PROBABILIDADES , DIAGRAMA DE VENN

PROBABILIDADES , DIAGRAMA DE VENN

1. UNIDAD: DATOS Y AZAR
PROBABILIDADES II

Matemáticas – Programa Tercero
Material : MT-16














DIAGRAMA DE VENN


Un Diagrama de Venn es una manera de representar gráficamente conjuntos,
subconjuntos, intersecciones de conjuntos, uniones de conjuntos. Normalmente se utilizan
en esta representación óvalos o círculos, que muestran la relación existente entre los
conjuntos y subconjuntos involucrados. Cada óvalo o círculo es un subconjunto diferente.
La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones
lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los círculos se
superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas características comunes.


Por ejemplo, supongamos como
conjunto las personas que viajan en un
Tour, si A representa las personas que
hablan inglés, el óvalo de la izquierda
contendrá al número total de personas
que los hacen, si B representa a las
personas que hablan francés, el óvalo
de la derecha tendrá el número de
turista que hablen francés, la parte
común de los óvalos (A y B) contiene a
las personas que hablan ambas idiomas.
El rectángulo contiene todas las
personas que participen en éste tour,
representando C las personas que no
dominan ninguno de los dos idiomas.


Apoyados en el Diagrama de Venn es posible determinar la cantidad de elementos que
cumplen las condiciones y de ésta forma permite determinar su probabilidad utilizando
probabilidad clásica.



C
DIAGRAMA DE VENN
A
B
A y B

2. 2
EJEMPLOS


1. En un curso de 120 alumnos, 1
6 habla portugués, 1
3 japonés y 1
12 ambos idiomas.
¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable sólo uno de estos
idiomas?


A) 1
3
B) 1
12
C) 1
4
D) 5
12
E) 7
12




2. En un curso de 36 alumnos de tercero básico, 24 practican fútbol, 22 practican tenis y
2 no practican ninguno de estos deportes. Al escoger un alumno al azar, ¿cuál es la
probabilidad que practique ambos deportes?


A) 5
18
B) 11
18
C) 1
3
D) 5
9
E) 2
3

3. 3
3. De un grupo de 500 turistas el 70% habla inglés, el 40% habla francés, el 15% habla
inglés y francés y el resto solo español. Si se elige una persona que habla inglés, ¿cuál
es la probabilidad que también hable francés?



A) 3
20
B) 3
14
C) 5
14
D) 3
8
E) 4
5




4. En un curso de 80 alumnos, la cuarta parte de ellos habla inglés, la quinta parte
francés y la décima parte ambos idiomas. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno
escogido al azar hable inglés o francés?



A) 16
80
B) 20
80
C) 28
80
D) 36
80
E) 44
80

4. 4

PROBABILIDAD CONDICIONADA


Si dos eventos no son independientes, entonces la probabilidad que ocurran ambos
se calcula según la relación P(A B) = P(A) P B/A , en esta relación P B/A se llama
probabilidad condicionada y se lee:


P B/A
: Probabilidad de B, dado que ocurrió A, y se determina según la relación:
 
P(A B)
P B /A =
P(A)



OBSERVACIÓN : la probabilidad condicionada también es posible determinarla
reduciendo el espacio muestral.



EJEMPLOS


1. En cierta población el 40% tienen pelo negro, el 20% tiene ojos café y el 10% tiene
pelo negro y ojos café. Si se escoge un alumno al azar , entonces ¿cuál es la
probabilidad que si el escogido tiene pelo negro, también tenga ojos café?


A) 0,04
B) 0,08
C) 0,25
D) 0,4
E) 0,1



2. Si  P A B = 0,3; P(A) = 0,5 y P(B) = 0,8 , entonces P(A/B) =


A) 0,40
B) 0,375
C) 0,60
D) 0,24
E) 0,15

5. 5
3. Una caja contiene 3 esferas blancas y 2 rojas, una segunda caja contiene 2 esferas
blancas y 3 rojas. El experimento consiste en lanzar una moneda, si sale cara se extrae
la esfera de la primera caja, si sale sello se extrae de la segunda. Si se realizó el
experimento y se obtiene una esfera roja, ¿cuál es la probabilidad que provenga de la
segunda caja?



A) 6
5
B) 3
5
C) 1
2
D) 3
10
E) 3
20





4. Se sortea un viaje a Paris entre los 100 mejores trabajadores de una empresa, de estos
trabajadores 60 son mujeres, 35 de estas mujeres están casadas y 25 de los hombres
están solteros, si el afortunado con el premio está casado(a), ¿cuál es la probabilidad
que sea mujer?


A) 3
10
B) 7
20
C) 5
12
D) 1
2
E) 7
10

6. 6
EJERCICIOS

1. En una fiesta hay 42 hombres y 26 mujeres. Se sabe que 12 de esos hombres y 18 de
esas mujeres prefieren tomar jugo y el resto toma agua mineral. Si se elige a una
persona al azar, ¿cuál es la probabilidad que dado que sea hombre, prefiera tomar
agua mineral?

A) 30
68
B) 30
38
C) 30
42
D) 1
68
E) 1
30



2. La probabilidad de que un hombre casado fume es de 0,4, mientras que la probabilidad
de que una mujer casada fume es 0,5. Si la probabilidad de que un hombre fume , dado
que su esposa fuma, es 0,7. ¿Cuál es la probabilidad de que en el matrimonio ambos
fumen?


A) 0,63
B) 0,55
C) 0,35
D) 0,28
E) 0,20



3. En un curso de 40 alumnos, el 50% practica futbol, el 37,5% practica basquetbol,
mientras que 5 alumnos practican ambos deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que al
elegir un alumno, éste no practique ninguno de estos deportes?


A) 1
8
B) 1
5
C) 1
2
D) 1
3
E) 1
4

7. 7
4. En cierta población se ha logrado constatar que la probabilidad que una persona este
obesa y tenga problemas coronarios es 0,1; la probabilidad que un individuo sea obeso
es 0,4, si se escoge una persona que resulta estar obeso ¿cuál es la probabilidad que
también sufra problemas coronarios?


A) 0,10
B) 0,25
C) 0,40
D) 0,60
E) 0,90



5. Al lanzar al aire dos dados, uno a continuación del otro, de distintos colores, se observa
que la suma de los números que aparecen es de por lo menos siete. La probabilidad de
que en el segundo dado aparezca el cuatro es

A) 4
21
B) 5
21
C) 6
21
D) 7
21
E) 8
21


6. En un viaje de gira de estudio 1.200 alumnos, deben decidir entre dos opciones, un
crucero por Oceanía y/o un viaje a Europa. Si 1
3 se interesa por Oceanía, y 3
4 por
Europa, ¿cuál es la probabilidad de que un alumno escogido al azar sólo se interese
uno de estos destinos?

A) 11
12
B) 1
12
C) 1
4
D) 5
12
E) 7
12

8. 8
7. En un curso el 25% de los alumnos juega futbol, 15% juega básquetbol y 10% practica
ambos deportes. Se selecciona un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que
juegue futbol, si juega básquetbol?

A) 1
3
B) 2
3
C) 2
5
D) 3
5
E) 4
5



8. Se lanzan 2 dados y la suma de los puntos no supera el número 6 , ¿cuál es la
probabilidad que en al menos uno de los dados aparezca un número par?

A) 1
4
B) 5
12
C) 1
2
D) 3
5
E) 2
3



9. En una fábrica de tarugos se tienen dos máquinas, M1 y M2, la primera fabrica el 60%
de la producción y la segunda el 40%, en M 1 el 6% de los tarugos salen defectuosos y
en M2 el 4% de ellos también sale defectuoso. Si se escoge un tarugo al azar que es
defectuoso, ¿cuál es la probabilidad que haya sido fabricado por la maquina 1?

A) 3
5
B) 3
26
C) 9
250
D) 9
13
E) Ninguna de las alternativas es correcta.

9. 9
10. Con los mismos datos del ejercicio anterior, si el tarugo escogido no es defectuoso,
¿cuál es la probabilidad que lo haya fabricado la maquina 2?


A) 24
25
B) 32
47
C) 32
79
D) 96
250
E) 131
237



11. Si P(AB) = 0,5; P(B) = 0,8 y P(A) = 0,6 , entonces ¿cuáles de las siguientes
afirmaciones son siempre verdaderas?

I) 
5
P A/B =
6
II) 
5
P B/A =
8
III) A y B son sucesos mutuamente excluyentes .


A) Solo I y II
B) Solo I y III
C) Solo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna es verdadera.



12. En una sala de urgencias de un hospital el 60% son hombres y de estos el 60% supera
los 60 años y el 40% de las mujeres presentes no supera los 60 años. Se escoge al
azar uno de los pacientes y su edad supera los 60 años , ¿cuál es la probabilidad que
este paciente sea mujer?


A) 3
5
B) 1
2
C) 3
10
D) 2
5
E) 1
5

10. 10
13. Si en el ejercicio 12 la persona escogida es hombre, ¿cuál es la probabilidad que su
edad no supere los 60 años?


A) 1
2
B) 9
25
C) 4
5
D) 2
5
E) 3
5



14. Se lanzan 2 monedas, si a lo menos en una de ellas salió cara, ¿cuál es la probabilidad
de que ambas lo sean?


A) 1
4
B) 1
3
C) 3
8
D) 1
2
E) 2
3



15. En un centro médico se disponen de tres equipos electrónicos para realizar
mamografías, el primer equipo realiza el 25% de los exámenes, el segundo el 35% y el
tercero un 40%. Los equipos tienen una probabilidad de error de 1%, 2% y 3% ,
respectivamente. Si el resultado de un examen de un paciente tiene error, ¿cuál es la
probabilidad que el primer equipo haya realizado el examen?


A) 1
40
B) 5
43
C) 11
125
D) 1
4
E) Ninguna de las anteriores.

11. 11
16. A un grupo de 200 estudiantes se les pregunta los idiomas que estudian, 56 de ellos
respondieron que estudian español, 60 alemán, francés 84, español y alemán 16,
español y francés 20, alemán y francés 10 y 6 estudian los tres idiomas. Si se escoge
un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad que no estudio ninguno de estos
3 idiomas?


A) 8 %
B) 10 %
C) 16 %
D) 20%
E) 40 %




17. Con los datos del ejercicio anterior, si se escoge un estudiante y estudia español, ¿cuál
es la probabilidad que también estudie alemán?

A) 8
21
B) 2
25
C) 15
28
D) 4
25
E) 2
7



18. En una ciudad solo se ven tres canales de televisión abierta, el canal 1, el canal 2 y el
canal 3, mediante una encuesta se estima que el 30% ve el canal 1, el 20% el canal 2,
el 15% el canal 3, el 10% ve el canal 1 y 2, el 6% ve el canal 1 y 3, el 5% ve el canal 2
y 3, y el 3% ve los tres canales. Si se escoge una persona, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?


I) La probabilidad que solo vea 2 canales es un 12%.
II) La probabilidad que no vea ninguno de estos canales es un 53% .
III) La probabilidad que solo vea un canal es un 32%.


A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

12. 12
19. Se tienen dos cajas, caja 1 y caja 2, cada una de ellas con esferas rojas y amarillas, al
extraer una esfera que resulta amarilla, se puede determinar que se haya sacado de la
caja 1, si:

(1) La caja 1 contiene 6 esferas rojas y 4 amarillas.
(2) La caja 2 contiene 10 esferas.

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional


20. Se puede determinar la probabilidad que al elegir un alumno al azar de un grupo
practique tenis y fútbol, si:

(1) El 60% practica fútbol y el 70% practica tenis.
(2) El 20% de los alumnos no practica ninguno de estos deportes.

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional


RESPUESTAS EJEMPLOS










RESPUESTAS EJERCICIOS
PÁG. 6

1. C 6. A 11. E 16. D
2. C 7. B 12. D 17. E
3. E 8. D 13. D 18. E
4. B 9. D 14. B 19. E
5. A 10. C 15. B 20. C




MT-16

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Pág. 1 2 3 4
2 y 3 A C B C
4 y 5 C B B E

Ejemplo