Problema con gauss

Resolución de un problema con ecuaciones por el método de Gauss

1. Resolución de sistemas
Método de Gauss

2. En un juego participan tres jugadores. En cada
partida habrá un perdedor y dos ganadores, y
el primero dará a los otros tanto dinero como
éstos tengan en ese momento. Transcurridas
tres partidas, todos los jugadores han perdido
una vez y cada uno tiene en su poder 200
euros. ¿Qué dinero tenían al principio?

3. RESOLUCIÓN
Supongamos que el dinero que tenían al principio era
•Jugador que pierde la primera partida
•Jugador que pierde la segunda partida
•Jugador que pierde la tercera partida
x
y
z

4. Después de la
1ª partida
Después de la
2ª partida
Después de la
3ª partida
Jugador 1x x–y –z 2x –2y –2z 4x –4y –4z
Jugador 2y 2y 2y–[x –y –z + 2z] =
= 3y –x –z
6y –2x–2z
Jugador 3z 2z 4z 4z –[2x –2y –2z + 3y–x –z] =
= –x –y + 7z2007
200262
200444



zyx
zyx
zyx
El sistema que hemos de resolver es:
Simplificamos el
sistema2007
1003
50



zyx
zyx
zyx
Disponemos los datos en una tabla

5. El método de Gauss es el método de reducción
para un sistema con cualquier número de
ecuaciones.
Lo resolvemos utilizando el método de Gauss
Dado un sistema de ecuaciones el método
consiste en encontrar otro sistema equivalente
haciendo ceros entre los coeficientes de las
incógnitas.

6. Las siguientes transformaciones realizadas en un sistema dan lugar a
otro equivalente:
•Cambiar de orden las ecuaciones de un sistema.
•Cambiar de orden las incógnitas.
•Multiplicar o dividir una ecuación por un número distinto de 0
•Despejar una incógnita y sustituirla en las demás ecuaciones.
•Suprimir o añadir una ecuación que sea combinación lineal de
las demás.
•Sustituir una ecuación por otra que sea combinación de ella y las
restantes siempre que el número por el que se multiplique dicha
ecuación sea distinto de 0.

7. 












200
100
50
711
131
111 II + I
III + I












250
150
50
620
220
111
III + II











400
150
50
400
220
111
II /2
III /4











100
75
50
100
110
111 2007
1003
50



zyx
zyx
zyx
Usaremos matrices y haremos
ceros los coeficientes que están
debajo de la diagonal principal

8. Volvemos a escribir el sistema con sus incógnitas100
75
50



z
zy
zyx
Ya tenemos despejada z.
Sustituimos este valor en la segunda
ecuación175
75100


y
y
Sustituimos los valores de yyzen la primera ecuación
para obtener x325
50100175


x
x

9. Así pues el primer jugador tenía 325
euros, el segundo tenía 175 euros y
el tercero 100 euros