Por Gauss em q'fldra­
com problemas de Astronomia e Física ' conexão
~ejamo~ o procedimento através de um exemplo simples. Um
genhclfO está estudando a resistência Y de a fib f _ cn·
d '~ um I ra em unçao d
.tam~tro. X, e descobriu que as variáveis são aproximadamente e seu
clonals, Isto é, elas obedecem à relação propor_
y" OX,
onde? é o coeficiente de proporcionalidade. Agora, ele deseja esti
~ parametr~ a, baseado numa amostra de 5 unidades que, subm t~ar
a mensuraçao e testes, produziram os resultados: e I as
X: 1,2
Y: 3,9
1,5
4,7
I~
5,l!'
2,0
5,8
2,6
7,0
x~ 18' , ,
f~ 5,4.
Ins~cionando os ~esultados, concluiu que ô= 3 parece ser um v _
IOfir razoavel. Como ver!fcar a qualidade desta estimativa? Podemos a
fi lcar como o modelo r 3X _ ve·
. . = preve os valores da amostra e ual a
nltude ~a~ d lscr:pància~ entre os valores observados Y e e~imad ma~ .
Esta anahse esta resumida no quadro abaixo. os .
Analise do Modelo í' ~ 3X
X Y 3X Y ~ 3X (Y~ 3X)'
1,2 3 ,9 3,6 0,3 0,09
1,5 4,7 4 ,5 0,2 0,04
1,7 5,6 5,1 0,5 0,25
2,0 5,8 6,0 ~0,2 0,04
2,6 7,0 7,8 0,8 0,64
Total 1,06
Os valores da .coluna (Y -3X) medem a inadequação do modelo
~ara cada o~servaçao da amostra, enquanto o valor I:(Y -3X)2 - I 06
e um~ tentativa de medir o erro total da amostra. Como em sit~çÔes
antenores, elevou.se ao quadrado para evitar o problema do sinal. Quan­
to menor for o erro total, melhor será a estimativa, Isso nos'suger~ pro-
218
cU ·ar a estimativa que torne mínima essa soma de quadrados. Mate­
maticamente, o problema passa a ser o de encontrar o valor de O que
minimiza a função
S(9) ~ l:(Y ~ 9X)'.
o min'imo da função é obtido derivando-a em relação a O, e iguala0·
do o resultado a zero (Ver Métodos Quantitarivos, vol. I), o que irá re·
sultar em:
dS -_
~ I: (Y ~ eX) (~2X) ~ o.
de
Resolvendo a equação obtemos
_ l:XY
e~ "I:X' .
Usando os dados acima encontramoS li = 2,94, que é o valor que tor­
na mínima a função 8(0), e o valor mínimo da função será 8(2,94) = 0,94,
Observe que este valor é realmente menor do que aquele observado para
fi = 3, ou seja, 1,06,
Como foi dito, não esperávamos uma relação perfeita entre as duas
variáveis,
já que o diâmetro da fibra não é o único responsável pela
re·
slStência; outros fatores não controlados afetam o resultado. Deste modo,
duas amostras de mesmo diâmetro X, submetidas a teste, não teriam
obrigatoriamente que apre~ntar o mesmo , resultado Y, mas valores em
torno
do esperado
ex. Este fato nos sugere reescrever a relação (9.19)
do seguinte modo:
Y = OX + a,
(9.19)
onde a é uma variável aleatória com média zero, representando as pos·
siveis variações da variável de interesse em torno do val or esperado OX.
O parãmetro é escolhido de modo a tornar mínima a soma dos quadra-
dos dos erros. ,
l:a' ~ I:(Y ~ OX)'.
O modelo acima pode ser generalizado, de modo a envolver outras
funções
do parâmetro
0, resultando no modelo:
Y ~ f(X; e) + a,
e devemos procurar o valor de O que minimize a função
S(O) ~ l:a' ~ I: (Y ~ f(X; e»'
(9.20)
(9.21)
219

A solução Ô é chamada de estimador de mínimos quadrados (EMQ)
de O.
Exemplo 9.7. Suponha o modelo Yt = f(t) + aI' onde f(l) = IX + qr,
ou seja, a função detenninística é uma reta. Obtemos um modelo de re.
gressão (ou de tendência) linear simples.
Neste caso, a soma dos \uadrados dos erros é
" "
S("P) ~ L a~ ~ L (y, -, -PI)'.
1=1 1=1
Derivando em relação a o: e a {3, temos (ver, desta mesma coleção,
Cálculo -funções de V árias Variáveis)
as "
~ L· (y, -fi -iJl) (-2) ~ o, a,
'o,
as "
~
L (y, -â -iJl)( -21) ~ o, ap ,-, ,
donde os estimadores íi e TI satisfazem
" "
L y, ~ nâ + iJ L I,
1=1 'o,
" " "
L Iy, ~ â L I + iJ L I'.
(9.22)
,., ,o, ,.,
,
Resolvendo (9.22), obtemos os EMQ ~ e íJ dos parâmetros IX e fi
do modelo.
Suponha que os dados se jam como na tabela abaixo, representando
as vendas
(em milhares de unidades) de uma empresa durante
10 meses.
220
2 3 4 5 6 7 8 9 10
y, 5,0 6,7 6,0 8,7 6,2 8,6 11,0 11,9 10,6 10,8
Então, (9.22) fica:
85,5 ~ lOii + 55fi
529,4 ~ 55â + 385iJ,
que resolvida resulta
â ~ 4,6
fi ~ 0,72,
de modo que os futuros
equação
d ser P
revistos através da
valores de Y I po em
:VI = 4,6 + O,72l.
PROBLEMAS
ra o ual uma amostra de 5 elementos
6 Estamos estudando o modelo y,=I-'+.a" pa ~
. oduziu os seguintes valores para Yr' 3, 5, 6, 8, . áfí
pr I:{y i para 1-'=6 7 8 9, lO, e faça o gr 100
(a) Calcule os valores de S{}.I) =, '-\" do .. q" pa;~ t~mar mínimo S{}.I)?
) ~oa" Qua ovaor ... ,..J..
de S{}.I em re açO',.... . d ltado a zero voce enoontrara
S
''')
lação
a I-' e Igualan o o resu ,
(b) Derivando IJ-" em re : ontre a estimativa para I-' e compare com
o
EMQ
'ji.. Usando os da~os aCima enc
a resposta do item anteflor.
7.
'"
. ~ 'ndioe de inflação (y) de 1967 a 1979:
dad abaixo re,erem·se ao 1 o.
Ano (t)
1967 1969 1971 1973 1975 1977 1979
Inflação (y) 128 192 277 37J 613 1236 2639
(a) Faça o gráfico de y em relação a l. _
(b) Encontre as estimativas para o modelo j{1) -(l + PI.
I . . flação em 1981?
(c) Qua sena alO . . . d o modelo linear neste caso?
(ti) Você teria alguma restnçao em a otar
. d d mínimos quadrados para o mo,
I 9 7 determinamos os estima ores e
8., N o, exc~Pflo,) +'a' onde ftl) "" (l + PI. Suponha agora que
co Yr- r'
ft') = (I: + px" I = I, ... ,n,
de uma variável fixa (não,aleat6ria) x. Obtenha
ou seja, temos n valores x I' ••• , x.
os EMQ de (l e P para este modelo.
bl 8 para os dados a seguir:
9. Aplique os resultados do pro ema
2 3 4 5 6 7 8 9 \O
4,0 3,8 4,5 5,'
6,5 6,0
',5 ',8 ',6 2,5
69.8 71,0 70,6
x,
68,7 69,3
67,0 66,9 67,6 68,9
"
66,8
221

9.4. ESTIMADO RES DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA
~u~ro método de estimação bastante em re . . .
de max/ma verossimilhança (MV) que fi p gado .utlllza o princípio
colher aquele valor do parâmetr~ O u: Irma. o. seguinte: devemos eg_
obter a amostra observada na d q m.axlmlla a probabilidade de
d ' ar em partIcular em q 1
a mesma aparecem. ue os e ementos
Exemplo 9.8. Suponha que te
cesso) = p O < p < J e X _' mos 11 provas de Bernoulli com P(su
.' -numero de sucessos De -
estlrnador aquele val or de t . vemos tomar Corno
vável de ocorrer. p que orna a amostra observada a mais pro-
Su~nba, por exemplo, que n = 3 e obtem .
A funçao de verossimilhança é os 2 sucessos e I fracasso.
L(P) = P(2 sucessos e 1 fracasso) = p2(! _ p).
Maximizando esta função obtemos
L"(P) ~ 2p(l -p) -p' ~ 0= p(2 -3p) ~ O.
~o que seguem p = O ou p == 2/3. É C "I
p = 2/3, que é o estimador de m' . aCI ver ~u~ o ponto de máximo é
De modo geral o EMV d aXI,:a verossimilhança (EMV) de p.
sucessos em n prov'as é o par~metro p de uma binorninal, com X
~ X
p~­
n'
anteflormente no exemplo 9 I
(9.23)
que é o esti mador usado
Para se chegar a
neste caso é
(9.23), observe que a função de verossimilhança
L(P) ~ p'(l -pr',
e que o máximo desta função ocorre
(por quê?). Portanto, no mesmo ponto que
t(p) = log L(P)
fip) ~ x logp + (n -x) log (I _ p),
e derivando
f
'(P) _ .:õ. n -x
----~ O
p n -p ,
de onde obtemos fi =~ .
n
222
r
PflOBLEMAS
10. Na função de verossimilhança L(P) da binomial acima, suponha que n = 5 e x = 3.
Construa o gráfico da função para os possíveis valores de p = 0, 1(5. 2(5, 3( 5,4/5, 1.
e verifique que o proximo ocorre realmente para p = 3/5.
11. Observa-se uma seqüência de ensaios de Bernoulli, independentes. com parâmetro
p(seçào 5.6.2), até a ocorréncia do primeiro sucesso. Se X indica o número de ensaios
necessários:
(a) Mostre que
P(X = x) = {I -py-Ip (distribuição geométrica).
(b) Repetiu-se esse experimento n vezes, e em cada um deles o número de ensaios ne­
cessários foram XJ, X2' •..• x •. Encontre o EMV para p.
(c) Usando-se uma moeda. repetiu-se esse experimento 5 vezeS. e o número de ensaios
necessários até a ocorrência da primeira coroa foi 2, 3, I, 4, 1, respectivamente.
Qual a estimativa de MV para p = probabilidade de ocorrência de coroa nesta
moeda? Existiria outra maneira de estimar p?
12. Uma v.a. X tem densidade ftx). Seja XI' ... , X. uma amostra de X, e Xl' ... , X. os
valores amostrais. Definamos a Junção de verossimilhança L como
L(X
p
..• , X.i B) = J(X
l
; e) -J(X1; O) •. .IX.; e),
onde a disuibuição de X depende do parâmetro 9. O estimador de máxima veross i­
milhança de e, baseado na amostra Xl' ... , X., é o valor de Ô de O que maximiza L.
considerada como uma função de O para uma dada amostra Xl' ... , X •.
Suponha que a v. a. T tenha disibuição
f{
{
!l ·e-·', I ~ O
I) =
O ,I < O.
Obtenha o EM V de !l.
13. Suponha que X seja uma v.a. com distribuição normal, de média /l e variância I. Obte­
nha o EMV de /l.
9.5. INTERVALOS DE CONFIANÇA
Até agora, todos os estimadores apresentados foram estimadores pon·
tuais, isto é, especificam um único valor para o estimador. Este procedi­
mento não permi te julgar qual a possível magnitude do erro que estamos
cometendo. Daí surge a idéia de construir os intervalos de confiança,
que são 'Qasead~ na distribuição amostrai do estimador pontual.
Exemplo 9.9. A estimativa pontual da média populacional 11 será
feita por um valor x. Qualquer que seja esta amostra, teremos um erro
que será x _ IJ.. De acordo com o Teorema Limite Central, teremos
e ~ (X -~): N(O, a}),
(9.24)
223

com u
2
-a
21 D .
:f - n. aqUI podemos d t .
ter eJ;TOS de determinada "edenmnar qual a probabilidade de Co
magm u e. Pqr exemplo, n-
P(lel < 1,96 a,) ~ 095 ,
ou
. P(I X -~ 1 < 1,96 a,) ~ 0,95,
que e equivalente a
P(~ -1,96 a, < X < ~ + 196 _) -O
Esta afirmação probabT f ' u'" -,95. (9.25)
I 15 Ica po~e ser reescrita do seguinte d
P(X _ mo o:
-1,96 a, < ~ < X + 1,96 a-) ~ 095
Convém lemb ~ x >. (9.26)
rar que J1. nao' -,
expressão (9.26) deve ser inte;p~:~~ve~ aleató~ia mas um parâmetro, e a
dos os in,tervalos da forma X + I 9: _0 se~umte modo: construídos to­
lro ~ (veJ~ a Figura 9.3). -, u",,95% deles conterão o parâme_
a Figura 9.3, estào esquematizad .
cada, de um intervalo de confiança (IC~S o funcIOnamento e o signifi.
nhe<:Jdo. para f.J., com)' = 0,95 e a
2
co-
Populaçeo
amostra
amOstra
"
amOstra r---~
"
Xk, ± 1.960;
Il -1.960;
,
,
,
_~:=::T - I
__ )(k--""':
1
I
)1 + 1.960.,
Fig. 9.3.
. . 95% dos intervalos contêm I!
Significado de um IC para
11, Com y = 0,95 e (J2 conhecido
224
r
--
Sorteada uma amostra e encontrada sua média io, e admitindo co­
nheCidO ai, podemos construir o intervalo
Xo ± 1,96 ai'
(9.27)
Este intervalo pode ou nào conter o parâmetro 11, mas pelo exposto aci­
ma temoS 95% de confiança de que contenha.
Desse
modo. se T é um estimador de
O, e conhecida a distribuição
amostraI de T, sempre será possível achar dois valores tI e '2. tal que
(9.28)
a probabiliqade interpretada como em (9.26), e y um valor fixado, O < y < I.
Para uma dada amostra, leremos dois valores fixos para 11 e 12' e o in­
tervalo de confiança para O com nível de confiança y será indicado do
seguinte modo:
IC(e: y) = ]1,,1,[.
(9.29)
Exemplo 9.10. Uma máquina enche pacotes de café com uma va­
riãncia igual a 100 g2. Ela estava regulada para enchê-los com 500 g,
em média. Agora ela se desregulou. e queremos saber qual a nova mé­
dia 11. Uma amostra de 25 pacotes apresentou uma média igual a 485 g.
Vamos construir um. intervalo de 95% de confiança para 11· De (9.27),
teremos
IC(W 95%) ~ 485 ± 1,96 x 2 ~ 1481,489[,
"' o' 10
2
Ja que ai = fi = 5 = g.
Exemplo 9./1. Vamos obter um intervalo de confiança para p do
exemplo 9.1. Sabemos que se X=número de sucessoS nas n provas,
então
X tem uma distribuição aproximadamente normal, com média p. = np e variância (12 = npq, q = 1 -p. Conseqüentemente,
ou
ainda,
_ X -np.
Z _ =' N(O, I),
"npq
X
--p
n p-p
Z = '--'J'-=~ -=: N(O, I).
pq/n v pq/n
(9.30)
225

Assim, se y=0,95, temos, c onsultando a Tábua 111. que
p I ~ I ,96 :<::;; Z :<::;; 1,96) = 0,95,'
ou seja,
P { -1,96 " j;q; " 1,96} ~ 0,95.
Portanto, com probabilidade 095 t , , emos que
-1,96!fQ "p -p" I 96ftQ
n "". ,
"
do que segue
p -1,96 ft:<::;;p:<::;;p + 1.96 ft
Como nào conhecemos p,
ft
q I usamos o fato de que pq :<::;; 1/4, logo,
-,,--obtendo-se
n foi'
-1,96 I 96
P---:<::;;p~p+-' -
.,j4n .,j4n' (9.31 )
Então ['P ~ 1,96. ~ 1,96J'
, Fn' p + Fn e um ilflerl'alo de confiança para p.
com ;oeficiente de confiança (c.c.) de 95%.
am um c.c. y qualquer. 0</,<1, (9.31) fica
~ ~ Z
p~ fL~P:<::;;P+ ...::L.
v4n .,j4n'
(9.32)
onde
Z7 é obtido da Tábua 111, tal que P( Z
-y:<::;;Z:<::;;Zr)=Y.
Exemplo 9.12 Numa pesqu' d
. . Isa e mercado n ~ 400 pe ~
entrevistadas sobre determinado roduto ,,' ~ ssoas oram
ram a marca
A. p, e 60% destas pessoas preferi-
Aquip~ -06 . I
~ , , e um mterva o de con fiança para - .
P com c.c. /' = 0,95 sera
0,6 ± (1,96) I ~ 0.6 ± 0,049,
JI600
226
t
I
oU seja,
IC(p : 95%) ~ [0,551 ; 0,649[.
o intervalo (9.32) é chamado cOllservativo, pois se p não for igual
a 1/2 e estiver próximo de zero ou de um, então, ele fornece um intervalo
de amplitude desnecessa riamente grande, porque· substituímos pq pelo
valor máxfmo
1/4. A menos
que p;= 1/2. podemos proceder como segue.
Exemplo 9.13. Suponha que em 11=400 provas obtemos k=80 su­
cesSOS. Vamos obter um intervalo de confiança para p, com y = 0,90.
Para isso, usamos pq como estimador de pq, onde li = I -; p. Então. o
interva
lo
fica
~z/êI -z/êI
p- Y-J-;~P:<::;;P+ Y-J-;' (9.33)
Z1 definido como em (9.32). Em nosso caso, P = 80/400 = 0,2 e
íi ~ I -P ~ 0,8, e (9.33) fica
~==
0.2 ± (1,645) J(0,2)(0,8)/4OO ~ 0,2 ± 0,033,
ou seja,
IC(p: 90%) ~ [0,167; 0,233].
Usando (9.32) obtemos
02 + 1,645 ~ 02 + 0041
, ~ 40 ' -' ,
ou seja,
IC(p: 90%) ~ [0,159; 0,241].
Observe que o prim eiro intervalo tem amplitude menor que o segl:mdo.
Outra observação importante é a seguint e. Usando (9.32) para um
'i fixo, os intervalos que podemos obter para amostras diferentes (de
mesmo tamanho
n) terão todos a mesma amplitude, dada por
2Zy/ fo.
Por outro lado. u sando. (9.33), a amplitude do intervalo será
2Z ~ % que é I'ariál'el de amostra para amostra. pois fi (conseqüen­
temente 4) variará de amostra para amostra.
227

PROBLEMAS
14, CalcuJc o 'n! r
f erva o de confiança para a 'd' m,
IR em cada um dos casos aba'
IXO.
Média Amos/ral
Tamanho
da Amostra
Desvio POlirão
Coeficiel/te dI'
da População
Confiança
170crn
100
165cm
18' """
95%
180 ""
'"
30 ""
85%
lO""
700,,{
IS. De 50.000 vâlvulas fabricadas por uma com . .
vulas, e obtém-se a vida mêdia de 800 h panhl8 relt.ra_se uma amostra de 400 vãl
oras e o deSVIO pad 11 d 100 -
(a) Qual o intervalo de confiança de 99
0
r . r o e horas.
(o) Com que confiança dir-sc_' ~ pa ~ ~ VIda média da população?
(c) Que tamanho deve ter a a~aos~~: a VIda m
OO
!8 é 800 ± 0,981
va 800± 7,841 para que scJa de 95% a confiança na estimali.
(Que suposições voei fez
para responder às questões acima?)
16. Qual deve ser o tamanbo de uma amostra cu'o .
da média amostraI para a média da J _ desVIO padrão é 10 para que a diferen
Com coeficiente de confiança igual ~puraçao, em valor absoluto, seja menor que ~
(a) 95%.
ih) ... /.,
17. Uma população t d '
em C$VIO padrào igual a 10
(a) Q~c tamanho deve ter uma amost .
Ih) ~tlmar a média seja Superior a ,raU:d~d:~e, com probabilidade 8 %, o erro em
upondo-se colhida a amostra ..
se X = 50? no caso antcflor, qual o intervalo de confiança,
18. Uma amostra aleatória de 625 donas.de-casa
X de detergente. Construir um intervalo de re~eJa que 70"..{ delas preferem a marca
de-casa que preferem
X com c.c. )'
"" 90%. con lança para p = prOporção das donas.
19. En:contre os intervalos de confianÇ"d ra
dOIS enfoques apontados na ~-:t ,"', P se kln = 0,3, com e.e. )' = 0,95. Utilize os
........ 0 " com "=400.
20. Antes de uma eleição, um determinado . . .
cão p de eleitores favoráveis ao scu ca ~;tldo eSla mleressado em estimar a propor.
revelou que 60"/0 dos eleitores eram r:v~r~to : Uma am?stra piloto de tamanho 100
228
(o) Determine o tamanho d avelS ao c-..nd,dato em questão.
. a amostra necessario
mação
scJa
de, no mâximo ° OI ~ra que o erro come tido na esti-
(h) Se na amostra final Co " ~m prObabIlIdade de 80"/0.
di' m tamanho Igual ao obt id )~.
os e citores eram favorãveis a d'd o em (a, observou·se que 55%
de co " o can I ato em questã o
nllança para a proporção iU 'I' o, Construa um intervalo
p. 1I lze )' = 0,95.)
lI. Suponha que estejamos interessados em estimar a porcentagem de consumidores de
um certo produto. Se uma amostra de tamanho 300 forneceu 100 indivíduos que con­
somem' o dado produto, determine:
(a) O intervalo de confiança de p, com coeficiente de confiança de 95% (interprete
o resultado).
(b)
O tamanho da amostra para que o erro da estimativa não exceda a 0,02 unidades
com probabilidade de 95% (interprete o resultado).
PROBLEMAS E COMPLEMENTOS
22.' Um pesquisador está em dúvida sobre duas possíveis estatísticas, t e t', para serem
usadas como estimadores de um parâmetro 9. Assim, ele decidiu usar simulação para
uma situaçào hipotética, procurando encontrar pistas que o ajudassem a decidir qual
o melhor
estimador. Partindo de uma
população fictícia, onde O = la, ele retirou 1_000
amostras de 20 elementos, e para cada amostra calculou o valor das estatístIcas t e t'.
Em seguida, construiu a distribuição de freqiiências, segundo o quadro abaixo.
Cla~ses % de t %det'
la) Verifique as propriedades de t ,
>--7 10 ,
e t' como cstimador es de 9. 7 >--, 20 30
(h) Qual dos dois voei adotaria? ,
>--11 40 J5
Por quê? 11 >--lJ 20 25
lJ >--
"
10 ,
lJ. Da eJtptriência passada, ube-se que o desvio padrão da altura de crianças de 5." série
do 1.-grau é 5em.
(a) Colhendo uma amostra de 36 dessas crianças, obser vou·se a média de ISO em.
Qual o intervalo de confiança de 95% para a mêdia populacional?
(h) Que tamanho deve ter uma amostra pam que o intervalo 150± 0,98 tenha 95%
de confiança'!
24. Um pesquisador está estudando a resistência de um determinado material sob deter­
minadas condições. Ele sabe que essa variável é normalmente distribuída com desvio
padrão de 2 unidades.
(a) Utilizando os valores
4,9; 1,0; 8,1; 4,5; 5.6; 6,8; 7,2; 5,7; 6,2 unidades, obtidos
de uma amostra de tamanho 9, determine o intervalo de confiança para a resis·
tência média com um coeficiente de confiança )' = 0,90.
(h) Qual o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido, ao esti'marmos a
resistência mêdia, nào seja superior a 0,01 unidades com prObabilidade 0,90?
(c) Suponha que no item (a) não fosse conhecido o desvio padrão. Como voei pro­
cederia para determinar o intervalo de confiança, e que suposições voei faria para
isso?
229

25. E~timc o salaria med' d
10 OS empregados de uma indústria têxtil sabendo se
amostra de 100 indivíduos apre.scnlou os seguintes resultados:' -que uma
(Use i'=0.95.)
U. m.
150.00 j---250.00
250,00 I--350,00
350.00
I--450,00
450,00 I--550,00
550.00 I--650.00
650,00 I--750,00
Freqiicm:ia
8
22
38
28
2
2
26. Suponha que as vendas de um produto
satiSfaçam ao modelo
V, = ~ + {li + (I,.
;:d~ ~s da, são as variáveis aleatórias satisfazendo as suposiç~s da scç;i.o 9 3 c I
e a. o em meses. Suponha que os valores das vendas nos 10 ri~ejr~ ' o Cm_
1979 sejam dados pelos valores da tabela do exemplo 9 7 Oh h'
P
s. ~eses de
o, d .. ten a as prevlSOCs
meses e novembro e dezembro de 1979 .. I ",c,
. c para JU ho c agosto de 1980,
27. Nu . d
ma pesquisa e mercado para estudar a preferência dll J c
em relac.lo a llm determO . d . popu açao de uma Cidade
28.
29.
'd d . ma o produto. eolheu-se uma amostra aleat6ria d-300' d
~l uos, os quaiS 180 preferiam esse prodl.llo, " In i_
(a) Dctennine um intervalo de confiança 'ra a ro c -
o produto em estudo. pa p porçao da populaçao que prefere
(h) Determine a probabilidade d" . ' ,
do verdadeiro valor em ma~s ~u: ~,~\I~aIlVa ponlllal dessll proporçào nào di fim
(fJ É possivel obter uma estimativa pontual dessa ro r ,- ,,-"
verdadeiro em mais d 00005 ., P po çao qUI: n,1O difira do valor
ne o que deve ser' fei~o .· com probabilidade 0.95'.' CllSO contrário. determi_
Uma amostra de 10,000 Iten, d-om I ... ate de p,odo,O" 'o,' 'ri • d
d
-
do',
. l"speClona a. e o "O· mo,o
~ ... ,el os por Item foi registrado na tabela abllixo. " ...
N.~ de defeitos o
Quantidade de Peças 6.000 3,200
(a) Dctt:r~nine os limites de confiança para a proporção
pulaçao, com coeficiente de confiança de 98,% U
(b) Mesmo problema. usando (9.33). '" se
2 3 4
600 ISO 50
de itens
19.32).
defeituosos na pc-
Antes de uma elciçiio em que existiam 2 ealldldal A ..
400 eleitorp~ p~'olh·d . os e 8. fOI fella uma pesquisa com
,.... ... ~ I os ao acaso e venfic 208
didato A. Construa um interv al~ dt: c fiou-se que deles pretendiam votar no can-
d
.. on lança. com c.c, }' = ° 95 para
e eleltore.~ favoraveis ao candidllto A "' 'po'_. ..' a porcentagem
"'" ü dllS eleições.
230
30·
Encontre o c.e. de um intervalo de Confiança para p, se 11 = 100, P = 0,6 e a amplitu­
de do intervalo deve ser igual a OJ)90.
31. Usando os resultados do problema 8,28, mostre que o intervalo de confiança para
a diferença das médias populacionais. com variãncias conhecidas, e dado por
IC{PI - 1-'1 : y) = (X -Y) ± Z,
]2. Eslão sendo eSIudados dois processos para conservar alimentos, cuja principal va­
riável de interesse é o tempo de duração dos mesmos. No processo A, o tempo X de
duração segue a distribuição X ; N()I.A' 100). e no processo B o tempo Yobedece a dis­
tribuição Y; N()I.~, 100). Sorteiam-se duas amostras independentes: a de A, com 16
laIaS. apresenlou lempo medio de duração igual a 50, c a de B, com 25 laIas, dura­
ção media igual a 60.
(a) Construa um IC para 1-' .. e 11", separadamente.
{b} l'ara verificar se os dois processoS podem ter o mesmo dcsemp.:nho, deCidiu-se
construir um IC para a diferença 1-' .. - 111/' Caso o zero pertença ao intervalo. pode-se
concluir que existe evidência de igualdade dos processos. Qual seria sua resposta'!
33. Numa pesquisa sobre a opinião dos moradores de duas cidades. A e B, com relação
a um determinado projeto, obteve-se:
34.
35.
Cidadt'
N.O de entrevistados
N.Q de favoráveis
A
400
180
B
600
350
Construa um IC para a diferença de proporções de opiniões nas duas cidades. (Ver
problema
8.31.)
Seja X
uma v.a. com E(X) "" 11 e Var(X) "" G
1
finita. Então, para todo k > O, a seguinte
desigualdade (chamada desigl4Uldadc de Chebyshe\') e válida:
P' I X I kl Var(X)
I -Jl ~ I ~ --k-'-·
(',
Usando (-), prove que X i: um estimador c onsistente para a média /1 de urna popu­
lação com variância 01.
Lei dos Grandes Nümeros _ Consideremos /I provas de Bernoulli com P = P(sucesso).
c seja k o numero de sucessos nas n provas. A Lei dos Grandes Numeras (LGN) afirma
que.
para n grande, a
proporção de sucessos k/n estará próxima de p'" P(succsso),
Formalmente, para todo f-> O.
P fi!!... -p I-,} ~ p(1 -: p) .
l /I nr.-
Prove (U), usando (-) do problema 34.
231

36. A LGN pode ser usada de maneira útil na seguinte situação. Suponha que queiramos
saber quantas repetições de um experimento dc Bernoulli dcvemos realizar a fim de
que k/n difira de p de menos de t. com probabilidade maior ou igual a ,. Ou seja, que.
remos detenninar fI, tal que
De (U) do problema 35, temos
p{l ~-pl<e}~ I _p( I,,~P);
logo. comparando temos que " deve satisfazer
I -p(1 -p) = l' _" = p(l -p) , onde ó = I -,.
"t' Ó,l
Como nào conhecemos p. usamos o fato de que p{1 -p) " 1/4: logo. basta tomar"
I
tal que" = ~-, "
.&
Usando este resultado, resolva este problema: suponha que a proporção de fumantes
de uma população e p, desconhecida. Queremos detenninar p com um erro de. no
máximo, 0.05. Qual deve ser o tamanho da amostra n. a ser escolhida com reposição,
se ., = 0,951
37. Se a distribuição de X depende de mais de um parâmetro. digamos O, e Ol' então. 1
L(X, • ...• x.; f}1' 0l)' e para maximizar L basta derivar L em relação a O, e 0
1 (em
algumas situações, derivar L não cond\lz ao EMV, mas não trataremos deste caso aqui).
Considere, então, X: N(p., O'l). Detennine os EM V de ~ e 0'1, considerando êt /iJp. "" O
e iJf/ikl
1
"" 0, onde e"" log L.
38. Suponha que X tenha uma distribuição unifonne no intervalo (O, O), onde (} e des­
conhecido. Uma amostra de n observações é escolhida. Suponha que n seja suficien­
temente grande para que o Teorem "a limite Central se aplique e se possa aproximar
a distribuição de % por uma normal N(p,O'1;n). Obtenha um intervalo de confiança
para 0, com c.c. ,= 90";';.
39. Aplique o resultado do problema 38 para X_3,2 e n=20.
40. Suponha que uma amostra de n = 100 de uma distribuição normal N(p., /12) forneceu
%
=510,6. Supondo q2
conhecido e igual a 16, obtenha um intervalo de confiança
para }l, com c.c. ,= 0,95.
41. Dizemos que X tem distribuiçào de Weibull. com parâmetros a: e fJ positivos, se sua
densidade
é
Supondo que P seja conhecido, encontre o EM V de 12, baseado numa amostra de ta­
manho n.
232 •
"d Uma amostra de tamanho 11:= 600
. /.. 2) 11 e 0'1 desconhecl os. - .
1 Suponha que X. NIJA' O' , Z _ X -11 seja aproxlmada-
• • -_ \O 3 e S1 "" 1,96. Supondo que a v.a. -~ .
forneceu X -, _ O 95 (Se J1 i:: pequeno, Z não e apro-
te normal obtenha
um
IC para 11, com c.c. l' - , .
~en damente 'normal; ver Capitulo lI).
luma O Se obtiver-
. . eocial de parâmetro IX >. .
h ue T tenha uma distrlbulC.ão expon _ II qual será um estlmador
.o. Supon a q r T de T sabendo que E{D-12,
mOS uma amostra I • ..... '
racional para IX?
233

CAPíTULO 10
Testes de hipóteses
-
10.1. INTRODUÇÃO
Vimos no Capitulo 8 que um d
Inferência Estatística é o de testa os ~.o~ lemas a serem resolvidos pela
afirmação sobre uma pop I _ r uma tpotesc. Isto ê, feita determinada
d
. U açao, usualmente sobre •
eseJarnos saber se os resultado d um para~elro desta,
tal afirmação. Muitas vezes esta!fi e u~a amostra contrariam ou não
de teorias desenvolvidas no' cam ~açao ~obre a população é derivada
quação
ou não dessa teoria
a: s~ stantlvo do conhecimento. A ade­
refutada pela amostra. O ob' t' u~lverso real p~de ser verificada ou
necer ferramentas que nos ~e :v~ . o test~ estatlstlco de hipótese é for­
(estatística) através dos resulpetadmltadffi validar ou refutar uma hipôtese
os a amostra
Neste capítulo, iremos introduzir o . d"
de hipótese sobre um parâmetro de proce _.mento básico de teste
daremos alguns testes
um_a populaçao. No
capitulo seguinte
para comparaçao de
par- d '
ções e
outros testes mais usuais. ametros c duas popula-
10.2. UM EXEMPLO
. Iremos introduzir a ideia de teste de h' ,
hlpotetico que partindo de , ~pot~ses através de um exemplo
_ ' uma sltuaçao SI I '
ampliado para atender à situaç- I d mp es, sera gradualmente
ao gera o teste de hipóteses.
Exemplo /0,1, Uma industria usa c
máquinas que produz um parafu omlo, um dos componentes das
r SO especla Importado d .
lazer a algumas exigências U d . _, ,que eve satls-
. ma estas eXlgenclas ' . -. .
Esses parafusos sào
f
b· d e a reslstenCla a tração.
, . a nca os por alguns pa' , . -
tecmcas variam de país par . P ISes, e as especificaÇões
americano afirma que a re:isr::~~ ·., or~~, e~Plo. ~ catálogo do produto
la m
la a
traça0, de seus parafusos
•
23.
J.
---
e de 145 kg, com desvio padrão de 12 kg. Já, para o produto japonês, a
média é de 155 kg e -desvio padrão, 20 kg.
Um lote destes parafusos, de origem desconhecida, será leiloado
a um preço muito convidativo. Para que a indústria saiba se faz. ou não
uma oferta, ela necessita saber qual o pais que produziu tais parafusos.
O edital do leiloeiro afirma que, pouco antes do leilão, será divulgada a
resistência média .~ de uma amostra de 2S parafusos do lote. Que regra
de dedsão devem usar os responsáveis da indústria para dizer se os para­
fuSOS são de procedência americana ou japonesa?
Uma resposta que ocorre imediatamente é a que considera como
país produtor aquele em que a média da amostra mais se aproxima da
média da população. Assim, a regra de decisão seria:
'-Se XC ~ ISO (o ponto médio entre 145 e ISS), diremos que é de
procedência americana; caso
contrário, isto é,
x> ISO, é de.
procedência japonesa
."
Na Figura
10.1, ilustramos a regra de decisão.
Americano
..
,
145 150
Fig. 10.1
Japonês
155
Suponha que, no dia do l eilão, fôssemos informados de que x= 148;
de acordo com nossa regra de decisão, diríamos que os parafusos são
de origem americana. Podemos estar enganados nesta conclusão '! Ou,
em outras palavras, é possível que uma amostra de 25 parafusos de origem
japonesa apresentem média x = 148? Sim, é possível. Então, para melhor
e
ntenderm os a regra de decisão adotada, é interessante estudarmos os
tipos de erros que podemos cometer e as respectivas probabilidades de
cometermos
estç:S erros.
Podemos cometer dois tipos de erros, e vamoS numerá-los apenas
para facilitar a linguagem:
Erro
I _ dizer que os parafusos são americanos quando na realidade
são japoneses. I
sto ocorre quando uma amostra de 25 parafusos
japoneses apresenta média
XC inferior ou igual a ISO kg.
Erro /l _ dizer que os parafusos são japoneses quando na realidade sào
americanos. Isto ocorre
quando uma amostra de 25 parafusos
americanos apresentam
media XC superior a ISO kg .
235

P~ra facilitar mais ainda a linguagem, vamos definir duas hipóteses t
bem numeradas: am-
Ho: os parafusos são de origem japonesa. Isso equivale a d"z
. _ . X d I cr que
a :e~tstencla e ca~a parafuso seg ue uma distribuição COm
media J1 = 155 e desvIo padrão (J = 20.
H]: os parafusos sào de origem americana isto é a 'd'
o • I .. ." me ta popula.
ClOna fi e Igual a 145 e O deSVIO padrão é a = 12.
Finalmente, vamos indicar por RC a região
valores menores que 150, ou seja,
correspondente aos
RC
~ {ye UlI y ,;; 150),
Com a~ notações indicadas a~ima. a probabilidade de cometer cada
um dos dOIS erros pode ser escrita do seguinte modo:
P(erro I) = P(X E RC I Ho é verdadeira) = CI:
e
P(erro If) = P(X ~ RC I H I é verdadeira) = [l.
be Quando Ho é verdad.eir.a. isto é, os parafusos sào de origem japonesa
sa mos do Teo~em~ ~Iml.te Central que X, a média de amostras d~
tamanho 2.5, tera _ dl~tnbUlçào aproximadamente normal, com média
155 e deSVIO padrao Igual à 20;$=4, isto é,
X: N(155, 16),
Assim, se Z indica uma d' v.a. com Istribuição N(O, I),
P(erro I) = P(X E RC I /lo é verdadeira) =
~ P(X,;; 150IX:N(155, 16)) ~ p(z,;; 150:155) ~
~ P(Z,;; -1,25) ~ 0,10565 ~ 10,56% ~ 0,
De ~,odo anál?g.o, .suando /lI for a alternativa verdadeira, teremos
que a vanavel aleatona
X, média de amostras de tamanho 25, obedecerá a
Logo,
236
X: N (145 12')
'25 '
)
P(erro 11) = P(X ~ RC I HI é verdadeira. ) =
~ P(X> 150 I X: N(145. 5, 76)) ~
150 - 145)
2.4 ~ P(Z>2,08)~0,0 1876~ 1,88%~fl ,
~
I
Observando estes dois resultados, notamos que, com a regra de de­
cisão adotada, estaremos cometendo o erro
I com maior probabilidade
do que o erro 11. De certo modo, esta regra de decisão privilegia a afirma­çãO de que os parafusos são americanos. Na Tabela 10.1, ilustramos as
conseqüências que podem advir
da reg.ra de decisão adotada.
TABELA
10,1
RC
Origem real dos parafusos
150 x
Japoneses Americanos

Japoneses Sem erro
Erro
1I
p ~ 1,88%
Decisão
L ~ Americanos
Erro
I
Sem erro
IX = 10,56%
Da Tabela 10.1, podemos observar que se os parafusos forem real­
mente japoneses (primeira coluna) e a amostra tiver média superior a
150 (primeira linha), diremos que são japoneses, e não cometeremos erro
algum.
Já, se a média
x for inferior a 150 (segunda linha), devemos dizer
que são americanos, e estaremos cometendo um erro cuja probabilidade
neste caso é de 10,56%. De modo análogo, temos uma interpretação para
o caso
de os parafusos serem realmente americanos (segunda coluna). Para cada regra de decisão adotada, isto é, se escolhermos um valor
Xc em vez de 150, na Tabela 10.1, apenas as probabilidades IX e # mudarão.
Se Xc for escolhido menor do que 150, notaremos que IX diminuirá e fI
aumentará. Assim, deve existir um ponto em que IX é igual a {J" ou seja, uma
regra de decisão em que a probabilidade de errar contra japoneses é a
-. mesma de errar contra americanos. Mostre que este ponto é Xc = 148,75,
e neste caso IX = {J = 5,94%.
Do exposto acima constatamos que, escolhido um valor
de
Xc, po­
demos achar as probabilidades IX e p de cometer cada tipo de erro. Mas
lambém poderíamos proceder de modo inverso: fixar um dos erros, di­
gamos IX, e encontrar a regra de decisão que irá corresponder à proba­
bilidade de erro
I igual a
IX.
Por exemplo, fixemos a: em 5%, e vejamos qual a'regra de decisão
correspondente:-
237

5% ~ P(erro I) ~ P(X" x, 1 X: N(155, 16)) ~
~ P(Z < -1,645),
mas, da transformação para a normal reduzida, sabemos que
- 1 ,645~
ou seja,
x, ~ 148,42.
Então, a regra de decisào será:
;'Sê.i f?f in~erior à 148,42, dizemos que o lote é americano' ca
contráriO, dIzemos que é japonês." ' 50
Com
esta regra, a probabilidade do erro II será:
p ~ P(erro ll) ~ P(X> 148,421 X: N(145, 5,76)) ~
~ P(Z> 1 ,425) ~ 7,93%.
Veja ilustração na Figura 10.2.
Americano
!l = 5%
Japonês
,
Fig. 10.2
Distribuição amostraI de X (média de 25 ., )
d
-. paraJusos para o caso de
proce enc/O americana e japonesa
238
,
-'
,
,
,
,
,
•
Fig.
AC
10.3 Regra de decisão com'" -5% fi _
.... -'I IxallO
Este segundo tipo de procedimento é o mais utilizad o, porque,
usualmente, a decisão que devemos tomar não é apenas e
ntre duas
pos ~
síveis populações. Os parafusos poderiam ser produzidos por outros
países além daqueles citados e, portanto, com outras características quanto
à resistência media. Suponha, ainda, que interesse à indústria fazer uma
proposta apenas no caso de o parafuso ser
de origem japonesa. Qual a
regra
de decisão que deve adotar?
A hipótese que nos interessa mais de perto é:
Ho: os parafusos são de origem japonesa
(p= 155 e u=20).
Caso esta não seja a hipótese verdadeira, a alternativa é muito mais ampla
e pode ser expressa como:
H I : os para fusos não são de origem ja ponesa.
Aqui não podemos especificar os parâmetros, pois
se não forem
japoneses, podem ser
de vários outros países, cada um com suas
pró­
prias qualificações. Alguns países podem ter técnicas mais sofisticadas
de produção e, portanto, produzir com resistência média maior que 155.
Outros, como no exemplo dado, com resistência média menor. A especi­
ficação da hipótese alternativa depende muito do grau de informação
que se tem do problema. Por exemplo, vamos admitir que a indústria
japonesa para esse caso seja a mais desenvolvida, e nenhum
outro país
possa produzir uma resistência média superior
á dela. Então, a nossa
hipóte
se alternativa ser ia mais explícita:
H
I
: os parafusos não são de origem japonesa (p < 155) .
Isto significa que só iremos de sconfiar de Ho se x for muito menor
do que 155'. Ou seja, a nossa regra de decisão deverá ser semelhante ã
239

vista anterionnente. Como os parâmetros alternativos são muitos, a
melhor soluçào para construir a regra
de decisão é fixar
a, a probabili_
dade de erro I, ou
seja, rejeitar
No quando ela é verdadeira. Se fixarmos
novame nte IX = 5%, e neste caso a regra de decisão depende apenas das
informaçõ es de Ro, a regra de dec isão será a mesma encontrada anterior_
mente:
"Se x for superior à 148,42, diremos que o lote é de origem japo_
nesa; caso contrário, diremos que não e de origem japonesa."
Com essa regra de decisão e com a hipótese alternativa mais ampla,
nào
podemos encontrar
(l, pois nào temos um único parâmetro J1 como alter_
nativa. Então, aqui não podemos controlar o erro lI. As implicaç ões
desta regra de dec isão estão resumidas na Figura 10.l
Admitamos agora que não e xista razão alguma para acredita rmos
que a resistência média dos parafusos japoneses seja maior do que a de
outros países. Isto irá nos levar a duvidar de que não são japones es, se
a média observada for muito menor ou muito maior do que 1 55. Isto
equivale à seguinte hipótese altern~tiva :
RI: não são de origem japonesa <P'i= 155).
Assim, a regra de decisão deverá indicar dois pontos XCJ e x<2' tais que:
"Se x estiver entre XC] e x"2' diremos que os parafusos são de
origem japonesa; se x estiver fora do intervalo, diremos que não
são japoneses."
Fixado IX, a probabilidade do erro I, existirão muitos valores que satis­
fazem essa condição. Daremos preferência àquelas soluções x
q
e X"2'
simétricas em relação à média. Veja Figura 10.4.
2""
,
,
,
155
Fig. 10.4
•
•
RC RC Origem dos parafusos
147,16 162,84 Japoneses Não-Japoneses
DeciS~
Erro II
Japoneses Sem erro
p~ ?
Erro I
S
em
erro fi. Não-Japoneses
IX = 5%
Voltando ao nosso problema, e fixado a em 5%, temos
5% = P(erro I) = P(X < x
q
ou X> x"ll X: N(155, 16)) =
~ P(Z < -1,96 ou Z> 1,96),
e daqui encontramos
e
~ 162,84.
Assim, neste caso, a região de rejeição da hipótese Ro é
RC ~ {x E UlI x < 147,16 ou x> 162,84}.
Do apresentado acima, vemos que, dependendo do grau de infor­
mação que se tem do problema, podemos ter regras de decisões. uni ?u
bilaterais. Na seção seguinte, iremos dar os passos para a construçao
de um teste de hipótes e.
PROBLEMAS
I. Para decidirmos se os habitantes de uma ilha são descendentes da civilização A ou B,
iremos proced er do seguinte modo:
(i) se1cóonamos uma amostra de 100 moradores adultos da ilha, e determinamos a
altura média deles;
(ii)
se essa altura média for superior a 176, diremos que são descendentes de B; caso
contrario, sào descendentes de A.
241

Os parâmetros das alturas das duas civilizações são:
A: !.I"'" 175 e G=IO.
B: J.' = 177 e (1 = 10.
Definamos: E rro J di h b' -zer que os a Itantes da ilha são descendentes d B
na realidade, são de A. e quando,
Erro 1I -dizer que são de A quando, na realidade, sào de 8,
(a) Qual a probabilidade do erro 11 E do erro li?
(h) Qual deve ser a ~~gra de decisão se quisennos fixar a probabilidade do Cf I
Qual a probabilidade do crro lI, nesse caso? TO em 5%1
(e) Se ~,,= 5, como ficariam as respostas de (h)?
(ti) QuaiS as probabilidades do erro 11, nas condições da questão (h) se M"
E JlB= 180? E }la = 181? Coloque num gráfico os pares {JJ.a: P~~o ;~~:;.1181
~ Fazendo o teste
HO:JJ= 1.150 (a=150)oonlra H, :J.I= 1-.200 (11=200),
e n= 100, estabeleceu-se a seguinte região critica:
RC = f1.170, + co[.
+-1
(a) Qual a probabilidade IX de rejeitar Ho quando verdadeira? 11:
./ (6) Qual a probabilidade fi de aceitar Ho quando Hl é ver~deira?
(c) Qual deve ser a região critica para que (X = P?
I I ~ ~.
3. Nas situações abaixo, escolha como bi . te I
um erro de primeira cs ...... · .. po se nu a, 11o, aquela que para você leva a
_ >",,~I e mais Importante. Descreva Quais d'
- -----
(o) O trabalho de um operador de radar é detecta . . .
algum,a coisa estranha na tela, ele deve deci~i~e;~t~:v:: 1~;;:~ea~?Uando surge
-esta começando um ataque; .
-tudo
bem, apenas uma leve interferência
(b)
Nu~ jtiri, um individuo está sendo julgado 'por um .
ao JUfl são: crime. As hipóteses sujei tas
-o aeusado é inocente;
-o acusado é culpado.
(ç) ~u:~S~~iS~d~~i:~r~~t~a:e d;s.cobriu um~ ~acina contra resfriado. Ele irá con.
acordo com o resultado, el:~~:~~rfa;: ~~:f~:a~i::~~id~~~c:~oaf~~ah?ã? De
que pode testar são: . lpoteses
-a vacina é boa;
-a vacina não (: boa.
4. Se, ao lançarmos três vezes uma mocd
hipótese de que li moeda é .'ho ta" Qa, ~parecerem ,3, coroas, decidimos rejeitar a
nes . uals as probablhdades de erro I e erro li?
242
S. A variável X, custo de manutenção de um tear, pode ser considerada como tendo dis·
tribuiçãO normal de média p. e desvio padrão 20 unidades. Os valores possíveis de p.
podem ser 200 ou 2\0. Para verificar qual dos dois valores é o mais provilvel, usar·se·á
uma amostra de 25 teares. Defina:
(o) uma hipótese a ser testada;
(b) uma regra de decisão e encontre as probabilidades dos erros de tipo I e 11.
10.3, PROCEDIMENTO GERAL DO TESTE DE HIPÓTESES
A construção de um teste de hipótese, para um parâmetro popula­
cional, pode ser colocada do seguinte modo. Existe uma variável X em
uma dada população. Tem-se uma hipótese sobre determinado parã­
metro O dessa população. Por exemplo, afirmamos que esse valor é um
número 9
0
, Colhe-se uma amostra aleatória de elementos dessa popula­
ção, e através dela deseja-se comprovar ou refutar tal hipótese.
Como
jà vimos anteriormente, iniciamos explicitando claramente
q
ual a hipótese que estamos colocando à prova, e a chamamos de
hi­
pórese nula. No nosso caso:
Ro : O = 00,
Em seguida, convém explicitar também a hipótese que serà considerada
como aceitável, caso
Ho seja rejeitada. A esta hipótese chamamos de
hipófese
alrernativa, e a sua caracterização estatística irá depender do
grau de eonhecimento que se tem do problema estudado. A alternativa
mais geral seria:
H, ,O cfo 0
0
,
Poderíamos ainda ter alternativas da forma:
H,:O < 0
0 ou Rt :9> 90,
dependendo das informações que o problema traz,
Qualquer
que seja a decisão tomada, já vimos que estamos sujeitos
a cometer erros.
Para facilitar a linguagem, necessitamos das seguintes
definições: .
Erro do tipo I
-rejeitar: a hipótese nula quando esta é verdadeira. Cha­
mamos de C( a probabilidade de cometer este erro, isto é,
C( = P(erro do tipo I) = P(rejeitar Ho I Ho é verdadeira).
243

Erro do lipo 11-nào rejeitar Ho quando Ho é falsa. A probabilidade d
cometer este erro é indicada por /1, logo, e
f1 = P(erro do tipo lI) = P(não rejeitar Ho I Ho. é falsa).
O objetivo do teste de hipótese é dizer, através de uma estatística Ô obtid
de uma
amostra, se a bipótese Ho
e ou não aceitável. üperacionalment a
is
to é conseguido através de uma região RC.
Cas9 o valor observado de,
es~a.tística pertença_a e~ta região, rejeitamos Hoi-caso c~!I lrár io, nà~
rejeitamos Ho· Esta região é construída de modo que P(fJ E RC I H~
verdadeira) seja igual a 11, um número fixado. RC recebe o nome de ~e~
gi~~ cr~tica ou de, rejeição (~o~vém observar que a c,onstrução da região
cntlca e sempre f cita sob a hlpOlese de Ho ser verdadeira). A delenninaçã
d,a valor de p já é mais difícil, pois usualmeme não se especificam valore~
fIXOS para o ~râm etro na situação alternativa. Podemos atribuir alguns
valores, escolhIdos dentro do caso alternativo, e encontrar o valor cor_
respondente de fJ; veremos esse procedimento mais adiante quando
tratarmos de poder do teste.
A probabilidade rx de cometer um erro de primeira espécie é um valor
arbitrário e recebe o nome de 1IÍ1,e/ de signijicânc ia do teste. O resultado
da amostra é cada vez mais significante para rejeitar Ho quanto menor
for esse nível rx. Usualmente esses valores são fixados em 5% 1% ou 01%
' o. o 'o.
10.4. PASSOS PARA COi\[STRUÇÃO DE UM TESTE DE
HIPÓTESES
Vimos, nas seções anteriores, o procedimento que se deve usar para
realizar um teste de hipótese, discutindo as notações técnica
s. Daremos
abaixo uma seqüência
que pode ser usada sistematicamente para qualquer
teste de hipóteses.
Primeiro
Passo: Fixe qual a hipótese Ho a ser testada e qual a hipótese
alternativa
H
I.
Segundo Passo: Use a teoria estatística e as informações disponíveis para
decidir
qual estatística (estimado r) será usada para julgar a hipótese Ho.
Não se esqueça de le vantar as propriedades dessa estatística.
Terceiro
Pa.~.ÇQ: Fixe a probabilidade a de cometer um ·erro de primeira
espécié, e use este valor
para construir a região crítica
RC. Lembre que
esta região é
construída para a estatística definida no segundo pa sso,
usando os valores hipotetizados
por Ho.
244
•
1
Quarto Passo: Use as informações fornecidas pela amostra para encontrar
o valor da estatística que definirá a decisão.
Quinto Pass~ .: Se o v~lor da estatística ob~e.rvado. ~a amostra não pertencer
à região cntlca, aceIte Ho; caso contrano, reJeite.
Procuraremos, sempre que fizermos teste de hipóteses, distinguir
bem.estas cinco fases.
10.5. TESTES SO.BRE A MÉDIA DE UMA POPULAçÃO,
COM VARIANCIA CONHECIDA
Vejamos agora uma aplicação dos cinco passos, definidos na seção
a
nterior, para testar a hipótese de que a média de uma população
11 é
igual a um número fixado 110. supondo--se a variância (f2 da população
conhecida.
Exemplo 10.2. Uma máquina automática de encher pacotes de café
enche-os segundo
uma distribuição normal, com média
11 e variância
400 g2. O valor de f1 pode ser fixado num mostrador situado numa posição
um pouco inacessível dessa máquina. A máquina foi regulada para
p 0= 500 g. Desejamos, de meia em meia hora, colher uma-amostra de
16 pacotes e verificar se a produção está sob controle, isto é, se J1 = 500 g
ou não. Se uma dessas amostras apresentasse uma média x = 492 g, você
pararia
ou não a produção para verificar se o mostrador está na posição
correta?
Este é um exemplo típico
de teste de hipóteses.
Primeiro
Passo: Indiquemos por X o peso de cada pacote; então,
X : N(p, 4(0). E as hipóteses que nos interessam são:
H,:~ ~ 500g
H,:~*5 OOg ,
pois a máquina pode desregul ar para mais ou para menos.
Segundo Passo: Pela afirmação do problema, (f2 = 400 será sempre a
m
esma; assim, qualquer que seja a média
11, a média X de 16 pacotes
terá a distribuição
X: N (~ , ~). isto é, X: N(p, 25).
245

Em particular, se Ho é verdadeira,
X: N(500, 25).
Terceiro Passo: Vamos fixar IX = 1%; pela hipótese alternativa, vemos
que a hipótese Ho deve ser rejeitada quando X por muito pequeno ou
muito grande (teste bicaudal). Assim, nossa região crítica será Como a
da Figura 10.5.
-r",0.5%
I
500
Fig. 10.5
1-'" 0,5%
Da tabela da curva normal, obtemos que
i -500
ZI = -2,58= c, 5 ... xc, = 487,1,
Logo,
i -500
Z2 = 2,58= C25
RC= [ielRlx<487,1 ou i>512,9}.
•
I
Quarlo Passo: A infonnação pertinente da amostra e a sua média, que
neste caso particular é Xo = 492.
Quinto Passo: Como io ~ RC. a nossa conclusão será não rejeitar Ho·
Ou seja, o desvio da médi~ da amostra para a média proposta por Ho
pode ser considerado como d evido apenas ao sorteio aleatório dos pacotes.
PROBLEMAS
6. Sabe-se que o consumo mensal pEr capita de um dete nninado produto tem distribuiçãO
normal. com desvio padrão 2 kg. A diretoria de uma firma que fabrica esse produto
resolveu que retiraria o produto da lin
ha de produção se a média de consumo per
capira
fosse menor que 8 kg. Caso contrario. c ontinuaria a fabricá-lo. Foi realizada uma
246
pesquisa de mercado. tomando-se uma amostra de 25 indivíduos. e verificou-se que
" L Xi = 180 kg, onde XI representa o consumo mensal do i-esimo individuo da amostra.
I-I
(a) Construa um leste de hipótese adequado. utilizando IX = 0.05, e com base na amostra
colhida detennine a decisão a ser tomada pela diretoria.
(b) Qual a probabilidade fi de se t omar uma decisão errada se. na realidade, a mêdia
populacional ê I' = 7.8 kg?
(e) Se a diretoria tivesse fixado IX=O.Ol, a decisão seria a mesma? ( Justifique sua res­
posta.)
(á) Se o desvio padrão da população fosse 4 kg. qual seria a decisão? (Justifique sua
resposta.)
I.J} A associação dos proprietários de industrias metalurgicas está muito preocupada
com o tempo perdido com acidentes de trabalho. cuja mêdia, nos últimos tempos.
tem sido da ordem de 60 horas/homem
por ano
e desvio padrão de 20 horas/h omem,
Tentou-se um programa de prevenção de aciden tes e, após o mesmo. tomou-se uma
amostra de 9 industrias e mediu-se o rumero de ho rasjhomens perdidas por a cidente,
que foi 50 horas. Você diria. ao nivel de 5%, que há evidência de melhoria?
8: O salário medio dos empregados das industrias siderurgicas é de 2.5 salários minimos.
com um desvio padrão de 0,5 salários minimos. Se uma finna particular emprega 49
empregados com um salário mêdio de 2,3 salários mínimos, podemos afinnar que
esta industria paga salarios inferiores, ao nível de 5%?
9.
Uma companhia de cigarros anuncia que o índice mêdio de nicotina dos cigarros que
fabrica apresenta-se abaixo de
23 mg por cigarro.
Um laboratório rea lita 6 análises
desse índice, obtendo: 27. 24, 21, 25. 26, 22. Sabe·se que o índice de nicotina se distribui
nonnalmente. com v
ariãncia igual a 4.86
mg
2
.
Pode-se
aceitar. ao nível de 10"10. a afir­
mação do fabricant e?
10.6. PODER DE UM TESTE
Vimos que, na construção do teste de hipótese s, procuramos con·
trolar o erro do tipo I, fixando a s ua probabilidade de ocorrência IX. Fi·
xado esse número, a região de rejeição RC é construída de modo que
P(RC I Ho é verdad eira) seja igual ao número fixado IX. OU seja, admi­
tindo que Ho seja verdadeira, estamos admitindo conhecidos os parâ­
metros que defin em a distribuição da estatíst ica usada no teste. Já, a
probabi lidade do erro do tipo 11, na maior ia dos casos, não é possível
calcular, pois a hipótese a
lt'ernativa usua lmente não especifica uma única
possibilidade, mas uma familia de possibilidades alternativas.
Voltemos
ao exemplo da seção anterior.
247

Exemplo 10.2 (continuação). No exemplo 10.2, da máquina automá_
tica de encher café, a regra de decisão para verificar se a máquina estava
ou nào produzindo sob controle
foi:
"Se X. E RC, está sob controle; se i E RC', nào está".
onde RC = {i E IR I x < 487,1 ou x> 512,9} e RC é o complementar de
RC em relação a R.
Esta região foi construída sob a hipótese de que Ho era verdadeira
isto é, ,l/. = 500 g; portanto, a média X de 16 pacotes tem distribuiçã~
N(500, 25).
Esta regra pennite-nos construir a Tabela 10.2 contendo as decis ões
que podemos tomar e suas Jespectivas implicaçõe s. Do exposto na ta­
~l.a , vemos que o erro fJ não pode ser calculado, a menos que se espe­
CIfIque um valor alternativo p~a ,l/.. Por exemplo, se a máquina se des­
regular para J1 = 505, a média X de 16 pacotes sorteados dessa população
terá distribuição N(505,25); portanto,
fi = P(X E RC' I ~ = 505) = 94,2%.
TABELA 10.2
Valor real do parâmetro
Decisão
Ho :
J1 = 500 H, : ~ + 500
A máquina está sob
P(RC'lH ol=0,99
P(RC I H,) = fi
controle: ,l/. = 500 depende de valor
alternativo de J1
A máquina não está
P(RC lHo) = 0,01
P(RC I H,) = I -fi
sob controle: J1 t 500 depende de valor
alternativo de J1
Para qualquer outro valor do parâmetro f1.. podemos encontrar o
respectivo erro p para a regra de decisão fixada acima. Costuma-se de­
tenninar este erro p, atribuindo alguns valores arbitrários para o
parâmetro J1. A Tabela 10.3 apresenta alguns desses valores, e a Figura
10.6, a representação gráfica da determinação dessas probabilidades.
Observe que quanto maior
for a distância entre o valor fixado em Ho(P = 5(0) e o valor atribuído para a hipótese alternativa, maior a pro-
248
r
babilidade de tomar a decisão correta. Com estas informações podemos
construir a curva (p., I -{J) que, com exceção do valor J1 = 500, indica o
comportamento do teste
em tomar a decisào correta, segundo valores
alternativos de
J1. Esta é a curva representada na Figura 10.7, que recebe
o nome de função poder do leste.
TABELA 10.3 -Probabilidade de tomar a decisão correta para
um dado valor de J1, usando a regra de decisão.
RC = !x E IR I x < 487,1 ou x> 512.9}
Verdadeiro Valor de J1
Probabilidade de Probabilidade de
À esquerda À direita
decisão correta decisão incorreta
(I-aou
l-fi) (a ou fi)
de 500 de 500
(em %) (em %)
500 500 99,0 1,0
498 502 1,7 98,3
495 ..
505 5,8
, 94,2
492 508 16,4 83,6
490 510 28,1 71,9
487 513 49,0 51,0
485 515 66,3 34,7
480 520 92,1 7,9
475 525 99,2 0,8
Assim, definida uma hipótese Ho sobre um parâmetro B = Bo, e
determinada uma região crítica RC para sua estatística ê, chamaremos
de função poder do leste a· função I -fJ(B) = P(Ô E RC I O). Esta função
indica a probabilidade de uma -decisão correta, segundo as diversas al­
ternativas do parâmetro, e pode ser usadà para julgar-
se como decidir
entre dois .testes para unia mesma hipótese.
Exemplo
10.3. Se, no exemplo 10.2, a amostra colhida fosse de 100
pacotes ao invés de 16, e mantivéssemos o mesmo nível de significância
o: = I %, a nova reg ião critica seria
RC = {x E IR I x < 494,8 ou x> 505,2}.
Construindo a função poder para esse teste, obtemos a linha pontilhada
da Figura 10.7. (Verifique as duas
arinnações acima sobre a RC e a curva
poder.)
249

« = 1%
0,5%
487,1
1,7%
1-1} =. 28,1%
1 -P = 66,3%
515
1 -P 5,8%
1 -I} = 49%
Fig. 10.6
250
Probo
1 -P
"
100
-~ .------
, ,
90
, ,

/ ,
, ,
100
80
,
, "
~
, ,
" -
16
70
, ,
, ,
, ,
60
,
, ,
, ,
50
, ,
, ,
, ,
40
, ,
, ,
30
, , , , ,
, ,
20
, ,
, ,
10
, ,
, ,
,
,/
480 490 500 510 520
"
Fig. 10.7 Poder do lesle; n = /6 (linha cheia), fi = /00 (linha lracejada).
Observando as duas curvas na Figura 10.7, notamos que, para todos
os valores alternativos, a prob abilidade de uma decisão correta é maior
para amostras de tamanho 100 do que de tamanho 16. Dizemos, n este
caso, que o primeiro teste é mais sensível do que o segundo, e deve ser
o preferido. Este conceito está de acordo com a intuição de
que um teste
com amostras maiores deve levar a
resultados me lhores.
PROBLEMAS
G~ Suponha que estejamos t estando Ho : p = 0,5 contra H, : p 1= 0,5, e que. para uma
amostra de tamanho n = la, decidimos pela região crítica RC = {O. 1,2,8,9, lO}.
(a) Determine o nivel de significância !l.
(b) Calcule o poder do teste para p = 0,2, p = 0,4, p = 0,6 e p = 0,8. Faça um gráfico
do poder como função de p'.
(e) QUilI o poder do teste para p = 0,5?
11. Sendo X o custo de manutenção de um tear, sabe-se que X: N(p., 4(0). Para testar a
hipóte
se Ho :
li "" 200, contra a atternat iva H, : /.I > 200, será usada uma amostra de
25 teares.
(a) Fixando-se IX = 5%, encontre a correspondente RC.
(b) Atribuindo-se valor es arbitrários para li, esboce a função poder do teste.
(e) Para que valores de /.I, o poder será maior do que 50%?
251

10.7. TESTE PARA PROPORÇÃO
Vamos usar os passos descritos na seção 10.4 para mostrar a cons_
trução do teste para proporções.
Primeiro Passo: Temos uma população, e temos uma hipôte se sobre
proporção
p de indivíduos portadores de uma certa característica.
Es~
hipótese afirma que essa proporção é igual a um certo número Po. Então
,
Ho:p=po-
O problema fornece informações sobre a alternativa, que pode ter uma
das três formas abaixo:
(i) H 1 : P =1= Po (teste bicaudal);
(ií) H I : P > Po (teste monocaudal à direita);
(iii) H I : P <Po (teste monocaudaI à esquerda).
Segundo Passo: Como vimos na seção 8.9, a estatística p, a proporção
da amostra, tem uma distribuição aproximadamente normal, isto
é:
~. N ( p(1 - Pl)
p. p, .
n
Terceiro Passo: Fixado um valor a, devemos construir a região crítica
para.p
na suposição de que os parâmetros definidos em Ho sejam
ver­
dadeiros. Isto nos pennite concluir que
p: N(PO' Po(l ;po)),
e, conseqüentemente, teremos a região crítica da Figura 10.8 (no caso,
supondo HI :P=!=Po), onde P=ZIl Jpo(l :po).
O quarto e o quinto passos irão depender da am~stra , e o procedi-
mento está descrito no exemplo seguinte. I
. Exemplo 10.4: Uma estação de televisão afinna que 60% dos tele­
vl~ores estavam Itgados no seu programa especial da última segunda­
feira. Uma rede competidora deseja contestar essa afinnação e decide
para
isso, usar uma amostra de
200 famílias. Qual deve ser ~ procedi ~
menta adotado para julgar a veracidade da afirmação da estação? No
252
Po -p 'o
Po + p
Fig. 10.8
passo 4 abaixo, daremos o resultado da amostra, pois é importante ficar
claro que o resultado da amostra não deve influenciar a escolha da hi­
pótese alternativa.
Primeiro Passo: Vamos co locar à prova a afirmação da estação, isto é,
Ho:p ~ 0,60.
Sabemos que, se esta hipótese não for verdadeira, espera-se uma pro­
porção menor, nunca maior. A estação sempre divulgaria o máximo
possíve
l. Isto nos leva à hipótese alternativa
HI :p < 0.60.
Segundo Passo: A estatística a ser usada é p, a proporção de 200 famílias
que assistiram o programa na última segunda-feira. e da teoria temos
p: N 0, p(~~pl )
Tercei'ro Passo: Fixaremos tx = 5%, e sob a suposição de que Ho seja
verdadeira, a distribuição de p será:
-. (o 60 0,24)
p.N"200'
o que mi fornecer a região crí tica (de acordo com a Figura 10.9)
RC ~ {pE RI p ,,0,544).
253

Q.
Fig. 10.9
Pois devemos achar o valor Pro tal que
PiJi ,;; p,) ~ 0,05,
e como p é aproximadamente normal, temos
o que implica
p(z<: p,-0,60 ) ~ 005
~ JO,24/2oo "
p-O,6O
JO,24/2oo
= -1,645,
"
o valor 1, 645 sendo obtido da normal padronizada N(O, 1). Logo,
Pc = 0,544,
correspondendo à região crítica acima.
Quarto Passo: Admitamos que, do trabalho de campo, e ntrevistando as
200 famílias sorteadas aleatoriamente, obtivemos 104 respostas afirma-
tivas. Isto equivale a um valor
observado da proporção de
Po = 104 = 0,52
200 .
Quinto Passo: Do resultado acima, vemos que 0 ,52 E RC; portanto, somos
levados a rejeitar
Ho.
Isto é, há evidências de que a audiência do programa
de segunda-feira
não foi de 60% e s im inferior a este número.
254
PROBLEMAS
12. Uma pessoa gaba·se de adivinhar qual será o resultado do lance de uma moeda, mas
é preciso que os presentes nào o perturbem com pensamentos duvidosos. Para testar
tal capacidade, lançou-se uma moeda perfeita 6 vezes, e o adivinhador acertou 5. Qual
seria sua ooncl usão ?
13> O consumidor de um certo produto acusou o fabricante, dizendo que mais de 20"10
das unidades fabricadas apresentam defeito. Para confirmar sua acusação. ele usou
uma' amostra de tamanho 50, onde 27"10 das peças eram defeituosas. Mostre como o
fabricante poderia refutar a acusação. Utilize um nível de significância de 10~o'
14. Um fabricante garante que 90"10 dos equipamentos que fornece a uma fabrica estão de
acordo com as especiricaçõcs exigidas. O exame de uma amostra de 200 peças desse
equipamento revelou 25 defeituosa s. Teste a afirmativa do fabriçante, aos níveis de
5% e 1%.
IS. Os produtores de um programa de televisão pretendem modificá- lo se for assistido
regularmente
por menos de um quarto dos po ssuidores de televisão.
Uma pesquisa
enc:omendada a uma empresa especializada mostrou que. de 400 famílias entrevistada s.
80 assistem ao programa regulannente. Baseado nos dados, qual deve ser a decisão
dos produtores?
10.8. NlvEL
DESCRITIVO
o método de construção de teste de hipóteses, descrito nas seções
anteriores, é conhecido como o procedimento clássico de teste
de hipóteses. Um outro procedimento que vem sendo adotado é aquele que consiste
em apresentar o nível descritivo (ou P-valo r). Os passos são muito parecidos
com os do"""procedimento clássico; a principal diferença está em não
construir a região critica. Ao invés, indica-se qual a prob
abilidade de
ocorrer
valores da estatística mais extremos do que o observado, sob
a hipóte
se de H o ser verdadeira.
Exemplo
10.5. Voltemos ao exemplo anterior, onde
Ho:p ~0,6O.
Admitindo esta hipótese como verdadeira, temos que
~. N (o 60· 0,24)
p . " 200 .
255

Colhida a am ostra, obtivemos
po ~ ~~ ~ 0,52
Assim, podemos determinar qual a probabilidade de ocorrer valor es
de 'fi mais desfavoráveis para Ho do que esse. Aqui devemos determinar
Prp < 0,521 p ~ 0,60) ~
~ P (z < 0,52 -0,60 J200) ~
JO,24
~ P(Z < -2,30) ~ 0,01 ~ 1%.
Este result ado mostra que, se a audiência do programa fosse de 6()01o
realmente, a probabilidade de encontrarmos uma amostra de 200 família;
com 52% ou menos de audiênc ia é de 1 %. Isso sugere que ou estamos
diante de uma
amostra rara de ocorrer,
I em 100, ou, então, a hipótese
formula
da nào é co rreta. Neste caso, som os
levados. a esta segunda opçào
ou seja,
os dados da amostra sugerem que a hipótese Ho deve ser
rejeitada~
O procedimento está ilustrado na Figu ra 10.10. Observe que este pro­
cedimento equivale a determinar a que nível de significância o valor
observa
do nào seria rejeitado.
F;g.
10.10
Poderíamos, de modo anã logo, construir níveis descri tivos bilaterais,
determinando qual seria o nível de significância bicaudal para que
Ho
não fosse rejeitada com o valor observado da amostra. Aqui iremos só
nos referir a níveis descritivos unilaterais.
,
256
Exemplo
10.6. Uma companhia de serviçOS de ônibus intermuni­
cipais planejou uma nova
rota para servir vários locais situados entre
duas cidades importante
s. Um estudo preliminar afirma que a duração
das viagens será a proximadamente nonnal, com média igual a 300 minutos
e de
svio padrão de
30 minutos. As 10 primeiras viagens realizadas nessa
nova
rota apresentaram média igual a 314 minutos. Este resúltado
com­
prova ou não o tempo médio determinado nos estudos preliminares?
Primeiro Passo: Indicando por X a duração de cada viagem e por J1 = E(X),
queremos testar
Ho : J1 = 300.
H, : ~ + 300.
SegwuJo Passo: Amostras de 10 viagens terão média X: N (J1. 0"1) pe-
lo Teorema Limite Centra l. 10
Terceiro Passo: Sob a hipótese de que Ho é verdadeira, e pelo fato de (11
ser supostamente conhecido ((1 = 30). teremos:
XN (300,~)
Quarro Passo: Como o valor observado Xo = 314, pode mos encontrar
a probabilidade de oc orrer amostras com va lores de x mais extre mos
do que este:
P(X> 314) ~ p(z > 314-300) ~
9,49
~ P(Z> I ,48) ~ 0,07.
Este resultado indica que a ocorrência de amostras com médias iguais
ou superiores a 314
é 7%. Nosso problema é d ecidir se co rresponde ou
não a um evento
raro. Por ser uma probabilidade não muito pequena,
po­
demos concluir que não existe muita evidência para rejeit ar Ho. Assim,
os estudos
preliminares parecem es tar corretos.
Se indicarm os por
fi o nível descritivo ou P-val or. rejeitaremos Ho
para aque les níveis de sig nificância rx maiores do que fi. No exemplo 10.6,
rejeitaremos Ho, por exemplo, se (l = 0,10, mas não a rejeitaremos se
rx=0,05 ou rx = 0,01.
257

I
PROBLEMAS
16. Suponha que queiramos testar Ho: p.","SO contra H] : p.> 50, onde jJ é a média de
uma normal N(p., 9(0). Extraída uma amostra de n = 36 elementos da JXIpulação,
obtemos i = 52. Calcule o nlvel descritivo IX do teste.
17. Os novos operários de uma empresa são treinados a operarem uma máquina, cujo
tempo X (em horas) de aprendizado é anotado, Observou-se que X segue de perto a
distribuição N(25. 100). Uma nova téçnica de ensino, que deve melhorar o tempo de
aprendizado, foi testada em 16 novos empregados, os quais apresentaram 20,5 horas COmo
tempo médio de aprendizado. Usando o nível descritivo, você diria que a nova técn ica
é melhor que a anterior?
PROBLEMAS E COMPLEMENTOS
18. A precipitação pluviométrica anual numa certa região tem desvio padrão t1 = 3,1 e
média desconhecida. Para os ultimas 9 anos, Foram obtidos os seguintes resultados:
30,5: 34,1; 27,9; 35,0; 26,9; 30.2; 28,3; 31,7; 25,8.
(a) Construa um teste de hipóteses para saber se a média da precipitaçào pluviomé­
trica anual é maior que 30,0 unidades. Utilize um nível de sígnificância de 5%.
(b) Discuta o mesmo problema. considerando fI desconhecido.
(c) Supondo que, na realidade, p. = 33,0, qual a probabilidade de tirarmos uma con­
çlusào errada?
19. Supõe-se que detenninado tipo de indústria deva ter, em média, 30 empregados. Para
testar tal hipótese, colhe-se uma amostra de 50 indústrias. cujo resultado está abaixo.
Caso rejeite a hipótese.
dê um intervalo de confiança para a verdadeira média: (Suponha
que
.1'2 = 0
2.)
N.
G
de Empregados Freqüência
25 !--35 8
35 I-45 10
45 I-55 13
55 r-65 10
65 I-75 9
20. Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, I I litros
por 100 km, com desvio padrão de 0,8 litros. Uma revista resolve testar esta afirmação
e analisa 35 automóveis dessa marca, obtendo 11,3 litros por 100 km çomo consumo
mêdio (considerar distribuição normal). O que a revista pode concluir sobre o anúncio
da fábrica, ao nível de IO%?
258
.-
1
lI. Um dos maiores problemas de uma grande rede de vendas a varejo é veriricar a ade­
quação do estoque declarado com o real existente. Decidiu-se fazer a verificação atravês
de procedimentos amostrais. Indicando por X o total em unidades monetárias de cada
produto em estoque, verificou·se que X: N(p.. 400). Serào sorteados 4 produtos. O
total X de cada um será verificado e calçular-se-á a média X, que será a estatística de
decisão. Numa determinada miaI, o valor declarado de p. é 50. Havendo falta, este
parâmetro deve ser 45; no caso de excesso, 58.
(a) Defina Ho e H
L
•
(b) Descreva os erros do tipo I e 11.
(c) Fixando IX = 10"10, qual a regra de decisão para julgar se o estoque está correto ou não?
(d) Calcule o erro {3.
(e) Qual o signiricado de IX e fJ neste problema?
Duas máquinas, A e R, sào usadas para empaçotar pó de cate. A experiência passada
garante que o desvio padrão para ambas é de 10 g. Porém. suspeita-se de que elas têm
mêdias diferentes. Para verificar, sortearam-se duas amostras. uma com 25 pacotes da
máquina A e outra com 16 pacotes da máquina R. As medias foram, TeSpeçtivamente,
,'( .. = 502,74 g e XB= 496,60 g. Com estes número s, e ao nível de 5%, qual seria a con­
clusào do teste Ho : p. .. = P.B? (Sugestão: use os resultados do problema 28. Capitulo 8.)
23. Na região s ul da cidade, 60 entre 4úO pessoas preferem a bebida Meca-MeIa entre as
demais similares. Na região norte, a proporção
é de 40 entre 225 entrevistados. Baseado
no
resultado dessa amostra, você diria que a proporção de todos os moradores nas
duas regiões é a mesma? (Veja problema 31, Capítulo 8.)
24. Uma pesquisa mercadológica sobre fidedignidade a um produto, foi realizada em dois
anos conseçutivos, com duas amostras independentes de 400 donas-de-easa em cada
uma delas. A preferência pela marca
em questão foi de 33% e 29%, respectivamente.
Os resultados
trazem algwna evidência de mudança de prefercncia?
25. Seja X uma v.a. oom distribuição binomial, com n= 15. Considere testar Ho :p~ 0,5
contra Hl :p<0,5, com RC={O, 1,2}.
(a) Calcule a probabilidade do erro I.
(b) Calcule a probabilidade do erro 11 quando p=O,3.
(c) Esboçe o grarico do poder do teste.
26. O custo X de manutenção de teares segue uma distribuição nonnal, X: N(p., 4úO).
Durante muito tempo, o parâmetro !J tem sido adotado como igual a 200. Suspeita-se
de que este parâmetro aumentou, e só nos interessa saber se o novo parâmetro for
superior a 210. Assim, queremos planejar um teste em que IX = 5% (qua.ndo p. = 200)
e p= 10% (quando p.=210).
(u) Qual deve ser o tamanho da amostra?
(b) Qual a RC neste caso?
259

CAPíTULO 11
Outros tópicos
-
11.1. INTRODUÇÃO
Neste capítulo abordaremos alguns tópicos importantes, que não fo­
ram tratados nos capítulos anteriores. Basicamente, já apresentamos os
conceitos de estimação e de teste de hipóteses em situações muito par­
ticulares e, portanto, muito irreais. Por exemplo, queremos estimar a
média
de uma população da qual conhecemos a variância.
Ora, se a média
de uma população é desconhecida, é bem provável que sua variância
também o seja. Assim, trataremos de alguns testes e da construção
de
al­
guns intervalos de confiança, que são bastante úteis em situações práticas.
Como já foi amplamente discutido, a construção de testes e inter­
valos de confiança depende da distribuição amostrai do estimado r. Por­
tanto, discutiremos na próxima seção algumas distribui9ões amostrais
importantes. Como as derivações
dessas distribuições exigem um
instru­
mental teórico acima do exigido neste livro, apenas as apresentaremos,
indicando em cada caso as suposições que as
fazem aparecer.
11.2. ALGUMAS
DISTRIBUiÇÕES IMPORTANTES
11.2.1. A Distribuição de Qui-Quadrado IX
2
)
Já vimos que uma amostra casual simpl es corresponde a um con­
junto de variáveis aleatórias X I' X 2' ... , X
n
, independentes entre si, e
cada uma delas com distribuição igual
à distribuição da população da
qual a amostra foi retirada. Assim, quando estivermos estudando
dis­
tribuições amostrais de estimadores, de certo modo estaremos envolvi­
dos com combinações de variáveis aleatórias independent es.
260
1
Uma distribuição amostraI muito útil nestas condições é a chamada
distribuição de X
2
(qui-quadrado). Suponha que tenhamos v variáveis
aleatórias normais, padronizadas e independentes entre si, isto é,
Zj: N(O,l), j = 1,2, ... , v;
então, a variável aleatória definida como a soma dos quadrados dos Z;
lerá uma distribuição de /. Ou seja, teremos o seguinte teorema, que
não demonstraremos.
Teorema
11.1. Seja
(Z I , Z 2, .•. , Z..) uma amostra aleatória simples,
retirada de uma distribuição normal padronizada N(O, I). Então, a va­
riável
'-z'
Z' Z'­X -1+ 2+"'+ ,.~ (11.1)
tem distribuição de qui-quadrado, com v graus de liberdade (g.I.).
A função densidade de probabilidade dessa variável é dada por:
f(y) = 1 y./Z-l e-"/2, y > O.
2'''r(;)
(112)
o parâmetro v recebe o nome de grau de liberdade e corresponde ao nú­
mero de variáveis normais independentes, ao quadrado, que estão sen­
do somadas. Usaremos a notação Y: /(v) para denotar uma v.a. que
tem f.d.p. (11.2). Pode-se mostrar que
(11.3)
A Figura 11.1 mostra os gráficos da curva qui-quadrado para v = I,
v=2 e v>2.
f(y) f(y)
f(y)
y y y
a) li = 1 b) li = 2 , c) li .. 3
Fig. 1 1.1 Gráficos da distribuiç ão qui-quadrado
261

A distribuição X
2
(v) tem muitas aplicações em Estatística e, como
no caso da normal, existem tabelas sobre suas probabilidades. A Tábua
IV, no Apêndice, fornece os valores de Yo, tais que
P(Y> yo)=p para
alguns valores de
p e alguns valores de v (Figura 11.2).
f(yl
y
Fig. 11.2 Valores tabelados da disTribuição X2(v)
Exemplo 11./. Na Tábua IV, Apêndice, para v= 10, observe que
P(Y> 2,558)=0,99, ao passo que P(Y> 18,307)=0,05.
Exemplo 11.2. Vamos supor que estamos colhendo uma amostra de
n elementos de uma população normal N(p, (12). Então, cada variável
Xi terá também a mesma distribuição normal. Assim, a soma
terá distribuição
x2(n), pois cada
Xi -J1 tem distribuição N(O, I). Assim,
u
se definionos
, I~ (X '
(1. = -~ i -J1) ,
n i=1
(11.4)
podemos verificar que
u' n" " (X -~)'
r = n -'+ = -, L (X, -~)' = L --,-'--,,-
(1 n(1 i=1 iel (1
(11.5)
tem distribuição x
2
(n).
Observe que o estimado..:. (1~ é muito parecido com o estimador 8
2
,
com J1 tomando o lugar de X. E muito importante conhecer a distribui­
ção de l:(X
i
-X)2 para saber a distribuição amostrai de S2. Vemos inicial­
mente que
262
r
" "
I (X, -~)' = I {(X, -X) + (X -I')}' =
,=1 i=1
"
= I {(X,-X)'+2(X,-X)(X-~)+ (X-~)'} =
i"'l
" "
= I (X, -X)' + 2(.1' -~) I (X, -X) + n(X -~)' ,
e do rato de l:(X
i
-X) = 0, vem
" "
I (X, -~)' = I (X, -Xl' + n(X -~)'. (J 1.6)
i'"l
Dividindo ambos os membros por 0-
2
, e reescrevendo convenientemen­
te, teremos:
± (X'- ~)' = ± (X,-X)' + (.1'- ~) '.
,=1 (1 1""1 (1 (1
jn
( 11.7)
o primeiro membro da expressào (11.7) tem distribuição x2(n), como
vimos
no exemplo (11.2). A última expressão do segundo membro de (11.7)
tem distribuição
X
2
(1), pois (X -J1)/~ tem distribuição N(Q, I). Desse
F
modo, seria razoável supor que ~ (Xi ~ ry tem distribuição x
2
(n -I).
A demonstração desse resultado também exige recursos fora do alcance
deste livro, mas podemos resumir o
resultado no seguinte teorema.
Teorema 11.2. Seja
(2
1
, 2
2
, ••• , Z~) uma amostra casual simples re­
tirada de uma população riormal N(O, I), então:
(i) Z tem distribuição N(O, I/n);
"
(ii) as variáveis
Z e L (Zi -2)2 sào independentes;
" ,
(iii) L (Zi -2)2 tem distribuição x
2
(n -I).
Desse teorema, observamos imediatamente que a v.a.
(n -,I)S' = n -; I _I_± (X,-X)' = ±(X,-D' =
(1 (1 fi-li 1 (1)
= i (X, -p -X + ~)' = ± (X, -I' _ X -~)' = 1:(2, -Z)'
1 (1 1(1 (1
(11.8)
263

tem distribuição X2 (n -I).
A expressão (11.7) e a 'própria definição de -; garantem uma pro­
priedade muito útil do X2: a soma de duas v.a. 1.
2
independentes e Um
,. .
X , Isto e,
x'lp) + x'(q) ~ x'1p + q). (11.9)
PROBLEM AS
I. Chamando de xliv; li) o valor de y, tal que P(ll > y I v) == a, e usando os valores da
Tábua IV, calcule:
(a) ll(IO; 50%)
(b) ):1(19, 1%)
2. De urna população X: N(50, 100) retira-se uma amostra de 10 elementos e calculam-se
os valores de rr! e Sl. Encontre os valores pedidos abaixo, com a maior precisão possíveL
(a) Se P(rr; > a) = 10%, encontre o valor de a.
(b) Sabendo-se que p(Sl < a) = 5% e P(Sl > b) = 5%, encontre a e b.
(c) P(Sl < 163,16) = IX, encontre IX.
(á) P(S2> 100) = IX, encontre a.
(e) P(Sl < 80) = IX, encontre IX.
(f) Se o valor observado de S2 foi 180, qual a probabilidade de encontrar uma amos_
tra que produza um 51 maior do que o ob~rvado?
".2.2. A Dist ribuição t de Student
Esta e uma das distribuiçõ es mais importantes para a inferência
sobre médias populacionais. A derivação estatística da distribuição está
contida no tcorema abaixo.
Teorema 11.3. Seja Z uma v.a. N(O, I) e Y uma X
2
(v), com Z e Y
independentes. Então, a variável
Z
I ~--
.jY;,
tem disrrihuição I de Sludelll, com v graus de liberdadc.
A f.d.p. de I é dada por
~)-("+1)12
+ , - 00 < I < 00.
,
(lU O)
264
Como no caso anterior, o parâme~ro v chama-se número de graus de li­
berdade e dcpende dos graus de liberdade da v.a. do denominador. In­
dicaremos uma distribuição r de Student, com v g.l., por r(v). Pode-se
provar quc
E(I) ~ O e
,
Var(t) ~ --,
, -2
e verificar que o gráfico da [d.p. aproxima-se muito da distribuição
N(O, 1), quando v é grande. Esta distribuição também foi tabelada e os
resultados estão na Tábua
V, do Apêndice. Esta fornece valores
Ie> tais que
P(-/r < ( < lJ = 1 -P (11.11)
para alguns valore$ de p, e v= 1,2, ... , 30, 35,40,50,60, 120. Para v
muito grande, pode-sc u sar a distribuição N(O, 1). (Ver Figura 11.3 e
Tábua
V.)
Nl0,1)
Fig. 11 .3 A distribuição t de Sludent e a distribuição normal padrão
Exemplo
J J.3. Uma aplicação imediata desta distribuição é na
obtcn­
ção da distribuição amostrai da estatística
X -JI
S/Fn'
(11.12)
Inicialmente, dividamos numerador e denominador pelo desvio P!ldrão
(J da população, e tcremos
265

o numerador Z = X -J.l fi tem distribuição N{O, I), como já foi
u
visto. O quadrado do denomi nador pode ser escrito como
(n -l)S' /(n -1) ~ Y ,
tj n -1
onde Y = (n _ I)Slj(J2. Mas, como foi visto em (11.8), se os Xf's forem
normais, Y tem distribuição x
2
(n -1); logo, a expressão (11.12) satisfaz
às condições do Teorema 1 1.3 e, então,
J'-~
r::: l(n - 1).
Slvll
(lI.! 3)
Este resultado será usado em seções futuras. Observe que Z e Y sào in~
dependentes, pois X e S2 são independentes, pelo Teorema 11.2, (ii).
PROBLEMAS
3. Chamando de I(v: IX) o valor y, lal que P{I > y I v) = a, e usando oS valores da Tábua V,
calcule:
(a) t(l; '5/9)
(b) 1(6; IOYJ
(c) /(10; 95%)
(á) 1(15; 2,5%)
(e) 1(20; 80%)
(f) /(120; 0,1%)
4. Da populaçãO X : N(50, 1(0) retirou-se uma amostra casual simples de tamanho n = 10,
calcuJando~se o valor de X,. S e o respectivo valor de I.
(a) Se P( I X-50 I < (s/fi) = 10";', encontrc o valor dc t.
(b) Sc X = 48 e S2 = 120, qual a probabilidade de encontrar um valor de I menor que
o produzido por essa amostra?
(c) Se
Sl = 120, calcule a PC I X-50 I < 2).
11.2.3. A Distribuição F (Sned ecor'
A tercei ra distribuição, muito usada em inferência, envolve o quo­
ciente de
duas variáveis
X
2
e pode ser resumida no seguinte teorema.
Teor
ema
11.4. Sejam U e V duas v.a. independentes, cada uma dis­
tribuída segundo wn Xl, com VI e V2 g.l., respectivamente. Então, a v.a.
(11.14)
266
r
tem distribuição F, com parâmetros VI e 111,
A f.d.p. de F é
g(f) ~ (11.15)
Os parâmetros 1' e V
2
são chamados de graus de liberdade, e indicaremos
que uma v.a.
W tem distribuição F, por W: F(v
l
,
1I:J Pode-se mostrar que
E(F) ~ v,
11
2
-2
U (F) 2v~(1I1 + 112 -2)
e ,..ar = 2 •
v,(v, -2) (v, -4)
(11.16)
O gráfico típico da distribuição F está na Figura 11.4.
Na Tábua VI (ver Apêndice) são dados os pontos 10, tais que
P(F(v" v,) > fo) ~ a,
para a. = 5% e alguns valores de VI e 1'2' Para encontrar os valores infe­
riores, usa-se a identidade
(11.17)
g(f)
Fig. 1 1.4 Gráfico de distribuição F
Exemplo
/1.4.
Por exemplo, na distribuição F(5, 7) temos, como
se pode ver na Tãbua VI, P(F> 3,97) ~ 0,05 ou, então, P(F <; 3,97) ~ 0,95.
Digamos que desejamos encontrar o valor 10, tal que P(F < 10) = 0,05.
Da igual dade (11.17) temos
0,05 ~ P(F(5, 7) <Jo) ~ P(F(;,5) <Jo) ~ P(F(7,5) > )J
267

Procurando na tabela correspondente à distribuição F(7, 5), encontramos
J..-= 4,88, portanto, Jo = 0,205, que é o valor procurado.
/0
Exemplo 11.5. Uma da~ distribuições amostrais mais usadas, e qUe
corresponde a uma distribuição F, resulta do seguinte problema. Supo.
nhamos duas amostras v independentes, de tamanhos n j e n2' retiradas
de duas populações nonnais com mesma variância (jl. Indiquemos as
variâncias das amostras por Sr e S~ , respectivamente. Já vimos que
U = (n
j
-I)STlu
2
: x
2
(n] - 1) e V = (n2 -I)SV(12 : x2(n2 -I), portanto,
a variável
sl
S~ =
u
n, -
V
n, -
= F(n
l
-I,
fl2 -I).
(11.18)
Esta variável pode ser usada para inferências correspondentes à com·
paração de duas variâncias.
Da definição
de t de Student,
I =
j{-~
S/-fo '
podemos obter
" ~ _(_j{_---:nc-~_)'_ ~ :o-_(.o..:-,/-"-fo,,,:,,).,.' __ ~ F(I, n -I),
S' [(n -I) ~:J!(n -I)
o que mostra uma relação entre I(n - I) e F(l, n -I).
PROBLEMAS
(11.1 9)
s. Indicando por F(v
1
; V
2
; a) o número y, tal que P(F> y I VI' v1) "" a, calcule, usan·
do a Tábua VI:
(1.1) F(2, 3, 5%)
Ib) F(l, 2, 95%)
(c) F(I, 00, 5%)
(á) F(120, 120, 5%)
(e) F(l5, 15, 95/.,)
IJ) F(28, l5, 5)'J
6. Da população X: N(50, 100) relirou-se uma amostra casual simples de n = 10 elemen­
tos. Da população Y: N(60, 1(0) retirou-se uma amostra casual simples de m = 6 in­
divíduos, independente da primeira. Obtemos as variâncias amostrais S~ e S~, res­
pectivamente.
268
T
(a) Encontre o valor de Q lal que P (* < Q) = 95%.
(b) Encontre o valor de b tal que P (~! > b) '" 95%.
11.3. TESTE PARA A MÉDIA DE UMA N(I1; a
2
),
a2 DESCONHECIDA
Já vimos como fazer teste sobre a média quando a variância da po.
putação é conhecida. Vejamos agora quais os passos a seguir quando
a variância (12 é desconhecida.
A. Formulação da hipótese: X: N(p., (12), Il e (12 desconhecidos.
Ho:J-l = J-lo
H] : J-l 1-J-lo
A hipótese alternativa poderia ser 11 > 110 ou J-l < J-lo, o que mu.daria
apenas a região crítica
de bilateral para.
unila~eral. Daq~i por diante,
iremos apresentar somente testes bilaterais, pOIS a extensao para testes
unilaterais é imediata.
B.
Estatistica a ser usada. Como teremos que usar a média
X e a variância
da amostra S2, o natural é usar a estatística
x -J-lo
,~ s/F'
(11.20)
que
já vimos em
(11.3), tendo distribuição de Student com (n -1)
graus de liberdade.
C. Construção da região crítica RC. Fixado o valor de fl, podemos (con·
sultando a Tábua V) encontrar o valor te' tal que P( I1I < te) = I -fl
(Figura 11.5).
t
Fig. 11,5 Região crítica para o teste t
269

D. Resul/ados da amostra. Colhida a amostra de n indivíduos, calcula_
mos os valores ~as estatísticas io e sã e, conseqüentemente, o valor da
estatística lo = Xo -J.lo
so/F'
E. Análise dos resu/!ados. Se o valor observado da estatística, t" lor infe.
rlor a -t
r ou superior a lc, ou seja, se I.E RC, reJ'eita-se H . Caso c
, . . o on-
trana, aceIta-Se Ho.
Para construção do intervalo de confiança, basta lembrar que o
intervalo x ± Zy fi foi obtido a partir da equação
P ( -z, < X ~ P fi < z,) ~ y.
Assim, do fato de que
P ( _ I, < X ~ P fi < I,) ~ y,
podemos reescrever a desigualdade do seguinte modo:
- s - s
X -Iy r: < J1 < X + Iy -,
"n fi
o que pennite escrever o seguinte IC:
lC(p: y) ~ x ± I, .in. (11.21)
Exemplo 11.6. Um fabrican te afirma que seus cigarros contêm nào
mais que 30 mg de nicotina. Uma amostra de 25 cigarros fornece mé­
dia de 31,5 mg e desvio padrão de 3 mg. Ao nivel de 5%, os dados re­
futam ou nào a alinnaÇ-ão do fabricante?
A. Formulação da hipólese. Aqui,
Ho:Jl = 30
H I: Jl > 30.
~. Escolha da estatística. Supondo que X, a quantidade de nicotina por
cigarro, tenha distribuição normal N(Jl, (2), a estatística
,~ X -30 ""
S ,,25
terá distribuição 1(24).
270
C. Construção da região crítica. Por ser um teste unilateral, devemos pru­
curar o valor te. tal que
P(I > () ~ 0,05.
Da Tábua V, obtemos fc= 1,711, ou seja, RC=]1,711; 00[.
p. Resultado da amostra. O valor observado da estatística será
E. Conclusão. Como loE RC, rejeitamos Ho, ou seja, há evidência de
que os cigarros contenham mais de 30 mg de nicotina.
Outra maneira de fazer a análise é avaliar o nível descritivo do re­
sultado, isto é,
P(I > 1.1 Ho) ~ P(I > 2,51 Ho) ~ 2%.
Ou seja, a obtenção de uma amostra com.esse valor de lo é um fato raro,
o que levaria a rejeitar Ro·
Para construir um IC{j1: 95%), basta verificar, na Tábua V, que
1=,2,064, portanto,
PROBLEMAS
3
lC(p: 95%) ~ 31,5 ± 2,064 ""
,,25
lC(p:95%)~ 31,5 ± 1,24
lC(p: 95%) ~ J30,26; 32,74[.
7. o tempo médio, por operário, para e)[ecutar uma tarefa, tem sido 100 minutos, com
um desvio padrão de 15 minutos. Introduziu-se uma modificaç&o para d.iminuir esse
tempo, e. após certo período, sorteou-se uma amostra de 16 operários, medindo-se
o tempo de e)[ecução de cada um. O tempo médio da amostra foi 85 minutos, e o des­
vio padrão foi 12 minutos. Estes resultados trazem evidências estatísticas da melhora
desejada?
Em caso afirmativo. estime o novo tempo
médio de execução. (Apresente
as suposições teóricas usadas para resolver o problema
.)
8. Estamos desconfiados de que a
média das receitas municipais per capita das cidades
pequenas (O _ 20.000 habitantes) é maior do que a das receitas do estado, que é de
1.229 unidades. Para comprovar ou não esta hipótese, sorteamos dez· cidades peque­
nas, e obtivemos os seguintes resultados: 1.230; 582; 576; 2.093; 2.621; 1.045; 1.439:
717; 1.838; 1.359.
271

Obs.: Para facilitar os cálculos, informamos que a soma das observações é 13.50()
e a soma dos quadrados das observações é 22.335.650 (13.500
2
= I 82.250.clOO). '
(a) Mostre que o teste de hipótese usado levarâ à aceitação de que a mêdia das cida_
des pequenas é igual à do estado.
(b) Você não acha estranha essa conclusão quando observa que a média da amos_
tra obtida é bem maior do que a média do estado? Como você explicaria isso?
9. Deseja-se estimar qual a porcentagem média da receita familiar gasta com alimen_
tação pelos moradores de uma grande vila industrial. Para isso. selecionou-se uma
amostra de 16 familias, que apresentou os seguintes resultados:
41 44 3S 42
38 62 29 63
34 22 42
38 4S 48
42
40
(a) Dê um IC de 95% para a porcentagem média de todas as famílias de moradores
da vila.
(b) Que suposição
você fez para responder a pergunta anterior?
11.4 TESTE PARA A VARIÂNCIA DE UMA N(~; ,,2)
Um teste sobre a variância de uma população irá usar os resultados
da distribuição qui-quadrado, estudada na seção
11.2.1. Assim,
resu­
midamente, teríamos:
A. Hipóteses: Ho: 0-
2
= uõ;
HI :0-
2
=1= o-~
B. Suposições e estatística-teste. Xi: N(jt, (2), i = 1.2, ... , n e os XI in­
dependentes; então, a estatística·teste usada será
(n -I)S'. '( _ I)
2 . X n .
ao
C. Nível de significáncia o: e região crítica
P(X
2
E RC) = p(X2 < X~ ou X2 > xD = a.
D A S
'
I'
(n -I)S;
. mostra. o' que resu ta Xo = 2 •
ao
(11.22)
RC = [;<f, X~], tal que
E. Conclusão. Se X; E RC, rejeitamos Ho; caso contrário, aceitamos Ho·
Exemplo JJ.7. Uma das maneiras de manter sob controle a qua·
'Iidade de um produto é controlar a sua variância. Uma máquina de en­
cher pacotes de café está regulada para enchê-los com um desvio padrão
de
10 g e média de
500 g. O peso de cada pacote X segue uma distribui-
272
+
{
ção N(P,O'2). Colheu-se uma amostra de 16 pa~te~ ~ observou-s~ ~a
variância S2 = 169 g2. Com esse resultado, voce dma que a maqUina
está desregulada em
relação à variância?
A. Ho:
0'2 = 100 e H
I
: 0'2 =1= 100.
B. A estatística será (11.22) com n = 16.
C. Fixando o nível de significância em 5%, teremos da Tábua rv, Apên­
dice A, que a região crítica é a da Figura 11.6.
D. Amostra: O valor observado da estatística será
, _ (n -I)S; _ (15) (169) = 2535
Xo ~ o-Õ - 100 ' .
E. Como X; ~ RC, somos levados a aceitar Ho. isto é, a máquina está
sob controle quanto
à variância.
li = 15
27,488
Fig. 11.6 Região crítica bilateral para a variância 0'2
A construção do IC(0-2: y) é feita a partir da expressão
(
, (n -I)S' ,)
P X.I ~ 0-2 ~ X2 = y,
que permite retirar a seguinte
(n -I)S'
xl
que será o IC procurado.
desigualdade:
,,(nc..-=.;I ",)S,-'
~O'2~-,-
X~
(11.24)
(11.25)
273

Exemplo 1/.8. Os dados abaixo referem·se às vendas diárias (em
unidades de dinheiro), durante uma semana, de carros de
uma reven.
dedora. Construir
um
IC((J2: 90%).
em
Vendas: 253, 187, 96, 450, 320, 105.
Inic~a[mente , calculamos a variância da amostra, que é S2 = 18.460'
segUIda, os valores X~ e X~ que satisfaçam (11.24): '
P(I,145 "x'(5) " 11,070) ~ 90%.
Substituindo em (11.25), obtém-se
IC(a' : 90%) ~ 18.338; 80.611[.
PROBLEMAS
10. Observou-se 11 ~rodução mensal de uma indústria durante vários anos, verificando_se
que el~ o,bedecla a uma distribuiçào normal. com variância 300. Foi adotada uma
nova le:mca de produção c, dU!:.lInte 24 meses. observou-se 11 produção mensal. Após
esse penodo, constatou-se que X = 10.000 e $2 = 400. Há razões para se acreditar q
'. . ~
11 VllnanCl1I mudou, ao nível de 20%1
11. Numa linha de produção, ê muito importante que o tempo gasto numa determina_
d.a opera~o nào varie muito de empregado para empregado. Que parâmetro estatís_
tICO podena ser us~do para av~liar esse Fato? Por quê? Se 11 empregados apresen­
t~m os tem.pos abaiXO para reahzar essa operação, qual seria a estimativa para o pa_
rametro aCIma?
125
135 115 120 150 130
125 145 125 140 130
12. Usando os dados do problema 7, verifique se tambem houve mudança de variância
do processo antigo para o novo.
11.5. COMPARAÇÃO
DAS VARIÂNCIAS DE DUAS
POPULAÇÕES NORMAIS
Temos uma amostra Xl' X2, ... , X
n de uma população N(p.l' aD e
uma amostra
Yl' ... ,
Y", de uma população N(Jl.2,an.
A. Hipóteses:
274
H
..... 2 I 2
O·vl=(12=a;
Ht:a~+a~.
-"
,
B. Suposições e estafÍstica do leste. As amostras Xl , ... , Xn e Yt, ••. , Y",
são independentes; se S~ e S~ sào as variâncias amostrais respectivas,
sabemos que
U
_ (n -I)S;. '( _ I)
- 2 .x.n ,
a,
V
_ (m -I)Sl. '( _ I)
- 2 • X m ,
a,
e, portanto, de ( 11.18) e sob a hipótese de Ho ser verdadeira, isto é,
111 = a~, temos que
s'
T=--t=
s,
u
n -I
V
m -)
: F(n -I, m -I). (11.26)
C. Construção do região crítico RC. Fixado IX, encontramos dois núme·
ros, FI e F
z
, da Tábua VI, tais que
P(TE RC) ~ P(T < F, ou T> F,) ~ •.
FI e F
2 são determinados de modo que
P(T < FI) = a.f2 = P(T> FI);
na prática, consideramos o quociente (11.26), de tal sorte que sVS~ > 1.
D. Resultados da amostra. Colhidas as amostras de nem indivíduos,
respectivamente, calculamos SI; e S2~' e b valor observado de T será
,
T
_ SI<>
<> -2'
'"
E. Análise do resultado. Se To E RC, rejeitamos Ho; caso co ntrário, acei­
tamos.
Exemplo 1/. 9. Queremos verificar se duas máquinas produzem pe­
ças com a mesma homogeneidade quanto à resistência à tensão.
Para
issÇ>-; sorteamos duàs amostras de 6 peças de cada máquina, e obtive­
mos as seguintes resistências:
Máquina
A: 145 127 136 142 141 137
Máquina B: 143 128 132 138 142 132.
A.
H . 2
112 (12
O'O"A = Jj=
H
1
: a~ +-a~.
275

B. Vamos supor que X A : N(PA' (1"2) e X 8: N(J1B' (}"2); então, por (11.26),
T~S~ -F(
S~ -5,5).
C. Fixando a = 10%, e consultando a Tábua VI, teremos
RC~ JO; (5,05)-' [u]5,05; +ro[.
D. Da amostra, encontramos s~ = 40 e S2 = 37 . B , portanto,
40
T---I08
o -37 - , .
E. De acordo com os resultados, vemos que T d. RC" portanto "
H o' ,. a 'f' , ,acela-se
o, u seja, as maqUInas produzem com a mesma homogeneidad e.
Caso tivéssemos rejeitado a hipo' tese de igualdade das a" . . . v nanelas
seria convemente obter um IC para o quociente das duas .~.'
De ( 11 26) d vaflanClas
. po emas escrever, quando ai:f cd • .
S' ,
-,
T=~-, -
S,
7 ,
u
n-I
V
m-I
=
F(n-l,m-I),
e para um dado
r, podemos encontrar dois valores F
t
e F
2
,
tais. que
P(F, < F(n - I, m - 1) < F,) ~ y.
Dessa desigualdade podemos encontrar
St (J2
F, <-.-' < F
, S2 2 2,
, a,
ou seja, o IC (;~ : r) será dado por
S' .' F 2 v2
, S2 < 2" < Fl
, a,
Sl
St'
(11.27)
Exemp/~ J 1.10. Suponha ~~e, no exemplo ( 11.9), s~ = 85 e s~ = 8,
e como T,,-85/~ = 10,62, rejeItaremos Ho: (J~ = a~. Então, a cons-
trução do
IC (
:! : 90%) conduzirá a
276
I
f
isto é,
ou,
invertendo,
180"
2
8
5,05 . 85 < C1~ < 5,05 • 85'
a'
0,019 < ---f < 0,475,
a,
a'
2,10 <; O"~ < 52,6,
"
que indica a magnitude possível da diferença entre q! e C1~.
PROBLEMAS
13. Uma das maneiras de J.llcdir o grau de satisfação dos empregados de uma mesma ca­
tegoria quanto à política salarial e atraves do desvio padrão de seus salários. A fá­
brica A diz ser mais coerente na politica salarial do que a fábrica B. Para verificar essa
afirma~ão, sorteou-se uma amostra de 10 funcionários não espeçializados de A, e 15
de D, obtendo-se os desvios padrões s~ "" 1,0 SM e S8 = 1,6 SM. Qual seria a sua wn­
c1usão?
14. Deseja-se comparar a qualidade de um produto produzido por duas fábricas. Esta
qualidade será definida pela uniformidade wm que ê produzido o produto por cada
fábrica. Tomaram-se duas amostras, uma de cada fábrica, medindo-se o comprimen­
to dos produtos (o resumo dos resultados está no quadro abaixo). A qualidade das
duas fábricas e a mesma? Caso sua resposta seja negativa, dê um intervalo de I;:on­
fiança para indicar a intensidade de ssa desigualdade.
Fábrica Fábrica
Estatísticas
A B
Amostra 21 17
Média 21,15 21,12
Variância 0,0412 0,1734
,1.6. COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS DE POPULAÇÕES
NORMAIS
Vamos supor que temos uma amostra X1,XZ' " "Xn da popula­
ção N(p'l' (JD e uma amostra Y I I Y 2, .•. , Y", da população N(J12' (JD,
independentes. Para cada uma delas, teremos os respectivos estimadores
da média e
variância:
277

I "
X~-IX;
n ,
e
e s~ =
Definindo a variá vel
fi
-,
pode-se ve ri lcar que D: N(Po, ao ), onde J.lo = Jil -J.l2 e
",,' ~ Va,(X -i') ~ Va,(X) + Va,(i'), (11.28)
ou
(11.29)
Conseqüentemente, a estatística
z ~ 15 -~a ~ (X -i') -(p, -~,)
"a Jr:r
2
(Tl ---1.+...-1
n m
(11.30)
terá distribuição N(O, I). Assim, quando 0"1 e (12 são conhecidos, a es­
tatística (11.30) pode ser usada para lestes de hipóteses e construção
de intervalos de confiança. Quando as variâncias
são desconhecida s,
de­
vem ser substituídas por estimativas convenientes, e a estatística resul­
tante deverá corresponder à estatística t de Student. Vere mos, nas sub-
seções seguinte s, os casos mais comuns.
11.6.1. Variâncias Iguais, Desconhecidas
Vamos supor que as duas populações tenham a mesma variância
(12 desconhecida, isto é, 11~ = a~ = q2. A estatística (11.30) ficará se ndo
Z ~ (X -Y) -(~ , -~,) ~ Jj -~a
u-JI+I "_JI+I·
fl m n m
Substituindo u por um estimador não-vies ado, teremos uma expressão
muito semelhante à I de Student. Como si e s~ são dois estimadores
não-viesados
do mesmo parâmetro
u
2
, então, a média ponderada
278
" .
I (X;-X)' + I(Y;-Y)'
2 (n -I)sj + (m -I)Si I ]
Sp = n + m _ 2 = n + m -2
(11.31)
também será um estimador não-viesa do de (12. Mais ainda, cada parcela
do numerador, quando dividida por (12, terá distribuição '/ com n -I
e m -I graus de liberdade, respectivamente. Log o, segundo (11.9), te­
remos
(n + m; 2)8; : x2(n + m _ 2).
"
Assim, pelos T eoremas 11.2 e 11.3, a estatistica
jj -J.l.o
u -J.-l + .-l
I ~ n m ~ D -~a ~ (X -1') -(p, -~,)
~ S-JI+I S,JI+I
(1 Pnm Pnm
(11.32)
tem distribuição 1 de Student, com n + m -2 graus de liberdade.
Vejamos aplicações deste resultado.
Exemplo /1.//. Duas técnicas de vendas são aplicadas por dois
gru­
pos de vendedores: a técnica A, por 12 vendedores e a técnica S, por
15 vendedores. Espera-se que a técnica B produza melhores resultados.
No final de um mês, obtiveram-se os seguintes resultados:
Média
Variância
Vendedores
Vendas
Técnica A
68
50
12
Técnica B
76
75
15
Vamos testar, ao nível de 5%, se há diferenças significativas entre as
vendas resultantes das
duas técnicas. Infotmações adicionais permitem
supor
que as vendas sej am normais, com uma va riância comum
u
2
,
des­
conhecida.
279

A. Ho:}.J,A = }.J/J
H1:}.JA < }.J/J
OU
ou
}.JA ~ }.J/J = O;
}.J/J ~ }.JA > O.
B. Pelas suposições acima, podemos usar a estatistica
, = XB ~ X,A
11S ~ + 14S~
25
s ~'
"y12 + T5
C. Fixado a: = 5%, e sendo um teste unilateral, da Tábua V obtemos
RC~ ]1,7 08; <>0[.
D. Da amostra, encontramos
" 11 (50) + 14(75)
, 25 ~ 64;
f.
76 -68
8.~
Y 12 + T5
= 2,56.
E: Como r" E RC, rejeitamos Ho. ou seja, existe evidênc ia de que a tec­
nlca ~ produz. melhor es resultados do que a técnica A.
Ja que eXiste diferença en tre os métodos, a continuação natural é
encontrar um IC para a diferença IlD' Do resullado (11 32) , C' 'I .
ficar que . ,e aCI ven-
IC(PD: y) = do ± [ySp J I + I = (.lo ~ y) + '0' J [ + I
fim Q~P nm"
Para o nosso exemplo, este intervalo reduz- se a
IC(~D : 95%) ~ (76 -68) ± (2,06) (8) J I + I ~
12 15
~ 8 ± 6,38 ~ ]1,62; 14,38[.
PROBLEMAS
IS. Num esludo comparativo do tempo médio de adaptação, uma amostra aleatória de
50 h,omens e 50 mulheres de um grande complexo industr ial. produziu os segui~t eS
resu tados:
280
Estal;sticas
Médias
Desvios padrões
Hornl'IIS
3.2 anos
0.8 anos
3.7 anos
0.9 anos
Que con
clusões
você poderia tirar para a populaçào de homens e mulheres desta in­
dustria? (Indique as suposições feitas para resolver o prob1em<l.)
16. Diversas politicas em relação às filiais de uma rede de supermercados estào associa­
das ao gasto médio dos clientes em cada compra. Deseja-se comparar esse parâme­
tro para duas novas filiais, alravês de duas amostras de 50 clientes cada. As médias
obtidas foram
62 e
71_ respectivamente. Sabe-se que o desvio padrão. em ambos os
casos. deve ser da ordem de 20 unidades. É possível afirmar que o gasto medio nas duas
filiais é o mesmo '! Caso nào seja. dê um intervalo de confiança para a diferença.
17. Uma Fábrica de embalagens para produtos químicos está estudando dois processos
para combater a corrosão de suas lat<ls especiais. Para verificar o efeito dos tratamen­
tos. roram usadas amostras cujos resultados estão no quadro abaixo. Qual seria a con·
clusão sobre os dois tratamentos?
Mhodo Amos/ra Média DI'5\';0 Padrão
A
"
48 10
B 12 52
"
11.6.2. Variâncias Desiguais, Desconhecidas
Quando as populaçõ es tiverem as variâncias d esiguais e desconhe­
cidas_ e ainda tivermos amostras independentes, devemos substituir os
valores O'T e O'l. em (11.30), pelos estimador es não-viesados S1 e S~, ob­
tendo
Pode-se provar que esta variável t em uma distribuição
de Student, com graus de liberdade dados por
(11.34)
aproximada I
(11.35)
28'

Exemplo 11.12. Queremos testar a resistência de dois tipos d .
de aço~ A e 8. Tomando-se fi = 15 vigas do tipo A e m = 20 vigas ~ovl~as
B, obÍlvemos: tipo
,
Tipo
A
B
Média
70,5
84,3
Variância
81,6
120,5
~amos testar, ao nível de 5 %, se a resistência
de vigas é a mesma.
A. HO:}.1A = 11/J;
HI :}.1A oF J..lB·
B. A estatística a ser usada é (11.34), com
15 20 131,45
média dos dois tipos
(
81,6 + 120,5)'
v= -,;,.c-o-c~- -;'-"-~
(~) ' C;~ ,5)' ~ 2,11 + I ,91 ~ 32,7 '" JJ g.1.
+ --'----'-
14 19
C. Com ::t:=5%, da Tábua V temos que RC'=]-2,0345;2,0345[.
D. Com os dados, obtemos
I _ 70,5 -84,3
"-J81,6 120,5 ~
15+20""
-13,8
3,386
-4,075.
~. Como l.u~ R~ , rejei.ta~o~ Ho, o~ seja, há evidências de que os dois
tipOS de vigas tem reslstenCIaS médias diferentes.
PROBLEMAS
18. dNO .problema 14. teste a hipótese de que as médias dos comprimentos do produto ,m
ul.ldo pelas duas fábricas são iguais. .
19. P~r; inv.esliga.r a innuência da opção profissional sobre o salário inicial de recém.for­
ma os. Investlgaram·se dOIS grupos de profissionais: um de liberais em geral e outro
282
-,
de rormados em Administraçào de Empresas. Com os resultados abaixo. expressos
em salários mínimos. quais seriam suas conclusões'!
Liberais
AdminiSlradores
6.6
8.1
10.3
9,8
10.8
8,7
12,9 9.2
10.0 10.2
11.6.3. Observações Emparelhadas
12.3 7.0
10,8 8,2 8.7 10,1
Quando se compara as médias de duas populações, pode ocorrer
uma diferença significativa por causa de fatores externos não-contro­
láveis. Por exemplo, no caso do exemplo 11.11, poderia ocorrer que
um dos grupos tivesse vendedores mais experientes e habilidosos do que
o outro. Assim, a diferença seria devida a esses fatos, e nào ao mérito
real da técnica
de venda. Um modo de contornar este problema é
co­
letar as observações em pares, de modo que os dois elementos de cada
par
sejam homogêneos em todos os sentidos, exceto no que diz respeito
ao fator que queremos comparar. Por exemplo. para testar dois métodos de ensino, A c B, poderia­
mos usar fi pares .de gêmeos, sendo que um elemento de um par recebe
o método A e o outro, o método
B. Este procedimento pretende
con­
trolar o maior numero possível de fatores externos que possam afetar
o aprendizado.
Se houver diferença no aprendizado, deve-se realmente
ao método.
Este procedimento também é usado quando as observações das
duas amostras são
fcitas no mesmo indivíduo, por exemplo, medindo
uma' característica do indivíduo antes e depois dele
ser submetido a um
tratamento.
Como na formulação geral da comparação
de duas média s, temos
duas amostras,
Xl' X
2
•.•• , X
w e Y
I
, Y
2
, .
••
, Yn, só que agora as obser­
vações estão emparelhadas, isto é, a amostra é formada pelos pares
(X" Y,l, (X" Y,), ... , (X., Y.l·
Vamos definir a variável
D ~ X -Y;
(11.36)
conseqüentemente, teremos a amostra
283

Vamos supor D: N{jto, (J~). Segue gue
terá distribuição
-. (
"O') D.N Jlo,-,-, .
Definindo
s' = _1-f. (D. -D)'
o I L ' ,
n -,
teremos, pelo Teorema 11.3, que a estatística
D -J10
So/JI.
y
tem distribuição t de Student, com n -1 graus de liberdade.
Mas também podemos verificar que
Po = E(D) = E(X -Y) = E(X) -E(Y) = p, -p"
(11.37)
(11.38)
(11.39)
ou seja, qualquer afirmação sobre o parâmetro JII -· /12 corresponde-a
uma afirmação sobre o parâmetro Po.
Exemplo 11./3. Cinco operadores de um certo tipo de máquina sào
treinados em máquinas de duas marcas diferentes, A e
B. Mediu-se o
tempo que cada um deles gastou na realização de uma mesma tarefa,
e os resultados est
ào no quadro abaixo.
Operador Marca A Marca
B
A
80 75
B 72 70
C 65 60
D 78 72
E 85 78
Ao nível de 10%, poderiamos afirmar que a tarefa realizada na má­
quina A demora mais do que na B?
284
,
1
A. Hipóteses. Ho: PA = IIE
H I: JiA > /1E
ou
110 : JIA -Iln = IIIJ = O;
H I : Ji.4 -JI/J = 110 > o.
B. Te.~te estatistico. Como é o mesmo operador que realiza a tarefa nas
duas máquinas, estamos diante
do caso em que se pode usar variáveis
emparelhadas. Vamos admitir que, sob
Ho. a diferença de tempo segue
uma distribuição normal
N{O. O"~). Logo. a estatística a ser usada ê dada
por (11.39).
C. Regido cri/icll. Devido a Hl e ao nível de 10%. devemos encontrar
Ir. tal que P(I > Ir) = 10% na distribuição 1(4). Isto nos dá
RC = J1.54; 00[.
D. Amostra. Do quadro acima, vemos imediatamente que
d,: 5. 2. 5. 6, 7
e, portanto,
d = 5 e s~ = 3,50;
logo,
5
" = 1,87 (fi) = 5.98.
E. Conclusão. Rejeitamos Ho. ou seja, a máquina A demora maIs. Con­
tinuando, podemos construir
IC(I', -p,: 90%) = lC(po: 90~.) = 5 ± (2.13) (1.87)/fi =
=
]3.22: 6.78[.
PROBLEMAS
20. Para verificar a importância de um determinado cartaz. nas compras de certo pro­
duto. proçedeu-se do seguinte modo:
(a) formaram-se 1 pares de lojas;
(b) os pares foram formados de modo que tivessem as mesmas caracteristicas quan­
to à localiz.ação. ao tamanho e ao volume de vendas;
(c) num dos elementos do par. colocou-se o cartaz.; no outro não;
(d) as vendas semanais foram registradas, e os resultados estão abaixo.
Qual seria sua conclusão sobre a eliCiência do cartaz.?
285
I

Yendiu
Pu,
Sem Cartaz Com Cartaz
I 13 i6
2 18 24
J 14 18
4 16 14
,
I' 26
6 12 i1
7 22 29
11.7. TESTE DE INDEPENDÊNCIA
Vimos, no Capítulo 3, a necessidade e a importância de analisar o
comportamento conjunto de duas variáveis. Também vimos, na seção
3.3.,
que uma das maneiras de quantificar descritivamente o grau de
dependência entre duas variaveis
é através da medida ./, definida por
X' ~ L (o, -e,)'
e,
(11.40)
onde Oj é a freqüência observada e e
i
, a freqüência esperada, sob a hi­
pótese de independência. Quanto maior é o X
2
, mais o observado se afas­
ta do esperado, e maior é a de~ndência. Vamos agora apresentar o mo­
delo de analise que nos permite julgar O" que pode ser considerado um '1.
2
grande.
Não foi por acaso que decidimos chamar tal medida de '1.
2
; é que
se pode provar, sob a hipótese de independência, que a distribuição amos­
traI da estatística (I J AO) é, aproximadamente, uma v.a. X2, definida na
seção 11.2.1., com número de graus de liberdade dado por v= (número
de linhas -I) x (número de colunas -I). Este nÚmero de graus de li­
berdade deve- se ao fato de que, para construir o quadro dos valores es­
perados, não precisamos calcular todas as caselas. As últimas são encon­
tradas por diferença, já que os totais das colunas e das linhas são fixos.
Exemplo 11./4. Voltemos ao exemplo 3.3, em que se queria veri­
ficar se a criação de determinado tipo de cooperativa estava associada
ao fator regional. Os dados da Tabela 3.7. são reproduzidos abaixo.
286
,-j
I
TIPO DE COOPERA TlV A
ESTADO
TOTAL
Consumidor Produtor Escola Outros
São Paulo 214 (33%) 237 (37%) 78 (12%) 119(18%) 648 (100%)
Paraná 51 (17%) 102 (34%) 126 (42%) 22 (7%) 301 (100%)
Rio G. Sul 1II (18%) 304 (51%) 139 (23%) 48 (8%) 602 (100%)
TOTAL 376 (24%) 643 (42:1,,) 343 (22%) 189(12%) 1.551 (100%)
A. Hipóleses. Ho : Pu = p;. P . j
HI :Pij=l=Pi,P·j.
onde Pu é a probabilidade de um i~divíduo da .~p ulação ~rte.ncer à
casela (i,j); Pio e P'j são as respectivas probablhdades margmals.
8. Teste estatístico. De acordo com o exposto acima~ a estatí~tica a ser
usada é a 'l, com v=(3-1)(4-1)=6 graus de \Jberrlade.
C. Região crítica. Fixando IX = 5%, observamos que o teste aqui é um­
caudal à direita, pois iremos rejeitar Ho apenas para valores grandes
de"/ isto é quando o valor observado for muito distinto do esperado.
Assi~ . deve~os procurar X~, tal que p('l > X~ I v = 6) = 5%. Da Tábua
IV, obtemos RC ~ J 12,592; ro[.
D. Resultado da amostra. Já vimos na seção 3.3. como construjr a tabela
dos valores esperados (veja Tabela 3.8), e de lá encontramos X.O = 173,24.
E. Conclusão. Como X~ E Re. rejeitamos Ho ao nível de 5%. ist~ é, os
dados evidenciam uma forte dependência entre os
ratores:
tipo de
cooperativa e região de localização.
Dado que a distribuição de
X
2
, neste caso, é uma distribuição apro­
ximada, precisamos
tomar certos cuidados na sua aplicação.
U~ dos
cuidados
é garantir que todos os valores esperados das caselas nao
se­
jam inferiores ao número 5.
PROBLEMAS
21. Investigando a "fidelldade"' de consumidores de um produto, obteve-se uma amos­
tra de 200 homens e 200 mulheres. F oram classificados como tendo alto gra.u ~e ~­
dei idade 100 homens e 120 mulheres. Os dados fornecem evidência de posslvels di­
ferenças de grau de fidelldadc entre os sexos?
287

22. Uma pesquisa sobre a qualidade de certo produto foi realizada enviando_se questiO­
nãrios a donas-de-casa através do correio. Aventando-se a possibilidade de que os
respondentes voluntários tenham um particular vicio de respostas, fizeram_se mais
duas tentativas com os não-respondentes. Os resultados estão indicados abaixo. VOCê
acha que existe relação entre a resposta e o numero de tentativas?
Opiniiio sobre N. o de Donas-de-fiQsa
,
Produto /." lentativa 2." tentativa 3 ." tentaliva
Excelente 62 36 12
Satisfatório 84 42 14
Insatisfatório 24 22 24
11.8. TESTE SOBRE COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
o teste apresentado na seção anterior é adequado para testar a in­
dependência de duas variáveis qualitativas. Vimos, na seção 3.5., que
para variáveis quantitativas o coeficiente
de correlação é uma medida
mais adequada.
Usualmente, podemos determinar o coeficiente de cor­
relação para uma amostra, pois desconhecemos este valor na população.
Uma população que tenha duas variáveis não correlacionadas pode
produzir uma amostra com coeficiente
de correlação diferente de zero.
Para testar
se a amostra veio ou não de uma população de coeficiente
de correlação nulo, precisamos da distribuição amostrai da estatística r.
Esquematicamente, temos a situação na Figura
11.7.
População Amostra
{X, Y) ""'-"----...;" V(X(,,;:, Y~,))------" __ ~
(X Y) -Cov (X, Y) (X,. y,) ",;1:~(X~, ,;;-,,,X)~(~Y~, -~Y,,) "'"
~ ' -DP(X).DP(Y)J r~ j1:(X'-X)"1:(Y,-l)'
- ../ ~~X:";~Y~J ___ -----
Fig. 11.7
Vamos apresentar a distribuição amostraI em duas situações distin­
tas: para
p =
O e p + O. Em ambos os casos, a distribuição amostraI exi­
ge que a distribuição de (X, Y) na população seja nonnal bidimensional,
288
.-
r
que é uma generalização da normal unidimensional, estudada no .Ca­
pítulo 6. Apenas para visualizar, tal distribuição tem a forma de um SIOO.
Exemplo 11./5. Teste para p = Po. Durante muit~ tempo, o coefi­
ciente de correlação entre a nota final num curso
de tremamento de
o~­
rários e sua produtivjdade, após 6 meses do curso, foi 0,50. Foram 10-
troduzidas modificações no curso, com o intuito de aumentar a ,cc:r-
relação. Se o coeficiente de correlação de uma amostra d~ ~8 operanos
submetidos ao novo curso
foi
0,65, você diria que os obJetiVOs da mo­
dificação foram atingidos?
A. Hipóteses.
X: resultado no teste;
Y: produtividade;
H,: p(X, Y) ~ 0,50;
H, : p(X. Y) > O,SO.
B. Teste estatistjco. Fisher, u~ famoso esta~ís~ico,
buição amostraI de r, descobnu que a estatlstlca
estudando a distri-
Z=1-'nl+r
2 1 - r
(11.41)
tinha distribuição muito próxima da distribuição normal N(p.z, (T~),
onde
1
Iiz=2
ln
I + Po e
I -Po
1
O'~ = ~- ,
n-3
(11.42)
e
Po é o valor do parâmetro na população. A
aprox .im~çã? ~ão vale para
p = -I ou P = I ; e, ainda, para p = O, temos a dlstnbUlçao exata, que
será vista no próximo exemplo.
No nosso exemplo, sob a hipótese
Ho,
Z terá distribuição normal
com os seguintes parâmetros:
_
-'-/ 1 + 0,5 ~ O 549
liz -2 n I _ 0,5 '
1
e (Ti = = 0,04.
28 - 3
C. Região crítica. Como a hipótese alternativa sugere uma região unica~­
dai à direita, e do fato de Z: N(0,549; 0,2) vem que a RC para Z, ao 01-
vel de 5%, corresponderá à direita de 0,549 + 1,654 JO,04 = 0,878, en­
lão, RC ~ ]0,878; 00[.
D. Resultado da amostra. Como r = 0,65, vem que
1
z =
-In
• 2
1 + 0,65 ~ O 774.
I -0,65 '
289

E. Conclusão. Como Zo ~ RC. aceitamos Ho, ou seja, não existe evidên_
cia de que tenha aumentado o coeficiente de corre lação.
Exemplo J J .16. Teste para p := O. Queremos testar se existe ou não
correlação entre o número de clientes e 'os anos de expe riência dos agen_
tes de seguros. Sorteamos 5 agentes, e observamos as duas variáveis
(exemplo 3.6).
Agente A B C
Anos de Experiência 2 4 5
Número de Cl ientes 48 56 64
,
Qual seria a conclusão, baseando-se nesses dados?
A. Hipóteses. H
o
:
p
:= O;
H,: p j O.
D E
6 8
60 72
B. Teste est atistico. Para amostras retiradas de população onde p = O,
pode-se provar que a estatís tica
t=r ~
~ 1-7
(11.43)
tem distribuição de Student, com n - 2 graus de liberdade. No nosso
exemplo, a estatística terá distribuição t(3).
C. Região crílic a. Por ser um teste bilateral, consultando a Tábua V,
teremos pa ra ex = 10%,
RC = )-00; -2,353 [u)+ 2,353; +ro[.
D. Resu/iado da amostra. Calculando o coe ficiente de correlação para
os dados ac ima (exemplo 3.6), ob temos r = 0,95; logo,
I, = 0,95 J I to,95)' = 5,254.
E. Conclusão. Como to E RC, rejeitamos Ho, isto é, existe dependência
entre anos de experiência e número de clientes. Neste caso, seria con­
veniente dar um lC para p. Observe que, se p -=1= 0, devemos usar a esta­
tística Z de (11.41) para construir o [C. Assim, com y=0,9O, devemos
procurar dois valores
z! e
Z2 para Z, tais que
290·
P(z! < Z < Z2) = 0,95.
(
I) . Z· N ( -'-) podemos tirar
Epelofato.deZ:N llz'n_3 ,ou seJa, . llz> 2 '
{']f < Z Jf < Z']f) = 0,95
ou
< 1,96)
= 0,95,
o que pennite escrever
Mas
logo,
Como
IC(p, : 95%) = z, ± 1,96 fifi·
I
z = -In
, 2
I + 0,95 = 1,832;
1-0,95
IC(p,
: 95%) = 1,832 ± 1,384 = )0,448; 3,216[,
1 1+ P
IlZ="2
ln
l_P'
Ih I ra os extremos do intervalo, pod e-
e uma expressão seme a~te va e pa trar os extremos do inter-
mos achar as operações Inversas para encoo
valo para
p. Assim, de
I
I 1 + r m r eO.
896
-1 = 0,420,
0,448 ="2 n ~ ve = eO•896 + 1
e de
1 t + r
3216=-ln --vem
, 2 1 -
r
Desse modo,
e6.432 _ 1
r = e6.432 + 1
IC(p: 0,95) = )0,420; 0,997[.
= 0,997,
291

PROBLEMAS
23. Estamos estudando se há ou nào correlação entre as nOlas de diversas disciplinas de
um curso de mestrado. Analisando uma amostra de 12 alunos, encontrou-se uma I::OT­
relação de 0,60 entre as disciplinas de Estatistica e de Metodologia da Pesquisa. Teste
a hipótese de não haver correlação entre as disciplinas. Caso a rejeite, dê
um
inter­
valo de confiança para o coeficiente de correlação populacional.
24. Existe relaçãó entre o volume de uma carga e o tempo gasto para acondicioná-Ia?
Para investigar este fato, sortearam-se 9 pedidos de mercadorias, medindo-se as duas
variáveis de interesse. Com
os dados obtidos abaixo, quais seriam suas
conclusões?
PROBLEMAS E COMPLEMENTOS
25.
26.
,.
Tempo 84
Volume 48
108
72
110
6J
111
82
144
88
152
109
180
112
196
123
211
140
o número media diário de clientes de um posto de gasolina tem sido 250, com um des­
vio padrão de 80 clientes. Durante uma campanha de 25 dias, em que os clientes re­
cebiam um brinde, o número médio de clientes foi 280, com um desvio padrão de 50.
Você diria que a campanha modificou a distribuição do número de clientes do posto?
Descreva as suposições feitas para a resolução do problema.
A porcentagem média da receita municipal dos quase 600 mun
icipios de um estado
tem
sido
7"10. O governo pretende melhorar este índice e, para isso, está estudando
alguns incentivos. Para verificar os efeitos des ses incentivos, sorteou la cidades e es­
tudou quais seriam as porcentagens investidas neles. Os resultados foram: 8, 10,9,
11, 8, 12, 16, 9, 12.
Admitindo que estes números realmente venham a ocorrer, os dados trazem evidência
de malharia? Caso altere a média do estado, dê um intervalo de confiança para a nova
média.
27. Para o problema anterior, construa lC(u
2
: 90"10) e descreva as suposições conside.
radas para obtenção da resposta.
28.
2'J.
292
A prefeitura de uma cidade quer estimar a proporção p dos moradores favorlveis à
mudança do horár
io comercial, com o intuito de economizar
combustivel. Essa pro-­
porção deverá ser estimada com um erro máximo de 5%, a um nível de 90''10 de confiança.
(a) Que tamanho deverá ter a amostra se a proporção p esperada deve estar entr~
e 50";"? (Justifiq ue a resposta.)
(b) Numa amostra de 400 moradores, 16() foram favoráveis à mudança; qual seria
o intervalo de confiança para p, neste caso?
Numa pesquisa realizada com 2.000 proprietários de carros na cidade de São Paulo,
800 responderam que pretendem mudar de carro no decorrer do próximo ano. Dê
um IC de 90";" para a proporçào de todos os proprietários de carros de São Paulo que
I?retendem mudar de carro no próximo ano.
30.
lI.
32.
,
b
· ,d ,prto tipo de aÇO especial afinna que seu produto tem um severo
Um a Tlcane eum .... . . _ .•.
· d I d qualidade tradUZIdo pelo deSVIO padrao da reS1SlenCla à ten-
re~ ,ço e contra e e, d d .'
. d "·5 kg por cm1 Um compra ar, queren o venllcar 8 ve-
'0 que não é maIor o q........ .
sa , • t uma amostra de II cabos e submeteu-a a um teste de
racidade da afinnaçao, amou . . X-263 e 52=48. Estes resultados trazem
tensão. Os resultados foram os segumtes. -. '1
alguma evidência contra a afirmação do rabncante.
d' t d dive~ s ações movi·
Um escritório de investimentos acredita que o ren Ime~ o as. arantir uma
I
,. d 24°/ Mais ainda a nova estratégia defimda deve g. ~
mcntadas por e e ,OI e/o· , . N do o deSVIO padrao
· niformidade nos rendimentos das dIversas ações. o passa , 8
maIOr u 'fi d as hipóteses tomaram-se
do rendimento era da ordem de 5%. P~ra ven I~r as u(dad ;/\. 236' 228;
esas ao acaso obtendo-se os segumt es rendImentos os em 1<>/' " ,
'"'25 Pl~ 24 8' 264' 24 3' 23 9 e 25. Quais seriam as conclusões?
" " " " ,
ova ensacadora de café. ApóS
A 'rorrefaçào Guarany está querendo comprar uma n A a d marca B Quanto
consultar o mercado, ficou indecisa entre co~pra; a del:a: e:u~val:ntes . O f~tor que
ao ~~to, facilidade ~ :s~~~n;~'m tae~~~ero~se ~~tes (medido pela variância;. Dese­
deCIdIrá a compra se p. ~ _(1"2 alravt5 da estatística F= S~/SB' Pode-
!:-~~n~:n:~al~;~ t~i~~: ::ra:::s~ ~~Ia:~rais à direita ou à e~querda , de~n~en-
d b
· ,. Q"ol '''ria a re.não critica mais favorável às segumtes pessoas. us-
do o o
Jelvo
..... ~ ",'
tifique.)
(a) Proprietário da Torrefação.
(b) Fabricante de A.
(c) Fabricante de B.
. odutividade média dos operários do período
33. Numa i~~ustria deseJa-~ .testar s~~/~os operários do período noturno. Para isso,
diurno e 19ual à produtIVIdade m l..In 'od bservando-se a produção de cada
34.
coiheram-se duas amostras, uma de ca ...... pen .0, o
operário.
Os resultados obtidos foram os segumtes:
"
Ix, Ixf
Diurno IS 180 2.660
Noturno IS ISO 2.980
De acordo com esses resultados, quais seriam suas conclusões?
t ~ com os operarias da industria mecânica, chegou-se aos ~­
N~m lev~ntame~ o lário médio = 3,64 salários mínimos e desvio padrão = 0:85 sala­
gumtes numeras. sa. I •. , "_ ,u'--Iasse fonnada pelos torneIros me-
· . . S ......... lta-se que os sa no W1 V\.o '.
nos mmlmos. "".... . éd'a como na vanan-
cânicos são diferentes dos salários do conjunto todo, tanto na ~ I t salá-
· I ões ocê obteria se uma amostra de 25 lornelros apresen asse .
Cla. Que conc us v . d ~. I I 25 salário mimmo?
rio médio igual a 4 ,22 salários minimos e desv10 pa rao Igua a ,
293

35. Os dados abaixo representam a porcentagem do orçamento gasto com pessoal para
50 pequenos municípios de uma certa região.
69,' 71,6 73,0 68,9 68,9 70,0
72,6 66,2 68,1 72,4 67,6 13,2
67,6 69.7 71 ,O 69.4 71,5 73,8
69,' 69,6 68) 69~ 71,4 70,7
69,7 71,0 66,0 70,3 71,7 69,2
69,8
68,4 69,' 68,2
72,1 70,8
72,2 69,2 71,7 65,6 69,' 70,1
69,' 70,S 68,0 70,2 69,0 66,3
69,4 67,1
(,) Analise estatisticamente os dados.
(6) Com base na sua análise, e sabendo que na região considerada existem, ao todo,
200 municípios, em quantos deles você acha que o gasto com pessoal é maior que
70% do orçamento?
(o) Em outra região, sabe-se que o gasto médio com pessoal é de 65% e o desvio pa-
drão é de 20";';. Qual das duas regiões ê mais homogênea em relação a essa variá-
vel? Por quê?
36. Uma amostra pe.IOO trabalhadores de uma fábrica grande demora, em média, 12 mi·
nutos para completar uma tarefa, com um desvio padrão de 2 minutos. Uma amostra
de 50 trabalhadores de uma outra fábrica demora, em média, I I minutos para com­
pletar a mesma tarefa, com desvio padrão igual a 3 minutos.
37,
(a) Construa um IC de 95% para a diferença entre as duas medias populacionais.
(b) Deixe bem claro quais as suposições feitas para a solução apresentada.
Deseja-se testar se dois tipos de ensino profissional são igualmente eficazes.{Para isso,
sorteram-se duas amostras
de operários; a cada uma, deu-se um dos tipos de
treina­
mento e, no final, submeteram -se os dois grupos a um mesmo teste. Que tipo de con­
clusão você poderia tirar, baseando-se nos resultados abaixo?
Amostra N.
0
de Elementos Média Desvio Padrão
Tipo J 12 7S ,
Tipo 11 10 74 10
38. Numa discussão sobre reajuste salarial, entre empresários e o sindicato dos empregados,
chegou-se a um impasse.
Os empresários dizem que o salário médio da categoria
e
de 7,6 salários mínimos (SM), e os empregados dizem que e 6,5 SM. Para eliminar
dúvi
das, cada um dos grupos resolveu colher uma amostra independente. Os
empre­
sários, com uma amostra de 90 operários, observaram um salário médio de 7,0 SM,
com um desvio padrão igual li 2,9 SM. Já a amostra do sindicato, com 60 operários,
apresentou media igual a 7, 10 SM e desvio padrão de 2,4 SM.
29'
39,
40,
(a) As amostras colhidas servem para justificar as respectivas afinnaçõe5 dos dois
grupos?
(b) De posse dos dois resultados, qual
e o seu parecer?
Uma empresa deseja estudar o efeito de uma pausa ~e lO minutos para ~~ cafezinho
sobre a produtividade de seus trabalhadores. Para ISSO, sort~ou 6 openlTlos, e con­
tou o número de peças produzidas durante uma semana sem mtcrvalo e. ~ma semana
com intervalo.
Os resultados sugerem se
há ou não melhora na produtividade. Caso
haja melhora, qual deve ser o acréscimo médio de produção para todos os trabalha­
dores da fâbrica?
Operário 1 2 3 4 ,
6
Sem Intervalo 13 JS 29 33 43 32
Com Intervalo 28 J8 29 31 42 30
Um médico deseja saber se uma certa droga reduz a pressão ~rteria.l méd~a . Para isso,
mediu a pressão arterial em cinco voluntários, antes e depoiS da mgestao .da droga,
obtendo os dados do quadro abaixo. Você acha que existe evidência estatística de que
a droga realmente reduz a pressão arterial mooia? Que suposiçõell você fez para re­
solver o problema?
Voluntário Á B C D E
Antes
"
80
9Q 72 S<l
Depois 60 71 88 74 76
41.
Um partido afirma que a porcentagem de votOS masculinos a ~u ra.vor será de Hrlo
a mais do que a porcentagem de votos feminino s. Numa pesqUIsa fella entr~ 400 ho­
mens 170 votariam no partido, enquanto que entre 625 mulheres, 194 lhe seriam ravo-
42,
, . . ,
rAveis. A afínnação do partido é verdadeira ou no.
' . A· d· · d
Uma
amostra de
100 lâmpadas elétricas produridas pela fábrica 10 lca u_ma VI a
media de 1.190 horas, com desvio padrão de 90 hora s. Uma amostra de 75 .Iampad~s
produzidas pela fâbrica B indica uma vida media d~ 1.~30 ~oras, .com desv10 ~drao
de 120 horas. Admitindo que as variâncias populacIOnais sejam diferentes, voce ~cha
as vidas mooias populacionais das lâmpadas prodUZIdas
que existe
diferença entre
pelas fábricas A e B
'I
43. Queremos comparar dois métodos de ensino A e B. Dispomos de 40 crianças. Pode­
mos proceder de duas maneiras:
I _ Sorteamos 20 crianças para compor uma classe, e as restantes for:mam OUlra clas­
sc. Aplicamos um método a cJl~ classe e. depois, fazemos uma avaliação para todas
as crianças a respei to do assunto ensinado.
295

44.
45.
46.
2 -Aplicamos inicialmente um teste de inteligência às 40 crianças. Numeramos as
crianças de 1 a 40, segundo o resultado do testc. Consideramos os 20 pares (I, 2),
(3,4), ... , (39,40), e de cada par sorteamos uma criança para cada classe. Obtemos,
assim, duas classes de 20 crianças, homogêneas quanto à inteligência. Aplicamos um
método a cada classe e depois avaliamos todas as crianças.
(a) Qual a variável de observação em cada procedimento?
(b) Quais as hipóteses est atístieas adequadas?
(c) Qual o teste estatistico de decisão em cada caso?
(ti) Qual dos dois procedimentos você preferiria? Por quê?
De 400 moradores sorteados de uma grande cidade industrial, 300 são favoráveis a
um projeto governamental, e de uma amostra de 160 moradores de uma cidade cuja
principal atividade é o turismo, 120 são contra.
(a) Você diria que a diferença de opiniões nas duas cidades é estatisticamente signi­
ficante?
(b) Qual seria um lC de
90";'; para a proporção de favoraveis ao projeto nas duas ci­
dades? (Suponha que o número de pessoas nas duas cidades se ja aproximada­
mente igua
1.)
Para verificar o grau de adesão de uma nova cola para vidros, preparam-se dois tipos
de montagem: cruzado (A), onde a cola é posta em forma de X, e quadrado (D), onde
a
cola é posta apenas nas 4 bordas. Os resultados da resistência para duas amostras
de
10 cada estão abaixo. Que tipo de conclusão poderia ser tirada?
Método A:
16, 14, 19, 18, 19, 20, 15, 18, 11, 18
Método B:
13, 19. 14, 11, 21, 24, 10, [4, 13, 15.
Usando os dados dos problemas assinalados abaixo,
teste a
independên'cia entre os
seguintes fatores:
(a) Local de residência e opinião -problema 3.16.
(b) Tipo de atividade e tipo de propriedade de emoarçações -problema 3.17.
(e) Companhia c duração do efeito de dedetização -problema 3.10.
(ti) Participação em atividades esportivas e cidades -problema 3.18.
(e) Classe social e intensão de continuar os estudos -prOblema 3.19.
47. Teste, ao nível de 5%, se existe correlação ou não entre o setor primaria e o indice de
analfabetismo, usando a amostra
do problema 3.6.12. Caso a resposta seja afirmativa,
const
rua um lC de 95% para p.
48. No proble ma 3.6.26, use as sugestões dadas para testar a hipótese P
"" O.
49, Suspeita·se que o coeficiente de cor refação enlre o salário do marido e da mulh er seja
de 0,60 ou mais. Para verificar tal hipótese, colheu-se urna amostra de 10 casais, obse r­
vando~se o salário de ambos. Qual seria sua conclusão? (Veja os resultados no pro­
blema 3.6.
27.)
50. No problema 3.6.24, temos 3 variáveis X, Ye Z, e queremos verificar qual é maior,
PXl ou Pxz· Veririque se algum dos coeficientes pode ser consider ado como nulo .
• •
296
51.
52.
Comparação de coeficientes de correlação de duas populações -Va~os s~por que P I
e p são os coeficient es de correlação de duas populações, das quais rellramos duas
am~stras independcntes, de tamanhos nem, respectivamente. Desse modo. as va­
riáveis
I
1+,[
2
1
= -In ---,
2 I -,[
terão, respectivamente. as distribuições
2
1 :
N(/lZ': n ~ 3) e Zz:N(/lZ'; m ~ 3}
com
1 1+ PI
/lz =-'n ---,
, 2 1 ~ p,
1 I + Pl
/l = -In __ o
z, 2 I -Pl
Logo. a variável D=ZI ~Z2 terá distribuição normal. com parâmetros
_ . _ . = J... In (I + PI • I -pz), (!"~ "" _,_ + _l_o
/lD -/lz, /lz, 2 I _ PI 1 + Pl n -3 m -3
Quando Pl ""Pl' temos que /l1J=0. E este resultado permite testar se dois coeficientes
de correlação são iguais ou não.
Para validar a melhoria da percepção da empresa como um todo, .u~ pesquisador
submeteu um grupo
de funcionários, selecionados ao acaso, a uma
S-Cfle de aulas so­
bre a empresa. Logo apóS. submeteu-os a um teste ~ontend~ várias perg~ntas sobre
atividades da empresa. Esses funcionários tinham SIdo prevI!lmente avalIados pelos
seus superiores. que atribuíram nOla de O a 20 para o grau de rc:rcepç:ào qu~ achava":
que seus funcionários possuíam. Ambos os resultados estão abaIXO. Como e que voce
anisaria esteS resultados'?
FuncionáriQ Noto -teste NO/(l chefe
A 38 18
B 95 6
C 86 5
D
91) 3
E 83 4
F 24 20
G 96 7
H 49 i6
, 82 14
J 84 9
Somas
727 102
Somas dos quadrados 58.827 l.J92
Soma dos produtos 6.126 -
297

53. Deseja-se verificar se os homens e as mulheres reagem do mesmo modo a um pré-trei_
namento que visa prepara-los para desincumbirem certa tarefa. Um grupo dc 28 mu­
lheres e 52 homens são submetidos ao pré-treinamento, e em seguida mede-se a cor­
relação entre o resultado no t este do curso e o numero de erros cometidos ao se fazer
a tarefa.
Os coeficientes de correlação observados foram: para as mulheres,
-0,82;
para os homens, -0,52. Usando os resultados do problema 51, qual seria sua con_
clusão? Interprete o signiricado do coeficiente de correlação negativo.
54. Os seguintes dados foram obtidos por um sociólogo, numa pesquisa envolvendo 350
casais.
Número Real
Número Desejado de Filhos
de Filhos
O I 2 3 4 ,
Mais que ,
O O O 2 4 O O O
I O O 1 4 2 O O
2 O O 19 31 56 4 2
3 O O 9 13 14 4 ,
4 O O 3 10 43 2 2
,
O O O O 2 2 O
6 ou mais O O O O I I 2
~
(a) Qual o numero mediano desejado de. filhos? E o número médio?
(b) Qual o numero mediano real de filhos?
(c) Você acha que existe alguma relação entre o numero desejado e o número real de
filhos? Quantifique sua resposta.
55. Uma pesquisa será feita para estimar a proporção de solteiros, de católicos e de pro­
fissionais liberais na população. Para isso, será usado um único questionário. Que
tamanho mínimo deverá ter a amostra
paTa garantir as
especificações abaixo?
Variável
Nível de Erro Probabilidade
Confiança Múx;mo Esperada
Solteiros 95% 10% 40"/.
Católicos 90% 10% 700/0
Prof. liberais 92% 8% desconhecida
56. Suponhamos que nosso objetivo seja comparar a variabilidade dos pesos de dois gru­
pos de pessoas. Após todas as mensuraçõcs e cálculos, verificou-se que a balança apre­
sentava um erro constante, porém de tamanho desconhecido. Esse fato nos leva a aban­
donar os resultados finais e iniciar tudo novamente? Justifique a resposta.
57. Os dados abaixo dão os acenos obtidos por 8 soldados num experimento destinado
a detenninar
se a
precisão do tiro é. afetada pela maneira de se dispor os olhos:
298
58.
(a) com o olho direito aberto;
(b) com o olho esquerdo aberto;
(e) com os dois olhos abertos.
Que tipo de conclusão você poderia tirar?
SQ/datkJ Direito
I 44
2 J9
J 33
4 56
,
4J
6 56
1 41
8 58
Esquerilo Ambos
40
" 31 41
28 31
II 52
48 42
"
63
4l 48
60 62
Um conjunto de 12 cobaias roi alimentado com uma dieta especial durante 3 sema­
nas, e produziram- se os seguintes aumentos de peso: 30, 22,32,26,24,40,34,36,32,
33,28 e 30. Encontre limites de confiança de 900/0 para!J e para u
l
.
(a) O que está significando a letra !J?
(b) Qual a variável aleatória observada? .' .
.J,c) Para o problema te.!:, sentido, ~o~o devem ter sido escolhidos os ammals?
(á) Sob que condição X tem dlstnbulção nonnal?
(e) l:X("", 367 c l:~ "", 11.509. Podemos, então, concluir que o número 367 é um pa.
râmetro?
(j) X == I:X( = 367 = 30,6. O número 30,6 é um parâmetro?
" i2
(g) S1, a variância amostrai, é um parâmetro?
(h) Com a significação que p. tem no problema, qual o sentido de P(p> X)? E de
P(p > 10, onde K'é um numero fixo qualquer?
(I) Calcule a variância amostraI, usando a r6rmula mais adequada.
V) (.\i: -p.) .;; tem distribuição conhecida? Qual, e sob que condições?
(k) O :ue significa UI? É terdade que p(Sl = UI) = J?
(/) De uma estimativa e um estimador para UI.
(m) I:(X( -f)2 tem distribuição conheci"da? Qual, e sob que condições?
.'
(n) É possível calcular p(Sl > 10, onde K é um numero qualquer?
(o) Construa agora os intervalos pedidos, e dê seu significado preciso por extenso.
(p) Qual é o comprimento do intervalo (nos dois casos)?
(q) Qual a probabilldade de X diferir de p. por mais de metade do comprimento do
intervalo?
59, Supõe- se que uma moeda favoreça cara, na proporção de 2 caras para cada 3 coroas.
Para testar tal hipótese, lança-se a moeda 4 vezes, contando·se o numero de caras.
299

Repete-se esse experimento 625 vezes. Os resultados estão no quadro abaixo. Estes
dados conlinnam ou não a suposição?
N." de caras o I 2 3 4 TOTAL
Freqüências 72 204 228 101 20
__ L-________ ~ __ _
60. Num laboratório, foi realizada uma pesquisa de mercado em que se estudou a pre­
ferência com relação a dois adoçantes artificiais, A e R, obtendo-se os seguintes re­
sultado
s:
Sexo
Feminino Masculino
Preferem A
50
ISO
Preferem R
110
42
Indecisos
'" 8
Se a porcentagem da população que prefere o adoçante B fOf menor que 30%, ele
será retirado de produção. Com base no resultado da pesquisa, você acha que R deve ser
retirado de produção? Utilize primeiramente a = I % e, em se~da, a = 10%. Inter­
prete suas resposta
s.
-
300
.
I
1
I
,
í
35. 0,0135.
37. 0,36; 0, 41; 0,23.
38. (a) 0.0862; (b) 0,26.
39. (a) 0,31175; (b) 0,5814.
40. (a) 0,62; (b) 0,21; (c) 0,114; (d) 0,286.
41. ta) 0,276; (b) 0,0224; ~c) 0,677.
42. (a) 27,6% (b) 2,2% (c) 67,7%.
44. 0,072
45.1 -(m/(m+n-b» «m-l)f(m+n-b-I).
47. P(A u Bu C) -= P(A) + peR) + P(C) -P(A nR) - P(A nC) -P(Bne) + P(A nBnC)
48. p(1 + 2p _ 2pl _ pl + p4)
49. (b) P(A) = 11/4: (c) P(B) = I -b
1
;
51.
P(A) = (área de A)(área do quadrado).
56. A e R não podem sef disjuntos, pois P(AnB)~ 1/12. logo P(AnB )fO.
57. 0,846.
CAPíTULO 5
x O I 2 3
I.
I
"
30 10
p(.~) ---
56 56 56 56
7
x I 2 3 4
3.
I I I I
p(x) -
- -...
2 4 8 16
y O I 2 3 4
5.
' q =
1 -p.
p(y) q' 41'1'
6p2ql 4plq p'
3x O 3 6 9
7.

I
"
30 10
p(3x) ---
)56 56 56 56
O I 2 3 Y
I 2 3
x
; E(x) = 1,5; E(y)=2.
8. .
I 3 3 I
p(y)
I 2 I
--
p(x) ---
4 4 4
8 8 8 8
9. E(i!) = I -q; Varei!) -= q(l- q).
12. E(Y) = 2; Var(Y= I).
f' ~<O
13. F(~)= q,O~q<l
I, q~ I
313
.
...

15. (a) 4,6, (b) E(G)=2.75; VarIG) = 0,41 25.
16. __ "_!-__ ' __ '_, F(x) = {1/~: ~ ~ ~ < 2
1 1 1(2, 2 ~ x < 3
p(x) -I'
3 6 2 ' x ;;:.
19, (a) 25, (b) 4/5; (c) E(Z)=O, Var(Z) = 1; (j) P(X~3).
20.0,2833, (b) 0,5925; (e) 0,2792.
22. 0,375 (binomial); 0,4{)6() (Poisson).
24. Simétrica, com valores iguais em ° e 5, 1 e 4, 2 e 3.
25. Não é simétri ca; o valor de p.
27. duas flores.
28. 10
29. (a) 0,656; (b) 0,292; (c) 0,049;
30. É razoável.
31. 0,941.
33. (a) 0,1429; (b) 2; (e) 2.
37. 6,4 8.
40. (a) 0,538;
42. (a) 1/3,
46. 0,0000091
(b) 0,098; (c) 0.0321.
(b) 7/8: (c) 2-'0.
47. 1,213 x 10-
19
~o
48. p = 0,2
"­
(cf) 0,997.
-
49. (a) pIO; (b) 1 ~pIO; (c) 4p2(1 ~p)8.
CAPíTULO 6
I. (b) e-
20
2. (a) C=4;
I I ,
(c) 2' 2' 4'
I I
5. E(X) = -, Var(X) = -
'4
6. E(X) = 1; Var(X) = 1l: -1
8. (a) ~7bl /(8+b J) ; (b) E(X)= ~3/4, Var(X)=3/80.
9. C1 + 50 C l
10. (a) 0,625
11. E(Y)= ~2, 1 ; Var(Y) = 3/20.
12. J,(y) = [Jlfi) + fi -fi)I/'Jy.
13, (b) 0,33 (C
l
-C ,) + 0,67 (e) -c I)'
14. (a) 0,34, (b) 0,53, (c) 0,50; (cf) 0,46.
15. (a) 0,93319; (b) 0,97725; (e) 0,68268; (cf) a= 19,6.
16. (a) 0,977; (b) 0,68; (c) 2,58; (ti) a=Il-I,285.
17, (a) 9413, (b) (164,25; 175,75).
18. 0,023.
314
•
I
1
1
19. P(D
l
:> 45) = 0,31, P(D1 :> 49) = 0,12507.
P(D
2
:> 45) = 0,50, P(D
2:> 49) = 0,17866.
20. (a) P(boa) = 0,8904; P{reeuperável) = 0,0932: P(defeituosa) = 0,0164.
(b) Em = 0,0921.
2t. 5e-0.9 -2 = 0.0328.
22. (a) 0,60721; (b) 0,0537; (e) 0.62552.
23. 0.10427.
24. 0,0009.
25. (a) '.46; (b) 0.3315; (c) '.35.
30. 3; 70; 7.
31. (a) 0,5125; (b) 0.18673.
32. 4,33; 5,54: 6,02.
34. 9,332.
35.
Tipo A: lucro
esperado = 735.96: Tipo B: lucro esperado = 1772,50.
36. (a) E(X)=2, Var(X) = 1/3: EP')= IO. Jlar{Y) = 3;
E(Z) = + (t'J~e), Jlar{Z) = + (e
4
-(
2).
37. 40
2
/3.
{
0,)'<0
40. (a) Fy(y) = 2,Ji, O < Y < 1
(b) Ir(}') = l/fi ° < y < I.
I, y:> 1
41. E(X) = 0, Var(X) = I.
46. E(Y) = I
47. E(Y) = 1/6
48. (a) j{x) = e-" x;;:' O; (b) E(X) = I.
CAPiTULO 7
I. (c) independentes, (d) 1f2. 1, 1/2,0,2/3, 1/2.
x ,
3 y o ,
pÚ') 0,3 0,5 0.2
2. (a)
p(x) 0.3 0,2 0,5
•
(b) E(X) = 2,2; E(Y)=O,9;
(c) dependentes:
(d) 1/3. 1/ 5;
(e) 0,5; 0,1.
I
(b) E(X) ~ O. E(r) ~ J
Var(X) = 1, VarO,) = 519·
~
J. (a)
-I O
-I 1/12 O 1/12
O 1/6 O 1/6
1/4 O 1/4
315

4. 2 3 4 5
p(x + y) 0,1 0,3 0,1 0,4 0,1
E(X + Y) = 3,1, E(XY) = 2,1.
Vor(X.+ Y) := 1,49, Var(XY) = 3,69.
S. (a) E(X+ Y) = t. Var(X+ Y)=29J36;
(b)a=lO,b=30 ou a=-IO,b=3O.
6. (b) 3,125; 1,825; 5; 0,86; 0,86; 2,5.
7. (a)
~
1 3 5
X,
1 1/25 1/25 2/25
3
1/25 1/25 2/25
5 2/25
2/25 4/25
7
[/25 1/25 2/25
P(X
I =x
I
) 1/5 1/5 2/5
(b) IOdependentes;
(c) E(X
I
) = E(X
1
) = E(i) = 4,2,
7
1/25
1/25
2/25
1/25
1/5
Var(X
1
) = Var(X
1
) = 4,16; Vare%) = 2,08;
(ti) nào são independentes; 4,2; 4,16; 1, 56.
'y
p{xy)
)
P(XI = Xl)
1/5
1/5
2/5
1/5
1
6
8. (b) E(X)==O, Var(X) = 10; (c) Var(X+ Y)= 144jlOO.
9. (a) 3,85 e 4,94; (b) 3,78 e 4,94.
10, (a) x+y 2 3
_
5
o 3 4 6
0,3 0,2 0,3 0,1 0,1
E(X + Y)=4 (=E(X) + E(Y) = 2+ 2);
p(x + y) 0,1 0,2 0 ,3 0,_
Ib) 'y 2 3 4 6
; E(XY) = 4;
p(xy) 0,1 0,2 0,1 0,2 0,4
(c) P(X= I, Y= 1) = 0,1 =/< P(X= I) p(r= I) = 0,06.
11. CQv(X. Y) = 0,12; P(X, Y) = 0,197.
. 5
n. (b) 3; 1/8 e 3,5; (j) Var(X+ Y)=4""
1 1
13. P(X= -1, y= -1) = O +-P(X= - 1)P(Y= -1)=4" x 4'
14. (c) E(X);3,5; Var(X);2,92; E(Y)=4A7 e Var(Y)= 1,97; (ti) [,46; (e)7,97; fj) 7,80.
316
15, (a) são independentes; covariãneia = O;
(b) esperanças: I, 1/2, \'5,
.•. 1 1 3
vananClas: 2' 4' 4'
16. 0,65.
2 2
17. (b) P(X=O, Y=O) = ° f-P(X=O) P(Y=O) = 8 x 8'
19. (a)
X
5 lO 15 P(Y=y)
5 0.1 0,2 0,1 0,_
lO 0,2 0 ,3 0,1 0.6
P(X= x) 0,3 0,5 0,2 1
(c) Não; P(X=5, Y=5) = 0,1 f-P(X=5) P(Y=5) = (0,3)(0,4).
(ti) E(X) = 9,5; E(Y) = 8,0;
Var(X) = 12.25; Var(Y) = 6,0; Cov(X, Y) = -J.
(e) E(Z)=17,5; Var(Z) = 16,25; fj) 50%.
, 2 3 x':.t-y 2
_
5 x-r
20.
p(x) 1/5 2/5 2/5 1 2 1 p(x -y)
p(x + y)
l 5 5 l
-O 2 x-y-I -1 O
Y
2 2 1 2 2
p(y)
5 5 5
p(x -y-I)
5 5 5
21. (b) E(X) = 3,1; Var(X) = 0,09;
(e) Cov(X, Y) = 0,0[;
(d) Var(X + Y) = 0,2.
23. (a) 0-
2
+ J.l2; (b) 0-
2
+ J.I(J.I-I).
24. (a) 0,30; 0,[7; dependentes; (b) p = -0,51.
27. g(x)= 2x, O~x~[;
h(y)=2y,0~y~1.
28. (a)
y y := X
,
y "" - )(
O 2
1 2 2
5 5 5
317

x'
(c)g(x)"""'4,O.;;;xo>;2;
I
h(y)
= 48
(yl~ 11y+ 16), O o;;;yo;;;2
I
=-(5yl_12y+ 16), -2 o;;;y < O.
48
29. (a) g(x) = e-~, x> O
h(y)=e-',y>O
30. Notar que Cov(Z, U"J""AC· Cov(X, Y),
32. 6,17
Var(Z) = AI • Var(X), Var(W)=C
1
• Var{Y).
35.
(h) E(nX+ bY) =
0111 +b1l1
Var(aX + bY) = a~aJ +b1qf
37. fix, y) = g(x) . h(y).
38. E(X) = V:J + o" + Ii.)/n
Var(X) = «1~ + ... + a~) /nl •
39. E(X) = /l
Var(X) = al/n.
PARTE 111
CAPiTULO 8
7. (a) 68%;
8. (a) 512,80;
9. (a) 5.82%;
10. (a) 35,20";':
12. 23%
17.
(a) 2,27%
18. 81
Ib) IllO"!.; lá) ,.
Ib) 0,52%.
(h) 53,28%.
Ih) 0,05%.
(c) E(X1+ ... +XJ=PI+"'+P.
Vor(X1 + ... +X.)=u7 + ... +0';
19. (a) ° e 4OO/n; (h) 61,70%; (c) 31,74%; (cf) 5,16%; (e) 1537.
20. (a) 4,75%; (h) 50";'
21. (a) 26,44% (h) 16,01%
23. 0,06%.
29. (a) 31,25%; (h) 0,97; (c) 95.
CAPiTULO 9
I. --,-------------
318
p
P(fl)
0,0 0,2
0,328 0,410 O,,
0,205
EIP) ~ O; Vor(jj)
= 0,032
0,6 0,8
0,
051 0,006
1,0
0,000
•
3. E@l)=P; V~r(Jil)=p(l-P) ; E(jil)=P; Var@l)=p(1 -p).
"
6. (b)'j1= Y.Y=7,75.
7. (h) íü) = 779,28 + 3551 (onde 1=0, corresponde a 1973);
(e) 2202.
9. i = 65,53. P = 0.84
11. (h) n/f.xj; (c) 5/11.
12. â = 1ft
13. ~ = X.
14. 170 ± 2,94; 165 ± 3,18; 180 ± 2.08.
iS. (a) ]787.1; 812,9[; (h) 16%: (c) 625.
16. (a) 384; (h) 666.
17. (a) 301; (h) J49; 51[.
18. ]0.677; 0,732[.
19. ]0,25; 0.35(, )0,255; 0.345[.
20. (a) 3932; (h) )0,5345: 0,5655 1·
21. (a) ]0,274; 0,386[; (b) 2401.
23. (a) ]148,37; 151 ,63[
24. (a) 15,13; 7,31[; (h) 107.584.
25: 400 ± 20,46
26. 12,53; 13,25; 18,29; 19,01.
27. (a) )0,543; 0,657[; Cc) 3.841.600.
29, 0,520 ± 0,049.
36. 2000.
37. fi = x e 2
l
= I(X
1
-Xjl/n.
40. 510,6 ± 0,784.
43. I/x.
CAPíTULO 10
2. (a) 9,1~%; (h) 6,68%; (c) RC = [1171; aJ[.
4.12= 1/8.
7. Não, pois Zo= -1,5 e RC=)-oo; -1.645).
8. Sim, pois Zo= -2,8 e RC=I-oo; -1,645).
10. (a) 11%
13. Rejeita.se a hipótese p = 0,20, pois 20 = 1,36 e RC = ]1,28; Ç()[.
16. 27,43% .
22. Ho não é rejeitado, pois Zo = 1,94 e RC' = [-1,96; 1.96).
35(0) 0,3%; (b) 87,2%,
CAPITULO II
I. (a) 9,342; (b) 36,191; (c) 29,615; (e) 5,412; (fJ 9,524.
3. (a) 6,314; (h) 1,440; (c) -1,812; (ã) 2,131; (e) -0,860; (j) 3,160.
5. (a) 9,55; (b) 0,105: (c) 3,84; (cf) 1,35; (e) 0,42; '(f) 1.8275.

r
9. (a) 41,56 ± 5,51-
10. Não, pois Xã ... 30,667.
13. São iguais, pois Fo = 2,56.
27. l4.66: 23.17].
28. (o) 211; (h) [0.35 : 0,45] com )' = 95%.
33. A produtividade c a mesma (to = 0,651).
36. (a) [0,19 : 1.8!J. admitindo variâncias iguais.
40. Ao ~ívcl de 5% não há evidência estatística de que a droga reduz a pressão.
44. (a) sIm
•
320
BIBLIOGRAFIA
[I] CLARK C. T. & SCHKADE L. L. Storistica/ Melhodsfor Bus iness
Decision s. South-Western Publishing, Cincinatti, 1969.
[2] DACHS J. N. W. Análise de Dados e Regressão. IME-USP, São Paulo,
1978.
{3] FRASER D. A. S. Statislics: An Introdl4ct;on. John Wiley and Sons,
New York, 1958 .
[4J HOAGLlN D. c., M05TELLER F. & TUKEY J. W. Undmtand;ng
Robusf and Exploratory Dala Ana/ysis. loho Wiley and sons, New
York, 1983.
[5] HOEL p, G. Estatística Elementar. Editora Atlas, São Paulo, 1977.
[6} LEVIN J. Estatística Apli cada às Ciências Humanas. Editora Harpcr
& Row do Brasil, São Paulo, 1978.
F] MORETIrN P. A. Introdução à Estatistica para Ciências Exatas.
Atual 'Editora, São Paulo, 1981.
[S] MORETIIN P. A. & BUSSAB W. O. Métodos Quantitativos para
Economistas e Administradores, v. I: Cálculo - Funções de uma
Variável. Atual Editora, São Paulo, 1981.
[9J HAZZAN 5., MORETTIN ·P. A. & BUS5AB W. O. Métodos
Quantitativos
para Economistas e Administradores, v. 2: Cálculo -
Funções de Várias
Variáveis. Atual Editora, São Paulo, 1982.
[IOJ PFAFFENBERGER R. C. & PA TTERSON J. H. Staústkal MetllOds
for Business and Economics. Homewood, Richard D. Irwin, minois,
1977.
[lI} TUKEY J. W. Exploralory Dala Analysi s. Reading, Addison Wesl ey,
Massachusetts,
1977.
[12]
WONNACOlT T. H. & WONNACOTT R. J. Introductory Stalisti cs
for Business and Economics. lohn Wiley and Sons, New York, 1972.
32'
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