PROBABILITAS-1-S1 statistika dan probabilitas

statistik

1. KONSEP DASAR PROBABILITAS
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa diharapkan mampu :
Mendefinisikan terminologi-terminologi penting dalam probabilitas dan
menjelaskan bagaimana probabilitas kejadian sederhana ditentukan.
Memahami dan menjelaskan konsep-konsep mengenai kejadian-kejadian
bersyarat, bebas dan mutually exclusive.
Menggunakan dengan benar dan tepat aturan perkalian dan penjumlahan
dalam melakukan perhitungan probabilitas.
Memahami dan menggunakan analisis kombinatorial untuk kejadian
kompleks : permutasi dan kombinasi.

2. Pokok Bahasan :
Konsep dan Definisi Dasar
Probabilitas Peristiwa Majemuk
Teknik Enumerasi ( pencacahan )
Soal-soal Latihan

3. Konsep dan Definisi Dasar
Eksperimen Probabilitas ( probability experiment )
Segala kegiatan dimana suatu hasil/keluaran(outcome),
tanggapan(response) ataupun ukuran (measurement) diperoleh.
Ruang Sampel ( sample space ).
Himpunan yang memuat seluruh kemungkinan hasil, anggapan ataupun
ukuran dari eksperimen.
Peristiwa/kejadian ( event )
Segala himpunan bagian dari hasil, tanggapan ataupun ukuran dalam
ruang sampel.

4. Contoh 1.
Ada 3 buah current meter (alat pengukur kecepatan air) yang akan kita
periksa kondisinya ( baik atau rusak) satu-persatu secara berurutan.
Ruang sampel pada eksperimen probabilitas pemeriksaan current meter
tersebut adalah
S = { BBB, BBR, BRB, RBB, BRR, RBR, RRB, RRR }
Jika A adalah peristiwa dimana diperoleh satu buah current meter yang
rusak maka
A = { BBR, BRB, RBB }, untuk memudahkan pengertian diatas dapat
diilustrasikan dengan bantuan diagram Venn sbb,
Gambar 1. Diagram Ven Probabilitas
S
A

5. Definisi Probabilitas
Probabilitas adalah sebuah bilangan yang terletak antara 0 dan 1 yang
berkaitan dengan suatu peristiwa/kejadian (event) tertentu.
Jika peristiwa itu pasti terjadi maka probabilitas peristiwa tersebut adalah 1,
namun jika peristiwa itu mustahil terjadi maka probabilitas peristiwa
tersebut adalah 0.
Ada 3 definisi probabilitas yang biasa digunakan, yaitu
Definisi Klasik
Jika sebuah peristiwa A dapat terjadi dengan f
A
cara dari sejumlah total N cara yang
mutually exclusive dan memiliki kesempatan yang sama untuk terjadi, maka
probabilitas terjadinya peristiwa A yang dinotasikan dengan P(A) adalah,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
sedangkan probabilitas tidak terjadinya peristiwa A atau komplemen A
(kegagalan A) dinyatakan dengan
. . . . . . . . . . . . . . . . (2)

N
f
P(A)
A

 A P1
N
fN
A PA
~
PA P
A




6. Contoh 2.
Dalam satu set kartu bridge yang terdiri dari 52 kartu terdapat 4
kartu As, maka probabilitas pengambilan satu kartu mendapatkan kartu As
adalah P(As) = 4/52 = 1/13 = 0,077
Definisi Frekuensi relatif
Jika suatu eksperimen dilakukan sebanyak N kali ( jumlah banyak sekali
mendekati tak terhingga ) terjadi kejadian A sebanyak f
A kali, maka nilai limit
dari frekuensi relatif f
A
/N didefinisikan sebagai probabilitas kejadian A atau
P(A), dapat ditulis sbb.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. (3)

definisi ini yang paling populer dan memungkinkan untuk diterapkan pada
masalah-masalah praktis dimana definisi klasik tidak dapat digunakan.
N
f
limP(A)
A
N


7. Contoh 3
Seseorang membeli sepeda motor baru merek ‘X’. Probabilitas
mendapatkan motor yang cacat sulit diketahui jika menggunakan definisi
klasik, karena harus diketahui jumlah seluruh populasi produk baru ‘X’
dan jumlah yang cacat.
Dengan memakai definisi frekuensi relatif

. . . . . . . . . . . . . . (4)
maka perlu dilakukan pemeriksaan terhadap sampel motor ‘X’ sebanyak
mungkin menuju tak terhingga banyaknya, namun kajian tersebut
biasanya mahal dan kurang efektif (biaya dan waktu) sehingga cukup
dengan menggunakan sampel yang memadai dan dapat dipercaya tetapi
cukup ekonomis untuk menentukan frekuensi relatif tersebut.
N
f
lim)P(X
cX
N
c



8. Definisi Subyektif ( Intuitif)
Definisi probabilitas yang ukurannya berdasarkan ‘derajat keyakinan’ yang
dimiliki oleh seseorang, karena itu sifatnya sangat subyektif dan merupakan
definisi yang paling luas digunakan dan diperlukan jika sulit diketahui
besarnya ruang sampel maupun jumlah peristiwa yang dikajiataupun sulit
dilakukan pengambilan sampel dari populasinya.
Contoh 4
1.Suatu strategi perang misalnya, ada dua alternatif, menjatuhkan bom atau
tidak di daerah musuh. Dampak yang ditimbulkan jelas akan berbeda,
karena masing-masing alternatif tersebut tidak bisa diuji coba secara
eksperimen maka kita harus percaya pada ‘penilaian dari ahli (expert
judgement) untuk menentukan probabilitas dari akibat yang akan muncul.
2.Dalam suatu turnamen sepakbola kita juga sulit meramalkan siapa yang
akan menjadi juara karena interpretasi klasik dan frekuensi tidak akan
banyak gunanya, penilaian yang subyektif dari pengamat sepakbola yang
handal sering kali lebih diperlukan dalam hal ini.

9. Probabilitas Peristiwa Majemuk
Definisi
Peristiwa majemuk (Compound event) adalah peristiwa yang merupakan
gabungan / kombinasi dua atau lebih peristiwa sederhana (simple event)
seperti definisi yang terdahulu.
Probabilitas Bersyarat ( Conditional probability)
Probabilitas bersyarat adalah probabilitas dari sebuah peristiwa yang akan
terjadi jika sebuah peristiwa yang lainnya telah terjadi, seperti
diilustrasikan pada gambar 1.3 berikut.
Gambar 2. Ruang sampel probabilitas bersyarat
B
A
B
A  B

10. Peristiwa B yang telah terjadi lebih dahulu akan mengubah ( mengurangi)
besarnya probabilitas peristiwa A yang harus diperhitungkan.
Probabilitas bersyarat peristiwa A akan terjadi jika peristiwa B telah
terjadi didefinisikan sebagai :
. . . . . . . . . . . . . . . .
(5)
Contoh 5
Perusahaan pembuat PC Computer melengkapi produknya
dengan program-program siap pakai. Jumlah produk yg dilengkapi dg
program word processor 60%, yg dilengkapi dg program spreadsheet 40%,
dan yg dilengkapi program dua-duanya 30%. Seseorang akan membeli
komputer di perusahaan tersebut, dan ternyata sudah dilengkapi dengan
spreadsheet, berapakah probabilitas bahwa dia akan mendapat komputer
yang juga dilengkapi dg word processor atau P (AB)

 

0 B P
B P
BA P
BA P 



11. Penyelesaian : misal,
A adalah komputer yang dilengkapi dengan word processor,
B adalah komputer yang dilengkapi dengan spreadsheet, maka
P(A) = 0,6 ; P(B) = 0,4 dan P(A  B ) = 0,3

Gambar 3. Ruang sampel probabilitas bersyarat
B
0,3 0,1
A
0,3
B
A  B
0,3 0,1
 

0,75
0,4
0,3

B P
BA P
BA P 



12. Peristiwa Saling Bebas dan Tidak Saling Bebas
Saling Bebas ( independent) jika terjadinya peristiwa A tidak
mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa B, maka akan berlaku
P(AB) = P(A) dan juga P(BA) = P(B). . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
(6)
sebaliknya jika terjadinya peristiwa A mempengaruhi peristiwa B maka
peristiwa tersebut tidak saling bebas (dependent).

Peristiwa Mutually Exclusive ( Saling Meniadakan)
Peristiwa A dan B adalah mutually exclusive (disjoint events) jika
terjadinya salah satu peristiwa tersebut dalam sebuah eksperimen probabilitas
mencegah terjadinya peristiwa yang lainnya selama berlangsungnya eksperimen
probabilitas yang sama. Atau peristiwa A dan B tidak mungkin terjadi secara
bersamaan, dan berlaku
P(A dan B) = P(A  B) = 0, artinya juga P(AB) = 0 ; P(BA) = 0 . . . .
(7)

13. Mutually Exclusive Tidak Mutually Exclusive
Gambar 4. Peristiwa Mutually Exclusive dan Tidak Mutually Exclusive
Hukum-hukum Probabilitas Peristiwa Majemuk
Hukum Perkalian (Multiplication Law)
Peristiwa Saling Bebas ( Independent Event)
Hukum perkalian menyatakan bahwa jika A,B,C. . . . . adalah peristiwa-
peristiwa yang saling bebas, maka probabilitas bahwa seluruh peristiwa itu
terjadi (probabilitas gabungan/joint probability) P (A  B  C . . . . )
adalah produk (perkalian) dari probabilitas masing-masing peristiwa.
P(A dan B dan C dan . . . .) = P (A  B  C . . . . ) =
P(A)  P(B)  P(C) . . . . atau secara matematis ditulis
. . . (8)
A
B
A
B
   



n
1i
in1n21i
n
i
APA......AAAPAP

14. Contoh 6
Diketahui 30% mesin cuci buatan pabrik ‘X’ memerlukan perbaikan
selagi masih dalam masa garansi, sementara pada kondisi yang sama10%
mesin pengering buatannya memerlukan perbaikan. Berapakah
probabilitas kedua mesin tersebut memerlukan perbaikan selama masih
dalam masa garansi?
Penyelesaian :
C = peristiwa mesin cuci memerlukan perbaikan  P(C)=0,3
K = peristiwa pengering memerlukan perbaikan  P(K)=0,1
P(C dan K) = P ( C  K ) = P(C)P(K) = (0,3)(0,1) = 0,03

15. Contoh 7
Untuk menghubungkan sumber listrik di bagian depan sebuah pesawat
militer ke peralatan-peralatan yang menggunakan listrik dibagian
belakang, digunakan 3 buah kabel yang dihubungkan secara paralel dengan
jalur masing-masing berbeda, melalui rangka pesawat. Jika diketahui
probabilitas sebuah kabel terputus adalah 0,01 untuk setiap satu jam
tempur, berapakah probabilitas putusnya hubungan ke 3 kabel dalam satu
jam tempur?
Penyelesaian :
P ( K1  K2  K3 ) = P(K1)P(K2) P(K3) = (0,01)(0,01)(0,01)=10
-6

16. Peristiwa Tidak Saling Bebas ( Dependent Event)
Hukum perkalian untuk dua peristiwa A dan B yang tidak saling bebas
dapat ditulis sbb,
P(A dan B) = P(A  B) = P(AB)P(B) = P(BA)P(A) . . . . . . . (9)
dengan :
P(AB) = probabilitas bersyarat terjadinya peristiwa A
setelah B terjadi.
P(BA) = probabilitas bersyarat terjadinya peristiwa B
setelah A terjadi.

17. Contoh 8
Dari gejala yang ditunjukkan pada komputer yang akan diperbaiki, seorang
ahli perangkat keras komputer memastikan bahwa kerusakan disebabkan
oleh hanya salah satu dari empat blok rangkaian pada mainboardnya. Untuk
itu dia berencana memeriksa satu persatu ke 4 blok tsb. Berapakah
probabilitas bahwa sekurang-kurangnya mekanik tsb harus melakukan
pemeriksaan 3 blok rangkaian sampai dia dapat menentukan blok rangkaian
yang rusak.
Penyelesaian :
X = { pemeriksaan pertama memperoleh blok tidak rusak}
Y = { pemeriksaan kedua memperoleh blok tidak rusak}
P(X) = ¾
P(YX) = 2/3
1/4 1/4 1/4 1/4

18. Pemeriksaan ke 3 harus dilakukan setelah pemeriksaan pertama dan
kedua mendapatkan blok yang tidak rusak.
Dari hukum perkalian didapatkan :
P (X dan Y) = P(X Y) = P(YX )P(X) = (2/3)(3/4) = 6/12 =
0,5
Hukum perkalian untuk peristiwa tidak saling bebas yang ditunjukkan
oleh persamaan (9) dapat diperluas untuk peristiwa majemuk yang
terdiri dari beberapa peristiwa yang terjadi secara berturutan,
misalnya untuk tiga peritiwa A1, A2, A3 :
P(A1 A2 A3) = P(A3A1A2)P(A1A2)
= P(A3A1A2)P(A2A1)P(A1) . . . . (10)

19. Hukum Penjumlahan ( Addition Law)
Hukum penjumlahan pada probabilitas peristiwa majemuk dinyatakan
sebagai :
P(AatauB) = P(AB) = P(A)+P(B)-P(AB) . . . . . . .(11)
Persamaan diatas menunjukkan probabilitas peristiwa A atau peristiwa B
atau kedua-duanya sama-sama terjadi.
A dan B tidak perlu saling bebas, selama diketahui probabilitas
gabungannya P(A  B).
Jika peristiwa A dan B adalah mutually exclusive, maka P(AB) = 0,
sehingga
P(A atau B) = P(AB) = P(A) + P(B) . . . . . . . . . . . . (12)

20. Persamaan (11) dapat digeneralisasi untuk berapapun jumlah peristiwa
dengan penerapan kembali berlanjut (continued reapplication), seperti :
P(A atau B atau C) = P ( A  B  C )
= P(A) + P(B) + P(C) – P( A 
B )
– P ( A  C ) – P ( B  C )
+ P ( A  B  C )
Contoh 9
Perhatikan struktur yang di las pada gambar berikut. Kegagalan dari
struktur terjadi jika salah satu atau lebih dati ketiga sambungan las tsb
putus. Jika probabilitas dari putusnya masing-masing sambungan las
P(L
1) = P(L
2) = P(L
3) = 0,001 dan diasumsikan sambungan saling
bebas, maka :

21. Gambar 5. Probabilitas kegagalan pada struktur
P(L
1 atau L
2 atau L
3) = P(L
1  L
2  L
3)
= P(L
1) + P(L
2) + P(L
3)
– P(L
1  L
2 ) – P(L
1  L
3 ) – P(L
2  L
3 )
+ P (L
1  L
2  L
3 )
= 0,001+0,001+0,001-(0,001)(0,001)-
(0,001)(0,001) - (0,001)(0,001) +
(0,001)(0,001)(0,001)
= 0,003
las
L
3
L
1
L
2

22. L
1 L
2
L
3
Gambar 6. Ilustrasi Probabilitas kegagalan pada struktur

23. Contoh 10.
Sebuah sistem sembarang seperti yang ditunjuk pada gambar 1.3.4 tersusun
atas tiga tingkat.
Gambar 7. Probabilitas pada sistem bertingkat
Selesai
A
B
D F
G
E
C
Mulai
Tingkat 1 (T
1)
Tingkat 2 (T
2)
Tingkat 3 (T
3)

24. Sistem ini bekerja dengan baik jika ke 3 tingkatnya berjalan dengan baik. Misal
seluruh unit dalam setiap tingkat saling bebas dan masing-masing probabilitas
diketahui sbb,
P(A) = 0,7 P(B) = 0,7P(C) = 0,9P(D) = 0,8
P(E) = 0,6 P(F) = 0,6P(G) = 0,6
Jadi :
P(T1)= P(A atau B) = P(A  B)
= P(A) + P(B) – P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)
= 0,7 + 0,7 – (0,7)(0,7) = 0,91
P(T2)= P(C dan D) = P(C  D) = P(C)P(D)
= (0,9)(0,8) = 0,72
P(T3 = P(E atau F atau G) = P(E  F  G)
= P(E) + P(F) + P(G) – P(E  F) - P(E  G) –
P(F  G) + P(EFG))

25. = P(E) + P(F) + P(G)-P(E) P(F) - P(E) P(G) - P(F)P(G)
+ P(E) P(F) P(G)
= 0,6 + 0,6 + 0,6 – (0,6)(0,6) - (0,6)(0,6)- (0,6)(0,6)
+ (0,6)(0,6)(0,6)
= 0.936
Maka diperoleh :
P(sistem berjalan)= P(T1 dan T2 danT3)
= P(T1  T2 T3)
= P(T1)P( T2)P(T3)
= (0,91)(0,72)(0,936) = 0,613

26. Formulasi Bayes
Merupakan pengembangan dari probabilitas bersyarat (conditional
probability) dan aturan hukum perkalian (multiplication).
Andaikan terdapat sekelompok peristiwa B1, B2, B3. . . . . Bn yang
mutually exclusive dan exhaustive (menyeluruh), artinya masing-
masing peristiwa tidak memiliki keluaran (outcome) yang sama
secara bersama-sama memuat keseluruhan keluaran didalam ruang
sampel.
Peristiwa tersebut ditulis secara matematis
1BP
n
1i
i


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (13)

27. Didalam peristiwa2 Bi tersebut ada sebuah peristiwa A yang ada pada
peristiwa2 Bi. Karena peristiwa Bi bersifat exhaustive maka peristiwa A
pasti beririsan dengan satu atau lebih peristiwa Bi.
Untuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi gambar berikut
Gambar 8.
Ilustrasi hubungan peristiwa Mutually Exclusive dan Exhaustive dengan peristiwa lain
pada ruang sampel yang sama
A
B
1
B
2
B
3 B
i

28. Gambar 9. Pengurangan ruang sampel jika A sudah terjadi
Probabilitas A dapat dihitung dengan :Probabilitas A dapat dihitung dengan :
. . . . . . . .. . . . . . . . . .((1414))
   
i
n
1i
i
n
1i
i BPBAPBAPAP  

AB
2
AB
1
AB
3
AB
i

29. Misalkan n = 4, maka kalau diilustrasikan dalam gambar diatas A terdiri
dari A  B1, A  B2, A  B3, dan A  B4, maka

= P(AB1)+ P(AB2)+ P(AB3)+ P(AB4)
= P(AB1)P(B1) + P(AB2)P(B2) +
P(AB3)P(B3) + P(AB4)P(B4)
   
i
n
1i
i
n
1i
i BPBAPBAPAP  


30. Jika diasumsikan peristiwa A telah terjadi, bagaimana cara
menentukan probabilitas masing-masing peristiwa Bi juga terjadi?
Jika A telah terjadi maka ruang sampel menjadi berkurang seperti
pada gambar 1.3.6, maka
 


 


....(15)..........
BAP BP
BAP BP
ABP
BAP BP
AP
ABP
ABP
n
1j
ii
ii
n
1j
i
iii
i








31. Contoh 1.3.7
Weather forecasting information is sent using one of four routes. Let Ri
denote the event that route “i” is used for sending a message (i=1,2,3,4).
The probabilities of using the four routes are 0.1, 0.2, 0.3, and 0.4
respectively. Further, it is known that the probabilities of an error being
introduced while transmitting messages are 0.10, 0.15, 0.20, and 0.25 for
routes 1,2,3 and 4, respectively. In sending a message an error occured.
We now want to compute the probability that route 2 was used for
transmission.
A
R
1
R
2
R
3 R
4
Gambar 10.

32. If the event of an erroneous message is denote by E, we have the
following conditional probabilities :
P (R
1) =0.1, P (R
2) =0.2,
P (R
3) =0.3, P (R
4) =0.4,
P( ER
1) = 0.10, P( ER
2) = 0.15,
P( ER
3)=0.20, P( ER
4) = 0.25
P(R
2 E) = ?
( gunakan rumus ’15’ untuk menyelesaikan soal ini )
 
i
4
1j
i RE P RP E P


= 0.1 x 0.10 + 0.2 x 0.15 + 0.3x0.20 + 0.4x0.25
= 0.01 + 0.03 + 0.06 + 0.1 = 0.2

33. Tabel Aplikasi Formula Bayes
 


0.15
0.20
0.03
0.2
0.15 x 0.2

0.2
REP RP
EP
ERP
ERP
222
2




iP (R
i) P( ER
i) P (R
i) P( ER
i) P(R
iE)
1 0.1 0.1 0.01 0.01/0.20=0.05
2 0.2 0.15 0.03 0.03/0.20=0.15
3 0.3 0.2 0.06 0.06/0.20=0.30
4 0.4 0.25 0.10 0.10/0.20=0.50
1.0 0. 20 = P(E) 1.00

34. TEKNIK ENUMERASI ( PENCACAHAN)
Tujuannya untuk memudahkan dalam menentukan probabilitas
peristiwa-peristiwa majemuk yang kompleks.
Pohon Probabilitas
Alat bantu grafis untuk menyederhanakan dalam penyelesaikan
eksperimen probabilitas yg diulang-ulang yg menjadi sangat rumit.
Misalkan pada tahap I ada 2 buah peristiwa terjadi
(A
1dan A
2), yg selanjutnya tahap II terdapat 3 buah peristiwa ( B
1, B
2,
dan B
3)
Untuk memudahkan penyelesaiannya dapat digambarkan pohon
probabilitas sbb:

35. Maka akan didapat :
P (A
1  B
1) = P(A
1)  P (B
1A
1)
P (A
1  B
2) = P(A
1)  P (B
2A
1)
P (A
1
 B
3
) = P(A
1
)  P (B
3
A
1
) . . . . . dst
A
1
A
2
P(A
1)
P(A
2)
B
1
B
2
B
1
B
3
B
2
B
3
P(B
1
A
1
)
P(B
2A
1)
P(B
3
A1)
P(B
1A
2)
P(A
1  B
1)
P(B
2A
2)
P(B
3A
2)
P(A
1  B
2)
P(A
1  B
3)
P(A
2  B
1)
P(A
2  B
2)
P(A
2
 B
3
)

36. Contoh 1.4.1
Menurut data penerbangan sistem navigasi processor pengindra posisi
(yang merupakan bagian dari sistem navigasi suatu pesawat udara) gagal
berfungsi sekali dalam setiap dua ratus penerbangan, sehingga perlu
diadakan pengujian. Hasil tes menunjukkan bahwa saat sistem navigasi
gagal berfungsi, 90% disebabkan kerusakan processor pengidera posisi
dan 10% oleh sebab lain. Sementara itu saat sistem navigasi berfungsi
baik, 99% processor pengindra posisi dalam kondisi baik dan hanya 1 %
sistem navigasi tetap berfungsi dengan processor yang rusak. Dengan
asumsi,
A1= sistem navigasi gagal berfungsi,
A2= sistem navigasi berfungsi baik,
B1= processor rusak,
B2= processor baik, maka pohon probabilitas peristiwa-peristiwa
tsb, dapat digambar sbb.:

37. A
1
A
2
P(A
1)
= 1/200
P(A
2)
= 199/200
B
1
B
1
B
2
B
2
P(B
1
A
1
) =90/100
P(B
2
A
1
)=10/100
P(B
1A
2)=1/100
P(A
1
B
1
)=9/2000=0,0045
P(B
2
A
2
)= 99/100
P(A
1B
2)=1/2000=0,0005
P(A
2
B
1
)=199/20000=0,00995
P(A
2
B
2
)=19701/20000=0,98505

38. Jika suatu ketika, dalam sebuah penerbangan, processor utama dalam
rangkaian elektronika pengindra posisi rusak, maka probabilitas sistem
navigasi gagal berfungsi 
 

 
0.31142
0.009950.0045
0.0045

)BP(A)BP(A
BAP
BP
BAP
BAP
1211
11
1
11
11









39. Analisis Kombinatorial
Prinsip Dasar
Jika suatu peristiwa dapat terjadi dengan salah satu dari n
1
cara
berlainan dan apabila masing-masing cara bisa terjadi dengan n
2
cara
yg berlainan pula, maka banyaknya cara yang mungkin bagi
peristiwa tsb untuk bisa terjadi adalah n
1
n
2
.
Permutasi
Suatu permutasi dari n obyek yang berbeda dimana pada setiap
pemilihan diambil sebanyak ‘r’ obyek dari ‘n’ obyek tsb, dengan
memperhatikan susunannya, didefinisikan sebagai :
dengan, n! = n (n-1)(n-2)

! rn
n!
PP rn, PP
n
rrn,rn



40. Kombinasi
Suatu kombinasi dari ‘n’ obyek yg berbeda dimana pada setiap
pemilihan diambil sebanyak ‘r’ obyek adalah suatu cara penyusunan r
obyek dari n obyek tsb tanpa memperhatikan susunannya, didefinisikan
:
Contoh 1.4.2 :
10 buah katup akan digunakan dalam sebuah sistem perpipaan. Namun
diketahui 3 diantaranya rusak. Kemudian secara acak dipilih 3 katup
dari 10 katup tsb, shg probabilitas bahwa yg terpilih sekurang-
kurangnya 2 katup rusak dapat dihitung sbb.

! rn r!
n!
CCrn, CC
n
rrn,rn



41. Banyaknya seluruh cara memilih 3 katup dari 10 katup yg ada (urutan
tidak diperhatikankombinasi) merupakan ukuran sampel :

Jika :
Peristiwa A = {terpilih sekurang-kurangnya 2 katup rusak} 
peristiwa B = {terpilih 3 katup rusak dan 0 katup baik} atau C =
{terpilih 2 katup rusak 1 katup baik}
Maka :
banyaknya cara memilih 3 katup rusak dan 0 katup baik  memilih 3
katup dari 3 katup yg rusak dan 0 katup dari 7 katup yg baik
merupakan banyaknya peristiwa B :

cara 120
3!7!
10!
! 310 3!
10!
C n(S)
310 



42. 

cara 21
1!6!
7!

2!1!
3!

! 1)(7 1!
7!

! 23 2!
3!
C Cn(C)
1723


































cara 1
7!
7!

3!
3!

0)!(7 0!
7!

! 333!
3!
CCn(B)
0733
































banyaknya cara memilih 2 katup rusak dan 1 katup baik  memilih 3
katup yg rusak dan 1 katup dari 7 katup yg baik merupakan banyaknya
peristiwa C :

43. Sehingga probabilitas yg terpilih sekurang-kurangnya 2 katup
rusak adalah :

60
11
120
22
120
21
120
1
n(S)
n(C)
n(S)
n(B)

P(C)P(B)C)P(BP(A)
exclusive)(mutually 0C)P(B
C)P(BP(C)P(B)
C)(B PP(A)






44. Contoh Soal-soal
1.Sebuah kota dengan 800.000 jumlah kendaraan yang terdaftar,
merencanakan mengubah plat nomornya yang berisi 6 (enam) simbol,
4 (empat) pertama dengan huruf dan 2 (dua) terakhir dengan angka.
Menurut anda apakah rencana tersebut dapat terlaksana?
2.Sebuah perusahaan kargo mempunyai sebuah kontrak untuk mengirim
barang dengan kapal dari kota W ke kota Z, namun tidak ada rute yang
langsung, tetapi ada 6 (enam) jalan dari W ke X, dan 5(lima) jalan dari
X ke Z. Berapa banyak rute yang dapat anda perkirakan?

45. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa diharapkan mampu :
Mengidentifikasi dan membedakan variabel acak diskrit dan kontinyu.
Memahami dan menggunakan konsep-konsep distribusi probabilitas diskrit,
fungsi probabilitas, dan fungsi distribusi kumulatif variabel diskrit.
Memahami dan menggunakan konsep-konsep distribusi probabilitas kontinyu,
fungsi kepadatan probabilitas, dan fungsi distribusi kumulatif variabel
kontinyu.
Memahami dan menggunakan distribusi probabilitas dengan parameter.
Memahami dan menggunakan konsep nilai harapan ( harapan matematik ).
DDISTRIBUSIISTRIBUSI PROBABILITAS PROBABILITAS

46. Pokok Bahasan :
Variabel Acak
Distribusi Probabilitas Diskrit
Distribusi Probabilitas Kontinyu
Nilai Harapan ( Harapan matematik)
Soal-soal Latihan

47. VARIABEL ACAK  simbol X

EKSPERIMEN
PROBABILITAS
KELUARAN

• NILAI NUMERIK
(angka/bilangan)
• CACAHAN/HITUNGAN
• HASIL PENGUKURAN
variabel acak ( random variabel )
( “X”)
Dapat bernilai angka berapapun
tergantung keluaran yg mungkin dihasilkan
dari eksperimen
“kemungkinan keluaran yg acak”
variabel yg memiliki sebuah
nilai numerik tunggal
untuk setiap keluaran dari
sebuah eksperimen probabilitas

48. VARIABEL ACAK
DISKRIT : variabel acak yang memiliki
nilai yang dapat dicacah
(countable)
Contoh :
• jumlah hari-hari absen pekerja
di suatu perusahaan selama 1 th/bln,
Xi ={0,2,1,5,7,3,0,0,3,1,4,1}
• produksi telur ayam per bulan perinduk
KONTINYU : memiliki nilai yang
tak terhingga banyaknya
sepanjang sebuah interval
yg tidak terputus/tak dpt
dicacah(uncountable)
Contoh :
• mengukur besarnya debit di suatu sungai
pada kurun waktu tertentu,
• mengukur tinggi muka air waduk setiap
hari

49. DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT
Fungsi Probabilitas
P(X = x) = p(x)  probabilitas X menyandang nilai x
dengan syarat :a. 0 < p(x) < 1
b.  p(x) = 1
Contoh :
Eksperimen melempar sepasang dadu, maka hasil yang mungkin :
1,1 1,21,31,41,51,6
2,1 2,22,32,42,52,6
3,1 3,2 3,33,43,53,6
4,1 4,24,34,44,54,6
5,1 5,25,35,45,55,6
6,1 6,26,36,46,56,6

50. X = variebel acak diskrit yang menyatakan jumlah mata dadu yang
mungkin muncul 
X = { 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
Distribusi probabilitas untuk masing-masing nilai variabel X membentuk
fungsi probabilitas sbb.:
P(X=2) = p(2) = 1/36 P(X=8) = p(8) = 5/36
P(X=3) = p(3) = 2/36 P(X=9) = p(9) = 4/36
P(X=4) = p(4) = 3/36 P(X=5) = p(5) = 4/36
P(X=10) = p(10) = 3/36 P(X=6) = p(6) = 5/36
P(X=11) = p(11) = 2/36 P(X=7) = p(7) = 6/36
P(X=12) = p(12) = 1/36

51. Tabel Distribusi Probabilitas
x 2 3 4 5 6 7 8 9101112
P( X = x )1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36
Grafik Batang Fungsi Probabilitas
0
1/50
1/25
3/50
2/25
1/10
3/25
7/50
4/25
9/50
23456789101112
x
p( x )

52. Fungsi Distribusi Kumulatif
  adalah jumlah
dari seluruh nilai X  x.

Cdf sering ditampilkan dalam bentuk grafik tangga
Contoh :
  


xξ
ξp xXP xF
 
 
  .......dst
36
5
36
3
36
2
36
1
4p3p2pxp4F
36
3
36
2
36
1
3p2pxp3F
36
1
2pxp2F
4x
3x
2x










53. Grafik Tangga Fungsi Probabilitas Kumulatif
1
/
3
6
1
/
1
2
1
/
6
5
/
1
8 5
/
1
2
7
/
1
2
1
3
/
1
8 5
/
6
1
1
/
1
2
3
5
/
3
6
1
0
9/50
9/25
27/50
18/25
9/10
1 2/25
23456789101112
x
F(x)

54. Dua ukuran penting yang mewakili ukuran pemusatan dan ukuran
penyebaran yg paling banyak digunakan
Mean distribusi :
= (2)(1/36)+(3)(2/36)+(4)(2/36)+...+(11)(2/36)+(12)
(1/36)
= 7
Varians dari distribusi :

= (2-7)
2
(1/36)+(3-7)
2
(2/36)+...... +(12-7)
2
(1/36)
= 5,83



n
1i
iix xpxμ
 
i
2
n
1i
xi
2
x xpμxσ



55. DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINYU
Fungsi Kepadatan Probabilitas
atau secara umum probabilitas sebuah variabel acak kontinyu X
mengambil nilai pada suatu interval antara x dan x+dx, ditulis
secara matematis :
dengan syarat :
1.Fungsi kepadatan probabilitas (pdf) : f(x)  0 (non-negatif)
2.Integral
(luas total daerah di bawah kurva F(x) =1)
   dx x fbxa pbXa P
b
a

  dx x fdxxXx P 

1dx x f 



56. Fungsi kepadatan Probabilitas (pdf)
x
P(X)
ba
pdf,(f(x)
P(aXb)=
a
b
f(x)dx

57. Contoh 1.
Dalam suatu proses obat-obatan , suatu bahan kimia harus dipanaskan
dalam oven dulu sebelum diproses lebih lanjut.Oven dapat dipergunakan
setiap selang waktu 5 menit. Namun karena variasi waktu dalam
persiapannya, bahan kimia tsb tidak selalu tersedia pada saat yg bersamaan
dg saat oven siap dipakai. Jadi jika terlambat bahan kimia tsb harus
menunggu sampai waktu oven siap kembali digunakan. Jika X variebel
acak kontinyu yg menyatakan waktu tunggu bahan kimia sampai bisa
dipanaskan dalam oven, maka himpunan nilai X yg mungkin adalah
X={0x5}.Salah satu fungsi kepadatan probabilitas (pdf) bagi X adalah
:

1/5 0x5
f(x) =
0 yg lain

58. Grafik dari pdf di atas ditunjukkan pada gambar di bawah. Dari grafik
jelas bahwa f(x)  0 dan luas di bawah kurvanya adalah (5)(1/5) = 1
Probabilitas waktu tunggu bahan kimia selama 1-3 menit adalah :
Probabilitas waktu tunggu bahan kimia tsb lebih dari 3,5 menit adalah :
5
2
5
x
dx
5
1
f(x)dx3)XP(1
3x
1x
3
1
3
1










 
10
3
5
x
dx
5
1
f(x)dxX)P(3,5
5x
5,3x3,5
5
3,5











 
f(x)
1/5
f(x)
1/5
0 51 3
1 5
X X
Gambar : Fungsi kepadatan probabilitas (pdf )
 dx
3
1
xf3X1 P 

59. Fungsi Distribusi Kumulatif
Untuk setiap fungsi kepadatan probabilitas f(x) terdapat sebuah fungsi
terkait
Hubungan secara geometris antara grafik F(x) dan f(x) dapat dilihat
pada gambar berikut,
Hubungan pdf dan cdf
f(x)
F(c) - F(b)
a bc
F(a)
f(x)

60. F(a)
cb
F(x)
F(c)
F(b)
1
a
F(x
x
    F(b)F(c)dt t f-dt t fcxb P
bc
 


61. NILAI HARAPAN (HARAPAN MATEMATIK)
Untuk variabel diskrit
Untuk variabel kontinyu
Varians :



n
1i
iixp xE(X)
dx xfx E(X)

 
222
x XEXEσ 

62. Contoh 2.
Misalkan pdf dari besarnya beban dinamik X pada sebuah jembatan
(dalam kN) dinyatakan sebagai fungsi :
Maka untuk sembarang nilai x antara 0 dan 2, fungsi distribusi
kumulatif (cdf) beban dinamik tsb adalah :








lain yang 0
2x0 x
8
3
8
1
f(X)
2
x
0
2
x x
0
x
16
3
x
8
1
t
16
3
t
8
1
dt t
8
3
8
1
f(t)dt F(x) 












 


63. 










x2 1
2x0 x
16
3
x
8
1
0 x 0
F(x)
2
Jadi :
Probabilitas beban dinamik pada jembatan antara 1 sampai
1,5 kN adalah :
0,297
64
19

(1)
16
3
(1)
8
1
(1,5)
16
3
(1,5)
8
1

F(1)F(1,5)1,5)xP(1
12
















64. Dua ukuran penting yang mewakili ukuran pemusatan dan ukuran
penyebaran yg paling banyak digunakan
 Mean Distribusi :
 Varians dari distribusi :
f(x)
7/8
1/8
0 1 2
x
1,5
F(x)
F(1,5)
F(1)
0 1 21,5
x
Gambar : Hubungan pdf dengan cdf
dx x f .x μ

 dx xf μ-xσ
2
x
2
x


65. HISTOGRAM DISTRIBUSI PROBABILITAS
Histogram distribusi frekuensi histogram distribusi probabilitas, yang
perlu diperhatikan : ketinggian sebuah batang histogram merupakan nilai
fungsi kepadatan probabilitas untuk seluruh nilai variabel acak sepanjang
interval yg diwakili batang tsb ( luas dari sebuah batang histogram
merupakan nilai fungsi probabilitas dari variabel acak antara batas-batas
kelasnya)
dengan :
X
lb
= batas bawah nyata (lower boundary) interfal kelas
X
ub
= batas atas nyata (upper boundary) interfal kelas
 
 
lbub
ublb
ublb
xx
xxxp
xxxHistogram Tinggi




66. Tabel 1. Data mentah hasil pengujian breaking stress dari 100
specimen suatu logam X (kN/m2)
1171118612641205131614371185115013381290
1042111011921196140611611492117012581152
1218118112731020104211361233115812331312
114110401217117512731163123593112701246
1298118510511218130310551081116213331285
108311971146123192313931302124913681327
1225109510511250102111521482102813411106
939112412001058144910941254116011411062
107710651141141610551399924136112161289
1275146411331208131412091146127411561090

67. Setelah disusun menjadi data dg urutan menaik (ascending) dg
menggunakan program spreadsheet Microsoft Excel :
923105110901141116211961225126413021368
924105110941146116311971231127013031393
931105510951146117012001233127313121399
939105511061150117112051233127313141406
1020105811101152117512081235127413161416
1021106211241152118112091246127513271437
1028106511331156118512161249128513331449
1040107711361158118512171250128913381464
1042108111411160118612181254129013411482
1042108311411161119212181258129813611492

68. Tabel Perhitungan Distribusi Frekuensi
No.
Breaking Stress Jumlah Persentase
(kN/m
2
) (f) ( f/n x 100%)
1 900 - 999 4 4%
2 1000 -1099 19 19%
3 1100 - 1199 29 29%
4 1200 - 1299 28 28%
5 1300 - 1399 13 13%
6 1400 - 1499 7 7%
  Total N 100 100%

69. Tabel Hasil Perhitungan Tinggi Histogram Probabilitas
No.
Breaking StressJumlah ProbabilitasTinggi Histogram
(kN/m
2
) (f)p(x
lb
x x
ub
)h(x
lb
x x
ub
)
1 900 - 999 4 0.04 0.0004
2 1000 -1099 19 0.19 0.0019
3 1100 - 1199 29 0.29 0.0029
4 1200 - 1299 28 0.28 0.0028
5 1300 - 1399 13 0.13 0.0013
6 1400 - 1499 7 0.07 0.0007
  Total N 100 1  

70. Histogram Distribusi Probabilitas
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
0.0025
0.003
0.0035
900 - 9991000 -10991100 - 11991200 - 12991300 - 13991400 - 1499
Breaking Stress (kN/m2)
h
(
x
)

71. NILAI HARAPAN (HARAPAN MATEMATIK)
Untuk variabel diskrit
Untuk variabel kontinyu
Varians :



n
1i
iixp xE(X)
dx xfx E(X)

 
222
x XEXEσ 

72. Contoh 3
Pemakaian suatu alat berat, misal excavator yg berjalan lancar (tanpa
kerusakan)memberi keuntungan Rp.5.000.000,-, sedangkan jika ada
gangguan ringan memberikan keuntungan Rp.1.000.000,-dan apabila
kerusakan yg terjadi dalam kategori berat maka akan memberikan kerugian
Rp.2.000.000,-.
Berdasarkan pengalaman diketahui probabilitas alat berjalan normal = 0,6,
dengan gangguan ringan = 0,3 dan gangguan berat = 0,1. Berapakan
harapan keuntungan pengusaha sesuai kondisi tsb.
Penyelesaian :
X = variabel acak diskrit yg merupakan keuntungan (dlm juta) dg nilai x1 =
5, x2 =1 dan x3 = - 2, dg probabilitas p(x1) = 0,6; px2) = 0,3 dan p(x3) =
0,1 

   
3,12)(0,1)((1)(0,3)(5)(0,6)
xpxxpxxpxxp xE(X)
332211
3
1i
ii




73. SOAL - SOAL LATIHAN

74. 1.A pipe system has four valves as shown in figure below. The
probability that any valve is open equals 0,10. We want to
determine the probability that a flow is possible ( event F).
The four valves are numbered 1,2,3 and 4. Let Vi denote the
event that valve i is open (I =1,2,3,4). It is given that
P(Vi)=0.1 for all i.

75. 2.Kecepatan angin di suatu lokasi terdistribusi secara seragam pada
interval (0, 2a), dengan persamaan fungsi densitas sebagai berikut,


 σ bakunyasimpangan dan μ ratarata Hitung d.
2
a
xax Puntuk Bersyarat Peluang Hitung c.
tsbfungsi kumulatif distribusisketlah dan Tentukan b.
2
a
x Pdan ax P a.:Tentukan
lainnya yanguntuk x 0
2ax0untuk ,
2a
1
xf












76. 2
1
222a
2a
2a
x
dx
2a
1
f(x)dxa)P(x
2x
ax
2a
a
2a
a










 
a
a
a
a
a
Jawaban :
a.1.
2.
b.
4
3
2
2/
2a
2a
2a
x
dx
2a
1
f(x)dx)
2
a
P(x
2x
a/2x
2a
a/2
2a
a/2










 
a
a
a

77. 2a
x
t
2a
1
dt
2a
1
f(t)dt F(x)
x
0
x x
0













 

untuk 0 < x < 2a
0 a/2 a 3/2a 2a
0 a/2 a 3/2a 2a

78. i P (M
i) P( AR
i) P (M
i) P( AR
i) P(M
iA)
1 0.2 0.4
2 0.1 0.3
3 0.5 0.2
4 0.2 0.3

79. 4.Perhatikan diagram dari sebuah sistem elektronik, yg menunjukkan
probabilita sistem operasi komponen secara wajar. Berapakah
probabilita bahwa seluruh sistem itu beroperasi jika pemasangan III dan
paling sedikit satu dari komponen pasangan I dan II harus beroperasi
untuk pemasangan? Anggaplah bahwa komponen setiap pasangan
beroperasi secara bebas dan pasangan-pasangan itu bekerja sendiri-
sendiri.
0.8
0.9
0.9
0.9
0.8
0.95
I II III

80. No.x 0 1 2 3 4
ip(x)0,30,20,10,150,15
iip(x)0,40,10,10,10,3
iiip(x)0,40,10,30,10,2
b)Untuk fungsi p(x) yang memenuhi syarat sebagai fungsi
probabilitas hitunglah :
1.P(2  x  4),
2.P(x  2) dan P(x  0)
3.P(x  3 X> 1)

81. 6.Sebuah agen persewaan alat berat mempunyai 0, 1, 2, 3, 4 dan 5
alat berat yg kembali setiap harinya dg probabilita
1
/
6
,
1
/
6
,
1
/
3
,
1
/
12
,
1
/
6

dan
1
/
12
. Tentukan :
a)P(x≥3)
b)rata-rata dan varian jumlah alat berat tsb yg kembali.
7.The probability of receiving more than 1”(inc) of rain in each month is
given in the following table :
If a monthly rainfall record selected at a random is found to have
more than 1” of rain, what is the probability the record is for July?
April?
MonthP(R
i
 r >1”)MonthP(R
i
 r >1”)MonthP(R
i
 r >1”)
Jan 0.25 May 0.20 Sept 0.05
Feb 0.30 Jun 0.10 Oct 0.05
Mar 0.35 Jul 0.05 Nov 0.10
Apr 0.40 Aug 0.05 Dec 0.20
X 0 1 2 3 4 5
P(x) 1/6 1/6 1/3 1/121/6 1/12

82. 8.Jumlah bulan yang dibutuhkan untuk menyelesaikan suatu
proyek konstruksi tertentu dinotasikan dengan X dan dianggap
sebuah variabel random dengan distribusi sbb :
p(x)= 0.2 x = 10
= 0.3 x = 11
= 0.3 x = 12
= 0.1 x = 13
= 0.1 x = 14
= 0 lainnya
a)Hitung P(x>12)
b)Hitung P(11<x<13)
c)Hitung probabilitas bersyarat P(x>11  x<13)
d)Hitung P(x<11 dan x>13)
e)Hitung P(x<11 atau x>13)
f)Hitung rata-rata dan standar deviasinya

83. 9.Misalkan pada suatu pengukuran tinggi muka air waduk
dapat dinyatakan dalam sebuah variabel acak kontinyu X
dengan fungsi kepadatan probabilitas (pdf) :
ax
2
0  x  5
f(x) =
0 yg lain
 
a)Buat sketsa grafik f(x)
b)Hitung ‘a’
c)Hitung P(1 X  3 )
d)Hitung P(X  4 atau X ≥3)
e)Hitung probabilitas bersyarat (P ≥ 2  P  4)

84. 1dx ax
5
0
2


85. X 900 - 9991000-10991100-11991200-12991300-13991400-1499
P(x) 0.04 0.19 0.29 0.28 0.13 0.07
a)Hitung P(x>999)
b)Hitung P(1000<x<1300)
c)Hitung probabilitas bersyarat P(x>1099 x<1300)
d)Hitung P(x<1400 dan x>1199)