-Problemas resueltos

CálculodiferencialeintegralI
Problemas resueltos

Canek: Portal de Matemáticas
CálculodiferencialeintegralI
Problemasresueltos
Ernesto Javier Espinosa Herrera (coordinador)
Ignacio Canals Navarrete
Manuel Meda Vidal
Rafael Pérez Flores
Carlos Antonio Ulín Jiménez
Universidad Autónoma Metropolitana - Unidad Azcapotzalco
Editorial Reverté
BarcelonaBogotáBuenos AiresCaracasMéxico
2008

Universidad Autónoma Metropolitana
Rector general
Dr. José Lema Labadie
Secretario general
Mtro. Luis Javier Melgoza Valdivia
Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco
Rector
Dr. Adrián de Garay Sánchez
Secretaria
Dra. Sylvie Turpin Marion
Director de la División de Ciencias Básicas e Ingeniería
Dr. Emilio Sordo Zabay
Jefe del Departamento de Ciencias Básicas
Dr. Luis Enrique Noreña Franco
© M. en C. Ernesto Javier Espinosa Herrera (coordinador)
Dr. Ignacio Canals Navarrete
M. en C. Manuel Meda Vidal
Dr. Rafael Pérez Flores y
Dr. Carlos Antonio Ulín Jiménez
© Departamento de Ciencias Básicas
División de Ciencias Básicas e Ingeniería
Unidad Azcapotzalco
Universidad Autónoma Metropolitana
Av. San Pablo 180, col. Reynosa Tamaulipas
Deleg. Azcapotzalco, C.P. 02200 México D.F.
© Reverté Ediciones, S.A. de C.V.
Río Pánuco 141, col. Cuauhtémoc
Deleg. Cuauhtémoc, C.P. 06500
México D.F.
ISBN de la colección 978 968 6708 73-8
ISBN del volumen 978 968 6708 78-3
Primera edición 2008
Impreso en México.Printed in Mexico
Programas Educativos, S.A. de C.V.
Calzada Chabacano 65, local A
Col. Asturias, México, D.F.
Captura de datos: Teresa Jurado Dorantes
Portada: Lucila Montoya García
Cuidado editorial: Concepción Asuar
Todo el material deCálculo diferencial e integral I. Problemas resueltosse encuentra en línea en la dirección:
http:nncanek.azc.uam.mx

Índice
Introducción.................................................. IX
Capítulo 1 Los números reales ..................................... 1
1.1Algunostiposdenúmeros....................................... 1
1.2Representacióngeométricadelosnúmerosreales ......................... 6
1.3Propiedadesalgebraicasdelosnúmerosreales ........................... 9
1.4Ordendelosnúmerosreales...................................... 11
1.5Intervalos................................................. 14
1.6Valorabsoluto.............................................. 24
1.7Resolucióndedesigualdades ..................................... 27
1.7.2Desigualdades del tipoaxCbcxCd.......................... 27
1.7.3Desigualdades del tipoa
1xCb 1a2xCb 2a3xCb 3................. 29
1.7.5Desigualdades del tipojaxCbjMconM>0 ..................... 36
1.7.7Desigualdades del tipo
axCb
cxCd
k............................. 39
1.7.8Desigualdades del tipoax
2
CbxCc0cona¤0.................... 45
1.8Apéndicedelcapítulo1 ........................................ 55
1.8.1Conjuntos ............................................ 55
Capítulo 2 Funciones .......................................... 59
2.2Funciónrealdeunavariablereal ................................... 59
2.3Álgebradefunciones.......................................... 62
2.4Composicióndefunciones....................................... 65
2.5Gráﬁcadeunafunciónrealdevariablereal ............................. 74
2.6Tiposdefunciones ........................................... 79
2.7Transformacionesdefunciones .................................... 103
2.8Modelandoconfunciones ....................................... 127
Capítulo 3 Límite de una función ................................... 147
3.1Introducción............................................... 147
VII

VIII Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
3.2Álgebradelímites............................................ 152
3.3Límiteslaterales............................................. 170
3.4Límites inﬁnitos............................................. 175
3.5Límites en inﬁnito............................................ 180
Capítulo 4 Continuidad ......................................... 207
4.1Continuidadenunpunto ....................................... 207
4.2Tiposdediscontinuidades....................................... 223
4.3Continuidadenintervalos....................................... 231
Capítulo 5 La derivada ......................................... 277
5.1Larectatangente ............................................ 277
5.2Laderivadadeunafunción ...................................... 281
5.3Velocidadinstantánea ......................................... 284
Capítulo 6 Reglas de derivación .................................... 293
6.1Reglasbásicasdederivación...................................... 293
6.2Regladelacadena ........................................... 296
6.3Derivadaslaterales ........................................... 301
6.4Derivadas inﬁnitas ........................................... 305
6.5Derivadasdeordensuperior ..................................... 307
6.6Derivaciónimplícita .......................................... 311
Capítulo 7 Razones de cambio relacionadas ............................. 325
Capítulo 8 Aplicaciones de la derivada................................ 341
8.1Derivabilidad y monotonía . ..................................... 341
8.2Máximosymínimoslocales ...................................... 349
8.3Concavidadyconvexidad ....................................... 356
Capítulo 9 Gráﬁca de una función................................... 373
9.1Bosquejo de la gráﬁcadeunafunción ................................ 373
9.2Interpretación de gráﬁcasysímbolos................................. 414
Capítulo 10 Optimización ........................................ 425
10.1Problemasdeoptimización ...................................... 425

Introducción
No importa cuánto entregues, nunca será suﬁciente
Donald W. Winnicott
Cálculo diferencial e integral I. Problemas resueltoscontiene el desarrollo, con todo detalle, y la solución del
conjunto de ejercicios que aparecen en el libro de teoríaCálculo diferencial e integral I. Ambos libros fueron
diseñados como una sola obra, en dos tomos, concebida para estudiantes de primer ingreso de escuelas de
ingeniería. Tanto los ejemplos de la teoría como el conjunto de los ejercicios fueron elegidos entre aque-
llos que los autores hemos utilizado en las múltiples ocasiones que hemos impartido este material en los
programas de ingeniería de la Universidad Autónoma Metropolitana, unidad Azcapotzalco.
Durante el proceso de elaboración de los dos tomos, siempre se procuró presentar la teoría, los ejemplos y
los ejercicios de forma asequible para cualquier estudiante que inicia su formación universitaria en escuelas
y facultades de ingeniería. Hemos puesto especial atención en una didáctica que refuerce en el estudiante el
desarrollo de procesos de abstracción implícitos en el contenido matemático. Para nosotros, el alumno es el
protagonista más importante en el proceso de la enseñanza y el aprendizaje, por lo que deseamos que, con
este material, adquiera las bases necesarias para continuar aprendiendo y asimilando los conocimientos
durante su formación en el campo de la ingeniería.
Tanto el temario completo del libro de teoría como el del libro de problemas resueltos se encuentran
disponibles en internet, en la dirección http://canek.azc.uam.mx. En las siguientes líneas se describe el
contenido matemático de cada uno de los capítulos de la obra completa.
El primer capítulo,Los números reales, trata sobre el universo donde se desarrolla esta parte de la matemática
denominada cálculo diferencial. Se presentan los números reales destacando sus subconjuntos: los números
naturales, los enteros, los racionales y los irracionales. Se hace énfasis en la ubicación de éstos en una recta
horizontal, en sus propiedades algebraicas y en su orden. Por la gran utilidad que tiene en el estudio del
cálculo, se muestra el proceso de solución de diferentes tipos de desigualdades.
El segundo capítulo,Funciones, centra la atención en uno de los elementos fundamentales de la matemática:
el concepto de función y, como caso particular, el de función real de variable real. De ellas damos una repre-
sentación gráﬁca, deﬁnimos operaciones incluyendo la composición y se explica la manera de transformar
funciones obteniendo nuevas funciones a partir de una conocida. Clasiﬁcamos las funciones como sigue:
funciones monótonas, pares e impares, lineales, cuadráticas, cúbicas, polinomiales, racionales y algebraicas.
Analizamos también las funciones deﬁnidas por partes. Por último se muestra cómo se usan las funciones
para representar o modelar situaciones de la vida real.
IX

X Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
En el tercer capítulo,Límites, presentamos otro concepto fundamental del cálculo: el límite de una función.
En él encuentra el lector el álgebra de límites, límites laterales, inﬁnitos y en inﬁnito.
En el cuarto capítulo,Continuidad, se utiliza el concepto de límite de una función para tipiﬁcar las funciones
continuas. Desglosamos las diferentes formas en las que una función puede no ser continua.
En el quinto capítulo,La derivada, utilizamos nuevamente el concepto de límite para deﬁnir otro concepto
fundamental del cálculo: la derivada de una función. Se hace hincapié en la derivada como razón de
cambio instantánea de una función. Posteriormente deﬁnimos en particular la recta tangente a una curva y
la velocidad instantánea de un móvil. Puntualizamos la relación entre derivabilidad y continuidad de una
función.
En el sexto capítulo,Reglas de derivación, desarrollamos lo siguiente: puesto que la derivada es un límite, y en
general es difícil o por lo menos laborioso calcular límites, se presentan distintas reglas que nos permiten
calcular la derivada mediante la mera aplicación de fórmulas. Se resalta en particular la regla que nos
permite determinar la derivada de una composición de funciones (regla de la cadena) y la derivación de
una función deﬁnida implícitamente.
En el séptimo capítulo,Razones de cambio relacionadas, calculamos la derivada o razón de cambio instan-
tánea de una función a partir de una expresión que vincula la función que derivamos con otras funciones
presentes en el contexto de un ejercicio.
En el octavo capítulo,Aplicaciones de la derivada, se muestra el uso de la derivada para encontrar cuándo
una función crece o decrece (tipo de monotonía), para calcular y clasiﬁcar sus puntos críticos (máximos y
mínimos) y para describir los intervalos de concavidad de la función.
En el noveno capítulo,Gráﬁca de una función, se articula un gran número de conceptos presentados en los
capítulos anteriores para determinar el comportamiento de una función en su dominio y representar la
gráﬁca de la función con mayor precisión.
En el décimo capítulo,Optimización, culminamos nuestro estudio con el análisis de una situación real, la cual
modelamos mediante una función real de variable real. De esta función se determina dónde alcanza sus
valores extremos (su máximo y su mínimo). Es decir, optimizamos un modelo que representa un proceso
real.
Ernesto Javier Espinosa Herrera
Coordinador

CAPÍTULO
1
Losnúmerosreales
1.1 Algunos tipos de números
Ejercicios 1.1.1Expresar el número racional dado mediante una expresión decimalﬁnita(es decir, con periodo 0) o
bien periódica inﬁnita:
1.
3
8
:
HDividimos 3 entre 8:
0:3750
8j3:0
60
40
0)
3
8
D0:375N0D0:375 :

2.
5
6
:
HDividimos 5 entre 6:
0:83
6j5:0
20
2)
5
6
D0:833:::D0:8N3:

1

2 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
3.
8
125
:
HDividimos 8 entre 125:
0:0640
125j8:00
500
0)
8
125
D0:064N0D0:064 :

4.
17
3
:
HDividimos 17 entre 3:
5:6
3j17:0
20
2)
17
3
D5:66:::D5:N6:

5.
100
9
:
HDividimos 100 entre 9:
11:1
9j100:0
10
1)
100
9
D11:11:::D11:N1:

6.
25
22
:
HDividimos 25 entre 22:
1:136
22j25
30
80
140
8)
25
22
D1:13636:::D1:136 :

1.1 Algunos tipos de números 3
7.
1
10
:
HDividimos 1 entre 10:
0:10
10j1:0
0)
1
10
D0:1N0D0:1 :

8.
1
100
D
1
10
2
:
HDividimos 1 entre100D10
2
:
0:01
0
100j1:00
0)
1
100
D0:01N0D0:01 :

9.
1
10
n
conn2N:
HDividimos 1 entre10
n
:
0:
.n1/ceros
´
001
0
1
.n/ceros
´
00j
1: 00”
.n1/ceros
0
0)
1
10
n
D0: 00”
.n1/ceros
1N0D0: 00”
.n1/ceros
1:

10.Dé un ejemplo de número entero no natural.
H1.
11.Dé un ejemplo de número racional no entero.
H
1
2
, este número se obtiene dividiendo la unidad en dos partes iguales.
12.¿Cómo haría para hallar la representación decimal de un número racional de la forma
p
q
conpentero
yqnatural?
HDividiendopentreq.

4 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
13.Transforme la representación decimal periódica0:3en racional, de la forma
p
q
conpentero yqnatural.
H0:3D
1
3
.
En efecto:
rD0:33333:::I
10rD3:3333:::D3C0:33333:::D3CrI
10rrD3I
9rD3I
rD
3
9
D
1
3
:

14.Transforme la representación decimal periódica0:50en racional, de la forma
p
q
conpentero yq
natural.
H0:50D
1
2
.
En efecto:
rD0:5I
10rD5I
rD
5
10
D
1
2
:

15.Transforme la representación decimal periódica0:142857en racional, de la forma
p
q
conpentero yq
natural.
H0:142857D
1
7
.
En efecto:
rD0:142857I
1 000 000rD142 857:142857D142 857C0:142857D142 857CrI
1 000 000rrD142 857I
999 999rD142 857I
rD
142 857
999 999
D
1
7
:

16.Transforme la representación decimal periódica0:13en racional, de la forma
p
q
conpentero yq
natural.
H0:13D
2
15
.

1.1 Algunos tipos de números 5
En efecto:
rD0:13I
10rD1:3D1C0:3D1CrI
100rD13:3D13C0:3D13CrI
100r10rD12I
90rD12I
rD
12
90
D
2
15
:

17.Transforme la representación decimal periódica0:212en racional, de la forma
p
q
conpentero yq
natural.
H0:212D
7
33
.
En efecto:
rD0:212I
10rD2:12D2C0:12D2CrI
1 000rD212:12D212C0:12D212CrI
1 000r10rD210I
990rD210I
rD
210
990
D
7
33
:
Otra forma de resolver:
rD0:212I
100rD21:212D21C0:212D21CrI
100rrD21I
99rD21I
rD
21
99
D
7
33
:

18.Transforme la representación decimal periódica0:3123en racional, de la forma
p
q
conpentero yq
natural.
H0:3123D
104
333
.
En efecto:
rD0:3123I
10rD3:123D3C0:123D3CrI
10 000rD3 123:123D3 123C0:123D3 123CrI
10 000r10rD3 120I
9 990rD3 120I
rD
3120
9 990
D
104
333
:

6 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Otra forma de resolver:
rD0:3123I
1 000rD312:3123D312C0:3123D312CrI
1 000rrD312I
999rD312I
rD
312
999
D
104
333
:

1.2 Representación geométrica de los números reales
Ejercicios 1.2.1
1.¿Cuándo se dice que2puntosAyA
0
son simétricos con respecto a un terceroO?
HCuandoOes el punto medio del segmento rectilíneoAA
0
.
2.Dados dos puntosAyO¿cómo hallaría el simétrico deAcon respecto aO?
HTrazando la rectaAOy llevando, a partir deO, una distancia igual a
AO, pero en sentido opuesto:
A
0

O

A

A
0
es el simétrico deAcon respecto aO.
3.Con regla y compás ¿cómo divide un segmento en2partes iguales?
HTrazando la mediatriz del segmento.
Para esto usamos regla y compás:
a.Trazamos una circunferencia con centro en un extremo del segmento y con un radio mayor que
la mitad de la distancia entre los extremos.
A

B

b.Después trazamos otra circunferencia con centro en el otro extremo y con el mismo radio.

1.2 Representación geométrica de los números reales 7
A

B

c.La intersección de las circunferencias determina dos puntosP 1yP2que se encuentran sobre la
mediatriz, pues,AP1DBP1&AP2DBP2por construcción. Trazamos la recta que une dichos
puntos y obtenemos la mediatriz deseada.
A

O

B

P
1
P2
Tenemos entonces:AODOB.
4.Con regla y compás ¿cómo divide un segmento en3partes iguales?
HSeaABel segmento de recta.
Se traza porAuna semirecta en la que se generan tres segmentos de igual magnitud mediante los
puntosO,O
1
yO
2
. Se traza el segmentoO
2
By luego segmentos paralelos desde los puntosO
1
yO
hasta el segmentoAB, para así determinar los puntosO
1yO2.
A

O
1

O
2

B

O
2

O
1

O
AODOO
1
DO
1
O
2
por construcción;
OO1jjO
1
O2jjO
2
Bpor construcción.

8 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Los triángulos4AOO 1,4AO
1
O2y4AO
2
Bson semejantes porque tienen sus ángulos iguales: el
†BAO
2
es común a los tres y los demás son iguales por ser ángulos internos correspondientes entre
paralelas cortadas por una misma secante)
AO1DO1O2DO2B;entoncesO 1yO2dividen el
segmentoABen tres partes iguales.

5.¿Cómo dividiría un segmento enqpartes iguales (dondeqes un número natural)?
HHaciendo lo mismo que en el ejercicio anterior, cambiando 3 porq.
6.¿Cómo hallaría el punto en el eje real que le corresponde al número racional
5
3
?
HDividiendo al segmento unitario en3partes iguales y llevando una de éstas a la izquierda de0
(cero), 5 veces.
7.¿Cómo hallaría el punto en el eje real que le corresponde al número racional
p
q
dondep2Zydonde
q2N?
HDividiendo al segmento unitario enqpartes iguales y llevando una de éstas a la izquierda de0
(cero),pveces sip<0obienpveces a la derecha de0sip>0.
8.¿Cómo hallaría el punto en el eje real que le corresponde al número irracional
p
5?
H
0

2

p
5

p
2
2
C1
2
D
p
5
1

9.¿Cómo hallaría el punto en el eje real que le corresponde al número irracional
p
3?
HCon centro en0se traza un arco de circunferencia de radio1.
Con centro en1se traza una semicircunferencia de radio1.
La intersección de las circunferencias determinan el puntoP.
Se traza el triángulo rectángulo con vértices en0,Py2.
P
1
0

1

2

p
2
2
1
2
D
p
3
El triángulo0P 2es rectángulo pues el ángulo enPsubtiende el diámetro02de la circunferencia con
centro en1.

1.3 Propiedades algebraicas de los números reales 9
1.3 Propiedades algebraicas de los números reales
Ejercicios 1.3.1Simpliﬁcar las expresiones numéricas siguientes:
1.
3
2
C
4
3

2
5
.
H
3
2
C
4
3

2
5
D
.15/.3/C.10/.4/.6/.2/
.2/.3/.5/
D
45C4012
30
D
73
30
.
2.

3
8

4
15

.
H

3
8

4
15

D

3
8

4
15

D
.3/.4/
.8/.15/
D
.3/.4/
.4/.2/.3/.5/
D
1
.2/.5/
D
1
10
.
3.

4
5

8
15

1
.
H

4
5

8
15

1
D

4
5
8
15
D
.4/.15/
.5/.8/
D
.4/.3/.5/
.5/.4/.2/
D
3
2
.
4.

2
3
C
3
5

3
2

5
3

.
H

2
3
C
3
5

3
2

5
3

D

10C9
15

910
6

D

19
15

1
6

D
19
.15/.6/
D
19
90
.
5.

3
2

2
3

3
2
C
1
4

1
.
H

3
2

2
3

3
2
C
1
4

1
D
3
2

2
3
3
2
C
1
4
D
94
6
6C1
4
D
5
6
7
4
D
.5/.4/
.6/.7/
D
.5/.2/.2/
.2/.3/.7/
D
.5/.2/
.3/.7/
D
10
21
.
6..16/
4
5.8/

2
5.
H.16/
4
5.8/

2
5D.2
4
/
4
5.2
3
/

2
5D2
4.
4
5
/2
3.
2
5
/D2
16
52

6
5D2
16
5
C.
6
5
/D2
16
5

6
5D2
10
5D2
2
D4.

Ejercicios 1.3.2
1.¿Cuáles son las soluciones dex
2
Da
2
?
Hx
2
Da
2
,x
2
a
2
D0,.xCa/.xa/D0,xCaD0obienxaD0,
,xDaobienxDa:

2.Calcule.xC1/.xC2/.xC3/.
H.xC1/.xC2/.xC3/D.x
2
C3xC2/.xC3/D.x
2
C3xC2/xC.x
2
C3xC2/3D
Dx
3
C3x
2
C2xC3x
2
C9xC6D
Dx
3
C6x
2
C11xC6:

10 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
3.¿Cuáles son las soluciones dex
3
C6x
2
C11xC6D0?
HxD1,xD2&xD3,
puesto que tal ecuación se puede escribir como.xC1/.xC2/.xC3/D0yestoesciertosi
xC1D0obienxC2D0obienxC3D0, esto es, sixD1obienxD2obienxD3:

4.¿Puede dar una solución o raíz dex
3
8D0?
HxD2,
puesto quex
3
8Dx
3
2
3
D.x2/.x
2
C2xC4/,entonces:
x
3
8D0,.x2/.x
2
C2xC4/D0,x2D0obienx
2
C2xC4D0:
Esta última ecuación de segundo grado (ax
2
CbxCcD0) no tiene raíces reales pues su discriminante
b
2
4acD416 < 0.
Así la única solución o raíz real esxD2.
5.¿Puede dar una solución o raíz dex
3
a
3
D0?
HxDa, puesto quex
3
a
3
D.xa/.x
2
CaxCa
2
/:
x
3
a
3
D0,.xa/.x
2
CaxCa
2
/D0,xaD0obienx
2
CaxCa
2
D0:
Esta última ecuación de segundo grado (cuadrática) no tiene raíces reales pues su discriminante es:
a
2
4a
2
<0sia¤0; así la única raíz o solución real esxDa.
6.¿Puede dar una raíz dex
3
C8D0?
HxD2, puesto que
x
3
C8D0Dx
3
C2
3
D.xC2/.x
2
2xC4/,xC2D0obienx
2
2xC4D0:
Esta última ecuación de segundo grado (cuadrática) no tiene raíces reales pues su discriminante es:
416 < 0;xC2D0,xD2;xD2es la única raíz dex
3
C8D0.
7.¿Puede dar una raíz dex
5
32D0?
HxD2, puesto que
x
5
32Dx
5
2
5
D.x2/.x
4
C2x
3
C4x
2
C8xC16/D0,
,x2D0obienx
4
C2x
3
C4x
2
C8xC16D0I
x2D0,xD2:

8.¿Puede dar una raíz dex
5
C32D0?
HxD2, puesto que
x
5
C32Dx
5
C2
5
D.xC2/.x
4
2x
3
C4x
2
8xC16/D0,
,xC2D0obienx
4
2x
3
C4x
2
8xC16D0I
xC2D0,xD2:

1.4 Orden de los números reales 11
9.¿Puede dar una raíz dex
4
81D0?
HxD3, puesto que
x
4
81Dx
4
3
4
D.x3/.x
3
C3x
2
C9xC27/D0,
,x3D0obienx
3
3x
2
C9x27D0I
x3D0,xD3:
De hecho tambiénxD3es raíz, puesto que
x
4
81D.x
2
/
2
.3
2
/
2
D.x
2
C3
2
/.x
2
3
2
/D.x
2
C9/.x
2
9/D0,
,x
2
C9D0obienx
2
9D0:
Ahora bien,
x
2
9Dx
2
3
2
D.xC3/.x3/D0,
,xC3D0obienx3D0;es decir, sixD3obienxD3:
Éstassonlasúnicasraícesreales,puesx
2
C9¤0para todax2R.
1.4 Orden de los números reales
Ejercicios 1.4.1Determinar la relación de orden que hay entre los racionales siguientes:
1.
11
5
y
20
9
.
HSe tiene
119D99&520D100I
99 < 100)
)119<520)
11
5
<
20
9
:

2.
2
3
y
8
13
.
HSe tiene
213D26&38D24I
26 > 24)213 > 38)
2
3
>
8
13
:

3.
441
189
y
7
3
.
HSe tiene
4413D1 323&1897D1 323I
1 323D1 323)4413D1897)
441
189
D
7
3
:

12 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
4.
10
3
y
33
10
.
HSe tiene
10
3
D
10
3
&
33
10
D
33
10
,entonces:
.10/.10/D100&.3/.33/D99I
100 <99).10/.10/ < .3/.33/)
)
10
3
<
33
10
:

5.
126
315
y
2
5
.
HSe tiene
126
315
D
126
315
&
2
5
D
2
5
,entonces:
.126/.5/D630&.315/.2/D630I
630D630).126/.5/D.315/.2/)
)
126
315
D
2
5
:

6.
25
46
y
6
11
.
HSe tiene
25
46
D
25
46
&
6
11
D
6
11
,entonces:
.25/.11/D275&.46/.6/D276I
275 >276).25/.11/ > .46/.6/)
)
25
46
>
6
11
:

7.Sia,bson dos números reales tales quea
2
Cb
2
D0, ¿qué se puede inferir acerca de estos dos números
a,b?
HYa que
a
2
0&b
2
0)
)a
2
Cb
2
D0,a
2
D0Ib
2
D0,aD0ytambiénbD0:

8.Sia,bson números reales tales queab&ab,¿quésepuedeinferiracercadea,b?
Hab)a>bobienaDb&ab)a<bobienaDb
Por la ley de tricotomía:
a>b&a<bno pueden suceder simultaneamente,
por lo tanto:aDb.

1.4 Orden de los números reales 13
Ejercicios 1.4.2
1.Como8>5, sustituya el signo ? por el signo que proceda en la siguiente desigualdad:
8Cc‹5 Cc,dondec2R:
H8>5,8Cc>5Cc.
2.Como8>5, sustituya el signo ? por el signo que proceda en la siguiente desigualdad:
8c ‹ 5c,dondec>0:
H8>5&c>0)8c > 5c.
3.Como8>5, sustituya el signo ? por el signo que proceda en la siguiente desigualdad:
8c ‹ 5c,dondec<0:
H8>5&c<0)8c < 5c.
4.Como8>5, sustituya el signo ? por el signo que proceda en la siguiente desigualdad:
8C8‹5 C5:
H8>5&8>5)8C8>5C5.
5.Como5>0, sustituya el signo ? por el signo que proceda en la siguiente desigualdad:
5
14
‹0
14
.D0/:
H5>0)5
14
>0.
6.Como5>0, sustituya el signo ? por el signo que proceda en la siguiente desigualdad:
5
13
‹0:
H5>0)5
13
>0.
7.Como5>0, sustituya el signo ? por el signo que proceda en la siguiente desigualdad:
5‹0:
H5>0).1/5 < .1/0)5<0.
8.Como5<0, sustituya el signo ? por el signo que proceda en la siguiente desigualdad:
.5/
14
‹0:
H5<0).5/
14
>0,yaque.5/
14
D5
14
.

14 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
9.Como5<0, sustituya el signo ? por el signo que proceda en la siguiente desigualdad:
.5/
13
‹0:
H5<0).5/
13
<0,yaque.5/
13
D5
13
.
10.Como8<5<0, sustituya el signo ? por el signo que proceda en la siguiente desigualdad:
.8/
2
‹.5/
2
:
H8<5<0).8/
2
>.5/
2
,pues.8/
2
D64ytambién.5/
2
D25.
11.Como8<5<0, sustituya el signo ? por el signo que proceda en la siguiente desigualdad:
.8/
3
‹.5/
3
:
H8<5<0).8/
3
<.5/
3
<0.Enefecto:.8/
3
D512ytambién.5/
3
D125.
12.¿Cómo es el producto de dos números positivos?
HPositivo.
13.¿Cómoeselproductodeunnúmeropositivoporunnegativo?
HNegativo, pues si el producto fuese positivo, como uno de los factores es positivo, el otro tendría
que ser positivo.
14.¿Cómo es el producto de dos números negativos?
HPositivo.
1.5 Intervalos
Ejercicios 1.5.1Escribir las siguientes desigualdades con notación de intervalo y representarlas geométricamente:
1.4x<3.
H

x

4x<3

DŒ4;3/.
4

3

2.x>12.
H

x

x>12

D.12;C1/.
12

3.x<0.
H

x

x<0

D.1;0/.

1.5 Intervalos 15
0

4.<x8.
H

x

<x8

D.; 8.

8

5.x
p
3.
H

x

x
p
3

D

p
3;C1

.

p
3

6.x
3
4
.
H

x

x
3
4

D

1;
3
4

.
3
4

7.
2
3
<x<1.
H

x

2
3
<x<1

D

2
3
;1

.

2
3

1

16 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
8.x<
p
2.
H

x

x<
p
2

D

1;
p
2

.
p
2

9.
p
5x.
H

x

p
5x

D

p
5;C1

.

p
5

10.1x5.
H

x

1x5

DŒ1; 5.
1

5

11.x23.
H

x

x23

D.1; 23.
23

1.5 Intervalos 17
12.0x.
H

x

0x

DŒ0;C1/.
0

Escribir los siguientes intervalos como una desigualdad y representarlos geométricamente:
13.Œ9;C1/.
HŒ9;C1/D

x

9x

)x9.
9

14.Œ10;1/.
HŒ10;1/D

x

10x<1

)10x<1.
10

1

15.

5
7
;C1

.
H

5
7
;C1

D

x

5
7
<x

)x>
5
7
.
5
7

18 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
16..2; 16.
H.2; 16D

x

2<x16

)2<x16.
2

16

17..1; 32/.
H.1; 32/D

x

x<32

)x<32.
32

18.

1
3
;15

.
H

1
3
;15

D

x

1
3
<x<15

)
1
3
<x<15.
1
3

15

19.

1;
15
4

.
H

1;
15
4

D

x

x
15
4

)x
15
4
.
15
4

20.

4
3
;
9
2

.
H

4
3
;
9
2

D

x

4
3
x
9
2

)
4
3
x
9
2
.

1.5 Intervalos 19

4
3

9
2

Expresar como una desigualdad y con notación de intervalo los siguientes segmentos de la recta numérica:
21.
13

H

x

13 < x

D.13;C1/:
22.
1

22

H

x

1<x22

D.1; 22 :
23.
6

H

x

x6

D.1;6 :
24.
16

3
2

H

x

16 < x <
3
2

D

16;
3
2

:
25.
0

8
3

H

x

0x
8
3

D

0;
8
3

:
26.
1

H

x

1x

DŒ1;C1/:

20 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
27.
5

5

H

x

5x<5

DŒ5; 5/ :
28.
9
4

H

x

x<
9
4

D

1;
9
4

:
Dados los intervalosI
1D.7; 4,I 2DŒ2;6/,I 3D.1;1,I 4D.0;C1/,I 5D.4;2/&I 6D?2; 8,
determinar:
29.I
1[I2.
HI
1[I2D.7; 4[Œ2;6/D.7; 6/.
I1
I2
I1[I2
7

4

2

6

30.I
1[I6.
HI
1[I6D.7; 4[?2; 8D.7; 8.
I1
I6
I1[I6
7

4

2

8

31.I
1\I2.
HI
1\I2D.7; 4\Œ2;6/DŒ2;4.
I1
I2
I1\I2
7

4

2

6

32.I
2\I6.
HI
2\I6DŒ2;6/\?2; 8DŒ2; 6/.

1.5 Intervalos 21
I2
I6
I2\I6
2

6

2

8

33.I
1I2.
HI
1I2D.7; 4Œ2;6/D.7;2/.
I1
I2
I1I2
7

4

2

6

34.I
2I5.
HI
2I5DŒ2;6/.4;2/DŒ2; 6/.
I2
I5
I2I5
2

6

4

2

35.I
3\I4.
HI
3\I4D.1;1\.0;C1/D.0; 1.
I3
I4
I3\I4
1

0

36.I
4\I5.
HI
4\I5D.0;C1/\.4;2/D.0; 2/.
I4
I5
I4\I5
0

4

2

37.I
4\I6.
HI
4\I6D.0;C1/\?2; 8D?2; 8.

22 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
I4
I6
I4\I6
0

2

8

38.I
1[I5.
HI
1[I5D.7; 4[.4;2/D.7; 4.
I1
I5
I1[I5
7

4

4

2

39.RI
3.
HRI
3DR.1;1D.1;C1/.
I3
RI 3
1

40.RI
4.
HRI
4DR.0;C1/D.1;0.
I4
RI 4
0

41.RI
2.
HRI
2DRŒ2;6/D.1;2/[Œ6;C1/.
I2
RI 2 RI 2
2

6

42.I
1\I6.
HI
1\I6D.7; 4\?2; 8D?2; 4.

1.5 Intervalos 23
I1
I6
I1\I6
7

4

2

8

43.I
3[I4.
HI
3[I4D.1;1[.0;C1/DR.
I3
I4
I3[I4
1

0

44.RI
1.
HRI
1DR.7; 4D.1;7[.4;C1/.
I1
RI 1 RI 1
7

4

45.I
4I6.
HI
4I6D.0;C1/?2; 8D.0; 2/[.8;C1/.
I4
I6
I4I6 I4I6
0

2

8

46..I
5\I6/[I 4.
H.I
5\I6/[I 4Df.4;2/\?2; 8g[.0;C1/DØ[.0;C1/D.0;C1/.
I6
I5
I4
0

2

8

4

47..I
1\I5/[I 6.
H.I
1\I5/[I 6Df.7; 4\.4;2/g[?2; 8D.4;2/[?2; 8D.4;8.

24 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
I1
I5
I6
4

2

8

7

4

48.I
3\.RI 5/.
HI
3\.RI 5/D.1;1R.4;2/gD.1;1.1;4[Œ2;C1/gD.1;4.
I3
RI 5 RI 5
1

4

2

1.6 Valor absoluto
Ejercicios 1.6.1Resolver las siguientes ecuaciones:
1.jxjD
p
2.
HLos números que cumplen la ecuaciónjxjD
p
2sonxD
p
2&xD
p
2.
2.j2xjD6.
Hj2xjD6,2xD6obien2xD6,xD3obienxD3.
Los números que cumplen la ecuaciónj2xjD6sonxD3&xD3.
3.

3x
2

D3.
H

3x
2

D3,
3x
2
D3obien
3x
2
D3,xD3

2
3

obienxD3

2
3

,
,xD2obienxD2:
Los números que cumplen la ecuación

3x
2

D3sonxD2&xD2.
4.

5x
4

D1.
H

5x
4

D1,
5x
4
D1obien
5x
4
D1,xD
4
5
obienxD
4
5
.
Los números que cumplen la ecuación

5x
4

D1sonxD
4
5
&xD
4
5
.
5.jxC2jD4.
HjxC2jD4,xC2D4obienxC2D4,xD6obienxD2.
Los números que cumplen la ecuaciónjxC2jD4sonxD6&xD2.

1.6 Valor absoluto 25
6.j1xjD1.
Hj1xjD1,1xD1obien1xD1,xD2obienxD0.
Los números que cumplen la ecuaciónj1xjD1sonxD2&xD0.
7.j2xC3jD5.
Hj2xC3jD5,2xC3D5obien2xC3D5,2xD8obien2xD2,x4obienxD1.
Los números que cumplen la ecuaciónj2xC
3jD5sonxD4&xD1.
8.j23xjD8.
Hj23xjD8,23xD8obien23xD8,3xD10obien3xD6,
,xD
10
3
obienxD2:
Los números
que cumplen la ecuaciónj23xjD8sonxD
10
3
&xD2.
9.

x
2
9

D0.
H

x
2
9

D0,x
2
9D0,x
2
D9,jxjD3,xD3obienxD3.
Los números que cumplen la ecuación

x
2
9

D0sonxD3&xD3.
10.

x
2
x4

D2.
H

x
2
x4

D2,x
2
x4D2obienx
2
x4D2.
a.x
2
x4D2,x
2
x2D0,
,.xC1/.x2/D0,xC1D0obienx2D0,
,xD1obienxD2:
b.x
2
x4D2,x
2
x6D0,
,.xC2/.x3/D0,xC2D0obienx3D0,
,xD2obienxD3:
Los números que cumplen la ecuación

x
2
x4

D2sonxD1,xD2,xD2&xD3.
Utilizando el concepto de distancia entre dos númerosd.x;a/Djxaj, obtener los númerosx2Rque satisfacen:
11.jxj<5.
Hjxj<5,jx0j<5,d.x;0/ < 5,5<x<5.
5

5

0

12.jxj>3.
Hjxj>3,jx0j>3,d.x;0/ > 3,x<3obien3<x.

26 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
3

3

0

13.jxj4.
Hjxj4,jx0j4,d.x;0/4,4x4.
4

4

0

14.jxj2.
Hjxj2,jx0j2,d.x;0/2,x2obienx2.
2

2

0

15.jxj<1.
Hjxj<1,jx0j<1,d.x;0/ <1)d.x;0/ < 0, lo cual nunca sucede, ya que no hay
distancias negativas. Entonces no hayx2Rtales quejxj<1.
16.jx3j2.
Hjx3j2,d.x;3/2,1x5.
1

5

3

17.jx1j<3.
Hjx1j<3,d.x;1/ < 3,2<x<4.
2

4

1

1.7 Resolución de desigualdades 27
18.jxC2j5.
HjxC2j5,jx.2/j5,d.x;2/5,x7obien3x.
7

3

2

19.jxC1j>4.
HjxC1j>4,jx.1/j>4,d.x;1/ > 4,x<5obien3<x.
5

3

1

20.jx4j>0.
Hjx4j>0,d.x;4/ > 0,x¤4;
pues para cualquierx2R,d.x;4/0&d.x;4/D0,xD4.
4

1.7 Resolución de desigualdades
1.7.2Desigualdades del tipoaxCbcxCd
Ejercicios 1.7.2Resolver las siguientes desigualdades:
1.12x >
x
2
3.
H
12x >
x
2
3)2x
x
2
>31)
4xx
2
>4)
)4xx>42)5x >8)
)

1
5

.5x/ <

1
5

.8/)
)x<
8
5
)x<
8
5
:
El conjunto solución es:CSD

1;
8
5

:

28 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
8
5

2.5x436x.
H5x436x)5xC6x3C4)x7.
El conjunto solución es:CSDŒ7;C1/:

7

3.
3
4
xC
5
3
<
2
9
x1.
H
3
4
xC
5
3
<
2
9
x1)
3
4
x
2
9
x<
5
3
1)
27x8x
36
<
53
3
)
)
35x
36
<
8
3
)35x <
8
3
.36/)35x <96)
)x>
96
35
)x>
96
35
:
El conjunto solución es:CSD

96
35
;C1

:

96
35

4.35x65x.
H35x65x,5xC5x63,03. Siempre se cumple.
El conjunto solución es:CSDRD.1;C1/:
5.
3
2
x5>1C
3
2
x.
H
3
2
x5>1C
3
2
x,
3
2
x
3
2
x>1C5,0>6. Nunca se cumple.
El conjunto solución es:CSDØelconjuntovacío:

1.7 Resolución de desigualdades 29
6.2.xC3/ > 3.x1/C6.
H2.xC3/ > 3.x1/C6,2xC6>3x3C6,
,2x3x >3C66,x>3,x<3:
El conjunto solución es:CSD.1;3/ :

3

1.7.3Desigualdades del tipoa 1xCb 1a2xCb 2a3xCb 3
Ejercicios 1.7.3Resolver las siguientes desigualdades:
1.1<3xC416.
HEsta doble desigualdad se cumple cuando
1<3xC4 & 3xC416,
,14<3x & 3x164,
, 3<3x & 3x12 ,
,
3
3
<x & x
12
3
,
, 1<x & x4:
El conjunto solución es:CSD.1; 4 :
1

4

Otra forma,
1<3xC416,14<3xC44164,3<3x12,
,
3
3
<x
12
3
,1<x4,x2.1; 4 :

30 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
2.1<3xC4<1.
HEsta doble desigualdad se cumple cuando
1<3xC4 & 3xC4<1 ,
, 14<3x & 3x < 14 ,
, 5<3x & 3x <3 ,
,
5
3
<x & x<
3
3
,
,
5
3
<x & x<1 ,
,x2

5
3
;C1

& x2.1;1/ :
El conjunto solución es:CSD

5
3
;C1

\.1;1/D

5
3
;1

:
1

5
3

0
Otra forma,
1<3xC4<1,14<3xC44<16,5<3x<3,
,
5
3
<x<1,x2

5
3
;1

:

3.1<3xC4<1.
HLo podemos resolver directamente, pues siCS¤Ø, habría un elementox2CStal que
1<3xC4<1, por lo que por transitividad1<1, lo cual es imposible; luego,CSDØ.

1.7 Resolución de desigualdades 31
4.
7
2
>
14x
5
>
3
2
.
HEsta doble desigualdad se cumple cuando
7
2
>
14x
5
&
14x
5
>
3
2
,
,
57
2
>14x & 14x >
35
2
,
,
35
2
>14x & 4x >
15
2
1 ,
,
35
2
1>4x & 4x >
152
2
,
,
352
2
>4x & x<
13
2.4/
,
,
33
2.4/
<x & x<
13
8
,
,x2

33
8
;C1

& x2

1;
13
8

:
El conjunto solución es:CSD

33
8
;C1

\

1;
13
8

D

33
8
;
13
8

:

33
8

13
8

0
Otra forma,
7
2
>
14x
5
>
3
2
,
7.10/
2
>
14x
5
.10/ >
3.10/
2
,35 > 28x > 15,
,33 >8x > 13,
33
8
<x<
13
8
,
,x2

33
8
;
13
8

:

32 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
5.5
43x
2
<1.
HEsta doble desigualdad se cumple cuando
5
43x
2
&
43x
2
<1 ,
,5243x & 43x < 12,
, 1043x & 3x < 24 ,
,
14
3
x & 3x <2 ,
,
14
3
x & x>
2
3
,
, x
14
3
& x>
2
3
,
, x2

1;
14
3

& x2

2
3
;C1

:
El conjunto solución es:CSD

1;
14
3

\

2
3
;C1

D

2
3
;
14
3

:
2
3

14
3

0
Otra forma,
5
43x
2
<1,5.2/

43x
2

.2/ < 1.2/,1043x < 2,143x <2,
,
14
3

3x
3
>
2
3
,
14
3
x>
2
3
,
,x2

2
3
;
14
3

:

6.6xC54xC1>x2.
HEsta doble desigualdad se cumple cuando
6xC54xC1 & 4xC1>x2,
,6x4x15 & 4xx>21,
, 2x4 & 3x >3 ,
, x
4
2
& x>
3
3
,
, x2 & x>1 ,
, x2Œ2;C1 & x2.1;C1/:

1.7 Resolución de desigualdades 33
El conjunto solución es:CSDŒ2;C1/\.1;C1/D.1;C1/:
2

1

0

7.32x < 3xC4<4x.
HEsta doble desigualdad se cumple cuando
32x < 3xC4 & 3xC4<4x,
,2x3x < 43 & 3xCx<44,
, 5x < 1 & 4x < 0 ,
, x>
1
5
& x<
0
4
,
, x>
1
5
& x<0 ,
, x2

1
5
;C1

& x2.1;0/:
El conjunto solución es:CSD

1
5
;C1

\.1;0/D

1
5
;0

:

1
5

0

34 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
8.
2
3
xC58
3
4
x7C
4
5
x.
HEsta doble desigualdad se cumple cuando
2
3
xC58
3
4
x & 8
3
4
x7C
4
5
x,
,
2
3
xC
3
4
x85 &
3
4
x
4
5
x78,
,
8xC9x
12
3 &
15x16x
20
1,
,
17x
12
3 & 31x1.20/ ,
, 17x3.12/ & x
20
31
,
, 17x36 & x
20
31
,
, x
36
17
& x
20
31
,
, x2

1;
36
17

& x2

20
31
;C1

:
El conjunto solución es:CSD

1;
36
17

\

20
31
;C1

D

20
31
;
36
17

:
20
31

36
17

9.15x8C3x < 3xC9.
HEsta doble desigualdad se cumple cuando
15x8C3x & 8C3x < 3xC9 ,
,5x3x81 & 3x3x < 98 ,
, 8x7 & 0<1(siempre se cumple),
, x
7
8
& x2R ,
, x2

7
8
;C1

& x2R:
El conjunto solución es:CSD

7
8
;C1

\RD

7
8
;C1

:

1.7 Resolución de desigualdades 35

7
8

0

10.3xC4>63x9xC5.
HEsta doble desigualdad se cumple cuando
3xC4>63x & 63x9xC5,
, 3xC3x > 64 & 3x9x56,
, 0>2 & 12x1 ,
,(nunca se cumple) & x
1
12
,
, x2Ø& x
1
12
:
Debido a que ambas desigualdades no se pueden cumplir a la vez, podemos aﬁrmar que el conjunto
solución es el conjunto vacío Ø. Esto es:
CSDØ\

1;
1
12

DØ:

11.3x4<9xC2<x10.
HLa primera desigualdad3x4<9xC2equivale a
42<9x3x,6<6x,
6
6
<x,1<x,x2.1;C1/:
Y la segunda desigualdad9xC2<x10se cumple si
8x <12,x<
3
2
,x2

1;
3
2

:
Por lo que el conjunto solución es:CSD

1;
3
2

\.1;C1/DØ:

3
2

1

36 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
1.7.5Desigualdades del tipojaxCbjMconM>0
Ejercicios 1.7.5Resolver las siguientes desigualdades:
1.jx13j5.
Hjx13j5, 5x135 ,
,5C13.x13/C135C13,
, 8x18,x2?8; 18 :
El conjunto solución es:CSD?8; 18 :
2.j2xC5j<3.
Hj2xC5j<3, 3<2xC5<3 ,
, 35<.2xC5/5<35,
, 8<2x<2 ,
,
8
2
<
2x
2
<
2
2
,
,4<x<1,x2.4;1/ :
El conjunto solución es:CSD.4;1/ :
3.jxC4j6.
HjxC4j6, xC46obien xC46,
, x64 obien x64 ,
, x10 obien x2 ,
,x2.1;10obienx2Œ2;C1/:
El conjunto solución es:CSD.1;10[Œ2;C1/DR
.10; 2/ :
4.j3x1j>4.
Hj3x1j>4,3x1<4obien 3x1>4 ,
,3x <4C1obien 3x > 4C1 ,
, x<
3
3
obien x>
5
3
,
,x2.1;1/obienx2

5
3
;C1

:
El conjunto solución es:CSD.1;1/[

5
3
;C1

DR

1;
5
3

:

1.7 Resolución de desigualdades 37
5.

2xC3
4

3.
H

2xC3
4

3, 3
2xC3
4
3 ,
, 122xC312 ,
,1232x123,
,
15
2
x
9
2
,
, x2

15
2
;
9
2

:
El conjunto solución es:CSD

15
2
;
9
2

:
6.

3
2
x
4
3

>1.
H

3
2
x
4
3

>1,
3
2
x
4
3
<1obien
3
2
x
4
3
>1 ,
,
3
2
x<1C
4
3
obien
3
2
x>1C
4
3
,
, x<
2
3

1
3

obien x>
2
3

7
3

,
, x<
2
9
obien x>
14
9
,
,x2

1;
2
9

obienx2

14
9
;C1

:
El conjunto solución es:CSD

1;
2
9

[

14
9
;C1

DR

2
9
;
14
9

:
7.j25xj
5
2
.
H
j25xj
5
2
, 25x
5
2
obien 25x
5
2
,
, 5x
5
2
2 obien 5x
5
2
2 ,
,
1
5
.5x/

1
5

9
2

obien

1
5

.5x/

1
5

1
2

,
, x
9
10
obien x
1
10
,
, x2

9
10
;C1

obien x2

1;
1
10

:
El conjunto solución es:CSD

1;
1
10

[

9
10
;C1

DR

1
10
;
9
10

:

38 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
8.

4
2
3
x

<
6
5
.
H

4
2
3
x

<
6
5
,
6
5
<4
2
3
x<
6
5
,
,
6
5
4<
2
3
x<
6
5
4 ,
,
26
5
<
2
3
x<
14
5
,
,

3
2

26
5

>

3
2

2
3
x

>

3
2

14
5

,
,
39
5
>x>
21
5
,
, x2

21
5
;
39
5

:
El conjunto solución es:CSD

21
5
;
39
5

:
9.

5
2

3x
4

>0.
HSiendor2R,sesabequejrj0yademásquejrjD0,rD0.
Esto implica quejrj>0,r¤0.
Luego:

5
2

3x
4

>0,
5
2

3x
4
¤0:
Pero
5
2

3x
4
D0,
3x
4
D
5
2
,xD
5.4/
2.3/
D
10
3
:
Por lo tanto:

5
2

3x
4

>0,
5
2

3x
4
¤0,x¤
10
3
:
El conjunto solución es:CSDR

10
3

:
10.

2
5
C
4x
3

0.
HYa quejrj0para cadar2R,entoncesjrj<0no puede ocurrir.
Luego,jrj0,jrjD0,rD0.
Por lo tanto,

2
5
C
4x
3

0,

2
5
C
4x
3

D0,
2
5
C
4x
3
D0,
,
4x
3
D
2
5
,xD
2.3/
5.4/
D
3
10
:
El conjunto solución es:CSD

3
10

:

1.7 Resolución de desigualdades 39
11.

2
5
C
4x
3

1.
HYa quejrj0para cadar2R,entoncesjrj1no puede ocurrir.
El conjunto solución de

2
5
C
4x
3

1es el conjunto vacío Ø.
12.

2
5
C
4x
3

0.
HYa quejrj0para cadar2R,entonces

2
5
C
4x
3

0siempre ocurre.
El conjunto solución de

2
5
C
4x
3

0esR.
13.

2
5
C
4x
3

1.
HYa quejrj0>1para cadar2R, entonces el conjunto solución esR.
14.

2
5
C
4x
3

<0.
HYa quejrj0para cadar2R,entoncesjrj<0no puede ocurrir.
El conjunto solución es el conjunto vacío, Ø.
1.7.7Desigualdades del tipo
axCb
cxCd
k
Ejercicios 1.7.7Resolver las siguientes desigualdades:
1.
5C3x
4xC5
>1.
H
5C3x
4xC5
1>0,
5C3x1.4xC5/
4xC5
>0,
5C3x4x5
4xC5
>0,
x
4xC5
>0:
Esta desigualdad se cumple cuando
x>0 &4xC5>0 obienx<0 &4xC5<0 ,
,x<0 &4x >5 obienx>0 &4x <5 ,
,x<0 &x>
5
4
obienx>0 &x<
5
4
,
,x2

5
4
;0

obienx2Ø:
El conjunto solución es:CSD

5
4
;0

[ØD

5
4
;0

:

5
4

0

40 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
2.
2
35x

3
5
.
HPensemos primero que
35x > 0,3>5x,x<
3
5
:
En este caso la desigualdad propuesta equivale a
2
3
5
.35x/,2
9
5
C3x,2C
9
5
3x,
10C9
5
3x,
,x
19
53
,x
19
15
:
Pero no existex2Rtal que
x<
3
5
&
19
15
:
Ahora bien, si consideramos el caso
35x < 0,3<5x,x>
3
5
;
la desigualdad a resolver es:
2
3
5
.35x/,2
9
5
C3x,2C
9
5
3x,
10C9
5
3x,x
19
15
:
Luego, el conjunto solución es:CSD

1;
19
15

\

3
5
;C1

D

3
5
;
19
15

:
3
5

19
15

3.
6x5
x2
<7:
HSix2>0,esdecir,six>2, la desigualdad dada equivale a
6x5<7.x2/,6x5<7x14,
,5C14 < 7x6x,9<x,x2.9;C1/;
puesto que, six>9,entoncesx>2, y una parte del conjunto solución es:
.2;C1/\.9;C1/D.9;C1/:
Six2<0,x<2, la desigualdad dada equivale a
6x5>7.x2/,6x5>7x14,5C14 > 7x6x,
,9>x,x2.1;9/I
ylaotrapartedelconjuntosoluciónserá:
.1;2/\.1;9/D.1;2/ :
Por lo tanto el conjunto solución será:
CSD.1;2/[.9;C1/DR?2; 9:

1.7 Resolución de desigualdades 41
2

9

4.
2
x4
<7:
HLa desigualdad
2
x4
<7es la misma que
2
.x4/
<7)
2
4x
<7.
Ya que4x>0,x<4,x2.1;4/, la desigualdad dada es equivalente a
2<7.4x/,2<287x,7x < 282,7x < 26,
,x<
26
7
,x2

1;
26
7

:
Como

1;
26
7

.1;4/, entonces parte del conjunto solución es:

1;
26
7

en este caso.
Ahora,4x<0,x2.4;C1/. La desigualdad dada es equivalente a
2>7.4x/,2>287x,7x > 282,7x > 26,
,x>
26
7
,x2

26
7
;C1

:
Como.4;C1/

26
7
;C1

,entoncesx2.4;C1/\

26
7
;C1

D.4;C1/y.4;C1/es parte del
conjunto solución también.
Por lo que el conjunto solución de la desigualdad
2
x4
<7es :
CSD

1;
26
7

[.4;C1/DR

26
7
;4

:
26
7

4

5.
x
x1
>
1
4
:
HLa desigualdad es equivalente a
x
x1

1
4
>0,
4xxC1
4.x1/
>0,
3xC1
4.x1/
>0:
Ésta se cumple si
3xC1>0 & 4.x1/ > 0obien3xC1<0 & 4.x1/ < 0,
,3x >1 & x1>0 obien3x <1 & x1<0 ,
,x>
1
3
& x>1 obienx<
1
3
& x<1 ,
, x>1 obien x<
1
3
:

42 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Luego, el conjunto solución es:
CSD

1;
1
3

[.1;C1/DR

1
3
;1

:

1
3

1

6.
2xC3
xC8
<5:
HLa desigualdad es equivalente a:
2xC3
xC8
5<0,
2xC35x40
xC8
<0,
3x37
xC8
<0:
Lo cual se cumple si
3x37 > 0 &xC8<0 obien3x37 < 0 & xC8>0 ,
,3x <37 &x<8 obien3x >37 & x>8 ,
,x<
37
3
&x<8 obienx>
37
3
& x>8 ,
,x<
37
3
obien x>8 ,
,x2

1;
37
3

obien x2.8;C1/:
Luego, el conjunto solución de la desigualdad propuesta es:
CSD

1;
37
3

[.8;C1/DR

37
3
;8

:

37
3

8

7.
3x
4xC1
4:
HEsta desigualdad equivale a
3x
4xC1
40,
3x16x4
4xC1
0,
17x1
4xC1
0,
,
17xC1
4xC1
0,
17xC1
4xC1
0I

1.7 Resolución de desigualdades 43
esta última se cumple si
17xC10& 4xC1<0 obien 17xC10 &4xC1>0 ,
, 17x1 & 4x <1obien 17x1 & 4x >1,
, x
1
17
& x<
1
4
obien x
1
17
& x>
1
4
,
, x2Øobien x2

1
4
;
1
17

:
Por lo que el conjunto solución es precisamente:
CSD

1
4
;
1
17

:

1
17

1
4

8.
2x9
x1
8:
HEsta desigualdad es equivalente a
2x9
x1
80,
2x98xC8
x1
D
6x1
x1
D
6xC1
x1
0,
6xC1
x1
0:
Y esta última se cumple si
6xC10 & x1<0 obien6xC10 & x1>0 ,
, 6x1 & x<1 obien6x1 & x>1 ,
, x
1
6
& x<1 obien x
1
6
& x>1 ,
, x2

1
6
;1

obien x2Ø:
Luego, el conjunto solución es:
CSD

1
6
;1

:

1
6

1

9.
2C3x
34x
2:
HTransponiendo términos la desigualdad propuesta equivale a:
2C3x
34x
20

44 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
y obtenemos así
2C3x6C8x
34x
0,
11x4
34x
0:
Lo cual ocurre si
11x40&34x < 0obien11x40&34x > 0,
, 11x4 &4x <3obien 11x4 &4x >3,
, x
4
11
& x>
3
4
obien x
4
11
& x<
3
4
,
, x2

3
4
;C1

obien x2

1;
4
11

:
Luego, el conjunto solución es:
CSD

1;
4
11

[

3
4
;C1

DR

4
11
;
3
4

:
4
11

3
4

10.
2
x
5<
3
x
C2:
HTransponiendo términos
2
x
5
3
x
2<0:
Efectuando las operaciones indicadas
25x32x
x
<0,
7xC1
x
<0,
7xC1
x
>0:
Esta última desigualdad se cumple si
7xC1>0 &x>0 obien7xC1<0 &x<0,
,7x >1&x>0 obien7x <1 &x<0,
,x>
1
7
&x>0 obienx<
1
7
&x<0,
,x2

1
7
;C1

&x2.0;C1/ obienx2

1;
1
7

&x2.1;0/,
,x2

1
7
;C1

\.0;C1/D.0;C1/obienx2

1;
1
7

\.1;0/D

1;
1
7

.
Por lo que el conjunto solución es:
CSD

1;
1
7

[.0;C1/DR

1
7
;0

:

1
7

0

1.7 Resolución de desigualdades 45
1.7.8Desigualdades del tipoax
2
CbxCc0cona¤0
Ejercicios 1.7.8Resolver las siguientes desigualdades:
1.x
2
5xC4>0.
HFactorizando:
x
2
5xC4D.x4/.x1/:
Entonces:
x
2
5xC4>0,.x4/.x1/ > 0:
Esta última desigualdad se cumple si
x4>0 & x1>0 obienx4<0 & x1<0,
,x>4 & x>1 obien x<4 & x<1,
, x2.4;C1/ obien x2.1;1/:
El conjunto solución es:
CSD.1;1/[.4;C1/DR?1; 4 :
1

4

2.x
2
4x12 < 0.
HComo
x
2
4x12D.x6/.xC2/;
entonces:
x
2
4x12 < 0,.x6/.xC2/ < 0:
Esta última desigualdad se cumple si
x6<0 & xC2>0 obienx6>0 & xC2<0,
,x<6 & x>2obien x>6 & x<2,
, x2.2;6/ obien x2Ø:
El conjunto solución es:
CSD.2;6/[ØD.2;6/:
2

6

46 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
3.9x
2
40.
HComo
9x
2
4D.3xC2/.3x2/;
entonces:
9x
2
40,.3x2/.3xC2/0:
Esta última desigualdad se cumple si
3x20&3xC20obien3x20&3xC20,
,3x2& 3x2obien 3x2 & 3x2,
,x
2
3
& x
2
3
obien x
2
3
& x
2
3
,
,x2

2
3
;C1

obienx2

1;
2
3

:
El conjunto solución es:
CSD

1;
2
3

[

2
3
;C1

DR

2
3
;
2
3

:

2
3

2
3

4.1x
2
0.
HMultiplicando por1ambos miembros obtenemos una desigualdad equivalente a la propuesta:
1x
2
0,x
2
10,.xC1/.x1/0:
Esta última desigualdad se cumple si
,xC10&x10obienxC10&x10,
,x1& x1 obienx1& x1,
,x2Œ1;C1/ obien x2.1;1 :
El conjunto solución es:
CSD.1;1[Œ1;C1/DR.1; 1/ :
1

1

1.7 Resolución de desigualdades 47
5.2x
2
C5xC2>0.
HMultiplicando por
1
2
ambos miembros de la desigualdad:
2x
2
C5xC2>0,x
2
C
5
2
xC1>0,.xC2/

xC
1
2

>0:
Esta última desigualdad se cumple si
,xC2>0 &xC
1
2
>0obienxC2<0 &xC
1
2
<0,
,x>2& x>
1
2
obienx<2& x<
1
2
,
,x2

1
2
;C1

obien x2.1;2/ :
El conjunto solución es:
CSD.1;2/[

1
2
;C1

DR

2;
1
2

:
2

1
2

6.2x
2
C5x3<0.
HMultiplicando por
1
2
ambos miembros de la desigualdad:
2x
2
C5x3<0,x
2
C
5
2
x
3
2
<0,.xC3/

x
1
2

<0:
Esta última desigualdad se cumple si
xC3>0 &x
1
2
<0obienxC3<0 &x
1
2
>0,
,x>3& x<
1
2
obienx<3& x>
1
2
,
,x2

3;
1
2

obien x2Ø:
El conjunto solución es:
CSD

3;
1
2

[ØD

3;
1
2

:
3

1
2

48 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
7.3x
2
x20.
HMultiplicando por
1
3
ambos miembros de la desigualdad:
3x
2
x20,x
2

1
3
x
2
3
0,

xC
2
3

.x1/0:
Esta última desigualdad se cumple si
xC
2
3
0&x10obienxC
2
3
0&x10,
,x
2
3
& x1 obienx
2
3
& x1,
,x2Œ1;C1/ obien x2

1;
2
3

:
El conjunto solución es:
CSD

1;
2
3

[Œ1;C1/DR

2
3
;1

:

2
3

1

8.3x
2
C7x60.
HMultiplicando por
1
3
ambos miembros de la desigualdad:
3x
2
C7x60,x
2
C
7
3
x20,.xC3/

x
2
3

0:
Esta última desigualdad se cumple si
xC30&x
2
3
0obienxC30&x
2
3
0,
,x3& x
2
3
obienx3& x
2
3
,
,x2

3;
2
3

obien x2Ø:
El conjunto solución es:
CSD

3;
2
3

[ØD

3;
2
3

:
3

2
3

1.7 Resolución de desigualdades 49
9.2x
2
C9xC522x4x
2
.
H2x
2
C9xC522x4x
2
,2x
2
C4x
2
C9xC2xC520,6x
2
C11xC30.
Multiplicando por
1
6
ambos miembros de la última desigualdad:
6x
2
C11xC30,x
2
C
11
6
xC
3
6
0,x
2
C
11
6
xC
1
2
0:
Obtenemos
x
2
C
11
6
xC
1
2
D0,xD

11
6
˙

121
36
2
2
)xD
11
12
˙

12172
36
2
)
)xD
11
12
˙

49
36
2
)xD
11
12
˙
7
6
2
D
11
12
˙
7
12
)xD
1
3
obienxD
3
2
:
Yasí:
x
2
C
11
6
xC
1
2
D

xC
3
2

xC
1
3

0:
Esta última desigualdad se cumple si
xC
3
2
0&xC
1
3
0obienxC
3
2
0&xC
1
3
0,
,x
3
2
& x
1
3
obienx
3
2
& x
1
3
,
,x2

3
2
;
1
3

obien x2Ø:
El conjunto solución es:
CSD

3
2
;
1
3

[ØD

3
2
;
1
3

:

3
2

1
3

10.3x
2
C3x2>4x9x
2
1.
H3x
2
C3x2>4x9x
2
1,3x
2
C9x
2
C3x4x2C1>0,6x
2
x1>0.
Multiplicando por
1
6
ambos miembros de la última desigualdad:
6x
2
x1>0,x
2

1
6
x
1
6
>0,

x
3
6

xC
2
6

>0,
,

x
1
2

xC
1
3

>0:

50 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Esta última desigualdad se cumple si
x
1
2
>0 & xC
1
3
>0obienx
1
2
<0& xC
1
3
<0,
,x>
1
2
& x>
1
3
obien x<
1
2
& x<
1
3
,
, x2

1
2
;C1

obien x2

1;
1
3

:
El conjunto solución es:
CSD

1;
1
3

[

1
2
;C1

DR

1
3
;
1
2

:

1
3

1
2

11.4x
2
2xC110x
2
C3x5.
H4x
2
2xC110x
2
C3x5,010x
2
4x
2
C3xC2x51,
,06x
2
C5x6,6x
2
C5x60:
Multiplicando por
1
6
ambos miembros de la última desigualdad:
6x
2
C5x60,x
2
C
5
6
x10,

xC
3
2

x
2
3

0:
Esta última desigualdad se cumple si
xC
3
2
0 & x
2
3
0obienxC
3
2
0 & x
2
3
0,
,x
3
2
& x
2
3
obienx
3
2
& x
2
3
,
, x2

3
2
;
2
3

obien x2Ø:
El conjunto solución es:
CSD

3
2
;
2
3

[ØD

3
2
;
2
3

:

3
2

2
3

1.7 Resolución de desigualdades 51
12.2x
2
C3x4<x
2
Cx6.
H2x
2
C3x4<x
2
Cx6,2x
2
x
2
C3xx4C6<0,x
2
C2xC2<0.
Reescribiendo el trinomio cuadrático mediante un trinomio cuadrado perfecto:
x
2
C2xC2<0,x
2
C2xC11C2<0,.xC1/
2
C1<0,.xC1/
2
<1:
Nunca se cumple que un número al cuadrado sea negativo. Por lo tanto no existe solución. El conjunto
solución es el conjunto vacío:
CSDØ:
De hechoyDx
2
C2xC2obienyD.xC1/
2
C1es una parábola con vértice enV.1; 1/,queseabre
hacia arriba, por lo cual siempre toma valores positivos.
También podemos observar que el discriminante de la ecuaciónx
2
C2xC2D0es negativo , es decir,
b
2
4acD44.1/.2/ < 0; luego, no tiene raíces reales. La parábolayDx
2
C2xC2nunca corta al
ejedelasx.ParaxD0, por ejemplo,x
2
C2xC2vale2, con lo cual siempre está por encima del eje
de lasxynuncaesnegativa.
13.2x
2
3x < x
2
2x
2
4:
HTenemos que resolver dos desigualdades
2x
2
3x < x
2
&x
2
2x
2
4:
La primera equivale a
x
2
3x < 0,x.x3/ < 0:
Yestoocurresi
x<0 & x3>0 obienx>0 & x3<0,
,x<0 & x>3 obienx>0 & x<3,
, x2Øobien x2.0; 3/ :
Por lo tanto la primera desigualdad se cumple si
x2CS
1D.0; 3/ :
La segunda,x
2
2x
2
4,equivalea
x
2
40,.xC2/.x2/0:
Ysecumplesi
xC20 & x20obienxC20 & x20,
,x2 & x2 obienx2 & x2,
, x2.1;2 obien x2Œ2;C1/:
Entonces esta desigualdad se cumple si
x2CS
2D.1;2[Œ2;C1/:
Y ambas se cumplen si
x2.CS
1\CS2/Dx2.0; 3/.1;2[Œ2;C1/gDŒ2; 3/ :

52 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
2

0

2

3

14.2x
2
C7x52x2:
HLa desigualdad equivale a
2x
2
C7x52xC20,2x
2
C5x30:
Resolvamos la igualdad
2x
2
C5x3D0)xD
5˙
p
25C24
4
D
5˙7
4
D
⎧
⎨
⎩
1
2
I
3:
Yentonces2x
2
C5x3D2

x
1
2

.xC3/; el signo de este trinomio nos lo da la tabla siguiente:
Signo de
IntervaloxC3x
1
2
2x
2
C5x3
x<3

<
1
2

C
3<x<
1
2
C
x>
1
2
.>3/ C C C
Por lo que el conjunto solución de la desigualdad propuesta es:

3;
1
2

:
1
2

3

15.
3x
2
27
53x
0:
HEsta desigualdad equivale a
x
2
953x
0, que se obtiene multiplicando la anterior por
1
3
. La última

1.7 Resolución de desigualdades 53
desigualdad ocurre si
x
2
90 &53x > 0obienx
2
90&53x < 0,
,x
2
9 & 3x < 5obien x
2
9 & 3x > 5,
,jxj3 & x<
5
3
obien jxj3 & x>
5
3
,
,x3obienx3& x<
5
3
obien3x3& x>
5
3
,
,x2.1;3 obien x2

5
3
;3

:
Luego, el conjunto solución es:
CSD.1;3[

5
3
;3

:

3

3

5
3
Comentario: otra manera de resolver la desigualdad es mediante una tabla.
Como
x
2
9
53x
D
.xC3/.x3/
53x
;
también podemos averiguar cuándo es no negativa, viendo el signo de cada factor
Signo de
Intervalo xC353xx3
x
2
9
53x
x<3

<
5
3
<3

C C
3<x<
5
3
.< 3/ C C
.3</
5
3
<x<3 C C

3<
5
3
<

3<x C C
Luego,
x
2
9
53x
0,x2.1;3[

5
3
;3

.

54 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
16.x
2
C3x62:
HCompletando un trinomio cuadrado perfecto
x
2
C3x62,x
2
C3x2C6,x
2
C3xC

3
2

2
8C

3
2

2
,
,

xC
3
2

2
8C
9
4
,

xC
3
2

2

41
4
,

xC
3
2

2

p
41
2

2
,
,

xC
3
2

p
41
2
:
Esta última desigualdad se cumple si
xC
3
2

p
41
2
obienxC
3
2

p
41
2
,
,x
p
41
2

3
2
obienx
p
41
2

3
2
,
,x
p
41C3
2
obienx
p
413
2
:
El conjunto solución de la desigualdad es:
CSD

1;
p
41C3
2

[
p
413
2
;C1

DR

p
41C3
2
;
p
413
2

:

p
41C3
2

p
413
2

Comentario: otra manera de resolver esta desigualdad es la siguiente:
Observamos que
x
2
C3x62,x
2
C3x80:
Además
x
2
C3x8D0,xD
3˙
p
9C32
2
D
3˙
p
41
2
D
3
p
41
2
:
Por lo que
x
2
C3x8D

xC
3C
p
41
2

xC
3
p
41
2

:
Y de aquí se podría resolver directamente la desigualdad propuesta y comprobar el resultado que
obtuvimos por el otro procedimiento.
17.3x3x
2
24x9x
2
1:
HVem o s que
3x3x
2
24x9x
2
1,3x3x
2
24xC9x
2
C10,
,6x
2
x10,.3xC1/.2x1/0:

1.8 Apéndice del capítulo 1 55
Esta última desigualdad se cumple si
3xC10&2x10obien3xC10&2x10,
, 3x1& 2x1 obien3x1& 2x1 ,
, x
1
3
& x
1
2
obien x
1
3
& x
1
2
,
, x
1
3
obien x
1
2
,
, x2

1;
1
3

[

1
2
;C1

:
El conjunto solución es:
CSD

1;
1
3

[

1
2
;C1

DR

1
3
;
1
2

:

1
3

1
2

1.8 Apéndice del capítulo 1
1.8.1Conjuntos
Ejercicios 1.8.1Expresar por extensión los conjuntos siguientes:
1.AD

x2R

2xC3D0

.
HYa que2xC3D0,2xD3,xD
3
2
,entoncesAD

3
2

.

2.BD

x2R

3x
2
D4

.
HYa que3x
2
D4,x
2
D
4
3
,xD˙

4
3
D˙
2
p
3
,entoncesBD

2
p
3
;
2
p
3

.

3.CD

x2R

x
3
1D0

.
Hx
3
1D0,x
3
D1,xD
3
p
1D1,entoncesCDf1g.

4.DD

x2R

x
4
1D0

.
Hx
4
1D0,.x
2
C1/.x
2
1/D0,.x
2
C1/.xC1/.x1/D0,
,.xC1/.x1/D0(ya quex
2
C1¤0/,
,xC1D0obienx1D0,
,xD1obienxD1)
)DDf1; 1g:

56 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
5.ED

x2R

x
3
D4x

.
Hx
3
D4x,x
3
4xD0,x.x
2
4/D0,x.x
2
2
2
/D0,
,x.xC2/.x2/D0,
,xD0obienxC2D0obienx2D0,
,xD0obienxD2obienxD2)
)EDf0;2;2g:

6.FD

x2R

x
2
C2x15D0

.
Hx
2
C2x15D0,.xC5/.x3/D0,
,xC5D0obienx3D0,
,xD5obienxD3)
)FDf5; 3g:

7.GD

x2R

x
3
7x
2
C10xD0

.
Hx
3
7x
2
C10xD0,x.x
2
7xC10/D0,
,x.x2/.x5/D0,
,xD0obienx2D0obienx5D0,
,xD0obienxD2obienxD5)
)GDf0; 2; 5g:

8.HD

x2R

xDx

.
HYa que cada númeroxes igual a sí mismo, entoncesxDxse cumple para todo númerox.
Por lo tantoHDR.

9.ID

x2R

x¤x

.
HYa que cada númeroxes igual a sí mismo, entonces
xnopuedeserdiferentedesímismo. Es
decir, no hayxtales quex¤x. Por lo tanto el conjuntoIno tiene elementos. Esto es
IDØ (el conjunto vacío).

10.JD

x2R

x
2
C1D0

.
HYa quex
2
nunca es negativo, el menor valor que puede tenerx
2
es cero (precisamente paraxD0).
Entonces el menor valor que puede tenerx
2
C1es precisamente 1, por lo cual nunca puede suceder
quex
2
C1D0.Esdecir,Jno tiene elementos:
JDØ (el conjunto vacío).

1.8 Apéndice del capítulo 1 57
11.Considerando el conjuntoADf1; 2; 3g, indicar si es falsa (F)overdadera(V) cada una de las si-
guientes aﬁrmaciones. Argumentar cada respuesta.
a.22A.
b.f1; 2gA.
c.f3; 1; 2gDA.
d.f1; 2; 3; 2; 3g6 A.
e.f2gA.
f.ØA.
H a.22A:V, ya que el número 2 es, en efecto, un elemento del conjuntoA.
b.f1; 2gA:V,yaquef1; 2ges un conjunto cuyos elementos (1 y 2) son también
elementos del conjuntoA.
c.f3; 1; 2gDA:V, ya que los elementos de un conjunto se pueden escribir en el orden
quesequiera.Entoncesf3; 1; 2gDf1; 2; 3gDA.
d.f1; 2; 3; 2; 3g6 A:F,yaquef1; 2; 3; 2; 3
gDA,porlocualf1; 2; 3; 2; 3gAyvice-
versa.
e.f2gA:V,yaquef2gtiene por elemento al número 2 que también es elemento de
ADf1; 2; 3g.
f.ØA:V, ya que el conjunto vacío Ø es subconjunto de cualquier conjunto, en par-
ticular del conjuntoA.

12.Considerando los conjuntosADf1; 2; 3; 4; 5g;BDf0;2;4;6;8g;CDf1; 3; 5; 7; 9gy
DDf0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g, obtener los conjuntos siguientes:
a.A[B.
b.A[C.
c.A\B.
d.A\C.
e.BA.
f.CA.
g.B[C.
h.DC.
i.DB
.
j.B\C.
k.D[A.
l.D\A.
m.B[D.
n.C\D.
o..A[C/.A\C/.
H
a.A[BDf1; 2; 3; 4; 5g[f0;2;4;6;8gDf1; 2; 3; 4; 5; 0; 2; 4; 6; 8gDf0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8g.
b.A[CDf1; 2; 3; 4; 5g[f1; 3; 5; 7; 9gDf1; 2; 3; 4; 5; 1; 3; 5; 7; 9gDf1; 2; 3; 4; 5; 7; 9g.
c.A\BDf1; 2; 3; 4; 5g\f0;2;4;6;8gDf2;4g.
d.A\CDf1; 2; 3; 4; 5g\f1; 3; 5; 7; 9gDf1; 3; 5g.
e.BADf0;2;4;6;8gf1; 2; 3; 4; 5gDf0; 6; 8g.
f.
CADf1; 3; 5; 7; 9gf1; 2; 3; 4; 5gDf7; 9g.
g.B[CDf0;2;4;6;8g[f1; 3; 5; 7; 9gDf0; 2; 4; 6; 8; 1; 3; 5; 7; 9gD.
Df0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9gDD.

58 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
h.DCDf0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9gf1; 3; 5; 7; 9gDf0;2;4;6;8gDB.
i.DBDf0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9gf0;2;4;6;8gDf1; 3; 5; 7; 9gDC.
j.B\CDf0;2;4;6;8g\f1; 3; 5; 7; 9gDØ.
k.D[ADDya queAD.
l.D\ADAya queAD.
m.B[DDDya queBD.
n.C\DDCya queCD.
o..A[C/.A\C/.
Por el inciso (b) se tiene queA[CDf1; 2; 3; 4; 5; 7; 9g.
Por el inciso (d) se tiene queA\C
Df1; 3; 5g.
Entonces,
.A[C/.A\C/Df1; 2; 3; 4; 5; 7; 9gf1; 3; 5gDf2;4;7;9g:

CAPÍTULO
2
Funciones
2.2 Función real de una variable real
Ejercicios 2.2.1Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciones:
1.f.x/D
p
5Cx.
HD
fD

x2R

f.x/2R

D

x2R

p
5Cx2R

D

x2R

5Cx0

D
D

x2R

x5

DŒ5;C1/)D
fDŒ5;C1/:

2.g.x/D
x
4x
2
9
.
HD
gD

x2R

g.x/2R

D

x2R

x
4x
2
9
2R

D

x2R

4x
2
9¤0

D
DR

x2R

4x
2
9D0

DR

x2R

x
2
D
9
4

DR

x2R

jxjD
3
2

D
DR

x2R

xD˙
3
2

DR

3
2
;
3
2

)
)D
gDR

3
2
;
3
2

D

1;
3
2

[

3
2
;
3
2

[

3
2
;C1

:

59

60 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
3.h.t/D
p
83t.
HD
hD

t2R

h.t/2R

D

t2R

p
83t2R

D

t2R

83t0

D
D

t2R

3t8

D

t2R

t
8
3

D

1;
8
3

)
)D
hD

1;
8
3

:

4.j.x/D
x
2
CxC1
x
2
2x8
.
H
D
jD

x2R

j.x/2R

D

x2R

x
2
CxC1
x
2
2x8
2R

D
D

x2R

x
2
2x8¤0

DR

x2R

x
2
2x8D0

D
DR

x2R

.x4/.xC2/D0

DR

x2R

x4D0obienxC2D0

D
DR

x2R

xD4obienxD2

DRf2;4g)
)D
jDRf2;4gD.1;2/[.2;4/[.4;C1/:

5.˛.y/D
2yC5
y
2
C1
.
H
D
˛D

y2R

˛.y/2R

D

y2R

2yC5
y
2
C1
2R

D
D

y2R

y
2
C1¤0

DR

y2R

y
2
C1D0

DRØDR)
)D
˛DR:

6.ˇ.x/D
p
103x
x
2
Cx6
.
H
D
ˇD

x2R

ˇ.x/2R

D

x2R

p
103x
x
2
Cx6
2R
ˇ
D
D

x2R

p
103x2R&x
2
Cx6¤0

D
D

x2R

103x0&.xC3/.x2/¤0

D
D

x2R

3x10&xC3¤0&x2¤0

D
D

x2R

x
10
3
&x?3&x¤2

)
)D
ˇD

1;
10
3

f3; 2g:

2.2 Función real de una variable real 61
7..u/D
3
p
u
2
uC6.
HD
D

u2R

.u/2R

D

u2R

3
ˆ
u
2
uC62R

DR)
)D
DR,yaqueunaraízimparnotienerestricciones.

8..x/D
3
p
x1
p
92x
.
H
D
D

x2R

.x/2R

D

x2R

3
p
x1
p
92x
2R
ˇ
D
D

x2R

3
p
x12R&
p
92x2R&
p
92x¤0

D
D

x2R

92x0&92x¤0

D

x2R

92x > 0

D
D

x2R

9>2x

D

x2R

x<
9
2

)D
D

1;
9
2

:

9.F.x/D
p
9x
2
x
3
x
.
H
D
FD

x2R

F.x/2R

D

x2R

p
9x
2
x
3
x
2R
ˇ
D
D

x2R

9x
2
0&x
3
x¤0

D

x2R

x
2
9&x.x
2
1/¤0

D
D

x2R

jxj3&x.x1/.xC1/¤0

D
D

x2R

3x3&x¤0&x¤1&x?1

)
)D
FDŒ3; 3f1; 0; 1g:

10.G.x/D
p
xC4C
p
5x.
HD
GD

x2R

G.x/2R

D

x2R

p
xC4C
p
5x2R

D
D

x2R

p
xC42R&
p
5x2R

D

x2R

xC40&5x0

D
D

x2R

x4&x5

D

x2R

4x5

DŒ4;5)
)D
GDŒ4;5 :

62 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
2.3 Álgebra de funciones
Ejercicios 2.3.1Dadas las funcionesf.t/Dt
2
9; g.y/D
p
2yC15&h.z/D
p
103z, obtener:
1..fCg/ .5/.
H.fCg/ .5/Df.5/Cg.5/D
˙
.5/
2
9

C
ˆ
2.5/C15D259C
p
25D
D16C5D21:

2..gf / .3/.
H.gf / .3/DŒg.3/ ?f .3/D
ˆ
2.3/C15 Œ.3/
2
9D
p
9Œ0D0:
3.

h
f

.2/.
H

h
f

.2/D
h.2/
f.2/
D
ˆ
103.2/
.2/
2
9
D
p
4
5
D
2
5
D
2
5
:
4..gf/

1
2

.
H.gf/

1
2

Dg

1
2

f

1
2

D
˛
2

1
2

C15

1
2

2
9

D
D
p
16
1
4
C9D4
1
4
C9D13
1
4
D
521
4
D
51
4
:

5..gh/ .4/.
H.gh/ .4/D?g.4/ ?h.4/D
ˆ
2.4/C15
ˆ
103.4/D
p
23
p
2.
Pero
p
2…R,porloque
p
23
p
2…R.
Entonces.gh/ .4/no está deﬁnida, es decir,4…D
gh.
6.

fg

.8/.
H

f
g

.8/D
f.8/
g.8/
D
8
2
9
ˆ
2.8/C15
D
55
p
1
.
Pero
p
1…R,porlocual
55
p
1
…R.
Entonces

f
g

.8/no está deﬁnida, es decir,8…D
f
g
.
7..gCh/ .x/.
H.gCh/ .x/Dg.x/Ch.x/D
p
2xC15C
p
103x.
8.

g
f

.x/.
H

g
f

.x/D
g.x/
f.x/
D
p
2xC15
x
2
9
.

2.3 Álgebra de funciones 63
9..f h/ .x/.
H.f h/ .x/Df.x/h.x/D.x
2
9/
p
103x.
10..hf/.x/.
H.hf/.x/Dh.x/f.x/D
p
103x.x
2
9/.
11.

hg
f

.x/.
H

hg
f

.x/D
.hg/ .x/
f.x/
D
h.x/g.x/
f.x/
D
p
103x
p
2xC15
x
2
9
.
12.

fg
h

.x/.
H

fg
h

.x/D
.fg/ .x/
h.x/
D
f.x/g.x/
h.x/
D
.x
2
9/
p
2xC15
p
103x
.
13.Los dominios de las funcionesf; g&h.
HEl dominio de la funciónfes:
D
fD

t2R

f.t/2R

D

t2R

t
2
92R

DR)D fDR:
El dominio de la funciónges:
D
gD

y2R

g.y/2R

D

y2R

ˆ
2yC152R

D

y2R

2yC150

D
D

y2R

y
15
2

D

15
2
;C1

)D
gD

15
2
;C1

:
El dominio de la funciónhes:
D
hD

z2R

h.z/2R

D

z2R

p
103z2R

D

z2R

103z0

D
D

z2R

z
10
3

D

1;
10
3

)D
hD

1;
10
3

:

14.El dominio de la función:gCh.
HEl dominio de la funcióngChes:
D
gChDD g\DhD

15
2
;C1

\

1;
10
3

D

15
2
;
10
3

:

15.El dominio de la función:
g
f
.
HEl dominio de la función
g
f
es:
D
g
f
D

D g\Df

x2R

f.x/D0

D
D

15
2
;C1

\R

x2R

x
2
9D0

D

15
2
;C1

f3; 3gD
D

15
2
;3

[.3; 3/[.3;C1/:

64 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
16.El dominio de la función:fh.
HEl dominio de la funciónfhes:
D
fhDD f\DhDR\

1;
10
3

D

1;
10
3

:

17.El dominio de la función:hf.
HEl dominio de la funciónhfes:
D
hfDD h\DfD

1;
10
3

\RD

1;
10
3

:

18.El dominio de la función:
h
g
.
HEl dominio de la función
h
g
es:
D
h
g
D

D h\Dg

x2R

g.x/D0

D
D

1;
10
3

\

15
2
;C1

x2R

p
2xC15D0

D
D

15
2
;
10
3

x2R

2xC15D0

D

15
2
;
10
3

15
2

D
D

15
2
;
10
2

:

19.El dominio de la función:
fg
h
.
HEl dominio de la función
fg
h
es:
D
fg
h
D

D fg\Dh

x2R

h.x/D0

D
D

D
f\Dg

\D
h

x2R

p
103xD0

D
D

D
f\Dg\Dh

x2R

103xD0

D
D

R\

15
2
;C1

\

1;
10
3

xD
10
3

D
D

15
2
;C1

\

1;
10
3

10
3

D
D

15
2
;
10
3

10
3

D

15
2
;
10
3

:

2.4 Composición de funciones 65
20.El dominio de la función:
gCh
gh
.
HEl dominio de la función
gCh
gh
es:
D
gCh
gh
D

D gCh

\

D
gh

x2R

.gh/ .x/D0

D
D

D
g\Dh

\

D
g\Dh

x2R

g.x/h.x/D0

D
D

D
g\Dh

x2R

g.x/D0obienh.x/D0

D
D

15
2
;C1

\

1;
10
3

x2R

p
2xC15D0obien
p
103xD0

D
D

15
2
;
10
3

x2R

2xC15D0obien103xD0

D
D

15
2
;
10
3

15
2
;
10
3

D
D

15
2
;
10
3

:

2.4 Composición de funciones
Ejercicios 2.4.1
1.Dadas las funcionesf.x/D
p
7x&g.x/Dj58xj, obtener el dominio def; .fıg/.x/yel
dominio defıg.
HEl dominio def.x/DD
fes el conjunto de lasxque satisfacen
7x0)7x)x2.1;7:
Por otro lado:
.fıg/.x/Df?g.x/Df.j58xj/D
ˆ
7j58xj:
Para calcularD
fıg,recordarqueD fıgD

x2D g

g.x/2D
f

.
Primero: se ve de inmediato queD
gDR:
Segundo:
g.x/2D
f)g.x/2.1;7)j58xj7)758x7)
)128x2)
12
8
x
2
8
)
3
2
x
1
4
)
)x2

1
4
;
3
2

:
Las dos condiciones anteriores nos dan
D
fıgD

1
4
;
3
2

:

66 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
2.Dadas las funcionesf.x/D
p
92x,g.x/Dj3x4j&h.x/Dx
2
5, obtener

f
h

.x/&.fıg/.x/,
así como los dominios de las funciones
f
h
&fıg.
HCalculamos

f
h

.x/D
f.x/
h.x/
D
p
92x
x
2
5
I
.fıg/.x/Df?g.x/Df.j3x4j/D
ˆ
92j3x4j:
Tenemos así:
D
fD

x2R

92x0

D

x2R

92x

D

x2R

9
2
x

D

1;
9
2

I
D
gDR&D hDRI
luego:
D
f
h
D

x2D f\Dh

h.x/¤0

D
D

x2

1;
9
2

\R

x
2
5¤0

D

x2

1;
9
2

x
2
¤5

D
D

x2

1;
9
2

jxj¤
p
5

D

x2

1;
9
2

x¤˙
p
5

D
D

1;
9
2

p
5;
p
5

:
Por último:
D
.fıg/D

x2D g

g.x/2D
f

D

x2R

j3x4j2

1;
9
2

D

x2R

j3x4j
9
2

:
Pero
j3x4j
9
2
equivale a
9
2
3x4
9
2
I
sumando4
4
9
2
3x
9
2
C4:
89
2
3x
9C8
2
)
1
2
3x
17
2
y multiplicando por
1
3
:

1
6
x
17
6
)x2

1
6
;
17
6

:
Entonces:
D
fıgD

1
6
;
17
6

:

3.Sean las funcionesf.x/D
p
xC3&g.x/D
1
x
2
5
:Calcular, obtener o determinar, según proceda:
a.Dominios def,g,fCg&fg.
b.fŒg.3/,g?f .6/y el dominio deg?f .x/.

2.4 Composición de funciones 67
H a.Calculamos
D
fD

x2R

xC30

D

x2R

x3

DŒ3;C1/I
D
gD

x2R

x
2
5¤0

D

x2R

x
2
¤5

D
D

x2R

jxj¤
p
5

DR

p
5;
p
5

I
D
fCgDD f\DgDŒ3;C1/\

R

˙
p
5

DŒ3;C1/

˙
p
5

D
DŒ3;
p
5/[.
p
5;
p
5/[.
p
5;C1/I
D
fgDD f\DgDD fCgDŒ3;
p
5/[.
p
5;
p
5/[.
p
5;C1/:
b.Tenemos así:
fŒg.3/Df

1
.3/
2
5

Df

1
95

Df

1
4

D
D

1
4
C3D

1C12
4
D

13
4
D
p
13
2
I
g?f .6/Dg.
p
6C3/Dg.
p
9/Dg.3/D
1
3
2
5
D
1
95
D
1
4
I
D
gıfD

x2D f

f.x/2D
g

D

x2Œ3;C1/

p
xC3¤˙
p
5

D
D

x2Œ3;C1/

xC3¤5

D

x2Œ3;C1/

x¤2

D
DŒ3; 2/[.2;C1/:

4.Sif.x/Dx
3
C2&g.x/D
2
x1
W
a.Encuentre los dominios defydeg.
b.Dé las reglas de correspondencia así como los dominios de las siguientes funciones:
g
f
;gıf&fıg.
H
a.D
fDRyD gDRf1g.
b.Calculamos:

g
f

.x/D
g.x/
f.x/
D
2
x1
x
3
C2
D
2
.x1/.x
3
C2/
:
Observamos que:
D
f\DgDRf1g
yque
f.x/D0six
3
C2D0,esdecir,six
3
D2obienxD
3
p
2I

68 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
luego:
D
g
f
DR

1;
3
p
2

I
.gıf /.x/Dg?f .x/Dg.x
3
C2/D
2
.x
3
C2/1
D
2
x
3
C1
I
D
gıfD

x2D f

f.x/2D
g

D

x2R

x
3
C2¤1

D

x2R

x
3
?1

D
D

x2R

x¤
3
p
1

D

x2R

x?1

DRf1gI
.fıg/.x/Df?g.x/Df

2
x1

D

2
x1

3
C2D
D
8C2.x
3
3x
2
C3x1/
.x1/
3
D
2x
3
6x
2
C6xC6
.x1/
3
;ytambién
D
fıgD

x2D g

g.x/2D
f

D

x¤1

2 x1
2R

DRf1g;
puesx¤1implica que
2
x1
2R.

5.Sif.x/D
p
4x&g.x/D
1
x
2
1
, obtener, reduciendo a su mínima expresión:.fg/.x/&.gıf /.x/.
En cada caso proporcionar el dominio de la función.
HTenemos
.fg/.x/D
p
4x
1
x
2
1
D
p
4x
x
2
1
I
.gıf /.x/Dg.
p
4x/D
1
.
p
4x/
2
1
D
1
4x1
D
1
3x
:
Como
D
fD

x2R

4x0

D

x2R

x4

D.1;4
y
D
gD

x2R

x
2
1¤0

D

x2R

jxj¤1

I
D
gDRf1;C1g;
hallamos:
D
fgD.1;4Rf˙1gg D.1;4f˙1gD.1;1/[.1; 1/[.1; 4I
D
gıfD

x2D f

f.x/2D
g

D

x4

p
4x¤˙1

I
yﬁnalmente
p
4xD˙1si4xD1;esdecir,sixD3y por lo tanto:
D
gıfD.1;4f3gD.1;3/[.3; 4:

6.Sean:f.x/D
p
xC1&g.x/D
1
x
2
C1
:
a.Obtenga los dominios defydeg.
b.Obtenga reglas de correspondencia y dominios de las funcionesfCg,f=g,fıg,gıf.

2.4 Composición de funciones 69
H a.Vem o s que:
D
fD

x2R

xC10

D

x2R

x1

DŒ1;C1/I
D
gD

x2R

x
2
C1¤0

DR(nótese quex
2
C1>0para cualquierx2R/:
b.Los dominios que se piden son:
D
fCgDD f\DgDD fDŒ1;C1/I
D
f
g
D

D f\Dg

x2D
g

g.x/D0

DD
fØDD fDŒ1;C1/I
D
fıgD

x2D g

g.x/2D
f

D
D

x2R

1
x
2
C1
1

DR,pues
1
x
2
C1
0>1I
D
gıfD

x2D f

f.x/2D
g

D

x2Œ1;C1/

p
xC12R

DŒ1;C1/;
puesx2Œ1;C1/)x1)xC10)
p
xC12R:
Las reglas de correspondencia que se piden son la siguientes:
.fCg/.x/D
p
xC1C
1
x
2
C1
I

f
g

.x/D
p
xC1
1
x
2
C1
D.x
2
C1/
p
xC1I
.fıg/.x/Df?g.x/Df

1
x
2
C1

D

1
x
2
C1
C1D
˛
1Cx
2
C1
x
2
C1
D
˛
x
2
C2
x
2
C1
I
.gıf /.x/Dg?f .x/Dg.
p
xC1/D
1
.
p
xC1/
2
C1
D
1
xC1C1
D
1
xC2
:

7.Sif.x/D
ˆ
j34xj4,g.x/D
p
32x&h.x/D
4
x
2
4
,encontrar:
a.El dominio def.
b.Los dominios degydeh.
c..hıg/.x/y el dominio dehıg.
H
a.La funciónf.x/está deﬁnida siempre y cuando el radicando sea no negativo
j34xj40)j34xj4:
Esta última desigualdad es equivalente a las siguientes:
3x44 obien 3x44I
74x obien 14xI
7
4
x obien
1
4
xI
x2

7
4
;C1

obien x2

1;
1
4

:

70 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Por lo tanto:
D
fD

1;
1
4

[

7
4
;C1

:
b.De igual manerag.x/está deﬁnida si
32x0)32x)
3
2
x:
Por lo tanto:
D
gD

1;
3
2

:
Se ve queD
hDRf2;2g,yaquexD2&xD2son los ceros o raíces dex
2
4.
c.Calculamos:
.hıg/.x/Dh?g.x/Dh
p
32x

D
4
.
p
32x/
2
4
D
4
12x
D
4
2xC1
I
x2D
hıgsi cumple dos condiciones simultáneamente:
i.x2D
g)x2

1;
3
2

.
ii.Yg.x/2D
h)
p
32x2Rf2;2g.
Nos preguntamos para qué valores dexla raíz cuadrada es igual a2ya2.
Nunca es igual a2ya que es no negativa.
p
32xD2)32xD4)2xD1)xD
1
2
.
Tenemos entonces que:
D
hıgD

1;
3
2

1
2

D

1;
1
2

[

1
2
;
3
2

:

8.Dadas las funcionesf.t/D
p
tC3,g.z/Dz
2
1&h.w/D
p
5w, obtener:

fCh
g

.x/,.gıh/.x/&.fıg/.x/ ;
así como los dominios de las respectivas funciones.
HCalculando

fCh
g

.x/tenemos:

fCh
g

.x/D
.fCh/.x/
g.x/
D
f.x/Ch.x/
x
2
1
D
p
xC3C
p
5x
x
2
1
:
Dominios:
D
fD

t2R

tC30

D

t2R

t3

DŒ3;C1/I
D
gDRI
D
hD

w2R

5w0

D

w2R

w5

D.1;5:

2.4 Composición de funciones 71
Luego,
D
fCh
g
D

D f\Dh\Dg

x2R

g.x/D0

D
DŒ3;C1/\.1;5f˙1gDŒ3; 5f˙1gI
.gıh/.x/Dg?h.x/Dg.
p
5x/D.
p
5x/
2
1D5x1D4xI
D
gıhD

x2D h

h.x/2D
g

D

x2.1;5

p
5x2R

D.1;5I
.fıg/.x/Df?g.x/Df.x
2
1/D
ˆ
x
2
1C3D
ˆ
x
2
C2I
D
fıgD

x2D g

g.x/2D
f

D

x2R

.x
2
1/2Œ3;C1/

D
D

x2R

x
2
13

D

x2R

x
2
2

DRpuesx
2
0>2:

9.Seanf.v/Dv
2
2v3&g.u/D
p
3u, determine:
a.Los dominios def&g.
b..fıg/.x/&.gıf /.x/, indicando el dominio de cada una de las funciones.
H
a.Dominios:
f.v/Dv
2
2v3es una función cuyo dominio esD fDR.
El dominio de la funcióng.u/D
p
3ues:
D
gD

u2R

g.u/2R

D

u2R

p
3u2R

D
D

u2R

3u0

D

u2R

3u

D
D

u2R

u3

D.1;3:
b.Calculamos:
.fıg/.x/Df?g.x/Df.
p
3x/D
D.
p
3x/
2
2
p
3x3D3x2
p
3x3D
Dx2
p
3xI
D
fıgD

x2D g

g.x/2D
f

D
D

x2.1;3

p
3x2R

D

x3

3x0

D
D

x3

x3

D.1;3I
.gıf /.x/Dg?f .x/Dg.x
2
2x3/D
ˆ
3.x
2
2x3/D
D
ˆ
3x
2
C2xC3D
ˆ
x
2
C2xC6I
D
gıfD

x2R

x2D f&f.x/2D g

D

x2R

.x
2
2x3/2.1;3

D
D

x2R

x
2
2x33

D

x2R

x
2
2x60

:
Ahora bienx
2
2x6D0cuando
xD
2˙
p
4C24
2
D
2˙
p
28
2
D
2˙2
p
7
2
D1˙
p
7I

72 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
ademásx
2
2x60cuando
.x1
p
7/.x1C
p
7/0:
Esta última desigualdad se cumple cuando
x1
p
70&x1C
p
70obienx1
p
70&x1C
p
70I
x1C
p
7 & x1
p
7 obien x1C
p
7 & x1
p
7I
x2Øobien x2

1
p
7; 1C
p
7

;
es decir, cuando1
p
7x1C
p
7.Luego,
D
gıfD

x2D f

f.x/2D
g

D

x2R

x
2
2x33

D
D

x2R

x
2
2x60

DŒ1
p
7; 1C
p
7:

10.Seanf.x/D
p
x1&g.x/Dj3xC2j, determine:
a.Los dominios def&g.
b..fıg/.x/&.gıf /.x/indicando el dominio de cada función.
H
a.El dominio def.x/D
p
x1es:
D
fD

x2R

p
x12R

D

x2R

x10

D

x2R

x1

)
)D
fDŒ1;C1/:
El dominio deg.x/Dj3xC2jes:
D
gD

x2R

j3xC2j2R

DR)D gDR:
b.Calculamos:
.fıg/.x/Df?g.x/D
ˆ
g.x/1D
ˆ
j3xC2j1I
D
fıgD

x2D g

g.x/2D
f

D
D

x2R

g.x/2Œ1;C1/

D
D

x2R

j3xC2j2Œ1;C1/

D
D

x2R

j3xC2j1

D
D

x2R

3xC21obien3xC21

D
D

x2R

3x3obien3x1

D
D

x2R

x1obienx
1
3

D
D.1;1[

1
3
;C1

D
DR

1;
1
3

I
.gıf /.x/Dg?f .x/Dg.
p
x1/Dj3
p
x1C2jI
D
gıfD

x2D f

f.x/2D
g

D
D

x2Œ1;C1/

p
x12R

D
D

x2Œ1;C1/

x10

D
D

x0

x1

DŒ1;C1/:

2.4 Composición de funciones 73
11.Dadas las funcionesf.t/D
p
t11&g.u/Dj2u1j,obtenga.fıg/.x/,.gıf/.x/y los dominios
de las funcionesfıg&gıf.
HSe tieneD
fDŒ11;C1/yD gDR.
.fıg/.x/Df?g.x/Df.j2x1j/D
ˆ
j2x1j11
y su dominio es:
D
fıgD

x2D g

g.x/2D
f

D
D

x2R

j2x1j2Œ11;C1/

D
D

x2R

j2x1j11

D
D

x

2x111obien2x111

D
D

x

2x10obien2x12

D

x

x5obienx6

D
D.1;5[Œ6;C1/DR.5; 6/:
.gıf /.x/Dg?f .x/Dj
2f .x/1jD

2
p
x111

y su dominio es:
D
gıfD

x2D f

f.x/2D
g

D
D

x2Œ11;C1/

p
x112R

D
D

x11

x11

DŒ11;C1/:

12.Sif.x/Dx
2
C2xC2, encuentre dos funcionesgpara las cuales.fıg/ .x/Dx
2
4xC5:
HTenemos
.fıg/ .x/Df?g.x/Dx
2
4xC5
ytambién
f?g.x/D?g.x/
2
C2g.x/C2I
luego:
?g.x/
2
C2g.x/C2Dx
2
4xC5,?g.x/
2
C2g.x/x
2
C4x3D0:
UsandoaD1,bD2ycDx
2
C4x3para resolver la cuadrática obtenemos:
g.x/D
2˙
ˆ
44.x
2
C4x3/
2
D1˙
ˆ
1Cx
2
4xC3D
D1˙
ˆ
x
2
4xC4D1˙
ˆ
.x2/
2
D
D1˙jx2j
y de aquí que encontremos dos soluciones:
g
1.x/D1Cjx2jD

1C.x2/six20
1C.xC2/six2<0
D

x3six2I
xC1six<2
y
g
2.x/D1jx2jD

1.x2/six20
1.xC2/six2<0
D

xC1six2I
x3six<2:

74 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
2.5 Gráﬁca de una función real de variable real
Ejercicios 2.5.1
1.La ecuaciónx
2
Cy
2
D1representa a una circunferencia de radio1ycentroenelorigen. ¿Puede
considerarse a esta curva como la gráﬁca de una función? Justiﬁque su respuesta.
HLa circunferenciax
2
Cy
2
D1es una curva plana. No puede ser considerada como la gráﬁca
de alguna funciónyD.x/, puesto que a cada número1<x<1 le corresponden dos valores
diferentes deyque sonyD˙
p
1x
2
.
x
y

11 x
y1 .x; y1/D.x;
p
1x
2
/

y2 .x; y2/D.x;
p
1x
2
/
Es decir, a cadax2.1; 1/no le corresponde un único valor dey.

2.La ecuacióny
2
Dxrepresenta a una parábola en el planoxy. ¿Puede ser considerada esta parábola
como la gráﬁca de una funciónyDf.x/?Justiﬁque su respuesta.
HLa parábolaxDy
2
es una curva plana que se abre hacia la derecha con eje horizontal.
Acadanúmerox>0le corresponden dos valores diferentes deyque sonyD˙
p
x.
x
y
x

y1
.x; y1/D.x;
p
x/
y
2
.x; y2/D.x;
p
x/
Entonces esta curva no puede ser considerada como la gráﬁca de alguna funciónyD.x/.

2.5 Gráﬁca de una función real de variable real 75
Las curvas de los tres siguientes apartados son gráﬁcas de funciones y los puntosAyBno pertenecen a dichas
gráﬁcas. Determinar dominio, rango y el número de raíces de cada función.
3.
x
y

A.1;7/

B.7; 15/
yDf.x/
HEl dominio de la funciónyDf.x/es:D fD.1; 7/.
El rango de la funciónyDf.x/es:R
fD.7; 15/.
La funciónyDf.x/tiene sólo una raíz, que es negativa.

4.
x
y

A.3;5/

B.7; 5/

C.8; 15/
yDf.x/
HEl dominio de la funciónyDf.x/es:D fD.3; 8f7g.
El rango de la funciónyDf.x/es:R
fD.5; 15f5g.
La funciónyDf.x/tiene 3 raíces.

76 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
5.
x
y

A
„
1
2
;6
«

P .1; 9/

B.4; 0/

Q.5;1/

R.7; 6/
yDf.x/
HEl dominio de la funciónyDf.x/es:D fD

1
2
;4

[.4; 7.
El rango de la funciónyDf.x/es:R
fDŒ1; 9.
La funciónyDf.x/tiene una raízx¤4.

Mediante una tabla de valores, obtener un bosquejo de la gráﬁca de las funciones de los cuatro siguientes apartados.
Determinar además (en cada caso) dominio, rango y raíces de la función.
6.f.x/D3xC1.
H
xf.x/P.x;y/
12A.1;2/
0 1 B.0; 1/
1 4 C.1; 4/
2 7 D.2; 7/
x
y

A.1;2/

B.0; 1/
yD3xC1

C.1; 4/

D.2; 7/
El dominio defes:D fDR.
El rango defes:R
fDR.
La funciónftiene una raíz:xD
13
.

2.5 Gráﬁca de una función real de variable real 77
7.g.x/Dx
2
1.
H
xg.x/P.x;y/
23A.2;3/
10B.1; 0/
01C.0;1/
1 0 D.1; 0/
2 3 E.2; 3/
x
y

A.2; 3/

B.1; 0/

C.0;1/

D.1; 0/

E.2;3/
yDx
2
1
El dominio deges:D gDR.
El rango deges:R
gDŒ1;C1/.
La funcióngtiene 2 raíces:xD1&xD1.

8.h.x/D2con
3
2
<x<
8
3
.
H
xh.x/ P.x;y/

3
2
2A

3
2
;2

8
3
2B

8
3
;2

78 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
A
„

3
2
;2
«
yD2
B
„
8
3
;2
«

3
2

8
3

El dominio dehes:D hD

3
2
;
8
3

.
El rango dehes:R
hDf2g.
La funciónhno tiene raíces.
.
9.f.x/D32xcon1x<4.
H
xf.x/P.x;y/
1 5 A.1; 5/
4 5B.4;5/
x
y
A.1; 5/
1
5
yD32x
B.4;5/
4
5

3
2

El dominio defes:D fDŒ1; 4/.
El rango defes:R
fD.5; 5.
La funciónftiene una raíz:xD
3
2
.

2.6 Tipos de funciones 79
10.g.x/D4x
2
con2<x
5
2
.
H
xg.x/P.x;y/
20 A.2;0/
0 4 B.0; 4/
5
2

9
4
C

5
2
;
9
4

x
y
A.2; 0/
B.0; 4/
C
„
5
2
;
9
4
«
5
2

9
4
yD4x
2

2

El dominio deges:D gD

2;
5
2

.
El rango deges:R
gD

9
4
;4

.
La funcióngtiene sólo una raíz:xD2.
2.6 Tipos de funciones
Ejercicios 2.6.1
1.Dada la funciónf.x/D
p
x
2
C3x, señale si es par, impar o ninguna de las dos cosas.
HA simple vista parece que no es par ni impar, lo cual podemos comprobar, ya que:
12D
f,pero16 2D f;luego,f.x/D˙f.x/no se cumple paraxD1:
Por lo quefno es par ni impar.
2.Dada la funciónf.x/D
4
p
x
3
x, señale si es par, impar o ninguna de las dos cosas.

80 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
HA simple vista parece que no es par ni impar, lo cual podemos comprobar, ya que:
22D
f,pero26 2D f;luego,f.x/D˙f.x/no se cumple paraxD2:
Por lo quefno es par ni impar.
3.Dada la funciónf.x/D
2x
3
x
x
2
C1
, señale si es par, impar o ninguna de las dos cosas.
HEs impar puesto que:
f.x/D
2.x/
3
.x/
.x/
2
C1
D
2.x
3
/Cx
x
2
C1
D
D
2x
3
Cx x
2
C1
D
.2x
3
Cx/
x
2
C1
D
D
2x
3
x x
2
C1
Df.x/:

4.Sifes par ¿serág.x/D.x
2
C1/f .x/par?
HSí, puesto que:
g.x/DŒ.x/
2
C1f .x/D.x
2
C1/f .x/Dg.x/:

5.Sif&gson impares ¿seráh.x/D.fCg/.x/impar?
HSí, puesto que:
h.x/D.fCg/.x/Df.x/Cg.x/D
Df.x/CŒg.x/Df.x/g.x/D
DŒf .x/Cg.x/DŒ.fCg/.x/D
Dh.x/ :
Ydeaquíque:
h.x/Dh.x/:

6.La funciónfes par, y parte de su gráﬁca es laﬁgura siguiente:
x
y
4
2
2
4
2468
10
yDf.x/

a.Complete la gráﬁca def.

2.6 Tipos de funciones 81
b.Obtenga su dominio, raíces y rango, y además determine a partir de la gráﬁca completada las
soluciones def.x/>0ydef.x/<0.
H a.La gráﬁca completa es:
x
y
4
2
2
4
2468
10
yDf.x/

246
10

b.Su dominio:D fD.1;2/[.2;C1/.
Raíces:xD8,4,4&8.
Rango:R
fDf4g[Œ2;4.
f.x/>0,x2.8;4/[.4;2/[.2; 4/[.4; 8/.
f.x/<0,x2.1;8/[.8;C1/.

7.Sifes una función par cuya gráﬁca parax1es la que se indica en laﬁgura,
x
y
2
1
3
1234
5
yDf.x/

completar la gráﬁca, indicar su dominio, sus raíces y su rango.
HLa gráﬁca completa es:

82 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
2
1
3
1234
5
yDf.x/

1234
5

Dominio:D fDŒ5;1/[.1; 5.
Raíces:xD4,xD2,xD2&xD4.
Rango:R
fDŒ3; 2/.

8.Sealafunción
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
2x5si4x2I
x
2
C1si2<x3I
7 si3<x:
a.Obtener su gráﬁca.
b.Determinar su dominio y rango.
c.Calcular:f.4/,f.3/,f.2/,f.0/,f.3/,f.5/&f .1 000/.
H a.La gráﬁca defes:
x
y
10
7
5
3
1
43213
yDf.x/

b.D fDŒ4;C1/;R fDŒ1; 10.
c.f.4/D3,f.3/D1,f.2/D1,f.0/D1,f.3/D10,f.5/D7&f .1 000/D7.

9.Dada la siguiente función
g.x/D
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
jxC2jsix<2I
p
4x
2
si2x2I
x2 six>2:
Obtenga su gráﬁca y diga si es par, impar o ninguna de las dos. Determinar su rango.

2.6 Tipos de funciones 83
HObservemos quex<2implica quexC2<0,luegoparaestecaso:
jxC2jD.xC2/)jxC2jDŒ.xC2/DxC2I
sabemos que la gráﬁca deyDxC2es la recta de pendiente1ydeordenadaenelorigen2.
Si hacemosg.x/Dy,vemosquepara2x2tenemos
yD
p
4x
2
)y
2
D4x
2
)x
2
Cy
2
D4).x0/
2
C.y0/
2
D2
2
;
que es la circunferencia de centro en el origen y radio2;asíyD
p
4x
2
es su semicircunferencia
superior;yDx2es la recta de pendiente1yordenadaenelorigen2;luego,lagráﬁca deges:
x
y
2
1
1
2
4 3
2 234
yDg.x/
No es par ni impar; ademásR gDR.
10.Sea
f.x/D
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
xC5 six<5I
p
25x
2
si5x5I
5x six>5:
Esboce su gráﬁca, obtenga el rango, las raíces y diga si es par, impar o ni una cosa ni la otra.
HGraﬁquemos primero la función:
a.Parax<5,lagráﬁca defes la rectayDxC5.
b.Parax>5,lagráﬁca defes la rectayD5x.
c.Para5x5si hacemosf.x/Dynos quedayD
p
25x
2
.
Elevando al cuadrado esta igualdad obtenemos
y
2
D25x
2
)x
2
Cy
2
D25).x0/
2
C.y0/
2
D5
2
que representa a la circunferencia con centro en el origen y radio5.
Luego,yD
p
25x
2
representa la semicircunferencia superior y la gráﬁca nos queda de la
forma siguiente:

84 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
5
1
2
6 57567
yDf.x/

Nótese que parax<5,lagráﬁca es parte de la rectayDxC5, de pendiente1yordenadaenel
origen5.Yqueparax>5la gráﬁcaespartedelarectayDxC5, de pendiente1yordenadaen
el origen también5.
Ahora observamos queR
fD.1;5,quelasraícessonxD˙5y que la función es par pues su
gráﬁca es simétrica con respecto al eje de lasy.

11.Graﬁcar la siguiente función
G.z/D
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
2zC4siz<2I
2z
2
1si2z2I
1
2
siz>2:
HTabulando:
G.3/D10,G.2

/D8,G.2/D7; G.1/D1,
G.0/D1,G.1/D1,G.2/D7& G.2
C
/D
1
2
.
La gráﬁca de la funciónGes:
x
y
10
8
7
1
1
32112
yDG.z/

2.6 Tipos de funciones 85
12.Considere la función
f.x/D

2x
2
C3x3six2.1;0I
2xC3 six2Œ3;C1/:
Obtener dominio, raíces, gráﬁca y rango de dicha función.
HPrimero el dominio:D
fD.1;0[Œ3;C1/I
2x
2
C3x3D0,xD
3˙
p
9C24
4
D
3˙
p
33
4

0:6861407I
2:1861407I
pero
3C
p
33
4
>0;porlotantonoesraízdefa diferencia dexD
3
p
33
4
<0que sí lo es.
Por otra parte2xC3D0,xD
3
2
,pero
3
2
<3,luego,xD
3
2
tampoco es raíz por lo que la única
raíz esxD
3
p
33
4
.
Como
2x
2
C3x3D2

x
2
C
3
2
x

3D2

x
2
C
3
2
xC
9
16

9
16

3D2

x
2
C
3
2
xC
9
16

3
9
8
D
D2

xC
3
4

2

33
8
;
la gráﬁca deyD2x
2
C3x3es una parábola de vértice en

3
4
;
33
8

que se abre hacia arriba.
Además otro de sus puntos es.0;3/.
La gráﬁca deyD2xC3es la recta de pendiente2yordenadaenelorigenyD3.
Concretamente, dos de sus puntos son.3; f .3//D.3;3/y.4; f .4//D.4;5/.
Luego, la gráﬁca de la funciónfes:
x
y
3

33
8
5

3
4
2:18
34
yDf.x/

Rango:R fDR:

13.Sea
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x
2
2xC3si3x<1I
4 sijxj<1I
x
2
2x3 si1x4:

86 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
a.Proporcionar el dominio y raíces def.
b.Hacer un bosquejo gráﬁco y hallar el rango.
H
a.Dominio:D
fDŒ3; 4f1g.
Para3x<1,f.x/Dx
2
2xC3.
La gráﬁca def.x/Dx
2
2xC3es una parábola con eje vertical que se abre hacia abajo.
Además
yDx
2
2xC3Dx
2
2x1C1C3D.x
2
C2xC1/C4)
)yD.xC1/
2
C4
tiene vértice en el puntoV.1; 4/yraícesen
x
2
2xC3D0,xD
2˙
p
4C12
2
D
2˙4
2
,
,xD
2C4
2
D
6
2
D3obienxD
24
2
D
2
2
D1:
PeroxD1no es raíz ya que1…Œ3;1/.
Para1<x<1se tiene quef.x/D4.
La gráﬁca es pues el segmento de recta horizontal que va del punto.1; 4/al punto.1; 4/sin
incluirlos. (Nótese quejxj<1,1<x<1.)
Para1x4,f.x/Dx
2
2x3.
En este caso su gráﬁca es una parábola con eje vertical que se abre hacia arriba.
Además
yDx
2
2x3Dx
2
2xC113D.x1/
2
4
tiene vértice en el puntoW.1;4/yraícesen
.x1/
2
4D0,.x1/
2
2
2
D0,
,Œ.x1/2?.x1/C2D0,.x3/.xC1/D0Ipor lo cual
xD3ytambiénxD1:
PeroxD1no es raíz, pues1…?1; 4. Entonces las raíces son:xD3&xD3.
b.Tabulamosf.4/D4
2
.24/3D1683D5.
La gráﬁca que corresponde afcon todas esas características es:

2.6 Tipos de funciones 87
x
y
5
4
4
3 1
13
4
W
V
yDf.x/

El rango de la funciónfes:R fDŒ4;5.

14.Sealafunción
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
2x
2
Cx1si2x<0I
3 si0x<2I
3xC1 si2x4:
a.Proporcionar el dominio de la función, sus raíces y su paridad.
b.Hacer un bosquejo de la gráﬁca y hallar el rango.
H
a.El dominio de la funciónfes:
D
fDŒ2;0/[Œ0; 2/[?2; 4DŒ2;4:
Raíces:
Parax2Œ2;0/,f.x/D2x
2
Cx1es una función cuadrática, cuya gráﬁca es una parábola
vertical que se abre hacia arriba a partir de su vértice

1
4
;
9
8

y cuya abscisa se encuentra en
el intervaloŒ2;0/.Estoesclaroyaque
2x
2
Cx1D2

x
2
C
1
2
xC
1
16

1
1
8
D2

xC
1
4

2

9
8
:
Las raíces de esta parábola cumplen
2x
2
Cx1D0,xD
1˙
p
1C8
4
D
1˙3
4
,dedonde
x
1D
1C3
4
D
2
4
D
1
2
&x
2D
13
4
D
4
4
D1I
perox
1D
1
2
no está en el intervaloŒ2;0/.

88 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Parax2Œ0; 2/,f.x/D3es una función constante cuya gráﬁca es un segmento de la recta
horizontalyD3.
Parax2?2; 4,f.x/D3xC1es una función lineal cuya gráﬁca es un segmento de la recta
yD3xC1, limitado por los puntos.2;5/y.4;11/.
Paridad:
La funciónfno es par, ni impar.
b.Un bosquejo de la gráﬁca de la funciónfes:
x
y
5
3
5
11
1
2 1
24
yDf.x/

El rango de la funciónfes:R fDŒ11;5[

9
8
;5

.

15.Hallar el dominio, graﬁcar y determinar el rango de las funciones:
a.f.x/D
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x
2
six0I
1 si0<x<1I
x
2
C1si1x:
b.g.x/D
2x
jxjC2x
:
H
a.El dominio de la funciónfes:D
fDR.Ysugráﬁca:
x
y
5
2
1
1
4
2 1
12
yDf.x/

2.6 Tipos de funciones 89
El rango de la funciónfes:R fD.1;0[f1g[Œ2;C1/.
b.Tenemos
jxjC2xD
⎧
⎨
⎩
xC2xsix0
xC2xsix<0
D
⎧
⎨
⎩
3xsix0I
xsix<0:
Luego,jxjC2xD0únicamente sixD0por lo cual el dominio de la funciónges:
D
gDRf0g:
También
g.x/D
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
2x
3x
six>0
2x
x
six<0
D
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
2
3
six>0I
2six<0:
Cuya gráﬁca es:
x
y
2
2
3
yDg.x/

El rango de la funciónges:R gD

2
3
;2

.

16.Determinar dominio, raíces, un esbozo de la gráﬁca de la siguiente función y su rango.
f.x/D

2jxC3jsi3<x<1I
1C2xx
2
six1:
HSix>3,entoncesxC3>0,porloquejxC3jDxC3,entonces:
f.x/D

2.xC3/si3<x<1I
1C2xx
2
six1I
simpliﬁcando:
f.x/D

x1 si3<x<1I
1C2xx
2
six1:
Su dominio:D
fD.3;C1/.
Raíces: comox1D0)xD1es una raíz defycomo
1C2xx
2
D0)xD
2˙
p
4C4
2
D1
2
p
2
2
D1
p
2;

90 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
las raíces defsonxD1&xD1C
p
2.ElnúmeroxD1
p
2no es raíz ya que no está en el
intervaloŒ1;C1/.
Puesto quex
2
C2xC1D.x
2
2xC1/C2D.x1/
2
C2)yDx
2
C2xC1,esunaparábola
de vértice.1; 2/que se abre hacia abajo.
Un esbozo de la gráﬁca de la funciónfes:
x
y
2
2
3 112
yDf.x/

El rango defes:R fD.1;2.
17.Dada la función
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
4 six<3I

x
2
Cx2

si3x1I
1x six>1:
a.Trace su gráﬁca.
b.Determine su dominio, rango y raíces.
H
a.Parax<3,lagráﬁca defesunapartedelarectahorizontalyD4.
Yparax>1,lagráﬁca defes parte de la recta de pendiente1yordenadaenelorigen1,que
casi llega al punto.1; 0/. Otro punto de esta recta es.2;1/.
La parábola
yDx
2
Cx2Dx
2
CxC
1
4

1
4
2D

xC
1
2

2

9
4
tiene su vértice en

1
2
;
9
4

, dirige su concavidad hacia arriba y corta al eje de lasxcuando
x
2
Cx2D0,xD
1˙
p
1C8
2
D
1˙3
2
D

1I
2I
por esox
2
Cx2>0sixes menor que2obienmayorque1.
Entonces en el intervaloŒ3; 1la parábolayDx
2
Cx2es positiva enŒ3;2/yesnegativa
en.2;1.
Siendo así:
f.x/D

x
2
Cx2

D

x
2
Cx2 six2Œ3;2I
.x
2
Cx2/six2.2;1:

2.6 Tipos de funciones 91
Porloanteriorsugráﬁca es un segmento de la parábolayDx
2
Cx2“sobre”Œ3;2yel
reﬂejo con respecto al ejexde tal parábola en el intervalo.2;1.
La gráﬁca defes:
x
y
4
2
32

1
2
1
1
2
yD4
yD1x
yDf.x/

b.Dominio:D fD.1;C1/DR.
Rango:R
fD.1;4.
Yraíces:xD2&xD1.

18.Dada la siguiente función
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
j3xC1jsix0I
x
2
C1si0<x<3I
3 six3;
obtener la gráﬁca def, su dominio, su rango y sus raíces.
HNotemos primero que3xC10,x
1
3
;entonces,
j3xC1jD
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
3x1six<
1
3
I
3xC1si
1
3
x0:
Siendo así, la gráﬁca de la funciónfes:
x
y
10
5
2
3
2
1

1
3
123
yDf.x/

92 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Para esta gráﬁca hemos tabulado los valores:f.2/D5If.1/D2If

1
3

D0I
f.0/D1If.1/D2If.2/D5&f.3

/D10.
Dominio:D
fDR.
Rango:R
fDf3g[Œ0;C1/.
YlaúnicaraízesxD
1
3
.

19.Sea
f.x/D
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
xC7six<5I
2 si5x<3I

4x
2

si3x3I
2 si3<x<6I
x
6
C
7
6
six6:
Determine:
a.Gráﬁca y rango def.
b.¿Es par o imparf?Justiﬁque su respuesta.
H
a.Calculamosf.10/D17,f.5

/D12,f.5
C
/D2,f.3

/D2,f.3
C
/D5,f.2/D0,
f.2/D0,f.3

/D5,f.3
C
/D2,f.6

/D2,f.6
C
/D
1
6
&f .12/D
5
6
.
Yobservamosque

4x
2

D

4x
2
si4x
2
0,x
2
4,jxj2,2x2I
x
2
4si4x
2
<0,x
2
>4,jxj>2,x>2obienx<2:
Por lo tanto, la gráﬁca defes:
x
y
17
12
4

5
6
10
5
32
2
3
67 12
yDf.x/

El rango es:R fD.1;5[.12;C1/.

2.6 Tipos de funciones 93
b.En la gráﬁca se ve que la función no es par ni impar, porque no es simétrica ni con respecto al eje
de lasyni con respecto al origen.
Por ejemplo, vemos quef.6/¤f.6/.

20.Graﬁcar la función
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
2xC3six<1I
p
1x
2
si1x1I
jx3jsix>1:
HLa gráﬁca deyD2xC3es la recta de pendiente2yordenadaenelorigen3.
Como
yD
p
1x
2
)y
2
D1x
2
)x
2
Cy
2
D1;
los puntos que satisfacenyD
p
1x
2
están sobre la circunferencia con centro en el origen y radio1.
Ycomoy0, se trata de la semicircunferencia superior.
La gráﬁca deyDjx3jse obtiene a partir de la deﬁnición de valor absoluto:
jx3jD

x3 six30
.x3/six3<0
D

x3six3I
3xsix<3:
Tabulamos
f.2/D2.2/C3D4C3D1&2xC3D0,2xD3,xD
3
2
I
f.1

/D2.1

/C3D2

C3D1

:
En resumen la gráﬁca defes:
x
y
2
1
1
2 1135
yDf.x/

3
2

21.Realizar un bosquejo de la gráﬁca de la función
f.x/D
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
2xC3 six<1I
jxjx
si1x<2&x¤0I
4 sixD2I
x
2
6xC6six>2:

94 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
HParax<1,lagráﬁca defes un segmento de la rectayD2xC3. Dos puntos de ella son
.2;1/y

3
2
;0

.
Para1x<0,jxjDx&
jxj
x
D
x
x
D1, por lo cual la gráﬁca defes un segmento de la recta
yD1.
Para0<x<2,jxjDx&
jxj
x
D
x
x
D1, por lo cual la gráﬁca defes un segmento de la rectayD1.
ParaxD2,lagráﬁca es el punto.2; 4/.
Parax>2,lagráﬁca defes una porción de la parábola de eje vertical
yDx
2
6xC6D.x
2
6xC9/9C6D.x3/
2
3;
queseabrehaciaarribaapartirdesuvértice V.3;3/.SuraízesxD3C
p
3y la parábola está
limitada por el punto.2;2/.
Un bosquejo de la gráﬁca defes el siguiente:
x
y

2
3
1
4
23
3C
p
3
1

3
2
yDf.x/

22.Obtener dominio y gráﬁca de la función
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
jxjC1six0I
x
2
C1si0<x1I
3x3six2:
HDominio:D
fD.1;1[Œ2;C1/.
Observamos quef.x/DxC1six0,porloquelagráﬁca es un segmento de la recta de pendiente
1yordenadaenelorigen1.
Tabulamos:
f.2/D3; f .1/D2;f.0/D1; f .1/D0; f .2/D3; f .3/D6&f.5/D12:
La gráﬁca de la funciónfes:

2.6 Tipos de funciones 95
x
y
1
2
3
6
12312
yDf.x/

23.Considere las funciones
U.x/D

0six<0I
1six0:
así como
sgn.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
1six<0I
0sixD0I
1six>0:
Obtener el dominio, la gráﬁca y el rango de la función deﬁnida por
f.x/Dsgn.x/CxU.x/:
HDominio:D
sg nDD UDR,porlotantoD fDR;
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
1Cx0six<0I
0C01sixD0I
1Cx1six>0:
D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
1 six<0I
0 sixD0I
1Cxsix>0:
Ylagráﬁca defes:
x
y
2
1
1
1
yDf.x/

El rango defes:R fDf1; 0g[.1;C1/.

96 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
24.Sean las funciones
f.x/D

x
3
si10 < x6I
xsix>6:
g.x/D

12xsix0I
x
2
six>0:
Obtenga el dominio y la fórmula de la funciónfCg.
HEl dominio defes:D
fD.10;C1/.
El dominio deges:D
gDR)D fCgDD f\DgDD fD.10;C1/,pues.10;C1/R.
La fórmula defCges:
.fCg/.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x
3
C12xsix2.10; 0I
x
3
Cx
2
six2.0; 6I
xCx
2
six2.6;C1/:

25.Apartirdelagráﬁca de la funciónf
x
y
5
34
563

yDf.x/
determine:
a.Los intervalos dondef.x/ > 0&f.x/ < 0,asícomolosvaloresdondef.x/D0,esdecir,las
raíces def.
b.Los intervalos de monotonía def, es decir, dónde es creciente y dónde es decreciente.
H
a.f.x/>0en.3; 0/[.0; 3/[.5;C1/.
f.x/<0en.1;3/[.3; 5/.
f.x/D0enxD3,xD3&xD5.
b.fes creciente en.1;0/yen.4; 6/.
fes decreciente en.0; 4/yen.6;C1/.

2.6 Tipos de funciones 97
26.Apartirdelagráﬁca de la funciónf:
x
y
10
5
5
23 5 7
1
1
2
24
yDf.x/

Determinar:
a.Losintervalosdondef.x/>0&f.x/<0;ylosvaloresdondef.x/D0.
b.Los intervalos de monotonía def; es decir dónde es creciente y dónde es decreciente.
H
a.f.x/>0six2.4;2/[.2;1/[.2; 7/.
f.x/<0six2.1;4/[.1; 2/[.7;C1/.
f.x/D0sixD4;1; 2&7.
b.La funciónfes creciente en.1;2/yen

1
2
;5

.
La funciónfes decreciente en

2;
1
2

yen.5;C1/.

27.Para la función:
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
xC1 si7x<2I
x
2
C3si2x3I
4 si3<x6:
a.Bosqueje su gráﬁca.
b.Determine su dominio, su rango y sus raíces.
c.Apartirdelagráﬁca, encuentre los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d.Apartirdelagráﬁca, encuentre los intervalos donde la función es positiva y donde es negativa.
H
a.La gráﬁca defes:

98 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
3
1
6
3
6
27
yDf.x/

b.Vem o s que:
D
fDŒ7; 6yR fDŒ6; 3[f4g:
La función es cero solamente cuando
x
2
C3D0)x
2
D3)jxjD3)xD˙
p
3;
que son sus raíces.
c.EnŒ7; 0la función es creciente y en?0; 3es decreciente.
En.3; 6es no creciente y no decreciente (es constante).
d.Observamos que
f.x/>0six2.
p
3;
p
3/[.3; 6I
f.x/<0six2Œ7;
p
3/[.
p
3; 3:

28.Sealafunción:
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
3 si6x<2I
x
2
1si2x2I
2xC7si2<x5:
a.Bosqueje la gráﬁca de la función.
b.Determine el dominio y el rango de la función; encuentre también sus raíces.
c.Apartirdelagráﬁca, encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
d.Apartirdelagráﬁca, encuentre los intervalos en donde la función es positiva y negativa.
H
a.La gráﬁca es:

2.6 Tipos de funciones 99
x
y
1
3
1
3
6 21

12 3
45
yDf.x/

b.D fDŒ6; 5; RfDŒ3; 3.
Raíces:xD1,xD1&xD
7
2
.
Las dos primeras raíces se obtienen al resolverx
2
1D0y la última se obtiene al igualar a cero
2xC7de dondexD
72
2.2; 5.
c.fcrece en.0; 2/y decrece en.2;0/yen.2; 5.
d.f.x/>0six2Œ6;1/[

1;
7
2

.
f.x/<0six2.1; 1/[

7
2
;5

.

29.Sealafunción:
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
xC3 six2I

x
2
1

six2.2;2/I
2 six2:
Bosquejar su gráﬁca.
Obtener el dominio, raíces y especiﬁcar los intervalos donde:a.f.x/ > 0;b.f.x/ < 0;c.f.x/crece;
d.f.x/decrece.
HLa gráﬁca defes:
x
y
2
1
3
1212
3
yDf.x/

100 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
El dominio:D fDR.
Las raíces:f3;1; 1g.
a.f.x/>0six2.3;1/[.1; 1/[.1; 2/;
b.f.x/<0six2.1;3/[Œ2;1/;
c.f.x/crece en.1;2/ ;en.1; 0/yen.1; 2/;
d.f.x/decrece en.2;1/yen.0; 1/.

30.Sealafunción
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x
2
2xC2six0I
jx2j si0<x<4I
3 six4:
a.Graﬁque la función.
b.¿Cuáles son el rango y las raíces def?
c.¿Cuáles son los intervalos de monotonía def?
d.¿La funciónfes par o impar? Justiﬁque su respuesta.
H
a.Como
x
2
2xC2D.x
2
C2xC1/C2C1D.xC1/
2
C3
resulta queyDx
2
2xC2es una parábola cuyo vértice es.1; 3/y se abre hacia abajo, por lo
que parax0,lagráﬁca defes un segmento de tal parábola.
EntrexD0&xD4la gráﬁca defes igual a la dejx2j. Aplicando la deﬁnición de valor
absoluto:
jx2jD

x2 six20
.x2/six2<0
D

x2six2I
2xsix<2:
Por último, six4,lagráﬁca es una recta paralela al eje de lasxtrazada a una altura de3.
Por lo tanto la gráﬁca es:
x
y
2
3
124
yDf.x/

2.6 Tipos de funciones 101
b.R fD.1;3.
Para hallar las raíces no positivas resolvamos la ecuación
x
2
2xC2D0ox
2
C2x2D0
con lo que obtenemos
xD1˙
p
1C2D1˙
p
3:
Luego,xD1
p
3es la única raíz negativa que tiene la función.
La única raíz positiva esxD2;susraícessonxD1
p
3&xD2.
c.La funciónfes creciente en.1;1/[.2; 4/.
La funciónfes decreciente en.1; 2/.
La funciónfes no creciente y no decreciente enŒ4;C1/.
d.La funciónfno es par pues, por ejemplo,f.1/D3¤1Df.1/.
Y tampoco es impar puesf.1/D3?1Df.1/.

31.En el dibujo aparece una parte de la gráﬁca de la funciónf.
x
y
10
8
6
1
5
10
1 23345
67
yDf.x/

a.Complete esta gráﬁca sabiendo que se trata de una función par y también determine su dominio,
raíces y rango (imagen).
b.Determine las soluciones de las desigualdadesf.x/>0&f.x/<0.
c.Determine los intervalos donde esta funciónfes
i.creciente;
ii.decreciente.
H
a.La gráﬁca completa es:

102 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
10
8
6
1
5
10
23 56
7
235
7
yDf.x/

Y así resulta queD fDŒ7; 7.
Raíces:

6;
3
2
;
3
2
;6

.
R
f=Œ10; 10.
b.f.x/>0six2

6;
3 2

[

3
2
;6

;
f.x/<0six2Œ7;6/[

3
2
;
3
2

[.6; 7.
c. i.La funciónfes creciente en.7;4/ ; .0; 3/yen.3; 4/;
ii.La funciónfes decreciente en.4;3/ ; .3; 0/yen.4; 7/.

32.La siguienteﬁgura es parte de la gráﬁca de una funciónf:
x
y
3
5
9
13
7 31
3
yDf.x/

a.Completar la gráﬁca sabiendo que es una función par.
b.Determinar dominio, raíces y rango.
c.Determinar los intervalos de monotonía.
H
a.La gráﬁca completa defes:

2.7 Transformaciones de funciones 103
x
y
3
5
9
13
7 3
13
yDf.x/

7
1

b.Dominio def:D fDŒ7; 7.
Raíces:f1; 1g.
Rango def:R
fDŒ13; 3[.5; 9.
c.La función decrece enŒ7;3yen.0; 3.
La función crece enŒ3; 0/yen?3; 7.

2.7 Transformaciones de funciones
Ejercicios 2.7.1
1.Considerando la siguienteﬁgura como la gráﬁca de cierta funciónf,
x
y
1
1
1
2 1
A.2;1/
B.1; 0/
C.0; 1/
D.1; 0/
yDf.x/

realizar un bosquejo de la gráﬁca de la función
g.x/D2f .x1/C3
yespeciﬁcar la nueva posición de los puntosA.2;1/;B.1; 0/;C.0; 1/&D.1; 0/.
HLa gráﬁca deyDg.x/se obtiene a partir deyDf.x/, mediante los pasos siguientes:
Se obtieneyDf.x1/trasladando1unidad hacia la derecha la curvayDf.x/.
Se obtieneyD2f .x1/multiplicando por2las ordenadas de los puntos deyDf.x1/.

104 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Se obtieneyD2f .x1/reﬂejando la curvayD2f .x1/con respecto al ejex.
Se obtieneyD2f .x1/C3trasladando3unidades hacia arriba la curvayD2f .x1/.
Obtenemos la gráﬁca deg.x/D2f .x1/C3:
x
y
3
5
1
2
2
yDg.x/
A.2;1/
B.1; 0/
C.0; 1/
D.1; 0/
A
0
.1; 5/
B
0
.0; 3/
C
0
.1; 1/
D
0
.2; 3/

g.x/
f.x/
En efecto como
f.2/D1; f .1/D0; f .0/D1&f.1/D0;
encontramos
g.1/D5; g.0/D3; g.1/D1&g.2/D3:
Veamos la nueva posición de los puntosA,B,CyDrespectivamente:
A
0
.1; 5/IB
0
.0; 3/IC
0
.1; 1/yD
0
.2; 3/:

2.Considerando que laﬁgura siguiente es un bosquejo de la gráﬁca de cierta funciónf, obtenga el
dominio, el rango, las raíces así como un bosquejo de la gráﬁca de la funcióng.x/D3f .xC5/C2.
x
y
4
3
1
1
13456
8
yDf.x/

HD fDŒ1; 8/,R fD.1;4,raízxD4.

2.7 Transformaciones de funciones 105
Para graﬁcaryDg.x/tenemos que trasladar la gráﬁca deyDf.x/ 5unidadesalaizquierda,
expandirla verticalmente3unidades, reﬂejarla con respecto al eje de lasxy por último deslizarla
hacia arriba2unidades.
ComoD
gDŒ4;3/e, igualmente, como
g.4/D3f.1/C2D31C2D3C2D1I
g.2/D3f.3

/C2D3

4
3
C2D

12
9
C2D

10I
7I
g.1/D3f.4/C2D30C2D0C2D2I
g.0/D3f.5/C2D3.1/C2D3C2D5I
g.1/D3f.6

/C2D3
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
0
4
1
C2D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
0
12
3
C2D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
l2I
10I
5I
ycomo
g.3

/D3f.8

/C2D3
“
.1/
”
C2D
“
.C1/
”
C2D
“
.C1/
”
;
encontramos que la gráﬁca deges:
x
y
5
2
1
7
10
4 2
131
yDg.x/

3.Considerando la función deﬁnida por:
f.x/D

xC1 six<0I
x
2
2x3six0:
a.Realizar un bosquejo de la gráﬁca de la funciónf.
b.Realizar un bosquejo de la gráﬁca de la funcióng.x/Df.x3/2.
c.Obtener dominio, rango y raíces de la funcióng.
H
a.A la izquierda dexD0,lagráﬁca coincide con la de la rectayDxC1;apartirdexD0,con
la de la parábolayDx
2
2x3D.x1/
2
4cuyo vértice es.1;4/, que pasa por los puntos
.0;3/y.3; 0/.
La gráﬁca defes:

106 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
1
3
3
1
1
4
yDf.x/

b.Trasladamos primero la gráﬁca defhorizontalmente hacia la derecha 3 unidades y después
verticalmente hacia abajo 2 unidades.
La gráﬁca deges:
x
y
1
2
5
3624
6
yDg.x/

Observación:f.1/D0; f .0

/D1; f .0/D3; f .1/D4&f.3/D0.
Por lo que
g.2/D2; g.3

/D1; g.3/D5; g.4/D6&g.6/D2.
c.Dominio: todos los números reales.
Rango: todos los números reales.
Raíces: la funciónges:
g.x/D

Œ.x3/C12 six<3I
˙
.x3/
2
2.x3/3

2six3I
osea,
g.x/D

x4 six<3I
x
2
8xC10six3I
La funcióng.x/Dx4no tiene raíces parax<3.

2.7 Transformaciones de funciones 107
La funcióng.x/Dx
2
8xC10tiene una raíz parax3,queesxD4C
p
6.
En efectog.4C
p
6/D.4C
p
6/
2
8.4C
p
6/C10D16C8
p
6C6328
p
6C10D0.

4.Dada
f.x/D

x
2
C2xC1six1I
2x3 six>1:
Obtenga la gráﬁca deh.x/Df.x3/1.
HGraﬁquemos primerof,observandoquef.x/D.xC1/
2
si1.
x
y
4
3
1
1
3
5
123123
yDf.x/

Se obtendráyDh.x/trasladando la gráﬁca deyDf.x/3unidades a la derecha y deslizándola una
unidad hacia abajo:
x
y
4
3
2
1
2
4
6
12345
6
yDh.x/

Observación, como
f.3/D4;f.2/D1; f .1

/D0; f .1
C
/D5; f .0/D3; f .1/D1; f .2/D1&f.3/D3;
se tiene que
h.0/D3; h.1/D0; h.2

/D1; h.2
C
/D6; h.3/D4;h.4/D2;h.5/D0&h.6/D2:

108 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
5.Dada la función
g.t/D

4t
2
si3t<1I
3t si1<t<2:
a.Bosquejar su gráﬁca y determinar dominio, rango y raíces.
b.Obtener los intervalos en los queg.t/0así como aquellos en dondeg.t/ < 0.
c.Apartirdelagráﬁca obtenida, bosquejar la gráﬁca def.t/D2g.tC2/3.
H
a.La gráﬁca de la funciónges:
t
y
6
4
3
5
32
12
yDg.t/

Dominio:D gDŒ3; 2/f1gDŒ3; 1/[.1; 2/.
Rango:R
gDŒ5; 6/.
Raíz:tD2.
b.g.t/0sit2Œ2;2/f1gDŒ2;1/[.1; 2/;
g.t/ < 0sit2Œ3;2/.
c.La gráﬁca que deseamos se obtiene de la original.
i.Al desplazarla 2 unidades a la izquierda, tendremos
t
y
6
4
3
5
5
4 21
yDg.tC2/

2.7 Transformaciones de funciones 109
ii.Si expandimos verticalmente la gráﬁca anterior 2 unidades, obtendremos
t
y
12
8
6
10
5
4 21
yD2g.tC2/

iii.Al desplazarla 3 unidades hacia abajo, veremos
t
y
9
5
3
13
3
54
21
yD2g.tC2/3

6.Considere la función:
f.x/D

xC5si8x<0I
p
xsi0x6:
a.Determinar dominio, raíces o puntos en donde la función vale cero, gráﬁca y rango def.
b.Apartirdelagráﬁca def, construir la gráﬁca deh.x/D12f .xC3/.
H
a.D
fDŒ8; 6.
Raíces :5&0.
La gráﬁca defes:

110 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
5
p
6
1
1
3
8 6
51
2
46
yDf.x/

RfDŒ3; 5/.
b.Para construir la gráﬁca deh.x/se realiza lo siguiente:
i.La gráﬁca defla desplazamos 3 unidades a la izquierda.
x
y
5
p
6
2
1
3
2
1
11 9
8 313
yDf.xC3/

ii.Multiplicamos por -2 cada una de las ordenadas def.xC3/y obtenemos2f .xC3/.
x
y
6
2
2
p
6
4
10
11 9
8 3132
2
yD2f .xC3/

iii.Desplazamos una unidad hacia arriba la gráﬁca de2f .xC3/y obtenemos12f .xC3/.

2.7 Transformaciones de funciones 111
x
y
7
1
3
3
9
11 98 3
13
2
1
2
p
6
yD12f .xC3/

7.Considere la funciónfdeﬁnida por
f.x/D

12xsix<0I
x
2
six1:
a.Graﬁque la funciónf.
b.Usando la gráﬁca def, construir la gráﬁca de la funciónh.x/D32f .2xC1/y obtener una
expresión o fórmula parah.x/.
H
a.La gráﬁca defes:
x
y
1
3
4
5
7
9
123 123
yDf.x/

b.Puesto que3f.2xC1/D3f

2

xC
1
2

, hay que trasladar
1
2
unidadhacialaizquierdala
gráﬁca def, comprimirla horizontalmente por un factor de2, expandirla verticalmente multi-
plicando por2las ordenadas, reﬂejarla con respecto al ejexy deslizarla hacia arriba3unidades.

112 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
1
3

3
2
7
11
15
121
yDh.x/

En efecto, comof.x/varía dependiendo six<0obiensix1,f.2xC1/, cambiará depen-
diendo si2xC1<0obiensi2xC11; esto es, six<
1
2
obiensix0.
Observemos que:
i.
x<
1
2
)2x <1)2xC1<0)
)f.2xC1/D12.2xC1/D14x2D14xI
h.x/D32f .2xC1/D32.14x/D3C2C8x)
)h.x/D5C8xI
ii.
x0)2x0)2xC11)f.2xC1/D.2xC1/
2
I
h.x/D32f .2xC1/D32Œ.2xC1/
2
D38x
2
8x2)
)h.x/D8x
2
8xC1:
Por lo tanto:
h.x/D
⎧
⎨
⎩
5C8x six<
1
2
I
8x
2
8xC1six0:

8.Sea
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
3 si6x<4I
x
2
C2x3si4x0I
2x3 si0<x<4;
determine:
a.Un esbozo gráﬁco de la función.
b.Dominio, rango, raíces, paridad, intervalos de monotonía e intervalos dondef.x/ > 0ydonde
f.x/<0.
c.Un esbozo gráﬁco para la funcióng.x/Df.x1/C2.

2.7 Transformaciones de funciones 113
H
a.La gráﬁca de la funciónfconsta de tres partes:
i.EnŒ6;4/es un segmento de recta paralelo al ejexde altura 3.
ii.EnŒ4;0es una parábola abierta hacia arriba. Para obtener mayor información completa-
mos el cuadrado:
x
2
C2x3Dx
2
C2xC113Dx
2
C2xC14D.xC1/
2
4:
De aquí vemos que es una parábola cuyo vértice es.1;4/y que se obtiene de la canónica
x
2
desplazándola a la izquierda1unidad y hacia abajo 4 unidades.
Otra información útil son los ceros de la cuadrática:
2˙
p
4C12
2
D
2˙4
2
D

1
3:
Desechamos1ya que no se encuentra dentro del intervalo considerado.
Vamos a evaluar la función en los extremos del intervalo:
x x
2
C2x3
41683D5
0 3
iii.En.0; 4/es un segmento de la recta de pendiente2yordenadaenelorigen3.
Esta recta tiene como raíz:2x3D0)xD
3
2
D1:5, la cual se encuentra dentro del
intervalo.
Vamos a evaluar la recta en los extremos del intervalo:
x2x3
03
4 5
Con la información anterior hacemos el esbozo de la gráﬁca:
x
y
5
3
3
4
6 4
3
1
3
2
4
A
C
B
D
E
F
yDf.x/

b.Dominio:D fDŒ6; 4/.
Rango:R
fDŒ4;5.

114 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Raíces:xD3; xD1:5.
No es par ni impar.
La función es constante six2Œ6; 4/. Es decir, la función es nocreciente y nodecreciente en este
intervalo.
La función decrece six2.4;1/.
La función crece six2.1; 4/.
La función es positiva six2Œ6;3/[.1:5; 4/.
La función es negativa six2.3; 1:5/.
c.Cada valor de la nueva gráﬁca se obtiene de la anterior desplazándola1unidad a la derecha,
reﬂejándola con respecto al ejexysubiéndola2unidades.
Vamos a obtener los valores de los puntos elegidos:
A.6; 3/!.5; 3/!.5;3/!A
0
.5;1/I
B.4;3/!.3; 3/!.3;3/!B
0
.3;1/I
C.4;5/!.3; 5/!.3;5/!C
0
.3;3/I
D.1;4/!.0;4/!.0; 4/!D
0
.0; 6/I
E.0;3/!.1;3/!.1; 3/!E
0
.1; 5/I
F.4;5/!.5; 5/!.5;5/!F
0
.5;3/:
Esto lo podemos comprobar considerando el dominio deg,D
gDŒ5; 5/y evaluando directa-
mente la funcióng:
g.5/Df.51/C2Df.6/C2D3C2D1I
g.3

/Df.3

1/C2Df.4

/C2D3C2D1I
g.3/Df.31/C2Df.4/C2D5C2D3I
g.0/Df.01/C2Df.1/C2D4C2D6I
g.1/Df.11/C2Df.0/C2D.3/C2D3C2D5I
g.5

/Df.5

1/C2Df.4

/C2D5C2D3I
por lo que los puntos.5;1/,.3

;1/,.3;3/,.0; 6/,.1; 5/,.5

;3/estánenlagráﬁca deg,
de hecho son respectivamenteA
0
,B
0
,C
0
,D
0
,E
0
,F
0
.
Con la información anterior, hacemos el esbozo de la gráﬁca
x
y
5
6
3
1
5 3 2
1
5
A
0
C
0
B
0
D
0
E
0
F
0
yDg.x/

2.7 Transformaciones de funciones 115
9.Sea
g.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
2x4si4<x1I
1 si1<x<3I
.x4/
2
six3:
a.Obtenga dominio, raíces y un bosquejo de la gráﬁca deg, así como su rango.
b.Graﬁque la funciónh.x/Dg.xC3/2, a partir de la gráﬁca deg.
H
a.Dominio:
D
gD.4;1[.1; 3/[Œ3;C1/D.4;C1/:
Raíces:
g.x/D2x4D0)2xD4)xD2,peroxD26 2.4;1I
g.x/D1no tiene raíces;
g.x/D.x4/
2
D0)x4D0)xD4&xD42Œ3;C1/:
Vem o s quegsólo tiene una raíz:xD4.
Calculamos los valores deg.x/en los extremos de cada intervalo para determinar:
AD.4
C
;12/,BD.1;6/,CD.1
C
;1/,DD.3

;1/,ED.3; 1/ytambiénFD.4; 0/.
Su gráﬁca es:
x
y
1
6
12
4 1
1
234
A
B
C
D
E
F
yDg.x/

Rango:R gD.12;6[f1g[Œ0;C1/.
b.La gráﬁca de la funciónh.x/Dg.xC3/2se obtiene trasladando a la gráﬁca deg,primero3
unidades hacia la izquierda y luego2unidades hacia abajo. Entonces:
A.4;12/!A
0
.7;12/!A
00
.7;14/I
B.1;6/!B
0
.4;6/!B
00
.4;8/I
C.1;1/!C
0
.4;1/!C
00
.4;3/I
D.3;1/ !D
0
.0;1/!D
00
.0;3/I
E.3; 1/ !E
0
.0; 1/ !E
00
.0;1/I
F.4;0/ !F
0
.1; 0/ !F
00
.1;2/:

116 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
2
1
3
8
14
7 4 112
yDh.x/
A
00
B
00
C
00
D
00
E
00
F
00

10.Seafla función dada porf.t/Dt
2
con0t1.
Seagla función deﬁnida por
g.t/D

f.t/si1t0I
f.t/ si0t1:
a.Hallar el dominio y hacer un bosquejo de la gráﬁca degindicando su rango o imagen.
b.Sih.t/D2g.t1/C3, hacer un bosquejo de la gráﬁca de esta nueva función e indicar su dominio
yrango.
H
a.El dominio es:D
gDŒ1; 1.
Para bosquejar su gráﬁca es necesario ver cómo expresar
g.t/Df.t/para1t0:
Ya que
1t0).1/.1/.1/t.1/0)1t0)0t1:
Entonces,
f.t/D.t/
2
Dt
2
&g.t/Df.t/Dt
2
:
Por lo tanto, la funcióngpuede expresarse como
g.t/D

t
2
si1t0I
t
2
si0t1:
Cuya gráﬁca es:

2.7 Transformaciones de funciones 117
t
y
1
1
1
1
A.1;1/
B.0; 0/
C.1; 1/
yDg.t/

ElrangooimagendegesR gDŒ1; 1.
b.Para bosquejar la gráﬁca de la funciónh.t/D2g.t1/C3, iremos obteniendo las nuevas coor-
denadas de los puntosA.1;1/,B.0; 0/yC.1; 1/de la gráﬁca deg, a medida que se efectúen
las acciones indicadas.
yDg.t/yDg.t1/yD2g.t1/yD2g.t1/C3
A.1;1/A
0
.0;1/ A
00
.0;2/ A
000
.0; 1/
B.0; 0/ B
0
.1; 0/ B
00
.1; 0/ B
000
.1; 3/
C.1; 1/ C
0
.2; 1/ C
00
.2; 2/ C
000
.2; 5/
La gráﬁca de la funciónh.t/resulta:
t
y
1
3
5
12
yDh.t /
A
00
.0; 1/
B
00
.1; 3/
C
00
.2; 5/

Dominio:D hD?0; 2.
Rango:R
hD?1; 5.

11.Sean
f.x/D
p
3xsix1I
j3x4jsix>1:
g.x/D3f .xC1/4;
determinar las gráﬁcas de ambas funciones, el dominio y el rango de la funcióng.

118 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
HConsiderando que
j3x4jD

3x4 si3x40
.3x4/si3x4<0
D
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
3x4 six
4
3
I
3xC4six<
4
3
;
reescribimos la funciónfcomo
f.x/D
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
p
3xsix1I
3xC4si1<x<
4
3
I
3x4 six
4
3
:
Para tener la gráﬁca defdebemos ver que
yD
p
3x)y
2
D3x).y0/
2
D1.x3/;
es decir, queyD
p
3xes una semiparábola con eje horizontal la cual se abre hacia la izquierda
desde su vérticeV .3; 0/.
Un bosquejo de la gráﬁca def:
x
y
yDf.x/
7
2
6 1
3
A.6; 3/
B.1; 2/
C.1; 7/
D
„
4
3
;0
«
E .3; 5/

Obtenemos la gráﬁca de la funcióng.x/D3f .xC1/4mediante etapas y partiendo de la gráﬁca de
la funciónf.
yDf.xC1/se obtiene desplazando ayDf.x/una unidad hacia la izquierda.
yD3f .xC1/se obtiene multiplicando por3las ordenadas deyDf.xC1/.
FinalmenteyD3f .xC1/4se obtiene deyD3f .xC1/trasladándola4unidades hacia abajo.
Veamos las coordenadas de los puntosA,B,C,D,E, después de cada etapa
yDf.x/yDf.xC1/yD3f .xC1/yD3f .xC1/4
A.6; 3/A1.7; 3/ A2.7; 9/ A3.7; 5/
B.1; 2/B1.2;2/ B2.2;6/ B3.2;2/
C.1; 7/C1.2;7/ C2.2; 21/ C3.2; 17/
D

4
3
;0

D1

1
3
;0

D2

1
3
;0

D3

1
3
;4

E.3; 5/ E1.2; 5/ E2.2; 15/ E3.2; 11/

2.7 Transformaciones de funciones 119
Ahora la gráﬁca de la funcióng:
x
y
yDg.x/
17
11
5
2
4
7 22
A
3.7; 5/
B
3.2; 1:6/
C
3.2; 17/
D
3
„
1
3
;4
«
E
3.2; 11/

El dominio degesRyelrangodeges el intervalo.4;C1/.

12.Dada la función
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
2xC5si3<x1I
1x
2
si1<x2I
1 si2<x4:
a.Obtener la gráﬁca, el rango y las raíces def.
b.Apartirdelagráﬁca defhacer un bosquejo de la gráﬁca de la funcióng.x/D2f.x1/.
H
a.La gráﬁca de la funciónfes:
x
y
yDf.x/
3
1
1
3
3

5
2
1
1
24

Rango:R fDŒ3; 3 :
Raíces:
2xC5D0,xD
5
2
es raíz pues3<
5
2
1:
1x
2
D0,xD˙1)xD1es raíz pues1<12:
xD1no es raíz pues16 2.1; 2 :

120 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
b.Tenemos que deslizar la gráﬁca defuna unidad hacia la derecha y reﬂejarla con respecto al eje
de lasx; por último, deslizarla hacia arriba dos unidades.
De hecho los puntos.3;1/,

5
2
;0

,.1; 0/,.2;1/(quenoestánenlagráﬁca def)asícomo
los puntos.1; 3/,.0; 1/,.1; 0/,.2;3/,.4;1/se transformarán para obtener nuevos puntos y
con ellos construir la gráﬁca deg.
Nótese que algunos de estos nuevos puntos no pertenecen a la gráﬁca deg.
.3;1/!.2;1/!.2;1/!.2;3/I

5
2
;0

!

3
2
;0

!

3
2
;0

!

3
2
;2

I
.1; 3/!.0; 3/!.0;3/!.0;1/I
.1; 0/!.0; 0/!.0; 0/!.0; 2/I
.0; 1/!.1; 1/!.1;1/!.1; 1/I
.1; 0/!.2; 0/!.2; 0/!.2; 2/I
.2;3/!.3;3/!.3; 3/!.3; 5/I
.2;1/!.3;1/!.3; 1/!.3; 3/I
.4;1/!.5;1/!.5; 1/!.5; 3/ :
Por lo que la gráﬁca solicitada deges:
x
y
yDg.x/
5
3
2
1
1
2

3
2
123 5

13. a.Encuentre la regla de correspondencia para la funciónfrepresentada por la siguiente gráﬁca:
x
y
yDf.x/
13 6
1
2

b.Elabore la gráﬁca de la función dada por:g.x/D3f .2x2/C2.

2.7 Transformaciones de funciones 121
H
a.Desde luegof.x/D1six2?1; 3.
Parax2?3; 6,lagráﬁca def.x/es el segmento de recta que pasa por los puntos.3; 1/y.6; 2/,
esto es, que tiene de pendientemD
21
63
D
1
3
.
Su ecuación entonces, por pasar por.3; 1/,es:
y1D
1
3
.x3/)y1D
1
3
x1)yD
1
3
xI
(suordenadaenelorigenes0)yporlotanto
f.x/D
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
1six2?1; 3I
Observe quef.3/D1:
1
3
xsix2?3; 6 :
b.Calculemos explícitamenteg.x/.
Si12x23)32x5)
3
2
x
5
2
,
g.x/D3f .2x2/C2D31C2D3C2D5.
Pero si32x26)52x8)
5
2
x4,
g.x/D3f .2x2/C2D3
1
3
.2x2/C2D2x2C2D2x; luego, tenemos que graﬁcar
g.x/D
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
5six2

3
2
;
5
2

I
Observe queg

5
2

D5:
2xsix2

5
2
;4

:
x
y
yDg.x/
5
8
3
2
5
2
4

122 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
14.Dada la gráﬁca de una funciónf:
x
y
10
5
10
5
1234
1234

3

yDf.x/
asocie cada una de las siguientes funcionesf.xC3/,2f .x/&f.x/4con su gráﬁca corres-
pondiente.
a.
x
y
6
14
1
1234
1234

b.
x
y
10
3
10
11234
56
7

c.
x
y
20
10
20
10
6
1234
1234

H
a.Ésta es la funciónyDf.x/4.
x
y
6
14
1
1234
1234

b.Ésta es la funciónyDf.xC3/.

2.7 Transformaciones de funciones 123
x
y
10
3
10
11234
56
7

c.Ésta es la funciónyD2f .x/.
x
y
20
10
20
10
6
1234
1234

15.Sea
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x
2
C3six<1I
2x
2
si1x1I
3x1six>1:
Graﬁque:
a.f.x/.
b.g.x/Df.x2/C5.
c.h.x/Djf.x/j.
H
a.Un bosquejo de la gráﬁca defes:
x
y
yDf.x/
5
2

p
3112
A
B
C
D
E

124 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Puntos de control:A.
p
3; 0/,B.1; 2/,C.0; 0/,D.1; 2/,E.2; 5/.
b.Un bosquejo de la gráﬁca deg.x/Df.x2/C5seobtienedelasiguientemanera:lagráﬁca
defes trasladada2unidades hacia la derecha y la nueva gráﬁca así obtenida es trasladada5
unidades hacia arriba. Los puntos de control adoptan las posiciones siguientes:
A.
p
3; 0/!A
0
.
p
3C2;0/!A
00
.2
p
3; 5/I
B.1; 2/!B
0
.1; 2/ !B
00
.1; 7/I
C.0; 0/ !C
0
.2; 0/ !C
00
.2; 5/I
D.1; 2/ !D
0
.3; 2/ !D
00
.3; 7/I
E.2; 5/ !E
0
.4; 5/ !E
00
.4; 10/:
El bosquejo resultante es:
x
y
yDg.x/
10
7
5
1234
A
00
B
00
C
00
D
00
E
00

c.Un bosquejo de la gráﬁca deh.x/Djf.x/jse obtiene de la manera siguiente: la porción de la
gráﬁca defque se encuentre por debajo del ejexes reﬂejada con respecto a dicho eje (poniendo
un espejo en el ejex) y la porción de la gráﬁca def, que está por encima del ejex,sedejaigual.
El bosquejo resultante es:
x
y
yDh.x/
5
2

p
3112
A
B
C
D
E

16.Considere la función
f.x/D

xC1 si0x<1I
x
2
2xC3si1x3:
a.Determinar dominio, raíces, gráﬁca e imagen o rango def.
b.Apartirdesugráﬁca, construir la gráﬁca deg.x/Djf.x/j.
c.Graﬁcar la funciónh.x/Df.x1/C1.

2.7 Transformaciones de funciones 125
H
a.Dominio:D
fD?0; 3.
Raíces: no tiene.
La gráﬁca def:
x
y
6
3
2
1
123
yDf.x/

Rango:R fD?1; 6.
b.f.x/Djf.x/j,puesf.x/0six2D
f;luegof.x/Dg.x/y tienen la misma gráﬁca.
c.Para obtener la gráﬁca dehla curvayDf.x/se traslada 1 unidad a la derecha, luego se reﬂeja
con respecto al ejexyﬁnalmente se desplaza 1 unidad hacia arriba.
La gráﬁca dehes:
x
y
5
2
1
1234
yDh.x/

Como
f.0/D1; f .1

/D2

;f.1
C
/D2
C
;f.1/D2; f.2/D3&f.3/D6,
entonces
h.1/D0; h.2

/D1

;h.2
C
/D1
C
;h.2/D1; h.3/D2&h.4/D5.

126 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
17.La siguiente es la gráﬁca de una funciónfWŒ0; 10!R.
x
y
yDf.x/
15
2
4
10

a.Determine su regla de correspondencia.
b.Considere la funcióngdeﬁnida por
g.x/D

f.x/si10x<0I
f.x/ si0x10 :
Bosqueje la gráﬁca deg. Determine su dominio, rango y raíces.
c.Seah.x/Dg.xC1/2; a partir de la gráﬁca degobtenga la deh.
H
a.En?0; 4la gráﬁca defes el segmento de la rectayD2.
EnŒ4; 10la gráﬁca defes el segmento de la recta que une los puntos.4;2/y.10; 15/,porlo
tanto tiene pendiente
mD
15.2/
104
D
15C2
6
D
17
6
:
Por pasar por el punto.4;2/, la ecuación de la recta es:
yC2D
17
6
.x4/:
Así:
yD
17
6
x
17.2/
3
2D
17
6
x
34C6
3
D
17
6
x
40
3
y entonces la regla de correspondencia para la funciónfserá:
f.x/D
⎧
⎨
⎩
2 si0x<4I
17
6
x
40
3
si4x10:
b.La gráﬁca deges:

2.8 Modelando con funciones 127
x
y
yDg.x/
15
2
15
2
4
104
10

Dominio:D gDŒ10; 10.
Rango:R
gDŒ15; 15.
Raíces: si
176
x
40
3
D0)
17
6
xD
40
3
)xD
406
173
D
402
17
D
80
17
. Por simetría otra raíz de
gesxD
80
17
.
c.AlacurvayDg.x/se le traslada1unidad hacia la izquierda y luego2unidades hacia abajo.
La gráﬁca de la funciónhresulta entonces:
x
y
yDh.x/
13
4
17
3
9
1511

2.8 Modelando con funciones
Ejercicios 2.8.1
1.Las dimensiones de un rectángulo pueden variar, pero no su área que debe ser deAcm
2
.Con-
siderando que uno de sus lados midexcm, expresar el perímetroPdel rectángulo en función dex.
H¿Qué se pide en el problema? Expresar el perímetroPde un rectángulo en función dela longitud
xde uno de sus lados a sabiendas de que su área debe ser exactamenteAcm
2
.Nuestroobjetivo

128 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
es el perímetroPde un rectángulo, pero no de cualquier rectángulo sino de aquel cuya área sea
precisamenteAcm
2
.
y
x
Considerando un rectángulo con base de longitudxcm y altura de longitudycm,setienequeel
perímetro es
PD2xC2ycm
yeláreaes
ADxycm
2
:
Observamos entonces que el perímetroPestá en función de las dos variablesx&y, las mismas que
están relacionadas en la ecuaciónADxy.
Por esto, para expresar el perímetroPen función (sólo) dex, es necesario despejar la (otra) variable
yde la ecuaciónxyDApara luego sustituirla en la función perímetroP.
DexyDAse obtieneyD
A
x
.
Al sustituir enPse llega a
PD2.xCy/D2

xC
A
x

I
es decir,
P.x/D2

xC
A
x

;
que es la función requerida.
2.El perímetro de un rectángulo debe serPcm. Expresar el áreaAdel rectángulo en función de la
longitudyde uno de sus lados.
H¿Qué se pide en el problema? Expresar el áreaAde un rectángulo en función de la longitudy
de uno de sus lados, a sabiendas de que su perímetro debe serPcm. Entonces nuestro objetivo está
en el áreaAde un rectángulo; pero no de cualquier rectángulo, sino de aquel cuyo perímetro sea
precisamentePcm.
y
x

2.8 Modelando con funciones 129
Considerando un rectángulo con base de longitudxcm y altura de longitudycm, encontramos que
el perímetro es
PD2xC2ycm
yeláreaes
ADxycm
2
:
Observamos entonces que el áreaAestá en función de dos variablesx&y, las mismas que están
relacionadas en la ecuaciónPD2xC2y.
Por esto, para expresar el áreaAen función (sólo) dey, es necesario despejar la (otra) variablexde la
ecuaciónPD2xC2ypara luego sustituirla en la función áreaA.
De2.xCy/DPllegamos axD
P
2
y.
Al sustituir enA:
ADxyD

P
2
y

yI
es decir,
A.y/D

P
2
y

y;
que es la función requerida.

3.Las dimensiones de un paralelepípedo (caja con caras laterales rectangulares) pueden variar, pero no
su volumen que debe ser igual aVm
3
. Considerando que la caja tiene base cuadrada con lado de
longitud igual axm, expresar el áreaAde la superﬁcie total del paralelepípedo en función dex.
H¿Qué se pide en el problema? Expresar el áreaAde la superﬁcie de una caja de base cuadrada,
en función de la longitudxdel lado de dicho cuadrado, a sabiendas de que su volumen debe serV
m
3
. Entonces nuestro objetivo está en el áreaAde una caja; pero no de cualquier caja, sino de aquella
cuyo volumen sea precisamenteVm
3
.
x
x
y
y
Puesto que la caja tiene base y tapa cuadradas de ladoxm y altura de longitudym, el área total es
AD2x
2
C4xym
2
y el volumen es
VDx
2
ym
3
:
Entonces el áreaAestá en función de las variablesx&y, las mismas que están relacionadas en la
ecuaciónVDx
2
y.

130 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Por esto, para expresar el áreaAen función (sólo) dex, es necesario despejar la (otra) variableyde la
ecuaciónx
2
yDV, para luego sustituirla en la función áreaA.
Dex
2
yDV, llegamos ayD
V
x
2
.
Al sustituir enA:
AD2x
2
C4xyD2x
2
C4x

V
x
2

I
es decir,
A.x/D2x
2
C
4V
x
;
que es la función requerida.
4.Una caja con base y tapa cuadradas tiene una superﬁciedeáreaAcm
2
.ExpresarelvolumenVde
la caja en función de la longitud de uno de sus lados.
H
w
w
h
h
Considerando una caja con base y tapa cuadradas de ladowyalturadelongitudh,observamosque
el área total es
AD2w
2
C4wh
y el volumen es
VDw
2
h:
Entonces el volumenVestá en función de las variablesw&h, las mismas que están relacionadas en
la ecuaciónAD2w
2
C4wh.
Por esto, para expresar el volumenVen función de solamente una de las variables (wobienh), es
necesario despejar la otra variable (hobienw, respectivamente) de la ecuación2w
2
C4whDA,para
luego sustituirla en la función volumenV.
Aquí es importante preguntarse ¿cuál de las variables debemos despejar? La respuesta es: la que
convenga. Nótese que en este caso conviene despejar la variableh.
De2w
2
C4whDAse tiene quehD
A2w
2
4w
.
Al sustituir enV:
VDw
2
hDw
2

A2w
2
4w

;

2.8 Modelando con funciones 131
es decir,
V.w/D
A
4
w
1
2
w
3
;
que es la función requerida.
5. a.Exprese el áreaAde un cuadrado en función de su perímetroP.
b.Exprese el perímetroPde un cuadrado en función de su áreaA.
H
a.
x
x
Se sabe que el áreaAde un cuadrado es:
ADx
2
,dondexes la longitud de uno de los lados iguales.
También se sabe que su perímetro es:
PD4x:
Despejandoxde esto último:
xD
P
4
:
Sustituyendo en la ecuación del área, tenemos:
AD

P
4

2
D
P
2
16
D
1
16
P
2
I
A.P /D
1
16
P
2
:
Que es la función requerida.
b.De la ecuación del áreaADx
2
,despejamosxy obtenemos:
xD
p
A:
Sustituimos en la fórmula del perímetroPD4xy obtenemos:
P.A/D4
p
A:
Ésta es la función requerida.

6. a.Exprese el áreaAde un círculo en función de su perímetroC.
b.Exprese el perímetroCde un círculo en función de su áreaA.

132 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
H
a.Usamos la siguienteﬁgura:
r

Se sabe que el áreaAde un círculo es:
ADr
2
,donderes la longitud del radio.
También se sabe que la longitud de la circunferencia es:
CD2r:
Despejandorde esto último:
rD
C
2
:
Sustituyendo en la ecuación del área tenemos:
AD

C
2

2
D
1
4
2
C
2
D
1
4
C
2
I
A.C /D
1
4
C
2
:
Que es la función solicitada.
b.De la ecuación del áreaADr
2
despejamosry obtenemos:
r
2
D
A

)rD

A

:
Comor>0, desechamos la raíz negativarD

A

.
Sustituimos en la fórmula del perímetroCD2ry obtenemos:
C.A/D2

A

D2
p
A:
Ésta es la función requerida.

2.8 Modelando con funciones 133
7. a.Exprese el áreaAde un triángulo equilátero en función de la longitudsde uno de sus lados.
b.Exprese el áreaAde un triángulo equilátero en función de la longitudhde la altura.
H
a.Usamos la siguienteﬁgura:
h
s
s
s
2
Se sabe que el áreaAde un triángulo es:
AD
1
2
.sh/,dondeses la base yhla altura.
De laﬁgura, aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos:
s
2
Dh
2
C

s
2

2
Dh
2
C
s
2
4
Dh
2
C
1
4
s
2
)
)h
2
D
3
4
s
2
)hD
p
3
2
s:
Comoh>0desechamos la raíz negativahD
p
3
2
s.
Sustituyendo en la ecuación del área tenemos:
AD
1
2
.s
p
3
2
s/)A.s/D
p
3
4
s
2
:
Que es la función solicitada.
b.De la relaciónhD
p
3
2
sobtenemos:
sD
2
p
3
h:
Sustituimos en la fórmula del áreaAD
1
2
.sh/y obtenemos:
A.h/D
1
2
.
2
p
3
hh/D
1
p
3
h
2
:
Ésta es la función requerida.

134 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
8.Exprese el volumenVde un cubo en función del áreaAde su base.
HUsamos la siguienteﬁgura:
x
x
x
Se sabe que el volumenVde un cubo es:
VDx
3
,dondexes la longitud de cualquier arista del cubo.
El área de la base es:
ADx
2
:
De aquí:
xD
p
ADA
1
2:
Sustituyendo en la ecuación del volumen, tenemos:
VD

A
1
2

3
DA
3
2D
2
p
A
3
I
V.A/D
p
A
3
DA
p
A:
Que es la función solicitada.

9.Una caja con base y tapa cuadradas de ladoxtiene una superﬁcie total de600m
2
.Expresarelvolumen
Vde la caja como función dex.
HUtilizamos la siguienteﬁgura:
x
x
y
y

2.8 Modelando con funciones 135
La superﬁce total de la caja es:
2x
2
C4xyD600:
Despejandoy:
yD
6002x
2
4x
:
El volumen de la caja viene dado por la expresión
VDx
2
y:
Sustituyendo la variableydespejada anteriormente:
V.x/Dx
2

6002x
2
4x

D
600x2x
3
4
D
300xx
3
2
:
Que es la función solicitada.
10.Una pecera de1:5pies de alturahtiene un volumen de6pies cúbicos. Sixes el largo de la base, y su
ancho esy:
a.Determineycomo función dex.Ademásgraﬁque esta función.
b.Encuentre la cantidad de material necesario, en pies cuadrados, para construir la pecera
en función dex.
H
a.Como el volumen de un prisma recto rectangular es el área de la base por la altura, en el caso de
la pecera observamos que1:5xyD6,entonces:
yD
6
1:5x
)yD
4
x
:
Cuya gráﬁca es:
x
y
14
4
2
1
12 4 13

Su dominio son los reales positivos y su rango es el intervalo.0;C1/.
b.AhoraeláreatotalAdel material que se requiere; puesto que la pecera no tiene tapa, es la suma
de las áreas de5rectángulos: el fondo que tiene por áreaxyy las 4 caras laterales que son iguales
por parejas,2de área1:5xy2con1:5y.

136 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
1:5
En total
AD2.1:5x/C2.1:5y/CxyD3xC3yCxyD3.xCy/CxyI
Sustituyendoypor
4
x
, obtenemos:
AD3

xC
4
x

Cx

4
x

I
yahorasimpliﬁcando
A.x/D3

xC
4
x

C4:

11.Un envase cilíndrico tiene una altura igual al triple del radior.
a.Determine la superﬁcie del envase, considerando sus dos tapas, en función del radio.
b.Si se desean fabricar envases cuyos radios están entre3y5dm, ¿cuál es la respectiva variación
de volumen de los envases?
H
a.Usaremos las siguientesﬁguras:

r
hD3r
r
r
hD3r
2 r
La superﬁcieSdel envase será el área lateral que claramente es el área de un rectángulo de altura
3rydebaselalongituddeunacircunferenciaderadio r,2r, esto es,6r
2
, más el área de las
dos tapas,2r
2
;esdecir:
S.r/D6r
2
C2r
2
D8r
2
:

2.8 Modelando con funciones 137
b.Como el volumen del cilindroV.r/,eseláreadelabaser
2
por la altura3r,entoncesV.r/D3r
3
,
ycuandorD3dm, tenemosV.3/D81dm
3
yV.5/D375dm
3
, por lo que el volumen del
recipiente varía de81a375. En otras palabras,V.r/2?81; 375.

12.Un terreno tiene la forma de un rectángulo con dos semicírculos adosados a dos de sus lados opuestos.
Si el perímetro del terreno es de800m, hallar el áreaAdel terreno en función de la longitud`de uno
de los lados del rectángulo.
HDibujemos primero el terreno.
`
`
2
h
Su perímetro de800mesiguala
PD800D2hC2
`
2
D2hC`I
su área es
AD`hC
`
2
4
:
Si queremos expresar esta área en función exclusivamente de`tenemos que sustituir el otro ladohen
términos de`y esto lo podemos hacer pues como
800D2hC`;entonceshD
800`
2
:
Se sustituye por este valor:
AD`
800`
2
C
`
2
4
D
1600`2`
2
C`
2
4
D
1600``
2
4
I
esto es
AD`
1600`
4
D
1
4

1600``
2

:

138 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
13.Una lata tiene capacidad de1dm
3
y forma de un cilindro circular recto. Exprese el área de la superﬁcie
de la lata como función de su radio.
HUsando laﬁgura

r
h
consideremos que la lata cilíndrica tienerdm de radio yhdm de altura.
Se sabe que la capacidad (volumen) de la lata es de1dm
3
y también se sabe que el volumen de esta
lata es
VDr
2
hdm
3
:
Entonces,
r
2
hD1:
Se desea expresar el área de la superﬁcie de la lata como función de radiora sabiendas que dicha
área es
AD2r
2
C2rh
que está en función der&h.
Para tener el áreaAen función sólo der,despejamoshde la ecuaciónr
2
hD1para luego sustituirla
enA
r
2
hD1)hD
1
r
2
)
)AD2r
2
C2rhD2r
2
C2r

1
r
2

D2r
2
C
2r
)
)A.r/D2r
2
C
2
r
que es el áreaAde la superﬁcie como función der.

14.Un granjero dispone de200m de valla para cercar dos corrales adyacentes (véaseﬁgura). Expresar el
áreaAencerrada como función dex
y
xx

2.8 Modelando con funciones 139
HPor un lado el total de valla que se usa esVD4xC3yD200,porloque
yD
2004x
3
:
El área total es:A
D2xy. Si sustituimosypor
2004x
3
tenemos al área expresada como función de
x:
A
.x/D2x

2004x
3

D
2x.2004x/
3
:

15.Una caja cerrada, en forma de cubo, va a construirse con dos materiales diferentes. El material de
las caras laterales cuesta 2.5 pesos por centímetro cuadrado y el material de la base y la tapa cuesta 3
pesos por centímetro cuadrado. Exprese el costo totalCde la caja en función de la longitudxde uno
de sus lados.
HUsamos la siguienteﬁgura:
x
x
x
Las caras laterales de la caja tienen el área:
A
LD4x
2
,dondexcm es la longitud de cualquier arista del cubo.
La tapa y la base tienen el área:
A
BD2x
2
:
El costo de las áreas laterales es:
C
LD2:5A LD2:54x
2
D10x
2
pesos.
El costo de la base y la tapa es
C
BD3A BD32x
2
D6x
2
pesos.
El costo total es por lo tanto:
C
TDCLCCBD10x
2
C6x
2
D16x
2
pesos;
C.x/D16x
2
pesos.
Que es la función solicitada.

140 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
16.Un avión vuela a una velocidad de350millas/h, a una altitud de una milla y pasa directamente sobre
una estación de radar en el instantetD0.
a.Exprese la distancia horizontald(en millas) que el avión recorre como función del tiempot.
b.Exprese la distanciasentre el avión y la estación de radar como función ded.
c.Aplique la composición de funciones para expresarscomo función det.
H
a.dD350t,contexpresado en horas y suponiendo que la Tierra es plana.
b.Usamos la siguiente gráﬁca:
1milla
d
s
Estación de radar
Vem o s que
sD
ˆ
1Cd
2
:
c.Aplicamos la composiciónsDfıd,dondef.x/D
p
1Cx
2
;así:
s.t/D.fıd /.t/Df?d.t/Df .350t/D
ˆ
1C.350t/
2
:

17.Una ventana inglesa tiene la forma de rectángulo coronado con un triángulo equilátero. Si el perímetro
de la ventana es de30m, exprese el área de la ventana en función de su ancho.
HUsamos la siguiente gráﬁca:
x
h
h
x
x
2
Calculamos el perímetro e igualamos con la restricción dada
PD3xC2hD30: ()
El área total consta de dos partes:
a.El área del rectángulo
A
RDxh:

2.8 Modelando con funciones 141
b.El área del triángulo superior
Para calcular esta área usamos el teorema de Pitágoras para conocer la alturah:
.h/
2
C

x
2

2
Dx
2
).
h/
2
Dx
2

x
2
4
D
3
4
x
2
)
hD
p
3
2
x:
El área del triángulo es:
A
TD
1
2
x
p
3
2
xD
p
3
4
x
2
:
El área total es:
ADA
RCATDxhC
p
3
4
x
2
: ()
Despejamos de (*) la variablehy obtenemos:
hD15
3
2
x:
Sustituimos por este valor en (**):
ADx.15
3
2
x/C
p
3
4
x
2
D15x
3
2
x
2
C
p
3
4
x
2
D15xC
6C
p
3
4
x
2
:
Es ésta la función solicitada.
18.Se va a construir una cisterna rectangular con base y tapa cuadradas para almacenar12 000pies
3
de
agua. El concreto para construir la base y las caras laterales tiene un costo de $100:00por pie
2
yel
material para construir la tapa cuesta $200:00por pie
2
.
Obtenga el costo de la construcción de la cisterna en función de la longitudxdel lado de la base.
HVeamos la correspondienteﬁgura:
x
x
h
h
El área de la tapa es:
x
2
pies
2
(xen pies/y su costo es entonces200x
2
pesos.
El costo de la base es100x
2
pesos.
El área de las cuatro caras laterales es4xhpies
2
yelcostoes400xhpesos; pero las variablesx&h
están relacionadas pues el volumen de la cisterna,12 000pies
3
, es igual al área de la basex
2
por la
alturah:
VD12 000Dx
2
h;

142 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
ydeaquíque
hD
12 000
x
2
I
Por último el costo de la construcción como función dexes
C.x/D200x
2
C100x
2
C400x
12 000
x
2
D300x
2
C
4 800 000
x
:

19.Un alambre de100cm de longitud se corta en dos partes. Una de ellas se dobla para formar un
cuadrado y con la otra se forma un triángulo equilátero. Obtener el área de ambasﬁguras como
función del lado del cuadrado.
HUsamos las siguientesﬁguras:
4x 100 4x
x
x
h
502x
3
1004x
3
Llamemosxal lado del cuadrado (por lo que su área esA Dx
2
); entonces una parte del alambre
mide4x; la otra, la parte con la que vamos a formar un triángulo equilátero, mide1004x. Cada lado
de dicho triángulo medirá por lo tanto
1004x
3
. Su altura , por el teorema de Pitágoras, es:
hD
˛
.1004x/
2
9

.502x/
2
9
D
p
10 000800xC16x
2
2 500C200x4x
2
3
D
D
p
12x
2
600xC7 500
3
D
ˆ
12.x
2
50xC625/
3
D
D
ˆ
43.x25/
2
3
D
2
p
3jx25j
3
D
2jx25j
p
3
:
Ysuárea:
A
4D
1
2
1004x
3
2jx25j
p
3
D
.1004x/.25x/
3
p
3
:
(Observe que
ˆ
.x25/
2
Djx25jD25x,puesx25.)

2.8 Modelando con funciones 143
20.De una pieza rectangular de cartón que mide44cm de largo y19cm de ancho se va a construir una
caja sin tapa. Se cortarán 4 cuadrados dexcm de lado, como se muestra en laﬁgura, y luego se
doblará sobre las líneas punteadas para formar la caja. Exprese el volumen de esta caja como función
dex.
19cm
44cm
x
x
x
x
x
x
x
x
HLa caja se ve así:
442x
192x
x
Si a los44cm de largo le quitamosxcm de cada lado entonces queda una longitud igual a442xcm.
Si a los19cm de ancho le quitamosxcm de cada lado entonces queda una longitud igual a192xcm.
Al cortar los cuadraditos y doblar el cartón se obtiene una caja de alturax, anchura192xylargo
442xcm.
Por lo tanto el volumen de la caja es:
VDx.192x/.442x/cm
3
:
Es decir,
V.x/D4x
3
126x
2
C836xcm
3
:

21.Considerando las escalas Celsius y Fahrenheit para medir temperaturas, se sabe que0
ı
C corresponde
a32
ı
Fyque100
ı
Ca212
ı
F.Deducirlafórmuladetransicióndeunaescalaalaotra,esdecirexpresar
ı
Cenfunciónde
ı
F, así como
ı
Fenfunciónde
ı
C.
H¿Qué se pide en el problema? Primero deducir una fórmula o relación entre las dos escalas de
medición, Celsius y Fahrenheit, para luego obtener un par de funciones: una que exprese
ı
Cen
función de
ı
Fyotraqueexprese
ı
Fenfunciónde
ı
C.
Considerando la temperatura que tiene cierto objeto al medirla con un termómetro Celsius se lee
T
ı
CDT Cy con un termómetro Fahrenheit se lee una temperaturaT
ı
FDT F.
En cada una de las escalas vemos la razón que existe entre la diferencia de temperaturas leída e inicial
y la longitud de dicha escala.

144 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
En la escala Celsius la razón es:
T
C0
ı
C
100
ı
C0
ı
C
:
y en la Fahrenheit dicha razón es:
T
F32
ı
F
212
ı
F32
ı
F
:
Debido a queT
CyTFson lecturas de la misma temperatura entonces las razones anteriores deben ser
iguales; es decir
T
C
100
D
T
F32
180
:
De aquí obtenemosT
Cen función deT Fmediante
T
CD
100
180
.T
F32/D
5
9
.T
F32/:
Así también obtenemosT
Fen función deT Cmediante
T
F32D
180
100
T
C)T FD
9
5
T
CC32:

22.Un viaje subsidiado por una escuela costará a cada estudiante150pesos si viajan no más de150
estudiantes; sin embargo el costo a pagar por estudiante se reduciría5pesos por cada uno más que
se inscriba al grupo de los150. Exprese los ingresos brutos recibidos por la escuela en función del
número de inscritos a dicho viaje.
HSiIes el ingreso bruto ynel número de estudiantes que van a viajar tenemos:
I.n/D

150n sin150
Œ1505.n150/nsin > 150
D

150n sin150I
.1505nC750/nsin > 150I
I.n/D

150n sin150
.9005n/nsin > 150
D

150n sin150I
.180n/5nsin > 150:
Como se ve no se deberían aceptar más de 180 estudiantes pues sin > 180)180n<0, los ingresos
serían negativos.
23.El costo de un viaje en taxi es de4:80pesos por el primer kilómetro (o parte del primer kilómetro) y
de30centavos por cada100metros subsiguientes. Exprese el costo de un viaje como función de la
distanciaxrecorrida (en kilómetros) para0<x<2;ademásgra
ﬁque esa función.
HConsiderando que100mD0:1km y que30centavosD$0:30, se construye la tabla siguiente:
Recorrido en kmCosto en pesos
0<x<1:1 4:80
1:1x<1:2 4:80C0:30D5:10
1:2x<1:3 5:10C0:30D5:40
1:3x<1:4 5:40C0:30D5:70
1:4x<1:5 5:70C0:30D6:00
1:5x<1:6 6:00C0:30D6:30
1:6x<1:7 6:30C0:30D6:60
1:7x<1:8 6:60C0:30D6:90
1:8x<1:9 6:90C0:30D7:20
1:9x<2 7:20C0:30D7:50

2.8 Modelando con funciones 145
La tabla anterior la podemos escribir de la siguiente forma:
Recorrido en km Costo en pesos
0<x<1:1 4:80
1C1.0:1/x<1C2.0:1/4:80C1.0:30/
1C2.0:1/x<1C3.0:1/4:80C2.0:30/
1C3.0:1/x<1C4.0:1/4:80C3.0:30/
1C4.0:1/x<1C5.0:1/4:80C4.0:30/
1C5.0:1/x<1C6.0:1/4:80C5.0:30/
1C6.0:1/x<1C7.0:1/4:80C6.0:30/
1C7.0:1/x<1C8.0:1/4:80C7.0:30/
1C8.0:1/x<1C9.0:1/4:80C8.0:30/
1C9.0:1/x<1C10.0:1/4:80C9.0:30/
Una forma simpliﬁcada de las tablas anteriores es:
Recorrido en km Costo en pesos
1Cn.0:1/x<1C.nC1/.0:1/4:80Cn.0:30/donde1n9
De la tabla anterior vemos que, el costoCen pesos como función del recorridoxen kilómetros es:
C.x/D4:80Cn.0:30/si1Cn.0:1/x<1C.nC1/.0:1/:
La gráﬁca de esta función es la siguiente:
x
y
4:8
7:5
1:1 2

146 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos

CAPÍTULO
3
Límitedeunafunción
3.1 Introducción
Ejercicios 3.1.1
1.Seanf.x/D
x
2
2x3
x3
así comox
0D3.
¿Qué se puede decir acerca de lím
x!x 0
f.x/?
HPrimero notamos quef.x/D
x
2
2x3
x3
es una función que no está deﬁnida paraxD3.
Luego observamos que para.x3/¤0,osea,parax¤3,
f.x/D
x
2
2x3
x3
D
.x3/.xC1/
x3
DxC1:
Ahora damos axvalores cada vez más cercanos ax
0D3y obtenemos las imágenesf.x/respectivas.
x
f.x/DxC1
2:9 3:9
2:99 3:99
2:9993:999
2:99993:9999
2:999993:99999
# #
3

4
x f.x/DxC1
3:1 4:1
3:01 4:01
3:0014:001
3:00014:0001
3:000014:00001
# #
3
C
4
147

148 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Notamos que sixestá cerca de3,entoncesf.x/está cerca de4,porloquelím
x!3
f.x/D4. Esto es,
lím
x!3
x
2
2x3
x3
D4.
La gráﬁca correspondiente es:
x
y
3

4
yDf.x/

2.Dadaf.x/D

2six?1I
1sixD1:
¿Existe lím
x!1
f.x/?
HSix?1,entoncesf.x/D2,porloque lím
x!1
f.x/D2, pues para cualquierxcerca de1,
diferente de1,f.x/está cerquísima de2,dehechof.x/D2, esto es, su distancia a2es0.Porlo
tanto lím
x!1
f.x/sí existe.
Geométricamente se tiene
x
y
1
1

2 yDf.x/

3.Seang.x/D
x4
jx4j
así comox
0D4.
¿Qué puede decir acerca de lím
x!x 0
g.x/?
HYa que,
jx4jD

x4 six40
.x4/six4<0
D

x4 six4I
.x4/six<4I

3.1 Introducción 149
entonces,
x<4)g.x/D
x4
jx4j
D
x4
.x4/
D1I
x>4)g.x/D
x4
jx4j
D
x4
x4
D1:
Por lo tanto
g.x/D

1six<4I
1six>4:
Es claro entonces que no existe lím
x!4
g.x/,puessixestá cerca de4,g.x/puede estar cerca de1obien
de1dependiendo six>4obiensix<4respectivamente, por lo queg.x/no está cerca de un único
número.
Geométricamente se tiene
x
y
4

yD1
yD1
yDg.x/

4.Sean.x/D
x
2
1
xC1
ytambiénaD1.
¿Existe lím
x!a
.x/?
HNotemos que.x/D
x
2
1
xC1
es una función que no esta deﬁnida enxD1. Notemos también
que para.xC1/¤0,osea,parax?1,
.x/D
x
2
1
xC1
D
.xC1/.x1/
xC1
Dx1:
Asignamos axvalores cada vez más cercanos a1y obtenemos las imágenes.x/respectivas
x .x/Dx1
1:1 2:1
1:01 2:01
1:0012:001
1:00012:0001
1:000012:00001
# #
1

2
x .x/Dx1
0:9 1:9
0:99 1:99
0:9991:999
0:99991:9999
0:999991:99999
# #
1
C
2

150 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Es claro entonces que lím
x!1
.x/D2, pues para valores dexcada vez más próximos a1,.x/está
cada vez más próximo a2.Porlotanto lím
x!1
.x/sí existe.
Geométricamente tenemos
x
y
1

2
1
1
yD.x/

5.Dadah.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x
2
si2<x<0I
1sixD0I
3xsi0<x<1:
¿Existe lím
x!0
h.x/?
HNotemos queh.x/está deﬁnida de diferente manera parax<0yparax>0.
Damos axvalores cada vez más cercanos al cero, por ambos lados, y obtenemos las imágenesh.x/
correspondientes.
x
h.x/Dx
2
0:1 0:01
0:01 0:0001
0:0010:000001
0:00010:00000001
0:000010:0000000001
# #
0

0
x h.x/D3x
0:1 0:3
0:01 0:03
0:0010:003
0:00010:0003
0:000010:00003
# #
0
C
0
Podemos decir entonces que lím
x!0
h.x/D0,puessixestá cada vez más cerca de0,h.x/está cada vez
más cerca de0.
Geométricamente tenemos

3.1 Introducción 151
x
y
yDx
2
yD3x
yDh.x/

2

1

6.¿Qué se puede decir acerca de lím
x!0
1
x
?
HNotemos que la funciónf.x/D
1
x
no está deﬁnida enxD0.
Damos axvalores cada vez más cercanos a cero y obtenemos las imágenesf.x/correspondientes.
x f.x/D
1
x
0:1 10
0:01 100
0:0011 000
0:000110 000
0:00001100 000
# #
0

Números negativos con valor
absoluto cada vez mayor
x f.x/D
1
x
0:1 10
0:01 100
0:0011 000
0:000110 000
0:00001100 000
# #
0
C
Números cada vez más grandes
Cuandoxestá cerca de0,f.x/no está cerca de número alguno, por lo tanto decimos que lím
x!0
f.x/no
existe.
Gráﬁcamente se tiene

152 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
yDf.x/

3.2 Álgebra de límites
Ejercicios 3.2.1
I.Considerando que lím
x!2
f.x/D8;lím
x!2
g.x/D4;lím
x!2
h.x/D0y que lím
x!2
.x/no existe, calcular los
siguientes límites:
1.lím
x!2
Œg.x/f.x/.
Hlím
x!2
Œg.x/f.x/Dlím
x!2
g.x/lím
x!2
f.x/D4.8/D4C8D12.
2.lím
x!2
Œf .x/g.x/.
Hlím
x!2
Œf .x/g.x/D

lím
x!2
f.x/
!
lím
x!2
g.x/
!
D.8/.4/D32.
3.lím
x!2
Œf .x/C.x/.
Hlím
x!2
Œf .x/C.x/no existe, pues si existiera entonces también existiría lím
x!2
.x/ydehecho
lím
x!2
.x/Dlím
x!2
fŒf .x/C.x/f.x/gDlím
x!2
Œf .x/C.x/lím
x!2
f.x/Dlím
x!2
Œf .x/C.x/8.
4.lím
x!2
g.x/
f.x/
.
Hlím
x!2

g.x/
f.x/

D
lím
x!2
g.x/
lím
x!2
f.x/
D
4
8
D
1
2
.
5.lím
x!2
˙
f
2
.x/g
3
.x/

.
H
lím
x!2
˙
f
2
.x/g
3
.x/

Dlím
x!2
?f .x/
2
lím
x!2
?g.x/
3
D
D

lím
x!2
f.x/
!
2

lím
x!2
g.x/
!
3
D.8/
2
.4/
3
D6464D0:

6.lím
x!2
f.x/h.x/
g.x/
.
Hlím
x!2

f.x/h.x/
g.x/

D
lím
x!2
?f .x/h.x/
lím
x!2
g.x/
D

lím
x!2
f.x/
!
lím
x!2
h.x/
!
lím
x!2
g.x/
D
.8/.0/
4
D
0
4
D0.

3.2 Álgebra de límites 153
7.lím
x!2
g.x/
h.x/
.
HYa que lím
x!2
h.x/D0,entonceslím
x!2

g.x/
h.x/

¤
lím
x!2
g.x/
lím
x!2
h.x/
yseaﬁrma que lím x!2

g.x/
h.x/

no existe.
8.lím
x!2

ˆ
g.x/C
3
ˆ
f.x/
!
.
H
lím
x!2
ˆ
g.x/C
3
ˆ
f.x/
!
Dlím
x!2
ˆ
g.x/Clím
x!2
3
ˆ
f.x/D
"
lím
x!2
g.x/C 3
"
lím
x!2
f.x/D
D
p
4C
3
p
8D2C.2/D0:

9.lím
x!2

f.x/
g.x/

5
.
Hlím
x!2

f.x/g.x/

5
D

lím
x!2

f.x/
g.x/

5
D
⎛
⎝
lím
x!2
f.x/
lím
x!2
g.x/
⎞
⎠
5
D

8
4

5
D.2/
5
D32.
10.lím
x!2

h.x/
ˆ
f.x/
!
.
HYa que lím
x!2
f.x/D8&
p
8no es un número real, entonces lím
x!2
ˆ
f.x/no existe.
Por lo que, lím
x!2

h.x/
ˆ
f.x/
!
no existe.
II.Calcular los límites siguientes:
1.lím
x!4
.x
2
9x8/.
H
lím
x!4
.x
2
9x8/Dlím
x!4
x
2
lím
x!4
9xlím
x!4
8D.lím
x!4
x/
2
9.lím
x!4
x/8D
D.4/
2
9.4/8D16368D60:

2.lím
x!2
p
x
4
2xC1.
H
lím
x!2
ˆ
x
4
2xC1D
"
lím
x!2
.x
4
2xC1/D
"
lím
x!2
x
4
lím
x!2
2xClím
x!2
1D
D
"
.lím
x!2
x/
4
2.lím
x!2
x/C1D
ˆ
.2/
4
2.2/C1D
D
p
16C4C1D
p
21:

154 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
3.lím
x!
1
2
x
2
3xC1
x
2
C8x3
.
H
lím
x!
1
2
x
2
3xC1
x
2
C8x3
D
lím
x!
1
2
.x
2
3xC1/
lím
x!
1
2
.x
2
C8x3/
D

1
2

2
3

1
2

C1

1
2

2
C8

1
2

3
D
1
4

3
2
C1

1
4
C
8
2
3
D
D
16C4
4
1C1612
4
D
1
3
D
1
3
:

4.lím
x!1

p
xC
1
p
x

5
.
H
lím
x!1

p
xC
1
p
x

5
D

lím
x!1
p
xClím
x!1
1
p
x

5
D
⎛
⎝
"
lím
x!1
xC
1
"
lím
x!1
x
⎞
⎠
5
D
D

p
1C
1
p
1

5
D.1C1/
5
D2
5
D32:

5.lím
x!6
˙
.xC4/
3
.x5/
2

.
H
lím
x!6
˙
.xC4/
3
.x5/
2

D

lím
x!6
.xC4/
!
3
lím
x!6
.x5/
!
2
D.6C4/
3
.65/
2
D
D10
3
1D1 000:

6.lím
x!1
.4x
3
C3x
2
2x1/.
H
lím
x!1
.4x
3
C3x
2
2x1/D4.1/
3
C3.1/
2
2.1/1D
D4C3C21D0:

7.lím
x!
1
2
.x
3
x
2
xC1/.
H
lím
x!
1
2
.x
3
x
2
xC1/D

1
2

3

1
2

2

1
2

C1D
1
8

1
4

1
2
C1D
D
124C8
8
D
3
8
:

3.2 Álgebra de límites 155
8.lím
x!
2
3
.34xC5x
2
/.
H
lím
x!
2
3
.34xC5x
2
/D34

2
3

C5

2
3

2
D3
8
3
C
20
9
D
D
2724C20
9
D
23
9
:

9.lím
x!0
.3x
2
2/
5
.
Hlím
x!0
.3x
2
2/
5
DŒ3.0/
2
2
5
D.2/
5
D32.
10.lím
x!3
.6x
2
/
4
.
Hlím
x!3
.6x
2
/
4
DŒ6.3/
2

4
D.69/
4
D.3/
4
D81.
11.lím
x!0
3x
2
4xC5
6x
2
7xC8
.
Hlím
x!0
3x
2
4xC5
6x
2
7xC8
D
3.0/
2
4.0/C5
6.0/
2
7.0/C8
D
5
8
.
12.lím
x!2
3xC2
x
2
C4
.
Hlím
x!2
3xC2
x
2
C4
D
3.2/C2
.2/
2
C4
D
6C2
4C4
D
4
8
D
1
2
.
13.lím
x!1
x
3
C1
x
2
C1
.
Hlím
x!1
x
3
C1
x
2
C1
D
.1/
3
C1
.1/
2
C1
D
1C1
1C1
D
0
2
D0.
14.lím
x!
1
2
.2x1/
3
.4x
2
C1/
5
.
H
lím
x!
1
2
.2x1/
3
.4x
2
C1/
5
D

2

1
2

1

3

4

1
2

2
C1

5
D
.11/
3
.1C1/
5
D
D
.2/
3
.2/
5
D
2
3
2
5
D
1
2
2
D
1
4
:

III.Calcular los límites siguientes:
1.lím
x!1
x
2
1
x
2
C3xC2
.

156 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
H
lím
x!1
x
2
1
x
2
C3xC2
Dlím x!1
.x1/.xC1/
.xC1/.xC2/
Dlím x!1
x1
xC2
D
D
11
1C2
D
2
1
D2:

2.lím
x!2
x
2
4xC4
x
2
2x
.
H
lím
x!2
x
2
4xC4
x
2
2x
Dlím x!2
.x2/
2
x.x2/
Dlím x!2
x2
x
D
D
22
2
D
0
2
D0:

3.lím
x!5
x
2
7xC10
x
2
25
.
H
lím
x!5
x
2
7xC10
x
2
25
Dlím x!5
.x5/.x2/
.x5/.xC5/
Dlím x!5
x2
xC5
D
D
52
5C5
D
3
10
:

4.lím
x!2
x
3
8
6x
2
3x
3
.
H
lím
x!2
x
3
8
6x
2
3x
3
Dlím
x!2
.x2/.x
2
C2xC4/
3x
2
.x2/
Dlím x!2
x
2
C2xC4
3x
2
D
D
.2/
2
C2.2/C4
3.2/
2
D
12
12
D1:

5.lím
x!a
x
2
.aC1/xCa
x
3
a
3
.
H
lím
x!a
x
2
.aC1/xCa
x
3
a
3
Dlím
x!a
.xa/.x1/
.xa/.x
2
CaxCa
2
/
Dlímx!a
x1
x
2
CaxCa
2
D
D
a1
a
2
Ca.a/Ca
2
D
a1
3a
2
,paraa¤0:

6.lím
x!1
x
4
3x
2
C2
x
4
C2x
2
3
.

3.2 Álgebra de límites 157
H
lím
x!1
x
4
3x
2
C2
x
4
C2x
2
3
Dlím x!1
.x
2
1/.x
2
2/
.x
2
1/.x
2
C3/
Dlím x!1
x
2
2
x
2
C3
D
D
.1/
2
2 .1/
2
C3
D
1
4
D
1
4
:

7.lím
x!1
x
4
1
x
3
1
.
H
lím
x!1
x
4
1
x
3
1
Dlím x!1
.x
2
1/.x
2
C1/
.x1/.x
2
CxC1/
Dlím x!1
.x1/.xC1/.x
2
C1/
.x1/.x
2
CxC1/
D
Dlím
x!1
.xC1/.x
2
C1/
x
2
CxC1
D
.1C1/.1
2
C1/
1
2
C1C1
D
2.2/
3
D
4
3
:

8.lím
x!2
p
x
p
2
x2
.
H
lím
x!2
p
x
p
2
x2
Dlím x!2

p
x
p
2
x2

p
xC
p
2
p
xC
p
2

D
Dlím
x!2
.
p
x/
2
.
p
2/
2
.x2/.
p
xC
p
2/
Dlím
x!2
x2
.x2/.
p
xC
p
2/
D
Dlím
x!2
1
p
xC
p
2
D
1
p
2C
p
2
D
1
2
p
2
:
También se puede calcular observando que
x2D.
p
x/
2
.
p
2/
2
D.
p
xC
p
2/.
p
x
p
2/;
por lo que
p
x
p
2
x2
D
.
p
x
p
2/1
.
p
x
p
2/.
p
xC
p
2/
D
1
p
xC
p
2
ydeaquíque
lím
x!2
p
x
p
2
x2
Dlím x!2
1
p
xC
p
2
D
1
p
2C
p
2
D
1
2
p
2
:

9.lím
x!0
p
1Cx
p
1x
x
.

158 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
H
lím
x!0
p1Cx
p
1x
x
Dlím x!0
p
1Cx
p
1x
x

p
1CxC
p
1x
p
1CxC
p
1x

D
Dlím
x!0
.1Cx/.1x/
x.
p
1CxC
p
1x/
Dlím
x!0
1Cx1Cx
x.
p
1CxC
p
1x/
D
Dlím
x!0
2x
x.
p
1CxC
p
1x/
Dlím x!0
2
p
1CxC
p
1x
D
D
2
p
1C
p
1
D
2
2
D1:

10.lím
x!7
2
p
x3
x
2
49
.
H
lím
x!7
2
p
x3
x
2
49
Dlím x!7

2
p
x3
x
2
49

2C
p
x3
2C
p
x3

D
Dlím
x!7
2
2
.x3/
.x
2
49/.2C
p
x3/
Dlím x!7
4xC3
.xC7/.x7/.2C
p
x3/
D
Dlím
x!7
7x
.x7/.xC7/.2C
p
x3/
Dlím
x!7
.x7/
.x7/.xC7/.2C
p
x3/
D
Dlím
x!7
1
.xC7/.2C
p
x3/
D
1
.14/.2C
p
4/
D
1
56
:

11.lím
x!4
3
p
5Cx
1
p
5x
.
H
lím
x!4
3
p
5Cx
1
p
5x
Dlím x!4

3
p
5Cx
1
p
5x

1C
p
5x
1C
p
5x

D
Dlím
x!4
.3
p
5Cx/.1C
p
5x/
1
2
.5x/
Dlím x!4
.3
p
5Cx/.1C
p
5x/
15Cx
D
Dlím
x!4

.1C
p
5x/.3
p
5Cx/
x4

3C
p
5Cx
3C
p
5Cx

D
Dlím
x!4
.1C
p
5x/Œ3
2
.5Cx/
.x4/.3C
p
5Cx/
Dlím x!4
.1C
p
5x/.4x/
.x4/.3C
p
5Cx/
D
Dlím
x!4
.1C
p
5x/
.3C
p
5Cx/
D
1C
p
54
3C
p
5C4
D
1C1
3C3
D
2
6
D
1
3
:

12.lím
h!0
3
p
xCh
3
p
x
h
.

3.2 Álgebra de límites 159
Hlím
h!0
3
p
xCh
3
p
x
h
Dlím h!0

3
p
xCh
3
p
x
h

.
3
p
xCh/
2
C
3
p
xCh
3
p
xC.
3
p
x/
2
.
3
p
xCh/
2
C
3
p
xCh
3
p
xC.
3
p
x/
2

D
Dlím
h!0
.
3
p
xCh/
3
.
3
p
x/
3
hŒ.
3
p
xCh/
2
C
3
p
xCh
3
p
xC.
3
p
x/
2

D
Dlím
h!0
xChx
hŒ.
3
p
xCh/
2
C
3
p
xCh
3
p
xC.
3
p
x/
2

D
Dlím
h!0
h
hŒ.
3
p
xCh/
2
C
3
p
xCh
3
p
xC.
3
p
x/
2

D
Dlím
h!0
1
.
3
p
xCh/
2
C
3
p
xCh
3
p
xC.
3
p
x/
2
D
D
1
.
3
p
x/
2
C
3
p
x
3
p
xC.
3
p
x/
2
D
1
3
3
p
x
2
,parax¤0:

13.lím
x!3
p
x
2
2xC6
p
x
2
C2x6
x
2
4xC3
.
H
lím
x!3
p
x
2
2xC6
p
x
2
C2x6
x
2
4xC3
D
Dlím
x!3
p
x
2
2xC6
p
x
2
C2x6
x
2
4xC3

p
x
2
2xC6C
p
x
2
C2x6
p
x
2
2xC6C
p
x
2
C2x6

D
Dlím
x!3
.x
2
2xC6/.x
2
C2x6/
.x
2
4xC3/.
p
x
2
2xC6C
p
x
2
C2x6/
D
Dlím
x!3
x
2
2xC6x
2
2xC6
.x
2
4xC3/.
p
x
2
2xC6C
p
x
2
C2x6/
D
Dlím
x!3
4xC12
.x
2
4xC3/.
p
x
2
2xC6C
p
x
2
C2x6/
D
Dlím
x!3
4.x3/
.x3/.x1/.
p
x
2
2xC6C
p
x
2
C2x6/
D
Dlím
x!3
4
.x1/.
p
x
2
2xC6C
p
x
2
C2x6/
D
D
4
2.
p
96C6C
p
9C66/
D
2
3C3
D
2
6
D
1
3
:

14.lím
x!8
x8
3
p
x2
.
HPara resolver este límite se puede considerar que
3
p
xDy,entoncesxDy
3
;ademáscuando
x!8, sucede quey!
3
p
8D2.
Luego,
lím
x!8
x8
3
p
x2
Dlím y!2
y
3
8
y2
Dlím y!2
.y2/.y
2
C2yC4/
.y2/
Dlím y!2
.y
2
C2yC4/D
D2
2
C2.2/C4D12:

160 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
O haciéndolo directamente
lím
x!8
x8
3
p
x2
Dlím x!8
.
3
p
x/
3
2
3
3
p
x2
Dlím x!8
.
3
p
x2/Œ.
3
p
x/
2
C2
3
p
xC4
3
p
x2
D
Dlím
x!8
Œ.
3
p
x/
2
C2
3
p
xC4D.
3
p
8/
2
C2
3
p
8C4D2
2
C2.2/C4D
D4C4C4D12:

15.lím
x!1
p
x1
x1
.
HSi
p
xDy,entoncesxDy
2
;ademáscuandox!1, sucede quey!
p
1D1.
Luego,
lím
x!1
p
x1
x1
Dlím y!1

y1
y
2
1

Dlím y!1
.y1/
.y1/.yC1/
Dlím y!1
1
yC1
D
1
1C1
D
1
2
:
O haciéndolo directamente:
lím
x!1
p
x1
x1
Dlím x!1
p
x1
.
p
x/
2
1
2
Dlím
x!1
p
x1
.
p
x1/.
p
xC1/
Dlím x!1
1
p
xC1
D
1
1C1
D
1
2
:

16.lím
x!64
p
x8
3
p
x4
.
HPara eliminar tanto a la raíz cuadrada como a la cúbica, obtenemos el mínimo común múltiplo de
los índices2y3,quees6, y proponemos quexseay
6
.
SixDy
6
,entoncesyD
6
p
x;ademáscuandox!64, sucede quey!
6
p
64D
6
p
2
6
D2.
Luego,
lím
x!64
p
x8
3
p
x4
Dlím y!2
ˆ
y
6
8
3
ˆ
y
6
4
Dlím
y!2

y
3
2
3
y
2
2
2

Dlím
y!2
.y2/.y
2
C2yC2
2
/.y2/.yC2/
D
Dlím
y!2
y
2
C2yC4
yC2
D
4C4C4
2C2
D
12
4
D3:

17.lím
x!1
3
p
x1
4
p
x1
.
HPara eliminar a las dos raíces, obtenemos el mínimo común múltiplo de los índices3y4,quees
12yproponemosquexDy
12
.
SixDy
12
,entonces
3
p
xD
3
ˆ
y
12
Dy
4
&
4
p
xD
4
ˆ
y
12
Dy
3
;ademásyD
12
p
x!1cuandox!1.
Luego,
lím
x!1
3
p
x1
4
p
x1
Dlím y!1

y
4
1
y
3
1

Dlím y!1
.y
2
1/.y
2
C1/
.y1/.y
2
CyC1
2
/
Dlímy!1
.y1/.yC1/.y
2
C1/
.y1/.y
2
CyC1/
D
Dlím
y!1
.yC1/.y
2
C1/
y
2
CyC1
D
.1C1/.1
2
C1/
1
2
C1C1
D
4
3
:

3.2 Álgebra de límites 161
18.lím
x!1
p
3xC12x
x
2
C2x3
.
HRacionalicemos el numerador y factoricemos el denominador
p
3xC12x
x
2
C2x3
D
.
p
3xC12x/.
p
3xC1C2x/
.xC3/.x1/.
p
3xC1C2x/
D
3xC14x
2
.xC3/.x1/.
p
3xC1C2x/
:
Ya quexD1es raíz de4x
2
C3xC1,entoncesx1es un divisor de este trinomio
4x1
x1

4x
2
C3xC1
C4x
2
4xxC1
Cx1:
0
Luego,4x
2
C3xC1D.x1/.4x1/,porlocual
lím
x!1
p
3xC12x
x
2
C2x3
Dlím x!1
3xC14x
2
.xC3/.x1/.
p
3xC1C2x/
D
Dlím
x!1
.x1/.4x1/
.xC3/.x1/.
p
3xC1C2x/
D
Dlím
x!1
4x1
.xC3/.
p
3xC1C2x/
D
D
41
.1C3/.
p
3C1C2/
D
5
4.2C2/
D
5
16
:

19.lím
x!0
x
3
3x
2
5x
x
2
7x
.
HObservamos que
x
3
3x
2
5x
x
2
7x
D
x.x
2
3x5/
x.x7/
y, s ix6 D0,entonces,
x
3
3x
2
5x
x
2
7x
D
x
2
3x5
x7
;
por lo que
lím
x!0
x
3
3x
2
5x
x
2
7x
Dlím x!0
x
2
3x5
x7
D
5
7
D
5
7
:

20.lím
x!2
p
xC2
p
6x
x2
:
HObservamos
p
xC2
p
6x
x2
D
p
xC2
p
6x
x2

p
xC2C
p
6x
p
xC2C
p
6x
D
D
.xC2/.6x/
.x2/.
p
xC2C
p
6x/
D
2x4
.x2/.
p
xC2C
p
6x/
D
D
2.x2/
.x2/.
p
xC2C
p
6x/
D
2
p
xC2C
p
6x
,six¤2,osea,x2¤0.

162 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Por lo tanto
lím
x!2
p
xC2
p
6x
x2
Dlím x!2
2
p
xC2C
p
6x
D
2
p
4C
p
4
D
2
4
D
1
2
:

21.lím
x!1

1
x1

3
x
3
1

.
HUn poco de álgebra
1
x1

3
x
3
1
D
x
2
CxC13
x
3
1
D
x
2
Cx2
x
3
1
D
D
.x1/.xC2/
.x1/.x
2
CxC1/
D
xC2
x
2
CxC1
six6 D1:
Luego
lím
x!1

1
x1

3
x
3
1

Dlím x!1
xC2
x
2
CxC1
D
3
3
D1:

22.lím
x!2
2x
p
12xC40
3x
2
Cx14
.
HAquí usamos que
3x
2
Cx14D0,
,xD
1˙
p
1C168
6
D
1C
p
169
6
D
1˙13
6
,
,xD
⎧
⎨
⎩
2
14
6
D
7
3
:
Por lo que
3x
2
Cx14D3

x
2
C
1
3
x
14
3

D3

xC
7
3

.x2/D.3xC7/.x2/ :
Racionalizando el numerador tenemos:
2x
p
12xC40
3x
2
Cx14
D
4x
2
.12xC40/
.3x
2
Cx14/.2xC
p
12xC40/
D
D
4x
2
C12x40 .3xC7/.x2/.2xC
p
12xC40/
D
4.x
2
C3x10/
.3xC7/.x2/.2xC
p
12xC40/
D
D
4.xC5/.x2/
.3xC7/.x2/.2xC
p
12xC40/
D
4.xC5/
.3xC7/.2xC
p
12xC40/
:
Comox6 D2,entoncesx26 D0.
Por último
lím
x!2
2x
p
12xC40
3x
2
Cx14
Dlím x!2
4.xC5/
.3xC7/.2xC
ˆ
12xC40/
D
D
47
138
D
7
26
:

3.2 Álgebra de límites 163
23.lím
h!0
p
hC11
h
:
HVemos que, al racionalizar:
lím
h!0
p
hC11
h
Dlím h!0
hC11
h.
p
hC1C1/
Dlím h!0
1
p
hC1C1
D
1
2
:

24.lím
x!3
p
xC12
x3
.
HRacionalizando el numerador
p
xC12
x3
D
xC14
.x3/.
p
xC1C2/
D
x3
.x3/.
p
xC1C2/
D
D
1
p
xC1C2
six3¤0,estoessix¤3:
Por lo que
lím
x!3
p
xC12
x3
Dlím x!3
1
p
xC1C2
D
1
4
:

25.lím
x!2

1
x2

12
x
3
8

.
HEfectuemos la operación, recordando quex
3
8D.x2/.x
2
C2xC4/:
1x2

12
x
3
8
D
.x
2
C2xC4/12
.x2/.x
2
C2xC4/
D
x
2
C2x8
.x2/.x
2
C2xC4/
D
D
.xC4/.x2/
.x2/.x
2
C2xC4/
:
Entonces,
1
x2

12
x
3
8
D
xC4
x
2
C2xC4
si.x2/6 D0,estoessix6 D2;
por lo que
lím
x!2

1
x2

12
x
3
8

Dlím x!2
xC4
x
2
C2xC4
D
6
12
D
1
2
:

26.lím
x!2
2x
3
16
3x
2
C8x4
.
HComo
3x
2
C8x4D0,xD
8˙
p
6448
6
D
4
3

2
3
D
⎧
⎨
⎩
2
3
I
2;
tenemos que
3x
2
C8x4D3

x
2
3

.x2/D.3x2/.x2/
yque
2x
3
16D2.x
3
8/D2.x
3
2
3
/D2.x2/.x
2
C2xC4/:

164 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Siendo así,
2x
3
16
3x
2
C8x4
D
2.x2/.x
2
C2xC4/
.3x2/.x2/
D
2.x
2
C2xC4/
.3x2/
si.x2/6 D0, esto es, six6 D2/
yentonces,
lím
x!2
2x
3
16
3x
2
C8x4
Dlím x!2
2.x
2
C2xC4/
.3x2/
D
D
2Œ2
2
C.22/C4Œ.32/2
D
2.4C4C4/
.62/
D
212
4
D6:

27.lím
x!0
p
2Cx
p
2
x
:
HRacionalicemos el numerador multiplicando a él y al denominador por el binomio conjugado
de
p
2Cx
p
2que es
p
2CxC
p
2:
p
2Cx
p
2
x
D
.
p
2CxC
p
2/.
p
2Cx
p
2/
.
p
2CxC
p
2/x
D
2Cx2
x.
p
2CxC
p
2/
D
D
x
x.
p
2CxC
p
2/
D
1
p
2CxC
p
2
six6 D0:
Entonces,
lím
x!0
p
2Cx
p
2
x
Dlím x!0
1
p
2CxC
p
2
D
1
p
2C0C
p
2
D
1
2
p
2
:

28.lím
x!
2
3
p
9xC196x1
6x
2
19xC10
:
HRacionalicemos el numerador
.
p
9xC196x1/.
p
9xC19C6xC1/
.6x
2
19xC10/.
p
9xC19C6xC1/
D
.
p
9xC19/
2
.6xC1/
2
.6x
2
19xC10/.
p
9xC19C6xC1/
D
D
9xC1936x
2
12x1.6x
2
19xC10/.
p
9xC19C6xC1/
D
D
36x
2
3xC18.6x
2
19xC10/.
p
9xC19C6xC1/
:
Observemos que
36x
2
3xC18D0,3.12x
2
Cx6/D0,12x
2
Cx6D0,
,xD
1˙
p
1C288
24
D
1˙
p
289
24
D
1˙17
24
D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
2
3
I

3
4
;
por lo cual
36x
2
3xC18D312

x
2
3

xC
3
4

D33

x
2
3

.4xC3/:

3.2 Álgebra de límites 165
Además
6x
2
19xC10D0,xD
19˙
p
361240
12
D
19˙
p
121
12
D
19˙11
12
D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
5
2
I
2
3
:
Por lo que6x
2
19xC10D6

x
5
2

x
2
3

.Deaquíque:
36x
2
3xC18
.6x
2
19xC10/.
p
9xC19C6xC1/
D
9

x
2
3

.4xC3/
6

x
2
3

x
5
2

.
p
9xC19C6xC1/
D
D
9.4xC3/
6

x
5
2

.
p
9xC19C6xC1/
D
3.4xC3/
2

x
5
2

.
p
9xC19C6xC1/
six¤
2
3
yentonces,
lím
x!
2
3
p
9xC196x1
6x
2
19xC10
Dlím x!
2
3
3.4xC3/
2

x
5
2

.
p
9xC19C6xC1/
D
D
3

8
3
C3

2

2
3

5
2

.
p
6C19C4C1/
D
3

17
3

2

11
6

.5C5/
D
17
22
3
.5/
D
51
110
:

29.lím
x!1
4
p
xC15
x
2
1
:
HTenemos
lím
x!1
4
p
xC15
x
2
1
Dlím x!1

4
p
xC15
x
2
1

4C
p
xC15
4C
p
xC15

D
Dlím
x!1
16.xC15/
.x
2
1/.4C
p
xC15/
Dlím x!1
1x
.x1/.xC1/.4C
p
xC15/
D
Dlím
x!1
.x1/
.x1/.xC1/.4C
p
xC15/
I
comox¤1, entonces cancelamos.x1/y obtenemos
lím
x!1
4
p
xC15
x
2
1
Dlím x!1
1
.xC1/.4C
p
xC15/
D
1
.1C1/.4C
p
1C15/
D
1
2.4C4/
D
1
16
:

30.lím
x!2
x
3
C8
x
2
C5xC6
:
HPuesto que
x
3
C8
x
2
C5xC6
D
x
3
C2
3
.xC2/.xC3/
D
.xC2/.x
2
2xC4/
.xC2/.xC3/
D
D
x
2
2xC4 xC3
sixC2¤0,esdecir,six?2:

166 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Entonces,
lím
x!2
x
3
C8
x
2
C5xC6
Dlím x!2
x
2
2xC4
xC3
D
4C4C4
2C3
D
12
1
D12:

31.lím
x!3
2x
2
C5x3
x
2
2x15
:
HObservamos que
2x
2
C5x3D0,xD
5˙
p
25C24
4
D
5˙7
4
D
⎧
⎨
⎩
1
2
I
3:
Por lo que
2x
2
C5x3D2

x
1
2

.xC3/D.2x1/.xC3/ :
Luego,
lím
x!3
2x
2
C5x3
x
2
2x15
Dlím x!3
.xC3/.2x1/
.xC3/.x5/
Dlím x!3
2x1
x5
D
2.3/1
35
D
7
8
D
7
8
:

32.lím
h!0
p
xCh
p
x
h
.
HEncontramos que
lím
h!0
p
xCh
p
x
h
Dlím h!0
p
xCh
p
x
h

p
xChC
p
x
p
xChC
p
x
D
Dlím
h!0
.
p
xCh/
2
.
p
x/
2
h.
p
xChC
p
x/
Dlím h!0
xChx
h.
p
xChC
p
x/
D
Dlím
h!0
h
h.
p
xChC
p
x/
Dlímh!0
1
p
xChC
p
x
D
D
1
p
xC
p
x
D
1
2
p
x
,parax>0.

33.lím
x!1
x
2
x
x
2
1
:
HSi tratamos de calcular el límite por evaluación obtenemos:
.1/
2
1
.1/
2
1
D
“

0
0

”
, una indeterminación
“

0
0

”
:
Esto nos dice que los polinomios del numerador y del denominador, ambos, tienen la raíz común
xD1. En este caso es fácil encontrar la factorización del factor comúnx1:
x
2
x
x
2
1
D
x.x1/
.xC1/.x1/
D
x
xC1
:
La igualdad anterior se cumple parax¤1. Por lo tanto podemos usar este hecho para calcular el
límite.
lím
x!1
x
2
x
x
2
1
Dlím x!1
x
xC1
D
1
1C1
D
1
2
:

3.2 Álgebra de límites 167
34.lím
x!1
3x
2
C4x7
x
2
1
:
HSi tratamos de calcular el límite evaluando la expresión obtenemos:
3.1/
2
C4.1/7
.1/
2
1
D
“

0
0

”
, una indeterminación
“

0
0

”
:
Por tratarse de una función racional este resultado nos invita a factorizar el numerador y el denomi-
nador, sabiendo que ambos polinomios tienen el factorx1.
Para el denominador el resultado es:x
2
1D.x1/.xC1/.
Para el numerador efectuamos la división
3xC7
x1

3x
2
C4x7
3x
2
C3x7x7
7xC7:
0
O sea que la factorización del numerador es3x
2
C4x7D.x1/.3xC7/.
Con estos resultados obtenemos:
3x
2
C4x7
x
2
1
D
.x1/.3xC7/
.x1/.xC1/
D
3xC7
xC1
:
Ahora sí podemos calcular el límite usando esta última expresión equivalente a la primera, parax¤1:
lím
x!1
3x
2
C4x7
x
2
1
Dlím x!1
3xC7
xC1
D
3.1/C7
1C1
D
10
2
D5:

35.lím
x!0
p
xC11

p
xC4C2
.
HSi tratamos de calcular el límite por evaluación, resulta paraxD0:
p
0C11

p
0C4C2
D
11
2C2
D
“

0
0

”
, una indeterminación de la forma
“

0
0

”
:
Racionalizamos el numerador:
p
xC11

p
xC4C2
D
p
xC11

p
xC4C2

p
xC1C1
p
xC1C1
D
D
.xC1/1
.
p
xC1C1/.2
p
xC4/
D
x
.
p
xC1C1/.2
p
xC4/
:
Si tratamos de evaluar obtenemos de nuevo una indeterminación de la forma
“

0
0

”
.

168 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Ahora racionalizamos el denominador:
x
.
p
xC1C1/.2
p
xC4/

2C
p
xC4
2C
p
xC4
D
D
x.2C
p
xC4/
.
p
xC1C1/Œ4.xC4/
D
x.2C
p
xC4/
.
p
xC1C1/.x/
D
2C
p
xC4
p
xC1C1
:
Podemos ya calcular el límite usando esta expresión equivalente, parax¤0:
lím
x!0
p
xC11

p
xC4C2
Dlím x!0

2C
p
xC4
p
xC1C1

D
2C2
1C1
D
4
2
D2:

36.lím
x!1
x
3
2x
2
C2x1
x1
:
HObservamos quexD1es una raíz dex
3
2x
2
C2x1, luego este último polinomio es divisible
entrex1y efectuando esa división
x
2
xC1
x1

x
3
2x
2
C2x1
x
3
Cx
2
x
2
C2x1
x
2
xx1
xC1;
0
llegamos al resultado:
x
3
2x
2
C2x1
x1
Dx
2
xC1:
Entonces,
lím
x!1
x
3
2x
2
C2x1
x1
Dlím x!1
.x
2
xC1/D1:

37.lím
x!0

4
x
3

x.
HVem o s que
lím
x!0

4
x
3

x

Dlím x!0
.43x/D4.30/D40D4:

38.lím
x!0
x
3
p
x
2
C255
:
HRacionalizando el denominador
x
3
p
x
2
C255
D
x
3
.
p
x
2
C25C5/
.
p
x
2
C255/.
p
x
2
C25C5/
D
x
3
.
p
x
2
C25C5/
x
2
C2525
D
D
x
3
.
p
x
2
C25C5/
x
2
Dx.
ˆ
x
2
C25C5/,parax¤0:

3.2 Álgebra de límites 169
Por lo que hallamos:
lím
x!0
x
3
p
x
2
C255
Dlím x!0
Œx.
ˆ
x
2
C25C5/D0:

39.Considere la funciónf.x/D
p
13x
2
x1
x
2
5xC6
:
a.Viendo la tabla de imágenes def, calcule lím
x!2
f.x/con dos cifras decimales exactas:
x f.x/
1:997 1:66096
1:998 1:66286
1:999 1:66476
2Indeterminado
2:001 1:66858
2:002 1:67049
2:003 1:67241
b.Calcule exactamente lím
x!2
f.x/usando la expresión algebraica de la función.
¿Cuál es la tercera cifra decimal exacta del valor del límite?
H
a.Se puede aﬁrmar que lím
x!2
f.x/D1:66 :
b.Vem o s que
p
13x
2
x1
x
2
5xC6
D
p
13x
2
.xC1/
x
2
5xC6

p
13x
2
C.xC1/
p
13x
2
C.xC1/
D
D
.13x
2
/.xC1/
2
x
2
5xC6

1
p
13x
2
C.xC1/
D
D
13x
2
.x
2
C2xC1/x
2
5xC6

1
p
13x
2
C.xC1/
D
D
2x
2
2xC12 x
2
5xC6

1
p
13x
2
C.xC1/
D
D2
x
2
Cx6 x
2
5xC6

1
p
13x
2
C.xC1/
D
D2
.x2/.xC3/
.x2/.x3/

1
p
13x
2
C.xC1/
D
D2
xC3
x3

1
p
13x
2
C.xC1/
(six2¤0,osea,x¤2).
Entonces,
lím
x!2
f.x/Dlím
x!2

2
xC3
x3

1
p
13x
2
C.xC1/

D2

5
1

1
p
134C.2C1/
D
10
6
D1:6667 :

170 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
¿Cuál es la tercera cifra decimal exacta del valor del límite?
Con lo anterior calculado podemos responder que6es la tercera cifra decimal del límite.

3.3 Límites laterales
Ejercicios 3.3.1
1.Dadaf.x/D
jxj
x
,calcular:
a.lím
x!0

f.x/; b.lím
x!0
C
f.x/; c.lím
x!0
f.x/.
HYa que, conx¤0,
jxjD

xsix<0I
x six>0;
entonces:
a.lím
x!0

f.x/Dlím
x!0

jxj
x
Dlímx!0
x
x
Dlímx!0
.1/D1;
b.lím
x!0
C
f.x/Dlím
x!0
C
jxj
x
Dlímx!0
x
x
Dlímx!0
1D1;
c.lím
x!0
f.x/no existe debido a que: lím
x!0

f.x/6 Dlím
x!0
C
f.x/.

2.Dadaf.x/D
xajxaj
,calcular:
a.lím
x!a

f.x/; b.lím
x!a
C
f.x/; c.lím
x!a
f.x/.
HYa que conxa¤0,
jxajD

.xa/sixa<0
xa sixa>0
D

.xa/six<aI
xa six>a;
entonces:
a.lím
x!a

f.x/Dlím
x!a

xa
jxaj
Dlím x!a

xa
.xa/

Dlím x!a
.1/D1;
b.lím
x!a
C
f.x/Dlím
x!a
C
xa
jxaj
Dlím x!a
xa
xa
Dlím x!a
1D1;
c.lím
x!a
f.x/no existe debido a que: lím
x!a

f.x/6 Dlím
x!a
C
f.x/.

3.3 Límites laterales 171
3.Dadag.x/Djx2jxC2,calcular:
a.lím
x!2

g.x/; b.lím
x!2
C
g.x/; c.lím
x!2
g.x/.
HYa que conx2¤0,
jx2jD

.x2/six2<0
x2 six2>0
)jx2jD

xC2six<2I
x2six>2;
entonces:
a.lím
x!2

g.x/Dlím
x!2

.jx2jxC2/Dlím
x!2
Œ.xC2/xC2D
Dlím
x!2
.2xC4/D2.2/C4D4C4D0;
b.lím
x!2
C
g.x/Dlím
x!2
C
.jx2jxC2/Dlím
x!2
Œ.x2/xC2Dlím
x!2
0D0;
c.Ya que lím
x!2

g.x/D0Dlím
x!2
C
g.x/,entonceslím
x!2
g.x/D0.

4.Dadaf.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
2 six<1I
x
2
3si1<x<2I
2xsix>2:
Calcular:
a.lím
x!1

f.x/;
b.lím
x!1
C
f.x/;
c.lím
x!1
f.x/;
d.lím
x!2

f.x/;
e.lím
x!2
C
f.x/;
f.lím
x!2
f.x/.
HEncontramos que:
a.lím
x!1

f.x/Dlím
x!1

.2/D2;
b.lím
x!1
C
f.x/Dlím
x!1
C
.x
2
3/D.1/
2
3D13D2;
c.lím
x!1
f.x/D2ya que lím
x!1

f.x/Dlím
x!1
C
f.x/D2;
d.lím
x!2

f.x/Dlím
x!2

.x
2
3/D2
2
3D43D1;
e.lím
x!2
C
f.x/Dlím
x!2
C
.2x/D22D0;
f.lím
x!2
f.x/no existe ya que: lím
x!2

f.x/6 Dlím
x!2
C
f.x/.

5.Dada la funcióng.x/D

axC11 six<3I
x
2
8xC16six>3:
Determinar el valor de la constanteaque asegura la existencia de lím
x!3
g.x/.
HCalculamos
lím
x!3

g.x/Dlím
x!3

.axC11/Da.3/C11D3aC11.
lím
x!3
C
g.x/Dlím
x!3
C
.x
2
8xC16/D924C16D1.

172 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Luego:
lím
x!3
g.x/existe,lím
x!3

g.x/Dlím
x!3
C
g.x/,
,3aC11D1,3aD10,aD
10
3
:

6.La expresiónLDL
o

1
v
2
c
2
indica la longitud de un objeto en función de su velocidadv,dondeL o
es la longitud del objeto en reposo yces la velocidad de la luz.
¿Qué pasa con la longitud del objeto cuandovse aproxima a la velocidad de la luz?
HEn primer lugar observemos que1
v
2
c
2
tiene que ser0.
Entonces:
v
2
c
2
1)v
2
c
2
y extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros, obtenemos
p
v
2

p
c
2
)vDjvjjcjDc:
Conlocuallavelocidaddelobjetonopuedesermayorqueladelaluz:
lím
v!c

LDlím
v!c

Lo
˛
1
v
2
c
2
DLolím
v!c

˛
1
v
2
c
2
DLo
˛
1lím
v!c

v
2
c
2
DLo
p
11D0:

7.Calcular: lím
x!0
jxjx
x
:
HYa quex¤0,entoncesjxjDxparax>0ytambiénquejxjDxparax<0,entonces:
lím
x!0
C
jxjx
x
Dlím x!0
C
xx
x
Dlím x!0
C
0
x
Dlímx!0
C
0D0I
yademás
lím
x!0

jxjx
x
Dlím x!0

xx
x
Dlím x!0

2x
x
Dlímx!0

2D2:
No existe lím
x!0
jxjx
x
pues los límites laterales son distintos.

8.Calcular: lím
x!1
x
2
1
jx1j
.
HSabemos quex
2
1D.x1/.xC1/yquex1¤0;entonces:
jx1jD

x1 six1>0I
.x1/six1<0
D

x1 six>1
.x1/six<1I
luego,
lím
x!1
C
x
2
1
jx1j
Dlím x!1
C
.xC1/.x1/
x1
Dlím x!1
C
.xC1/D2
ytambién
lím
x!1

x
2
1
jx1j
Dlím x!1

.xC1/.x1/
.x1/
Dlím x!1

xC1
1
D
2
1
D2:

3.3 Límites laterales 173
Por lo que no existe lím
x!1
x
2
1
jx1j
,yaque
lím
x!1

x
2
1
jx1j
¤lím x!1
C
x
2
1
jx1j
:

9.Sealafuncióndeﬁnida por
f.x/Dn;para cadax2Œn; nC1/;donden2f:::;3;2;1; 0; 1; 2; 3; : : :gDZ:
a.Graﬁque esa funciónf.
b.Calcular paran2f:::;3;2;1; 0; 1; 2; 3; : : :gDZ.
lím
x!n

f.x/;lím
x!n
C
f.x/;lím
x!n
f.x/&lím
x!a
f.x/,dondea¤n.
H
a.La gráﬁca de la funciónfes:
x
y
1
2
3
4
1
2
3
321
1234

yDf.x/
b.Tenemos
lím
x!n

f.x/Dlím
x!n

.n1/Dn1I
lím
x!n
C
f.x/Dlím
x!n
C
nDn:
Puesto que
lím
x!n

f.x/¤lím
x!n
C
f.x/,noexiste lím
x!n
f.x/:
Por último
lím
x!a
f.x/Dnsia2.n; nC1/ :

10.Considerarf.x/D

x
2
C3six1I
xC1six>1I
yconsiderarg.x/D

x
2
six1I
2six>1:
Calcular:
a.lím
x!1

f.x/g.x/; b.lím
x!1
C
f.x/g.x/; c.lím
x!1
f.x/g.x/.

174 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
HTenemos:
a.lím
x!1

?f .x/g.x/Dlím
x!1

f.x/lím
x!1

g.x/Dlím
x!1
.x
2
C3/lím
x!1
.x
2
/D41D4,yaqueambos
límites existen;
b.lím
x!1
C
?f .x/g.x/Dlím
x!1
C
f.x/lím
x!1
C
g.x/Dlím
x!1
.xC1/lím
x!1
.2/D22D4;
c.lím
x!1
?f .x/g.x/D4,pues lím
x!1

?f .x/g.x/Dlím
x!1
C
?f .x/g.x/D4.

11.Calcular: lím
x!1
C
p
2xC1
p
3
x1
:
HRacionalicemos el numerador multiplicando al numerador y al denominador por la expresión
conjugada
p
2xC1C
p
3:
p
2xC1
p
3
x1
D
.
p
2xC1
p
3/.
p
2xC1C
p
3/
.x1/.
p
2xC1C
p
3/
D
2xC13
.x1/.
p
2xC1C
p
3/
D
D
2x2
.x1/.
p
2xC1C
p
3/
D
2.x1/
.x1/.
p
2xC1C
p
3/
D
2
p
2xC1C
p
3
six6 D1:
Obtenemos
lím
x!1
C
p
2xC1
p
3
x1
Dlím x!1
C
2
p
2xC1C
p
3
D
2
p
3C
p
3
D
1
p
3
:

12.Calcular: lím
x!0

jxj
3

xC1
2
x

:
HComojxjcambia de signo en0,entoncesjxj
3
cambia también de signo en0.
Calculamos por separado
lím
x!0
C

jxj
3

xC1
2
x

Dlím x!0
C

x
3

xC1
2
x

Dlím x!0
C
.x
4
Cx
3
2x
2
/D0;
así como
lím
x!0

jxj
3

xC1
2
x

Dlím x!0

.x/
3

xC1
2
x

Dlím x!0

.x
4
x
3
C2x
2
/D0:
Entonces,
lím
x!0

jxj
3

xC1
2
x

D0:

13.Calcular: lím
x!1
f.x/,dondef.x/D
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
2x
2
C1
x
4
C3
six<1I
x
3
C1x
2
C6xC5
six>1:
HDebido a quef.x/está deﬁnida de una manera cuandox<1y de forma diferente cuando
x>1, para calcular lím
x!1
f.x/procederemos a determinar los límites laterales.
lím
x!1

f.x/Dlím
x!1
2x
2
C1
x
4
C3
D
2.1/
2
C1
.1/
4
C3
D
2C1
1C3
D
3
4
:

3.4 Límites inﬁnitos 175
lím
x!1
C
f.x/Dlím
x!1
x
3
C1
x
2
C6xC5
Dlím x!1
.xC1/.x
2
xC1/
.xC1/.xC5/
D
Dlím
x!1
x
2
xC1
xC5
D
.1/
2
.1/C1
1C5
D
1C1C1
4
D
3
4
:
Ya que lím
x!1

f.x/D
3
4
&límx!1
C
f.x/D
3
4
, entonces los límites laterales son iguales por lo cual
lím
x!1
f.x/D
3
4
:

14.Calcular: lím
x!2
C
2x
jx2j
.
HSix!2
C
,entoncesx>2;además
x>2)x2>0)jx2jDx2)
)
2xjx2j
D
.x2/
x2
D1)
)lím
x!2
C
2x
jx2j
Dlím x!2
C
.1/D1:

15.Calcular: lím
x!3

jj2Cxj3j2
x
2
9
:
HSix3)2Cx1<0(el símbolosigniﬁca “aproximadamente igual”), entonces:
j2CxjD2x&j2Cxj3D2x3Dx5:
Comox52<0;entoncesjj2Cxj3jD3j2CxjD3.2x/D5Cx.
Y, por último,jj2Cxj3j2D5Cx2DxC3.Porloque
jj2Cx
j3j2
x
2
9
D
xC3
.xC3/.x3/
D
1
x3
six?3:
De aquí que
lím
x!3

jj2Cxj3j2
x
2
9
Dlím x!3

1
x3
D
1
33
D
1
6
:

3.4 Límites inﬁnitos
Ejercicios 3.4.1
1.Paraf.x/D
1x
,calcular:
a.lím
x!0

f.x/, b.lím
x!0
C
f.x/, c.lím
x!0
f.x/.
HCuandox!0,sabemosquelím
x!0
1
x
D
“

1
0

”
indeterminado. Debemos trabajar con límites
laterales para determinar el comportamiento.

176 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
a.Six!0

,entoncesx<0&
1
x
<0;porloque límx!0

1
x
D
“

1
0

”
D1.
b.Six!0
C
,entoncesx>0&
1
x
>0;porloque límx!0
C
1
x
D
“

1
0
C

”
DC1.
c.Podemos decir que lím
x!0
1
x
no existe.
d.Además, se puede aﬁrmar que la rectaxD0es la asíntota vertical de la curvayD
1
x
.

2.Paraf.x/D
3
xC2
,calcular:
a.lím
x!2

f.x/, b.lím
x!2
C
f.x/, c.lím
x!2
f.x/.
HCuandox!2sucede que.xC2/!0ysabemosque
3
xC2
!1(sin signo).
Precisemos el signo.
a.Six!2

,entoncesx<2&xC2<0;porloque
3
xC2
>0&
3
xC2
!C1.
Luego, lím
x!2

3
xC2
DC1.
b.Six!2
C
,entoncesx>2&xC2>0;porloque
3
xC2
<0&
3
xC2
!1.
Luego, lím
x!2
C
3
xC2
D1.
c.Podemos decir que lím
x!2
f.x/no existe.
d.Además se puede aﬁrmar que la rectaxD2es la asíntota vertical de la curvayD
3
xC2
.

3.Paraf.x/D
x1
x2
,calcular:
a.lím
x!2

f.x/, b.lím
x!2
C
f.x/, c.lím
x!2
f.x/.
HCuandox!2, sucede que.x2/!0&.x1/!1por lo cual sabemos que:
x1
x2
!
“

1
0

”
D1(sin signo).
Para precisar el signo, notemos que.x1/!1yque1>0.
a.Six!2

,entoncesx<2&x2<0;porloque
x1
x2
<0&
x1
x2
!
“

1
0

”
.
Luego, lím
x!2

x1
x2
D1.
b.Six!2
C
,entoncesx>2&x2>0;porloque
x1
x2
>0&
x1
x2
!
“

1
0
C

”
.
Luego, lím
x!2
C
x1
x2
DC1.

3.4 Límites inﬁnitos 177
c.Podemos decir que lím
x!2
f.x/no existe.
Además se puede aﬁrmar que la rectaxD2es la asíntota vertical de la curvayD
x1
x2
.

4.Paraf.x/D
3x
x
2
1
,calcular:
a.lím
x!1

f.x/,
b.lím
x!1
C
f.x/,
c.lím
x!1

f.x/,
d.lím
x!1
C
f.x/.
HCuandox!1, sucede quex
2
!1,.x
2
1/!0&3x!3.
Por lo cual sabemos que
3x
x
2
1
!
“

3
0

”
D1(sin signo):
Para precisar el signo debemos notar que:
f.x/D
3x
x
2
1
D
3x
.x1/.xC1/
donde
3x!3<0,.x1/!2<0&.xC1/!0cuandox!1:
a.Six!1

,entoncesx<1&xC1<0;porloque
3x
.x1/.xC1/
<0&
3x
.x1/.xC1/
!1,esdecir, lím x!1

3x
x
2
1
D1:
b.Six!1
C
,entoncesx>1&xC1>0;porloque
3x
.x1/.xC1/
>0&
3x
.x1/.xC1/
!C1,esdecir, lím x!1
C
3x
x
2
1
DC1:
Cuandox!1, sucede quex
2
!1,.x
2
1/!0&3x!3.
Por lo cual sabemos que
3x
x
2
1
!
“

3
0

”
D1(sin signo):
Para precisar el signo debemos notar que
f.x/D
3x
.x1/.xC1/
:
Donde
3x!3>0,.xC1/!2>0&.x1/!0cuandox!1:
c.Six!1

,entoncesx<1&x1<0.Porloque
3x
.x1/.xC1/
<0&
3x
.x1/.xC1/
!1:
Luego:
lím
x!1

3x
.x1/.xC1/
D1:

178 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
d.Six!1
C
,entoncesx>1&x1>0.Porloque:
3x
.x1/.xC1/
>0&
3x
.x1/.xC1/
!C1:
Luego:
lím
x!1
C
3x
.x1/.xC1/
DC1:
Además, podemos aﬁrmar que las rectasxD1&xD1son las asíntotas verticales de la curva
yD
3x
x
2
1
y que no existe límx!1
3x
x
2
1
ni límx!1
3x
x
2
1
.

5.Paraf.x/D
1
x
C
1
jxj
,calcular:
a.lím
x!0

f.x/, b.lím
x!0
C
f.x/, c.lím
x!0
f.x/.
H
a.Six!0

,entoncesx<0&jxjDx;porloque
lím
x!0

f.x/Dlím
x!0

1
x
C
1
jxj

Dlím x!0

1
x
C
1
x

Dlím x!0

1
x

1
x

Dlímx!0
0D0:
Luego, lím
x!0

f.x/D0.
b.Six!0
C
,entoncesx>0&jxjDx;porloque
lím
x!0
C
f.x/Dlím
x!0
C

1
x
C
1
jxj

Dlím x!0
C

1
x
C
1
x

Dlímx!0
C

2
x

DC1:
Luego, lím
x!0
C
f.x/DC1.
c.Se puede decir que lím
x!0
f.x/no existe.
Además se puede aﬁrmar que la rectaxD0es la asíntota vertical de la curvayD
1
x
C
1
jxj
.

6.Paraf.x/D
5x
.x
2
4/
2
,calcular:
a.lím
x!2

f.x/,
b.lím
x!2
C
f.x/,
c.lím
x!2
f.x/,
d.lím
x!2

f.x/,
e.lím
x!2
C
f.x/,
f.lím
x!2
f.x/.
HEs importante notar que.x
2
4/
2
nunca es negativo; es decir,.x
2
4/
2
0para cadax2R.
Además cuandox!2obienx!2sucede quex
2
!4&x
2
4!0.
Por lo cual.x
2
4/
2
!0, con valores positivos.
a.Six!2

,entonces.5x/!10 > 0.
Por lo que
5x
.x
2
4/
2
!C1.
Luego, lím
x!2

f.x/DC1.

3.4 Límites inﬁnitos 179
b.Six!2
C
,entonces.5x/!10 > 0.
Por lo que
5x
.x
2
4/
2
!C1.
Luego, lím
x!2
C
f.x/DC1.
c.Podemos decir que lím
x!2
f.x/DC1.Obsérveseque lím
x!2
f.x/no existe.
d.Six!2

,entonces.5x/!10 < 0.
Por lo que
5x
.x
2
4/
2
!1.
Luego, lím
x!2

f.x/D1.
e.Six!2
C
,entonces.5x/!10 < 0.
Por lo que
5x
.x
2
4/
2
!1.
Luego, lím
x!2
C
f.x/D1.
f.Se puede decir que lím
x!2
f.x/D1.Obsérvesequelím
x!2
f.x/no existe.
Además, se puede aﬁrmar que las rectasxD2&xD2son asíntotas verticales de la curva
yD
5x
.x
2
4/
2
.

7.De acuerdo con la teoría de la relatividad, la masamde un objeto que viaja a una velocidadv,está
dada por
mD
m
0

1
v
2
c
2
;
dondem
0es la masa del objeto en reposo yces la velocidad de la luz.
a.Explicar qué ocurre cuandovse acerca a la velocidad de la luz.
b.Explicar por qué sólo tiene sentido calcular lím
v!c

m.
H
a.Calculamos:
lím
v!c

mDlím
v!c

m0

1
v
2
c
2
Dlím
v!c

cm0
p
c
2
v
2
DC1:
b.Puesto que la fórmula paramtiene sentido sic
2
v
2
>0,v
2
<c
2
,v<c.

8.Calcular: lím
s!2
C

1
s2

3
s
2
4

:
HEfectuamos primero la operación:
1
s2

3
s
2
4
D
sC23
.sC2/.s2/
D
s1
.sC2/.s2/
)
)lím
s!2
C

1
s2

3
s
2
4

Dlím s!2
C
s1
.sC2/.s2/
DC1:
Puesto que.s1/!1>0,.sC2/!4>0&.s2/!0
C
,cuandos!2
C
,entonces:
.sC2/.s2/!0
C
,cuandos!2
C
:

180 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Otra manera de calcular este límite es la siguiente:
Ya que:
lím
x!2
C

1
x2

3
x
2
4

Dlím x!2
C

1
x2

3
.x2/.xC2/

D
Dlím
x!2
C

1
x2

1
3
xC2

yademás lím
x!2
C
1
x2
DC1&lím x!2
C

1
3
xC2

D1
3
4
D
1
4
>0I
entonces lím
x!2
C

1
x2

1
3
xC2

DC1:

9.Calcular: lím
x!1

3x
2
x
2
1
.
HTenemos
lím
x!1

3x
2
x
2
1
Dlím x!1

3x
2
.xC1/.x1/
D1;
pues lím
x!1

3x
2
D3;lím
x!1

.xC1/D2&lím
x!1

.x1/D0

)lím
x!1

Œ.xC1/.x1/D0

.
10.Calcular: lím
x!2
C
x
2
4x
2
:
HCuandox!2
C
sucede que4x
2
!0&x
2
!4.
Además:x!2
C
)x>2)x
2
>4)4x
2
<0por lo cual
x
2
4x
2
>0;entonces
x
2
4x
2
!C1.
Es decir lím
x!2
C
x
2
4x
2
DC1.

3.5 Límites en inﬁnito
Ejercicios 3.5.1
1.Calcular: lím
x!C1
2x3
4x
.
H
lím
x!C1
2x3
4x
Dlím x!C1

2
4

3
4x

D
2
4

3
4
límx!C1
1
x
D
1
2

3
4
0D
1
2
:
La rectayD
1
2
es asíntota horizontal de la curvayD
2x3
4x
.
2.Calcular: lím
x!1
4x
3
5xC6
2x
3
3x
2
C8
.
H
lím
x!1
4x
3
5xC6
2x
3
3x
2
C8
Dlím x!1
x
3

4
5
x
2
C
6
x
3

x
3

2
3
x
C
8
x
3
Dlím
x!1
4
5
x
2
C
6
x
3
2
3
x
C
8
x
3
D
4
2
D2:

3.5 Límites en inﬁnito 181
La rectayD2es asíntota horizontal de la curvayD
4x
3
5xC6
2x
3
3x
2
C8
.

3.Calcular: lím
x!1
5x
3
C6x7
3x
5
2xC1
.
H
lím
x!1
5x
3
C6x7
3x
5
2xC1
Dlím x!1
x
3

5C
6
x
2

7
x
3

x
5

3
2
x
4
C
1
x
5
Dlím
x!1
5C
6
x
2

7
x
3
x
2

3
2
x
4
C
1
x
5
D
“

5
1

”
D0
C
:

4.Calcular: lím
x!1
3x
5
2xC1
5x
3
C6x7
.
H
lím
x!1
3x
5
2xC1
5x
3
C6x7
Dlím x!1
x
5

3
2
x
4
C
1
x
5

x
3

5C
6
x
2

7
x
3
Dlím
x!1
x
2

3
2
x
4
C
1
x
5

5C
6
x
2

7
x
3
D
“

C1
5

”
DC1:

5.Calcular: lím
x!C1
p
x
2
C1
x
.
H
lím
x!C1
p
x
2
C1
x
Dlím x!C1
˛
x
2

1C
1
x
2

x
Dlím x!C1
p
x
2

1C
1
x
2
x
Dlím x!C1
jxj

1C
1
x
2
x
D
Dlím
x!C1
x

1C
1
x
2
x
Dlím x!C1

1C
1
x
2
D
p
1D1:
La rectayD1es una asíntota horizontal de la curvayD
p
x
2
C1
x
.

6.Calcular: lím
x!1
x
p
x
2
C1
.
H
lím
x!1
x
p
x
2
C1
Dlím
x!1
x
˛
x
2

1C
1
x
2

Dlím
x!1
x
p
x
2

1C
1
x
2
Dlím
x!1
x
jxj

1C
1
x
2
D
Dlím
x!1
x
x

1C
1
x
2
Dlím
x!1
1

1C
1
x
2
D
1
p
1
D1:
La rectayD1es una asíntota horizontal de la curvayD
x
p
x
2
C1
.

182 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
7.Calcular: lím
x!1
p
x
2
16
xC4
.
HComox!1, podemos pensar quex<0por lo quejxjDx.
lím
x!1
p
x
2
16
xC4
Dlím x!1
˛
x
2

1
1
16

x

1C
1
4
Dlím
x!1
p
x
2

1
1
16
x

1C
1
4
Dlím
x!1
jxj

1
1
16
x

1C
1
4
D
Dlím
x!1
x

1
1
16
x

1C
1
4
Dlím
x!1

1
1
16
1C
1
4
D
p
1
1
D1:
Otro procedimiento:
1
p
x
2
D
1
jxj
D
1
x
obien
1
x
D
1
p
x
2
I
y multiplicando al numerador y denominador de
p
x
2
16
xC4
por
1
x
obienpor
1
p
x
2
, obtenemos
f.x/D
p
x
2
16
xC4
D

p
x
2
16
p
x
2
xC4
x
D

x
2
16
x
2
1C
4
x
D

1
16
x
2
1C
4
x
:
Por lo que
lím
x!1
p
x
2
16
xC4
Dlím x!1

1
16
x
2
1C
4
x
D
lím
x!1

1
16
x
2
lím
x!1

1C
4
x
D
D
˛
lím
x!1

1
16
x
2

1C0
D
p
10
1
D1:

8.Calcular: lím
x!C1
5x3
p
3x
2
C2xC6
.
HComox!C1, podemos pensar quex>0por lo quejxjDx.
lím
x!C1
5x3
p
3x
2
C2xC6
Dlím x!C1
x

5x
3
x

˛
x
2

3C
2
x
C
6
x
2

Dlím
x!C1
x

5x
3
x

p
x
2

3C
2
x
C
6
x
2
D
Dlím
x!C1
x

5x
3
x

jxj

3C
2
x
C
6
x
2
Dlím
x!C1
x

5x
3
x

x

3C
2
x
C
6
x
2
D
Dlím
x!C1
5x
3
x

3C
2
x
C
6
x
2
D
5
p
3
:

3.5 Límites en inﬁnito 183
Otro procedimiento:
lím
x!C1
5x3
p
3x
2
C2xC6
Dlím
x!C1
5x3
x
p
3x
2
C2xC6
x
D
Dlím
x!C1
5
3
x

3x
2
C2xC6
x
2
Dlím
x!C1
5
3
x

3C
2
x
C
6
x
2
D
5
p
3
:

9.Calcular: lím
x!C1
2xC3
ˆ
.3x2/
3
.
HComox!C1, podemos pensar quex>0por lo quejxjDx.
lím
x!C1
2xC3
ˆ
.3x2/
3
Dlím
x!C1
2xC3
p
27x
3
54x
2
C36x8
Dlím x!C1
x

2C
3
x

˛
x
3

27
54
x
C
36
x
2

8
x
3

D
Dlím
x!C1
x

2C
3
x

p
x
3

27
54
x
C
36
x
2

8
x
3
Dlím
x!C1
x

2C
3
x

p
x
2
p
x

27
54
x
C
36
x
2

8
x
3
D
Dlím
x!C1
2C
3
x
p
x

27
54
x
C
36
x
2

8
x
3
D0:
Otro procedimiento:
Multipliquemos numerador y denominador por
1
x
ycomox!C1podemos suponer que
1
x
D
1
jxj
yporendeque
1
x
D
1
p
x
2
;entonces,
2xC3
ˆ
.3x2/
3
D
2C
3
x
ˆ
.3x2/
3
p
x
2
D
2C
3
x

27x
3
54x
2
C36x8
x
2
D
2C
3
x

27x54C
36
x

8
x
2
ytambién,
lím
x!C1
2xC3
ˆ
.3x2/
3
Dlím
x!C1
2C
3
x

27x54C
36
x

8
x
2
D0:

10.Calcular: lím
x!C1
p
x
4
3x
2
1
x
2
1
.

184 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
HCalculamos:
lím
x!C1
p
x
4
3x
2
1
x
2
1
Dlím x!C1
˛
x
4

1
3x
2
x
4

1
x
4

x
2

1
1
x
2
D
Dlím
x!C1
p
x
4

1
3
x
2

1
x
4
x
2

1
1
x
2
Dlím
x!C1
x
2

1
3
x
2

1
x
4
x
2

1
1
x
2
D
Dlím
x!C1

1
3
x
2

1
x
4
1
1
x
2
D
p
1
1
D1:

11.Calcular: lím
x!1
5xC2
p
3x
2
C2xC5
.
HTenemos que, parax¤0,
ˆ
3x
2
C2xC5D
˛
x
2

3C
2
x
C
5
x
2

Djxj

3C
2
x
C
5
x
2
:
Yque
5xC2
p
3x
2
C2xC5
D
x

5C
2
x

jxj

3C
2
x
C
5
x
2
:
Luego:
lím
x!1
5xC2
p
3x
2
C2xC5
Dlím
x!1
x

5C
2
x

x

3C
2
x
C
5
x
2
Dlím
x!1
5C
2
x

3C
2
x
C
5
x
2
D
D
5C0

p
3C0C0
D
5
p
3
:

12.Calcular: lím
x!1
4xC1
p
9x
2
C5
.
HComox!1, podemos pensar quex<0por lo quejxjDx.
4xC1
p
9x
2
C5
D
x

4C
1
x

˛
x
2

9C
5
x
2

D
x

4C
1
x

jxj

9C
5
x
2
:
Entonces,
lím
x!1
4xC1
p
9x
2
C5
Dlím
x!1
x

4C
1
x

x

9C
5
x
2
Dlím
x!1
4C
1
x

9C
5
x
2
D
4
3
:

3.5 Límites en inﬁnito 185
13.Calcular: lím
x!1
8xC6
p
5x
2
C6x8
.
HComox!1, podemos pensar quex<0por lo quejxjDx.
8xC6
p
5x
2
C6x8
D
x

8C
6
x

˛
x
2

5C
6
x

8
x
2

D
x

8C
6
x

p
x
2
˛

5C
6
x

8
x
2

D
x

8C
6
x

jxj
˛

5C
6
x

8
x
2

D
D
x

8C
6
x

x
˛

5C
6
x

8
x
2

D
8C
6
x

˛

5C
6
x

8
x
2

:
Yentonces:
lím
x!1
8xC6
p
5x
2
C6x8
Dlím
x!1

8C
6
x

5C
6
x

8
x
2
D
8
p
5
D
8
p
5
:

14.Calcular: lím
x!1
3xC4
p
2x
2
C5
.
HObservamos que
3xC4
p
2x
2
C5
D
x

3C
4
x

˛
x
2

2C
5
x
2

D
x

3C
4
x

jxj

2C
5
x
2
D
x

3C
4
x

x

2C
5
x
2
;
parax<0, como será el caso pues vamos a hacer quextienda a1.Entonces:
lím
x!1
3xC4
p
2x
2
C5
Dlím
x!1

3C
4
x

2C
5
x
2
D
3C0
p
2C0
D
3
p
2
:

15.Calcular: lím
x!1
p
9C4x
2
3C2x
.
HObservamos
ˆ
9C4x
2
D
˛
x
2

9
x
2
C4

Djxj

9
x
2
C4Dx

9
x
2
C4six<0;
que es el caso, puesxtiende a1.Además3C2xDx

3
x
C2

,porloque
p
9C4x
3C2x
D
x

9
x
2
C4
x

3
x
C2
D

9
x
2
C4
3
x
C2
puesx<0

186 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
yasí
lím
x!1
p
9C4x
2
3C2x
Dlím x!1

9
x
2
C4
3
x
C2
D
p
0C4
0C2
D
2
2
D1:

16.Calcular: lím
x!C1
p
x
2
C5C5x
23xC4
.
HTanto
p
x
2
C5C5xcomo23xC4tienden aC1cuandox!C1, pero vemos que
p
x
2
C5C5x
23xC4
D
˛
x
2

1C
5
x
2

C5x
x

23C
4
x
D
jxj

1C
5
x
2
C5x
x

23C
4
x
:
ComojxjDxsix>0, que es el caso pues hacemos tender axaC1entonces:
p
x
2
C5C5x
23xC4
D
x

1C
5
x
2
C5x
x

23C
4
x
D
x

1C
5
x
2
C5

x

23C
4
x
D

1C
5
x
2
C5
23C
4
x
yporúltimo:
lím
x!C1
p
x
2
C5C5x
23xC4
Dlím x!C1

1C
5
x
2
C5
23C
4
x
D
p
1C0C5
23C0
D
p
1C5
23
D
1C5
23
D
6
23
:

17.Calcular: lím
x!1
p
9C4x
2
3Cx
.
HTenemos
lím
x!1
p
9C4x
2
3Cx
Dlím x!1
p
4x
2
C9
xC3
Dlím x!1
˛
x
2

4C
9
x
2

x

1C
3
x
D
Dlím
x!1
p
x
2

4C
9
x
2
x

1C
3
x
Dlím
x!1
jxj

4C
9
x
2
x

1C
3
x
Dlím
x!1
x

4C
9
x
2
x

1C
3
x
D
Dlím
x!1

4C
9
x
2
1C
3
x
D

p
4C0
1C0
D
2
1
D2:
Vem o s quejxjDx,puesx!1 ) x<0.
18.Calcular: lím
x!1
5x
p
x
2
C4
.

3.5 Límites en inﬁnito 187
HVem o s que
lím
x!1
5x
p
x
2
C4
Dlím
x!1
5x
˛
x
2

1C
4
x
2

D
Dlím
x!1
5x
p
x
2

1C
4
x
2
Dlím
x!1
5x
jxj

1C
4
x
2
D
Dlím
x!1
5x
x

1C
4
x
2
Dlím
x!1
5

1C
4
x
2
D
5
p
1
D5:
Observe quejxjDx,puesx!1 ) x<0.
19.Calcular: lím
x!C1
3
p
x
3
1
p
x
2
C1
.
H
lím
x!C1
3
p
x
3
1
p
x
2
C1
Dlím
x!C1
3
˛
x
3

1
1
x
3

˛
x
2

1C
1
x
2

Dlím
x!C1
3
p
x
3
3

1
1
x
3
p
x
2

1C
1
x
2
Dlím
x!C1
x
3

1
1
x
3
jxj

1C
1
x
2
D
Dlím
x!C1
x
3

1
1
x
3
x

1C
1
x
2
Dlím
x!C1
3

1
1
x
3

1C
1
x
2
D
3
p
1
p
1
D1:
La rectayD1es una asíntota horizontal de la curvayD
3
p
x
3
1
p
x
2
C1
.

20.Calcular: lím
x!1
p
x
2
C1
3
p
x
3
1
.
H
lím
x!1
p
x
2
C1
3
p
x
3
1
Dlím
x!1
˛
x
2

1C
1
x
2

3
˛
x
3

1
1
x
3

Dlím
x!1
p
x
2

1C
1
x
2
3
p
x
3
3

1
1
x
3
Dlím
x!1
jxj

1C
1
x
2
x
3

1
1
x
3
D
Dlím
x!1
x

1C
1
x
2
x
3

1
1
x
3
DDlím
x!1

1C
1
x
2
3

1
1
x
3
D

p
1
3
p
1
D1:
La rectayD1es una asíntota horizontal de la curvayD
p
x
2
C1
3
p
x
3
1
.

21.Calcular: lím
x!C1
xC5
p
x
2
C1
p
2x
2
C1
.

188 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
HTenemos
xC5
p
x
2
C1
p
2x
2
C1
D
xC5
˛
x
2

1C
1
x
2

˛
x
2

2C
1
x
2

D
xC5jxj

1C
1
x
2
jxj

2C
1
x
2
D
D
xC5x

1C
1
x
2
x

2C
1
x
2
D
x

1C5

1C
1
x
2

x

2C
1
x
2
D
1C5

1C
1
x
2

2C
1
x
2
six¤0.
Por lo tanto
lím
x!C1
xC5
p
x
2
C1
p
2x
2
C1
Dlím x!C1
1C5

1C
1
x
2

2C
1
x
2
D
1C5
p
1
p
2
D
6
p
2
D3
p
2:

22.Calcular: lím
x!C1

x
3
2x
2
1

x
2
2xC1

.
HTenemos
x
3
2x
2
1

x
2
2xC1
D
x
3
.2xC1/x
2
.2x
2
1/
.2x
2
1/.2xC1/
D
2x
4
Cx
3
2x
4
Cx
2
4x
3
C2x
2
2x1
D
D
x
3
Cx
2
4x
3
C2x
2
2x1
D
x
3

1C
1
x

x
3

4C
2
x

2
x
2

1
x
3
D
D
1C
1
x
4C
2
x

2
x
2

1
x
3
six6 D0:
Por lo que
lím
x!C1

x
3
2x
2
1

x
2
2xC1

Dlím x!C1
1C
1
x
4C
2
x

2
x
2

1
x
3
D
1C0
4C0
D
1
4
:

23.Calcular: lím
x!C1
.
p
x
2
C5x/.
H
lím
x!C1
.
ˆ
x
2
C5x/Dlím
x!C1
.
p
x
2
C5x/.
p
x
2
C5Cx/
.
p
x
2
C5Cx/
Dlím x!C1
x
2
C5x
2
p
x
2
C5Cx
D
Dlím
x!C1
5
p
x
2
C5Cx
D0
C
:
La rectayD0(el eje de lasx) es asíntota horizontal de la curvayD
p
x
2
C5x.

3.5 Límites en inﬁnito 189
24.Calcular: lím
x!C1
.
p
x
2
4xC3x/.
H
lím
x!C1
.
ˆ
x
2
4xC3x/Dlím
x!C1
.
p
x
2
4xC3x/.
p
x
2
4xC3Cx/
.
p
x
2
4xC3Cx/
D
Dlím
x!C1
x
2
4xC3x
2
p
x
2
4xC3Cx
Dlím x!C1
4xC3
p
x
2
4xC3Cx
Dlím x!C1
x

4C
3
x

˛
x
2

1
4
x
C
3
x
2

Cx
D
Dlím
x!C1
x

4C
3
x

jxj

1
4
x
C
3
x
2
Cx
Dlím
x!C1
x

4C
3
x

x

1
4
x
C
3
x
2
Cx
D
Dlím
x!C1
x

4C
3
x

x

1
4
x
C
3
x
2
C1
Dlím
x!C1
4C
3
x

1
4
x
C
3
x
2
C1
D
4
p
1C1
D
4
2
D2:
La rectayD2es asíntota horizontal de la curvayD
p
x
2
4xC3x.

25.Calcular: lím
x!1
.
p
x
2
C5x/.
H
lím
x!1
.
ˆ
x
2
C5x/Dlím
x!1
˛
x
2

1C
5
x
2

x

Dlím
x!1

jxj
1C
5
x
2
x

D
Dlím
x!1

x

1C
5
x
2
x

Dlím
x!1
x

1C
5
x
2
C1

DC1:

26.Calcular: lím
x!1
.
p
x
2
4xC3x/.
H
lím
x!1
.
ˆ
x
2
4xC3x/Dlím
x!1
˛
x
2

1
4
x
C
3
x
2

x

D
Dlím
x!1

jxj
˛

1
4
x
C
3
x
2

x

D
Dlím
x!1

x
˛

1
4
x
C
3
x
2

x

D
Dlím
x!1
x
˛

1
4
x
C
3
x
2

C1

D
DC1:

190 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
27.Calcular: lím
x!1
.
p
x
2
4xC3Cx/.
H
lím
x!1
.
ˆ
x
2
4xC3Cx/Dlím
x!1
.
p
x
2
4xC3Cx/.
p
x
2
4xC3x/
.
p
x
2
4xC3x/
D
Dlím
x!1
x
2
4xC3x
2
p
x
2
4xC3x
Dlím
x!1
4xC3
˛
x
2

1
4
x
C
3
x
2

x
D
Dlím
x!1
4xC3
p
x
2

1
4
x
C
3
x
2
x
Dlím
x!1
4xC3
jxj

1
4
x
C
3
x
2
x
D
Dlím
x!1
4xC3
x

1
4
x
C
3
x
2
x
Dlím
x!1
x

4
3
x

x

1
4
x
C
3
x
2
C1
D
Dlím
x!1
4
3
x

1
4
x
C
3
x
2
C1
D
4
p
1C1
D
4
2
D2:
La rectayD2es asíntota horizontal de la curvayD
p
x
2
4xC3Cx.

28.Calcular: lím
x!1
.
p
x
2
C5xx/.
HComox!1,entonces:
x!C1,x
2
!C1&
ˆ
x
2
C5xD
˛
x
2

1C
5
x

!C1:
Por lo tanto ˆ
x
2
C5xxD
ˆ
x
2
C5xC.x/!C1:

29.Calcular: lím
x!C1
.
p
4x
2
Cx
p
4x
2
2/.
HNotemos que, cuandox!C1, sucede que
ˆ
4x
2
Cx!C1;
p
4x
2
2!C1&.
ˆ
4x
2
Cx
p
4x
2
2/!
“
.C1 1/
”
:
Por esto procedemos de la siguiente manera:
ˆ
4x
2
Cx
p
4x
2
2D
p
4x
2
Cx
p
4x
2
2
1
p
4x
2
CxC
p
4x
2
2
p
4x
2
CxC
p
4x
2
2
D
D
.
p
4x
2
Cx/
2
.
p
4x
2
2/
2
p
4x
2
CxC
p
4x
2
2
D
.4x
2
Cx/.4x
2
2/
p
4x
2
CxC
p
4x
2
2
D
D
4x
2
Cx4x
2
C2
p
4x
2
CxC
p
4x
2
2
D
xC2
p
4x
2
CxC
p
4x
2
2
)
)lím
x!C1
.
ˆ
4x
2
Cx
p
4x
2
2/Dlím
x!C1
xC2
p
4x
2
CxC
p
4x
2
2
D

3.5 Límites en inﬁnito 191
Dlím
x!C1
x

1C
2
x

˛
x
2

4C
1
x

C
˛
x
2

4
2
x
2

D
Dlím
x!C1
x

1C
2
x

p
x
2

4C
1
x
C
p
x
2

4
2
x
2
D
Dlím
x!C1
x

1C
2
x

jxj

4C
1
x
Cjxj

4
2
x
2
Dlím
x!C1
x

1C
2
x

x

4C
1
x
C

4
2
x
2
D
Dlím
x!C1
1C
2
x

4C
1
x
C

4
2
x
2
D
1
p
4C
p
4
D
1
2C2
D
1
4
:

30.Calcular: lím
x!1
.
3
p
x
3
C2x
2
x/.
HTenemos
lím
x!1
.
3
ˆ
x
3
C2x
2
x/Dlím
x!1
Œ.x
3
C2x
2
/
1
3xD
Dlím
x!1
Œ.x
3
C2x
2
/
1
3x?.x
3
C2x
2
/
2
3C.x
3
C2x
2
/
1
3xCx
2

.x
3
C2x
2
/
2
3C.x
3
C2x
2
/
1
3xCx
2
D
Dlím
x!1
.x
3
C2x
2
/x
3
.x
3
C2x
2
/
2
3Cx.x
3
C2x
2
/
1
3Cx
2
D
Dlím
x!1
2x
2
Œx
3
.1C
2
x
/
2
3CxŒx
3
.1C
2
x
/
1
3Cx
2
D
Dlím
x!1
2x
2
x
2
.1C
2
x
/
2
3Cx
2
.1C
2
x
/
1
3Cx
2
D
Dlím
x!1
2x
2
x
2
Œ.1C
2
x
/
2
3C.1C
2
x
/
1
3C1
D
Dlím
x!1
2 .1C
2
x
/
2
3C.1C
2
x
/
1
3C1
D
2
1C1C1
D
2
3
:

31.Calcular: lím
x!C1
.
p
x
2
Cxx/.
HTransformamos la expresión
ˆ
x
2
CxxD.
ˆ
x
2
Cxx/
p
x
2
CxCx
p
x
2
CxCx
D
D
.x
2
Cx/x
2
p
x
2
CxCx
D
x
p
x
2
CxCx

192 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
y dividiendo entrex>0numerador y denominador:
x
p
x
2
CxCx
D
1

1C
1
x
C1
podemos calcular el límite:
lím
x!C1
.
ˆ
x
2
Cxx/Dlím
x!C1
1

1C
1
x
C1
D
1
2
:

32.Calcular: lím
x!1

p
x
2
C2xC6Cx

.
HRacionalizando,
ˆ
x
2
C2xC6CxD
x
2
C2xC6x
2
p
x
2
C2xC6x
D
2xC6
˛
x
2

1C
2
x
C
6
x
2

x
D
D
2xC6
jxj

1C
2
x
C
6
x
2
x
D
2xC6
x

1C
2
x
C
6
x
2
x
six<0, como va a ser el caso, entoncesjxjDx
2xC6
x

1C
2
x
C
6
x
2
C1
D
2
6
x

1C
2
x
C
6
x
2
C1
por lo que
lím
x!1
ˆ
x
2
C2xC6Cx

Dlím
x!1
2
6
x

1C
2
x
C
6
x
2
C1
D
20
1C1
D
2
2
D1:

33.Calcular: lím
x!1
.
p
x
3
Cx
p
x
3
C1/.
HNo tiene sentido, pues
D
p
x
3
Cx
Dfx2R

x
3
Cx0g
ytambién
x
3
CxDx.x
2
C1/0,x0:
Luego, no podemos tomar valores dexnegativoscomoeselcasosix!1.
Ocurre algo análogo con la función
p
x
3
C1, pues su dominio son los realesxtales quex
3
C10,es
decir, aquellos quex
3
1;luego,x1,porloquexno puede tomar valores menores que1.

3.5 Límites en inﬁnito 193
34.Calcular: lím
x!C1
.
p
x
2
2xC5x/.
HRacionalizando:
ˆ
x
2
2xC5xD
x
2
2xC5x
2
p
x
2
2xC5Cx
D
2xC5
p
x
2
2xC5Cx
:
Multiplicando numerador y denominador por
1
x
D
1
jxj
D
1
p
x
2
,six>0, obtenemos
ˆ
x
2
2xC5xD
2C
5
x

1
2
x
C
5
x
2
C1
,porloque
lím
x!C1
.
ˆ
x
2
2xC5x/Dlím
x!1
2C
5
x

1
2
x
C
5
x
2
C1
D
2
1C1
D
2
2
D1:

35.Calcular: lím
x!C1
.2x
p
4x
2
C5x3/.
HVem o s que
lím
x!C1
.2x
ˆ
4x
2
C5x3/Dlím
x!C1

.2x
ˆ
4x
2
C5x3/
2xC
p
4x
2
C5x3
2xC
p
4x
2
C5x3

D
Dlím
x!C1
.2x/
2
.
p
4x
2
C5x3/
2
2xC
p
4x
2
C5x3
D
Dlím
x!C1
4x
2
.4x
2
C5x3/
2xC
p
4x
2
C5x3
Dlím
x!C1
4x
2
4x
2
5xC3
2xC
p
4x
2
C5x3
D
Dlím
x!C1
5xC3
2xC
p
4x
2
C5x3
Dlím x!C1
5xC3
2xC
˛
x
2

4C
5
x

3
x
2

D
Dlím
x!C1
5xC3
2xC
p
x
2

4C
5
x

3
x
2
Dlím
x!C1
5xC3
2xCjxj

4C
5
x

3
x
2
D
Dlím
x!C1
5xC3
2xCx

4C
5
x

3
x
2
Dlím
x!C1
x

5C
3
x

x

2C

4C
5
x

3
x
2
D
Dlím
x!C1
5C
3
x
2C

4C
5
x

3
x
2
D
5
2C
p
4
D
5
2C2
D
5
4
:

194 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Ejercicios 3.5.2Miscelánea de problemas sobre límites.
Un límite muy especial para una funciónfes lím
h!0
f.xCh/f.x/
h
. Calcular este límite para:
1.f.x/Dcconcconstante.
Hlím
h!0
f.xCh/f.x/
h
Dlím h!0
cc
h
Dlímh!0
0
h
Dlímh!0
0D0.

2.f.x/DaxCbcona,bconstantes.
H
lím
h!0
f.xCh/f.x/
h
Dlím h!0
Œa.xCh/CbŒaxCb
h
DDlím h!0
axCahCbaxb
h
D
Dlím
h!0
ah
h
Dlímh!0
aDa:

3.f.x/Dax
2
CbxCccona,b,cconstantes.
H
lím
h!0
f.xCh/f.x/
h
Dlím h!0
Œa.xCh/
2
Cb.xCh/Cc.ax
2
CbxCc/
h
D
Dlím
h!0
a.x
2
C2xhCh
2
/CbxCbhCcax
2
bxc
h
D
Dlím
h!0
ax
2
C2axhCah
2
Cbhax
2h
D
Dlím
h!0
h.2axCahCb/
h
Dlím h!0
.2axCahCb/D2axCb:

4.f.x/Dax
3
conaconstante.
H
lím
h!0
f.xCh/f.x/
h
Dlím h!0
a.xCh/
3
ax
3
h
D
Dlím
h!0
a.x
3
C3x
2
hC3xh
2
Ch
3
/ax
3h
D
Dlím
h!0
ax
3
C3ax
2
hC3axh
2
Cah
3
ax
3h
D
Dlím
h!0
h.3ax
2
C3axhCah
2
/
h
D
Dlím
h!0
.3ax
2
C3axhCah
2
/D3ax
2
:

5.f.x/D
caxCb
cona,b,cconstantes.

3.5 Límites en inﬁnito 195
H
lím
h!0
f.xCh/f.x/
h
Dlím h!0
1
h

c
a.xCh/Cb

c
axCb

D
Dlím
h!0
1
h

c.axCb/c.axCahCb/
.axCahCb/.axCb/

D
Dlím
h!0
c.axCbaxahb/
h.axCahCb/.axCb/
D
Dlím
h!0
cah
h.axCahCb/.axCb/
D
Dlím
h!0
ca
.axCahCb/.axCb/
D
D
ca
.axCb/.axCb/
D
ac
.axCb/
2
:

6.f.x/D
p
x.
H
lím
h!0
f.xCh/f.x/
h
Dlím h!0
p
xCh
p
x
h
D
Dlím
h!0
p
xCh
p
x
h

p
xChC
p
x
p
xChC
p
x

D
Dlím
h!0
.
p
xCh/
2
.
p
x/
2
h.
p
xChC
p
x/
Dlím h!0
xChx
h.
p
xChC
p
x/
D
Dlím
h!0
h
h.
p
xChC
p
x/
Dlímh!0
1
p
xChC
p
x
D
D
1
p
xC0C
p
x
D
1
2
p
x
six>0:
ParaxD0no tiene sentido calcular lím
h!0

f.xCh/f.x/
h
Dlím h!0

p
h
h
, pues este último cociente sólo
está deﬁnido parah>0.

7.La funciónftiene la gráﬁca siguiente:
x
y
1
1
2
3
2
112

yDf.x/
a.Determine:

196 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
i.lím
x!1

f.x/;
ii.lím
x!1
C
f.x/;
iii.lím
x!1

f.x/;
iv.lím
x!1
C
f.x/;
v.lím
x!2

f.x/;
vi.lím
x!2
C
f.x/;
vii.lím
x!1
f.x/;
viii.lím
x!C1
f.x/.
b.Calculef.1/,f.2/ytambiénf.1/.
c.¿Existen los límites lím
x!1
f.x/;lím
x!1
f.x/;lím
x!2
f.x/?
H
a. i.lím
x!1

f.x/D1;
ii.lím
x!1
C
f.x/D1;
iii.lím
x!1

f.x/D1;
iv.lím
x!1
C
f.x/D1;
v.lím
x!2

f.x/D
3
2
;
vi.lím
x!2
C
f.x/D
3
2
;
vii.lím
x!1
f.x/D1;
viii.lím
x!C1
f.x/D
1
2
.
b.f.1/D0; f .2/D
3
2
;f.1/D
1
2
:
c.lím
x!1
f.x/no existe pues no existe lím
x!1
C
f.x/;
lím
x!1
f.x/D1pues lím
x!1

f.x/Dlím
x!1
C
f.x/D1;ellímiteexiste.
lím
x!2
f.x/D
3
2
pues límx!2

f.x/Dlím
x!2
C
f.x/D
3
2
,ellímiteexiste.

8.Considere la función:h.x/D
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x1
p
x
2
2xx
six1I
p
xC52
xC1
six>1:
a.Calcule el lím
x!1
h.x/.
b.¿Existe lím
x!1
h.x/?Justiﬁque su respuesta.
H
a.Cuandox!1, podemos pensar quex<0;entonces:
h.x/D
x1
p
x
2
2xx
:
También
1
x
D
1
jxj
; en este caso y multiplicando el numerador por
1
x
y el denominador por
1
jxj
D
1
p
x
2
, tenemos
h.x/D
1
1
x
.
p
x
2
2xx/
p
x
2
D
1
1
x

x
2
2x
x
2
C
x
jxj
D
1
1
x

1
2
x
C
x
x
D
1
1
x

1
2
x
1

3.5 Límites en inﬁnito 197
por lo que
lím
x!1
h.x/Dlím
x!1
1
1
x

1
2
x
1
D
1
2
D
1
2
:
b.Calculemos los límites laterales deh.x/enxD1.
Racionalizando el numerador (multiplicando por el binomio conjugado del numerador ambas
partes de la fracción), tenemos parax6 D1
p
xC52
xC1
D
.
p
xC52/.
p
xC5C2/
.xC1/.
p
xC5C2/
D
D
xC54
.xC1/.
p
xC5C2/
D
xC1
.xC1/.
p
xC5C2/
D
1
p
xC5C2
:
Entonces,
lím
x!1
C
p
xC52
xC1
Dlím x!1
1
p
xC5C2
D
1
p
1C5C2
D
1
p
4C2
D
1
2C2
D
1
4
ytambién
lím
x!1

h.x/Dlím
x!1

x1
p
x
2
2xx
D
11
ˆ
.1/
2
2.1/.1/
D
2
p
1C2C1
D
2
p
3C1
;
por lo que no existe lím
x!1
h.x/pues lím
x!1
C
h.x/¤lím
x!1

h.x/.

9.Graﬁque una función que cumpla con los siguientes requisitos:
a.f.0/D0I
b.f.5/D1I
c.lím
x!2

f.x/D3I
d.lím
x!2
C
f.x/DC1I
e.lím
x!C1
f.x/D3I
f.lím
x!1
f.x/D3I
g.lím
x!5
f.x/D4:
HUna gráﬁca de la funciónfpodría ser
x
y
1
3
4
3
15 2

yDf.x/

198 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
10.Trace la gráﬁca de una funciónfque satisfaga las siguientes condiciones:
a.lím
x!4
f.x/D0I
b.lím
x!2

f.x/DC1I
c.lím
x!2
C
f.x/D0I
d.lím
x!0
f.x/D3I
e.lím
x!1

f.x/D1I
f.lím
x!1
C
f.x/D2I
g.lím
x!3

f.x/D4I
h.lím
x!3
C
f.x/D1I
i.lím
x!5
f.x/D0I
j.lím
x!1
f.x/D1I
k.lím
x!C1
f.x/D5:
HUna gráﬁcaposibledelafunciónfcon estas condiciones, es:
x
y
1
2
4
5
1
3
2
4
13 5

yDf.x/

11.La funciónftiene la gráﬁca siguiente:
x
y
1
2
2
213 2

yDf.x/
a.De la gráﬁca determine:
i.lím
x!2

f.x/;
ii.lím
x!2
C
f.x/;
iii.lím
x!2

f.x/;
iv.lím
x!2
C
f.x/;
v.lím
x!1

f.x/;
vi.lím
x!1
C
f.x/;
vii.lím
x!3

f.x/;
viii.lím
x!3
C
f.x/;
ix.lím
x!1
f.x/;
x.lím
x!1
f.x/.

3.5 Límites en inﬁnito 199
b.Calculef.2/,f.1/yf.2/.
c.¿Existen o no los siguientes límites?: lím
x!2
f.x/;lím
x!1
f.x/;lím
x!2
f.x/;lím
x!3
f.x/.
H
a.
i.lím
x!2

f.x/D1;
ii.lím
x!2
C
f.x/D1;
iii.lím
x!2

f.x/D1;
iv.lím
x!2
C
f.x/D0;
v.lím
x!1

f.x/D
1
2
;
vi.lím
x!1
C
f.x/D
1
2
;
vii.lím
x!3

f.x/D1;
viii.lím
x!3
C
f.x/D2;
ix.lím
x!1
f.x/D
1
2
.
x.lím
x!1
f.x/D2.
b.f.2/no existe;f.1/no existe yf.2/D0:
c.Hallamos que
lím
x!2
f.x/no existe; lím
x!1
f.x/D
1
2
; el límite existe; límx!2
f.x/no existe; lím
x!3
f.x/no existe.

12.Considere la funcióng.x/D
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
p
x
2
1
p
x
2
3xsix8I
.xC3/jxC2j
xC2
si8<x<2I
p
9x
2
six2:
a.Calcule lím
x!1
g.x/.
b.¿Existe el lím
x!2
g.x/?Justiﬁque su respuesta.
H
a.Tenemos
lím
x!1
g.x/Dlím
x!1
.
p
x
2
1
p
x
2
3x/D
Dlím
x!1
p
x
2
1
p
x
2
3x
1

p
x
2
1C
p
x
2
3x
p
x
2
1C
p
x
2
3x

D
Dlím
x!1
.x
2
1/.x
2
3x/
p
x
2
1C
p
x
2
3x
Dlím
x!1
3x1
p
x
2
1C
p
x
2
3x
D
Dlím
x!1
x

3
1
x

˛
x
2

1
1
x
2

C
˛
x
2

1
3
x

Dlím
x!1
x

3
1
x

p
x
2

1
1
x
2
C
p
x
2

1
3
x
D

200 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Dlím
x!1
x

3
1
x

jxj

1
1
x
2
Cjxj

1
3
x
Dlím
x!1
x

3
1
x

jxj

1
1
x
2
C

1
3
x
D
Dlím
x!1
x

3
1
x

x

1
1
x
2
C

1
3
x
Dlím
x!1
3
1
x

1
1
x
2
C

1
3
x
D
D
3
1C1
D
3
2
:
b.Veamos los límites laterales lím
x!2

g.x/&lím
x!2
C
g.x/.
Cuandox!2

,
x<2)xC2<0)jxC2jD.xC2/)
)
jxC2j
xC2
D
.xC2/
xC2
D1)
)lím
x!2

g.x/Dlím
x!2

.xC3/jxC2j
xC2
D
Dlím
x!2
Œ.xC3/D.2C3/D1:
Cuandox!2
C
,
x>2)g.x/D
p
9x
2
)
lím
x!2
C
g.x/Dlím
x!2
p
9x
2
D
ˆ
9.2/
2
D
p
94D
p
5:
Entonces,
lím
x!2

g.x/6 Dlím
x!2
C
g.x/ ;
por lo cual podemos aﬁrmar que lím
x!2
g.x/no existe.

13.De la funciónf.x/D
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
p
5x
2
C3xC1
p
2x
2
3
six4I
16x
25
p
x
2
C9
si4<x<1;
determinar los límites laterales en4yellímiteen1.
HTenemos parax¤0
f.x/D
p
5x
2
C3xC1
p
2x
2
3
D

x
2
.5C
3
x
C
1
x
2
/

x
2
.2
3
x
2
/
D
jxj

5C
3
x
C
1
x
2
jxj

2
3
x
2
D
D

5C
3
x
C
1
x
2

2
3
x
2
:

3.5 Límites en inﬁnito 201
Por lo tanto
lím
x!1
f.x/Dlím
x!1

5C
3
x
C
1
x
2

2
3
x
2
D
p
5
p
2
D

5
2
1:581 :
Cuandox!4

, el límite lo calculamos por evaluación:
lím
x!4

f.x/D
ˆ
5.4/
2
C3.4/C1
ˆ
2.4/
2
3
D
p
69
p
29
D

69
29
1:5425 :
Cuandox!4
C
,laxcumple4<x<1. Se tiene ahora:
f.x/D
16x
2
5
p
x
2
C9
D
16x
2
5
p
x
2
C9
5C
p
x
2
C9
5C
p
x
2
C9
D
.16x
2
/.5C
p
x
2
C9/
25.x
2
C9/
D
D
.16x
2
/.5C
p
x
2
C9/
16x
2
D5C
ˆ
x
2
C9puesx¤˙4.)16x
2
¤0:
Por lo tanto
lím
x!4
C
f.x/Dlím
x!4
C
.5C
ˆ
x
2
C9/D5C
p
25D10 :

14.Para la funciónfdeﬁnida porf.x/D
4x
2
p
x
2
4
, determine:
a.Dominio y raíces.
b.Asíntotas verticales y horizontales.
c.Bosquejo gráﬁco.
H
a.Dominio:
D
fDfx2R

x
2
4>0gD.1;2/[.2;C1/;
puesx
2
4>0)x
2
>4)jxj>2)x>2obienx<2
Otra forma de encontrar el dominio es:
x
2
4D.xC2/.x2/ > 0,
xC2>0 &x2>0 obienxC2<0 &x2<0I
x>2 &x>2 obienx<2 &x<2I
x>2 obienx<2I
x2.2;C1/ obienx2.1;2/ :
La raíz seríaxD0,pero,como06 2D
f,entoncesfno tiene raíces.
b.lím
x!2
C
4x
2
p
x
2
4
DC1 ) xD2es una asíntota vertical.
Comofes par, entoncesxD2también es asíntota vertical & lím
x!2

f.x/DC1.
lím
x!˙1
4x
2
p
x
2
4
Dlím
x!˙1
4
1
x
2
p
x
2
4
D
Dlím
x!˙1
4
p
x
2
4
p
x
4
Dlím
x!˙1
4
"
1
x
2
4
x
4
DC1;
por lo tantofno tiene asíntotas horizontales.

202 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
c.La gráﬁca de la funciónfes:
x
y
22
yDf.x/

15.Dar un bosquejo de la gráﬁca de una funciónfque cumpla los requisitos siguientes:
Es continua en los intervalos.1;2/,Œ2;1/,?1; 3yen.3;C1/; y además:
a.lím
x!1
f.x/D3;
b.lím
x!4
f.x/D0;
c.lím
x!2

f.x/DC1;
d.lím
x!2
C
f.x/D0;
e.lím
x!0
f.x/D3;
f.lím
x!1

f.x/D1;
g.lím
x!1
C
f.x/D2;
h.lím
x!3

f.x/D4;
i.lím
x!3
C
f.x/D1;
j.lím
x!5
f.x/D0;
k.lím
x!C1
f.x/D2.
HUn bosquejo de una gráﬁca de la funciónf.x/que cumple con los requisitos pedidos, es: x
y
4
2
1
3
4
2
13
5

yDf.x/

3.5 Límites en inﬁnito 203
16.Dibuje una gráﬁca de una funciónfque satisfaga todas las condiciones siguientes:
a.lím
x!0
C
f.x/D2;
b.lím
x!0

f.x/D1;
c.f.0/D1;
d.lím
x!2

f.x/D1;
e.lím
x!2
C
f.x/D1;
f.lím
x!C1
f.x/D3;
g.lím
x!1
f.x/D4.
HUna posible gráﬁca es:
x
y
3
1
1
2
2
yD4
yD3
xD2

yDf.x/

17.Bosquejar la gráﬁca de una funciónfque cumpla las condiciones siguientes:
a.f.1/D0;
b.f

3
2

D3;
c.f.0/D
1
2
;
d.lím
x!2

f.x/D1;
e.lím
x!2
C
f.x/DC1;
f.lím
x!0
f.x/D2;
g.lím
x!3

f.x/D1;
h.lím
x!3
C
f.x/D1;
i.lím
x!C1
f.x/D2;
j.lím
x!1
f.x/D1.
HUna posible gráﬁca de la funciónfcon esas condiciones es:
x
y
2
1
1
2
3
2
1
3

yDf.x/

204 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
18.Bosqueje la gráﬁca de una función que cumpla las siguiente condiciones:
a.lím
x!1
f.x/D3;
b.lím
x!3

f.x/D5;
c.lím
x!3
C
f.x/D4;
d.f.0/D0;
e.lím
x!0
f.x/D1;
f.lím
x!1

f.x/DC1;
g.lím
x!1
C
f.x/D1;
h.lím
x!C1
f.x/D1.
HUna posible gráﬁca de una funciónfcon las condiciones enunciadas es:
x
y
5
4
3
1
13
1

yDf.x/

19.Considere las funcionesf.x/D
x3
x1
& g.x/D
x
2
9
x
2
x2
con sus dominios naturales.
a.Graﬁque las funcionesf&g.
b.Calcule lím
x!1
C
.gıf /.x/.
c.Calcule lím
x!C1
.fıg/.x/.
H
a.Para tener la gráﬁca defefectuamos la división
f.x/D
x3
x1
D
x12
x1
D
x1
x1

2
x1
D1
2
x1
:
Esto nos permite construir la curvayDf.x/por etapas (mediante alargamientos, traslaciones y
reﬂexiones), partiendo de la curvayD
1
x
.
AyD
1
x
se le multiplica por2yseobtieneyD
2
x
;ayD
2
x
se le traslada una unidad a la
derecha y se obtieneyD
2
x1
; esta última función se reﬂeja en el ejexpara obteneryD
2
x1
;
ﬁnalmente trasladamos una unidad hacia arriba ayD
2
x1
para obteneryD
2
x1
C1que
esyD1
2
x1
Df.x/.
La funciónftiene la gráﬁca:

3.5 Límites en inﬁnito 205
x
y
1
3
13
yDf.x/
Para obtener la gráﬁca degdebemos realizar un análisis de la función.
El dominio: comog.x/D
x
2
9
x
2
x2
D
.xC3/.x3/
.xC1/.x2/
,vemosque
D
gDR

x

.xC1/.x2/D0

DRf1; 2g:
Raíces:g.x/D0,.xC3/.x3/D0,xD3obienxD3.
Six!1

,entonces.xC1/!0con valores negativos ya quex<1)xC1<0.
Además cuandox!1

.xC3/!2>0;.x3/!4<0&.x2/!3<0:
Entonces
.xC3/.x3/
.xC1/.x2/
<0,porlocual
.xC3/.x3/
.xC1/.x2/
!1; esto es, lím x!1

g.x/D1:
Pero six!1
C
,entonces.xC1/!0con valores positivos ya quex>1)xC1>0.
Es decir,
.xC3/.x3/
.xC1/.x2/
>0)lím x!1
C
g.x/DC1:
De manera análoga se obtiene que
lím
x!2

g.x/DC1 &lím
x!2
C
g.x/D1:
De lo anterior se puede asegurar que las rectasxD1&xD2son asíntotas verticales deg.
En cuanto a las asíntotas horizontales se tiene que:
lím
x!C1
g.x/Dlím
x!C1
x
2
9
x
2
x2
Dlím x!C1
x
2

1
9
x
2

x
2

1
1
x

2
x
2
D
Dlím
x!C1
1
9
x
2
1
1
x

2
x
2
D
1
1
D1I
y de la misma manera encontramos que
lím
x!1
g.x/D1:
Por lo tanto la rectayD1es la única asíntota horizontal deg.
Unposiblebosquejodelagráﬁca deg:

206 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
9
2
1
13 23
yDg.x/
b.Para calcular lím
x!1
C
.gıf /.x/,observamos
.gıf /.x/Dg?f .x/Dg

x3
x1

D
.x3/
2
.x1/
2
9
.x3/
2
.x1/
2

x3
x1
2
D
D
.x3/
2
9.x1/
2
.x1/
2
.x3/
2
.x3/.x1/2.x1/
2
.x2/
2
D
x
2
6xC99x
2
C18x9
x
2
6xC9x
2
C4x32x
2
C4x2
D
D
8x
2
C12x
2x
2
C2xC4
:
Entonces:
lím
x!1
C
g?f .x/Dlím
x!1
C
8x
2
C12x
2x
2
C2xC4
D1:
c.Para calcular lím
x!C1
.fıg/.x/,observamos
.fıg/.x/Df?g.x/Df

x
2
9
x
2
x2

D
x
2
9
x
2
x2
3
x
2
9
x
2
x2
1
D
x
2
93x
2
C3xC6
x
2
x2
x
2
9x
2
CxC2
x
2
x2
D
D
2x
2
C3x3 x7
six?1; 2 :
Entonces:
lím
x!C1
2x
2
C3x3
x7
Dlím x!C1
x
2

2C
3
x

3
x
2

x

1
7
x
Dlím
x!C1
x

2C
3
x

3
x
2

1
7
x
D1:

CAPÍTULO
4
Continuidad
4.1 Continuidad en un punto
Ejercicios 4.1.1
1.Considere la función
g.x/D
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
3x
2
a six<1I
b sixD1I
p
xC32
x
2
1
six>1:
Determinar los valores dea,bpara que la función sea continua enxD1.
HPara queg.x/seacontinuaenelpuntoxD1, se tiene que cumplir que
lím
x!1
g.x/Dg.1/:
Es decir, que
lím
x!1
g.x/Db:
Y por lo tanto, que
lím
x!1

g.x/Dbyque lím
x!1
C
g.x/Db:
Calculamos:
lím
x!1

g.x/Dlím
x!1

.3x
2
a/D3a:
Calculamos también
lím
x!1
C
g.x/Dlím
x!1
C
p
xC32
x
2
1
Dlím x!1
C
.
p
xC32/.
p
xC3C2/
.x
2
1/.
p
xC3C2/
:
207

208 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Observe que aquí hemos racionalizado el numerador multiplicándolo, al igual que el denominador,
por su binomio conjugado
p
xC3C2;entonces:
lím
x!1
C
g.x/Dlím
x!1
C
xC34
.x1/.xC1/.
p
xC3C2/
Dlím x!1
C
.x1/1
.x1/.xC1/.
p
xC3C2/
D
Dlím
x!1
C
1
.xC1/.
p
xC3C2/
D
1
.1C1/.
p
1C3C2/
D
1
2.
p
4C2/
D
1
2.4/
D
1
8
:
Así,
lím
x!1
C
g.x/Db)bD
1
8
:
También,
lím
x!1

g.x/Db)3aDb)aD3bD3
1
8
D
23
8
:

2.Seaf:R!Runa función continua en el punto4.Sedeﬁneg:R!Rporg.x/Df.2x10/C
x
2
2
xC3
.¿Esgcontinua enaD3?Digaporqué.
HComo
g.3/Df.610/C
3
2
2
3C3
Df.4/C
7
6
yademáscomo
lím
x!3
g.x/Dlím
x!3

f.2x10/C
x
2
2
xC3

Dlím x!3
f.2x10/Clím
x!3
x
2
2
xC3
D
Df.610/C
3
2
2 3C3
Df.4/C
7
6
Dg.3/;
efectivamente,ges continua en3.
Sin necesidad de cálculo alguno observamos que la función
x
2
2
xC3
es continua en su dominio, que es
el conjunto de todos los reales menos3, por lo que es continua enxD3.
La función2x10es continua en su dominio, que son todos los reales y enxD3vale
2.3/10D4precisamente donde la funciónfes continua; por lo tanto la composición de funciones
f.2x10/es continua enxD3.
Como conclusióng.x/es continua enxD3por ser suma de funciones continuas enxD3.

3.Dada la siguiente función
f.x/D
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x
3
C7six<2I
ax
2
3si2x<2I
b sixD2I
xC7si2<x:
a.Determinar los valores de las constantesa,bque hacen defuna función continua enxD2.
b.Reescriba la funciónfcon los valores calculados dea,b. Estudie la continuidad o discon-
tinuidad defenxD2.

4.1 Continuidad en un punto 209
H
a.Primero aseguramos la existencia de lím
x!2
f.x/:
lím
x!2

f.x/Dlím
x!2
.ax
2
3/Da.2/
2
3D4a3I
lím
x!2
C
f.x/Dlím
x!2
.xC7/D2C7D5:
Entonces lím
x!2
f.x/existe si
lím
x!2

f.x/Dlím
x!2
C
f.x/,4a3D5,4aD8:
De dondeaD2.
Con el valor deaD2se asegura que el lím
x!2
f.x/D5.
Ahora bien comof.2/Dby, como se quiere la continuidad defenxD2, deberá cumplirse
que
lím
x!2
f.x/Df.2/:
Esto es, quebD5.
b.La función resultó ser
f.x/D
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x
3
C7six<2I
2x
2
3si2x<2I
5 sixD2I
xC7si2<x:
Veamos ahora sifes continua enxD2.
f.2/D2.2/
2
3D83D5I
lím
x!2

f.x/Dlím
x!2

.x
3
C7/D.2/
3
C7D8C7D1:
Además lím
x!2
C
f.x/Dlím
x!2
C
.2x
2
3/D2.2/
2
3D83D5)fno es continua enxD2:
Ya que lím
x!2

f.x/D1yque lím
x!2
C
f.x/D5,entonces lím
x!2

f.x/6 Dlím
x!2
C
f.x/,locual
implica que lím
x!2
f.x/no existe.
EnxD2, la función tiene una discontinuidad (esencial de salto).

4.Considere la función
g.x/D
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x
4jxj
six<0I
1
4
sixD0I
p
4Cx2
x
six>0;
y estudie su continuidad enxD0.
HParax<0se tiene quejxjDx,porloque
g.x/D
x
4jxj
D
x
4.x/
D
1
4
que es una función constante.

210 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Entonces,
lím
x!0

g.x/Dlím
x!0

1
4

D
1
4
:
La funciónges discontinua enxD0.Bastaverque
g.0/D
1
4
yque
lím
x!0

g.x/D
1
4
¤
1
4
;
es decir,
lím
x!0

g.x/6 Dg.0/ :
Aún más
lím
x!0
C
g.x/Dlím
x!0
C
p
4Cx2
x
Dlím x!0
C
4Cx4
x.
p
4CxC2/
Dlím x!0
C
1
p
4CxC2
D
1
4
:
Por lo que, lím
x!0

g.x/¤lím
x!0
C
g.x/)lím
x!0
g.x/no existe.

5.Determinar los valores dea,bpara que la siguiente función sea continua enxD0yenxD3.
f.x/D
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
2xCa six<0I
4
p
4xC4
x
2
2x3
six0&x¤3I
b sixD3:
HParaquelafunciónseacontinuaenxD0, se debe cumplir lím
x!0
f.x/Df.0/.Porlotantotambién
se debe cumplir lím
x!0

f.x/Dlím
x!0
C
f.x/. Calculamos ambos límites laterales:
lím
x!0

f.x/Dlím
x!0

.2xCa/DaI
lím
x!0
C
f.x/Dlím
x!0
C
4
p
4xC4
x
2
2x3
D
4
p
4
3
D
2
3
Df.0/:
Igualando ambos límites:
aD
2
3
:
Ahora enxD3se debe cumplir que lím
x!3
f.x/Df.3/.
lím
x!3
f.x/Dlím
x!3

4
p
4xC4
x
2
2x3

D
4
p
16
963
D
“

0
0

”
:
Tenemos una indeterminación:
f.x/D
4
p
4xC4
x
2
2x3
D
4
p
4xC4
x
2
2x3

4C
p
4xC4
4C
p
4xC4
D
D
16.4xC4/
.x
2
2x3/.4C
p
4xC4/
D
124x
.x
2
2x3/.4C
p
4xC4/
D
D
4.x3/
.x3/.xC1/.4C
p
4xC4/
D
4
.xC1/.4C
p
4xC4/
six¤3.

4.1 Continuidad en un punto 211
Por lo cual
lím
x!3
f.x/Dlím
x!3
4
.xC1/.4C
p
4xC4/
D
4
48
D
1
8
:
Igualando,bDf.3/D
1
8
.
Por lo tanto:aD
2
3
&bD
1
8
.
6.Calcule los valores dea&bde modo que la función
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
xC1 six<1I
ax
2
Cbsi1x<2I
3x six2;
sea continua enxD1yenxD2.
HPara quefseacontinuaenxD1yenxD2se tiene que cumplir que
lím
x!1

f.x/Df.1/)lím
x!1
.xC1/Da.1/
2
Cb)1C1DaCb
yque
lím
x!2

f.x/Df.2/)lím
x!2
.ax
2
Cb/D3.2/)a.2/
2
CbD6:
De aquí tenemos que
2DaCb, de la primera condición,
yque
4aCbD6, de la segunda condición:
Esto es, tenemos que resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para hallara&b.

aCbD2I
4aCbD6:
Restando la primera a la segunda tenemos que3aD4, es decir que,aD
4
3
. De la primera ecuación,
bD2a,porloquebD2
4
3
D
64
3
D
2
3
.

7.Calcule los valores dea&bque hacen continua a la siguiente función enxD1.
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
3x2six<1I
a sixD1I
bx
2
C1si1<x<2:
HParaquelafunciónseacontinuaenxD1,sedebecumplir:
lím
x!1
f.x/Df.1/:
Ydeaquíque:
lím
x!1

f.x/Dlím
x!1
C
f.x/Df.1/:

212 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Pero como
lím
x!1

f.x/D32D5y
lím
x!1
C
f.x/DbC1;
para que exista límite enxD1:
5DbC1)bD6;
y para que la función sea continua enxD1:
lím
x!1
f.x/Df.1/)5Da:
Por lo tanto,aD5.
8.Considere la funcióng.x/D.x1/f .x/con0x2,dondefes la función máximo entero. Decida,
señalando claramente sus argumentos, sigescontinuaonoenxD1.
HPor un lado tenemosg.1/D.11/f .1/D0ytambién
lím
x!1

g.x/Dlím
x!1

Œ.x1/f .x/Dlím
x!1

.x1/lím
x!1

f.x/D00D0yademás
lím
x!1
C
g.x/Dlím
x!1
C
.x1/lím
x!1
C
f.x/D01D0:
Luego, lím
x!1
g.x/D0Dg.1/por lo queg.x/es continua enxD1.
9.Determinar los valores de las constantesa,b&cque hacen continua en todo su dominio la función
f.x/D
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
2xC1six<2I
ax
2
Cbsi2x<1I
c sixD1I
1x six>1:
HLa funciónfes continua en.1;2/,Œ2;1/&.1;C1/, pues es polinomial en tales intervalos,
pero tenemos que hacerla continua enxD2&xD1.Sabemosque
lím
x!2

f.x/D3&f.2/D4aCbDlím
x!2
C
f.x/:
Por lo cual, para quefsea continua enxD2, se tiene que cumplir que4aCbD3.
Así mismo
lím
x!1

f.x/DaCbIf.1/Dc&lím
x!1
C
f.x/D0:
Por lo quecD0&aCbD0;entonces,paraquefseacontinuaenR, se tienen que cumplir ambas
ecuaciones
4aCbD3I
aCbD0:
Para resolver este sistema restemos de la primera ecuación la segunda; tendremos3aD3)aD1;
sustituyendo por este valor en la segunda resulta quebD1.
10.Dada la funciónf.x/D
3x
3
C14x
2
27xC4
3x4
, encuentre el punto donde esa función no es continua.
¿Cómo deﬁniría la función en ese punto para que ésta resultase continua?
HComo la funciónfes racional, es continua en todos los reales menos en las raíces del denomi-
nador; y es continua enRcon excepción dexcuando3x4D0,3xD4,xD
4
3
.
Notamos luego quexD
4
3
es también raíz del numerador y por lo tanto el numerador tiene que ser
divisible entre3x4:

4.1 Continuidad en un punto 213
x
2
C6x1
3x4j3x
3
C14x
2
27xC4
3x
3
C4x
2
18x
2
27xC4
18x
2
C24x3xC4
C3x4
0
por lo que,3x
3
C14x
2
27xC4D.3x4/.x
2
C6x1/&
f.x/D
.3x4/.x
2
C6x1/
3x4
Dx
2
C6x1six6 D
4
3
:
Entonces la funciónfresultaría continua enxD
4
3
,deﬁniendo
f

4
3

def
Dlím
x!
4
3
f.x/Dlím
x!
4
3
.x
2
C6x1/D

4
3

2
C

6
4
3

1D
16
9
C81D
16C63
9
D
79
9
.
11.Determine los valores de las constantesc&kque hacen continua la función enxD1yenxD4.
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x six1I
cxCksi1<x<4I
2x si4x:
Dar un bosquejo de la gráﬁca de esa función con los valores encontrados.
HTenemos lím
x!1

f.x/D1Df.1/&lím
x!1
C
f.x/DcCk;luego,cCkD1si queremos quefsea
continua enxD1.
Análogamente lím
x!4

f.x/D4cCk&f.4/D8Dlím
x!4
C
f.x/,porloque4cCkD8para quefsea
continua enxD4.
Para quefseacontinuaenxD1yenxD4, necesitamos que

cCkD1I
4cCkD8:
Resolvamos este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, restándole a la segunda la primera:
3cD9)cD
9
3
D3y sustituyendo por este valor en la primera:3CkD1)kD4.
La función resultante es;
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x six1I
3xC4si1<x<4I
2x six4:
Su gráﬁca:

214 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
1
8
10
1
45
yDf.x/
Gráﬁcamente lo que hicimos fue trazar la rectayD43xque pasa por los puntos.1; 1/y.4;8/así
como calcularf.0/D0&f.5/D10.
12.Sealafunción:
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x
2
C4xC4six1I
2axCb si1<x2I
x
2
4xC4si2<x:
a.Encontrar los valores dea,bpara que la función sea continua enxD1yenxD2.
b.Graﬁcar la función con los valores encontrados.
H
a.Ya que tenemos que hacer continua afenxD1yenxD2,observemosque
lím
x!1

f.x/Dlím
x!1

.x
2
C4xC4/D1Df.1/
ytambiénque
lím
x!1
C
f.x/Dlím
x!1
C
.2axCb/D2aCb:
Por lo que1D2aCbpara quefsea continua enxD1.
Análogamente: lím
x!2

f.x/D4aCbDf.2/&lím
x!2
C
f.x/Dlím
x!2
C
.x
2
4xC4/D0:
Entonces4aCbD0para quefsea continua enxD2.
Para quefsea continua en dichos puntos, se tienen que cumplir simultáneamente

2aCbD1I
4aCbD0:
Resolvamos el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitasa,brestándolealasegunda
la primera:6aD1)aD
1
6
.
Sustituyendo por este valor en la primera:
2
6
CbD1)bD1
1
3
D
2
3
:

4.1 Continuidad en un punto 215
b.Tenemosx
2
C4xC4D.xC2/
2
en el intervalo.1;1.
Tenemos tambiénx
2
4xC4D.x2/
2
en el intervaloŒ2;C1/.
En el intervaloŒ1; 2,larectayD
13
xC
2
3
.
Tabulamos:f.3/D1&f.3/D1.
La gráﬁca de la funciónfes:
x
y
1
12233
yDf.x/

Comentario. Gráﬁcamente determinamos la rectayD2axCbque une los puntos.1; 1/y.2; 0/;
en efecto dicha recta tiene por pendiente:mD
1
12
D
1
3
ysuecuaciónes:
yD
1
3
.x2/D
1
3
xC
2
3
:

13.Determine los valores dea,bpara que la siguiente función sea continua enxD3yenxD3.
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
a sixD3I
9x
2
six6 D˙3I
b sixD3:
HDebemos analizar la continuidad de la funciónfsólo en los númerosxD3&xD3.
a.La funciónfes continua enxD3si
lím
x!3
f.x/Df.3/,lím
x!3
.9x
2
/Da,9.3/
2
Da,aD0:
b.La funciónfes continua enxD3si
lím
x!3
f.x/Df.3/,lím
x!3
.9x
2
/Db,9.3/
2
Db,bD0:
Luego la funciónfes continua enxD3&xD3,cuandoaD0Db.

14.Determine los valoresa,bpara que la funciónf.x/seacontinuaenxD2yenxD3.
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
axC1six2I
x
2
1si2<x3I
xbsix>3:

216 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
HPara asegurar la continuidad defenxD2yenxD3veamos que
lím
x!2
C
f.x/Dlím
x!2
C
.x
2
1/D.2/
2
1D41D3I
lím
x!2

f.x/Dlím
x!2
.axC1/Df.2/D2aC1:
Es decir, si2aC1D3,f.x/es continua enxD2.EstaigualdadsecumpleparaaD1.
Además
lím
x!3
C
f.x/Dlím
x!3
C
.xb/D3bI
lím
x!3

f.x/Dlím
x!3
.x
2
1/Df.3/D.3/
2
1D91D8:
Es decir, si8D3b,f.x/es continua enxD3.EstaigualdadsecumpleparabD5.
Por lo tanto,
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
xC1six2I
x
2
1si2<x3I
xC5six>3:

15.Una legislación estatal sobre impuestos establece un impuesto exigible de12% sobre los primeros
$20 000de ganancias gravables y de16% sobre el resto de las ganancias.
Calcular los valores de las constantesAyBpara que la función de impuestosT.x/seacontinuapara
todax.
T.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
0 six0I
AC0:12x si0<x20 000I
BC0:16.x20 000/six > 20 000:
HPara la continuidad deTen los puntosxD0&xD20 000veamos que
lím
x!0
C
T.x/Dlím
x!0
.AC0:12x/DAI
lím
x!0

T.x/Dlím
x!0
0DT.0/D0:
Ahra, siAD0,lafunciónTes continua enxD0.
Análogamente
lím
x!20 000
C
T.x/Dlím
x!20 000
C
ŒBC0:16.x20 000/DBC0:16.20 00020 000/DBC0DB;
lím
x!20 000

T.x/Dlím
x!20 000
.AC0:12x/DT .20 000/DAC0:12.20 000/D0C2 400D2 400:
Entonces, siBD2 400,lafunciónTes continua en20 000.
Por lo que
T.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
0 six0I
0:12 si0<x20 000I
0:16.x20 000/six > 20 000:

4.1 Continuidad en un punto 217
16.Calcule los valores dea,bque hacen que la siguiente función sea continua enxD1.
f.x/D
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
a
2x
six<1I
b sixD1I
x
2
C1si1<x<2:
HPara la continuidad defenxD1, debemos exigir que lím
x!1
f.x/Df.1/;lím
x!1
f.x/existe si
ysólosi
lím
x!1

f.x/Dlím
x!1
C
f.x/,lím
x!1

a
2x

Dlím x!1
.x
2
C1/,
,
a
2.1/
D.1/
2
C1,
a
2
D2,aD4:
Luego, conaD4sucede que lím
x!1
f.x/D2.
También debe ocurrir quef.1/Dlím
x!1
f.x/.EstoselogracuandobDf.1/Dlím
x!1
f.x/D2,es
decir, sibD2.
Encontramos que la funciónfes una función continua enxD1cuandoaD4ycuandobD2.
Esto es, cuando
f.x/D
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩

2
x
six<1I
2 sixD1I
x
2
C1si1<x<2:

17. a.Hallar los valores de las constantesa,bde modo que la siguiente función sea continua enxD1
yenxD3.
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
2 six1I
axCbsi1<x<3I
2 six3:
b.Dibujar la gráﬁca defcon los valores obtenidos.
H
a.Enlospuntosdondefpodría no ser continua es enxD1yenxD3, que es donde las tres
rectas que componen afno coinciden: entonces tenemos que obligar a que ése no sea el caso,
esto es, quef.x/sea continua en ellos; para ello tenemos que hacer que sean iguales:
f.1/D2&lím
x!1
C
f.x/Dlím
x!1
C
.axCb/Da.1/CbDaCbI
lím
x!3

f.x/Dlím
x!3

.axCb/D3aCb&f.3/D2:
Como se tienen que cumplir simultáneamente ambas condiciones, se tiene que cumplir el sistema

aCbD2I
3aCbD2:
Restando a la segunda ecuación la primera:4aD4)aD1; y sustituyendo por este valor
en la primera1CbD2)bD1.

218 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
b.La gráﬁca de la funciónfes:
x
y
2
2
1
3
yDf.x/

Comentario. Observemos que la rectayDaxCbtiene que pasar por los puntos.1; 2/y.3;2/;
su pendiente debe sermD
22
3C1
D
4
4
D1y su ecuación entonces es:
y2D.xC1/)yDx1C2)yDxC1,esdecir,aD1&bD1:

18.Sealafunción
f.x/D
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
1
xC1
six<2I
axC2bsijxj2I
3x
2
six>2:
a.Encuentre valores dea,bpara que esa función sea continua enxD2yenxD2.
b.Dé un bosquejo de la gráﬁca con estos valores.
H
a.Para que sea continua en2yen2, se tiene que cumplir:
lím
x!2
f.x/Df.2/&lím
x!2
f.x/Df.2/
y para ello deben ser iguales
lím
x!2

f.x/Dlím
x!2

1
xC1
D
1
2C1
D
1
1
D1&f.2/D2aC2bDlím x!2
C
f.x/I
lím
x!2
C
f.x/Dlím
x!2
C
.3x
2
/D32
2
D34D1&f.2/D2aC2bDlím
x!2

f.x/:
Luego, se tienen que cumplir las dos ecuaciones

2aC2bD1I
2aC2bD1:
Resolvamos pues tal sistema sumándolas:4bD2)bD
12
; sustituyendo por este valor en
la primera ecuación, tenemos:
2a1D1)2aD0)aD0:

4.1 Continuidad en un punto 219
La función con estos valores es:
f.x/D
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
1
xC1
six<2I
1 sijxj2I
3x
2
six>2:
b.Su gráﬁca:
x
y
1
22
yDf.x/

19.Considere la función
f.x/D
⎧
⎨
⎩
2x
p
4012x
3x
2
Cx14
sijxj3; x¤2;x?
7
3
I
a sixD2:
¿Para qué valores deala función es continua enxD2?
HParaquelafunciónseacontinuaenxD2se debe cumplir
lím
x!2
f.x/Df.2/Da:
Si tratamos de calcular el límite por evaluación obtenemos:
4
p
4024
32
2
C214
D
“

0
0

”
, es decir, una indeterminación
“

0
0

”
:
Primero vamos a trabajar el denominador def.x/. Puesto que es un polinomio de segundo grado
que tiene como cero o raíz axD2,sabemosquex2es un divisor del polinomio. Para hallar la
factorización correspondiente efectuamos la siguiente división:
3xC7
x2j3x
2
Cx14
3x
2
C6x7x
7xC14
0:
Tenemos entonces que3x
2
Cx14D.x2/.3xC7/.

220 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Un poco de álgebra:
2x
p
4012x
3x
2
Cx14
D
2x
p
4012x
.x2/.3xC7/

2xC
p
4012x
2xC
p
4012x

D
D
4x
2
.4012x/.x2/.3xC7/.2xC
ˆ
4012x/
D
D
4x
2
C12x40.x2/.3xC7/.2xC
ˆ
4012x/
D
D4
x
2
C3x10.x2/.3xC7/.2xC
ˆ
4012x/
D
D4
.xC5/.x2/
.x2/.3xC7/.2xC
ˆ
4012x/
D
D4
xC5
.3xC7/.2xC
ˆ
4012x/
six2¤0,x¤2:
Ahora podemos calcular el límite
lím
x!2
f.x/Dlím
x!2

4
xC5
.3xC7/.2xC
ˆ
4012x/

D
47
138
D
7
26
:
Entonces, siaD
7
26
,lafunciónfes continua enxD2.
20.Sealafunción
f.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
mxnsix<1I
5 sixD1I
2mxCnsix>1:
a.Encontrar los valores demydende modo que la función sea continua enxD1.b.Graﬁcar la
función continua obtenida.
H
a.ParaquelafunciónseacontinuaenxD1se debe cumplir:
lím
x!1

f.x/Df.1/Dlím
x!1
C
f.x/:
La igualdad de la izquierda nos proporciona:
lím
x!1
.mxn/Df.1/,mnD5:
La igualdad de la derecha nos proporciona:
f.1/Dlím
x!1
.2mxCn/,5D2mCn:
Esto es, obtenemos:
mnD5I
2mCnD5;
un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es:mD
10
3
&nD
5
3
:

4.1 Continuidad en un punto 221
La función con estos valores es
f.x/D
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
10
3
xC
5
3
six<1I
5 sixD1I
20
3
x
5
3
six>1:
b.La funciónfcon esos valores tiene la siguiente gráﬁca:
x
y
5
5
3
1

1
2

3
2
yDf.x/

21.Sealafunción
g.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
ax
2
C1six<1I
c six2Œ1; 1I
xC2 six>1:
a.Encontrar los valores dea&cque hacen que la funcióngsea continua en los puntos donde
jxjD1.
b.Dar un bosquejo de la gráﬁca degcon los valores encontrados.
H
a.Para la continuidad enxD1&xD1se debe cumplir:
lím
x!1

g.x/Dlím
x!1
C
g.x/Dg.1/&lím
x!1

g.x/Dlím
x!1
C
g.x/Dg.1/:
Esto se traduce en
aC1DcI
cD1C2respectivamente;
resolviendo se encuentra
cD3I
aD2;
Con estos valores la función es:
g.x/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
2x
2
C1six<1I
3 six2Œ1; 1I
xC2six>1:

222 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
b.La gráﬁca de la funciónges:
x
y
3
11
yDg.x/

22.Sealafunción
g.t/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
3 sit1I
at
2
CbtC1si1<t<2I
3
2
t sit2:
a.Encontrar las valores dea,bpara que la funcióngseacontinuaenxD1yenxD2.
b.Con los valores encontrados, gráﬁcar la función.
H
a.Para la continuidad en todos los reales se debe cumplir:
lím
t!1

g.t/Dlím
t!1
C
g.t/Dg.1/&lím
t!2

g.t/Dlím
t!2
C
g.t/Dg.2/:
Esto se traduce en
3DabC1I
4aC2bC1D3:
Es decir, el sistema
abD2I
4aC2bD2:
Resolviendo este sistema de dos ecuaciones y con dos incógnitas se obtiene:
aD1I
bD1:
b.Con estos valores la función es:
g.t/D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
3 sit1I
t
2
tC1si1<t<2I
3
2
t sit2I
ylagráﬁca de la funciónges:

4.2 Tipos de discontinuidades 223
t
y
3
21
yDg.t/

4.2 Tipos de discontinuidades
Ejercicios 4.2.1
1.Bosqueje la gráﬁca de una funciónfque cumpla las siguientes condiciones:
a.lím
x!1
f.x/D2;
b.lím
x!3

f.x/DC1;
c.f.1/D0;
d.lím
x!2

f.x/DC1;
e.lím
x!3
C
f.x/DC1;
f.f.x/tiene discontinuidad
removible enxD1;
g.lím
x!2
C
f.x/D1;
h.lím
x!C1
f.x/D2.
HUna gráﬁca que cumple las anteriores condiciones es:
x
y
2
2
132
yDf.x/

224 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
2.Considere la gráﬁca de la funciónfdada en laﬁgura
x
y
10
2
152

yDf.x/
De la gráﬁca determine los siguientes límites:
a.lím
x!1
f.x/;
b.lím
x!5

f.x/;
c.lím
x!1
f.x/;
d.lím
x!2

f.x/;
e.lím
x!5
C
f.x/;
f.lím
x!2
C
f.x/;
g.lím
x!C1
f.x/.
Clasiﬁque las discontinuidades.
H
a.lím
x!1
f.x/D0;
b.lím
x!5

f.x/D1;
c.lím
x!1
f.x/Df.1/D2;
d.lím
x!2

f.x/DC1;
e.lím
x!5
C
f.x/D1;
f.lím
x!2
C
f.x/D1;
g.lím
x!C1
f.x/D10;
La función tiene dos discontinuidades esenciales inﬁnitas, enxD2yenxD5.

3.La funciónftiene la gráﬁca siguiente:
x
y
1
2
3
4
5
3
213

yDf.x/
a.De la gráﬁca obtener

4.2 Tipos de discontinuidades 225
i.lím
x!2

f.x/I
ii.lím
x!2
C
f.x/I
iii.lím
x!0

f.x/I
iv.lím
x!0
C
f.x/I
v.lím
x!1

f.x/I
vi.lím
x!1
C
f.x/I
vii.lím
x!3

f.x/I
viii.lím
x!3
C
f.x/I
ix.lím
x!1
f.x/I
x.lím
x!C1
f.x/:
b.Del inciso anterior clasiﬁque las discontinuidades de la función y escriba las ecuaciones de las
asíntotas verticales y horizontales.
H
a. i.lím
x!2

f.x/D2I
ii.lím
x!2
C
f.x/D1I
iii.lím
x!0

f.x/DC1I
iv.lím
x!0
C
f.x/DC1I
v.lím
x!1

f.x/D3I
vi.lím
x!1
C
f.x/D3I
vii.lím
x!3

f.x/D1I
viii.lím
x!3
C
f.x/D2I
ix.lím
x!1
f.x/D1I
x.lím
x!C1
f.x/D4:
b.EnxD2yenxD1hay discontinuidad esencial de salto;
enxD0yenxD3hay discontinuidades esenciales inﬁnitas;
yD4es asíntota horizontal;
xD0es asíntota vertical;
xD3es asíntota vertical.

4.Dada la función
g.x/D
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
2x3six<1I
4 sixD1I
x
2
2si1<x2I
3 si2<x:
Analizar los tipos de discontinuidades enxD1yenxD2.
HCalculamos
lím
x!1

g.x/Dlím
x!1

.2x3/Dlím
x!1

2x3D23D1I
lím
x!1
C
g.x/Dlím
x!1
C
.x
2
2/Dlím
x!1
C
x
2
2D12D1:
Como
lím
x!1
g.x/D16 Dg.1/D4;
entonces enxD1la funcióngtiene una discontinuidad removible y, si redeﬁnimosg.1/D1,
entonces la funcióngse hace continua enxD1.
También
lím
x!2

g.x/Dlím
x!2

.x
2
2/Dlím
x!2

x
2
2D42D2I
lím
x!2
C
g.x/Dlím
x!2
C
3D3:
Como
lím
x!2

g.x/6 Dlím
x!2
C
g.x/ ;
entonces enxD2la funcióngtiene una discontinuidad esencial de salto.

226 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
5.Trace la gráﬁca de una funciónfque tenga una discontinuidad removible enxD2y que además
satisfaga las condiciones siguientes:
a.f.0/D3I
b.f.4/D0I
c.f.6/D0I
d.lím
x!3

f.x/D2I
e.lím
x!3
C
f.x/DC1I
f.lím
x!1
f.x/D0I
g.lím
x!C1
f.x/D2:
HUna posible gráﬁca de la funciónfquesatisfagatodasesascondicioneses:
x
y
2
3
26 34
yDf.x/

En nuestra gráﬁca vemos quef.2/D2,pero lím
x!2

f.x/Dlím
x!2
C
f.x/D0,porloqueenxD2
tienefuna discontinuidad removible.
6.Apartirdelagráﬁca def, determine:
a.Los puntos de discontinuidad y su clasiﬁcación.
b.Las ecuaciones de las asíntotas verticales y las ecuaciones de las asíntotas horizontales.
x
y
2
3
4
4 22 1

yDf.x/
H
a.ftiene una discontinuidad removible enxD4;
fes discontinua enxD2donde tiene una discontinuidad inﬁnita.
b.xD2es la única asíntota vertical &yD0la única asíntota horizontal.

4.2 Tipos de discontinuidades 227
7.Bosqueje una posible gráﬁca de una funciónfque cumpla con las siguientes condiciones:
a.f.x/D1si4<x<6;
b.lím
x!1
f.x/D0ylím
x!C1
f.x/D0;
c.f.2/D0;
d.lím
x!0
C
f.x/D1ylím
x!0

f.x/D1;
e.lím
x!6
f.x/D1.
Señale los puntos de discontinuidad esencial.
HUn bosquejo de la gráﬁca de la funciónfes:
x
y
1
4
2
614
yDf.x/
EnxD0hay una discontinuidad esencial inﬁnita.
8.Sif.x/D
x
p
xC11
, ¿qué tipo de discontinuidad hay enxD0?; ¿esencial?; ¿removible?
Justiﬁque su respuesta.
HCalculemos lím
x!0
x
p
xC11
racionalizando el denominador, es decir, multiplicando arriba y abajo
por el binomio conjugado del denominador, que es
p
xC1C1:
x
p
xC11
D
x
p
xC11

p
xC1C1
p
xC1C1
D
x.
p
xC1C1/
xC11
D
D
x.
p
xC1C1/
x
D
p
xC1C1,six6 D0:
Tenemos entonces que:
lím
x!0
x
p
xC11
Dlím x!0
.
p
xC1C1/D
p
0C1C1D
p
1C1D1C1D2:
Si deﬁniésemosf.0/D2,lafunciónfresultaría continua en0, por lo que la discontinuidad es
removible.

9.Sea.1;4/f4gel dominio de una funciónf. Trace una posible gráﬁca de esa función que cumpla
con las condiciones siguientes:
a.Los puntos.3; 2/,.5; 0/,.1; 0/&.3; 0/están en su gráﬁca.
b.lím
x!1
f.x/D2,lím
x!1
f.x/D3.
c.lím
x!4

f.x/D1,lím
x!4
C
f.x/DC1.

228 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
d.lím
x!3

f.x/D3,lím
x!3
C
f.x/D1,lím
x!4

f.x/D2.
Apartirdelagráﬁca, determine y clasiﬁque los puntos de discontinuidad de la funciónf.
HUna gráﬁca posible es la siguiente:
x
y
3
2
1
2
433 14
yDf.x/

5

La funciónftiene discontinuidades en:
xD4que es esencial inﬁnita;xD3que es esencial de salto;xD1que es removible.

10.Apartirdelagráﬁca de la funcióngque observamos a continuación
x
y
2
3
2
2
3
15

yDg.x/
determine:
a.lím
x!2

g.x/I
b.lím
x!2
C
g.x/I
c.lím
x!2
g.x/I
d.lím
x!1
g.x/I
e.lím
x!1
g.x/I
f.lím
x!C1
g.x/:
Puntos de discontinuidad y su clasiﬁcación.
Ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales.
HVem o s que:
a.lím
x!2

g.x/DC1I
b.lím
x!2
C
g.x/D1I
c.lím
x!2
g.x/no existeI
d.lím
x!1
g.x/D2I
e.lím
x!1
g.x/D2I
f.lím
x!C1
g.x/D2:

4.2 Tipos de discontinuidades 229
Puntos de discontinuidad: esenciales inﬁnitas enxD2&xD3y removible enxD1.
Asíntotas verticales: las rectasxD2&xD3.
Asíntotas horizontales: las rectasyD2&yD2.

11.Sealafunción
f.x/D
x
2
Cx12
x
2
C2x8
:
Encontrar y clasiﬁcar las discontinuidades. Determinar las asíntotas verticales y horizontales.
HContinuidad:
Por ser una función racional su dominio es:
D
fDR

x

x
2
C2x8D0

DR

x

.xC4/.x2/D0

D
DR

x

xC4D0obienx2D0

DRf4;2g:
Entonces la funciónfes discontinua enxD4yenxD2.
Como
lím
x!4
f.x/Dlím
x!4
x
2
Cx12
x
2
C2x8
Dlím x!4
.xC4/.x3/
.xC4/.x2/
D
Dlím
x!4
x3
x2
D
43
42
D
7
6
D
7
6
;
esta función tiene enxD4una discontinuidad removible o evitable.
Ycomo
lím
x!2
f.x/Dlím
x!2
x3
x2
D1;
entonces tiene enxD2una discontinuidad esencial inﬁnita.
Asíntotas:
Precisemos los límites laterales en torno axD2:
lím
x!2

f.x/Dlím
x!2

x3
x2
D?
x!2

)x<2)x2<0&x3<1)x2<0&x3<0)
)
x3
x2
>0)
x3
x2
!C1 ) lím x!2

f.x/DC1I
lím
x!2
C
f.x/Dlím
x!2
C
x3
x2
D?
x!2
C
)x>2)x2>0&x3<0ya quex3!1)
)
x3
x2
<0)
x3
x2
!1 ) lím x!2
C
f.x/D1:
Podemos aﬁrmar que la rectaxD2es una asíntota vertical defyademáseslaúnica.
Ahora bien como
lím
x!C1
f.x/Dlím
x!C1
x3
x2
Dlím x!C1
x

1
3
x

x

1
2
x
Dlím
x!C1
1
3
x
1
2
x
D
1
1
D1;

230 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
entonces la rectayD1es una asíntota horizontal y además es la única ya que también
lím
x!1
f.x/D1:

12.Dadaf.x/D
x
2
C5x
x
2
C4x5
, obtener:
a.Puntos de discontinuidad y su clasiﬁcación.
b.Asíntotas verticales y horizontales.
c.Esbozo de la gráﬁca.
H
a.Como
x
2
C4x5D0,.xC5/.x1/D0,xC5D0obienx1D0,
,xD5obienxD1;
resulta que el dominio es:D
fDRf5; 1g.
Calculemos lím
x!5
f.x/&lím
x!1
˙
f.x/.
Se tiene
f.x/D
x.xC5/
.x1/.xC5/
D
x
x1
:
Por lo que
lím
x!5
f.x/Dlím
x!5
x
x1
D
5
51
D
5
6
D
5
6
y la discontinuidad enxD5es removible.
En cambio
lím
x!1
˙
f.x/Dlím
x!1
˙
x
x1
D˙1
y la discontinuidad enxD1es esencial inﬁnita.
b.Acabamos de encontrar que la rectaxD1es asíntota vertical. Para hallar las asíntotas horizon-
tales calculamos
lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1
x
x1
Dlím x!˙1
1
1
1
x
D
1
10
D
1
1
D1:
Por lo que la rectayD1es asíntota horizontal.
c.Tabulamosf.0/D0.
La gráﬁca de la funciónfes:
x
y
1
51
yDf.x/

4.3 Continuidad en intervalos 231
13.Dibujar la gráﬁca posible de la funciónfque cumpla las condiciones siguientes:
a.lím
x!2
f.x/DC1I
b.lím
x!3
f.x/D1I
c.f.x/tiene una discontinuidad removible en
xD0I
d.lím
x!1
f.x/D2I
e.lím
x!C1
f.x/D2:
HUna gráﬁcaposibledelafunciónf, con esas condiciones es:
x
y
2
2
23
yDf.x/

4.3 Continuidad en intervalos
Ejercicios 4.3.1
1.Seaf.x/Dx
3
5x
2
C7x9; demuestre que hay, al menos, un númeroaentre0&10tal que
f.a/D500.
HCalculamos
f.0/D9I
f .10/D10
3
510
2
C7109D1 000500C709D561:
Puesto quef.x/es una función polinomial, entonces es continua y, por el teorema de Valor Inter-
medio, se sabe queftoma todos los valores del intervaloŒ9; 561cuando la variablexrecorre el
intervaloŒ0; 10.
En particular5002.9; 561/, entonces existea2.0; 10/tal quef.a/D500.
2.El costo de fabricación deqautomóviles eléctricos, en miles de pesos, es de
C.q/D5q
3
C13q
2
C14I
mientras que el ingreso, también en miles de pesos, es de
I.q/Dq
4
5q :
Demostrar que existe un valor entre2&10,delavariableq, donde la fábrica ni gana ni pierde.
HLa ganancia de la fábricaG.q/cuando se fabricanqautomóviles viene dada por
G.q/DI.q/C.q/D
D.q
4
5q/.5q
3
C13q
2
C14/D
Dq
4
5q
3
13q
2
5q14 :

232 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Calculamos
G.2/D2
4
52
3
132
2
5214D
D1640521014D
D100
G.10/D10
4
510
3
1310
2
51014D
D10 0005 0001 3005014D
D5 0001 364D3 636 :
Puesto queG.q/es una función continua, por el teorema del Valor Intermedio, la función toma todos
los valores del intervaloŒ100; 3 636cuandoqrecorre el intervaloŒ2; 10.
En particular
02Œ100; 3 636 :
Por lo tanto, existe
q2Œ2; 10tal queG.q/D0:
Es decir,
I.q/C.q/D0I
I.q/DC.q/:
Si el ingreso es igual al costo de producción, la fábrica ni gana ni pierde.

3.Seaf:?1; 3!Rla función deﬁnida porf.x/Dx
3
2x
2
10x :¿Existe un puntoa2?1; 3tal que
f.a/D15?Justiﬁque su respuesta.
Hf.1/D1210D11&f.3/D271830D21 :
Como152Œ21;11y como la función es continua en?1; 3, por el teorema del Valor Intermedio,
existe al menos un puntoa2.1; 3/tal quef.a/D15.

4.La temperaturaT(en
ı
C) a la que el agua hierve está dada por la fórmula
T.h/D100:8620:0415
p
hC431:03 ;
dondehes la altura sobre el nivel del mar (medida en metros).
Use el teorema del Valor Intermedio y diga si entre los4 000y4 500metros sobre el nivel del mar hay
unaaltitudalacualhiervea98
ı
C. Justiﬁque su respuesta.
HPor un lado sabemos que la funciónTes continua en su dominio, el cual es el conjunto de losh
que cumplen
hC431:030)h431:03m;
por otro lado
T .4 000/D100:8620:0415
p
4 000C431:0398:099512
ı
CI
también
T .4 500/D100:8620:0415
p
4 500C431:0397:977517
ı
C:
Como982.97:9; 98:1/
ı
C, entonces, efectivamente, existe unah2.4 000; 4 500/tal queT.h/D98
ı
C.

4.3 Continuidad en intervalos 233
5.Veriﬁque que la ecuaciónx
3
Cx1D0tiene una raíz entre0&1. Dé un intervalo de longitud
1
4
que
contenga a dicha raíz.
HSeaf.x/Dx
3
Cx1:
Notamos que la funciónfes continua enR,enparticularen?0; 1yquef.0/D1<0ytambiénque
f.1/D1>0; luego, por el teorema del Valor Intermedio, en.0; 1/habrá un puntoxtal quef.x/D0.
Vem o s quef

1
2

D
1
8
C
1
2
1<0.
Por lo que una raíz debe estar en

1
2
;1

.
También vemos quef

3
4

D
27
64
C
3
4
1>0.
Por lo que, por último, tal raíz debe de estar en

1
2
;
3
4

.
Este último intervalo tiene longitud
3
4

1
2
D
32
4
D
1
4
.

6.Determinar un intervalo de longitud0:5que contenga a una raíz de la ecuaciónx
3
C2xC4D0.
HSeaf.x/Dx
3
C2xC4, la cual por ser polinomial es una función continua en todoR.Vemos
ahora quef.0/D4;f.1/D12C4D1;f.2/D84C4D8.
Ya quef.2/D8<0yquef.1/D1>0, por el teorema del Valor Intermedio, existe al menos
unaraízenelintervalo.2;1/.
El punto medio del intervalo.2;1/es
3
2
ycomof

3
2

D
27
8
3C4D1
27
8
D
19
8
<0,
entonces existe al menos una raíz en el intervalo

3
2
;1

.
Ya que la longitud del intervalo

3
2
;1

es
1
2
,sepuedeaﬁrmar que

3
2
;1

es un intervalo de
longitud0:5quecontienealmenosunaraízdelaecuaciónx
3
C2xC4D0.

7.Dada la función
f.x/D

x
2
C2 si2x<0I
.x
2
C2/si0x2:
a.Calcularf.2/&f.2/.
b.¿Existec2.2;2/tal quef.c/D0?
H
a.
f.2/D.2/
2
C2D4C2D6I
f.2/D.2
2
C2/D.4C2/D6:
b.Considerando un bosquejo de la gráﬁca que se muestra a continuación, se puede observar que
no existe un valor dec2.2;2/tal quef.c/D0.

234 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
3
3
6
6
2
2
21
12

yDf.x/
Observe que la funciónfno es continua enŒ2;2pues es discontinua enxD0,porloqueno
cumple con las hipótesis del teorema del Valor Intermedio.

8.Sea el polinomiop.x/Dx
3
4xC2:Aproxime en el intervalo?1; 2una raíz del polinomio con error
menor que
1
4
.
HCalculamos el valor del polinomio en los extremos del intervalo
p.1/D1
3
41C2D14C2D1I
p.2/D2
3
42C2D88C2D2:
Ya que el polinomio es una función continua, por el teorema del Valor Intermedio, toma todos los
valores entreŒ1; 2cuandoxrecorre el intervalo?1; 2.
En particular02Œ1; 2.
Entonces existec2.1; 2/tal quep.c/D0(una raíz del polinomio).
El intervalo?1; 2tiene longitud21D1.
Se desea un intervalo de longitud menor que
1
4
D0:25donde se garantice la existencia de una raíz.
Para esto, tomamos arbitrariamente un númeroc
1a la derecha de1yotronúmeroc 2que cumpla las
condiciones1<c
1<c2<2; comprobamos si continúa existiendo un cambio de signo al evaluar el
polinomio en estos puntos.
Tomemosc
1D1:3yc 2D1:6:
p.1:3/D.1:3/
3
4.1:3/C2D2:1975:2C2D1:003I
p.1:6/D.1:6/
3
4.1:6/C2D4:0966:4C2D0:304 :
Ambos valores negativos.
Para intentar alcanzar un valor positivo del polinomio, los calculos anteriores sugieren tomar, por
ejemplo,c
3D1:8
p.1:8/D.1:8/
3
4.1:8/C2D5:8327:2C2D0:632 :
Es decir, la función cambia de signo en los extremos del intervalo?1:6; 1:8.
Esto garantiza que existe una raíz dentro de este intervalo.
Lo longitud de?1:6; 1:8es1:81:6D0:2 <
1
4
D0:25.
Si tomamos un punto arbitrario dentro de este intervalo como una aproximación a la raíz, podemos
asegurar que la diferencia entre dicho punto y la raíz existente es menor que un cuarto.

4.3 Continuidad en intervalos 235
9.SeafWR!Runa función continua tal quef.10/D4,f.3/D2,f.1/D0,f.2/D8yque
f.4/D5.
Determine el número de raíces que, al menos, tiene la funciónfy en qué intervalos se encuentran.
HYa quef.10/D4yquef.3/D2,entoncesf.10/ < 0&f.3/ > 0; por lo tanto, por el
teorema del Valor Intermedio, existe al menos una raíz en el intervalo.10;3/.
Análogamentef.2/D8&f.4/D5implican quef.2/>0yquef.4/<0; de nuevo, por el teorema
delValorIntermedio,existealmenosunaraízenelintervalo.2; 4/.
Luego, la funciónftiene al menos tres raíces en el intervalo.10; 4/puesxD1también es raíz.

10.Veriﬁque que la ecuaciónx
3
4x2D0tiene una raíz real en el intervalo?2; 3y determine un
intervalo de longitud1=4que contenga a dicha raíz.
HLa función polinomialf.x/Dx
3
4x2es continua en todoRy en particular es continua en el
intervalo cerrado?2; 3.Además
f.2/D2
3
4.2/2D882D2<0I
f.3/D3
3
4.3/2D27122D13 > 0:
Por serfcontinua en el intervalo?2; 3,f.2/ < 0&f.3/ > 0, se puede asegurar (por el teorema del
Valor Intermedio) la existencia de al menos unc2.2; 3/tal quef.c/D0.
Notamos que la longitud del intervalo.2; 3/es1.
El punto medio del intervalo.2; 3/es
5
2
yademás
f

5
2

D

5
2

3
4

5
2

2D
125
8
102D
12596
8
D
29
8
>0:
Por serfcontinua en el intervalo

2;
5
2

,f.2/ < 0&f

5
2

>0, se puede asegurar, por el teorema
del Valor Intermedio, la existencia de al menos unc2

2;
5
2

tal quef.c/D0.
Notemos que la longitud del intervalo

2;
5
2

es
1
2
.
El punto medio del intervalo

2;
5
2

es
9
4
yademás
f

9
4

D

9
4

3
4

9
4

2D
729
64
92D
729704
64
D
25
64
>0:
Por serfcontinua en el intervalo cerrado

2;
9
4

,f.2/ < 0&f

9
4

>0, se puede asegurar, por el
teorema del Valor Intermedio, la existencia de al menos unc2

2;
9
4

tal quef.c/D0.
Además la longitud del intervalo

2;
9
4

es
1
4
.
Por lo tanto, en el intervalo

2;
9
4

,delongitud
1
4
existe al menos un número realxtal que
x
3
4x2D0.

236 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
11.Determine un intervalo de longitud
1
4
en el que la ecuaciónx
3
3xC1D0tenga una raíz.
HConsideramos la función polinomialf.x/Dx
3
3xC1queescontinuaentodalarectareal.
f.0/D.0/
3
3.0/C1D1&f.1/D1
3
3.1/C1D23D1:
Ya quef.0/D1>0,f.1/D1<0&fes continua en el intervalo?0; 1, por el teorema del Valor
Intermedio, se puede asegurar la existencia de al menos un realc2.0; 1/tal quef.c/D0. Notemos
además que la longitud del intervalo.0; 1/es`
1D1.
El punto medio del intervalo.0; 1/es
1
2
,
f

1
2

D

1
2

3
3

1
2

C1D
1
8

3
2
C1D
112C8
8
D
3
8
:
Ya quef.0/D1>0,f

1
2

D
3
8
<0,yyaquelafunciónfes continua en el intervalo

0;
1
2

,se
puede asegurar la existencia de al menos un realc2

0;
1
2

tal quef.c/D0. Notemos además que
la longitud del intervalo

0;
1
2

es`
2D
1
2
.
El punto medio del intervalo

0;
1
2

es
1
4
f

1
4

D

1
4

3
3

1
4

C1D
1
64

3
4
C1D
148C64
64
D
17
64
:
Ya quef

1
4

D
17
64
>0,f

1
2

D
3
8
<0yquefes continua en el intervalo

1
4
;
1
2

,sepuede
asegurar (por el teorema del Valor Intermedio) la existencia de al menos un realc2

1
4
;
1
2

tal que
f.c/D0. Notemos también que la longitud del intervalo

1
4
;
1
2

es`
3D
1
4
.
Luego, para la funciónf.x/Dx
3
3xC1,existealmenosunaraízŒc2Rtal quef.c/D0en el
intervalo

1 4
;
1
2

que tiene una longitud`D
1
4
.
12.Considere la funciónf:R!Rdeﬁnida porf.x/D
x
66
C
x
4
4
x
2
1:Pruebe que esa función tiene
al menos una raíz positiva y otra negativa.
HVem o s que:
f.0/D1<0I
f.2/D
64
6
C
16
4
41D
32
3
C441D
323
3
>0:
Luego, entre 0 y 2 existe una raíz positiva, puesf.x/es polinomial, por lo que es continua en todo
intervalo en particular en?0; 2.
Comof.2/también es positiva (fes par), por el teorema del Valor Intermedio, entre2&0hay
otra raíz que tiene que ser negativa.
13.Encuentre un intervalo en donde la funciónh.x/D2x
5
7xC1tiene una raíz.
HSiendohuna función polinomial, cumple con la hipótesis de continuidad del teorema del Valor
Intermedio en toda la recta; además
h.0/D1>0&h.1/D27C1<0I

4.3 Continuidad en intervalos 237
entonces entre0&1existe al menos una raíz de la función, es decir, un puntoxtal que
2x
5
7xC1D0:

14.Un polinomio pasa por los puntos.5; 10/,.2; 3/y.17;1/.
¿Cuántas raíces tiene como mínimo? Justiﬁque su respuesta.
HUna,yaquesiendocontinuaentodalarecta,lafunciónpolinomial p.x/es positiva en2,puesto
quep.2/D3, y es negativa en17ya quep.17/D1;porloqueentre2y17la función tiene al menos
una raíz, por el teorema del Valor Intermedio.
15.Muestre que la funciónh.x/Dx
5
Cx5tiene al menos una raíz en los números reales.
HValuando en dos puntos pertinentes:
h.0/D5<0&h.2/D2
5
C25D29 > 0:
Tenemos una funciónh.x/que por ser polinomial es continua enRy, en particular, en el intervalo?0; 2
en cuyos extremos la función tiene valores con signo distinto. Usando el teorema del Valor Intermedio
se sabe que existe al menos un valorc2.0; 2/tal queh.c/D0,queesloquesequeríamostrar.
16.Halle un intervalo de longitud no mayor que 0.1 donde se encuentre una raíz del polinomio:
.x/Dx
4
C16x
3
60x
2
C1:
HPor ser un polinomio.x/Dx
4
C16x
3
60x
2
C1, es una función continua en todoR.
Ahora bien.0/D1>0&.1/D44 < 0; entonces, por el teorema del Valor Intermedio, podemos
asegurar la existencia de al menos un0<c<1tal que.c/D0.
El punto medio del intervalo.0; 1/esxD
1
2
&

1
2

D
1
16
12 < 0, por lo cual se puede asegurar
que0<c<
1
2
.
El punto medio del intervalo

0;
1
2

esxD
1
4
&

1
4

D
1
4
4

5
2
<0, por lo cual se puede asegurar
que0<c<
1
4
.
El punto medio del intervalo

0;
1
4

esxD
1
8
&

1
8

D
1
8
4
C
3
32
>0, lo que permite asegurar
que
1
8
<c<
1
4
.
El punto medio del intervalo

1
8
;
1
4

esxD
3
16
&

3
16

D
81
16
4

257
16
2
<0,porlocualpodemos
asegurar que
1
8
<c<
3
16
. Además la longitud del intervalo

1
8
;
3
16

es`D
1
16
que es menor que
0:1D
1
10
. Por lo tanto el intervalo buscado es

1
8
;
3
16

.
17.Dada la funciónf.x/Dx
5
Cx1,veriﬁque que existe un númeroctal quef.c/D0.Esdecir,
justiﬁque que la función tiene una raíz.
HEvaluamos la funciónfen algunos puntos:
x
f.x/
01
11:

238 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Vem o s quefes una función continua en el intervalo?0; 1con valores de signo distinto en los ex-
tremos; aplicando el teorema del Valor Intermedio, se asegura la existencia dec2.0; 1/tal que
f.c/D0.
Veá m o s la gráﬁca defen ese intervalo:
yDf.x/
x
y
1
1
1c

18.Dada la funciónf.x/Dx
3
C4xC2;obtener un intervalo en donde la función tenga al menos una
raíz. Justiﬁque su respuesta.
HEvaluamosfen algunos números
xf.x/Dx
3
C4xC2
1 1
0 2
con lo que comprobamos quefsiendo continua cambia de signo en el intervaloŒ1; 0.Usandoel
teorema del Valor Intermedio se garantiza que existe una raíz defen ese intervalo.
Vea m o s la gráﬁca de la funciónf:
yDf.x/
x
y
3
11

El resultado garantiza la existencia de la raíz, no la calcula. Se garantiza el corte de la gráﬁca con el
ejex.Nosesabedónde.

4.3 Continuidad en intervalos 239
19.Considere la función
g.x/D
⎧
⎨
⎩
x2
x
2
6xC8
six6 D2yx6 D4I
1 sixD2I
determine:
a.Dominio y raíces.
b.Intervalos de continuidad y clasiﬁcación de discontinuidades.
c.Ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales.
d.Bosquejo gráﬁco.
H
a.Dominio:D
gDRf4g.
Raíces: nos damos cuenta de que parax¤2
g.x/D
x2
x
2
6xC8
D
x2
.x2/.x4/
D
1
x4
;g.2/D1
con lo cual concluimos que la función no tiene raíces.
b.La función no es continua enxD2ya que
g.2/D1I
yque
lím
x!2
g.x/Dlím
x!2
1
x4
D
1
2
:
Comog.2/¤lím
x!2
g.x/,enxD2g.x/tiene una discontinuidad removible.
La función tampoco es continua enxD4,yaqueg.4/no existe pues46 2D
g.
Aún más:
Sixestá a la derecha de4,
x>4)x4>0I
lím
x!4
C
g.x/Dlím
x!4
C
1
x4
DC1:
Sixestáalaizquierdade4,
x<4)x4<0I
lím
x!4

g.x/Dlím
x!4

1
x4
D1:
Por lo quegtiene una discontinuidad esencial inﬁnita enxD4.
Entonces esta función es continua enRf2;4gD.1;2/[.2; 4/[.4;C1/.
c.Por lo anterior se ve quexD4es una asíntota vertical.
Si calculamos
lím
x!˙1
g.x/Dlím
x!˙1
1
x4
D0;
vemos queyD0es una asíntota horizontal.
d.Su gráﬁca es:

240 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
1

1
2
2
4
yDg.x/

20.Considere la función:
g.x/D
⎧
⎨
⎩
2x4
2x
six6 D2I
3 sixD2I
determine:
a.Dominio y raíces.
b.Intervalos de continuidad y clasiﬁcación de sus discontinuidades.
c.Ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales.
d.Bosquejo gráﬁco.
H
a.Dominio:D
gDR:
Raíces: vemos quegno tiene raíces, puesto que
2x4
2x
D
2.2x/
2x
D2six¤2&g.2/D3:
b.La función tiene una discontinuidad removible enxD2,yaque
lím
x!2
g.x/D2perog.2/D3:
Entonces la función es continua enRf2g.
c.La función no tiene asíntotas verticales &yD2es asíntota horizontal, ya que
lím
x!˙1
g.x/Dlím
x!˙1
.2/D2:
d.Su gráﬁca es:

4.3 Continuidad en intervalos 241
x
y
3
2
2
yDg.x/

21.Para la funciónf.x/D
3x
2
12
x
2
Cx2
, determine:
a.Los puntos de discontinuidad y su clasiﬁcación.
b.Losintervalosdecontinuidad.
c.Las asíntotas verticales y horizontales.
d.Por último esboce su gráﬁca.
H
a.Sabemos que
x
2
Cx2D0,xD
1˙
p
1C8
2
D
1˙3
2
D

1
2:
Entonces2…D
f&1…D f.
EnxD1hay una discontinuidad esencial, ya que lím
x!1
f.x/no existe, de hecho en (c) veremos
que lím
x!1
˙
f.x/D 1, entonces la discontinuidad es esencial inﬁnita.
EnxD2hay una discontinuidad removible, pues
3x
2
12
x
2
Cx2
D
3.x2/.xC2/
.x1/.xC2/
D
3.x2/
x1
six6 D2:
Encontramos que lím
x!2
f.x/existe:
lím
x!2
f.x/Dlím
x!2
3.x2/
x1
D
3.4/
3
D4:
Si deﬁniésemosf.2/D4,f.x/resultaría continua enxD2.
b.De lo anteriorf.x/es continua en.1;2/[.2;1/[.1;1/.
c.Calculamos
lím
x!˙1
3x
2
12
x
2
Cx2
Dlím x!˙1
3
12
x
2
1C
1
x

2
x
2
D
lím
x!˙1

3
12
x
2

lím
x!˙1

1C
1
x

2
x
2
D
D
lím
x!˙1
3lím
x!˙1

12
x
2

lím
x!˙1
1Clím
x!˙1
1
x
límx!˙1
2
x
2
D
30
1C00
D
3
1
D3:

242 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
EntoncesyD3es asíntota horizontal.
Como
lím
x!1

3x
2
12
x
2
Cx2
Dlím x!1

3.x
2
4/
.x1/.xC2/
Dlím x!1

3.x2/.xC2/
.x1/.xC2/
Dlím x!1

3.x2/
.x1/
DC1;
ya quex1<0; x2<0; lím
x!1

.x1/D0

&lím
x!1

3.x2/D3¤0,
ytambiénque
lím
x!1
C
3x
2
12
.x1/.xC2/
D1;
entoncesxD1es una asíntota vertical.
(Comprobamos que enxD1, la discontinuidad es esencial inﬁnita).
d.Observemos quef.2/D0.Lagráﬁca es:
x
y
3
4
22 13
yDf.x/

22.Considere la funcióng.x/D
2x
2
C1
x
2
4
:
a.Obtener las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales de esta funcióng.
b.Encontrar el dominio, las raíces y los intervalos de continuidad de la función.
c.Bosquejar su gráﬁca.
H
a.Para averiguar las posibles asíntotas horizontales, calculamos
lím
x!˙1
2x
2
C1
x
2
4
Dlím x!˙1
2C
1
x
2
1
4
x
2
D
lím
x!˙1

2C
1
x
2

lím
x!˙1

1
4
x
2
D
lím
x!˙1
2Clím
x!˙1
1
x
2
lím
x!˙1
1lím
x!˙1
4
x
2
D
2C0
10
D
2
1
D2:
Entonces la rectayD2es asíntota horizontal.
Como
x
2
4D0,.xC2/.x2/D0,xD˙2&2x
2
C1>0para cadax;
calculamos
lím
x!2
˙
2x
2
C1
x
2
4
Dlím x!2
˙
2x
2
C1
.xC2/.x2/
D˙1:
EntoncesxD2es asíntota vertical, y como la función es par,xD2también lo es.

4.3 Continuidad en intervalos 243
b.Dominio:D gDRf˙2g.
No tiene raíces, pues el numerador2x
2
C1>0para cualquier valor dexen el dominio deg;
esta función es continua en.1;2/[.2;2/[.2;C1/.
c.Adicionalmenteg.0/D
1
4
D
1
4
.
Su gráﬁca es:
x
y
22
2
yDg.x/

23.Sealafunciónf.x/D
x
2
5xC4
x
2
Cx2
.
a.Determinar dominio y raíces.
b.Hallar intervalos de continuidad y clasiﬁcar las discontinuidades.
c.Encontrar las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales.
d.En base a lo anterior, hacer el esbozo gráﬁco def.
H
a.Por serfuna función racional, su dominio es:
D
fDR

x

x
2
Cx2D0

D
DR

x

.xC2/.x1/D0

D
DRf2;1g:
Raíces: parax2D
f;f.x/D0,x
2
5xC4D0,.x1/.x4/D0,xD1obienxD4.
PeroxD16 2D
f,porlocualftiene sólo una raíz que esxD4.
b.Por ser una función racional, es continua en todo su dominio; es decir,fes continua en el con-
junto.1;2/[.2;1/[.1;C1/.
Las discontinuidades defestán enxD2yenxD1.
lím
x!1
f.x/Dlím
x!1
x
2
5xC4
x
2
Cx2
D
Dlím
x!1
.x1/.x4/
.xC2/.x1/
D
Dlím
x!1
x4
xC2
D
D
14
1C2
D
3
3
D1:

244 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Entoncesftiene enxD1una discontinuidad evitable o removible.
lím
x!2
f.x/Dlím
x!2
x4
xC2
D
“

6
0

”
;
ya que.xC2/!0&.x4/!6cuandox!2:
Por esto podemos decir que la funciónftiene enxD2una discontinuidad esencial inﬁnita.
c.Asíntotas verticales: precisamos lím
x!2
f.x/vía sus límites laterales.
i.Six!2

,entoncesx<2,porloquexC2<0;ycomox4<0
[ya que.x4/!6], entonces
x4
xC2
>0.Porlotanto
lím
x!2

x4
xC2
DC1:
ii.Six!2
C
,entoncesx>2,porloquexC2>0;ycomox4<0,entonces
x4
xC2
<0.
Luego,
lím
x!2
C
x4
xC2
D1:
Podemos aﬁrmar que la rectaxD2es una asíntota vertical def,yqueademáseslaúnica.
Asíntotas horizontales:
lím
x!C1
f.x/Dlím
x!C1
x4
xC2
Dlím x!C1
1
4
x
1C
2
x
D
1
1
D1:
Entonces la rectayD1es una asíntota horizontal def.Ademáseslaúnicayaquetambién
lím
x!1
f.x/D1.
d.La gráﬁca de la funciónfes de la forma
x
y
1
1
2 1
4
yDf.x/

24.Sealafunción
g.x/D
x
2
Cx12
x
2
8xC15
:
Encuentre: raíces, discontinuidades y su clasiﬁcación, asíntotas e intervalos de continuidad. Bosqueje
su gráﬁca.
HLasraícesdelafuncióngson los puntos de su dominio tales queg.x/D0.

4.3 Continuidad en intervalos 245
Sabemos que
D
gDR

x2Rjx
2
8xC15D.x3/.x5/D0

DRf3; 5g:
Para queg.x/D0, se necesita que
x
2
Cx12D.xC4/.x3/D0;
es decir, quexD3obienquexD4.
Pero, comoxD36 2D
g, entonces la única raíz deg.x/esxD4.
Discontinuidades:
La funciónges discontinua enxD3yenxD5, por lo que es continua en su dominio
.1;3/[.3; 5/[.5;C1/
quesonlostresintervalosdecontinuidad.
La discontinuidad enxD3es removible, ya que
lím
x!3
g.x/Dlím
x!3
.x3/.xC4/
.x3/.x5/
Dlím x!3
xC4
x5
D
3C4
35
D
7
2
I
si deﬁnimosg.3/D
7
2
,lafuncióngresulta continua también en3.
En cambio enxD5, la discontinuidad es esencial inﬁnita, pues
lím
x!5
˙
g.x/Dlím
x!5
˙
xC4
x5
D
“

9
0
˙

”
D˙1:
Asíntotas:
Por lo mismo vemos quexD5es asíntota vertical.
Para hallar las asíntotas horizontales calculemos
lím
x!˙1
g.x/Dlím
x!˙1
x
2
Cx12
x
2
8xC15
Dlím x!˙1
1C
1
x

12
x
2
1
8
x
C
15
x
D1
con lo que comprobamos que la rectayD1es la asíntota horizontal.
La gráﬁca de la funciónges:
x
y
1

7
2
435
yDg.x/

246 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
25.Considere la funciónf.x/D
x
2
C3x4
x
2
C7xC12
:
a.Proporcione dominio, raíces e intervalos de continuidad.
b.Determine las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales.
c.Haga un esbozo gráﬁco de la funciónf.
H
a.Simpliﬁcamos:
f.x/D
x
2
C3x4
x
2
C7xC12
D
.xC4/.x1/
.xC4/.xC3/
D
x1
xC3
sixC4¤0:
Entonces:
Dominio:D
fDRf4;3g.
Raíz:xD1.
La función es continua en todo su dominio.
Como lím
x!4
f.x/Dlím
x!4
x1
xC3
D
41
4C3
D
5
1
D5&lím x!3
f.x/Dlím
x!3
x1
xC3
D1,
podemos aﬁrmarqueexisteunadiscontinuidadremovibleen xD4y una discontinuidad
esencial inﬁnita enxD3.
b.Calculamos el límite:
lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1
x1
xC3
Dlím x!˙1
1
1
x
1C
3
x
D
10
1C0
D1:
Y encontramos queyD1es asíntota horizontal.
La ecuación de la asíntota vertical esxD3. Para esto calculamos los límites laterales enxD3:
i.Por la derecha, es decir, six>3)xC3>0,
lím
x!3
C
x1
xC3
Dlím x!3
C
.x1/lím
x!3
C
1
xC3
D.4/
“

1
0
C

”
D1:
ii.Por la izquierda, es decir, six<3)xC3<0,
lím
x!3

x1
xC3
Dlím x!3

.x1/lím
x!3

1
xC3
D.4/
“

1
0

”
DC1:
c.La gráﬁca de la función es:
x
y
1
5
43
1
yDf.x/

4.3 Continuidad en intervalos 247
26.Considere la funciónf.x/D
x
2
Cx2
x
2
1
:
a.Proporcione dominio, raíces e intervalos de continuidad de la funciónf.
b.Obtenga las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la funciónf.
c.Dibuje la gráﬁca y halle el rango de la funciónf.
H
a.Dominio:
D
fD

x2R

f.x/2R

D

x2R

x
2
Cx2
x
2
1
2R

D
D

x2R

x
2
16 D0

D

x2R

x
2
6D1

D

x2R

x6 D˙1

I
D
fDRf1; 1g:
Raíces: parax2D
f
f.x/D0,
x
2
Cx2
x
2
1
D0,x
2
Cx2D0,
,.xC2/.x1/D0,xC2D0obienx1D0,
,xD2obienxD1:
ComoxD1no está en el dominio def, la función tiene sólo una raíz:xD2.
Intervalos de continuidad: por serfuna función racional, es continua en todo su dominio; luego
fes continua en.1;1/[.1; 1/[.1;1/.
b.Asíntotas verticales: analicemos los puntos de discontinuidad
lím
x!1
f.x/Dlím
x!1
x
2
Cx2
x
2
1
Dlím x!1
.xC2/.x1/
.xC1/.x1/
Dlím x!1
xC2
xC1
D
1C2
2C1
D
3
2
I
la funciónftiene enxD1una discontinuidad removible; por lo cual, la rectaxD1no es una
asíntota vertical. Ahora vemos que
lím
x!1
f.x/Dlím
x!1
x
2
Cx2
x
2
1
Dlím x!1
xC2
xC1
D1;
ya que
lím
x!1
.xC1/D1C1D0&lím
x!1
.xC2/D1C2D1:
Aún más:
lím
x!1

f.x/Dlím
x!1

xC2
xC1
D1,yaquexC2>0&xC1<0,cuandox!1

.
También:
lím
x!1
C
f.x/Dlím
x!1
C
xC2
xC1
DC1,yaquexC2>0&xC1>0,cuandox!1
C
.
Luego, la rectaxD1es la única asíntota vertical.
Asíntotas horizontales: analicemos el comportamiento defen el inﬁnito:
lím
x!C1
f.x/Dlím
x!C1
xC2
xC1
Dlím x!C1
1C
2
x
1C
1
x
D
1
1
D1:
De igual manera se obtiene que lím
x!1
f.x/D1.
Luego, la rectayD1es la única asíntota horizontal.

248 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
c.Un bosquejo de la gráﬁca de la funciónfes
x
y
1
211
yDf.x/
„
1;
3
2
«

Rango:R fDR

1;
3
2

.

27.Seaf.x/D
6x
3
C3x
2
3x
2x
3
C3x
2
2x
, hallar:
a.Dominio y raíces.
b.Intervalos de continuidad, clasiﬁcando las discontinuidades.
c.Ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales.
d.Esbozo gráﬁco def.
H
a.Dominio:D
fDfx2R

2x
3
C3x
2
2x6 D0g.
Calculemos los ceros del denominador
2x
3
C3x
2
2xDx.2x
2
C3x2/D0I
2x
2
C3x2D0,xD
3˙
p
9C16
4
D
3˙5
4
D
⎧
⎨
⎩
1
2
2I
luego:
2x
3
C3x
2
2xDx.2x
2
C3x2/D2x.xC2/

x
1
2

D0,
,x2

2;0;
1
2

;
entonces:
D
fDR

2;0;
1
2

:
Ahora para hallar las raíces observemos análogamente que
6x
3
C3x
2
3xD3x.2x
2
Cx1/yque
2x
2
Cx1D0,xD
1˙
p
1C8
4
D
1˙3
4
D
⎧
⎨
⎩
1
2
1I

4.3 Continuidad en intervalos 249
por lo tanto,
6x
3
C3x
2
3xD3x.2x
2
Cx1/D6x.xC1/

x
1
2

D0,xD1,0obien
1
2
.
Ya que ni0ni
1
2
no pertenecen al dominio def,suúnicaraízesxD1.
b.Intervalos de continuidad:.1;2/,.2;0/,

0;
1
2

&

1
2
;C1

.
Para clasiﬁcar las discontinuidades calculemos
lím
x!2

f.x/Dlím
x!2

6x
3
C3x
2
3x
2x
3
C3x
2
2x
Dlím x!2

6x.xC1/

x
1
2

2x.xC2/

x
1
2
D
Dlím
x!2

3.xC1/
xC2
D˙1;
por lo tanto la discontinuidad enxD2es esencial inﬁnita y la rectaxD2es asíntota vertical;
lím
x!0
f.x/Dlím
x!0
3.xC1/
xC2
D
31
0C2
D
3
2
;
por lo que la discontinuidad enxD0es removible;
lím
x!
1
2
f.x/Dlím
x!
1
2
3.xC1/
xC2
D
3

3
2

1
2
C2
D
9
2
5
2
D
9
5
;
por lo cual la discontinuidad enxD
1
2
también es removible.
c.Ya vimos que la única asíntota vertical es la rectaxD2.
Para hallar las asíntotas horizontales calculemos
lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1
6x
3
C3x
2
3x
2x
3
C3x
2
2x
Dlím x!˙1
6C
3
x

3
x
2
2C
3
x

2
x
2
D
6
2
D3:
Inferimos de aquí queyD3es la única asíntota horizontal.
d.La gráﬁca de la funciónfes:
x
y
3
„
0;
3
2
«
21
yDf.x/„
1
2
;
9
5
«

250 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
28.Considere la funciónf.x/D
x
2
2x3
9x
2
.
a.Proporcione dominio, raíces e intervalos de continuidad de la funciónf.
b.Obtenga las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la funciónf.
c.Dibuje la gráﬁca y halle la imagen de la funciónf.
H
a.Por ser una función racional, su dominio es:
D
fDRfx

9x
2
D0gDRfx

x
2
D9gDRf3; 3g:
Raíces: parax2D
f
f.x/D0,x
2
2x3D0,.xC1/.x3/D0,xC1D0obienx3D0,
,xD1obienxD3:
PeroxD36 2D
f, por lo cual sólo hay una raíz que esxD1.
Intervalos de continuidad:
Por serfuna función racional, es continua en todo su dominio
D
fD.1;3/[.3; 3/[.3;C1/:
b.Esta función tiene dos discontinuidades: enxD3yenxD3.
Six3¤0
lím
x!3
f.x/Dlím
x!3
x
2
2x3
9x
2
Dlím
x!3
.xC1/.x3/
.3x/.3Cx/
D
Dlím
x!3
xC1
.3Cx/
D
3C1
.3C3/
D
4
6
D
2
3
:
Entonces la funciónf.x/tiene enxD3una discontinuidad removible.
Por otro lado:
lím
x!3
f.x/Dlím
x!3
xC1
.3Cx/
Dlím x!3
.xC1/
3Cx
D
“

2
0

”
D1:
Ya que.3Cx/!0yque.xC1/!2cuandox!3.
Aún más,
Cuandox<3&xpróximo a3:
lím
x!3

f.x/Dlím
x!3

x1
3Cx
D1:Ya quex1>0yque3Cx<0.
Cuandox>3&xpróximo a3:
lím
x!3
C
f.x/Dlím
x!3
C
x1
3Cx
DC1:Ya quex1>0yque3Cx>0.
La rectaxD3es una asíntota vertical.
Ahora bien,
lím
x!C1
f.x/Dlím
x!C1
x1
xC3
Dlím x!C1
1
1
x
1C
3
x
D
1
1
D1:
Así también,
lím
x!1
f.x/D1:
Entonces la rectayD1es la asíntota horizontal.

4.3 Continuidad en intervalos 251
c.Un bosquejo de la gráﬁca de la funciónfes:
x
y
1
3
13
yDf.x/

Rango:R fDR

1;
2
3

.
(Es preciso observar que
x
2
2x39x
2
?1,puesx
2
2x3D.9x
2
/,2x3D9,
2xD6,xD3pero3…D
f.)

29.Sealafunciónh.x/D
2x
2
18
x
2
25
:
a.Obtener el dominio, raíces e intervalos de continuidad.
b.Hallar las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales.
c.Bosquejar la gráﬁca de la funciónh.
H
a.Por ser una función racional, su dominio es
D
hDRfx

x
2
25D0gDRfx

x
2
D25gDRf5; 5g:
Raíces: parax2D
hh.x/D0,2x
2
18D0,x
2
D9,xD˙3, que son sus dos raíces.
Por ser una función racional es continua en todo su dominio; es decir, en
.1;5/[.5; 5/[.5;1/:
b.La función es discontinua enxD5yenxD5.
lím
x!5

h.x/Dlím
x!5

2x
2
18
x
2
25
Dlím x!5

2x
2
18
.xC5/.x5/
DC1;
ya que.x
2
25/!0con valores positivos y ya que.2x
2
18/!32,queespositivo,cuando
x!5

.
Análogamente:
lím
x!5
C
h.x/Dlím
x!5
C
2x
2
18
x
2
25
Dlím x!5
C
2x
2
18
.xC5/.x5/
D1;
ya que.x
2
25/!0con valores negativos y ya que.2x
2
18/!32, que es positivo, cuando
x!5
C
.

252 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
De lo anterior podemos aﬁrmar que la rectaxD5es una asíntota vertical.
De manera semejante se obtiene que la rectaxD5es una asíntota vertical y además que
lím
x!5

h.x/D1&lím
x!5
C
h.x/DC1:
También se pueden obtener estos resultados considerando que la función es par.
En cuanto a las asíntotas horizontales vemos que
lím
x!1
h.x/Dlím
x!1
2x
2
18
x
2
25
Dlím x!1
2
18
x
2
1
25
x
2
D
2
1
D2
yque
lím
x!C1
h.x/Dlím
x!C1
2x
2
18
x
2
25
D2;
lo cual nos permite aﬁrmar que la rectayD2es la única asíntota horizontal de la función.
c.Un bosquejo de la gráﬁca dehpuede ser así:
x
y
2
3535
yDh.x/

30.De la funciónf.x/D
x
2
C4x12
x
2
7xC10
,encontrar:
a.Dominio, raíces, puntos de discontinuidad y su clasiﬁcación.
b.Las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales.
c.El bosquejo de su gráﬁca.
H
a.Dominio: vemos que
f.x/D
x
2
C4x12
x
2
7xC10
D
.xC6/.x2/
.x5/.x2/
D
xC6
x5
six¤2.
Así:
D
fDRf5; 2g:
La raíz es:xD6.
Discontinuidades:
EnxD2se tiene una discontinuidad removible, & lím
x!2
f.x/D
8
3
.
EnxD5se tiene una discontinuidad esencial inﬁnita, ya que lím
x!5
f.x/D1.

4.3 Continuidad en intervalos 253
b.Puesto que
lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1
1C
6
x
1
5
x
D1;
entoncesyD1es asíntota horizontal.
Se tiene quexD5es una asíntota vertical. Para esto vamos a examinar los límites laterales:
i.Six!5

)x<5)x5<0).x5/!0

,entonces:
lím
x!5

f.x/Dlím
x!5

xC6
x5
D
“

11
0

”
D1:
ii.Six!5
C
)x>5)x5>0).x5/!0
C
,entonces:
lím
x!5
C
f.x/Dlím
x!5
C
xC6
x5
D
“

11
0
C

”
DC1:
c.Un esbozo de la gráﬁca de la funciónfes el siguiente:
x
y
625
1
yDf.x/

8
3

31.De la funciónf.x/D
x
2
x6
x
2
C3xC2
,encontrar:
a.Dominio, raíces, puntos de discontinuidad y su clasiﬁcación.
b.Las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales.
c.El bosquejo de su gráﬁca.
H
a.Tenemos
f.x/D
x
2
x6
x
2
C3xC2
D
.x3/.xC2/
.xC1/.xC2/
D
x3
xC1
,six?2.
Por lo tanto podemos indicar ahora:
Dominio:D
fDRf1;2g.
Raíz:xD3.
Discontinuidades: enxD2existe una discontinuidad removible, ya que
lím
x!2
f.x/Dlím
x!2
x3
xC1
D
5
1
D5:
EnxD1existe una discontinuidad esencial inﬁnita, ya que lím
x!1
f.x/D
“

4
0

”
D1.

254 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
b.Como
f.x/D
1
3
x
1C
1
x
,parax¤0;
entonces,
lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1
1
3
x
1C
1
x
D
1
1
D1:
Encontramos queyD1es asíntota horizontal.
Calculamos los límites laterales enxD1.
i.Six!1

)x<1)xC1<0).xC1/!0

, obtenemos
lím
x!1

f.x/Dlím
x!1

x3
xC1
D
“

4
0

”
DC1:
ii.Six!1
C
)x>1)xC1>0).xC1/!0
C
, obtenemos
lím
x!1
C
f.x/Dlím
x!1
C
x3
xC1
D
“

4
0
C

”
D1:
c.La gráﬁca de la funciónf.x/es:
x
y
21
3
1
5
3

yDf.x/

32.Para la funciónf.x/D
x
2
C4xC3
x
2
x2
, determinar:
a.Dominio, raíces e intervalos de continuidad.
b.Discontinuidades y su clasiﬁcación.
c.Asíntotas verticales y horizontales.
d.Un esbozo de la gráﬁca.
H
a.Dominio:
D
fDR

x2R

x
2
x2D0

;
pero
x
2
x2D.x2/.xC1/D0,xD1obienxD2I

4.3 Continuidad en intervalos 255
luego:
D
fDRf1; 2g:
Para calcular las raíces, vemos que:
x
2
C4xC3D.xC3/.xC1/D0,xD1obienxD3;
pero como16 2D
f,entoncesxD3es la única raíz def.x/.
La funciónfes continua en su dominio:.1;1/[.1; 2/[.2;1/.
b.Ahora:
f.x/D
.xC1/.xC3/
.xC1/.x2/
D
xC3
x2
, en su dominio;
lím
x!1
f.x/Dlím
x!1
xC3
x2
D
2
3
D
2
3
I
luego, enxD1la función tiene una discontinuidad removible, ya que si deﬁniésemos
f.1/D
2
3
,lafunciónfresultaría continua en1.
Vemos también que:
lím
x!2

f.x/Dlím
x!2

xC3
x2
D1&lím x!2
C
f.x/Dlím
x!2
C
xC3
x2
DC1;
por lo que enxD2la función tiene una discontinuidad inﬁnita.
c.Por lo anterior inferimos quexD2es la única asíntota vertical de la función. Para obtener las
horizontales calculemos
lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1
xC3
x2
Dlím x!˙1
1C
3
x
1
2
x
D
1C0
10
D
1
1
D1I
obtenemos queyD1es asíntota horizontal.
d.Ésta es la gráﬁca de la funciónf:
x
y

2
3
1
13
2
yDf.x/

33.Para la funciónf.x/D
x
2
1
x
3
;determine:
a.Dominio, raíces y paridad.
b.Ecuaciones de las asíntotas verticales y de las asíntotas horizontales.

256 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
c.Discontinuidades y su clasiﬁcación.
d.Esbozo gráﬁco y rango.
H
a.Dominio:D
fDRf0g.
Raíces:xD˙1,quesonlasraícesdex
2
1D0.
Es impar pues
f.x/D
.x/
2
1
.x/
3
D
x
2
1
x
3
D
x
2
1
x
3
Df.x/:
b.xD0es asíntota vertical pues
lím
x!0
˙
f.x/D 1I
yD0es asíntota horizontal pues
lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1

1
x

1
x
3

D0:
c.Se trata de una función racional y por lo tanto es continua en su dominioRf0g.EnxD0la
discontinuidad es inﬁnita por lo visto en lo anterior .
d.Ésta es la gráﬁca de la funciónf:
x
y
11
yDf.x/
Su rango es todoR.

34.Para la funciónf.x/D
x
2
x2
x
2
2x
, determine:
a.Los puntos de discontinuidad y su clasiﬁcación.
b.Las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales.
c.Un esbozo de la gráﬁca.
H
a.Como es una función racional, los puntos de discontinuidad son las raíces del denominador
x
2
2xDx.x2/D0)xD0&xD2:
Como
x
2
x2D.x2/.xC1/D0)xD2&xD1;

4.3 Continuidad en intervalos 257
xD2es un punto de discontinuidad removible; lo vemos en:
f.x/D
x
2
x2
x
2
2x
D
.x2/.xC1/
.x2/x
D
xC1
x
six6 D2I
yen:
lím
x!2
f.x/D
3
2
:
Por lo que si deﬁniésemosf.2/D
3
2
,lafunciónfresultaría continua enxD2.
EnxD0hay una discontinuidad esencial inﬁnita, pues lím
x!0
˙
f.x/D˙1:
b.Según lo que acabamos de calcular,xD0es asíntota vertical.
Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos
lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1
.1C
1
x
/D1C0D1;porloqueyD1es la asíntota horizontal.
c.Vem o s quexD1es la única raíz def.x/, esto es, quef.1/D0.Lagráﬁca de la funciónfes:
x
y
3
2
1
12
yDf.x/

35.Dadaf.x/D
2x
2
Cx3
x
2
Cx2
.
a.Determinar su dominio y sus raíces.
b.Clasiﬁque sus puntos de discontinuidad.
c.Encuentre las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales.
d.Haga un bosquejo de su gráﬁca.
H
a.Dominio:
D
fD

x2R

x
2
Cx26 D0

D

x2R

.xC2/.x1/6 D0

DRf2;1g:
Raíces:
2x
2
Cx3D0,xD
1˙
p
1C24
4
D
1˙
p
25
4
D
1˙5
4
D
⎧
⎨
⎩
1I

3
2
:
Luego, la única raíz esxD
3
2
,puesenxD1la función no está deﬁnida.

258 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
b.EnxD2hay una discontinuidad esencial inﬁnita, pues
lím
x!2

f.x/Dlím
x!2

2

xC
3
2

.x1/
.xC2/.x1/
Dlím x!2

2xC3
xC2
D
“

1
0

”
DC1:
También
lím
x!2
C
f.x/Dlím
x!2
C
2xC3
xC2
D
“

1
0
C

”
D1:
En cambio enxD1la discontinuidad es removible ya que si deﬁniésemosf.1/como
lím
x!1
f.x/Dlím
x!1
2xC3
xC2
D
5
3
la funciónfresultaría continua enxD1.
c.De lo visto en (b) se desprende que la rectaxD2es la asíntota vertical y como
lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1
2xC3
xC2
Dlím x!˙1
2C
3
x
1C
2
x
D
2C0
1C0
D
2
1
D2;
obtenemos queyD2es la asíntota horizontal.
d.Podemos tabularf.0/D
20
2
C03
0
2
C02
D
203
02
D
03
02
D
3
2
D
3
2
.
La gráﬁca de la funciónfes:
x
y

3
2
21
yDf.x/
„
1;
5
3
«
2

36.Para la funciónf.x/D
x
2
1
4x
2
, obtener:
a.Dominio y puntos de intersección con el ejex.
b.Intervalos de continuidad.
c.Ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales.
d.Bosquejo gráﬁco.
H
a.Como se trata de una función racional, su dominio es todoRexcepto las raíces del denominador,
es decir, losxtales que
4x
2
D0,x
2
D4,jxjD2,xD˙2:

4.3 Continuidad en intervalos 259
Porloqueeldominiodefes:D fDRf˙2g.
La gráﬁca de la función interseca al ejexcuandof.x/D0, esto es, cuando
x
2
1D0,x
2
D1,jxjD1,xD˙1:
b.En.1;2/[.2;2/[.2;C1/la funciónfes continua debido a que es una función racional.
c.Observamos que
lím
x!2

f.x/Dlím
x!2

x
2
1
.2Cx/.2x/
D 1:
Por lo que la rectaxD2es una asíntota vertical; pero, como la función es par, la rectaxD2
también es asíntota vertical. Ahora vemos que
lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1
1
1
x
2
4
x
2
1
D
10
01
D
1
1
D1:
Por lo que la rectayD1es asíntota horizontal.
d.Tabulamosf.0/D
1
4
.
La gráﬁca de la funciónfes:
x
y
1
2112
yDf.x/

37.Sealafunciónf.x/D
3x
3
3x
x
4
Cx
3
.
Hallar el dominio y las raíces, clasiﬁcar sus discontinuidades, encontrar sus asíntotas verticales y
horizontales y hacer un bosquejo de la gráﬁca.
HDominio:
D
fD

x2R

x
4
Cx
3
Dx
3
.xC1/6 D0

D

x2R

x6 D0&x6 D1

D
DRf0;1gI
Raíces:
3x
3
3xD3x.x
2
1/D3x.x1/.xC1/D0,xD0; xD1&xD1:
Ésas son las raíces del numerador, pero como06 2D
f&16 2D f,laúnicaraízdefesxD1.
Discontinuidades:
La funciónfes continua en su dominio, pues es una función racional.

260 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
EnxD1la discontinuidad es removible, pues:
lím
x!1

f.x/Dlím
x!1
3x.x1/.xC1/
x
3
.xC1/
Dlím x!1
3.x1/
x
2
D
3.2/
.1/
2
D6I
por lo que, si deﬁniésemosf.1/D6,entoncesfresultaría continua enxD1.
EnxD0la discontinuidad es esencial inﬁnita, pues:
lím
x!0

f.x/Dlím
x!0

3x.x1/.xC1/
x
3
.xC1/
Dlím x!0

3.x1/
x
2
D1I
Asíntotas:
Se ve quexD0es una asíntota vertical y además
lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1
3x
3
3x
x
4
Cx
3
Dlím
x!˙1
3
x

3
x
3
1C
1
x
D
00
1C0
D
0
1
D0
por lo queyD0es asíntota horizontal.
Un bosquejo de la gráﬁca defes:
x
y
6
11
yDf.x/

38.Para la funciónf.x/D
x
2
Cx6
x
2
C4xC3
, determine:
a.Dominio y raíces.
b.Intervalos de continuidad. Puntos de discontinuidad y su clasiﬁcación.
c.Asíntotas verticales y horizontales.
d.Esbozo gráﬁco y rango.
H
a.Por serfuna función racional su dominio es
D
fDR

x

x
2
C4xC3D0

DR

x

.xC3/.xC1/D0

I
D
fDRf3;1g:
Para quef.x/D0, es necesario quex
2
Cx6D0,.xC3/.x2/D0,xD3obienque
xD2.
Es decir,f.x/sería0enxD3yenxD2,peroxD3no está en el dominio def;porlotanto
ftiene solamente una raíz que esxD2.

4.3 Continuidad en intervalos 261
b.Discontinuidad:
Por serfuna función racional es continua en todo su dominio:
D
fDRf3;1g:
Es decir,fes continua en los intervalos
.1;3/,.3;1/y.1;C1/:
Esta función tiene discontinuidades enxD3yenxD1.
lím
x!3
f.x/Dlím
x!3
.xC3/.x2/
.xC3/.xC1/
Dlím x!3
x2
xC1
D
D
32
3C1
D
5
2
D
5
2
)
)ftiene enxD3una discontinuidad removible;
lím
x!1
f.x/Dlím
x!1
.xC3/.x2/
.xC3/.xC1/
Dlím x!1
x2
xC1
D
“

3
0

”
D1:
Por lo cual lím
x!1
f.x/no existe. Esto es,ftiene enxD1una discontinuidad esencial inﬁnita.
c.Asíntotas verticales:
i.Cuandox!1

:
lím
x!1

f.x/Dlím
x!1

x2
xC1
DC1I
ya que.x2/!3<0&.xC1/!0conxC1<0.
ii.Cuandox!1
C
:
lím
x!1
C
f.x/Dlím
x!1
C
x2
xC1
D1I
ya que.x2/!3<0&.xC1/!0conxC1>0.
Luego, la rectaxD1es una asíntota vertical y además es la única.
Asíntotas horizontales:
lím
x!C1
f.x/Dlím
x!C1
x2
xC1
Dlím x!C1
x

1
2
x

x

1C
1
x
Dlím
x!C1
1
2
x
1C
1
x
D
1
1
D1:
También lím
x!1
f.x/D1.
Por lo tanto la rectayD1es la única asíntota horizontal def.
d.La gráﬁca defes:
x
y
5
2
3 12
yD1
yDf.x/

262 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
El rango de la función es:
R
fD.1;1/[

1;
5
2

[

5
2
;C1

I
R
fDR

1;
5
2

:
Observe que
5
2
62R
f,pues
f.x/D
5
2
,
x
2
Cx6
x
2
C4xC3
D
5
2
,2x
2
C2x12D5x
2
C20xC15,
,3x
2
C18xC27D0,x
2
C6xC9D0,.xC3/
2
D0,
,xD3;
peroxD36 2D
f.
Análogamente1…R
f,puesf.x/D1,
x
2
Cx6
x
2
C4xC3
D1,x
2
Cx6Dx
2
C4xC3,
3xC9D3.xC3/D0,xD3,pero3…D
f.

39.Para la funciónf.x/D
2x
2
C2x4
x
2
4
, determine:
a.Dominio y raíces.
b.Puntos de discontinuidad y su clasiﬁcación.
c.Asíntotas verticales y horizontales.
d.Esbozo gráﬁco def.
H
a.Dominio:
D
fD

x2R

f.x/2R

D

x2R

2x
2
C2x4
x
2
4
2R

D
D

x2R

x
2
46 D0

D

x2R

x
2
6D4

D

x2R

x6 D˙2

I
D
fDRf2;2g:
Las raíces defson
f.x/D0,2x
2
C2x4D0,2.x
2
Cx2/D0,
,2.xC2/.x1/D0,xD2obienxD1;
peroxD26 2D
f,porloquecualftienesólounaraízqueesxD1.
b.Por ser una función racional,fes continua en todo su dominioD
fDRf2;2g.
Tiene discontinuidades enxD2yenxD2.
lím
x!2
f.x/Dlím
x!2
2x
2
C2x4
x
2
4
Dlím x!2
2.xC2/.x1/
.x2/.xC2/
D
Dlím
x!2
2.x1/
.x2/
D
2.21/
22
D
2.3/
4
D
6
4
D
3
2
I
entoncesftiene enxD2una discontinuidad removible o evitable.
lím
x!2
f.x/Dlím
x!2
2.x1/
x2
Dno existe,

4.3 Continuidad en intervalos 263
ya que lím
x!2
Œ2.x1/D2&lím
x!2
.x2/D0,entonces
2.x1/
x2
!
“

2
0

”
,porloque
lím
x!2
f.x/DC1obien1:
Tiene enxD2una discontinuidad esencial inﬁnita.
c.Para las asíntotas verticales pensamos en la rectaxD2. Para corroborarlo calculamos los límites
laterales lím
x!2

f.x/&lím
x!2
C
f.x/.
i.Six!2

,entoncesx<2&x2<0.
Como lím
x!2

2.x1/D2>0&lím
x!2

.x2/D0

lím
x!2

2.x1/
x2
D1:
ii.Six!2
C
,entoncesx>2&x2>0.
Como lím
x!2
C
2.x1/D2>0&lím
x!2
C
.x2/D0
C
lím
x!2
C
2.x1/
x2
DC1:
Por lo tanto la rectaxD2es una asíntota vertical defyademáseslaúnica.
Para las asíntotas horizontales calculamos los límites en el inﬁnito.
lím
x!1
f.x/Dlím
x!1
2x2
x2
Dlím x!1
x

2
2
x

x

1
2
x
D
Dlím
x!1
2
2
x
1
2
x
D
2
1
D2:
También lím
x!C1
f.x/D2.
La rectayD2es una asíntota horizontal defyademáseslaúnica.
d.Un bosquejo de la gráﬁca es
x
y
2
2 12
yDf.x/

„
2;
3
2
«

264 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
40.Para la funciónf.x/D
2x
2
C6x
x
2
C5xC6
, determinar:
Dominio y raíces; intervalos de continuidad y tipo de discontinuidades; asíntotas verticales y hori-
zontales; dibujar la gráﬁca.
HDominio:
D
fD

x2R

f.x/2R

D

x2R

2x
2
C6x
x
2
C5xC6
2R

D
D

x2R

x
2
C5xC66 D0

DR

x

x
2
C5xC6D0

:
Pero como
x
2
C5xC6D0,.xC3/.xC2/D0,xC3D0obienxC2D0,
,xD3obienxD2;
entoncesD
fDRf3;2g.
Raíces:
Para quef.x/D0, es necesario
2x
2
C6xD0,2x.xC3/D0,
,2xD0obienxC3D0,xD0obienxD3:
AparentementexD0&xD3son raíces def, pero debido a quexD36 2D
f,entoncesftiene
sólo una raíz que esxD0.
Intervalos de continuidad y tipo de discontinuidades.
Por ser una función racional,fes continua en todo su dominioD
fDRf3;2g.
Es decir,fes continua en el conjunto.1;3/[.3;2/[.2;C1/.
Entoncesftiene discontinuidades enxD3yenxD2.
Veamos qué tipo de discontinuidades son:
lím
x!3
f.x/Dlím
x!3
2x
2
C6x
x
2
C5xC6
Dlím x!3
2x.xC3/
.xC3/.xC2/
D
Dlím
x!3
2x
xC2
D
2.3/
3C2
D
6
1
D6:
Entonces lím
x!3
f.x/D6, por lo cual la discontinuidad queftiene enxD3es removible o evitable.
lím
x!2
f.x/Dlím
x!2
2x
xC2
D
“

4
0

”
D1:
Entonces lím
x!2
f.x/no existe por lo que la discontinuidad es esencial y además inﬁnita.
Asíntotas verticales y horizontales.
Una posible asíntota vertical es la rectaxD2, por lo cual precisaremos los límites laterales lím
x!2

f.x/
&lím
x!2
C
f.x/.
lím
x!2

f.x/Dlím
x!2

2x
xC2
D
“

4
0

”
:
Six!2

,entonces

x<2 )xC2<0I
2x!4)2x < 0I

4.3 Continuidad en intervalos 265
por lo que
2x
xC2
>0y, po r lo m is m o ,
2x
xC2
!C1;luego:
lím
x!2

f.x/DC1I
lím
x!2
C
f.x/Dlím
x!2
C
2x
xC2
D
“

4
0
C

”
:
Six!2
C
,entonces

x>2 )xC2>0I
2x!4)2x < 0:
Por lo que
2x
xC2
<0y, po r lo m is m o ,
2x
xC2
!1,entonces, lím x!2
C
f.x/D1.
Con lo cual podemos aﬁrmar que la rectaxD2es la úniva asíntota vertical.
Para determinar las asíntotas horizontales, calculamos lím
x!1
f.x/&lím
x!C1
f.x/.
lím
x!1
f.x/Dlím
x!1
2x
xC2
Dlím x!1
x.2/
x

1C
2
x
D
Dlím
x!1
2 1C
2
x
D
2
1
D2:
Por lo tanto la rectayD2es la única asíntota horizontal, ya que de igual manera se puede veriﬁcar
que lím
x!C1
f.x/D2.
Un esbozo de la gráﬁca def:
x
y
6
2
320
yDf.x/

41.Para la funciónf.x/D
1
x
2
C
1
x
3
, determine:
a.Dominio, raíces y paridad.
b.Clasiﬁcación de discontinuidades.
c.Ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales.
d.Esbozo gráﬁco y rango def.

266 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
H
a.Dominio.
Por serfuna función racional, su dominio es
D
fDR

x

x
3
D0

DRf0g:
Raíces:
f.x/D0,
xC1
x
3
D0,xC1D0,xD1:
Paridad:
f.x/D
1
x
2
C
1
x
3
)f.x/D
1
.x/
2
C
1
.x/
3
D
1
x
2

1
x
3
I
f.x/D

1
x
2
C
1
x
3

D
1
x
2

1
x
3
:
Luego,f.x/6 Df.x/, pues si igualamos
1
x
2

1
x
3
D
1
x
2

1
x
3
y multiplicamos porx
3
,x¤0;
x1Dx1)xD0lo cual es absurdo.
También directamente pues, por ejemplo,f.1/D0&f.1/D2.
Por lo tantofno es par ni tampoco es impar.
b.Por ser una función racionalfes continua en todo su dominioD
fDRf0g. Esto es,fes
continua en el conjunto.1;0/[.0;C1/.
Entoncesftiene una discontinuidad enxD0.
Como lím
x!0
.xC1/D1&lím
x!0
x
3
D0,entonceslím
x!0
xC1
x
3
D1. Es decir la discontinuidad es
esencial; puede decirse también que la discontinuidad es inﬁnita.
c.Precisamos lím
x!0
f.x/determinando los límites laterales:
lím
x!0

f.x/Dlím
x!0

xC1
x
3
D
“

1
0

”
D1:
Puesto quex!0

,entoncesx<0&.xC1/!1>0.
Comox
3
<0&.xC1/ > 0,entonces
xC1
x
3
<0,porloque
xC1
x
3
!1.
Por otro lado:
lím
x!0
C
f.x/Dlím
x!0
C
xC1
x
3
D
“

1
0
C

”
DC1:
Puesto quex!0
C
,entoncesx>0&.xC1/!1>0.
Comox
3
>0y.xC1/ > 0,entonces
xC1
x
3
>0,porloque
xC1
x
3
!C1.
De lo anterior se desprende que la rectaxD0es una asíntota vertical y que además es la única.
Ahora bien,
lím
x!C1
f.x/Dlím
x!C1

1
x
2
C
1
x
3

D0:
La rectayD0es una asíntota horizontal y además es la única pues
lím
x!1
f.x/Dlím
x!1
xC1
x
3
Dlím
x!1
x

1C
1
x

xx
2
Dlím
x!1
1C
1
x
x
2
D
“

1
C1

”
D0:

4.3 Continuidad en intervalos 267
d.La gráﬁca de la funciónfes:
x
y
11
yDf.x/
El rango defes todoR.

42.Para la funciónf.x/D
x
2
C2x8
x
2
4
, determinar: dominio y raíces; intervalos de continuidad y tipo
de discontinuidades; asíntotas verticales y horizontales; esbozar su gráﬁca.
HDominio:
D
fD

x2R

x
2
4¤0

D

x2R

.xC2/.x2/¤0

DRf˙2g:
Raíces:
Para hallar las raíces se resuelvex
2
C2x8D0;comox
2
C2x8D.xC4/.x2/,seveque
x
2
C2x8D0,xD2&xD4;perocomo2…D f,laúnicaraízdefesxD4.
Continuidad:
La función por ser racional es continua en su dominio, es decir, en.1;2/[.2;2/[.2;C1/.
Calculamos
lím
x!2

f.x/Dlím
x!2

.xC4/.x2/
.xC2/.x2/
Dlím x!2

xC4
xC2
D 1:
Pues lím
x!2
.xC4/D2>0&lím
x!2

.xC2/D0 .
Asíntotas:
Analizando el límite anterior, la discontinuidad enxD2es esencial inﬁnita, y entonces la recta
xD2es asíntota vertical.
Análogamente
lím
x!2

f.x/Dlím
x!2
xC4
xC2
D
6
4
D
3
2
;
por lo que la discontinuidad enxD2es removible, pues, si se deﬁniesef.2/D
3
2
,entoncesf.x/
resultaría continua enxD2.
Yahora:
lím
x!˙1
x
2
C2x8
x
2
4
Dlím x!˙1
x
2

1C
2
x

8
x
2

x
2

1
4
x
2
Dlím
x!˙1
1C
2
x

8
x
2
1
4
x
2
D
1
1
D1:
Por lo tanto la rectayD1es asíntota horizontal.
La gráﬁca de la funciónfes:

268 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
1
242
yDf.x/

„
2;
3
2
«

43.Sea la funciónf.x/D
x
3
C3x
2 x
3
x
2
:Encontrar el dominio y las raíces; clasiﬁcar sus discontinuidades,
encontrar sus asíntotas verticales y horizontales; además hacer un bosquejo de la gráﬁca.
HDominio: por serfuna función racional su dominio es:
D
fDR

x

x
3
x
2
D0

DR

x

x
2
.x1/D0

DRf0; 1g:
Raíces:
f.x/D0,x
3
C3x
2
D0,x
2
.xC3/D0)xD0así como tambiénxD3:
Pero comoxD0…D
f, entonces sóloxD3es raíz.
Discontinuidades:
Por serfuna función racional es continua en todo su dominioD
fDRf0; 1g,porloquefes
discontinua enxD0yenxD1.
Para averiguar los tipos de discontinuidades calculamos
lím
x!0
f.x/Dlím
x!0
x
3
C3x
2
x
3
x
2
Dlím
x!0
x
2
.xC3/
x
2
.x1/
Dlím x!0
xC3
x1
D
3
1
D3:
Por lo cualftiene enxD0una discontinuidad removible o evitable.
lím
x!1
f.x/Dlím
x!1
xC3
x1
D
“

4
0

”
no existe.
a.Cuandox!1

, sucede que.xC3/!4>0yque.x1/!0con valores negativos; por lo
tanto
xC3
x1
D
“

4
0

”
D1;entonces lím
x!1

f.x/D1.
b.Cuandox!1
C
, sucede que.xC3/!4yque.x1/!0con valores positivos; por lo tanto
xC3
x1
D
“

4
0
C

”
DC1;entonces lím
x!1
C
f.x/DC1.
Por lo cualftiene enxD1una discontinuidad esencial, más aún, una discontinuidad inﬁnita.
Asíntotas:
Asíntotas verticales
Debido a que lím
x!1

f.x/D1yaque lím
x!1
C
f.x/DC1,sepuedeaﬁrmar que la rectaxD1es una
asíntota vertical de la funciónf.Ademáseslaúnica.
Asíntotas horizontales

4.3 Continuidad en intervalos 269
Vem o s que lím
x!C1
f.x/Dlím
x!C1
x
3
C3x
2
x
3
x
2
Dlím
x!C1
x
3
.1C
3
x
/
x
3
.1
1
x
/
Dlím
x!C1
1C
3
x
1
1
x
D
1
1
D1.
Entonces la rectayD1es una asíntota horizontal y es la única, ya que lím
x!1
f.x/D1.
El bosquejo de la gráﬁca de la funciónfes el siguiente:
x
y
1
3
31
yDf.x/

44.Para la funciónf.x/D
4x
2
8x
x
2
4
, realice lo siguiente:
a.Determine su dominio y raíces.
b.Mencione sus tipos de discontinuidad.
c.Encuentre las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales.
d.Haga un esbozo de la gráﬁca def.
H
a.Dominio:
D
fDR

x2R

x
2
4D0

:
Perox
2
4D0,x
2
D4,jxjD2,xD˙2.
Por lo queD
fDRf˙2g.
Raíces:
Para hallar las raíces se considera cuandof.x/D0, esto es, cuando
4x
2
8xD0,4x.x2/D0,xD0ycuandoxD2:
Pero como2…D
f, entonces la única raíz esxD0.
b.Se sabe que
f.x/D
4x
2
8x
x
2
4
D
4x.x2/
.xC2/.x2/
:
Se calcula
lím
x!2
f.x/Dlím
x!2
4x
2
8x
x
2
4
Dlím x!2
4x.x2/
.xC2/.x2/
Dlím x!2
4x
xC2
D
8
4
D2:
Por lo que enxD2, la función tiene una discontinuidad removible, ya que, si se deﬁniese
f.2/D2, la función resultaría continua.

270 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Por el contrario como
lím
x!2
f.x/Dlím
x!2
˙
4x
2
8x
x
2
4
Dlím x!2
˙
4x.x2/
.xC2/.x2/
D 1;
pues
lím
x!2
Œ4x.x2/D32ylím
x!2
˙
Œ.xC2/.x2/D0

;
ya que
lím
x!2
.x2/D4ylím
x!2
˙
.xC2/D0
˙
:
La discontinuidad enxD2es esencial inﬁnita.
c.Por los resultados obtenidos en el inciso anteriorŒlím
x!2
˙
f.x/D 1;se concluye que la recta
xD2es asíntota vertical.
Para hallar las asíntotas horizontales se determina
lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1
4x
2
8x
x
2
4
Dlím x!˙1
x
2

4
8
x

x
2

1
4
x
2
D
Dlím
x!˙1
4
8
x
1
4
x
2
D
40
10
D
4
1
D4:
Entonces la rectayD4es asíntota horizontal (la única).
d.La gráﬁca de la funciónfes:
x
y
2
4
22
yDf.x/

45.Para la curvayD
2x
2
x
2
1
, obtener: dominio, raíces y paridad; intervalos de continuidad, discon-
tinuidades y su clasiﬁcación; asíntotas verticales y horizontales.
HDominio:
Por serf.x/D
2x
2
x
2
1
una función racional, su dominio es
D
fDR

x

x
2
1D0

DR

x

x
2
D1

DRf1; 1g:
Raíces:
f.x/D0,
2x
2
x
2
1
D0,2x
2
D0,x
2
D0,xD0:

4.3 Continuidad en intervalos 271
Paridad:
f.x/D
2.x/
2
.x/
2
1
D
2x
2
x
2
1
Df.x/)fes una función par.
Intervalos de continuidad, discontinuidades y su clasiﬁcación:
Por serfuna función racional, es continua en todo su dominioD
fDRf1; 1g.Esdecir,fes
continua en el conjunto.1;1/[.1; 1/[.1;C1/.
Esta función tiene dos discontinuidades enxD1yenxD1.
Para decidir qué tipo de discontinuidades son vemos si existen o no lím
x!1
f.x/&lím
x!1
f.x/.
En ambos casos notamos que el denominador.x
2
1/!0yqueelnumerador2x
2
!2,porlocual
2x
2
x
2
1
!
“

2
0

”
Es decir, lím
x!1
f.x/&lím
x!1
f.x/no existen, entonces las discontinuidades son esenciales, más aún,
inﬁnitas.
Asíntotas verticales:
De lo anterior podemos decir que las rectasxD1&xD1son asíntotas verticales.
Determinaremos los límites laterales:
Six!1

,entonces0<x<1 )x
2
<1)x
2
1<0)
2x
2
x
2
1
<0,porlocual
2x
2
x
2
1
!1;es
decir, lím
x!1

f.x/D1.
Six!1
C
,entoncesx>1)x
2
>1)x
2
1>0)
2x
2
x
2
1
>0,porlocual
2x
2
x
2
1
!C1;es
decir, lím
x!1
C
f.x/DC1.
Aún más, por la simetría de la gráﬁca defcon respecto al eje de las ordenadas (fes par), se puede
asegurar que
lím
x!1

f.x/Dlím
x!1
C
f.x/DC1I
lím
x!1
C
f.x/Dlím
x!1

f.x/D1:
Asíntotas horizontales:
lím
x!C1
f.x/Dlím
x!C1
2x
2
x
2
1
Dlím x!C1
2x
2
x
2

1
1
x
2
D
Dlím
x!C1
2
1
1
x
2
D
2
1
D2:
Esto implica que la rectayD2es una asíntota horizontal. Además es la única, ya que por la paridad
defse tiene que lím
x!1
f.x/D2.
La gráﬁca de la funciónfes:

272 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
11
2
yDf.x/

46.Dada la funciónf.x/D
2x
2
C7xC6
2x
2
Cx3
;obtenga:
Dominio y raíces; intervalos de continuidad y puntos de discontinuidad (clasiﬁcados); asíntotas ver-
ticales y horizontales.
HDominio:D
fD

x2R

2x
2
Cx36 D0

:
Pero,2x
2
Cx3D0,xD
1˙
p
1C24
4
D
1˙
p
25
4
D
1˙5
4
D
⎧
⎨
⎩
1

3
2
I
entoncesD
fDR

3
2
;1

.
Para hallar las raíces resolvamos:
2x
2
C7xC6D0,xD
7˙
p
4948
4
D
7˙
p
1
4
D
7˙1
4
D
⎧
⎨
⎩

3
2
2I
LasraícesseríanxD
3
2
ytambiénxD2;perocomo
3
2
62D
f, entonces la única raíz esxD2.
La función es continua en su dominio:

1;
3
2

[

3
2
;1

[.1;C1/; es discontinua enxD
3
2
y
enxD1.Ahoracomo
lím
x!
3
2
f.x/Dlím
x!
3
2
2

xC
3
2

.xC2/
2

xC
3
2

.x1/
Dlím
x!
3
2
xC2
x1
D

3
2
C2

3
2
1
D
3C4
2
32
2
D
1
5
D
1
5
;
enxD
3
2
la discontinuidad no es esencial, es removible, a diferencia de lo que ocurre enxD1,pues
ahí:
lím
x!1
˙
f.x/Dlím
x!1
˙
xC2
x1
D˙1I
Por lo que la discontinuidad enxD1es esencial inﬁnita, y la rectaxD1es asíntota vertical.
Para determinar las asíntotas horizontales calculamos:
lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1
xC2
x1
Dlím x!˙1
x

1C
2
x

x

1
1
x
Dlím
x!˙1
1C
2
x
1
1
x
D
1
1
D1:

4.3 Continuidad en intervalos 273
Entonces la rectayD1es asíntota horizontal.
La gráﬁca de la funciónfes:
x
y
1
1
yDf.x/

„

3
2
;
1
5
«

47.Hallar dónde es continua la función
h.x/D
⎧
⎨
⎩
2x
2
p
xC3x2x
p
x3
x1
six¤1; x0I
5 sixD1:
HEn el único puntox0donde hay duda es enxD1;luego,calculamoslím
x!1
h.x/yobservamos
que
h.x/D
2x
2
p
xC3x2x
p
x3
x1
D
2x
p
x.x1/C3.x1/
x1
D
.x1/.2x
p
xC3/
x1
:
Six¤1)x1¤0, entonces por lo anterior
h.x/D2x
p
xC3:
Por lo que
lím
x!1
h.x/Dlím
x!1
.2x
p
xC3/D21
p
1C3D21C3D5:
Comprobamos que la funciónhresultacontinuaenxD1,pues lím
x!1
h.x/Dh.1/.
También comprobamos quehresulta continua en todo su dominio que es el intervaloŒ0;C1/.

48.Si la representación gráﬁca de una funciónfes:
x
y
2
4
6
24

yDf.x/
a.Hallar su dominio.
b.Encontrar además los siguientes límites:

274 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
i.lím
x!C1
f.x/;
ii.lím
x!1
f.x/I
iii.lím
x!a

f.x/;
iv.lím
x!a
C
f.x/;
v.lím
x!a
f.x/.
ParaaD2,0,4.
c.Obtener las asíntotas horizontales y verticales, los intervalos de continuidad y la clasiﬁcación de
las discontinuidades
H
a.Dominio:D
fDRf0; 4g.
b.Límites:
i.lím
x!C1
f.x/D0;
ii.lím
x!1
f.x/D1I
iii.lím
x!2

f.x/D2;
iv.lím
x!2
C
f.x/D6;
v.lím
x!2
f.x/,noexiste,
pues los límites laterales
son diferentes;
vi.lím
x!0

f.x/D4;
vii.lím
x!0
C
f.x/D4;
viii.lím
x!0
f.x/D4;que es el
límite lateral deftanto
por la izquierda como
por la derecha;
ix.lím
x!4

f.x/DC1;
x.lím
x!4
C
f.x/D1;
xi.lím
x!4
f.x/no existe;
c.De aquí se sigue que la rectayD0(el eje de lasx) es la única asíntota horizontal y quexD4es
la única asíntota vertical.
La funciónf.x/es continua en.1;2,.2;0/,.0; 4/yen.4;C1/.
EnxD2hay una discontinuidad (esencial) de salto, enxD0la discontinuidad es removible
yenxD4la discontinuidad también es esencial pues es inﬁnita.
49. a.Dar una posible gráﬁca para una funciónfque sea continua en su dominioRf2;0;2gyque
satisfaga las condiciones:
i.lím
x!1
f.x/D0I
ii.lím
x!C1
f.x/DC1I
iii.lím
x!2

f.x/D1I
iv.lím
x!2
C
f.x/D3I
v.lím
x!0

f.x/DC1I
vi.lím
x!0
C
f.x/D1I
vii.lím
x!1
f.x/D0I
viii.lím
x!2
f.x/D3I
ix.f.1/D0:
b.Clasiﬁque sus discontinuidades.
H
a.Una posible gráﬁca de la funciónfes la siguiente:
x
y
1
3
212

4.3 Continuidad en intervalos 275
b.Discontinuidades:
EnxD2se tiene una discontinuidad esencial de salto.
EnxD0se tiene una discontinuidad esencial inﬁnita.
EnxD2se tiene una discontinuidad evitable o removible.

276 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos

CAPÍTULO
5
Laderivada
5.1 La recta tangente
Ejercicios 5.1.1
1.La funciónhtiene la siguiente tabla de valores:
x h.x/
2:99769:605
2:995795:755
2:999816:801
3 822:08
3:001827:366
3:005848:58
3:009869:907
Calcule la pendiente de dos rectas secantes a la gráﬁca dehque pasen por el puntoP ?3; h.3/.
HSea S
1una recta secante que pase por un punto.x 1;h.x1//conx 1<3.
Tomamos la otra secante S
2quepaseporunpunto.x 2;h.x2//conx 2>3.
Consideramos que S
1pasa por los puntos.2:999; 816:801/y.3; 822:08/. La pendiente deS 1es:
m
1D
822:08816:801
32:999
D
5:279
0:001
D5 279 :
Consideramos que S
2pasa por los puntos.3:001; 827:366/y.3; 822:08/. La pendiente deS 2es:
m
2D
827:366822:08
3:0013
D
5:286
0:001
D5 286 :

277

278 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
2.La funciónhtiene la siguiente tabla de valores:
x h.x/
1:920:9701
1:9926:3638
1:99926:936
2 27
2:00127:064
2:0127:6438
2:133:7901
Calcule la pendiente de dos rectas secantes a la gráﬁca dehque pasen por el puntoQŒ2;h.2/.
HConsideramos una recta secante S
1que pase por los puntos.2;h.2//y.x 1;h.x1//,yotrasecante
S
2que pase por los puntos.2;h.2//y.x 2;h.x2//,dondex 1D2:01&x 2D1:99.
La pendientem
1de la recta secanteS 1es
m
1D
h.x
1/h.2/
x1.2/
D
27:643827
2:01C2
D
0:6438
0:01
D64:38 :
La pendientem
2de la recta secante S2es
m
2D
h.x
2/h.2/
x2.2/
D
26:363827
1:99C2
D
0:6362
0:01
D63:62 :

3.La gráﬁca de la función
f.t/Dt
2
C2tC3
pasa por los puntos?1:999; f .1:999/y?2:001; f .2:001/.
Obtenga el valor de la pendiente de las dos rectas secantes a la gráﬁca defque pasan por el punto
.2; 3/y por los puntos dados.
HEfectivamente,.2; 3/2G
f,puesf.2/D2
2
C2.2/C3D3.
m
1D
3f .1:999/
21:999
D
3.3:996001C3:998C3/
0:001
D
3.3:001999/
0:001
D
0:001999
0:001
D1:999I
m
2D
3f .2:001/
22:001
D
3.4:004001C4:002C3/
0:001
D
3.2:997999/
0:001
D
0:002001
0:001
D2:001 :

4.La recta tangente a la curvayDx
3
C2en el puntoP.1; 1/tiene pendiente 3. Obtener las ecuaciones
de las rectas tangente y normal a la curva en el puntoP.
HLa función esf.x/Dx
3
C2.
P.x
0;f.x0//DP.1; 1/)x 0D1&f.x 0/D1:
La pendiente de la recta tangentetenPesm
tD3.
La pendiente de la recta normalnesm
nD
1
mt
D
1
3
.

5.1 La recta tangente 279
La ecuación de la recta tangentetes:
yf.x
0/Dm t.xx 0/)y1D3.xC1/)
)yD3xC3C1)yD3xC4;obien3xyC4D0:
La ecuación de la recta normalnes:
yf.x
0/Dm n.xx 0/)y1D
1
3
.xC1/)
)yD
1
3
x
1
3
C1)yD
1
3
xC
2
3
;obienxC3y2D0:

5.La recta normal a la curvayD
2
x
en el puntoQ.1; 2/tiene pendiente
1
2
. Determinar las ecuaciones de
las rectas normal y tangente a la curva en el puntoQ.
HLa función esg.x/D
2
x
.
Q.x
0;g.x0//DQ.1; 2/)x 0D1&g.x 0/D2:
La pendiente de la recta normalnenQesm
nD
1
2
.
La pendiente de la recta tangentetenQesm
tD
1
mn
D2.
La ecuación de la recta normalnes:
yg.x
0/Dm n.xx 0/)y2D
1
2
.x1/)
)yD
1
2
x
1
2
C2)yD
1
2
xC
3
2
obienx2yC3D0:
La ecuación de la recta tangentetes:
yg.x
0/Dm t.xx 0/)y2D2.x1/)
)yD2xC2C2)yD2xC4obien2xCy4D0:

6.La recta tangente a la curvayDx
2
2xen el puntoR.1;1/tiene pendiente cero. Obtener las
ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva dada en el puntoR.
HPor tener pendientem
tD0, la recta tangentetes una recta horizontal; y por pasar por el punto
R.1;1/,suecuaciónesyD1.
Por ser horizontal la recta tangentet,larectanormalnes vertical; y por pasar por el puntoR.1;1/,
su ecuación esxD1.

7.La recta normal a la curvayDx
2
4xC4en el puntoPde abscisa 2 es vertical. Determinar las
ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva dada en el puntoP.
HSif.x/Dx
2
4xC4ysix 0D2, entonces la ordenada del puntoPesf.x 0/D.2/
2
4.2/C4D0,
por lo cualP.x
0;f.x0//DP.2;0/.
Por ser vertical la recta normal y por pasar por el puntoP.2;0/,suecuaciónesxD2.
Por ser vertical la recta normaln, la recta tangentetes horizontal (con pendiente 0); y por pasar por
el puntoP.2;0/,suecuaciónesyD0.

280 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
8.Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curvayD3x
2
en el puntoP.1; 2/.
HLa función esf.x/D3x
2
.
P.1; 2/DP.x
0;f.x0//)x 0D1&f.x 0/D2:
La pendiente de la recta tangentetalacurvaenPes:
m
tDlím
h!0
f.x0Ch/f.x 0/
h
Dlím h!0
f.1Ch/f.1/
h
D
Dlím
h!0
3.h1/
2
2
h
Dlím h!0
3.h
2
2hC1/2
h
D
Dlím
h!0
3h
2
C2h12
h
Dlím h!0
2hh
2
h
Dlím h!0
h.2h/
h
Dlím h!0
.2h/D2I
m
tD2:
La ecuación de la recta tangentetenPes:
yf.x
0/Dm t.xx 0/)y2D2.xC1/)
)yD2xC2C2)yD2xC4obien2xyC4D0:
La pendiente de la recta normalnesm
nD
1
mt
D
1
2
.
La ecuación de la recta normalnenPes:
yf.x
0/Dm n.xx 0/)y2D
1
2
.xC1/)
)yD
1
2
x
1
2
C2)yD
1
2
xC
3
2
obienxC2y3D0:

9.Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curvayD3x
2
6xen el puntoQde
abscisa 1.
HLa función esf.x/D3x
2
6x.
La abscisa del puntoQesx
0D1.
La ordenada deQesf.x
0/D3.1/
2
6.1/D3.
La pendiente de la recta tangentetalacurvaenQes:
m
tDlím
h!0
f.x0Ch/f.x 0/
h
Dlím h!0
f.1Ch/f.1/
h
D
Dlím
h!0
3.1Ch/
2
6.1Ch/.3/
h
D
Dlím
h!0
3C6hC3h
2
66hC3
h
Dlím h!0
3h
2
h
Dlímh!0
.3h/D0I
m
tD0:
La recta tangentetes una recta horizontal; y debido a que pasa por el puntoQ.1;3/,suecuaciónes
yD3.
Además, la recta normalnalacurvaenQ.1;3/es una recta vertical cuya ecuación esxD1.

5.2 La derivada de una función 281
5.2 La derivada de una función
Ejercicios 5.2.1
1.Seah.x/D
3
p
3xC2
.Usandoladeﬁnición de la derivada, calcularh
0
.a/.
Calcular también, usando lo anterior,h
0
.0/así comoh
0
.8/.
HCalculamos el cociente diferencial:
h.x/h.a/xa
D
3
p
3xC2

3
p
3aC2
xa
D
D3
p
3aC2
p
3xC2
p
3xC2
p
3aC2
xa
D
D3
p
3xC2
p
3aC2
p
3xC2
p
3aC2.xa/
D
D3
p
3xC2
p
3aC2
p
3xC2
p
3aC2.xa/

p
3xC2C
p
3aC2
p
3xC2C
p
3aC2
D
D3
.3xC2/.3aC2/
p
3xC2
p
3aC2.xa/.
p
3xC2C
p
3aC2/
D
D9
xa
p
3xC2
p
3aC2.xa/.
p
3xC2C
p
3aC2/
D
D9
1
p
3xC2
p
3aC2.
p
3xC2C
p
3aC2/
sixa¤0:
Por lo que:
h
0
.a/Dlím
x!a
h.x/h.a/
xa
D
Dlím
x!a
9
1
.
p
3xC2/.
p
3aC2/.
p
3xC2C
p
3aC2/
D
D9
1
.
p
3aC2/
2
.2/
p
3aC2
D
D
9
2
1
.3aC2/
3
2
:
Hemos obtenido, por lo tanto, que en todo punto:
?a; h.a/D

a;
3
p
3aC2

,cona>
2
3
,puesD
fD

2
3
;C1

,delagráﬁca de la funciónh,la
pendiente de la recta tangente valeh
0
.a/D
9
2
1
.3aC2/
3
2
.
Concluimos con esto queh
0
.x/D
9
2
1
.3xC2/
3
2
six>
2
3
.
Usando este resultado:
h
0
.0/D
9
2

1
2

3
2
D
9
4
p
2
I
h
0
.8/D
9
2

1
26

3
2
D
9
52
p
26
:

282 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
2.Utilizando la regla de los cuatro pasos, calcular la derivada de la funciónf.x/D
4
3x
en
a.xDa.
b.xD2.
c.xD
2
3
.
Obtener además:
d.La ecuación de la recta tangente a la gráﬁca defen el puntoPde abscisa2.
e.La ecuación de la recta normal a la gráﬁca defen el puntoQde abscisa
2
3
.
H
a.
f.x/D
4
3x
)f.a/D
4
3a
I
yDf.x/f.a/D
4
3x

4
3a
D
4a4x
3xa
D
4.ax/
3ax
I
y
x
D
1
x
.y/D
1
xa

4.ax/
3ax

D
4.ax/
.xa/3ax
I
lím
x!0

y
x

Dlím x!a
4.ax/
3ax.xa/
Dlím x!a
4.xa/
3ax.xa/
D
Dlím
x!a
4
3ax
D
4
3aa
D
4
3a
2
:
Por lo tanto:f
0
.a/D
4
3a
2
.
b.f
0
.2/Df
0
.aD2/D
4
3.2/
2
D
1
3
)f
0
.2/D
1
3
.
c.f
0

2
3

D
4
3

2
3

2
D
4
3

9
4

D3)f
0

2
3

D3.
d.La abscisa del puntoPesxD2.
La ordenada del puntoPesyDf.2/D
4
3.2/
D
2
3
.
La pendiente de la recta tangente enPesm
tDf
0
.2/D
1
3
.
La ecuación de la recta tangente enPes:
yf.2/Dm
t.x2/)y
2
3
D
1
3
.x2/)yD
1
3
xC
2
3
C
2
3
)
)yD
1
3
xC
4
3
obienxC3y4D0:
e.La abscisa del puntoQesxD
2
3
.
La ordenada del puntoQesyDf

2
3

D
4
3

2
3
D2.
La pendiente de la recta tangente enQesm
tDf
0

2
3

D3.
La pendiente de la recta normal enQesm
nD
1
mt
D
1
3
D
1
3
.

5.2 La derivada de una función 283
La ecuación de la recta normal enQes:
yf

2
3

Dm
n

xC
2
3

)yC2D
1
3

xC
2
3

)yD
1
3
xC
2
9
2)
)yD
1
3
x
16
9
obien3x9y16D0:

3.Para la funcióng.x/D
p
2x1, y mediante la regla de los cuatro pasos, determinar:
a.g
0
.a/.
b.g
0

5
2

.
c.g
0
.3/.
Obtener además:
d.La ecuación de la recta tangente a la curvayD
p
2x1en el puntoPde abscisa
5
2
.
e.La ecuación de la recta normal a la curvayD
p
2x1en el puntoQde abscisa3.
H
a.g.x/D
p
2x1Ig.a/D
p
2a1yademásxDxa;
yDg.x/g.a/D
p
2x1
p
2a1;
y
x
D
p
2x1
p
2a1
xa
.
lím
x!0

y
x

Dlím x!a
p
2x1
p
2a1
xa
Dlím x!a
.
p
2x1
p
2a1/.
p
2x1C
p
2a1/
.xa/.
p
2x1C
p
2a1/
D
Dlím
x!a
.2x1/.2a1/
.xa/.
p
2x1C
p
2a1/
Dlím
x!a
2.xa/
.xa/.
p
2x1C
p
2a1/
D
Dlím
x!a
2
p
2x1C
p
2a1
D
2
p
2a1C
p
2a1
D
2
2
p
2a1
D
1
p
2a1
:
Por lo tanto:g
0
.a/D
1
p
2a1
,paraa>
1
2
.
b.g
0

5
2

D
1
˛
2

5
2

/1
D
1
p
4
D
1
2
)g
0

5
2

D
1
2
.
c.g
0
.3/D
1
ˆ
2.3/1
D
1
p
5
)g
0
.3/D
1
p
5
.
d.La abscisa del puntoPesxD
5
2
.
La ordenada del puntoPesyDg

5
2

D
˛
2

5
2

1D
p
4D2.
La pendiente de la recta tangente enPesm
tDg
0

5
2

D
1
2
.
La ecuación de la recta tangente enPes:
yg

5
2

Dm
t

x
5
2

)y2D
1
2

x
5
2

)yD
1
2
x
5
4
C2)
)yD
1
2
xC
3
4
obien2x4yC3D0:

284 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
e.La abscisa del puntoQesxD3.
La ordenada del puntoQesyDg.3/D
ˆ
2.3/1D
p
5.
La pendiente de la recta normal enQesm
nD
1
mt
D
1
g
0
.3/
D
1
1
p
5
D
p
5.
La ecuación de la recta normal enQes:
yg.3/Dm
n.x3/)y
p
5D
p
5.x3/)yD
p
5xC3
p
5C
p
5)
)yD
p
5xC4
p
5obien
p
5xCy4
p
5D0:

5.3 Velocidad instantánea
Ejercicios 5.3.1
1.Si se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de
320pies/s, entonces su distanciaharriba del suelo está dada por
h.t/D16t
2
C320t :
a.Encuentre las velocidades promedio durante los intervalos?3; 4; ?3:5; 4; ?4; 5; ?4; 4:5.
b.Calculev.4/,usandoladeﬁnición de la derivada.
H
a.La función posición esh.t/D16t
2
C320t,cont0.
La velocidad promedio en el intervalo?3; 4es:
v1D
h.4/h.3/
43
D
1 024816
1
D208)v1D208pies/s.
La velocidad promedio en el intervalo?3:5; 4es:
v2D
h.4/h.3:5/
43:5
D
1 024924
0:5
D200)v2D200pies/s.
La velocidad promedio en el intervalo?4; 5es:
v3D
h.5/h.4/
54
D
1 2001 024
1
D176)v3D176pies/s.
La velocidad promedio en el intervalo?4; 4:5es:
v4D
h.4:5/h.4/
4:54
D
1 1161 024
0:5
D184)v4D184pies/s.
b.Siendo así,
v.4/Dlím
t!4
h.t/h.4/
t4
Dlím t!4
.16t
2
C320t/1 024
t4
D
Dlím
t!4
16.t
2
20tC64/
t4
Dlím t!4
16.t4/.t16/
.t4/
D
Dlím
t!4
Œ16.t16/D16.416/D16.12/D192:
Entonces:v.4/D192pies/s.

5.3 Velocidad instantánea 285
2.En un movimiento rectilíneo, la posición de una partícula a lostsegundos ess.t/D2t
2
3tC1.
a.Encontrar la velocidad promedio en el recorrido efectuado entre los3ylos5s.
b.Encontrar la velocidad instantánea a los3s. Obtenerla mediante la deﬁnición de la derivada.
H
a.Vem o s que
vD
s.5/s.3/
53
D
.25
2
35C1/.23
2
33C1/
2
D
26
2
D13unidades/s.
b.Calculamos el cociente diferencial entD3
s.t/s.3/
t3
D
2t
2
3tC110
t3
D
2t
2
3t9
t3
: (*)
Si tratamos de calcular el límite por evaluación, obtenemos una indeterminación del tipo
“

0
0

”
,
lo cual nos dice quet3es un divisor del polinomio del numerador.
Hagamos la división
2tC3
t3

2t
2
3t9
2t
2
C6t3t
3tC9
0:
Sustituyendo en.*/
s.t/s.3/
t3
D
.t3/.2tC3/
t3
D2tC3,sit¤3,esdecir,sit3¤0.
Entonces:
v.3/Ds
0
.3/Dlím
t!3
s.t/s.3/
t3
Dlím t!3
.2tC3/D9unidades/s.

3.En un movimiento rectilíneo, la posición de un automóvil a lasthoras es:
s.t/D50t
7
tC1
km.
a.¿Cuál es la velocidad promedio durante las 2 primeras horas?
b.¿Cuál es la velocidad instantánea a las 2 horas? Obtenerla mediante la deﬁnición de la derivada.
H
a.La velocidad promedio se calcula como
vD
s.2/s.0/
20
D

100
7
3

.7/
2
D
100
7
3
C7
2
D
D
3217
3
2
D
314
6
D52:3km/h.

286 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
b.Calculamos el cociente diferencial
s.t/s.2/
t2
D

50t
7
tC1

293
3
t2
D
150t.tC1/21293.tC1/
3.tC1/
t2
D
D
150t
2
C150t21293t293 3.tC1/.t2/
D
150t
2
143t314
3.tC1/.t2/
: (*)
Si tratamos de calcular el límite por evaluación cuandot!2, obtenemos una indeterminación
“

0
0

”
.Estosigniﬁca quet2es un divisor del polinomio150t
2
143t314.
Hagamos la división:
150tC157
t2

150t
2
143t314
150t
2
C300tC157t
157tC314
0:
Sustituyendo en.*/:
s.t/s.2/
t2
D
.150tC157/.t2/
3.tC1/.t2/
D
150tC157
3.tC1/
,sit¤2,esdecir,sit2¤0.
Calculando el límite
v.2/Ds
0
.2/Dlím
t!2
s.t/s.2/
t2
D
Dlím
t!2
150tC157
3.tC1/
D
300C157
9
D
457
9
D50:7km/h.

4.Un caracol baja por una pared. Su posición a lasthoras está dada pors.t/D10:2
p
tm. Usando la
deﬁnición de la derivada, calcular su velocidad instantánea paratD4h.
HLa velocidad media del caracol en las cercanías detD4viene dada por el cociente diferencial de
la funcións.t/:
s.t/s.4/
t4
D
.10:2
p
t/.10:2
p
4/
t4
D
0:2
p
tC0:2.2/
t4
D
0:2.
p
t2/
t4
D
D0:2
p
t2
t4
p
tC2
p
tC2

D0:2
t4
.t4/.
p
tC2/
D0:2
1
p
tC2
D
0:2
p
tC2
,parat¤4:
Tenemos entonces que la velocidad instantánea en el momentotD4viene dada por:
lím
t!4
s.t/s.4/
t4
Dlím t!4
0:2
p
tC2
D
0:2
p
4C2
D
0:2
2C2
D
0:2
4
D0:05:
Lo cual nos dice que el caracol en el instantetD4se está moviendo hacia abajo (en la dirección
negativa del eje) con una velocidad de0:05m/h.
5.Se deja caer una pelota desde lo alto de un ediﬁcio; la posición de la pelota en el tiempotes:
s.t/D78:44:9t
2
:

5.3 Velocidad instantánea 287
a.Calcule la velocidad instantánea en el tiempotD4,usandoladeﬁnición de la derivada.
b.Calcule la posición de la pelota entD4.
c.Dé una interpretación de su resultado.
H
a.Tenemos
s.4Ch/D78:44:9.4Ch/
2
D78:44:9.16C8hCh
2
/D
D78:478:439:2h4:9h
2
D39:2h4:9h
2
I
s.4/D78:44:9.4
2
/D78:44:9.16/D78:478:4D0I
s.4Ch/s.4/D39:2h4:9h
2
0Dh.39:24:9h/I
s.4Ch/s.4/
h
D
h.39:24:9h/
h
D39:24:9hsih¤0I
lím
h!0
s.4Ch/s.4/
h
Dlím h!0
.39:24:9h/D
D39:24:9.0/D39:20D39:2 :
Que nos indica la velocidad de la pelota en el instantetD4.
b.s.4/D0, ya calculado en el inciso (a), en ese instante llega al suelo.
c.Al llegar al suelo la pelota tiene una velocidad de39:2.

6.Un helicóptero se está elevando verticalmente desde el suelo. La distancia del helicóptero al suelot
segundos después del despegue ess.t/metros, donde
s.t/Dt
2
Ct:
a.¿En qué instante se encuentra el helicóptero a20m?
b.Use la deﬁnición de la derivada para determinar la velocidad instantánea del helicóptero cuando
éste se encuentra a20m.
H
a.s.t/D20,t
2
CtD20,t
2
Ct20D0,.tC5/.t4/D0,tD5obientD4.
Luego,s.t/D20metros cuandotD4segundos, ya quetD5se desecha por ser negativo.
b.La velocidad instantánea entD4es:
v.4/Dlím
h!0
s.4Ch/s.4/
h
Dlím h!0
Œ.4Ch/
2
C.4Ch/Œ4
2
C4
h
D
Dlím
h!0
16C8hCh
2
C4Ch20
h
Dlím h!0
9hCh
2
h
Dlím h!0
h.9Ch/
h
D
Dlím
h!0
.9Ch/D9:
Es decir,v.4/D9m/s.

7.Un objeto se lanza hacia arriba según la ley de movimiento:
s.t/D15t4:9t
2
;
dondes.t/denota la posición en metros del objeto a lostsegundos. Calcular la velocidad instantánea
del objeto a los2s.

288 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
HCalculamos el cociente diferencial de la funcións.t/en el tiempotD2:
s.t/s.2/
t2
D
.15t4:9t
2
/.1524:92
2
/
t2
D
15.t2/4:9.t
2
4/
t2
D
D
15.t2/4:9.t2/.tC2/
t2
D
.t2/Œ154:9.tC2/
t2
D154:9.tC2/parat?2:
Esta expresión representa la velocidad media para valores detcercanos a2s.
La velocidad instantánea del objeto a los 2 segundos se calcula mediante
s
0
.2/Dlím
t!2
s.t/s.2/
t2
Dlím t!2
Œ154:9.tC2/D154:9.4/D4:6m/s.

8.Se lanza una pelota al aire desde un puente. La posición de la pelota en el tiempot0está dada por
y.t/D16t
2
C50tC36 :
a.¿Cuál es la altura del puente?
b.¿Cuál es la velocidad instantánea de la pelota cuando se encuentra a70pies sobre el suelo?
H
a.Ya quey.t/es la posición, medida en pies, de la pelota (con respecto al suelo) en el segundo
t0, entonces la altura del puente es, precisamente,
y.tD0/D36pies.
b.La velocidad instantánea ent0es:
v.t/D
d
dt
y.t/D
d
dt
.16t
2
C50tC36/D
Dlím
h!0
s.tCh/s.t/
h
Dlím h!0
16.tCh/
2
C50.tCh/C36.16t
2
C50tC36/
h
D
Dlím
h!0
32th16h
2
C50h
h
Dlím h!0
h.32t16hC50/
h
Dlím h!0
.32t16hC50/D
D.32tC50/pies/s.
La pelota está a70pies sobre el suelo cuandoy.t/D70.
y.t/D70,16t
2
C50tC36D70,16t
2
C50t34D0,
,2.8t
2
C25t17/D0,8t
2
C25t17D0)
)tD
25˙
ˆ
.25/
2
4.8/.17/
2.8/
D
25˙
p
625544
16
D
25˙9
16
)
)t
1D
25C9
16
D
16
16
D1&t
2D
259
16
D
34
16
D2:125I
es decir, la pelota está a70pies sobre el suelo en los instantest
1D1s&t 2D2:125s.
Las velocidades en esos instantes son:
v
1Dv.t1D1/D32t 1C50D32.1/C50D18pies/s.
v
2Dv.t2D2:125/D32t 2C50D32.2:125/C50D18pies/s.
Esto es,v
1D18pies/s (de subida) &v 2D18pies/s (de bajada).

5.3 Velocidad instantánea 289
9.El desplazamiento en metros de una partícula que se mueve en línea recta está dado por
s.t/Dt
2
6tC10 ;
donde el tiempotse mide en segundos.
a.Calcule la velocidad instantánea en el tiempotusando la deﬁnición de la derivada.
b.Determine la velocidad instantánea cuando la posición de la partícula es10m.
H
a.La velocidad instantánea es:
v.t/Dlím
h!0
s.tCh/s.t/
h
I
s.t/Dt
2
6tC10I
s.tCh/D.tCh/
2
6.tCh/C10Dt
2
C2thCh
2
6t6hC10I
s.tCh/s.t/D.t
2
C2thCh
2
6t6hC10/.t
2
6tC10/I
s.tCh/s.t/D2thCh
2
6hDh.2tCh6/I
v.t/Dlím
h!0
s.tCh/s.t/
h
Dlím h!0
h.2tCh6/
h
Dlím h!0
.2tCh6/D.2t6/m/s ,
que es la velocidad instantánea en cualquier instantet.
b.Primero determinamos el instante en ques.t/D10m.
s.t/D10,t
2
6tC10D10,t
2
6tD0,t.t6/D0,
,tD0obient6D0,tD0obientD6:
Luego calculamos las velocidades en estos instantes
v.tD0/D2.0/6D6)v.0/D6m/s ;
v.tD6/D2.6/6D6)v.6/D6m/s .

10.Se lanza una pelota hacia arriba. La función de posición de la pelota en el tiempotes:
s.t/D5t10t
2
:
a.Calcule la velocidad instantánea.v/en el tiempotD1=4usando la deﬁnición de la derivada.
b.Calcule la posición de la pelota en el instantetD1=4.
c.Dé una interpretación de sus resultados.
H
a.Vem o s que
s.t/D5t10t
2
)
)s

1
4

D5

1
4

10

1
4

2
D
5
4
10

1
16

D
5
4

5
8
D
5
8
I
s

1
4
Ch

D5

1
4
Ch

10

1
4
Ch

2
D
5
4
C5h10

1
16
C
2
4
hCh
2

D
D
5
4
C5h
5
8
5h10h
2
D
5
8
10h
2
I
s

1
4
Ch

s

1
4

D
5
8
10h
2

5
8
D10h
2
I
lím
h!0
s.1=4Ch/s.1=4/
h
Dlím h!0
10h
2
h
Dlím h!0
.10h/D0:

290 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
La velocidad instantánea entD
1
4
esvD0.
b.La posición entD
1
4
ess

1
4

D
5
8
.
c.Se inﬁere que la posición entD
1
4
es la altura máxima de la pelota, ya que su velocidad instan-
tánea entD
1
4
esvD0.

11.LaleydeNewtondelagravitaciónaﬁrma que la magnitudFde la fuerza ejercida por un cuerpo de
masamsobreotrodemasaMes:
FD
GmM
r
2
;
dondeGes la constante gravitacional y donderes la distancia entre los cuerpos.
a.Si los cuerpos se están moviendo, encuentre
dF
dr
y explique su signiﬁcado.
b.Suponga que se sabe que la Tierra atrae un objeto con una fuerza que disminuye a razón de
2N/km, cuandorD20 000km. ¿Con qué rapidez cambia esa fuerza cuandorD10 000km?
H
a.Calculamos:
dF
dr
Dlímh!0
GmM
.rCh/
2

GmM
r
2
h
DGmMlím h!0

r
2
.rCh/
2
hr
2
.rCh/
2

D
DGmMlím
h!0

2rhh
2
hr
2
.rCh/
2

DGmMlím
h!0

2rhr
2
.rCh/
2

D
DGmM

2r
r
4

D
2GmM
r
3
:
b.Por un lado tenemos
dF
dr

rD20 000
D2;
y por otro
dF
dr

rD20 000
D
2GmM
.20 000/
3
I
luego,

2GmM
.20 000/
3
D2)GmMD.20 000/
3
I
por lo que
dF
dr

rD10 000
D
2.20 000/
3
.10 000/
3
D22
3
D16N/km:

5.3 Velocidad instantánea 291
12.Si se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo, con una velocidad inicial de
320pies/s, entonces su distanciaharriba del suelo después detsegundos está dada por
h.t/D16t
2
C320t :
a.¿Para qué valores detel objeto estará a más de1 536pies sobre el suelo?
b.Calculev.4/usando la deﬁnición de velocidad instantánea.
c.¿A qué velocidad impactará contra el suelo y en qué momento?
H
a.Se cumple la condición si:
h.t/ > 1536,16t
2
C320t > 1536,16t
2
C320t1536 > 0,
,16.t
2
20tC96/ > 0,t
2
20tC96 < 0:
Primero resolvemos la igualdadt
2
20tC96D0.
tD
.20/˙
ˆ
.20/
2
4.96/
2
D
20˙
p
400384
2
D
20˙
p
16
2
D
20˙4
2
)
)t
1D
20C4
2
D
24
2
D12&t
2D
204
2
D
16
2
D8:
Debido a que la variabletrepresenta el tiempo, debemos considerar quet0. Esto nos lleva a
generar los intervalosŒ0; 8/,.8; 12/y.12;C1/,enloscualesveremoselsignodet
2
20tC96.
Valor de pruebat
2
20tC96
0t<8 tD5 21 > 0
8<t<12 tD10 4<0
12 < t <1 tD20 96 > 0
La desigualdadt
2
20tC96 < 0se cumple para8<t<12.
Luego, el objeto estará por encima de los1 536pies, cuando8<t<12.
b.Su velocidad en el instantetDasegundos es:
v.a/Dlím
t!a
h.t/h.a/
ta
Dlím t!a
.16t
2
C320t/.16a
2
C320a/
ta
D
Dlím
t!a
16t
2
C320tC16a
2
320a
ta
Dlím t!a
16.t
2
a
2
/C320.ta/
ta
D
Dlím
t!a
16.ta/.tCa/C320.ta/
ta
Dlím t!a
16.ta/Œ.tCa/20
.ta/
D
Dlím
t!a
Œ16.tCa20/D16.aCa20/D16.2a20/D32aC320I
v.a/D32aC320pies/s:
Por lo tanto, paraaD4:
v.4/D32.4/C320D128C320D192pies/s:
c.El impacto contra el suelo:
h.t/D0,16t
2
C320tD0,16t.t20/D0,
,16tD0obient20D0,tD0obientD20:
v.a/D32aC320)v.0/D320pies/s hacia arriba.
v.20/D32.20/C320D640C320D320I
v.20/D320pies/s hacia abajo = velocidad con la que el objeto choca contra el suelo:

292 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
13.Si se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de25m/s, entonces su altura
después detsegundos es:
s.t/D5t
2
C25t :
a.Determine el dominio de la función.
b.¿Para qué valores detla pelota se encuentra a más de30m del suelo?
c.¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando está a20m?
H
a.La función altura o de posición con respecto al suelo es:s.t/D5t
2
C25t.
El dominio de esta función es:
D
sD

t0

s.t/0

D

t0

5t
2
C25t0

D
D

t0

5t.tC5/0

D

t0

tC50

D
D

t0

5t

D

t0

t5

D

t

0t5

D
D?0; 5 :
b.Se cumple si:
s.t/ > 30,5t
2
C25t > 30,5t
2
C25t30 > 0,5.t
2
5tC6/ > 0,
,t
2
5tC6<0,.t2/.t3/ < 0:
Desigualdad que se cumple cuando
t2<0&t3>0 obient2>0&t3<0I
t<2&t>3 obien t>2&t<3I
t<2&t>3 obien 2<t<3:
Ya que no hayt2Rtales quet<2&t>3, entonces la desigualdad se cumple sólo cuando
2<t<3.
Por lo tanto, la desigualdads.t/ > 30se cumple cuando, y sólo cuando,2<t<3.
c.Primero determinamos los instantes en que la pelota está20metros arriba del suelo.
s.t/D20,5t
2
C25tD20,5t
2
C25t20D0,
,5.t
2
5tC4/D0,t
2
5tC4D0,
,.t1/.t4/D0,tD1obientD4:
Luego calculamos la velocidad intantánea de la pelota en cualquier instantet.
v.t/D
d
dt
s.t/D
d
dt
.5t
2
C25t/D
Dlím
h!0
s.tCh/s.t/
h
Dlím h!0
5.tCh/
2
C25.tCh/.5t
2
C25t/
h
D
Dlím
h!0
5.t
2
C2thCh
2
/C25tC25hC5t
2
25t
h
D
Dlím
h!0
10th5h
2
C25h
h
Dlím h!0
.10t5hC25/D
D10tC25:
Finalmente, obtenemosv.1/Dv.tD1/&v.4/Dv.tD4/:
v.1/D10.1/C25D10C25D15)v.1/D15m/s:
v.4/D10.4/C25D40C25D15)v.4/D15m/s:
El signo positivo dev.1/D15m/s nos indica que la pelota va hacia arriba y el signo negativo
dev.4/D15m/s nos dice que la pelota se dirige hacia abajo.

CAPÍTULO
6
Reglasdederivación
6.1 Reglas básicas de derivación
Ejercicios 6.1.1Utilizando reglas de derivación, calcular la derivada de las funciones siguientes:
1.f.x/D12xC3x
2
4x
3
.
H
f
0
.x/D
d
dx
.12xC3x
2
4x
3
/D02.1/C3.2x/4.3x
2
/I
f
0
.x/D2C6x12x
2
:

2.g.x/D
3x
10
5

4x
6
3
C
5x
3
6

9
2
.
H
g
0
.x/D
d
dx

3x
10
5

4x
6
3
C
5x
3
6

9
2

D
D
3
5
.10x
9
/
4
3
.6x
5
/C
5
6
.3x
2
/0D6x
9
8x
5
C
5
2
x
2
:

3.h.t/D
2
3t

3
4t
2
C
4
5t
3

5
6t
4
.
293

294 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
H
h
0
.t/D
d
dt

2
3t

3
4t
2
C
4
5t
3

5
6t
4

D
D
d
dt

2
3
t
1

3
4
t
2
C
4
5
t
3

5
6
t
4

D
D
2
3
.t
2
/
3
4
.2t
3
/C
4
5
.3t
4
/
5
6
.4t
5
/D
D
2
3t
2
C
3
2t
3

12
5t
4
C
10
3t
5
:

4.yD4
p
x
3
6
3
p
x
4
C8
4
p
x
5
.
H
dy
dx
D
d
dx

4
p
x
3
6
3
p
x
4
C8
4
p
x
5

D4
d
dx
x
3=2
6
d
dx
x
4=3
C8
d
dx
x
5=4
D
D4

3
2
x
1=2

6

4
3
x
1=3

C8

5
4
x
1=4

D6
p
x8
3
p
xC10
4
p
x:

5.uD
1
p
y

1
3
p
y

1
4
p
y
.
H
du
dy
D
d
dy

1
p
y

1
3
p
y

1
4
p
y

D
d
dy

y
1=2
y
1=3
y
1=4

D
D
1
2
y
3=2
C
1
3
y
4=3
C
1
4
y
5=4
D
1
2y
3=2
C
1
3y
4=3
C
1
4y
5=4
D
D
1
2
ˆ
y
3
C
1
3
3
ˆ
y
4
C
1
4
4
ˆ
y
5
:

6.xD
3y
2
4yC5
6
p
y
.
H
dx
dy
D
d
dy

3y
2
4yC5
6
p
y

D
d
dy

3
6
y
2
1
2
4
6
y
1
1
2C
5
6
y
1=2

D
D
d
dy

1
2
y
3=2

2
3
y
1=2
C
5
6
y
1=2

D
1
2

3
2
y
1=2

2
3

1
2
y
1=2

C
5
6

1
2
y
3=2

D
D
3
4
y
1=2

1
3y
1=2

5
12y
3=2
D
3
4
p
y
1
3
p
y

5
12
ˆ
y
3
:

6.1 Reglas básicas de derivación 295
O directamente:
d
dy

3y
2
4yC5
6
p
y

D
.6y4/6y
1
23y

1
2.3y
2
4yC5/
36y
D
D
36y
3
224y
1
29y
3
2C12y
1
215y

1
2
36y
D
D
27y
3
212y
1
215y

1
2
36y
D
9y
1
24y

1
25y

3
2
12
D
D
3
4
p
y
1
3
p
y

5
12
ˆ
y
3
:

7.yD

x
1
x
C
1
x
2

p
x
1
p
x

.
H
y
0
D
d
dx

x
1
x
C
1
x
2

p
x
1
p
x

D
D

x
1
x
C
1
x
2

d
dx

x
1=2
x
1=2

C

p
x
1
p
x

d
dx

xx
1
Cx
2

D
D

x
1
x
C
1
x
2

1
2
x
1=2
C
1
2
x
3=2

C

p
x
1
p
x

1Cx
2
2x
3

D
D

x
1
x
C
1
x
2

1
2
p
x
C
1
2
p
x
3

C

p
x
1
p
x

1C
1
x
2

2
x
3

:
O efectuando el producto primero:
yD.xx
1
Cx
2
/.x
1
2x

1
2/D
Dx
3
2x
1
2x

1
2Cx

3
2Cx

3
2x

5
2D
Dx
3
2x
1
2x

1
2C2x

3
2x

5
2:
Y derivamos después:
y
0
D
dy
dx
D
3
2
x
1
2
1
2
x

1
2C
1
2
x

3
23x

5
2C
5
2
x

7
2D
D
3
2
p
x
1
2
p
x
C
1
2
p
x
3

3
p
x
5
C
5
2
p
x
7
:

8.zD.x
3
C1/
2
.x
2
1/
3
.
H
z
0
D
d
dx
˙
.x
3
C1/
2
.x
2
1/
3

D
D.x
3
C1/
2
d
dx
.x
2
1/
3
C.x
2
1/
3
d
dx
.x
3
C1/
2
D
D.x
3
C1/
2
d
dx
.x
6
3x
4
C3x
2
1/C.x
2
1/
3
d
dx
.x
6
C2x
3
C1/D
D.x
3
C1/
2
.6x
5
12x
3
C6x0/C.x
2
1/
3
.6x
5
C6x
2
C0/D
D.x
3
C1/
2
.6x
5
12x
3
C6x/C.x
2
1/
3
.6x
5
C6x
2
/:

296 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
9.xD
1Ct
3
1t
3
.
H
dx
dt
D
d
dt

1Ct
3
1t
3

D
.1t 3
/
d
dt
.1Ct
3
/.1Ct
3
/
d
dt
.1t
3
/
.1t
3
/
2
D
.1t
3
/.3t
2
/.1Ct
3
/.3t
2
/
.1t
3
/
2
D
D
3t
2
.1t
3
C1Ct
3
/
.1t
3
/
2
D
6t
2
.1t
3
/
2
:

10.yD
2x
x
2
C4
.
H dy
dx
D
d
dx

2x
x
2
C4

D
.x
2
C4/.2/.2x/.2x/
.x
2
C4/
2
D
D
2x
2
C84x
2
.x
2
C4/
2
D
2x
2
C8
.x
2
C4/
2
D
2.4x
2
/
.x
2
C4/
2
:

11.wD
3uC2
4u
2
9
.
H
dw
du
D
d
du

3uC2
4u
2
9

D
.4u
2
9/.3/.3uC2/.8u/
.4u
2
9/
2
D
D
12u
2
2724u
2
16u
.4u
2
9/
2
D
12u
2
16u27
.4u
2
9/
2
D
12u
2
C16uC27
.4u
2
9/
2
:

12.vD
1
w
2
wC1
.
H
dv
dw
D
d
dw

1
w
2
wC1

D
.w
2
wC1/.0/1.2w1/
.w
2
wC1/
2
D
D
2wC1
.w
2
wC1/
2
D
12w
.w
2
wC1/
2
:

6.2 Regla de la cadena
Ejercicios 6.2.1Utilizando reglas de derivación, calcular la derivada de las funciones siguientes:
1.yD.3x
4
2/
5
.
H
dy
dx
D
d
dx
.3x
4
2/
5
D5.3x
4
2/
4
d
dx
.3x
4
2/D
D5.3x
4
2/
4
.3/.4x
3
/D60x
3
.3x
4
2/
4
:

6.2 Regla de la cadena 297
2.uD

tC
1
t

10
.
H
du
dt
D
d
dt

tC
1
t

10
D10

tC
1
t

9
d
dt
.tCt
1
/D
D10

tC
1
t

9
.1t
2
/D10

tC
1
t

9
1
1
t
2

:

3.zD4
ˆ
1y
2
.
H
dz
dy
D
d
dy
4
ˆ
1y
2
D4
d
dy
.1y
2
/
1=2
D4

1
2

.1y
2
/
1=2
d
dy
.1y
2
/D
D
2
.1y
2
/
1=2
.2y/D
4y
ˆ
1y
2
:

4.wD
5
.3u
2
C1/
2
.
H
dw
du
D
d
du

5
.3u
2
C1/
2

D
d
du
˙
5.3u
2
C1/
2

D5
d
du
.3u
2
C1/
2
D
D5.2/.3u
2
C1/
3
d
du
.3u
2
C1/D
10
.3u
2
C1/
3
.6u/D
60u
.3u
2
C1/
3
:

5.xD
6
3
ˆ
y
5
2
.
H
dx
dy
D
d
dy

6
3
ˆ
y
5
2

D
d
dy
6.y
5
2/
1=3
D6
d
dy
.y
5
2/
1=3
D
D6

1
3

.y
5
2/
4=3
d
dy
.y
5
2/D
2
.y
5
2/
4=3
.5y
4
/D
10y
4
3
ˆ
.y
5
2/
4
:

6.yD
˛
xC

1
x
.
H
dy
dx
D
d
dx

xCx

1
2
1
2
D
1
2

xC
1
p
x
d
dx

xCx

1
2

D
D
1
2

xC
1
p
x

1
1
2
p
x
3

D
1
2

xC
1
p
x

2
p
x
3
1
2
p
x
3

:

298 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
7.f.x/D

13x
2
x
.
HEscribimosf.x/D

13x
2x

1
2
ydeaquí
f
0
.x/D
1
2

13x
2
x
6xx.13x
2
/
x
2
D
1
2

x
13x
2
6x
2
1C3x
2
x
2
D
D
3x
2
1
2x
2

x
13x
2
D
3x
2
C1
2x
2

x
13x
2
:

8.f.z/D
ˆ
4z
2
C
p
272z.
HTenemos
f
0
.z/D
1
2
ˆ
4z
2
C
p
272z

8zC
1
2
p
272z
.2/

D
D
1
2
ˆ
4z
2
C
p
272z

8z
1
p
272z

:

9.yD
3

4tC1
25t
.
H
dy
dt
D
d
dt
3

4tC1
25t
D
d
dt

4tC1
25t

1
3
D
1
3

4tC1
25t

1
3
1d
dt

4tC1
25t

D
D
1
3

4tC1
25t

2
3
⎡
⎢
⎣
.25t/
d
dt
.4tC1/.4tC1/
d
dt
.25t/
.25t/
2
⎤
⎥
⎦D
D
1
3
.4tC1/

2
3
.25t/

2
3

.25t/4.4tC1/.5/
.25t/
2

D
D
.4tC1/

2
3Œ4.25t/C5.4tC1/
3.25t/
4
3
D
.4tC1/

2
3.820tC20tC5/
3.25t/
4
3
D
D
.4tC1/

2
3.13/
3.25t/
4
3
D
13
3.25t/
4
3.4tC1/
2
3
:
Luego
dy
dt
D
13
3
3
ˆ
.25t/
4
.4tC1/
2
:

6.2 Regla de la cadena 299
10.yDx
ˆ
xC
p
xC1.
H
dy
dx
D
d
dx

x
"
xC
p
xC1

D
Dx
d
dx

xC
p
xC1

1
2
C
"
xC
p
xC1
d
dx
.x/D
Dx
1
2

xC
p
xC1

1
2
1d
dx
.xC
p
xC1/C
"
xC
p
xC1.1/D
Dx
1
2

xC
p
xC1

1
2

d
dx
.x/C
d
dx
.xC1/
1
2

C
"
xC
p
xC1D
D
1
2
x

xC
p
xC1

1
2

1C
1
2
.xC1/
1
2
1
d
dx
.xC1/

C
"
xC
p
xC1D
D
x
2
ˆ
xC
p
xC1

1C
1
2
.xC1/

1
2.1C0/

C
"
xC
p
xC1D
D
x
2
ˆ
xC
p
xC1
⎡
⎣1C
1
2.xC1/
1
2
⎤
⎦C
"
xC
p
xC1D
D
x
2
ˆ
xC
p
xC1
2
p
xC1C1
2
p
xC1
C
"
xC
p
xC1D
D
x.2
p
xC1C1/
4
p
xC1
ˆ
xC
p
xC1
C
"
xC
p
xC1D
D
x.2
p
xC1C1/C4
p
xC1.xC
p
xC1/
4
p
xC1
ˆ
xC
p
xC1
D
D
2x
p
xC1CxC4x
p
xC1C4.xC1/
4
p
xC1
ˆ
xC
p
xC1
D
D
6x
p
xC1C5xC4
4
p
xC1
ˆ
xC
p
xC1
:
Luego,
dy
dx
D
6x
p
xC1C5xC4
4
p
xC1
ˆ
xC
p
xC1
:
11.xD
3y
2
ˆ
y
2
C1
.
H
dx
dy
D
d
dx

3y
2
ˆ
y
2
C1

D
D
ˆ
y
2
C1
d
dy
.3y
2
/3y
2
d
dy
.y
2
C1/
1
2
.
ˆ
y
2
C1/
2
D
D
ˆ
y
2
C1.6y/3y
2
.
1
2
/.y
2
C1/
1
2
1
d
dy
.y
2
C1/
y
2
C1
D
ˆ
y
2
C1.6y/3y
2
.
1
2
/.y
2
C1/

1
2.2y/
y
2
C1
D
D
6y
ˆ
y
2
C13y
3
.y
2
C1/

1
2
y
2
C1
:

300 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Multiplicando y dividiendo por.y
2
C1/
1
2:
dx
dy
D
.y
2
C1/
1
2Œ6y.y
2
C1/
1
23y
3
.y
2
C1/

1
2
.y
2
C1/
1
2.y
2
C1/
D
6y.y
2
C1/
2
23y
3
.y
2
C1/
0
.y
2
C1/
3
2
D
D
6y.y
2
C1/3y
3
.y
2
C1/
3
2
D
6y
3
C6y3y
3
.y
2
C1/
3
2
D
3y
3
C6y
ˆ
.y
2
C1/
3
D
D
3y.y
2
C2/
ˆ
.y
2
C1/
3
:
Entonces,
dx
dy
D
3y.y
2
C2/
ˆ
.y
2
C1/
3
:
12.yD
1
x
p
x
2
1
.
HObservamos que
yD.x
p
x
2
1/
1
)
)y
0
D

1
2x
2
p
x
2
1

.x
p
x
2
1/
2
D
.
p
x
2
1x/
p
x
2
1.x
p
x
2
1/
2
D
x
p
x
2
1
p
x
2
1.x
p
x
2
1/
2
D
D
1
p
x
2
1.x
p
x
2
1/
D
1
x
p
x
2
1x
2
C1
:

13.f.z/D
p
zC1
.
p
zC3/
2
.
HDerivamos
f
0
.z/D
.
p
zC3/
2

1
2
p
z

.
p
zC1/2.
p
zC3/

1
2
p
z

˙
.
p
zC3/
2

2
D
D
.
p
zC3/

.
p
zC3/
1
2
p
z
.
p
zC1/
1
p
z

.
p
zC3/
4
D
D
p
zC3
2
p
z

p
zC1
p
z
.
p
zC3/
3
D
D
p
zC32.
p
zC1/
2
p
z
.
p
zC3/
3
D

p
zC1
2
p
z.
p
zC3/
3
:

6.3 Derivadas laterales 301
14.Sif.w/D
p
wC1C3
.w
2
C1/
3
;calcularf
0
.1/.
HDerivamos
f
0
.w/D
.w
2
C1/
3

1
2
p
wC1
C0

p
wC1C3

3.w
2
C1/
2
2w
Œ.w
2
C1/
3

2
D
D
.w
2
C1/
2

.w
2
C1/
1
2
p
wC1
.
p
wC1C3/6w

.w
2
C1/
6
D
D
w
2
C1
2
p
wC1
6w.
p
wC1C3/
.w
2
C1/
4
yentonces,
f
0
.1/D
1
2
C1
2
p
1C1
6.1/.
p
1C1C3/
.1
2
C1/
4
D
2
2
p
2
6.
p
2C3/
2
4
D
D
1
p
2
6
p
218
16

0:70718:485318
16
1:6111 :

15.Seanˆ.s/D
ˆ
1 .s/, .2/D3&
0
.2/D3,calculeˆ
0
.2/.
HObservamos que
ˆ.s/DŒ1 .s/
1
2:
Luego, por la regla para derivar una función potencia y la regla de la cadena:
ˆ
0
.s/D
d
ds
Œ1 .s/
1
2D
1
2
Œ1 .s/

1
2
d
ds
Œ1 .s/D

0
.s/
2Œ1 .s/
1
2
:
Por lo que
ˆ
0
.2/D

0
.2/
2Œ1 .2/
1
2
D
3
2
ˆ
1.3/
D
D
3
2
p
4
D
3
22
D
3
4
:

6.3 Derivadas laterales
Ejercicios 6.3.1Determinar cuáles de las derivadas lateralesŒf
0
.x

0
/,f
0
.x
C
0
/existen y decidir la derivabilidad de
la funciónfdada en el puntox
0mencionado.
1.x
0D0&f.x/D

x
2
six0I
x
2
six>0:

302 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
H
f.x
0/Df.0/D0&f.x 0Ch/Df.0Ch/Df.h/D

h
2
sih<0I
h
2
sih>0I
f
0
.x

0
/Df
0
.0

/Dlím
h!0

f.x0Ch/f.x 0/
h
Dlím h!0
h
2
0
h
Dlím h!0
hD0I
f
0
.x
C
0
/Df
0
.0
C
/Dlím
h!0
C
f.x0Ch/f.x 0/
h
Dlím h!0
h
2
0
h
Dlím h!0
.h/D0:
Entoncesf
0
.0

/D0Df
0
.0
C
/. Por lo tanto,fes derivable enx 0&f
0
.0/D0.
x
y

yDx
2
yDx
2
Ambas derivadas laterales valen cero

2.x
0D1&f.x/D

x
2
1six<1I
1x
2
si1x1:
H
f.x
0/Df.1/D1.1/
2
D11D0I
f.x
0Ch/Df.1Ch/D

.h1/
2
1sih1<1
1.h1/
2
sih1>1
D

h
2
2hsih<0I
2hh
2
sih>0I
f
0
.x

0
/Df
0
.1

/Dlím
h!0

f.x0Ch/f.x 0/
h
Dlím h!0
h
2
2h0
h
Dlím h!0
.h2/D2I
f
0
.x
C
0
/Df
0
.1
C
/Dlím
h!0
C
f.x0Ch/f.x 0/
h
Dlím h!0
2hh
2
0
h
Dlím h!0
.2h/D2:
Entoncesf
0
.1

/D2¤f
0
.1
C
/D2. Por lo tanto,f
0
.1/no existe. Esto es,fno es derivable en
x
0D1.

6.3 Derivadas laterales 303
x
y

1
yDx
2
1
yD1x
2
Derivadas laterales distintas

3.x
0D
3
2
&f.x/D.2x3/
3=2
C1.
H
f
0
.x/D
3
2
.2x3/
1=2
.2/C0D3.2x3/
1=2
D3
p
2x3I
f
0
.x/D3
p
2x3existe cuando2x30,esdecir,parax2D fD

3
2
;C1

:
Esto es,f
0
.x/existe cuandox
3
2
.Entonces,
f
0
.x

0
/Df
0
.
3
2

/no existe,I
f
0
.x
C
0
/Df
0
.
3
2
C
/D3
"
2.
3
2
/3D3.0/D0:
Por lo tanto,f
0

3
2

no existe. Esto es,fno es derivable enx
0D
3
2
.
x
y

3
2
yDf.x/
Sólo existe la derivada por la derecha

4.x
0D1&f.x/D

x
3
1 six<1I
x
2
C5x4six1:

304 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
H
f.x
0/Df.1/D1
2
C5.1/4D1C54D0I
f.x
0Ch/Df.1Ch/D

.1Ch/
3
1 si1Ch<1I
.1Ch/
2
C5.1Ch/4si1Ch>1I
D
D

1C3hC3h
2
Ch
3
1 sih<0I
12hh
2
C5C5h4sih>0I
D
D

3hC3h
2
Ch
3
sih<0I
3hh
2
sih>0:
f
0
.x

0
/Df
0
.1

/Dlím
h!0

f.x0Ch/f.x 0/
h
Dlím h!0

3hC3h
2
Ch
3
h
Dlím h!0

.3C3hCh
2
/D3I
f
0
.x
C
0
/Df
0
.1
C
/Dlím
h!0
C
f.x0Ch/f.x 0/
h
Dlím h!0
C
3hh
2
h
límh!0
C
.3h/D3:
Por lo tanto,fes derivable enx
0D1;ademásf
0
.1/D3.
x
y

1
yDf.x/
Las derivadas laterales son iguales

5.x
0D3&f.x/D

.x2/
2
six3I
p
2x5six>3:
H
f.x
0/Df.3/D.32/
2
D1
2
D1I
f.x
0Ch/Df.3Ch/D

Œ.3Ch/2
2
si3Ch<3
ˆ
2.3Ch/5si3Ch>3
D

Œ.3Ch/2
2
sih<0I
ˆ
2.3Ch/5sih>0I
D
D

.1Ch/
2
sih<0
p
1C2hsih>0
D

1C2hCh
2
sih<0I
p
1C2h sih>0I
f
0
.x

0
/Df
0
.3

/Dlím
h!0

f.x0Ch/f.x 0/
h
Dlím h!0

1C2hCh
2
1
h
Dlím h!0
C
.2Ch/D2I

6.4 Derivadas inﬁnitas 305
f
0
.x
C
0
/Df
0
.3
C
/Dlím
h!0
C
f.x0Ch/f.x 0/
h
Dlím h!0
C
p
1C2h1
h
D
Dlím
h!0
C
.
ˆ
.1C2h1/.
ˆ
.1C2hC1/
h.
p
1C2hC1/
D
Dlím
h!0
C
1C2h1
h.
p
1C2hC1/
Dlím h!0
C
2
p
1C2hC1
D
D
2
ˆ
1C2.0/C1
D
2
p
1C1
D
2
2
D1:
Concluimos quefno es derivable enx
0D3.
x
f.x/

3
Las derivadas laterales son diferentes
La función es continua enx 0D3, pero no es derivable es ese punto.
6.4 Derivadas inﬁnitas
Ejercicios 6.4.1
Para las siguientes funciones, encontrar dónde la derivada se hace inﬁnita y determinar si esC1obien1.
1.f.x/D
p
x4.
H
f.x/D
p
x4D.x4/
1=2
)f
0
.x/D
1
2
.x4/
1=2
D
1
2
p
x4
:
Entonces,
f
0
.x/2Rpara cadax>4I
f
0
.x/no existe cuandox4:
La única posibilidad para una derivada inﬁnita esf
0
.4
C
/.
f
0
.4
C
/Dlím
h!0
C
f.4Ch/f.4/
h
Dlím h!0
C
ˆ
.4Ch/4
p
44
h
Dlím h!0
C
p
h
h
:
Puesto queh!0
C
)h>0)
p
h
2
DjhjDh,entonces:
f
0
.4
C
/Dlím
h!0
C
p
h
p
h
2
Dlím
h!0
C

h
h
2
Dlím
h!0
C

1
h
DC1:
Por lo tanto,f
0
.4
C
/DC1.

306 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
2.g.t/Dt
3=5
.
Hg.t/Dt
3=5
)g
0
.t/D
3
5
t
2=5
D
3
5t
2=5
D
3
5
5
p
t
2
.
Observamos queg
0
.t/2Rpara cadat¤0, por lo cual la única posibilidad para una derivada inﬁnita
está entD0.
También
5
p
t
2
!0
C
,cuandot!0

ycuandot!0
C
:
g
0
.0/Dlím
t!0
g.t/g.0/
t0
Dlím t!0
t
3=5
0
t
Dlím t!0
1
t
2=5
DC1:
Por lo tanto,g
0
.0

/DC1&g
0
.0
C
/DC1.
3..y/D.y2/
2=5
C1.
H.y/D.y2/
2=5
C1)
0
.y/D
2
5
.y2/
3=5
D
2
5.y2/
3=5
.
Encontramos que
0
.y/2Rpara caday¤2, por lo que la única posibilidad para derivadas inﬁnitas
está enyD2.
y!2

)y<2)y2<0).y2/
3
<0)
5
ˆ
.y2/
3
<0)
5
ˆ
.y2/
3
!0

)
)
2
5.y2/
3=5
!1 )
0
.2

/D1I
y!2
C
)y>2)y2>0).y2/
3
>0)
5
ˆ
.y2/
3
>0)
5
ˆ
.y2/
3
!0
C
)
)
2
5.y2/
3=5
!C1 )
0
.2
C
/DC1:
Por lo tanto,
0
.2

/D1&
0
.2
C
/DC1.
4.wD.1u/
2=3
C1.
HwD.1u/
2=3
C1Df.u/)f
0
.u/D
2
3
.1u/
1=3
.1/D
2
3
3
p
1u
.
Vem o s quef
0
.u/2Rpara cadau¤1, por lo cual la única posibilidad para derivadas inﬁnitas está
enuD1.
u!1

)u<1)1u>0)
3
p
1u>0)
3
p
1u!0
C
)
2
3
3
p
1u
<0)
)
2
3
3
p
1u
!1 ) f
0
.1

/D1:
u!1
C
)u>1)1u<0)
3
p
1u<0)
3
p
1u!0

)
2
3
3
p
1u
>0)
)
2
3
3
p
1u
!C1 ) f
0
.1
C
/DC1:

5.yD1C
p
32x.
H
yD1C
p
32xDg.x/)g
0
.x/D
1
2
.32x/
1=2
.2/)
)g
0
.x/D
1
.32x/
1=2
D
1
p
32x
)
)g
0
.x/2Rpara cadax<
3
2
&g
0
.x/no existe cuandox>
3
2
:

6.5 Derivadas de orden superior 307
La única posibilidad para una derivada inﬁnita esg
0

3
2

.
g
0

3
2

Dlím
h!0

g

32
Ch

g

3
2

h
Dlím h!0

1C
˛
32

3
2
Ch

.1C0/
h
:
Ya queh!0

)h<0)
p
h
2
DjhjDh)hD
p
h
2
)
)g
0

3
2

Dlím
h!0

p
2h
h
Dlím h!0

p
2h

p
h
2
D
Dlím
h!0

p
2h
p
h
2
Dlím
h!0

2h
h
2
Dlím
h!0

2
h
D
Dlím
h!0

2
h
D1:
Por lo tanto,g
0

3
2

D1.
6.5 Derivadas de orden superior
Ejercicios 6.5.1Calcular la segunda derivada de cada una de las siguientes funciones:
1.f.x/D2x
6
15x
4
1.
H
f.x/D2x
6
15x
4
1)f
0
.x/D12x
5
60x
3
)
)f
00
.x/D60x
4
180x
2
D60x
2
.x
2
3/)
)f
00
.x/D60x
2
.x
2
3/:

2.g.x/D.3x
2
1/
5
.
H
g.x/D.3x
2
1/
5
)g
0
.x/D5.3x
2
1/
4
.6x/D30x.3x
2
1/
4
)
)g
00
.x/D30
˙
.x/4.3x
2
1/
3
.6x/C.3x
2
1/
4
.1/

D
D30.3x
2
1/
3
˙
24x
2
C.3x
2
1/

D30.3x
2
1/
3
Œ27x
2
1)
)g
00
.x/D30.3x
2
1/
3
.27x
2
1/:

3.yD
2uC1
3u2
.
H
yD
2uC1
3u2
)
dy
du
D
.3u2/.2/.2uC1/3
.3u2/
2
D
6u46u3
.3u2/
2
I
dy
du
D
7
.3u2/
2
D7.3u2/
2
)
)
d
2
y
du
2
D7.2/.3u2/
3
.3/D42.3u2/
3
D
42
.3u2/
3
:

308 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
4.wD
t
2
t
2
4
.
H
wD
t
2
t
2
4
)
dw
dt
D
.t
2
4/2tt
2
.2t/
.t
2
4/
2
D
8t
.t
2
4/
2
)
)
d
2
w
dt
2
D
.t
2
4/
2
.8/.8t/2.t
2
4/2t
.t
2
4/
4
D
8.t
2
4/
2
C32t
2
.t
2
4/
.t
2
4/
4
I
d
2
w
dt
2
D
8.t
2
4/Œ.t
2
4/C4t
2

.t
2
4/
4
D
8Œt
2
C4C4t
2

.t
2
4/
3
I
d
2
w
dt
2
D
8.3t
2
C4/
.t
2
4/
3
:

5.uD
3y
y
2
C1
.
H
uD
3y
y
2
C1
)
du
dy
D
.y
2
C1/33y.2y/
.y
2
C1/
2
D
33y
2
.y
2
C1/
2
)
)
d
2
u
dy
2
D
.y
2
C1/
2
.6y/3.1y
2
/2.y
2
C1/2y
.y
2
C1/
4
D
D
6y.y
2
C1/Œy
2
C1C22y
2

.y
2
C1/
4
D
6y.3y
2
/
.y
2
C1/
3
I
d
2
u
dy
2
D
6y.y
2
3/
.y
2
C1/
3
D
6y.y
p
3/.yC
p
3/
.y
2
C1/
3
:

6.yDx
2
C
8
x
.
H
yDx
2
C
8
x
Dx
2
C8x
1
)y
0
D2x8x
2
)
)y
00
D2C16x
3
D2C
16
x
3
)y
00
D2C
16
x
3
:

7.zD.3t
2
/
3=2
.
H
zD.3t
2
/
3=2
)
dz
dt
D
3
2
.3t
2
/
1=2
.2t/D3t.3t
2
/
1=2
)
)
d
2
z dt
2
D.3t/
1
2
.3t
2
/
1=2
.2t/C.3t
2
/
1=2
.3/D
D3t
2
.3t
2
/
1=2
3.3t
2
/
1=2
D
3t
2
.3t
2
/
1=2
3.3t
2
/
1=2
D
D
3t
2
3.3t
2
/
.3t
2
/
1=2
D
3t
2
9C3t
2
p
3t
2
D
6t
2
9
p
3t
2
I
d
2
z
dt
2
D
3.2t
2
3/
p
3t
2
:

6.5 Derivadas de orden superior 309
8.wD

u
uC1

4
.
H
wD

u
uC1

4
D
u
4
.uC1/
4
D
.uC1/
4
u
4
D

uC1
u

4
D

1C
1
u

4
I
wD.1Cu
1
/
4
)
dw
du
D4.1Cu
1
/
3
.u
2
/D4u
2
.1Cu
1
/
3
)
)
d
2
w du
2
D.4u
2
/3.1Cu
1
/
2
.u
2
/C.1Cu
1
/
3
.4/.2u
3
/D
D12u
4
.1Cu
1
/
2
C8u
3
.1Cu
1
/
3
D
D
12.1Cu
1
/
2
u
4
C
8.1Cu
1
/
3
u
3
D
12.1Cu
1
/
2
C8u.1Cu
1
/
3
u
4
D
D
4.1Cu
1
/
2
u
4
˙
3C2u.1Cu
1
/

D
4.1Cu
1
/
2
u
4
.5C2u/D
4
u
4

1C
1
u

2
.2uC5/I
d
2
w
du
2
D
4
u
4

uC1
u

2
.2uC5/D
4
u
6
.uC1/
2
.2uC5/:

9.xD
1
y
2
yC1
.
H
xD
1
y
2
yC1
)
dx
dy
D
.y
2
yC1/01.2y1/
.y
2
yC1/
2
D
12y
.y
2
yC1/
2
)
d
2
x
dy
2
D
.y
2
yC1/
2
.2/.12y/2.y
2
yC1/.2y1/
.y
2
yC1/
4
D
D
.2/.y
2
yC1/Œ.y
2
yC1/C.12y/.2y1/
.y
2
yC1/
4
D
D
2Œy
2
yC14y
2
C4y1
.y
2
yC1/
3
D
2.3y
2
C3y/
.y
2
yC1/
3
D
6.y
2
y/
.y
2
yC1/
3
I
d
2
x
dy
2
D
6y.y1/
.y
2
yC1/
3
:
Otambién
dx
dy
D
d.y
2
yC1/
1
dy
D.y
2
yC1/
2
.2y1/)
)
d
2
x dy
2
D2.y
2
yC1/
3
.2y1/
2
.y
2
yC1/
2
2D
2.2y1/
2
.y
2
yC1/
3

2
.y
2
yC1/
2
D
D
2.2y1/
2
2.y
2
yC1/
.y
2
yC1/
3
D
6y
2
6y
.y
2
yC1/
3
D
6y.y1/
.y
2
yC1/
3
:

310 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
10.yDx
p
1x
2
.
H
yDx
p
1x
2
Dx.1x
2
/
1=2
)
)y
0
Dx.
1
2
/.1x
2
/
1=2
.2x/C.1x
2
/
1=2
.1/Dx
2
.1x
2
/
1=2
C.1x
2
/
1=2
)
)y
00
D.x
2
/.
1
2
/.1x
2
/
3=2
.2x/C.1x
2
/
1=2
.2x/C
1
2
.1x
2
/
1=2
.2x/)
)y
00
D
x
3 .1x
2
/
3=2

3x
.1x
2
/
1=2
D
x
3
3x.1x
2
/
.1x
2
/
3=2
D
x
3
3xC3x
3
.1x
2
/
3=2
D
2x
3
3x
.1x
2
/
3=2
)
)y
00
D
x.2x
2
3/
.1x
2
/
p
1x
2
,six2.1; 1/ :

Determinar lan-ésima derivada de cada una de las siguientes funciones, para el númerondado:
11.nD4&f.x/D
1
2xC1
.
H
f.x/D
1
2xC1
D.2xC1/
1
)f
0
.x/D1.2xC1/
2
.2/D2.2xC1/
2
)
)f
00
.x/D2.2/.2xC1/
3
.2/D2
3
.2xC1/
3
)
)f
.3/
.x/D2
3
.3/.2xC1/
4
.2/D3.2/
4
.2xC1/
4
)
)f
.4/
.x/D3.2/
4
.4/.2xC1/
5
.2/D3.2/
4
.2/
2
.2xC1/
5
.2/)
)f
.4/
.x/D3.2/
7
.2xC1/
5
D
3.2/
7
.2xC1/
5
D12

2
2xC1

5
:

12.nD5&g.t/Dt
3
C
2
t
.
H
g.t/Dt
3
C
2
t
Dt
3
C2t
1
)g
0
.t/D3t
2
2t
2
)
)g
00
.t/D6tC4t
3
)g
.3/
.t/D612t
4
)g
.4/
.t/D0C48t
5
)
)g
.5/
.t/D.48/.5t
6
/D240t
6
D
240
t
6
:

13.nD4&wD
aub
auCb
(cona,bconstantes) .
H
wD
aub
auCb
)
dw
du
D
.auCb/a.aub/a
.auCb/
2
D
2ab
.auCb/
2
D2ab.auCb/
2
)
)
d
2
w
du
2
D2ab.2/.auCb/
3
aD2
2
a
2
b.auCb/
3
)
)
d
3
w
du
3
D2
2
a
2
b.3/.auCb/
4
aD3.2
2
/a
3
b.auCb/
4
)

6.6 Derivación implícita 311
)
d
4
w
du
4
D3.2
2
/a
3
b.4/.auCb/
5
aD3.2
2
/a
4
b.2
2
/.auCb/
5
)
)
d
4
w
du
4
D3.2
4
/a
4
b.auCb/
5
D
3.2/
4
a
4
b
.auCb/
5
:

14.nD3&xD.y
2
C1/
5
.
H
xD.y
2
C1/
5
)
dx
dy
D5.y
2
C1/
4
2yD10y.y
2
C1/
4
)
)
d
2
x dy
2
D10Œ.y/4.y
2
C1/
3
2yC.y
2
C1/
4
.1/)
)
d
2
x
dy
2
D10.y
2
C1/
3
Œ8y
2
C.y
2
C1/D10.y
2
C1/
3
.9y
2
C1/)
)
d
3
x
dy
3
D10Œ.y
2
C1/
3
.18y/C.9y
2
C1/3.y
2
C1/
2
2yD
D10.y
2
C1/
2
.6y/Œ3.y
2
C1/C.9y
2
C1/)
)
d
3
x
dy
3
D60y.y
2
C1/
2
.12y
2
C4/D240y.y
2
C1/
2
.3y
2
C1/:

15.nD3&yD
x
2
x
2
1
.
H
yD
x
2
x
2
1
)y
0
D
.x
2
1/2xx
2
.2x/
.x
2
1/
2
D
2x
.x
2
1/
2
)
)y
00
.x/D
.x
2
1/
2
.2/.2x/2.x
2
1/2x
.x
2
1/
4
D
2.x
2
1/
2
C8x
2
.x
2
1/
.x
2
1/
4
)
)y
00
.x/D
2.x
2
1/Œ.x
2
1/C4x
2

.x
2
1/
4
D
2.3x
2
C1/
.x
2
1/
3
)
)y
.3/
D
.x
2
1/
3
2.6x/2.3x
2
C1/3.x
2
1/
2
.2x/
.x
2
1/
6
)
)y
.3/
D
12x.x
2
1/
3
12x.3x
2
C1/.x
2
1/
2
.x
2
1/
6
D
12x.x
2
1/
2
.x
2
13x
2
1/
.x
2
1/
6
)
)y
.3/
D
12x.2x
2
2/
.x
2
1/
4
D
24x.x
2
C1/
.x
2
1/
4
:

6.6 Derivación implícita
Ejercicios 6.6.1
1.Dada la curva deﬁnida pory
3
C3y
2
Dx
4
3x
2
.
a.Obtener la ecuación de su recta tangente en el punto.2;1/.

312 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
b.Calcular las abscisas de los puntos sobre la curva con rectas tangentes horizontales.
H
a.Efectivamente el punto.2;1/pertenece a la curva, pues sus coordenadas satisfacen a la ecuación:
1
3
C31
2
D.2/
4
3.2/
2
,1C3D163.4/,4D1612:
Suponemos queyD.x/ycalculamos
dy
dx
derivando implícitamente con respecto ax.
d
dx
.y
3
C3y
2
/D
d
dx
.x
4
3x
2
/I
d
dx
.y
3
/C3
d
dx
.y
2
/D
d
dx
.x
4
/3
d
dx
.x
2
/:
Aplicandolaregladelapotenciaylaregladelacadena:
3y
2
dy
dx
C3

2y
dy
dx

D4x
3
3.2x/I
3y
2
dy
dx
C6y
dy
dx
D4x
3
6xI
.3y
2
C6y/
dy
dx
D4x
3
6xI
dy
dx
D
4x
3
6x
3y
2
C6y
:
Calculamos la pendientemde la recta tangente evaluando
dy
dx
en el puntoP.2;1/:
mD
4.2/
3
6.2/
3.1/
2
C6.1/
D
4.8/C12
3C6
D
32C12
9
D
20
9
)mD
20
9
:
Usandoyy
1Dm.xx 1/, la ecuación de la recta tangente es:
y1D
20
9
Œx.2/I
y1D
20
9
.xC2/I
yD
20
9
x
40
9
C1I
yD
20
9
x
31
9
:
b.En los puntosQ.x; y/, donde la curva tiene rectas tangentes horizontales, se cumple quemD0,
o sea que,
dy
dx
D0.
dy
dx
D
4x
3
6x
3y
2
C6y
D0,4x
3
6xD0,2x.2x
2
3/D0,
,

2xD0
2x
2
3D0
,

xD0
2x
2
D3
,

xD0
x
2
D
3
2
,
⎧
⎨
⎩
xD0
xD˙

3
2
)
)
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
xD0I
xD

3
2
I
xD

3
2
:

6.6 Derivación implícita 313
Hallamos que son3puntos donde esta curva tiene rectas tangentes horizontales y que las ab-
scisas de dichos puntos son:
x
1D

3
2
,x
2D0&x 3D

3
2
:

2.Dada la curva2.x
2
Cy
2
/
2
D25.x
2
y
2
/.
a.Obtener
dy
dx
Dy
0
.
b.Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva en el puntoP.3; 1/.
H
a.Suponemos queyD.x/ycalculamos
dy
dx
derivando implícitamente con respecto ax.
d
dx
Œ2.x
2
Cy
2
/
2
D
d
dx
Œ25.x
2
y
2
/I
2
d
dx
.x
2
Cy
2
/
2
D25
d
dx
.x
2
y
2
/I
2.2/.x
2
Cy
2
/
21
d
dx
.x
2
Cy
2
/D25
d
dx
.x
2
y
2
/I
4.x
2
Cy
2
/

d
dx
x
2
C
d
dx
y
2

D25

d
dx
x
2

d
dx
y
2

I
4.x
2
Cy
2
/

2xC2y
dy
dx

D25

2x2y
dy
dx

I
8x.x
2
Cy
2
/C8y.x
2
Cy
2
/
dy
dx
D50x50y
dy
dx
I
8y.x
2
Cy
2
/
dy
dx
C50y
dy
dx
D50x8x.x
2
Cy
2
/I
˙
8y.x
2
Cy
2
/C50y
dy
dx
D50x8x.x
2
Cy
2
/I
dy
dx
D
50x8x.x
2
Cy
2
/
8y.x
2
Cy
2
/C50y
D
D
2x
˙
254.x
2
Cy
2
/

2y Œ4.x
2
Cy
2
/C25
D
D
x
˙
254.x
2
Cy
2
/

yŒ4.x
2
Cy
2
/C25
:
b.Efectivamente el puntoP.3; 1/está sobre la curva2.x
2
Cy
2
/
2
D25.x
2
y
2
/, pues sus coorde-
nadas la satisfacen:
2.3
2
C1
2
/
2
D25.3
2
1
2
/,2.9C1/
2
D25.91/,210
2
D258,2100D200:
Valuamos
dy
dx
en el puntoP.3; 1/para tener la pendientemde la recta tangente:
mD
3
˙
254.3
2
C1
2
/

1Œ4.3
2
C1
2
/C25
D
3Œ254.9C1/
4.9C1/C25
D
3.25364/
36C4C25
D
D
3.15/
65
D
3.3/
13
D
9
13
:

314 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Usandoyy 1Dm.xx 1/, la ecuación de la recta tangente es:
y1D
9
13
.x3/I
y1D
9
13
xC
27
13
I
yD
9
13
xC
27
13
C1I
yD
9
13
xC
40
13
:

3.Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva
4y
2
3x
2
y
34x
2
D1en el punto.1; 1/.
HObservamos primero que el punto.1; 1/sí pertenece a la curva, pues sus coordenadasxD
1&yD1satisfacen la ecuación
41
2
3.1/
2
1
34.1/
2
D
41311
341
D
43
34
D
1
1
D1:
Para hallar la pendiente de la recta tangente, se deriva implícitamente con respecto ax(pensando que
yes función dex):
4y
2
3x
2
y
34x
2
D1)4y
2
3x
2
yD3C4x
2
,(si34x
2
¤0,osea,x¤˙
p
3
2
);
obtenemos
d
dx
.4y
2
3x
2
y/D
d
dx
.3C4x
2
/)
)8yy
0
6xy3x
2
y
0
D8x:
ydeaquídespejamosy
0
.8y3x
2
/y
0
D8xC6xy)y
0
D
8xC6xy
8y3x
2
:
En el punto.1; 1/, la pendiente es:
mDy
0
.1; 1/D
8.1/C6.1/1
813.1/
2
D
86
83
D
14
5
D
14
5
:
La ecuación de la recta tangente pedida es
y1D
14
5
.xC1/)yD
14
5
x
14
5
C1)
)yD
14
5
x
145
5
)yD
14
5
x
9
5
:

4.Determine la ecuación de la recta tangente a la curva5x
2
yC8x
4
y
2
3.y
5
Cx
3
/
2
D1en el punto
.1; 1/.
HEl punto estará sobre la curva si sus coordenadasxD1&yD1satisfacen a la ecuación de la
curva. Veámoslo; ponemos1en lugar dex&y,conlocualtenemos:
5.1/
2
1C8.1/
4
.1/
2
3Œ.1/
5
C.1/
3

2
D5C832
2
D1334D1312D1

6.6 Derivación implícita 315
yveriﬁcamos que el punto efectivamente está sobre la curva.
Hallemos ahora la pendiente de la tangente derivando implícitamente con respecto ax
10xyC5x
2
y
0
C32x
3
y
2
C16x
4
yy
0
6.y
5
Cx
3
/.5y
4
y
0
C3x
2
/D0:
Trasponiendo términos y factorizandoy
0
:
y
0
.5x
2
C16x
4
y30y
9
30x
3
y
4
/D10xy32x
3
y
2
C18x
2
y
5
C18x
5
I
despejandoy
0
y
0
D
10xy32x
3
y
2
C18x
2
y
5
C18x
5
5x
2
C16x
4
y30y
9
30x
3
y
4
I
y ahora en el punto.1; 1/:
y
0
.1; 1/D
1032C18C18
5C163030
D
6
39
D
2
13
es la pendiente de la recta tangente; su ecuación entonces es:
y1D
2
13
.x1/)yD
2
13
x
2
13
C1)yD
2
13
xC
11
13
:

5.Obtenga las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva deﬁnida implícitamente por
.xy
2
C9/
2
D.yC2/
4=3
en el punto.0; 25/.
HEfectivamente el punto.0; 25/pertenece a la curva, pues sus coordenadas satisfacen a la ecuación
.0C9/
2
D.25C2/
4=3
,pues81D.
3
p
27/
4
,81D3
4
:
Calculamos la pendiente de la tangente a la curva derivando con respecto ax:
2.xy
2
C9/.y
2
C2xyy
0
/D
4
3
.yC2/
1=3
y
0
:
Trasponiendo términos,
2.xy
2
C9/2xyy
0

4
3
.yC2/
1=3
y
0
D2xy
4
18y
2
:
Factorizando
y
0

4xy.xy
2
C9/
4
3
.yC2/
1=3

D2.xy
2
C9/y
2
I
luego, por último, despejandoy
0
y
0
D
2.xy
2
C9/y
24xy.xy
2
C9/
4
3
.yC2/
1=3
I
yenelpunto.0; 25/, la pendiente de la tangente es
y
0
.0; 25/D
1825
2

4
3
.25C2/
1=3
D
18625
4
D
5 625
2
I
y la pendiente de la normal es
2
5 625
, por lo que las respectivas ecuaciones son:
y25D
5 625
2
x)yD
5 625
2
xC25es la ecuación de la tangente;
y25D
2
5 625
x)yD
2
5 625
xC25es la ecuación de la normal.

316 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
6.Encuentre la pendiente de la recta tangente en el puntoP.1; 1/de la Lemniscata de Bernoulli
.x
2
Cy
2
/
2
D4xy :
HEfectivamente el puntoP.1; 1/está sobre la Lemniscata, pues sus coordenadas la satisfacen:
.1
2
C1
2
/
2
D411)4D4:
Calculemos la pendiente de la recta tangente derivando implícitamente con respecto ax:
2.x
2
Cy
2
/.2xC2yy
0
/D4yC4xy
0
:
Trasponiendo términos, para despejary
0
4y.x
2
Cy
2
/y
0
4xy
0
D4y4x.x
2
Cy
2
/:
Dividiendo toda la ecuación entre4y factorizandoy
0
:
Œy.x
2
Cy
2
/xy
0
Dyx.x
2
Cy
2
/:
Por lo que:
y
0
D
yx.x
2
Cy
2
/
y.x
2
Cy
2
/x
:
YenelpuntoP.1; 1/, la pendiente es:
mDy
0
.1; 1/D
11.1
2
C1
2
/
1.1
2
C1
2
/1
D
11.1C1/
1.1C1/1
D
112
121
D
12
21
D
1
1
D1:

7.Encuentre todos los puntos de la curvax
2
y
2
CxyD2, donde la recta tangente es horizontal.
HSuponiendo que la curva es la gráﬁca de una función derivableyDf.x/,lacualestádeﬁnida
implícitamente, su derivada está dada por
2xy
2
C2x
2
yy
0
CyCxy
0
D0)
).2x
2
yCx/y
0
D.2xy
2
Cy/)
)y
0
D
.2xyC1/y
2x
2
yCx
D
.2xyC1/y
.2xyC1/x
I
y
0
D0siyD0obien2xyC1D0,yD
1
2x
;x6 D0:
Ahora bien,yD0nocortaalacurvadada,puesnoexistextal quex
2
0
2
Cx0D2.
Veamos ahora si hay puntos de la curva tales queyD
1
2x
; resolviendo el sistema:
⎧
⎨
⎩
x
2
y
2
CxyD2I
yD
1
2x
I
sustituyendo el valor deyD
1
2x
en la primera ecuación (la que determina a la curva):
x
24x
2
Cx

1
2x

D2)
1
4

1
2
D2:

6.6 Derivación implícita 317
Por lo que tal curva no tiene tangente horizontal.
Este resultado lo podemos comprobar pues podemos hallar explícitamente la funciónyDf.x/.
Despejandoyde la ecuación:
x
2
y
2
Cxy2D0)yD
x˙
p
x
2
C8x
2
2x
2
D
x˙3x
2x
2
D
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
1
x
Dx
1
.x6 D0/

2
x
D2x
1
:
Entonces las derivadas de cada una de las funcionesyDx
1
&yD2x
1
, respectivamente, son:
y
0
1
Dx
2
D
1
x
2
&y
0
2
D
2
x
2
nunca son igual a0, por lo que no tiene tangentes horizontales.
8.Encuentre
dy
dx
en la ecuacióny
2
.x
2
1/
2
C3.2y
3
1/
2
D0.
HDerivemos implícitamente con respecto ax:
2yy
0
.x
2
1/
2
C2y
2
.x
2
1/2xC6.2y
3
1/6y
2
y
0
D0)
)Œ2y.x
2
1/
2
C36y
2
.2y
3
1/y
0
D4xy
2
.1x
2
/)
)y
0
D
4xy
2
.1x
2
/
2y.x
2
1/
2
C36y
2
.2y
3
1/
D
2xy.1x
2
/
.x
2
1/
2
C18y.2y
3
1/
siy¤0:
Vem o s que.x
2
1/
2
C18y.2y
3
1/tiene que ser¤0.
9.Determine la ecuación de la recta tangente a la gráﬁca de la función deﬁnida implícitamente por
3x
2
x
2
p
yCy
3
D3en el punto.1; 1/.
HEn efecto, el punto.1; 1/pertenece a la gráﬁca de la función, pues sus coordenadasxD1&yD1
satisfacen la ecuación ya que
3.1/
2
.1/
2
p
1C.1/
3
D31C1D3:
La pendiente de cualquier tangente está dada por
6x2x
p
y
x
2
2
p
y
y
0
C3y
2
y
0
D0,y
0

3y
2

x
2
2
p
y

D2x
p
y6x,
,y
0
D
2x
p
y6x
3y
2

x
2
2
p
y
:
En el punto.1; 1/la pendiente es
y
0
.1; 1/D
21
p
16.1/
3.1/
2

1
2
2
p
1
D
26
3
1
2
D
4
5
2
D
8
5
:
Por lo que la ecuación de la recta tangente es
y1D
8
5
.x1/)yD
8
5
xC
8
5
C1)yD
8
5
xC
13
5
:

10.Obtenerlaecuacióndelarectanormalalacurva
ˆ
3x
2
y
3
C2x
2
yD4C2xen el punto.1; 1/.
HVem o s que:
ˆ
3x
2
y
3
C2x
2
yD4C2x)3x
2
y
3
C2x
2
yD.4C2x/
2
:

318 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Veriﬁcamos que, en efecto, el punto.1; 1/pertenece a la curva
3.1/
2
.1/
3
C2.1/
2
1DŒ4C2.1/
2
)4D4:
Suponemos queyDg.x/y derivamos implícitamente respecto axtoda la ecuación:
3
d
dx
.x
2
y
3
/C2
d
dx
x
2

d
dx
yD
d
dx
.4C2x/
2
)
)3

x
2
3y
2
dy
dx
C2xy
3

C2.2x/
dy
dx
D2.4C2x/2)
)9x
2
y
2
dy
dx
C6xy
3
C4x
dy
dx
D16C8x)
).9x
2
y
2
1/
dy
dx
D16C8x4x6xy
3
)
)
dy
dx
D
16C4x6xy
3
9x
2
y
2
1
:
Valuando en el punto.1; 1/se obtiene la pendientem
tde la recta tangente a la curva en el punto
.1; 1/.
m
tD
16C4.1/6.1/.1/
3
9.1/
2
.1/
2
1
D
164C6
91
D
18
8
D
9
4
:
La pendiente de la recta normal esm
nD
4
9
.
La ecuación de la recta normal es
y1D
4
9
.xC1/)yD
4
9
x
4
9
C1)yD
4
9
xC
5
9
:

11.Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva2x
3
yC3xy
3
D5en el punto.1; 1/.
HVeriﬁcamos que, en efecto, el punto.1; 1/pertenece a la curva
2.1/
3
.1/C3.1/.1/
3
D5)5D5:
Suponemos que en la ecuación2x
3
yC3xy
3
D5se tiene implícitamente deﬁnida la funciónyD.x/
que es una función derivable.
Derivando implícitamente respecto axse obtiene
2
d
dx
.x
3
y/C3
d
dx
.xy
3
/D
d
dx
5)
)2

x
3
dy
dx
Cy.3x
2
/

C3

x

3y
2
dy
dx

C.1/y
3

D0)
)2x
3
dy
dx
C6x
2
yC9xy
2
dy
dx
C3y
3
D0)
).2x
3
C9xy
2
/
dy
dx
D3y
3
6x
2
y)
)
dy
dx
D
3y
3
C6x
2
y
2x
3
C9xy
2
:
Valuamos en el punto.1; 1/y hallamos que la pendiente de la recta tangente es:
m
tD
3.1/
3
C6.1/
2
.1/
2.1/
3
C9.1/.1/
2
D
3C6
2C9
D
9
11
:

6.6 Derivación implícita 319
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto.1; 1/es:
y1D
9
11
.x1/)yD
9
11
xC
9
11
C1)yD
9
11
xC
20
11
:

12.Obtener la ecuación de la recta tangente a la curvax
2
y
2
D.yC1/
2
.4y
2
/en el punto.0;2/.
HVeriﬁcamos que, en efecto, el punto.0;2/pertenece a la curva
0
2
.2/
2
D.2C1/
2
Œ4.2/
2
)0D0:
Suponemos que en la ecuación dada se tiene implícitamente deﬁnida la funciónyD.x/.
Derivando implícitamente con respecto axse obtiene:
d
dx
.x
2
y
2
/D
d
dx
Œ.yC1/
2
.4y
2
/)
)x
2
d
dx
y
2
Cy
2
d
dx
x
2
D.yC1/
2
d
dx
.4y
2
/C.4y
2
/
d
dx
.yC1/
2
)
)x
2
2y
dy
dx
Cy
2
2xD.yC1/
2
.2y/
dy
dx
C.4y
2
/2.yC1/
dy
dx
)
)2x
2
y
dy
dx
C2xy
2
D2y.yC1/
2
dy
dx
C2.4y
2
/.yC1/
dy
dx
)
)2x
2
y
dy
dx
C2y.yC1/
2
dy
dx
2.4y
2
/.yC1/
dy
dx
D2xy
2
)
)
dy
dx
Œ2x
2
yC2y.yC1/
2
2.4y
2
/.yC1/D2xy
2
)
)2Œx
2
yCy.y
2
C2yC1/.4yC4y
3
y
2
/
dy
dx
D2xy
2
)
)2Œx
2
yCy
3
C2y
2
Cy4y4Cy
3
Cy
2

dy
dx
D2xy
2
)
)2Œx
2
yC2y
3
C3y
2
3y4
dy
dx
D2xy
2
)
)
dy
dx
D
2xy
2
2.x
2
yC2y
3
C3y
2
3y4/
)
)
dy
dx
D
xy
2
x
2
yC2y
3
C3y
2
3y4
:
Valuamos en el punto.0;2/; esto es, hacemosxD0&yD2:
dy
dx
.0;2/D
0
0C2.8/C3.4/C64
D
0
2
D0:
Encontramos que la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto.0;2/esmD0.
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es:
y.2/Dm.x0/)yC2D0.x0/)yC2D0)yD2:

13.Muestre que las rectas tangentes a la elipsex
2
xyCy
2
D3en los puntos.1;1/&.1; 1/son
paralelas.
HVeriﬁcamos que, en efecto, los puntos.1;1/y.1; 1/pertenecen a las curvas.
Para.1;1/W1
2
1.1/C.1/
2
D3)3D3.

320 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Para.1; 1/W.1/
2
.1/.1/C1
2
D3)3D3.
Suponemos que en la ecuaciónx
2
xyCy
2
D3se tiene implícitamente deﬁnidaalavariableycomo
función de la variablex.
Derivamos implícitamente con respecto axtoda la ecuación:
ddx
x
2

d
dx
.xy/C
d
dx
y
2
D
d
dx
3)
)2x

x
dy
dx
Cy

C2y
dy
dx
D0)
)2xx
dy
dx
yC2y
dy
dx
D0)
)
dy
dx
.2yx/Dy2x)
)
dy
dx
D
y2x
2yx
:
Valuando la derivada
dy
dx
en el puntoA.1;1/se obtiene,
dy
dx

A
D
12.1/
2.1/1
D
12
21
D
3
3
D1Dm
A;
que es la pendiente de la recta tangente a la curva en el puntoA.
Valuando la derivada
dy
dx
en el puntoB.1; 1/,seobtiene,
dy
dx

B
D
12.1/
2.1/.1/
D
1C2
2C1
D
3
3
D1Dm
B;
que es la pendiente de la recta tangente a la curva en el puntoB.
Ya quem
ADm B, entonces las rectas tangentes son paralelas.
14.Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva deﬁnida por3x
2
C5y
2
3x
2
y
2
D11en el punto
.1; 2/.
HEl punto sí pertenece a la gráﬁca de la función, pues sus coordenadasxD1,yD2satisfacen a la
ecuación ya que
3.1/
2
C5.2/
2
3.1/
2
.2/
2
D.31/C.54/.314/D3C2012D11:
La pendiente de la recta tangente es la derivada, por lo que derivamos implícitamente con respecto a
x,obteniendo:
6xC10yy
0
6xy
2
6x
2
yy
0
D0).10y6x
2
y/y
0
D6xC6xy
2
)
)y
0
D
6xy
2
6x
10y6x
2
y
D
3xy
2
3x
5y3x
2
y
:
En particular, en el punto.1; 2/la derivada vale
y
0
.1; 2/D
31.2/
2
31
523.1/
2
2
D
343
106
D
123
4
D
9
4
y la ecuación de la recta tangente es
y2D
9
4
.x1/)yD
9
4
x
9
4
C2)yD
9
4
x
98
4
)yD
9
4
x
1
4
:

6.6 Derivación implícita 321
15.Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva deﬁnida por la ecuación
3x
5
2y
2
C1
C
ˆ
x
2
Cxy
5
D4
en el punto.1; 0/.
HVeriﬁcamos que, en efecto, el punto.1; 0/pertenece a la curva
3.1/
5
2.0/
2
C1
C
ˆ
1
2
C1.0/
5
D4)3C1D4:
Derivando implícitamente con respecto a la variablex,
15x
4
.2y
2
C1/4yy
0
3x
5
.2y
2
C1/
2
C
2xCy
5
C5xy
4
y
0
2
ˆ
x
2
Cxy
5
D0)
)Œ15x
4
.2y
2
C1/4yy
0
3x
5
2
ˆ
x
2
Cxy
5
C.2xCy
5
C5xy
4
y
0
/.2y
2
C1/
2
D0)
)y
0
Œ5xy
4
.2y
2
C1/
2
24yx
5
ˆ
x
2
Cxy
5
D15x
4
.2y
2
C1/2
ˆ
x
2
Cxy
5
.2xCy
5
/.2y
2
C1/
2
)
)y
0
D
30x
4
.2y
2
C1/
ˆ
x
2
Cxy
5
.2xCy
5
/.2y
2
C1/
2
5xy
4
.2y
2
C1/
2
24x
5
y
ˆ
x
2
Cxy
5
y valuándola en el punto.1; 0/,
y
0
.1; 0/D
301
4
.20
2
C1/
p
1
2
C10
5
.21C0
5
/.20
2
C1/
2
510
4
.20
2
C1/
2
241
5
0
p
1
2
C10
5
D
“

302
0

”
:
Por lo que la recta tangente en el punto.1; 0/es paralela al eje de lasy,encuyocasosuecuaciónes
xD1yladelanormalesyD0(el eje de lasx).
16.Encontrar la ecuación de la recta tangente a2x
2
3y
3
C
2y
xy1
D5en el punto.0; 1/.
HLas coordenadas del punto.0; 1/satisfacen a la ecuación
20
2
31
3
C
21
011
D32D5:
Suponemos que existe una función derivableyD.x/deﬁnida implícitamente. Vamos a derivar la
ecuación con respecto a la variablexpara obtener:
4x9y
2
y
0
C2
.xy1/y
0
y.yCxy
0
/
.xy1/
2
D0)
)4x9y
2
y
0
C2
xyy
0
y
0
y
2
xyy
0
.xy1/
2
D0)
)4x9y
2
y
0
C2
y
0
y
2
.xy1/
2
D0)
)4x9y
2
y
0

2
.xy1/
2
y
0

2y
2
.xy1/
2
D0)
)

9y
2

2
.xy1/
2

y
0
D4xC
2y
2
.xy1/
2
)
)y
0
D
4xC
2y
2
.xy1/
2
9y
2

2
.xy1/
2
:

322 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Valuamosy
0
.0; 1/:
y
0
.0; 1/D
2
1
9
2
1
D
2
11
;
y por lo tanto, la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto.0; 1/con pendiente
2
11
es:
y1
x0
D
2
11
)yD
2
11
xC1:

17.Encontrar en el punto.2;2/la ecuación de la recta tangente a la curvax
4
Cy
3
D24.
HVamos a comprobar que el punto dado.2;2/está en la gráﬁca de la función deﬁnida implícita-
mente:
.2/
4
C2
3
D16C8D24:
Derivamos la expresión implícitamente
4x
3
C3y
2
y
0
D0)3y
2
y
0
D4x
3
)y
0
D
4
3
x
3
y
2
:
Para calcular la pendiente de la recta tangente, valuamos la derivada en.2;2/:
y
0
.2;2/D
4
3
.2/
3
2
2
D
4
3

8
4

D
8
3
:
La ecuación de la recta tangente es:
y2
x.2/
D
8
3
)y2D
8
3
xC
16
3
)yD
8
3
xC
22
3
:
El ejercicio no pide hacer los cálculos de manera implícita y en este caso podemos despejary:
yD
3
p
24x
4
D.24x
4
/
1
3:
Derivamos:
y
0
D
1
3
.24x
4
/

2
3.4x
3
/:
Para calcular la pendiente de la recta tangente, valuamos la derivada enxD2:
y
0
.2/D
1
3
˙
24.2/
4

2
3
˙
4.2/
3

D
1
3
.8/

2
3.32/D
D
32
3

1
8
2
3
D
32
3

1
4
D
8
3
y la ecuación de la recta tangente se calcula como antes.
18.SeayDf.x/deﬁnida implícitamente porx
4
C3x
2
yCy
3
D5. Obtener la ecuación de la recta tangente
alagráﬁca de esa función en el punto.1; 1/.
HVeriﬁcamos que, en efecto, el punto.1; 1/pertenece a la curva
.1/
4
C3.1/
2
.1/C1
3
D5)5D5:

6.6 Derivación implícita 323
Derivando
4x
3
C3.2xyCx
2
y
0
/C3y
2
y
0
D0)4x
3
C6xyC3x
2
y
0
C3y
2
y
0
D0)
)3.x
2
Cy
2
/y
0
D4x
3
6xy)y
0
D
4x
3
C6xy
3.x
2
Cy
2
/
y valuando en el punto.1; 1/
y
0
.1; 1/D
4.1/
3
C6.1/.1/
3Œ.1/
2
C.1/
2

D
46
3.2/
D
10
6
D
5
3
;
calculamos la ecuación de la recta tangente
y1
x.1/
D
5
3
)y1D
5
3
.xC1/D
5
3
xC
5
3
)yD
5
3
xC
8
3
:

324 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos

CAPÍTULO
7
Razonesdecambiorelacionadas
1.Suponga que un incendio forestal se propaga en la forma de un círculo cuyo radio cambia a razón
de1:8m/min. ¿A qué razón está creciendo el área de la región incendiada cuando el radio alcanza
60m?
HPara un radio arbitrarior, el área del círculo esADr
2
.
Considerando quervaría en el tiempo, y queres función del tiempo, es decir, querDr.t/,entonces
ADA.t/.
Luego,
ADr
2
)A.t/Dr
2
.t/:
Derivando respecto atobtenemos
d
dt
A.t/D
d
dt
˙
r
2
.t/

)
dA
dt
D2r
dr
dt
;
donde
dA
dt
es la razón de cambio del área y
dr
dt
es la razón de cambio del radio, ambas derivadas con
respecto at.
PararD60my
dr
dt
D1:8m/min tenemos
dA
dt
D2.60m/.1:8m/min/D216m
2
/min:
Por lo tanto, la razón o rapidez de cambio del área es:
dA
dt
679m
2
/min:

2.Sea`la longitud de la diagonal de un rectángulo cuyos lados tienen longitudesx&yrespectivamente.
Sixaumenta con una rapidez de
1
2
m/s y siydisminuye con una rapidez de
1
4
m/s:
325

326 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
a.¿A qué razón está cambiando la longitud de la diagonal cuandoxD3m&yD4m?
b.¿La diagonal está aumentando o disminuyendo en ese instante?
H
a.Usamos laﬁgura
`.t /
y.t/
x.t/
De laﬁgura, tenemos
`
2
.t/Dx
2
.t/Cy
2
.t/I
derivando con respecto at:
d
dy
Œ`
2
.t/D
d
dt
Œx
2
.t/Cy
2
.t/I
2`.t/`
0
.t/D2x.t/x
0
.t/C2y.t/y
0
.t/I
`
0
.t/D
2x.t/x
0
.t/C2y.t/y
0
.t/
2`.t/
D
x.t/x
0
.t/Cy.t/y
0
.t/
`.t/
:
Por lo tanto en un momento, digamost
0,enelquex.t 0/D3&y.t 0/D4,setiene
`.t
0/D
ˆ
3
2
C4
2
D
p
25D5:
Sabemos quex
0
.t0/D
1
2
&y
0
.t0/D
1
4
:
Sustituyendo estos obtenemos
`
0
.t0/D
3

1
2

4

1
4

5
D
3
2
1
5
D
1
2
5
D
1
10
>0:
b.La longitud de la diagonal crece en ese momento, pues`
0
.t0/>0.

7.0 Razones de cambio relacionadas 327
3.Un anuncio publicitario tiene forma de un cilindro circular recto. Determinar la variación de su volu-
menenelprocesodeinﬂado, sabiendo que la altura permanece constante.
HSabemos queV
cilindroDr
2
hyquehes constante, por lo que la única variable esrDr.t/.
Entonces:
dV
cilindro
dt
D2rh
dr
dt
:
Conociendor.t/en un cierto instante y la razón de cambio del radio
dr
dt
en dicho instante, se puede
calcular la razón de cambio del volumen del cilindro.
4.Dos automóviles empiezan a moverse a partir del mismo punto con velocidad constante. Uno viaja
hacia el sur a60km/h y el otro hacia al oeste a25km/h ¿Con qué razón aumenta la distancia entre
los dos automóviles 2 h más tarde?
HUsamos la siguiente gráﬁca para representar la posición de los automóviles:
O
S
x
y
`

Por el teorema de Pitágoras:
`
2
Dx
2
Cy
2
:
Obsérvese que tanto`comox&yvarían con respecto al tiempo.
Derivamos con repecto al tiempo esta relación entre las posiciones:
d
dt
.`
2
/D
d
dt
.x
2
Cy
2
/I
d
dt
.`
2
/D
d
dt
.x
2
/C
d
dt
.y
2
/I
2` `
0
D2x x
0
C2y y
0
:
Despejamos la derivada que deseamos evaluar:
`
0
D
2x x
0
C2y y
0
2`
I
`
0
D
xx
0
Cyy
0
`
:
Por último sustituimos por las condiciones proporcionadas:
x.2/D50Ix
0
.t/D25Iy.2/D120&y
0
.t/D60:
Entonces hallamos:
`
0
D
.50/.25/C.120/.60/
p
50
2
C120
2
D65km/hI

328 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
`
0
D65km/h es la razón con que aumenta la distancia entre los dos automóviles 2 h más tarde de
haberse iniciado los desplazamientos.
Podemos resolver el problema de otra forma usando la siguiente gráﬁca:
O
S
25km/h
60km/h
`.t /

El espacio que recorre el autómovil que va hacia el sur (en km) es60 t,conten horas; y el del otro
automóvil es25 t, por lo que, por el teorema de Pitágoras, la distancia entre ambos automóviles es:
`.t/D
ˆ
.60t/
2
C.25t/
2
D
ˆ
3 600t
2
C625t
2
D
p
4 225 tD65tkm.
Entonces:
d
dt
`.t/D`
0
.t/D65km/h,
yenparticular
d
dt
`.t/

tD2
D`
0
.t/

tD2
D65km/h.

5.Dos trenes parten de una estación con3h de diferencia. El que parte primero se dirige hacia el norte
con una rapidez de100km/h. El otro tren se dirige hacia el este con una rapidez de60km/h. ¿A qué
razón está cambiando la distancia entre los trenes2h después de que partió el segundo tren?
H
L.t /
y.t/
x.t/

N
E

7.0 Razones de cambio relacionadas 329
Digamos que para todo valor det, la posición del primer tren esy.t/, la posición del segundo tren es
x.t/y la distancia entre los trenes esL.t/.
Se cumple entonces que:
L
2
Dx
2
Cy
2
:
Derivando implícitamente con respecto at
d
dt
ŒL
2
D
d
dt
Œx
2
Cy
2
I
2LL
0
D2xx
0
C2yy
0
)LL
0
Dxx
0
Cyy
0
I
L
0
D
xx
0
Cyy
0
L
:
Si denotamos conNtel momento en el cual han transcurrido 2 h después de que partió el segundo tren,
tenemos
x.Nt/D120,x
0
.Nt/D60I
y.Nt/D500,y
0
.Nt/D100I
L.Nt/D
ˆ
.x.Nt//
2
C.y.Nt//
2
D
ˆ
120
2
C500
2
D
p
14 400C250 000D
p
264 400514:19841:
Sustituyendo, tenemos
L
0
.Nt/D
12060C500100
514:19841
111:2411 :
La distancia entre los trenes está cambiando a razón de111:2411km/h, 2 h después de que partió el
segundo tren.
6.Un controlador aéreo sitúa 2 aviones a la misma altitud, convergiendo en su vuelo hacia un mismo
punto de encuentro (verﬁgura). Uno de ellos (avión 1) está a 150 millas de ese punto y vuela a 450
millas por hora. El otro (avión 2) está a 200 millas del punto y vuela a 600 millas por hora.
d.t/
y.t/
x.t/
Avió n 2
Avió n 1

a.¿A qué velocidad decrece la distancia entre los aviones?
b.¿De cuánto tiempo dispone el controlador para situarlos en trayectorias diferentes?
H
a.En todo momento,tarbitrario, se tiene la relación:
d
2
.t/Dx
2
.t/Cy
2
.t/I
derivando con respecto at:
2d.t/d
0
.t/D2x.t/x
0
.t/C2y.t/y
0
.t/
ydespejandod
0
.t/:
d
0
.t/D
x.t/x
0
.t/Cy.t/y
0
.t/
ˆ
x
2
.t/Cy
2
.t/
:

330 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Si denotamos cont 0el instante al que se reﬁere el enunciado:
d
0
.t0/D
x.t
0/x
0
.t0/Cy.t 0/y
0
.t0/
ˆ
x
2
.t0/Cy
2
.t0/
D
D
200.600/C150.450/
ˆ
.200/
2
C.150/
2
D
187 500
250
D750millas/h.
b.El tiempo que tienen los aviones para llegar al punto de encuentro.0; 0/es
200
600
D
1
3
hora, avión 1
150
450
D
1
3
hora, avión 2
Es decir, los aviones chocarían en 20 minutos si no se cambia la trayectoria.

7.Cuando un tanque esférico de radioacontiene líquido con una profundidadh, el volumen de este
líquido está dado por
VD
1
3
h
2
.3ah/:
Suponga ahora que un tanque esférico de5m de radio se está llenando de agua a razón de
20
3
`/s.
Calculelarazóndecambiodelniveldeaguacuando hD1:25m(1`D1dm
3
).
HConsideramos que en la fórmula
VD
1
3
h
2
.3ah/Dh
2
a
1
3
h
3
;
tanto la profundidadhcomo el volumenVestán en función del tiempot.
CuandoaD5mD50dm:
VD50h
2

3
h
3
:
Derivando con respecto atse obtiene:
d
dt
VD
d
dt
Œ50h
2

3
h
3

dV
dt
D100h
dh
dt
h
2
dh
dt
Dh.100h/
dh
dt
;
donde
dV
dt
es la rapidez de cambio del volumen y
dh
dt
eslarapidezdecambiodelaprofundidad.
Cuando
dV
dt
D
20
3
`/sD
20
3
dm
3
/s &hD1:25mD12:5dm:
20
3
D.12:5/.10012:5/
dh
dt
).12:5/.87:5/
dh
dt
D
20
3
)
)1 093:75
dh
dt
D
20
3
)
dh
dt
D
20
3.1 093:75/
0:00194017dm/s.
Por lo tanto, la rapidez de cambio de la profundidad es
dh
dt
0:00194017dm/s.
8.Un avión vuela horizontalmente a una altitud de1milla a una velocidad de500millas/h y pasa sobre
una estación de radar. Encuentre la razón a la que aumenta la distancia del avión a la estación cuando
el avión está a2millas de la estación.
HUsamos laﬁgura siguiente:

7.0 Razones de cambio relacionadas 331

R
(Estación de radar)
A
1 A2xmillas
ymillas
1milla
Por el teoréma de Pitágoras,y
2
Dx
2
C1
2
,dondey&xdependen del tiempot. Derivando implícita-
mente con respecto at,
d
dt
y
2
D
d
dt
.x
2
C1/)2y
dy
dt
D2x
dx
dt
)y
dy
dt
Dx
dx
dt
:
Donde
dx
dt
D500millas/h.
Considerando que cuandoyD2,x
2
C1
2
D2
2
)x
2
D3)xD
p
3,entonces:
y
dy
dt
Dx
dx
dt
)2
dy
dt
D
p
3.500/)
dy
dt
D
500
p
3
2
D250
p
3433)
dy
dt
433millas/h
es la razón a la que aumenta la distancia del avión a la estación cuandoyD2millas.
9.Una placa en forma de triángulo equilátero se expande con el tiempo. Cada lado aumenta a razón
constante de2cm/h.
¿Con qué rapidez crece el área cuando cada lado mide8cm?
HVeamos esos datos con la siguienteﬁgura
h
x
xx
x=2
De ella tenemos
h
2
Dx
2

x
2
4
D
3
4
x
2
)hD
p
3
2
x:
El área del triángulo es un medio de la base por la altura:
AD
1
2
x
p
3
2
xD
p
3
4
x
2
:

332 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Suponemos que los ladosxdependen del tiempox.t/, de hecho crecen. Por lo tanto, el área también
depende del tiempo:
A.t/D
p
3
4
x
2
.t/:
Derivando con respecto attenemos
d
dt
?A.t/D
d
dt
p
3
4
x
2
.t/

I
A
0
.t/D
p
3
4
2x.t/x
0
.t/D
p
3
2
x.t/x
0
.t/:
Si suponemos que en un tiempot
8, no conocido, se tiene quex.t 8/D8, en ese tiempo se tiene también
x
0
.t8/D2. Por lo tanto:
A
0
.t8/D
p
3
2
x.t
8/x
0
.t8/D
p
3
2
82D8
p
313:856406cm
2
/hora:

10.Una placa en forma de triángulo equilátero se expande con el tiempo. Cada lado aumenta a razón
constante de2cm/h.¿Cuáleslarazóndecrecimientodeláreaenelinstanteenqueelvalordeésta
es
p
75cm
2
?
HLlevemos estos datos a la siguienteﬁgura
h
x
xx
x=2
El área del triángulo es un medio de la base por la altura:
AD
1
2
xh: (A)
Deseamos que la función anterior dependa sólo dex. Para esto, usando el teórema de Pitágoras,
vemos en laﬁgura que:
h
2
C

x
2

2
Dx
2
)h
2
Dx
2

x
2
4
D
3
4
x
2
)hD
p
3
2
xI
sustituimos por este valor en.A/
AD
1
2
x
p
3
2
xD
p
3
4
x
2
y puesto quexes una función det:
A.t/D
p
3
4
x
2
.t/I (B)

7.0 Razones de cambio relacionadas 333
derivamos con respecto at:
d
dt
?A.t/D
d
dt
p
3
4
x
2
.t/

I
A
0
.t/D
p
3
4
2x.t/x
0
.t/D
p
3
2
x.t/x
0
.t/: (C)
Sabemos lo siguiente:
a.x
0
.t/siempre es igual a2cm/h.
b.En un cierto momento, digamost
0,elvalordeláreaes
p
75D5
p
3cm
2
.
Usamos.B/para encontrar el valor del lado del triángulo en ese momento:
A.t
0/D5
p
3D
p
3
4
x
2
.t0/)x
2
.t0/D20)x.t 0/D2
p
5:
Utilizando estos valores en.C /, obtenemos la variación deseada del área:
A
0
.t0/D
p
3
2
2
p
52D2
p
15cm
2
/h.

11.La ley adiabática (sin pérdida ni ganancia de calor) para la expansión de un gas es
PV
1:4
DC;
(dondePes la presión,Vel volumen yCuna constante). En cierto instante, el volumen es de1pie
3
,
la presión es de40libras/pie
2
y ésta está creciendo a razón de8libras/pie
2
en cada segundo. Calcular
la razón de variación del volumen en dicho instante.
HDerivando implícitamentePV
1:4
DC:
d
dt
ŒP V
1:4
D
d
dt
ŒC I
d.PV
1:4
/ dt
DV
1:4
dP
dt
CP.1:4/V
0:4
dV
dt
D0)
)
dV
dt
D
V
1:4
dP
dt
.1:4/V
0:4
P
D
V
dP
dt
.1:4/P
:
Y sustituyendo por los valoresVD1,
dP
dt
D8&PD40obtenemos:
dV
dt
D
8
.1:4/40
D
1
.1:4/5
D
1
7
pie
3
/s.
Otra forma de resolver este problema:
DePV
1:4
DCse tiene que
V
1:4
D
C
P
)V
14
10D
C
P
)V
7
5D
C
P
:
DespejamosVelevando ambos miembros de la igualdad a la potencia
5
7
:
VD

C
P

5
7
DC
5
7P

5
7:

334 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Derivando con respecto al tiempo, tenemos
dV
dt
DC
5
7
dP
dt

5
7
D
5
7
C
5
7P

12
7
dP
dt
:
CuandoVD1,PD40ycomoCDPV
1:4
,entonces:
CD40:
Además,
dP
dt
D8:
Utilizando por último estos valores tenemos
dV
dt
D
5
7
.40/
5
7.40

12
7/.8/)
dV
dt
D
5
7
40
1
.8/)
dV
dt
D
40
740
pie
3
s
)
)
dV
dt
D
1
7
pie
3
s
:

12.Cuando se expande aire a temperatura constante, su presión y su volumen, satisfacen
PV
1:4
DC;
dondeCes una constante. Si en un momento determinado el volumen es de400cm
3
ylapresiónes
de80KPa, disminuyendo ésta a razón de10KPa/min,¿conquérazónaumentaelvolumenenese
instante?
HEn la ecuaciónPV
1:4
DCse tiene queP&Vson funciones det. Derivamos entonces implícita-
mente respecto at:
d
dt
.P V
1:4
/D
d
dt
C)P
d
dt
V
1:4
CV
1:4
d
dt
PD0)P.1:4/V
0:4
dV
dt
CV
1:4
dP
dt
D0I
despejamos
dV
dt
:
1:4P V
0:4
dV
dt
DV
1:4
dP
dt
)
dV
dt
D
V
1:4
dP
dt
1:4P V
0:4
)
dV
dt
D
V
dP
dt
1:4P
I
sustituimos por los valoresVD400cm
3
,PD80KPa y
dP
dt
D10KPa/min y obtenemos
dV
dt
D
.400cm
3
/.10KPa/min/
1:4.80KPa/
D35:7cm
3
/min.
Entonces (ya que
dV
dt
>0), el volumen aumenta a razón de35:7cm
3
/min.
13.Una lámpara se encuentra suspendida a15pies sobre una calle horizontal y recta. Si un hombre de6
pies de estatura camina alejándose de la lámpara en línea recta con una velocidad de5pies/s, ¿con
qué rapidez se alarga su sombra?
HUsamos laﬁgura

7.0 Razones de cambio relacionadas 335
15
5t x.t/
6

Hombre
Lámpara
Por la semejanza de los triángulos rectángulos con un ángulo agudo común, tenemos, considerando
que el espacio recorrido por el hombre después detsegundos es5tpies y que la longitud de la sombra
esx.t/:
6
15
D
x.t/
5tCx.t/
)30tC6x.t/D15x.t/)
)x.t/D
10
3
t)x
0
.t/D
10
3
:
La sombra está creciendo a una velocidad de
10
3
pie/s.

14.Una lámpara proyectora situada sobre el piso ilumina una pared que está a12m de distancia. Si un
hombre de2m de alto camina desde la lámpara hacia la pared a una velocidad de1:6m/s ¿con qué
rapidez decrece su sombra proyectada sobre la pared cuando se encuentra a4mdeésta?
HVea m o s laﬁgura A, en el momento que el hombre se encuentra a4mdelapared:
x
8 4
2

Hombre

Lámpara
Figura A
Ylaﬁgura B, en un momento cualquiera:

336 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y 12y
2

Hombre

Lámpara
Figura B
De esta últimaﬁgura, por la semejanza de los triángulos rectángulos, se tiene la relación:
x
12
D
2
y
)xyD24:
(Observación. Tenemosx.t/&y.t/, funciones que dependen del tiempo).
Derivando esta igualdad con respecto al tiempot:
d
dt
?xyD
d
dt
?24I
x
0
yCxy
0
D0)x
0
D
xy
0
y
:
En el momento de laﬁgura A tenemos los valores:y
0
D1:6m/s,yD8m&xD
24
8
D3m.
Por lo tanto, en ese momento, su sombra decrece con una rapidez igual a
x
0
D
31:6
8
D
3
5
m/s.

15.El radio de una esfera se incrementa a razón de2cm/s.
a.¿Cuál es la razón de cambio del volumen cuando el radio miderD5cm?
b.¿Cuál es la medida del radio cuando la razón de cambio del volumen es512cm
3
/s?
H
a.Sabemos queVD
4
3
r
3
.
Luego,
V.t/D
4
3
r
3
.t/y
dV
dt
.t/D4r
2
.t/r
0
.t/:
Comor.t
0/D5cm)r
2
.t0/D25cm
2
ycomor
0
.t0/D2cm/s:
dV.t
0/
dt
D4252cm
3
/sD200cm
3
/s:
b.Si
dV.t/
dt
D4r
2
.t/2D512)r
2
.t/D
512
8
D
64

)r.t/D
8
p

cm.

7.0 Razones de cambio relacionadas 337

16.Se inﬂa un globo esférico introduciendo aire a razón de50cm
3
/s. Calcular la velocidad de cambio
del radio del globo cuando su diámetro es de26cm.
HDibujamos la correspondienteﬁgura
r

Se sabe que el volumen de una esfera esVD
4
3
r
3
:
Considerando que el volumen y el radio cambian con el tiempo, tenemos entonces:
V.t/D
4
3
r
3
.t/:
Derivando con respecto at:
d
dt
?V .t/D
d
dt

4
3
r
3
.t/

I
V
0
.t/D
4
3
3r
2
.t/r
0
.t/D4r
2
.t/r
0
.t/ :
Despejandor
0
.t/:
r
0
.t/D
V
0
.t/
4r
2
.t/
:
Según los datos proporcionados:V
0
.t/D50cm
3
/s, en todo momento; entonces existe un momento,
digamost
0,cuandoeldiámetro2r.t 0/D26)r.t 0/D13. Para ese momentot 0calculamos la
variación del radio:
r
0
.t0/D
V
0
.t0/
4r
2
.t0/
D
50
4.13/
2
0:0235cm/s.

17.Un derrame de petróleo adopta una forma circular y tiene un espesor de
1
50
pie. Si el petróleo se está
escapando a razón de40pies
3
/min, ¿a qué razón está aumentando el radio de la mancha de petróleo
cuando el radio es de50pies?
HSea laﬁgura:

338 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos

r
hD
1
50
pie
Notamos que el derrame tiene la forma de un cilindro recto circular, con una altura o espesor constante
hD
1
50
pie y un radio variableren función del tiempot0.
Considerando querDr.t/está en pies, el volumen del derrameV, medido en pies
3
,es
VDr
2
hDr
2

1
50

D

50
r
2
;
es decir,
V.t/D

50
?r.t/
2
:
Derivando implícitamente:
d
dt
VD
d
dt

50
r
2
!
D

50
2r
d
dt
r;
esto es,
dV
dt
D

25
r

dr
dt

:
Como el petróleo se está escapando a razón de40pies
3
/min, entonces
dV
dt
D40.
Por lo tanto

25
r

dr
dt

D40:
En el instante en que el radio esrD50pies, sucede que

25
.50/
dr
dt
D40,dedonde
dr
dt
D
.40/25
50
D
20

;
que es la rapidez de cambio del radio.
Esto es, el radio está aumentando a razón de
dr
dt
D
20

pies/min.

18.Un cohete es lanzado en dirección vertical y rastreado por una estación de radar situada en el suelo
a4millas de la rampa de lanzamiento. ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando está a 5 millas de la
estación de radar y su distancia aumenta a razón de3 600millas/h?
HUsamos laﬁgura siguiente:

7.0 Razones de cambio relacionadas 339
L.t /
H.t/
4

Cohete
Radar
DondeH.t/es la altura del cohete,L.t/es la distancia del cohete a la estación de radar.
De laﬁgura, por el teorema de Pitágoras:
L
2
.t/D16CH
2
.t/:
Derivando implícitamente con respecto at:
d
dt
ŒL
2
.t/D
d
dt
Œ16CH
2
.t/I
2L.t/L
0
.t/D2H.t/H
0
.t/)H
0
.t/D
L.t/L
0
.t/
H
:
Usandolascondicionesproporcionadas,paraelcohetecuandoestáa5m illas de la estación de radar
y llamando a ese momentoNt,L.Nt/D5&L
0
.Nt/D3 600:
Sabemos que
H
2
.Nt/DL
2
.Nt/16D2516D9)H.Nt/D
p
9D3:
Sustituyendo ahora por estos valores
H
0
.Nt/D
53 600
3
D6 000millas/h.

340 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos

CAPÍTULO
8
Aplicacionesdeladerivada
8.1 Derivabilidad y monotonía
Ejercicios 8.1.1Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones:
1.f.x/Dx
2
4xC3.
H
f.x/Dx
2
4xC3)f
0
.x/D2x4I
f
0
.x/ > 0,2x4>0,2x > 4,x>2)x2.2;C1/I
f
0
.x/ < 0,2x4<0,2x < 4,x<2)x2.1;2/:
Por lo tanto,
a.fes creciente en el intervalo.2;C1/.
b.fes decreciente en el intervalo.1;2/.
x
y
f
0 . x
/
<
0
f
0 .x /
>
0
2

yDf
0
.x/
x
y
D
e
c
r
e
c
i
e
n
t
e
C
re
c
ie
n
te
2
1

yDf.x/

341

342 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
2.g.x/Dx
3
6x
2
C9x2.
H
g.x/Dx
3
6x
2
C9x2)g
0
.x/D3x
2
12xC9I
g
0
.x/D0,3x
2
12xC9D0,3.x
2
4xC3/D0,
,3.x1/.x3/D0)
)g
0
.x/D0cuandoxD1ycuandoxD3.
En base en lo anterior generamos los intervalos.1;1/;.1;3/y.3;C1/, donde se determina el signo
deg
0
.x/.
IntervaloValor de pruebaSignog
0
.x/La funciónges
1<x<1 xD0 C creciente
1<x<3 xD2 decreciente
3<x<C1 xD4 C creciente
x
y
g
0
.x/ > 0
g
0
.x/ < 0
g
0
.x/ > 0
13

yDg
0
.x/
x
y
Creciente
De c re c ie n te
Creciente
1
3

2
2
yDg.x/

3.h.x/D2x
3
C6x1.
H
h.x/D2x
3
C6x1)h
0
.x/D6x
2
C6)
)h
0
.x/D0,6x
2
C6D0,x
2
D1,xD˙1)
)h
0
.x/D0cuandoxD1ycuandoxD1.
Con la información anterior se generan los intervalos.1;1/ ; .1; 1/y.1;C1/, donde se deter-
mina el signo deh
0
.x/.
IntervaloValor de pruebaSigno deh
0
.x/La funciónhes
1<x<1 xD2 decreciente
1<x<1 xD0 C creciente
1<x<C1 xD2 decreciente

8.1 Derivabilidad y monotonía 343
x
y
h
0
.x/ < 0
h
0
.x/ > 0
h
0
.x/ < 0
1
1

yDh
0
.x/
x
y
Decreciente
Creciente
Decreciente
1
1

3
5
yDh.x/

4.f.x/Dx
4
4x
3
.
H f.x/Dx
4
4x
3
)f
0
.x/D4x
3
12x
2
I
f
0
.x/D0,4x
3
12x
2
D0,4x
2
.x3/D0)
f
0
.x/D0cuandoxD0ycuandoxD3.
Generamos los intervalos.1;0/;.0;3/y.3;C1/, donde se determina el signo def
0
.x/.
IntervaloValor de pruebaSigno def
0
.x/La funciónfes
1<x<0 xD1 decreciente
0<x<3 xD1 decreciente
3<x<C1 xD4 C creciente
De hecho comof.x/Dx
3
.x4/ > 0six2.1;0/; f.x/D0sixD0&f.x/ < 0six2.0; 3/,
entoncesf.x/resulta ser decreciente en.1;3/.
x
y
f
0
.x/ < 0 f
0
.x/ < 0
f
0
.x/ > 0
03

yDf
0
.x/
x
y
D
e
c
r
e
c
i
e
n
t
e
D
e
c
r
e
c
i
e
n
t
e
C
r
e
c
i
e
n
t
e
3
4

27
yDf.x/

344 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
5.g.x/D.x
2
1/
2
.
H
g.x/D.x
2
1/
2
)g
0
.x/D2.x
2
1/.2x/D4x.x
2
1/I
g
0
.x/D0,4x.x
2
1/D0,4x.xC1/.x1/D0)
)g
0
.x/D0cuandoxD0,cuandoxD1ycuandoxD1.
En función de lo anterior se generan los intervalos.1;1/ ; .1; 0/ ; .0; 1/y.1;C1/, donde se de-
termina el signo deg
0
.x/.
IntervaloValor de pruebaSigno deg
0
.x/La funciónges
1<x<1 xD2 decreciente
1<x<0 xD
1
2
C creciente
0<x<1 xD
1
2
decreciente
1<x<C1 xD2 C creciente
Todo concuerda con el hecho de queg.x/es par.
x
y
g
0
.x/ < 0
g
0
.x/ > 0
g
0
.x/ < 0
g
0
.x/ > 0
11

yDg
0
.x/
x
y
D
e
c
r
e
c
i
e
n
t
e C
re
c
ie
n
te
Decreciente
C
r
e
c
ie
n
t
e
101

yDg.x/

6.h.x/Dx
2
C
16
x
.
H
h.x/Dx
2
C
16
x
Dx
2
C16x
1
)
)h
0
.x/D2x16x
2
D2x
16
x
2
:
h
0
.x/D0,2x
16
x
2
D0,2xD
16
x
2
,x
3
D8,xD2:
Ademásh
0
.x/no existe cuandoxD0.
Con esta información se generan los intervalos.1;0/;.0;2/y.2;C1/, donde se determina el signo
deh
0
.x/.

8.1 Derivabilidad y monotonía 345
IntervaloValor de pruebaSigno deh
0
.x/La funciónhes
1<x<0 xD1 decreciente
0<x<2 xD1 decreciente
2<x<C1 xD3 C creciente
x
y
h
0.x/<
0
h
0
.
x
/
<
0
h
0.x/>
0
2

yDh
0
.x/
x
y
De c re c ie n te
De c re c ie n te
C
r e
c i e
n
te
02

12
yDh.x/

7.f.x/D
x
2
x
2
4
.
H
f.x/D
x
2
x
2
4
)f
0
.x/D
.x
2
4/2xx
2
.2x/
.x
2
4/
2
D
8x
.x
2
4/
2
I
f
0
.x/D0,
8x
.x
2
4/
2
D0,8xD0,xD0)
)f
0
.x/D0cuandoxD0.
Ademásf
0
.x/no existe cuandox
2
4D0, esto es, cuandoxD˙2.
Se generan los intervalos.1;2/ ; .2; 0/ ; .0; 2/y.2;C1/, donde se determina el signo def
0
.x/.
IntervaloValor de pruebaSigno def
0
.x/La funciónfes
1<x<2 xD3 C creciente
2<x<0 xD1 C creciente
0<x<2 xD1 decreciente
2<x<C1 xD3 decreciente
Otra forma de analizar el ejercicio:
Como.x
2
4/
2
>0en elD fDRf˙2g,elsignodef
0
.x/lo da8x;luego:
f
0
.x/ > 0,8x > 0,x<0&x?2.Entoncesf.x/es creciente en.1;2/yen.2;0/I
f
0
.x/ < 0,8x < 0,x>0&x¤2.Entoncesf.x/es decreciente en.0; 2/yen.2;C1/:

346 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
f
0
.x/ > 0
f
0
.x/ < 0
2
2

yDf
0
.x/
x
y
C
r
e
c
ie
n
te
C
r
e
c
ie
n
te
D
e
c
r
e
c
i
e
n
t
e
D
ecr
ec
ie
n
t
e
22

yDf.x/
La información del análisis anterior concuerda con quef.x/es par.

8.g.x/D
p
9x
2
.
H
g.x/D
p
9x
2
D.9x
2
/
1=2
)
)g
0
.x/D
1
2
.9x
2
/
1=2
.2x/D
x
.9x
2
/
1=2
D
x
p
9x
2
:
g
0
.x/D0,
x
p
9x
2
D0,xD0,xD0I
g
0
.x/D0cuandoxD0.
Ademásg
0
.x/existe sólo cuando
9x
2
>0,x
2
<9,
p
x
2
<
p
3
2
,jxj<3:
Es decir,g
0
.x/existe cuando3<x<3.
Con esta información se generan los intervalos.3; 0/y.0; 3/, donde se determina el signo deg
0
.x/.
IntervaloValor de pruebaSigno deg
0
.x/La funciónges
3<x<0 xD1 C creciente
0<x<3 xD2 decreciente
Otra forma de resolver el ejercicio:
El signo deg
0
.x/lo dax,luego:
g
0
.x/ > 0,x>0,x<0&x2.3; 3/,esdecir,x2.3; 0/dondeg.x/es creciente;
g
0
.x/ < 0,x<0,x>0&x2.3; 3/, esto es, queg.x/es decreciente en.0; 3/.

8.1 Derivabilidad y monotonía 347
x
y
g
0
.x/>0
g
0
.x/<0
33

yDg
0
.x/
x
y
C
r e
c ien
te
D
e
c
r
e
c
i
e
n
t
e
3 3

yDg.x/
Todo concuerda con el hecho de la funciónges par, de hecho su gráﬁca es la semicircunferencia
superior de centro en el origen y radio3(incluyendo sus extremos).
9.h.x/D
3
p
x
4
4
3
p
x.
H
h.x/D
3
p
x
4
4
3
p
xDx
4=3
4x
1=3
)
)h
0
.x/D
4
3
x
1=3

4
3
x
2=3
D
4
3

x
1=3

1
x
2=3

D
4
3

x1
x
2=3

)
)h
0
.x/D0,
4.x1/
3
3
p
x
2
D0,x1D0,xD1:
Ademásh
0
.x/no existe cuandoxD0.
En función de esto se generan los intervalos.1;0/;.0;1/y.1;C1/, donde se determina el signo
deh
0
.x/.
IntervaloValor de pruebaSigno deh
0
.x/La funciónhes
1<x<0 xD1 decreciente
0<x<1 xD
1
2
decreciente
1<x<C1 xD2 C creciente
Otra forma de analizar el problema:
De hecho el signo deh
0
.x/enRf0gDD h
0lo dax1,porloque
h.x/es creciente,h
0
.x/ > 0,x1>0,x>1,x2.1;C1/I
h.x/es decreciente,h
0
.x/ < 0,x1<0;x¤0,x<1;x¤0,x2.1;0/obienx2.0; 1/:
En realidadh.x/es decreciente en.1;1/,puesen.1;0/;h.x/Dx
1=3
.x4/es positiva,h.0/D0
yen.0; 1/es negativa.

348 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
h
0
.x/<0
h
0
.
x
/
<
0
h
0.x/>0

1
yDh
0
.x/
x
y
Decreciente
Decreciente
Creciente
1
3

yDh.x/

10.f.x/Dx
3
C
48
x
.
H
f.x/Dx
3
C
48
x
Dx
3
C48x
1
)
)f
0
.x/D3x
2
48x
2
D3x
2

48
x
2
D
3x
4
48
x
2
D
3.x
4
16/
x
2
)
)f
0
.x/D0,
3.x
4
16/
x
2
D0,x
4
16D0,.x
2
4/.x
2
C4/D0,
,x
2
4D0,x
2
D4,xD˙2:
Ademásf
0
.x/no existe cuandoxD0.
Con esta información se generan los intervalos.1;2/ ; .2; 0/ ; .0; 2/y.2;C1/, donde se deter-
mina el signo def
0
.x/.
IntervaloValor de pruebaSigno def
0
.x/La funciónfes
1<x<2 xD3 C creciente
2<x<0 xD1 decreciente
0<x<2 xD1 decreciente
2<x<C1 xD4 C creciente
Otra forma de resolver el ejercicio:
El signo def
0
.x/en su dominioD fDD f
0DRf0glo dax
4
16D.x
2
C4/.x
2
4/.
Comox
2
C4>0:
f.x/es creciente si
x
2
4>0,x
2
>4,jxj>2,x>2obienx<2I
f.x/es decreciente si
x
2
4<0&x¤0,x
2
<4&x¤0,jxj<2&x¤0,x2.2;0/obienx2.0; 2/:

8.2 Máximos y mínimos locales 349
Todo concuerda con queh.x/es una función impar.
x
y
h
0
.
x
/
>
0
h
0
.
x
/
<
0
h
0
.
x
/
<
0
h
0.x
/
>
0
22

yDf
0
.x/
x
y
Creciente
D
e
c
r
e
c
i
e
n
t
e
De c re c ie n te
Creciente
2
2
32
32

yDf.x/

8.2 Máximos y mínimos locales
Ejercicios 8.2.1Utilizando el criterio de la primera derivada, determinar los máximos y mínimos locales o relativos
de las siguientes funciones:
1.f.x/Dx
2
4xC3.
HPor el ejercicio 1 de la página 341, se sabe que:
f.x/Dx
2
4xC3&f
0
.x/D2x4I
fes creciente en el intervalo.2;C1/y decreciente en el intervalo.1;2/.
Ahora bien,
f
0
.x/D0,2x4D0,xD2:
Entoncesftiene un sólo punto crítico enxD2.
Por serfdecreciente parax<2&crecienteparax>2,sepuedeaﬁrmar queftiene enxD2un
mínimo local estricto.
La ordenada de este punto mínimo es
yDf.2/D2
2
4.2/C3D1:
Por lo tanto, la funciónftiene un mínimo local estricto en el puntoA.2;1/.
x
y
2
1
A

Mínimo local
yDf.x/

350 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
El mínimo local estricto resulta ser mínimo absoluto y es el vértice de la parábolayDx
2
4xC3.

2.g.x/Dx
3
6x
2
C9x2.
HPor el ejercicio 2 de la página 342, se sabe que:
g.x/Dx
3
6x
2
C9x2&g
0
.x/D3x
2
12xC9I
ges creciente en los intervalos.1;1/y.3;C1/, y decreciente en el intervalo.1; 3/.
Además
g
0
.x/D0,xD1obienxD3:
Entoncesgtiene dos puntos críticos: enxD1yenxD3.
Por sergcreciente parax<1cerca de1y decreciente parax>1cerca de1, se puede asegurar queg
tiene enxD1un máximo local estricto.
La ordenada de este punto es:
yDg.1/D.1/
3
6.1/
2
C9.1/2D2:
Por sergdecreciente parax<3cerca de3ycrecienteparax>3cerca de3,sepuedeaﬁrmar queg
tiene enxD3un mínimo local estricto.
La ordenada de este punto es:yDg.3/D.3/
3
6.3/
2
C9.3/2D2:
Por lo tanto:
a.La funcióngtiene un máximo local estricto en el puntoA.1; 2/.
b.La funcióngtiene un mínimo local estricto en el puntoB.3;2/.
13
A
B

2
2
Máximo local
yDg.x/
Mínimo local
x
y

3.h.x/D2x
3
C6x1.
HPor el ejercicio 3 de la página 342, se sabe que:
h.x/D2x
3
C6x1&h
0
.x/D6x
2
C6I
hes decreciente en los intervalos.1;1/ y .1;C1/, y es creciente en el intervalo.1; 1/.
Además
h
0
.x/D0,xD˙1:
Entonceshtiene dos puntos críticos: enxD1yenxD1.

8.2 Máximos y mínimos locales 351
Como cerca de1,hes decreciente parax<1ycrecienteparax>1, se puede asegurar queh
tiene enxD1un mínimo local estricto.
La ordenada de este punto es
yDh.1/D2.1/
3
C6.1/1D5:
Como cerca de1,hes creciente parax<1y decreciente parax>1,sepuedeaﬁrmar quehtiene en
xD1un máximo local estricto.
La ordenada de este punto es
yDh.1/D2.1/
3
C6.1/1D3:
Resumiendo: la funciónhtiene un mínimo local estricto en el puntoA.1;5/y tiene un máximo
local estricto en el puntoB.1; 3/.
x
y
1
1

3
5
Mínimo local
Máximo local
yDh.x/

4.f.x/Dx
4
4x
3
.
HPor el ejercicio 4 de la página 343, se sabe que:
f.x/Dx
4
4x
3
&f
0
.x/D4x
3
12x
2
I
fes decreciente en el intervalo.1;3/y es creciente en el intervalo.3;C1/.
Además
f
0
.x/D0,xD0&xD3:
Entoncesftiene dos puntos críticos: enxD0yenxD3.
Por serfdecreciente parax<0y decreciente parax>0cerca de0,sepuedeaﬁrmar que enxD0la
funciónfno tiene un mínimo local ni un máximo local.
Por serfdecreciente parax<3ycrecienteparax>3cerca de 3, se puede asegurar que la función
ftiene enxD3un mínimo local estricto.
La ordenada de este punto mínimo es
yDf.3/D.3/
4
4.3/
3
D27:
Por lo tanto, la funciónftiene un mínimo local estricto en el puntoP.3;27/y no tiene máximos
locales.

352 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
3

27
P
Mínimo local
Punto crítico. No es
mínimo local
Punto crítico No es máximo local
yDh.x/

5.g.x/D.x
2
1/
2
.
HPor el ejercicio 5 de la página 344, se sabe que:
g.x/D.x
2
1/
2
&g
0
.x/D4x.x
2
1/I
ges decreciente en los intervalos.1;1/y.0; 1/, y creciente en los intervalos.1; 0/y.1;C1/.
Además
g
0
.x/D0cuandoxD0obienxD1,obienxD1:
Entoncesgtiene tres puntos críticos: enxD1,enxD0yenxD1.
Considerando el crecimiento.%/y el decrecimiento.&/de la funcióngen el siguiente esquema
101

&%&%
podemos aﬁrmar que la funcióngtiene
enxD1un mínimo local estricto;
enxD0un máximo local estricto;
enxD1un mínimo local estricto.
Las coordenadas de estos puntos críticos son:
AŒ1; f .1/DA.1; 0/mínimo local estrictoI
B?0; f .0/DB.0; 1/máximo local estrictoI
C ?1; f .1/DC.1; 0/mínimo local estricto:
Lo cual concuerda con quegsea par.

8.2 Máximos y mínimos locales 353
x
y
101
A
B
C
1

Mínimo local
Máximo local
Mínimo local
yDg.x/

6.h.x/Dx
2
C
16
x
.
HPor el ejercicio 6 de la página 344, se sabe que:
h.x/Dx
2
C
16
x
&h
0
.x/D2x
16
x
2
I
hes decreciente en los intervalos.1;0/y.0; 2/, y es creciente en el intervalo.2;C1/.
Además
h
0
.x/D0,xD2:
Entonceshtiene un punto crítico enxD2.
Por serhdecreciente parax<2ycrecienteparax>2cerca de2, se puede asegurar que enxD2la
funciónhtiene un mínimo local estricto.
La ordenada de este punto es
yDh.2/D2
2
C
16
2
D12:
Además,h
0
.x/no existe paraxD0. Pero debido a quexD0no está en el dominio de la funciónh,
sucede que enxD0no se tiene un punto crítico.
Por lo tanto, la funciónhtiene solamente un punto crítico que es un mínimo local estricto y se en-
cuentra en el puntoP.2; 12/.
x
y
02
P

12
Mínimo local
yDh.x/

354 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
7.f.x/D
x
2
x
2
4
.
HPor el ejercicio 7 de la página 345, se sabe que:
f.x/D
x
2
x
2
4
&f
0
.x/D
8x
.x
2
4/
2
I
fes creciente en los intervalos.1;2/y.2;0/, y es decreciente en los intervalos.0; 2/y.2;C1/.
Además
f
0
.x/D0,xD0:
Entoncesftiene un punto crítico enxD0.
Por serfcreciente parax<0y decreciente parax>0cerca de cero, se puede aﬁrmar que enxD0
la funciónftiene un máximo local estricto.
La ordenada de este punto es
yDf.0/D
0
2
0
2
4
D0:
Además,f
0
.x/no existe paraxD2ni paraxD2. Pero debido a quexD2&xD2no están en el
dominio de la funciónf, sucede quefno tiene puntos críticos en dichos números.
Por lo tanto, la funciónftiene sólo un punto crítico enP.0; 0/y es un máximo local estricto.
La información anterior concuerda con quef.x/es par.
x
y
22
P

Máximo local estricto
yDf.x/

8.g.x/D
p
9x
2
.
HPor el ejercicio 8 de la página 346, se sabe que:
g.x/D
p
9x
2
&g
0
.x/D
x
p
9x
2
I
ges creciente en el intervalo.3; 0/y decreciente en el intervalo.0; 3/.
Además
g
0
.x/D0,xD0:
Entoncesgtiene un punto crítico enxD0.
Por sergcreciente parax<0y decreciente parax>0, se puede asegurar que enxD0la funcióng
tiene un máximo local estricto.
La ordenada de este punto es
yDg.0/D
p
90
2
D
p
9D3:

8.2 Máximos y mínimos locales 355
Además,g
0
.x/no existe paraxD3ni paraxD3.EntoncesenxD3yenxD3la funcióngtiene
puntos críticos.
Por lo tanto, la funcióngtiene puntos críticos enA.0; 3/que es un máximo local estricto, enB.3; 0/
yenC.3; 0/donde tiene mínimos locales estrictos.
El máximo local resulta ser máximo absoluto y los mínimos locales resultan ser también absolutos.
x
y
3 3
A

Máximo local
yDg.x/

9.h.x/D
3
p
x
4
4
3
p
x.
HPor el ejercicio 9 de la página 347, se sabe que:
h.x/D
3
p
x
4
4
3
p
x&h
0
.x/D
4
3

x1
3
p
x
2

I
hes decreciente en el intervalo.1;1/y es creciente en el intervalo.1;C1/.
Además
h
0
.x/D0,xD1I
h
0
.x/no existe enxD0, que es un número del dominio de la funciónh.
Entonces la funciónhtiene dos puntos críticos: enxD0yenxD1.
Por serhdecreciente parax<0y también decreciente parax>0( cerca de cero), se puede asegurar
que enxD0,lafunciónhno tiene un mínimo local ni un máximo local estricto.
Por serhdecreciente parax<1ycrecienteparax>1( cerca de uno), se puede aﬁrmar que enxD1
la funciónhtiene un mínimo local estricto.
La ordenada de este punto esyDh.1/D
3
p
1
4
4
3
p
1D3:Por lo tanto, la funciónhtiene sólo un
punto crítico enQ.1;3/y es un mínimo local estricto.
x
y
1
3
Q

Mínimo local

Punto crítico
No es máximo local
No es mínimo local
yDh.x/

356 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
10.f.x/Dx
3
C
48
x
.
HPor el ejercicio 10 de la página 348, se sabe que:
f.x/Dx
3
C
48
x
&f
0
.x/D
3x
4
48
x
2
I
fes creciente en los intervalos.1;2/y.2;C1/, y es decreciente en los intervalos.2;0/y.0; 2/.
Además
f
0
.x/D0,xD˙2:
La funciónf
0
no está deﬁnida enxD0, que es un número que tampoco está en el dominio de la
funciónf.
Entonces la funciónftiene dos puntos críticos: enxD2yenxD2.
Por serfcreciente parax<2y decreciente parax>2(cercade2), se puede aﬁrmar que en
xD2la funciónftiene un máximo local estricto.
Por serfdecreciente parax<2ycrecienteparax>2(cercade2), se asegura que enxD2la
funciónftiene un mínimo local estricto.
Por lo tanto, la funciónftiene un
máximo local estricto en el puntoPŒ2;f.2/DP.2;32/;
mínimo local estricto en el puntoQ?2; f .2/DQ.2; 32/.
x
y
2
2
32
32
P
Q

Mínimo local
Máximo local
yDf.x/
Lo anterior concuerda con que la funciónfes impar.
8.3 Concavidad y convexidad
Ejercicios 8.3.1Determinar los intervalos de concavidad y convexidad, así como los puntos de inﬂexión de las si-
guientes funciones:
1.g.x/D43x
2
.
Hg.x/D43x
2
)g
0
.x/D6x)g
00
.x/D6.
Comog
00
.x/D6para cada realx,entoncesg
00
.x/ < 0para cadax2R.
Por lo tanto, la funciónges convexa, es decir, cóncava hacia abajo en todo su dominio.

8.3 Concavidad y convexidad 357
x
y
g
00
.x/ < 0
6
yDg
00
.x/
x
y
C
o
n
v
e
x
a
C
o
n
v
e
x
a
yDg.x/

2.f.x/D.x1/
3
.
Hf.x/D.x1/
3
)f
0
.x/D3.x1/
2
)f
00
.x/D6.x1/.
Concavidad (concavidad hacia arriba)
f
00
.x/ > 0,6.x1/ > 0,x1>0,x>1:
Convexidad (concavidad hacia abajo)
f
00
.x/ < 0,6.x1/ < 0,x1<0,x<1:
La funciónfes cóncava (hacia arriba) en el intervalo.1;C1/y es convexa (cóncava hacia abajo) en
el intervalo.1;1/.
La funciónftiene enxD1un cambio de concavidad y ademásfes continua ahí, por lo tantof
tiene enxD1un punto de inﬂexión. Las coordenadas del punto de inﬂexión son:
I ?1; f .1/DI.1; 0/:
x
y
f
00
.x/ < 0
f
00
.x/ > 0
1

yDf
00
.x/
x
y
Convexa
Cóncava
1

yDf.x/

3.h.x/Dx
4
6x
2
C9.
Hh.x/Dx
4
6x
2
C9)h
0
.x/D4x
3
12x)h
00
.x/D12x
2
12D12.x
2
1/.
Concavidad (concavidad hacia arriba)
h
00
.x/ > 0,12x
2
12 > 0,x
2
>1,jxj>1Ih
00
.x/ > 0,x<1obienx>1:

358 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Convexidad (concavidad hacia abajo)
h
00
.x/ < 0,12x
2
12 < 0,x
2
<1,jxj<1,1<x<1:
La funciónhes cóncava (hacia arriba) en el conjunto.1;1/[.1;C1/y es convexa o cóncava hacia
abajo en el intervalo.1; 1/.
La funciónhtiene cambios de concavidad enxD1yenxD1donde además es continua. Por lo
tantohtiene puntos de inﬂexión enxD1yenxD1. Las coordenadas de los puntos de inﬂexión
son:
I
1Œ1; h.1/DI 1.1; 4/&I 2?1; h.1/DI 2.1; 4/:
Lo anterior es natural, pueshes una función par.
x
y
h
00
.x/ > 0
h
00
.x/ < 0
1
h
00
.x/ > 0
1

yDh
00
.x/
x
y
Cóncava
Convexa
Cóncava
11
4I
1 I2

yDh.x/

4..x/Dx
6
3x
4
.
H.x/Dx
6
3x
4
)
0
.x/D6x
5
12x
3
)
00
.x/D30x
4
36x
2
.
Para determinar donde
00
.x/ > 0ydonde
00
.x/ < 0, primero vemos donde
00
.x/D0yluego
construimos una tabla con los intervalos obtenidos al eliminar los puntos donde
00
.x/D0.

00
.x/D0,30x
4
36x
2
D0,6x
2
.5x
2
6/D0,
,6x
2
D0obien5x
2
6D0,
,x
2
D0obienx
2
D
6
5
D1:2,
,xD0obienxD˙
p
1:2I

00
.x/D0cuandoxD
p
1:2,cuandoxD0ycuandoxD
p
1:2.
Con esta información se generan los intervalos

1;
p
1:2

I

p
1:2; 0

I

0;
p
1:2

y

p
1:2;C1

.
Intervalo Número de pruebaSigno de
00
.x/Concavidad de la función
1<x<
p
1:2 xD2 C hacia arriba

p
1:2 < x < 0 xD1 hacia abajo
0<x<
p
1:2 xD1 hacia abajo
p
1:2 < x <C1 xD2 C hacia arriba

8.3 Concavidad y convexidad 359
Por lo tanto, la funciónes cóncava (hacia arriba) en los intervalos

1;
p
1:2

y

p
1:2;C1

,y
es convexa (cóncava hacia abajo) en el intervalo

p
1:2;
p
1:2

.
La funcióntiene puntos de inﬂexión enxD
p
1:2yenxD
p
1:2. Las coordenadas de estos puntos
son:
I
1Œ
p
1:2; .
p
1:2/DI 1.
p
1:2;2:6/&I 2Œ
p
1:2; .
p
1:2/DI 2.
p
1:2;2:6/:
x
y

00
.x/ > 0

00
.x/ < 0

00
.x/ > 0
p
1:2
p
1:2

yD
00
.x/
x
y
Cóncava
Convexa
Cóncava
p
1:2
p
1:2
I
1 I2

yD.x/

5.f.x/D
2xx
2
C1
.
H
f.x/D
2x
x
2
C1
)
)f
0
.x/D
.x
2
C1/.2/.2x/.2x/.x
2
C1/
2
D
2x
2
2C4x
2
.x
2
C1/
2
D
2x
2
2
.x
2
C1/
2
D
2.x
2
1/
.x
2
C1/
2
)
)f
00
.x/D
.x
2
C1/
2
.4x/2.x
2
1/2.x
2
C1/2x
.x
2
C1/
4
D
4x.x
2
C1/Œx
2
C12x
2
C2
.x
2
C1/
4
)
)f
00
.x/D
4x.3x
2
/
.x
2
C1/
3
:
Obtenemos primero dondef
00
.x/D0para luego ver si hay valores dexdondef
00
.x/no exista.
f
00
.x/D0,
4x.3x
2
/
.x
2
C1/
3
D0,4x.3x
2
/D0,xD0obienx
2
D3I
f
00
.x/D0,xD0obienxD˙
p
3:
Ademásx
2
C1¤0)f
00
.x/existe para cadax2R.
Con esta información se generan los intervalos

1;
p
3

;

p
3; 0

;

0;
p
3

y

p
3;C1

.
Intervalo Número de pruebaSigno def
00
.x/Concavidad de la función
1<x<
p
3 xD2 C hacia arriba

p
3<x<0 xD1 hacia abajo
0<x<
p
3 xD1 C hacia arriba
p
3<x<C1 xD2 hacia abajo

360 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Por lo tanto, la funciónfes cóncava (hacia arriba) en los intervalos

1;
p
3

y

0;
p
3

yes
convexa (cóncava hacia abajo) en los intervalos

p
3; 0

y

p
3;C1

.
La funciónftiene puntos de inﬂexión enxD
p
3; xD0yenxD
p
3. Las coordenadas de estos
puntos son:
I
1Œ
p
3; f .
p
3/DI 1.
p
3;
p
3
2
/I
I
2?0; f .0/DI 2.0; 0/I
I
3Œ
p
3; f .
p
3/DI 3.
p
3;
p
3
2
/:
Todo concuerda con que la funciónfes impar.
x
y
f
00
.x/>0
f
0
0
.
x
/
<
0
f
0
0
.
x
/
>
0
f
00
.x/<0

p
3
p
3
0

yDf
00
.x/
x
y
Cóncava
C
o
n
v
e
x
a
C
ó
n
c
a
v
a Convexa

p
3
p
3
0
I
1
I2
I3

yDf.x/

6.g.x/D
x
2
x
2
4
.
H
g.x/D
x
2
x
2
4
)
)g
0
.x/D
.x
2
4/2xx
2
.2x/.x
2
4/
2
D
2x
3
8x2x
3
.x
2
4/
2
D
8x
.x
2
4/
2
)
)g
00
.x/D
.x
2
4/
2
.8/.8x/2.x
2
4/2x
.x
2
4/
4
D
8.x
2
4/Œ.x
2
4/4x
2

.x
2
4/
4
)
)g
00
.x/D
8.3x
2
4/
.x
2
4/
3
D
8.3x
2
C4/
.x
2
4/
3
:
Vemos primero dondeg
00
.x/D0para luego determinar los valores dexdondeg
00
.x/no existe.
g
00
.x/D0,
8.3x
2
C4/
.x
2
4/
3
D0,3x
2
C4D0, lo que nunca sucede.
La funcióng
00
no existe cuandox
2
4D0, esto es, cuandoxD˙2.
Con esto generamos los intervalos.1;2/ ; .2;2/y.2;C1/.
Obtenemos el signo deg
00
.x/en cada intervalo.

8.3 Concavidad y convexidad 361
IntervaloNúmero de pruebaSigno deg
00
.x/Concavidad de la función
1<x<2 xD3 C hacia arriba
2<x<2 xD0 hacia abajo
2<x<C1 xD3 C hacia arriba
La funciónges cóncava (hacia arriba) en los intervalos.1;2/y.2;C1/, y es convexa (cóncava
hacia abajo) en el intervalo.2;2/.
La función tiene cambios de concavidad enxD2yenxD2,peroenellosnoestádeﬁnida. Por lo
tanto, la función no tiene puntos de inﬂexión.
Lo cual concuerda con queg.x/es una función par.
x
y
g
00.
x
/
>
0
g
0
0
.
x
/
<
0
g
0
0
.
x
/
>
0
22

1
2
yDg
00
.x/
x
y
Cóncava
C
o
n
v
e
x
a
C
o
n
v
e
x
a
C
ó
n
c
a
v
a
22

yDg.x/

7.h.x/Dx
2
C
8
x
.
H
h.x/Dx
2
C
8
x
Dx
2
C8x
1
)h
0
.x/D2x8x
2
)
)h
00
.x/D2C16x
3
D2C
16
x
3
D
2x
3
C16
x
3
D
2.x
3
C8/
x
3
)
)h
00
.x/D0,
2.x
3
C8/
x
3
D0,x
3
C8D0,xD
3
p
8D2
La funciónh
00
no está deﬁnida cuandoxD0.
Considerando lo anterior generamos los intervalos.1;2/ ; .2; 0/y.0;C1/
Obtenemos el signo deh
00
.x/en cada intervalo.
IntervaloNúmero de pruebaSigno deh
00
.x/Concavidad de la función
1<x<2 xD3 C hacia arriba
2<x<0 xD1 hacia abajo
0<x<C1 xD1 C hacia arriba

362 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
La funciónhes cóncava (hacia arriba) en los intervalos.1;2/y.0;C1/, y convexa (cóncava hacia
abajo) en el intervalo.2;0/.
La función tiene cambios de concavidad enxD2yenxD0, pero sólo es continua enxD2ya que
h.x/no existe paraxD0.Porlotantohtiene un sólo punto de inﬂexión enxD2. Las coordenadas
de este punto son:
IŒ2;h.2/DI.2;0/:
x
y
h
00
.x/>0
h
0
0
.
x
/
<
0
h
00
.x/>0
2

yDf
00
.x/
x
y
C
ó
n
c
a
v
a
C
o
n
v
e
x
a
Cóncava
2
I

yDf.x/

8..x/Dx
5=3
x
2=3
.
H
.x/Dx
5=3
x
2=3
)
0
.x/D
5
3
x
2=3

2
3
x
1=3
)
)
00
.x/D
10
9
x
1=3
C
2
9
x
4=3
D
2
9

5
x
1=3
C
1
x
4=3

D
2
9

5xC1
x
4=3

)
)
00
.x/D0,
2.5xC1/
9x
4=3
D0,5xC1D0,xD
1
5
:
La función
00
no está deﬁnida enxD0.
Con la información anterior generamos los intervalos

1;
1
5

;

1
5
;0

y.0;C1/
Obtenemos el signo de
00
.x/en cada intervalo.
IntervaloNúmero de pruebaSigno de
00
.x/Concavidad de la función
1<x<
1
5
xD1 hacia abajo

1
5
<x<0 xD
1
10
C hacia arriba
0<x<C1 xD1 C hacia arriba
La funciónes convexa (cóncava hacia abajo) en el intervalo

1;
1
5

y es cóncava ( hacia arriba)
en los intervalos

1
5
;0

y.0;C1/.

8.3 Concavidad y convexidad 363
La funciónsólotieneuncambiodeconcavidadenxD
1
5
, donde además es continua. Por lo tanto
tiene un sólo punto de inﬂexión:
I

1
5
;

1
5

DI

1
5
;
6
5
3
p
25

[observamos que.x/Dx
2=3
.x1/]:
x
y

00
.x/<0

00.
x
/
>
0

0
0
.
x
/
>
0

1
5

yD
00
.x/
x
y
C
o
n
v
e
x
a
Cóncava
C
o
n
v
e x
a

1
5
1
I

yD
00
.x/

9.f.x/Dx
4
2x
3
.
Hf.x/Dx
4
2x
3
)f
0
.x/D4x
3
6x
2
)f
00
.x/D12x
2
12xD12x.x1/.
Concavidad (concavidad hacia arriba)
f
00
.x/ > 0,12x
2
12x > 0,12x.x1/ > 0,
,12x < 0&x1<0 obien12x > 0&x1>0,
, x<0 &x<1 obien x>0 &x>1,
, x2.1;0/\.1;1/obienx2.0;C1/\.1;C1/,
, x2.1;0/ obien x2.1;C1/,
, x<0 obien x>1:
f
00
.x/ > 0en los intervalos.1;0/y.1;C1/
Convexidad (concavidad hacia abajo)
Por lo anterior se tiene que
f
00
.x/ < 0en el intervalo.0; 1/.
Resumiendo: la funciónfes cóncava (hacia arriba) en los intervalos.1;0/y.1;C1/, y es convexa
en el intervalo.0; 1/.
La funciónftiene puntos de inﬂexión enxD0yenxD1. Las coordenadas de estos puntos son:
I
1D?0; f .0/DI 1.0; 0/&I 2?1; f .1/DI 2.1;1/:

364 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
f
00
.x/ > 0
f
00
.x/ < 0
f
00
.x/ > 0
01

yDg
00
.x/
x
y
C
ó
n
c
a
v
a
Convexa
C
ó
n
c
a
v
a
01
I
1
I2

1
yDg.x/

10.g.x/D2
p
4x
2
.
H
g.x/D2
p
4x
2
)g
0
.x/D
1
2
.4x
2
/

1
2.2x/Dx.4x
2
/

1
2)
)g
00
.x/Dx.
1
2
/.4x
2
/

3
2.2x/C.4x
2
/

1
2D
x
2
.4x
2
/
3
2
C
1
.4x
2
/
1
2
)
)g
00
.x/D
x
2
C.4x
2
/
.4x
2
/
3
2
D
4
ˆ
.4x
2
/
3
)
)g
00
.x/2R,4x
2
>0,4>x
2
,
p
x
2
<2,jxj<2,2<x<2:
En este intervalog
00
.x/ > 0.
Por otra parte:
g.x/2R,4x
2
0,4x
2
,
p
x
2
2,jxj2:
Entonces el dominio degesD
gDŒ2;2yg
00
.x/ > 0en todoD gexcepto en los extremos˙2,porlo
cual se puede aﬁrmar que la funciónges cóncava hacia arriba en todo su dominio. La funcióngno
tiene puntos de inﬂexión.
x
y
g
0
0
.
x
/
>
0
g
0
0.
x
/
>
0
22
yDg
00
.x/
x
y
C
ó
n
c
a
v
a
22

yDg.x/

Ejercicios 8.3.2Utilizando el criterio de la segunda derivada, determinar los máximos y mínimos locales de las
anteriores funciones, es decir, de:

8.3 Concavidad y convexidad 365
1.g.x/D43x
2
.
Hg.x/D43x
2
)g
0
.x/D6x)g
00
.x/D6.
Puntos críticos:
g
0
.x/D0,6xD0,xD0:
La funcióngtiene sólo un punto crítico: enxD0.
Tipo de punto crítico:
g
00
.x/D6para cadax2R)g
00
.0/D6)g
00
.0/ < 0:
Entoncesgtiene enxD0un máximo local estricto.
Las coordenadas del punto máximo sonA?0; g.0/DA.0; 4/, el cual resulta ser máximo absoluto.
Lo anterior concuerda con que la función es par.
x
y
4
A
Máximo local

yDg.x/

2.f.x/D.x1/
3
.
Hf.x/D.x1/
3
)f
0
.x/D3.x1/
2
)f
00
.x/D6.x1/.
Puntos críticos:
f
0
.x/D0,3.x1/
2
D0,x1D0,xD1:
La funciónftiene sólo un punto crítico enxD1.
Tipo de punto crítico:
f
00
.x/D6.x1/)f
00
.1/D0:
Entonces, por el criterio de la segunda derivada, no podemos asegurar la existencia de un máximo ni
de un mínimo enxD1, puesto quef
00
.1/D0.
Veamos ahora el criterio de la primera derivada.
f
0
.x/D3.x1/
2
)f
0
.x/ > 0para cadax¤1)
)f
0
.x/ > 0parax<1&f
0
.x/ > 0parax>1:
Lo cual implica quefes creciente parax<1así como parax>1. Por lo tanto el punto crítico que
tienefenxD1no es un máximo local ni tampoco un mínimo local.

366 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
1

Punto crítico
No es mínimo local
No es máximo local
yDf.x/

3.h.x/Dx
4
6x
2
C9.
Hh.x/Dx
4
6x
2
C9)h
0
.x/D4x
3
12x)h
00
.x/D12x
2
12.
Puntos críticos:
h
0
.x/D0,4x
3
12xD0,4x.x
2
3/D0,xD0obienx
2
D3I
h
0
.x/D0cuandoxD0obien cuandoxD˙
p
3:
La funciónhtiene tres puntos críticos.
Tiposdepuntoscríticos:
h
00
.x/D12x
2
12D12.x
2
1/)
)h
00
.
p
3/D12.31/D24 > 0,mínimo.
h
00
.0/D12.01/D12 < 0,máximo.
h
00
.
p
3/D12.31/24 > 0,mínimo.
Las coordenadas de estos puntos críticos son:
AŒ
p
3; h.
p
3/DA.
p
3; 0/mínimo local estricto;
B?0; h.0/DB.0; 9/máximo local estricto;
CŒ
p
3; h.
p
3/DC.
p
3; 0/mínimo local estricto.
x
y

p
3 0
p
3
A
B
C

Máximo local
Mínimo local Mínimo local
yDh.x/
Lo anterior concuerda con el hecho de que la funciónhes par. Los mínimos locales resultan ser
absolutos.

8.3 Concavidad y convexidad 367
4..x/Dx
6
3x
4
.
H.x/Dx
6
3x
4
)
0
.x/D6x
5
12x
3
)
00
.x/D30x
4
36x
2
.
Puntos críticos:

0
.x/D0,6x
5
12x
3
D0,6x
3
.x
2
2/D0,x
3
D0obienx
2
D2I

0
.x/D0cuandoxD0obien cuandoxD˙
p
2:
La funcióntiene tres puntos críticos.
Tiposdepuntoscríticos:

00
.x/D30x
4
36x
2
D6x
2
.5x
2
6/)
)
00
.
p
2/D12.106/D48 > 0mínimo.

00
.0/D0.6/D0no se sabe.

00
.
p
2/D12.106/D48 > 0mínimo.
La incertidumbre que se tiene enxD0se resuelve viendo que el signo de
00
.x/D6x
2
.5x
2
6/lo da
el factor5x
2
6.Entonces:
5x
2
6<0,x
2
<
6
5
,jxj<

6
5
1:1,1:1 < x < 1:1 :
Es decir, la funciónes cóncava hacia abajo en el intervalo.1:1; 1:1/que contiene axD0.Entonces
tiene enxD0un máximo local estricto.
Las coordenadas de estos puntos críticos son:
PŒ
p
2; .
p
2/DP.
p
2;4/mínimo local estricto;
QŒ0; .0/DQ.0; 0/máximo local estricto;
RŒ
p
2; .
p
2/DR.
p
2;4/mínimo local estricto.
x
y

p
2
0
p
2
P
Q
R

4
Máximo local
Mínimo local Mínimo local
yD.x/
Lo cual concuerda con el hecho de ser la funciónpar.
Los mínimos locales también son absolutos.
5.f.x/D
2x
x
2
C1
.
HPor el ejercicio 5 de la página 359 se sabe que:
f.x/D
2x
x
2
C1
)f
0
.x/D
2.x
2
1/
.x
2
C1/
2
)f
00
.x/D
4x.3x
2
/
.x
2
C1/
3
:

368 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Puntos críticos.
f
0
.x/D0,
2.x
2
1/.x
2
C1/
2
D0,x
2
1D0,x
2
D1,xD˙1:
La funciónftiene dos puntos críticos.
Tiposdepuntoscríticos:
f
00
.x/D
4x.3x
2
/
.x
2
C1/
3
)
)f
00
.1/D
4.2/
2
3
D1<0 máximo local.
f
00
.1/D
4.2/
2
3
D1>0 mínimo local.
Las coordenadas de estos puntos críticos son:
MŒ1; f .1/DM.1; 1/máximo local estricto;
N ?1; f .1/DN.1;1/mínimo local estricto.
Lo cual concuerda con quefes impar. Ambos valores extremos resultan ser absolutos.
x
y
1
1
M
N

1
1
Máximo localMínimo local
yDf.x/

6.g.x/D
x
2 x
2
4
.
HPor el ejercicio 6 de la página 360 se sabe que:
g.x/D
x
2
x
2
4
)g
0
.x/D
8x
.x
2
4/
2
)g
00
.x/D
8.3x
2
C4/
.x
2
4/
3
:
Puntos críticos:
g
0
.x/D0,
8x
.x
2
4/
2
D0,8xD0,xD0I
g
0
.x/no existe cuandox
2
4D0,estoescuandoxD˙2.Perog.x/tampoco existe cuandoxD˙2
(no están en el dominio deg). Entoncesgtiene un sólo punto crítico enxD0.
Tipo de punto crítico:
g
00
.0/D
8.4/
.4/
3
D
1
2
<0máximo local.
Las coordenadas de este punto crítico son:
M ?0; g.0/DM.0; 0/máximo local estricto.

8.3 Concavidad y convexidad 369
x
y
22
M

Máximo local
yDg.x/

7.h.x/Dx
2
C
8
x
.
Hh.x/Dx
2
C
8
x
)h
0
.x/D2x
8
x
2
)h
00
.x/D2C
16
x
3
:
Puntos críticos:
h
0
.x/D0,2x
8
x
2
D0,2xD
8
x
2
,x
3
D4,xD
3
p
4I
h
0
.x/no existe cuandoxD0.Peroh.x/tampoco existe cuandoxD0.Entonceshtiene un sólo punto
crítico enxD
3
p
4.
Tipo de punto crítico:
h
00
.
3
p
4/D2C
16
4
D6>0 mínimo local.
Las coordenadas de este punto crítico son:
NŒ
3
p
4; g.
3
p
4/DN

3
p
4;
12
3
p
4

mínimo local estricto.
x
y
3
p
4
N

12
2
p
4
Mínimo local
yDh.x/

8..x/Dx
5
3x
2
3.
H.x/Dx
5
3x
2
3)
0
.x/D
5
3
x
2
3
2
3
x

1
3)
00
.x/D
2
9

5xC1
x
4
3

.

370 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Puntos críticos:

0
.x/D0,
5
3
x
2
3
2
3
x

1
3D0,
1
3

5x
2
3
2
x
1
3

D0,
1
3

5x2
x
1
3

D0,5x2D0,xD
2
5
I

0
.x/no existe cuandoxD0,pero.x/sí está deﬁnida enxD0.Entoncestiene dos puntos críticos
xD
2
5
&xD0.
Tiposdepuntoscríticos:

00

2
5

D
2.3/
9

2
5

4
3
>0mínimo local;

00
.0/Dno existe, nada se puede asegurar.
Para decidir el tipo de punto crítico que tieneenxD0, recurrimos al criterio de la primera derivada.
El signo de
0
.x/D
1
3

5x2
x
1
3

lo dan5x2&x
1
3.
Puesto que lím
x!0
.5x2/D2,entonces5x2<0para valoresxcerca de0.
Ahora bien, alrededor dexD0hallamos:
x<0,
3
p
x<0)
5x2
x
1
3
>0)
0
.x/ > 0I
x>0,
3
p
x>0)
5x2
x
1
3
<0)
0
.x/ < 0:
Sucede entonces quees creciente parax<0y es decreciente parax>0( cerca de cero). Por lo tanto
la funcióntiene enxD0un máximo local.
Las coordenadas de estos puntos críticos son:
A

2
5
;

2
5

DA

2
5
;
3
5
3

4
25

[se observa que.x/Dx
2=3
.x1/] mínimo local estrictoI
B?0;.o/DB.0; 0/máximo local estricto.
x
y
2
5
B
A

Máximo local
Mínimo local
yD.x/

8.3 Concavidad y convexidad 371
9.f.x/Dx
4
2x
3
.
Hf.x/Dx
4
2x
3
)f
0
.x/D4x
3
6x
2
)f
00
.x/D12x
2
12x.
Puntos críticos:
f
0
.x/D0,4x
3
6x
2
D0,2x
2
.2x3/D0,xD0obienxD
3
2
:
La funcióntiene dos puntos críticos.
Tiposdepuntoscríticos:
f
00
.x/D12x
2
12xD12x.x1/I
f
00
.0/D0nada se puede asegurar;
f
00

3
2

D18

1
2

>0mínimo local.
Para decidir sobre el punto crítico enxD0, utilizamos el criterio de la primera derivada.
Comof
0
.x/D2x
2
.2x3/, y ademásx
2
>0parax¤0, entonces el signo def
0
.x/esta dado por el
factor2x3.
Ahora:2x3<0,2x < 3,x<
3
2
.Entoncesf
0
.x/ < 0parax<
3
2
yparax¤0.Porlotanto
fes decreciente alrededor dexD0.Conestopodemosaﬁrmar que enxD0la funciónfno tiene
mínimo local ni máximo local.
Las coordenadas del punto crítico son:
B

3
2
;f

3
2

DB

3
2
;
27
16

[observe quef.x/Dx
3
.x2/] mínimo local estricto.
x
y
3
2
B

Punto crítico
No es máximo local
No es mínimo local
Mínimo local
yDf.x/
El mínimo local resulta ser absoluto.
10.g.x/D2
p
4x
2
.
HPor el ejercicio 10 de la página 364 se sabe que:
g.x/D2
p
4x
2
)g
0
.x/D
x
.4x
2
/
1=2
)g
00
.x/D
4
ˆ
.4x
2
/
3
:
Puntos críticos.
g
0
.x/D0,
x
4x
2
D0,xD0:
Ademásg
0
.x/no existe enxD˙2dondeg.x/sí está deﬁnida, por lo que la funcióngtiene3puntos
críticos.

372 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Tipo de puntos críticos:
g
00
.x/D
4
ˆ
.4x
2
/
3
:
g
00
.0/D
4
p
4
3
>0mínimo local.
Las coordenadas de los puntos críticos son:
P ?0; g.0/DP.0; 0/mínimo local estricto;
QŒ2;g.2/DQ.2;2/máximo local estricto;
R?2; g.2/DR.2; 2/máximo local estricto.
x
y
22
P

Mínimo local
yDg.x/
El mínimo local resulta ser absoluto y los otros dos puntos críticos resultan ser máximos absolutos.

CAPÍTULO
9
Gráﬁcadeunafunción
9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función
Ejercicios 9.1.1Gráﬁca de una función polinomial.
1.Sealafunciónf.x/D1.x3/
3
.
Encuentre los extremos relativos y absolutos (si tiene), los intervalos donde sea creciente y donde sea
decreciente, también calcule dónde es cóncava hacia arriba y dónde es cóncava hacia abajo. Final-
mente haga la gráﬁca.
HLa funciónfes un polinomio
f.x/D1.x
3
9x
2
C27x27/Dx
3
C9x
2
27xC28:
Calculamos sus puntos críticos
f
0
.x/D3x
2
C18x27D3.x
2
6xC9/D0,
,x
2
6xC9D.x3/
2
D0,
,xD3que es el único punto crítico.
Comof
0
.x/D3.x3/
2
<0six6 D3,lafunciónfes decreciente enRy no tiene valores extremos.
Analicemos su concavidad
f
00
.x/D6.x3/

>0;
<0;
si

x<3I
x>3:
Luego,fes cóncava hacia arriba en.1;3/y cóncava hacia abajo en.3;C1/.
EnxD3hay un punto de inﬂexión que es.3; 1/.
Notemos quef.0/D28&f.4/D0.
La gráﬁca defes:
373

374 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
34
1
28

yDf.x/
Punto de inﬂexión

2.Dada la funciónf.x/Dx
4
2x
3
, determinar:
a.Puntos críticos y clasiﬁcación.
b.Intervalos donde crece o bien decrece.
c.Puntos de inﬂexión.
d.Los intervalos de concavidad.
e.Gráﬁca def.
H
a.Los puntos críticos serán las raíces de la derivada, esto es:
f
0
.x/D4x
3
6x
2
D2x
2
.2x3/D0,xD0&xD
3
2
:
Veamos cómo es la segunda derivada en ellos:
f
00
.x/D12x
2
12xD12x.x1/ ;
f
00
.0/D0;
por lo que no podemos decidir si es máximo o mínimo relativo con el criterio de la segunda
derivada; analicemos la primera derivada:
f
0
.x/ > 0,2x3>0,x>
3
2
I
f
0
.x/ < 0en

1;
3
2

:
Por lo que enxD0no hay valor extremo ya que en

1;
3
2

la funciónfes decreciente.
En cambio
f
00

3
2

D12
3
2

3
2
1

>0:
Por lo que enxD
3
2
la función tiene un mínimo local lo cual coincide con que la funciónf
decrece en

1;
3
2

ycreceen

3
2
;C1

.
b.Acabamos de ver que la funciónfes decreciente en

1;
3
2

y es creciente en

3
2
;C1

.

9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función 375
c.EnxD0yenxD1hay puntos de inﬂexión, pues ahí la segunda derivada vale cero y cambia
de signo como se puede ver en la tabla:
Signo de
Intervaloxx1f
00
.x/D12x.x1/fes cóncava hacia
x<0.<1/ C arriba
0<x<1 C abajo
.0 </ 1 < xC C C arriba
d.Como acabamos de ver, la funciónfes cóncava hacia arriba en.1;0/yen.1;C1/,yes
cóncava hacia abajo en.0; 1/.
e.Tabulamosf.x/Dx
3
.x2/en algunos valores
f

3
2

D

3
2

3
3
2
2

D
27
8

1
2

D
27
16
1:6875I
f.0/D0I
f.1/D1
3
.12/D1.1/D1I
f.2/D0:
La gráﬁca de la funciónfes:
x
y
1
3
2
2
0
1

27
16

yDf.x/
Punto crítico
Es un punto de inﬂexión
No es máximo local
No es mínimo local
El mínimo local

3
2
;
27
16

resulta ser mínimo absoluto.

3.Para la funciónh.x/Dx
4
8x
2
C18, encuentre:
a.Losintervalosenloscualeshes creciente o bien decreciente.
b.Los valores máximos y mínimos locales deh.
c.Los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo. Los puntos de inﬂexión.
d.Bosqueje la gráﬁca de esa función.
H
a.Calculamos su derivada
h
0
.x/D4x
3
16xD4x.x
2
4/D4x.xC2/.x2/

376 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
y averiguamos su signo mediante la tabla siguiente:
Signo de
IntervaloxC2xx2h
0
.x/ hes
x<2.<0<2/ decreciente
2<x<0.<2/ C C creciente
.2</0<x<2 C C decreciente
.2<0</2<x C C C C creciente
b.Los puntos críticos de la función son2,0&2.
EnxD2la función tiene un mínimo local, pues la función ahí pasa de ser decreciente a ser
creciente.
Eso mismo ocurre enxD2, comprobando que la función es par; el valor mínimo es
h.˙2/D.˙2/
4
8.˙2/
2
C18D1632C18D2:
EnxD0la función valeh.0/D18y se trata de un máximo, pues ahí la función pasa de ser
creciente a ser decreciente.
c.Calculamos la segunda derivada de la función
h
00
.x/DŒh
0
.x/
0
D.4x
3
16x/
0
D12x
2
16D
D12

x
2

4
3

D12

xC
2
p
3

x
2
p
3

:
Su signo nos lo da la tabla siguiente:
Signo de
Intervalo xC
2
p
3
x
2
p
3
h
00
.x/hes cóncava hacia
x<
2
p
3

<
2
p
3

C arriba

2
p
3
<x<
2
p
3
C abajo

2
p
3
<

2
p
3
<x C C C arriba
EnxD
2
p
3
yenxD
2
p
3
la función tiene sendos puntos de inﬂexión, pues la curva cambia el
sentido de su concavidad y es continua:
h

˙
2
p
3

D

˙
2
p
3

4
8

˙
2
p
3

2
C18D
16
9

32
3
C18D
1696C162
9
D
82
9
9:1:
d.Dado˙
2
p
3
D˙1:1547005.Lagráﬁca de la funciónhes:

9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función 377
x
y
2
2
p
3
2
p
3
2
2
82
9
18

yDh.x/
Los mínimos locales resultan ser absolutos.

4.Sealafunciónf.x/Dx
3
C6x
2
C3xC1.
a.Encontrar los intervalos de monotonía de la función. Es decir, aquellos intervalos donde la fun-
ción es creciente y aquellos donde es decreciente.
b.Encontrar los intervalos de concavidad de la función. Es decir, aquellos intervalos donde la
función es cóncava hacia abajo y aquellos donde es cóncava hacia arriba.
c.Hacer un bosquejo de la gráﬁca de la función.
H
a.Derivamos
f
0
.x/D3x
2
C12xC3D3.x
2
C4xC1/:
Para calcular los puntos críticos calculamos los ceros o raíces de la derivada, usando la fórmula
de la cuadrática:
xD
4˙
p
164
2
D
4˙2
p
3
2
D2˙
p
3

0:268
3:732 :
Con estas raíces la factorización de la derivada queda como sigue:
f
0
.x/D3.x
2
C4xC1/D3

x.2
p
3/
!
x.2C
p
3/
!
D
D3.xC2C
p
3/.xC2
p
3/:
Para conocer los intervalos de monotonía, usamos la siguiente tabla:
Signo de
Intervalo x.2
p
3/x.2C
p
3/f
0
.x/D3.x
2
C4xC1/
x<2
p
3.<2C
p
3/ C
2
p
3<x<2C
p
3 C
x>2C
p
3.>2
p
3/ C C C
Por lo tanto, la funciónfcrece parax2

1;2
p
3

yparax2

2C
p
3;C1

;
ydecreceparax2

2
p
3;2C
p
3

.

378 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
b.Calculamos la segunda derivada
f
00
.x/D6xC12D6.xC2/:
La única raíz esxD2donde hay un punto de inﬂexión.
Se ve claro que
f
00
.x/ < 0parax2.1;2/oseafes cóncava hacia abajo ahí;
f
00
.x/ > 0parax2.2;C1/oseafes cóncava hacia arriba ahí.
c.Valuamos la función en algunos puntos
x
f.x/
2
p
321:39
2 11
2C
p
30:6
0 1
y damos un bosquejo de la gráﬁca de la funciónf:
x
y
2
p
322C
p
3
1
11
22
yDf.x/

5.Para la funciónf.x/D.x
2
4/
3
, determine:
a.Los intervalos de crecimiento y los de decrecimiento. Los extremos relativos.
b.Los intervalos de concavidad hacia arriba y los de concavidad hacia abajo. Los puntos de in-
ﬂexión.
c.La gráﬁca.
HCalculemos:
a.f
0
.x/D3.x
2
4/
2
2xD6x.xC2/
2
.x2/
2
:
Los puntos críticos están enxD2,0yen2.
f
0
.x/ > 0six>0&x6 D2;luego,f.x/es creciente en.0; 2/,en.2;C1/y también enŒ0;C1/.
f
0
.x/ < 0six<0&x6 D2;luego,f.x/es decreciente en.1;2/,en.2;0/y también en
.1;0/.
Entonces el único extremo relativo es.0;64/, donde la función pasa de ser decreciente a ser
creciente; por lo tanto es un mínimo.

9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función 379
b.Calculemos la derivada def
0
.x/D6x.x
2
4/
2
:
f
00
.x/D6.x
2
4/
2
C6x2.x
2
4/2xD6.x
2
4/.x
2
4C4x
2
/D
D6.x
2
4/.5x
2
4/D6.xC2/.x2/.
p
5xC2/.
p
5x2/ :
La segunda derivada es0en˙2yen˙
2
p
5
˙0:89, y su signo está dado en la tabla siguiente:
Signo de
Intervalo xC2
p
5xC2
p
5x2x2f
00
.x/fes cóncava hacia
x<2

<
2
p
5
<
2
p
5
<2

C arriba
2<x<
2
p
5

<
2
p
5
<2

C abajo
.2</
2
p
5
<x<
2
p
5
.< 2/C C C arriba

2<
2
p
5
<

2
p
5
<x<2 C C C abajo

2<
2
p
5
<
2
p
5
<

2<x C C C C C arriba
Vem o s ent o nces que en

2;
2
p
5

yen

2
p
5
;2

la función es cóncava hacia abajo.
Vem o s t a m bién que en.1;2/,en

2
p
5
;
2
p
5

yen.2;C1/lo es hacia arriba.
Los puntos.˙2;0/&

˙
2
p
5
;
16
3
125

.˙0:89;32:77/son de inﬂexión.
Tenemos además quef.0/D64&f.˙2:8/D56:62.
c.La gráﬁca de la funciónfes
x
y
Cóncava
Convexa
Cóncava
Convexa
Cóncava

2
p
5
2
p
5
22
32
64

yDf.x/
Punto crítico
Es un punto de inﬂexión
No es máximo local
No es mínimo local
Todo concuerda con quefes par;.0;64/resulta ser mínimo absoluto yfno tiene máximo
absoluto.

380 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
6.Considere la funciónfWR!Rdeﬁnida porf.x/D
x
6
6
C
x
4
2
x
2
C3.
a.Determinar dominio, intervalos de continuidad y lím
x!1
f.x/,lím
x!C1
f.x/.(Nodeterminelas
raíces def.)
b.Determine los puntos críticos y los intervalos de monotonía.
c.Clasiﬁque los puntos críticos (extremos) y determine los intervalos de concavidad.
d.Obtenga los puntos de inﬂexión, la gráﬁca defyelnúmeroderaícesdef. (No intente calcular
lasraícesdef.)
H
a.Dominio:D
fDRdondefes continua.
lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1

x
6

1
6
C
1
2x
2

1
x
4
C
3
x
6

DC1:
b.
f
0
.x/Dx
5
C2x
3
2xDx.x
4
C2x
2
2/D0,xD0&x
4
C2x
2
2D0:
Resolviendo esta última ecuación parax
2
x
2
D
2˙
p
4C8
2
D1˙
p
3:
Como estamos entre números reales, desechamos los valores dextales quex
2
D1
p
3,por
ser1
p
3<0:
xD˙
ˆ
1C
p
3˙
p
1C1:7320508D˙
p
0:7320508˙0:8555997.
Estos dos valores, junto conxD0constituyen los puntos críticos; además
f
0
.x/Dx

x
2

1
p
3
!
x
2

1C
p
3
!
D
Dx

x
2
C1C
p
3

x
"
1C
p
3

xC
"
1C
p
3

:
Comox
2
C1C
p
3>0siempre, el signo def
0
.x/nos lo da
x

x
"
1C
p
3

xC
"
1C
p
3

:
Veá m o s lo :
Signo de
Intervalo xC
ˆ
1C
p
3xx
ˆ
1C
p
3f
0
.x/
x<
ˆ
1C
p
3.< 0 <
ˆ
1C
p
3/

ˆ
1C
p
3<x<0.<
ˆ
1C
p
3/ C C
.
ˆ
1C
p
3</0<x<
ˆ
1C
p
3 C C
.
ˆ
1C
p
3<0</
ˆ
1C
p
3<x C C C C
La funciónfes creciente en

ˆ
1C
p
3; 0

yen
ˆ
1C
p
3;C1

.
La funciónfes decreciente en

1;
ˆ
1C
p
3

yen

0;
ˆ
1C
p
3

.

9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función 381
c.EnxD˙
ˆ
1C
p
3tenemos mínimos relativos y enxD0máximo relativo pues la funciónf
pasa de ser creciente a decreciente, a diferencia de los otros dos anteriores en que esa función
pasa de ser decreciente a ser creciente.
Para determinar los intervalos de concavidad calculemos la segunda derivada
f
00
.x/D5x
4
C6x
2
2:
Veamos ahora dónde es positiva y dónde es negativa.
5x
4
C6x
2
2D0,x
2
D
6˙
p
36C40
10
D
3˙
p
19
5
:
Nuevamente desechamos losxtales quex
2
D
3
5

p
19
5
pues no son reales, y tenemos sólo dos
puntosxtales que anulan la ecuación de cuarto grado:
xD˙
˛
3C
p
19
5
˙0:521325
yademás
f
00
.x/D5

x
4
C
6
5
x
2

2
5

D
D5

x
2
C
3C
p
19
5

⎛
⎝xC
˛
3C
p
19
5
⎞
⎠
⎛
⎝x
˛
3C
p
19
5
⎞
⎠:
Comox
2
C
3C
p
19
5
>0siempre, el signo def
00
.x/nos lo da
⎛
⎝xC
˛
3C
p
19
5
⎞
⎠
⎛
⎝x
˛
3C
p
19
5
⎞
⎠:
Veá m o s lo :
Signo de
Intervalo xC
˛
3C
p
19
5
x
˛
3C
p
19
5
f
00
.x/
x<
˛
3C
p
19
5
⎛
⎝<
˛
3C
p
19
5
⎞
⎠ C

˛
3C
p
19
5
<x<
˛
3C
p
19
5
C
⎛
⎝
˛
3C
p
19
5
<
⎞
⎠
˛
3C
p
19
5
<x C C C
La funciónfes cóncava hacia arriba en
⎛
⎝1;
˛
3C
p
19
5
⎞
⎠[
⎛
⎝
˛
3C
p
19
5
;C1
⎞
⎠.

382 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
La funciónfes cóncava hacia abajo en
⎛
⎝
˛
3C
p
19
5
;
˛
3C
p
19
5
⎞
⎠.
d.Lospuntosdeinﬂexión se tienen paraxD˙
˛
3C
p
19
5
, pues en ellos la segunda derivada
vale cero y cambia de signo.
Ahora bien comof.x/D3x
2
C
x
4
2
C
x
6
6
,
f

˙
"
1C
p
3

D3C1
p
3C
32
p
3C1
2
C
3
p
333C3
p
31
6
D
D4
p
3C2
p
3C
p
3
5
3
D
13
3

p
32:6012825 :
Hallamos que.˙
ˆ
1C
p
3; 2:6012825/son puntos de la gráﬁca defdonde hay mínimos rela-
tivos.
En.0; 3/hay un máximo relativo.
La gráﬁca defes:
x
y

q
1C
p
3
q
1C
p
3
3
yDf.x/
Resulta que los mínimos relativos son también mínimos absolutos.
Los puntos de inﬂexión son
⎡
⎣˙
˛
3C
p
19
5
;f
⎛
⎝˙
˛
3C
p
19
5
⎞
⎠
⎤
⎦

˙0:521325; 3
p
193
5
C
196
p
19C9
50
C
Œ
p
193?286
p
19
750

D
D

˙0:521325; 3C
150
p
19C450C42090
p
19C46
p
19198
750

D
D

˙0:521325; 3C
194
p
19C672
750

.˙0:521325; 2:7684981/:
La función no tiene raíces.
Todo concuerda con que la funciónfes par.

9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función 383
Ejercicios 9.1.2Gráﬁca de una función racional.
1.Para la funciónf.x/D
2x
21x
2
, determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los
puntos críticos y su clasiﬁcación, así como los intervalos de concavidad hacia abajo y hacia arriba.
Finalmente, con estos elementos haga un bosquejo de la gráﬁca de la función.
HVamos a derivar dos veces la funciónf
f
0
.x/D2
.1x
2
/2xx
2
.2x/
.1x
2
/
2
D2
2x2x
3
C2x
3
.1x
2
/
2
)
)f
0
.x/D4
x
.1x
2
/
2
: (*)
De aquí calculamos la segunda derivada
f
00
.x/D4
.1x
2
/
2
1x2.1x
2
/.2x/
.1x
2
/
4
D4
.1x
2
/
˙
.1x
2
/C4x
2

.1x
2
/
4
)
)f
00
.x/D4
1C3x
2
.1x
2
/
3
: (**)
La funciónfestá deﬁnida en todos los reales excepto en la raíces del denominador.1x
2
/
3
:
1x
2
D0,x
2
D1,jxjD1,xD1obienxD1:
De aquí concluimos que:
Dominio de la función =D
fDRf1; 1g.
Lasraícesdefson las raíces de su numerador (siempre y cuando estén en el dominio de la función)
x
2
D0,xD0:
La raíz def:xD0.
Las asíntotas verticales defvienen dadas por los ceros o raíces del denominador que no son ceros
del numerador, en este caso:
Las asíntotas verticales def:xD1&xD1.
Para las asíntotas horizontales calculamos
lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1
2
x
2
1x
2
Dlím
x!˙1
2
1
x
21
D2:
Así:yD2es la asíntota horizontal de la funciónf.
Lasraícesdef
0
son las raíces de su numerador
xD0, que representa un punto crítico def:
De la expresión./vemos que el signo de la derivada nos lo proporciona el numeradorx.Porloque
concluimos que:
La funciónfcrece en.0; 1/yen.1;C1/:
La funciónfdecrece en.1;1/yen.1; 0/ :
También obtenemos de aquí quef.0/D0es un mínimo relativo.
El signo de la segunda derivada nos lo proporciona el denominador.1x
2
/
3
, pero esta expresión
tiene el mismo signo queg.x/D1x
2
. Usamos por tanto esta expresión. Las raíces son1ytambién
1. Si evaluamos en puntos intermedios apropiados obtenemos
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
f
00
.2/ < 0
f
00
.0/ > 0
f
00
.2/ < 0
)
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
f
00
.x/ < 0en.1;1/I
f
00
.x/ > 0en.1; 1/I
f
00
.x/ < 0en.1;C1/:

384 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Esto nos dice que:
La funciónfes cóncava hacia abajo en.1;1/[.1;C1/:
La funciónfes cóncava hacia arriba en.1; 1/.
La concavidad cambia enxD˙1,perocomofno está deﬁnida en esos valores, la función no tiene
puntos de inﬂexión.
Con toda la información anterior estamos listos para dar un bosquejo de la gráﬁca. Para precisarla,
vamos a evaluar la funciónfen dos puntos, notando quefes par:
f.2/Df.2/D
2.2/
2
1.2/
2
D
8
14
D
8
3
:
También notamos que:
lím
x!1
C
f.x/Dlím
x!1
C
2x
2
.1Cx/.1x/
D1D lím x!1

f.x/I
lím
x!1

f.x/Dlím
x!1

2x
2
.1Cx/.1x/
DC1D lím x!1
C
f.x/:
La gráﬁca de la funciónfes:
x
y

21
2

8
3
12
yDf.x/

2.Para la funciónf.x/D
.x1/
2
x
2
, determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los
puntos críticos y su clasiﬁcación, así como los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo.
Finalmente, con estos elementos haga un bosquejo de la gráﬁca de la función.
HVemos que el dominio defesD
fDRf0g.
Intervalos de monotonía: calculemos la derivada de la función
f
0
.x/D
2.x1/x
2
2x.x1/
2
x
4
:
Simpliﬁcandoxy factorizando2.x1/:
f
0
.x/D
2.x1/.xxC1/
x
3
D
2.x1/
x
3
,(conx¤0/:
De donde vemos que el punto crítico es 1 (ahí la derivada vale 0).

9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función 385
Veamos ahora el signo de la derivada y de aquí inferiremos dónde la función es creciente y dónde
decreciente.
Signo de
Intervalox
3
x1f
0
.x/ fes
x<0.<1/ C creciente
0<x<1 C decreciente
.0 </1 < xC C C creciente
Vem o s que pa raxD1,esdecir,enelpunto.1; 0/de la gráﬁca de la función hay un mínimo local
pues la función ahí pasa de ser decreciente a ser creciente; además resulta ser mínimo absoluto, pues
f.x/0parax2D
f.
Intervalos de concavidad: calculemos la segunda derivada de la función
f
00
.x/D
2x
3
3x
2
2.x1/
x
6
I
simpliﬁcandox
2
:
f
00
.x/D
2x6.x1/
x
4
D
2x6xC6
x
4
D
4xC6
x
4
D
2.32x/
x
4
I
f
00
.x/ > 0si32x > 0;es decir, si2x < 3oseax<
3
2
I
por lo que la funciónfes cóncava hacia arriba en.1;0/[

0;
3
2

;
f
00
.x/ < 0si32x < 0;esto es, cuando2x > 3obiencuandox>
3
2
:
De donde inferimos que esta funciónfes cóncava hacia abajo en

3
2
;C1

yqueen

3
2
;f

3
2

hay un punto de inﬂexión; y como
f

3
2

D

3
2
1

2

3
2

2
D

1
2

2
9
4
D
1
4
9
4
D
1
9
;
el punto es

3
2
;
1
9

.
Para bosquejar la gráﬁca de la función, enfaticemos quefes continua en su dominioRf0gyob-
servemos que la rectayD1es asíntota horizontal ya que
lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1
.x1/
2
x
2
Dlím
x!˙1
x
2
2xC1
x
2
Dlím
x!˙1
.1
2
x
C
1
x
2
/D10C0D1
yquexD0es asíntota vertical pues
lím
x!0
˙
f.x/Dlím
x!0
˙
.x1/
2
x
2
DC1:
Conjuntando todos estos elementos, la gráﬁca de la funciónfes:

386 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y

1
3
2
1
yDf.x/

3.Sealafunciónf.x/D
x
2
4
.x1/
2
. Proporcione:
a.El dominio de la función.
b.Las raíces de la función.
c.Los intervalos de monotonía.
d.Los intervalos de concavidad.
e.La gráﬁca de la función.
H
a.Dominio:D
fDRf1g.
b.Las raíces:f2;2g.
c.Vamos a derivar la función (x1¤0):
df
dx
D
d
dx
x
2
4
.x1/
2
D
.x1/
2
d
dx
.x
2
4/.x
2
4/
d
dx
.x1/
2
.x1/
4
D
D
.x1/
2
.2x/.x
2
4/2.x1/
.x1/
4
D
.x1/Œ.x1/.2x/.x
2
4/2
.x1/
4
D
D
.x1/.2x/2.x
2
4/
.x1/
3
D
2x
2
2x2x
2
C8
.x1/
3
D
D
2xC8
.x1/
3
D2
x4
.x1/
3
:
La raíz de la derivada esxD4.Laderivadanoestádeﬁnida enxD1.
El signo de la primera derivada viene dado por la expresión
x4
x1
.
Los intervalos de monotonía los calculamos con la tabla siguiente:
IntervaloValor de prueba
x4
x1
Signo def
0
.x/
x<1 0
4
1

1<x<4 2
24
21
C
4<x 10
104
101

9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función 387
La función es decreciente en.1;1yen.4;C1/.
La función es creciente en.1; 4/.
En?4; f .4/D

4;
4
3

hay un máximo local estricto.
d.Calculamos la segunda derivada
d
2
f
dx
2
D
d
dx

2
x4
.x1/
3

D2
.x1/ 3
d
dx
.x4/.x4/
d
dx
.x1/
3
Œ.x1/
3

2
D
D2
.x1/
3
.1/.x4/3.x1/
2
.x1/
6
D2
.x1/
3
3.x4/.x1/
2
.x1/
6
D
D2
.x1/
2
Œ.x1/3.x4/
.x1/
6
D2
.x1/3.x4/
.x1/
4
D
D2
x13xC12
.x1/
4
D2
2xC11
.x1/
4
D
D2
2x11
.x1/
4
:
La raíz de la segunda derivada esxD
11
2
.
El signo de la segunda derivada viene dado por la expresión2x11.
Los intervalos de concavidad los calculamos con la tabla siguiente:
IntervaloValor de prueba2x11Signo def
00
.x/
x<1 0 11
1<x<
11
2
2 7
11
2
<x 10 2011 C
La función es cóncava hacia abajo en.1;1/[

1;
11
2

.
La función es cóncava hacia arriba en

11
2
;C1

.
e.Para calcular las asíntotas horizontales obtenemos
lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1
x
2
4
.x1/
2
Dlím
x!˙1
x
2
4
x
2
2xC1
Dlím x!˙1
1
4
x
2
1
2
x
C
1
x
2
D1:
Tenemos una única asíntota horizontal:yD1.
Tenemos igualmente una única asíntota vertical:xD1.

388 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Vamos a evaluar la función en algunos puntos
xf.x/
0 4
41:3333
11
2
1:296
Usando toda la información anterior y dado que lím
x!1
f.x/Dlím
x!1
x
2
4
.x1/
2
D1,lagráﬁca de
la funciónfes:
x
y

22
4
1
14
11
2
yDf.x/
El máximo local estricto.4; 1:3/resulta ser absoluto.

4.Sealafunciónf.x/D
1
1Cx
2
. Proporcione:
a.El dominio de la función.
b.Los intervalos de monotonía.
c.Los intervalos de concavidad.
d.Los puntos de inﬂexión.
e.La gráﬁca de la función.
H
a.Dominio:D
fDR&fno tiene raíces.
b.Vamos a derivar la función
df
dx
D
d
dx

1
1Cx
2

D
d
dx
.1Cx
2
/
.1Cx
2
/
2
D
2x
.1Cx
2
/
2
:
La raíz de la derivada esxD0.
El signo de la primera derivada viene dado por la expresiónx.

9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función 389
Los intervalos de monotonía los calculamos con la tabla siguiente:
IntervaloValor de pruebaxSigno def
0
.x/
x<0 1 1 C
x>0 1 1
La función es creciente en.1;0/.
La función es decreciente en.0;C1/.
En?0; f .0/D.0; 1/hay un máximo local estricto.
c.Calculamos la segunda derivada
d
2
f
dx
2
D
d
dx

2x
.1Cx
2
/
2

D
d
dx

2
x
.1Cx
2
/
2

D
D2
.1Cx
2
/
2
d
dx
.x/x
d
dx
.1Cx
2
/
2
Œ.1Cx
2
/
2

2
D2
.1Cx
2
/
2
x2.1Cx
2
/.2x/
.1Cx
2
/
4
D
D2
.1Cx
2
/
2
4x
2
.1Cx
2
/
.1Cx
2
/
4
D2
.1Cx
2
/Œ.1Cx
2
/4x
2

.1Cx
2
/
4
D
D2
.1Cx
2
/4x
2
.1Cx
2
/
3
D2
13x
2
.1Cx
2
/
3
D
D2
3x
2
1
.1Cx
2
/
3
:
La raíces de la segunda derivada las obtenemos al resolver la ecuación
3x
2
1D0)3x
2
D1)xD˙
1
p
3
)xD˙
p
3
3
˙0:577 :
El signo de la segunda derivada viene dado por la expresión3x
2
1.
Los intervalos de concavidad los calculamos con la tabla siguiente:
IntervaloValor de prueba3x
2
1Signo def
00
.x/
x<
p
3
3
10 3.10/
2
1 C

p
3
3
<x<
p
3
3
0 1
p
3
3
<x 10 3.10/
2
1 C
La función es cóncava hacia arriba en

1;
p
3
3

[
p
3
3
;C1

.
La función es cóncava hacia abajo en

p
3
3
;
p
3
3

.
d.En

p
3
3
;
p
3
3
ˇ
hay puntos de inﬂexión que son:

˙
p
3
3
;f

˙
p
3
3

D

˙
p
3
3
;
3
4

.

390 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
e.Notemos además que es una función par y que la asíntota horizontal esyD0,pues
lím
x!˙1
1
1Cx
2
D0
C
.
Ahora, la gráﬁca de la funciónf:
x
y

1
3
4

1
p
3
1
p
3
yDf.x/
El máximo local.0; 1/resulta ser un máximo absoluto.

5.Considere la funciónhWR!Rdeﬁnida porh.x/D
x
2
3
x
3
:Halle el dominio y las raíces de la
función. Las asíntotas verticales y las horizontales. Los puntos críticos. Los intervalos de concavidad.
Haga un bosquejo de esa función.
HEl dominio de la función:D
hDRf0g.
La función es impar.
Las raíces de la función son aquellos valores que hacen cero el numerador (y no hacen cero el denom-
inador), entonces:
x
2
3D0,x
2
D3,jxjD
p
3,xD
p
3obienxD
p
3:
Asíntotas verticales: ceros del denominador que no son ceros del numerador. En este caso se ve
claramente que la única asíntota vertical esxD0yque lím
x!˙0
f.x/D 1.
Asíntotas horizontales. Para esto calculamos
lím
x!˙1
h.x/Dlím
x!˙1
x
2
3
x
3
Dlím
x!˙1

1
x

3
x
3

D0:
Entonces la única asíntota horizontal esyD0.
Calculamos la derivada de la función
h
0
.x/D
x
3
.2x/.x
2
3/.3x
2
/
x
6
D
x
2
Œx.2x/.x
2
3/.3/
x
6
D
D
2x
2
3x
2
C9
x
4
)
)h
0
.x/D
x
2
C9
x
4
: (*)
La funciónh
0
es par.
Para encontrar los puntos críticos, igualamos a cero la primera derivada:
h
0
.x/D0,x
2
C9D0,x
2
D9,jxjD3,xD3obienxD3:

9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función 391
Puesto que enxD0hay una asíntota vertical, consideramos como intervalos para el análisis del signo
de la primera derivada a.1;3/,.3; 0/,.0; 3/y.3;1/.
Sólo consideramos el numerador, pues el denominador de la primera derivada siempre es positivo.
Asítomandocomovaloresdepruebaenesosintervalosa xD˙4yaxD˙2tenemos:
xD˙4)x
2
C9D.˙4/
2
C9<0)h
0
.˙4/ < 0)h
0
.x/ < 0six2.1;3/[.3;C1/I
xD˙2)x
2
C9D.˙2/
2
C9>0)h
0
.˙2/ > 0)h
0
.x/ > 0parax2.3; 0/[.0; 3/ :
Entonces la funciónh
0
es continua en tales intervalos.
Concluimos que:
La funciónhes creciente en.3; 0/yen.0; 3/.
La funciónhes decreciente en.1;3/yen.3;C1/.
ParaxD3hay un mínimo local,h.3/D
2
9
D0:2, pues ahí la función pasa de ser decreciente
a ser creciente y paraxD3hay un máximo local,h.3/D0:2,puesahí,porlocontrario,pasadeser
creciente a ser decreciente.
Calculamos ahora la segunda derivada de la función, a partir de./:
h
00
.x/D

9x
2
x
4
0
D
2x
5
4x
3
.9x
2
/
x
8
D
D
2x
5
36x
3
C4x
5
x
8
D
2x
5
36x
3
x
8
D
2x
3
.x
2
18/
x
8
D
2.x
2
18/
x
5
:
Six>0, el signo de la derivada nos lo dax
2
18,entonces:
Parax>0:h
00
.x/ > 0,x
2
18D.xC3
p
2/.x3
p
2/ > 0,
,xC3
p
2>0 &x3
p
2>0 obienxC3
p
2<0 &x3
p
2<0,
,x>3
p
2 &x>3
p
2 obienx<3
p
2 &x<3
p
2,
,x2

3
p
2;C1

obienx2

1;3
p
2

:
Entonces, six>0:
hes cóncava hacia arriba parax2

3
p
2;C1

.
hes cóncava hacia abajo parax2

0; 3
p
2

por ser el complemento.
Comohes impar concluimos que:
hes cóncava hacia arriba six2

3
p
2; 0

[

3
p
2;C1

.
hes cóncava hacia abajo six2

1;3
p
2

[

0; 3
p
2

.
Luego, los puntos

3
p
2;
5
18
p
2

.4:243;0:1964/y

3
p
2;
5
18
p
2

son de inﬂexión.
Con todos estos datos, podemos hacer el bosquejo de la gráﬁca de la funciónh:

392 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y

p
3
p
3
1
0:2
0:2
1
3
33
p
2
3
p
2
yDh.x/

6.Sealafunción
f.x/D
x
x
2
C1
:
Diga en qué intervalos es cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo, determine los puntos de inﬂexión
ygraﬁque.
HCalculemos primero la primera y la segunda derivada
f
0
.x/D
x
2
C12x
2
.x
2
C1/
2
D
1x
2
.x
2
C1/
2
I
f
00
.x/D
2x.x
2
C1/
2
2.x
2
C1/2x.1x
2
/
.x
2
C1/
4
D
2x.x
2
C1/4x.1x
2
/
.x
2
C1/
3
D
D
2x
3
2x4xC4x
3
.x
2
C1/
3
D
2x
3
6x
.x
2
C1/
3
:
Luego, los puntos de inﬂexión se encuentran cuando
2x
3
6xD2x.x
2
3/D2x.xC
p
3/.x
p
3/D0,xD0&xD˙
p
3:
El signo de la segunda derivada nos lo da esta misma expresión, pues el denominador.x
2
C1/
3
siempre es positivo.
Determinemos el signo de la segunda derivada:
Signo de
Intervalo xC
p
3xx
p
3f
00
.x/fes cóncava hacia
x<
p
3.< 0 <
p
3/ abajo

p
3<x<0.<
p
3/ C C arriba
.
p
3</0<x<
p
3 C C abajo
.
p
3<0</
p
3<x C C C C arriba
Como2x.x
2
3/D2x.xC
p
3/.x
p
3/, su signo nos lo dax.xC
p
3/.x
p
3/.
Además:
D
fDR;laúnicaraízdefesxD0ylafunciónfes impar.
Dado que lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1
1
x
1C
1
x
2
D0,entoncesyD0es asíntota horizontal.

9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función 393
Los puntos críticos defsonxD˙1cuandof
0
.x/D0.
El signo def
0
.x/nos lo da1x
2
D.1Cx/.1x/,luego:
Signo de
Intervalo1Cx1xf
0
.x/ fes
x<1.< 1/ C decreciente
1<x<1 C C C creciente
.1</1<x C decreciente
EnxD1, hay un máximo relativo puesfpasa de ser creciente a ser decreciente y tambiénf.1/D
1
2
.
EnxD1, hay un mínimo relativo puesfpasa de ser decreciente a ser creciente y tambiénf.1/D

1
2
.
Las ordenadas de los puntos de inﬂexión sonf.˙
p
3/D
˙
p
3
4
˙0:4330127así comof.0/D0.
Y con toda esta información la gráﬁca defes:
x
y

p
3
p
3
1
1
0:433
0:433
1
2

1
2
yDf.x/

7.Dada la siguiente función:f.x/DxC1C
1
x2
;determine sus intervalos de monotonía, los puntos
extremos y graﬁque esa función.
HComof.x/DxC1C.x2/
1
,entonces:
f
0
.x/D1
1
.x2/
2
>0,
1
.x2/
2
<1,.x2/
2
>1,jx2j>1,
,x2>1obienx2<1,x>3,obienx<1:
Luego,fes creciente en
.1;1/yen.3;C1/
y decreciente en
.1; 2/yen.2; 3/:
Observe quexD2…D
f.

394 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Los puntos críticos aparecen cuando
f
0
.x/D1
1
.x2/
2
D0,
1
.x2/
2
D1,.x2/
2
D1,
,jx2jD1,x2D˙1,xD1obienxD3:
Como enxD1la función pasa de ser creciente a ser decreciente, en el punto
?1; f .1/D

1; 1C1C
1
12

D.1; 1/, la función tiene un máximo relativo.
YenxD3, un mínimo relativo pues la función pasa de ser decreciente a ser creciente;
El mínimo esf.3/D3C1C
1
32
D5.
También vemos que lím
x!˙1
f.x/D˙1yque lím
x!2

f.x/D1,lím
x!2
C
f.x/DC1.
Además
f.x/DxC1C
1x2
D
x
2
2xCx2C1
x2
D
x
2
x1
x2
D0,
,x
2
x1D0,xD
1˙
p
1C4
2

1:6
0:6
son las raíces.
La gráﬁca es:
x
y

11
1
5
23
yDf.x/

8.Graﬁcar la funciónf.x/D
x
1x
2
, determinando:
a.Dominio, raíces y simetría.
b.Asíntotas.
c.Intervalos de monotonía.
d.Intervalos de concavidad.
e.Puntos críticos y su clasiﬁcación. Puntos de inﬂexión.

9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función 395
H
a.Como se trata de una función racional, su dominio son los reales menos las raíces del denomi-
nador, esto es, lasxtales que
1x
2
D0,x
2
D1,jxjD1,xD˙1:
Dominio:D
fDRf˙1g.
Por lo tanto la función tiene una raíz enxD0,yaquef.x/D0,
x
1x
2
D0,xD0.
Yesimpar,pues
f.x/D
x
1.x/
2
D
x
1x
2
Df.x/:
b.Calculamos
lím
x!1

f.x/Dlím
x!1

x
.1Cx/.1x/
DC1I
lím
x!1
C
f.x/Dlím
x!1
C
x
.1Cx/.1x/
D1:
Por lo que la rectaxD1es una asíntota vertical y, por paridad, la rectaxD1también es
asíntota vertical:
lím
x!1

f.x/Dlím
x!1

x
.1Cx/.1x/
DC1I
lím
x!1
C
f.x/Dlím
x!1
C
x
.1Cx/.1x/
D1:
Por otro lado:
lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1
1
x
1
x
2
1
D
0
01
D
0
1
D0:
Por lo que la rectayD0es asíntota horizontal.
c.Calculemos la derivada
f
0
.x/D
.1x
2
/.1/x.2x/
.1x
2
/
2
D
1x
2
C2x
2
.1x
2
/
2
D
1Cx
2
.1x
2
/
2
:
La función es creciente en.1;1/,.1; 1/yen.1;C1/ya quef
0
.x/ > 0para cadax¤˙1.
d.Calculemos la segunda derivada de la funciónf:
f
00
.x/DŒf
0
.x/
0
D
.1x
2
/
2
.2x/.1Cx
2
/2.1x
2
/.2x/
.1x
2
/
4
D
2x.1x
2
/C4x.1Cx
2
/
.1x
2
/
3
D
D
2x2x
3
C4xC4x
3
.1x
2
/
3
D
6xC2x
3
.1x
2
/
3
D
D
2x.3Cx
2
/
.1x
2
/
3
:
El signo de la segunda derivada lo danx&1x
2
D.1x/.1Cx/D.x1/.xC1/.Usamos
la tabla que sigue para determinar los intervalos de concavidad:Signo de
Intervalo xC1x.x1/f
00
.x/
x<1.<0<1/ C C
1<x<0.<1/ C C
.1</0<x<1 C C C C
x>1.>0> 1/C C

396 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Por lo tanto:
La funciónfes cóncava hacia arriba en.1;1/[.0; 1/.
La funciónfes cóncava hacia abajo en.1; 0/[.1;C1/.
e.La funciónfno tiene puntos críticos; en.0; 0/tiene un punto de inﬂexión ya que ahí su gráﬁca
cambia el sentido de su concavidad (pasa de ser hacia abajo a ser hacia arriba) y además es
continua.
Yahoraveamossugráﬁca:
x
y
11
yDf.x/

9.Sealafunciónf.x/D
x
2
.x5/
2
.
a.Encuentre los puntos críticos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b.Encuentre los puntos de inﬂexión y los intervalos de concavidad.
c.Encuentre las asíntotas verticales y horizontales.
d.Haga un bosquejo de la gráﬁca.
H
a.Puntos críticos:
Primero necesitamos calcular la derivada de la función
f
0
.x/D
2x.x5/
2
C2x
2
.x5/
.x5/
4
D
2x.x5/C2x
2
.x5/
3
D
10x
.x5/
3
:
El único punto crítico esxD0yobservamosque56 2D
f, entonces los intervalos de monotonía
son:
x<0<5 )f
0
.x/ > 0; puesto que tanto10xcomo.x5/
3
son negativos,)fes creciente.
0<x<5 )f
0
.x/ < 0, puesto que10x > 0ytantox5como.x5/
3
son negativos,)fes
decreciente.
x>5.>0/ )f
0
.x/ > 0, puesto que tanto10xcomox5ytambién.x5/
3
son positivos,
)f.x/es creciente.
Su máximo local estricto:?0; f .0/D.0; 0/.
b.Puntos de inﬂexión:
Calculemos la segunda derivada de la función
f
00
.x/D
10.x5/
3
10x3.x5/
2
.x5/
6
D
10.x5/30x
.x5/
4
D
D
20x50
.x5/
4
D10
2x5
.x5/
4
:

9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función 397
El signo de esta derivada segunda lo da el numerador, ya que.x5/
4
>0parax¤5:
2x5>0,2x > 5,x<
5
2
:
En

1;
5
2

,lagráﬁca de la función es cóncava hacia arriba:
2x5<0,2x <C5,x>
5
2
:
En

5
2
;5

yen.5;C1/,lagráﬁca es cóncava hacia abajo; y paraxD
5
2
,hayunpuntode
inﬂexión, pues ahí la gráﬁca cambia el sentido de la concavidad y la funciónfes continua.
Tal punto de inﬂexión es:

5
2
;f

5
2

D
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣

5
2
;

25
4

5
2
5

2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
D
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣

5
2
;

25
4

15
2

2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
D

5
2
;
1
9

:
c.lím
x!5
f.x/Dlím
x!5

x
x5

2

D1,porloquelarectaxD5es asíntota vertical.
lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1
x
2
x
2
10xC25
Dlím x!˙1
1
1
10
x
C
25
x
2
D
1
10C0
D
1
1
D1:
La rectayD1es asíntota horizontal.
d.La gráﬁca defes:
x
y
5
1

5
2

yDf.x/

10.Para la funciónf.x/D
1
x
2
C
1
x
3
, determine:
a.Dominio, raíces y paridad.
b.Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
c.Intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo y puntos de inﬂexión.
d.Intervalos de continuidad y la clasiﬁcación de discontinuidades.
e.Ecuaciones de las asíntotas verticales y de las asíntotas horizontales.
f.Máximos y mínimos relativos y absolutos.

398 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
g.Esbozo gráﬁco y rango.
H
a.Su dominio es:
D
fDR

x

xD0

DRf0g:
Raíces: comof.x/D
xC1
x
3
,
f.x/D0,
xC1
x
3
D0,xC1D0,xD1:
Paridad:
f.x/D
1
x
2
C
1
x
3
)f.x/D
1
.x/
2
C
1
.x/
3
D
1
x
2

1
x
3
I
f.x/D

1
x
2
C
1
x
3

D
1
x
2

1
x
3
:
Luego,f.x/6 Df.x/&f.x/6 Df.x/.
Por lo tanto, la funciónfno es par y tampoco es impar.
b.Derivamos:
f.x/Dx
2
Cx
3
)f
0
.x/D2x
3
3x
4
D

2
x
3
C
3
x
4

D
2xC3
x
4
:
Aquí es importante observar que, para cadax6 D0,setienequex
4
>0.Poresto:
f
0
.x/ > 0,
2xC3
x
4
>0,
2xC3
x
4
<0,2xC3<0,x<
3
2
I
f
0
.x/ < 0,
2xC3
x
4
<0,
2xC3
x
4
>0,2xC3>0,x>
3
2
:
Por lo tanto,fes creciente en el intervalo

1;
3
2

; es decreciente en los intervalos

3
2
;0

y.0;C1/.
c.Segunda derivada:
f
0
.x/D2x
3
3x
4
)f
00
.x/D6x
4
C12x
5
D
6
x
4
C
12
x
5
D
6xC12
x
5
:
Primero vemos que
f
00
.x/D0,
6xC12
x
5
D0,6xC12D0,xD2:
Considerando este númeroxD2y excluyendo axD0, generamos los intervalos.1;2/,
.2;0/&.0;C1/,enloscualesveremoselsignodef
00
.x/.IntervaloValor de pruebaf
00
.x/fes cóncava hacia
1<x<2 xD3
2
81
>0 arriba
2<x<0 xD1 6<0 abajo
0<x<C1 xD2
3
4
>0 arriba

9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función 399
Luego,fes cóncava hacia arriba en los intervalos.1;2/yen.0;C1/.
Y es cóncava hacia abajo en el intervalo.2;0/.
Existen cambios de concavidad enxD2yenxD0, pero la función no es continua enxD0,
de hechox…D
f. Entonces hay un punto de inﬂexión enxD2.
d.Por ser una función racional,fes continua en todo su dominioD
fDRf0g. Esto es,fes
continua en el conjunto.1;0/[.0;C1/.
La funciónftiene una discontinuidad enxD0.
Como lím
x!0
.xC1/D1&lím
x!0
x
3
D0,entonceslím
x!0
f.x/Dlím
x!0
xC1
x
3
D
“

1
0

”
D1.Esdecir,
la discontinuidad es esencial; se dice también que la discontinuidad es inﬁnita.
e.Precisamos lím
x!0
f.x/determinando los límites laterales:
lím
x!0

f.x/Dlím
x!0

xC1
x
3
D
“

1
0

”
:
Puesto quex!0

,entoncesx<0&.xC1/!1>0.
Comox
3
<0&.xC1/ > 0,entonces
xC1
x
3
<0,porloque
xC1
x
3
!1.
Por lo tanto
lím
x!0

f.x/D1:
Por otro lado,
lím
x!0
C
f.x/Dlím
x!0
C
xC1
x
3
D
“

1
0
C

”
:
Puesto quex!0
C
,entoncesx>0&.xC1/!1>0.
Comox
3
>0&.xC1/ > 0,entonces
xC1
x
3
>0,porloque
xC1
x
3
!C1.
Por lo tanto:
lím
x!0
C
f.x/DC1:
De lo anterior se desprende que la rectaxD0es una asíntota vertical y que además es la única.
Ahora bien,
lím
x!C1
f.x/Dlím
x!C1

1
x
2
C
1
x
3

D0&lím
x!1
f.x/D0:
Luego, la rectayD0es una asíntota horizontal y además es la única.
f.Vem o s que:
f
0
.x/D0,
2xC3
x
4
D0,2xC3D0,xD
3
2
;
lo cual implica queftiene un único punto crítico enxD
3
2
.
Por el inciso (b) se sabe quefes creciente parax<
3
2
y decreciente parax>
3
2
.
Entonces, por el criterio de la primera derivada,ftiene enxD
3
2
un punto máximo local
estricto.
La funciónfno tiene máximo ni mínimo absoluto, ya que
lím
x!0

f.x/D1&lím
x!0
C
f.x/DC1:

400 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
g.Precisamos las coordenadas del punto de inﬂexión y del máximo local estricto.
Punto de inﬂexiónDIŒ2;f.2/DI

2;
1
8

.
Máximo localDM

3
2
;f

3
2

DM

3
2
;
4
27

.
La gráﬁca defes:
x
y
1

3
2
21
yDf.x/
El rango def.x/es todoR.

11.Para la funciónf.x/D
2x
2
x
2
4
, determine:
a.El dominio y las raíces de la función.
b.Losintervalosenloscualesfes creciente o bien decreciente.
c.Los valores máximos y mínimos locales def.
d.Los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo.
e.Las asíntotas verticales y horizontales.
f.La gráﬁca de esa función.
H
a.Vem o s que
D
fD

x2R

x
2
46 D0

D

x2R

.xC2/.x2/6 D0

D
DRf2;C2g:
Raíz:
f.x/D0,
2x
2
x
2
4
D0,2x
2
D0,xD0:
b.Calculemos la derivada de la función
f
0
.x/D
4x.x
2
4/2x
2
2x
.x
2
4/
2
D
4x
3
16x4x
3
.x
2
4/
2
D
16x
.x
2
4/
2
:
Observamos quef
0
.x/ > 0six<0)f.x/es creciente en.1;2/yen.2;0/;
yquef
0
.x/ < 0six>0)f.x/es decreciente en.0; 2/yen.2;C1/.
c.f
0
.x/D0,xD0. Entonces la funciónftiene enxD0un máximo local, pues esta función
ahí pasa de ser creciente a ser decreciente.
El máximo local esf.0/D0.

9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función 401
d.Calculamos la segunda derivada
f
00
.x/D
16.x
2
4/
2
C16x2.x
2
4/2x
.x
2
4/
4
D
16.x
2
4/C64x
2
.x
2
4/
3
D
D
16x
2
C64C64x
2
.x
2
4/
3
D
48x
2
C64
.x
2
4/
3
D
16.3x
2
C4/
.x
2
4/
3
:
El signo de la segunda derivada nos lo dax
2
4D.xC2/.x2/.Luego:Signo de
IntervaloxC2x2x
2
4f
00
.x/fes cóncava hacia
x<2.<2/ C C arriba
2<x<2 C abajo
.2</2<x C C C C arriba
e.Las asíntotas verticales sonxD2&xD2pues
lím
x!2

f.x/Dlím
x!2

2x
2
.xC2/.x2/
DC1I
lím
x!2
C
f.x/Dlím
x!2
C
2x
2
.xC2/.x2/
D1I
lím
x!2

f.x/Dlím
x!2

2x
2
.xC2/.x2/
D1I
lím
x!2
C
f.x/Dlím
x!2
C
2x
2
.xC2/.x2/
DC1:
Para los cálculos anteriores se usa:
lím
x!2
.x2/D4I
lím
x!2

.xC2/D0

I
lím
x!2
C
.xC2/D0
C
I
lím
x!2
.xC2/D4I
lím
x!2

.x2/D0

I
lím
x!2
C
.x2/D0
C
:
Por lo que la función no tiene valores extremos absolutos.
lím
x!˙1
2x
2
x
2
4
Dlím x!˙1
2x
2
x
2

1
4
x
2
Dlím
x!˙1
2
1
4
x
2
D
2
10
D
2
1
D2:
Luego,yD2es asíntota vertical.
f.La gráﬁca defes:

402 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
22
2

yDf.x/
Todo concuerda con que la función es par.

12.Considere la funciónf.x/D
2x
.2x4/
2
y determine:
a.El dominio, raíces e intervalos de continuidad.
b.Asíntotas verticales y horizontales.
c.Los intervalos de monotonía, los puntos máximos y mínimos (absolutos y relativos).
d.Los intervalos de concavidad y puntos de inﬂexión.
e.Bosquejo gráﬁco y rango.
H
a.Su dominio:D
fD

x2R

2x4¤0

D

x2R

x¤2

DRf2g;
Su raíz esxD0.
La funciónfes continua en su dominio.
b.Si escribimos:
f.x/D
2x
4.x2/
2
D
x
2.x
2
4xC4/
D
1
2.x4
4
x
/
;parax¤0
vemos que:
lím
x!1
f.x/D0

I
lím
x!C1
f.x/D0
C
:
por lo tanto,yD0es una asíntota horizontal.
Vem o s t a m bién quexD2es una asíntota vertical.
Encontramos:
lím
x!2

f.x/DC1:
c.Partiendo de
f.x/D
1
2

x
.x2/
2
;
calculamos la derivada
f
0
.x/D
1
2

.x2/
2
x2.x2/
.x2/
4
D
1
2

.x2/2x
.x2/
3
D
D
1
2

2x
.x2/
3
D
1
2

xC2
.x2/
3
:

9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función 403
El signo de esta derivada viene dado por.x2/ypor.xC2/.
Construimos la tabla:
Signo de
IntervaloxC2.x2/f
0
.x/
x<2.<2/ C
2<x<2 C C C
x>2.>2/C
y concluimos que esta funciónfes creciente paraxen.2;2/y que es decreciente paraxen
.1;2/yen.2;C1/.
Con la información obtenida se ve que la funciónfno tiene máximo relativo ni absoluto y que
en
xD2,f.x/tiene un mínimo local, en el punto
Œ2;f.2/D

2;
4
64

D

2;
1
16

:
d.Partiendo de:
f
0
.x/D
1
2

xC2
.x2/
3
;
calculamos la segunda derivada
f
00
.x/D
1
2

.x2/
3
.xC2/3.x2/
2
.x2/
6
D
1
2

.x2/.3xC6/
.x2/
4
D
D
1
2

x23x6
.x2/
4
D
1
2

2x8
.x2/
4
D
xC4
.x2/
4
:
El signo de la segunda derivada lo producexC4,así:
La funciónfes cóncava hacia abajo en.1;4/puesf
00
.x/ < 0ahí;
La funciónfes cóncava hacia arriba en.4;2/yen.2;C1/ya quef
00
.x/ > 0en tales intervalos;
EnxD4hay un punto de inﬂexión que esŒ4;f.4/D

4;
1
18

.
e.La gráﬁca de la funciónfes:
22
4
yDf.x/
Rango:R fD

1
16
;C1

:

404 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
13.Para la funciónf.x/D
x
3
C2
x
, determine:
a.Dominio, raíces, paridad.
b.Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
c.Intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo; puntos de inﬂexión.
d.Intervalos de continuidad y la clasiﬁcación de discontinuidades.
e.Ecuaciones de las asíntotas verticales y de las asíntotas horizontales.
f.Máximos y mínimos relativos y absolutos.
g.Esbozo gráﬁco y rango.
H
a.Dominio:D
fDRf0g.
Raíces:
f.x/D0,x
3
C2D0,x
3
D2,xD.2/
1
3D.2/
1
3D
3
p
21:26:
Paridad: puesto quef.1/D
1C2
1
D3&f.1/D
1C2
1
D1,entoncesnosecumpleni
f.1/Df.1/nif.1/Df.1/. Con lo cual queda probado que la función no es par ni impar.
b.Podemos escribir
f.x/D
x
3
C2
x
Dx
2
C
2
x
Dx
2
C2x
1
I
derivamos esta última expresión
f
0
.x/D2x
2
x
2
D
2x
3
2
x
2
D2.x1/
x
2
CxC1
x
2
I
el discriminante de la cuadráticax
2
CxC1es:
1
2
411<0)
)la cuadrática no tiene raíces reales y se ve que siempre es positiva. Por ejemplo, enxD0
vale1>0.
Por lo tanto el signo de la derivada viene dado sólo por el factorx1.
Concluimos entonces que:
f
0
.x/ < 0six2.1;1/f0g)fes decreciente six2.1;0/obienx2.0; 1/.
f
0
.x/ > 0six2.1;C1/)fes creciente six2.1;C1/.
c.Calculamos la segunda derivada a partir def
0
.x/D2x
2
x
2
D2x2x
2
:
f
00
.x/D2C4
1
x
3
D
2x
3
C4
x
3
D
2
x
2
x
3
C2
x
D
2
x
2
.xC2
1
3/.x
2
2
1
3xC2
2
3/
x
:
La cuadráticax
2
2
1
3xC2
2
3tiene discriminante:
2
2
342
2
3<0)no tiene raíces reales y además siempre es positiva.

9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función 405
Por ejemplo, enxD0vale2
2
3>0.
Así, el signo de la segunda derivada viene dado porxC2
1
3&x.
Usamos la tabla siguiente para ver el signo de la segunda derivada:
Signo de
IntervaloxC
3
p
2xf
00
.x/
x<
3
p
2.<0/ C

3
p
2<x<0/ C
x>0.>
3
p
2/ C C C
Hallamos:
f
00
.x/ > 0six2

1;
3
p
2

[.0;C1/)fes cócava hacia arriba ahí;
f
00
.x/ < 0six2

3
p
2; 0

)fes cócava hacia abajo ahí;
EnxD
3
p
2hay un punto de inﬂexión que es

3
p
2; f .
3
p
2/
!
D

3
p
2; 0

.
d.La función es continua en todo su dominio y enxD0tiene una discontinuidad esencial inﬁnita.
e.Vem o s que
lím
x!0

f.x/Dlím
x!0

x
2
C
2
x

D1I
lím
x!0
C
f.x/Dlím
x!0
C

x
2
C
2
x

DC1I
lím
x!˙1
f.x/Dlím
x!˙1

x
2
C
2
x

DC1:
La rectaxD0es una asíntota vertical y no tiene asíntotas horizontales.
f.Analizando el cambio de signo de la primera derivada, vemos que enxD1hay un mínimo local
que tiene por coordenadas.1; 3/. No existen máximos ni mínimos absolutos.
g.La gráﬁca de la funciónfes:
x
y
1
3
p
2
1
3
1

yDf.x/
El rango:R fDR.

14.Para la funciónf.x/D
x
.x1/
2
, determine:
a.Dominio, raíces, paridad.

406 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
b.Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
c.Intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo; puntos de inﬂexión.
d.Intervalos de continuidad y la clasiﬁcación de discontinuidades.
e.Ecuaciones de las asíntotas verticales y de las asíntotas horizontales.
f.Máximos y mínimos relativos y absolutos.
g.Esbozo gráﬁco y rango.
H
a.Dominio:D
fDRf1g.
Raíces:xD0.
Paridad: puesto quef.2/D
2
1
2
D2yquef.2/D
2
.3/
2
D
2
9
,entoncesnosecumpleque
f.2/Df.2/ni quef.2/Df.2/. Es decir, la función no es par ni es impar. Es claro que no
puede ser par ni impar pues el dominio no es simétrico con respecto al origen.
b.Derivamos
f
0
.x/D
.x1/
2
.1/xŒ2.x1/
.x1/
4
D
D
.x1/ Œ.x1/2x
.x1/
4
D
x1
.x1/
3
D
xC1
.x1/
3
D
D
xC1
x1
1
.x1/
2
I
vemos que el signo de la derivada lo proporcionaxC1,x1y el signo exterior. Usamos la tabla
siguiente:
Signo de
IntervaloxC1x11f
0
.x/
x<1.<1/
1<x<1 C C
x>1.>1/C C
Concluimos entonces que:
La función es decreciente parax2.1;1/yparax2.1;C1/.
La función es creciente parax2.1; 1/.
c.Calculamos la segunda derivada
f
00
.x/D
.x1/
3
.1/.xC1/
˙
3.x1/
2

.x1/
6
D
D
.x1/
2
Œ.x1/3.xC1/
.x1/
6
D
2x4
.x1/
4
D
D2
xC2
.x1/
4
D.xC2/
2
.x1/
4
I
vemos que el signo de la segunda derivada lo proporciona el factorxC2:
xC2<0,x<2,x2.1;2/I
xC2>0,x>2,x2.2;C1/:

9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función 407
Por lo tanto:
La función es cóncava hacia abajo parax2.1;2/.
La función es cóncava hacia arriba parax2.2;1/[.1;C1/.
EnxD2hay un punto de inﬂexiónŒ2;f.2/D

2;
2
9

.
d.La función es continua en su dominioRf1g.
EnxD1encontramos una discontinuidad esencial inﬁnita, pues lím
x!1
f.x/DC1.
e.Si escribimos
f.x/D
x
x
2
2xC1
D
1
x2C
1
x
parax¤0, vemos que:
lím
x!1
f.x/D0

I
lím
x!C1
f.x/D0
C
:
Por lo tanto, la rectayD0es asíntota horizontal def.x/.
También se comprueba que la rectaxD1es asíntota vertical def.x/,pues lím
x!1
˙
f.x/DC1.
f.Punto crítico:xD1, ya que es el único para el quef
0
.x/D0.
De la tabla anterior [inciso (b)] se desprende que la primera derivada cambia de signo en este
punto de negativo a positivo. Con esto podemos decir que enxD1hay un mínimo local. De
hecho, conjuntando información que obtendremos inmediatamente, es un mínimo absoluto.
La función no tiene máximo absoluto.
g.Evaluamos la funciónfenxD1yseobtienef.1/D
1
4
.
La gráﬁca defes:
x
y
1
21

yDf.x/
Rango:R fD

1
4
;C1

.

Ejercicios 9.1.3Gráﬁca de una función con radicales.
1.Seaf.x/Dx
1
3.xC3/
2
3, determinarD f; intervalos de monotonía y de concavidad; máximos y mí-
nimos locales, y puntos de inﬂexión. Usando esta información, dibujar un esbozo de la gráﬁca de la
funciónf.
HEscribamos
f.x/D
3
ˆ
x.xC3/
2
DŒx.xC3/
2

1
3:

408 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Vem o s queD fDRy calculamos la primera derivada:
f
0
.x/D
.xC3/
2
C2x.xC3/
3
3
ˆ
x
2
.xC3/
4
D
.xC3/Œ.xC3/C2x
3x
2
3.xC3/
4
3
D
D
3.xC3/.xC1/
3x
2
3.xC3/
4
3
D
xC1
x
2
3.xC3/
1
3
D
xC1
Œx
2
.xC3/
1
3
six¤0&x?3:
Six2Rf0;3g,elsignodef
0
.x/nos lo da
xC1
.xC3/
1
3
puesx
2
3D.x
1
3/
2
es positivo parax¤0.
Averigüemos pues el signo de.xC1/.xC3/

1
3que es el def
0
.x/, teniendo en cuenta quex2
Rf0;3gyquef
0
.x/D0sixD1:
Signo de
Intervalo .xC3/

1
3xC1f
0
.x/ fes
x<3.<1<0/ C creciente
3<x<1.< 0/ C decreciente
.3</1<x<0 C C C creciente
.3<1</0<x C C C creciente
Para hablar de concavidad, tenemos que calcular
f
00
.x/D
x
2
3.xC3/
1
3
1
3
.xC1/x

4
3.xC3/

2
3Œ2x.xC3/Cx
2

3
ˆ
x
4
.xC3/
2
D
D
3x
2
.xC3/.xC1/.3x
2
C6x/
x
4
3.xC3/
2
33x
4
3.xC3/
2
3
D
3x
3
C9x
2
3x
3
6x
2
3x
2
6x
3x
8
3.xC3/
4
3
D
D
6x
3x
8
3.xC3/
4
3
D
2
x
5
3.xC3/
4
3
D
2
3
ˆ
x
5
.xC3/
4
:
Determinamos su signo
f
00
.x/ > 0six<0&x?3)f
00
.x/ > 0six2.1;3/[.3; 0/I
f
00
.x/ < 0six>0:
Six2.1;3/[.3; 0/,fes cóncava hacia arriba y six>0,fes cóncava hacia abajo.
Lospuntoscríticosdefson0,1y3,yaquef
0
.x/D0sixD1, y ademásf
0
.x/no existe en
xD0&xD3donde la función es continua.
Máximos y mínimos:
Tanto a la izquierda como a la derecha de0,fes creciente; luego, en0no hay valor extremo.
Comof
00
.1/ > 0en1hay un mínimo local que vale
f.1/DŒ1.1C3/
2

1
3D
3
p
41:587401I

9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función 409
La gráﬁca defcontiene al punto.1;
3
p
4/.
En3hay máximo local, pues esta función pasa de ser creciente a decreciente y valef.3/D0.Por
serf
0
.3/DC1,en3se tiene un pico.
Puntos de inﬂexión:
Dado que en0la segunda derivada cambia de signo y la función es continua, ahí tenemos un punto
de inﬂexión el cual, comof.0/D0,eselorigen.
La gráﬁca de la funciónf:

31

3
p
4
yDf.x/
x
y

2.Seaf.x/D
5
p
x
2

3
p
x
5
, determinar los intervalos de monotonía y de concavidad def;máximosy
mínimos locales, y puntos de inﬂexión.
Usando esta información, esbozar la gráﬁca def.
HCalculemos la derivada def.x/Dx
2
5x
5
3:
f
0
.x/D
2
5
x

3
5
5
3
x
2
3D
625x
3
5
C
2
3
15x
3
5
D
625x
19
15
15x
3
5
six6 D0:
Parax>0,f.x/es creciente si625x
19
15>0,x
19
15<
6
25
,x<

6
25

15
19
0:324.
La funciónfes creciente en
⎛
⎝0;

6
25

15
19
⎞
⎠.
Y decreciente en
⎛
⎝

6
25

15
19
;C1
⎞
⎠.
Análogamente parax<0:
fes decreciente si625x
19
15<0,x
19
15>
6
25
,x>

6
25

15
19
:
Pero como

6
25

15
19
>0,fnunca es creciente parax<0, y sí es decreciente en.1;0/.

410 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Calculemos ahora la segunda derivada def.x/:
f
00
.x/D
25
19
15
x
4
1515x
3
515
3
5
x

2
5

625x
19
15

225x
6
5
D
475x
13
1554x

2
5C225x
13
15
225x
6
5
D
D
475x
19
1554C225x
19
15
225x
8
5
D
250x
19
1554
225x
8
5
:
Comox
8
5>0,siemprequex6 D0,elnumerador250 x
19
1554no da el signo de la segunda derivada.
La funciónfes cóncava hacia arriba si
250 x
19
1554 > 0,250 x
19
15<54,x
19
15<
54
250
,x<

54
250

15
19
D

27
125

15
19
:
Es decir, six2
⎛
⎝1;

27
125

15
19
⎞
⎠.
Yesconvexasix2
⎛
⎝

27
125

15
19
;0
⎞
⎠obienx2.0;C1/.
Calculemos los puntos críticos, además dexD0, donde la funciónftiene un mínimo relativo, el
origen.0; 0/, pues ahí pasa de ser decreciente a ser creciente:
f
0
.x/D0,625x
19
15D0,6D25x
19
15,x
19
15D
6
25
,xD

6
25

15
19
:
donde la funciónftiene un máximo relativo, pues ahí la función pasa de ser creciente a ser decre-
ciente en el punto
⎛
⎝

6
25

15
19
;

6
25

6
19

6
25

25
19
⎞
⎠.0:324; 0:484/:
Lospuntosdeinﬂexión se obtienen donde la segunda derivada cambia de signo; es decir, calculemos
cuandof
00
.x/D0:
250x
19
1554D0,250x
19
15D54,x
19
15D
54
250
,xD

54
250

15
19
D

27
125

15
19
:
y donde la funciónftiene un punto de inﬂexión, pues en el punto
⎛
⎝

27
125

15
19
;

27
125

6
19
C

27
125

25
19
⎞
⎠
.0:298; 0:749/la curva gráﬁca def.x/pasa de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo o
convexa.
Encontramos que:
La funciónfes creciente en.0; 0:32411/.
Esta funciónfes decreciente en.1;0/yen.0:32411;C1/.
Es cóncava hacia arriba en.1;0:298242/.
Es cóncava hacia abajo en.0:298242; 0/[.0;C1/.
.0; 0/es un mínimo local; enxD0la tangente es vertical.

9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función 411
La gráﬁca tiene un pico, ya quef
0
.0
˙
/D˙1 .
.0:324; 0:484/es un máximo local;
.0:298242; 0:7494817/es punto de inﬂexión;
f.x/D0,x
2
5Dx
5
3,x
6
Dx
25
,x
6
.x
19
1/D0,xD0&x
19
D1,xD0&xD1son
lasraícesdef.
Dibujamos ahora la gráﬁca de la funciónf:

0:29
1
0:32
0:749
yDf.x/
x
y

3.Considere la funciónf.x/D4x
p
2x1. Determinar:
a.Dominio, raíces, intervalos de continuidad.
b.Intervalos de monotonía y puntos extremos.
c.Intervalos de concavidad.
d.Bosquejo gráﬁco. Proporcione el rango.
H
a.Dominio:
D
fD

x2R

2x10

,x
1
2
,D
fD

1
2
;C1

:
Raíces:
4x
p
2x1D0,4xD
p
2x1,16x
2
D2x1,
,16x
2
2xC1D0,xD
2˙
p
464
32
:
Que no son reales, pues464 < 0: la función no tiene raíces reales. De hechof.x/>0siempre.
Continuidad:
La función es continua en todo su dominio.
b.Primera derivada:
f
0
.x/D4
1
p
2x1
>0,
1
p
2x1
<4,
p
2x1>
1
4
,
,2x1>
1
16
,2x >
17
16
,x>
17
32
)f.x/es creciente en

17
32
;C1

412 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
así como
f
0
.x/D4
1
p
2x1
<0,
1
2
<x<
17
32
)f.x/es decreciente en

1
2
;
17
32

:
Luego,
f
0
.x/D4
1
p
2x1
D0,4D
1
p
2x1
,4
p
2x1D1,32x16D1,xD
17
32
así como
f
00
.x/DŒ4.2x1/
1=2

0
D
2
2.2x1/
3=2
D
1
.2x1/
3
2
)
)f
00

17
32

D
1
˛

17
16
1

3
>0:
Existe un único punto crítico y sus coordenadas son:
xD
17
32
,yD
17
8

17
16
1D
17
8

1
4
D
15
8
; se trata de un mínimo local absoluto:
c.Segunda derivada:
f
00
.x/D
1
.2x1/
3
2
>0parax2

1
2
;C1

:
Luego, la función es cóncava hacia arriba.
d.La gráﬁca de la funciónf:
x
y
1
2
2

yDf.x/
Rango:R fD

15
8
;C1

.

4.Para la funciónf.x/Dx
1
5.xC3/determine:
a.Dominio y raíces.
b.Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c.Máximos y mínimos relativos.
d.Intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo.

9.1 Bosquejo de la gráﬁca de una función 413
e.Puntos de inﬂexión.
f.Máximos y mínimos absolutos (si los hubiese).
g.Gráﬁca de la función.
H
a.Dominio:D
fDR.
Raíces:xD0&xD3.
b.Derivamos para conocer los intervalos de monotonía:
f
0
.x/D
1
5
x

4
5.xC3/Cx
1
5D
xC3C5x
5x
4
5
D
D
6xC3
5x
4
5
D
3
5

2xC1
x
4
5
:
El signo de la primera derivada lo da2xC1.VemosquexD
1
2
ytambiénxD0son puntos
críticos;
La funciónfes decreciente six2

1;
1
2

.
la funciónfes creciente six2

1
2
;C1

.
c.Por lo anteriorxD
1
2
es un mínimo local, basándonos en el criterio de la primera derivada. En
xD0no hay valor extremo, ya que en

1
2
;0

yen.0;C1/la función es creciente.
d.Calculamos la segunda derivada:
f
00
.x/D
3
5
⎡
⎢
⎣
x
4
52.2xC1/
4
5
x

1
5
x
8
5
⎤
⎥
⎦D
6
5

x
4
5
4xC2
5x
1
5
x
8
5
D
D
6
5

5x4x2
5x
1
5
x
8
5
D
6
25

x2
x
9
5
D
D
6
25

1
x
4
5

x2
x
I
vemos entonces quex&x2son los que dan el signo de la segunda derivada. Puesto que se
anulan enxD0yenxD2, nos ayudamos de la tabla siguiente para conocer los intervalos de
concavidad de la funciónf.x/:
Signo de
Intervaloxx2f
00
.x/
x<0.<2/ C
0<x<2 C
x>2.>0/ C C C
La funciónfes cóncava hacia arriba en.1;0/[.2;C1/.
La funciónfes cóncava hacia abajo en.0; 2/.

414 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
e.Por lo anterior, enxD0yenxD2cambia la concavidad, y por lo tanto.0; 0/y.2; 5
5
p
2/
.2; 5:74/son puntos de inﬂexión.
f.EnxD
1
2
tiene un mínimo absoluto.
Esta funciónfno tiene máximo absoluto pues lím
x!C1
f.x/DC1.
g.La gráﬁca de la funciónfes:
x
y

3

1
2
2
5
5
p
2
yDf.x/

9.2 Interpretación de gráﬁcas y símbolos
Ejercicios 9.2.1Gráﬁca de una función sujeta a ciertas condiciones.
1.Bosquejar la gráﬁca de una función continuafque satisfaga todas las condiciones siguientes:
a.f.4/D0;
b.f
0
.4/D1I
c.f.1/D3;
d.f
0
.1/D0;
e.f.2/D5;
f.f
0
.2/D1;
g.f.0/D0I
h.f
0
.0/no existe;
i.lím
x!0
f
0
.x/DC1;
j.f
0
.x/ < 0six2.1;1/I
k.f
0
.x/ > 0six2Œ1;C1/f0g;
l.f
00
.x/ > 0six2.1;0/;
m.f
00
.x/ < 0six2.0;C1/.
HUn gráﬁca posible de la funciónfes:
x
y

4
1
3
5
2
yDf.x/

9.2 Interpretación de gráﬁcas y símbolos 415
2.Dar un bosquejo de la gráﬁca de una funciónfque cumple los requisitos siguientes:
a.lím
x!1
f.x/D3;
b.lím
x!4
f.x/D0;
c.lím
x!2

f.x/DC1;
d.f
0
.x/ > 0parax<2;
e.f
00
.x/ > 0parax<2;
f.lím
x!2
C
f.x/D0;
g.f.0/D3;
h.lím
x!1

f.x/D1;
i.f
0
.x/ < 0para2<x<1;
j.f
00
.x/ < 0para2<x<1;
k.lím
x!1
C
f.x/D2;
l.f.3/D1;
m.f
0
.3/D0;
n.f
0
.x/ < 0para1<x<3;
o.f
0
.x/ > 0parax>3;
p.f
00
.x/ > 0para1<x<5;
q.f.5/D0;
r.f
00
.x/ < 0parax>5;
s.lím
x!C1
f.x/D2.
HUn bosquejo posible de la gráﬁca defes el siguiente:
x
y
4
2
1
3
5
2
1
3

yDf.x/

3.Dibuje una gráﬁca de una funciónfque satisfaga las condiciones siguientes:
a.lím
x!0
C
f.x/D2;
b.lím
x!0

f.x/D1;
c.f.0/D1;
d.lím
x!2

f.x/DC1;
e.lím
x!2
C
f.x/D1;
f.lím
x!C1
f.x/D3;
g.lím
x!1
f.x/D4;
h.f.1/D2;
i.f
0
.1/no existe;
j.f
00
.1/D0;
k.f
00
.x/ < 0para0<x<1;
l.f
0

1
2

>0.
HPor las condiciones dadas: la rectaxD2es una asíntota vertical, las rectasyD3así comoyD4
son asíntotas horizontales, la gráﬁca tiene un pico enxD1yﬁnalmente podemos considerar que
existe un punto de inﬂexión enxD1.
Una posible gráﬁca defes:

416 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
112
4
3
1
2
1
yD4
yD3
xD2

yDf.x/

4.Trace una posible gráﬁca para una funciónfcontinua en su dominio:.1;5f2;3g
y que satisfaga:
f.5/D3;
f.1/D
1
2
;
lím
x!2
f.x/DC1;
lím
x!3
f.x/D4;
lím
x!1
f.x/D2;
f
0
.1/D0;
f
0
.2/D0;
f
0
.4/D0;
f
0
.x/ > 0six2.1;2/;
f
0
.x/ > 0six2.1; 4/f3g;
f
0
.x/ < 0six2.2;1/;
f
0
.x/ < 0six2.4; 5/.
Especiﬁque los intervalos de concavidad de su gráﬁca, los máximos y mínimos locales, y absolutos.
HUna gráﬁcaposibledelafunciónfes:
x
y
2 12345
1
2
2
3
4

yDf.x/
La función es cóncava hacia arriba enx2.1;2/[

2;
3
2

[.2; 3/.
La función es cóncava hacia abajo enx2

3
2
;2

[.3; 5/.
EnxD1hay un mínimo local. Es también un mínimo absoluto.
EnxD4hay un máximo local.
La función no tiene máximos absolutos.

9.2 Interpretación de gráﬁcas y símbolos 417
5.Trace una posible gráﬁca para una funciónfcontinua en su dominio:Œ4;C1/f3; 2g
y que satisfaga:
f.4/D2;
f.1/D1;
lím
x!3
f.x/D3;
lím
x!2
f.x/DC1;
lím
x!1
f.x/D1;
f
0
.2/D0;
f
0
.1/D0;
f
0
.1/D0;
f
0
.x/ > 0six2.4;2/f3g;
f
0
.x/ < 0six2.2;1/f1g;
f
0
.x/ > 0six2.1; 2/;
f
0
.x/ < 0six2.2;1/.
Especiﬁque los intervalos de concavidad de su gráﬁca, los máximos y mínimos locales, y absolutos.
HUna gráﬁcaposibledelafunciónfes:x
y
4321
1
2
1
1
2
3

yDf.x/
La funciónfes cóncava hacia arriba en

3
2
;1

,.0; 2/y.2;C1/.
Es cóncava hacia abajo en

4;
3
2

yen.1; 0/.
Hay un máximo local enxD2yunmínimolocalenxD1que además es mínimo absoluto.
6.Dar un bosquejo de la gráﬁca de una funciónfque cumpla las siguientes condiciones:
f
0
.x/ > 0parax2.1;2/[.2;4/;
f
0
.x/ < 0parax2.4;C1/;
tiene asíntota vertical enxD2;
yD1es asíntota horizontal def.
HBosquejo la gráﬁca de la funciónf.x/, con las condiciones dadas:

418 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
x
y
42
1
yDf.x/

Ejercicios 9.2.2Interpretar la gráﬁca de una función.
1.Considere la siguiente gráﬁca de la funciónf
x
y
yDf.x/

6
3
2
9
8
5
2
4
23 6
y determine:
a.Los puntos donde la derivada no existe.
b.Los puntos dondef
0
.x/D0.
c.Losintervalosdondef
0
.x/ > 0.
d.Losintervalosdondef
0
.x/ < 0.
e.Losintervalosdondef
00
.x/ > 0.
f.Losintervalosdondef
00
.x/ < 0.
H
a.f
0
no existe enxD3&xD2.
b.f
0
.x/D0enxD0&xD3.
c.f
0
>0en.0; 2/&.2; 3/.
d.f
0
<0en.1;3/,.3; 0/y.3;C1/.
e.f
00
>0en.3; 2/.
f.f
00
<0en.1;3/y.2;C1/.

9.2 Interpretación de gráﬁcas y símbolos 419
2.Si la gráﬁca defes
yDf.x/
7
32
2
7
2 5
3
2
1
3
x
y
halle:
a.Dominio, raíces, paridad y rango.
b.Monotonía, máximos y mínimos locales y absolutos.
c.Concavidad y puntos de inﬂexión.
d.Intervalos dondef
0
.x/ > 0,dondef
0
.x/ < 0,dondef
00
.x/ > 0ydondef
00
.x/ < 0.
e.Puntos dondef
0
.x/D0eintervalosdondef.x/>0ydondef.x/<0.
H
a.Dominio:D
fD.1;5.
Raíces:xD7,xD0&xD5.
No es par ni impar.
Rango:R
fD.1;3.
b.Es creciente en.1;3/yen

7
2
;5

.
Y decreciente en

3;
7
2

.
Tiene un máximo local en.3; 3/yunmínimolocalen

7
2
;3

;.3; 3/es máximo absoluto y
no tiene mínimo absoluto.
c.Es cóncava hacia arriba en.2;0/yen.2; 5/
y cóncava hacia abajo en.1;2/yen.0; 2/; los puntos de inﬂexión son.2;2/,.0; 0/y.2;1/.
d.f
0
.x/ > 0en.1;3/yen

7
2
;5

;
f
0
.x/ < 0en.3; 0/yen

0;
7
2

;
f
00
.x/ > 0en.2;0/yen.2; 5/;
f
00
.x/ < 0en.1;2/yen.0; 2/.
e.f
0
.x/D0en.3; 3/,en.0; 0/yen

7
2
;3

;
f.x/>0en.7; 0/;
f.x/<0en.1;7/yen.0; 5/.

420 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
3.Apartirdelagráﬁca dada def, cuyo dominio esŒ0:5;1/
x
y
1 123456
1
2
3
4

yDf.x/
determine:
a.Los intervalos de crecimiento y los de decrecimiento.
b.Los intervalos de concavidad hacia arriba y los de concavidad hacia abajo.
c.Los máximos y mínimos relativos, los máximos y mínimos absolutos, y los puntos de inﬂexión.
H
a.La funciónfes creciente enŒ0:5; 0 ; Œ1; 3 ; Œ4; 5yenŒ6;C1/;
la funciónfes decreciente en?0;1;?3;4yen?5; 6.
b.La funciónfes cóncava hacia arriba en?0:5; 2yen?3:5; 4:5;
la funciónfes cóncava hacia abajo enŒ0:5; 0:5 ; ?2; 3:5yŒ4:5;C1
c.Los máximos relativos son.0;2/;.3;4/y.5; 3/.
Los mínimos relativos son.1; 0/,.4; 2/y.6; 1/.
No tiene máximo absoluto y el mínimo absoluto es.1; 0/.
Los puntos de inﬂexión son.0:5; 1/ ; .2; 2/ ; .3:5; 3/y.4:5; 2:5/.

4.Apartirdelagráﬁca def
x
y
yDf.x/
1
2
3
4
5
543216 54321

determine el conjunto de puntos del dominio defque satisfacen:

9.2 Interpretación de gráﬁcas y símbolos 421
a.f
0
.x/ > 0,f
0
.x/ < 0,f
0
.x/D0.
b.f
00
>0,f
00
.x/ < 0,f
00
.x/D0.
c.f
0
.x/no existe.
H
a.f
0
.x/ > 0parax2.2;1/[.1; 2/I
f
0
.x/D0sixD3;1&1;
f
0
.x/ < 0six2.1;4/[.4;2/[.1; 1/[.2;C1/:
b.f
00
>0six2.1;4/[.4;3/[.0; 2/[.2;C1/I
f
00
D0sixD3&xD0;
f
00
<0six2.3;2/[.2;0/:
c.EnxD4;xD2&xD2no existe la derivada.

5.Laﬁgura siguiente muestra la gráﬁca de la derivada de una funciónfla cual es continua en todos los
reales.
x
y
yDf
0
.x/
1
.3; 5/
.3;5/
13510
10

A partir de ella, determine:
a.Intervalos dondefes creciente o decreciente.
b.Puntos críticos def.
c.Extremos relativos def.
d.Concavidad def.
e.Abscisas de los puntos de inﬂexión def.
H
a.La funciónfes creciente dondef
0
>0, lo cual sucede en los intervalos.1;1/,.0; 1/y.1:2; 3/.
La funciónfes decreciente dondef
0
<0, lo cual sucede en los intervalos.1; 0/,.1; 1:2/y
.3;C1/.
b.La funciónftiene puntos críticos dondef
0
D0,loquesucedeenxD0yenxD1:2,oen
puntos del dominio defdondef
0
no existe, lo cual sucede enxD1.

422 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
c.Debido a quef
0
.x/ < 0,fes decreciente en el intervalo.1; 0/If
0
.0/D0;fes creciente en
el intervalo.0; 1/,yaquef
0
.x/ > 0;entoncessepuedeaﬁrmar (por el criterio de la primera
derivada) que la funciónftiene enxD0un mínimo local estricto.
Análogamente por serfdecreciente en el intervalo.1; 1:2/;f
0
.1:2/D0y, pue s t o quefes
creciente en el intervalo.1:2; 3/,sepuedeaﬁrmar (por el criterio de la primera derivada) que
la funciónftiene también enxD1:2un mínimo local estricto. EnxD1podría haber un
máximo local estricto en el caso en quexD1estuviese en el dominio def.
d.La funciónfes cóncava hacia arriba dondef
00
>0,esdecir,dondef
0
es creciente.
En este caso,f
0
es creciente en todo su dominio, por lo cualfes cóncava hacia arriba en los
intervalos.1;1/,.1; 1/,.1; 3/y.3;C1/.
e.Por no existir cambios de concavidad,fno tiene puntos de inﬂexión.

6.Seafla función que tiene la siguiente gráﬁca
x
y
yDf.x/
2112 45
2
3
4
5

determine:
a.Los intervalos de continuidad y los siguientes valores
lím
x!a

f.x/,lím
x!a
C
f.x/,lím
x!a
f.x/&f.a/
paraaD2,aD2,aD5.
b.La clasiﬁcación de discontinuidades. ¿En cuáles puntos y con qué valores se puede redeﬁnirf
para convertirla en una función continua en esos puntos?
c.Los intervalos dondef
0
.x/ > 0,f
0
.x/ < 0y los puntos dondef
0
.x/D0,odondenoexistela
derivada.
H
a.La función es continua en
.1;2/[Œ2;2/[.2; 5/[.5;C1/:
Tenemos
lím
x!2

f.x/D2;lím
x!2
C
f.x/D3;lím
x!2
f.x/no existe;f.2/D3;

9.2 Interpretación de gráﬁcas y símbolos 423
lím
x!2

f.x/D1;lím
x!2
C
f.x/D5;lím
x!2
f.x/no existe;f.2/no está deﬁnido;
lím
x!5

f.x/D2;lím
x!5
C
f.x/D2;lím
x!5
f.x/D2;f.5/D4.
b.EnxD2se tiene una discontinuidad de salto.
EnxD2se tiene una discontinuidad esencial inﬁnita.
EnxD5se tiene una discontinuidad removible. Si redeﬁnimos la función comof.5/D2,la
funciónsehacecontinuaparaxD5.
c.f
0
.x/ < 0en.1;2/,.1; 2/yen.2; 4/;
f
0
.x/ > 0en.2;1/yen.4;C1/f5g;
f
0
.x/D0enxD1;
f
0
.x/no existe enxD2,xD2,xD4ni enxD5.

7.Seaf:R!Runa función continua enRcuya primera derivadaf
0
tiene la siguiente gráﬁca:
x
y
yDf
0
.x/
21
1
23

Determinar dónde la funciónfes creciente y dónde es decreciente. Explicar además, cómo es la
tangente a la gráﬁca defenxD2,xD1,xD2&xD3.
HLa función es creciente cuando la derivada es positiva, esto es, parax2.1;2/[.2;1/[
.2;C1/.
La función es decreciente cuando la derivada es negativa, es decir, parax2.1; 2/.
EnxD2la tangente es vertical.
EnxD1la tangente es horizontal, paralela al ejex, con pendiente cero.
De hecho tiene aquí un máximo local porque la derivada cambia de signo de positivo a negativo.
EnxD2la tangente es horizontal, paralela al ejex, con pendiente cero.
De hecho tiene aquí un mínimo local porque la derivada cambia de signo de negativo a positivo.

424 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos

CAPÍTULO
10
Optimización
10.1Problemas de optimización
Problemas de optimización
Ejercicios 10.1.1
1.Hallar dos números positivos cuya suma seaSycuyoproductoseamáximo.
HSeanx&ylos números positivos que cumplen la restricción dada
xCyDS,donde
S(la suma) es una constante. Y sea
PDxy
el producto de ambos números. Deseamos encontrar los números que hacen máximo este producto
con la restricción anterior. Despejando de la restricción:
yDSx:
Sustituyendo por lo anterior en el producto obtenemos una función de una sola variable.
PDx.Sx/DSxx
2
:
Derivando se obtiene:
P
0
DS2xI
P
00
D2:
Lasegundaderivadaessiemprenegativaparatoda x.
425

426 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Para encontrar los puntos críticos:
P
0
D0)S2xD0)2xDS)xD
S
2
:
Ya que
P
00

S
2

D2enx
maxD
S
2
tenemos un máximo.
Además
y
maxDS
S
2
D
S
2
:
Observación. Ambos númerosx
max&ymaxson iguales.
2.Hallar dos números positivos cuyo producto seaPy cuya suma sea mínima.
HSeanx&ydichos números positivos que cumplen la restricción dada
xyDP;
dondeP(el producto) es una constante. Y sea
SDxCy
la suma de ambos números. Deseamos encontrar los números que hacen mínima esta suma con la
restricción anterior. Despejando de la restricción:
yD
P x
Sustituyendo por lo anterior en la suma obtenemos una función de una sola variable.
SDxC
P
x
:
Derivando se obtiene:
S
0
D1
P
x
2
I
S
00
D
2P
x
3
:
La segunda derivada siempre es positiva, puesto quexes positivo.
Para encontrar los puntos críticos:.
S
0
D0)1
P
x
2
D0)
x
2
P
x
2
D0)x
2
PD0)x
2
DP)xD
p
P:
Ya que
S
00
.
p
P/D
2P
.
p
P/
3
>0,enx minD
p
Ptenemos un mínimo.
Además,
y
minD
P
p
P
D
p
P:
Observación. Ambos númerosx
min&yminson iguales.

10.1 Problemas de optimización 427
3.Hallar dos números positivos cuyo producto seaPy la suma del primero más tres veces el segundo
sea mínima.
HSeanxel primero &yel segundo de dichos números positivos que cumplen con la restricción
dada
xyDP;
dondeP(el producto) es una constante. Y sea
SDxC3y
la suma del primero mas el triple del segundo. Deseamos encontrar los números que hacen mínima
esta suma con la restricción anterior. Despejando de la restricción:
yD
P
x
:
Sustituyendo esto en la suma obtenemos una función de una sola variable.
SDxC3
P
x
:
Derivando:
S
0
D13
P
x
2
I
S
00
D6
P
x
3
:
La segunda derivada siempre es positiva, puesto quexes positivo.
Para encontrar los puntos críticos:
S
0
D0)13
P
x
2
D0)
x
2
3P
x
2
D0)x
2
3PD0)x
2
D3P)xD
p
3P :
Ya que
S
00
.
p
3P /D
6P
.
p
3P /
3
>0)hay un mínimo enx minD
p
3PI
y
minD
P
p
3P
D
1
3
3P
p
3P
D
1
3
p
3PD
1
3
x
min:

4.Hallar dos números positivos tales que el segundo número sea el inverso multiplicativo del primero
ylasumaseamínima.
HSeanx&ydichos números positivos que cumplen con la restricción dada
yD
1
x
:
La suma de ambos números es
SDxCy:

428 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Deseamos encontrar los números que hacen mínima esta suma con la restricción anterior.
SustituyendoyD
1
x
en la suma obtenemos una función de una sola variable:
SDxC
1
x
:
Derivando se obtiene:
S
0
D1
1
x
2
I
S
00
D
2
x
3
:
La segunda derivada siempre es positiva, puesto quexes positivo.
Para encontrar los puntos críticos:
S
0
D0)1
1
x
2
D0)
x
2
1
x
2
D0)x
2
1D0)xD1:
Ya que
S
00
.1/D
2
.1/
3
D2>0)hay un mínimo enx minD1;
además
y
minD
1
1
D1:
Observación. Ambos númerosx
minyyminson iguales.
5.Hallar dos números positivos tales que el primero másnveces el segundo sumenSyelproductosea
máximo.
HSeanx&ydichos números positivos que cumplen con la restricción dada
xCnyDS;
dondeSes una constante. Sea también
PDxy
el producto de ambos números. Deseamos encontrar los números que hacen máximo este producto
con la restricción anterior.
Despejandoxde la restricción
xDSny:
Sustituyendo en el producto obtenemos una función de una sola variable, en este casoy.
PD.Sny/yDSyny
2
:

10.1 Problemas de optimización 429
Derivando:
P
0
DS2nyI
P
00
D2n:
Lasegundaderivadaessiemprenegativa,puesn>0.
Para encontrar los puntos críticos:
P
0
D0)S2nyD0)2nyDS)yD
S
2n
I
Ya que
P
00

S
2n

D2n < 0)hay un máximo eny
maxD
S
2n
I
x
maxDSn
S
2n
DS
S
2
D
S
2
Dny
max:

6.La suma de tres números positivos es 30. El primero más el doble del segundo, más el triple del
tercero suman 60. Elegir los números de modo que el producto de los tres sea el mayor posible.
HSeanx,y,zlos tres números, entonces claramente lo que tenemos que maximizar es el producto
xyz. Como aparecen tres variables, vamos a tratar de expresarlo en términos de una única variable,x
por ejemplo. Para ello tenemos un par de condiciones adicionales:
xCyCzD30I (E1)
xC2yC3zD60I (E2)
dexCyCzD30)zDxyC30: (*)
Sustituimoszen (E2)
xC2yC3zD60)xC2yC3.xyC30/D60)2xyD6090)
)2xCyD30)yD302x:
Sustituyendo esta expresión en.*/
queda
zDx30C2xC30)zDx:
Por último, la función a maximizar es
xyzDx
2
.302x/D30x
2
2x
3
,estoesf.x/D2x
3
C30x
2
:
Ya expresado en función de una sola variable, se puede buscar un máximo hallando los puntos críticos
de de la funciónf,.f
0
.x/D0/.
f
0
.x/D6x
2
C60xD6x.x10/D0,xD0obienxD10:
Calculando la segunda derivada,
f
00
.x/D12xC60)f
00
.10/ < 0:
Por lo que enxD10se tiene un máximo.
EntonceszD10&yD30.210/D3020D10,esdecir:
xDyDzD10:

430 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
7.Un granjero que tiene24m de cerca desea encerrar un área rectangular y dividirla en tres corrales,
colocando cercas paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Cuál es el área total máxima posible de
los tres corrales?
H
x
y
Eltotaldelacercaquesetiene,segúnlaﬁgura, es:
24D2yC4x:
El área de los3corrales es:
ADxy:
Deseamos encontrar las dimensiones de la cerca que hacen esta área máxima.
Despejamosyde la restricción anterior
yD
244x
2
D122x:
Sustituyendo enAobtenemos una función de una variable.
ADx.122x/D12x2x
2
:
Derivamos:
A
0
D124xI
A
00
D4:
Observación. L segunda derivada siempre es negativa.
Para obtener los puntos críticos:
A
0
D0)124xD0)4xD12)xD3:
Además
A
00
.3/D4<0)enx maxD3hay un máximo;
y
maxD126D6D2x max:
El área total máxima de los tres corrales es:
AD63D18:

10.1 Problemas de optimización 431
8.Un granjero que tieneCm de cerca desea encerrar un área rectangular y dividirla en cuatro corrales,
colocando cercas paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Cuál es el área total máxima posible de
los cuatro corrales?
H
x
y
Eltotaldelacercaquesetiene,segúnlaﬁgura es:
CD2yC5x:
Deseamos encontrar las dimensiones de la cerca que hacen máxima el área.
El área rectangular total es A = xy.
Despejamosyde la restricción anterior:
yD
C5x
2
D
C
2

5
2
x:
Sustituyendo enAobtenemos una función de una variable.
ADx

C
2

5
2
x

D
C
2
x
5
2
x
2
:
Derivamos:
A
0
D
C
2
5xI
A
00
D5:
Observación. La segunda derivada siempre es negativa.
Para obtener los puntos críticos:
A
0
D0)
C
2
5xD0)5xD
C
2
)xD
C
10
:
Además
A
00

C
10

D5<0)enxD
C
10
hay un máximo;
y
maxD
C
2

5
2
C
10
D
C
2

C
4
D
C
4
D
5
2
C
10
D
5
2
x
max:
El área máxima para los cuatro corrales es:
AD
C
10
C
4
D
C
2
40
:

432 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
9.Un granjero que tieneCm de cerca desea encerrar un área rectangular y dividirla enncorrales,
colocando cercas paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Cuál es el área total máxima posible de
losncorrales?
H
x
y
:::
ncorrales
El totalCde la cerca que se tiene, según laﬁgura es:
CD2yC.nC1/x:
Deseamos encontrar las dimensiones de la cerca que hacen máxima el área. El área es:
ADxy:
Despejamosyde la restricción anterior
yD
C.nC1/x
2
D
C
2

nC1
2
x:
Sustituyendo enAobtenemos una función de una variable.
ADx

C
2

nC1
2
x

D
C
2
x
nC1
2
x
2
:
Derivamos:
A
0
D
C
2
.nC1/xI
A
00
D.nC1/:
Observación. La segunda derivada siempre es negativa.
Para obtener los puntos críticos:
A
0
D0)
C
2
.nC1/xD0).nC1/xD
C
2
)xD
C
2.nC1/
:
Además, comoA
00
<0,entoncesen
xD
C
2.nC1/
se tiene un máximo. Y también,
y
maxD
C
2

nC1
2
C
2.nC1/
D
C
2

C
4
D
C
4
D
nC1
2
C
2.nC1/
D
nC1
2
x
max:

10.1 Problemas de optimización 433
El área total máxima de losncorrales es:
AD
C
2.nC1/
C
4
D
C
2
8.nC1/
:

10.Un ranchero quiere bardear dos corrales rectangulares adyacentes idénticos, cada uno de300m
2
de
área como se muestra en laﬁgura.
s
`
¿Cuánto deben medirs&`para que se utilice la mínima cantidad de barda?
HLa barda que se quiere construir tiene una longitud
PD3sC4`
que depende de las variabless&`, las que a su vez están relacionadas por el áreas`D300;de
donde
`D
300
s
:
Al sustituir enPse obtiene
P.s/D3sC4
300
s
D3sC1 200s
1
;
que ahora depende de la única variables.Además
P
0
.s/D31 200s
2
D0,s
2
D
1 200
3
D400,sD20así como`D
300
20
D15:
Observación.P
00
.s/D2 400s
3
>0paras>0,luegoensD20hay un mínimo deP.s/.
11.Un ganadero desea cercar un prado rectangular junto a un río. El prado ha de tener180 000m
2
para
proporcionar suﬁciente pasto. ¿Qué dimensiones debe tener el prado para que requiera la menor
cantidad de cerca posible, teniendo en cuenta que no hay que cercar en el lado que da al río?
HDibujamos el prado:
x
y
Río

434 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
El área del prado es:
ADxyD180 000m
2
:
El perímetro que queremos minimizar es:
PD2xCy:
Despejandoyde la expresión del área:
yD
180 000x
y sustituyendo en la expresión del perímetro, tenemos una función de una sola variable:
P.x/D2xC
180 000
x
:
Sus puntos críticos se hallan cuandoP
0
.x/D0,esdecir,cuando
2
180 000
x
2
D0,x
2
D
180 000
2
D90 000,x˙300m.
DesechamosxD300
Como
P
00
.x/D2
180 000
x
3
D
360 000
x
3
;
vemos que
P
00
.300/ > 0:
Luego, paraxD300m&yD600m tenemos la menor cantidad de cerca posible.

12.Un terreno rectangular está delimitado por un río en un lado y por una cerca eléctrica de un solo cable
en los otros tres lados.
¿Cuáles son las dimensiones del terreno que nos dan el área máxima?
¿Cuál es la mayor área que pueda cercarse con un cable de800m?
HVea m o s laﬁgura siguiente
yy
x
Río
El área del terreno es:
ADxy:
El perímetro del terreno es:
PDxC2yD800m, según los datos proporcionados.

10.1 Problemas de optimización 435
De aquí obtenemos:
xD8002y:
Sustituyendo en la fórmula del área se obtiene una función de una variable
A.y/D.8002y/yD800y2y
2
que es la función cuyo máximo deseamos calcular.
A
0
.y/D8004yI
A
00
.y/D4<0:
La segunda derivada es negativa, por lo que el punto crítico será un máximo
A
0
.y/D0)8004yD0)yD
800
4
D200 :
Para calcular la longitud del otro lado de terreno (lax), sustituimos:
xD8002.200/D400:
Por lo tanto, las dimensiones del terreno que nos dan el área máxima sonxD400&yD200.
La mayor área que se puede cercar con estas condiciones es deAD80 000m
2
:

13.Se desea hacer una caja abierta con una pieza cuadrada de material de12cm de lado, cortando cuadri-
tos iguales de cada esquina. Hallar el máximo volumen que puede lograrse con una caja así.
HUnaﬁgura posible es
x
x
x
x
x
x
x
x
12
122x
El volumen, que nos piden es:
V.x/D.122x/
2
xDx.4x
2
48xC144/D4x
3
48x
2
C144x :
Sus puntos críticos son:
V
0
.x/D12x
2
96xC144D0,12.x
2
8xC12/D0,12.x2/.x6/D0,
,

x2D0
x6D0
,

xD2I
xD6:

436 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Podemos desecharxD6, pues físicamente no tiene sentido. ParaxD2cm el volumen es:
V.2/D4.2/
3
48.2/
2
C144.2/D32192C288D128cm
3
:
Como:
V
00
.x/D24x96yV
00
.2/D4896 < 0 ;
se trata de un máximo.

14.Se va a construir una caja con la parte superior abierta a partir de un trozo cuadrado de cartón que
tieneLmetros de lado, recortando un cuadrado en cada una de las cuatro esquinas y doblando los
lados hacia arriba. Encuentre el volumen más grande que puede tener la caja.
H
x
x
x
x
x
x
x
x
L
L2x
Según laﬁgura,
VD.L2x/
2
x:
El dominio de esta función esD
VD

0;
L
2

.
V
0
D.L2x/
2
C2.L2x/.2/xD.L2x/
2
4x.L2x/D.L2x/.L2x4x/D
D.L2x/.L6x/DL
2
8LxC12x
2
I
V
00
D8LC24x:
Los puntos críticos son los números que satisfacen
V
0
D0).L2x/.L6x/D0:
Es decir,x
1D
L
2
&x
2D
L
6
. Desechamosx
1D
L
2
, pues físicamente no tiene sentido.
Parax
2D
L
6
V
00

L6

D8LC4LD4L < 0:

10.1 Problemas de optimización 437
Lo cual nos dice que en
L
6
existe un máximo relativo del volumen.
Tenemos que evaluar la función volumen en los extremos de su dominio y en el punto crítico anterior.
V.0/D0,V

L
2

D0I
V

L
6

D

L2
L
6

2
L
6
D

L
L
3

2
L
6
D

2
3
L

2
L
6
D
4
9
1
6
L
3
D
2
27
L
3
:
El valor
L
6
es donde el volumen es máximo.
15.Halle las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en un círculo de radior.
H
r
x
yD
p
r
2
x
2
Se trabaja con la cuarta parte del rectángulo.
Según laﬁgura, la función que deseamos optimizar es el área:
ADxyDx
p
r
2
x
2
:
El dominio de esta función esD
AD?0; r.
Para facilitar las operaciones vamos a trabajar con el cuadrado de esta expresión, el cual tiene los
mismos puntos críticos.
Usaremos la notaciónNADA
2
Así hallamos que
NADx
2
.r
2
x
2
/Dr
2
x
2
x
4
I
NA
0
D2r
2
x4x
3
I
NA
00
D2r
2
12x
2
:
Para calcular los puntos críticos:
NA
0
D0)2r
2
x4x
3
D0)2x.r
2
2x
2
/D0:
Esto se cumple sixD0obiensir
2
2x
2
D0,esdecir,sixD
r
p
2
. DesechamosxD0,puesnose
tendría un rectángulo.
Evaluando la segunda derivada en el último punto crítico:
NA
00

r
p
2

D2r
2
12
r
2
2
D2r
2
6r
2
<0)enNxD
r
p
2
encontramos un máximo.

438 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
El valor correspondiente deyes:
NyD
p
r
2
x
2
D
˛
r
2

r
2
2
D
˛
r
2
2
D
r
p
2
DNx:
En los extremos del dominio se ve que la funciónNAse anula.
RegresamosalafunciónA.
A

r
p
2

D
r
p
2
˛
r
2

r
p
2

2
D
r
p
2
r
p
2
D
r
2
2
:
Las dimensiones del rectángulo con área máxima son
x
maxD2NxD
2
p
2
r&y
maxD2NyD
2
p
2
r:
Es decir, es un cuadrado.
16.Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen deVcm
3
. Encuentre las
dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado.
H
x
x
y
y
El volumen de la caja, según laﬁgura es:
VDx
2
y:
El área de la caja sin tapa es:
ADx
2
C4xy:
Despejamosyde la restricción dada, esto es, de la fórmula del volumen y sustituimos enA:
yD
V
x
2
I
ADx
2
C4x

V
x
2

Dx
2
C
4Vx
:

10.1 Problemas de optimización 439
Derivando:
A
0
D2x
4V
x
2
D
2x
3
4V
x
2
I
A
00
D2C
8V
x
3
:
Calculamos puntos críticos:
A
0
D0)2x
3
4VD0)x
3
D2V)x minD
3
p
2V :
Hay un mínimo, ya que
A
00
.
3
p
2V /D2C4D6>0:
Luego:
x
minD
3
p
2VI
y
minD
V .2V /
2
3
D
1
2
2V
.2V /
2
3
D
1
2
.2V /
1
3D
1
2
3
p
2VD
1
2
x
min:

17.Una caja con base y tapa cuadradas debe tener un volumen de50cm
3
. Encuentre las dimensiones de
la caja que minimicen la cantidad de material usado.
H
x
x
y
y
El volumen de la caja, según laﬁgura es:
50Dx
2
y:
El área de la caja con tapa es:
AD2x
2
C4xy:

440 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Despejamosyde la restricción dada, esto es, de la fórmula del volumen y sustituimos enA:
yD
50
x
2
I
AD2x
2
C4x

50
x
2

D2x
2
C
200x
:
Derivando:
A
0
D4x
200
x
2
D
4x
3
200
x
2
I
A
00
D4C
400
x
3
:
Calculamos puntos críticos:
A
0
D0)4x
3
200D0)
)x
3
D50)xD
3
p
50:
Hay un mínimo, ya que
A
00
.
3
p
50/D4C8D12 > 0:
Luego:
x
minD
3
p
50I
y
minD
50
.50/
2
3
D
3
p
50Dx min:

18.Una caja con base y tapa cuadradas debe tener un volumen deVcm
3
. Encuentre las dimensiones de
la caja que minimicen la cantidad de material usado.
H
x
x
y
y

10.1 Problemas de optimización 441
El volumenVde la caja, según laﬁgura es:
VDx
2
y:
El área de la caja con tapa es:
AD2x
2
C4xy:
Despejamosyde la restricción dada, esto es, de la fórmula del volumen y sustituimos enA:
yD
V
x
2
I
AD2x
2
C4x

V
x
2

D2x
2
C
4Vx
:
Derivando:
A
0
D4x
4V
x
2
D
4x
3
4V
x
2
I
A
00
D4C
8V
x
3
:
Calculamos puntos críticos:
A
0
D0)4x
3
4VD0)x
3
DV)xD
3
p
V:
Hay un mínimo, ya que
A
00
.
3
p
V/D4C8D12 > 0:
Luego:
x
minD
3
p
VI
y
minD
V .V /
2
3
D
3
p
VDx min:

19.Se quiere construir una cisterna con base rectangular y sin tapa, de manera tal que el ancho de la base
sea el doble de la altura de la cisterna. Calcular las dimensiones que debe tener la cisterna para que el
volumen sea de20m
3
y se requiera la mínima cantidad de material en su construcción.
H
y
2x
x
Elvolumendelacisternaesáreadelabase(2xy)porlaaltura(x)yesiguala20m
3
(dato que se
proporciona).
VD.2xy/xD2x
2
yD20: (A)

442 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
El área total (cantidad mínima de material deseada):
AD2xyC2.2xx/C2.xy/D2xyC4x
2
C2xy)
)AD4xyC4x
2
: (B)
Despejamosyde.A/
yD
10
x
2
: (C)
Sustituyendo en.B/obtenemos:
AD4x

10
x
2

C4x
2
D
40x
C4x
2
:
Derivando esta útima función:
A
0
D
40
x
2
C8x:
Calculamos la segunda derivada:
A
00
D
80
x
3
C8>0,puesx>0:
Tenemos entonces que la gráﬁca deAes cóncava hacia arriba parax>0, lo cual nos dice que el punto
crítico que calculemos será un mínimo absoluto.
Para calcular los puntos críticos igualamos la primera derivada a cero:
A
0
D0)
40
x
2
C8xD0)
40C8x
3
x
2
D0)
)40C8x
3
D0)x
3
D
40
8
D5)xD
3
p
5D5
1
3:
Sustituimos en.C /para hallar la dimension del otro lado de la base de la caja:
yD
10
.5
1
3/
2
D2
5
5
2
3
D25
1
3D2x:
Concluimos entonces que las dimensiones de la cisterna con la mínima cantidad de material en su
construcción son: base cuadrada de lado25
1
3ydealto5
1
3.

20.Un recipiente rectangular para almacenamiento, con la parte superior abierta, debe tener un volumen
deVm
3
. El largo de su base es el doble del ancho. El material para la base cuestaBpesos el metro
cuadrado. El material para los costados cuestaLpesos el metro cuadrado. Encuentre las dimensiones
para tener el más barato de esos recipientes.
H
2x
y
x
y

10.1 Problemas de optimización 443
El volumen (V) del recipiente, de laﬁgura, es una constante:
VD2x
2
y:
El costo totalCde los materiales es la función que deseamos optimizar:
CD2x
2
BC2xyLC4xyLD2x
2
BC6xyL: (*)
Despejamosyde la restricción dada, esto es, de la fórmula del volumen
yD
V
2x
2
:
Sustituimos en./; en la función costo para obtener una función con una variable:
CD2x
2
BC6x

V
2x
2

LD2x
2
BC3LV
1x
I
C
0
D4xB3LV
1
x
2
D
4Bx
3
3LV
x
2
I
C
00
D4BC6LV
1
x
3
:
La segunda derivada es positiva parax>0:
C
0
D0)4Bx
3
3LVD0)x
3
D
3LV
4B
)xD
3

3LV
4B
:
Hay un mínimo absoluto para
x
minD
3

3LV
4B
I
y
minD
V
2

3LV
4B

2
3
D
1
2
4B
3L
3LV
4B

3LV
4B

2
3
D
2
3
B
L

3LV
4B

1
3
D
2
3
B
L
x
min:

21.Si se cuenta con1 000cm
2
de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte superior
abierta, encuentre el volumen máximo posible de la caja.
H
x
x
y
y

444 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
El total de material usado en la caja sin tapa, según laﬁgura, es:
ADx
2
C4xyD1 000:
Elvolumendelacajaeslafunciónquesedeseaoptimizar:
VDx
2
y:
Despejandoyde la restricción, esto es, de la fórmula del área y sustituyendo enV:
yD
1 000x
2
4x
D
1
4

1 000
x
x

:
Sustituyendo enVse obtiene una función de una sola variable:
VD
1
4
x
2

1 000
x
x

D
1
4
.1 000xx
3
/I
V
0
D
1
4
.1 0003x
2
/I
V
00
D
1
4
.6x/ < 0,parax>0:
Para calcular los puntos críticos, igualamos la primera derivada a cero:
V
0
D0)1 0003x
2
D0)3x
2
D1 000)xD

1 000
3
:
Hay un máximo absoluto para
x
maxD

1 000
3
I
y
maxD
1
4
⎛
⎜
⎜
⎝
1 000

1 000
3

1 000
3
⎞
⎟
⎟
⎠
D
3
4
⎛
⎜
⎜
⎝
1 000
3

1 000
3

1
3

1 000
3
⎞
⎟
⎟
⎠
D
3
4

1 000
3

1
3

1 000
3

D
D
3
4

2
3

1 000
3
D
1
2

1 000
3
D
1
2
x
max:
Luego,
V
maxDx
2
yD
1 000
3
1
2

1 000
3
D
1
2

1 000
3

3
2
:

10.1 Problemas de optimización 445
22.Si se cuenta conMcm
2
de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte superior abierta,
encuentre el volumen máximo posible de la caja.
H
x
x
y
y
El total de material usado en la caja sin tapa, según laﬁgura, es:
ADx
2
C4xyDM:
El volumen de la caja, la función que se desea optimizar, es:
VDx
2
y:
Despejandoyde la restricción, esto es, de la fórmula del área y sustituyendo enV:
yD
Mx
2
4x
D
1
4

M
x
x

I
VD
1
4
x
2

M
x
x

D
1
4

Mxx
3

:
El volumen se encuentra ahora con una sola variable.
V
0
D
1
4
.M3x
2
/I
V
00
D
1
4
.6x/ < 0,parax>0:
Para calcular los puntos críticos, igualamos la primera derivada a cero:
V
0
D0)M3x
2
D0)3x
2
DM)xD

M
3
:

446 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Hay un máximo para
x
maxD

M
3
I
y
maxD
1
4
⎛
⎜
⎜
⎝
M

M
3

M
3
⎞
⎟
⎟
⎠
D
3
4
⎛
⎜
⎜
⎝
M
3

M
3

1
3

M
3
⎞
⎟
⎟
⎠
D
3
4

M
3

1
3

M
3

D
D
3
4

2
3

M
3
D
1
2

M
3
D
1
2
x
max:
Además,
V
maxD
M
3

1
2

M
3
D
1
2

M
3

3
2
:

23.Si se cuenta con1 000cm
2
de material para hacer una caja con base cuadrada, encuentre el volumen
máximo posible de la caja.
H
x
x
y
y
El total de material usado en la caja con tapa, según laﬁgura, es:
AD2x
2
C4xyD1 000:
El volumen de la caja, la función que se desea optimizar, es:
VDx
2
y:
Despejandoyde la restricción, esto es, de la fórmula del área y sustituyendo enV:
yD
1 0002x
2
4x
D
1
4

1 000
x
2x

I
VD
1
4
x
2

1 000
x
2x

D
1
4

1 000x2x
3

:

10.1 Problemas de optimización 447
El volumen se encuentra ahora con una sola variable:
V
0
D
1
4
.1 0006x
2
/I
V
00
D
1
4
.12x/ < 0,parax>0:
Para calcular los puntos críticos, igualamos la primera derivada a cero:
V
0
D0)1 0006x
2
D0)6x
2
D1 000)xD

1 000
6
D

500
3
:
Hay un máximo para
x
maxD

500
3
I
y
maxD
1
4
⎛
⎜
⎜
⎝
1 000

500
3
2

500
3
⎞
⎟
⎟
⎠
D
6
4
⎛
⎜
⎜
⎝
1 000
6

500
3

1
3

500
3
⎞
⎟
⎟
⎠
D
6
4

500
3

1
3

500
3

D
D
6
4

2
3

500
3
D

500
3
Dx
max:
Luego:
V
maxDx
2
yD
500
3

500
3
:

24.Si se cuenta conMcm
2
de material para hacer una caja con base cuadrada, encuentre el volumen
máximo posible de la caja.
H
x
x
y
y
El total de material usado en la caja con tapa, según laﬁgura, es:
AD2x
2
C4xyDM:

448 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
El volumen de la caja, la función que se desea optimizar, es:
VDx
2
y:
Despejandoyde la restricción, esto es, de la fórmula del área y sustituyendo enV:
yD
M2x
2
4x
D
1
4

M
x
2x

I
VD
1
4
x
2

M
x
2x

D
1
4

Mx2x
3

:
El volumen se encuentra ahora con una sola variable
V
0
D
1
4
.M6x
2
/I
V
00
D
1
4
.12x/ < 0,parax>0:
Para calcular los puntos críticos, igualamos la primera derivada a cero:
V
0
D0)M6x
2
D0)6x
2
DM)xD

M
6
:
Hay un máximo para
x
maxD

M
6
I
y
maxD
1
4
⎛
⎜
⎜
⎝
M

M
6
2

M
6
⎞
⎟
⎟
⎠
D
6
4
⎛
⎜
⎜
⎝
M
6

M
6

1
3

M
6
⎞
⎟
⎟
⎠
D
6
4

M
6

1
3

M
6

D
D
6
4

2
3

M
6
D

M
6
Dx
max:
Luego:
V
maxD
M
6

M
6
:

25.Demuestre que, de todos los rectángulos con un área dada, el que tiene el menor perímetro es un
cuadrado.
H
y
x

10.1 Problemas de optimización 449
De laﬁgura se tiene que el áreaAconstante es:
ADxy:
El perímetro es la función que deseamos optimizar:
PD2xC2y: (*)
Despejamosyde la restricción dada, esto es, de la fórmula del área:
yD
A
x
:
Sustituimos en./que ahora queda con una sola variable:
PD2xC2
A
x
:
Derivando, obtenemos:
P
0
D22A
1
x
2
D2

x
2
A
x
2

I
P
00
D2A
2
x
3
:
Observe que la segunda derivada siempre es positiva, parax>0.
P
0
D0)x
2
AD0)xD
p
A:
Hay un mínimo para
x
minD
p
AI
y
minD
A A
1
2
D
p
ADx min:

26.Demuestre que de todos los rectángulos con un perímetro dado el que tiene el área máxima es un
cuadrado.
H
y
x

450 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
De laﬁgura dada se tiene que el perímetroPconstante es:
PD2xC2y:
El área es la función que deseamos optimizar:
ADxy: (*)
Despejamosyde la restricción dada, esto es, de la fórmula del perímetro:
yD
P2x
2
:
Sustituimos en./que ahora queda con una sola variable:
ADx

P2x
2

D
1
2

Px2x
2

:
Derivando, obtenemos:
A
0
D
1
2
.P4x/I
A
00
D
1
2
.4/D2<0:
Observación. La segunda derivada siempre es negativa.
A
0
D0)P4xD0)xD
P
4
:
Hay máximo para
x
maxD
P
4
I
y
maxD
P
P
2
2
D
P
2
2
D
P
4
Dx
max:

27.Un recipiente rectangular para almacenamiento, con la parte superior abierta, debe tener un volumen
de10m
3
. El largo de su base es el doble del ancho. El material para la base cuesta3pesos el metro
cuadrado. El material para los costados cuesta2pesos el metro cuadrado. Encuentre las dimensiones
para tener el más barato de esos recipientes.
H
2x
y
x
y

10.1 Problemas de optimización 451
De laﬁgura, el volumen del recipiente es:
VD10D2x
2
y:
Considerando que se trata de una caja sin tapa, el costo de los materialesCes:
CD6x
2
C4xyC8xyD6x
2
C12xy, ésta es la función que deseamos optimizar.
Despejamosyde la restricción dada, esto es, de la fórmula del volumen:
yD
10
2x
2
D
5
x
2
:
Sustituimos enC(la función costo que ahora queda con una sola variable:)
CD6x
2
C12x

5
x
2

D6x
2
C60
1x
:
Derivando, se obtiene:
C
0
D12x60
1
x
2
D
12x
3
60
x
2
I
C
00
D12C120
1
x
3
>0:
Observación. La segunda derivada siempre es positiva parax>0.
C
0
D0)12x
3
60D0)x
3
D
60
12
)xD
3
p
5:
Hay un mínimo para
x
minD
3
p
5I
y
minD
5 .5/
2
3
D
5
.5/
2
3
D
3
p
5Dx min:

28.Halle el punto de la rectayD2xC3más cercano al origen.
H
x
y
yD2xC3

452 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Un punto arbitrario sobre la recta tiene las coordenadas.x; y/D.x;2xC3/.
La distancia de un punto arbitrario de la recta al origen es:
dD
ˆ
x
2
Cy
2
D
ˆ
x
2
C.2xC3/
2
:
Vamos a trabajar con el cuadrado de la función anterior pues tiene los mismos puntos críticos.
Usaremos la notación
DDd
2
I
DDx
2
C.2xC3/
2
I
D
0
D2xC2.2xC3/.2/D10x12I
D
00
D10 > 0:
Lasegundaderivadasiempreespositiva
D
0
D0)10x12D0)xD
12
10
D
6
5
:
Hay un mínimo para
x
minD
6
5
I
y
minD2

6
5

C3D
12
5
C3D
3
5
:
Así, observamos que:
x
minD2ymin:
El punto sobre la recta más cercano al origen es:
.x
min;ymin/D

6
5
;
3
5

:

29.Halle el punto de la rectayDmxCbmás cercano al origen.
H
x
y
yDmxCb
Un punto arbitrario sobre la recta tiene las coor-
denadas.x; mxCb/.
Distancia de un punto de la recta al origen.
dD
ˆ
x
2
Cy
2
D
ˆ
x
2
C.mxCb/
2
:

10.1 Problemas de optimización 453
Vamos a trabajar con el cuadrado de la función anterior, pues tiene los mismos puntos críticos.
Usaremos la notación
DDd
2
I
DDx
2
C.mxCb/
2
:
Derivando, se obtiene:
D
0
D2xC2.mxCb/mI
D
00
D2C2m
2
>0:
Lasegundaderivadasiempreespositiva
D
00
D0)2xC2.m
2
xCbm/D0)xCm
2
xCbmD0)x.1Cm
2
/Dbm)xD
bm
1Cm
2
:
Hay un mínimo para
x
minD
bm
1Cm
2
I
y
minDm.
bm
1Cm
2
/CbD
bm
2
1Cm
2
CbD
bm
2
CbCbm
2
1Cm
2
D
b
1Cm
2
:
Así, observamos que:
x
minDmy min:
El punto más cercanoal origen sobre la recta es :
.x
min;ymin/D

bm
1Cm
2
;
b
1Cm
2

:

30.Una ventana normanda tiene forma de un rectángulo rematado por un semicírculo. Si el perímetro
de la ventana es dePm, encuentre las dimensiones de la ventana de modo que se admita la cantidad
más grande posible de luz.
H
x
y

x
2
Considerando laﬁgura, el perímetroPde la ventana que es cons-
tante debe ser:
PDxC2yC
x
2
Dx

1C

2

C2yDx

2C
2

C2y:
El área de la ventanaA, la función que deseamos optimizar es:
ADxyC

x
2

2
2
DxyC

8
x
2
:

454 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Despejamosyde la restricción, esto es, deP:
yD
1
2

P
2C
2
x

D
P
2

2C
4
x:
Sustituimos enAy queda en función de una sola variable:
ADx

P
2

2C
4
x

C

8
x
2
D
P
2
x
2C
4
x
2
C

8
x
2
D
D
P
2
xC
42C
8
x
2
D
P
2
x
4C
8
x
2
:
Derivando, se obtiene:
A
0
D
P
2

4C
4
xI
A
00
D
4C
4
<0:
Lasegundaderivadasiempreesnegativa.
A
0
D0)
P
2

4C
4
xD0)xD
P
2
4C
4
D
2P
4C
:
Hay un máximo para
x
maxD
2P
4C
I
y
maxD
P
2

2C
4
2P
4C
D
1
2

P
2C
4C
P

D
1
2

2P
4C

D
1
2
x
max:

31.Una pista de entrenamiento consta de dos semicírculos adosados en los lados opuestos de un rec-
tángulo. Si su perímetro es dePm, hallar las dimensiones que hacen máxima el área de la región
rectangular.
H
y
x
Considerando laﬁgura, el perímetro constantePes:
PD2xCy:
La función que se desea optimizar es el áreaAdel rectángulo:
ADxy:

10.1 Problemas de optimización 455
Despejamosxde la restricción, esto es, deP:
xD
1
2
.Py/:
Sustituyendo en el áreaAse obtiene una función de una sola variable:
AD
1
2
.Py/yD
1
2
Py
1
2
y
2
:
Derivando, se obtiene:
A
0
D
1
2
PyI
A
00
D<0:
Lasegundaderivadaessiempreesnegativa.
Puntos críticos:
A
0
D0)
1
2
PyD0)yD
P
2
:
Hay un máximo para
y
maxD
P
2
I
x
maxD
1
2

P
P
2

D
P
4
D

2
P
2
D

2
y
max:

32.Un triágulo rectángulo está formado por los semiejes positivos y una recta que pasa por el punto
.a; b/. Hallar los vértices de modo que su área sea mínima.
H
x
y
.0; y/
.a; b/
.x; 0/
b
xa

Según laﬁgura, el área del triángulo es:
AD
1
2
xy:
Ésta es la función que deseamos minimizar.
La relación que guardan las variables es:
b
xa
D
y
x
)yD
x
xa
b:
Sustituyendo enAse obtiene:
AD
1
2
x

x
xa

bD
1
2
b
x
2
xa
:

456 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Derivando, se obtiene:
A
0
D
1
2
b
.xa/2xx
2
.xa/
2
D
1
2
b
2x
2
2axx
2
.xa/
2
D
1
2
b
x
2
2ax
.xa/
2
I
A
00
D
1
2
b
.xa/
2
.2x2a/.x
2
2ax/2.xa/
.xa/
4
D
1
2
b
.xa/.2x2a/2.x
2
2ax/
.xa/
3
D
Db
x
2
2axCa
2
x
2
C2ax
.xa/
3
Db
a
2
.xa/
3
I
A
0
D0)x
2
2axD0)x.x2a/D0)xD0obienx minD2a:
Considerando que conxD0no se tiene un triángulo, evaluamos la segunda derivada enxD2a.
A
00
.2a/Db
a
2
a
3
D
b
a
>0)hay un mínimo.
El áreaAes mínima para
x
minD2a&y minD
2a
2aa
bD2b:

33.Se quiere construir un recipiente cilíndrico de base circular con tapa y una capacidad para600 `.
Calcular las dimensiones que debe tener para que se requiera la mínima cantidad de material en su
construcción.
(Considerar que 1`=1dm
3
:)
HUsamos laﬁgura

r
h
El área total que deseamos que sea mínima es el área lateral2rhmáseláreadelasdosbases2r
2
:
AD2rhC2r
2
;
donder&hestán en decímetros, pero comoVD600dm
3
ycomoVDr
2
h, tenemos
600Dr
2
hI
luego, despejandoh
hD
600
r
2
:
Sustituyendo por este valor enA, la podemos expresar como función de una única
variabler:
A.r/D2r
600
r
2
C2r
2
:

10.1 Problemas de optimización 457
Simpliﬁcando,
A.r/D
1 200
r
C2r
2
D1 200r
1
C2r
2
:
Busquemos el valor derque hace queAsea mínima.
DerivandoA.r/
dA.r/
dr
D
1 200
r
2
C4r:
Igualando a cero:
1 200
r
2
C4rD0)4rD
1 200
r
2
)r
3
D
1 200
4
)rD
3

300

:
Sustituyendo este valor derenhD
600
r
2
,seobtiene:
hD
600

300

2
3
)hD
.2/.300/

300
2=3

2=3
)hD
.2/.300/
1=3

1=3
)hD2
3

300

)hD2r;
apartirde
dA.r/
dr
D
1 200
r
2
C4rD1 200r
2
C4r, calculamos la segunda derivada:
d
2
A.r/
dr
2
D
2 400
r
3
C4;
la cual es positiva parar>0,porloquepararD

300

&hD2r, tenemos efectivamente un área
mínima.
34.Un cilindro circular recto ha de contenerVcm
3
de refresco y usar la mínima cantidad posible de
material para su construcción. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones?
H

r
h
De laﬁgura, se tiene que el volumenVdel cilindro es:
VDr
2
h:
El área total del cilindro, que es la función que se desea optimizar, es:
AD2rhC2r
2
:

458 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Despejamoshde la restricción (esto es, deV) y sustituimos enA:
hD
V
r
2
I
AD2r

V
r
2

C2r
2
D
2Vr
C2r
2
:
Al sustituir nos queda una función de una sola variable a la cual derivamos:
A
0
D
2V
r
2
C4rI
A
00
D
4V
r
3
C4 > 0,yaquer>0:
A
0
D0)
2V
r
2
C4rD0)
2VC4r
3
r
2
D0)2VC4r
3
D0)rD

V
2

1
3
:
Hay un mínimo para
r
minD

V
2

1
3
I
h
minD
V

V
2

2
3
D2
V
2

V
2

2
3
D2

V
2

1
3
D2r:

35.Determine el volumen máximo posible de un cilindro circular recto si el área total de su superﬁcie,
incluyendo las dos bases circulares, es de150m
2
.
HUsamos laﬁgura

r
h
Searel radio de la base del cilindro yhsu altura, luego:
VDr
2
h&AD2rhC2r
2
D150:
Despejandohde la restricción dada por el áreaA
hD
1502r
2
2r
D
75r
2
r
:
Si sustituimos este valor en la fórmula del volumenV, lo tendremos expresado como función de una
variable:
V.r/D
r
2
.75r
2
/
r
D75rr
3
I

10.1 Problemas de optimización 459
ydeaquí
V
0
.r/D753r
2
D0,r
2
D25,rD5I
ytambién:
hD
7525
5
D
50
5
D10yVD2510D250m
3
Notamos que
V
00
.r/D6r < 0;parar>0;
por lo que para el valor derD5m se tiene un volumen máximo.

36.Dos puntosA,Bse encuentran en la orilla de una playa recta, separados6km entre sí. Un puntoC
esta frente aBa3km en el mar. Cuesta $400:00tender1km de tubería en la playa y $500:00en el
mar. Determine la forma más económica de trazar la tubería desdeAhastaC.(Nonecesariamente
debe pasar porB.)
HHagamos un croquis
3km
C

B

D

A

6x x
6km
Pensemos que vamos a llevar la tubería desdeAhastaD,unpuntosobrelaplayaaxkm deA,yde
ahí aCpor el mar; la distanciaCD, como hipotenusa de un triángulo rectángulo con vértice enBes:
CDD
ˆ
.6x/
2
C3
2
D.x
2
12xC36C9/
1
2D.x
2
12xC45/
1
2:
Queremos pues minimizar la función costo
C.x/D400xC500.x
2
12xC45/
1
2:
Derivamos
C
0
.x/D400C
250.2x12/
p
x
2
12xC45
D
400
p
x
2
12xC45C500.x6/
p
x
2
12xC45
:

460 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Puntos críticos:
C
0
.x/D0)400
ˆ
x
2
12xC45C500.x6/D0)
)400
ˆ
x
2
12xC45D500.6x/)
)
ˆ
x
2
12xC45D
5
4
.6x/)
)x
2
12xC45D
25
16
.3612xCx
2
/)
)

25
16
1

x
2
12x

25
16
1

C
2536
16
45D0)
)
9
16
x
2
12

9
16

xC
225
4
45D0)
)
9
16
x
2

27
4
xC
225180
4
D0)
)9x
2
108xC180D0)
)x
2
12xC20D0)
)xD
12˙
p
14480
2
D
12˙
p
64
2
D
12˙8
2
D

10I
2I
entoncesxD2y desechamosxD10, por ser ilógico.
Por otro lado,C.x/es derivable en toda la recta, ya quex
2
12xC45no tiene raíces reales, pues
b
2
4acD12
2
445 < 0.Dehechox
2
12xC45 > 0. Por ejemplo, enxD0la función continua
x
2
12xC45vale45.
Calculemos la segunda derivada deC.x/, derivando de
C
0
.x/D400C
500.x6/
p
x
2
12xC45
I
C
00
.x/D
500
p
x
2
12xC45
500.x6/.2x12/
2
p
x
2
12xC45
.
p
x
2
12xC45/
2
D
D
500Œ.x
2
12xC45/.x6/
2

.x
2
12xC45/
3
2
D
500.x
2
12xC45x
2
C12x36/
.x
2
12xC45/
3
2
D
D
5009
.x
2
12xC45/
3
2
>0:
Luego, efectivamente paraxD2hay un mínimo.
En este caso el costo es
C.2/D800C500
p
424C45D800C5005D800C2 500D3 300pesos.
Si se hubiera tendido la tubería por el mar, desdeAhastaC, el costo hubiese sido:
C.0/D500
p
455006:7082039D3354:102 > C.2/:
Y si se hubiese tendido desdeAhastaBpor la playa y desdeBhastaCpor el mar, ambos en línea
recta, el costo hubiese sido:
C.6/D4006C500
p
3672C45D2 400C500
p
9D
D2 400C1 500D3 900pesos>C.2/también.

10.1 Problemas de optimización 461
37.Dos barcos salen al mismo tiempo; uno de un muelle, con dirección sur y con velocidad de20km/h.
Elotropartehaciaelmuelledesdeunpuntoqueseencuentraa 15km al oeste, a10km/h. ¿En qué
momento se encuentran más próximos estos dos navíos?
HUsamos la siguienteﬁgura, donde el tiempotestá en horas:
10t
15
20td.t/
La distancia entre ambos barcos es
d.t/D
ˆ
.15C10t/
2
C.20t/
2
D
ˆ
500t
2
300tC225 ;
de la cual queremos hallar su mínimo, por lo que buscamos sus puntos críticos
d
0
.t/D
1 000t300
2
p
500t
2
300tC225
D0,tD
3
10
h
en donded.t/pasa de ser decreciente a ser creciente; entonces el mínimo es:
d

3
10

D
p
144C36D
p
18013:416408km.

38.A las 13:00 horas un barcoAse encuentra20millas al sur del barcoByviajahaciaelnortea15
millas/h. El barcoBnavega hacia el oeste a10millas/h. ¿A qué hora se alcanza la distancia mínima
entre las dos embarcaciones?
HUsamos laﬁgura siguiente, dondetson las horas transcurridas a partir de las13:00horas:
10 t
B
2015 t
d.t/
15 t

A

462 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
El espacio que recorre el barcoAes15tmillas y el recorrido por el barcoBes10t,porloquela
distancia entre ambos barcos, cuyo mínimo es el que buscamos, según el teorema de Pitágoras es:
d.t/D
ˆ
.10t/
2
C.2015t/
2
D
D
ˆ
100t
2
C400600tC225t
2
D
D
ˆ
325t
2
600tC400 :
El mínimo de esta función coincide con el mínimo de la función
?d.t/
2
D325t
2
600tC400D25.13t
2
24tC16/ :
Por lo que basta con que encontremos el mínimo de la funcióng.t/D13t
2
24tC16,queporotra
parte es el vértice de la parábolayDg.t/:
g
0
.t/D26t24D0,tD
24
26
D
12
13
:
Ycomog
00
.t/D26 > 0,setratadeunmínimoylamínimadistanciasealcanzaalas 13C
12
13
horas.

39.Se va a construir un tanque metálico de almacenamiento con volumen de10 `en forma de un cilindro
circular recto rematado por dos hemisferios (medias esferas). Tomando en cuenta que el volumen de
la esfera es
4
3
r
3
yquelasuperﬁcie es4r
2
, encontrar las dimensiones del tanque que minimicen la
cantidad de metal.
HUsamos laﬁgura siguiente que es la de una sección vertical del tanque:
r
`
Considerando un cilindro circular recto de radiorylargo`, medidos ambos en decímetros (dm),
el volumen de este tanque es
VDr
2
`C
4
3
r
3
I
y debe serVD10 `D10dm
3
; por lo cual se debe cumplir que
r
2
`C
4
3
r
3
D10:
Minimizar la cantidad de metal es equivalente a minimizar el área de la superﬁcie del tanque.
El área del tanque es:
AD2r`C4r
2
:
Se tiene entonces:

10.1 Problemas de optimización 463
Una ecuación,r
2
`C
4
3
r
3
D10.
Una función,AD2r`C4r
2
.
De la ecuación se despeja una de las variables (la que convenga) para luego sustituirla en la función.
Conviene despejar`:
r
2
`C
4
3
r
3
D10)`D
10
4
3
r
3
r
2
:
Sustituyendo enAse obtiene:
AD2r`C4r
2
D2r
⎛
⎜
⎝
10
4
3
r
3
r
2
⎞
⎟
⎠C4r
2
D
D
2
r

10
4
3
r
3

C4r
2
D
20
r

8
3
r
2
C4r
2
I
A.r/D
20
r
C
4
3
r
2
;
que es la función a minimizar:
A
0
.r/D
20
r
2
C
8
3
rI
A
0
.r/D0,
20
r
2
C
8
3
rD0,
8
3
rD
20
r
2
,
,r
3
D
60
8
D
15
2
,rD
3

15
2
1:3365:
Entonces la funciónA.r/tiene un punto crítico enr
11:3365:
A
00
.r/D
40
r
3
C
8
3
>0:
Se tiene un mínimo local estricto.
Por lo tanto, las dimensiones del tanque que minimizan el área son:
rD1:3365I
`D
10
4
3
r
3
r
2
D
10
4
3

15
2

.1:3365/
2
D
1010
.1:3365/
2
D0:
Es decir, el tanque debe ser una esfera de radior
1D1:3365dm.

40.Una lata de aceite tiene la forma de un cilindro con fondo plano en la base y una semiesfera en la parte
superior. Si esta lata debe contener un volumen de1 000pulgadas cúbicas y se desprecia el espesor del
material, determine las dimensiones que minimizan la cantidad de material necesario para fabricarla.

464 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
HUsamos laﬁgura siguiente:

r
h
r

El volumen total consta de dos partes: el volumen del cilindro más el volumen de la semiesfera:
VDr
2
hC
1
2

4
3
r
3
D1 000: (A)
El material usado coincide con el área total de la superﬁce exterior que consta del área de la base, más
el área lateral del cilindro y el área de la semiesfera:
MDr
2
C2rhC
1
2
4r
2
: (B)
Ésta es la función que deseamos minimizar y consta de dos variables.
De la relación.A/despejamosh:
r
2
hD1 000
2
3
r
3
)hD
1 000
r
2

2
3
r: (C)
Sustituimos este valor en.B/y obtenemos:
M.r/Dr
2
C2r

1 000
r
2

2
3
r

C2r
2
D
D3r
2
C
2 000
r

4
3
r
2
D
5
3
r
2
C
2 000
r
:
Calculamos primera y segunda derivada:
M
0
.r/D
5
3
2r
2 000
r
2
D
10r
3
6 000
3r
2
I
M
00
.r/D
10
3
C4 000
1
r
3
>0,parax>0:
Calculamos puntos críticos igualando a cero la primera derivada:
M
0
.r/D0)10r
3
6 000D0)r
3
D
600

)rD
3

600

D

600

1
3
5:75882 :
Sustituyendo este valor en.C /:
hD
1 000

600

2
3

2
3

600

1
3
D
1 000
600

600

600

2
3

2
3

600

1
3
D
D
5
3

600

600

2
3

2
3

600

1
3
D
5
3

600

1
3

2
3

600

1
3
D

600

1
3
Dr:

10.1 Problemas de optimización 465
ComoM
00
.r/ > 0, entonces hay un mínimo paraM.r/, es decir, hallamos que la lata con las condi-
ciones dadas debe tener la altura del cilindro igual que el radio de la base.

41.Se desea construir un tanque de acero con la forma de un cilindro circular recto y semiesferas en los
extremos para almacenar gas propano. El costo por pie cuadrado de los extremos es el doble de la
parte cilíndrica. ¿Qué dimensiones minimizan el costo si la capacidad deseada es de10pies
3
?

r
h
HEl volumen del tanque es el volumen del cilindro, más el volumen de la esfera:
VDr
2
hC
4
3
r
3
D10: (A)
El área total del tanque es el área lateral del cilindro, más el área de la esfera:
AD2rhC4r
2
:
Si˛por pie
2
es el costo del material de la parte cilíndrica, se tiene que el costo total es:
CD2rh˛C4r
2
.2˛/)CD2˛.rhC4r
2
/: (B)
Ésta es la función que deseamos minimizar. Tiene dos variablesr,h.Usamos.A/para encontrar una
relación entre estas variables.
r
2
hC
4
3
r
3
D10)r
2
hD10
4
3
r
3
)hD
10
r
2

4
3
r: (C)
Sustituimos este valor en.B/:
CD2˛

r

10
r
2

4
3
r

C4r
2

D2˛

10
1
r

4
3
r
2
C4r
2

D2˛

10
1
r
C
8
3
r
2

:
Calculamos la primera y segunda derivadas
C
0
D2˛

10
1
r
2
C
16
3
r

D2˛

30C16r
3
3r
2

I
C
00
D2˛

10
2
r
3
C
16
3

>0:
Calculamos puntos críticos:
C
0
D0)30C16r
3
D0)r
3
D
30
16
D
15
8
)rD
3

15
8
1:23311:

466 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
Usando.C /:
hD
10
.1:23311/
2

4
3
.1:23311/4:93238:
Los valores der,hencontrados son las dimensiones que minimizan el costo del tanque de acero con
capacidad10pies
3

42.Unapáginahadecontener30cm
2
de texto. Los márgenes superior e inferior deben ser de2cm y los
laterales de1cm. Hallar las dimensiones de la página que permiten ahorrar más papel.
HHagamos un croquis con el tamaño de la página y los datos
xcm1cm 1cm
ycm
2cm
2cm
30cm
2
de texto
Se sabe quexyD30cm
2
.
Se quiere minimizar el área de la página de papel, esto es:AD.xC2/.yC4/.
Entonces el área es una función de dos variables:x,y.
Pero comoxyD30)yD
30
x
, sustituyendo este valor en la expresión para el área de la página (A),
queda como función de la única variablex,asaber:
A.x/D.xC2/

30
x
C4

D30C4xC
60
x
C8D4xC60x
1
C38:
Para hallar los puntos críticos se deriva
A
0
.x/D4
60
x
2
D0,4D
60
x
2
,x
2
D15,jxjD
p
15:
Por lo que
xD
p
15I
yD
30
p
15
D
30
p
15
15
D2
p
15D2x:
ComoA
00
.x/D.460x
2
/
0
D
120
x
3
>0,setrata,enefecto,deunmínimo.

43.Los costos de la empresa Alfa están dados por la funciónf.x/D
x
3
p
x
2
1
,dondexrepresenta miles
de artículos vendidos. Se pronostica que los costos serán mínimos si se venden entre1 700y1 800
artículos. ¿Es verdadero el pronóstico? Justiﬁque su respuesta.

10.1 Problemas de optimización 467
HEl dominio de la función esRf˙1g,pues
3
p
x
2
1D0,x
2
1D0,x
2
D1,
,jxjD1,xD˙1:
f
0
.x/D
3
p
x
2
1
2x
2
3.x
2
1/
2
3
.x
2
1/
2
3
D
3.x
2
1/2x
2
3.x
2
1/
4
3
D
x
2
3
3.x
2
1/
4
3
I
f
0
.x/D0,x
2
3D0,x
2
D3,jxjD
p
3,x˙1:7320508:
Se toma el valor positivo por tratarse de costos en una empresa.
Para saber si son extremos calculamos la segunda derivada:
f
00
.x/D
6x.x
2
1/
4
34.x
2
1/
1
32x.x
2
3/
9.x
2
1/
8
3
D
6x.x
2
1/8x.x
2
3/
9.x
2
1/
7
3
D
D
6x
3
6x8x
3
C24x
9.x
2
1/
7
3
D
2x
3
C18x
9.x
2
1/
7
3
:
Como
f
00
.
p
3/D
23
3
2C18
p
3
9.31/
7
3
D
6
p
3C18
p
3
92
7
3
>0;
se trata de un mínimo, luego, efectivamente, este mínimo se produce cuando se venden1 732:0508de
artículos.

44.Un hombre se encuentra en un puntoAde la orilla de un río rectilíneo de 2 km de ancho. SeaCel
punto enfrente deAen la otra orilla. El hombre desea llegar a un puntoBsituado a8km a la derecha
y en la misma orilla deC.
El hombre puede remar en su bote cruzando el río hasta el puntoDentreByC.Siremaa6km/h
ycorrea8km/h ¿a qué distancia debe estarDdel puntoC, para llegar al puntoBlo más pronto
posible?
HHagamos un bosquejoﬁgurado de la situación:
2
A
CD B
x 8x
8
Río

Queremos hallarxde manera que el tiempo para ir deAaDpor el río, y deDaBpor la orilla, sea
mínimo. Por el teorema de PitágorasADD
p
4Cx
2
, el tiempo empleado para recorrer esta distancia
est
1D
p
4Cx
2
6
horas, ya que tiempo empleado =
espacio recorrido
velocidad
El tiempo para recorrerDBest
2D
8x
8
h.

468 Cálculo diferencial e integral I.Problemas resueltos
La función de la que vamos a buscar su mínimo es:
T.x/Dt
1Ct2D
p
4Cx
2
6
C
8x
8
:
Puntos críticos,
T
0
.x/D
2x
26
p
4Cx
2

1
8
D0,
x
6
p
4Cx
2
D
1
8
,6
ˆ
4Cx
2
D8x)
)36.4Cx
2
/D8
2
x
2
,144D64x
2
36x
2
,28x
2
D144,
,x
2
D
144
28
D
36
7
)xD

36
7
D
6
p
7
2:26km,
éste es el único punto crítico.
Calculamos la segunda derivada:
T
00
.x/D
6
p
4Cx
2

6x2x
2
p
4Cx
2
.6
p
4Cx
2
/
2
D
6.4Cx
2
/6x
2
36.4Cx
2
/
p
4Cx
2
D
24C6x
2
6x
2
36.4Cx
2
/
p
4Cx
2
D
D
24
36.4Cx
2
/
p
4Cx
2
D
2
3.4Cx
2
/
p
4Cx
2
:
Observemos queT
00
>0siempre y, en particularT
00
.2:26/ > 0, por lo cual existe un mínimo local
enxD2:26km; podemos considerar que el dominio de la funciónTesD
TD?0; 8,puesnotendría
sentido desembarcar a la izquierda deCni más allá deB;luego,elmínimoeselmenordelostres
números:
T.0/D
2
6
C
80
8
D
1
3
C1D
4
3
hD1:3h;
T .2:26/D
ˆ
4C.2:26/
2
6
C
82:26
8

p
9:1076
6
C
5:74
8
1:22048h;
T.8/D
p
4C8
2
6
C
88
8
D
p
4C64
6
C
0
8
1:374368542h.
Efectivamente el tiempo mínimo se logra si desembarca a2:26km deC.

45.La suma del perímetro de un círculo y un cuadrado es de16cm. Hallar las dimensiones de las dos
ﬁguras que hacen mínima el área total encerrada por ambasﬁguras.
HEl dibujo de ambasﬁguras es:
x
x
r

De ambas tenemos:
El perímetro del círculo:2r.

10.1 Problemas de optimización 469
El perímetro del cuadrado:4x.
El perímetro de ambasﬁguras (usamos la restricción dada):
2rC4xD16.(*)
El área del círculo:r
2
.
El área del cuadrado:x
2
.
El área de ambasﬁguras:r
2
Cx
2
.
Ésta es la función de la que deseamos calcular el mínimo con la restricción dada:
ADr
2
Cx
2
. (**)
Esta función depende de dos variables. La relación entre estas variables viene dada por la condición
./. De aquí despejamos una variable. Elegimos arbitrariamenter:
rD
164x
2
D
82x

. (***)
Sustituimos en./
A.x/D

82x

2
Cx
2
)A.x/D
1

.82x/
2
Cx
2
derivando, con respecto ax:
A
0
.x/D
2

.82x/.2/C2xD
4

.82x/C2x;
calculamos la segunda derivada:
A
00
.x/D
4

.2/C2D
8

C2>0:
Esto nos indica que la funciónAsiempre es cóncava hacia arriba, es decir, vamos a encontrar un
mínimo.
Igualamos a cero la primera derivada, para encontrar los puntos críticos:

4

.82x/C2xD0)
4

.82x/D2x)82xD

2
x)
)8D

2
xC2xD

2
C2

xD
C4
2
x)xD
16
C4
:
Éste es el valor dexque hace mínima el áreaA.x/.
Para encontrar el valor dercorrespondiente, sustituimos en./
rD
1

82
16
C4

D
1

8C3232
C4

D
1

8
C4

)
)rD
8
C4
D
1
2
x:
O sea, el lado del cuadrado es el doble del radio del círculo.
Estos valores, dex&rson las dimensiones de lasﬁguras que hacen mínima el área total encerrada
por ambasﬁguras.

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