Problemas Diagramas de Venn PDF.pdf

conjuntos

1. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 36 de 167

∴ B = { 0 , 1 }

C
A
B = A – B = { -2, -1, +2 }

4. Si: A = { x ∈ N/ x > 4 → x = 6 }
B = { x ∈ N/ x > 0 ∧ x <
5 }
C = { x ∈ Z/
∼ [ x > 1 → x
2
≠ 4x – 3 ] }

Determinar: M = (A ∩ B) – (B ∩ C)

Solución
:

Para A : x > 4 → x = 6
x <
4 ∨ x = 6
A = { 1, 2, 3, 4, 6 }
Para B : x > 0 ∧ x < 5
B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Para C :
∼ [ x > 1 → x
2
≠ 4x – 3 ]
x > 1 ∧ → x
2
= 4x – 3
x > 1 ∧ (x – 3) (x – 1) = 0
x > 1 ∧ (x = 3 ∧ x = 1)
C = { 3 }

M = (A ∩ B) – (B ∩ C)
M = { 1, 2, 3, 4 } – { 3 }
M = { 1, 2, 4}

5. De una encuesta hecha a 135 personas para establecer preferencias de lectura de las
revistas A, B y C; se obtienen los siguient es resultados: Todos leen alguna de las 3
revistas; todos, menos 40, leen A; 15 leen A y B pero no C, 6 leen B y C pero no A; 10 leen
sólo C. El número de los que leen A y C es el doble del número de los que leen las 3
revistas. El número de los que leen sólo B es el mismo que el total de los que leen A y C.
Según todo esto, hallar el número de los que leen solamente A.

Solución
:










n (A) = 95
n (A ∩ B – C) = 15
n (B ∩ C – A) = 6
n (C – (A ∪ B) ) = 10


y + 15 + 2x = 95
y + 2x = 80


- y + 2x = 80 4x + y + 31 = 135
+ y + 4x = 104
4x + y = 104
2x = 24
x = 12

y = 56

A B y 15 2x

x
6

10

C

2. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 37 de 167

6. Si: A = {2 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 }
B= { 1; 2 ; 4 ; 7 ; 9}

Hallar: (A∪B) – (A – B)

Solución
:

A∪B = { 2;4;5;6;8} ∪ {1;2;4;7;9}
Æ {1;2;4;5;6;7;8;9}

A – B = {2;4;5;6;8} – {1;2;4;7;9}
Æ {5;6;8}

Nos piden:
{1;2;4;5;6;7;8;9} – {5;6;8}

∴{1;2;4;7;9}

7. Dados:
A = { x ∈ Z/x
2
– 3x + 2 = 0}
B = { x ∈ Z/x
2
– 5x + 6 = 0}

Hallar: n (A ∆ B)

Solución
:

Con “A”: Con “B”:
x
2
–3x + 2 = 0 x
2
–5x + 6 = 0
x Æ -2 x = 2 x Æ -3 x = 3
x Æ -1 x = 1 x Æ -2 x = 2

A = {1;2} B = {2;3}

Nos piden: n (A ∆ B)

Luego: [ {1;2} ∪ {2;3}] – [ {1;2}
∩ {2;3} ]
{1;2;3} – {2}
{1;3}

Entonces: n(A ∆ B) = 2

8. A una reunión donde asisten 50 personas:
- 5 mujeres tienen 17 años
- 14 mujeres no tienen 19 años
- 16 mujeres no tienen 17 años
- 10 hombres no tienen ni 17 ni 19años.

¿Cuántos hombres no tienen 17 ó 19 años?

Solución
:

Graficando convenientemente con los datos:

V = 50

19 10
5 7 9

tienen tienen no tienen
17 años 19 años ni 17 ni 19

Nos piden: 19

H

M

3. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 38 de 167

9. Expresar el conjunto: A = {36;45;54;63;72} por comprensión.

Solución:

Buscando el término general

36 = 9 (2
2
+ 0)
45 = 9 (2
2
+ 1)
54 = 9 (2
2
+ 2) 9 (2
2
+ n), donde:
63 = 9 (2
2
+ 3) 0 <
n < 4 n ∈ Z
72 = 9 (2
2
+ 4)

A = {x/x = 9 (2
2
+ n); 0 <
n < 4; n ∈ Z}

10. Sean los conjuntos:

A = {a ∈ Z/a = (-1)
n
, n ∈ Z}
B = {b ∈ Z/b
2
= (b-3)
2
-3}
C = {C ∈ Z/ 3C
+ 3 = 2C + 7/2 }
2
Entonces es cierto:

A) B = C B) A = B ∪ C C) A = B ∩ C
D) A = C E) B – A = A – C

Solución
:

• Con “A”: n = par ∧ n = impar
Æ A = {1;-1}
• Con “B”:
b
2
= b
2
– 6b + 9 – 3 Æ b = 1
• Con “C”:
3C
- 2C = 7/2 – 3 Æ C = -1
2
Æ C = {-1}

Se cumple que: A = B ∪ C

11. En un avión viajan 120 personas, de las cuales:
- Los 2/3 de ellas no beben.
- Los 4/5 de ellas no fuman.
- 72 no fuman ni beben.

¿Cuántas personas fuman y beben o no fuman ni beben?

Solución:

No beben: 2/3 (120) = 80
No fuman: 4/5 (120) = 96


U = 120



Fuman Beben

a b c


72


Con los datos:
• a + 72 = 80 Æ a = 8
• c + 72 = 96 Æ c = 24

4. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 39 de 167
De la figura:
8 + b + 24 + 72 = 120
b = 16

Nos piden: 16 + 72 = 88


12. De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso de sociología y 53 no siguen el curso
de filosofía. Si 27 alumnos nos siguen filosofía ni sociología, ¿cuántos alumnos llevan sólo
uno de tales cursos?

Solución
:

S F


x z y


27

Datos:
• x + z = 49 = 100 Æ x + z = 51 (1)
• y + z + 53 = 100 Æ y + z = 47 (2)

Sumando (1) y (2):
x + y + z + z = 98

100 – 27 + z = 90 Æ z = 25

x + y + 25 = 100 – 27
∴ x + y = 48


13. Determinar por extensión:

M = {x ∈ Z / x
3
– 17x
2
+ 71x – 55 = 0 }

Solución
:

Factorizando por Ruffini:

1 -17 71 -55
x
1 = 5 5 -60 55
1 -12 11 0

x
2 = 1 1 -11
1 -11 0

x - 11 = 0 Æ x
3 = 11


Luego: M = {1;5;11]

14. En una población: 50% toma leche, el 40% come carne, además sólo los que comen carne
o sólo los que toman leche son el 54%, ¿cuál es el porcentaje de los que no toman leche
ni comen carne?

Solución
:


L = 50% C = 40%



50-n x 40-n



x

5. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 40 de 167

Dato: (50-n)% + (40-n)% = 54%
36% = 2n Æ n = 18%

Con el total:

(50-18)% + 18% + (40-18)% + x = 100%

De donde: x = 28%

15. En un aula de 35 alumnos, 7 hombres ap robaron aritmética, 6 hombres aprobaron
literatura, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso, hay 16 hombres en total, 5
aprobaron los 2 cursos, 11 aprobaron sólo ar itmética, ¿cuántas mujeres aprobaron sólo
literatura?

Solución
:

Sea:

x = mujeres que aprobaron literatura
y = hombres que aprobaron aritmética y literatura


A

7-y 4+y

y 5-y 8

5 6-y x

L


H = 16 M = 19

De la figura: (4 + y) + (5 – y) + x + 8 = 19

De donde: x = 2

16. De un grupo de 62 trabajadores, 25 laboran en la fábrica A, 33 trabajan en la fábrica B, 40
laboran en la fábrica C y 7 trabajadores están contratados en las tres fábricas.
¿Cuántas personas trabajan en do s de estas fábricas solamente?

Solución
:

Graficando con los datos:

Total = 62

A=25 B=33

A
x y
7
b c

z
C=40

6. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 41 de 167

x + y + z + a + b + c + 7 = 62
(x + y + z) + (a + b + c) = 55 ……………… (1)

x + a + b = 18
y + a + c = 26 +
z + b + c = 33

(x + y + z) + 2 (a + b + c) = 77 …………… (2)

Restando (2) – (1) :
(a + b + c ) = 77 – 55

a + b + c = 22

17. De un grupo de 80 personas:
- 27 leían la revista A, pero no leían la revista B.
- 26 leían la revista B, pero no C.
- 19 leían C pero no A.
- 2 las tres revistas mencionadas.
¿Cuántos preferían otras revistas?

Solución
:
Total = 80

A B

m
a b
2
n p

c
x C


Con los datos:
a + n = 27
b + m = 26 +
c + p = 19
a + b + c + n + m + p = 72 ……………… (1)

De la figura:
a + b + c + n + m + p + 2 + x = 80

72
De donde: 72 + 2 + x = 80
Luego: x = 6

18. En un colegio el 50% de los alumnos aprobó física, el 42% aprobó química y el 56% de
los alumnos aprobó uno y sólo uno de los dos cursos. Además 432 aprobaron física y
química. ¿Cuántos alumnos hay en el colegio?

Solución
:
Total = x

F=50% G=42%


a b c




De los datos: a + b = 50%x
b + c = 42%x
a + c = 56%x

7. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 42 de 167
Sumando las tres relaciones:

2 (a + b + c) = 148% x
a + b + c = 74% x

56% x + b = 74% x
b = 18% x = 432

Luego: 18/100 = 432
∴ x = 2400

19. Una persona come plátano o naranja cada ma ñana durante el mes de marzo, si come
naranja 25 mañanas y plátano 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come plátano y naranjas?

Solución
:

Sea U = {mes de marzo} conjunto universal Æ n(U) = 31
A = {mañanas que come plátano} Æ n(A) = 18
B = {mañanas que come naranja} Æ n(B) = 25

Ubiquemos la información en un diagrama de Venn-Euler.
U
Mañanas que comen p l á t a n o y n a r a n j a s = x
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
31 = 18 – x + 25 – x – x
3x = 43 – 31 = 12 de donde x = 4

∴ 4 mañanas come plátano y naranja.



20. Sean A y B dos conjuntos tales que n(A ∪B) = 24 y n(A – B) = 10, n(B – A) = 6- Hallar
5[n(A)] – 4 [n(B)]


Solución
:

Ubiquemos los datos en un diagrama de Venn-Euler.


Calculando se tiene:

5 [n(A)] – 4 [n(B)] = 5(18) – 4(14) = 90 – 56 = 34





21. En una investigación realizada a un grupo de 100 personas, que estudiaban varios
idiomas fueron los siguientes: Español 28, Al emán 30, Francés 42, Español y Alemán 8,
Español y Francés 10, Alemán y Fr ancés 5 y los tres idiomas 3.

a) ¿Cuántos alumnos no estudiaban idiomas?
b) ¿Cuántos alumnos tenían como francés el único idioma de estudio?

Solución
:

Ilustraremos el problema en un diagrama de Venn-Euler, para facilitar la solución.

En el diagrama se observa que:


n (E∩A∩F) = 3; n(A∩F) = 5
n (E∩F) = 10 ; n(E∩A) = 8
n(F) = 42 ; n(A) = 30
n(E) = 28


A B

18-x x 25-x
A B

10 8 6
A B 13 5 20

3
7 2

30
F

8. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 43 de 167


n(A∩E∩F) = n(A)+n(E) +n(F)– n(A∩E) – n(A∩F) – n(E∩F) + n(A∩E∩F)
= 28 + 30 + 42 – 8 – 10 – 5 + 3 = 80

Por lo tanto:
a) No estudian idiomas = 100 – 80 = 20
b) Solo francés 30

22. En un instituto de investigación trabajan 67 pe rsonas. De estas 47 conocen el inglés, 35 el
alemán y 23 ambos idiomas. ¿Cuántas personas en el instituto no conocen el inglés ni el
alemán?

Solución
:

Para facilitar la solución utilizamos el diagrama de Venn-Euler.

I = inglés, A = alemán

En el diagrama se observa que:
n(I ∩ A) = 23,
n(A) = 35, n(I) = 47
por conocer n(I ∪ A)


Hallaremos n(I’∩A’) = n(I∪A’) = n(U) – n(I∪A) = 67 – n (I∪A) (1)

Además n(I∪A) = n(I) + n(A) – n(I∩A) = 47 + 35 – 23 = 59 (2)

Reemplazando (2) en (1) se tiene:
n(U)–n(I∪A) = 67–n(I∪A) = 67–59 = 8
Por lo tanto 8 personas no conocen el Inglés y Alemán.

23. Sea A un conjunto tal que n(A) = 3 p + q. B es un conjunto tal que n(B) = 2q + 3, y los
dos tienen elementos comunes n (A ∩ B) = p + q – 4. ¿Cuántos elementos tiene A ∆ B?

Solución
:
Debemos de calcular n(A∆B) = ?

n (A∆B) = n [(A∪B) – (A∪B)] = n(A∪B) – n(A∩B)
= n(A) + n(B) – n(A∩B) – n(A∩B)
n (A∆B) = n(A) + n(B) – 2n (A∩B) = (2p+q+2q+3) – 2(p+q– 4)
= 3p + 2q + 12 – 2p – 2q + 8 = p + 20

24. De 120 alumnos de una universidad se obtuvo la información siguiente:

72 alumnos estudian Análisis Matemático.
64 alumnos estudian Biología.
36 alumnos estudian Ciencias Sociales.
12 alumnos estudian las tres asignaturas.

¿Cuántos alumnos estudian exclusivamente dos asignaturas?

Solución
:
Sean: A = {estudiantes de Análisis Matemático}
B = {estudiantes de Biología}
C = {estudiantes de Ciencias Sociales}
Ilustraremos mediante el diagrama de Venn-Euler. Las variables x,y,z representan a los
estudiantes que estudian exclusivamente dos asignaturas.

A B

x
a b
12
y z

c

I A

24 23 12

9. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 44 de 167
C

Las variables a, b, c representan los estudiantes de una sola asignatura, de acuerdo a los datos del
problema se tiene:

a + x + y + 12 = 72
b + x + z + 12 = 64
c + y + z + 12 = 36
(a + b + c) + 2 (x + y + z) = 136 ……… (1)

Como son 120 alumnos, del diagrama se tiene:
a + b + c + x + y + z +12 = 120

De donde: (a + b + c) + (x + y + z) = 108 ……… (2)

Ahora al restar (2) de (1) se tiene:
x + y + z = 136 – 108 = 28

Por lo tanto, los estudiantes que estudian exclusivamente dos asignaturas son 28.

25. En una ciudad de 10,000 habitantes adultos el 70% de los adultos escuchan radio, el 40%
leen los periódicos y el 10% ven televisión, entre los que escuchan radio el 30% lee los
periódicos y el 4% ven televisión, el 90% de los que ven televisión, lee los periódicos, y
solo el 2% de la población total adultos lee los periódicos, ven televisión y escuchan radio
se pide:

a) Cuantos habitantes no escuchan radio, no lee periódicos ni ven televisión.
b) Cuantos habitantes leen periódicos solamente.

Solución
:

Consideremos los siguientes conjuntos:
A = {conjunto de personas que escuchan radio}
B = {conjunto de personas que leen periódicos}
C = {conjunto de personas que ven televisión}

Personas que escuchan radio 70% de 10,000 es 7,000
Personas que leen periódicos 40% de 10,000 es 4,000
Personas que ven televisión 10% de 10,000 es 1,000

Para facilitar la solución utilizaremos diagramas de Venn.

A B U

1900
4820 1200
200
80 700

20
C


a) Observando el diagrama se tiene:
b(A∪B∪C) = 4820 + 1900 + 1200 + 700 + 200 + 80 + 20
= 4820 + 3100 + 1000 = 8920

Además se conoce que n(U) = 10,000

Los que no leen periódicos, no escuchan radio, ni ven T.V. estará dado por: n(U) –n(A ∪ B ∪ C)
= 10,000 – 8920 = 1080

Es decir: 1,080 personas adultas, no leen periódicos, no escuchan radio, ni ven T.V.

b) Según el diagrama de Venn-Euler las personas que leen periódicos solamente son 1,200.

10. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 45 de 167

26. En una encuesta realizada a 154 personas, se obtuvieron las siguientes informaciones:
6 personas cenan y desayunan pero no almuerzan
5 personas desayunan y almuerzan solamente
8 personas almuerzan solamente

El número de personas que realizan las tres comidas es el séxtuplo de las que sólo
desayunan y el triple de las que solo cenan, nadie declara almorzar y cenar solamente.
¿Cuántas personas cenan por lo menos?

Solución
:

Sean: A = {conjunto de personas que almuerzan}
B = {conjunto de personas que cenan}
C = {conjunto de personas que desayunan}

Sea x el número de personas que desayunan solame nte entonces las personas que realizan las tres
comidas es el séxtuplo de los que desayunan solame nte 6x y esto es el triple de los que quiere
decir que los que cenan solamente es 2x.

Para facilitar la solución usaremos los diagramas de Venn-Euler.

A B U

0
8 2x
6x
5 6

x
D

Además se tiene que: n(U) = 154.

Donde U = A ∪ C ∪ D, donde n(c) = 6x + 6 + 0 + 2x = 8x + 6

n(A ∪ C ∪ D) = n(U) = 154, de donde al observar el diagrama de Venn-Euler se tiene:

6x + 6 + 2x + 0 + 8 + 5 + x = 154

Simplificando 9x + 19 = 154 Æ 9x = 135 Æ x = 15

Las personas que cenan por lo menos es:
n(c) = 8(15) + 6 = 120+6 = 126

27. En una encuesta realizada en una población sobre su preferencia de tres diarios A, B y C
se encontró el 42% leen el diario A, el 34% leen B, el 28% leen C, el 17% lee A y B, el
15% lee A y C, el 8% lee B y C y el 66% leen al menos uno de los tres diarios, determinar:
a) Que tanto por ciento leen un solo diario.
b) Que tanto por ciento leen exactamente dos de los diarios.
c) Que tanto por ciento ninguno de los tres diarios.

Solución
:

A B U

17-x
a b
x
15-x 8-x

c
C


n(A) = 42, n(B) = 34, n(C) = 28
n(A ∩ B) = 17, n(A ∩ C) = 15, n(B ∩ C) = 8
y n(A ∪ B ∪ C) = 66

Sea x el porcentaje de personas que leen los tres diarios.

11. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 46 de 167

Si n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) –
n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

66 = 42 + 34 + 28 – 17 – 15 – 8 + x

De donde 66 = 62 + x Æ x = 2

En el diagrama:

n(A) = a + (17-x) + (15-x) + x = 42 Æ a =12
n(B) = b + (17-x) + (8-x) + x = 34 Æ b =11
n(C) = c + (15-x) + (8-x) + x = 28 Æ c =7

Luego:

a) Leen un solo diario a + b + c = 30%
b) Leen exactamente dos de los tres diarios 15 + 17 + 8 – 3x = 34%
c) No leen ninguno de los tres diarios 100 – 66 = 34%

28. Se tienen los conjuntos unitarios:

A = {a
2
+ 1; 3a - 1}
B = {3x + y; x - y + 12}

Hallar: a + x + y

Solución
:

Para que {m;n} sea unitario debe cumplir que: m = n, luego.

i) a
2
+ 1 = 3a – 1 ii) 3x + y = x – y + 12
a
2
– 3a + 2 = 0 3x – x + y + y = 12

a Æ -2 a = 2 2x + 2y = 12
a Æ -1 a = 1 2 (x+y) = 12

a = 2 ó a = 1 x + y = 6

∴ a + x + y = 7 ó 8


29. Dados los conjuntos iguales:

A = {a + 2; a +1} C = {b + 1; c + 1}

B = {7 – a; 8 a} D = {b + 2; 4}

Hallar: a + b + c

Solución
:

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

i) Si A = B ii) A = C
a + 2 = 8 – a a + 2 = b + 1
2a = 6 3 + 2 = b + 1
a = 3 4 = b

iii) C = D
c + 1 = 4
c = 4 – 1
c = 3

∴ a + b + c = 10

12. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 47 de 167

30. Indicar el conjunto por extensión:

A = { x ∈ Z / 3x
3
– 2x
2
– 2x + 3 = 0 }

Solución
:

Con la ecuación: 3x
3
– 2x
2
– 2x + 3 = 0

3 -2 -2 3

x = -1 -3 5 -3
3 -5 3 0

3x
2
– 5x + 3

(x + 1) (3x
2
– 5x + 3) = 0
x = -1

3x – 5x + 3 = 0 Æ x = 5 ± -17
(No)
6

∴ A = {-1} x = 5 ± i

6


31. Si:
A = { a ∈ Z / a
5
– 5a
3
+ 4a = 0 }
B = { a ∈ Z / ∃ b ∈ Z, a = b
2
}

Hallar:
AB


Solución
:

Con A: a
5
– 5a
3
+ 4a = 0 Æ a (a
4
– 5a
2
+ 4) = 0
Æ a (a
2
– 1) (a
2
– 4) = 0
a (a
2
– 1) (a + 1) (a + 2) (a – 2) = 0

Entonces: A = { -2; -1; 0; 1; 2 }

Con B: Para a = -2 ó a = -1, no existe un b ∈ Z/a = b
2

a = 0 Æ ∃ b ∈ Z/0 = b
2
Æ b = 0
a = 1 Æ ∃ b ∈ Z/1 = b
2
Æ b = -1;1
a = 2 Æ ∃ b ∈ Z/2 = b
2


Entonces: B = { 0; 1 }

Piden: = Hallar:
AB = A – B = { -2 , 2 , -1 }

32. Determinar el conjunto por comprensión:
A = { 1 , 2 , 4 , 7 , 11 , 16 }

Solución
:

1 , 2 , 4 , 7 , 11 , 16

1 2 3 4 5

1 1 1 1
t
n = an
2
+ bn + c
n = 1 Æ a + b + c = 1 a = ½
n = 2 Æ 4a + 2b + c = 2 b = - ½
n = 3 Æ 9a + 3b + c = 4 c = 1

Luego: t
n = ½ n
2
– ½ n + 1
A = { ½ (n
2
-n) + 1/n ∈ Z, 1 <
n < 6 }

13. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 48 de 167

33. De 76 alumnos; 46 no estudian lenguaje, 44 no estudian historia y 28 no estudian ni
lenguaje ni historia. ¿Cuántos estudian lenguaje e historia?

Solución:

Estudian: L = 76 – 46 = 30
H = 76 – 44 = 32

Sea “x” los alumnos que estudian ambos cursos.
















(30 – x) + x + (32 – x) + 28 = 76

De donde: x = 14

34. De un grupo de 100 personas; 40 son mujeres, 73 estudian matemática, 12 mujeres no
estudian matemática. ¿Cuántos hombres no estudian matemática?

Solución
:

M = 40 H = 60

M = 73 De la figura: 12 + x + 73 0 100

∴ x = 15




12 x


35. Si A tiene 16 subconjuntos, B tiene 8 subconjuntos y (A ∪ B) tiene 32 subconjuntos.
¿Cuántos subconjuntos tiene (A ∩ B)?

Solución
:

Datos: 2
n(A)
= 2
4
Æ n(A) = 4
2
n(B)
= 2
3
Æ n(A) = 3
2
n(A∪B)
= 2
5
Æ n(A ∪ B) = 5

A ∪ B = 5












L = 30 H = 32

30-x x 32-x

28
A = 4 B = 3

4 - x x 3 - x

14. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 49 de 167
(4 – x) + x + (3 – x) = 5
7 – 5 = x Æ x = 2
↓
A ∩ B

Piden: 2
n(A ∩ B)
Æ 2
2
= 4

36. En una población: 50% toma leche, el 40% come carne, además sólo los que comen
carne o sólo los que toman leche son el 54% ¿Cuál es el porcentaje de los que no
toman leche ni comen carne?

Solución
:

El total será: 100%












Dato: (50 – a) + (40 – a) = 54
De donde: 18 = a

Reemplazando en la figura: a = 18
(50 – 18) + 18 + (40 – 18) + x = 100

De donde: x = 28
∴ 28%

37. Tony come fréjoles y/o tortilla en su almuer zo en cada día durante el mes de enero.
Si come 19 días fréjoles y 20 días tortilla. ¿Cuántos días comió fréjoles con tortilla?
Solución
:

Enero = 31 días












(19 – x) + x + (20 – x) = 31
Æ 39 – x = 31
∴ x = 8

38. Sean x, y ∈ Q tal que “y” es el menor posible. Sean A y B conjuntos tales que B ≠ ∅, A
∪ B es un conjunto unitario.

A = { x
2
+ 2y, x + 2y + 2 }

A ∪ B = { - 5/4 x + 3y
2
, 3x + 4y + 3 }

Hallar: A ∩ B.

Solución
:

Como A ∪ B es unitario y B ≠ ∅, entonces A es unitario.

Luego: A = B = A ∪ B
L = 50 C = 40



50 - a a 40 - a



x

F = 19 T = 20

19 - x x 20 - x

15. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 50 de 167

De a se tiene: x
2
+ 2y = x + 2y + 2 Æ x = 2, x = -1 ………… (α)

De A ∪ B se tiene: { - 5/4 x + 3y
2
, 3x + 4y + 3 } ………… ( β)

De (α), si x = 2, en (β): - 5/4 (2) + 3y
2
= 3(2) + 4y + 3

Æ 3y
2
– 4y + 5/4 = 0 Æ 12y
2
– 16y + 5 = 0 Æ 5/6 (se rechaza),
y = ½

Finalmente: x = -1, y = ½

Como A = B = A ∪ B, entonces A ∩ B = A = { x
2
+2y, x+2y+2}= {2}

39. Sean:

U = { x ∈ N / 1 <
x < 15 } A = { x ∈ U / x es par }
B = { x ∈ U / x es impar} C = { x ∈ A / x = 2
n
, n ∈ U } ∪ {12}

Si D = { x ∈ U / x ∈ C Æ x ∈ B } ∩ { x ∈ A / x es múltiplo de 4 }
¿Cuántos subconjuntos de C contienen a D?

Solución
:

Desarrollando, tenemos:

U = { 1, 2, 3, 4, …… 15 } A = { 2, 4 , 6, 8, …… 14 }
B = { 1, 3, 5, 7, …… 15 } C = { 2, 4, 8 } ∪ {12} = { 2, 4 , 8, 12}

Para D: x ∈ C Æ x ∈ B ≡ x ∈ C’ ∪ B

Entonces: D = { x∈U / x ∈ C’ ∪ B } ∩ { x∈A / x es múltiplo de 4} = ∅

Los subconjuntos de C que contienen a D = ∅, son en total 2
4
= 16, y son los elementos del
conjunto potencia de C.

40. Dados los conjuntos:

A = { x ∈ R / x/3 ∈ [-1,4] }
B = { x ∈ R / (x+3) ∈ [4,7] }
C = { x ∈ R / (1-2x)/2 ∈ [-1,2] }

Hallar el conjunto S en términos de intervalos, sabiendo que:

S = { x ∈ R / x ∈ A ÅÆ x ∈ (B – C) }

Dar como respuesta la suma de los extremos fi nitos de cada uno de los intervalos que lo
conforman.

Solución
:

Trabajamos con las condiciones de cada conjunto:

Para A: x/3 ∈ [-1, 4], entonces: -1 <
x/3 < 4 Luego: -3 < x < 12

Finalmente: A = [ -3, 12 ]

Para B: (x+3) ∈ [ 4, 7 ], entonces 4 <
x + 3 < 7 Luego: 1 < x < 4

Por lo tanto: B = [ 1 , 4 ]

Para C: 1-2x
∈ [-1, 2], entonces -1 < 1-2x < 2, Luego: -2<1-2x<4
2 2

De donde: -3 <
-2x < 3, finalmente: -3/2 < x < 3/2

Luego: C = [ -3/2 , 3/2 ]

Para S: x ∈ A ↔ x ∈ (B–C) ≡ x ∈ A ∩ (B – C) ∨ x ∈ A’ ∩ (B–C) …… (1)

16. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 51 de 167
Pero: A ∩ (B – C) = [ -3, 12 ] ∩ ( [ 1 , 4] - [ -3/2 , 3/2 ] )
= [ -3, 12 ] ∩ < -3/2 , 4 ] = < 3/2 , 4 ]

Ahora: A’ ∩ (B – C)’ = [ A ∪ (B - C) ]’ = ( [ -3 , 12] ∪ < -3/2 , 4 ] )’
= [ -3, 12 ]’ = < -∞ , -3 > ∪ < 12 , ∞ >

En (1): x ∈ A ↔ x ∈ (B – C)’ ≡ x ∈ < -3/2 , 4 ] ∨ (x ∈ <-∞ , -3 > ∪
< 12 , ∞ >)
= x ∈ < -∞ , -3 > ∪ < 3/2 , 4> ∪ < 12, ∞ >

Finalmente: S = < -∞ , -3 > ∪ < 3/2 , 4> ∪ < 12, ∞ >

Ahora: -3 + 3
+ 4 + 12 = 29
2 2

41. Sean A, B y C subconjuntos de U tales que:

n (A ∩ B ∩ C) = 200, n (A’ ∩ B’ ∩ C’) = 150, n (A ∩ B ∩ C ) = 450,
n (A) = 1050, n (U) = 2000, n [ A ∩ (B ∩ C)’ ] = 250,
n [ (B – A) ∩ (B - C ) ] = 400, n (B ∩ C) = n [ C ∩ (A ∪ B)’ ]

Hallar n [ (A * B) ∆ (B * C)], si P * Q ≡ P Æ Q’


Solución
:

Por dato: 250 + 450 + 200 + 150 + x + y + 150 + 400 = 2000

Æ 1600 + x + y + 2000 Æ x + y = 400 ……… (1)


A B U

450
250 400
200
150 x

y
C
150


De n (B ∩ C) = n [ C ∩ (A ∪ B)’ ] se tiene:
x + 200 = y

Sabemos que P * Q ≡ P Æ Q’ ≡
∼ P ∨ Q’, luego:

(A * B) ∆ (B * C) = (A’ ∪ B’ ) ∆ (B’ ∪ C’)

= [(A’∪ B’ ) ∩ (B’∪ C’)’] ∪ [(B’∪ C’ ) ∩ (A’ ∪ B’)’]
= [(A’ ∪ B’ ) ∩ (B ∪ C)] ∪ [(B’ ∪ C’ ) ∩ (A ∪ B)]
= (A’ ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C’ )
= [ (B ∩ C) – A ] ∪ [ (A ∩ B) ∩ C’ ]
Luego:
n [ (A * B) ∆ (B * C) ] = n { [ (B ∩ C) – A ] ∪ [ (A ∩ B) – C ] }
= n [ (B ∩ C) – A ] + n [ (A ∩ B) – C ]
= x + 450 = 550

17. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 52 de 167

42. Si se sabe que:

B ⊂ A , n (B ∩ C) = 4; n (A ∩ C) = 10, n(C) = 18
n(A) = 22, n(B - C) = 5, n [ A ∪ B ∪ C)’ ] = 9

Hallar el número de elementos de:
[ (A ∩ C) – B ] x [ (C – A) U (A’ ∩ B’ ∩ C’) ]


Solución
:


U

A C
B


7 5 4 6 8
9







n [ (A ∩ C) – B ] x [ (C – A) U (A’ ∩ B’ ∩ C’) ] =

= n [ (A ∩ C) – B ] x [ (C – A) U (A’ ∩ B’ ∩ C’) ]

= 6 x (8 + 9) = 6 x 17 = 102

43. Dados los conjuntos:

A = { x ∈ R / (2x + 3) (x – 4) (x + 2) = 0 },
B = [ x ∈ R / x
3
/4 = x}, C = { y ∈ R / y = -2
x
, x = 0, 1, 2 }

Hallar:
(A ∩ B) x C

Solución
:

2x+3 = 0 Æ x = -3/2
Para A: (2x + 3) (x – 4) (x + 2) = 0 ÅÆ x – 4 = 0 Æ x = 4
x + 2 = 0 Æ x = -2
Luego: A = { -3/2, 4 , -2 }
Para B:

x
3
= x ÅÆ x
3
– x = 0 ÅÆ x x
2
– 1 = 0 ÅÆ x x – 1 x + 1 = 0
4 4 4 2 2

Luego: B = { 0 , 2 , -2 }

Para C:

x y = -2
x
Luego: C = { -1 , -2 , -4 }
0 -1
1 -2
2 -4

Ahora: A ∩ B = {-2}

Finalmente:

(A ∩ B) x C = { -2 } x { -1, -2, -4 } = { (-2 , -1), (-2 , 2), (-2, -4) }

18. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 53 de 167

44. Sean A y B conjuntos unitarios tales que:

A = { x
2
+ y }, B = { x – 2y } , A ∩ B = { x + y
2
}

Hallar x + y, si es lo menor posible, donde x, y ∈ R

Solución
:

Como A y B son conjuntos unitarios, se deduce:

x
2
+ y = x - 2y Æ x
2
– x = – 3y ……(1)
x
2
+y = x-2y = x+y
2
Æ = x
2
+ y = x + y
2
Æ x
2
– x = y
2
– y ……(2)
x - 2y = x + y
2
Æ y
2
= -2y ……(3)

De (3) : y
2
+ 2y = 0 Æ y (y + 2) = 0 Æ y = 0, y = -2
Si y = 0 en (2): x = 0, x = 1. Luego: x + y = 0, x + y = 1
Si y = -2 en (2): x
2
– x = 6 Æ x = -2, x = 3.
Luego: x + y = -4, x + y = 1

45. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones representa la región sombreada?

I) { [ (A ∆ B) ∩ D ] – C } ∪ { A ∩ B ∩ C }

II) {{ [ (A ∪ B) – (A ∩ B) ] – C } ∩ D } ∪ ( A ∩ B ∩ D )

III) { [ (A ∪ B) – (A ∩ B) ] ∩ D ∩ C’ } ( A ∩ B ∩ C )



U

A B


C






D


Solución
:

I) [ (A ∆ B) ∩ D ] – C = { [ (A - B ) ∪ (B – A) ] ∩ D } – C representa la región sombreada
excepto la central.
La región central está dada por: A ∩ B ∩ C.
Luego: { [ (A ∆ B) ∩ D ] – C } ∪ { A ∩ B ∩ C } es toda la región sombreada.
Es verdadera.

II) {[ (A ∪ B) – (A ∩ B) ] – C } ∩ D representa la región sombreada excepto la central.
Pero A ∩ B ∩ D no representa la región sombreada.
Es falsa.

III) En forma similar, es verdadera.

46. En un salón de clases, de 70 alumnos, (todos ellos con 25 años cumplidos o más): 10
varones tienen 25 años, 25 varones no tienen 26 años, 16 varones no tienen 25 años
y 14 mujeres no tienen 25 años ni 26 años.

¿Cuántas mujeres tienen 25 ó 26 años?

Solución
:

Total de alumnos = 70
Æ (10 + x) + (11 + y) + (15 + 14) = 70
Æ 50 + x + y = 70 Æ x + y = 20

19. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 54 de 167

Luego hay 20 mujeres que tienen 25 ó 26 años.


25 años 26 años

10V 11V
xM y V



15 V
14 M
27 años o más


47. Sean A, B, C y D los conjuntos de actores de cuatro revistas r, s, t y u
respectivamente. Un anuncio de media página vale S/.2500 en “r” S/.1500 en “s” y
S/.1000 en “t” ó “u”; el cual se desea publicar, disponiendo para ello de un
presupuesto de S/.5000.

¿En qué revistas se debe hacer la public ación, de manera que tenga un máximo de
lectores?

Se sabe que: n(A) = 700; n(B) = 500; n(C) = 450; n(D) = 350;
n (A ∩ B ∩ C) = 100; n(A ∩ B ∩ D) = 110; n (A ∩ C ∩ D) = 20;
n (B ∩ C ∩ D) = 50; n(A ∩ B) = 250; n (A ∩ C) = 250;
n (A ∩ D) = 190; n (B ∩ C) = 250; n (B ∩ D) = 100; n (C ∩ D) = 150

Solución
:

Teniendo un presupuesto de S/.5000, el máximo de lectores se consigue con el máximo de
revistas, luego las combinaciones posibles son:

Combinación 1. Revistas: r, s, t.
Gastos: 2500 + 1500 + 1000 = 5000
El número de lectores es:
n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) – n(A ∩ B) – n (A ∩ C) –
n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)
= 700 + 500 + 450 – 250 – 250 – 250 + 100
= 1000

Combinación 2. Revistas: r, s, u.
Gastos: 2500 + 1500 + 1000 = 5000
El número de lectores es:
n (A ∪ B ∪ D) = 700 + 500 + 350 –250 – 190 – 100 + 110
= 1120

Combinación 3. Revistas: s, t, u.
Gastos: 1500 + 1000 + 1000 = 3500
Número de lectores:
n (B ∪ C ∪ D) = 500 + 450+ 350 –250 – 100 – 150 + 50
= 850

Combinación 4. Revistas: r, t, u.
Gastos: 2500 + 1000 + 1000 = 4500

Número de lectores:
n (A ∪ C ∪ D) = 700 + 450 + 350 – 250 – 190 – 150 + 20
= 930

La publicación debe hacerse de acuerdo a la combinación 2, revistas: r, s, u

48. Se encuesta a 4400 personas, que consumen los productos A, B y C. El número de
personas que consumen los tres productos es igual a:

1/6 de los que consumen sólo A
1/5 de los que consumen sólo B
1/4 de los que consumen sólo C
1/2 de los que consumen sólo Ay B

20. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 55 de 167
1/3 de los que consumen sólo Ay C
1/4 de los que consumen sólo B y C

a) ¿Cuántas personas consumen A aunque consumen B?
b) ¿Cuántas consumen B a menos que no consumen A?

Dar como respuesta la suma de ambos resultados.

Solución:


A B U

2x
6x 5x
x
3x 4x

4c
C



De acuerdo a los datos se tiene:
Como n(U) = 4400 tenemos:
6x + 2x + x + 3x + 5x + 4x + 4x = 4400
25x = 4400 Æ x = 176

a) Sean, p: consumen A.
q: consumen B.

Luego consumen A aunque consumen B, queda expresado como p ∧ q; con la cual se tiene que nos
piden el número de elementos de A ∩ B.

Entonces: n (A ∩ B) = 2x+ x = 3x = 3 (176) = 528

b) Sean, p: consumen B
q: consumen A

Luego, consumen B a menos que no consumen A, se expresa como p a menos que no q la cual
equivale a: q Æ p ≡ ∼ q ∨ p; con lo cual se tiene que nos piden el número de elementos de: A’ ∪ B.

Entonces: n (A’ ∪ B) = n (A’) + n (B) – n (A’ ∩ B)
= (5x + 4x + 4x) + (2x + x + 5x + 4x) – 9x
= 16x = 16 (176)
= 2818

La respuesta es:
528 + 2816 = 3344

49. En una encuesta realizada a 4400 personas acerca de su preferencia política sobre
los candidatos A, B, C; se obtiene la siguiente información:

El número de personas que simpatiza con los tres candidatos es:
1/3 de los que simpatizan con A y B
1/6 de los que simpatizan con B y C
1/7 de los que simpatizan sólo con B
1/6 de los que simpatizan sólo con A
1/8 de los que simpatizan sólo con C

Si el número de personas que simpatizan con A sí y sólo sí simpatizan con B ó C es 1800;
hallar el número de personas que simpatizan sólo con A y C o con ninguno de los tres.

Solución
:

Como n(U) = 4400, se tiene:
6x + 3x + x + y + 7x + 5x + 8x + x = 4400
Æ 30x + y + z = 4400 ……… (1)

21. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 56 de 167


A B U

3x
6x 7x
x
y 5x

8x
C
z


Además:
n [ A ÅÆ (B ∪ C) ] = 1800

Luego: 1800 = n [ ( A ∩ (B ∪ C)) ∪ (A’ ∩ (B ∪ C)’]
= n [ ( A ∩ (B ∪ C)) ∪ (A’ ∩ (B ∪ C)’]

Æ 1800 = 4x + y + z ……… (2)

De (1) y (2): x = 100, y + z = 1400
Nos piden:
n { [ ( A ∩ C) – B ] ∪ [ A ∪ B ∪ C]’ } = n [ ( A ∩ C) – B ]+
n ( [A ∪ B ∪ C]’)
= y + z = 1400

50. El número de personas que leen las revistas A y B es 4, Ay C es 5, mientras que los
que leen B y C también es 5. Si los que leen A pero no C es 6, y los que leen B pero no
C es 7. Hallar el número de personas que leen las tres revistas si y sólo si leen A ó C;
sabiendo que todas las personas encuestadas leen por lo menos una de las revistas y
que:

n [ P (A ∩ B) ] = n [ P [ ( A ∩ B) – C ] ] + 8

Solución
:


n (A ∩ B) = 4 Æ x + s = 4 …… (1)
n (A ∩ C) = 5 Æ x + r = 5 …… (2)
n (B ∩ C) = 5 Æ x + t = 5 …… (3)





De: n [ P (A ∩ B) ] = n [ P [ ( A ∩ B) – C ] ] + 8
Æ 2
4
= 2
s
+ 8 Æ 2
s
= 8 Æ s = 3

En (1): x = 1
En (2) y (3): r = 4 = t

Además: n [A – C] = 6 Æ u + s = 6 Æ u = 3
n [B – C] = 7 Æ v + s = 7 Æ v = 4

Piden: n [ ( A ∩ B ∩ C) ÅÆ (A ∪ C) ]:

Sabiendo que n [ (A ∪ B ∪ C)’] = 0

Luego: n [ ( A ∩ B ∩ C)ÅÆ(A∪C) ] = n { [ (A ∩ B ∩ C) ∩ ( A ∪ C) ] ∪
∪ [A ∩ B ∩ C] + n [B-( A ∪ C) ]
= n [ A ∩ B ∩ C ] + n [B – (A∪C) ]
= x + v = 1 + 4 = 5
A B U

u s v

x
r t


C

22. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 57 de 167

51. Se obtuvo la siguiente inform ación acerca de 90 postulantes:
El número de postulantes que prefieren solamente la especialidad C es el triple de los que
prefieren sólo la carrera A, mientras que los postulantes que prefieren solamente la
carrera B es el doble de los que prefieren sólo la especialidad A.
El cuádruple del número de postulantes que pref ieren sólo A, no prefieren ninguna de las
tres carreras; mientras que hay 10 que prefieren las tres especialidades. Hay 68
postulantes que prefieren la especialidad B a menos que no prefieran A; y hay 45 que
prefieren la carrera B sí y sólo sí prefieren C. Hallar el número de postulantes que
prefieren sólo A ó sólo C ó sólo Ay B.

Solución
:

Luego:
68 = n [A’∪B] = 9x+y+Z+10 …… (1)

n (B ÅÆ C) = 45
= n [(B ∩ C) ∪ (B’ ∩ C’)]

Æ 45 = (10 + Z) + 5x …… (2)

De (1) y (2): 4x + y = 23



El número de postulantes que prefieren sólo A ó sólo C ó sólo A y B es:
x + 3x + y = 4x + y
= 23
52. En una encuesta acerca del consumo de bebidas gaseosas se obtuvo la siguiente
información:

El 45% consumen la marca B
El 40% consumen la marca C
El 8% no consume ninguna de las tres
El 63% consumen A y B, si y sólo si consumen C
El 67% consumen B y C, si y sólo si consumen A
El 5% consumen las tres marcas
El 8% consumen sólo B y C

¿Qué porcentaje toman bebidas según la operación:
(A * B) * C = (A ∩ B) ∪ (C – A) ?

Solución
:
Tenemos:
67 = 5 + b + c + 8

Æ b + c = 54
63 = 5 + a + b + 8 …… (1)

Æ a + b = 50
40 = c + x + 13 ………… (2)
Æ c + x = 25
45 = b + y + 13 ………… (3)

Æ b + y = 32

Además: a + b + c + x + y + 21 = 100…… (4)
Æ a + b + c + x + y = 79 ………(5)

(3) y (4) en (5): a + 32 + 27 = 79 Æ a = 20

En (2): b = 30, en (1): c = 24; en (3): x = 3; en (4): y = 2

Ahora: n [ ( A * B) * C ] = n [ (A ∩ B) ∪ (C – A) ]
= (5 + y) + (c + )
= 7 + 32 = 39

53. Sea U = Z, y sean:

A = {x ∈ Z / x es un número par}
A B U

x y 2x

10
w z

3x 4x
C
A B U

a y b

5
x 8

c 8
C

23. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 58 de 167
B = {x ∈ Z / x es un número impar}
C = {x ∈ Z / x es un número natural par}
D = {x ∈ Z / x es un número natural impar}

En que parte del plano se encuentra el gráfico de (A–C)x(B–D).

Solución
:

Tenemos que:
A – C = { x ∈ Z / x es un número par negativo, incluido el cero }
B – D = { x ∈ Z / x es un número impar negativo }

Luego:
(A – C) x (B – D) = { (x,y) / x es un número par negativo (incluido el cero), y es un impar negativo
}
Graficando, unos cuantos valores:

B – D

-12 –10 –8 –6 –4 –2 0 A – C

-1
-2
-5
-7
Se encuentra en el tercer cuadrante.

54. Sean A, B conjuntos, simplificar : (B
∩∅)-(AUB)
SOLUCION
B n ∅ = ∅ ⇒ (B n A) – (A U B)
∅ - (A U B)
∅

55. Sean A, B conjuntos y U conjunto Universal, simplificar:
[ (U ∩ A ) U A' ] U(B' U B)

Solución


U
∩ A = A; B' U B = U ⇒ [ ( U
∩ A) U A' ] U (B' U B)

Por propiedad U ⇒
[ A U A' ] U U

U U U = U


U







A


A
A
'
A

24. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 59 de 167
EJERCICIOS PROPUESTOS

56. Si MCM, Simplificar :
[(M U N ) n (N'
∩ P) ] 'U M'

Solución

Graficamos la condición
[ ( M
∩ N ) ∩ (N' ∩ P) ] U M'

[
N ∩ (N'
∩ P)] U M' Condición M U N = N
N
[(M U N' ) ∩ P ] U M' Prop. Asociat.

[∅ ∩ P ] U M' Prop. A
∩ A' = ∅

∅
∩ M' Prop. A
∩ A' = ∅

M' Prop. A ∩ A' = ∅






1. Dado el conjunto unitario:
A = { a + b ; a + 3b – 3; 12 }
Calcular: a
2
+ b
2

a) 80 b) 74 c) 104 d) 90 e) 39

2. Los conjuntos A y B son tales que n(A ∪B) = 30, n(A- B) = 12 y n (B –
A) = 10. Hallar n(A) + n(B)

a) 22 b) 38 c) 36 d) 25 e) 37

3. Si n[ P (A) ]=128, n[ P (B) ]=16 y n [ P (A ∩ B)]=8.
Hallar : n [ P (A ∪ B) ]

a) 128 b) 32 c) 256 d) 1024 e) 512

4. Dados los conjuntos:
A = { 1, 2, {1,2}, 3}
B = { {2,1}, {1,3}, 3}
Hallar el conjunto [ (A – B) ∩ B ] ∪ (B – A)

a) { 1, {1,3} } b) { {1,3} } c) {1,3} d) { {1,3} , 3} e) { {1,2} }
5. Sean los conjuntos:
A = { x ∈ R / 2 log x – 3 log x
2
= 2 (log x)
2
}
B = { x ∈ R / 5
3 (2x2-x)
= 125 }

C = x ∈ R / x =
3
n
; n ∈ N, n < 4
n + 1
Hallar (A ∩ B) ∪ (C ∩ B)

a) {1,2} b) {1} c) {2} d) {1,3} e) N.A.

6. Si:
U = { x ∈ N / 0 < x < 11 }
A = { 1, 3, 5, 7 }
B = { 2, 4, 6, 8 }
A ∩ C = { 1, 3}
A ∪ C = { 1,2,3,5,7,9 }

Hallar n(B ∪ C) + n(A ∪ C)

a) 4 b) 10 c) 7 d) 11 e) N.A.


M

25. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 60 de 167
7. Dados los conjuntos:
A = { y ∈ R / y = 2x, x = -2, -1, 0, 1}

B = x ∈ R / 3x – 5 = 1 _
x – 5

C = x ∈ R / x
2
– 5 = x
_
2

Hallar (A ∪ B) ∩ (B – C)

a) 2, 2/3 b) φ c) {1,2} d) { ¼, ½ } e) N.A.

8. Sea:
U = {-5,π, 2, -2,0,2,4,3/8,1+ π,π- 2,1+ -4 }
J = { x ∈ U / x ∈ N ÅÆ x ∈ Q’ }
K = { x ∈ U / x ∈ Z ∧ x ∉ R }
L = { x ∈ U / x ∈ N ∨ x ∉ R }

Hallar M si M = ( J – K) ∪ (K ∧ L)

a) { 2,3/8} b) {-5 ,3/8 } c) { π,2} d) {2,4 } e) N.A.

9. En un taller mecánico se observa lo siguiente: 1/3 del total de los
trabajadores saben arreglar motores, 7/12 del total son especialistas en
arreglar llantas; 1/12 del total arregl an llantas y motores, siendo 30 los
que arreglan motores solamente. ¿Cuá ntos no saben arreglar llantas y
motores?

a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) N.A.

10. En una biblioteca había 100 alumnos, de los cuales 70 estudian ciencias y
30 estudiaban letras. Si 20 estudiaban letras y ciencias, señalar cuántos
estudiaban letras, si y só lo si estudiaban ciencias.

a) 40 b) 38 c) 32 d) 42 e) N.A.

11. Durante todas las noches del mes de octubre, Soledad escucha música o
lee un libro. Si escucha música 21 noches y lee un libro 15 noches,
¿cuántas noches escu cha música y lee un libro simultáneamente?

a) 5 b) 6 c) 4 d) 3 e) 10

12. Un conjunto A tiene 1023 subconjuntos propios y el producto cartesiano
de A y B tiene 50 elementos. ¿Cuá ntos subconjuntos propios de 3
elementos posee el conjunto potencia de B?

a) 10 b) 12 c) 11 d) 13 e) 9

13. En una encuesta de un club se determ inó que el 60% de los socios lee “La
República” y el 30% lee “El Comercio”, se sabe que los que leen “La
República” o “El Comercio” pero no ambos constituyen el 70% del club y
hay 400 socios que no leen ningún diario. ¿Cuántos socios leen ambos
diarios?

a) 240 b) 210 c) 180 d) 200 e) 150

14. De los 96 asistentes a una fiesta se sabe que el número de hombres es
igual al número de mujeres solteras. Si hay 18 hombres casados y más de
29 mujeres casadas. ¿Cuántas personas son solteras si entre ellas hay
más de 14 hombres?

a) 48 b) 45 c) 38 d) 32 e) 28

15. Sean A, B y C tres conjuntos no vacíos contenidos en U donde:
n(U) = 95
n(A) = n(B) = 50
n(C) = 40
n[A-(B∪C)] = 24
n[(A∩B)-C)] = 8

26. UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEG UA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Página 61 de 167
n[(B∩C)-C)] = 17
n[(A∪B∪C)’] = 10
Determinar el número de elementos de A ∩B∩C

a) 6 b) 8 c) 12 d) 17 e) 20

16. ¿Qué operación representa la región sombreada?
A
a) A∪B∪C B
b) A∩B∩C
c) (A-B) ∩C
d) A∩(B∪C)
e) A∪(B∩C)
C


17. ¿Qué operación representa la región sombreada?

a) [(A∪C) – B ] ∪ (B∩C) A B
b) [(B’∪C’) ∪A] ∩ (C∪B)
c) [(A-B)∩C]∪B
d) [(A’∩B)-C]∩A
e) [(A’∪B)∩A]∩(B∪C)

C

18. Sean A y B dos conjuntos no vacíos donde se tiene:
A ∪ B = { 5 , 8 , 11 , 14, 15, 17 }
A – B = { 8 , 15}
Indicar el número de sub conjuntos de B

a) 8 b) 6 c) 32 d) 64 e) 4

19. De un grupo de 200 comensales a 120 no les gusta el arroz con pato y a
130 no les gusta la carapulcra. Si a 80 no les gusta ambos potajes ¿A
cuántos de ellos les gusta el arroz con pato y la carapulcra?

a) 18 b) 24 c) 30 d) 36 e) 42

20. De un total de 230 alumnos se co nocer que 90 postulan a la UJCM,
mientras que 110 alumnos postulan a la UPT ¿cuántos alumnos postularon
a ambas universidades si hay 80 alumnos que postulan a otras
universidades y no a estas dos?

a) 40 b) 60 c) 80 d) 70 e) 50

CLAVE DE RESPUESTAS:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
d b c b b d a b c a

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
a a d a c d b b c e