Problemas que involucran temperatura y Relacion de Poisson.pptx

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1. Problemas de cambio de temperatura

2. Problemas de cambio de temperatura Consideramos una varilla homogénea AB con sección transversal uniforme, que descansa libremente en una superficie horizontal lisa. Si la temperatura de la varilla se eleva en Δ T, se observa que la varilla se alarga por una cantidad δT , que es proporcional tanto al cambio de temperatura Δ T como a la longitud L de la varilla:  

3. Problemas de cambio de temperatura Donde α es una constante característica del material, llamada coeficiente de expansión térmica. Como δ T y L se expresan ambas en unidades de longitud, α representa una cantidad por grado C o por grado F, dependiendo si el cambio de temperatura se expresa en grados Celsius o Fahrenheit. Con la deformación δ T debe asociarse una deformación ϵ T = δ T /L. Sustituyendo en la ecuación anterior tenemos que: La deformación ϵ T se conoce como deformación unitaria térmica.  

4. Problemas de cambio de temperatura Supongamos una varilla AB de longitud L se coloca entre dos soportes fijos a una distancia L uno del otro. No existe esfuerzo ni deformación en esta condición inicial. Si se eleva la temperatura, la varilla no puede alargarse debido a las restricciones impuestas en sus extremos.

5. Problemas de cambio de temperatura Por lo tanto δ T = 0 y ϵ T = 0, sin embargo los soportes ejercerán fuerza P y P’ iguales y opuestas sobre la varilla después que se eleve la temperatura. En la preparación para determinar el esfuerzo σ creado por el cambio de temperatura Δ T, se observa que el problema por resolver es estáticamente indeterminado. Por lo tanto, primero deberá calcularse la magnitud P de las reacciones en los soportes a partir de la condición de que la elongación de la varilla es cero.

6. Problemas de cambio de temperatura Utilizando el método de superposición, se libera la varilla de su apoyo B y se le permite alargarse libremente mientras sufre el cambio de temperatura Δ T. El alargamiento correspondiente es  

7. Problemas de cambio de temperatura Aplicando ahora al extremo B la fuerza P que representa la reacción redundante, se obtiene la segunda deformación: Expresando que la deformación total es cero, se tiene que: T+ P = = 0  

8. Problemas de cambio de temperatura Despejando P tenemos que P = Y que el esfuerzo en la varilla debido al cambio de temperatura Δ T es: σ = P/A =  

9. RELACION DE POISSON

10. Relación de Poisson Anteriormente se estudiaron barras homogéneas las cuales se encontraban cargadas axialmente, y en las cuales el esfuerzo y deformación unitaria satisfacían la ley de Hooke, siempre que no se excediera el limite elástico. Ahora tenemos una barra cuadrada cargada con una carga P a lo largo del eje X, se tiene que el esfuerzo = P/A, donde A es el área transversal, por la ley de Hooke tenemos que:  

11. Relación de Poisson Donde E es el modulo de elasticidad del material. Si analizamos solo se presentara esfuerzos en el eje X por ende Y y Z serán cero. Y por tanto las deformaciones unitarias en Y y Z también serán cero.

12. Relación de Poisson Pero realmente y en el campo de los materiales de ingeniería no es el caso , en la vida real o campo de la ingeniera, cuando aplicamos una carga axial en cierta dirección, vamos a presenciar u observar una contracción en cualquiera de las direcciones transversales. Para el caso anterior de la barra la cual se le aplica una carga P en el eje X se va a presentar una contracción de la barra en los ejes Y y Z.

13. Relación de Poisson A esta relación de alargamiento y contracción simultanea se le denomina relación de Poisson y se define de la siguiente manera: Esta formulación es para la condición de carga P en el eje X  

14. Relación de Poisson Resolviendo las ecuaciones: Para encontrar los valores de y tenemos que queda de la siguiente manera y  

15. Ejemplo Se observa que una varilla de 500 mm de longitud y 16 mm de diámetro, elaborada con un material homogéneo e isotrópico, aumenta su longitud en 300 μ m y reduce su diámetro en 2.4 μ m al sometérsele a una carga axial de 12 kN. Determine el modulo de elasticidad y la relación de Poisson del material

16. Ejemplo Determinamos el área transversal de la varilla la cual es: Teniendo en cuenta la figura del problema vemos que la fuerza se aplica a lo largo del eje X, por ende tenemos que:  

17. Ejemplo Calculamos la deformación unitaria tanto para el eje X como para el eje Y.  

18. Ejemplo Por la ley de Hooke tenemos que: , de esta ecuación despejamos E que el modulo de elasticidad del material. Y por medio de la ecuación podemos calcular la relación de Poisson  

19. Actividad Una barra de acero A-36 tiene las dimensiones mostradas en la figura. Si se aplica una fuerza axial P = 80 kN a la barra, determine el cambio en su longitud y el cambio en las dimensiones de su sección transversal después de aplicada la carga. El material se comporta Elásticamente. Para entregar el siguiente ejercicio debe ser realizado en computador y enviarlo por medio de la plataforma SAVIO, quienes no puedan acceder a la plataforma savio enviarlo al correo: [email protected] El ejercicio debe ser explicado paso a paso como se realiza

20. Concentrador de esfuerzo

21. Concentrador de esfuerzo Los esfuerzos cerca de los puntos de aplicación de cargas concentradas pueden alcanzar valores mucho más grandes que el valor promedio del esfuerzo en el elemento. Cuando un elemento estructural contiene una discontinuidad, como un agujero o un cambio repentino en su sección transversal, también pueden ocurrir grandes esfuerzos localizados cerca de la discontinuidad.

22. Concentrador de esfuerzo Estos resultados se obtuvieron en forma experimental por el método fotoelástico . Afortunadamente para el ingeniero que tiene que diseñar un elemento dado y no puede permitirse llevar a cabo dicho análisis, los resultados obtenidos son independientes del tamaño del elemento y del material utilizado; sólo dependen de las razones de los parámetros geométricos involucrados, es decir, de la razón r/d y D/d en el caso de un agujero circular, y de las razones y en el caso de los filetes. Además, el diseñador está más interesado en el valor máximo del esfuerzo en una sección dada, que en la distribución real de los esfuerzos en dicha sección, ya que su preocupación principal es determinar si el esfuerzo permisible será excedido bajo una carga dada, y no dónde se excederá este valor. Por este motivo, se define la razón

23. Concentrador de esfuerzo K = σ max / σ prom del esfuerzo máximo sobre el esfuerzo promedio calculado en la sección crítica (la más angosta) de la discontinuidad. Esta razón se conoce como el factor de concentración de esfuerzos de la discontinuidad dada.